YÜKSEK LİSANS TEZİ. Müh. Özkan KARABACAK. Yrd.Doç.Dr. Neslihan Serap ŞENGÖR. Prof.Dr. Leyla GÖREN (İ.T.Ü.)

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ANAHTARLANMIŞ DOĞRUSAL SİSTEMLERİN KARARLILIĞININ İNCELENMESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Müh. Özka KARABACAK Tezi Estitüye Verildiği Tarih : 25 Aralık 2006 Tez Daışmaı : Diğer Jüri Üyeleri Yrd.Doç.Dr. Nesliha Sera ŞENGÖR Prof.Dr. Külmiz ÇEVİK (İ.T.Ü.) Prof.Dr. Leyla GÖREN (İ.T.Ü.) OCAK 2007

2 ÖNSÖZ Diamik sistemler kousudaki bilgisi ve geel görüşüü yaı sıra bilimsel araştırmayla ilgili yol göstericiliğide de çokça yararladığım sevgili hocam Nesliha Sera Şegör e çok teşekkür ederim. Ayrıca üzerimde çokça emeği geçe hocalarımda Külmiz Çevik ve Leyla Göre e sevgi, saygı ve teşekkürlerimi suarım. ii

3 İÇİNDEKİLER KISALTMALAR ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY v vi vii viii ix. GİRİŞ 2. ÖNBİLGİ 3 2. Normlar Kararlılık Taımları Lyauov Kararlılık Teoremleri Doğrusal Sistemlerde Kararlılık Cambell-Baker-Hausdorff formülü Ayrık Zamalı Sistemlerde Kararlılık İteratif Foksiyolar Sistemi 8 3. ANAHTARLANMIŞ SİSTEMLER 9 3. Hibrit Sistemler Aahtarlamış Sistemleri Taımı ve Diğer Sistem Türleri ile Karşılaştırılması 3.2. Aahtarlamış Sistemleri Taımı Aahtarlama İşareti ve Çeşitli Aahtarlama İşaretleri Kümeleri Aahtarlamış Sistemler ile Diğer Sistem Türlerii Karşılaştırılması 6 4. ANAHTARLANMIŞ SİSTEMLERİN KARARLILIĞI 8 4. Keyfi Aahtarlama Problemi Kararlılaştırma Problemi Uygu Aahtarlama İşaretleri Kümesii Bulma Problemi SONUÇ 36 iii

4 KAYNAKLAR 37 ÖZGEÇMİŞ 39 iv

5 KISALTMALAR AS ADS İFS : Aahtarlamış sistem : Aahtarlamış doğrusal sistem : İteratif foksiyolar sistemi v

6 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa No Şekil 3.: Bir hibrit sistem... Şekil 3.2: Yükselte Çevirici... 2 Şekil 3.3: Modülatör tarafıda üretile bir işaret... 2 Şekil 3.4: Bir aahtarlama işareti... 5 Şekil 4.: Örek e ilişki altsistemleri birer yörügesi Şekil 4.2: σ aahtarlama işareti içi Örek deki sistemi bir çözümü Şekil 4.3: Örek 2 e ilişki altsistemleri birer yörügesi... 2 Şekil 4.4: σ 2 aahtarlama işareti içi Örek 2 deki sistemi çözümü Şekil 4.5: σ 3 aahtarlama işareti içi Örek deki sistemi çözümü Şekil 4.6: Örek 4 e ilişki kararlı çözüm Şekil 4.7: Örek 4 teki sistemleri e A t ormu Şekil 4.8: Örek 5 e ilişki kararlı çözüm Şekil 4.9: Örek 5 teki sistemleri e A t ormu vi

7 SEMBOL LİSTESİ + Z : Pozitif tamsayılar kümesi R : Reel sayılar kümesi + R : Pozitif reel sayılar kümesi R : boyutlu doğrusal vektör uzayi R : x boyutlu reel değerli matrisler kümesi C : x boyutlu karmaşık değerli matrisler kümesi C : Sürekli türevleebilir foksiyolar kümesi P : İdeks kümesi σ : Aahtarlama işareti S : Aahtarlama işaretleri kümesi vii

8 ANAHTARLANMIŞ DOĞRUSAL SİSTEMLERİN KARARLILIĞININ İNCELENMESİ ÖZET Bu çalışmada, bir altsistemler aileside ve bu altsistemler arasıdaki geçişleri yöete bir aahtarlama kuralıda oluşa aahtarlamış sistemler geel olarak icelemiş; ve altsistemler ailesii her bir üyesii doğrusal olduğu durumda oluşa aahtarlamış doğrusal sistemleri kararlılığıa ilişki literatürde bulua üç temel roblem taıtılmıştır. Bularda keyfi aahtarlama roblemi olarak adladırdığımız birici roblemde aahtarlama işareti e olursa olsu sistemi kararlı olmasıı koşullarıı araır. Kararlılaştırma roblemi olarak adladırdığımız ikici roblemde ise verilmiş bir altsistemler ailesii kararlı kıla bir aahtarlama işaretii varlığı ve e olduğu araştırılır. Çalışmamızda bu iki robleme ilişki biriciside ortak Lyauov foksiyou bulumasıa, ikiciside ise altsistemlere ilişki matrisleri bir Hurwitz koveks kombiasyouu bulumasıa dayaa literatürde bulua iki çözüm alatılmıştır. Uygu aahtarlama işaretleri kümesii bulma roblemi olarak adladırdığımız üçücü roblem ise verilmiş bir altsistemler ailesii kararlı kıla özel aahtarlama işaretleri kümelerii bulma roblemidir. Bu robleme ilişki kedi geliştirdiğimiz bir yaklaşım suulmuştur. Aahtarlamış sistemleri iteratif foksiyolar sistemlerie döüştürülmesie dayaa bu yaklaşım ile aahtarlamış sistemi kararlı olması içi aahtarlama işaretideki sabit aralıkları miimum uzuluğuu belli bir değerde büyük olmasıa dayaa bir yeter koşul verilmiştir. So olarak elde ettiğimiz souçlar iki örek üzeride değerledirilmiş ve elde edile souçları bu kouyla ilgili yaacağımız ileriki çalışmalar kousuda işaret ettiği yöler tartışılmıştır. Özellikle altsistemlere ilişki matrisleri özvektörlerii yakılığıa dayalı bir açıklama ile uygu aahtarlama kümesii bulma roblemie ilişki bir çözüm yolua işaret edilmiştir. viii

9 ANALYSIS OF THE STABILITY OF SWITCHED LINEAR SYSTEMS SUMMARY I this study, switched systems, which cosist of a family of subsystems ad a switchig rule that cotrols the switchig betwee the subsystems, are exlaied geerally, ad the three roblems fouded i literature o the stability of switched liear systems, which arise i the case that all the subsystems are liear, are itroduced. Amog these, the first oe called the arbitrary switchig roblem deals with fidig the coditios that results i the stability of the switched system ideedet of the switchig sigal. The secod oe called the stabilizig roblem cosiders how to fid a stabilizig switchig sigal for a give family of subsystems. I the thesis we exlaied the two aroaches to fid the solutio of these roblems which deeds o the resece of commo Lyauov fuctio for the former, ad o fidig a Hurwitz covex combiatio of the subsystem matrices for the latter. The third roblem that we called the roblem of fidig the roer set of switchig sigals cocers with some secial sets of switchig sigals formig a stable switched system for a give family of subsystems. We reseted our ow aroach to solve this roblem. By the aroach of covertig a switched system to a equivalet iterated fuctio system, a sufficiet coditio is reseted based o the miimum legth of the itervals where the switchig sigal is costat. Fially, we discuss o some issues for future research that the study oits out. ix

