Birinci mertebe genel denklik denklemlerinin eşdeğerlik dönüşümleri

Transkript

1 tüdergs/d mühendslk Clt:4 Sayı: Nsan 2005 Brnc mertebe genel denklk denklemlernn eşdeğerlk dönüşümler Saadet Seher ÖZER * Erdoğan ŞUHUBİ İTÜ Fen Edebyat Fakültes Mühendslk Blmler Bölümü Ayazağa İstanbul Özet Verlmş br deransyel denklemler grubu key onksyonlar parametreler çeryorsa elmzde aynı yapıda denklemler grubunun ales var demektr. Eşdeğerlk grupları verlen denklem alesn değşmez bırakan dönüşümlern grubu olarak tanımlanır. Smetr dönüşümler deransyel denklemlern br çözümünü başka çözümlere götürürken eşdeğerlk dönüşümler alenn br üyesn dğer üyesne götürür ve denklemler grubunun br çözümünü aynı alenn başka grubunun çözümüne dönüştürür. Çalışmada brnc mertebe genel denklk denklemler sstemnn eşdeğerlk dönüşümler zovektör yöntem le ncelenmştr. Klask sürekl zğn br çok denklem bu grupta ade edlebldğnden sonuçları genş uygulama alanına sahptr. Eşdeğerlk dönüşümlernn belrleyc denklemler elde edldkten sonra açık çözümler belrlenmş genel şema elektromagnetzmanın Maxwell denklemlerne uygulanmıştır. Anahtar Kelmeler: Eşdeğerlk dönüşümler denklk denklemler zovektör yöntem. Equvalence transormatons o the general rst order balance equatons Abstract I a gven set o equatons contans some arbtrary unctons or parameters we have n act a amly o sets o equatons o the same structure. Almost all eld equatons o classcal contnuum physcs possess ths property snce they descrbe certan common or smlar behavors o dverse materals. Equvalence groups are dened as groups o contnuous transormatons whch leave a gven amly o equatons nvarant. In other words they map an arbtrary member o the amly onto another member o the same amly and they transorm a soluton o a set o equatons onto a soluton o another set n the same amly whereas the symmetry transormatons map a soluton o a system to another soluton o the same system. In ths work equvalence transormatons o rst order general balance equatons nvolvng arbtrary number o dependent and ndependent varables are nvestgated by usng sovector method. To study system o balance equatons occupes a prvleged poston snce many equatons n classcal physcs are o ths orm. The method conssts o determnng sovector elds o a closed deal o certan exteror orms dened on a properly extended manold. Isovector elds are dened as such vector elds whose orbts generate transormatons under whch the deal remans nvarant.. Ater obtanng determnng equatons o equvalence transormatons ther explct solutons are ound. The general results are appled to Maxwell equatons. Keywords: Equvalence transormatons balance equatons sovector method. * Yazışmaların yapılacağı yazar: Saadet Seher ÖZER. ozers@tu.edu.tr; Tel: (212) Bu makale brnc yazar taraından İTÜ Fen Edebyat Fakültes'nde tamamlanmış olan "Eşdeğerlk dönüşümler ve sürekl ortamlar mekanğnde bazı uygulamaları" adlı doktora teznden hazırlanmıştır. Makale metn tarhnde dergye ulaşmış tarhnde basım kararı alınmıştır. Makale le lgl tartışmalar tarhne kadar dergye gönderlmeldr.

