{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin."

Transkript

1 UYGULAMA- OLASILIK HESABI Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,..., i ) p i Aşağıdaki gibi taımlaa, P : U i R A P( A) pi ωi A foksiyou bir olasılık ölçüsüdür. p p p olduğuda, ( A) P( A) ( Ω) olacaktır. Örek { ω, ω, ω, ω, ω, ω} Ω Ω, U ve Ω ı elemalarıa karşılık getirile sayılar sırasıyla, p 0., p 0., p 3 0.3, p 4 0., p 5 0., p 0. olsu. Bu sayılara dayalı olarak taımlaa, P : U R Olasılık Ölçüsüe göre, P( ω ) 0. olur. A A P( A) pi { } { 3 5} { } ωi A P( ω, ω, ω ) P( ω, ω, ω ) { ω, ω3, ω5} ve B { ω5, ω} P( A) P( { ω, ω3, ω5} ) 0.5 P( B) P( { ω5, ω} ) 0. P( A B) P( { ω 5 }) 0. P A B P{ ωω3ω5ω} P( A B) P( { ω} ) 0. olayları içi ( ) (,,, 0. P( A B) P( A / B) 0.5 P( B)

2 Böyle bir Olasılık Uzayı hagi deeyi modellemeside (hagi deeyi alamaalatımıda) kullaılabilir? Öreği, içide beyaz, siyah, 3 mavi, yeşil, sarı, kırmızı top bulua bir torbada bir top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyide, ya da 0 beyaz, 0 siyah, 30 mavi, 0 yeşil, 0 sarı, 0 kırmızı top bulua bir torbada bir top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyide kullaılabilir. Bir torbada bilimeye oralarda altı farklı rekte top bulusa, bir top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyi içi bir Olasılık Uzayı asıl oluşturulabilir? Aşağıdaki olasılık uzayı hagi deeyleri modellemeside kullaılabilir? Ω ω, ω, ω, ω, ω, ω { } Ω U p, p, p 3, p 4, p 5, p P : U R ( A) A P( A) pi ωi A Bu olasılık uzayı düzgü bir tavla zarıı atılması deeyide kullaılabilir mi? elemalarıa, { ω, ω, ω, ω, ω, ω} Ω üzeride kaç tae olasılık uzayı oluşturulabilir? Ω ı ) p 0, i,,3, 4,5, i ) p i i olmak üzere, sosuz farklı şekilde p, p, p3, p4, p5, p sayıları karşılık getirilebilir. Bu sosuz tae Olasılık Uzayıda hagisi elimizdeki tavla zarıı modellemektedir? Zarı maddesel olarak homoje olduğuu düşüürsek, p, p, 3 p, 4 p, 5 p, alıması uygu görümektedir. Yüzeylerdeki oktalar içi açıla kuyular göz öüe alıırsa, p p 0.4, p 0.5, p 3 0., p 4 0.7, p 5 0.8, p 0.70 öerilebilir. Gereksiz bir hassasiyet. Doğru olup olmadığı da tartışmalı. Buda sora, tavla zarları (hilesiz) içi, { ω, ω, ω, ω, ω, ω} Ω, U Ω

3 p, p, 3 P : U p, 4 R p, 5 p, ( A) A P( A) pi ωi A p Olasılık Uzayıı kullaacağız. Atış sırasıda zar tutmayı aklııza getirmeyi.. ω ω Ω {,,, ω, } olsu. Sayılabilir sosuz elemaa sahip ola Ω ı her ω i elemaıa aşağıdaki özellikleri sağlaya bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,, i ) p i Ω U olmak üzere, foksiyou bir olasılık ölçüsüdür. Örek: { ω, ω, ω,...} i 3 P : U R A P( A) pi ωi A Ω Ω, U ve Ω ı elemalarıa karşılık getirile sayılar sırasıyla, p, p, p, olsu. Bu sayılara dayalı olarak taımlaa, P : U R A P( A) i ω i A olasılık ölçüsüe göre, P( ω ) 0.5 { } 5 P( { ω, ω3, ω 5} ) P( { ω3, ω4, ω5,... }) P( { ω, ω} ) 0.5 ω, ω, ω,... B ω, ω olayları içi olur. A { } ve { } p P( A) P( { ω, ω3, ω5,... })

4 3 P( B) P( { ω5, ω} ) P( A B) P( { ω 5 }) P( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( A B) P( { ω }) 4 P( A B) / 3 P( A / B) P( B) 3/ 4 3 Böyle bir Olasılık Uzayı hagi deeyi modellemeside (hagi deeyi alamaalatımıda) kullaılabilir? Öreği, düzgü bir paraı tura geliceye kadar atılması ve üste gele yüzeyi gözlemesi deeyide kullaılabilir. Bu durumda Örek Uzay, Ω Y, YT, YYT, YYYYT, YYYYT,... { } olup, yukarıdaki A olayı, turaı tek sayılı atışlarda gelmesi olayı olacaktır. 3. Geometrik Olasılık. Ω, herhagi bir küme, U, Ω da bir σ -cebir ve { } m : U R A m( A) foksiyou içi : ) m( A) 0, A U ) m( ) 0 3) ( A ) U da ayrık kumeleri dizisi ike m( A ) m( A ), özellikleri sağladığıda m ye U da bir ölçü deir. Ölçü kavramı Matematiği bir kavramıuzuluk, ala, hacim ölçüleri bua birer örektir. Bir m ölçüsü içi, m( Ω ) < (solu) olduğuda, P : U R m( A) A P( A) m( Ω) olarak taımlaa P foksiyou U da bir olasılık ölçüsüdür. Herhagi bir m ölçüsü içi B U ve m( B ) < olsu. U B { A : A B C, C U} olmak üzere, P : U R B m( A) A PB ( A) m( B) foksiyou U B de bir olasılık ölçüsüdür. B

