x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak

Transkript

1 BÖLÜM I OLSILIK Küme teorisi, matematiği geliştirilmesi ve öğretimide gittikçe daha fazla yararlaıla koularda biridir. yrıca olasılıkla ilgili birici bölümü temel aracıdır. Bu kısımda amaç, olasılık kousuda kullaılacağı kadarı ile, kümelerle ilgili kavramları ve küme işlemlerii açıklamasıdır.. KÜME KVRMLRI Taım (Küme): Kedisie ait ola elemaları ayırt ede bir kural ile birlikte taımlamış herhagi bir eseler topluluğua küme adı verilir. Küme kavramıa pek çok örek herkes tarafıda verilebilir. Siyasal Bilgiler Fakülteside okuya öğreciler, kitaplığı e üst rafıda yer ala kitaplar, üfus sıklığı gelir düzeyi Türkiye ortalamasıı üzeride ola iller, alfabedeki sesli harfler, ile arasıdaki reel sayılar, bir çember üzerideki oktalar..vb birer küme teşkil ederler. Buları her biride küme tarifii iki usuru açıkça görülebilir: i) Bir araya gelmiş eseler, ii) Buları başka eselerde kesi şekilde ayıra ve kümei sıırlarıı tayi ede kural. bir küme olsu:, Eğer x, kümesii bir elemaı ise, x şeklide gösterilir. ksi durum ise x olarak ifade edilir. Yukarıda verile küme örekleride bazıları sıırlı sayıda elema içerir. Bu tip kümelere sıırlı küme deir. sıırlı kümeye örektir. Bua karşılık so iki örekte küme elemalarıı saymaya imkâ yoktur. Bu tip kümelere ise sıırsız elemalı küme deir, x : x kümeside olduğu gibi. Hiç bir elemaı olmaya kümeye boş küme deir ve işareti ile gösterilir. Boş küme acak bir taedir, yai birde çok boş küme düşüülemez.

2 Boş kümei tek oluşuu göstermek içi, ve 'ı birer boş küme olduğuu varsayılsı. 'u içide bulumaya herhagi bir elemaı olmadığıda da yazılabilir. Oysa bu iki ifadei ayı ada sağlaması acak boş kümei tekliği halide mümküdür. dır. Bezer şekilde olması, yai Kümelerle ilgili diğer öemli bir kavram, Evresel Küme, E dir. Boş kümei tekliğie karşılık, evresel küme, her kou veya örek ile ilgili olarak ayrı ayrı düşüülmesi gereke bir kavramdır. Meselâ sadece IIBF öğrecileri üzeride yapılması düşüüle bir araştırma bakımıda IIBF öğrecileri evresel kümeyi teşkil ederler. Hâlbuki kou meselâ Türkiye'- deki bütü yüksekokul öğrecilerii serbest zama faaliyeti olsaydı evresel kümeyi de oa göre geişletmemiz gerekecekti. Herhagi bir kouda evresel küme belli ike, ayı kouda düşüülebilecek diğer bütü kümeler bir küme içide kalırlar. Bu durum bir kümei başka bir kümeyi tamame kapsaması veya başka bir kümei tamame içide buluması hallerii icelemesii gerektirir. Taım: Eğer ise i alt kümesidir. ( içeri B) şeklide gösterilir. Her küme kedi kedisii alt kümesi olduğu içi buu şeklide göstermeliyiz. yrıca her küme evresel kümei alt kümesidir., boş küme ise her kümei bir alt kümesidir. bu yüzde olur Kümeleri VENN diyagramları ile göstermek çoğu zama faydalı olur ve küme ilişkilerii kolaylıkla kavramasıı, küme işlemlerii souçlarıı alaşılmasıı sağlar. Ve diyagramları içi belli bir şekil söz kousu değildir. Biz kolaylık olsu diye yi bir dikdörtge, E içideki diğer kümeleri de daire şeklide göstereceğiz. B EŞİTLİK VE DENKLİK " " işareti tek taraflı bir öermeyi ifade ediyor; yai soraki ifadei öceki ifadei zorulu bir soucu olduğuu gösteriyor.

3 ve B gibi iki küme, tamamı ile ayı elemaları içeriyor ise eşit sayılırlar. Elemaları sıralaış farkı küme eşitliğii bozmaz. Örek: 3 kardeş var, isimleri li, yşe, hmet. Orta okulda okuya bu kardeşleri İgilizce derside kare ders otları sırasıyla 8, 7, 5. Matematik otları ise sırasıyla 5,8,7. İgilizce derside alıa otlar kümesii, B matematikte alıa otlar kümesii göstersi Küme eşitliğii özellikleri: i) Her küme kedisie eşittir ve bu bütü kümeler içi doğrudur. ii) Simetri; iii) Geçişlilik; yı özellikleri alt kümeleri içi varlığıı icelersek; i) Her küme kedisii bir alt kümesidir. ii) Geel olarak yazılamaz, yai simetri yoktur. cak ve B kümeleri eşit ise bu şart sağlaabilir. iii) Geçişlilik; Deklik: Elemaları arasıda bire bir ( ) eşleme (karşılama) ola kümeler birbirlerie dektirler. yı sayıda elemaa sahip ola kümeler dektir. Fakat bu, ayı sayıda elemaa sahip olmalarıı iki kümei dekliği içi gerekli şart olduğu alamıa gelmez. Buu göstermek içi her ikisi de sıırsız ola, kümelerii göz öüe alalım. R kümesideki her doğal sayıya E kümeside misli bir sayı tekabül etmektedir, bu sebeple R ve E kümeleri dektir. Halbuki elema sayısıı eşitliğii kriter olarak alsaydık bu iki kümei dek olduğuu gösteremezdik.

4 Kuvvet Kümesi:, sıırlı sayıda elemaı içere bir küme olsu. 'ı bütü alt kümelerii teşkil ettiği kümeye Kuvvet kümesi deir ve şeklide gösterilir. olsu. Bu durumda, alaşılır: Belli bir sıırlı kümete kaç tae alt küme üretilebileceği aşağıdaki teoremde Teorem: elema içere sıırlı bir küme ise 'ı e elemaı vardır, başka deyişle 'ı ae alt kümesi vardır. Teoremi öreğimize uygularsak, 'ı 3 elemaı olduğua göre ( ) 8 tae alt kümesi akla gelecektir. KÜME İŞLEMLERİ i) Tümleyici küme: Taım: biçimide taımlaır. otasyou ile ifade edilebilmektedir. Tamamlayıcı küme, evresel küme içide ı elemaı olmaya bütü elemaları kapsaya kümedir. ve birlikte evresel kümeyi teşkil ederler. i belirleebilmesi içi E i taımlamış olması gerekir. Siyasal Bilgiler Fakültesi öğrecileri E kümesii, üçücü sııftaki öğreciler kümesii teşkil etsiler. kümesi bu durumda SBF'i,, ve 4'ücü sııflarıdaki öğrecilerde meydaa gelecektir. ii) Kesişim: Taım: ve kümelerii kesişimi şeklide gösterilir ve matematiksel olarak aşağıdaki biçimde taımlaır. Küme kesişimi içi öceki öreğe devam edelim. Üçücü sııf öğrecileri kümesii temsil ediyordu. kümesi ise SBF'deki kız öğreciler olsu. kümesi, üçücü sııftaki kız öğrecilerde meydaa gelecektir. Bu kümei elemaları, hem üçücü sııf öğrecisi olmaları dolayısıyla, hem de kız olmaları dolayısıyla kümesii elemalarıdır. Eğer iki küme hiç ortak elema içermezse bu iki küme a y r ı k veya ayı ada imkâsızdır deir. Teoremi ispatı içi bakıız: S. H. Hymas, "robability Theory With pplicatios to Ecoometrics ad Decisio Makig" retice Hail, 967 syf. 3.

