X ) DİPOL DAĞILIMLARININ ELEKTROSTATİĞİ

Transkript

1 5 X ) DİPOL DAĞILIMLARININ LKTROSTATİĞİ A. GİRİŞ B. YÜK DAĞILIMLARININ LKTROSTATİK TKİLŞMLRİ C. NOKTASAL DİPOL YAPI ÇARPANLARI. lektik Dil. Magnetik Dil D. NOKTASAL LKTRİK DİPOL TKİLŞMLRİ. DİPOL DAĞILIMI TKİLŞMLRİ ) Hidjen Aşıı İnce Yaısı F. DİPOL DAĞILIMLARININ ALANLARI G. MALZM İÇİND LKTRO V MAGNTOSTATİK ) lektet ) Magnet H. KUTUPLAŞMA

2 6 A. GİRİŞ Bu bölümde dil dağılımlaının elektdinamiği standat yaklaşımdan değişik bi biçimde ele alınacak ve genelde mmentum uzayında işlenecekti. lektik ve magnetik dille aasındaki temel fak biincisinin eşit ama zıt, iki kmşu elektik yükünden luşması, diğeinin ise dğada magnetik yük gözlenmemesinden dlayı benze bi yaıya sahi lmayı, küçük byutlu bi akım çembeinden luşmasıdı. Bu faklılık en çaıcı biçimde mmentum uzayında taya çıka. lektik ve magnetik dil alanlaının benzelik ve faklılıklaı elektdinamiğin en iyi gizlenen sılaından biidi. Bu çekingen yaklaşımın zaman içindeki evimi J. D. Jacksn, 'Classical lectdynamics' gibi knunun klasik des kitabının değişik baskılaında gözlenebili. Daha önce dil adyasynlaı inceleniken kullanılan mettla ve elde edilen bazı snuçla, kuyucuyu biaz bezdimek ahasına teka edilecekti. Ancak bu tekala çk temel bi knunun tam anlaşılması uğuna ödenecek küçük bi bedeldi. B. YÜK DAĞILIMLARININ LKTROSTATİK TKİLŞMLRİ Oluştuulacak fmalizme iyi bi teik temel luştuması açısından öncelikle iki yük dağılımının elektstatik etkileşmesini incelemek yeinde lacaktı. Keyfi bi O nktası etafında ve ndan uzaklıktaki bi O nktası etafında statik yük dağılımlaını ele alalım.

3 7 Bunlaın içinde ye alan dq d ve nktasal unsula du.. dq d dq dq d d biçiminde etkileşi. Tüm etkileşmenin tansiyel eneji ifadesi ise U d d 4 ile veili. + U U k lduğu hatılanaak k U ifadesinin bi 'Çift Katlama' integali lu k k U.. k çaımının Tes Fuie Dönüşümüne antılı lduğu göülü. Oantı katsayılaından kutulmak için 'Yaı Çaanı' kavamı kullanılı. = ex F k k d ik fnksiynun, bi Fuie dönüşümü lduğu halde üstünde laak tanımlanan bu kuyucuyu yanıltmamalıdı. Yük dağılımlaı eel fnksiynla lduğu için * bağıntısı geçelidi. Yük byutunda lan g F k F k sadece gemetik dağılımı gösteen işaeti lmaması F k ile byutsuz ve F k aasında ayıım yamak uygun lu. Böylece 'Yaı Çaanı' [ Ne * Neede ], nktasal etkileşme tansiyel enejisi de [ Nasıl ] lmak üzee tüm etkileşme tansiyel enejisi, mmentum uzayında [ Ne * Neede ] [ Nasıl ] [ Ne * Neede ] laak yazılı. Bu duumda eneji ifadesi U k F k 4 F k k Q Fg k Q Fg k 4 k Bazı dağılımlaın 'Yaı Çaanı' ifadelei : biçimini alı. Nkta : Fg k Küesel kabuk : sin kr Fg k j kr kr J kr kr