5 Şimdi geometrik olasılık diye bilie ve uzuluk, ala, hacim yardımıyla taımlaa olasılık ölçülerie değielim. N, M R, N < M içi Ω [ N, M ] aralığıı göz öüe alalım. A Ω bir aralık olduğuda, A ı aralık uzuluğu P( A ) Ω ı aralık uzuluğu ve diğer A Ω altkümeleri (aralıkları birleşimi, kesişimi, tümlemesi türüde olalar) içi " A ı uzuluk ölçüsü" P( A ) Ω ı aralık uzuluğu olarak taımlaabilir. Buradaki Ω ı bir olasılık deeyii Örek Uzayı olduğuu göz öüde kaçırmayı. ve Ω R, solu alalı bir küme olmak üzere A ı ala ölçüsü P( A) Ω ı ala ölçüsü 3 Ω R, solu hacimli bir küme olmak üzere, A ı hacim ölçüsü P( A) Ω ı hacim ölçüsü olarak taımlaabilir. Bu olasılık ölçüleri, bir birim olasılığı Ω üzeride düzgü olarak dağıldığı durumlar içi kullaışlı Örek 3 {( x y) : ( x y) R, x y 9} Ω,, + A ı ala ölçüsü P( A) Ω ı ala ölçüsü olmak üzere, 4 A {( x, y) : 0 x, y } içi P( A) 9π B {( x, y) : x + y } içi P( B) 9 C {( x, y) : ( x, y) Ω, x y} içi P( C) 0

6 Örek 4 Yarıçapı birim ola dairesel ice madei bir pul, taba yarıçapı 3 birim ola bir silidiri içie atıldığıda tabaı merkezii örtmesi olasılığı edir? a) Pulu, tabaı merkez oktasıı örtmesi içi, pulu merkezi ile tabaı merkez oktası arasıdaki uzaklığı birimde küçük olması gerekir. Pulu merkezi ile tabaı merkezi arasıdaki uzaklık d olmak üzere 0 d dir. Deeyi souçlarıı kümesi Ω { d :0 d } ve " A ı uzuluk ölçüsü" P ( A ) Ω ı aralık uzuluğu olmak üzere, pulu taba merkezii örtmesi olayı içi, A d :0 d { } P ( A ) elde edilir. b) Silidiri tabaıda, başlagıç oktası silidiri merkezi ile çakışa bir dik koordiat sistemi ele alalım. Bu koordiat sistemie göre pulu merkez oktasıı koordiatlarıı ( x, y) ile gösterelim. Deeyi souçlarıı kümesi Ω { ( x, y) : x + y 4} ve A ı ala ölçüsü P( A) Ω ı ala ölçüsü olmak üzere, pulu taba merkezii örtmesi olayı içi A ( x, y) : x + y elde edilir. { } π P ( A) π 4 Görüldüğü gibi modeller farklı souçlar vermektedir. Bu deey içi başka modeller de oluşturulabilir. Bu modellerde hagisi deeyimize "uygudur"? Pulu çok defa attığımızda olaya uygu souçları sayısıı atış sayısıa oraı bize yardımcı olabilir. Acak her atışta sora oraı bir öcekie göre değişmesi, belli sayıda atış yeide yapıldığıda ayı oraı elde edilmemesi gibi sorular ortaya çıkacaktır. Bu tür soruları daha ileri düzeyde Đstatistik bilgiside sora açıklığa kavuşacağıı yeide hatırlatalım. Şimdilik amacımız, olasılık uzayı yai model verildiğide, olasılık hesabı yapabilmektir. Beli bir ( Ω, U, P) olasılık uzayı bir olasılık deeyii modeli olarak kullaıldığıda U σ -cebirideki kümeler deey ile ilgili olaylara karşılık gelecektir. Bu σ -cebir her zama kuvvet kümesi olmak zoruda değildir. Öreği bir olasılık deeyide sadece beli bir A olayıı gerçekleip gerçeklemediği ile ilgileiyorsak σ -cebir olarak { Ω,, A, A} yı almamız yeterlidir. Eğer bir olasılık deeyide tüm olaylar ile ilgileiyorsak σ -cebir olarak Ω ı kuvvet kümesii almalıyız. Bir σ -cebir sayılabilir birleşim, sayılabilir kesişim ve tümlemeye göre kapalı A U içi A olayıı gerçekleşmesi demek deey soucuu A ı elemaı olması demektir. A, B U içi,