2 S. S. ÖzerE. Şuhub Grş 1870'lerde Norveçl matematkç Sophus e taraından ortaya atılan "Sürekl Gruplar" kr geçtğmz yüzyılda matematğn tüm alanlarında zkte mühendslkte ve dğer matematk temell tüm blmlerde dern etk yaratmıştır. e'nn sürekl smetr gruplarının uygulamaları cebrk topolo deransyel geometr nvaryant teor özel onksyonlar sayısal analz klask mekank kuantum mekanğ görecelk teors sürekl ortamlar mekanğ ve dğer alanları çerr. Teor ve uygulama alanlarının modern uygulamalı blm ve matematğe katkıları her geçen gün artan uygulamalar le sınırlarını genşletmektedr. Br kez deransyel denklemn smetr grubu belrlennce br çok uygulama ardından geleblr. Grubun tanım özellkler kullanılarak blnen br taneden yen çözümler sstem yapılandırılablr. Smetr grubu bu nedenle eğer br dğerne br grup elemanı aracılığıyla dönüştürüleblyorsa çözümlern değşk smetr sınılarını sağlar. Alternat olarak grup yaklaşımı key br parametre ya da br onksyona bağlı deransyel denklemler alesnn sınılandırılmasında da kullanılablr. Böyle denklemler zk veya matematk olarak genş yelpazedek denklemler ade edeblmektedr. Klask sürekl zğn hemen hemen tüm alan denklemler ayrı malzemelern genel ya da benzer davranışlarını tanımladıkları çn bu özelğe sahptr. Eğer verlmş br denklem kümes bazı key onksyon ya da parametreler çeryorsa elmzde aynı yapıda denklemler kümesnn br alesnn var olduğu anlamına gelr. Eşdeğerlk Grupları ya da Denklk grupları olarak adlandırılan grup yapıları denklemn verlmş br alesn değşmez bırakan sürekl dönüşümlern br grubu olarak tanımlanır. Başka br deyşle dönüşümler alenn key br üyesn aynı alenn br başka üyesne götürür ve denklemlern br kümesnn çözümünü aynı aledek başka br kümenn çözümüne dönüştürür denleblr. Bu anlamda smetr dönüşümler le benzerlk taşımasına karşın amaçları ve sonuçları çerçevesnde arklıdır. Çalışmada brnc mertebe genel denklk denklemler sstemnn eşdeğerlk dönüşümler ncelenmştr. Key sayıda bağımlı ve bağımsız değşken çeren genel denklk denklemler sstem: n 1 2 N +Σ = = K = K (1) şeklnde ade edlr. Σ ve Σ n tane bağımsız u değşkennn düzgün x ve N tane bağımlı onksyonlarıdır. Tekrarlanan endsler bu endslern değer bölges üzernde toplamları göstermektedr [Ensten uylaşımı]. Klask zktek br çok alan denklem n=4 çn (1) le verlen yapıya uyar. Brnc mertebe denklk denklemler (1)'n br özel hal olarak u + + Σ = 0 (2) şeklnde yazılablr. Bu tür denklemler çn x = x( x u) u= u( x u) şeklndek smetr dönüşümü ( xu ) +Σ ( xu ) = 0 ( xu ) +Σ ( xu ) = 0 anlamına gelp u=u(x) çözümünü denklemn u = u(x) çözümüne götürmekte ken x = x( x u ) u= u( x u ) şeklndek eşdeğerlk dönüşümler se ( xu ) +Σ ( xu ) = 0 ( xu ) +Σ ( xu ) = 0 anlamına gelmekte ve verlen br deransyel denklemn u=u(x) çözümünü aynı aleden başka br denklemn u = u(x) çözümüne dönüştürmektedr. Eşdeğerlk dönüşümler kavramının ad ve kısm türevl deransyel denklemler teorsnde blnmesne karşın lk sstematk yaklaşım Ovsannkov a (1982) dayanır. teratürde 94