5 Böyle iki kümei kesişimi hiç bir elema içermediğide boş kümeyi verir., ve i ayrık oluşuu gerekli ve yeterli şartıdır. yrık kümeler içi SBF ye 3'ücü sııf öğrecileri birer örek olabilir, çükü bu fakültede sııf geçme usulü yürürlükte olduğuda bir öğreci ayı ada iki sııfı birde öğrecisi olamaz. iii) Birleşim: Taım: ve kümelerii birleşimi şeklide gösterilir ve matematiksel olarak aşağıdaki biçimde taımlaır. Öceki örekte kümesi üçücü sııf öğrecilerii ve diğer sııflardaki kız öğrecileri kapsar. iv) Fark, simetrik fark: Taım: ve kümelerii simetrik farkı (veya şeklide gösterilir ve matematiksel olarak aşağıdaki biçimde taımlaır. kümesii elemaları kümesii elemaı ola ve B kümesii elemaı olmaya birimlerde kurulur. Başka şekilde ifade edersek, B kümesii elemaı olmaya elemalar arasıda kümesie dahil olalarıı temsil ettiği kümedir. kümeside, her iki kümeye ortak ola elemaları ayırt edersek geriye kalacaktır. Öceki misâlde üçücü sııftaki erkek öğreciler kümesii teşkil edecektir. kümelerii simetrik farkı: biçimide gösterilir. Matematiksel olarak alamı kümeleride sadece bir taesii elemalarıda meydaa gelecektir. Başka deyişle, de i çıkarılması işlemiyle buluur. Matematik diliyle ifade edersek; Öreğimizde kümesi; üçücü sııftaki erkek öğrecilerle diğer sııflardaki kız öğrecilerde meydaa gelir. Yai ya üçücü sııftaki bir erkek öğreci olmak veya diğer sııflarda bir kız öğreci olmak bu kümei elemaı olması içi yeterlidir. Şimdi, buraya kadar değidiğimiz küme işlemlerii Ve diyagramları yardımı ile gösterelim. Her şekilde taralı ala söz kousu ola kümeyi göstersi.

6 E. OLSILIK TEORİSİ İstatistiksel araştırmaları temel koularıda biri soucu öcede kesi olarak bilimeye bazı şasa bağlı olayları (deemeleri) olası tüm mümkü souçlarıı hagi sıklıkla ortaya çıktığıı belirleyebilmektir. Bu soru istatistikte olasılık problemi olarak adladırılır ve deemeleri bezer koşullarda tekrarlaabildiği durumlarda çözüm bulmak mümküdür. Taım: Olasılık, bir olayı ortaya çıkma şasıı taımlaya, 0 ile arasıda bir sayıdır. Taım (Rassal Deey): Souç gözleiceye kadar çıktısı bilimeye deeyler, rassal deeylerdir. Çözümü ilk aşaması rassal deeyi tüm mümkü çıktılarıı belirlemesidir. Öreği bir paraı iki kez atılması soucuda üst yüze gele sembolleri tüm mümkü durumları bir kümei elemaları olarak; T, T, T, Y, Y, T, Y Y S e :, taımlaabilir. Bu edele olasılık kousu küme teorisii bir araç olarak kullamaktadır.. KÜME TEORİSİ Bu kısımda kümeler, B gibi büyük harfler ile gösterileceklerdir. Taım (Örek Uzayı): Bir rassal deeyi tüm mümkü çıktılarıı kümesi S, bu deeyi örek uzayı olarak adladırılır.

7 Örek uzayı içerdiği elema sayısı açısıda iki sııfa ayrılır: a) Sayılabilir (solu/sosuz) elemalı b) Sayılamaz (sosuz) elemalı Eğer bir örek uzayıı elemaları, tam sayıları bir alt kümesi ile birebir ilişkili ise örek uzayı sayılabilir elemalıdır. yrıca bir örek uzayı solu sayıda elemaa sahip ise sayılabilirdir. Bir kümei elemaları pozitif tam sayılar kümesi ile bire bir eşleşebiliyor ise sayılabilir sosuz elemalı kümedir. Bir diğer örek de pozitif rasyoel sayılar kümesidir. Bu yapıdaki kümeler elema sayısı solu ya da sosuz olsa da geellikle sayılabilir kümeler olarak adladırılırlar. Sayılamayacak kadar çok (sosuz) elemaa sahip kümeler içi verilebilecek örek, tüm gerçel sayıları taımladığı kümedir. Reel sayıları saymak mümkü değildir. Bu tip kümeler daha sora iceleecektir. Sayılabilir ve sayılamaz elemalı örek uzayları arasıdaki fark sadece ataacak olasılıkları belirlemesi açısıda öemlidir. İstatistiği temeli ola fakat araştırmacıı geellikle göz ardı ettiği şey yalızca bir deeydir. Bu bir adet deey birçok defa tekrarlaır. Öreği, bir para iki kez havaya atılsı. Bu yei deeyle ilgili örek uzayı aşağıdaki gibidir: Y, TY, T Y, Y, Y, T, T, Y, T T S, Eğer orijial deeyde para hilesiz ise, yai Y T durumu da eşit olasılıklı olacaktır: Y Y Y, T T, Y T, T, ise bu yei deeyi 4 mümkü Daha geel bir ifadeyle, örek uzayları S ve S ola iki deey göz öüe alıdığıda, bu iki deeyi kombiasyou ola bir deeyi örek uzayı kümesi, S S S : S,, S olur. Eğer S ve S i sırasıyla r ve s adet elemaları var ise, S x S i elema sayısı rs dir. Buraya kadar ola kısımda rassal bir deeyi tüm mümkü souçlarıı göstere örek uzayı S taıtıldı. Fakat S bir kümedir ve küme teorisiyle rassallığı matematiksel formülasyouu ortaya koymaktadır. Bu aşamada sora yapılması gereke bir şeyi rassal olarak mı ortaya çıktığı ya da bir olay mı olduğuu formülize edilmesidir. 4

8 Taım (Basit olay): S örek uzayıı oluştura her bir e elemaıa basit olay deir. Taım (Bileşik olay): Bir örek uzayıı herhagi bir alt kümesi (S i kediside dahil) bir olay olarak adladırılır. Rassal olayları kümeler ciside ifade edilmesi, olayları tüm mümkü birleştirilme ya da tahrif edilmesi durumlarıı küme teorisii yardımıyla belirleebilmesie olaak sağlar. Öreği olaylar ayı zamada meydaa gele, alteratif, karşıt vb gibi taımlaabilir. Örek: Rassal bir deeyi sııftaki bir kişii seçilmesi ve kampüse asıl geldiği sorusua verdiği cevap olduğu varsayılsı. Yukarıdaki şekil örek uzayı içerisideki olayları göstermektedir ve Ve Diyagramı olarak adladırılır. Bir örek uzayı içi taımlaa iki uç durum vardır. Biricisi S kümesii taımladığı e büyük alt küme kedisidir. İkici uç durum ise boş kümedir. Taım (Boş Küme): Elemaı olmaya küme boş Ø kümedir. = Ø. Bir kümesideki elema sayısı kümei hacmi (size) olarak adladırılır ve ile gösterilir. Burada egatif olmaya bir tam sayıdır ve Ø=0 olarak taımlaır. Olasılıkla ilgili ifadelerde geellikle bir kümei olasılığı yerie bir olayı olasılığıda bahsedilir. İlk olarak kümeleri (olayları) sıralama ve dekliğii taımlaya iki ilişki aşağıda verilmiştir: Taım (Kapsama): Eğer kümesii her elemaı B kümesi tarafıda içeriliyor ise B kümesi kümesii kapsar ve kümesi B kümesii bir alt kümesidir.

9 B x xb Diğer bir gösterim ise B şeklidedir. Taım (Eşitlik): Eğer iki küme tamame ayı elemalara sahip ise eşittir. B B ve B. ELEMNTER KÜME İŞLEMLERİ Herhagi iki olay (veya küme) ve B verilmiş olsu. Birleşme: ve B kümelerii birleşimi, ya da B kümelerie ait elemaları kümesidir: B x : x veya x B Birkaç farklı alteratifte oluşa bir olay taımlamak istesi. Öreği kampüse gelirke kullaıla motorlu taşıt olayı ya araba ya otobüs ya da her ikisi birlikte kullaılarak gerçekleştirilebilir. Bu seyahat kümesii gösterilmesi içi hem arabaı tüm mümkü çıktılarıı hem de otobüsü tüm mümkü çıktılarıı işaretlemesi gerekir. Not: ve ve ya da ifadeleri birbirie karıştırılmamalıdır. raba ve otobüsü birleşimi göstermek içi araba ve otobüsteki her yeri işaretlemesi gerekir. Birleşimi ve mi ya da mı ile ifade edildiğii hatırlamak içi taralı aladaki bir olayı eleri sağlaması gerekir soruu göz öüe alıması gerekir. Kesişim: ve B kümelerii kesişimi, hem hem de B kümelerie ait elemaları kümesidir: B x : x vexb Kesişim iki ya da daha fazla olayı hepsii birlikte meydaa gelmesiyle oluşa bir olaydır. Öreği, kampüse yapıla seyahati hem araba hem de tre ile gerçekleştiği varsayılsı. Bu