7 A B { ω : ω Ω, ω A veya ω B} A B { ω : ω Ω, ω A ve ω B} A { ω : ω Ω, ω A} olduğu göz öüe alıırsa A B olayıı gerçekleşmesi demek A ve B olaylarıda eaz birii gerçekleşmesi, A B olayıı gerçekleşmesi demek A ve B olaylarıı her ikisii de gerçekleşmesi, A olayıı gerçekleşmesi demek A ı gerçekleşmemesi demektir. Bu hatırlatmaları göz öüde tutarak aşağıdaki çözülmüş problemleri iceleyiiz. Çözülmüş Problemler.Problem ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı, A, A, A3, A4, A5 U olayları tam bağımsız ve her birii olasılığı /3 olsu. A, A, A, A, A olaylarıda hiç birii gerçekleşmemesi olasılığı edir? a) Deey soucuda A, A, A 3, A 4, A 5 olaylarıda hiç birii gerçekleşmemesi olayı A A A3 A4 A5 olmak üzere bu olayı olasılığı, 5 3 P( A A A3 A4 A5 ) P( A ) P( A ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) ( ) 3 43 A, A, A, A, A olaylarıda e az birii gerçekleşmesi olasılığı edir? b) Deey soucuda A, A, A 3, A 4, A 5 olaylarıda e az birii gerçekleşmesi olayı A A A3 A4 A5 olmak üzere bu olayı olasılığı, P( A A A A A ) P( A A A A A ) P( A A A A A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) ( ) P( A A A A A ) P( A ) P( A A ) + P( A A A ) i i j i j k i < i j 5 << i j k 5 <<< i j k l 5 P( A A A A ) + P( A A A A A ) i j k l P( A ) P( A ) P( A ) + P( A ) P( A ) P( A ) i i j i j k i < i j 5 << i j k 5 P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) + P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) <<< i j k l 5 i j k l ( ) + 0 ( ) 5 ( ) + ( )

8 43 A, A, A olaylarıda yalız birii gerçekleşmesi olasılığı edir? c) 3 Deey soucuda A, A, A 3 olaylarıda yalız birii gerçekleşmesi olayı, ( A A A3) ( A A A3) ( A A A3) olmak üzere bu olayı olasılığı, P( ( A A A) ( A A A) ( A A A) ) d) 3 P( A A A) + P( A A A) + P( A A A) A, A, A olaylarıda yalız ikisii gerçekleşmesi olasılığı edir? olmak üzere, Deey soucuda A, A, A 3 olaylarıda yalız ikisii gerçekleşmesi olayı, ( A A A3) ( A A A3) ( A A A3) (( ) ( ) ( )) P A A A A A A A A A ( ) ( ) ( ) P A A A + P A A A + P A A A e) A, A, A3, A4, A 5 olaylarıda yalız ikisii gerçekleşmesi olasılığı edir? p ( ) ( ) f) A, A, A3, A4, A 5 olaylarıda e az ikisii gerçekleşmesi olasılığı edir? p ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) veya p ( ) ( ) ( ) ( )

9 .Problem Bir tavla zarıı bir kez atılması deeyide örek uzay {,, 3, 4, 5, } olsu. Bua göre, bir zar iki kez ardı ardıa atıldığıda örek uzay, S {( x, y) : x, y,, 3, 4, 5, } {(,), (, ), (,3 ), (, 4 ), (,5 ), (, ), (,), (, ), (,3 ), (,4 ), (,5 ), (, ), ( 3, ), ( 3, ), ( 3,3 ), ( 3,4 ), ( 3,5 ), ( 3, ), ( 4, ), ( 4, ), ( 4, 4 ), ( 4,5 ), ( 4, ), ( 4,7 ), ( 5, ), ( 5, ), ( 5,3 ), ( 5, 4 ), ( 5,5 ), ( 5, ), (, ), (, ), (,3 ), (,4 ), (,5 ), (,)} ve ( S ) 3 U P( S) ve P( A) ( A) / 3 olarak taımlaa ( S, U, P) olasılık uzayıı deeyi bir modeli olarak kulladığımızda, öreği üste gele sayılar toplamıı 9 da büyük olma olayı, A {(5, 5),(, 4),(4, ),(5, ),(, 5),(, )} olmak üzere, bu olayı olasılığı P( A) ( A) / 3 / 3 / Birici atışta gele sayıı ikici atışta gele sayıda farklı olması olayı B {( x, y) S : x y} olmak üzere ( B ) 30 ve P( B ) 30/ 3 5/ Birici veya ikici atışta çift sayı gelmesi olayıı olasılığıı hesaplamak içi C. atışta çift sayı gelmesi D. atışta çift sayı gelmesi olaylarıı taımlayalım. O zama araa olasılık P( C D) P( C) + P( D) P( C D) veya P( C D) P( C D) P( C D) 3 3 Gele sayılar toplamıı 9 da büyük olduğu bilidiğide, birici atışta gelmiş olması olasılığı edir? E olayı birici atışta gelmesi olayı olsu. Sorula olasılık, P( E A) 3/ 3 P( E / A) P( A) /

