ÖZET. Yüksek Lisans Tezi. Cemal Özer YİĞİT. Selçuk Üniversitesi. Fen Bilimleri Enstitüsü. Jeodezi ve Fotogrametri Anabilim Dalı

Transkript

1 ÖZET Yüksek Lsns Tez Elpsodl Yükseklklern Ortometrk Yükseklğe Dönüşümünde Kullnıln Enterpolson Yöntemlernn Krşılştırılmsı Ceml Özer YİĞİT Selçuk Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Jeodez ve Fotogrmetr Anblm Dlı Dnışmn: Prof Dr Cevt İNAL 3, 3 sf Jür:Prof Dr Mehmet YERCİ Prof Dr Cevt İNAL Yrd Doç Dr Özşen ÇORUMLUOĞLU GPS gözlemlerle noktlrın WGS84 dtumund elpsodl ükseklkler elde edlr Prtk hrtcılıkt se ortometrk ükseklkler kullnılır Elpsodl ükseklklerden ortometrk ükseklklere geçş jeot ondülsonunun blnmesn gerektrr Bu mçl, GPS/Nvelmn öntemle jeot ondülsonlrı belrlenmş değşk üç test bölgesnde, rnoktlrın ondülson değerlernn belrlenmesnde ğırlıklı ortlm, polnom üzeler, multqudrtk, en küçük krelerle kollokson ve Krgng öntem ugulnmış ve öntemler krşılştırılmıştır

2 Ağırlıklı ortlm öntemnde tüm dnk noktlrı ve krtk dre olmk üzere k frklı klşım kullnılmıştır Polnom üzeler çn; lneer, qudrtk, kübk, blneer, b-qudrtk ve b-kübk üze, multqudrtk öntem çn; frklı trend modeller ve frklı geometrk prmetre ugulnmıştır Kollokson ve Krgng öntemnde trend üze qudrtk seçlmştr Krgng öntem çn; teork vrogrm lşkn blnmeen prmetrelern çözümünde k frklı klşım düşünülmüştür Ugulm küresel, üssel ve Gussn modellerne dlı olrk gerçekleştrlmştr Yöntemlern bölgee ugunluğu test noktlrı le noktsl nlmd belrlenmştr Test bölgelernde ugulnn beş frklı enterpolson öntem ve her brnn lt vrsonlrı çn pıln ugulm sonuçlrın göre; üzen enterpolson modelnn seçmnde etkl olduğu ve genel olrk multqudrtk ve Krgng öntemlernn jeot ondülsonlrının enterpolsonund benzer sonuçlr verdğ görülmüştür Anhtr Kelmeler: Jeot, Elpsodl ükseklk, Ortometrk ükseklk, Ağırlıklı ortlm, Polnom üzeler, Multqudrtk, Kollokson, Krgng, Denesel vrogrm, Vrogrm modeller

3 ABSTRACT Msters Thess The Comprson of The Interpolton Methods Used n Trnsformton of Ellpsodl Heghts to Orthometrc Heghts Ceml Özer YİĞİT Selcuk Unverst Grdute School of Nturl nd Appled Scences Deprtment of Geodes nd Photogrmmetr Supervsor: Prof Dr Cevt İNAL 3, 3 Pge Jur: Prof Dr Mehmet YERCİ Prof Dr Cevt İNAL Assoc Prof Dr Özşen ÇORUMLUOĞLU Ellpsodl heghts of the ponts re obtned n WGS84 dtum b GPS In prctcl surveng mssons, orthometrc heghts re used Geod undultons must be known to trnsform ellpsodl heghts to orthometrc one For ths reson, geod undultons for nterpolton ponts n the three test res wth some reference ponts, whch ther geod undultons were known, were computed b usng nvers dstnce weghted methods, polnoml surfce, multqudrtc methods, lest squre collocton nd

4 Krgng nterpolton methods nd then the results were then compred wth respect to these nterpolton technques For the nvers dstnce weghted method, two dfferent pproches were used s ll control ponts nd serch crcle lner, qudrtc, cubc, b-lner, b-qudrtc nd bcubc models for polnoml surfces nd dfferent trend models, nd dfferent geometrc prmeter for multqudrtc methods were held on In the collocton nd Krgng methods, trend surfce ws choosen qudrtc for Krgng method two dfferent pproches were consdered n soluton of the unknown prmeters correspondng to the theoretcl vrogrm Applcton ws mde bsed on sphercl, eponentl nd Gussn models The vlblt of methods were determned b test ponts Accordng to the used fve dfferent enterpolton methods nd results whch re mde for the subvrtons of ech methods, t s shown tht surfce s effcent n the selecton of enterpolton method nd usull multqudrtc nd Krgng methods re gven smlr results n the enterpolton of geod ondulton Ke Words: Geod, Ellpsodl heght, Orthometrc heght, Invers dstnce weghted Methods, Polnoml surfce, Multqudrc methods, Lest squres collocton, Krgng, Epermentl vrogrm, Vrogrm models v

5 TEŞEKKÜR Bu tezn hzırlnmsı süresnce blmsel tecrübelern ktrn, ol gösteren çok kımetl dnışmnım Prof Dr Cevt İNAL, lsns ve üksek lsns öğrenmm bounc blglern ktrn ve üzermde emeğ oln tüm sgıdeğer hoclrım, nı çtı ltınd çlıştığım meslektşlrım; knc test bölges ölçülern pn ArşGör İsml ŞANLIOĞLU n, kollokson çözümlemes çn C++ kodlrı zn Dr Adın ÜSTÜN e teşekkürü br borç blrm Son olrkt, mdd-mnev desteğn hç br zmn eksk etmeen brck nnem, bbm, ğbem ve kız krdeşme teşekkür ederm v

6 İÇİNDEKİLER GİRİŞ YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ 3 Yükseklk ve Düşe Dtum Kvrmı3 Jeopotnsel Yükseklk 4 3 Dnmk Yükseklkler6 4 Ortometrk Yükseklk 7 5 Norml Yükseklk 9 6 Elpsodl Yükseklk 3 JEOİT KAVRAMI VE BELİRLEME YÖNTEMLERİ 3 3 Genel Tnımlr3 3 Jeot Belrleme Yöntemler3 3 Globl jeot belrleme modeller5 3 Bölgesel jeot belrleme modeller6 3 Grvmetrk öntemler le jeot ükseklğ belrleme6 33 Astrojeodezk öntem le jeot ükseklğ belrleme7 34 GPS/Nvelmn öntemle jeot belrleme 9 4 ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİ 4 Ağırlıklı Ortlm Yöntem İle Enterpolson 4 Polnom Yüzelerle Enterpolson7 4 Ortogonl polnomlrl enterpolson 8 v

7 4 Lneer üze; 3 4 Qudrtk üze3 43 Kübk üze3 4 Ortogonl olmn polnomlrl enterpolson 33 4 B-lneer üze 35 4 B-qudrtk üze36 43 B-kübk üze En ugun üze polnomun belrlenmes38 43 Model test38 43 Prmetreler çn nlmlılık test Düzeltmelern test edlmes39 44 Mtrs Kondsonu ve Gderlme Yöntemler4 43 Multqudrtk Fonkson Metodu:4 44 En Küçük Kreler Yöntemne Göre Predkson ve Kollokson45 44 Kolloksonun mtemtk model ve temel kvrmlr Snllere t kovrns fonksonlrı ve prmetreler 5 45 Krgng Enterpolson Teknğ53 45 Semvrns hesbı ve denesel vrogrm modelnn oluşturulmsı Teork vrogrm model Krgng öntem6 v

8 454 Ordnr(Punctul krgng öntem Unversl krgng öntem Vrogrm fonksonunun mtemtksel özellkler Krgng öntemle kestrmn özellkler68 5 SAYISAL UYGULAMA7 5 Çlışmnın Amcı 7 5 Mterl ve Metot 7 5 Golden softwre Surfer 8 progrmı 7 53 Test Bölgeler ve Sısl Ugulm 7 53 Test bölges ve ugulmlrı7 53 Ağırlıklı ortlm öntem le enterpolson7 53 Polnom üzeler le enterpolson ugulmlrı Multqudrtk enterpolson ugulmlrı En küçük krelerle kollokson ugulmlrı Krgng enterpolson teknğ ugulmlrı8 53 Test bölges ve ugulmlrı84 53 Ağırlıklı ortlm öntem le enterpolson84 53 Polnom üzeler le enterpolson ugulmlrı Multqudrtk enterpolson ugulmlrı En küçük krelerle kollokson ugulmlrı Krgng enterpolson teknğ ugulmlrı9 v

9 533 Test bölges 3 ve ugulmlrı Ağırlıklı ortlm öntem le enterpolson Polnom üzeler le enterpolson ugulmlrı Multqudrtk enterpolson ugulmlrı En küçük krelerle kollokson ugulmlrı 5335 Krgng enterpolson teknğ ugulmlrı 54 Test Bölgelernde Elde Edlen Sonuçlrın Krşılştırılmsı 5 54 Test bölges sonuçlrının krşılştırmsı 5 54 Test bölges sonuçlrının krşılştırmsı Test bölges sonuçlrının krşılştırmsı 7 6 SONUÇLAR9 7 KAYNAKLAR EKLER 7 EK- Test Bölgelerne At Konum, Yükseklk Blgler ve Şekller8 Ek- Teork Vrogrm Modellerne t Grfkler7