3 Eşdeğerlk dönüşümler deransyel denklemlern smetrlern belrlemek çn br çok yöntem kullanılmaktadır. (İbragmov 1994 Bluman ve Kume 1989). Smetr gruplarını belrlemekte br çok blgsayar programı da kullanılmaktadır. Bu konuda blg Edelen (1981) ve İbragmov dan (1996) ednleblr. Bu çalışma kapsamında brnc mertebe genel denklk denklemlernn eşdeğerlk dönüşümlern belrlemek çn lk kez Harrson ve Estabrook (1971) taraından ortaya konulan klask yöntemlere alternat geometrk br yaklaşım kullanılmıştır. İzovektör yöntem olarak adlandırılan bu yaklaşım Cartan'ın (1945) kısm türevl deransyel denklemler sstemne eşdeğer dış ormlar tanımlanması esasına dayanır. Yöntem denklemn bağımlı ve bağımsız değşkenler le gerekl mertebeden türevlernn oluşturduğu katmanın teğet uzayında seçlen br vektör alanına göre deransyel denklem temsl eden dış ormların oluşturduğu kapalı dealn e türevnn değşmez kalması esasına dayanır. Verlmş br kısm türevl deransyel denklem alesne bağlı eşdeğerlk grubunun sonsuz küçük üreteçler dış katman üzernde tanımlanmış dış cebrn br dealnn zovektör alanının bleşenler olarak tanımlanır. İzovektör alanları deransyel denklemler sstemnn zogrubu denlen br parametrel dönüşüm gruplarını üretr. Dönüşüm grubu uygun özellklere sahpse lneer olmayan kısm türevl deransyel denklemler lneer kısm türevl deransyel denklemlere dönüştürür. Yöntemn klask yöntemlere göre br avantaı brbrnn tekrarı şeklnde olan br takım azlalık belrleyc denklemler otomatk olarak eleyp daha az sayıda belrleyc denklemle çalışılmasını sağlamasıdır. Yöntem Harrson ve Estabrook tan sonra br çok araştırmacı taraından gelştrlmştr. Bunlar çersnde Edelen ( ) ve Şuhub nn (1991) katkıları önemldr. Şuhub (1999) key sonlu sayıda bağımlı ve bağımsız değşken çeren knc mertebe denklk denklemlernn genel br ales çn eşdeğerlk dönüşümlernn gruplarını üretecek belrleyc denklemler elde etmş ve bu denklemlern genel çözümlern bulmuştur (Şuhub 2000). Genel şema tek boyutlu nonlneer dalga denklemne ve homoen hperelaststeye uygulanmış ayrıca smetr dönüşümlernn eşdeğerlk dönüşümlernden doğrudan belrlenebldğ gösterlmştr. Bu çalışmada brnc mertebe genel denklk denklemler sstemnn eşdeğerlk grupları ele alınmış elde edlen sonuçlar elektromagnetzmanın Maxwell denklemlerne uygulanmıştır. Brnc mertebe denklk denklemler sstemn ade eden dış cebr tanımlanmış zovektör yöntem kullanılarak eşdeğerlk gruplarının dönüşümlern üretecek olan sonsuz küçük üreteçlere bağlı belrleyc denklemler key sayıda denklem barındıran sstem çn elde edlmştr. Ardından belrleyc denklemlern açık çözümler bulunmuştur. Brnc mertebe denklk denklemlerne br uygulama olarak elektromagnetzmanın Maxwell denklemler değşk elektromagnetk ortamları ade eden bünye denklemler le desteklenmş ve eşdeğerlk dönüşümlern üretecek olan zovektör alanı bleşenler belrlenmştr. İzovektör alanı bleşenlernn belrleyc denklemler (1) le verlen brnc mertebe genel denklk denklemlernn eşdeğerlk dönüşümlern belrleyeblmek çn Σ ve Σ bağımsız değş- kenler gb ele alınmalıdır. Bunların onksyonel bağlılıklarını göz önüne alablmek çn s = σ t = = τ = (2) n şeklnde yen değşkenler tanımlayalım. M = R { x } koordnat örtülü bağımsız değşkenler n N uzayı olsun. G = R R { x u } koordnat örtülü gra uzayıdır. M katmanına Σ Σ onksyonları ve bunların onksyonel bağlılıklarını ade eden (2) yen değşkenler de eklenerek genşletlmş K katmanı oluşturulur. Bu şeklde oluşturulan katmanın koordnat örtüsü { x u Σ s σ t τ } Σ (3) olacaktır. K katmanının teğet uzayında genel br vektör alanı V T( K)

