Öğretim Elemanlarının Atwood Aleti Problemi Çözüm Stratejilerinin Prakseolojik Analizi

Transkript

1 Eğiti Fakültesi Dergisi uludag. edu. tr/univder/uufader. ht Öğreti Eleanlarının Atwood Aleti Problei Çözü Stratejilerinin Prakseolojik Analizi Ahet Yavuz, Gökhan Özdeir Niğde Üniversitesi Eğiti Fakültesi, İlköğreti Bölüü Özet. Bu araştıranın aacı, Newton Mekaniğinin alışılış ve evrensel problelerinden biri olan Atwood Aleti probleine ilişkin öğreti eleanlarının çözü stratejilerini ve tutarlılıklarını analiz etektir. Araştırada kullanılan veriler İngilizce başta olak üzere çeşitli dillerde internet üzerinde yayınlanış 30 öğreti eleanının çözüleridir. Çözüler nitel olarak Prakseolojik Analiz yönteiyle analiz ediliştir. Araştıra sonucunda, üç farklı çözü stratejisi tespit ediliştir. Atwood Aleti probleinin doğasındaki zorluktan kaynaklanan çözüü basitleştire eğilii çözülerdeki bazı güçlükleri ve iç tutarsızlıkları ortaya çıkarıştır. Öğreti eleanlarının izledikleri proble çözü stratejilerinin değişik basaaklarında tutarlı oladıkları gözleniştir. Bu stratejilerin, öğrencilerin anlalı ve tutarlı bir proble çöze stratejisi geliştiresine izin vereyen nitelikte olduğu sonucuna varılıştır. Bu araştıranın sonuçları tartışılış ve anlalı bir çözü için farklı stratejiler öneriliştir. Anahtar Kelieler: Atwood Aleti Problei, Proble Çöze Stratejileri, Öğreti Eleanı Çözüleri, Anlalı Öğrene, Prakseolojik Analiz. Abstract. The purpose of this study is to analyze instructors proble solving strategies about Atwood s Machine that is one of the coon and universal proble of Newtonian Mechanics. The data used in this study is 30 instructors solutions published online in various languages particularly in 357

2 English. The solutions are qualitatively analyzed with Praxeological Analysis. As a result, three different solution strategies are deterined. Because of the difficult nature of the Atwood s Machine proble, the tendency for the siplification of the solutions results in soe difficulties and internal inconsistencies in the solutions. It is observed that the instructors are not consistent in their strategies followed in different steps of the solutions. As a consequent, these strategies do not let students develop eaningful and internally consistent proble solving strategies. The results of this study are discussed with the suggestions about different strategies for a eaningful solution. Key Words: Atwood s Machine Proble, Proble Solving Strategies, Instructors Solutions, Meaningful Learning, Praxeological Analysis. GİRİŞ Fizik eğitiinde fiziksel yasaların proble çözülerinde kullanılası, öğrencilerin teorik bilgileri ne kadar kullanabildiklerini tespit eteye yaraaktadır (Duas-Carré & Goffard, 1997). Anlalı öğrenenin gerçekleşesi için, proble çöze rutin bir etkinlik olarak değil, bilisel bilgiler veya kavralar arasındaki ilişkileri kurayı hedefleyen, çok halkalı antıksal bir zincir olarak düşünülelidir (Reif, 1995). Bir proble, başlangıç duruu ve hedef duruu olak üzere zincirin iki ucu arasında kat edilesi gereken esafedir (Fabre, 1999; Johsua & Dupin, 1999; Leonard, Dufresne, & Mestre, 1996; Newell & Sion, 1972; Özsoy, 2005; Reif, 