ÖZDEGERlÖZVEKTÖR ANALIzI ILE

Transkript

1 ÖZDEGERlÖZVEKTÖR ANALIzI ILE FIzIKSEL MDEL INDIRGENMESI A. YURDUN RBAK Ulu(.l3g Unverstes MÜhendslk-Mmarlk FakÜltes EndÜstr MÜhendslg BölÜm Bursa ()rba Mya L!7l./lI. ed zct Akcdemde ve enelistrde eldek tüm sstemn verlen br özdegern ta nmlayan sstem parçaekarn veya blesenlern belrlemek Öneml br knudur. Bu belrlemenn y br seklde ve belrl admlmla Yplln1JSl hem sstemn tekrm tasarmnda ve hem de mdel ndrgenmes gb prblemlerde büyük klaylklar saglamaktadr. Bu bldrde br ser teremn yardmyla yukarda açklanan be rlemey gerçeklest recek özdeger/özvektör ana z n kullanan b r yön ten gösterlecek ve mdel ndrgenmes prblemne katks slenecektr. Islemler ve yöntem yksek verm almak çn bnd çzge metdu le yaplmstr. 1. Grs Fzksel sistem blesenler ve sstemn dnamk davrans ar,smb lsk kurablme sn zamanlarda gündemde lan öneml br knudur. Br lsklendrme yaplabldgnde, hem sstemn dnamk davrans parametrelernn uygun seçmyle stenlen seklde degstrleblmekte ve hem de sstem kullanc tarafndan daha y analz edleblmektedr. Bu sayede sstem tasan11l ve mdel ndrgenmes gb öneml prblemlere yen br baks açs getrleblmektedr. Yukarda belrtlen lsknn kurulablmes prblemnn klaylkla çözlleemesnn belkde en öneml neden prblemn matemetksel larak çk zr lmasdr. Gerçektende altnc ve daha yüksek meebeden sstemlern özdegerlern parametrelernn analtk br fnksynu larak yazablmek terk larak mkanszdr. Bunun yansra duyurllk analzi, köklern gemetrk yer teknkler gblgl yöntemler lteratürde mevcuttur. Ancak bu yöntemlern de baz prblemler vardr. Ömegn duyarllk analzler sadece küçük degsmlern ncelencblmesn saglarlar [Decarl 1981]. Öte yandan köklern gemetrk yer yöntemler sadece verlen br sstem parçacgn önemnn belrlenmesne yardmc lurlar ve sstemn özdegerne lan blesen etksn belrleyemezler [Rbertsn 1997]. Sn zamanlarda yaplan arastmmlarda sstemn bnd çzge yöntem [Kanpp 990] kullanlarak ndel-özdeger lsks çkarlms ve bu yöntem le mdel ndrgenmes ve t<sarm prblemler fzksel aland:! 1,'()/lCYC ç:1lslmstr[huang 1997, rbak 19CJR, rbak 2001].