4 8 Dlu Küe : F g k Silindi : F, k g kr cs kr j kr J kr sin k R kr kr kr J R sin k L ; L z L, s R R k L Disk özel hali : Çubuk özel hali : F F g g k k J sin R R kl kl Taban düzeyinde H elektnu : F g k ak 4 Taban düzeyinde H : F g k a k a k a k U ifadesinin kamaşık bi 6 katlı integal lmasına kaşın U k basit ve simetik bi çaımdı ama eninde snunda içinde yaşayı, gözlem yatığımız knum uzayına dönmek geeki. Bu da Tes Fuie Dönüşümü kullanaak U d k ex ik U k ˆ ex dk d k ik F k F k 4 laak yaılı. Bazı özel ve basit duumla için etkileşmele : şmekezsel dağılımla: ˆ U dk d k F k F k 4 Küesel simetik dağılımla : U dk 4 k F k F k k sin

5 9 Hem eşmekezsel, hem de küesel simetik dağılımla : U dk F k F k ile veili. 4 lde edilen bu snuçla, yük dağılımlaının Özeneji'leini hesalamakta da klaylık sağla. Özeneji, eşmekezsel ve özdeş iki yük dağılımının tansiyel eneji ifadesini, çift saymayı ˆ 4 4 engellemek için, ikiye böleek bulunu : U dk d k F k U d. ifadesine eşit lan bu snuç küesel simetiye sahi dağılımlada U dk F k 4 laak basitleşi. Kuantum fiziğindeki özeneji ile ilgili çk önemli bi nkta : dışaıdan bakan bi gözlemci açısından bi yük dağılımı laak göülebili. Buna önek laak taban seviyesinde bi Hidjen atmundan elektn saçılması bleminde a k a k a k U k e e 4 k geçeli bi yaklaşımdı. Ancak özeneji hesalaında lasılık dağılımlaını geçek bi yük dağılımı laak değelendimek yanlış lu. Zia elektn belli bi lasılıkla bi nktada, belli bi lasılıkla da başka bi nktadadı, ama aynı anda iki değişik nktada lamayacağı için bu duumun özenejiye katkısı yktu. Taban seviyesindeki bi H elektn lasılık dağılımının özenejisi sıfıdı. Bilinen temel snuçlaın değişik bi yaklaşımla da elde edilmesi zaman kaybı sayılmaz. Bu defa knum uzayında tek mekezli bi kdinat sistemi kullanılacak ve başlangıç nktası du dq V lacaktı. ve V eel fnksiynla lduğu için ifadesi V U d V d V çaımı laak yazılabili. Pissn denkleminin syut çözümü skala V k V = V k yeleştiileek elde edilen

6 U k denklemi U d d k d d G, biçimini alı., k G 4 yeleştiilince de tanıdık snuca ulaşılı. Bu yaklaşımın bi U d d 4 yan üünü de U k eşitliğinin yumudu. Lise yıllaından bei tanıdığımız 'Ptansiyel neji' kavamının aslında inves difeansiyel eatöün, yani Geen eatöünün, yük dağılımlaı aasındaki matis elemanı lduğu anlaşılmaktadı. C. NOKTASAL DİPOL YAPI ÇARPANLARI. lektik Dil Nktasal bi elektik dil mmentin, yeteince genel yük dağılım fnksiynu : a, q, qa lmak üzee x, y, z q x y z a z a ka F k i q sin i k i k ile veili ve elde edili.. Magnetik Dil Nktasal bi magnetik dil mmentin, yeteince genel akım yğunluğu fnksiynu : a, I, a I lmak üzee, silindiik kdinatlada

