B R STEWART PLATFORMUNDA MAFSAL KONUMU-ÇALI MA UZAYI-AKTÜATÖR KUVVET

Transkript

1 13. ULUSAL MAKNA TEORS SEMPOZYUMU Cumhuryet Ünverstes, Svas, Hazran 2007, BR STEWART PLATFORMUNDA MAFSAL KONUMU-ÇALIMA UZAYI-AKTÜATÖR KUVVET LKLER Burcu GÜNER, A. Sade SARIGÜL, Hra KARAGÜLLE Dokuz Eyü Ünverstes, Mühendsk Fakütes, Makna Mühends Böümü 35100, ZMR ÖZET Son yıarda yüksek hassasyet, yük taıma kapastes, doruuk, rjtk ve hız gerektren uyguamaarda parae robotarın kuanım aanarı odukça artmıtır. Buna karın, parae robotarın çaıma uzayarının kısıtı ve knematk/knetk çözümemeernn karmaık oması, karıaıan en önem sorunardandır. Kuanıdıkarı uyguamaarın verm açısından, parae robotarın çaıma uzayının berenmes son derece önemdr. Bu çaımada, MATLAB e outuruan br bgsayar programı yardımı e hegzapod oarak adandırıan br Stewart patformunun çaıma uzayı berenmtr. Bu programa br düzem üzernde, robotun uaabece aan anatk denkemern çözümü e hesapanmıtır. Farkı mafsa konumarı çn buunan bu aanar karıatırıarak mafsa konumarının robotun çaıma uzayı üzerne etker nceenmtr. Uygun br tasarımın yapıabmes çn, çaıma uzayının büyüküü kadar aktüatörer üzerndek kuvvet deerer de önemdr. Anatk formüasyonda geneke, bacak küteer göz ardı eddnden, gerçek sstemdeknden farkı deerer buunur. Bu çaımada, br mekank smüasyon programı e bacak küteer de ssteme dah ederek gerçek ssteme en yakın kuvvet deerer buunmutur. Farkı mafsa konumarı çn sınır erernde hesapanan aktüatör kuvveter karıatırımı ve çaıma uzayı e kuvvet açısından, en uygun tasarımı veren mafsa konumarı buunmutur. Anahtar Kemeer: Stewart patformu, hegzapod, mafsa konumu, çaıma uzayı, aktüatör kuvvet JOINT POSITION-WORKSPACE-ACTUATOR FORCE RELATIONSHIPS ON A STEWART PLATFORM ABSTRACT In recent years, the fed of parae manpuators has expanded sgnfcanty n appcatons requrng hgh precson, oadng capacty, accuracy, rgdty and hgh veocty. However, mted workspace and compex knematc/knetc soutons are the most mportant probems encountered. Defnng workspace of parae robots s very mportant for the effcency of the appcatons they are used. In ths study, the workspace of a Stewart patform caed hexapod was determned by a computer program deveoped n MATLAB. By ths program, the area that robot can reach on a pane was cacuated by sovng anaytca equatons. The effects of jont postons on workspace were nvestgated comparng the areas for dfferent jont postons. In order to perform an optma desgn, force vaues on actuators are mportant as much as the surface areas. Generay, n anaytca formuaton eg masses are negected and therefore, resuts dffer from those n the rea system. In ths study, force vaues whch are cosest to the rea system were found by a mechanca smuaton program ncudng eg masses. The actuator forces computed on the workspace boundares were compared for dfferent jont postons and the jont postons gvng an optma desgn were determned n terms of workspace and actuator forces. Keywords: Stewart patform, hexapod, jont poston, workspace, actuator force