10 olayı gösterilmesi içi araba ve tre olaylarıı çakıştığı bölgedeki tüm çıktıları işaretlemesi gerekir. Tümleye: kümesii tümleyei, kümeside olmaya tüm elemaları kümesidir: c x : x Bir olayı tümleyei, o olayı tersidir. Olay eyi temsil ediyorsa, tümleyei o olayı gerçekleşmemesidir. Öreği kampüse yapıla seyahat yürümeyi içermiyor olsu. Bu olayı göstermek içi S de yürüme haricideki tüm çıktıları işaretlemesi gerekir. yrıca S c =Ø ve Ø c =S olup ( c ) c = özdeşlikleri geçerlidir. Kesişim ve tümleye işlemlerii bir kombiasyou ola Fark işlemi ise ileride açıklamıştır. Örekler: Deey: Sııfta bir kişii rassal olarak seçilmesi Örek Uzayı: S = { Sııftaki tüm kişiler }

11 olayı = kişii erkek olması ve B olayı B = kişii bisikletle kampüse gelmiş olması olsu. Okula bisiklet ile gelmemiş ola bir erkeği seçildiği varsayılsı. Bua göre aşağıdaki olaylar gerçekleşip gerçekleşmemelerie göre icelemiştir. ) evet ) B hayır 3) hayır 4) B evet 5) B = {kadı veya bisiklet kullaıcısı ya da her ikisi} hayır 6) 7) B = {erkek ve bisiklet kullamaya} evet B = {erkek ve bisiklet kullaa} hayır 8) c = B B dışıdaki herşey. B gerçekleşmediği içi c B gerçekleşmiştir. Ve diyagramları geellikle üç olaya kadar kullaışlıdır. Bu yüzde ispatlarda kullaılmazlar. Üçte daha fazla olaylar içi bu diyagram çakışmaları göstermede yetersiz olabilir. Öreği, S S S S Bazı öemli küme işlemleri aşağıdaki teorem ile taımlamıştır.

12 Teorem: Örek uzayı S üzeride üç olay (küme), B, C taımlamış olsu. Burada paratezler işlem sırasıı taımlar ve oldukça öemlidir. Öreği (B)C kümesi (BC) kümeside farklıdır. Değişme (Commutativity): B= B B= B Birleşme (ssociativity) : (BC)=(B)C (BC)=(B)C Dağılma (Distributive) : (BC)=(B)(C) (BC)=(B)(C) De Morga : (B) c = c B c (B) c = c B c İspat. Sadece De Morga Kuralları ilki ispatlaacaktır. İspat iki aşamalıdır. İlk adımda c c c B B olduğu gösterilsi: x B c olsu. Bu durumda x B olmalıdır. Souç olarak; x ve x B. Bu edele soucu: c x ve c x B, diğer bir deyişle; x c c B buluur. İlk adımı c c c B B İkici adımda c B c B c olduğu gösterilsi: x c c B olsu. Bu durumda x B. Bu edele x B soucu: c x ve, diğer bir deyişle; x B c c x B olmalıdır. Souç olarak; x ve buluur. İkici adımı c B c B c Her iki adımı soucu birlikte değerledirildiğide: c B c B c. Küme teorisi üzerie taımlaa olaylar geel olarak iki gruba ayrılırlar: yrık olaylar ve eşalı olaylar olmak üzere, tümleye olaylar ayrık olayları özel bir durumudur.

13 Eşalı olaylar ise kedi içide bağımsız ve bağımlı olaylar olarak ikiye ayrılırlar. Taım (Eşalı olaylar): Herhagi iki olay ve B eğer B ise eşalı olaylardır. Taım (Tümleye olaylar): Herhagi iki olay ve B eğer B=S ise tümleye olaylardır. Taım (yrık olaylar): İki olay ve B eğer B= ise ayrık olaylardır. Buu alamı: ve B olayları birlikte ortaya çıkamazlar. Eğer ortaya çıkarsa B olayıı dışlar ve tam tersi de geçerlidir. S Verile,, olayları eğer tüm i j içi ij= ise ikişerli olarak ayrık olaylardır. İkide fazla kümei, öreği, B, C çifterli olarak ayrık olmaları, B= C= BC= durumuda oları hepsii de ayrık olduğu BC= söyleebilir. Buu tersi geçerli değildir. S Taım (Kümei bölümlemesi): Eğer,, çifterli olarak ayrık ise ve, kümeleri S kümesii bir bölümlemesii taımlar. S ise, i Bir örek uzayıı birbiride ayrık kümelere ayrıştırılması bölümleme olarak adladırılır. Herhagi bir kümesi içi, S= c

14 S i bölümesiyle elde edile B, B, B3, B4 S i bölümleri B,..., B 5 S S Not: Herhagi bir B olayı içi B ve B, S i bölümleridir. Herhagi ayrık ve B kümeleri içi, S=( c )(BB c ) =(B)(B c )( c B)( c B c ) ve herhagi bir iki yölü sııflama, iki ayrık olayı taımlaması, üzerie üçücü bir C olayıı taımlaması ile, S=( c )(BB c )(CC c ) =(BC)(BC c )(B c C)( c BC)( c B c C)( c BC c ) (B c C c )( c B c C c ) olarak elde edilir. Böyle bir ayrışımı bileşeleri atom olarak adladırılır. Yukarıdaki öreklerde sırası ile, 4, 8 adet atom vardır. Geel olarak adet küme içi adet atom vardır. Bu örek uzayı üzerie taımlaa herhagi bir küme bazı atomları birleşimi olarak yazılabilir. Fark (Differece): \B kümesi kümesie ait olup B kümesie ait olmaya elemaları kümesidir. \B=B c =x: x ve xb Bu işlem değişme ve birleşme özelliklerie sahip değildir. Öreği birleşme özelliğii geçerli olmadığı, (\B)\C\(B\C) ifadeside görülebilir.

15 Taım (Sigma Cebri): S i alt kümelerii bir koleksiyou eğer aşağıdaki üç özelliği sağlıyorsa sigma cebri olarak adladırılır ve β ile gösterilir. a) (boş küme β i elemaıdır) b) Eğer ise c (tümleye işlemie göre kapalılık) i c) Eğer,,... ise i olur (sayılabilir sayıda birleşim işlemie göre kapalılık). Boş küme Ø, herhagi bir kümei alt kümesidir. Bu edele ØS. Özellik (a) bu alt seti daima sigma cebrie dahil olduğuu belirtir. S=Ø c olduğuda özellik (a) ve (b) S kümesii de daima β ye dahil olduğuu belirtir. yrıca De Morga kauları kullaılarak β i sayılabilir kesişimler altıda kapalı olduğu görülebilir. Eğer,,... ise bu durumda C C,,... dir, (özellik b ile) ve olur. Buula birlikte De Morga kauu kullaılarak, C C i i i i i C i buluur ve özellik (b) ile i i buluur. Örek uzayı S ye ait birçok farklı sigma cebri taımlaabilir. Öreği {Ø, S} şeklideki iki adet kümei koleksiyou bir sigma cebridir ve trivial sigma cebri olarak adladırılır. Eğer S solu ya da sayılabilir ise bu örek uzayı üzeride bir sigma cebri oldukça kolay bir şekilde taımlaır: =S i tüm alt kümeleri, S i kedisi Eğer S kümesi adet elemaa sahip ise β deki küme sayısı adettir. Öreği eğer S={,,3} ise β, 3 =8 kümei koleksiyouda, ={}, {}, {3}, {,}, {,3}, {,3},{,,3}, Ø oluşur. Eğer S kümesii elemaları sayılamıyor ise bu durumda β yi taımlamak zor olabilir. Buula birlikte β, ilgileile herhagi bir kümeyi içerecek şekilde seçilebilir. Öreği S=(-,) gerçel sayılar kümesi olarak taımlamış ise β cebri, [a,b], (a,b], [a,b), (a,b)