10 . GİRİŞ Bir doğrusal diferasiyel deklemler ya da fark deklemleri takımı ile ifade edile doğrusal diamik sistemleri birçok özelliği güümüzde bilimektedir. Bu alada çözülmeyi bekleye roblemleri varlığıa karşılık gelişmiş bir doğrusal sistem kuramı mevcuttur. Öte yada, uygulamada, doğrusal olmaya roblemler öemli bir yer tutmaktadır. Bua karşılık doğrusal olmaya sistem kuramı geliştirilmeye daha açık durumdadır; acak matematiksel olarak da ayı ölçüde zorluk barıdırmaktadır. Bu zorluk güümüzde sistem kuramcılarıı öemli bir kısmıı hem uygulamada sıkça karşılaşıla hem de matematiksel olarak doğrusal sistem kuramıda yararlama olaağı sua doğrusal olmaya sistemleri özel bir türü ile aahtarlamış doğrusal sistemler (ADS) ile ilgilemeye itmiştir. Burada aahtarlama da kasıt, farklı zama dilimleride ya da durum uzayıı farklı bölgeleride farklı doğrusal sistemleri çalıştırılmasıdır. Dijital tekolojileri gelişmiş olduğu güümüzde uygulamada bu tür sistemler ile gitgide daha sık karşılaşılmaktadır. Buu yaı sıra, kotrol teoriside de aahtarlamalı kotrolör tasarımı fikri ağırlık kazamıştır. Tüm buları soucuda aahtarlamış sistem (AS) kuramı alaıda kısa zamada birçok öemli souç elde edilmiştir. Kotrolör tasarımıda öem teşkil ettiği içi AS leri kararlılığı başlıca çalışma alaı olmuştur. Bu tezde amacımız, bu geiş çalışma alaıı tam bir özetii vermekte ziyade, bu aladaki temel roblemleri özetlemek, bu roblemleri çözümlerie ilişki yaklaşımlarda örekler vererek okuyucuyu daha kasamlı bir icelemeye hazırlamak ve ayrıca bahsedile roblemlerde birii çözümüe ilişki kedi yaklaşımımızı ve elde ettiğimiz souçları sumaktır. AS ler üzerie bir icelemeye başlamada öce Öbilgi başlıklı ikici bölümde lisas seviyesideki okuyucular içi diamik sistemler üzerie geel bir bilgi

11 vermei yaı sıra tez içeriside kulladığımız belli başlı kavram ve teoremleri suduk. Aahtarlamış Sistemler başlıklı üçücü bölümde ise öcelikle AS ler ile çok ilişkili ola hibrit sistemlere ve AS leri hibrit sistemlerde e şekilde türediğie değidik. Bu bölümde ayrıca AS lere ilişki farklı taımlarda bahsettik ve bu çalışmada beimsediğimiz taımı suduk. So olarak, AS leri diğer bazı sistem türleri ile bir karşılaştırmasıı yaarak taımı alaşılmasıı kolaylaştırmayı amaçladık. Aahtarlamış Sistemleri Kararlılığı isimli dördücü bölümde ise öcelikle AS i dege oktasıı kararlılığıı taımladık. Araştırmacılar AS leri kararlılığı kousuda başlıca üç tür roblem üzeride durmaktadırlar. Buları keyfi aahtarlama roblemi, kararlılaştırma, roblemi, uygu aahtarlama işaretleri kümesii bulma roblemi olarak isimledirerek, her birii, örekler vererek taıtmaya çalıştık. Bölüm 4. de keyfi aahtarlama roblemii çözümüe ilişki temel yaklaşımlarda birii, ortak Lyauov foksiyou yaklaşımıı taıttık. Bu yaklaşımı temel teoremleride biri ola Teorem 4.2 i isatıı literatürdekide farklı bir şekilde verdik. Bölüm 4.2 de kararlılaştırma roblemie ilişki temel yaklaşımlarda biri ola koveks kombiasyo yaklaşımıı taıttık. So olarak Bölüm 4.3 de uygu aahtarlama işaretleri kümesii bulma roblemie ilişki kedi yaklaşımımızı suduk ve bulduğumuz souçları iki örek üzeride değerledirdik. 2

12 2. ÖNBİLGİ Bu bölümde tez boyuca kullaıla belli başlı matematiksel kavramlar ve teoremler suulacaktır. Daha çok diamik sistemler üzerie geel bir bilgiye sahi olmaya okuyucular içi yazdığımız bu bölüm sistem kuramı üzerie bir takım temel bilgileri yaı sıra tezde kulladığımız Cambell-Baker-Hausdorff formülü ve iteratif foksiyolar sistemi (İFS) gibi kouları da içermektedir. 2. Normlar vektör ormu ile 2-ormuu, diğer bir deyişle öklit ormuu göstereceğiz. Yai, [ x x x ] T x =, 2,, içi x = ( x + x + + x ) 2 olacaktır. Matris ormu içi de 2 yie ayı gösterilimi kullaacağız ve A = su A x olacaktır. Vektör ve matris x = ormlarıa ilişki daha fazla bilgi içi [] e bakılabilir. 2.2 Kararlılık Taımları ( t ) = f ( ( t )),, t 0 x x x R (2.) diferasiyel deklem takımı ile verile sürekli zamalı diamik sistemi ve varsa x t x şeklideki bir sabit çözümüü ele alalım. Bu çözüm (2.) de yerie buu ( ) * * koyulduğuda 0 f ( ) = x soucuu verir. Bu deklemi sağlaya ile verile diamik sistemi dege oktası deir. Yai olarak alıdığıda sistemi durumu zama boyuca he Acak daha ilgiç ve daha öemli ola soru sistemi bu 3 * x değerlerie (2.) * x değeri başlagıç durumu * x oktasıda kalacaktır. * x dege oktasıa yakı bir başlagıç durumu ile başlatılması halide çözümü zama ilerledikçe değeride uzaklaşı uzaklaşmayacağıdır. Kararlılık teoremleri geel olarak bu soruya ceva verirler. * x

13 (2.) ile verile sistemi dege oktası R de herhagi bir değeri alabilir. Acak, * geellikte ödü vermede, sistemi dege oktasıı [ 0,0,,0] T varsayabiliriz; çükü * * x 0 olduğu durumda ( ) ( ) ile dege oktası sıfırda ola y ( t ) = g ( y ( t) ) * ( y) ( y x ) g f + dır. x = = 0 olarak y t x t x değişke döüşümü sistemi elde edilebilir, burada (2.) sistemii x * = 0 da bir dege oktasıa sahi olduğuu varsaydıkta sora bu dege oktası içi aşağıdaki kararlılık taımlarıı verebiliriz. Taım 2.: (2.) sistemii tüm çözümleri içi her ε > 0 sayısıa karşılık ( ) δ ( t) x 0 < x < ε, t > 0 öermesii geçerli kıla bir δ > 0 sayısı varsa (2.) sistemii x * = 0 dege oktası kararlıdır. Taım 2.2: (2.) sistemii x * = 0 dege oktası kararlı değil ise kararsızdır. Taım 2.3: (2.) sistemii tüm çözümleri içi ( ) δ ( t) sağlaya bir δ > 0 sayısı varsa (2.) sistemii kararlıdır. Taım 2.4: (2.) sistemii tüm çözümleri içi x( t) x * = 0 dege oktası global asimtotik kararlıdır. x 0 < lim x = 0 koşuluu t x * = 0 dege oktası asimtotik lim = 0 ise (2.) sistemii t 2.3 Lyauov Kararlılık Teoremleri Bir dege oktasıı kararlı olduğuu isatlamasıı bir yolu bu dege oktasıda sıfır değerii ala ve dege oktasıı içere bir U açık kümesideki diğer tüm oktalarda ozitif değerler ala, U üzeride taımlı, skaler bir foksiyo belirlemek; ve sistemi çözümleri boyuca, yai (2.) i çözümü ola herhagi bir { } x : R + 0 R içi t arttıkça, bu foksiyou değerii azaldığıı satamaktır. Böylece sistemi çözümleri, kullaıla foksiyo altta sıırlı olduğuda, foksiyou miimum değerii aldığı oktaya, yai x * = 0 dege oktasıa yaklaşacaktır. Kararlılık isatıda kullaıla ve yukarıda alattığımız koşulları ve 4

14 bazı durumlarda başka ek koşulları da sağlaya bir foksiyoa Lyauov foksiyou deir. Teorem 2.: [2, s. 4] (2.) sistemii x * = 0 dege oktasıı içere bir açık kümesi olsu. V : D R, V C şeklide bir foksiyo V ( 0) = 0 ve V ( x) > 0, x { 0} ( ) 0, D R D (2.2) V x x D (2.3) koşullarıı sağlayacak biçimde taımlaabiliyorsa Dahası, x * = 0 dege oktası kararlıdır. ( x) 0, x D { 0} V < (2.4) koşulu da sağlaıyorsa x * = 0 dege oktası asimtotik kararlıdır. Lyauov kararlılık teoremi olarak adladırıla bu teorem global asimtotik kararlılık üzerie bilgi vermemektedir. Buu içi yie ayı kayakta alıa Barbashi-Krasovski teoremii verelim. Teorem 2.2: [2, s. 24] (2.) sistemi içi V : R R, V C şeklide bir foksiyo x * = 0 dege oktası olsu. V ( 0) = 0 ve V ( x) > 0, x { 0} V ( ) R (2.5) x x (2.6) ( x) 0, x { 0} V < R (2.7) koşullarıı sağlayacak şekilde taımlaabiliyorsa asimtotik kararlıdır. x * = 0 dege oktası global (2.5) koşuluu sağlaya foksiyolara kesi ozitif, (2.6) koşuluu sağlaya foksiyolara ise ışısal sıırsız deir. 5