2 Bu bldrde. yne bnd çzg: yöntemnn Ö7ellkkrnde ve Öc1eger/Ö\'ektÖr 0yrl~llrmsncl0 f3ydal~ni10rak, sstemn verlen br özelegere ek elmeye sstem ble~cnlcrnn bulun;s ve bu yötemle mdel drgcllilesnn prenspler :\çkl:<cklr 2. Özdegere Etk Eden Blesenlern Belrlenmes Bu bölümde LT br sstemn verlen br özdegerne etk eden sstcm blesenlernn bulunms çn gerekl tepremler ve yöntemler 8çk];:naccktr. Bu bldrde blesenn "etk etmemes", blesenn rastgele pztf deger çn Özdegern says3] degernn degsmemes Z1nL1l11lnt3sm,k,clr Fzksel 018rak se, blesenn etk etmemes, blesen deger sfr alnablecegnden, blesenn özdegere etk etmeden sstemden k<ldrlablnes <nann [(snaktadr Bu bölümde önce enerj brktrmc elemm13rnn etksn gösteren k tere verlecek ve dcha sn 1':1 da enej d<gtc elemml8rn etks br baska teremle açklanac8ktr. Sn brzlk b br Özclegcre etk etmeyen ble~enjcrn bulunabdmes çn br yöntemn admlar verlecektr [Ye 2000]. Bu bldrde, bagnsz atalet/sga elem<nlzlrnn genellestrlm) mmentun/genellestrlns yerdegst1ll1eler durum degskenler larck seçlecektr. Bundan snnk bölümlerde sstemdek bagmsz enerj brktrme eleman says ll, ve sstemn durum vektörü x=[x"...,xjr larak belrt lecektl 2.1. LTI Sstemn Durum Uzay GösterIn Bu bölümde LTl br sstemn durum uzay göstermn blnen jzksel br ylu kls3cj açklanacaktr [Rsenberg 197 I]. fzksel sstemlerdek elemanlarn b~slcal3rl at:let (I), sga (C) ve dagtc (R)'dL Br LT sstem, parametrelern ve yapsn belrten çestl matrslerle belrtleblr. Blesenlern parameterler k matrs le verlr, bu18rdan br S le fade edlen ve enerj brktrme elemanlarnn p3rametrelern çeren matrstl z =Sx le belrtll Burda.\' 'nc bagmsz enerj brktllle elenalyl8 lgl lan genellestr Ims mmentn/yer degstme, ve :: ayn elemann nedense! çks lan akm/çab8'dll B.'tn b<gisiz enej brktrme elem<nlar br grsl l<n LT sstemlerde S dagnaldr ve dg[.\'i,...,sj bçmnde f<de edlr. Burada.'>; cej brktre elemannn paraeteresdl Özellkle, eger 'Inc enerj brktrme ekmn sg< (vey~ lltalet) se 1 k '1 s. =- (veya kars l IIdl lamk s =-) ara ver r. C ' J. Dger blesen parametreler matrs L, d, = Ld~ larak verlr ve enej dagtc ekmnlarn parametresn çerr. Burada d~, ve 11(; sr3sylaj'nc ene~ dagtc elemannn nedensel grs ve çksn t8jl13akt8c1r. III tcne br grsl enerj dagtc eleman l,m br LT sstem çn L dagnaldr ve dg[/i,'.''iii] bçmndedr. Özellkle,j'nc enej dagtc eleman nedensel.grs larak aks ve nedense! çks larck ç8ba alyrsa L = R dl Ayn seklde j'nc eej dagtc.. c elem8n nedensel grs larak çaba ve nedensel çks larak aks alyrsa j = ~ r.. Bu blglerden snra sstemn yaps (J~agd(k matrslerle verleblr:.' j

3 ~ Jss enerj brktrme ekn::nlarnn çkl~lar ve grsler arasndek b3g13ntlyl verr. J S. enerj brktillle ecn~l13rnn grsler le' enerj dagtc elemanlarn çkl~13r <rasndak baglanty verr. J L\~ene~ brktrme elemanlzlrnn çkslr le enerj dzlgltcl elemanlarn gr~ler arasndzlk baglzlntyl verr (bu t::nma göre J LS = -J:L yazlableceg açktr).. J u enej dagtc elem3nl3rn grsler ve çkslar arasndak baglanty verr.. J"u sstemn grsler II le kayn3klarn grsler ar3smdak baglanty verr. cl Ve sn 0lar3k J LL sstemn grsler II le enerj dagtc elemanlarn grsler arasndak baglanty] verr. Bu matrsler le su denklemler Y8Zllabl r [Rsenberg 97 1]: x =.J ss z + J SL c <1<11 + J sc II ( ) (2) Sstemn durum uzay denklemler x = Ax + Bu 'dur ve () ve (2) yardmyla A ve B matrslcr ~u seklde hesaplanr: Lt A = [J ss + J Sf. L( - J LL J f.s ~ JS (3) B = J Sl + J Sf. L( - J I.L L) d J LU (4) Bu fzksel temell durum uzay göstermnele özellkle (3) le fade eellen A matrsmn yapsnn çestl hesaplamalarda klaylklar saglayacag açktr. ÇÜnkÜ sstem. parametereler çeren S natrs ve sstem blesenlernn brbrler le baglanmalarn fade eden J matrs brbrleryle çarplarak A matrs lusturmaktadr. Snrak alt böi'ümde bu özellk kullanlarak br ser terem verlecektr Teremler Bu alt bölümde enerj brktrme ve enej dagtm elemanlarnn özdegerlere etksn gösteren terenler verlecektr [Ye 2000]. Terem 1 j'nc mdun (özdegern) sag özvektörününsfr blesenlerne karslk gelen enerji brktnne elemanlar 'nc özdegere etk etmezler. Terem 2 ' nc mdun sl özvektörün'ln s rr b Icsenlerne karslk gelen ene] brktrme elemanlar j'nc özdegere etk etmezler. T.erem 3 Br cncj d(1gtma elemannn nedensel grsler {'nc özdegere etk etmeyen enerj?rktne elem8nlarnn br dgnsal kmbasynu seklnde se, ccrj d8gltlllll eleman 'c zdegere etk etmez, YUkcrd:k [creler SJ1:111:lrl.\,tl'sn Y~\J1lsll~(Ly~,k(;dr ve [Ye 20(0)'ck buluablr.