16 şeklideki tüm kümeleri içerecek şekilde seçilebilir. Burada a ve b tüm gerçel sayıları taımlar. Bu durumda β, yukarıda taımlaa kümeleri, mümkü sayılabilir sosuz, birleşim ve kesişim işlemleri ile elde edilebilecek tüm kümeleri içerir..3 OLSILIK TEORİSİNİN TEMELLERİ Bir rassal deeyi çıktısı örek uzayıdaki bir elemadır. Rassal deeyi tekrarlı olarak uygulaması durumuda bir çıktıı oluşum sıklığı örek uzayıdaki elemaı (alt kümei) olasılığı olarak düşüülebilir. Örek uzayıdaki her bir olayı içi, bu olayla sıfır ile bir arasıdaki bir sayıı eşleştirilmesi amaçlaır. Sıfır ile bir arasıdaki bu sayı olayıı olasılığı olarak adladırılır ve () ile gösterilir. Basit alamda olasılık, bir kümeyi ölçümlemek amacıyla bu kümeye ataa (ya da ait ola) bir sayıdır. Diğer bir ifadeyle olasılık kelime alamı olarak şası ölçümlemesidir. Bir kümei ya da bir olayı büyüklüğüü ölçülmesi içi bazı yötemler mevcuttur. yı yötemler buları içerisideki elemaları saymak içi kullaılabilir mi? slıda olasılık hesaplaırke yapılacak işlem budur. Fakat buu uygu olmadığı bir takım durumlar mevcuttur. Öreği bir kümei ortaya çıkma ihtimalii diğeride daha fazla olduğu fakat ikisii de elema sayılarıı eşit olduğu durumda e olur? yı olasılığa mı sahip olmalıdırlar? İlk küme: {Feerbahçe kazaır} İkici küme: {Galatasaray kazaır} İki kümei de birer elemaı vardır. Fakat şüphesiz ki bulara farklı olasılıklar verilmelidir. Buula birlikte, ayı ada çalışılacak küme sayısı birde fazla olabileceği ve her birie ait olasılıkları belirlemesi istediği içi olasılık kümeleri bir foksiyoudur. Olasılık belirli bir foksiyoa göre taımladığı içi ilk olarak foksiyo kavramı ele alımalıdır. Bir foksiyo, f(.), bir oktalar kümesideki her bir oktayı bir diğer oktalar kümesideki bir ve yalız bir okta ile ilişkiledire bir kuraldır (kau, formül,vs). İlk küme taım kümesi, ikici küme B ise görütü kümesidir. Bir foksiyo: ƒ: xƒ(x) ve olasılık kümeleri bir foksiyou olduğuda: : S (S)

17 Örek uzayıı tüm alt kümelerii taımladığı kümeler ailesi foksiyouu taım kümesi olarak kullaılabilir. Bu aşamada, eğer S sayılamayacak kadar çok elema içeriyorsa problem oluşabilir. Ortaya çıka problem, S kümesii sayılamayacak kadar çok alt küme içermesi ve bu edele her bir alt kümeye bir olasılık atamasıda sıkıtı oluşmasıdır. Bu soruu asıl aşıldığı ileride açıklaacaktır. Buula birlikte, S solu elemaa sahip ise her bir alt kümesie bir olasılık atamasıda problem ortaya çıkmaz. Olasılığı e basit yapıdaki taımıı verebilmek içi, ilk aşamada örek uzayıı sayılabilir olduğu varsayılacaktır. Taım (Klasik Olasılık): Eğer bir rassal deeyi örek uzayı solu sayıda adet ayrık S e,, e, e ve eşit olasılıklı elemaa sahip ise e i i, ve, örek uzayı üzeride taımlaa olayıdaki basit olayları (ei) sayısı ise olayıı gerçekleşme olasılığı (); olarak belirleir. Klasik olasılığı yetersiz kaldığı iki durum: a) Olayları eşit olasılıkla oluşmadığı durumlar b) Örek uzayıı sosuz elemalı olduğu durumlar. Bir örek uzayıdaki elemaları eşit olabilirliğe sahip olması bazı ideal koşulları oluşmasıa bağlıdır. yrıca şas oyularıı aksie doğadaki örek uzayıdaki elemalar geellikle eşit olasılığa sahip değildir. İsaları ka grupları bir örek olarak verilebilir. Böyle bir durumda bir herhagi bir olayıı oluşum sıklığı asıl belirleir? Cevap açıktır; aakütle üzeride bezer koşullarda deemeler yapılmalıdır. Taım (Göreli frekas): Bir rassal deeyi örek uzayı üzerie taımlamış olay olsu. Deey bezer koşullarda N adet tekrarlası ve ortaya çıka olaylarıı sayısı olsu. olayıı göreli frekası: f()=/n

18 Öreği hilesiz olduğu düşüüle bir para atıldığıda üst yüze yazı gelmesi olayı olarak taımlası. Değişik deeme sayılarıda gerçekleşe olayı sayıları ve göreli frekasları: N=0 =4 f()=0.4 N=00 =47 f()=0.47 N=000 =488 f()=0.488 Şüphesiz f() değeri gerçekleştirile deey sayısı N ile bağımlıdır ve küçük N değerleri içi çok büyük dalgalamalara sahiptir. Burada cevaplaması gereke soru, N değeri sosuza gittiğide f() oralarıı dizisi kararlı bir değere yakısıyor mu? olacaktır. Böyle bir soruya deeysel olarak asla cevap verilemez. Çükü limiti doğası gereği deeylere so verilemez. Böyle bir limiti var olduğuu kabul etmek matematiksel bir yaklaşımdır: isteildiği kadar küçük olabile pozitif bir sayı olmak üzere, N>m() koşuluu altıda, N () Eşitsizliğii sağlaya bir m() sayısı buluabiliyorsa, lim () N N Elde edile bu souç olayıı deeysel limit frekasıdır ve () değeri olayıı gerçekleşme olasılığıdır. Fakat () limit değeri hala gerçekleştirile deey dizisi souçlarıa bağımlıdır. Deeyler ayı koşullarda geçekleştirilse dahi bir soraki deey dizisii ayı souçları vereceğii garatisi yoktur. Bu frekaslar üzerie oluşturula geçerli bir teori, yukarıda taımlaa () değerii tüm bezer deey dizileri içi ayı olduğuu varsaymak zorudadır. Bu teorem ile moder olasılığı temeli ola aksiyom olasılığıı ele almak da mümkü olmuştur. Taım (Olasılık Küme Foksiyou): Rassal bir deeyi örek uzayı S ve bu kümei üzerie taımlı çifterli ayrık ij=, ij olaylar,, olsu. Eğer (.) foksiyou; ) ()0 ) (S)= 3) ( )=()+()+ ( ) i i i i

19 koşullarıı sağlıyor ise bu rassal deeyi çıktılarıı olasılık küme foksiyou olarak adladırılır. S örek uzayıı her bir alt kümesi içi () sayısıa da olayıı olasılığı deir. Yukarıdaki taımda verile üç özellik olasılık aksiyomları olarak ya da Kolmogorov aksiyomları olarak biliir. Olasılığı bu taımı matematiksel bir taım olup, hagi küme foksiyouu olasılık foksiyou olarak adladırılabileceğii açıklamaktadır. Olasılığı bu taımı, verile bir olayı içi olasılık foksiyouu (.) alacağı değer ile ilgili bilgi vermez. Olaylara ait olasılık değerlerii elde edilmesi içi rassal deeyi modelii taımlaması gereklidir. Öreği, souçları (başarı) ve 0 (başarısızlık) ola bir deeyi 5 kez tekrarladığı ve bir olayıı deeyi soucuda bir başarı elde edilmesi olduğu varsayılsı. O halde bu olay, 0,0,0,0,, 0,0,0,,0, 0,0,,0,0, 0,,0,0,0,,0,0,0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, S kümeside elde edilir. Geel olarak bir deey kez tekrarlaırsa, bua karşılık gele örek uzayı, S S S... dir. S Bir diğer durum da örek uzayıı sosuz elemaa sahip olmasıdır. Öreği, bir paraı üst yüze tura gelee kadar atıldığı varsayılsı. Bua göre deeyi çıktısı, ilk kez tura gelee kadar yapıla atış sayısıdır. Örek uzayı tüm pozitif doğal sayılardır: S,,3,... Bu deey içi olasılık foksiyou edir? Bu para atışıı soucuda üst yüze yazı gelmesii olasılığıı p ve tura gelmesii olasılığıı da -p olduğu varsayılsı. Her bir içi () olasılığı belirlemektedir. () = p olasılığı ilk atışta yazı geldiğii göstermektedir. {} olayı Y T Y, T (T,Y) çıktısıa karşılık gelmektedir. Böylece, p p, örek uzayıdaki

