ÖZE Yüksek sans ez SONU EEMANAR İE BAZI KISMİ ÜREVİ DENKEMERİN ÇÖZÜM AGORİMAARI Aytekn Mahmood Ogor ANWAR Ankara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Matemat

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİESİ FEN BİİMERİ ENSİÜSÜ YÜKSEK İSANS EZİ SONU EEMANAR İE BAZI KISMİ ÜREVİ DENKEMERİN ÇÖZÜM AGORİMAARI Aytekn Mahmood Ogor ANWAR MAEMAİK ANABİİM DAI ANKARA 8 Her Hakkı Saklıdır

2 ÖZE Yüksek sans ez SONU EEMANAR İE BAZI KISMİ ÜREVİ DENKEMERİN ÇÖZÜM AGORİMAARI Aytekn Mahmood Ogor ANWAR Ankara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Matematk Anablm Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Nur ÖZAP Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Sonlu eleman metodunun brçok uygulayıcısı günümüzde denklemlere yaklaştırma tess etmek çn Galerkn metodunu kullanmaktadırlar. Bu çalışmada önce Sonlu Eleman Metodunun neden kullanıldığını ve tarh verlmektedr. İknc Bölümde se dferensyel denklemlern ağırlıklı artıklar formu oluşturularak, zayıf dye adlandırılan formülasyona getren ve hemen her türlü dferensyel denklemn sonlu eleman yaklaştırmasını elde etmek çn kullanılablen genel br metot verlecektr. Daha sonra basamak bçm fonksyonları kavramı ve dferensyel denklemn ntegral formu çn Galerkn yaklaştırması ortaya koyulmaktadır. Üçüncü bölümde, br boyutta brnc, knc ve üçüncü derece elemanlar kullanılacaktır. Dördüncü bölümde se br model problem olarak, boyunda ve sabt kestl nce homojen metal tel üzerndek ısı letmnn belrlenmes analz edlecektr. Daha sonra alınan model probleme blgsayar kodu verlecektr. Eylül 8, 97 sayfa Anahtar Kelmeler: Sonlu Elemanlar yöntem, Algortmalar, ısı akışı problem, Galerkn Metodu

3 ABSRA Master hess FINIE EEMENS SOUION AGORHMS FOR SOME PARIA DIFFERENIA EQUAIONS Aytekn Mahmood Ogor ANWAR Ankara Unversty Graduate School of Natural and Appled Scences Department of Mathematcs hs thess conssts of four chapters. Supervsor: Asst. Prof. Dr. Nur ÖZAP Recently, many scentsts uses Galerkn method for the approxmaton of the solutons of dfferental equatons. In ths study, frst the hstory of fnte element method and the reason of the prefereble usage of the method s gven. In the second chapter, develpong the weghted resdual form of dfferental equaton, a general method for the approxmaton of dfferental equatons s gven n the sense of weak formulaton. hen, the concept of shape step functon and Galerkn approxmaton for the ntegral form of dfferentl equatons s establshed. In the thrd chapter, frst degree, quadratc and cubc element n one dmenson s used. Fnaly n the fourth chapter, as an applcaton of the method, a heat flow problem s nvestgated. A computer code s also gven n the Appendx. September 8, 97 pages Key Words: Fnte Element method, Algorthms, heat flow problem, Galerkn Method

4 EŞEKKÜR Bu çalışmamda ben bugünlere getren ve her türlü fedakârlığı benden esrgemeyen babam ve annem basta olmak üzere aleme ve eşme mnnettarlık hslerm bldrmek styorum. Çalışmalarımı yönlendren, çalışmalarımın her aşamasında blg, öner ve yardımlarını esrgemeyerek akademk ortamda olduğu kadar beşer lşklerde de engn fkrleryle yetşme ve gelşmeme katkıda bulunan danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Nur ÖZAP e teşekkür etmey br borç blrm. Aytekn Mahmood Ogor ANWAR Ankara, Eylül 8

5 İÇİNDEKİER ÖZE... ABSRA... EŞEKKÜR... ŞEKİER DİZİNİ... v. GİRİŞ.... Neden Sonlu Elemanlar.... İlk Dönemlern arh Matematksel eor AĞIRIKI ARIKAR MEODU VE GAERKİN YAKAŞIMAARI Klask Çözümler Zayıf Gösterm Uygulama BİR BOYUA SONU EEMAN MEODU Grş Bçm Fonksyonları neer elemanlar İknc derece elemanları Üçüncü derece elemanları KARARI İEİM DENKEMİ Galerkn Formülasyonu Değşken letm ve sınır ısı yayımı Uygulama SONUÇ... 6 KAYNAKAR EK Sonlu Elemanlar Yöntem FORRAN kodu ÖZGEÇMİŞ v

6 ŞEKİER DİZİNİ Şekl. boyunda br çubukta ısı letm... 9 Şekl. Etk alanının br sonlu eleman ızgarası olarak bölümü... Şekl.3 Br sıcaklık alanı çn parçalı lneer yaklaşımı... 3 Şekl.4 Parça noktasallaştırma... 5 Şekl.5 Br eleman boyunca lneer bçm fonksyon... 6 Şekl 3. Genel parçalı lneer elemanlar ızgarasının bçm fonksyonları... 6 Şekl 3. okal düğüm numaralandırması, sıcaklık gösterm, ve lokal bçm fonksyonları... 9 Şekl 3.3 okal ve genel numaralandırma arasındak lşk... 3 Şekl 3.4 Parçalı lneer yaklaşıma karşı kuadratk nterpolasyon... 3 Şekl 3.5 okal koordnat sstemnde knc derece elemanı ve bçm fonksyonları... 6 Şekl 3.6 okal ve genel koordnat sstem arasındak lşk. Üçgenler her elemanın çndek düğümlere şaret etmektedr Şekl 3.7 Üçüncü derece elemanın bçm fonksyonları Şekl 4. İk elemanlı sstem çn brleştrme şlem dyagramı v

7 . GİRİŞ Sonlu elemanlar kadar belk de başka hçbr yaklaşım yöntem, yrmnc yüzyıl boyunca nümerk yöntemler teors ve uygulaması üzernde daha büyük etk yapmamıştır. Sonlu elemanlar metodu kısm türevl denklemlerle ntelenen doğal modeller kullanablen her makul mühendslk alanında bugün flen kullanılmaktadır. Detaylı ncelenmesne adanmış düznelerce ders ktabı, monograf, el ktabı, nceleme ve bülten olup, sonlu elemanlar metodolojsnn değşk yönler hakkında dünya genelnde sayısız konferans, sempozyum, ve semner yapılmaktadır. Bugün sonlu elemanlar hakkında rahatça yüz bnn üstünde referans bulunmakta ve bu sayı metodun ortaya çıkardığı yen güç ve çok yönlülüklerle katlanarak büyümektedr. Bugün, sonlu eleman metodolojs brçok kşnn etk alanı dışında olduğunu düşündüğü sahalara öneml yollar açmaktadır; örneğn, hesaplamalı akışkanlar dnamğ. Zamanla, sonlu eleman metotları bu alanda konuya uzun süredr egemen olmuş olan klask farklar şemalarına nazaran mukayese edleblr veya daha öneml br pozsyonu ele geçreblr görünmektedr.. Neden Sonlu Elemanlar Doğallıkla sorulablecek br soru sonlu eleman metotlarının hem mühendslk, hem de matematk camasında neden bu kadar popüler olduğudur. Ayrıca br başka soru da sonlu eleman metotlarının fzk ve mühendslktek zor problemlern çözümü çn onları çekc metot seçmler kılmaya devam edecek özellklere sahp olup olmadıklarıdır. Bu soruları yanıtlarken, lk olarak sonlu eleman metotlarının zayıf, varyasyonel sınır ve başlangıç değer problemlern esas aldıkları gerçeğne şaret edlmeldr. Bu sadece dferensyel denklemlern çok düzensz çözümlernn mevcudyet çn doğru br ayarlama olduğundan değl (örneğn, dağılımlar), aynı zamanda çözüm br ncelğn alan üzernde ntegralnde ortaya çıktığı çn de krtk br özellktr. Ölçüleblr br fonksyonun keyf br alan üzernde ntegralnn, br araya gelerek orjnal alanı oluşturan hemen hemen kopuk alt alanların keyf toplamı üzerndek ntegraller toplamına bölünebleceğ bast gerçeğ sonlu eleman teorsnde hayat br gözlemdr.