7 ,, ˆ J J s z I s a z I s a z ˆ ile veili ve ex F k I s ds s a d dz z ik ˆ c ˆ c integalinden F k I a d ex ik aa snucuna ulaşılı. Bu nktada k cs, sin,, scs, ssin,, ˆ sin, cs, kullanaak integalin değelendiilmesine geçili. Üstel fnksiyn açılımının ilk teimi lan 'den katkı gelmeyeceği için ikinci teim, yani cs cs sin sin cs cs sin sin i s i a kullanaak cs cs sin sin sin, cs, F k i I a d c c sin, cs, sin, cs, i I a i,, F k i k k i k c c bulunu. D. NOKTASAL DİPOL TKİLŞMLRİ Dil etkileşmeleinde gene U Ne * Neede Nasıl Ne * Neede yaklaşımı kullanılacaktı. İki nktasal elektik dilün etkileşimi için ˆ ˆ U k i k i k k k 4 k 4 iki magnetik dilün etkileşmesi için ise, Minkwski metiğinden gelen eksi işaeti ile, ˆ ˆ U k k k 4 veya A B C D ACB D ADB C özdeşliği yadımıyla ;

8 ˆ ˆ U k k k 4 bulunu. İki elektik dil etkileşmesinin U tansiyel eneji hesabı ˆ ˆ zˆ özel duumu için yaılacak, en genel ve,sin,cs,, bölümün snunda blem laak veilecekti. kˆ sin cs, sin sin, cs duumu ise U k cs 4 ve F, F Fuie ve Tes Fuie dönüşümleini göstemek üzee U F elde edili. Hesabın temelini cs 4 Y ˆ! m i F ˆ k Y k m dönüşümünün özel hali :! Y ˆ m F Y k ˆ m veya F Y m k luştuacaktı. cs ifadesi sadece Y ˆ m ˆ Y m ˆ k küesel hamnikleden luşmadığı için F cs F cs F cs F biçiminde ayıştıılı ve F dönüşümü de kullanılaak cs U 4 elde edili. Bunun ˆ ˆ U 4 genel ifadesi aalel lmayan dille için de geçeli lacaktı. Bi elektik dilünün elektik alanı da

9 U ˆ ˆ bağıntısı kullanılaak 4 laak bulunu. Aynı hesabın magnetik dille için yaılmasında kestime yl: iki blem aasındaki tek fak lduğu için sadece cs sin cs teiminde değişiklik lacağını göeek, dğudan ˆ ˆ U 4 ˆ ˆ B 4 yazmaktı. lektik dil snuçlaından magnetik dil snuçlaına geçişte Alanlada : ' cb, dönüşümlei ya ve c tla', c nejilede : dönüşümü ya ve ' eçetelei büyük hesa klaylığı sağla. çıkat'. DİPOL DAĞILIMI TKİLŞMLRİ Dağılımlada U Ne * Neede Nasıl Ne * Neede iki elektik dil dağılımının etkileşimi için U k i k Fg k i k Fg k 4 k iki magnetik dil dağılımının etkileşmesi ise ˆ ˆ g g U k F k k k F k 4 laak genelleşecekti. Hem öğetici hem de astfizikte çk önemli bi uygulama laak Hidjen atmunun elektn ve tn magnetik mmentleinin etkileşmesi, aalel ve,

10 4 antiaalel duumla için luşan iki eneji düzeyi ve düzeyle aasında geçişin sebe lduğu adyasyn incelenecekti. e lektn : g S ; s, g e e e m e g I ; ı, g 5.6 M Ptn : F g k e ak 4, g F k veya veya S I S I S I 4 4 S I veya = bağıntılaı kullanılaak elde edilen 4 4 ak U k ˆ k ˆ k 4 4 ifadesi, hesa klaylığı açısından ˆ ˆ ˆ kabul edileek k e z sin ak U e e 4 4 biçimini alı. şmekezsel iki dağılımın knum uzayındaki tansiyel eneji ifadesi U k dk d cs d U k e e ise cs cs 4 d, snuçlaı kullanılaak k dk ak a 8 m g g mc e e 4 a M 4 vei. Atm fiziğinde 'Aşıı İnce Yaı' laak bilinen bu lgu, madde içeiği % 75 anında H-atmlaından luşan eveni gözlememizi sağlayan ünlü cm ışımasıdı.