20 Bezer bir şekilde {} olayı Y, T Y, T uzayıdaki T T,..., T, T, Y gelmektedir. Geel bir ifadeyle, p p,,,3,... Elde edile bu ifade,,3,... S içi bir olasılık foksiyou taımlar mı?, çıktısıa karşılık Öyle olması içi S olmalıdır. Fakat örek uzayı solu olmadığı içi S i asıl hesaplaacağı açık değildir. Bu yüzde olasılık foksiyouu taımıda bazı düzeltmeler gereklidir. Taım (Olasılık Foksiyou): Sosuz (ya da solu) bir örek uzayı S deki bir olayıı [0,] aralığıdaki () ya ataya ve aşağıdaki özellikleri sağlaya bir foksiyodur: i) (S) = ve ii)... eğer,,... ayrık ise 3 3 Böylelikle S i olasılığı hesaplaabilir: S, 3 p p p p p p p p p toplamı, bir geometrik seridir. p olduğuda, Elde edile p olur. p p p Böylece S p. p p ksiyom taımı belirli bir foksiyouu asıl seçileceğii belirtmez. Herhagi bir örek uzayı içi pek çok farklı olasılık foksiyou taımlaabilir. Olasılık aksiyomları kullaılarak, daha karmaşık olasılıkları hesaplamasıda kullaılabilecek ola, olasılık foksiyouu pek çok özelliği taımlaabilir. Teorem: Eğer (.) bir olasılık foksiyou ve kümesi S deki herhagi bir küme ise, a. (Ø) = 0 (Burada Ø boş kümedir) b. ( c )=-()

21 c. () İspat: a) S=SØ ve S ile Ø ayrık, SØ= Ø, olduğuda (S)=(SØ)=(S)+(Ø) =+ (Ø). b) S= c ve ile c ayrık, c = Ø, olduğuda (S)=( c )=()+( c ) = ()+( c ). şağıda belirtile her özellik hem kesikli hem de sürekli örek uzayıda taımlı olaylar (kümeler) içi geçerlidir. Birleşimi Olasılığı: ve B olayları S örek uzayıda taımlı iki olay olsu. durum söz kousudur: B birleşim olasılığı içi iki. ve B ayrık olaylardır (çakışma yoktur): yai B ϕ. ve B ayrık olaylar değildir. B ϕ Birici durum içi Eğer B i olasılığı, B ϕ ise B B İkici durum içi ise, Herhagi bir ve B olayları içi B B B Not: İkici durum içi taımlaa formül ayı zamada birici durum içi de kullaılabilir: B (ϕ) = 0 Üç ya da daha fazla olay içi, öreği, B ve C olayları içi B C B C Kesişimi Olasılığı: B C B C B C

22 B gerekir. içi kolay bir formül yoktur. İstatistiksel bağımsızlığı kullaılabiliyor olması S Eğer ve B istatistiksel olarak bağımsız değillerse, geellikle koşullu olasılık kullaılır. Teorem: Eğer (.) bir olasılık foksiyou ve ile B kümeleri S deki herhagi iki küme ise, a. C B (B) ( B) b. ( B) () (B) ( B) c. Eğer B ise () (B) dir. d. (-B)=()-(B) İspat: a. Herhagi iki ve B kümesi içi, B=(B)( c B) ve olasılık ifadesi olarak, (B)=(B)( c B) ve eşitliği sağıdaki iki olay ayrık olduğuda, (B)=(B)+( c B) b. Herhagi iki ve B kümesi içi ve B c kümeleri birbiride ayrık olduğuda, B=( c B) özdeşliği kullaılarak, (B)=()+( c B) yrıca B= ( c B)

23 ve eşitliği sağıdaki iki olay ayrık olduğuda, (B)=()+ ( c B) Elde edile souçlar yerie koarak ispat tamamlaır. (B)=()+(B)-(B) c. B=( c B) ve eşitliği sağıdaki iki olay ayrık olduğuda ksiyom 3 kullaılarak (B)=()+( c B) ksiyom kullaılarak ( c B)0 ve souç olarak (B) () buluur. d. =(-B)(B) olup eşitliği sağıdaki kümeler ayrık olduğu içi ()=(-B)+(B) ispat tamamlaır. Teoremi (b) formülü bir kesişim olasılığı içi kullaılabilecek faydalı bir eşitsizliği (Boferroi eşitsizliği) taımlar. Taım (Bole eşitsizliği): Herhagi iki ve B olayı içi, BS olmak üzere B içi, (B)()+(B) ve eğer B= ise (B)=()+(B) olarak taımlaır. Bu souç ayı zamada ayrık olayları olasılıklarıı (ve elema sayılarıı) toplama kuralıa uyduğuu belirtir. Boferroi Eşitsizliği: Teoremi (b) formülüde ( B) olduğuda, ve () (B) ( B) ( B) () (B) elde edile souç Boferroi eşitsizliğii özel halidir. Boferroi eşitsizliği özellikle, kesişim olasılığıı belirlemek istediği fakat hesaplamasıı zor ya da imkasız olduğu durumlarda oldukça faydalıdır. Öreği her biri 0.95 olasılığa sahip ve B olayları içi her ikisii de birlikte oluşma olasılığıı sıırı, (B)=()+(B)-=0.90

24 olarak buluabilir. Bireysel olayları olasılıkları yeterice büyük olmadıkça Boferroi sıırı egatif değer verdiği içi (fakat hala doğrudur) kullaışsızdır. Teorem: Eğer (.) bir olasılık foksiyou ise, a. ( ) ( C ) i i, herhagi bir C, C, bölümlemesi (ayrık olayları) içi. i i ( i ), b. i herhagi,, kümeleri içi, (Boole u eşitsizliği) Boole u eşitsizliği ile Boferroi i eşitsizliği arasıda bir bezerlik vardır. Temelde ayıdırlar. Eğer Boole u eşitsizliğide c kullaılsaydı, c c i i i c burada c i i i c ve ( ) ( ) eşitlikleri kullaılarak i i i i ) i ( i i i i i elde edilir ki bu soucu Boferroi eşitsizliğii geel ifadesidir. Taım (Olasılık Uzayı): Bir olasılık uzayı üç elemalıdır, [S, β, (.)]. Burada S örek uzayı, β sigma cebri diğer bir deyişle bir olaylar koleksiyou ve (.) ise taım kümesi β ola bir olasılık foksiyoudur..4 SYM YÖNTEMLERİ İstatistik problemleride belirli bir durumda ) olaaklı bütü seçeekleri ortaya koymak ya da e azıda

25 ) kaç farklı olaak buluduğuu belirlemek gereklidir Sayma yötemlerii e sık kullaıldığı problemler, solu örek uzayları üzerie taımlaa olaylara bir olasılık ataması durumudur. Geelde sayma problemleri karmaşıktır bu edele saymayı basitleştirmek üzere problem basit parçalara ayrılır. Elema sayısı N ola bir kesikli S örek uzayıı klasik olasılık aksiyomlarıı (eşit olasılıklı ayrık olaylar) sağladığı varsayılsı. Bir olayıı olasılığıı belirlemek içi her biri eşit olasılık ile ortaya çıka ve birbiride ayrık ola mümkü durumları sayısıa ve özelliğii taşıya elemaları sayısıa gereksiim vardır. Bu sayıları elde edilebilmesi içi bazı kombiasyo formüllerii kullaılması gereklidir. Bu formüller iki temel presip üzerie kurulmuştur: Taım (Toplama): ve B ayrık olaylar olmak üzere, bir olayı toplam m farklı şekilde ve B olayı ise farklı şekilde oluşuyor ise ya da B (B) olayı m+ farklı şekilde oluşabilir. Taım (Çarpma): olayı toplam m farklı şekilde ve B olayı ise toplam farklı şekilde eşalı olarak oluşabiliyor ise, ve B (B) olayı m farklı şekilde oluşabilir. Taım (Faktöriyel): Bir pozitif tam sayı içi, ( faktöriyel) değerie eşit ve küçük tüm tam sayıları çarpımıdır. =(-) 3 Burada, olduğuda, = içi 0= olduğu görülebilir. Sayılar büyüdükçe faktöriyel değerii hesaplamak zorlaşır. Bu edele yaklaşık bir hesaplama değeri Stirlig tarafıda verilmiştir: e Daha güveilir bir yaklaşım içi e - yerie e -[-(/)] kullaılabilir. Kullaılacak sayma yötemleri gerçekleştirile örekleme yötemie a. İadeli örekleme b. İadesiz örekleme

26 ve öreğe çıkış sırasıa c. Öreğe çıkış sırası öemsiz d. Öreğe çıkış sırası öemli bağımlıdır. Taım (İadeli Örekleme): Bir popülasyoda örek alırke alıa bir birimlik örek eğer bir soraki seçimde tekrar populasyoa dahil ediliyorsa yai öreğe girme şası yie varsa bu tip öreklemeye iadeli örekleme deir. Taım (İadesiz Örekleme): Bir popülasyoda örek alırke alıa bir birimlik örek eğer bir soraki seçimde tekrar populasyoa dahil edilmiyorsa yai bir soraki örekte gözleme şası yoksa bu tip öreklemeye iadesiz örekleme deir. Taım (ermütasyo): Bir S kümesideki elemaları iadesiz öreklemedeki tüm farklı seçimleri içi ortaya çıka her bir farklı düzelemelerie verile isimdir. S kümesi içi permütasyolarıı oluşturduğu küme: Öreği,,3 S p,,3,,3,,,,3,,3,, 3,,, 3,, Kümei her bir elemaı bir permütasyoa karşılık gelmektedir. Kümei elemaları icelediğide öreğe çıkış sırasıı öemli olduğu görülebilir. Taım (Kümei permütasyo sayısı): Bir S kümeside adet elema var ise farklı düzelemeleri (permütasyoları) sayısı: ( )... Kümede öreğe çekile elema sayısı r< koşulu ile sadece r adet ise farklı düzelemeleri (permütasyoları) sayısı: r ( )... r r Neseler bir dairei etrafıda sıralaıca ortaya çıka permütasyolara daire permütasyoları deir. Teorem: Bir daire çevreside sıralaa farklı esei permütasyo sayısı (-)=/ dir