4 S. S. ÖzerE. Şuhub V = X + U + S + T + S + S + T + T s σ t τ (4) şeklnde temsl edlr. Burada vektör alanının bleşenler (3) değşkenlernn onksyonlarıdır. Λ ( K) K katmanı üzernde br dış cebr göstersn. (1) denklem sstemne eşdeğer Λ ( K) cebr üzernde tanımlanacak olan dış deransyel ormlar aşağıdak şeklde yazılablr: d s dx σ du d t dx τ du Ω = Σ Ω = Σ ω = dσ µ +Σ µ. (5) Burada Ω ve Ω ormları değme 1-ormları olarak adlandırılırken ω denklk n-ormları olarak adlandırılır. Formların tanımlarında bulunan µ M uzayında hacm ormudur µ se n Λ 1 ( M ) orm uzaylarının baz vektörlerdr ve 1 2 n µ = dx dx K dx µ = µ şeklnde tanımlanırlar. Burada dış çarpım ç çarpım operatörüdür. (5) ormlarının dış türevler σ τ dω = ds dx d du dω = dt dx d du dω = dσ µ şeklnde hesaplanır. (5) ormları ve bunların yukarıda verlen dış türevlernden oluşturulan I deal kapalıdır: I( Ω Ω ω dω dω dω ). (6) T(K) teğet uzayının (4) le verlen vektör alanı ancak ve ancak (6) kapalı dealnn üreteçlernn V vektör alanına göre e türevler dealn çersnde kalıyor se zovektör alanıdır: I I. V Burada V operatörü V vektör alanına göre e türevn ade etmektedr. e türev ormun derecesn değştrmedğnden dealn üreteçlernn e türevlernn dealn çersnde kalması çn V V Ω = Ω + Ω Ω = M Ω + M Ω ω = ν ω +Ω C + dω D V +Ω C + dω D olacak şeklde n 1 C C Λ ( K) n 2 D D K 0 (7) M M ν Λ ( K) Λ ( ) ormla- rının bulunması gerekldr. (5) le tanımlanan değme 1 ve denklk n-ormları dealn çersnde kalıyor se e türev ve dış türev operatörler d = d V V şeklnde komütat olduklarından bunların türevler olan dω dω dω ormları da dealn çersnde kalacaktır. Bu nedenle eşdeğerlk gruplarının zovektör alanı bleşenlern belrlemek çn (7) eştlklernn sağlanması yeterldr. Burada hesaplamalarda e türevnn blnen V = dv ( ) + V d bağıntısı kullanılacaktır. Ω ormunun ve türevnn V vektör alanına göre ç çarpımları σ S σ V Ω = S X s U V dω = S dx + X ds du + U d şeklnde hesaplanır. Bunların e türev eştlğnde kullanılması le Ω değme 1-ormunun e türev 96

5 Eşdeğerlk dönüşümler VΩ = + S + U dσ df S dx X ds du olarak belrlenr. Burada σ F = S X s U (8) şeklnde tanımlanmıştır. e türev eştlğnn sağ taraı (7) 1 eştlğnde değme ormlarının yerlerne yazılması le belrlenr. Eştlğn her k taraında bulunan bağımsız ormların katsayılarının eştlenmes le F t F = F = 0 = 0 τ F = F F k F = + k + S s t F F F = + σ + τ (9) S (10) F X k + = 0 (11) k s U F + = 0 σ Ω ormu- eştlkler elde edlr. Benzer şeklde nun ncelenmes le M G s G = M G = 0 = 0 σ G = G G G = + + T s t G G G = + σ + τ (12) (13) T (14) X U G + = 0 (15) t G + = 0 τ (16) denklemler elde edlr. Burada G onksyonu τ G = T X t U (17) şeklnde tanımlanmıştır. Yukarıdak denklemlerden F = X s U σ + F ( x u Σ Σ ) G = X t U τ + G ( x u Σ Σ ) yazılablr. (8) ve (17) tanımları dkkate alınırsa S = F T = G olduğu görülür. Bu halde zovektör alanının S T bleşenlernn onksyonel bağlılıkları S = S ( x u Σ Σ ) T = T ( x u Σ Σ ) (18) şeklnde belrlenmş olur. İzovektör alanının X ve U bleşenlernn yapısı se benzer şeklde (1112) ve (1516) eştlklernden X = X ( x u Σ Σ ) U = U ( x u Σ Σ ) (19) şeklnde belrlenr. Öte yandan ω ormunun e türev benzer şeklde V ω = T µ + ( ds +Σ dx ) µ dx dσ µ şeklnde belrlenr. Burada zovektör alanının S ve X bleşenlernn (18) 1 ve (19) 1 eştlkler le belrlenen onksyonel bağlılıkları dkkate alınarak türevler yerlerne yazılır ve değme 1-ormları tanımından elde edlen