8 Bu nedenle, br problemn analz, tam olarak, tpk br alt alan üzernde yerel olarak yapılablr ve alt alan yeternce küçük alınarak değşk derecel polnom denklemlernn çözümün yerel davranışını temsl etmek çn yeterl olduğu kanıtlanablr. İntegrallern bu şeklde toplanablmesnden her sonlu eleman programında yararlanılır. Bu, analzn tpk br sonlu eleman alanına odaklanmasına ve o elemanın nha ağ çndek son yernden bağımsız olarak br yaklaşım oluşturmasına zn verr. Sonlu elemanların bu bast özellkler bazı çok öneml vasıflarını ortaya koyar: () Keyf geometr. Metot zorunlu olarak geometrden bağımsızdır. Esas tbaryle, sonlu eleman metotları keyf sınır koşullarına sahp keyf bçml alanlara uygulanablr. () Yapılandırılmamış ağlar. Nümerk analz lteratüründe koordnatlara bağımlı algortmalar ve ağ üreteçlerne karşı hala brçok önyargı bulunmakla brlkte, sonlu eleman metodolojsnde bu tür gereçler gerektrecek hçbr şey yoktur. Aslında, sonlu eleman metotları doğaları gereğ yapılandırılmamış ağlara yönlendrrler. Bu, esas olarak, analz yapanların sonlu elemanları stedkler her hang br yere yerleştrebleceğ anlamına gelmektedr. Böylece karmaşık byolojk doku kestlernden uçağın dış yüzeyne ve turbo maknelerdek ç akışlara kadar doğadak ve fzktek en karmaşık geometr tpler sabt genel koordnat sstem fazla kullanılmadan modelleneblr. (3) Sağlamlık. Sonlu eleman metotlarında çeştl elemanlar üzerndek yerel yaklaştırmaların katkılarının sstematk br şeklde kısm türevl denklemlern çözümüne genel yaklaştırma le ulaşmak üzere br araya getrldğ y blnmektedr. Genel olarak, bu, klask fark metotlarına tam zıt olarak, uygun normlarda stkrarlı, ayrıca ağdak tekllk veya çarpıklıklara duyarsız düzenlemelere yol açar. ab, bunun kayda değer stsnaları bulunmaktadır ve bu stsnalar sonlu eleman teorsndek bazı çok öneml çalışmaların konusu olmuştur. Ancak, genellkle, sonlu eleman metotlarını türetmek üzere Galerkn veya Petrov-Galerkn metotlarının doğrudan kullanımı mekank ve matematksel fzktek brçok problem sınıfı çn stkrarlı algortmalara yönlendrmektedr.

9 (4) Matematksel temel. 97 l ve 98 l yıllarda matematksel temel üzernde yapılan yoğun çalışmalar nedenyle, sonlu elemanların şu anda zengn ve sağlam br matematksel esası bulunmaktadır. Önsel ve sonsal tahmnler belrlemek çn mevcut metotlar sonlu elemanlar teorsnn hayat br bölümünü teşkl etmekte ve öneml mühendslk ve fzk problemlernn analzn brçok nümerk ve deneysel çalışmadak yaygın geleneksel amprzmn üzerne çıkarmayı mümkün hale getrmektedr. Bunlar gerçek dünya problemlern ele almak çn tasarlanmış nümerk şemaların en çok aranan özellklern temsl etmektedr. Ayrıca, sonlu eleman metodolojsnn ana ntelkler modern süper blgsayar mmarlern yenlkç kullanımı, özellkle paralel şlem yapma, çn deal br düzenleme sağlamaktadır. Bu nedenlerle, sonlu eleman kavramlarının kısm türevl denklemlern nümerk çözümler hakkındak araştırmalarda ve uygulamalarda öneml rol oynamaya devam edeceğ kesndr (arlet 99, Kncad 996).. İlk Dönemlern arh Sonlu elemanlar ne zaman ortaya çıkmıştır? Esas problemn sonlu eleman metodunu tam olarak neyn oluşturduğunun tanımlanamaması oluşu nedenyle sonlu eleman metotlarının zn sürmek zordur. Brçok matematkç çn, parçalı polnom yaklaştırmadır ve bu yüzden, kökler sıklıkla Drchlet problemnn üçgenlerden oluşan br ağ üzernde parçalı lneer yaklaştırmasının ncelendğ ourant ın br makalesnn eknde (943) zlenmektedr. Aynı zamanda, Polya (95) tarafından sonlu farkların yorumunun sonlu elemanların parçalı polnom yaklaştırma yönlern temsl ettğ kabul edlmektedr. Mühendslk camasının büyük br dlm çn, sonlu elemanların başlangıcını temsl eden çalışma urner et al. (956) öncü makales olup burada hem (lneer elastk kısm dferansyel denklemlere at) yerel yaklaştırma hem de sonlu eleman metodolojsnde zorunlu olan brleştrme stratejler çn orjnal br deneme yapılmıştır. Bu makalede yerel eleman özellklernn varyasyonel lkeler kullanılmadan türetlmes lgnçtr. 96 dan sonra lough (96) lneer düzlem elastste problemler analz hakkındak 3

10 dönüm noktası olan makalesnde bu teknkler sonlu eleman metotları olarak dle getrmştr..3 Matematksel eor Sonlu elemanların matematksel teors bu faalyet kazanından geç çıkmıştır. Sonlu elemanların matematksel teorsne at başlangıç çalışmaları anlaşılır şeklde tek boyutlu elptk problemlerle lglenmş olup Rtz metotları, nterpolasyon, ve varyasyonel farkların aletler ve jargonunu kullanmaktadır. Bu doğrultudak br erken dönem çalışması k noktalı sınır değer problem çn Hermte nterpolasyon tpnde Rtz metotlarını ele alan Varga nın (966) makalesdr. Bu kapsamda ayrıca parçalı kübk polnomlar le Raylegh-Rtz yaklaştırması hakkındak Brkhoff, et al. (968) makalesdr. İk ve daha büyük boyutlu problemler çn matematksel sonlu elemanlar teors 968 te başlamış olup o yıl konu hakkında brçok makale yayınlanmıştır. Bu dönemde br sonlu metodun yakınsama problemne ttz br şeklde htap eden ve düzlem elastste problemne at çft lneer yaklaştırma çn önceden hata tahmn elde edlen lk makalelerden br Journal of Appled Mechancs de yayınlanan Johnson end Mclay (968) makalesdr. Bu makalede enerj normlarındak hata tahmnler doğru olarak gelştrlmş olup hatta köşe tekllkler nedenyle yakınsama hızının bozulmasını karakterze etme grşmnde bulunulmuştur. 97 ye gelndğnde, sonlu eleman metotları uygulamalı matematkte yen ve öneml br nümerk analz alanı olarak doğmuştur. 97 l yıllar boyunca brçok sonlu eleman metodu, lneer elptk sınır değer problem, öz değer problem ve belrl lneer ve lneer olmayan parabolk problemlere at hata tahmnlernn önceden belrlenmesnde büyük adımlar atılmıştır; hatta hperbolk denklemlere at sonlu elemanlar uygulamaları hakkında bazı ön çalışmalar yapılmıştır. 4

11 98 lerden tbaren lneer problemler çn matematksel sonlu elemanlar teorsnn sağlam temellernn tess edldğ ve lneer olmayan problemlern hem teors hem uygulamasında öneml lerlemeler olduğunu söylemek çok yanlış olmayacaktır. Ger kalan cevapsız sorular zor olanlardır ve bunların çözümler metodun matematksel özellklernn y anlaşılmasını gerektrmektedr. Matematksel esasın lneer olmayan ve yapısal olmayan problemlere genşlemes lk kez Galerkn (95) tarafından. yüzyılın başlarında tasarlanan ağırlıklı artıklar metodu vasıtasıyla başarılmıştır. Ağırlıklı artıklar metodunun Raylegh-Rtz metoduna nazaran çok daha genş problem esasında deal teork temel sağladığı bulunmuştur. Esas olarak, metot dferensyel denklemn önceden belrlenmş ağırlıklar set le çarpılması ve elde edlen çarpımın alan ntegralnn alınmasını gerektrmektedr; bu ntegraln sıfıra gtmes gerekmektedr. eknk olarak, Galerkn metodu, değşk tp ağırlıklar kullanılabldğnden, genel ağırlıklı artıklar prosedürünün br alt kümesdr; Galerkn metodu durumunda ağırlıklar blnmeyen değşkenler tanımlamak çn kullanılan fonksyonlarla aynı seçlmektedr (Pepper 5). 5