10 ŞEKİL LİSTESİ Şekl Jeopotnsel ükseklkler5 Şekl Ortometrk, norml ve elpsodl ükseklkler, jeot ondülsonu ve ükseklk nmols Şekl 3 Elpsodl ükseklk Şekl 4 Ortometrk ve elpsodl ükseklk rsındk lşk Şekl 3 : Astrojeodezk çekül spmsı 7 Şekl 3 Jeotde dfernsel değşm 8 Şekl 33 Çekül eğrs ve elpsot norml rsındk uzunluk frkı Sekl 4 Ağırlıklı ortlmd dnk ve enterpolson noktlrı3 Şekl 4 Frklı k değerlerne göre ğırlık uzklık lşks (Ters ğırlık5 Şekl 43 Frklı k değerlerne göre ğırlık uzklık lşks (Guss5 Şekl 44 Krtk dre ve krtk dkdörgen 6 Şekl 45 Delun üçgenlemes ve ğırlıklı ortlm 7 Şekl 46 Üstten lt doğru sırsıl lneer, qudrtk, kübk ve orjnl üzeler9 Şekl 47 Üstten lt doğru, b-lneer, b-qudrtk, b-kübk ve orjnl üzeler34 Şekl 48 : Kollokson ve prmetreler46 Şekl 49 : Kollokson problem ve mç 49 Şekl 4: Örnek br kovrns fonksonu53 Şekl 4 : X,Y koordnt düzlemnde düzgün dğılımlı noktlr kümes56 Şekl 4: Denesel vrogrm oluşumu 57

11 Şekl 43: Yön bğımlı vrogrm hesplmd kullnıln çı ve mesfe tolernsı 57 Şekl 44 : Rstgele dğılımlı br nokt kümes58 Şekl 45 Denesel vrogrm ve prmetreler6 Şekl 46: Örnek br vrogrm model ve prmetreler 6 Şekl 5 Denesel kovrns model ( test bölges 79 Şekl 5 Denesel vrogrm model(test bölges8 Şekl 53 Denesel kovrns model ( test bölges 9 Şekl 54 Denesel vrogrm model ( test bölges 9 Şekl 55 Denesel kovrns model (3 test bölges Şekl 56 Denesel vrogrm model (3 test bölges 3 Şekl 57 Test bölgesnde KOH göre krşılştırm6 Şekl 58 Test bölgesnde KOH göre krşılştırm7 Şekl 59 3Test bölgesnde KOH göre krşılştırm8 Şekl Ek Test Bölges dnk ve kontrol noktlrı 4 Şekl Ek Test Bölges dnk ve kontrol noktlrı 5 Şekl Ek 3 Test Bölges 3 dnk ve kontrol noktlrı 6 Şekl Ek Küresel vrogrm7 Şekl Ek Üssel vrogrm7 Şekl Ek 3 Gussn vrogrm8 Şekl Ek 4 Qudrtk vrogrm 8 Şekl Ek 5 Rtonl Qudrtk vrogrm 9

12 Şekl Ek 6 Logrtmk vrogrm 9 Şekl Ek 7 Power (<h< vrogrm 3 Şekl Ek 8 Power (<h< vrogrm 3 Şekl Ek 9 Kübk (<h< vrogrm 3 Şekl Ek Lneer vrogrm3

13 ÇİZELGE LİSTESİ Çzelge3 Jeot belrlemede ver knklrı, gözlem büüklükler (Üstün 4 Çzelge 4 Çeştl kovrns fonksonlrı 5 Çzelge 4:Çeştl vrogrm modeller 6 Çzelge 5 Ağırlıklı ortlm sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı 73 Çzelge 5 Ağırlıklı ortlm le enterpolson sonucu bulunn sttstksel değerler 74 Çzelge 53 Polnomlrl enterpolson sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı75 Çzelge 54 Polnomlrl enterpolson sonucu elde edlen sttstksel bulgulr76 Çzelge 55 Multqudrtk enterpolson sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı77 Çzelge 56 Multqudrtk enterpolson sonucu bulunn sttstksel değerler 78 Çzelge 57 Denesel kovrns modelne t verler78 Çzelge 58 Hrvonen fonksonun göre kollokson sonucu kontrol noktlrınınd bulunn ht mktrlrı 8 Çzelge 59 Denesel vrogrm modelne t verler8 Çzelge 5 Teork vrogrm prmetreler 8 Çzelge 5 Krgng öntemle enterpolson sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı83 Çzelge 5 Kontrol noktlrınd elde edlen htlr göre sttstksel bulgulr84 Çzelge 53 Ağırlıklı ortlm sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı 85

14 Çzelge 54 Ağırlıklı ortlm le enterpolson sonucu bulunn sttstksel değerler86 Çzelge 55 Polnomlrl enterpolson sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı87 Çzelge 56 Polnomlrl enterpolson sonucu elde edlen sttstksel bulgulr88 Çzelge 57 Multqudrtrk enterpolson sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı89 Çzelge 58 Multqudrtk enterpolson sonucu bulunn sttstksel değerler9 Çzelge 59 Denesel kovrns modelne t verler9 Çzelge 5 Hrvonen fonksonun göre kollokson sonucu kontrol noktlrınınd bulunn ht mktrlrı 9 Çzelge 5 Denesel vrogrm modelne t verler9 Çzelge 5 Teork vrogrm prmetreler 93 Çzelge 53 Krgng öntemle enterpolson sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı94 Çzelge 54 Kontrol noktlrınd elde edlen htlr göre sttstksel bulgulr95 Çzelge 55 Ağırlıklı ortlm sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı 96 Çzelge 56 Ağırlıklı ortlm le enterpolson sonucu bulunn sttstksel değerler96 Çzelge 57 Polnomlrl enterpolson sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı98 Çzelge 58 Polnomlrl enterpolson sonucu elde edlen sttstksel bulgulr98 v

15 Çzelge 59 Multqudrtk enterpolson sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı99 Çzelge 53 Multqudrtk enterpolson sonucu bulunn sttstksel değerler Çzelge 53 Denesel kovrns modelne t verler Çzelge 53 Hrvonen fonksonun göre kollokson sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı Çzelge 533 Denesel vrogrm modelne t verler Çzelge 534 Teork vrogrm prmetreler 3 Çzelge 535 Krgng sonucu kontrol noktlrınd bulunn ht mktrlrı4 Çzelge 536 Kontrol noktlrınd elde edlen htlr göre sttstksel bulgulr4 Çzelge 537 Test bölgesne t sttstksel sonuçlr5 Çzelge 538 Test bölgesne t sttstksel sonuçlr6 Çzelge Test bölgesne t sttstksel sonuçlr7 Çzelge Ek Test bölges e t konum ve ükseklk blgler8 Çzelge Ek Test bölges e t konum ve ükseklk blgler Çzelge Ek Test bölges e t konum ve ükseklk blgler (Devmı Çzelge Ek 3 Test bölges 3 e t konum ve ükseklk blgler v

16 GİRİŞ Jeodez üç boutlu zmn değşkenl uzd çekm lnlrıd kpsmd olmk koşulu le ern ve dğer gök csmlernn şekl ve boutlrının belrlenmes le lglenen blm dlıdır Jeodez blmnde pıln jeodezk ölçülern değerlendrleblmes çn mtemtksel ve geometrk olrk tnımlnblen hesp üzelerne htç duulur Jeodezk ölçümler fzksel erüzünde pılır Fzksel erüzü homojen dğılım göstermedğ ve mtemtksel olrk tnımlnmdığı çn pıln ölçülern mtemtksel prmetre ve denklemler blnen hesp üzelerne ktrılmsı gerekmektedr Jeodezk mçlı olrk fzksel erüzünde mutlk koordntlr erne görel değerler veren ölçme ve değerlendrme teknkler kullnıldığındn dh önceden tnımlnmış br dtum göre fzksel erüzü üstünde belrl br koordnt sstemnde jeodezk ğlrın tnımlnmsı gerekmektedr Ülke ve kıt düzelernde pıln mühendslk projelernde kullnıln noktlrın nı referns sstemlernde tnımlnmış olmsı gerekldr Bu durum, ülke t ve düşe ğlrının tessn gerektrr Teknolojnn gelşmne prlel olrk hızlnn ve durlığı rtn 3 boutlu konum belrleme teknkler, berbernde ölçme ve değerlendrme öntemlern değştrmektedr Amc ugun rnn değerlern elde edlmes çn frklı klşımlr en ufuklr çmktdır GPS teknğ jeodezk ölçümlern toplnmsınd gın olrk kullnıln vzgeçlmez br rç olmuştur GPS, hesp üze olrk WGS84 referns elpsodn kullnmktdır Hrtlm çlışmlrınd ve mühendslk projelernde ükseklk olrk ortometrk ükseklkler kullnılır Ortometrk ükseklkler nvelmn le belrlenen ükseklklere ortometrk düzeltme getrlmes sonucu bulunur GPS le belrlenen ükseklkler elpsodl ükseklklerdr Bu bğlmd, elpsodl ükseklklern ortometrk ükseklklere dönüşüm problem ort çıkmktdır Bu mçl jeot ondülsonlrının blnmes gerekmektedr Jeot ondülsonlrının belrlenmesnde globl ve lokl teknkler mevcuttur

17 Bu çlışmd, lokl lnlrd GPS/Nvelmn teknğ le belrlenen jeot ondülsonlrı le blnmeen dğer r noktlrın jeot ondülsonlrının belrlenmesnde kullnıln enterpolson öntemlernn rştırılmsı ve bölgee en un öntemn belrlenmesn hedeflenmektedr