6 S. S. ÖzerE. Şuhub dσ =Ω + s dx + σ du Σ =Ω + + d t dx τ du dış türevler kullanılır se denklem Γ µ + ( G +Γ τ ) du µ du du +Γ µ +Γ Ω µ Ω Ω +Γ Ω k + σ du Ω µ = 0 k k µ kdu µ +Γ Ω µ Ω Ω µ k şeklnde yazılablr. Γ G Γ Γ Γ Γ onksyonları zovektör bleşenler cnsnden Γ = + +Σ + S S T +Σ + k k s S k + +Σ t ( s s k k s s ) ( t s t s ) S k ( s s Γ = +Σ k ) (20) (21) k S l l Γ = +Σ ( k k) l k l m k ( sk sm k) s + k l k k s + tk t k ηm η Γ k = σ k σ ηm + τ η + k Γ = σ + σ (23) η + τ η σ şeklnde tanımlanmışlardır. Öte yandan e türev eştlğnn sağ taraı (7) 3 denklemnde gerekl yerlere değme 1-ormları denklk n- ormları ve türevlernn yazılması le Vω = ν [ Ω µ + s µ + σ du µ +Σ µ ] +Ω C +Ω C ( ds dx + dσ du ) D ( dt dx + dτ du ) D şeklnde yazılablr. e türevnn her k taraında bulunan bağımsız ormların katsayılarının eştlenmes le G S S = +Σ + +Σ k + ( k σ s k k k sk ) ( σ s s ) k σ + ( σ s σ s )+ ( t k σ k t σ k ) k k (22) D C C = 0 D = 0 k k = ( Γ ν ) µ Ω +Γ du µ =Γ µ ( Ω + σ du ) µ k belrlenr. Gerye kalan termler se zovektör alanı bleşenler cnsnden ν s Γ = ( Σ + ) (24) 98

7 Eşdeğerlk dönüşümler G +Γ τ ν σ = 0 (25) [ ] Γ [ ] = 0 (26) denklemlern verr ve bu denklemler eşdeğerlk dönüşümlernn belrleyc denklemler olarak adlandırılır. Burada [ ] notasyonu söz konusu endsler üzernde antsmetr olduğunu ade etmektedr. İzovektör alanı bleşenlernn açık çözümler Yukarıda (24-26) eştlkler le elde edlen zovektör alanı bleşenlernn açık çözümlern belrleyeblmek çn lk olarak (26) denklem ele alınsın. Denklemde bulunan Γ onksyonu zovektör alanı bleşenler cnsnden tanımı (23) eştlğnde verlmşt. Γ onksyonunun tanımı yerne yazılırsa denklem açık olarak η k k + k η k k ση + l l θ ξ θ ξ l l l σθ σξ θ ξ + η k η k η k θ ξ k η k σ ξ τ θ = 0 η şeklnde yazılablr. Burada X zovektör bleşennn (19) 1 le belrlenen onksyonel bağlılığı dkkate alınarak σ ve τ değşkenlerne bağlı olmadığından yukarıdak denklem bu değşkenler cnsnden br polnom ades yapısındadır. Bu halde denklemn sııra eşt olması ancak bu değşkenlern katsayılarının sııra eşt olması le mümkündür: η k k k η k 0 = θ ξ k l k l η η l θ ξ l 0 = θ ξ k η η k η k θ ξ k = 0. η (27) (28) (29) (27) denklemnde ( k ) ve ( η ) endsler üzerne büzülme le u = 0 eştlğ (28) ve (29) eştlklernde se ( l ) ( θ ) ve ( ξ ) endsler üzerne büzülme le sırasıyla = 0 = 0 η denklemler elde edlr. Bu halde zovektör alanının X bleşennn (19) 1 le belrlenmş olan yapısı daha da daralarak X = X ( x ) (30) şeklnde belrlenr. Öte yandan (24) denklemnde (20) le tanımlanan Γ onksyonun yerne yazılması le denk- lemn sol taraının sadece τ ( x u Σ Σ s t )

8 S. S. ÖzerE. Şuhub değşkenlernn br onksyonu olduğu görülür. Bu halde denklemn sağ taraında bulunan ν onksyonu da bu değşkenlern br onksyonu olarak ele alınmalıdır br başka deyşle onksyonu σ değşkenlerne bağlı olmamalıdır. Öte yandan (25) belrleyc denklemnde gerekl yerlere (21) ve (22) le tanımlanmış onksyonların yazılması le denklem açık olarak S S S + τ ν σ = k S k şeklnde yazılablr. zovektör bleşen ve ν onksyonunun σ η lara bağlı olmadığı blndğnden yukarıdak denklem S = 0 S = 0 k S + k = ν denklemler le ade edleblr. İlk k denklemden zovektör alanının S bleşen üzernde S = S ( x Σ ) (31) sonucu elde edlrken son eştlkden ν onksyonu 1 S n 1 ν = + n n şeklnde yazılablr. Öte yandan 1 S = n ν yen değşken tanımı le S = + k (32) denklem yazılablr. Denklem Σ ya göre türetlp sol taraın smetrk olması neden le sağ tara