12 . AĞIRIKI ARIKAR MEODU VE GAERKİN YAKAŞIMAARI. Klask Çözümler Br model problem olarak, boyunda ve sabt kestl nce homojen metal tel üzerndek ısı letmn belrlemey etüt edeceğz. Sol ucun öngörülmüş br q ısı akışına maruz kaldığını, sağ ucun = sabt sıcaklıkta tutulduğunu ve çubuğun uzunluğu boyunca yalıtım malzemes le sarıldığını düşünelm. Durum Şekl. de gösterlmştr. Ayrıca, teln çnden Q şddetnde br ç ısı kaynağı olarak görev yapacak br elektrk akımı geçrebldğmz var sayıyoruz. Bu problem çn Fourer kanunu olarak blnen, çubuk boyunca sıcaklık dağılımını veren dferensyel denklem kolayca yazablrz. Bu d K = Q, < x< dx (.) olup x boy koordnatı, K malzemenn ısı letkenlğ (sabt varsayılmıştır), ve Q brm hacmde ç ısı üretmdr. Problemle lşkl sınır şartları: d K = q, ( x = ) (.) dx =, ( x= ) (.3) ve q> ken, ısı akış yönü x= da çubuğun çne doğru olup, Denklem (.) dek eks şaret bu nedenledr. (.) ve (.3) sınır şartları le Denklem (.) n çözümü, Q yu ntegral alınablen br denklem varsayarsak, düz ntegral alma le bulunablr ve 6

13 d Q( x ) K = dx K d x Q( z ) = dz + dx K d q q ( ) = + = = dx K K d q x ( x ) = Q( z )dz dx K K q x x y ( x ) = dz Q( z )dzdy K K + y = q y ( ) = dz Q ( z ) dzdy y K + = K = q y = + ( ) + Q ( z ) dzdy K K q q x y y ( x ) = x + Q ( z ) dzdy Q ( z ) dzdy K K K y= + K y = z= kabul edelm y Q ( z ) dz = F ( y ) q x ( x ) = + ( x ) + F ( y ) dy F ( y ) dy K K y= K y= q y ( x ) = + ( x ) + Q ( z ) dz dy K K x olur. 7

14 Sabt Q çn y x ( Q ( z ) dz ) dy = Q ( y ) dy x y = Q x olup, böylece x = Q ( ) y ( ) q ( x) ( x) Q ( z) dz dy K K x = + + (.4) eştlğ, sabt Q çn q Q ( x) = + ( x) ( x ) K + K (.5) eştlğne ndrgenr. 8

15 y q x Q = Şekl. boyunda br çubukta ısı letm Bu örnek bast olup tek br çözümü vardır. Daha zor problemler, br çözümler bulunsa ble kolay analtk çözümlere sahp olmazlar; bu yüzden, daha karmaşık problemlere nümerk yaklaştırmaları açıklayablmek çn nümerk çözümlern davranışlarını bast problemlerde tam olarak anlamak çok öneml olmaktadır. Denklem (.4) ü sonra sonlu eleman prosedürü le elde edlen çözümler karşılaştırmak çn br referans noktası olarak kullanacağız.. Zayıf Gösterm Denklem (.) formundak denklemler sonlu elemanlar kullanarak formüle etmek ve çözmek çn normal olarak kullanılan k temel prosedür bulunmaktadır. Bunlar Raylegh-Rtz ve Galerkn metotları olarak blnr. Dğer daha az kullanılan metotlar sıralama, sabt ağırlıklar ve en küçük kareler teknklern esas alırlar. Bütün bu prosedürler ağırlıklı artıklar metodunun alt kümesdr. Hang prosedürü kullanırsak kullanalım, brnc adım, x aralığında Şekl. de gösterldğ şeklde, bütün etk alanını kaplayan eleman adlı sonlu sayıda, çakışmayan alt aralık çeren br bölme veya ızgara tanımlamak olacaktır. Her elemanı e k le fade edeceğm: e = { x : x x x + } (.6) k k k 9

16 ve her e k aralığının uç noktaları düğüm olarak adlandırılacağız (Hutton 4). Bu elemanların her brnn üzernde, sıcaklık dağılımı, daha sonra u bağımsız değşkennn u j ( x ) olarak fade edlen, önceden blnen fonksyonları ve bunlara karşılık gelen blnmeyen a j parametreler kullanılarak yaklaştırılacaktır. Dolayısıyla, br elemanı e k alt aralığı olarak, önceden blnen φ j fonksyon kümes ve aynı sayıda a j le brlkte, o şeklde tanımlıyoruz k, eğer a j parametreler blnyorsa, (x) sıcaklık alanının yaklaştırması da bütün alt aralık üzernde blnecektr. Bütün x etk alanı üzernde, ( x ) aφ ( x ) + aφ ( x ) + + a φ ( x ) (.7) n+ n+ yazablrz. φ ( x ) fonksyonları bçm fonksyonları olarak adlandırılır. (.7) fadesn toplama notasyonunda yazacak ve br eşt şaret kullanacağız, yan, n+ = φ (.8) = ( x ) a ( x ) alacağız. e e e3 e n e n O= x x x3 xn xn xn+ = Şekl. Etk alanının br sonlu eleman ızgarası olarak bölümü Br problem çn (.8) formundak br fade kullanılarak çözüme yaklaştırıldığında, genel olarak dferensyel denklemn doğru çözümünü elde edemeyz. Dolayısıyla, Denklem (.) n sol tarafına yaklaşık çözümümüzü koyarsak, br özdeşlk değl, ama

17 yaklaştırmadak hata le lşkl br artık fonksyon elde edeceğz (Pepper 5). Bu hatayı d R (, x ) K Q (.9) dx le tanımlayablrz. Burada, * doğru çözümüne br yaklaşımdır. Böylece R ( *, x ) (.) Bununla brlkte, her hang br * çn, ızgarayı ne kadar küçültürsek küçültelm veya ser açılımını ne kadar uzatırsak uzatalım, artığı her x noktasında yok olmaya zorlayamayız. Ağırlıklı artıklar metodunun ana fkr artığı br ağırlık fonksyonuyla çarpıp ağırlıklı fadenn ntegralını sıfırlanmaya zorlamaktır, yan W x R x dx = ( ) (, ) (.) olup, burada W(x) ağırlık fonksyonudur. Değşk ağırlık fonksyonları seçp bunların her br (.) çne yerleştrlerek, Denklem (.8) de verlen sonlu serler formunda br yaklaşımı belrleyecek a blnmeyen parametrel br lneer denklem sstem üreteblrz. Bu, dferensyel denklem ortalama veya tam anlamda sağlayacaktır. Seçlen ağırlık fonksyonunun tp, seçlen ağırlıklı artık teknğnn tpne bağlıdır. Galerkn prosedüründe, ağırlıklar φ( x ) bçm fonksyonuna eşt olarak seçlmştr, yan, W ( x ) = φ ( x ) (.) ve a j blnmeyen parametrelernn sayısı φ j bçm fonksyonlarının sayısına eşt olduğu çn, blnmeyenlerle aynı sayıda denklemn bulunduğu br lneer denklem sstem

18 üretlmş olacaktır. Eğer dferensyel denklemle lşkl sınır şartları, lerde gösterleceğ şeklde doğru olur ve düzenlenrse, böyle br denklem sstemnn çözümünün varlığı ve teklğ garantlenr. Bu metot büyük boyutlu düzensz geometrlere sahp problemler ve lneer olmayan problemlerde özellkle avantajlı görülmektedr ve otomatk olarak blnmeyenlerle aynı sayıda denkleme sahp br denklem sstem vermektedr. φ ( x ) bçm fonksyonlarının nasıl tanımlanacağı sorusu sonlu eleman metodolojsnn gerçekte başladığı yerdr. Kendmz hemen tamamen bast (lneer, knc derece ve üçüncü derece) nterpolasyon le sınırlandırıyoruz; daha yüksek sevyel (ve transandantal) yaklaşımlar da artan karmaşıklık, hesaplama süres ve depolama gereksnmler hesaba katılarak kullanılablr. Bast lneer ve knc derece fonksyonlarının kullanımı sonlu eleman kavramının mükemmel ölçüde bast, buna rağmen son derece güçlü olduğunu teyt edecektr. Şmd Denklem (.) n sol tarafındak ntegraller önermş olduğumuz φ( x ) bçm fonksyonlarını W(x) ağırlıkları olarak kullanıp hesaplamak styoruz. Böylece, Galerkn prosedürü d φ( x ) K Q dx = (.3) dx verr ve Denklem (.8) n çndek φ ( x ) fonksyonu çn uygun br form bulmamız gerekr. Sıcaklık dağılımının x n sürekl fonksyonu olması gerektğ çn, bunu yaklaştırmak çn en kolay yol her eleman üzernde parçalı lneer polnom nterpolasyonu kullanmak olacaktır; özellkle, parça yönünde lneer yaklaşma, sürekl br fonksyon çn en bast yaklaşımı sağlar ve çok çekcdr (Şekl.3). Ne yazık k, bu tür fonksyonların brnc türevler eleman uçlarında sürekl değldr ve bu yüzden buralarda knc türev bulunmaz; hatta nn knc türev her elemanın çersnde sıfıra gder. Bununla brlkte, knc derece türevlern her yerde bulunmasını

19 gerektrmek çok kısıtlayıcıdır. Bu bz çubukta brm kuvvettek nokta ısı kaynağının varlığı gb büyük lg duyulan brçok fzksel durumla lglenmekten alıkoyar. Bu durumda, Denklem (.) d K = δ ( x x ) s (.4) dx şekln alır k burada δ Drac delta fonksyonu olup x=x s, belrsz olan kaynak pozsyonu dışında her yerde sıfırdır. Açıkça, nn knc türev x=x s noktasında yoktur; bununla brlkte, Denklem (.4) y blnen ve aşağıda verlen çözüme sahptr: ( x ) K = [ q( x ) + ( x )] q( x K )( x s ) + + x xs xs x (.5) x x x 3 x 4 x 5 = x Şekl.3 Br sıcaklık alanı çn parçalı lneer yaklaşımı 3

20 Aslında, bu zorluk Denklem (.3) ün knc türev termne kısm ntegrasyon uygulanarak kolayca çözüleblr, yan, d dφ d d φ( x) K dx K dx Kφ = (.6) dx dx dx dx ve Denklem (.3) aşağıdak şeklde yenden yazılablr: dφ d d K dx φqdx Kφ = (.7) dx dx dx Bu problemmzn zayıf formudur, çünkü Denklem (.3) knc türev çerrken, (.7) sadece (x) çözümünün brnc türevn htva eder. (x) fonksyonu hakkındak türev alma gerekllğ zayıflatılmış olup bu nedenle zayıf fade denlmektedr (Pepper 5). Henüz br yaklaşım yapılmadığına dkkat edlmeldr, yan, formülasyonda hç br şey kaybolmamıştır. Dğer taraftan, parçalı bast lneer yaklaşım şmd akla daha yatkındır. Her φ ( x ) ağırlık fonksyonu çn Denklem (.8) kullanılarak, Denklem (.7) y şu formda yazablrz: n+ j= x= dφ dφ j d K dx a j φqdx φ K + dx dx = dx x=,,..., n = + (.8) x = dak - K(d/dx) akışının ntegral formu çne otomatk olarak yerleştrldğne dkkat edelm. Aynı zamanda, çndek ntegraller kolayca hesaplanablr. φ bçm fonksyonları br kez seçldğnde, (.8) Zayıf fadenn Galerkn formunun (.8) avantajı, Denklem (.) veya (.) n gerektrdğ x arasındak her x noktasında (x) değerne karşın, belrlenecek a, 4

21 =,, n+ sonlu sayıda parametre bulunmasıdır. O zaman, bu noktada uygun br yaklaşım lehne tam çözümün dkkate alınmasından vazgeçlmştr. Yukarıdak prosedürü göstermek çn, aralığı her k ucuna br düğüm yerleştrlmş k eşt uzunlukta kesme bölelm. Böylece, dlmn kalınlığı boyunca ısı alanı üç düğümle tanımlanır; yan, Şekl.4 te gösterldğ gb düğüm, x=x =, düğüm, x=x =/, düğüm 3, x=x 3 = noktasına yerleştrlmştr. e e 3 x x x 3 Şekl.4 Parça noktasallaştırma Her e elemanı boyunca düğümler arasındak φ( x ) değşmnn lneer olduğunu varsayarsak, bağımlı değşkenn kolayca şu formda fade edeblrz: ( x ) = φ ( x ) a + φ + ( x ) a + x x x + (.9) Eğer φ I fonksyonları φ ( x ) = ve φ ( x + ) =, veya tersne, φ ( ) + x = ve ( x + ) = olarak seçlrse, o zaman φ fonksyonları φ + 5

22 x φ ( x ) = x + + x φ+ ( x ) = x x x + x x (.) le verlr ve a parametres düğüm sıcaklığı olur, yan, Şekl.5 te çzldğ gb a =(x )= dr. Bçm fonksyonlarının türevler: φ ( x ) φ ( ) + x x e x + + x x + Şekl.5 Br eleman boyunca lneer bçm fonksyon dφ = dx x x + dφ+ = dx x x + (.) Denklemdr. (.9)-(.) daha kısa olarak matrs formunda ( x ) = ϕa (.) yazılablr, burada 6

23 ϕ = [ φ φ + ] (.3) a a = a + (.4) ve böylece d d dφ a dφ+ = ϕ a= dx dx dx dx a + (.5) ve d ϕ = dx x x x x + +. (.6) Şmd bunu Denklem (.8) dek lk elemanımıza uygulayablrz. j= j= dφ dφ x / j dt = K dxa j φ ( x) Qdx Kφ( x) dx dx = dx x= dφ dφ x / j dt = K dxa j φ ( x) Qdx Kφ( x) dx dx = dx x= (.7) 7

24 k burada bu lşkler kolaylık çn sıfır alınmıştır. (.7) denklemler (.)-(.6) kullanılarak aşağıdak şeklde yazılablr : d d q (.8) K dx a Q dx ϕ dx ϕ ϕ = dx o x x ϕ = ve d ϕ = dx konularak ve ntegral alınarak, Denklem (.8) aşağıdak şekle dönüşür: x a q r K dx Q dx = a x / 4 4 x x a q r K dx Q = 4 4 a x φ ( ) olduğundan, q vektörünün knc bleşennn neden sıfır olduğu kolayca görülmemektedr. Şmdlk, br düğüm noktasında akış belrtlmemşse, o düğüm noktasında sıfır olduğunu kabul edeblrz. 8

25 a / 4 q K Q = a / 4 r K a Q q = a 4 (.9) e elemanı çn: dφ dφ dt φ +φ = dx dx dx x= / 3 j K j dxa Qdx K j= dφ dφ dt φ +φ = dx dx dx x= / 3 3 j K j 3 3 dxa Qdx K j= 3 dφ dφ j K aj dx φ Qdx = j= dx dx x / φ= x / / x φ= x 9

26 dφ = dx (.) uygulandığında x a r = K dx Q dx a 3 x 4 4 x x a K dx Q 4 4 a = 3 x / a K 4 4 Q = a3 K a Q = a3 4 K a Q = a 3 4 (.3) elde ederz.

27 (.9) ve (.3) fadeler, bu durumda, her ks de aynı ağırlık fonksyonu φ (x) e at olduğundan, Denklem (.9) dak knc denklem le Denklem (.3) dak brnc denklemn toplama şlem kullanılarak brleştrlrler. K a q Q a = + 4 a 3 (.3) a 3 = olduğunu bldğmz çn, sstem a ve a blnmeyenl k denkleme ndrgenr, yan, q Q a a = + K 8K Q a + a = + 4K (.3) ve böylece çözüm q Q a = + + K K a q 3Q = + + K 8K (.33) a 3 = olur.

28 .3 Uygulama Denklem (.7) dek φ ( x) bçm fonksyonlarından hangsnn seçleceğ hususunda br çok olasılık vardır. Dferensyel denklemn çözümünü göz önüne alalım: d u dx =, < x< Sınır şartları: u ( ) = u( ) = Örneğn, öngörülen sınır şartlarını sağlayan aşağıdak formda yaklaşım deneyeblrz: u( x ) = a sn πx Galerkn ağırlıklı artıklar formülasyonu n+ j= x= dφ dφ j d K dx a j φqdx φ K + dx dx = dx x= d d K=, =j= ve q= K x= q= x= dx dx d φ d φ d dx dx +φ dx adx φ ( )dx φ = snπx

29 xdx a π cos π snπ xdx= π a = π 4 a = π 3 böylece 4 u( x ) snπx 3 π olup u( ). 9 x=/ de tam çözüm se u(/)=/8=.5 dr. Bu se x= / dr, buda %3 lneer br yaklaşım hata demektedr. 3

30 3. BİR BOYUA SONU EEMAN MEODU 3. Grş Sonlu eleman metodunun resm temel Galerkn n ağırlıklı artık prosedürüdür. Bölüm de tartışıldığı gb, Galerkn prosedürünün bağımlı değşken çn parçalı br polnom gösterm eşlğnde uygulaması problem etk alanını münfert hale getren br dz parça çn elde edlen br lneer lşk kümes verr. Yaklaştırma fonksyonları lokal olarak sonlu elemanlar dye adlandırılan parçalar üzernden tanımlanır, ve her hang br fonksyon, ne kadar bast olursa olsun, hatta brnc derece polnomu ble, yaklaştırmada kullanılablr. Sonlu eleman metodunda lk adım lglenlen bölgey düğüm noktaları bulunan alt bölgelere veya elemanlara bölmek ve br elemanın her k ucunda bçm tpn tanımlamaktır. Br knc derece elemanı elemanın orta noktasında yerleştrlmş üçüncü br düğüme sahptr; br kübk elemansa aralıklarla yerleştrlmş dört düğüm htva eder. Elemanların ve düğüm noktalarının toplanmasına sonlu eleman ağı denr. Prosedürde kullanılan bçm fonksyonlarının tp, doğrudan seçlen ağın tp le bağlantılıdır. 3. Bçm Fonksyonları Şmd parçalı polnom nterpolasyonu şlemn formüle edeceğz ve münfert elemanlarla ve sadece o özel elemana uygulanablr lokal fonksyonlarla çalışmanın daha uygun olacağını göstereceğz. 4