11 5 F. DİPOL DAĞILIMLARININ ALANLARI Yukaıda geliştiilen tekniklein önemli bi uygulama alanı, atmik ve mleküle ölçekteki dilleden luşan malzemelein davanışıdı. lektik dil yğunluğuna sahi malzemele 'lektet', magnetik dil yğunluğuna sahi malzemele de 'Magnet' laak adlandıılı. lektetlede dil yğunluğu 'Plaizasyn' : dağılım duumlaında bu P dil yğunluğu 'Magnetizasyn' : duumunda bu M Hacım P d d Hacım ile veili; düzgün biçimini alı. Benze biçimde magnetlede M lu. Hacım d d Hacım U k F k 4 F k k ile veili; düzgün dağılım fmülünde ikinci açacık nktasal bi q yükü lusa, biinci dağılımın luştuduğu elektik tansiyelin Fuie V k F k lacaktı. k dönüşümü 4 Bi dil dağılımında F k F k i k Fg k g yeleştiileek V k i k F k 4 k elde edili. Bu snucu, dağılmış bi V k Q F k 4 k Q yükünün tansiyel ifadesi lan g kaşılaştıınca, mmentum uzayında uzayında ile k V k i V k Q V V V Q Q z veya knum elde edili.

12 6 Bunun dğal snucu da Q z bağıntısıdı. Q yükünün düzgün dağıldığı R yaıçalı bi küe için P Q Q, snuçlaı ve 4 R 4 iç dış 4 R tanımından iç zˆ P ile 4 R ˆ ˆ ˆ P ˆ P R 4 dış elde edili. lektik alanının küe yüzeyinde süeksiz lduğu ve luşan yüzey yük yğunluğundan kaynaklanan bi sıçama yatığı göülü ve ˆ P ˆ P cs R bulunu. Küenin dışında nktasal dil alanı, içinde ise sabit bi alan luşu fmülü ışığında bi dil dağılımının aslında z yönünde ufak bi kayma gösteen iki eşit fakat zıt yük dağılımına eşdeğe lduğunu göstemektedi. Bu yaklaşım, bölüm snunda bi blem laak sunulacaktı. Malzeme düzeyinde : z lektik Alan Magnetik Alan geçiş eçetesi : cb, P M dönüşümlei ya ve M tla c laak geçekleşi. Küesel bi magnet için ise yukaıda değinilen eçete kullanılaak dış R B ˆ M ˆ M yüzeyinde ˆ demekti. Q iç B M elde edili; bu da magnetik alanın küe B ˆ M M kadalık bi sıçama yaması R

13 7 ksen yönünde kutulaşmış bi elektet silindiin elektik alanı, kağıt üzeinde basit göünse de F V gamının uygulanması kamaşık ve çetin bi blemdi. lektet silindi bleminin yukaıda geliştiilen tekniklele incelenmesi, bölüm snunda blemle aasında ele alınacaktı. Bu nktada sadece elektet silindiin bibiinden L uzaklıkta, iki aalel daiesel tabakadan luşan kaasitö blemine eşdeğe lduğu söylenebili. Bu tabakalada ye alan yüzey yük yğunluğu P lacaktı. Silindi magnet snuçlaı ise yukaıda elde edilen geçiş eçetelei ile klayca elde edili. G. MALZM İÇİND LKTRO V MAGNTOSTATİK. lektet Tlam elektik alanı Q biçiminde, elektik yük ve elektik dil kaynaklı laak ayıştıı, 'nin P 'ye zıt yönde lduğunu göz önüne alaak Q D ve P P tanımlaıyla D P elde edili. Deneyle genelde vediğinden P laak tanımlanı ve e D D dlayısıyla = lu.. Magnet Tlam magnetik alanı B BI B biçiminde, akım ve magnetik dil kaynaklı laak ayıştıı, ancak bu defa B 'nin M ile aynı yönde lduğunu göz önüne alaak B I H, B M tanımlaıyla B H M elde edili.