18 3 YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ Yükseklk ve Düşe Dtum Kvrmı Ülke gelşmnde ve nsnoğlunun günlük şmınd büük rhtlıklr sğln mühendslk hzmetlernn ugulm geçrlmes, svunm ve plnlm çlışmlrının ht bulmsı ükseklk blgsn gerektrr Br ülkenn 3 boutlu hrt üretmnde t kontrol noktlrının nısır düşe kontrol noktlrının olmsı gerekmektedr Türkede svunm ve klkınm mçlı ugun sıklıkt noktlrın ükseklğnn belrlenmes mcıl jeodezk çlışmlr 93 lu ıllrın sonlrınd bşlmıştır Vncek (987 e göre ükseklk, genel nlmd, br nokt le seçlen bşlngıç üze rsındk en kıs mesfedr( Ahn ve Demr 99 Demrel (987 e göre; er üzündek br noktnın ükseklğnden, o nokt le bşlngıç üze rsındk fzksel d geometrk lşk nlşılır( Üstün Yükseklk referns br koordnt sstemne 3 boutu kzndırır Genellkle düşe kontrol ğlrı t konum ğlrındn bğımsız olrk değerlendrlrler Yer üzü üzerndek ükseklklern belrlenmes ükseklk d potnseln(w br noktd(nvelmn noktsınd belrlenmesn gerektrr Genellkle bu değerler belrl br zmn perodu bounc ortlm denz üze gözlemler kullnılrk seçlr Denz Yüze Topoğrfsı(Se Surfce Topogrph, SST d kr prçlrının hreketler frklı ükseklk dtum sstemler rsınd frklılıklr ol çmktdır(arbelos ve Tschernng Dh önceler Ortlm denz üzenn br eş potnsell üze olduğun nnılırdı Fkt, bu üzeler rsınd klşık br kç metre frk olduğunu blmektez Bud denz üze topoğrfsı olrk blnr Bugün dün çpınd den dh fzl düşe dtum mevcuttur(lehmnn Düşe kontrol noktlrının ükseklğ, üksek durlıklı ölçme teknkler rdımıl tek nlmlı olrk belrlenmeldr Yükseklk frklrının ölçülmesnde en gın olrk hsss nvelmn teknğ kullnılmktdır Ugulm önelk bell br ükseklk sstemnde k temel özellk stenr

19 4 Nvelmn sonuçlrının, nvo üzelernn prlel olmmsındn knklnn ol bğımlılık etksnn ok edleblme özellğ Ölçülen ükseklk frklrının getrlen düzeltmelern küçük derecede olm özellğdr(hesknen ve Mortz 984 Bu noktlrdn ol çıkrk jeodezde br çok ükseklk sstem tnımlnmktdır Bunlrdn en önemller; Jeopotnsel ükseklk Dnmk ükseklk Ortometrk ükseklk Norml ükseklk Elpsodl ükseklk sstemlerdr(ynr 999 Jeopotnsel Yükseklk Noktlrın d noktlrdn geçen nvo üzelernn jeode göre durumlrını gösteren, jeot le bu üzeler rsındk klogl*metre brmnde fde edlen potnsel frklr fzksel nlmd br büüklüktür ve dünnın grvte potnsel le lşkldr Bu büüklüğe Jeopotnsel Büüklük (C denr(şekl Bu tnım göre jeopotnsel ükseklk; C A A A W WA dw gdh ( şeklndedr Bu eştlkte geçen; W : Jeodn potnsel W A :A noktsındn geçen nvo üzenn potnsel

20 5 dw frkı dh :Brbrne dfernsel nlmd kın k nvo üze rsındk potnsel :Dferensel nlmd ükseklk frkı g :Dferensel nlmd ükseklk frkın krşılık erüzünde ölçüleblen grvte değer C A :A noktsının jeopotnsel ükseklğ Şekl Jeopotnsel ükseklkler ( eştlğnde grvte(g nvelmn güzerghı bounc sbt kbul edlrse; A A C gdh g dh g H ( olur Bu eştlkte; g H :A noktsını grvte değer : A noktsının geometrk nvelmn le bulunn ükseklğdr

21 6 A ve B noktlrının jeopotnsel ükseklkler rsındk frk C AB ; H, nvelmnl bulunn ükseklk frkı ve g, H ükseklk frkını sınırln noktlrd ölçülen grvte değerlernn ortlmsı se, B B C C C W W gdh gh (3 B A AB A B A A şeklnde fde edlr Burdnd kotu blnen br noktdn bşlıp, bütün dğer noktlrın jeopotnsel ükseklkler, CB C A C AB C A gh (4 şeklnde hesplnmsı olsıdır Torge (98 e göre C nn fzksel boutu metrk brmde olmdığındn prtk ugulmsı zdır(ynr 999Jeopotnsel kotlr nvelmn olun bğlı değldr Çünkü hng oldn gdlrse gdlsn k nokt rsındk potnsel frk nı klır Jeopotnsel kotlr bşk ükseklk sstemler çn temel büüklüklerdr Tüm ükseklkler burdn türetlrler 3 Dnmk Yükseklkler Jeopotnsel sılr seçlen sbt br g o ğırlık değerne bölünürse, uzunluk brmne geçlr ve bölece elde edlen ükseklklere dnmk ükseklkler denlr Bun göre A ve B noktlrının dnmk ükseklkler; C dn A H A, g o C dn B H B (5 g o olur Bunlr rsındk frk çn se, H H H C / g (6 dn B dn A dn A, B ( C B C A / g o AB o olur Bu eştlklerde; C A, C B : A ve B noktlrının jeopotnsel ükseklkler

22 7 g o : o=5 o enlemndek grvte değerdr Dnmk ükseklkler (5 ve (6 bğıntılrı rdımıl hesplblmek çn jeopotnsel kotlrın d kot frklrının önceden belrlenmş olmsı gerekr Ülke ölçmelernde çoğu kez nvelmn sonuçlrı br düzeltme n dnmk düzeltme le ükseklk frkın dönüştürülür Jeopotnsel kott olduğu gb dnmk ükseklklerde de jeodn dnmk ükseklğ sıfır eşttr Her nvo üzene krşılık tek br dnmk ükseklk değer krşılık gelr Her k nvo üze üzernde bulunn noktlr rsındk dnmk ükseklk frklrı eşttr Dnmk ükseklkler blnors dğer ükseklkler kolc hesplnblr Fkt dnmk ükseklklerdek dnmk ol düzeltmesnn büük olmsı, onlrın prtktek önemn zltmktdır (Turgut 995, Tuşt 4 Ortometrk Yükseklk Yerüzünde br noktnın ortometrk ükseklğ, noktdn geçen çekül eğrs bounc jeode oln düşe uzklık olrk tnımlnır Ortometrk ükseklk kvrmı, geometrk br fdeden dh çok fzksel nlm tşır Ardk kr prçlrı nedenle jeodn kıtlr ltındk gdş blnmedğnden, br noktnın ortometrk ükseklğ doğrudn ölçülemez Anı nvo üze üzerndek frklı k noktnın ortometrk ükseklkler frklıdır Ortometrk ükseklkler, nvelmn ükseklklerne dnmk ükseklklerden dh çok klşırlr Çünkü ortometrk düzeltmeler genellkle dh küçüktürler Ortometrk ükseklğ bulmk çn, A noktsının jeopotnsel sısı C ve çekül eğrsnn A le A rsındk prçsının uzunluğu oln ortometrk ükseklğ H olmk üzere, H C W W gdh (7 şeklnde belrlenr Bu eştlkte H çık olrk belrlenmek stenrse, dc= -dw = gdh (8

23 8 bu eştlkler g değerne bölünmek suretle dh dw dc (9 g g eştlğle elde edlr ve ntegrl lınırs, H W dw g W C dc g ( olur Prtkte kullnımı z oln bu eştlk düzenlenrse, C H gdh H H H gdh ( C gh ( ve burdnd g H H gdh (3 olur Burd g, jeot üzerndek A le erüzündek A noktsı rsınd çekül eğrs bounc grvtenn ortlmsıdır Ortlm g blnmek koşulu le ortometrk ükseklk H, C H (4 g bğıntısı rdımıl hesplnblr İk nokt rsındk ortometrk ükseklk frkı, H H H C g ; g AB 5 AB B A (5 şeklnde elde edlr Br noktnın ortometrk ükseklğ geometrk nvelmn ükseklk frklrındn rrlnrk d elpsodl ükseklk frklrındn rrlnılrk bulunblr

24 9 Çekül eğrlernn erüzü le jeot rsınd kln noktlrınd ğırlıklrı ölçmek d g ortlm grvte değern ölçümle belrlemek olnksız olduğundn gerçek ortometrk ükseklkler hesplnmmkt, fkt erüzü le jeot rsınd, çekül eğrler bounc ğırlık değerlernn dğılımın lşkn br vrsıml klşık ortometrk (kusjeode göre ükseklkler elde edleblmektedr Ortometrk ükseklkler, Helmert ükseklkler olrk blnen şğıdk (6 bğıntısı rdımıl hesplnblr(hesknen ve Mortz 984 H C (6 g,44 H Bu eştlkte tertf çözüm ugulnır Burd C (kglm, H (km brmndedr g nn belrlemes çn frklı modellerde vrdır 5 Norml Yükseklk Yeruvrının gerçek grvte potnselnn norml grvte potnselne, n W=U, gerçek grvtennde norml grvtee eşt olduğu, n g=, ve dollı bozucu potnsel T= kbulune göre hesplnmış ükseklklerdr (Şekl Bu vrsım krşılık gelen ortometrk ükseklklere norml ükseklk dı verlr Dünnın grvte lnının norml grvte lnı olduğu kbul edlrse ortometrk ükseklkler çn çıkrıln eştlkler norml grvte lnınd, * * C W W dh (7 H H * C * dh (8 * C H (9 bçmne grer Burd