31 3.. neer elemanlar x aralığında eşt boyda olması gerekmeyen elemanlardan oluşan br ızgara tanımlamakla başlıyoruz. Sonra elemanların her br üzernde, lneer bçm fonksyonları tanımlıyoruz; bunlar Şekl 3. de tanımlandığı gb gözükmektedrler. Bu sonlu eleman ızgarasının ve bçm fonksyonlarının problemmzn geometrsn tarf etmemze zn veren br koordnat sstem çnde genel göstermdr. Eğer ağ n eleman çeryorsa, Şekl 3. de gösterldğ gb koordnatları x,..., x n + olan n+ düğüme sahptr. Eleman tanım kümes aşağıdak gb verlmştr: e :{ x x x x } =,,..., n (3.) + Her düğümle lşkl bçm fonksyonları eğer j se N ( x ) = ve N ( x ) = olacak şeklde N ( x ) le belrtlr ve aşağıdak şeklde verlr (Mtchell 977): j x x ( ) h N x = x x x dğer (3.) x x x x x h N ( x ) = x x,3,..., x x x n + = h dğer (3.3) 5

32 N n+ x x ( ) hn x = n x x x n dğer n+ (3.4) burada: h = x + x =,,...n (3.5) Şmd ( x ) aşağıdak gb tanımlayablrz ( x ) = N ( x ) + N ( x ) N ( x ) = N ( x ) (3.6) n+ n+ n+ = N ( x ) N ( ) x N ( ) n+ x e e e e e + en n n+ e n x = x 3 x x x x + x + x n x = n+ Şekl 3. Genel parçalı lneer elemanlar ızgarasının bçm fonksyonları Burada, nn x dek, yan düğümündek değern anlatır ve ( x ) ara düğümlerde lneerdr. Bu br elemanlı br ağdır, yan n =, kolayca görüleblr. Eğer 6

33 ( x ) düğümler arasında lneer se, = α+ αx formunda olacaktır (Kwon, Pepper 5, ews 99, Soln 6). Ayrıca, ( x ) = ve ( x ) = ; böylece: = α + α x (3.7) ve = α + α x (3.8) α ve α çn çözerek = x x α α α x x x x = = α x x h + ( x ) = ( x x ) ( x x ) h + + h ( x x ) ( x x ) = + h h α x x = (3.9) h α = (3.) h 7

34 böylece, ( x ) x x h h = + x (3.) ve, yenden düzenleyerek, n= olarak Denklem (3.6) olan aynı fadey elde ederz: x x x x ( x ) = + h h (3.) Pratkte her elemanla söz konusu özel elemanla lşkl br lokal koordnat sstemnde çalışmak uygun olacaktır. Eğer lokal koordnat sstemnde zole edersek, aşağıdak gösterm kullanablrz: ( e ) h uzunluğunda br elemanı ( x ) = N ( x ) + N ( x ) (3.3) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) burada (e) br elemana şaret eder ve Şekl 3. de gösterldğ gb N x ( x ) = h ( e ) ( e ) (3.4) N x = (3.5) h ( e ) ( e ) buradan da, ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) d dn dn = ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) dx dx dx = h h (3.6) 8

35 Ayrıca Şekl 3.3 te gösterldğ gb lokal ve genel düğüm numaralandırması arasında br lşkye htyaç duyacağız. Ancak çözüm şlemnde daha ler gtmeden bazı daha yüksek derecel elemanları tanıtacağız. ( e ) ( e ) ( x ) N ( e ) ( x ) ( e ) N ( x ) ( e ) e e x Şekl 3. okal düğüm numaralandırması, sıcaklık gösterm, ve lokal bçm fonksyonları e e e + n n+ = ( ) h x + x Şekl 3.3 okal ve genel numaralandırma arasındak lşk 3.. İknc derece elemanları Br fonksyonun nterpolasyon yolu le yaklaştırma açısından, Şekl 3.4 ten her eleman üzernde lneer parçalar yerne parabolk yaylar kullanırsak daha y yapacağımızı göreblrz. Her eleman üzernde, ( e ) ( x ) fonksyonları x te knc dereceden ve dolayısıyla aşağıdak formda olacaktır: 9

36 ( x ) = α + α x + α x (3.7) ( e ) 3 Burada belrlenecek üç parametremz bulunmaktadır; bu yüzden, elemanların uçlarında nterpolasyon gereksnm fonksyonu belrlemek çn yeterl olmayacaktır. Üçüncü br lşk elde etmek çn, elemanın ortasında br düğüm daha koyarız ve o düğümde de fonksyonun nterpolasyonuna htyaç duyarız (Pepper 5). Şekl 3.5 lokal koordnat sstem çn sonuç konfgürasyonunu göstermektedr. ( e N ) ( x ) fonksyonları aşağıdak gerekllkten elde edlr: ( e) ( e) () = α= ( e) ( e) ( e) αh α3( h ) ( e) ( h / ) = α+ + = 4 ( e) ( e) ( e) ( e) ( h) = α+ αh + α3( h ) = 3 (3.8) f ( x ) e e e 3 x Şekl 3.4 Parçalı lneer yaklaşıma karşı kuadratk nterpolasyon 3

37 (e) 3 (e) N (e) N (e) N (e) 3 (e) h (e) / h (e) / 3 h (e) 3 Şekl 3.5 okal koordnat sstemnde knc derece elemanı ve bçm fonksyonları Bu denklem sstemnn çözümü: ( e ) αh α ( h ) 4 ( e ) 3 ( e ) ( e ) + = α h +α ( h ) = ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) 3 3 ( e ) ( e ) h ( h ) α ( e ) ( e ) α 4 ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) α3 3 α 3 = = h ( h ) ( e ) ( e ) ( h ) ( h ) ( e ) ( ) 4 l ( e ) ( ) 3 ( e ) l ( e ) ( e ) ( h ) 3 ( h ) h 4 ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( h ) ( e ) ( e ) 3 4 h ( ) ( ) = 4 ( e ) ( h ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( ) ( 3 ) + 3

38 = h ( e ) ( e ) 3 ( e ) ( h ) α = 4 3 ( 3 ) ( 3 4 ( e ) ( e ) 3 ) h 4 4 = h + 4 α = ( + + ) = ( + + ) ( e ) ( ) ( e ) h ( h ) α = ( e ) α = + h ( 3 4 ) ( e ) 3 α = + ( ) ( ) ( e ) h 3 3 α, α ve α 3 ' (3.7) ye yerleştrerek ve yenden düzenleyerek, ( x ) = + ( 3 4 ) x ( ) h + + ( h ) + + x ( e) ( e) ( e) 3 ( e) 3 ( e ) x x x x x x ( x ) = 3 + ( ) ( ) + 4 ( ) ( ) + e e e e ( e ) ( e ) 3 h h h h h h 3

39 ( e ) ( x ) = x h ( e ) ( e ) ( h ) h ( h ) h h 3x x 4x 4x x ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) 3 x x x x x x = h h h h h h 3( )x ( ) 4( )( ) ( )( ) 3 böylece, bçm fonksyonları, N x x ( x ) = 3 + h h ( e ) ( e ) ( e ) N x x ( x ) = 4 h h ( e ) ( e ) ( e ) (3.9) N x x ( x ) = h h ( e ) 3 ( e ) ( e ) Bu durumda n knc derece elemanından oluşan br ağ çn genel sstem lokal sstemle lşklendrmek çn kullanılan nütasyon Şekl 3.6 da gösterlmştr. Bu durumda nc eleman aşağıdak gb tanımlanmıştır (Denklem 3. den): e = { x x x x } (3.) + ve eleman uzunluğu, ( ) h x + x = (3.) 33

40 e e e e e n n 3 n n 3 Şekl 3.6 okal ve genel koordnat sstem arasındak lşk. Üçgenler her elemanın çndek düğümlere şaret etmektedr. (e) (x) fonksyonunun türevler şmd aşağıdaknden elde edleblr: ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( x) = N + N + N3 3 = N N N 3 ( e) 3 (3.) ve şöyle verlr: ( e) 4 ( e) = ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) dx h h h h h h ( e) 3 ( e) d x x (3.3) bunlar artık eleman boyunca sabt değldr. 34

41 3..3 Üçüncü derece elemanlar Daha da yüksek derecel yaklaştırmalara lerleyeblrz. Br sonrak sevye üçüncü derece fonksyonlarla verlr. Bu durumda, her eleman üstünde, her br x=, h (e) /3, h (e) /3, ve h (e) noktalarında eşt aralıklı yerleştrlen dört düğümün gerektğ aşağıdak denklem elde ederz: ( x ) = α + α x + α x + α x (3.4) ( e ) Şekl 3.7 üçüncü derece elemanın bçm fonksyonlar ( e N ) ( x ) fonksyonları aşağıdak gerekllkten elde edlr: 35