1983; Reif, Larkin, & Brackett, 1976). Bir problein çözüü ise bu iki duru arasındaki yolun kurulasıdır (Reif, 1995). Proble çöze genellikle bir güçlüğü ifade eder, çünkü bu iki duru arasındaki geçiş kendiliğinden ve basit değildir (Fabre, 1999). Bir fizik problei anlalı öğreneyi sağlayacak değişik stratejilerle çözülebilir. Diğer bir ifadeyle problein başlangıç noktasından hedef noktasına farklı şekillerde ulaşılabilir. Leonard ve diğerlerine (1996) göre bir fizik probleini çözek için öncelikle fizik yasası belirlenir, niçin yasanın kullanılacağı açıklanır ve yasayı kullanak için çözü basaakları oluşturulur. Dhillon a (1998) göre öncelikli olarak bir planlaa yapılır, proble plan doğrultusunda alt problelere ayrıştırılır ve çözü nicel olarak oluşturulup kontrol edilir. Heler, Keith ve Anderson a (1992) göre proble öncelikle görselleştirilir, fiziksel büyüklüklerle tasvir edilir, bir çözü planı oluşturularak gerçekleştirilir ve çözü kontrol edilir. Reif e (1995) göre ise proble nitel olarak analiz edilip çözü nicel olarak oluşturulur ve çözü kontrol edilir. Bu basaaklar daha da detaylandırılabilir. Örneğin Çalışkan, 358

3 Selçuk ve Erol (2006) tarafından geliştirilen Fizik Problelerini Çöze Değerlendire Foru nda olduğu gibi problei çözek için verilenler ve istenilenler yazılır, şekil ve diyagra gibi çoklu gösterilerden faydalanılır ve ilgili yasa kullanılarak çözü elde edilir. Her ne kadar bir fizik probleinin çözüünde izlenilecek farklı stratejiler önerilse de, çözüün tutarlılığı için fizik yasaları doğru olarak kullanılalı ve takip edilen çözü basaakları birbiri ile tutarlı bir bütünlük oluşturalıdır (Reif, 1995). Bazı fizik probleleri sadece bir fizik yasasının kullanılasıyla çözülebilirken, bazı probleler ise karaşık yapıları dolayısıyla birden fazla fizik yasasının kullanılasını gerektirebilir. Newton ekaniğindeki eğik düzle ve yay probleleri gibi alışılış konu sonu probleleri (Duas- Carré & Goffard, 1997; Heller ve diğ., 1992) sadece Newton'un ikinci yasası ile çözülebilir. Fakat Newton ekaniğinin diğer bir alışılış ve evrensel problei olan Atwood aleti problei (Şekil 1) he Newton un ikinci yasasını he de açısal oentuun korunuu ilkesini ilgilendirektedir. Bu proble üniversite birinci sınıfta okutulan ve Genel Fizik I derslerinde ilk ünitelerde yer alan, Newton yasaları bölüünde öğrencilere sunulaktadır. Açısal oentuun korunuu ilkesi ise daha sonra işlenecek olan bir ünitelerde yer alaktadır. Örneğin Atwood aleti problei Serway Fizik I (Serway & Robert, 2002) ders kitabında farklı bölülerde çözülü bir örnektir. Bu proble beşinci ünitede Newton Yasaları bölüünde ve daha sonra onuncu bölüde açısal oentuun incelendiği Katı Cisilerin Döne Hareketi bölüünde yer alaktadır. Yandaki düzenekte, akaranın ve ipin kütlesi ve tü sürtüneler ihal edilektedir. İp esnek değildir. M kütlesi kütlesinden büyüktür. Siste serbest bırakıldığında her iki kütlenin ivesini hesaplayınız. M Şekil 1. Atwood Aleti Problei Örneği. Proble Bir Fransız Üniversitesinde Öğrencilere Dağıtılan Föyden Türkçeye Çevriliştir. Yavuz (2007), yukarıda belirtilen bağlada sunulan Atwood aleti probleine ilişkin uzan çözücü (expert solver) stratejisinin nasıl olabileceğini