25 Şekl Ortometrk, norml ve elpsodl ükseklkler, jeot ondülsonu ve ükseklk nmols * H * * H dh ( çekül eğrs bounc oln ortlm norml grvtedr H * norml ükseklk olrk dlndırılır Norml ükseklk, norml ğırlık lnının çekül eğrs bounc nvo elpsod üzenden Q noktsın kdr oln uzklıktır ve bu uzklıklrın oluşturduğu noktlrın geometrk erne Tellürod denr Astronomk koordntlrdn erüzünün lk klşık üze tellürod belrleneblr Elpsodden erüzüne oln düşe uzklık h le elpsodden tellürode oln düşe uzklık H * rsındk frk bze ükseklk nomlsn verr =h-h * ( Bu k ükseklk rsındk frk N=h-H jeot ondülsonun krşılık gelr Bu lşkden rlnrk; H+N=H * + ( H-H * =-N (3 zılmk suretle (-N,

26 g B ( N H (4 şeklnde gösterleblr Δg B klşık olrk Bouger nomlsne eşttr se çekül eğrs bounc ortlm norml grvtedr Tellürod br nvo üze değldr Yerüzündek her P noktsın genel olrk frklı br W=W P jeopotnsel üze krşılık gelr Bu problem çözmek çn oknuslr üzernde =N olup dğer trflrd jeode çok kın oln br üze elde edlmş ve bu üzee Molodensk trfındn kusjeot dı verlmştr Bununl berber kusjeot de br nvo üze değldr ve hçbr fzksel nlmı oktur Bu jeode benzer br üzee çğrışım ptırıp geleneksel kvrmlrı bz lmk şeklnde düşünülmeldr Bu çıdn bkıldığınd ortometrk ükseklğn jeodden oln ükseklk olmsı gb, br noktnın norml ükseklğ de kusjeodden oln ükseklktr (Hesknen ve Mortz Elpsodl Yükseklk Elpsodl ükseklk, seçlen br referns elpsodne göre, eüzündek br P noktsının elpsot norml bounc elpsot üzerndek zdüşümü le rsındk uzklıktır (Şekl 3 Şekl 3 Elpsodl ükseklk

27 Elpsot ükseklğ, kullnıln elpsot prmetrelerle ve üzernde tnımlnn jeodezk koordnt sstem le kındn lşkldr Dünnın grvte lnıl hç br lşks oktur(ynr 999 Şeklden P noktsının elpsot üzerndek zdüşümü Q dur Elpsot ükseklğ h le gösterlmştr Elpsot ükseklğ elde mevcut büüklüklere göre k öntemle elde edleblr(ynr 999 Doğl büüklükler öntem Bu öntemde elpsot ükseklğ, jeot ükseklğ N ve ortometrk ükseklğ H olmk üzere h H+N (5 eştlğnden elde edleblr(şekl 4 Şekl 4 Ortometrk ve elpsodl ükseklk rsındk lşk Stndrt büüklükler öntem Bu öntemde elpsot ükseklğ, ükseklk nmolsn ve H * norml ükseklğ göstermek üzere h H * + (6 eştlğnden elde edleblr

28 3 3 JEOİT KAVRAMI VE BELİRLEME YÖNTEMLERİ 3 Genel Tnımlr Jeot, fzksel olrk tnımlnn ve erüzünün gerçek şekln temsl etmede kullnıln br üzedr Jeodn üze topogrfk üzee benzer olrk çukurluklr ve tümseklklerle sürekszlkler gösterr Jeodn merkez dünnın gerçek merkez le çkışıktır ve üze eş potnsell br üzedr Bu üze üzernde hesp pılmsı oldukç zordur Bu nedenle jeot le hesplmlrın pıldığı referns üze(elpsot rsındk lşknn fde edlmes, br bşk fde le jeodn belrlenmes gerekmektedr Udu sstemlernn jeodeze getrdğ kollıklrl jeode oln htç oldukç rtmıştır 3 Jeot Belrleme Yöntemler Jeot belrleme noktsl, br profl bounc d sürekl br üze şeklnde belrlenmes olsıdır Jeot belrleme teknklernde çzelge 3 de fde edlen ver knklrı le gözlem büüklüklernn br ve br kçın dnır Ugulmlrd jeodn belrlenmes, gerçek grvte lnın t büüklükler W(grvte potnsel, H(ortometrk ükseklk, g(grvte,, (stronomk enlem ve bolm büüklükler le referns elpsodne t U(norml potnsel, h(elpsot ükseklğ, (norml grvte,, (jeodezk enlem ve bolm büüklüklernn krşılıklı frkındn oluşn T bozucu potnsel, N jeot ükseklğ, g grvte nmols,, çekül spmsı bleşenler mktrının belrlenmesdr N Jeot ükseklkler jeodn belrlenmesnde en sık hesplnn değerlerdr Yukrıd fde edlen ölçüm öntemler le elde edlmş ölçüler kullnılrk jeot ükseklkler hesbınd,

29 4 Çzelge3 Jeot belrlemede ver knklrı, gözlem büüklükler (Üstün Ver türler Knk Udu örünge nlzler Dnmk Geometrk Küresel hrmonk ktsılr Jeopotnsel model Grvte nmoller Yersel grvte ölçmelernden(krlr çn Altmetre verlernden(denzler çn Jeopotnsel model ktsılrındn(eksk bölgeler çn Topoğrfk ükseklk blgler Sısl Arz Model(SAM ve Sısl Yükseklk Model(SYM Topoğrfk ktlelern oğunluk değşm, Ktle oğunluk modeller kbuk-mnto sınırınd oğunluk sıçrmsı(mohorvcc sürekszlğ Yer uvrının grvte lnı blgsne dlı ters grvmetrk çözüm Nokt ktle model GPS/Nvelmn jeot ükseklkler Grvte Anmoller Globl Jeopotnsel model Sısl Arz Model Yersel jeodezk ölçmeler Astro jeodezk verler Geometrk Nvelmn Preszonlu trgonometrk nvelmn Udu konum belrleme teknklerle SLR türetlen 3B konum blgler GPS DOPPLER Astrojeodezk öntemler Grvte lnı modeller Globl jeopotnsel modeller Geometrk modeller Kombne öntemler(gps-nvelmn,gps-grvmetrk vb en sık kullnıln teknklerdr(ynr 999 Jeot belrleme öntemlern jeodn kpsdığı ln göre ve kullnıln verler göre k grupt ncelemek mümkündür Jeodn kpsdığı ln göre globl, bölgesel ve erel jeot belrleme söz konusudur

30 5 3 Globl jeot belrleme modeller Globl jeot modeller, tüm dün t grvte blglernden fdlnrk oluşturulmuş br modeldr Her ulusun br d br kç stsonu dün çpındk grvte bz stsonlrı ğını oluşturur IGSN7(Interntonl Grvt Stndrdzton Net 97 dtumu, 96 d pıln srkç ölçüler le belrlenen Postdm sstemnn ern lmış ve grvte ölçüler çn referns olrk kbul edlmştr Rpp(99 göre, son ıllrd dün grvte lnının sptnmsı şlem udu ve üze grvte blglernn kombnsonu le gerçekleştrlmektedr 849 d Stokes n, grvte ölçülern kullnrk jeot ükseklğ hesplnm önelk olrk bulduğu eştlk şğıdk gbdr N R gs( d 4G (3 R: Dünnın rıçpı G: Ortlm grvte g:serbest hv grvte nmols S(: Stokes fonksonu Stokes formülü, jeodn dış trfınd ktle olmdığı ön kbulüne dnır Eğer her hng br fzksel jeodez problem, potnsel kurmının belrledğ nlmd br sınır değer problem olrk ele lınmk stenrse, sınırln üzen dışınd ktle oktur den bu kbul zorunludur Bunun neden, potnsel kurmının sınır değer problemlernn dm hrmonk fonksonlrı çermesdr Jeodn dış trfınd ktleler vr olduğundn Stokes ntegrl d lgl formüllern ugulnblmesnden önce bu ktlelern jeodn çne götürülmes d tümüle ortdn kldırılmsı zorunludur Türlü grvte ndrgemelernn mcı budur(krtl Bu modellere örnek olrk potnsel ktsılrındn rrlnrk jeot ükseklğ hesplm lkesne dnn OSU9-A ve EGM 96 modeller verleblr