çn k = k eştlğ yazılableceğ açıktır. Buradan onksyonunun yapısının = ( x ) şeklnde olması gerektğ görülür. (32) denklemnn ntegre edlmes le zovektör alanının S bleşen S = ( x ) Σ + Σ + g ( x ) olarak belrlenr. Son olarak (24) belrleyc denklemnde yukarıda elde edlen zovektör bleşenlernn de kullanılması le T bleşen ( ) 2 x X = ( ) Σ Σ Σ T x g ( x ) şeklnde elde edlr. Böylelkle brnc mertebe genel denklk denklemler sstemnn eşdeğerlk dönüşümlern belrlemek çn gerekl zovektör alanı bleşenler X = X ( x ) U = U ( x u Σ Σ ) = Σ + Σ + S X g = Σ Σ Σ T X g (33) 100

9 Eşdeğerlk dönüşümler eştlkler le belrlenmştr. Burada = ( x ) g = g ( x ) yapısında key onksyonlardır. Eşdeğerlk dönüşümler dx = X ( x ) du = U ( x u Σ Σ ) dσ = S ( x Σ ) dσ = T ( x Σ Σ ) ad türevl deransyel denklem sstemnn x (0) = x u (0) = u Σ (0) =Σ Σ (0) =Σ başlangıç koşulları altında ntegre edlmes le belrlenr. Maxwell denklemlernn eşdeğerlk dönüşümler Elektromagnetzmanın Maxwell denklemlernn smetr grupları br çok araştırmacının lgsn çekmştr. Maxwell denklemlernn smetrler üzerne yapılan çalışmalar orentz Poncaré ve Ensten'e dayanır. Bateman (1909) ve Cunnngham (1909)'ın çalışmaları Maxwell denklemlernn vakum halnn 15 parametrel konormal altgrubu çeren 16 parametrel grup altında değşmez olduğunu göstermş ve ardı sıra gelen br çok benzer çalışmaya ışık tutmuştur. Maxwell denklemlernn vakum halnn smetr grubu üzerne yapılan en öneml çalışmalardan brs Fushchch ve Nktn'n denklem sstemnn Poncaré grubu P(13) altında değşmez olduğunu gösterdkler çalışmadır (Fushchch ve Nktn 1987). Maxwell denklemlernn Poncaré grubu altında değşmez kalablmes çn bünye denklemlernn özel hallernn kısıtları Fushchch ve Tsra (1985) taraından ncelenmştr. Ayrıca Maxwell denklemlernn vakum halnn korunum yasalarının sınılandırılması Anco Pohanpelto (2001) ve Anco ve Bluman (1997) taraından yapılmıştır. teratürde sıklıkla Maxwell denklemlernn vakum halnn smetrler ncelenmştr. Bu çalışmada brnc mertebe genel denklk denklemlernn sürekl ortamlarda br uygulaması olarak Maxwell denklemler en genel hal le ele alınmış eşdeğerlk dönüşümler ncelenmştr. Rd ortamlarda elektromagnetzmanın Maxwell denklemler e e k k E H k k + B& = 0 D& J = 0 B D = 0 = q (34) olarak blnr. Burada E elektrk alan vektörünü H magnetk alan şddet vektörünü D elektrk yerdeğştrme vektörünü B magnetk ndüksyon vektörünü J toplam akım yoğunluğunu q se serbest yük yoğunluğunu temsl etmektedr. e k blnen permütasyon sembolüdür () o = şeklnde x lere göre kısm x türev belrtmektedr. () ȯ = () o olup zamana t göre kısm türev ade etmek çn kullanılmıştır. Maxwell denklemler ( E H B D J ) = 1 23 şeklnde 15 blnmeyen büyüklük barındırmasına karşın sadece 8 denklemden oluşmaktadır. Fzk anlamda alanın uyarıcı kaynakları olarak da adlandırılan q ve J tamamen blnyor olsa ble sstemde blnmeyen sayısı 12 olacaktır. Sstemn çözüleblr olması çn bazı ek denklemler le desteklenmes gerekr. Öte yandan Maxwell denklemler özel br elektromagnetk alanı tüm özellkler le göstermeye yeterl değldr. Ortamın elektromagnetk özellkler bu denklemlerde yer almaz. Sstem belrl yapablmek çn eklenmes gereken denklemler ortamın makroskopk özellklern ade eden br takım denklemler olacaktır. Elektromagnetk ortamın özellklern temsl eden bu denklemler