2 Güner, Sarıgü ve Karagüe, UMTS2007, C:2, GR Manpüatörer, çok dek kuanım aanarı e uzun yıardır nsan yaamının vazgeçmez brer parçası hane gemerdr. Ser robotara baayan çaımaar, parae robotarın ve ksnn bekes oan meez robotarın da kef e hıza eremektedr. Bu çaımada nceenen ve günümüzde gözde br aratırma konusu oan parae tp yapıar se uzun zamandan ber bnmesne ramen, uyguamaı kuanımı k kez 1965 yıında Stewart tarafından gerçeketrmtr. O yıdan tbaren, parae robotarın kuanım aanarı gderek artmı, mkrokonumandırma, cerrah operasyon, uçak smuasyonu vb. uyguamaarın vazgeçmez omuardır. Özeke son yıarda parae manpüatörer e g odukça faza sayıda çaıma yapımıtır. Bu çaımaarın kernden oan ve der aratırmacıar tarafından teme aınan çaıma Fchter n Stewart patformunu teork ve pratk oarak ee adıı makaedr [1]. Bazı aratırmacıar bu patformun knematk probemer üzernde çaııp enyetrme çaımaarı yapmıar [2], düz knematkte cebrse eemey getrmer [3] ve ters knematk çözümünde genetk evrmse agortma [4], yapay snr aarı [5], vda teors [6], dorusa grafk teors, sana er kes e sembok programamanın kombnasyonarından ouan yöntemer [7] kuanmıar, bazen de sürüm tekn göz önünde buundurarak ters dnamk anaz yapmıardır [8]. Ayrıca sabt bacak uzunuku hegzapodar üzerne çaımıar ve dek hegzapod tpern hareket edebrk bakımından deerendrmerdr [9]. Çaıma uzayı konusunda da aratırmaar yapmıar; hem hegzapodar, hem de der tür parae manpüatörern çaıma uzayarının hesapanması ve genetmes çn farkı yöntemer getrmerdr [10-14]. Bu aratırmaarın tümünde çaıma uzayı sadece knematk açıdan nceenmtr. Sunuan çaımada se aktüatör kuvveter sstemdek tüm küteer dah ederek hesapanmı ve mafsa konumu - çaıma uzayı - aktüatör kuvvet arasındak k nceenerek, probeme knetk etkener de dah edmtr. Parae manpüatörer, en az k baımsız knematk döngü çeren ve k patformdan ouan kapaı tp mekanzmaardır. Hareket patform, tabandak sabt patforma bacak denen brkaç uzuva baanmıtır. Genede her br bacak ayrı br aktüatöre kontro eddnden, sstemn serbestk dereces bacak sayısına ettr. Yüksek hassasyet, rjtk, yük taıma kapastes, yüksek hızarda çaıabme ser robotara göre üstün oan özekerdr. Çaıma uzayının darıı, mekank tasarımının zoruu, karmaık düz knematk hesapamaarı ve karmaık kontro agortması se ser robotara göre zayıf oan özekerdr. Manpüatörern çaıma uzayının berenmes, robota ön tanımı yörünge bereyebmek açısından önem taır. Özeke de parae manpüatörern çaıma uzayarının küçük oması, bu nceemey daha önem ve gerek hae getrmtr. Uygun br tasarımın yapıabmes çn, aktüatörer üzerndek kuvvetern hareket boyunca hesapanması da der br gereksnmdr. Böyece, çaıma uzayı ve kuvvet denetm e robotun veren görever yapıp yapamayacaına karar verebmektedr. Mafsa konumarı, hareket patformun eksenere yaptıı dönme açıarı, bacak mter, bacakarın brbrerne çarpmamaarı gb çaıma uzayına veya uzuvar üzerndek kuvvetere etk eden brçok knematk ve geometrk deken vardır. Bu çaımada, ek-1 de görüdüü üzere, parae tp robotarın öze br çed oan ve hegzapod adı veren 6 serbestk derece br Stewart patformu ee aınmıtır. ek 1 Lazer Yönendren Hegzapod Yukarıda berten dekenerden, mafsa konumarı e hegzapodun çaıma uzayı ve aktüatörer üzerndek kuvveter arasındak k nceenmtr. Bu proje çerçevesnde tasarımı ve üretm yapımı oan hegzapodun 396