31 6 3 Bölgesel jeot belrleme modeller Yerel olrk ugulnn ve kullnıldığı ülkenn fzksel koşullrın bğlı olrk değşklk gösteren modellerdr Yerel jeot modellernn hesplnmsı şlem Stokes ntegrlne dnır: N R N GM ( g g GM S( d 4 (3 N : jeot ükseklğ N GM : Globl modele göre hesplnn jeot ükseklğ R : Dünnın rıçpı : Norml grvte g : Grvte nomls g GM : Globl modele göre hesplnn grvte nomls S( : Stokes fonksonu : İntegrsonun kpsdığı küresel rlık 3 Grvmetrk öntemler le jeot ükseklğ belrleme Çekül spmlrının dğer br elde edlmes öntem grvmetrk öntemdr Çekül spmsının medn gelmesnde rol onn etken, dün kütle dğılımının homojen olmmsıdır Yerçekm vmes, dğer br dıl ğırlık, g, ern kütle oğunluğu ve bunun dğılımın bğlıdır Grvmetrk çekül spmsı, g nn ndrgenmesle bulunn g ğırlık nomllernn fonksonu olrk fde edleblr Bu şeklde elde edlen çekül spmlrı slt çekül spmlrıdır Ağırlık nomller g ler blnors jeodn elpsodden oln ükseklkler N ve dolısıl grvmetrk çekül spmlrı bulunblr (Turgut 995 Grvmetrk öntemler genellkle, sınır üzelerndek g grvte nomllernden, jeot ükseklğnn belrlendğ erlerde jeodezk sınır değer problemlernn çözümü

32 7 çn kullnılır Grvmetrk öntemler le jeot ükseklkler hesbınd üç öntem kullnılmktdır(tuşt Bunlr; Klsk ve hızlı Fourer teknğ le Stokes ntegrsonu En küçük krelerle kollokson öntem Kollokson ve ntegrson öntemlernn kombnsonudur 33 Astrojeodezk öntem le jeot ükseklğ belrleme Sders (99 göre fzksel erüzünde doğl koordnt sstemlernde pıln ölçüler çekül doğrultulrı le lşkldr İk boutlu ğlrd, ölçülern, hesp üzene ndrgenmesnde jeot ükseklkler ve çekül spmsın htç duulur Üç boutlu ğlrd nı noktnın stronomk ve jeodezk değerler rsınd lşkler, jeot ondülsonlrı ve çekül spmsı bleşenler le ort konur(ynr 999 Fzksel erüzü üzerndek br P noktsındn geçen çekül eğrs le ne nı noktdn geçen elpsot norml kesştklernde kdr br spm oluşur Bu frk çekül spmsı denr(şekl 3 Yer üzündek br noktnın doğl koordntlrı (, stronomk gözlemler rdımıl belrleneblr Bu koordntlr br referns elpsodnn jeodezk koordntlrıl (, krşılştırılırs, çekül spmsı bleşenler elde edlr Şekl 3 : Astrojeodezk çekül spmsı

33 8 =- (33 =(-cos (34 ukrıdk eştlklerde, kuze-güne;, doğu-btı önündek çekül spmsı bleşenlerdr Her hng br zmutu doğrultusundk çekül spmsı ; =cos+sn (35 eştlğ le fde edlrçekül spmsının jeot üzendek etks şekl 3 de görülmektedr Şekl 3 Jeotde dfernsel değşm Dfernsel nlmd jeot ükseklğ değşm, dn=ds (36 eştlğdr Bu eştlğn br bz bounc ntegrl, N N ds (37 ükseklk frkını verr Bu bğıntı nı zmnd stronomk nvelmnın temeln oluşturur

34 9 (33, (34 ve (35 eştlklernden jeottek çekül spmsı büüklüklern hesplmk çn stronomk koordntlrın jeode ndrgenmş değerler (, kullnılmlıdır Her k ucund çekül spmsı belrlenmş br bz bounc jeot ükseklğ frkı, N N s (38 eştlğ le hesplnblr(hesknen ve Mortz 984 (38 le belrlenen jeot ükseklk frklrı, nvelmn luplrın benzer şeklde dengelenr Ölçü noktlrı dışındk jeot ükseklklernn belrlenmes çn jeodn n dereceden ugun br üze modelle tnımlnmsı gerekr(üstün 34 GPS/Nvelmn öntemle jeot belrleme Grvte verlernn olmdığı bölgelerde, mevcut nvelmnl elde edlmş ortometrk ükseklklerle GPS ten elde edlen elpsodl ükseklkler kombnsonu ugulnblr Elpsodl ükseklklerden ortometrk ükseklklern hespln blmes çn, çlışm lnınd düzenl olrk dğılmış her k sstemde ükseklkler blnen ortk noktlr gereksnm vrdır (Çorumluoğlu ve rk Fzksel er üzü üzernde br P noktsının h elpsodl ükseklğ P noktsındn geçen elpsot norml üzernden ölçülür, bu durumd h elpsodl ükseklk bu norml doğrusu üzernden P noktsının elpsode oln uzklığıdır P noktsının ortometrk ükseklğ se P noktsındn geçen çekül eğrs le jeot rsındk mesfedr Çekül eğrs ve elpsot norml rsındk frklılık çekül eğrsnn eğrlğ üzündendr(şekl 33 h elpsodl ükseklk olmk üzere k eğr rsındk uzunluk frkı; h hsn tn (39 formülüne göre bell edlr

35 Bu er üzünün bütün topoğrfk ükseklkler çn hml edleblr br etkdr(jekel Örneğn = ve h=m çn h< mm olur Şekl 33 Çekül eğrs ve elpsot norml rsındk uzunluk frkı Bu durumd; h elpsodl ükseklk, N jeot ondülsonu olmk üzere; ortometrk ükseklk H, H=h-N (3 eştlğ le belrlenr(şekl 4

36 4 ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİ Jeot ondülsonlrını belrleme teknkler çersnde en gın olrk kullnılnı bölgede elpsodl ükseklğ ve ortometrk ükseklğ değerlernn her ksnnde blndğ ve jeod en şeklde temsl eden noktlrdn rrlnrk nltk br üze geçrmektr Yüze geçrlmes le elde edlen mtemtksel model r noktlrın jeot ondülson değerlernn bulunmsınd kullnılır Şu gerçek unutulmmlıdır k; geçrlen üze model le sdece r noktlrdk jeot ondülson değerler hesp edlmektedr Ortometrk ükseklk değerlerne geçş çn hesp edlen bu değerlerden rrlnılır Bu öntem strojeodezk önteme benzer Her k öntemde de gözlemlerden knklnn htlr dışınd en üksek hssset, jeodn düzgün olduğu lnd bulunn brbrne çok kın stsonlr rsınd pıln ugulmlrd elde edlr(kng ve rk 985 Bu problemn çözümlenmesnde frklı ve çok çeştl enterpolson öntemler kullnılblr Bu öntemlern br bölümünde lk ölçülen ükseklk değerler htsız kbul edlr, br kısmınd belrl br dengeleme d tesdüf htlrın fltrelemes pılır Durum göre o bölge çn seçlmş oln enterpolson öntem ne kdr uguns hesplnn N değer le gerçek değer rsınd oluşn frk sısl olrk o denl küçük değerlere ulşır Ypılck şten beklenen hsssetn üksek olmsı stenors enterpolsondn bulunn sonuçlrın beklenen değerlernn o bölgede dh önceden N ler bell oln noktlrınkne eşt olmsı stenr Mtemtksel fde le E ( N hesp = N gerçek olmsı stenr Bunun sğlnmsı çn bzı vrsımlrın olmsı gerekr Örneğn rz uzd tnımlnblen br düzlem denklem le fde edlebldğ zmn ukrıdk eştlk geçerl olblr Am prtkte bunun olmsı çok zor br olsılıktır Enterpolson problemlernn çözümünde bşlıc üç klşım vrdır(güler 978 Noktsl enterpolson Tüm bölge kpsn tek br fonksonl enterpolson Yerel olrk tnımlnmış prç prç fonksonlrl enterpolson

37 Noktsl enterpolson öntemnde, ondülson değer hesp edlecek noktı çevreleen br ölçüt dresnn d krenn ç trfın düşen dnk noktlrı kullnılır Her en nokt, çevresndek dnk noktlrındn hesplndığındn noktsl enterpolsond fonkson ktsılrı noktdn nokt değşm gösterr Tüm bölge kpsn tek br fonksonl enterpolson öntemnde, bölgenn tmmı çn geçerl oln tek br fonksonu belrlemek çn bütün dnk noktlrı nı nd kullnılır Yerel olrk tnımlnmış prç prç fonksonlrl enterpolson öntemnde, bölge küçük prçlr bölünür ve her br prç seçlen br fonkson le gösterlr Bu durumd prçlrın sınırlrı bounc çtlklr ve sürekszlkler görüleblr Bundn kçınmk çn prçlrdk fonksonlrı sınırlr bounc çkıştırmk mcıl brleştrme fonksonlrı kullnılır 4 Ağırlıklı Ortlm Yöntem İle Enterpolson Bu öntem, noktsl br enterpolson öntemdr Dğer noktsl enterpolson öntemler çersnde kullnımının kollığı sebeble gın olrk kullnılmktdır Çlışm lnı çersnde bulunn herhng br enterpolson noktsının rnn değer, noktnın çevresnde bulunn dnk noktlrının blnen değerler kullnılrk ğırlıklı ortlm le bell edlr Kullnıln dnk noktlrındk blnen değerlere tnck ğırlık değerler, dnk noktlrı ve enterpolson noktsı rsındk uzklığın br fonksonun göre bell edlr Şekl 4 de ğırlıklı ortlmnın genel br durumu görüleblr