10 S. S. ÖzerE. Şuhub genel adıyla bünye denklemler adlandırılır. Bu çalışmada Maxwell denklemler k arklı bünye denklem ele alınarak ncelenmş eşdeğerlk dönüşümlernn zovektör alanı bleşenlernn yapısı belrlenmştr. Yukarıda (34) denklemler le verlen Maxwell denklemlern (1) denklk denklemler sstem şeklnde ade edeblmek çn bağımsız değşkenler x ( = 123) t şeklnde bağımlı değşkenler x ler { } u ları se { u 1 = E 1 u 2 = E 2 u3= E3 u = H u = H u = H şeklnde seçmelyz. Öte yandan brnc mertebe denklk denklemler sstemnn Σ ve Σ onksyonları } Σ = e kek Σ 4 = B Σ = 0 Σ a = e( a 3) k Hk Σ a4 = ( a 3) D Σ a = ( a 3) J Σ 7 = B Σ 74 = 0 Σ 7 = 0 Σ = D Σ = 0 Σ = q (35) şeklnde tanımlanablr. Burada q = q ( x t) k = 123 = 123 a = 456 olarak alınmalıdır. Maxwell denklemlernn eşdeğerlk dönüşümlernn zovektör alanı genel hal le V = φ + T + E + H + B x t E H B + D + J + Q D J q olarak yazılablr. Burada Maxwell denklemlernn zovektör alanı bleşenler le genel denklk denklemler sstemnn (4) le verlen zovektör alanı bleşenler arasında 1 1 E k = e ks H k = e( a 3) ksa (36) 2 2 B = S = S D = S = S (37) ( a 3) a4 J Q=- (38) = ( a 3) Ta T8 lşkler olduğu (35) tanımlarından açıktır. Ayrıca bu tanımlardan denklk denklemler sstemnn zovektör alanı bleşenler üzernde T = T7 = S74 = S84 = 0 (39) S = 0 S = (40) a ( a 3) 0 kısıtları olması gerektğ kolaylıkla görülür. Elektromagnetk ortamın elektrk yerdeğştrme magnetk ndüksyon ve toplam akım yoğunluğu vektörlernn elektrk ve magnetk alan vektörlerne kesn nonlneer bağlılığı le ade edleblen ve D= DEH ( ) B= BEH ( ) J= JEH ( ) şeklnde verlen edlen homoen bünye denklemler altında genel hal (2) le tanımlanmış ek değşkenler σ m = e m σ an = e( a 3) n B B σ7 m = σ4m = σ7 n = σ4n = Em Hn D q σ8 m = ( a 3) σa4m = t8 = Em D q σ8 n = ( a 3) σa4n = t84 = Hn t J J τ τ H am = ( a 3) an = ( a 3) Em olarak belrlenr ken bazıları özdeş olarak sıır olacaktır: s = s = s = s = s = s = s a a4 a4 = s = s = s = s = s = 0 σ a n = σ = 0 am t = t = t = t = t = t = a a4 τ = τ = τ = τ = τ = τ = 0. m n 7m 7n 8m 8n Bu halde bunlara bağlı zovektör alanı bleşenlernn de özdeş olarak sııra eşt alınması gerekr: n 102

11 Eşdeğerlk dönüşümler S = S = S = S = S = S = S a a4 a4 = S = S = S = S = S = 0 a S = S = S = S = 0 m n am an T = T = T = T = T = T = a a4 T = T = T = T = T = T = 0. m n 7m 7n 8m 8n Burada σ m ve σ an değşkenler permütasyon sembolü şeklnde belrlendğnden alacağı değerler {-101} olacaktır. Bu nedenle bunlara bağlı zovektör bleşenler de özdeş olarak sıır alınmıştır. Ek zovektör alanı bleşenler ( ) eştlkler le elde edlmşt. Yukarıdak kısıtların ve (3940) kısıtlarının (33) le belrlenmş olan zovektör alanı bleşenler adelernde (35) tanımları göz önüne alınarak gerekl düzenlemelern yapılması le sonuç olarak böyle br elektromagnetk ortamın Maxwell denklemlernn eşdeğerlk dönüşümlernn zovektör alanı bleşenlernn yapısı açık olarak φ = ax + a T = t+ 1 2 H = E + h H + h E = E + D = B + dd+ d B = bb + b J = mj Q= q şeklnde belrlenr. Burada tansör ve vektör büyüklüğündek katsayılar sabt değerldr. Eşdeğerlk dönüşümler se dt dx = 1t + 2 = ax + a db dd = bb + b = B + dd + d de dh = E + = E + h H + h dj dq = mj = q ad türevl deransyel denklem takımının t (0) = t x(0) = x E(0) = E H(0) = H B(0) = B D(0) = D J (0) = J q (0) = q başlangıç koşulları altında ntegre edlmes le belrlenr. Burada ε grup parametresdr. Br