14 8 Deneyle genelde M H dlayısıyla vediğinden M m H biçiminde tanımlanı ve B H H lu. Magnetik malzeme m m : Diamagnetik, > >> : Femagnetik laak sınıflandıılı. m : Paamagnetik, lektik labatualaının vazgeçilmez iki ölçüm aletinin Vltmete ve Amemete luşu taihsel bi kavam kaışıklığına yl açmıştı. Vltmete ile V d m ve Amemete ile I H d ölçülmesi temel büyüklüklein ve H lduğu yanılgısını yaatmıştı. Geçekte temel alanla ve B lmak geeki. Taihsel laak hem adlandıma hem de biim seçmeye yansıyan bu yanılgı zaman içinde yavaş da lsa düzelmektedi. H. KUTUPLAŞMA Kutulaşma iki ayı biçimde luşu. Bazan H O gibi dğal laak elektik dil mmenti lan mlekülle malzeme içinde astgele yöneldiklei için net etki sıfı lu. Ancak bi elektik alanı içinde bu astgelelik bzulu ve alana aalel lma eğilimi ata. Mlekül kinetik enejisinin ölçüsü lan sıcaklığa da bağlı lan bu tü kutulaşma İstatistik Mekaniğin inceleme knusudu. Diğe bi lgu da dil mmenti lmayan bi yaının dış bi elektik alan etkisi ile kutulaşmasıdı. Özel bi önek laak Q yükünün küesel simetik bi dağılımı lduğunu ve bu dağılımın mekezinde nktasal bi dış düşünelim. kayacaktı. Gauss yasası kullanaak elektstatik denge kşulu D 4 d Q yükünün lduğunu etkisi altında nktasal yük, dağılımın mekezinden D kada 4D bu denklem dış dil mmenti ise D dış ile veili. Zayıf dış alanla, dlayısıyla D için biçimini alı. Mekezden kaymanın luştuduğu dış Q Q D lu. dış laak

15 9 tanımlanan 'Kutulaşma Katsayısı' ise Q H-atmunda bu yaklaşım ile veili. Taban düzeyindeki bi Q = a 4 vei, daha R ciddi kuantum tedigeme mettlaı ile bulunan snuç ise teik snuç da a a 6 veen deneyle uyumlu değildi. 4.5 lacaktı. İki PROBLMLR P. ) Taban düzeyinde bi H-atmu için ex e ak Fg k a 4 a lduğunu göstein. P. ) ve,sin,cs,, etkileşme enejisinin yönleinde iki elektik dilün ˆ ˆ U 4 lduğunu göstein. P. ) H-atmu taban enejisi için Yaı çaanlaını kullanaak F e k g U e ifadesini elde edin. yadımı ile H-atmu taban enejisini bulun. ak 4, F k g U Viial teemi

16 P.4 ) Aşıı inceyaı fmülünde sayılaı yeleştieek taban düzeyindeki bi H-atmunun aşıı ince yaı adyasynunun cm dalga byuna denk geldiğini göstein. Y ˆ i!! ˆ m P.5 ) F k Y k m lduğunu göstein ve üzeindeki kısıtlamalaı belileyin. İucu : Rayleigh bağıntısı * i k i j k Y ˆ Y k ˆ ex 4 m m m i j k P ˆ kˆ P.6 ) R, P P küesel elektetin özenejisini hesalayın. P.7 ) R, M M küesel magnetin özenejisini hesalayın. P.8 ) x y z R ile belinen küede +Q, x y z R ile belilenen küede ise Q yükü düzgün dağılıy. R x xˆ y yˆ z zˆ i) Küe içinde +Q yükünün elektik alanının lduğunu göstein, ii) Küe içinde Q yükünün elektik alanını hesalayın, iii) P iç P zˆ tanımlayaak küelein ötüşme bölgesinde zˆ lduğunu göstein, iv) ötüşme bölgesi dışında kalan açalaın kalınlığının cs lduğunu satayın, * kalınlık ve Q fmülleini kullanaak cs bağıntısını elde edin. P

17 P.9 ) Dış bi gözlemci için küesel simetik bi yük dağılımı, mekezde ye alan nktasal tlam yüke eşdeğedi. Bu yüzden R P P zˆ elektet bi küe, dış, gözlemcilece i) ii) dış iç P 4 R P zˆ büyüklüğünde nktasal bi dil laak göülü. R cs ; P zˆ bağıntısından dış iç iii) 'nın süekli, ancak 'ın küe yüzeyinde P R sin lduğunu göstein, ve iç ifadeleini elde edin, P cs kada bi sıçama yatığını ve dlayısıyla cs lduğunu belileyin. P P. ) R P P zˆ küesel elekteti için P ifadesini küesel, kdinatlada hesalayaak P P cs R lduğunu, dlayısıyla P cs lduğunu göstein. P. ) kvatda magnetik alanın yatay yönde ve B 4.5 T luşundan dünyayı küesel bi magnet kabul edi tlam magnetik mmentini kestiin. Deney : 8 Am P. ) s R, L z L, P P xˆ çk uzun bi elektet silindiin iç ve dış elektik alanlaını hesalayın; yüzeyde luşan yük yğunluğunu belileyin. P. ) s R, L z L, M M xˆ çk uzun bi magnet silindiin iç ve dış magnetik alanlaını hesalayın.

18 P.4 ) L z L, s R, P P zˆ elektet silindi için V s, z s, z s, z, s, z gamını uygulayın ancak aa snuçlaı integal halinde bıakın. İucu : s z k z k L 4Q dk cs sin V s, z d J s J R 4 RL k k k z k L 4Q dk cs sin d J s J R s 4 RL k k k z k L 4Q dk sin sin d J s J R z 4 RL k k R P s d J s J R L z 4 ex ex d J s J R L z R P d J s J R L z z 4 ex L z d J s J R L z sgn ex P.5 ) P.4 bleminin snuçlaından haeketle eksen byunca s lduğunu göstein. z ifadesini elektetin iç ve dışında hesalayın. Bu snuçlaın P yüklenmiş iki R yaıçalı daieden luşan kaasitö blemine eşdeğe lduğunu göstein. İucu : dış z P L z L z L z R L z R iç z P L z L z L z R L z R

19 P.6 ) P.5 bleminin snuçlaını kullanaak bi silindi magnetin eksenindeki magnetik alanı hesalayın. Bu snucun L uzunluğunda bi slenidin eksenindeki B z ifadesinde di dz M dönüşümü yaaak elde edileceğini göstein. İucu : B M L z L z Bz L z R L z R dış iç z P.7 ) ile belilenen kutulanabili bi malzemeden luşan çk uzun bi silindiin ekseninde linee yük dağılımı ye alıy. Silindiin içinde ve dışında, D, P değeleini ve yüzey yük dağılımını hesalayın. P.8 ) Taban düzeyindeki bi H-atmu için kutulaşma katsayısının a lduğunu göstein. P.9) Dünyanın magnetik dil mmenti tam dönme ekseni yönünde lmayı kada bi sama göstei. Dlayısıyla magnetik dil mmentinin dönme eksenine dik bileşeni 4 saatlik bi eiyt ile döne. Salınan bi magnetik dilün ışıma gücünü veen 4 Güç bağıntısını kullanaak bu ışımanın gücünü hesalayın. 4 c Bu güç saniyede kaç ftna kaşılık geli? İucu : Güç W 4 4 ftn / saniye