42 =α 3 h h h =α +α +α +α h 4h 8h 3 =α +α +α 3 +α =α +α h+α h +α h Bu denklem sstemnn çözümü ( x ), ( x ), ( x ) x ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) = = 3 = 3 ve ( x 4 ) = 4 ( ) =, ( h / 3) =, ( h / 3) =, ( h ) = ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) 3 4 α = 3 3 h h h h h h α α +α +α +α = α = 3 h 4h 8h = h h 8h α 3 3 α +α +α 3 +α 4 = α h h h h 3h 4h 4 α +α +α +α = α = α = h α = h ( ) α = h ( )

43 α, α, α 3 ve α 4 ' (3.4) ye yerleştrerek ve yenden düzenleyerek, x 9x ( x ) = + ( ) + ( ) h h 3 9x 3 ( ) h x 9x 9x 8x 45x 7x 9x 36x 7x = h h h h h h h h h x 9x 9x h h h x 9x 9x x 45x 7x x 36x 7x ( x ) = h h h h h h h h h x 9x 7x h h h ( x h ) 9x 9x x x x x x x ( x ) = h h h h h h h h h x 3x 3x + 4 h h h x 3x 3x 9x x 3x 9x x 3x ( x ) = + 3 h h h h h h h h h x 3x 3x + 4 h h h Böylece, bçm fonksyonları: 37

44 N 3x 3x x ( x ) = h h h ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) N N N 9x 3x x ( x ) = h h h ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) 9x 3x x ( x ) = h h h x 3x 3x ( x ) = h h h ( e ) 3 ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) 4 ( e ) ( e ) ( e ) (3.5) (e) (x) fonksyonunun türevler şmd aşağıdaknden elde edleblr: ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( x) = N + N + N3 3 + N4 4 = N N N3 N 4 ( e) 3 ( e) 4 ve şöyle verlr: ( e ) d ( x ) 9 = [ ( 7x + 36hx h ) (9x hx + h ) 3 dx h h ( e ) ( e ) 9 (9x hx + h ) (7x 8hx + hx )] 3 3 ( e ) 4h x 3 ( e ) 4 38

45 Yukarıda tanımlanan elemanlarla lgl olarak aşağıdak noktalara dkkat edlmeldr:. İknc ve üçüncü derece elemanların türevler x bağımsız değşkennn fonksyonları olsalar ble, eleman çndek düğümlerde sürekl değllerdr. Burada kullanılan nterpolasyon tp agrangan olarak blnmektedr ve fonksyonun sürekllğn sadece eleman ç sınırlarında garant eder. Elemanlar elemanları dye blnr ve sıfır üssü sadece sıfır derecel türevlern, yan fonksyonun, sürekl olduğu anlamına gelr.. Açıkça, daha yüksek derecel elemanlar ble, yan dördüncü derece, beşnc derece, vb., br elemana daha fazla nterpolasyon düğümü ekleyerek oluşturulablr. Aslında, aynı zamanda düğümlerde türevler nterpole eden elemanlar oluşturablrz. Bu tür elemanların en bast, elemanın k ucunda yer alan düğümlerde fonksyonu ve lk türevn nterpole eden knc derece Hermte dr. Bunlar elemanlarıdır çünkü lk türev şmd etk alanının her yernde sürekl olacaktır. Daha karmaşık elemanlar da oluşturulablr. Gerçekte, karmaşıklık derecesnde veya erşlen önceden belrlenmş eleman davranışında flen sınır yoktur. Bununla brlkte, eleman daha karmaşık oldukça, hesap bakımından daha masraflı olacağı göz önünde bulundurulmalıdır. Gerçekten, çok boyutlu hesaplamalarda üçüncü derece elemanlar zaten yüksek malyetl olmaktadırlar ve çok seyrek kullanılırlar (Pepper 5). 3. Yukarıda dkkate alınan eleman nterpolasyon fonksyonları δ j nn Kronecker delta fonksyonu ve x j n düğüm koordnatları olduğu N (e) (x j )=δ j özellğne sahptrler, yan δ j = eğer eğer = j j (3.6) Bu (3.6) fades düğüm noktalarında ölçüldüğü zaman o noktadak bağımlı fonksyonun değernn elde edlmes kolaylığını verr (Fsh 7). 39

46 4. Seçlen nterpolasyon tp bağımlı değşkenn br eleman çersnde alableceğ bçm tanımlar, yan lneer, knc derece, vb. Bu yüzden, elemanı tanımlayan N fonksyonlarını belrtmek çn bçm fonksyonu adı kullanılmıştır. Daha yüksek derecel fonksyonların her zaman tam olarak daha düşük derecel fonksyonlara ndrgendğ dkkate alınmalıdır; yan knc derece elemanları tam olarak lneer ve sabt fonksyonları, üçüncü derece elemanları knc derece, lneer ve sabt fonksyonları temsl eder, vb. Bu gerçek eğer daha yüksek derecel elemanlar kullanılırsa daha y yaklaştırma elde edlebleceğn garant etmektedr (Zenkewcz ). 4

47 4. KARARI İEİM DENKEMİ 4. Galerkn Formülasyonu Br model problem olarak, boyunda ve sabt kestl nce homojen metal tel üzerndek ısı letmn belrlemey etüt edeceğz. Sol ucun öngörülmüş br q ısı akışına maruz kaldığını, sağ ucun = sabt sıcaklıkta tutulduğunu ve çubuğun uzunluğu boyunca yalıtım malzemes le sarıldığını düşünelm. Durum Şekl 3. de gösterlmştr. Ayrıca, teln çnden Q şddetnde br ç ısı kaynağı olarak görev yapacak br elektrk akımı geçrebldğmz var sayıyoruz. Fourer kanununu kullanarak, çubuk boyunca sıcaklık dağılımını yöneten dferensyel denklem kolayca yazablrz. Bu d K = Q < x < (4.) dx olup x boy koordnatı, K malzemenn ısı letkenlğ (sabt varsayılmıştır), ve Q brm hacmde ç ısı üretmdr. Problemle lşkl sınır şartları: d K = q x = da (4.) dx ve = x = de (4.3) q> ken, ısı akış yönü x= da çubuğun çne doğru olup, denklem (4.) dek eks şaret bu nedenledr. 4

48 Normal x aralığında dahl ısı kaynağı le sürekl br boyutlu denklem sağlayan = ( x ) sıcaklık dağılımını bulma problemn düşünelm. Eşt uzunlukta k lneer elemandan oluşan br ayrıştırma kullanarak, dolayısıyla, ve 3 olmak üzere üç düğüm değer htva eden br denklem sstemne götürerek temel kavramları ortaya koyacağız. (4.) çn br ağırlıklı artık fades aşağıdakn verr: d W K Q dx = dx (4.4) ntegral ve k elemanın toplama özellğ kullanılarak, (4.4) fades şöyle yazılablr: = x + x / d d W K Q dx W K Q dx = dx dx d + W K Q dx = / dx (4.5) genel sstemde (x) fonksyonu aşağıdak şeklde yaklaştırılacaktır: 3 j j 3 3 (4.6) j= ( x ) = N ( x ) = N ( x ) + N ( x ) + N ( x ) Burada N (x),=,,3 bçm fonksyonları n= ve x =, x =/ ve x 3 = olmak üzere sırasıyla (3.), (3.3) ve (3.4) fadeler le verlmektedr. (4.5) n Galerkn formu W (x)=n (x) olarak, şöyle olmaktadır: 4

49 / 3 dn dn j d K j N Q dx + N K dx j= dx dx 3 dn dn j d + K j N Q dx + N K = =,,3 dx j= dx dx (4.7) / Denklem (4.7) dek lk k term e, ve son k term e elemanına tekabül eder. Şmd bunların her brn ayrı ayrı lokal eleman koordnatları kullanarak rdeleyelm. e elemanı çn N ( ) 3 x = ; bu nedenle =, den ortaya çıkan denklemler matrs formunda yazarsak, / ( e ) dn ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) dx dn dn N K Q dx ( e ) ( e ) ( e ) dn dx dx N dx / ( e ) d K ( e ) dx N + = N (4.8) (3.4) le (3.6) arasındak denklemler ve (4.8) şu şeklde yazılablr: h ( e ) = olduğunu kullanarak, denklem x d ( e ) dx x= K Q dx ( e ) + = x d k dx x= / 43