4 Smd yukardak teremlern yardmyla b' özdegcre etk etmeyen blesenlern bulunmas amacyla br yöntem 8çklamcaktlL 2.3. Yöntem Öncek alt bölümde verlen Üç tereill! y~mry,1 br özdegere etk etmeyen blesenlern buunabl~les çn br yöntem as3gd8k gb Ylllablr [Ye 2000]:. Özdeger A; le lgl lan sag ve sl özvektörler elde edlr. 2. Sag ve sl özvektörlern sfr blesenlerne karslk gckn enej brktrme elenanl~r bel rlen r. 3. Grsler knc admda bull1~lll enej brktrme elemanlarnn çkslarnn dgns31 kmbnasynu lan enej dagtc elemanlar belrlenr. Bu belrleme su Hra admlarla yaplablr: 3.1. Her br enej dagtc eleman çn çksndan tbaren her br dal br enej brktrme elemanna veya kaynaga ulasncaya kadar nedensel yl zlenr Eger nedensel ylun dallar le ulaslan her enej brktme eleman sag veya sl özvektörün sfr blesenlerne karslk gelyrsa, enej dagtc elemann grs bu enerj brktrme elemanlarnn dgrusal br kmbnasynudur. 4. Iknc ve üçüncü admdak elemanlar tplanr. Bu elemanlar verlen A; özdegerne etk etmezler. 3. Mdel Indrgenmes Öncek bölümde verlen yöntem asagdak gb gelstrlerek mdel ndrgenmesnde, özellkle fzksel mdel ndrgenmes yöntemnn [rbak 200 ] dgrudan kullanlamayacag. e~ parametre, e~ yerel döngü kazançlar gb durumlarda etkn br bçmde kullanlab.lr: 1. Öncelkle verlen veya seçlen br özdegere etk etmeyen blesenler bulunur. 2. Bulunan blesenler tplanrken bu blesenlerle sstemn ene~j brktrme elemanlar arasmda nedensel br yllup lmadgnn bnkll 3. Aralarnda nedense! br yl lnn elemanlar fzksel mdel ndrgee metdu da gaz önüne alnarak [rbak 200 I] br sstem parçacgna knulur. 4. Sstemn grs de gözönüne alnarak kalntlar hesaplnnr. Mutlak deger en yüksek lan (çk grsl - çk çksl sstemlerde herhang br narn kullanlablr) kaltlara karslk gelen özdegerler verlen grs <,:nsstemn en çk uyar lan ve dlnysyla en öneml lan özdegerlerdr. S. Bu özdegere karslk gelen sstem parçacg ndrgenms mdel lar3k seçlr. Dkkat edlecek lursa, bu bldrde verlen teremler le özellkle pm~1l1eter degerler btyüklt'lk larak brbrne yakn veya ayn lan sstemlerde en uygun fzksel ndrgenms mdel elde edleblr. Snrak bölümde bu mdel ndrgcme yöntem br fzksel ssteme uyganac~ktr. 32