27 Taım (Kombiasyo): Bir S kümesideki elemaları iadesiz öreklemedeki tüm farklı seçimlerie verile isimdir. S,,3 Öreği küme: S k,,3 kümesi içi üç elemalı farklı seçimleri (kombiasyoları) oluşturduğu iki elemalı farklı seçimleri (kombiasyoları) oluşturduğu küme: S k,,,3,,3 Gerçekte kombiasyo, altküme ile ayı alamı taşır. Taım (Kombiasyo sayısı): Bir S kümeside adet elema var ise r olmak üzere r adet elemaı faklı seçimlerii sayısı, okuur: r sembolü ile taımlaır ve içide r adet seçim olarak C r r r r r Bu sayılar ayı zamada biom katsayıları olarak da adladırılır. ermütasyo tüm mümkü seçimleri (kombiasyoları) kedi içideki tüm mümkü farklı düzelemelerii de bir elema olarak sayar. Öreği abc ve acb ayı kombiasyo farklı bir permütasyodur. Buula birlikte abc ve abd farklı kombimasyolardır..4. Örekleme ve Örek Uzayıdaki Elema Sayısı Üzerie Etkisi Öemli kombiasyo problemleride temel yapıyı oluştura birkaç stadart sapma metodu vardır. Bu metotlar geellikle örekleme ya da atama yötemleri olarak iceleirler. Bir torbada de e kadar işaretlemiş adet top olduğu ve bularda m adedii farklı koşullar altıda çekildiği varsayılsı. Her bir farklı koşul içi tüm mümkü çıktıları sayısıı belirlemesi aşağıda icelemiştir: Durum I. Yerie Koarak Örekleme ve Sıralama Öemli Torbada m adet top çekilir. Fakat her bir çekile top daha soraki çekilişte öce torbaya iade edilir. Topları üzerideki sayılar çıkış sırasıa göre kayıt edilir. Souç olarak her m adetlik çekiliş içi m adet sayıda oluşa bir (a,,am) sıralaması elde edilir. Burada her bir aj, ile m arasıdaki herhagi bir sayı olabilir. Sıralama içide ayı sayı tekrar edebileceği içi bu sıralama bir permütasyo değildir. Tüm mümkü durumları sayısıı elde edilmesi

28 içi Saymaı Temel Kuralı uygulaarak m buluur. Torbada topu çekilmesi ile altı zarı atılması ya da tek bir zarı arka arkaya altı defa atılması arasıda herhagi bir fark yoktur. Durum II. Yerie Koymada Örekleme ve Sıralama Öemli Uygulaa örekleme Durum I ile bezer olup tek fark çekile topu torbaya iade edilmemesidir. Bu durumda oluşa sıralı m adet (a,,am) sayıda her bir aj farklı sayıda oluşacaktır gibi kısıt koulmuştur. Sıralama içide ayı sayı tekrar edemeyeceği içi bu sıralama bir permütasyodur. Diğer bir kısıt ise m olmalıdır. Bu tip problemlere Saymaı Temel Kuralı doğruda uygulamamakla birlikte çözüm, m m bezerdir. Bu eşitliği sol tarafıda m adet çarpa vardır. Eşitliği sağıdaki sayısıda birer küçülerek gide m adet sürekli çarpımı belirtmektedir. m sembolü Durum II permütasyo problemi olarak adladırıla problemi özel halii taımlamaktadır. Durum III. Yerie Koymada ve Sıralama Öemsiz Bu örekleme yapısıda çekile toplar torbaya iade edilmez ve çekiliş sırası öemsiz olup kayıt edilmez. Souç olarak m adet top bir defada çekilmiş olarak düşüülebilir. Böyle bir örekleme yapısıda elemalı bir kümede elde edile m elemalı alt kümeler ile ilgileilir. lt kümeleri sayısıı bulabilmek amacıyla ilk olarak Durum II ile bir karşılaştırma yapılması faydalı olacaktır. Eğer m adet top iade edilmeksizi birer birer çekilip sıralaır ise mümkü sıralama sayısı m olacaktır. Öreği =5, m=3 içi 3,,5 alt kümesi; S p,3,5,,5,3, 3,,5, 3,5,, 5,,3, 5,3, 3=6 farklı şekilde çekilebilir. Sırlama öemsiz olduğuda adet elema içide m elema; m m m farklı şekilde çekilebilir. Durum IIIa Gruplara yrılabile Elemaı ermütasyou Torbadaki toplarda adedii Rek, adedii Rek,, r adedii Rek r ile boyadığı varsayılsı. Rekleri ayırt edilebidiği fakat ayı rekli topları ayırt edilemediği bilimektedir. Rek gruplarıdaki elema sayılarıı toplamı ++ +r= torbadaki top sayısıa eşittir. Bu adet topu ayrıştırılabilir kaç düzelemesi vardır? Örek olarak =, =, =4 ve rekler de sarı ve lacivert olsu. Elde edilebilecek farklı düzelemeleri sayısı 6 olarak belirleir:

29 Yukarıdaki soruyu aalitik olarak cevaplamak içi tüm topları ayrıştırılabildiği Durum II ile bir karşılaştırma yapılabilir. Rekledirile toplar ayı zamada umaraladırılır ise hepsi birbiride ayrıştırılabilir hale gelir. Bu durumda tüm mümkü düzelemeleri toplam sayısı, Durum II kullaılarak, olarak belirleir. Rek ile boyaa adet top umaralar yardımı ile adet farklı düzelemeye, Rek ile boyaalar ise adet farklı düzelemeye sahip olacaktır. Bir rek içi elde edile her bir düzeleme bir diğer regi herhagi bir düzelemesi içi serbestçe birleştirilebileceği içi Saymaı Temel Kuralı kullaılarak birlikte oluşturabilecekleri düzeleme sayısı (işaretler dikkate alıdığıda)... r buluabilir. raştırıla kou işaretleri olmadığı sadece rekleri olduğu bir durumdaki düzeleme sayısı olduğuda bu sayı, k çok terimli katsayısı ile elde edilebilir. Eğer r= ise, iki terimli (biom) katsayısı ile elde edilebilir. Durum IV. Yerie Koarak ve Sıralama Öemsiz Torbada m adet top çekilir. Fakat her bir çekile top daha soraki çekilişte öce torbaya iade edilir. Topları üzerideki sayılar çıkış sırası dikkate alımada kayıt edilir. problemi çözümü içi farklı bir yaklaşı gereklidir. şağıda bu yaklaşım bir örek üzeride açıklaacaktır. listelemiştir. Örek içi =m=3 alısı. Tüm mümkü durumlar aşağıdaki tabloda Bu

30 Her çekim işlemide sora çekile umara sütuua bir kotrol işareti () kour. İşaret sayısı deeme sayısıa (m) eşit olup bu değer top sayısıda () fazla olabilir. Numaralara ait kotrol işaretleri arasıdaki boşlukları belirtmek amacıyla çubuklar ( ) kullaılmıştır. Ortadaki üç sütu so sütuda özetlemiştir. Bu sütu icelediğide üç kotrol ve iki çubuk içi tüm mümkü durumları dikkate alıdığı görülmektedir. Toplam sayı, Durum III =5, m=3, ya da Durum IIIa =5, =3, = ile çözülebilir. Souç olarak 5/3=0. Durum IV deki problem m adet kotrol ve - adet çubuğu tüm mümkü düzelemeleri problemie döüştürülerek çözülmüştür. Eğer adet mümkü durum var ise ve bu mümkü durumları her biri tabloda olduğu gibi bir kutu ile taımlamışlar ise kutular arasıda - adet çubuk vardır. Durum IIIa içi taımlaa formüller uyguladığıda çıktıları mümkü sayısı: m m m ile elde edilebilir. Yukarıda açıkladığı üzere kullaılacak sayma yötemleri gerçekleştirile örekleme yötemie faklılık gösterebilir. Farklı örekleme durumları içi örek uzayıdaki elema sayıları aşağıdaki şekilde hesaplaabilir. İadesiz Örekleme İadeli Örekleme Sıra Öemli ( m) m Sıra Öemsiz m m m