3 Güner, Sarıgü ve Karagüe, UMTS2007, C:2, gerçek öçüer kuanıarak, MATLAB programı e çaıma uzayı agortması outurumu ve bu uzayın ber br düzemdek kest aanı hesapanmıtır. VsuaNASTRAN 4D 2004 programı e yapıan smüasyonarda se, çaıma uzayının sınırarını doanan hareket çn aktüatör kuvveter buunmutur. Mafsa konumarı detrerek aynı emer tekrar edm, böyeke mafsa konumarının hareket edebre ve sınır ererndek hareket çn aktüatör kuvveterne etker nceenmtr. 2. STEWART PLATFORMUNUN MODELLENMES Anaz yapıacak 6 serbestk derece hegzapod brbrne 6 uzuv e baanmı br sabt, der hareket omak üzere 2 patformdan oumaktadır. Uzuvar sabt ve hareket patforma kürese mafsaar e baanmıtır. Sabt patform üzernde brbr e 120º açı yapan eksenern oduu kabu ederek, mafsaar bu eksenere poztf ve negatf yönerde b açısı yapacak ekde konumandırıır. Aynı ekde hareket patform üzernde brbr e 120º açı yapan eksenern oduu kabu ederek, mafsaar bu eksenere poztf ve negatf yönerde p açısı yapacak ekde konumandırıır. ek-2 de, mafsa konumarını bereyen açıarın ve formüasyonardak der göstermern yer adıı, sstemn bast mode görümektedr. Bacakar Sabt Patform Hareket Patform ek 2 Hegzapodun Bast Mode Burada R b ve R p, sırası e sabt ve hareket patformda mafsaarın üzernde buunduu çemberern yarıçaparıdır. B ve P noktaarı se, (=1,2,...,6) mafsaarın patformar üzerne yeretrd noktaardır. I-DEAS programında.gs formatında çzen parçaarın VsuaNASTRAN 4D programına aktarıması ve parçaar arasındak baarın tanımanması e outuruan sstemn katı mode ek-3 de ve buna uygun üretm oan gerçek sstem se ek-4 de göstermtr. ek 3 Hegzapodun VsuaNASTRAN 4D Mode 3. TERS KNEMATK ANALZ Stewart patformunun ters knematk anaznde, hareket patformun konumu ve bu konumda ken x, y ve z eksener e yaptıı açıarın bnmes e, 6 adet bacak ek 4 Modee Uygun Üreten boyu buunur. Böyece ek-2 de görüen P koordnat sstemn, B koordnat sstemne göre tanımayan q O b O konum vektörü p ve R rotasyon matrs e bacak uzunukarı 397

4 Güner, Sarıgü ve Karagüe, UMTS2007, C:2, hesapanır. Hareket patformun x, y ve z eksenernde sırası e, ve açıarı kadar döndürümes sonucunda ede eden R rotasyon matrs aaıdak bçmde yazıabr [15]: R R( z, ) R( y, ) R( x, ) (1) Burada, cos sn 0 R ( z, ) sn cos 0, cos 0 sn R ( y, ) 0 1 0, sn 0 cos R (x, ) 0 cos sn. 0 sn cos demer ayrı ayrı durumar dkkate aınarak gözemenm ve çaıma uzayını genetme amaçı aratırma getrme çaımaarı yapııp denenmtr [10-14]. Parae manpüatörern etkn çaıabdker bögenn odukça küçük ouu, robota görev tanımayabmek çn çaıma uzayının berenmesn vazgeçmez kıan en önem nedendr. Çaıma uzayına etk eden tasarıma g kısıtamaar, mafsa konumarı, patformar arası mesafe, patform kaınıkarı oup, knematk kısıtamaar se bacak boyarı, mafsa dönme açıarı ve bacakarın brbrerne çarpmamasıdır. Br hegzapodun çaıma uzayına knematk ve knetk parametreern etksn aratıran bu çaımada, mafsa konumunun ( p mafsa açısının) çaıma uzayı üzerndek etks, seçen ber br düzem üzernde robotun uaabece en büyük aanın sınırarı ve bu aanın yüzöçümü hesapanarak nceenmtr. Bacak uzunuu vektörü B P, p Rq b = 1,2,,6 (2) bçmnde yazıabr. Burada b T bx b b y b b z ve p T b px p p y p p zp sırası e sabt ve hareket patformdak mafsa konumarını berten vektörerdr. Buradak formüasyon, MATLAB da getren br bgsayar programına uyguanmıtır. Programda, zeten yörünge üzernde ber araıkara uzuv boyarı hesapanmı ve bu uzunukar çaıma uzayının buunmasında kuanımıtır. 