5 ~,. 4. Örnek Bu bölümde Öncek bölilerde verlen yöntemler açklayc br öek verlecektr. Sekl 'ckk mekank sstem ve verlen nuncmlclndrlms bnd çzgesn (Sekl 2) gznune Dlalm [r~ak 1998]. Bu bldrde bezetn parametreler çn su degerler alnmstr:- /V N Ns Ns!71 = /L =] kg, k = k.; = - k = S - h = b, = b = 1 l7l IJ) 171 l7l F SeklBr LT sstem. J: Ill J:nh Sekl 2 LT sstemn numaralandnms bnd çzges. Bu LT sstemn durum uzay denklemler bu bldrde verlen fzksel yöntem le su seklde hesapl:nab r: Enerj brktrme elemanlar 1,2,-7, -la, -12 brak ve enej dagtc elemmlar 3,6, 1 lmak nul11ar<l,lildrl!ccek lursa (- ~crd ç,ben cdesel ylundem k,yn,kl,nn,ktcclr), () \\.' (~J'k f~de edlen metrskr su seklde bulunm:

6 L cl - LI LI, ~I -I-I Ȯ()! ()CJ - l LI -1 () k; k cl cl () l, Ilh 11 u L = üj ss = (5) h] k, () (JLI ] : LI LI -I CJ, l j (6) r -] J,,{ l>' ~j J" cl: II Snuç lar8k sstenn A n~1lrs (3rdek hesaplam le /11, -k - k, 171, k, -kj A= (7) m m, 171, Larak elde ed] Ir. A matrsi, ver en pararnetre degerler le gerçek len rsc, s sten n özdegerler ve özvektörler Matl ab le asagdak gb bulunur: Özdegerler: -LI 000 ± , ± , (8) Sag özvcktörkr matrs: -.] M = IS n05 n ~ A (9) Sl Ö:vcktörler matrs: r YV = j ])~n l L ()( SM l 5M) (h - 00 )4-1.%23-04h l ('( l J() 15-\ -() ; () + A74S 0455) / () 0455l) c / ~ -. Ô S J ()..:j.:; :; L) - () K51 (I ) U (IS5 J

7 Öncek bölmerde verlen terenlere göre ~u snçl~r elele edlr: -Ll 000 ± özdeger (mdu) çn => BLtÜn elemmlar etkldr ± özdeger (mdu) çn => k, eleman etkl degldr. Bu snuçlara ve bölüm Ydek mdel ndrgenes yönteme göre sstem Sekl Ydck k sstem parçacgna ayrlablr. Burada özellkle - ± 0.c)950 özdegerne k2 elemannn etk etmemesnn belrlenmesnden snra bd çzges (zerdcn nedense! yllar le brnc sstem parçacgnn ]ll~turulmas önem tasmaktadr. Br b~~ka öneml nkta se, k mdu bulun~n bu sstem çn elde edlms bulumn bu k sstem parçacgnn sstemn par<metere degerler degstrldgnde de ayen geçerl lmasdr. Yan sstemn parametreler yada döngl kaz8nçlar brbrne ç-k YZlkn veyzl ayn ldugu dunml<mla bu bldrde verlen yöntem [rbuk 200 rde verlms lan yöntemn bu tp sstemlerde de kul~lll{sn s~gl::yacaktlr. b (a) Sstem parçacg. (b) Sstem parçacg 2. Sekl 3 LT sstemn sstem parçacklar. Bu sstemn kalntlar, kalntlarn mutlak deger ve sstem parçacklarnn özdcgerler MatlÜb le... Tabl 'dek gb hesaplanmstr. T::bl 1 'de!«lnt ncelemes yapldgnda knc sstem parçacgnn puls ve basamak grslernde etkn ldugu görüiül halde bu pmçack ndrgenms sstem larak alnacaktr. Brm bas;:nak grs çn yaplan Z,lll1an ve frebns benzetm snuçlar Sek 4 ve Sekl S'de verlmstr. Bu sekllerden görlebleccg gb, suçlar hem zaman uzaynda. ve hemde frekans uzaynda stenlen düzeydedr. Burada cevaplar DC kazanç hatas sfrbacak seklde düzeltlmstr. C kazanç lat~ls atl::n lll()dd~11l (k2 'nn duragan lwle etks) kaynaklanmaktac.lr ve düzeltlmes klaylkla yaplblr. Tabl TÜm sstemn kalntlar, bunlarn mutlak degerler, Özdegerler ve sstem p8rçackl~rnn özelegerler \:lutlak Sstem b ÖzdeTerler TÜm ± b ÖzeleGerlcr ÜÜ ± 5J852.99S0 Sstem Parçacklan