38 3 Sekl 4 Ağırlıklı ortlmd dnk ve enterpolson noktlrı Bell br bölgede jeot ondülson değerlern belrlemek çn jeot ondülsonlrı gözlemler sonucu belrlenmş n tne dnk noktsı vr olduğunu kbul edelm Bu durumd en noktlrd N jeot ondülson değerler kın cvrınd bulunn dnk noktlrındn m tnesn kullnmk üzere ğırlıklı ortlm öntemne göre N m m N P P (4 genel eştlğ le hesp edlr Burd, N :, noktsınd belrlenmek stenen ondülson değer ( N : bölgedek, dnk noktlrının jeot ondülson değerler ( P : hesplmd kullnılck dnk noktlrın tnck ğırlık değerlern m : (, noktsındk N değer çn lınn dnk nokt sısını göstermektedr

39 4 (4 eştlğnn kullnımınd belrlenmes gereken ğırlık değerler P ve dnk nokt sısı m dr P ğırlık değerler, dnk noktlrı le enterpolson noktsı rsındk uzklığın br fonksonu olrk; P,, m k,,3,4 (4 k d eştlğ le hesp edlebleceğ gb (Zhn-J 998, Ahn ve rk, P e ( d,, m k 3,4,5 / k (43 şeklndek Guss fonksonud kullnılblr(güler 978,Ynlk bu eştlklerde geçen, d, noktsı le, dnk noktlrı rsındk t mesfe olmk üzere, ( ( d ( (44 ( formülüne göre hesp edlr Ağırlık fonksonu olrk (4 kullnılırs k değernn seçm önem kzncktır Ağırlıklı ortlm öntemnde kullnıln ğırlık model uzklıkl ters orntılı olduğundn özellkle uzktk noktlrın ondülson değerlernn enterpolson noktlrın etks k tm sı sbtnn rtmsıl zlcktır Bu durumd çok fzl dnk noktsı çeren büük bölgelerde uzktk noktlrın etksn zltmk mcıl k değer 3 ve üzer lınmlıdır k değer büüdükçe özellkle 4 ve üzer değerlerde klşık nı sonuçlr ort çıkmkt ve ğırlıklı ortlm le enterpolson en kın komşulukl enterpolson dönüşmektedr (İnl ve rk 3 Aşğıdk şekl 4 ve Şekl 43 de sırsıl formül 4, 43 ğırlık fonksonlrının k değernn frklı seçmne göre uzklıkl ğırlık rsındk lşk görülmektedr

40 5 k= k= k=3 k=4,,8 Ağırlık,6,4, Mesfe (km Şekl 4 Frklı k değerlerne göre ğırlık uzklık lşks (Ters ğırlık, k=3 k=4 k=5 Ağırlık,8,6,4, 5 5 Mesfe (km Şekl 43 Frklı k değerlerne göre ğırlık uzklık lşks (Guss Ağırlıklı ortlm öntemnde enterpolson noktlrı çn çlışm lnınd n tne oln tüm dnk noktlrının kullnılmsı erne enterpolson noktsı cvrındk m tne dnk nokt sısının kullnılmsı önerlmektedr Kullnılck dnk noktlrının seçm çn genellkle enterpolson noktsı merkez lınmk suretle belrlenmş oln br krtk dre d dkdörtgen kullnılblr Bu durumd krtk drenn boutlrının belrlenmes problem le

41 6 krşılşılır Krtk dre d dkdörtgen boutlrı dnk noktlrının konumsl dğılımıl doğrudn lşkldr Şekl 44 de durum dh çık görüleblr Şekl 44 Krtk dre ve krtk dkdörgen Bu lterntf çözümden bşk frklı br düşüncede sdece enterpolson noktsının doğl komşulrını kullnmktır Sbson (977, Lee ve Preprt (984, Wtson ve Phlp (984 e göre doğl komşuluk hespsl geometrde öneml br er tutmktdır Düzlemde er ln br nokt kümes delun krterne göre üçgenlenrse Delun üçgenlemes elde edlr(ynlk Mcedono ve Presch (99 e göre, Br enterpolson noktsı dnk noktlrı le brlkte Delun krterne göre üçgenlenrse enterpolson noktsı le brleşerek üçgen kenrı oluşturn bütün dnk noktlrı enterpolson noktsının doğl komşusu olurlr Dolısıl ğırlıklı ortlm le enterpolson şlem sdece bu dnk noktlrını kullnrk pılblr Doğl komşulrın kullnılmsı Krtk dre ve dkdörtgen boutunun belrlenmes gereğn ortdn kldırcktır(ynlk Aşğıd şekl 45 de küçük br ugulmd delun üçgenlemes görülmektedr Enterpolson noktsının rnn değer çersnde olduğu üçgenn köşegen elemnlrı le ğırlıklı ortlm göre belrlenmektedr Şekl 54 e göre noktsının rnn değer 5,6,7 nolu dnk noktlrı le çözümlenmektedr

42 7 Şekl 45 Delun üçgenlemes ve ğırlıklı ortlm 4 Polnom Yüzelerle Enterpolson Polnom üzelerle enterpolson teknğ üze modellemelerde en gın olrk kullnıln teknklerden brdr Bu teknğn n mcı çlışıln bölgenn tekbr fonksonl fde edlmesdr Bşk br fde le tnımlmk gerekrse bölge en tnımlblen ve problemn çözümünde gerekl oln rgümnlrı (,, N le bell dnk noktlrındn rrlnrk bölge çnde konumu bell herhng br noktdk N jeot ondülson değern bulmk çn fonksonun blnmeen sbtlern belrlemektr Polnomlr rıc kollokson, Krgng, Multqudrtk gb öntemlern ugulnmsınd çlışm bölgesnde trend üzeler olrk gın br şeklde kullnılmktdır Br polnomun derecesn çersnde bulunn en üksek derecel term belrler Polnomun dereces üze hkkınd fkr verr n polnomun dereces olmk üzere n dereceden br polnom n- tne kırılm uğrr (İnl 998

43 8 4 Ortogonl polnomlrl enterpolson Yüze genellkle k değşkenl üksek dereceden polnomlrl tnımlnılır N( X,Y n k j j (45 k jk eştlğ le ortogonl polnomun genel fdes elde edlr Burd, j : Polnomun blnmeen ktsılrı, n : Polnomun dereces,, : Noktlrın düzlem koordntlrıdır (45 eştlğnde polnomun dereces, n= seçldğnde üze lneer, n= seçldğnde üze qudrtk, n=3 seçldğnde üze kübk olrk dlndırılır(inl 997

44 Şekl 46 Üstten lt doğru sırsıl lneer, qudrtk, kübk ve orjnl üzeler 9

45 3 n nc dereceden polnomun blnmeen ktsılrının sısını u le gösterrsek; u ( n( n (46 formülüne eşt olur Yd br bölgede jeot ondülsonu blnen nokt sısın göre mmum ortogonl polnom dereces; 3 8u n (47 formülüne göre bell edlr 4 Lneer üze; (45 genel ortogonl polnom üzende n, seçlrse, k;, değerlern lır ve, N (, (48 eştlğle 3 blnmeenl lneer üze elde edlr Bu fdenn çözümü çn en z üç dnk noktsı gerekldr, dnk nokt sısını s le gösterrsek ve s>3 olmsı durumund blnmeen ktsılr en küçük kreler öntem lkesne göre çözümlenr Bu durumd mtrs çözümü, N(, AX (49 Norml denklem mtrs, N T A A (4 T n A L (4 blnmeenler çeren mtrs, X N n (4 olur Yukrıd fde edlen mtrsler

46 3 X S S A N S N N L şeklndedr Burd ; X: (3 boutlu blnmeen polnom ktsılrı vektörü, A: (s3 boutlu blnmeenlere t ktsılr mtrs ( dnk noktsın t konum blglern ve elemnlrını çerr L: (s boutlu ölçü vektörüdür( dnk noktlrın t jeot ondülsonu değerlern çeren sütun mtrs Polnomun blnmeen ktsılrı bulunduktn sonr bölge çnde hesp edlmek stenen noktlrdk jeot ondülson değerler (48 eştlğ le bulunur 4 Qudrtk üze (45 genel ortogonl polnom üzende n, seçlrse, k;,, değerlern lır ve, 5 4 3, ( N (43 eştlğle 6 blnmeenl qudrtk üze elde edlr Bu fdenn çözümü çn en z ltı dnk noktsı gerekldr, dnk nokt sısını s le gösterrsek ve s>6 olmsı durumund blnmeen ktsılrı en küçük kreler öntem lkesne göre (4, (4, (4 eştlklerne göre çözümlenr Mtrslern çık fdes X S S S S S S A N S N N L şekln lır Burd;

47 3 X: (6 boutlu blnmeen polnom ktsılrı vektörü A: (s6 boutlu blnmeenlere t ktsılr mtrs ( dnk noktsın t konum blglern ve elemnlrını çerr L: (s boutlu ölçü vektörüdür( dnk noktlrın t jeot ondülsonu değerlern çeren sütun mtrs Polnomun blnmeen ktsılrı bulunduktn sonr bölge çnde hesp edlmek stenen noktlrdk jeot ondülson değerler (43 eştlğ le bulunur 43 Kübk üze (45 genel ortogonl polnom üzende n, 3 seçlrse, k;,,, 3 değerlern lır ve, , ( N (44 eştlğle blnmeenl kübk üze elde edlr Bu fdenn çözümü çn en z dnk noktsı gerekldr, dnk nokt sısını s le gösterrsek ve s> olmsı durumund blnmeen ktsılrı en küçük kreler öntem lkesne göre (4, (4, (4 eştlklerne göre çözümlenr Mtrslern çık fdes; X T S T N N N L S S S S S S S S S S S S T A şekln lırburd; X: ( boutlu blnmeen polnom ktsılrı vektörü