4. ÇALIMA UZAYI Parae manpüatörern çaıma uzayı, hareket patformun merkezne tutturuduu varsayıan koordnat sstemnn orjnnn uaabece böge oarak tanımanabr. Bunun yanında, farkı amaçar çn tanımanmı çaıma uzayarı da buunmaktadır [14]. Bugüne den, çaıma uzayı dek yöntemere hesapanmı, farkı anaz türer buunmu, km çaımada Jacoban anaz de yapıarak sstemn tek konumarı ede edm, çaıma uzayındak ek 5 Hegzapodun Çaıma Uzayı Burada kuanıan yöntem, MATLAB e yazıan agortma e sürek z eksen üzernde düzem detrerek, parae düzemer üzernde hareket patformun uaabece aan sınırarının berenmes kesne dayanır. Her düzem çn buunan erern bretrmes e de çaıma uzayı berenm our [10]. ek-5 de, bu proje kapsamında üreten hegzapod çn hesapanan çaıma uzayı görümektedr. Yanız, bu adımda çaıma uzayının sınırı oarak robotun haa hareket edebd son konumarın aındıı, yan hçbr aktüatörün kt konuma getrmed göz önünde buundurumaıdır. Çaıma uzayının buunmasında kuanıan kısıtamaar, 398

5 Güner, Sarıgü ve Karagüe, UMTS2007, C:2, L mn p b L L cos cos L 1 1 maks. R n. n b p bmaks pmaks (3) (4) (5) bçmndedr. Burada L mn mnmum uzuv boyu, L maks maksmum uzuv boyu, pmaks ve bmaks se sırasıya hareket patform ve taban patformu çn kürese mafsaarın maksmum dönme açıarıdır. Ayrıca, n p ve n b sırası e hareket ve sabt patformun koordnat sstemernde, mafsa dorutusu üzerndek brm vektörerdr (ek 6, 7). ek 6 Kürese Mafsa Dönme Açısı n b b p ek 7 Kürese Mafsa Dönme Açıarı ve Mafsa Dorutuarındak Brm Vektörer 5. AKTÜATÖR KUVVETLER n Çaıma uzayı programı e buunan aanın sınır ers üzerndek noktaarının kaydedd dosya, VsuaNASTRAN 4D e outuruan gerçek boyutu modedek hareket patformun merkezne ön tanımı hareket grds oarak verr. Aktüatörer çn p programda kuvvet, yerdetrme, hız ve uzunuk omak üzere dört çet kısıtama vardır. Bunardan kuvvet seçr ve aktüatör üzerndek kuvveter bu aamada sıfır oarak tanımanır. Böyece ssteme MATLAB programında berenen yörünge zetm our. Hareket boyunca, uzuvar üzerndek yerdetrmeer öçüür ve zamana baı oarak kaydedr. Sonra, hareket patform çn veren ön tanımı hareket kadırıır. Aktüatörer çn kuvvet kısıtaması yerne yerdetrme kısıtaması seçr ve daha öncek anazden ede eden zamana baı yerdetrme dosyaarı sstemn grds our. Sstem çaıtırıdıında yne aynı yörüngey zer ve bu aamada aktüatör üzerndek kuvveter okunarak kuvvet-zaman grafker ede edr. 6. SONUÇLAR Çaıma uzayı ve aktüatör kuvveternn buunmasında zenen yöntem, hareket patform üzerndek mafsa konumarının be farkı deer çn tekrar edmtr. Bunarın sonucunda, z=257,63mm düzemndek çaıma bögesnnn sınır erer çzdrp, Green teorem kuanıarak yüzey aanarı hesapanmıtır. Ayrıca bu yörüngeer zenrken, hareketn devam ett 360 sanye süresnce 0,5 sanye zaman araıkarı e kuvvet deerer smüasyondan kaydederek grafker çzdrmtr. Anazerde kuanıan mafsa açıarı p = 20, 25, 30, 36 ve 44 omaka beraber bu projede, hegzapodun hareket patform mafsa açısı 30 oarak tasaranmı ve bu öçüye uygun oarak üretmtr. Yapıan tüm anazerde taban patformundak mafsa açıarı b =15 oarak sabt tutumutur. ek-8-10 (a) da, üç farkı mafsa açısı çn (25, 30, 36 ) MATLAB programından ede eden, z=257,63mm düzemndek aan sınır erer vermtr. ek-8-10 (b) dek grafkerde se bu yörüngeern takb e örnek oarak seçen motor1 üzernde ede eden aktüatör kuvveternn zamana baı dem görümektedr. 399

6 Güner, Sarıgü ve Karagüe, UMTS2007, C:2, ek 8 (a) Mafsa Açısı 25 çn Çaıma Aanı (b) Bu Yörüngey zerken Motor1 Üzerndek Kuvvet Dem ek 9 (a) Mafsa Açısı 30 çn Çaıma Aanı (b) Bu Yörüngey zerken Motor1 Üzerndek Kuvvet Dem ek 10 (a) Mafsa Açısı 36 çn Çaıma Aanı (b) Bu Yörüngey zerken Motor1 Uzerndek Kuvvet Dem 400