50 4 4 x q ( e ) K Q dx ( e ) + d 4 4 x k = dx x= / x x q 4K x ( e ) ( e ) Q = d k dx x= / 4 ( e ) q K 4 Q ( e ) = d k dx x= / K ( e ) q Q ( e ) d = + 4 k dx x= / (4.9) Burada e elemanındak genel serbestlk dereces sayısının ve olduğunu kullandık. Benzer şeklde e elemanı çn: dn K dx ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) dx dn dn 3 N ( e ( e ) ) ( e ) dn dx dx 3 3 N 3 ( e ) d k ( e ) 3 dx / N + = N Q dx ( e ) ( e ) x ( x ) dn = = = N ( x ) / dx 44

51 ( e ) ( e ) x / x dn 3 3 = = = N ( x ) / dx ( x ) d K ( e ) dx r x= / K Q dx ( e ) + = x 3 d K dx x= 4 4 x d ( e ) x K dx x= / Q ( e ) x x d K dx / x= r k + = d ( / ) ( e ) K 3 K dx x= / Q r ( e ) 3 + = d K 4 dx x= d ( e ) K K Q dx x= / ( e ) = 4 3 d K dx x= K d K dx Q x= / = d K dx x= (4.) denklemn elde ederz. 45

52 Eleman denklemler şmd genel 3x3 matrste brleştrlmeldr. Bu, denklemlern genel numaralandırılması ve serbestlk dereceler kullanılarak yapılır; şlem Şekl 4. de gösterlmş olup değşk elemanlardak aynı ağırlık fonksyonunda olduğu gb denklemler toplamaya eşdeğerdr. Bu durumda, W =N nn her eleman üzerndek katkısı şeklde görüldüğü gb toplanır. Pratkte bu eleman matrslerndek genel serbestlk dereces sayısı kullanılarak ve bunların katkılarını genel matrsn mütekabl konumlarına ekleyerek elde edlr. Böylece, örneğn, elemanında, (,) konumu genel sstemdek (,3) karşılığı olup -k/ grds brleştrlmş matrste (,3) konumuna eklenr (Pepper 5). Şekl 4. de dahl düğümlerde akışları çeren fadelern brbrn götürdüğü açık şeklde görüleblr; gerçekten, bu, akışların çerde sürekl olması gerektğn fade eder. Bu nedenle, eleman denklemler oluşturulurken, bu termler her zaman hmal edlr. Bununla brlkte, termler hmal edldğ takdrde eleman denklemlernde eştlk olmayacağı unutulmamalıdır. Bununla Beraber, akışları çeren term, yan Denklem (3.6) yı sıfıra eştlemek adettr. Böylece K Q () ( ) = + q 4 K Q d () ( + ) = K dx = 4 x / K Q d (3) ( 3 ) = K 4 dx x= / K Q d (4) ( 3 ) = K dx = 4 x () + (3) 46

53 4K Q Q ( + 3) = = 4 4 K Q ( + 3 ) = 4 sonucunda K q Ql = + d K dx x= 4 3 (4.) olur. (4.) denklemnde x= de ısı akışı görülmektedr. Bununla brlkte, bunu 3 çn br denklem olarak düşünürsek, 3 blndğnden, bu denklem atılablr ve sstem K Q q K = (4.) olarak yenden yazılablr ve (4.) şmd ve çn çözüleblr. Bu br kez yapıldığında, üçüncü denklem sağ sınırdak aşağıda verlen ısı transfern hesaplamak çn kullanılablr: d K Q K = ( ) + dx 4 x= (4.3) 47

54 Şekl 4. İk elemanlı sstem çn brleştrme şlem dyagramı Şmd (4.) le (4.3) denklemlern, etk alanını münfert hale getrmek çn br knc derece elemanı kullanarak yaklaştıralım. Br öncek durumla aynı sayıda düğüm noktası, ancak br sonrak yüksek yaklaştırmayı kullanıyoruz. Galerkn fades daha öncek le aynıdır. Br eleman durumu çn lokal ve genel sstemler aynı olduğundan, 3 dn dn j d K j N Q dx + N K = dx j= dx dx (4.4) 48

55 yazablrz. (3.9), (3.) ve (3.3) denklemlern kullanarak matrs formunda aşağıdak denklem elde ederz: 4x 3 4 x 4x 4 x 4x K 3 4x 3 3x x + q 4x x Q dx = d K dx x= x (4.5) 4x 4 4x x 4x 4x x 4x 6 x 4 x 4x K 3 4x 4x 4 4x x 4x

56 3 3 x 3 x x + 3 q 3 4 x 4 x Q 3 = 3 d x x K dx x= / 6 q K Q 4 = 6 3 d 8 7 K dx x= K q Q = d K dx x= q 4 6 K Q = d K dx x= (4.6) elde ederz. aynı şeklde, son denklem 3 = kullanılarak eleneblr; son sstem 5

57 4 6 q K Q K = (4.7) olup sağ sınırdak ısı akışı d K Q K = ( 6 4 ) + dx 6 6 x= (4.8) le verlr. 4.. Değşken letm ve sınır ısı yayımı Şmd sonlu eleman algortmasını sol uçta, x=, ısı yayım yüküne maruz ve sağ uçta, x=, sabt sıcaklıkta tutulu, uzunluğunda nce br çubuktak kararlı durum sıcaklık dağılımının yaklaşık çözümü çn ekleyelm. Aynı zamanda dahl ısı kaynakları bulunmadığını (yan Q=), ancak çubuğun ısı letkenlğnn (malzeme kompozsyonundak değşklklern veya çubuğun kest alanındak değşmlern sonucu olarak) x le değştğn kabul edelm, yan K = K ( x ). Bu problem tarf eden dferensyel denklem d d K ( x ) = dx dx (4.9) ve d K + h( ) = x = de (4.) dx olup harc referans sıcaklığı ve h konveksyon ısı transfer katsayısıdır ve 5

58 = x = da (4.) Ağırlıklı artık formülasyonu daha öncek gb elde edlr: dw d d d K ( x ) dx W K ( x ) W K ( x ) dx dx dx + = dx x= (4.) x= Buradan tbaren, sıcaklığın emrettğ br sınıra at, burada x=, akış termn sonlu eleman modellemede adet olduğu gb atarız. Sol taraftak sınırdak akış çn aynı şeklde (4.) yı değştrrsek, dw d K ( x ) dx W h dx dx ( ) x= dw d dx dx K ( x ) dx + Wh ( ) = (4.3) x= elde ederz. Görüldüğü gb (4.9) ten (4.3) a gderken hçbr şey kaybolmamıştır; bununla brlkte, (4.3) denklemne analtk br sonuç değl, ancak bunun yerne tanımlanmış bçm fonksyonlarımız ve münfert ağımızı kullanarak hesaplanablr br sonlu eleman yaklaşması arıyoruz. Daha öncek gb, x arasında br ağ tanımlıyoruz ve (x) n+ = (4.4) = ( x ) N ( x ) yaklaştırıyoruz; burada n ağdak elemanların sayısıdır. Eğer N,=,,n+ lneer bçm fonksyonları se, (4.3) denklemnn Galerkn formu şöyle olur: 5

59 dn dn n+ j K ( x ) j dx + N h( ) = (4.5) x= dx j= dx K(x) çn özel br form eklemektense, ( x ) çn seçlen aynı bçm fonksyonları, bu durumda lneer, kullanılıp düğüm noktalarına dayanarak K(x) nterpolasyonu yaparız. İlk eleman çn, ısı yayımı sınır şartlarını htva eden eleman denklemler x x ( e ) dn ( e ) dx ( e ) ( e ) ( e ) ( x ) ( x ) K dn dn N N dx ( e ) ( e ) K dx dx ( e ) dn dx ( e ) h + h ( e ) = verr. ( e ) ( e ) Isı yayımı sınır termnde N () = ve N () = keyfyetn kullandık, yan, N N h( ) = h[ N N ] x= x= N N N = h [ N N ] h N x = N N N N N N h h N N N N N = x= = h 53

60 ntegral alarak, e x x N = ( ) x x e x x ve N = x x ( ) x x = h ( e ) x x ( e ) ( e ( ) ) e x x x x K h dx ( e ) ( e ) ( e ( ) e ) ( e ) ( e ) h h K h h ( e ) h ( e ) h + = h ( e ) x x ( e ) ( e ) x x x x K dx ( e ) ( e ) ( e ( ) e ) ( e ) h h K ( h ) ( e ) h + = h ( e ) x ( e ) ( e ) K ( e ) ( e ) ( ( ) e ) e ( e ) h h h x K ( x x ) ( x x ) ( ) ( e ) h + = h ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) h ( K ( + K ) h e ) ( e ) ( e ) h + = (4.6) elde ederz. Bütün dğer elemanlar, e e, çn denklemler: 54