10 A,B,C,D,E olaylarıı bağımsızlığıı araştıralım. 4 P( A B) 3 olup A ile B bağımsız değildir. 5 P( A). P( B) 4 P( A C) 3 P( A). P( C) 4 P( A D) 3 P( A). P( D) olup A ile C bağımsız değildir. olup A ile D bağımsız değildir. P( E A) 3/ 3 P( E / A) P( E) olduğuda A ile E bağımsız değildir. P( A) /. 5 P( B C) 3 5 P( B). P( C) 5 P( B D) 3 5 P( B). P( D) 5 P( B E) 3 5 P( B). P( E) 9 P( C D) 3 P( C). P( D) P( C E) 3 P( C). P( E) olup B ile C bağımsız değildir. olup B ile D bağımsız değildir. olup B ile E bağımsız olaylar olup C ile D bağımsız olaylar olup C ile E bağımsız olaylar değildir.

11 3 P( D E) 3 P( D). P( E) olup D ile E bağımsız olaylar P( A B C) 3 5 P( A). P( B). P( C) olup A,B,C olayları 3-lü bağımsız değildir. P( A B C D) 3 olup A,B,C,D olayları 4-lü bağımsız değildir. 5 P( A). P( B). P( C) P( D) P( A B C D E) 3 olup A,B,C,D,E olayları 5-li bağımsız değildir. 5 P( A). P( B). PC ( ) P( D). PE ( ) 3 P( C D E) 3 P( C). P( D). P( E) olup C,D, E olayları 3-lü bağımsız değildir. Daha kaç tae karşılaştırma yapılacaktır? 5 tae olay içi 3 tae eşitliği karşılaştırılması gerekmektedir. 3.Problem a, b, c, d harfleri 4 ayrı kağıt parçasıa yazılsı ve bir kavaoza atılsı: ) çekilei geri atma şartıyla ardarda, ) çekilei geri atmama şartıyla ardarda, 3) ayı ada üç tae kağıt parçası çekilsi. Bu deeyleri Örek uzayları sırasıyla S { a, b, c, d} { a, b, c, d} { a, b, c, d} {( x, y, z) : x, y, z { a, b, c, d}} S {( x, y, z) : x, y, z { a, b, c, d}, x y, x z, y z} S {{ x, y, z} :{ x, y, z} { a, b, c, d}} 3 olmak üzere ( S) , ( S) 4 3 4, ( S3) 4

12 * Bu deeyleri her biri içi; çekilişlerde a harfii kavaozda alımamış olması olayıı olasılığıı hesaplayalım.. deey içi olay A { b, c, d} { b, c, d} { b, c, d} olmak üzere, ( A ) P ( A) ( S ) 4 4. deey içi olay olmak üzere, B {( x, y, z) S : x, y, z { b, c, d}} ( B) 3 P ( B) ( S ) deey içi olay olmak üzere, C {{ b, c, d}} ( C) P3 ( C) ( S ) 4 3 * Çekile üç harfi de ayı harf olması olayıı göz öüe alırsak,.deey içi olay, A {( a, a, a),( b, b, b),( c, c, c),( d, d, d)} ikici deey içi B ve üçücü deey içi C olmak üzere olasılıklar 4 P ( A), P ( B) 0, P3 ( C) 0 4 olacaktır. olmak üzere, * Çekile üç harf arasıda a veya b i gelmesi olayı;. deey içi A S \{ c, d} { c, d} { c, d} ( A) 8 7 P ( A) ( S ) 4 8. deey içi B S, P( B) ve 3. deey içi C S3 olmak üzere, P( C ) * Đlk öce a sora b ve sora c i çekilmesi olayı;. deey içi A {( a, b, c)} olmak üzere P ( A ) / 4,. deey içi B {( a, b, c)} olmak üzere P ( B ) / 4, 3. deey içi böyle bir olay taımsız * E,. deeyde çekile harfleri birbiride farklı ve alfabetik sıraya göre çekilmesi olayı olmak üzere,

13 ( E) 4 3 3! P ( E) ( S ) 4 * D, ). deeyde b harfii. çekilişte gelmesi olayı olmak üzere ( D) 3 P ( D) ( S ) 4 4 * F, 3).deeyde a ve b harflerii çekilmesi olmak üzere ( F) P3 ( F) ( S ) 4.Problem Bir kavaozda k tae kırmızı ve b tae beyaz top bulusu. Bir top çekilip regie bakıldıkta sora bu rekte başka c tae top ile birlikte kavaoza geri atılsı. B, i,, i.çekilişte beyaz top gelmesi olayı, i K i, i,, i.çekilişte kırmızı top gelmesi olayı olmak üzere: k b P( K), P( B ) b + k b + k P( K ) P[( K B ) K ] P( K K ) + P( B K ) P( K ) P( K / K ) + P( B ) P( K / B ) P( K ). P( K / K ) + P( B ). P( K / B ) k k + c b k + b + k b + k + c b + k b + k + c k b + k b P( B ) P( K) b + k Görüldüğü gibi P( B ) P( B ) ve P( K) P( K) Bir top çekilip regie bakıldıkta sora bu rekte başka c tae top ile birlikte kavaoza geri atıldığıda olasılıklar değişmemektedir. Şimdi ikici çekilişte topu kırmızı olduğu bilidiğide birici çekile topu kırmızı olması olasılığıı hesaplayalım. P( K K) k + c P( K/ K) P( K) b + k + c Burada,