7 Güner, Sarıgü ve Karagüe, UMTS2007, C:2, ek 8-10(a) mafsa açısı demnn, hareket patformun merkeznn berten düzemdek çaıma aanının yörünge bçmn çok detrmedn göstermektedr. ek 8-10(b) kuvvetn zamana göre demnn her mafsa açı deer çn benzer oduunu göstermektedr. Ancak bu karakterstk motordan motora demektedr. Ayrıca açıara göre kuvvet deerer de demektedr. ek-11 de tüm aktüatörer göz önünde buunduruarak be farkı mafsa konumu çn ede eden maksmum kuvvet dem göstermtr. Hareket boyunca her br motor çn smuasyon programından ede eden atı adet aktüatör kuvvet karıatırıarak, çernden en büyüü dkkate aınmı, grafk buna göre outurumutur. Sınır ers üzerndek bu hareketer sırasında motorarda herhang br ktenme omamaktadır. ek-12 de se çaıma aanı dem göstermtr. Burada kendrmek stenen üç deken arasında br enyetrme çaımasının gerek ortaya çıkmaktadır. ek-11 Farkı Mafsa Açıarı çn Buunan Maksmum Kuvveter ek 12 de görüdüü gb, hareket patformdak mafsa açısı küçüerek, taban patformundak mafsa açısının deerne yakatıkça çaıma aanı artmaktadır. Hareket patformun merkezne her mafsa açısı çn aynı yörüngeer zetrse, k patformun açı deerer brbrne yakatıkça kuvvetern de küçüece açıktır. Ancak, hem çaıma uzayı, hem de kuvveter açısından en uygun tasarımın aranması neden e ssteme her açı deer çn aynı düzemde uaıabecek bögenn sınırarı zetr. Böyece çaıma uzayı sınırarındak mafsa konumarının etks nceenm our. ek-12 Farkı Mafsa Açıarı çn Yörünge Erer çnde Kaan Aanar Çaıma aanının, açıar brbrne yakatıkça sahp oduu artıın, açıar arasındak fark azadıkça azadıı görüür. Buna karıık, en büyük çaıma aanına sahp tasarımda kuvveter de en büyüktür. Çaıma aanındak artıın sabt ya da azaan br hızda omasına karın, kuvveterdek artı gderek artan br hıza devam etmektedr. Bu nedene, der dekener sabt tutuduunda p =25 açısından daha küçük mafsa açıarının kuanımının uygun omadıı söyenebr. Açı daha küçüdüünde, çaıma aanından kazanç çok az omasına ramen, kuvveter çok faza büyümektedr. Ayrıca hareket patformun aırıı dıında br yük uyguanması ya da farkı hareket grder kuanıması durumunda aktüatör kuvveternn daha da büyüyebece göz önünde buundurumaıdır. Bu nedene, hegzapodun kuanıacaı uyguamaar dkkate aındıında, çaıma uzayındak en küçük artı be önem se, tabandak mafsa açıarına yakın açıar seçerek daha güçü motorar kuanıabr. Der yandan, sahp ounan motorar güçsüzse ve çaıma aanı büyüküünün br önem yok se, küçük aktüatör kuvveter outuracak ekde patform mafsa açısı büyük seçebr. Tüm bu sonuçar, üreten robotta kuanıan p =30 mafsa açısının hem aktüatörer üzerndek kuvveter, hem de çaıma 401

8 Güner, Sarıgü ve Karagüe, UMTS2007, C:2, aanının gen açısından y br seçm oduunu göstermektedr. 7. TARTIMA Br Stewart patformunda, mafsa konumu, çaıma uzayı ve aktüatör kuvvet arasındak baıntıyı nceeyen bu çaımada, VsuaNASTRAN 4D programı e sadece mafsa konumarı farkı oan be ayrı mode hazıranmı ve bu konumarın etks karıatırmaı oarak aratırımıtır. Buna göre farkı mafsa açısı deerernn brbrerne göre zayıfıkarı ve üstünüker tespt edm, bu bger ııında üreten robotta kuanıan açının uygunuu göstermtr. Çaıma uzayının hesapanması çn getren bgsayar programı, ters knematk anatk denkemern çözümern gerçeketrmektedr. Aktüatör kuvveternn buunmasında se anatk denkemer odukça karmaıktır ve aktüatör küteernn göz ardı edmes gb çet kabuer de gerektrmektedr. Bu nedene, gerçek sstemdek kuvvetere en yakın deerern ede edebmes çn br smüasyon programı kuanıarak sonuca gdmtr. Bu yoa sstemn dnamk anazne atı adet bacaın ve kuanıan tüm parçaarın aırıkarının etks de dah edebm, daha saıkı ve güvenr sonuçar buunmutur. Sunuan uyguamada ereme hızı düük oarak seçd çn uzuv ataeternn sonuçar üzernde etks omamıtır. Gene oarak, hareket patform ve taban patformu mafsa açıarı brbrne yakatıkça çaıma uzayı büyür ve aynı yörüngede aktüatör kuvveter küçüür. Burada se hareket patform merkezne sınır erer zetrken ouan kuvvetere bakımı ve brbrne yakın mafsa açıarının kuvvet azatıcı etksne ramen bu hareket sırasında kuvvetern büyüdüü görümütür. Bu durum, kuvveter üzernde mafsa konumarından çok yörüngenn etk oduunu göstermektedr. Bu çaıma sonucunda, çaıma uzayının sınırarındak hareketn kuvveter üzerndek etksnn, mafsa konumarının kuvveter ve çaıma uzayı üzerndek etksnden çok daha önem oduu ve bereyc ro oynadıı buunmutur. Böyece, amaca yönek enyetrme çaıması gerek ortaya çıkmıtır. DEÜ Makna Mühends Böümü nde tasaranan ve üreten hegzapod çn se uygun br mafsa açısı seçmnn yapıdıı berenmtr. Bu çaımada, gerçek br örnek outurması açısından DEÜ de getren robot ee aınmıtır. Ancak kuanıan formüasyon, bu temede getren bgsayar programı ve anazer gene özek taımaktadır. 8. TEEKKÜR Yazarar, 104M373 No u aratırma projesne verd destek çn TÜBTAK a teekkürern sunar. 9. KAYNAKLAR 1. Fchter E.F., A Stewart patform based manpuator: genera theory and practca consderatons, Internatona Journa of Robotcs Research, Ct: 5, Sayı: 2, 1986, Tsa L.W., Josh S., Knematcs and optmzaton of a spata 3-UPU parae manpuator, Journa of Mechanca Desgn, Ct: 122, Sayı: 4, 2000, Lee T.Y., Shm J.K., Forward knematcs of the genera 6-6 Stewart patform usng agebrac emnaton, Mechansm and Machne Theory, Ct: 36, 2001, Chapee F., Bdaud P., Cosed form soutons for nverse knematcs approxmaton of genera 6R manpuators, Mechansm and Machne Theory, Ct: 39, Sayı: 3, 2004, Karık B., Aydın S., An mproved approach to the souton of nverse knematcs probems for robot manpuators, Engneerng Appcatons of Artfca Integence, Ct: 13, 2000, Gaardo J., Rco J.M., Frso A., Checcacc D, Bergamasco M., Dynamcs of parae manpuators by means of screw theory, Mechansm and Machne Theory, Ct: 38, 2003,

9 Güner, Sarıgü ve Karagüe, UMTS2007, C:2, Geke T., McPhee J., Inverse dynamc anayss of parae manpuators wth fu mobty, Mechansm and Machne Theory, Ct: 38, 2003, der K., Inverse dynamcs of parae manpuators n the presence of drve snguartes, Mechansm and Machne Theory, Ct: 40, 2005, X F., A comparson study on hexapods wth fxed-ength egs, Internatona Journa of Machne Toos & Manufacture, Ct: 41, 2001, Masory O., Wang J., Workspace evauaton of Stewart patforms, Advanced Robotcs, Ct: 9, Sayı: 4, 1995, Gossen C., Determnaton of a workspace of 6-DOF parae manpuators, Journa of Mechanca Desgn, Ct: 112, 1990, Cont J., Cnton C., Zhang G., Waverng A., Workspace varaton of a hexapod machne too, NISTIR 6135, Natona Insttute of Standards and Technoogy, Gathersburg, MD, Wang Z., Wang Z., Lu W., Le Y., A study on workspace, boundary workspace anayss and workpece postonng for parae machne toos, Mechansm and Machne Theory, Ct: 36, 2001, Meret J.P., Gossen C.M., Mouy N., Workspace of panar parae manpuators, Mechansm and Machne Theory, Ct: 33, Sayı: 1/2, 1998, Tsa. L.W., Robot Anayss (The Mechancs of Sera and Parae Manpuators), John Wey & Sons Inc., New York,