61 dn N N dx = dx ( e ) ( e ) ( e ) ( ) ( ) e e x K + ( e ) ( e ) dx dn dn + + x ( e ) ( e ) ( e ) K dx dx + dn + + N x ( x ) = ( e ) + x + x x N ( e ) + x ( x ) = x + x x ( e ) dn ( x ) = dx x x + ( e ) dn + ( x ) = dx x x + ve x x h = + ( e ) x + x ( e ) ( e ) ( e ) x K + x x x h r dx ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) h h = h h K + + ( e ) h x + ( e ) ( ) ( e ) e ( x ) ( ) K + x x x h r ( e ) ( e ) dx ( e ) ( e ) ( e ) ( ) e h h h h x K = + + ( e ) h 55

62 ( e ) ( e ) h ( e ) ( ) e r K K ( e ) ( e ) + = ( h ) + h + = ( e ) ( e ) ( e ) ( K ( ) K ) e ( e ) (4.7) dr. Eğer x bölges eşt uzunluğunda k eleman kullanılarak münfert hale getrlmşse, sonuçtak brleşk denklem sstem aşağıdak şeklde yazılablr: K + K + h ( K + K ) h ( K + K ) K + K + K 3 ( K + K 3) = 3 ( K K 3) K K (4.8) Eğer x = de (4.) formunda br ısı yayımı sınır şartı verlmşse, son eleman çn eleman denklemler (4.) ağırlıklı artık formundan alınır. İlk sınır term hmal edlerek ve knc term ısı yayımı şartı le değştrlerek, ( en ) ( en ) ( e ) ( ) n e n ( K ( ) + K ) h en ( e ) ( ) n e h + h = n (4.9) elde edlr. 56

63 Isı yayımı sınır şartı ağın her hang br veya her k sınırında da uygulanablr; (4.6), (4.7), ve (4.9) denklemler her hang br ağda (düzgün veya değl), değşken letkenlk ve her hang br veya her k sınırdak ısı yayımı çn geçerldr. Ağın düğüm koordnatları ve çeştl h, ve K(x) problem verler tanımlanarak özel br çözüm elde edleblr. 4. Uygulama Denklem (4.9) u K ( x ) n 4 le 6 W / m arasında lneer olarak değştğn, x = de h = W m,, ve =39.8º olduğunu kabul ederek çözelm. Bu verler çn, problemn tam çözümü º ısı yayım yüzey sıcaklığı verr. Önce, problem olablecek en kaba ızgara, yan br lneer eleman kullanarak çözerz. Problem verlern (4.6) denklemne koyarak, 4, 5 + = elde ederz. Bu da = 5 5 (4.3) şeklne ndrgenr. Denklemler bu noktada sağ taraftak sınır şartı dkkate alınmadan çözüleblr. Çözüm = =4º verr, yan (x)=sabt=. Bu sabt sıcaklık sağ sınır 57

64 şartı çn elde edleblecek çözümün tamamen aynısıdır. Denklem (.8) ve Denklem (4.) y zleyen tartışmayı hatırlarsak, (4.3) nın sağ tarafındak knc eleman aşağıdakne karşılık gelmektedr: d K = = dx x Bu o uçta br sabt sıcaklık şarttır dır. Böylece, sabt br sıcaklık sınır şartının yokluğunda k Drchlet şartı dye adlandırılır, her hang br faalyet yapılmazsa, sonlu eleman metodu otomatk olarak sıfıra gden br türev uygulaması yapar (kendlğnden). Eğer şmd Drchlet şartı ()= =39.8º uygularsak, (4.3) denklem aşağıdak gb değşr: = 39.8 (4.3) ve çözüm =99.37º verr. am çözümün =º olduğu hatırlanırsa, tek elemanlı çözümün hatası.7 % den azdır. Bu bze sonlu eleman metodunun aşağıdak akış sınır şartları genel formunu a, b, ve c katsayılarının keyf değerler çn etkl olarak oluşturduğunu göstermektedr: d a + b + c = (4.3) dx Mevcut problemde, a=h, b=-k(), ve c=-h. (4.3) formundak şartlar a= ken Neumann şartları olarak ve a ve b se karışık şartlar olarak blnr; eğer b= se zaten gösterdğmz Drchlet şartını elde ederz (Haberman 987). Şmd lneer bçm fonksyonları kullanan düzgün k elemanlı ağ çn sonlu eleman çözümünü üretelm. Eleman ve problem verler şmd, 58

65 ( ) e elemanı çn : : = e e h =, 5 K K ( e ) ( e ) 4 = 6 ( ) e elemanı çn: : = e e h =, 5 K K ( e ) ( e ) 5 = 6 olsun. Denklem (4.6) kullanılarak, e elemanı (.5) (4+ 5) + =.4 9 4, + = ( ) 4, 9 + = Denklem (4.7) kullanılarak, e elemanı ( e ) (5+ 6) = ( e ) (.5) 59

66 = 3 verr. Denklemler brleştrerek, = = 3 elde eder ve Drchlet şartı 3 =39.8º uygulayarak = ve 99.8 = çözümünü elde ederz. 6

67 (4.3) çözümü le karşılaştırarak, ısı yayım yüzey sıcaklığı çndek hata.7% den.% ye gerlemştr. Sınır değer problemlerne uygulanan lneer bçm fonksyonları knc dereceden doğru sonuçlar verr, yan düğüm sıcaklıklarındak hata ağın düzgün olarak mükemmelleştrlmes le (h (e) ) azalır. Yukarıdak örnekte, h (e) nn yarıya ndğn ve sonuç hatanın yaklaşık dört kat, yan (/) azaldığı not edlmeldr. Yöntemn uygulanmasını sağlayan Blgsayar (FORRAN) kodu EK de verlmştr. 6

68 4.3 SONUÇ Sonlu eleman metodunun altı çzlen prensb ağırlıklı artıklar metodunda bulunmaktadır. En çok kullanılan k metot Raylegh-Rtz ve Galerkn metotlarıdır. Raylegh-Rtz metodu varyasyonlar hesabına dayanmaktadır, bununla brlkte karmaşık denklemlerde metodu kullanmak zordur. Galerkn metodunun kullanılması kolaydır ve dferensyel denkleme uygun br yaklaşım vermes garantldr. Galerkn metodunda, bağımlı değşken çözüm bçm blnyor kabul edlerek br sonlu eleman sers yaklaştırması vasıtasıyla fade edlr ve belrlenecek sonlu sayıda parametreye dayanmaktadır. Dferensyel denkleme yerleştrlerek, yaklaştırma ağırlık fonksyonları le çarpılan ve ağırlık fonksyonlarına tam anlamda ortogonal olması gereken br artık fonksyonu meydana getrr, yan, W ( x) R(, x) dx= Burada R(,x) artık hata fonksyonu, doğru çözüm (*) tam çözümü yaklaştırması dferensyel denkleme konularak elde edlen fonksyon ve W(x) ağırlıktır. Blnmeyen parametreler belrlememze ve böylece çözüme br yaklaştırmaya zn veren bu fadelerden br lneer denklem takımı üretlr. Parçalı ntegrasyon kullanılarak knc türev termlernn azaltılması zayıf fade formülasyonunu verr. Zayıf fade formülasyonunun uygulanması genş br problem grubuna yayılablen genel br algortma üretr. Sonlu eleman metodunun resm temel Galerkn n ağırlıklı artık prosedürüdür. Sonlu eleman metoduna at temel araçların çoğu br boyutlu problemlern analznden gelştrleblmektedr. 6

69 KAYNAKAR Brkhoff, G., Schultz, M.H. and Varga, R.S. 968, Pecewse Hermte nterpolaton n one and two varables wth applcatons to partal dfferental equatons, Numer. Math,, Braess, D. 7. Fnte Elements heory, Fast Solvers, and Applcatons n Elastcty heory, ambrdge Unversty Pres, New York. arlet, P.G. and ons, J.. 99 Hand Book of Numercal Analyss Vol. Fnte Element Methods, Elsever Scence B.V, Netherlands. lough, R.W. 96, he fnte element method n plane stress analyss, n: Proceedngs nd ASE onference on Electronc omputaton, Pttsburgh, PA. ourant, R Varatonal methods for the soluton of problems of equlbrum and vbraton, Bull. Amer. Math. Soc. 49, -3. Dennemeyer, R İntroducton to Partal Dfferental Equatons and Boundary Value Problems, McGraw-Hll. Fsh, J. and Belytschko,. 7. A Frst ourse n Fnte Elements, JohnWley & Sons, England. Haberman, R Elementary Appld partal Dfferental Equatons, Prentce Hall. Hutton, D.V. 4. Fundamentals of Fnte Element Analyss, he McGraw Hll ompanes. Johnson Jr, M.W. and Mclay R.W 968. onvergence of the fnte element method n the theory of elastcty, J. Appl. Mech. E, 35, Kwon, Y.W. and Bang, H.. he Fnte Element Method Usng Matlab, R Pres. Kncad, D. and heney, W Numercal Analyss, Brooks/ole. 63