15 2.4 Doğrusal Sistemlerde Kararlılık ( t) = ( t),, t 0 x A x x R (2.8) şeklide verile doğrusal sistemi göz öüe alalım. ( ) koşuluu yalızca x * = 0 sağladığıda sistemi det A 0 olduğuda A x = 0 x * = 0 da tek bir dege oktası vardır. Bu dege oktasıı kararlılığı Lyauov kararlılık teoremleri ile belirleebildiği gibi doğruda A matrisii özdeğerlerie bakılarak da belirleebilir. Teorem 2.3: [2, s. 34] (2.8) sistemii tüm özdeğerleri ( i λ ) içi Re( λ ) 0 koşulu ile ( ) ola özdeğerler içi ( λ ) (2.8) sistemii içi ( ) i x * = 0 dege oktası acak ve acak A ı Re λ = 0 ve cebrik katlılığı q 2 rak A i I = qi koşulu sağlaıyorsa kararlıdır. Ayrıca; x * = 0 dege oktası acak ve acak A ı tüm özdeğerleri ( λ i ) Re λ < 0 koşulu sağlaıyorsa (global) asimtotik kararlıdır. i Tüm özdeğerleri Teorem 2.3 de verile ( ) i Re λ < 0 koşuluu sağlaya matrislere Hurwitz matris deir. A matrisii Hurwitz olması durumuda (2.8) sistemi asimtotik kararlı olur. Doğrusal sistemler içi asimtotik kararlılık ile global asimtotik kararlılık eşdeğerdir. i i 2.5 Cambell-Baker-Hausdorff formülü A (2.8) sistemii bir x( 0 ) = x 0 başlagıç durumu içi çözümü x( t ) = e t x 0 şeklidedir. Burada e X üstel matris foksiyou 2 3! 2 e X = I + X + X + X 3 + şeklide taımlıdır. Bu tez boyuca esas olarak ADS ler iceleeceğide üstel matris foksiyoları ve farklı sistemleri ardı ardıa çalışması soucu açığa çıka farklı üstel matris foksiyolarıı çarımları öemlidir. Aşağıdaki formül bu türde çarımları basitleştirmek içi gereklidir [3]. [, ] [, ], [, ], X Y e e = e X+ Y+ X Y + X Y Y X Y X + (2.9) [ ] X, Y X Y Y X (2.0) 6

16 2.6 Ayrık Zamalı Sistemlerde Kararlılık Buraya kadar sürekli zamalı sistemlere ilişki bazı bilgiler verdik. Buda sora ayrık zamalı sistemlere değieceğiz. ( ) ( ( )) ayrık zamalı sistemii ele alalım. x( ) k çözümü ( k ) = f ( ) 0 x k + = f x k, k = 0,, 2, (2.) 0 = x 0 başlagıç durumu içi bu sistemi x x şeklidedir. Yai çözüm f foksiyouu bir x 0 başlagıç 2 oktasıa ardı ardıa uygulaması ile elde edile f ( ) f ( ) x : x, x, x, şeklideki bir dizidir. (2.) sistemii varsa x * * * :,,, x x x şeklideki bir sabit çözümüü ele alalım. * x değerie (2.) ü bir sabit oktası deir. Burada sabit okta kavramı, sürekli zamalı sistemlerdeki dege oktası kavramıı karşılığıdır. Sabit oktaı kararlılığı da dege oktasıı kararlılığıa bezer şekilde taımlaır [4]. * x oktası x = f ( ) x deklemii çözümü ile buluur. Bu ise aalitik olarak mümkü olmayabilir. Bu durumda böyle bir çözümü yai (2.) sistemii sabit oktasıı var olu olmadığı, varsa kararlı olu olmadığı öem kazaır. Aşağıdaki teorem ile bu sorulara ceva vermek mümküdür. Teorem 2.4: (Büzülme döüşümü teoremi) (2.) ile verile ayrık zamalı sistemi ele alalım. [ 0, ) aralığıdaki bir ρ sayısı içi f foksiyou ( ) ( ),, f f ρ x y x y x y R (2.2) koşuluu sağlıyorsa (2.) sistemii bu sabit okta asimtotik kararlıdır. R de bir ve yalız bir sabit oktası vardır ve 2.7 İteratif Foksiyolar Sistemi X bir metrik uzay olmak üzere, X de X e taımlı, ρ [ 0,) olmak üzere (2.2) koşuluu sağlaya bir döüşüme büzülme döüşümü deir. Bir metrik uzay ve ou üzeride taımlı N adet büzülme döüşümüde oluşa sisteme iteratif foksiyolar sistemi (İFS) deir [5]. Bu sistemdeki foksiyoları f, i {, 2, N} i şeklide 7

17 gösterirsek, sistemi x 0 başlagıç durumu içi bir çözümü, herhagi bir foksiyo olmak üzere, x( k ) = f ( ) 0 k m= m x şeklidedir. + Z da {,2, N} e 8

18 3. ANAHTARLANMIŞ SİSTEMLER Bu bölümde AS lerle bezerlik taşıya hibrit sistemlere değieceğiz ve AS leri hibrit sistemlerde asıl türetildiğii açıklayı AS ler ve ADS leri matematiksel taımıı suacağız. So olarak AS ler ile diğer sistem türleri arasıdaki ilişkileri kısaca irdeleyeceğiz. 3. Hibrit Sistemler Biri sürekli, diğeri ayrık diamikleri ifade etmek üzere birbirleri ile etkileşim halideki iki yaıda oluşa sistemlere hibrit sistemler deir. Burada diamikler de kastımız bir kurala bağlı olarak değişmekte ola bir takım büyüklükleri değişim sürecidir. Sürekli diamik ile ifade edile, değişimi diferasiyel deklemler ya da fark deklemleri ile belirlediği süreçlerdir. Bu türde süreçleri oluştura yaılara değişimi diferasiyel deklemler ile belirlemesi durumuda sürekli zamalı diamik sistemler, değişimi fark deklemleri ile belirlemesi durumuda ise ayrık zamalı diamik sistemler deir. Ayrık diamikler ile ifade edile ise, değişimi birbirleri ile ilişkisiz ola ve e geel halde bir dizi ile verile durum ya da olaylara bağlı olarak belirlediği süreçlerdir. Bu türde süreçleri oluştura yaılara ayrık olay sistemleri deir. O halde hibrit sistemler, sürekli ya da ayrık zamalı diamik sistemler ile ayrık olay sistemlerii etkileşim halide bir arada buluduğu sistemlerdir. Hibrit sistemleri ilk ortaya atılışıa ilişki tarih 960 ları ortalarıa kadar getirilebilir [6]. Sayısal tekolojileri gelişmiş olduğu güümüzde, mühedislik uygulamalarıda ve özellikle kotrol sistemlerii tasarımıda karşılaşıla birçok süreci hibrit sistemler aracılığıyla modellemesi mümküdür. Bu süreçlerdeki fiziksel olayları sürekli ya da ayrık zamalı diamik sistemler aracılığıyla; bilgisayarlı kotrol sistemleri gibi, doğal olmaya, isa yaısı düzeekleri ise ayrık olay sistemleri ile modellemesi 9

19 yoluyla hibrit sistemler elde edilebilir. Bir örek olarak [7] de aldığımız bir otomobil sistemii iceleyelim. Bir otomobili hareketii sürekli diamiğie ilişki basit bir model aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: x = x (3.) 2 ( ) x f a q (3.2) 2 =, Burada otomobili hareketi (3.) ve (3.2) diferasiyel deklemleri ile verile bir sürekli zamalı diamik sistem ile modellemiştir. x otomobili koumuu, x 2 ise hızıı ifade etmektedirler. a 0 gaz girişidir. q ise vites koumuu ifade ede ve {, 2,3,4,5,,0} kümeside değerler alabile bir büyüklüktür. Otomatik vitesli arabalarda q büyüklüğüü de başka bir sistem tarafıda, özel olarak söyleirse bir ayrık olay sistemi tarafıda, belirleebileceği açıktır. Bu ayrık olay sistemi, yukarıda açık bir şekilde taımlaa sürekli zamalı diamik sistemi durumlarıa bağlı olmalıdır. Öte yada q u değeri, sürekli zamalı diamik sistemi davraışlarıı değiştirecek, böylece otomobil hareketii sürekli diamiğii belirleyecektir. Öreği q = ike f foksiyou egatif ve a ya göre azala, q = 0 ike egatif ve a da bağımsız olmalıdır. Pozitif q değerleri içi ise f foksiyou yeterice büyük a lar içi ozitif ve q ya göre azala olmalıdır. Hibrit sistemleri matematiksel taımları literatürde çeşitli şekillerde yaılmıştır [7- ]. Bu tezi kasamı açısıda aşağıdaki taım yeterli olacaktır: Taım 3.: X =R sürekli durum uzayı, Q {,, N} = ayrık durum uzayı olmak üzere ( t ) = f ( ( t ), ( t), t ) x x q (3.3) (,, ) ( ) = ( ) ( ) deklemleri ile ifade edile sisteme hibrit sistem deir. q t v x t q t t (3.4) 0