31 Tabloda verile durumları açıklamak amacıyla aşağıda 44 adet sayı içide çekilebilecek 6 adet sayı içi karşılaşılabilecek farklı örek uzaylarıı elema sayıları hesaplamıştır: a. İadesiz sıralama öemli: Temel sayma teoremie göre ilk sayı 44 farklı şekilde, iadesiz olduğuda ikicisi 43 farklı şekilde seçilebileceğie göre altı adet sayı; =(44/38)= farklı şekilde belirleebilir. Bu souç geellediğide, buluur. ( x) b. İadeli sıralama öemli: Seçile sayı tekrar iade edildiği içi her bir çekiliş 44 farklı şekilde yapılabileceğide altı adet sayı, =44 6 = farklı şekilde belirleebilir. Bu souç geellediğide, x buluur. c. İadesiz sıralama öemsiz: Sıralamaı öemsiz olduğu durumlarda, örek uzayıdaki elema sayısı azalır. ltı adet sayı 6543 farlı şekilde ortaya çıkabilir. Eğer sıralama öemsiz ise bu durumları tümü örek uzayıdaki tek bir elemaa karşılık geldiğide, bu sayı sıralamaı öemli olduğu durumda karşılaşıla örek uzayıda bölüerek düşülür ve souç olarak sıralama öemsiz ise altı adet sayı, farklı şekilde belirleebilir. Bu souç geellediğide, buluur. r r r d. İadeli sıralama öemsiz: Örek uzayı belirlemei e zor olduğu durumdur. Cevap olarak heme 44 6 /6543 olduğu söyleebilir, fakat bu souç yalıştır. Bu durumu saymak içi 44 adet sayı ya yaa yerleştirilmiş her biri bir diğeride bir karto ile ayrılmış kutular

32 olarak düşüülebilir ve altı adet sayı kağıtlara yazılıp kutuları içie koulur. Mümkü durumları sayısı, 44 kutu içie koacak 6 adet kağıdı farklı mümkü durumlarıı sayısıa eşit olacaktır. Kutuları ayıra kartolarda ilki ve soucusuu oyadığı bir rol yoktur. 44 adet kutu 45 adet kartoa sahiptir fakat 43 adet karto dikkate alıır. Bulara ilave olarak 6 adet kağıt mevcuttur. Souç olarak 43+6=49 adet ese vardır ve bular 49 Kadar farklı yerleşime sahiptir. Buula birlikte sıralama öemli olmadığıda kağıtlar içi 6 ve kartolar içi 43 kadar durum elemelidir. Souç olarak sıralama öemsiz ise altı adet sayı, farklı şekilde belirleebilir..4. İki terimli (Biom) ve Çok terimli (Multiomial) Teoremleri İki terimli (a+b) ifadesii açılımı basit kombiasyo metodu kullaılara gerçekleştirilip daha sora çok terimli durum içi geelleştirilecektir. İki terimli ifade adet terimi çarpımı şeklide yazılabilir: (a+b) (a+b) (a+b) Burada problem çarpım soucuda oluşacak ola a -r b r terimii öüdeki katsayıları bulabilmektir. Gerçekte bu problem iki gruba bölümüş (a ve b) adet çarpaı ortaya çıkış sayısıı bulmak olarak da taımlaabilir. a b a Burada x=b/a alıarak m b a a b a x x çarpaı m=,,, içi açılarak, (+x)=+x x 0 (+x) =+x+x x x 0 (+x) 3 =+3x+3x + x x x x 3 0 3

33 (+x) = +x+ + x x x x 3 0 Souç olarak: r r x r x 0 r r x r a x a 0 r r a b r a a b a 0 a b a b a b a a b a 0 r r r b a r b a 0 elde edilir. Yukarıda kullaıla yaklaşım adet elemaı iki gruba ayrıldığı ve gruplarda birii r adet diğerii -r adet elemaa sahip olduğu varsayımıa uymaktadır. Bu adet elemaı iki kategori içi r değiştikçe ortaya çıkabilecek farklı sıralamalarıı sayısı kombiasyo yaklaşımı ile; r r elde edildi. İki terim (kategori) içi bulua souçlar elema k adet kategori içi geelleebilir. Her bir kategorideki elema sayısı i, i=,,,k ve k olsu. Farklı seçimleri (kombiasyoları) sayısı:,,, k k İspat:,,, k k k k 3

34 3 3 k k k k k Bu souç kullaılarak çok terimli açılım; x k x x içi elde edile k adet çarpada oluşa terimleri, k k x x cx öüdeki c katsayısı buluur. Çok terimli açılım: k k k k k x x x x x x,,.5 MRJİNL ve ŞRTLI OLSILIK Koşul, olasılıkta kullaıla temel araçlarda birisidir. Özellikle bölümleme teorisi içi kritik ola B kesişim olasılığıı hesaplamasıda işe yarar. yrıca tüm stokastik süreçler alaı koşullu olasılığa dayamaktadır. Bir soraki süreçte e olacağı, öceside e olduğua yai koşula bağlıdır. Bağımlı olaylar: ve B ayı örek uzayıda taımlı iki olay olsu. Geellikle ve B arasıda bir bağımlılık olur. Buu alamı şudur: eğer B i gerçekleştiği biliiyorsa, ı gerçekleşme şası hakkıdaki bilgileri değiştirir. Örek: Bir zar havaya atılıyor. olayı = 6 gelmesi B olayı = çift sayı gelmesi olsu. Eğer zar hilesiz ise 6 ve B dir. Eğer B i gerçekleştiği biliiyorsa, ı gerçekleşme şasıda bir artış olur:

35 (B i gerçekleştiği bilidiğide, ı gerçekleşmesi) 3 souc souc veya 6 4 veya 6 Bu durumda B verildigide B yazılabilir. 3 Soru: B? B verildigide B = (6 geldiği bilidiğide, çift sayı gelmesi) = Elema sayısı ola S örek uzayı üzeride, r adet ayrık i olayı ve c adet ayrık Bj olayı taımlamış olsu. S örek uzayıdaki her elemaı eşit olasılığa sahip olduğu (klasik olasılık) varsayımı ile ve B olayları içi aşağıdaki iki yölü tablo oluşturulabilir: B B Bc c c r r r rc İlk satır ve ilk sütu hariç ablodaki hücrelere ait geel toplam: r c i j ij olup bu hücreleri her biri ibj olayıa karşılık olaylar eşit olasılıklı olduğuda: ij i B j

36 Herhagi bir i olayıı gerçekleşme olasılığı: i i ic i c j ya da herhagi bir Bj olayıı gerçekleşme olasılığı: r j j rj j B i ij ij ile elde edilebilir. Bu olasılıklar sırası ile i ve Bj olaylarıı marjial olasılıkları olarak adladırılır. Bir S örek uzayı üzerie taımlaa ve B olayları içi, B olayıı oluşması durumuda olayıı ortaya çıkma olasılığı şartlı olasılıktır ve (/B) ile gösterilir. Taım (Şartlı Olasılık): Verile olasılık uzayıda iki olay ve B olsu. Verile B olayı içi olayıı şartlı olasılığı (B) > 0 içi, ( / B) ( B) (B) olup (B)=0 içi taımsızdır. ile ( ve B, sadece B i buluduğu kümede) elde edilebilir Not: B B ile ( ve B, tüm örek uzayı S de) elde edilebilir Örek uzayıı S de B ye çekmek içi sembolü yerie B sembolü kullaılmalıdır. B sembolü de ayı sembolü gibi ele alımalıdır. Böylece, C D B C B D B C D B olur. Bezer şekilde verile olayı içi B olayıı şartlı olasılığı () > 0 içi, ( B / ) ( B) ( ) Yukarıdaki iki eşitlik kullaılarak; B / B ( B) ( B/ ) ( ) ifadesi olasılığı çarpım kuralı olarak adladırılır.

37 Teorem (Çarpım Kuralı): Taımlaa bir olasılık uzayı içi, eğer,,, olayları... ] 0 koşuluu sağlaya S üzeride taımlamış olaylar ise, [ [... ] [ ].[ / ].[ 3 / ]...[ /... ] Çarpım kuralı aşamalı deeyler içi oldukça faydalıdır. Deeyi aşamalı olduğu ve j olayıı deeyi j-ici aşamasıa göre taımlaa bir olay olduğu varsayılsı. Bu durumda [ j /... j ], deeyi ilk j- aşamasıda oluşa durumlara göre j-ici aşamada e olabileceğii taımlaya bir olayı şartlı olasılığıdır. [./B] bir olasılık foksiyou mudur? Olasılık foksiyou olabilmesi içi üç aksiyomu sağlaması gereklidir. a. [/ B] ( B) (B) 0 her S içi b. [S/ B] (S B) (B) (B)/ (B) c. Eğer,,... S deki çifterli ayrık olayları dizisi ise ( i i ) B i i B / B i i [B] [B] i i (B) B [ / B i i ] Souç olarak verile bir B, (B)>0, olayı içi [./B] bir olasılık foksiyoudur. Teorem (Olasılıklar Toplamı Teoremi): Taımlaa bir olasılık uzayı içi, eğer B,B,,B olayları S B j j ve [Bj]>0, j=,, içi, koşullarıı sağlaya S üzeride taımlamış ayrık olaylar ise, her [ ] içi, j B j j [ / B ]. [ B ] İspat: olayı ayrık Bj olaylarıı her biri ile ola kesişimlerii birleşimi j j j B j olarak taımlaabilir çükü B j ler de ayrıktır. Bu durumda

38 [] B j j [ B j j j] [ / B j ].[B ] j buluur. Bu teorem içi de geçerlidir. Not: Yukarıda taımlı B olayları ayrık değilse, c [] [ / B].[B] [ / B ].[B Olasılıklar toplamı teoremi özellikle aşamalı olarak uygulaa deeylerde faydalıdır. Öreği her birii içide toplar bulua torbalarda bir top çekilmek istediği durum ele alıdığıda ilk öce topu çekileceği torba seçilir daha sora seçile torbada bir top çekilir. Bu tür deeyler içi Bj ilk aşamadaki olayı ve da ikici aşamadaki olayı taımlar ise, [Bj] ve [/Bj] olasılıklarıı bulmak oldukça kolaydır. şamalar halide uygulaa deeylerde birici adımda souca göre koşul taımlamak oldukça uygudur. [./B] foksiyouu özellikleri aşağıdaki teoremler ile taımlamıştır. Teorem: [ / B] 0 Teorem: B= ise (/B)=(B/)=0 Teorem: Eğer ve B, S de taımlı bir olaylar ise [ c / B] [ / B] c ] Teorem: Eğer, S ise [ / B] [ / B] [ c / B] Teorem: Eğer, S ise, [ / B] [ / B] [ / B] [ / B] Teorem: Eğer, B S ve B ise (B)= () B B / Teorem: Eğer, B S ve B ise (B)= (B) B / B B

39 Teorem: Eğer, S ve [ / B] [ / B] Şartlı olasılığı kullaıldığı öemli durumlarda biri aşağıdaki teorem ile açıklamıştır. Teorem (Bayes Formülü): Taımlaa bir olasılık uzayı içi, eğer B,,B olayları j S B ve j [B j ] 0, j=,, içi, koşullarıı sağlaya S üzeride taımlamış ayrık olaylar ise her, [] 0, içi [B / ] buluur. Bu teorem k [ / B j k [ / B ].[B j k ] ].[B j ] içi de geçerlidir. Soucu bilidiği durumda sebebi hagi olasılıkla hagi olayda meydaa geldiği ile ilgileir. Olasılıklar toplamı teoremide olduğu gibi Bayes formülü de aşamalı olarak uygulaa deeyler içi oldukça faydalıdır. radaki fark koşul olarak ikici aşamaı kullaılmasıdır. Diğer bir ifade ile olayı gerçekleşmiştir ve sebep ola Bk olayı içi olasılık araştırılmaktadır. Bayes teorimi ile koşullu olasılıklar tersie çevrilebilir. Yai, B ifadesi B ciside ifade edilebilir. Bu çok kullaışlı bir özelliktir. Öreği, (soraki olay öceki olay) verilsi. Soraki olayı gözlemleip öceki olayı olasılığı hakkıda çıkarsama yapılmak istesi. Bu durumda kullaılmalıdır. (öceki olay soraki olay) Olaylar Ziciri ve Olasılık ğaçları: Olaylar birbiri ardıa gerçekleştiğide olasılığı hesaplaabilmesi içi çarpım kuralı oldukça kullaışlıdır. Örek: İçeriside 4 adet beyaz ve adet kırmızı top bulua bir kutuda iki top iadesiz olarak rastgele seçiliyor. Bua göre: a) İkisii de beyaz olması b) İkici topu kırmızı olması olasılıklarıı buluuz. Çözüm:

40 Wi = i-ici topu beyaz olması ve Ri = i-ici topu kırmızı olması olsu. a) W W W W W W W W 4 6 ve W W 3 5 Böylece (her ikisii de beyaz olması) = W W b) ( ikici topu kırmızı olması) olasılığı araştırılmaktadır. Bu olasılık ilk çekilişte hagi topu geldiği koşulua dayadırılmada buluamaz. ikici topu kırmızı gelmesi olayı aslıda W R R R W R R Böylece, ( ikici topu kırmızı olması) = W R R R 5, R (ayrık olaylar) R W W R R R dir. Olasılık ğaçları: 3 Çarpım kuralıı grafiksel gösterimidir.

41 İlk çekiliş İkici çekiliş Koşullu olasılıklar dallara yazılır. Kesişimi olasılığıı bulmak içi olasılıklar çarpılır. Öreği: W W ya da W R İki ya da daha fazla olay olması durumu: 3 ü bulmak içi çarpım kuralı dikkatlice uygulamalıdır: olduğu hatırlaarak olasılık ağacıda

42 Bu durum adet,..., olayı içi geelleştirildiğide, elde edilir. 3 Örek: İçeriside w adet beyaz ve r adet kırmızı top bulua bir kutuda iadesiz olarak 3 top çekiliyor. Bua göre sırasıyla beyaz-kırmızı-beyaz top çekilme olasılığı edir? Çözüm:.6 BĞIMSIZ OLYLR W R W W R W W R W 3 3 w r w w r w r w r Ele alıa olaylarda birii gözleip gözlememesi olasılığı diğer bir olayı ortaya çıkıp çıkmama olasılığıı etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar deir. Eğer [/B] olasılığı B olayıa bağımlı değilse, diğer bir deyişle [/B]=[] ise olayı B olayıda bağımsızdır. Taım (Bağımsız Olaylar): Verile bir (S, β, [.]) olasılık uzayı içi, ve B olayları β üzeride taımlı olsular. ve B olayları, acak ve acak, a. [ B] ().(B) b. [ / B] (), [B]>0 ise c. [B / ] (B), []>0 ise koşulları sağlaıyor ise bağımsız olaylardır. İkide fazla,..., olayları sadece ise bağımsızdır ve bu taımlaa olaylar içeriside seçile alt olaylar içi de geçerlidir. Yai,, 3, 4 olayları i) i i j olmak üzere tüm i, j içi j ii) i j k i j tüm birbiride farklı i, j, k içi iii) ise bağımsızdır. i j k

43 Teorem: Eğer ve B olayları verile bir (S, β, [.]) olasılık uzayıda taımlı birbiride bağımsız olaylar iseler, a. ve B c b. c ve B c. c ve B c olayları da birbiride bağımsızdır. c c İspat: Sadece a şıkkıı ispatı yapılacaktır. Bu amaçla [ B ] ().(B ) olduğu gösterilmelidir. c [ B ] () ( B) buluur. () ().(B) ().( (B)) ().(B c ) ve B olaylarıı bağımsızlık özelliği ile ve B olaylarıı ayrık olaylar olma özelliği temelde ilişkili olmakla birlikte farklı özelliklerdir. Öreği iki ayrık olay acak ve acak [ B] ().(B) 0 ise bağımsızdırlar. Bu durum sadece ya da B olaylarıı olasılıklarıı sıfır olması durumuda gerçekleşir. Eğer [] 0 ve [B] 0 ise ve B olaylarıı bağımsız olmaları oları ayrık olaylar olmadıklarıı belirtir. Buu tersi de söyleebilir ve B ayrık olaylar ise bağımsız olaylar değildirler. Keşisimi Olasılığıı Hesaplaması İçi İstatistiksel Bağımsızlık: Öceki bölümlerde B durumda iki seçeek mevcuttur: i doğruda hesaplamasıı zor olduğu belirtilmişti. Bu. Eğer ve B bağımsız ise B B. Eğer ve B i bağımsız olup olmadıkları bilimiyorsa, koşullu olasılık ve çarpım kuralı kullaılır. B BB