48 33 A: (s boutlu blnmeenlere t ktsılr mtrs ( dnk noktsın t konum blglern ve elemnlrını çerr L: (s boutlu ölçü vektörüdür( dnk noktlrın t jeot ondülsonu değerlern çeren sütun mtrs Polnomun blnmeen ktsılrı bulunduktn sonr bölge çnde hesp edlmek stenen noktlrdk jeot ondülson değerler (44 eştlğ le bulunblr 4 Ortogonl olmn polnomlrl enterpolson Yüze genellkle k değşkenl üksek dereceden polnomlrl tnımlnılır N( X,Y n n j j (45 j eştlğ le ortogonl olmn polnomun genel eştlğ fde edlr (İnl 997 Burd, j : polnomun blnmeen ktsılrı, n : üzen dereces,, : noktlrın düzlem koordntlrıdır

49 Şekl 47 Üstten lt doğru, b-lneer, b-qudrtk, b-kübk ve orjnl üzeler 34

50 35 (45 eştlğnde polnomun dereces; n= seçldğnde üze b-lneer, n= seçldğnde üze b-qudrtk, n=3 seçldğnde üze b-kübk olrk dlndırılır n nc dereceden polnomun blnmeen ktsılrının sısını u le gösterrsek; ( n u (46 formülüne eşt olur Yd br bölgede jeot ondülsonu blnen nokt sısın göre mmum ortogonl polnom dereces; u n (47 formülüne göre bell edlr Yukrıdk tnımlnn üzeler çık olrk fde edlrse, 4 B-lneer üze (45 genel ortogonl olmn polnom üzende n, seçlrse, N 3, ( (48 eştlğle 4 blnmeenl b-lneer üze elde edlr Bu fdenn çözümü çn en z dört dnk noktsı gerekldr, dnk nokt sısını s le gösterrsek ve s>4 olmsı durumund, üzen blnmeen ktsılrı en küçük kreler öntem lkesne göre (4, (4, (4 eştlklerne göre çözümlenr Mtrslern çık fdes; 3 X S S S S A N S N N L şekln lır Burd; X: (4 boutlu blnmeen polnom ktsılrı vektörü

51 36 A: (s4 boutlu blnmeenlere t ktsılr mtrs ( dnk noktsın t konum blglern ve elemnlrını çerr L: (s boutlu ölçü vektörüdür( dnk noktlrın t jeot ondülsonu değerlern çeren sütun mtrs Polnomun blnmeen ktsılrı bulunduktn sonr bölge çnde hesp edlmek stenen noktlrdk jeot ondülson değerler (48 eştlğ le bulunur 4 B-qudrtk üze (45 genel ortogonl olmn polnom üzende n, seçlrse, , ( N (49 eştlğle 9 blnmeenl b-qudrtk üze elde edlr Bu fdenn çözümü çn en z dokuz dnk noktsı gerekldr, dnk nokt sısını s le gösterrsek ve s>9 olmsı durumund blnmeen ktsılrı en küçük kreler öntem lkesne göre (4, (4, (4 eştlklerne göre çözümlenr Mtrslern çık fdes; X T S T N N N L S S S S S S S S S S S S A şekln lır Burd; X: (9 boutlu blnmeen polnom ktsılrı vektörü A: (s9 boutlu blnmeenlere t ktsılr mtrs ( dnk noktsın t konum blglern ve elemnlrını çerr

52 37 L: (s boutlu ölçü vektörüdür( dnk noktlrın t jeot ondülsonu değerlern çeren sütun mtrs Polnomun blnmeen ktsılrı bulunduktn sonr bölge çnde hesp edlmek stenen noktlrdk jeot ondülson değerler (49 eştlğ le bulunblr 43 B-kübk üze (45 genel ortogonl olmn polnom üzende n, 3 seçlrse, , ( N (4 eştlğle 6 blnmeenl b-kübk üze elde edlr Bu fdenn çözümü çn en z on ltı dnk noktsı gerekldr, dnk nokt sısını s le gösterrsek ve s>6 olmsı durumund blnmeen ktsılrı en küçük kreler öntem lkesne göre (4, (4, (4 eştlklerne göre çözümlenr Mtrslern çık fdes; X T S T N N N L S S S S S S S S T A Burd X: (6 boutlu blnmeen polnom ktsılrı vektörü A: (s6 boutlu blnmeenlere t ktsılr mtrs ( dnk noktsın t konum blglern ve elemnlrını çerr L: (s boutlu ölçü vektörüdür( dnk noktlrın t jeot ondülsonu değerlern çeren sütun mtrs

53 38 Polnomun blnmeen ktsılrı bulunduktn sonr bölge çnde hesp edlmek stenen noktlrdk jeot ondülson değerler (4 eştlğ le bulunur 43 En ugun üze polnomun belrlenmes Çlışm bölgesnde kçıncı dereceden br üze polnomunun kullnılcğı lk bkışt kestrlemez Bunun belrlenmes çn üze polnomunun dereces brnc dereceden bşltılmk üzere dengeleme sonuçlrının sttstksel nlzler le belrleneblr Polnomun dereces rttırıldıkç soncul vrns değer küçülür Soncul vrnsın büümee bşldığı polnom derecesnn br eksğ en ugun derece kbul edlr Polnom derecesnn çok üksek olmsı, blnmeen sısının rtmsı nınd üzende dursızlşmsın neden olblr Blndğ üzere en küçük krelerle dengelemede fonksonel model oluşturn blnmeenlern en ugun değerler, norml dğılımd olduğu vrsıln ölçülern ht kreler toplmının mnumum olmsı koşulun göre belrlenr Norml dğılımlı olduğu vrsıln ölçülerle kestrlen prmetreler test edlmeldr Ugulnblr temel sttstksel testler; model, kestrlen prmetreler çn nlmlılık ve uuşumsuz ölçü testlerdr 43 Model test Jeot ükseklkler (,, ölçü; N ˆ, n sıdk ölçünün dengelenmes sonucund elde edlen brm ğırlıklı ölçünün vrnsı(soncul vrns olsun ˆ Model test, sonsl vrnsının dengeleme öncesde kestrlen öncül vrns le krşılştırılmsın dnır ve sıfır hpotez H : ˆ ˆ d ( tek önlü bçmnde öngörülür dğılımlı ˆ ( n u T ~ (4

54 39 test büüklüğü oluşturulur Burd u, blnmeen prmetre sısıdır T test büüklüğü le nlmlılık düze ve serbestlk dereces (fzl ölçü sısı f n u bğlı f, sınır değer rsınd T eştszlğ geçerl se f, hpotez kbul edlr ve modeln ugun olduğun; model htsı olmdığın krr verlr Aks durumd öngörülen hpotez red edlr Kuruln modeln htlı olduğu nlmın gelr Ht, ölçüler le blnmeenler rsındk lşk tnımln fonksonel model ve ölçülern vrns kovrnslrını tnımln stokstk model eksklğnden knklnblr Model htlrı, prmetreler çn nlmlılık test ve uuşumsuz ölçü test pılrk rştırılır 43 Prmetreler çn nlmlılık test Kestrlen br prmetre ˆ ve stndrt spmsı değernn sıfır kbul edlp edlmeeceğne krr vermek çn H ( ˆ : E ˆ olsun Prmetrenn beklenen sıfır hpotez oluşturulur Bu hpotez, H : E( ˆ s seçenek hpotez krşısınd test edlr ˆ ˆ test büüklüğü t dğılımlıdır Test büüklüğü, t dğılımının serbestlk dereces ve nlmlılık düzene bğlı t f, güven sınır değernden küçük çıkrs ; ˆ ˆ t f, (4 sıfır hpotez kbul edlr; lgl term polnomdn slnr Seçenek hpoteznn geçerl olmsı durumund se kestrm değernn nlmlı olduğu krrın vrılır 433 Düzeltmelern test edlmes test düze çn br ölçüsünün v düzeltmes

55 4 v v t f, (43 eştszlğn sğlıors, bu ölçü seçlen üze polnomu le uuşumsuz kbul edlr ve ölçü kümesnden çıkrılır Burd, v Ölçünün düzeltmes düzeltmenn stndrt spmsıdır(üstün v Q v v 44 Mtrs Kondsonu ve Gderlme Yöntemler Polnoml üzelern ugulnmsınd eştlklerden nlşılcğı gb noktlrın konum koordntlrı ktsı olrk kullnılmktdır Ülke çpınd çlışmlrd konum koordntı olrk genelde ülke koordntlrı kullnılmkt olup önünde 6 bsmk önündede 5 bsmklıdır Genellkle ve dereceden üzelerde A ktsılr mtrsnn termler kondson krşı dursız olmmsın krşın 3 ve dh üksek dereceden polnomlrın kullnılmsı durumund A ktsılr mtrsn etklemekte ve sütunlr rsınd şırı derecede frklılıklr ort çıkmktdır Bu durumun önüne geçmek mcıl çözüm olrk koordnt sstemnn orjn öteleneblr d A ktsılr mtrsnn büük bsmklı sütunlrı küçültülmek suretle sonuc gdlr 43 Multqudrtk Fonkson Metodu: Bugüne kdr çeştl jeodezk ve fotogrmetrk problemlern çözümünde kullnıln öntem Hrd (97 trfındn önerlmştr Bu enterpolson teknğnn mcı çlışm lnınd blnen tüm dnk noktlrı kullnılrk tek br fonkson le üze tnımlmktır Anltk br çözümleme teknğdr Teknğn ugulnblmes çn öncelkle br trend üze bzı kontrol noktlrı kullnılrk geçrlr (Şnlıoğlu Trend üze olrk brnc d knc dereceden polnom kullnmk ugundur(leberl 973 Multqudrtk enterpolson teknğnn ugulnmsındn evvel çlışm bölges çn en ugun olduğu düşünülen d sptnn n dereceden br polnomun blnmeen