14 b P( B/ K) P( K/ K) b + k + c 5.Problem,, 3, 4, 5,, 7, 8, 9 rakamları ile oluşturula, farklı rakamlı basamaklı sayılarda biri rasgele seçildiğide: a) Çift sayı olması olasılığı edir? S kümesi,,, 9 rakamları ile oluşturula farklı rakamlı basamaklı sayıları kümesi (Örek Uzay) olmak üzere, ( S ) Çekile sayıı çift sayı olması olayı, olmak üzere, A olayıı olasılığı, A { x S : x çift sayı} ( A ) ( A) 4 P( A) ( S) 9 Buda soraki şıklarda Örek Uzayı yazmayacağız. b) Rakamlar toplamıı çift sayı olması olasılığı edir? B { x S : x i rakamları toplamı cift sayı} ve k,, 3, 4 içi Bk { x S : x sayısıı k tae rakamı cift} olmak üzere, B B B 4 ( B) ( B ) + ( B ) 4 ve !+! 40! ! 40 3! 0 P( B) c) Çift rakamları ya yaa (bir arada) olması olasılığı edir?

15 olmak üzere, C { x S : x deki cift rakamlar yayaa} C C S C ( B B B B ) 3 4 ( C B ) ( C B ) ( C B ) ( C B ) 3 4 ( C) ( C B ) + ( C B ) + ( C B ) + ( C B ) !+ 5!!+ 4! 3!+ 3! 4! ve ( C) 4! P( C) ( S) d) 3 tae rakamı tek, 3 tae rakamı çift veya 8 rakamıı içermesi olasılığı edir? D { x S : x, 8 rakamıı icerir} olmak üzere D B3 D olayıı olasılığı, P( D ) P( B ) + P( D) P( B D) 3 3 ( B3 ) + ( D) ( B3 D) ( S) !+!! / 4 e) Çift sayı olması veya 8 rakamıı içermesi olasılığı edir? E A D olmak üzere araa olasılık P( E) P( A) + P( D) P( A D) ! ! ( S) ( S) f) Rakamları azala veya arta sırada olması olasılığı edir? F { x S : x deki rakamlar azala veya arta sırada} olmak üzere

16 ( F ) ! ve P( F! 30 g) 3 tae rakamı tek, 3 tae rakamı çift, tek rakamlar azala ve çift rakamlar azala sırada olması olasılığı ! 3! 3! ( S) h) 3 tae rakamı tek, 3 tae rakamı çift olması, ayı ciste iki rakamı yayaa olmaması ve sayıdaki e büyük tek rakamı teklere göre e sağda olması olasılığı [3! 3!] 3! ( S) i) Ya yaa iki çift rakam bulumaması olasılığı edir? I { x S : x de yayaa iki cift rakam yok} olmak üzere ve I ( I B ) ( I B ) ( I B ) ( I)!+ 4!!+ 3! 3! ( I) P( I ) ( S) j) Rakamlar toplamıı e az 3 olması olasılığı edir? K rakamlar toplamıı e az 3 olması olayı olmak üzere P ( K ) P ( K )!! + ( S ) ( S ) 4 4

17 .Problem Elimizde,,,3,..., sayıları ile umaralamış tae top ve tae kutu bulusu. Bir topu umarası içide buluduğu kutuu umarasıa eşitse bu durumda bir "eşleşme" vardır deir. tae top tae kutuya her kutuda bir top buluacak şekilde rasgele atıldığıda e az bir eşleşme olması olasılığı edir? tae farklı (umaralamış) top tae farklı (umaralamış) kutuya her kutuda bir top buluacak şekilde! biçimde atılabilir. Örek Uzayı elema sayısı! dir. A, i,,3,..., olayı i. kutu içi eşleşme olması olayı olsu. i ( )! P( Ai ), i! ( )! P( Ai Aj ), i< j! ( ) ( 3)! P( Ai Aj Ak ), i< j< k! ( )( )... P( A A... A )! olmak üzere, e az bir eşleşme olması olayıı olasılığı, P( A ) P( A ) P( A A ) + P( A A A ) i i i i j i j k i i< j i< j< k + ( ) P( A A A ) ( ) ( ) 3 ( )( )! + + +! 3!!... ( )... B-hiçbir eşleşme olmaması olayı olsu. Bu olayı olasılığı, P( B) P( B) P( A A... A ) ( )!! 3!! B olayıı olasılığıı p ile gösterelim. p ( )!! 3!!