8 Basamak Cevabnn Karslastrlmas 0.8 l-.,. : Tüm sstem ndrgenms sstem 0.6 > ū> >- A J,, _! l...j. -'. 1. _ _ _. _"0' _ Zaman Sekl 4 L Tl sstemn zaman uzay benzetm. [s] u N s: '--' 50 cv c::: 10~ CV u- -50-I ~ -100 Frekans Cevabnn Karslastrlmas ~-"-'----~-"T---.,-.~_.,,,, 1,1 ---L-.&._~_...-~...J_- ""----. ",,,_~ "'---"'_'---'-'-I..._~_._..L '. J_. l. L l 10 10,.--, b) l.) ~-I N CV l., I L ~~--; ~_._T_X~-e_~~_12.~J rad/s] " '~.. ==:"-.-..:=C'.77='.==-="'=:.=... :..c ,. : :::\ :- -!Üm sstem ~..,:::::::..--:n-: :::-.-:-.:-::~. :.,..) \. -_._-~~~~~--~:~ ~-~~: ~:- ~: :~: ~~:j L Frekans [rad/s] Sekl 5 LTl sstemn frekans uzay benzetim. 5. Snuçlar Bu bldrde L Tl sstemlern verlen br özdegerne etk etmeyen blesenlernn bulunmas saglayan çestl teremler verlmstr. Bu tcremlcrn snuçlar ve bnd çzge yöntemnn Kullam klaylg le mdel ndrgenmes çn gelstrlms br yöntemn admlar verlmstr. Yötemde 36

9 özdeger/özvektör analz..yapldktan snra bnd çzges (ernden ayrst;) yaplmakta, daha snra sstemn parçacklar elde edlmekte ve kalnt1arel<l gelen blg de kullanl;:r,k sstemn verlen br grs çn en uygun ndrgenms mc\el bulunm,ktadr. Sstem parametreler yada döngr kazançlar brbrne çk yakn veya ayn 13n mdellerde, lteratrde verlms 13n flzksel mdel ndrgeme YQntemlernn bu bldrde verlen yöntem le brlkte y snuç vereceg belrtlmstr.' Bldrde sn 'larak bu yöntem br örnek Üzerne uygulanmstr. KAYNAKLAR [I] ecarl R. ve S<eks R. ll{e!"u)//ccred DYIIGl71cl.~l'S{(,I7lS Mareel Dekker Ine., New Yrk, [2] Huang S.-Y. ve Yuccf-TllI11 K. StrLlctura! analys:; fa' mdelng and desgn f mllltenergy dman dynac systems. Prccedg.\' 0(111(' fee/s/vie l{emaricl! Cterece 011 AdvClIIU!d I{ellge{ Meclw{/"cs, /IIM97, Hazran [3] Karnpp D. c., Margl s D. L. ve Rscnberg R. C. SI'srerl ()\ 'IIII c s. A Ufed AjJjJ/'{)(fcl1. Secd Ed{ll. Jhn Wley & Sns, [ne. New Yrk, Chchester, Brsbane, Trntü, Sng<pre, [4] rbak A. Y. Fzksel sstem mdellernn bnd çzge yöntem le ndrgenmes. tmatk Kntrl TÜrk Mll Kmtes, TK2001 Bldrler Ktab, sayfa 69-74, Bursa, ~':kl [5] rbak A. Y. Physc~1 dman mdel reductn fr desgn ~nd cntrl f engneerng systems. Mech. E. tez, Massachsetts Insttute f Technlgy, Makna MÜhendslg BölÜmÜ, Hazran [6] Rbertsn G. ve Canern 1. Analyss f dymmc prcess ndels fr stnetma] nsght and mdel reductn-part. Structral dentfcatn measures. Cmputers Chemcl Engneerng, clt 2 I, n. 5, sayfa , [7] Rsenberg R. State-space [n11lllatn fr bnd graph mdels f ultprt systems. AS/vIE Jurnal fdynclmc Systems, MeClSUrel7len{ and Cn{rl, Mart [8] Ye Y. ve Y ucef- Tum K. Subsysten 's nfence n a systen egenva[ue. Prceeclngs f {he EEE Sutheastcn 2000, Nashvlle, TN, sayfa , 7-9 Nsan 2000.