başka örnek olarak elektromagnetk ortamın homoen olmadığı varsayımı altında bünye denklemler D= D( x t E H) B= B( x t E H) J = J( x t E H) (34) şeklnde ele alınmıştır. Bu durumda br öncek ncelemeden arklı olarak bünye değşkenlernn koordnatlara ve zamana göre onksyonel bağlılıklarını ade eden ek değşkenler sıır olmayacaktır. Bu halde ek değşkenlerden özdeş olarak sııra eşt olanlar aşağıda verldğ gbdr: s = s = s = s = 0 4 a a4 σ n = σ = 0 am t = t = t = t = τ = τ = τ = τ = τ = τ = 0. m n 7m 7n 8m 8n Bunlara bağlı ek zovektör bleşenler S = S = S = S = 0 4 a a4 S = S = S = S = 0 m n am an T = T = T = T = T = T = T = T = T = T = 0 m n 7m 7n 8m 8n denklemlern sağlamalıdır. (3940) kısıtlarının yukarıdak ek zovektör bleşenler kısıtları le brlkte ncelenmes le Maxwell denklemlernn zovektör alanı bleşenler φ = φ( x t) T = T() t H = E + h H + e & φ D + h k k

12 S. S. ÖzerE. Şuhub E = E e & φ B + k k D = B + dd + d B = bb + b J = mj + & φq + rd + ph + p Q = q + d yapısında belrlenr. Bu sonuçlar br öncek yapı le karşılaştırıldığında elektromagnetk ortamın homoen varsayımının eşdeğerlk dönüşümlernn yapısını oldukça daralttığı yorumu yapılablr. Kaynaklar Anco S.C. ve Bluman G. (1997). Nonlocal symmetres and nonlocal conservaton laws o Maxwell's equatons Journal o Mathematcal Physcs Anco S.C. ve Pohanpelto J. (2001). Classcaton o local conservaton laws o Maxwell's equatons Acta Applcandae. Mathematcae Bateman H. (1909). The transormatons o electrodynamcal equatons Proceedngs o the ondon Mathematcal Socety Bluman G.W. ve Kume S. (1989). Symmetres and derental equatons Sprnger Verlag New York. Cartan E. (1945). es Systèmes Dèrentels Extèreurs et eurs Applcatons Gèometrques Hermann Pars. Cunnngham E. (1909). The prncple o relatvty n electrodynamcs and extensons there o Proceedngs o the ondon Mathematcal Socety Edelen D.G.B. (1980). Isovector methods or equatons o balance Stho Noordho Alphen aan den Rn. Edelen D.G.B. (1981). Programs or calculaton o sovector elds n Reduce 2 envronment Center or applcaton o mathematcs ehgh Unversty. Edelen D.G.B. (1985). Appled exteror calculus Wley New York. Fushchch W.I. ve Nktn A.G. (1987). Symmetres o Maxwell's equatons D. Redel Publshng Company Dortrecht Holland Fushchch W.I. ve Tsra I.M. (1985). On symmetry o nonlnear equatons o electrodynamcs Teoretcheskaya Matematcheskaya. Fzka Harrson B.K. ve Estabrook F.B. (1971). Geometrc approach to nvarance groups and solutons o partal derental equatons Journal o Mathematcal Phycs İbragmov N.H. (1994). CRC Handbook o e group analyss o derental equatons Vol. 1 Symmetres Exact Solutons and conservaton aws CRC Press Boca Raton. İbragmov N.H. (1996). CRC Handbook o e group analyss o derental equatons Vol. 3: New trend n theoretcal developments and computatonal methods CRC Press Boca Raton. Ovsannkov.V. (1982). Group analyss o derental equatons Translaton Edton by Ames W.F. Academc Press New York. Şuhub E.S. (1991). Isovector elds and smlarty solutons or general balance equatons Internatonal Journal o Engneerng Scence Şuhub E.S. (1999). Equvalence groups or second order balance equatons Internatonal Journal o Engneerng Scence Şuhub E.S. (2000). Explct determnaton o sovector elds o equvalence groups or second order balance equatons Internatonal Journal o Engneerng Scence