18 olmak üzere, e ( ) +...!! 3!! sayısı göz öüe alıırsa, p olasılığı e sayısıı seri açılımıdaki ( + ). kısmi toplam e 0. 3 ve p , p , p , p olmak üzere, i değerleri küçük ler içi bile p e değerie yakı Böylece e az bir eşleşme olması olasılığıı pratik olarak de ( > 5) bağımsız olduğuu ve yaklaşık olarak 0. 3 olduğuu söyleyebiliriz. b) tae top, her bir kutuda bir top olacak şekilde, kutuya rasgele atıldığıda tam r ( r ) tae eşleşme olması olasılığı edir? r içi bu olasılık! r durumu söz kousu olamaz, çükü tae kutuda kedi umaralarıa karşılık gele toplar buluuyorsa geriye kala kutuda da bir eşleşme var r,,..., içi B r olayı, tam r tae eşleşme olması olayı olsu. Bir a içi r tae eşleşmei,,, r umaralı kutularda olduğuu düşüelim. Diğer r kutuda hiçbir eşleşme olmayacak şekilde farklı düzelemeleri sayısı ( r)! p r olacaktır. Burada, ( r)! p r r P( Br ) ( ( ) ), r,,... r! r!!! 3! ( r)! 7.Problem,,..., sayıları ile umaralamış tae kutu ve özdeş k tae top göz öüe alalım. k tae özdeş top farklı kutuya kaç yolda dağıtılabilir? (Boş kutu kalabileceği gibi topları tümü bir tek kutuda da olabilir.) Kutular umara sırasıa göre ya yaa dizildikte sora aralarıa birer ayıraç (levha) kosu ve sadece k tae top ile - tae ayıraç göz öüe alısı. Aşağıdaki gibi bir durum, umaralı kutuda 3, umaralı kutuda 0, 3 umaralı kutuda, dört umaralı kutuda, 5 umaralı kutuda 0,..., - umaralı kutuda ve umaralı kutuda 0 tae top ola dağılışı alatmakta Bua göre farklı dağılışları sayısı, k taesi özdeş (top) ve - taesi özdeş (levha) ola - + k tae esei farklı sıralaışlarıı sayısı kadar olacaktır. Bua göre, k özdeş topu farklı kutuya dağılışlarıı sayısıı s(, k ) ile gösterilirse,

19 s(, k ) ( + k )! k!( )! F HG - + k k I KJ Öreği 3, k içi dağılışlar; olmak üzere, dağılış sayısı 3-+ s(3,) 3, k 3 içi dağılışlar olmak üzere, 3-+3 s(3,3) özdeş top 5 farklı kutuya rasgele atıldığıda (dağıtıldığıda): Boş kutu kalmaması olasılığı

20 5 Topları hepsii ayı kutuda olması olasılığı Yalız bir kutuu boş olması olasılığı Yalız bir umaralı kutuu boş olması olasılığı Yalız iki kutuu boş olması olasılığı Kutularda eşit sayıda top olması olasılığı Problem Cıvata üretile bir atölyede üç işçi çalışmakta Birici işçi üretimi %40 ıı, ikici işçi %35 ii ve üçücü işçi %5 ii gerçekleştirmektedir. Birici işçi cıvatalarda %5 ii, ikici işçi %4 üü ve üçücü işçi % ii bozuk üretmektedir. Bu atölyede üretile cıvatalarda rasgele seçile bir cıvataı bozuk olduğu görüldüğüde birici işçi tarafıda üretilmiş olması olasılığı edir? A -seçile cıvataı birici işçi tarafıda üretilmiş olması olayı, A -seçile cıvataı ikici işçi tarafıda üretilmiş olması olayı, A -seçile cıvataı üçücü işçi tarafıda üretilmiş olması olayı, 3 B-seçile cıvataı bozuk olması olayı olsu. P( A ) P( B / A ) P( A / B) P( A ) P( B / A ) + P( A ) P( B / A ) + P( A ) P( B / A ) 3 3

21 %40 %5 %40 %5 + %35 %4 + %5 % Ağaç Diyagramı yardımıyla çözüm: Yolları Olasılıkları %95 Sağlam %40x%95 %40 %5 %35. Đşçi.Đşçi 3.Đşçi %5 %9 %4 %98 Bozuk Sağlam Bozuk Sağlam %40x%50.0 *** %35x%9 %35x%40.04 * %5x%98 % Bozuk %5x%0.005 * *** 0.0 *** + * + * Problem Bir cam kavaozda beyaz 3 siyah ve bir tahta kavaozda beyaz siyah top bulumakta Rasgele bir kavaoz seçilip içide bir top çekilip diğer kavaoza atılmaktadır ve bu kavaozda bir top çekilmektedir. a) Çekile her iki topu da siyah olması olasılığı edir? b) Çekile ikici topu siyah olduğu görüldüğüde birici topu da siyah olması olasılığı edir? Ağaç Diyagramı yardımıyla çözüm:

22 Yolları Olasılıkları / 3/5 /5 / / /4 3/ a) b) / /3 / p / p / /3 /3 / / Problem (0,) aralığıdaki reel sayılarda rasgele iki sayı seçildiğide çarpımlarıı 0.5 de küçük olması olasılığı edir? Ω ( x, y) : 0< x<, 0< y< Örek Uzay: { } Olasılık Ölçüsü: " Aı ala ölçüsü" P( A ) " Ω ı ala ölçüsü" Đlgilediğimiz olay: A ( x, y) : 0< x<, 0< y<, xy<

23 y Ω A 0.5 x " Aı ala ölçüsü" P( A ) " Ω ı ala ölçüsü" dx x l x x l (l l ) Problem (Buffo u Đğe Problemi)

24

25

26 DAĞILIŞLAR VE ÖRNEK SEÇĐMĐ Bu Ek kısımda ilk olarak eseleri kutulara (gözelere) dağılışı ve daha sora eselerde seçim ele alıacaktır. çıkmaktadır: Neseleri veya kutuları özdeş olup olmamasıa göre karşımıza değişik durumlar a) r tae farklı ese, tae farklı kutuya r farklı şekilde dağıtılabilir. b) r tae özdeş ese, tae farklı kutuya, F + ri s(, r) r farklı şekilde dağıtılabilir. HG KJ c) r içi r tae farklı ese, tae farklı kutuya her kutuda e çok bir ese olacak şekilde ( )( )...( ( r )) farklı biçimde dağıtılabilir. d) r içi r tae özdeş ese, tae farklı kutuya bir kutuda e çok bir ese olacak şekilde r farklı biçimde dağıtılabilir. (r içi r özdeş esei farklı kutuya bir dağılışı, tae kutuda r taesii bir seçimi olmak üzere, farklı dağılışları sayısı r ) e) r durumuda r tae özdeş ese tae farklı kutuya boş kutu kalmayacak şekilde, r farklı biçimde dağıtılabilir. (Boş kutu kalmaması içi r özdeş esede taesi her kutuda bir ese olacak şekilde yerleştirilir (bir tek biçimde yapılabilir) ve buda sora geriye kala r özdeş ese kutuya dağıtılır. Bua göre souç sayısı, s(, r ) F HG + r r r I F KJ HG r I KJ f),,..., ile umaralamış tae ese,,,..., ile umaralamış kutuya her kutuda bir ese buluacak şekilde! farklı biçimde dağıtılabilir. Belli bir dağılışta bir kutuu umarası ile bu kutuda bulua esei umarası ayı ise bir eşleşme vardır deir. Tüm kutular içi eşleşme olacak şekilde bir tek dağılış var Bir umaralı kutuda eşleşme olacak şekildeki dağılışları sayısı (-)! Bir umaralı kutuda eşleşme ola dağılışları bazıları

27 içi diğer kutularda da eşleşme olabileceğie dikkat edi. Belli iki kutuda, öreği ve 3 umaralı kutularda eşleşme olacak şekildeki dağılışları sayısı (-)! g) (r + r r r,0 ri,i,,..., ) olmak üzere r farklı ese,. kutuda r,. kutuda r,...,. kutuda r ese olacak şekilde farklı kutuya, F HG r r IF KJHG r r r I KJ... F HG I KJ r ( r + r r ) r! r r! r!... r! biçimde dağıtılabilir. değielim. Şimdi eselerde seçim veya başka bir ifade ile örekleme kousua kısaca A) farklı esede iadeli olarak (çekilei yerie atarak) birer birer k ese çekilmesi (çekiliş yapılması) ve çekiliş sırasıa bakılarak souçları değerledirilmesi durumuda karşımıza esei k -lı tekrarlı permütasyoları çıkmaktadır Buları sayısı k B) farklı esede iadeli olarak birer birer k ese çekilmesi ve çekiliş sırasıa bakılmaksızı souçları değerledirilmesi durumuda souçları birbiride ayırt ede özellik her bir esei kaç kez çekilmiş olması i,,..., içi x i ler her bir esei kaç kez çekildiğii göstermek üzere souç sayısı, x + x x k deklemii egatif olmaya tamsayılar kümesideki çözüm sayısı kadar Bua göre farklı souçları sayısı, s(, k ) F HG + k k I KJ Bu durumda souçlar ayı zamada farklı esei k -lı tekrarlı kombiasyoları olarak da isimledirilmektedir. C) farklı esede iadesiz olarak birer birer k ese ( k ) çekilmesi ve çekiliş sırasıa göre souçları değerledirilmesi durumuda karşımıza farklı esei k -lı permütasyoları çıkmakta Buları sayısı, ( )( )...( ( k )) D) farklı esede iadesiz olarak birer birer k ese ( k ) çekilmesi ve çekiliş sırasıa bakılmaksızı souçları değerledirilmesi durumuda farklı souçları sayısı, k

28 Her bir souca, farklı esei k -lı bir kombiasyou deir. farklı esede iadesiz olarak birer birer k ese ( k ) çekilmesi ve çekiliş sırasıa bakılmaksızı souçları değerledirilmesi deeyi ile bu esede ayı ada k ese alıması deeyi souçlar bakımıda birbirii ayısı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