20 + + Burada x : R { 0} X sürekli durumu zamala değişimii, q R { } : 0 Q ise ayrık durumu zamala değişimii ifade ede foksiyolardır. (3.4) deklemii sağ tarafıdaki ( t ) = lim ( tˆ ) q q solda limiti q foksiyouu sağda sürekli tˆ t olacağıa işaret ediyor. Burada (3.3) deklemi sürekli zamalı diamik sistemi, (3.4) deklemi ise ayrık olay sistemii ifade eder. (3.3) deklemii sağ tarafıdaki q ( t) ve (3.4) deklemii sağ tarafıdaki x ( t ) ifadeleri iki sistemi birbirlerii etkilediklerii gösteriyor (bkz. Şekil 3.). Şekil 3.: Bir hibrit sistem ([7] deki Şekil de tekrar üretildi.) 3.2 Aahtarlamış Sistemleri Taımı ve Diğer Sistem Türleri ile Karşılaştırılması Hibrit sistemler mühedislikteki çeşitli disililer tarafıda icelemektedir. Buu soucuda hibrit sistemlere farklı yaklaşımlar ortaya çıkmıştır. Bilgisayar bilimcileri tarafıda beimsee yaklaşım, sistemi ayrık diamiğie yöelmek ike, sistem ve kotrol teorisiyle ilgilee araştırmacılar ise tam tersi bir yaklaşımı beimsemişler, ayrık olay sistemi tarafıda bir şekilde üretilmiş ola q işareti ile aahtarlaa sistemi sürekli diamiği ile ilgilemişlerdir [7]. Böylece, yai hibrit sistemleri ayrık diamiklerideki detayları ihmal edi buu yerie bu diamikler tarafıda üretilebilecek tüm aahtarlama işaretlerii göz öüe alarak elde edile sistemlere aahtarlamış sistemler (AS) deilmektedir [7]. AS ler, altsistemlerde oluşa bir aile ile bu altsistemler arasıdaki geçişleri yöete bir aahtarlama kuralıda oluşur. Ailedeki altsistemleri her birii doğrusal olması durumuda sisteme aahtarlamış doğrusal sistem (ADS) deir. AS lere örek olarak [2] de ele alımış ola darbe gelik modülatörü ile sürüle yükselte çevirici yi iceleyelim:

21 Şekil 3.2: Yükselte Çevirici [2] Şekil 3.3: Modülatör tarafıda üretile bir işaret [2] Şekilde gösterilmeye bir darbe gelik modülatörü tarafıda üretile s( t ) işareti ile Şekil 3.2 deki devre aahtarlamaktadır. Örek bir s( t ) işareti Şekil 3.3 de verilmiştir. Bu şekilde de görüldüğü gibi, s( t ) işaretleri, her T uzuluklu zama dilimi içeriside bir süre boyuca s( t ) =, geri kala süre boyuca s( t ) = 0 ola işaretlerdir. s( t ) = 0 ike devrei davraışı e C t ec t il t R C i L ( t) = ec ( t) L ( ) = ( ) + ( ) (3.5) deklemleri ile belirlee bir sürekli zamalı diamik sistem ile modelleir, s( t ) = içi ise e C t ec t R C i L ( t) = es ( t ) L ( ) = ( ) (3.6) 2

22 deklemleri ile belirlee bir sürekli zamalı diamik sistem oluşur. Böylece (3.5) ve (3.6) ile verile bir altsistemler aileside ve bu altsistemler arasıdaki geçişleri yöete bir aahtarlama kuralıda oluşa bir AS elde edilir. Aşağıda AS leri matematiksel formülasyouu ve diğer sistem türleri ile karşılaştırılmasıı büyük ölçüde [3] ü izleyerek vereceğiz Aahtarlamış Sistemleri Taımı Literatürde hibrit sistemler kousuda farklı yaklaşımlar olduğu gibi AS leri taımı kousuda da farklı yaklaşımlar bulumaktadır. Belli bir amaca uygu aahtarlama işaretii bulumasıa öem vere kotrol temelli bir yaklaşım ile AS ler aşağıdaki gibi taımlaır [7,4,5]: P bir ideks kümesi olmak üzere bir { f, P } R de R e foksiyolar ailesi verilmiş olsu. ( t ) = f ( ( t) ),, t 0 x x P (3.7) şeklide taımlaa sisteme aahtarlamış sistem (AS) deir. i alacağı değerleri; aahtarlama işareti olarak isimledirile, arça arça sabit ve solu zama aralıklarıda solu sayıda süreksizlik oktası içere σ : [ 0, ) P foksiyou belirler. Bu taımda aahtarlama işaretii e olacağı belirsiz bırakılmıştır. Sistem bu haliyle değer kümesi P ola her aahtarlama işaretie sahi olabilir gibi gözükmektedir. Bu şekilde taımlaa sistem açık (oautoomous) sistem özelliği gösterir. Aahtarlama işareti sistemi girişi olarak görülebilir. Sistem temelli bir yaklaşım ile AS ler kaalı sistemler olarak aşağıdaki şekilde taımlaır [3,6,7]. Bu tezde AS leri kararlılık özelliklerii icelemesi sebebiyle daha bütüleşik ola bu taım beimsemiştir. Taım 3.2: P bir ideks kümesi olmak üzere bir { f, P } R de R e foksiyolar ailesi verilmiş olsu. Parça arça sabit ve solu zama aralıklarıda 3

23 solu sayıda süreksizlik içere σ : [ 0, ) S kümesi verilmiş olsu. P aahtarlama işaretleride oluşa bir ( t) = fσ ( ( t) ), σ, t 0 x x S (3.8) şeklide taımlaa sisteme aahtarlamış sistem (AS) deir. Burada { f, } P yi altsistemler ailesi, bu ailei her bir üyesii altsistem ve S kümesii aahtarlama işaretleri kümesi olarak isimledireceğiz. Taım 3.2 ye göre bir altsistemler ailesi ve bir aahtarlama işaretleri kümesi bir AS taımlar. Altsistemler ailesii her bir üyesii doğrusal olması durumuda oluşa sisteme ise aahtarlamış doğrusal sistem (ADS) deir. Taım 3.3: P bir ideks kümesi olmak üzere bir { A x, P} R matris ailesi ve arça arça sabit ve solu zama aralıklarıda solu sayıda süreksizlik içere [ ) σ : 0, P aahtarlama işaretleride oluşa bir S kümesi verilmiş olsu. ( t ) = ( t), σ, t 0 x A x S (3.9) σ şeklide taımlaa sisteme aahtarlamış doğrusal sistem (ADS) deir. { A, P} R matris ailesie her bir matrisi bir sürekli zamalı diamik sistem taımlaması sebebiyle altsistemler ailesi diyeceğiz. (3.8) ile verile AS i bir çözümü ( x,σ ) ikilisi ile taımlaır; öyle ki, σ S dir ve [ ) x : 0, R foksiyou ( t ) = f ( ) ( x( t) ), t 0 x (3.0) σ t şeklideki zamala değişe sistemi bir çözümüdür. Aahtarlama işaretii sistemi durumua bağlı olduğu halleri de göz öüe almak gerekebilir. Bu durumda S izi verile ( x,σ ) çözüm-aahtarlama işareti ikililerii kümesii belirtmek üzere (3.8) ve (3.9) da σ S yerie ( x ),σ S yazılmalıdır. 4

24 3.2.2 Aahtarlama İşareti ve Çeşitli Aahtarlama İşaretleri Kümeleri Şekil 3.4 de görüldüğü gibi bir aahtarlama işareti, arça arça sabit, sağda sürekli ve solu zama aralıklarıda solu sayıda süreksizlik içere bir foksiyodur. Bu özelliklere sahi mümkü tüm foksiyoları oluşturduğu kümeye ω i : S tüm S tüm diyelim. + R bir aahtarlama işaretii i ici süreksizlik oktasıı vere bir foksiyo olsu (bkz. Şekil 3.4). Uyguluk açısıda ω0 0 olarak taımlayalım. i : S tüm + R bir aahtarlama işaretii i ici sabit arçasıı uzuluğuu vere bir foksiyo olsu. Yai; ( σ ) ω ( σ ) ω ( σ ) i = i i, i =,2,... (3.) σ(t) ω (σ) ω ω t 4 (σ) 2 (σ) ω 3 (σ) Şekil 3.4: Bir aahtarlama işareti Sıkça kullaacağımız aahtarlama işaretleri kümeleride biri de S ( τ ) bekleme göstereceğimiz ardışık süreksizlik oktaları arasıdaki mesafei belli bir sayıda büyük olduğu işaretler kümesidir. ( τ ) = { σ i ( σ ) > τ i = } Sbekleme S tüm,,2,3,... (3.2) ile Buraya kadar yalızca zamaa bağlı olarak değişe aahtarlama işaretlerii göz öüe aldık. Öte yada bazı öreklerde aahtarlama işaretii sistemi durumua bağlı olarak değiştiği haller de göz öüe alıabilir. Yalızca sistemi durumua bağlı olarak değişe aahtarlama işaretleri kümesii aşağıdaki şekilde 5

25 taımlayabiliriz. Öcelikle durum uzayıı bir = { : } X X P bölmelemesii göz öüe alalım; öyle ki, X = R dir. Bu bölmeleme içi taımlaa P bölmeleme {, t } ( ) ( x σ ) tüm x( t ) σ ( t ) S X = S X R (3.3) kümesi yalızca duruma bağlı olarak değişe aahtarlama işaretlerii içerir Aahtarlamış Sistemler ile Diğer Sistem Türlerii Karşılaştırılması AS ler ile başka üç tür sistem bezer özellikler taşımaktadır. Bular hibrit sistemler, zamala değişe sistemler ve süreksiz sistemlerdir. Hatta bazı özel hallerde AS ler bu üç türde biri ile tamame ayı olmaktadır. Bu sebele, aşağıda, AS leri bu üç sistem türü ile ilişkisii sırayla ele alacağız. Hibrit Sistemler ile Aahtarlamış Sistemleri Karşılaştırılması Bölüm 3. de bahsedildiği gibi hibrit sistemler sürekli ve ayrık diamikleri etkileşim halide birleşmeleriyle oluşmaktadır. AS ler de ise sürekli diamikler ö ladadır. Ayrık olay sistemii ayrıtılarıyla ilgileilmektese bu sistemi üretebileceği ve sürekli diamikleri etkileye tüm işaretler göz öüe alıır. Bu işaretler tarafıda sürekli sistem aahtarlaacaktır. Hibrit sistemleri aaliz etmei bir yolu oları bu şekilde AS lere döüştürmektir [3]. Bu durumda, ayrık olay sistemii ayrıtıları göz ardı edildiği içi AS i çözümleri hibrit sistemi çözümleride daha fazla sayıda olacaktır; ama hibrit sistemi her çözümüü içerecektir. Bu sebele, elde edile AS i tüm çözümlerii sahi olduğu bir takım özellikler hibrit sistemi çözümleri içi de geçerli olacaktır. Öte yada AS leri aalizi daha kolay yaılabilmektedir. Zamala Değişe Sistemler ile Aahtarlamış Sistemleri Karşılaştırılması Belli bir σ aahtarlama işareti içi (3.8) ile verile bir sistem (3.0) deklemi ile ifade edilebilir ve bu da x( t ) = f ( x( t), t) şeklide bir zamala değişe sistem taımlar. Öyleyse tek bir aahtarlama işareti göz öüe alıırsa AS ile zamala değişe sistem tamamıyla ayı eseyi ifade eder. Acak Taım 3.2 ye göre AS bir 6

26 S aahtarlama işaretleri kümesi ile taımlaır. Bu, birde fazla aahtarlama işaretii göz öüe alacağımız durumları da belirtir ki; bir AS yi zamala değişe sistemde farklı kıla da bu durumlardır. Bir zamala değişe sistemi çözümleri yalızca başlagıç durumları ile arametreleirke, bir AS i çözümleri hem başlagıç durumu hem de aahtarlama işareti ile arametreleir. Bu ayrım, sistemi tüm çözümlerii birlikte sahi oldukları kararlılık, yakısaklık gibi özellikleri icelerke öem kazaır. Süreksiz Sistemler ile Aahtarlamış Sistemleri Karşılaştırılması Bir süreksiz sistem aşağıdaki şekilde taımlaabilir: Burada = { : } ( ) ( ) f x, x X x = f x, x X 2 (3.4) 2 X X P ile durum uzayıı ayrık bir bölmelemesii gösteriyoruz. O halde süreksiz sistemleri AS leri bir türü olarak görmek mümküdür. Buu içi yamamız gereke aahtarlama işaretii duruma bağlı olarak belirlemektir. bölmeleme ( ) S = S X içi AS ile (3.4) ile verile süreksiz sistem tamamıyla ayı eseyi ifade etmektedirler. Acak burada dikkat edilmesi gereke okta bu tür sistemleri her zama bir çözüme sahi olmayabileceğidir [3]. 7

27 4. ANAHTARLANMIŞ SİSTEMLERİN KARARLILIĞI Öceki bölümde bahsedildiği gibi (3.8) ile verile AS içi taımlaa özellikler S aahtarlama işaretleri kümesideki tüm aahtarlama işaretleri içi geçerli ola özeliklerdir. Bir AS i kararlılığı da bu çerçevede taımlamıştır. Bu tez boyuca ayı bir dege oktasıa sahi altsistemlerde oluşa AS ler iceleecektir. Her bir altsistemi farklı dege oktalarıa sahi olduğu AS ler bu çalışmaı kousuu dışıda tutulmuştur. Bu sebele her bir altsistemi sıfırda bir dege oktasıa sahi olduğu varsayımı altıda aşağıdaki taımlar verilmiştir. Taım 4.: Verile herhagi bir δ > 0 sayısıa karşılık, (3.8) sistemii tüm çözümleri içi x( 0) δ x( t) γ x( 0) buluabiliyorsa (3.8) sistemi kararlıdır. < öermesii geçerli kıla bir γ sayısı Taım 4.2: (3.8) sistemi kararlı değilse kararsızdır. Taım 4.3: (3.8) sistemii tüm çözümleri içi x( ) δ x( t) 0 < lim = 0 öermesii geçerli kıla bir δ > 0 sayısı varsa (3.8) sistemi asimtotik kararlıdır. Taım 4.4: (3.8) sistemii tüm çözümleri içi x( t) (3.8) sistemi global asimtotik kararlıdır. t lim = 0 koşulu sağlaıyorsa β Taım 4.5: (3.8) sistemii tüm çözümleri içi x( 0) < δ x( t) γ e t x( 0) öermesii geçerli kıla bir ( δ 0, γ, β 0) kararlıdır. t > > üçlüsü varsa (3.8) sistemi üstel Taım 4.6: Verile herhagi bir δ > 0 sayısıa karşılık, (3.8) sistemii tüm β çözümleri içi x( 0) δ x( t ) γ e t x( 0) < öermesii geçerli kıla bir ( γ, β > 0) ikilisi buluabiliyorsa (3.8) sistemi global üstel kararlıdır. 8

28 Yukarıda verile taımlar, geel olarak sistem teorisi ile ilgili kitalarda verile taımlar ile örtüşmektedir [2]. Kararlılık, asimtotik kararlılık ve üstel kararlılık taımları diamik sistemi çözümlerii, sırasıyla, dege oktası civarıda kalması, dege oktasıa doğru yakısaması ve dege oktasıa doğru üstel bir hızla yakısamasıa işaret etmektedirler. AS ler içi verile bu taımları klasik taımlarda tek farkı burada aahtarlama işaretleri kümesideki her aahtarlama işareti içi geçerli olmasıdır. AS leri kararlılık aalizide literatürde üç ti roblem ile karşılaşılmaktadır [8]. Aşağıda bu roblemleri kısaca alattıkta sora, altbölümlerde her bir robleme ilişki çözümlerde daha uzuca bahsedeceğiz. Keyfi Aahtarlama Problemi Uygulamada karşılaşıla aahtarlama işaretlerii bir kısmıda aahtarlama düzeeği çok yüksek hızlarda çalışabilmektedir. Bu sebele hagi sistemleri keyfi aahtarlama durumuda kararlı olduğu roblemi ile ilgileilmiştir. Diğer bir deyişle (3.8) sistemii S = S tüm içi kararlılığı icelemiştir. tüm S kümesii ( t) σ tiideki aahtarlama işaretlerii de içermesi sebebiyle bu sistemi kararlı olması içi öcelikle her bir altsistemi kararlı olması gerektiği açıktır. Öyleyse bu roblem çerçeveside kararlı altsistemlerde oluşa hagi aileleri keyfi aahtarlama altıda kararlı olacağı iceleir. Bu roblemi aaçık bir çözümü olmadığıı görmek içi aşağıdaki karşı öreği iceleyelim: Örek : = 0.3 A ve A = olmak üzere [ ) { } x = Aσ x, σ: 0,,2, σ S (4.) ile verilmiş bir AS yi göz öüe alalım. Her iki matrisi de köklerii reel kısmı egatiftir, dolayısıyla iki altsistem de kararlıdır. Sistemleri birer yörügesi Şekil 4. de gösterilmiştir. 9

29 x x Şekil 4.: Örek e ilişki altsistemleri birer yörügesi (düz çizgi birici altsisteme, oktalı çizgi ise ikici altsisteme ilişki çözümleri göstermektedir.) Altsistemleri yörügeleri kararlı oldukları halde, σ ( t), x x2 < 0 = 2, x x2 0 (4.2) şeklide duruma bağlı bir aahtarlama işareti ile sistem aahtarladığıda AS i çözümü kararsız olmaktadır (bkz. Şekil 4.2) x x Şekil 4.2: σ aahtarlama işareti içi Örek deki sistemi bir çözümü 20

30 Kararlılaştırma Problemi Literatürdeki çalışmaları öemli bir kısmıda da verilmiş bir altsistemler ailesi içi AS yi kararlı kıla aahtarlama işaretii bulumasıa çalışılmıştır. Diğer bir deyişle (3.8) sistemii hagi tek elemalı S kümeleri içi kararlı olduğu sorusua ceva aramıştır. Altsistemler ailesii üyeleride birii ( f ) kararlı olması durumuda bu roblemi aaçık bir çözümüü ( t) σ olduğu basitçe görülebilir. Bu sebele, kararlılaştırma roblemi ile ilgilee araştırmacılar, her bir altsistemi kararsız olduğuu varsaymışlardır. Bu robleme ilişki aşağıdaki örek, kararsız altsistemleri uygu aahtarlama ile kararlı çözümlere sahi olmasıa ilişkidir. Örek 2: A = 0.3 ve A 2 = olmak üzere [ ) { } x = Aσ x, σ: 0,,2, σ S (4.3) ile verile AS yi göz öüe alalım. Her iki matrisi de köklerii reel kısmı ozitiftir, dolayısıyla iki altsistem de kararsızdır. Sistemleri birer yörügesi Şekil 4.3 de gösterilmiştir x x Şekil 4.3: Örek 2 e ilişki altsistemleri birer yörügesi (düz çizgi birici altsisteme, oktalı çizgi ise ikici altsisteme ilişki çözümleri göstermektedir.) 2

31 σ 2 ( t), x x2 0 = 2, x x2 < 0 (4.4) şeklide duruma bağlı bir aahtarlama işareti ile sistem aahtarladığıda AS i çözümü kararlı olmaktadır (bkz. Şekil 4.4) x x Şekil 4.4: σ 2 aahtarlama işareti içi Örek 2 deki sistemi çözümü Uygu Aahtarlama İşaretleri Kümesii Bulma Problemi Tüm aahtarlama işaretleri içi olmasa da belli bir takım özellikleri sağlaya aahtarlama işaretleri içi kararlı ola AS leri var olabileceği görülmüştür. Bu durumda verilmiş bir altsistemler ailesi içi hagi S aahtarlama işaretleri kümelerii bir kararlı AS oluşturacağı roblemi ile ilgileilmiştir. Geel olarak ilgileile S aahtarlama işaretleri kümelerii ( t) σ şeklideki sabit foksiyoları içermesi sebebiyle bir öceki roblemde olduğu gibi bu roblemde de her bir altsistemi kararlı olduğu kabul edilmektedir. Bu çalışmaı özgü kısmı ola Bölüm 4.3 de bu robleme farklı bir yaklaşım ile çözüm getirilmeye çalışılacaktır. Bu roblemi daha iyi alamak içi keyfi aahtarlama altıda kararlı olmaya bir AS yi iceleyelim: Örek 3: Örek de verilmiş ola AS yi göz öüe alalım. Her iki altsisteme ilişki matrisleri köklerii reel kısımları egatiftir, dolayısıyla iki altsistem de kararlıdır. 22

32 Acak bu sistemleri bazı aahtarlama işaretleri içi kararsız çözüm verebileceği Örek de gösterilmiştir. Öte yada, Aahtarlama işaretii her iki sistemde de yeterice beklemesi durumuda sistemi kararlı olacağı açıktır. Öreği, her iki altsistem içi de sistemi durumuu ilgili yörügede e az bir tur dömesie müsaade edecek bir aahtarlama işareti içi AS kararlı çözümlere sahitir. Bu özelliğe sahi σ 3 ( t) ( t) ( t ), 0 mod20 < 0 = 2, 0 mod 20 < 20 (4.5) işareti ile aahtarlaa sistemi bir çözümü Şekil 4.5 da gösterilmiştir. Burada mod x ( y ) ile x sayısıı y sayısıa bölümüde kalaı gösteriyoruz. Bu aahtarlama işareti içi çözümleri kararlı olduğuu söyleyebiliriz. Dikkat edilirse σ 3 S bekleme ( 9.9) dur ve her ( 0 bekleme ) σ S içi sistemi asimtotik kararlı olduğuu söyleyebiliriz. Diğer bir deyişle (4.) ile verile sistem = ( ) asimtotik kararlıdır. S S içi bekleme x x Şekil 4.5: σ 3 aahtarlama işareti içi Örek deki sistemi çözümü 4. Keyfi Aahtarlama Problemi Yukarıda da bahsedildiği gibi bu roblemi et ifadesi (3.8) sistemii kararlı olu olmadığı sorusu ile verilebilir. Yai iceleecek ola S = S içi tüm 23

33 ( ) σ ( x( )) σ tüm sistemii kararlılığıdır, ya da özel olarak x t = f t, S, t 0 (4.6) ( ) σ ( ) σ tüm x t = A x t, S, t 0 (4.7) ADS si iceleecektir. Kararlılık içi sistemi altsistemler ailesi üzerie koşul getirilecektir. Diamik sistemleri kararlılığıı Lyauov foksiyou aracılığıyla asıl icelediği Bölüm 2.3 de verilmiştir. Bezer bir yötem AS ler içi de kullaılabilir. Buu içi AS i her bir altsistemii ayı bir Lyauov foksiyoua sahi olduğu durum iceleir. Burada kararlılığa ilişki teoremi vermede öce ortak Lyauov foksiyou kavramıı taımlayalım. Taım 4.7: V : R R sürekli türevleebilir (V C ), kesi ozitif ve ışısal sıırsız (bkz. Bölüm 2.3) bir foksiyo olsu. { f :, P} ailesi içi ( ) ( ) ozitif bir W : R R altsistemler dv f x W x, x R, P koşuluu sağlaya sürekli, kesi dx R R foksiyou varsa V ye { f, } ortak Lyauov foksiyou deir. P altsistemler ailesii Teorem 4.: (4.6) ile verile sistemi altsistemler ailesii bir ortak Lyauov foksiyou varsa (4.6) sistemi global asimtotik kararlıdır. Teorem 4. de ortak Lyauov foksiyouu varlığı bir yeter koşul olarak verilmektedir. Bu koşulu sağlamadığı durumlarda sistemi kararlı olu olmayacağı sorulabilir. [7, Teorem 2.2] de global asimtotik kararlı AS leri bazı süreklilik ve sıırlılık koşulları altıda ortak Lyauov foksiyoua sahi olduğu belirtilmiştir. Öyleyse (4.6) sistemii kararlılığı ortak Lyauov foksiyouu varlığıa eşdeğer kabul edilebilir. Bu sebele, araştırmacılar, so yıllarda özellikle doğrusal sistemler içi hagi altsistemler ailelerii ortak Lyauov foksiyoua sahi olduğu ile ilgilemişlerdir [9-22]. Bu kouda bildiğimiz ilk çalışma [9] { A, P } doğrusal altsistemler ailesii üyesi ola matrisleri çarmaya göre değişme özelliği olmasıı yeter koşul olarak vermektedir. 24

34 Teorem 4.2: (4.7) ile verile ADS içi P solu elemalı bir küme, { A R, P} matrislerii her biri Hurwitz ve her ( A A ) i, j, i, j P ikilisi içi Ai A j = A j A i özelliği geçerli ise (4.7) sistemi global asimtotik kararlıdır. Bu teoremi isatı [9] da bir ortak Lyauov foksiyou oluşturmak suretiyle verilmiştir. Bizse burada kararlılık taımıda yola çıkarak isatı vereceğiz. İsat: { A, P} R matrislerii her biri Hurwitz olduğua göre her x = A x, P sistemi global asimtotik kararlıdır. O halde, Taım 4.4 de A t lim e x = 0, x R, P (4.8) t 0 0 olur. Herhagi bir aahtarlama işareti içi (4.7) i bir çözümü ( ) k = i ( t ωi ( σ )) Aσ ( ω ( σ )) k ( σ ) Aσ ω ( σ ) ( k ) ( ) ωi ( σ ) ωi ( σ )) i + x t = e e x 0, t,, i Z (4.9) şeklide yazılabilir. Ai A j = A j Ai, i, j P olduğuda Cambell-Baker- A A j A i i j Hausdorff formülü (bkz. Bölüm 2.5) ile e e = e + A ye ulaşılır. Öyleyse, her altsisteme ilişki çaraları bir araya getirerek, çözümü, ( ) A ( ( )) ( σ ω ( )) k σ k σ k i σ ( ωk ( σ )) = x 0 ( t ωi ( σ )) Aσ ( ω ( σ )) x t = e e P ( ) (4.0) şeklide yazabiliriz. Aahtarlama işaretii t süresie kadar değerii aldığı tüm aralıkları tolam uzuluğuu Λ ( t) ( ) ( k ( )) k sayıları ile ( ) t max ωi σ + σ, σ t = ωi ( σ ) t k σ ( ω ( σ )) = ( k ( σ )), σ ( t) k σ ( ωk ( σ )) = 25

35 taımlayalım. Öyleyse (4.0) u daha sade bir şekilde x( t ) ( ( )) ( e ) A Λ t x( 0) P = olarak yazabiliriz. Bu ifade solu sayıda çara içerir; çükü P solu elemalıdır. ( ( A Λ ( t) ) ) ( ) P ( ( A Λ ( t) ) ) ( ) P 0 x( t) = e x 0 e x 0 ( t) ( A Λ ( t )) ( e ) x( ) t P ( A Λ ( t )) lim ( e ) x( 0) t P ( A Λ ( t )) ( lim e ) x( 0) t P 0 lim x = lim 0 t = (4.) (4.2) t sosuza giderke Λ ifadeleride e az birii sosuza gideceği açıktır. O halde (4.8) i de kullaırsak, (4.2) i sağ tarafıdaki ifadede solu sayıdaki lim t ( A ( ( )) ( ) k t ) e σ ω σ Λ çaralarıda e az biri sıfır ve diğerleri de solu büyüklükteki sayılar olduğuu görürüz. Öyleyse (4.2) eşitsizliğii hem sağ tarafı hem de sol tarafı sıfırdır, dolayısıyla ( t) asimtotik kararlıdır. lim x = 0 soucua varılır, yai (4.7) ile verile AS t Teorem 4.2 ile asimtotik kararlılık içi yeter koşul verildi. Acak bu koşulu gerek koşul olmadığıı görmek zor değildir. Öreği, A 2 =, 2 = 2 A 2 (4.3) matrisleride oluşa ( ) ( ) σ { } x t = A x t, S, P =,2, t 0 (4.4) σ tüm sistemii göz öüe alalım. A A2 A2 A dir; acak A ve 2 A içi ( ) T V x = x x bir ortak Lyauov foksiyoudur, dolayısıyla sistem global asimtotik kararlıdır. O halde Teorem 4.2 ile verile koşulu dar bir koşul olduğu açıkça görülmektedir. (4.7) 26

36 sistemii ortak Lyauov foksiyouu varlığıa ilişki daha geiş bir koşul [2] da verilmiştir. Bu çalışmada verile koşul Hurwitz matrislerde oluşa altsistemler ailesii eşüçgeleştirilebilir olmasıdır, yai altsistemler ailesi içi her V A V matrisii üst (alt) üçge forma döüştürecek bir V C matrisii buluabiliyor olmasıdır [23]. Çarmaya göre değişme özelliğie sahi ola matrisleri eşüçgeleştirilebilir olduğu bilimektedir [24]. O halde eşüçgeleştirilebilirliğe dayaa bu koşul Teorem 4.2 ile verile koşulu kasamaktadır. Bir matris ailesii ortak Lyauov foksiyouu varlığıa ilişki bir başka koşul ise [20] de verilmiştir. Daha dar bir kümeyi kasamasıa karşı kotrol edilmesi daha kolay ola bu koşul matris ailesii oluşturduğu Lie cebrii çözülebilir olmasıa dayamaktadır [3]. 4.2 Kararlılaştırma Problemi Yukarıda da bahsedildiği gibi bu roblem, AS leri Taım 3.2 kasamıda ele alıması durumuda, AS yi kararlı kıla tek elemalı S kümelerii bulma roblemidir. Burada aahtarlama işaretii özel bir tite olması aramamaktadır; öemli ola AS yi kararlı kıla herhagi bir aahtarlama işaretii bulmaktır. Bu roblem içi de literatürde ele alımış birçok yaklaşımda bahsedilebilir [7,8,4,25-27]. Biz burada öemli bulduğumuz ve alatılması daha kolay ola, yalızca zamaa bağlı bir aahtarlama işareti ile sistemi kararlı kılmayı sağlaya koveks kombiasyo yaklaşımıda bahsedeceğiz [8,4]. Koveks Kombiasyo Yaklaşımı ( t ) = ( t), σ, t 0 x A x S (4.5) σ sistemii bir σ S içi çözümü i t ti ( σ ) i ( σ ) i x( t ) = e e A x ( 0 ), t ( ti ( σ ), ti ( σ )), i =,2,... (4.6) k = şeklide ifade edilebilir. 27

37 Bu yaklaşımı aa teoremii sumada öce ortalama sistem kavramıı taımlayalım: Taım 4.8: T > 0, α, α2,..., α m, m αi = koşuluu sağlaya ozitif reel sayılar ve k = A ( t) t [ α T ) ( ) ) A, 0, A2, t α T, α + α2 T (4.7) = m Am, t α k = olmak üzere ( t ) = ( t) ( t), t 0 x A x (4.8) eriyodik doğrusal sistemii göz öüe alalım. Bu sistem içi taımlaa ( ) ( ) 0 0 m x t = A x t, A = α A, t 0 (4.9) k= i i sistemie (4.8) i ortalama sistemi deir. [4, Lemma 2.0] a göre α 0 lim m A m T α m m T T e e A α A A e = e T + T 0 (4.20) olduğuda (4.8) ile (4.9) i çözümleri yeterice küçük T ler içi birbirlerie isteildiği kadar yakı olabilecektir. Bu da bizi yeterice küçük T ler içi iki sistemi üstel kararlılıklarıı eşdeğer olduğu soucua götürür. Teorem 4.3: (4.9) ortalama sistemi üstel kararlı ise öyle bir ρ > 0 sayısı buluabilir ki her T < ρ içi (4.8) üstel kararlı olur. Öyleyse verilmiş bir {, } A P ailesi içi bu ailei üyelerii m A = α A + α A + + α A, α = şeklide Hurwitz bir koveks m m i i= 28

38 kombiasyou varsa yeterice küçük T ler içi ( σ ) α mod (, ) = koşuluu i i m T sağlaya σ eriyodik aahtarlama işaretleri ile AS yi kararlı kılmak mümkü olacaktır. Teorem 4.4: Verilmiş bir { A, } Hurwitz koveks kombiasyouu varlığı, P matris ailesi içi bu ailei üyelerii ( t ) = ( t), σ, t 0 x A x S (4.2) σ sistemii üstel kararlı kıla S aahtarlama işaretlerii kümelerii varlığıa eşdeğerdir. Souç olarak, bir Hurwitz koveks kombiasyou ola matris aileleri içi sistemi kararlılaştıra bir eriyodik aahtarlama işaretii T yi yeterice küçük alarak oluşturabiliriz. 4.3 Uygu Aahtarlama İşaretleri Kümesii Bulma Problemi Büzülme döüşüm teoremleri, yai Baach sabit okta teoremi ve bezerleri, ayrık zamalı diamik sistemleri kararlı dege oktalarıı varlığıa ilişki koşulları verirler [28]. Bu teoremlerde yararlaarak; zamala değişmeye, sürekli zamalı, doğrusal sistemleri de kararlılığı gösterilebilir. Buu içi bir yol, sürekli zamalı sistemi davraışıa bezer bir şekilde davraa ayrık zamalı sistemi yaratmaktır. Bu bölümde ADS leri kararlılığıı, bu tür sistemleri iteratif foksiyolar sistemlerie (İFS) [5] döüştürmek yoluyla iceleebileceği gösterilecektir. Ayrıca; AS leri kararlılığı içi aahtarlama işareti üzerie koşullar verilecektir. Böylece hagi özel S kümeleri içi (3.8) sistemii kararlı olduğu roblemie ilişki bir çözüm suulacaktır. Sürekli Zamalı Sistemleri Ayrık Zamalı Sistemlere Döüştürülmesi + ( ) ( ) { } x t = A x t, x : R 0 R, t 0 (4.22) 29

39 sürekli zamalı sistemii ele alalım. Bir x( ) 0 = a başlagıç durumu içi (4.22) i bir çözümüe x a diyelim. F R R τ 0 foksiyolarıı F ( a) = x = e A τ a τ :, τ a şeklide taımlayalım. Burada F τ foksiyou, argümaıı (4.22) sistemide başlagıç durumu olarak koyar ve değer olarak (4.22) i bu başlagıç durumu içi τ süre boyuca çalışmasıda soraki durumu verir. F τ, τ 0 foksiyoları aracılığıyla + ( ) τ ( ( )) { } x k + = F x k, x : Z 0 R, k = 0,,2,... (4.23) ayrık zamalı sistemlerii taımlayalım. (4.22) sistemi ile (4.23) sistemii çözümlerii örtüşeceği ve dolayısıyla kararlılık özelliklerii de ayı olacağı açıktır. Böylelikle büzülme döüşümü teoremleride yararlaarak ayrık zamalı sistemler üzerie elde edilecek souçlar, sürekli zamalı sistemler hakkıda da bilgi verecektir. Öte yada bu yaklaşımı uygulamada gereksiz olduğu açıktır zira ayrık zamalı sistemi elde etmek içi sürekli zamalı sistem çözülmelidir ve sürekli zamalı sistemi çözümü kararlılığa ilişki bilgi vermeye yetecektir. Acak bu yaklaşım ADS leri hagi aahtarlama işaretleri içi kararlı olduklarıa ilişki bilgi verebilir. Aahtarlamış Doğrusal Sistemleri İteratif Foksiyolar Sistemlerie Döüştürülmesi ( ) ( ) ( ) x t = Aσ x t, σ S τ, t 0 (4.24) bekleme bekleme ile verile bir AS yi göz öüe alalım. Her A, P içi A τ { Fτ Fτ ( a) = e a, τ > τ bekleme} foksiyolar kümesii düşüelim. ( t) her zama aralığıda, kümede bir ( ) σ ola A yerie, τ bu zama aralığıı boyu olmak üzere, bu A τ F a = e a foksiyou karşılık gelir; öyle ki bu aralıkta τ x ( t) = A x( t) sürekli zamalı sistemi yerie ( k + ) = Fτ ( ( k )) x x ayrık zamalı sistemii yalızca bir adım çalıştığı düşüülebilir. Böylece (4.24) yerie 30

40 A τ { Fτ Fτ ( ) = e,, τ > τ bekleme} a a P (4.25) ile verile bir İFS karşı düşer. Bir İFS taımı gereği büzülme döüşümleride oluşmalıdır [9]. AS leri hagi aahtarlama işaretleri kümeleri içi kararlı olduğu roblemi iceleirke, geelde, her edilir. Acak ilişki F ( ) e alamıa gelmez. τ A sistemii asimtotik kararlı olduğu kabul A i özdeğerlerii karmaşık düzlemi sol yarısıda olması A τ A ye a = a foksiyouu her τ 0 içi büzülme döüşümü olduğu Aahtarlamış Sistemi Kararlı Kıla Aahtarlama İşaretii Buluması (4.24) ile verile sistemi (4.25) ile verile sisteme dek olduğuu gösterdik. Öte yada (4.25) i bir İFS olması içi her F τ foksiyouu bir büzülme döüşümü olması gerekmektedir. Bu koşul sağladığıda (4.25) ile verile sistemi tek bir kararlı sabit oktaya sahi olacağı [9] daki Teorem 3.2 de kolaylıkla görülebilir. Bu teoreme göre bir İFS i ihai kümesi İFS yi oluştura foksiyoları ihai kümelerii birleşimidir. Burada ise İFS yi oluştura her foksiyou tek bir ihai kümesi vardır, o da sıfırdır. Böylelikle (4.25) ile verile sistemi kararlılığı içi her F τ foksiyouu büzülme döüşümü olduğu gösterilmelidir. Öyleyse her F τ A ( a) e τ = a içi ( ) F ( ) <, <,, Fτ x τ y ρ x y ρ x y R (4.26) koşulu sağlamalıdır. O halde; ( ) ( ) A τ A τ A τ F x F y = e x e y e x y < x y (4.27) τ τ ρ Souç olarak e A τ < ise F τ büzülme döüşümüdür. Her A i katsız ve sıfırda farklı kökleri olduğuu varsayalım. Pratikte karşılaştığımız doğrusal sistemler geelde bu yaıdadır [29, s. 387]. e = V e V bezerlik döüşümüü ele A t A t alalım [, s. 304]. sl = al + bl i, l =,2,..., A ı özdeğerlerii ve v l, l =,2,..., ayı sırayla özdeğerlere karşı düşe özvektörleri göstermek üzere 3

41 [ ] V = v v v 2 ve D s t s 0 0 e s 0 e dir. 0 0 s t 0 0 s 0 0 e s2 t 2 D t = ï e = c C = tiideki bir matrisi ormu 0 c 0 ( ) C = λ T 2 max C C = max cl = max cl l l şeklide yazılabildiğide ve her z = a + b i karmaşık sayısı içi z t a t b i t a t e = e e = e olduğuda D t al t al t e = max e = max e = e l l ( max al ) t l dir; çükü a < 0, l l. Souç olarak; A τ D τ D τ e e e e = V V V V = V V ( max al ) τ l (4.28) Öyleyse V ( max al ) τ V e < l koşuluu sağlaması F τ u büzülme döüşümü olması içi yeterlidir. ï l ( max al ) τ ( max a ) l l e < ï < V V V V ( V V ) ( max al ) < τ ïτ > τ l e l mi τ l ( V V ) ( max al ) l (4.29) Böylece F τ u büzülme döüşümü olması içi yeter koşul bulmuş olduk. Bu şekilde her A ye karşılık bir mi foksiyoları büzülme döüşümü olsu. A τ τ bulabiliriz; öyle ki F ( a) = e a, > mi τ τ τ τ bekleme = maxτ (4.30) mi olarak belirleirse (4.24) sistemi asimtotik kararlı olur. Bulduğumuz soucu aşağıdaki teorem ile özetleyelim: Teorem 4.5: + ( ) ( ) σ { } x t = A x t, S : R 0 P, t 0 (4.3) σ 32

42 ADS si verilmiş olsu. V, sütuları A matrisii özvektörleride oluşa bir matris ve λ ( A ), A 'i özdeğerleride oluşa kümeyi göstermek üzere ( V V ) { λ ( A )} l S = S bekleme su içi (4.3) global asimtotik kararlıdır. mi Re P Örek 4: 5 = 2 A ve 2 3 A = 6 olmak üzere [ ) { } ( ) x = A x, : 0,, 2, S (4.32) σ σ σ bekleme τ bekleme AS sii göz öüe alalım. (4.29) da birici altsistem içi τ mi = ikici altsistem içi ise τ mi = olarak buluur. (4.30) uygulaırsa τ 2 bekleme = buluur. O halde, ( σ ) 0.57, i,2,3,... = = ile belirlee bir aahtarlama işaretie i ilişki çözüm sıfıra yakısamalıdır. Şekil 4.6 de bu aahtarlama işareti ile oluşa bir çözüm gösterilmektedir x x Şekil 4.6: Örek 4 e ilişki kararlı çözüm (oktalı ve düz çizgiler sırasıyla birici ve ikici altsistemi çalıştığı durumları gösteriyor.) 33

43 A τ Bulduğumuz bekleme süresii e <, P koşuluu sağlaya oldukça uygu bir değer olduğuu görmek içi bilgisayar yardımıyla hesalaa e A t ve e A 2 t i grafiklerie bakılabilir (bkz. Şekil 4.7)..4.2 X: 0.55 Y:.00 = =2 0.8 e A t t Şekil 4.7: Örek 4 teki sistemleri e A t ormu Örek 5: = A ve 2 alalım. (4.29) da birici altsistem içi 0.5 A = 3 0. olmak üzere (4.32) AS sii göz öüe τ mi = ikici altsistem içi ise τ mi =.8753 olarak buluur. (4.30) uygulaırsa τ 2 bekleme = buluur. O halde, i ( σ ) 7.84, i,2,3,... = = ile belirlee bir aahtarlama işaretie ilişki çözüm sıfıra yakısamalıdır. Şekil 4.8 bu aahtarlama işareti ile oluşa bir çözüm gösterilmektedir 34