56 4 ktsılrı dnk noktlrının N değerlerne bğlı olrk en küçük krelere göre çözümlendkten sonr, dnk noktlrındk hesplnır N rtık ondülson değerler N N N(, N N trend,,, n (44 (, enterpolson noktsındk N rtık ondülson değer se, N N N(, N N trend (45 şeklndedr Fkt bu eştlkte blnmeen hem N hemde N değerlerdr Bu blnmeenlerden br çözümlendğnde dğer bulunblecektr Multqudrk önteme göre N elde edldğnde N değerde bell edlmş olur Multqudrk öntemn en genel eştlğ; n ( N C, ;, (46 şeklndedrburd; N : dnk noktlrının jeot ondülson değerler N : enterpolson noktsının jeot ondülson değerler N, : trend fonksonundn elde edlen her hng br noktlsın t ( ondülson değer n : dnk nokt sısı C : dnk noktlrının blnen N blnmeen ktsılrdır eğmn belrler(güler 985 değerlernden hesp edlecek oln C ktsılrı knc dereceden termlern şretn ve, ;, : Kernel fonksonudur( Zhn-J 998 ( Kernel fonksonunun brçok şekl mevcuttur Bunlr;

57 4 İk prklı dresel hperbolod / ( (, ;, ( (47 Dresel prbolod ( (, ;, ( (48 Dresel dk kon / ( (, ;, ( (49 şeklndedr Bu eştlkler (46 d erne konulduğund İk prklı dresel hperbolod serlernn toplmlrı / ( (, ;, ( (43 Dresel prbolod serlernn toplmlrı ( (, ;, ( (43 Dresel dk konlern toplmlrı, / ( (, ;, ( (43 şeklnde multqudrk üzeler elde edlr(güler 985 kernel fonksonu olrk (49 u seçmemz durumund C ktsılrını hesp etmek çn, dnk noktlrın bğlı olrk şğıdk şeklde n tne lneer denklem sstem oluşturulur n nn n n n n n n n N C C C N C C C N C C C (433

58 43 (433 denklem sstemnde, j ktsılrı dnk noktlrının koordntlrındn rrlnılrk şğıdk eştlkle bulunur j X X ( Y Y / (434 ( j j (433 denklem sstemnde; A, nn boutlu ktsılr mtrsn, A n n n n nn C, n elemnlı blnmeenler vektörünü, T C C C C n N, dnk noktlrındk rtık ondülson değerlern çeren n elemnlı vektörü, T N N N N n göstermek üzere mtrslerle AC N (435 şekln lır Blnmeen C ktsılrının çözümü, C A N (436 olur (, koordntlrıl blnen her hng br enterpolson noktsının rnn N ondülson değer,

59 44 N ( ( / n N(, C (437 eştlğ le hesplnır (47 ve (48 eştlklernde geçen geometrk prmetre olrk dlndırılır ve sbt br sıdır (47 eştlğnde olduğund (49 eştlğ elde edlr Burd krşılıklı(k prklı hperbolod formunu bçmlendrr çn verlen küçük değerler br zrve görünümü verrken, büük değerler genş üze özellğ gösteren düz üze görünümü verr (Holdhl ve Hrd, 979 geometrk prmetre olrk dlndırılır değernn nsıl ve hng büüklükte lıncğı konusund rştırmcılr uzun ıllrdn ber ncelemelerde bulunmuştur ve frklı çlışmlr çn brçok hesplm öntem gelştrmşlerdr Bu çlışm kpsmınd Hrd trfındn ler sürülen şğıdk bğıntı ugulndı(hrd 99, Fogel ve Tnne 996, n n ( J ( J J n( n (438 bu eştlkte geçen (n dnk noktsı sısıdır Multqudrtk enterpolson teknğnde üze model çlışm bölgesndek noktlrın dğılımındn nlmlı br şeklde etklenmez, htt eğer dnk noktlrı bölge çersnde br şeklde dğılmmış ble ols Eğer dnk noktsı le enterpolsonu pılck noktlr rsındk mesfe rtrs, üze modelne dnk noktsının ktkısı zlır Multqudrtk enterpolson teknğnde üze model dnk noktlrındn geçer(uluğtekn 994, Akcn 998

60 45 44 En Küçük Kreler Yöntemne Göre Predkson ve Kollokson En küçük kreler öntemne göre dengeleme, fltreleme(süzgeçleme ve predkson(enterpolson, etrpolson problemlernn br rd çözüldükler dengeleme hesbının en genel bçm kollokson dını lır(öztürk ve Şerbetç 99 Br dğer tnım göre, en küçük kreler öntemne göre dengelemeden frklı nı blnen ht denklemelerne ölçü htsındn(nose bşk knc br tesdüf değşkenn(sgnl eklenmş olmsındn medn gelen modele kollokson dı verlmştr(demrel 977 Mortz (973 e göre EKKK br çok lnd kullnıln br öntemdr Bunlr; En küçük krelerle predkson Stokstk şlemler ve spektrl nlz Yklşım teors Fonksonel nlz Potnsel teors İnvers problem şeklnde sılblr(alp 993 Norml olrk gözlemlern brbrnden bğımsız olduğu ve lnızc rstgele htlr çerdkler kbul edlr Gerçekte gözlemler snl olrk dlndırıln ve klıntılr çeren sstemtk br kısm mruz klırlr İ blnen en küçük krelerle dengeleme methodu stndrt spmlr shp blnmeenler ve klıntılrın hesp edlmesnde kullnılır, m gözlem htlrı çerdğ düşünülen snller modelleme kbletne shp değldr En küçük krelerle dengeleme ve kollokson rsındk n frklılık, kollokson metodund gözlemler çersnde lve br snln vrlığının kbulüne dndırılmsıdır Kolloksonun n mntığı, gözlemlern lnızc nose değl nı zmnd snl olrk dlndırıln sttksel br kısmınıd çerdğ noktd ort çıkr(yıldırım

61 46 44 Kolloksonun mtemtk model ve temel kvrmlr En küçük kreler öntemne göre dollı ölçüler dengelemesnn fonksonel model; L v (,, z, (439 şeklndedr En küçük krelerle kollokson öntemnde 439 formülünde verlen dengeleme modelnde gözlem htlrın ek olrk br snln vrlığı söz konusudur Genel olrk snl, çok sıd snl değşkennn br fonksonu olrk fde edlmekle brlkte, çoğunlukl kullnıln ve tek br snl değşkennn mevcut olduğu bst kolloksond fonksonel model; L v (,, z, s (,,, n (44 şeklndedr(şekl 48 Şekl 48 : Kollokson ve prmetreler(demrel 983 Formül 439, 44 ve şekl 48 de geçen ndsler; L :Ölçülen değer v :Düzeltme

62 47 :Ölçülern sstemtk bölümünü fde eden fonkson s :Ölçme noktsınd snl s J :Predkson noktsınd snl :Model fonksonu(trend :Dengelenmş ölçü ve predkson değer nlmınddır,, z, blnmeenlern klşık değerlern,, z z, blnmeenler göstermek üzere 44, z denklem doğrusl olmmsı durumund blnmeenler Tlor formülü le doğrusllştırılır ve; v A s (44 düzeltme denklemler elde edlr Burd; v T n v v v düzeltme vektörünü A n b b b n c c c n blnmeenlern ktsılr mtrsn z blnmeenler s n s s s ölçü noktlrındk ç snller l n, L (,, z

63 48, b, c z, nlmlrınddır Hesp edlmes gereken enterpolson büükler çn; L J (,, z, s ( J I, II,, m (44 J J d genel olrk; A s (443 p op p p sstem zılblr Burd; p L L I II m A P I II m b b b I II m c c c I II m p I II m s s s s predkson noktlrındk dış snller op L L OI OII L Om L OJ J (,, z, dır Kollokson problem; Nose ( v n dı d verlen ölçü htlrını ve s snllern rı rı belrlemek(süzmek d dengelenmş ölçü değerlern elde etmek, Model fonksonund geçen blnmeenler hesplmk(dengeleme, Ölçü pılmmış noktlrdk s p snllern ve değerlern bulmk(predkson, p nterpolson

64 49 Ölçülern ve rnn büüklüklern ortlm htlrını hesplmk şeklnde özetleneblr(mortz 974, Demrel 983, Demr ve Açıkgöz Şekl 49 : Kollokson problem ve mç En küçük krelerle kolloksond snller ve ölçü htlrı rstgele stokstk büüklükler olrk tnımlnır Br bşk fde le snllerle ölçü htlrının beklenen değerler sıfır eşttr s E v E (444 L ölçüsünün ortlm htsı L se, ugun olrk seçlecek sbtesle ölçülere t ğırlık ktsılrı mtrs ; L n L n L L L L LL Q Q Q Q dgonl mtrs elde edlr Burd;, ( k Q Q k L L L L L şeklndedr Kollokson problemlernn çözümünde ç snllere (s ve dış snllere ( p s lşkn ğırlık ktsılrı mtrs verlmş olmlıdır Ağırlık ktsılrı mtrsde br