Đki Oyun Yaz Dnemi 22 Haziran 2011, Çarşamba Đst201 Đstatistik Teorisi Dersin konusu: Olasılık Hesabı

Đki Oyun Yaz Dnemi 22 Haziran 2011, Çarşamba Đst201 Đstatistik Teorisi Dersin konusu: Olasılık Hesabı Đki Oyu Yaz Demi 22 Hazira 20, Çarşamba Đst20 Đstatistik Teorisi Dersi kousu: Olasılık Hesabı - Çocuklar, Đstatistik Teorisi bir tarafa, istatistikçileri işi rasgelelik ortamıda hesap yapmaktır. Şöyle

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak BÖLÜM I OLSILIK Küme teorisi, matematiği geliştirilmesi ve öğretimide gittikçe daha fazla yararlaıla koularda biridir. yrıca olasılıkla ilgili birici bölümü temel aracıdır. Bu kısımda amaç, olasılık kousuda

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı LYS Matematik Olasılık Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde

Detaylı

MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK 1: ÖRNEK 2:

MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK 1: ÖRNEK 2: MATEMAT K PERMÜTASYON - KOMB NASYON ÖRNEK : ÖRNEK 2:, 6, 7, 8, 9 rakamlar kullaarak rakamlar birbiride farkl ola, üç basamakl ve 780 de küçük kaç de iflik say yaz labilir? A) 6 B) 2 C) 36 D) 30 E) 2 (999

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR.

YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR. 0. Sııf MATEMATİK Soru Kitabı Mehmet ŞAHİN T.C MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI Talim Terbiye Kurulu Başkalığı MATEMATİK Öğretim programıda yaptığı so gücelleme doğrultusuda YENİDEN DÜZENLENMİŞTİR. Emre ORHAN Mehmet

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

KOMBİNASYON. Güneşe bakarsanız gölgeleri göremezsiniz. Adı : Soyadı : Zeka, Tecrübe ve Çalıskanlık birlesirse tüm hedeflere ulasılır

KOMBİNASYON. Güneşe bakarsanız gölgeleri göremezsiniz. Adı : Soyadı : Zeka, Tecrübe ve Çalıskanlık birlesirse tüm hedeflere ulasılır Güeşe bakarsaız gölgeleri göremezsiiz KOMBİNASYON Adı : Soyadı : Zeka, Tecrübe ve Çalıskalık birlesirse tüm hedeflere ulasılır Mat Müh BAHTİYAR DAĞDELEN 05-799 9 5 KOMBİNASYON KOMBİNASYON r olmak üzere,

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul

Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) KUTU PROBLEMLERİ Bu kouyu öekle üzeide iceleyeek geellemele elde edelim Öek a) faklı ese, kutuya pay, kutuya pay ve kutuya pay olacak şekilde kaç faklı dağıtılabili? b)

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir: 1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir.

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir. 35 Yay Dalgaları 1 Test 1'i Çözümleri 1. dalga üreteci 3. m 1 2m 2 Türdeş bir yayı her tarafıı kalılığı ayıdır. tma türdeş yay üzeride ilerlerke dalga boyu ve hızı değişmez. İlk üretile ı geişliği büyük,

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

OLASILIK. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

OLASILIK.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) OLASILIK 46 0 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları Ocak 20 0. Teorik Olasılık 0.. Deney ve Çıktı 4. Bir zar ile

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B . +? + + işlemii soucu aşağıdakilerde xy } y 5,x 4 5x 4y Ç 6y +7x 6.5+7.4 58 cm Yaıt:C hagisie eşittir? A) 7 B) 4 C) 7 4 D) 7 7 E ) 7 4. Aşağıda alaları verile dairelerde hagisii alaı sayıca çevresie eşittir?

Detaylı

Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması Güz Dönemi

Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması Güz Dönemi Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM4 Tesis Plalaması 6-7 Güz Döemi 3 Sisteme ekleecek tesis sayısı birde fazladır. Yei tesisler birbirleri ile etkileşim halide olabilirler

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK...111. Konu Özeti...111. Testler (1 11)...115. Yazılıya Hazırlık Soruları (1 2)...

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK...111. Konu Özeti...111. Testler (1 11)...115. Yazılıya Hazırlık Soruları (1 2)... ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK Bölüm PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK! = (...... ) PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK PERMÜTASYON, KOMBİNASYON,

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir.

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir. HİPOTEZ TETLERİ İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adladırılır. Ortaya atıla doğru veya yalış iddialara hipotez deir. Öreği para hilesizdir deildiğide bu bir hipotezdir. Ortaya atıla iddiaya

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

PDF Created with deskpdf PDF Writer - Trial ::

PDF Created with deskpdf PDF Writer - Trial :: Bilim ve Bilimsel Felsefe Çevresi Etkiliği Bilimsel Felsefe ve Bilimler Has Reichebach ı Ölümüü 50.yılı Aısıa 1 Aralık 003 Akara Üiversitesi Fe Fakültesi Levet Özbek Akara Üiversitesi Fe Fakültesi Đstatistik

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı