Tabakalı elastik bir yarım uzayda nonlineer Rayleigh dalgalarının yayılması

Transkript

1 tüdergs/c fen blmler Clt:, Sayı:, -4 Kasım 4 Tabakalı elastk br yarım uzayda nonlneer Raylegh dalgalarının yayılması Semra AHMETOAN *, Mevlüt TEYMÜR İTÜ Fen Edebyat Fakültes, Matematk Mühendslğ Bölümü, 4469, Ayazağa, İstanbul Özet Bu çalışmada farklı br homojen, zotrop nonlneer hperelastk malzemeden oluşan sonlu düzgün kalınlıklı br tabaka le kaplı elastk br yarım uzayda küçük ama sonlu genlkl genelleştrlmş Raylegh tp yüzey dalgalarının yayılması ncelenmştr. Harmonk rezonansın olmadığı kabulu le br pertürbasyon metodu kullanılarak dalgaların self modülasyonunun asmptotk olarak br Nonlneer Schrödnger (NS) denklem le karakterze edlebleceğ gösterlmştr. NS denklemnn blnen özellkler göz önüne alınarak denklemn solton tp çözümlernn varlığı ortamı oluşturan malzemelern nonlneer özellklernn dalga modulasyonu üzerndek etks nonlneer tabaka-nonlneer yarım uzay, nonlneer tabaka-lneer yarım uzay lneer tabaka-nonlneer yarım uzay modeller çn gözlemlenmştr. Analzde ayrıca sabt br dalga sayısı k çn tabaka kalınlığının çok nce olması durumunda, h lmt altında, yan nce tabaka yaklaşımı altında NS denklemnn katsayılarının davranışları analz edlmştr. Sayısal ncelemelerde hpotetk malzeme modeller yanında gerçek malzeme modeller de kullanılmıştır. Anahtar Kelmeler: Raylegh dalgaları, self modülasyon, Nonlneer Schrödnger denklem (NS). The propagaton of nonlnear Raylegh was n a layered elastc half-space Abstract In ths work, the propagaton of small but fnte ampltude generalzed Raylegh was n an elastc halfspace cored by a dfferent elastc layer of unform and fnte thckness s consdered. The consttuent materals are assumed to be homogeneous, sotropc, compressble hyperelastc. Excludng the harmonc resonance phenomena, t s shown that the nonlnear self modulaton of generalzed Raylegh was s gorned asymptotcally by a nonlnear Schrödnger (NS) equaton. The stablty of the solutons and the exctence of soltary wa-type solutons of a NS are strongly depend on the sgn of the product of the coeffcents of the nonlnear and dsperson terms of the equaton. Therefore the analyss contnues wth the examnaton of dependence of these coeffcents on the nonlnear materal parameters. Three dfferent models ha been consdered whch are nonlnear layer-nonlnear half space, lnear layer- nonlnear half space and nonlnear layer -lnear half space. The behavor of the coeffcents of the NS equaton was also analyzed under the lmt as h (thckness of the layer) goes to zero and k (the wa number) s constant. Then conclusons are drawn about the effect of nonlnear materal parameters on the wa modulaton. In the numercal nstgatons both hypothetcal and real materal models are used. Keywords: Nonlnear Raylegh was, self modulaton, nonlnear Schrödnger equaton (NS). * Yazışmaların yapılacağı yazar: Semra AHMETOAN. ahmetola@tu.edu.tr; Tel: Bu makale, brnc yazar tarafından İTÜ Fen Edebyat Fakültes'nde tamamlanmış olan "Tabakalı elastk br yarım uzayda nonlneer Raylegh dalgalarının yayılması" adlı doktora teznden hazırlanmıştır. Makale metn.5.4 tarhnde dergye ulaşmış,.6.4 tarhnde basım kararı alınmıştır. Makale le lgl tartışmalar.4.5 tarhne kadar dergye gönderlmeldr.

2 S.Ahmetolan, M.Teymür Grş Elastk dalgalar elastk yüzey dalgaları le lgl ncelemeler, jeofzkte, malzemelern tahrbatsız muayeneler elektronk snyal şleme chazları teknolojler gb değşk öneml uygulama alanları bulması neden le.yüzyılın başlarından bugüne kadar devam edegelmştr. Yakın zamanlarda daha önce su dalgaları, akışkanlar mekanğnn dğer dalları, plazma fzğ gb değşk uygulama alanlarında oldukça yaygın olarak kullanılmış olan asmptotk pertürbasyon yöntemler le hem dspersyon olayının ortaya çıktığı hem de dalga yayılması olaylarında dspersyonun ortaya çıkmasına neden olan sınırlara sahp nonlneer elastk ortamlarda çeştl tpten problemler ncelenmştr. Bunlardan br kısmı homojen zotrop elastk br yarım uzayda Raylegh dalgalarının yayılması le lgldrler (Kalyanasundaram, 98; Parker, 98; Parker, 988). Bu çalışmalarda dspersf olmayan Raylegh dalgaları çn yayılma çeştl harmonk etkleşm problemler ele alınmıştır. Son yıllarda nce br tabaka le kaplı elastk br yarım uzayda Raylegh dalgalarının yayılmaları, dalgaların yayılma olayına nonlneerlğn etks solton tp dalgaların varlığı üzerne bazı araştırmalar mevcuttur Maugn vd., 99; Porubov Samsonov, 995; Eckl vd., 998; Eckl vd., ; Kovalev vd., ). Bu çalışmalarda "nce tabaka", "lneer tabaka", "lneer yarım uzay" varsayımları yapılarak sonuçlar elde edlmştr. Tabakanın çok nce olması varsayımı, yan nce flm yaklaşımı altında yapılan ncelemeler bazı uygulamalar açısından öneml olmalarına rağmen tabakanın sonlu kalınlıklı olduğu kabulu le br asmptotk yöntem kullanılarak problem ncelendğnde farklı değşk sonuçlar elde edleblr. Bu dkkate alınarak, bu çalışmada, sonlu kalınlıklı knc mertebe nonlneer homojen zotrop elastk br malzeme le kaplı, farklı br knc mertebe nonlneer homojen zotrop elastk malzemeden meydana gelen br yarım uzayda Raylegh tp yüzey dalgalarının modulasyonu br pertürbasyon metodu kullanılarak ncelenmektedr. İncelemede "lneer yarım uzay", "lneer tabaka", "nce tabaka" varsayımları yapılmamaktadır. Dolayısı le elde edlen sonuçlardan tabakanın kalınlığının, tabakanın yarım uzayın nonlneerlğnn yayılma olayı üzerndek etklern ncelemek mümkün olacaktır. Çalışmanın lk bölümünde nonlneer tabakalı br yarım uzayda Raylegh tp yüzey dalgalarının yayılmasını karakterze eden hareket denklemler sınır koşulları türetlmştr. Yukarıda da belrtldğ gb tabakanın sonlu unform kalınlıklı olduğu hem tabakanın hem de yarım uzayın farklı özellklere sahp knc mertebe nonlneer homojen zotrop elastk malzemelerden meydana geldğ varsayılmıştır. Ayrıca tabaka le yarım uzayın deal olarak bağlı oldukları da varsayılmaktadır. Yan tabaka le yarım uzayın ara yüzey üzernde yerdeğştrmeler gerlmeler sürekldrler. Daha sonra nonlneer yayılmayı modelleyen sınırdeğer problemnn nonlneer dalga modulasyonu çn asmptotk analz yapılmıştır. Analzde değşk ölçekler metodu kullanılmıştır. Zayıf nonlneerlkle dspersyon dengelenerek modulasyonun asmptotk olarak br Nonlneer Schrödnger (NS) denklem le karakterze edlebleceğ gösterlmştr. NS denklemnn çözümlernn nonlneerlğe bağlılığını ncelemek çn tabakayı yarım uzayı oluşturan malzemelern lneer özellkler sabt tutulmuş, nonlneer malzeme parametreler değştrlerek, genelleştrlmş nonlneer Raylegh dalgalarının modulasyonunu karakterze eden NS denklemnn katsayılarının dalga sayılarına göre değşmler elde edlmştr. Bu nceleme sayısal olarak gerçekleştrlmş üç ayrı model gözönüne alınmıştır; Nonlneer Tabaka- Nonlneer Yarım Uzay, neer Tabaka- Nonlneer Yarım Uzay, Nonlneer Tabaka- neer Yarım Uzay. Ayrıca kh lmtnde 'nın davranışını yarım uzayın nonlneerlğnn etkledğ tabakanın nonlneer parametrelernn sabt tutulup, yarım uzayın nonlneer parametreler değştrlerek de gözlemlenmştr. İncelemelerde gerçek malzeme modeller de kullanılmıştır. Problemn tanımı temel denklemler Üç boyutlu uzayda br noktanın aynı dk kartezyen eksen takımına göre uzaysal maddesel koordnatları sıra le ( x, x, x ) ( X, X, X) sıralı sayıları le gösterlmektedr. Başlangıç konumunda:

3 Nonlneer Raylegh dalgaları D ={(X, X, X ) < X < h, X X (-, )} bölgesn dolduran elastk br malzemeden oluşan sonlu düzgün h kalınlıklı br tabaka: D ={(X, X, X ) - < X < h, X X (-, )} bölgesn dolduran tabakadan farklı br elastk malzemeden oluşan yarım uzayı kaplamaktadır. Bu tabakalı yarım uzayda X eksen boyunca yayılan x=x+u (X,X,t), x =X, =,. denklemler le tanımlanan dalga hareket br düzlem hareketdr u D bölgesndek; u D bölgesndek noktaların sırası le X yönündek yerdeğştrme fonksyonlarıdır. Bu dalga hareketne etk eden kütle kuvtlernn bulunmadığı varsayılırsa olayı betmleyen denklemler maddesel koordnatlarda:.... β,β β,β m=, T =ρ u, T =ρ u,. (4) olarak yazılır. Burada TKl brnc tür Pola- Krchhof gerlme tensörünü, vrgülden sonrak br alt nds, bu ndsn belrledğ kartezyen koordnata göre kısm türev u nun üzerndek br nokta da zamana göre kısm türev göstermektedr. ρ se lgl ortamın başlangıç konumundak yoğunluğunu göstermektedr. Br alan büyüklüğünün üzerndek parantez çersndek nds m= çn büyüklüğün tabakaya m= çn se büyüklüğün yarım uzaya at olduğunu göstermektedr. Bundan sonra tanımlanacak tüm dferansyel operatörlerde, fonksyonlarda katsayılarda da aynı uylaşım geçerl olacaktır. Dalga hareket esnasında X =h serbest yüzey üzernde gerlmelern sıfır olması; X = ara yüzey boyunca yerdeğştrmelern gerlmelern sürekl olmaları serbest yüzeyden uzaklarda dalga hareket sonucu oluşan yerdeğştrmelern sıfıra gtmeler koşullarından; X =h'da T = T =, (5) X ='da u =u u =u, (6) T =T T =T, (7) X - çn u, u (8) sınır koşulları yazılır. Yayılma ortamını oluşturan tabakanın yarım uzayın farklı homojen, zotrop, nonlneer, sıkışablr hper elastk malzemelerden oluştukları varsayımı le küçük ama sonlu genlkl dalgaların yayılması ncelendğnden bu malzemeler çn gerlme deformasyon bağıntıları kuadratk yaklaşım altında aşağıdak formda alınmaktadırlar; λ (6l+m+n) TKk = [ λ(tr E)+ up,mu p,m + (tr E) (m+n) - (tr E )]δ Kk +[µ-(m+n)(tr E)]EKδ k (9) +λ(tr E )u +µe u +µu u δ +ne E δ. k,k K k, p,k p, k KN N k Burada E lneer agrangan şekl değştrme tensörüdür. λ, µ àme (lneer) malzeme sabtler; l, m n se Murnaghan (nonlneer) malzeme sabtlerdrler (Erngen Şuhub, 974). (4) le rlen hareket denklemler le (5-8) le rlen sınır koşullarında (9) da rlen gerlmeşekl değştrme bağıntıları kullanılır denklemlerde ( X, X, X ) yerne (X,Y,Z), u u yerne de sıra le u v yazılırsa yapılan yaklaşım altında tabakalı br elastk yarım uzayda yayılan nonlneer Raylegh tp yüzey dalgalarının yayılmasını betmleyen hareket denklemler sınır koşulları aşağıdak formlarda elde edlrler; (u,v )=N (u,v ), (a) (u,v )=N (u,v ). (b) Y=h 'da B (u,v )=, B (u,v )=; Y= 'da u =u, v =v, (a,b)

4 S.Ahmetolan, M.Teymür B (u,v )=κb (u,v ), B (u,v )=κb (u,v ); (c,d) Y - çn u,v. Burada lneer nonlneer N (=,), operatörler u u m (u,v )= c t u v -cm -(c T m -c m ) T Y v v m (u,v )= c t v u -cm -(c T m -c m ) T Y B, (4a) (4b) u N (u,v )= [η ( ) +η ( ) u u +η +η (5a) u 4 4 +η K ]+ [(η +η )K ] u 4 N (u,v )= [(η +η )K ] u + [η ( ) +η ( ) (5b) u u 4 +η +η +η K ] u mt u +(η +η 4 )K B (u,v )=c ( + ) u m m mt u u ( ) ( ) B (u,v )=c +(c -c ) (6a) +η +η +η u +η +η4 K (6b) u u K = ( ) + ( ), K = ( + ) olarak tanımlanmaktadırlar. Ayrıca c =µ /ρ mt c m =(λ +µ )/ρ dr m= çn tabakadak, m= çn yarım uzaydak sırası le lneer enne boyuna dalgaların yayılma hızlarını göstermektedrler. κ=ρ /ρ dr lgl ortamın nonlneer davranışını karakterze eden η (m ) (m ) (m ) (m ) sabtler se β =λ /+ l + µ, β =λ /+ l + m, (m ) (m ) (m ) (m ) 4 + β =µ -m /, β = λ / µ -m / 4 olmak üzere η = β / ρ olarak tanımlanmışlardır. Genelleştrlmş Raylegh dalgalarının non lneer self modulasyonu Bu bölümde tabakalı yarım uzayda yayılan boyuna enne dalgaların faz hızları arasında c <c T <c <c T eştszlğnn geçerl olduğu varsayımı le nceleme yürütülmektedr. Bu varsayım altında, dalgaların faz hızı c, c<c T eştszlğn sağlaması durumunda tabakalı yarım uzayın serbest yüzeynden uzaklaştıkça yerdeğştrmelern sıfıra gttğ br yüzey dalgası hareket varolacaktır, aks halde yerdeğştrmeler dernlk arttıkça sınırsız olarak büyüyecektr (Ewng vd., 957; Achenbach, 97). Dolayısı le c: c <c <c<c <c, c <c<c <c <c, T T T T c<c <c <c <c, T T (7) eştszlklernden brn sağladığında fzksel anlamı olan br yüzey dalga hareket varolacaktır. Dğer taraftan c <c<c olduğunda yan (7) dek T lk eştszlk sağlandığında tabakalı yarım uzayın serbest yüzeyne paralel yönde lerleyen, bu yöne dk yönde tabaka çersnde Y ye göre peryodk br değşm sergleyen, yarım uzayda se dernlk arttıkça yer değştrmelern sıfıra gttğ br yüzey dalgası hareket oluşmaktadır. Bu durumda dalga hareket tabaka çersnde yoğunlaşmaktadır. Bu dalgalar genelleştrlmş

5 Nonlneer Raylegh dalgaları Raylegh dalgaları olarak adlandırılmaktadırlar (Ewng vd., 957). Bu bölümde, lneer özellkler (7) dek lk eştszlğ sağlayan tabakalı br nonlneer elastk yarım uzayda küçük ama sonlu genlkl genelleştrlmş Raylegh tp yüzey dalgalarının self modulasyonu br asmptotk pertürbasyon yöntem olan değşk ölçekler yöntem kullanılarak ncelenecektr (Jeffrey Kawahara, 98). Bu amaçla, ε> nonlneerlğn mertebesn ölçen küçük br parametre olmak üzere, X, Y t bağımsız değşkenler yerne: x=ε X, y=ε Y t=ε t, =,, (8) bağıntıları le yen bağımsız değşkenler tanımlanmaktadır. Burada (x,y,t ) değşkenler hızlı değşmler; (x,y,t ), =, değşkenler yavaş değşmler karakterze etmektedrler. Tabakaya at yer değştrme fonksyonlarının, u v, (x, x, x, y, t, t, t ) ; yarım uzaya at yerdeğştrme fonksyonlarının, u v, se (x, x, x, y, y, y, t, t, t ) değşkenlerne bağlı oldukları varsayılmaktadır. Daha sonra u v fonksyonlarının { ε n } asmptotk dzsne göre n n n n n= n= (9) u = ε u, v = ε v yapılarında unform geçerl asmptotk açılımlara sahp oldukları varsayılmaktadır. Eğer le rlen hareket denklemler (-) le rlen sınır koşulları (8) de rlen yen değşkenler cnsnden yazılır daha sonra (9) da rlen asmptotk açılımlar kullanılırsa, ε un aynı kuvtlernn katsayıları eştlenerek n u v fonksyonlarının ardaşık olarak hesaplanablecekler br problemler hyerarşs elde edlr. Bunlardan lk üçü aşağıda rlmektedr; O(ε): (u,v )=, (u,v )= n y=h 'da B (u,v )=, B (u,v )=; y = 'da u =u, v =v, (a,b) B (u,v )=κb (u,v ), B (u,v )=κb (u,v ) ; (c,d) y - çn u,v. O(ε ): (u,v )+ (u,v )=N (u,v ), (u,v )+ (u,v )=N (u,v ) y=h 'da y = 'da B (u,v,u,v )=, B (u,v,u,v )=; (4) (5) u =u, v =v, (6a,b) B (u,v,u,v )=κb (u,v,u,v ), B (u,v,u,v )=κb (u,v,u,v ); (6c,d) y - çn u,v. (7) O(ε ): + + (u,v ) (u,v ) (u,v ) =N (u,v,u,v ), (8a) + + (u,v ) (u,v ) (u,v ) =N (u,v,u,v ) (8b)

6 S.Ahmetolan, M.Teymür y=h 'da B (u,v,u,v,u,v )=, B (u,v,u,v,u,v )=; y= 'da (9) u =u, v =v, (a,b) B (u,v,u,v,u,v ) =κb (u,v,u,v,u,v ), B (u,v,u,v,u,v ) =κb (u,v,u,v,u,v ); y - çn Burada, (c) (d) u,v. N B dferansyel opera- törler (4) de tanımlanan, N B dferansyel operatörlernde sırası le X, Y t yerne x, y t yazılması le elde edlen operatörlerdr., N B, j=,, dfe- (j) (j) (j) ransyel operatörlernn açık yapıları se çok kalabalık yapıda oldukları çn burada rlmeyeceklerdr. Dkkat edlrse brnc mertebe problem klask lneer problem le eş yapıdadır. Daha üst mertebe problemler se, sağ yanlarındak termler br öncek problemlerden belrlenecekler çn, homojen olmayan lneer problemlerdr. Genelleştrlmş Raylegh dalgalarının self modulasyonu ncelendğnden, brnc mertebe problemdek hareket denklemlernn çözümler radyasyon koşulunun kullanılması le: ( l) kp l y ( l) -kp l y l= l kp l Ty l -kp l Ty φ l T T 4 u = (A e +A e -p A e +p A e )e +c.c. ( l) kp l y ( l) -kp l y l= l kp l Ty l -kp l Ty φ l +A e +A 4 e )e + c.c. v = (p A e -p A e (a) (b) ( l) lkνy ( l) lkνy lφ ν T l= ( l) lkνy ( l) lkνy lφ ν l= u = (B e + B e )e +c.c. v = (- B e +B e )e +c.c. (c,d) olarak yazılırlar. Burada br c.c. kendnden öncek termlern kompleks eşlenğn temsl etmektedr, ayrıca φ=kx-ωt α=,t çn, / α = α / p (c /c -) ν α =(-c /c ) olarak tanımlanmaktadırlar. ω açısal frekans, k dalga α sayısı, A l B l katsayı fonksyonları se j ( x,x,t,t ) yavaş değşkenlere bağlı brnc mertebe dalga genlğ fonksyonlarını temsl etmektedrler problemn sınır koşulları kullanılarak belrlenrler. le rlen çözümler (-) sınır koşullarında kullanılırsa: T =[A A A A 4 B B ] U l l l l l l l olmak üzere: l WU l =, l =,,... (4) homojen cebrk denklem sstem elde edlr W l, l= çn dspersyon matrsdr. (4) sstemnn l= çn br non-trval çözüme sahp olması çn detw l = (5) olması gerekr bu da lneer dalgalara at dspersyon bağıntısını rr. Bu çalışmada genelleştrlmş Raylegh dalgalarının self modulasyonu ncelendğ çn esas moda at dalga sayısının harmonk rezonans koşulunu sağlamadığı, yan l çn detw l olduğu, kabul edlmekte bu mertebede çözümlerde uzun dalgayı temsl eden kısımlar özdeş olarak sıfır alınmaktadır. Bu koşullar altında (4) cebrk denklem sstemnn çözümler R, WR = denklemn sağlayan br sütun ktör olmak üzere:

7 Nonlneer Raylegh dalgaları l = çn l çn U U ( ) l = A (x,x,t,t ) R (6) (7) olarak elde edlrler. Burada A dalga modulasyonunun yavaş değşkenlere bağlı brnc mertebe kompleks genlk fonksyonudur. (6-7) kullanılarak brnc mertebe çözümler kpy -kpy A kpty -lkpty φ T T 4 u = (R e +R e -p R e +p R e )e +c.c. kpy -kpy A kpty -lkpty φ 4 v = (p R e -p R e +R e +R e )e +c.c. kνy kνty φ 5 νt 6 (8a) (8b) u = A (R e + R e )e +c.c. (8c) kνy kνty φ ν 5 6 v = A (- R e +R e )e +c.c. (8d) olarak elde edlrler. (8) çözümler le klask lneer problemn çözümler aynı formdadırlar. Yanlız lneer problemde A sabt ken burada dalga katarının nonlneer self modulasyonunu temsl eden yavaş değşen genlk fonksyonudur. Brnc mertebe pertürbasyon problemnn çözümlernn tamamen belrleneblmes çn A n hesaplanması yeterl olacaktır. Bu amaçla (8) le rlen brnc mertebe çözümler knc mertebe problemn (4) le rlen hareket denklemlernde kullanılırsa bu denklemler aşağıdak formlara ndrgenrler; φ φ (u,v )=β e +γ A e +c.c. (9a) A φ φ A (u,v )=α +(β e +γ e +c.c.) Denklemlern sağ yanlarındak α (9b) γ katsayı fonksyonları y değşkenne; β lar se ( x, x, y, t, t) değşkenlerne bağlıdırlar. Dkkat edlrse (9) dak denklemlern sağ yanlarında temel knc harmonkler temsl eden term- lern yanında, yan e φ e φ l termler, x, t hızlı değşkenlerne bağlı olmayan termler α A α A bulunmaktadır. Bunlar uzun dalga yayılımı le lgl termlerdr knc mertebe problemde brnc mertebe çözümlern katkısını temsl eden kaynak termlern oluştururlar benzer termler sınır koşullarında da ortaya çıkmaktadır. Bu nedenle knc mertebe problemn çözümler: ˆ ˆ u =u + u, v =v + v (4) olarak k parçaya ayrılablr. Burada û vˆ fonksyonları uzun dalgaları temsl eden çözümlerdr m= çn (x,x,y,t,t ) değşkenlerne; m= çn ( x,x,y,y,y,t,t ) değşkenlerne bağlıdırlar. u v fonksyonları se ( x,x,x,y,t,t,t) değşkenlerne bağlı dalga modulasyonunu temsl eden çözümler belrtmektedrler. û vˆ çözümler hesaplanıp (4) le rlen toplamsal ayrıştırma le brlkte (4) denklemlernde (5-6) sınır koşullarında kullanılırsa u v mod çözümlernn hesaplanableceğ sınır değer problem elde edlr. Bu sınır değer problemnn u v çözümler: = + = + u u u %, v v v% (4) formunda k parçaya ayrılablr, öylek u v elde edlen denklemlern özel çözümlern temsl etmektedrler belrsz katsayılar yöntem kuralları uygulanarak belrlenrler. u% v% se (4) çözüm formlarının hareket denklemlernde sınır koşullarında kullanılması le elde edlen homojen denklemlern homojen olmayan sınır koşullarının çözümlerdrler. u% v% çözümler brnc mertebe homojen denklem çözümler gb de rlen formdadırlar. Burada A l B l j katsayıları yerne

8 S.Ahmetolan, M.Teymür A l B l A l sırası le j yazılmalıdır. B l ler knc mertebe dalga genlğ fonksyonlarıdırlar. u% v% çözümler homojen olmayan sınır koşullarında kullanılırsa aşağıdak cebrk denklem sstem elde edlr. WU l l l = b. (4) T 4 l l b Burada U l =[ A l A l A l A l B l B l ], b, çn elde edlr. Burada A dalga modulasyonunun knc mertebe yavaş değşen genlğn temsl etmektedr gerektğnde daha üst mertebe pertürbasyon problemlernn çözümlernden elde edleblr. Bu çalışmada sonlu fakat küçük genlkl dalga yayılımı le lglenldğ çn yalnızca brnc mertebe unform geçerl çözüm nşaa edlmeye çalışılmaktadır, bu nedenle A n belrlenmes yeterl olacaktır. Bu amaçla (8) le rlen brnc mertebe çözümler le knc mertebe çözümler üçüncü mertebe pertürbasyon problemnn (4) le rlen denklemlernde kullanılırsa, b A W A W =-( ) t ω x k (4) φ = (u,v ) α +(β e + c.c. ) ± φ ± φ l termler +(e,e ' ),, m =, (47) dır. l= çn det W = b olduğu çn (4) denklemnn l= çn br çözüme sahp olablmes çn, W = denklem le tanımlanan br satır ktör olmak üzere.b = (44) uygunluk koşulunun sağlanması gerekr. Gerekl ara şlemlerden sonra (44) koşulundan: A t V A = W W, V= g -( R)/( R) (45) k ω + g t elde edlr. Burada V g dalgaların grup hızıdır. (45) denklem A n V g grup hızı le lerleyen br referans çerçesnde sabt kaldığını gösterr, yan A(x-Vgt,x,t ) yapısında olacaktır. (4) denklemnn l= çn çözümü, R R U = (x,x,t,t ) R- A A ( +V ) (46) x k ω g olarak elde edlr (Teymur, 988; Ahmetolan Teymur, ). Dğer taraftan l çn detw l, çn de l b olduğundan (4) denklemnn çözümler l= çn l U W b l çn se U olarak = denklemler elde edlr. Burada α β katsayı fonksyonları ( x,x,y,t,t ) değşkenlerne bağlı fadeler çermektedrler. Dkkat edlrse, üçüncü mertebe probleme at (47) denklemler de, knc mertebe problemdek gb sağ yanlarında dalga modulasyonu le lgl termler yanında uzun dalga le lgl kaynak termler de barındırmaktadırlar. Dolayısı le bu denklemlern çözümler de (4) formunda yan, u =u ˆ + u v =v ˆ + v olarak k parçaya ayrılır öylek, û vˆ fonksyonları uzun dalgaları; u v fonksyonları se dalga modulasyonunu temsl eden çözümlerdr. û vˆ çözümler elde edlp, u v çn rlen toplamsal ayrıştırma le brlkte üçüncü mertebe pertürbasyon problemnn (47) denklemler le (5-6) sınır koşullarında kullanılırsa dalga modulasyonunu temsl eden çözümler çn, knc mertebede olduğu gb br sınır değer problem elde edlr. Bu sınırdeğer problemnn çözümler, knc mertebe problemde olduğu gb u = u + u% v = v +% v formunda k parçaya ayrılablr, öylek u v elde edlen denklemlern özel çözümler; u% v% se yukarıda tanımlanan çözüm formlarının hareket denklemlernde sınır

9 Nonlneer Raylegh dalgaları koşullarında kullanılması le elde edlen homojen denklemlern homojen olmayan sınır koşullarının çözümlerdrler = l l +c.c. l= v f e φ u = e e l φ l +c.c. l= olarak alınır. Burada e l f l termler (x,x,y,t,t ) değşkenlerne bağlı l= çn dalgaların self enteraksyonu le lgl; l=, çn se knc üçüncü harmonk enteraksyonu etklern gösteren fonksyonlardır. Bu ncelemede, genelleştrlmş Raylegh dalgalarının nonlneer self modulasyonu le lglenldğnden brnc mertebe unform geçerl çözümlern nşaası çn e φ l termn katsayı fonksyonları e f nn belrlenmeler yeterl olacaktır. Dğer taraftan u% v% çözümler dek çözüm formunda A l B l j katsayıları yerne A l B l j yazılarak alınablr. Bu çözümler le u, v, u, v, u v çözümler üçüncü mertebe problemn yukarıda elde edlen sınır koşullarında kullanılması le: WU l l l = b l (48) elde edlr. Burada l=,, çn b l 4 l çn de b = dır. Uzun ara şlemlerden sonra l= çn b aşağıdak formda yazılablr, W A W A W A b =-( - ) R-( ω t k x ω t W A W A W A - ) R + ( - k x ω t ω k x t W A W A W A + ) R + ( - ) k x k ω x x t R R ( +V g )+ F A A. k ω (49) Burada F ktörü lneer nonlneer malzeme parametreler dalga sayısına bağlıdır nonlneer malzeme sabtler η = olduğunda F= dır. l= çn (48) denklemnn nontrval çözümünün olması çn.b = uygunluk koşulunun sağlanması gerekr. A nn de A gb (x-vgt ) formunda olduğu kabul edlr se τ=ωt, Γ=k Γ/ω % - ξ=kε (x-vgt ), A=kA, % boyutsuz değşkenlernn sabtle- = ω / k rnn tanımlanması le uygunluk koşulundan A genlk fonksyonu çn A A +Γ + A A = (5) τ ξ elde edlr. Burada % =-.F/[ ( W / ω)r] Γ=d % ω/dk olarak tanımlanmışlardır. Γ katsayı fonksyonu sadece lneer; se hem lneer hem de nonlneer malzeme özellklerne bağlı katsayılardır. Bu denklem br nonlneer Schrödnger (NS) denklemdr brçok alanda nonlneer dalga modülasyonunu asmptotk olarak karakterze etmek çn türetlmştr (Ablowtz Clarckson, 99; Dodd vd., 98). Dkkat edlrse (5) denklemnn rlen br A(ξ,)=A (ξ) başlangıç koşulu çn çözümü bulunursa brnc mertebe çözümler (46) bağıntıları kullanılarak elde edlrler. Buradak A(ξ) başlangıç değer de tabakalı ortamdak yerdeğştrmelern başlangıç değerlerne bağlıdır. Sonuçlar tartışma Sonlu unform kalınlıklı br tabaka le kaplı br yarım uzayda yayılan genelleştrlmş nonlneer Raylegh dalgalarının self modulasyonunun asmptotk olarak br NS denklem le yönetldğ yukarıda gösterlmştr. Asmptotk dalga alanını karakterze eden NS denklemnn çözümlernn kararlılığı çeştl solton tp çözümlernn varlıklarının denklemn dspersyon termnn katsayısı Γ le nonlneer termnn katsayısı `nın çarpımlarının şaretne bağlı olduğu blnmektedr. Ayrıca ξ çn sıfıra gden başlangıç uyarıları, eğer Γ > se br dz zarf soltona; Γ < se sönen ttreşmlere dönüşürler (Dodd vd., 98; Ablowtz

10 S.Ahmetolan, M.Teymür Clarckson, 99; Samsonov, ). Bu nedenle nonlneer malzeme özellklernn dalga modulasyonu üzerndek etksn, yan Γ termnn şaretnn değşmne etksn, gözlemlemek çn tabaka yarım uzayı meydana getren malzemelern lneer özellkler sabt alınıp nonlneer özellkler değştrlerek Γ çarpımının, dspersyon bağıntısının lk dalı çn, boyutsuz dalga sayısı K=kh ya göre değşm ncelenmştr. Bu nceleme, Γ nın yapıları çok karmaşık olduğu çn sayısal olarak gerçekleştrlmş üç ayrı model gözönüne alınmıştır; nonlneer tabaka-nonlneer yarım uzay, lneer tabakanonlneer yarım uzay nonlneer tabaka-lneer yarım uzay modeller. Ayrıca nce tabaka lmt altında, yan k=sabt, h lmt altında, Γ nın davranışları da analze dahl edlmştr. Ortamı meydana getren malzemelern boyutsuz lneer özellkler, c /c T = /, c /c T =.65, T c /c T =. κ=. olarak alınmıştır (Achenbach Epsten, 967). Seçlen bu lneer model çn (5) le rlen genelleştrlmş Raylegh dalgalarına at dspersyon bağıntısının lk dalı <K<.5 değerler çn mevcuttur, bu değerler çn Γ< olmaktadır. Nonlneer malzeme özellkler de l =l /µ m =m /µ olarak boyutsuzlandırılmıştır. Şekl de yarım uzaya at nonlneer parametreler ( l, m ) çn (-,-) değerler rlerek sabtlenmş, tabakaya at nonlneer parametreler çn değşk değerler seçlerek tabakanın nonlneertesnn Γ üzerndek etks gözlemlenmştr. Dkkat edlrse küçük K dalga sayılarında ( l, m ) çn seçlen (,) le (,-) nonlneer modeller (-,-) le (-,) nonlneer modellern temsl eden eğrlern davranışları brbrlerne benzemektedrler. Buradan sabt br k dalga sayısına karşılık tabaka kalınlığının çok nce olması (h ), yan küçük K dalga sayılarında tabakaya at l parametresnn m e göre Γ değşm üzernde çok daha etkl olduğu görüleblr. Ayrıca tabaka kalınlığı arttıkça, ya da K dalga sayısı büyüdükçe, tabaka çn seçlen herbr nonlneer modeln davranışı, belrgn br şeklde brbrlernden farklılık göstermektedr, yan tabakanın nonlneertesnn tabaka kalınlığı arttıkça dalga modulasyonu: Γ K=kh (l,m ) (ln. tabaka) (-,) (-,-) (,-) (,).5 Şekl. Tabakaya at nonlneer malzeme özellklernn Γ nın değşm üzerndek etks üzernde daha etkl olduğu görüleblr. Örneğn (,-) nonlneer model çn K nın büyük değerlernde Γ > olduğu çn NS denklemnn zarf solton çözümler var ken tabakanın lneer olması durumunda dark solton çözümler var olmaktadır. Dğer taraftan küçük K değerlernde seçlen tüm nonlneer modeller çn Γ > olduğundan zarf solton tp çözümler var olmaktadır. Şekl de se tabakaya at nonlneer malzeme parametreler ( l, m ) çn (-,-) değerler alınmış yarım uzay çn değşk nonlneer malzeme modeller seçlerek yarım uzayın nonlneertesnn dalga modulasyonu üzerndek etks gözlemlenmştr. Küçük K dalga sayılarında, ya da tabaka kalınlığının çok nce olması durumuda (h ), lneer yarım uzay model le nonlneer yarım uzay modeller karşılaştırılacak olursa yarım uzayın nonlneertesnn etks belrgn br şeklde görüleblr. Seçlen tüm nonlneer yarım uzay modeller çn tabakanın çok nce olması durumunda, küçük K değerlernde, Γ > olduğu çn zarf solton çözümler mevcut ken lneer yarım uzay modelnde = olduğu çn Γ = olmaktadır. K nın büyük değerlernde, yan tabaka kalınlığının artması durumunda yarım uzay çn seçlen tüm nonlneer modellern davranışları brbrlerne benzemektedr, yan yarım uzayın nonlneerlk

11 Nonlneer Raylegh dalgaları... (l,m ) (ln. y.uzay) (-,) (-,-) (,-) (,). (Al) Tabaka- (Fe) Y. Uzay n. Tabaka- (Fe) Y. Uzay (Al) Tabaka- n. Y.Uzay Γ. Γ K=kh.5 -. K C = K=kh.8 Şekl. Yarım uzaya at nonlneer malzeme özellklernn Γ nın değşm üzerndek etks etks büyük K değerlernde azalmaktadır. Dğer taraftan Şekl Şekl de K.5 değernde knc harmonk rezonans durumu oluştuğundan seçlen lneer malzeme özellkler çn, dolayısı le Γ sınırsız olarak büyümektedr. Bu nedenle bu krtk K dalga sayısı cvarında NS denklem dejenere olur, yan geçerllğn ytrr. Gerçek malzeme modeller çn de Γ nın boyutsuz K dalga sayısına göre değşmlern ncelemek çn farklı k gerçek model seçlerek Γ nın değşm gözlemlenmştr (Seeger Buck, 96; Nagy, ). Alümnyum tabakademr yarım uzay model çn lneer nonlneer malzeme parametreler c /c T =.485, c /c T =., c T /c T =.74, κ =.9 ( l, m )=(.485,.), ( l, m )=(.74,.9) değerlern almaktadırlar. Armco demr tabakabakır yarım uzay model çn se lneer nonlneer malzeme parametreler c /c T =.547, c /c T =.449, c T /c T =.8, κ =.8 ( l, m )=(.49,.444), ( l, m )=(.5,.) değerlern almaktadırlar. Γ nın seçlen k model çn K ya göre değşmler çn Şekl Şekl 4 te çzm yapılmıştır. Şekl te seçlen Şekl. (Al) tabaka-(fe) yarım uzay gerçek malzeme model çn Γ nın değşm. malzemelern lneer özellklernden dolayı K=.474 değernde knc harmonk rezonans durumu ortaya çıkıyor ken, Şekl 4 de seçlen malzeme model çn harmonk rezonansın ortaya çıkmadığı görülmektedr. Seçlen her k gerçek model çn çok küçük K değerlernde yarım uzayın nonlneerlk etks belrgn br şeklde görülmektedr. Seçlen nonlneer yarım Γ.. (Armco ron) Tabaka- (Cu) Y.Uzay n. Tabaka- (Cu) Y.Uzay (Armco ron) Tabaka- n. Y.Uzay K=kh Şekl 4. (Armco Fe) tabaka-(cu) yarım uzay gerçek malzeme model çn Γ nın değşm

12 S.Ahmetolan, M.Teymür uzay modellernde Γ > olduğu çn NS denklemnn zarf solton çözümler mevcuttur. Dğer taraftan lneer yarım uzay modelnde se = olduğu çn Γ = olmaktadır. Bu durumda NS denklem lneer Schrödnger denklemne dönüşür. Yan ='nın sıfır olduğu dalga sayıları cvarında nonlneerlk dspersyon dengelenmemektedr. Bu dalga sayıları cvarında nonlneerlkle dspersyonu dengeleyen br denklem elde etmek çn analz bu dengey kuracak şeklde değştrlmeldr. Kaynaklar Ablowtz, M.J. Clarckson, P.A., (99). Soltons, nonlnear evoluton equatons and ınrse scatterng, Cambrdge Unrsty Press., Cambrdge. Achenbach, J.D. Epsten, H., (967). Dynamc nteracton of a layered and a half space, Journal of the Engneerng Mechancs Dvson, Achenbach, J.D., (97). Wa propagaton n elastc solds, North-Holland Publshng Co., Amsterdam. Ahmetolan, S. Teymur, M.,. Nonlnear modulaton of SH Was n a two layered plate and formaton of surface SH was. Internatonal journal of Non-near Mechancs, 8, 7-5. Dodd, R.K., Elbeck, J.C., Gbbon, J.D. Morrs, H.C., (98). Soltons and nonlnear wa equatons, Academc Press, ondon. Eckl, C., Mayer, A.P. Kovalev, A.S., (998). Do surface acoustc soltons exst?, Physcal Rew etters, 8, 5, Eckl, C., Schöllmann, Mayer, A.P., Kovalev, A.S. Maugn G.A.,. On the stablty of surface acoustc pulse trans n coated elastc meda, Wa Moton, 4, Erngen, A.C. Şuhub, E.S., (974). Elastodynamcs fnte motons I, Academc Press, New York. Ewng, W.M., Jardesky, W.S. Press, F., (957). elastc was n layered meda, Mc Graw-Hll, New York. Jeffrey, A. Kawahara, T., (98). Asyptotc methods n nonlnear wa theory. Ptman Adnced Publshng, Boston. Kalyanasundaram, N., (98). Nonlnear mode couplng of surface acoustc was on an sotropc sold, Internatonal Journal of Engneerng Scence, 9, Kovalev, A.S., Mayer, A.P., Eckl, C. Maugn, G.A.,. Soltary raylegh was n the presence of surface nonlneartes. Physcal Rew E, 66,, art no:665. Maugn, G.A., Hadouaj, H. Malomed, B.A., (99). Nonlnear couplng between shear horzontal surface soltons and raylegh modes on elastc stractures, Physcal Rew B, 45,7, Nagy, P.B.,. Nondestruct Evaluaton (Class Notes), Aerospace Engneerng, Unrsty of Cncnnat. Parker, D.F. Talbot, F.M., (98). In nonlnear deformaton was, Edted by U. Ngul and J. Engelbrecht, Sprnger, Berln. Parker, D.F., (988). Wa form evoluton for nonlnear surface acoustc was, Internatonal Journal of Engneerng Scence, 6, Porubov, A.V. Samsonov, A.M., (995). ong non-lnear stran was n layered elastc half space, Internatonal Journal of Non-near Mechancs,, 6, Samsonov, A.M.,. Stran soltons n solds. Chapman & Hall/CRC. Seeger, A. Buck, O., (96). De expermentelle ermttlung der elastschen konstanten höhererordnung, Zetschrft Fur Naturforschung, 5a, Teymur, M., (988). Nonlnear modulaton of lo was n a compressble hyperelastc layered half space, Internatonal Journal of Engneerng Scence, 6, 9,