tartışaktadır. Bu stratejide birbirini taalayan iki tutarlılık söz konusudur. Bunlar (1) yasaların kullanıındaki tutarlılık ve (2) deneysel odelleeden gelen verilerin (ideal duruların) doğru bir şekilde kullanıından gelen tutarlılıktır. Buna göre, uzan çözücü Atwood aleti düzeneğindeki tü fiziksel sisteleri farklı fizik yasalarını doğru kullanarak inceleyebilir. Uzan çözücü çözü için gereken bağıntıları, düzenekte kullanılan objelerin özelliklerini (ideal duruları) teel alarak ispatlayabilir. 359

4 Örneğin, akara ve ipin özelliklerinden (kütleleri ihal edilen ip ve akara gibi) faydalanarak ip üzerindeki gerili kuvvetlerinin eşitliğini ispatlayabilir. Benzer şekilde düzenekte kullanılan ipin özelliğini kullanarak (gergin ve esnek olayan ip) iki kütlenin ivesinin eşit olacağını gösterebilir. Öğreti eleanı uzan bir çözücüdür ve problein çözüü için gerekli kavra ve yönteleri bilektedir (Heuvelen, 1991). Öğrenci ise uzan olayan çözücüdür (Novice Solver) ve öğreti eleanının kavrasal ve yöntesel avantajlarına sahip olayabilir (Chi, Feltovich, & Glaser, 1981; Heuvelen, 1991; Reif ve diğ., 1976). Öğreti eleanı uzan çözücü olarak birden fazla yasayı kullanarak ihtiyacı olan bağıntıları ispatlayarak problei çözebilir (Yavuz, 2007). Fakat öğrenci henüz öğrenediği bir yasa ile ispata dayalı olarak bu problei çözeeyecektir. Bu duruda öğreti eleanı öğrencilerin konuyla ilgili önbilgilerini dikkate alarak proble çözüünde uygun düzenleeleri yapak duruundadır. Fakat öğreti eleanının öğrenci için uyarlayacağı stratejide öğrencinin güçlüklerini de unutaalıdır. Öğrenciler Atwood aleti probleinin çözerken Newton'un ikinci yasasını gerektiği gibi kullanaaaktadır (McDerott, Shaffer, & Soers, 1994). Örneğin, yasayı uygulayabilek için uygun sistei ve sistee uygulanan tü kuvvetleri doğru olarak belirleyeeektedir. Bunlar göz önünde bulundurulduğunda öğreti eleanın çözüü, öğrencilerin bu konuda karşılaştıkları güçlükleri arttırak yerine azaltalı ve anlalı öğreneye olanak sağlaalıdır. Öğrenciler için örnek teşkil eden çözüler öğreti eleanlarının çözüleridir. Eğer öğrencilerden öğrendikleri fizik yasaları ile iç tutarlılığı olan, bilisel olarak anlalı çözüler üretesini bekliyorsak, öncelikle onlara odel olan çözülerin bu şartları sağlaası gerekektedir. Bu nedenle, bu araştırada Atwood aleti probleine ilişkin öğreti eleanlarının çözülerinin analiz edilesine gerek duyuluştur. Araştıranın Aacı Bu araştıranın teel aacı Atwood aleti problei için anlalı öğreneyi ükün kılacak çözü stratejisi geliştirektir. Bu stratejiye ulaşak için öncelikle öğreti eleanlarının problee ilişkin uyguladıkları çözülerin analizi yapılacak, uhteel tutarsızlıklar ve anlalı öğreneyi olusuz yönde etkileyecek düzenleeler tespit edilecektir. Araştıra soruları aşağıdaki gibidir. 1. Öğreti eleanlarının Atwood aleti probleine ilişkin izledikleri çözü stratejileri nelerdir? 360

5 2. Bu stratejilerde takip edilen çözü basaaklarında tutarsızlıklar var ıdır? Varsa nelerdir? 3. İdeal çözü stratejisi Atwood aleti probleleri için nasıl olabilir? YÖNTEM Veri Kaynakları Bu araştırada farklı ülkelerdeki öğreti eleanlarının Newton Yasaları ünitesinde gerçekleştirdiği Atwood aleti problei çözüleri veri kaynağı olarak kullanılıştır. Yaygınlığı ve kolay erişebilirliği dikkate alınarak, veriler internet üzerindeki çözülerle sınırlandırılıştır. Çözüler internette en sık karşılaşılan İngilizce, Fransızca, Türkçe, Alanca, İtalyanca ve İspanyolca dillerindedir. Bu araştıranın yazarlarından biri İngilizce, diğeri ise Fransızca diline haki olduğundan İngilizce ve Fransızca gerçekleştirilen çözüler kolayca Türkçeye çevriliştir. Alanca, İtalyanca ve İspanyolca çözülerin Türkçeye çevrilesinde söz konusu dillere haki kişilere başvuruluştur. Çözüler Google araa otoru kullanılarak bulunuştur. Google araa otorunda gelişiş araa seçeneği seçiliş, Atwood aleti anahtar kelielerinin her bir dildeki karşılığı girilerek araa gerçekleştiriliştir. Sadece öğreti eleanlarının çözüleriyle ilgilendiğiiz için, bulunan çözülerin bir üniversitenin resi internet sayfasında olasına özen gösteriliştir. Bu nedenle Google araa otorunda alan sınırlaası yapılarak araa gerçekleştiriliştir. Örneğin Aerika Birleşik Devletleri için sadece.edu, Avusturya için.ac.at, Türkiye için.edu.tr ve İngiltere için.ac.uk alanı gelişiş araa seçeneğinde belirtiliştir. Fransa, Belçika, İtalya ve İspanya gibi, üniversiteleri için özel alan adı olayan ülkelerde bir çözü bulunduğunda, çözüün bir üniversitenin web sitesine ait olup oladığı, çözüün yayınlandığı sayfadan üniversitenin ana sayfasına gitek suretiyle kontrol ediliştir. Yapılan araada farklı dillerde de olsa bazı çözülerin birbirinin aynısı olduğu fark ediliştir. Bu duruda bu çözülerden ortak olanı analize dahil ediliştir. Yukarıda belirtilen sınırlılıklara ve belirtilen kriterlere uygun olarak Google araa otorunda yapılan taraada, 11 İngilizce, 6 Alanca, 5 İspanyolca, 3 Fransızca, 3 Türkçe ve 2 İtalyanca olak üzere topla 30 çözü bulunuştur. Bu çözülerin internet adresleri Ek-A da tablo halinde veriliştir. Yiri bir proble çözüü ders için hazırlanan sunularda ve internet sayfalarında, 8 proble çözüü deney föylerinde ve bir çözü de yapılan bir sınavın cevap anahtarında bulunuştur. 361

6 Verilerin Analizi Araştırada öğreti eleanlarının Atwood aleti probleinin çözüünde izledikleri stratejiler ve bu stratejilerin iç tutarlılıkları analiz edilektedir. Bir problein çözüü başlangıç noktasından hedef duruuna uzanan yolda gerçekleştirilen eyleler bütününü ifade eder. İzlenilen stratejilerin belirlenesi, hedefe ulaşak için gerçekleştirdikleri eylelerin belirlenesi deektir. Bu eyleler anlalı bir bütünün parçaları olalıdır. Çözüün tutarlılığı ise her bir anlalı bölüün tutarlı olasını gerektirir. Çözülen proble fizik problei olduğu için tutarlılık fizik yasası ile anlalı parçaların örtüşesine karşılık gelir. Dolayısıyla gerçekleştirilen eyleler ve bunların tutarlılıklarının analizi ne yapılıyor? nasıl yapılıyor? ve niçin yapılıyor? sorularına cevap aranasını gerektirir. Prakseolojik Organizasyon yöntei bu sorulara cevap vererek öğreti eleanları çözülerini nitel olarak analiz eteize yardıcı olan bir analiz yönteidir. Aşağıda Prakseolojik Organizasyon yöntei kısaca açıklanış ve bu araştıradaki Atwood aleti probleine nasıl uygulandığı detaylandırılıştır. Prakseolojik Analiz Yöntei ve Araştıradaki Uygulaası Chevallard (1997, 1998, 2005) tarafından geliştirilen bilisel bir bilginin kullanıına ilişkin Prakseolojik organizasyonun teelinde bir işle tipi vardır. İşle tipi gerçekleştirilen genel bir eylei ifade eder. Örneğin bir fizik yasasını uygulaak bir işle tipidir. Bu genel işle tipinin gerçekleştirilesi çeşitli problelerin çözüünü sağlar. Bir işle tipini gerçekleştirek ise alt-işleler bütününü gerçekleştireye eşdeğerdir. Bu ise teknik olarak adlandırılır. İşle tipi ve alt-işleler bütünü (teknik), ne yapılalı? ve nasıl yapılalı? sorularına cevap verir. Öğreti eleanları tarafından izlenilen stratejilerin detaylı analizi yasayı uygulaaya karşılık gelen işle tipine bağlı alt-işlelerin nasıl gerçekleştiğini belirleeizi sağlar. Chevallard a göre bu teknik teorik bilisel bilgilerle tutarlı olalıdır. Bu bilisel bilgiler de niçin bir işle tipi alt-işleler bütününün gerçekleştirilesini gerektirir? sorusuna cevap verir. Newton'un ikinci yasasına ilişkin örnek bir Prakseolojik Organizasyon ve bunun Atwood aleti probleine uygulanası aşağıda açıklanıştır. Prakseolojik Organizasyon çerçevesinde Newton un ikinci yasasının kullanılası bir işle tipidir. Bu işle tipinin gerçekleştirilesini sağlayan alt işleler bütünü Tablo 1 de gösteriliştir. Newton'un ikinci yasasının Atwood aleti probleine uygulanası deek, T5 siste için hareket denkleinin yazılası işleinin gerçekleştirilesi deektir. Problein çözüü olan ateatiksel ifade aşağıdaki denkle sisteinin çözüünü 362

7 gerektirektedir (Denkle 1). Bu denkle sisteinin elde edilesi için gerekli olan işleler bütünü aşağıda detaylı olarak açıklanıştır. Mg T g T M Ma M a Denkle 1 Tablo 1. Newton un 2. Yasasının Atwood Aleti Probleinin Çözüüne Prakseolojik Organizasyonla Uygulanası. İşle İşlein sonucu T1: Sistein tanılanası Siste 1 (M kütlesi) Siste 2 ( kütlesi) T2: Sistein ivesinin yazılası a M a T3: Uygun bir koordinat sisteinin seçilesi T4: Sistee uygulanan kuvvetlerin belirlenesi T5: Siste için hareket denkleinin yazılası Dikey doğrultuda ve M kütlesinin hareketi yönünde seçiliş bir eksen W M (M kütlesinin ağırlığı) T M (M kütlesine etkiyen gerile kuvveti) Mg-T M =M a M W ( kütlesinin ağırlığı) T ( kütlesine etkiyen gerile kuvveti) g-t =- a T1 Sistein tanılanası : Newton'un ikinci yasası düzenekteki diğer objelerden izole ediliş bir siste için yazılabilir. Bu işle gerçekleştirilirken incelenilecek olan siste geoetrik bir noktaya indirgenir. Seçilen sistein defore olaası gerekektedir. Diğer bir ifadeyle sistein kütle erkezinin sabit olası gerekir. Dolayısıyla Atwood aleti probleinde iki kütle tek bir siste olarak seçileez. Newton'un ikinci yasasının Atwood aleti probleine uygulanabilesi için iki sistein (M ve kütleleri) seçilesi gerekektedir. T2 Sistein ivesinin yazılıı : Newton'un ikinci yasasını oluşturan kavralardan biri de ive kavraıdır. Bu işle gerçekleştirilirken dikkat edilesi gereken nokta yazılacak ivenin sistein ivesi olasıdır. Atwood aleti probleinde iki siste incelendiği için iki farklı ive tanılanalıdır. Fakat Tablo 1 de görüldüğü gibi, problein sonucunu elde etek için Denkle 1 de verilen sistein çözülesi gerekir. Bunun için iki kütlenin ivelerinin (a M,a ) eşit olası gerekir. Bu eşitlik bazı şartlar dahilinde geçerlidir ve bu ateatiksel olarak ispatlanabilir. Düzenekte esnek olayan bir ip kullanılaktadır. Yani ipin uzunluğu sabittir. İpin boyu 363

8 ateatiksel olarak ifade edilebilir. Bu ifadenin zaana göre ikinci türevi alınıp ivelerin eşitliği bağıntısı elde edilebilir. Ek-B de bu eşitliğin ispatına yer veriliştir. Eğer ispata gerek duyadan bu eşitliği bir önere şeklinde ifade etek istersek, en doğru ifade ipin esnek olaasından dolayı her iki kütlenin ivesi eşittir olacaktır. T3: Uygun bir koordinat sisteinin seçilesi : Newton'un ikinci yasası ive ve kuvvet gibi vektörel büyüklükleri içerektedir. Mateatiksel işlelerin gerçekleştirilip fiziksel büyüklüklerin şiddetlerinin hesaplanabilesi vektörlerin projeksiyonunu gerektirektedir. Bu ise bir koordinat sisteinin belirlenesini gerektirir. Atwood aleti probleinde sadece dikey doğrultuda bir hareket vardır. Tek boyutlu dikey bir eksenin seçilesi yeterlidir. T4 Sistee uygulanan kuvvetlerin belirlenesi : Atwood aleti probleinde iki farklı siste olan M ve kütlelerine etki eden kuvvetler, kütlelerin ağırlıkları ve ip tarafından uygulanan gerile kuvvetleridir. Bu işlede öneli olan nokta gerile kuvvetlerinin belirlenesine ilişkindir. İki farklı sistele çalışıldığından iki farklı gerile kuvveti belirlenelidir. Fakat T2 Sistein ivesinin yazılası işleinde olduğu gibi problei Newton'un ikinci yasası yardııyla çözebilek için iki gerili kuvvetinin eşitliğine ihtiyaç vardır. Bu eşitlik düzenekte yer alan ip ve akaranın özelliklerine bağlıdır. Atwood aleti problelerinde ipin ve akaranın kütlesiz ve akaranın sürtünesiz olduğu belirtilektedir (Şekil 1). Bu veriler (ideal durular) kullanılarak gerili kuvvetlerinin eşitliği ispatlanabilir. Ek-B de bu eşitliğin nasıl ispatlanabileceği gösteriliştir. T5 Siste için hareket denkleinin yazılası : Newton'un ikinci yasasının uygulanasındaki asıl aaç bu işlein gerçekleştirilesidir. Bu işle ise yukarıda belirtilen ilk dört işlein gerçekleştirilesini gerektirir. Bu işlein tutarlılığı diğer işlelerde ortaya konulan tutarlılığa bağlıdır. Çözülerin Analizi Yukarıda belirtilen Newton'un ikinci yasasına ilişkin Prakseolojik Organizasyondan Atwood aleti probleinin iki aşaadan oluştuğu anlaşılaktadır. Bunlar (1) Newton'un ikinci yasasının her iki kütleye ayrı olarak uygulanası (2) gerile kuvvetlerinin ve kütlelerin ivelerinin hangi durularda eşit olduğunun belirlenesidir. Çözülere ilişkin bu analizlerin nasıl yapılacağı aşağıda açıklanaktadır. Newton'un ikinci yasasının uygulanasında gerçekleştirilen işleler: Öğreti eleanlarının çözülerinin analizinde öncelikli olarak Tablo 1 de belirtilen işleler takip ediliştir. Tablo 1 de verilen T1 ve T4 arası işleler 364

9 öğreti eleanları tarafından açık bir şekilde ve detaylı olarak veya ia edilerek gerçekleştirilebilir. Çözü içerisinde serbest cisi diyagraları veya siste için yazılan hareket denkleleri bu işleleri belirleeye yardıcı olaktadır. Tutarlılık analizinde iki işle üzerine odaklanılıştır. Bu işleler T1 Sistein tanılanası ve T4 Sistee uygulanan kuvvetlerin belirlenesi dir. Gerile kuvvetleri ve ivelerin eşitliği: Analiz edilen çözülerde gerili kuvvetlerinin veya ivelerin eşitliğinin öncelikli olarak hangi ideal duru veya durulara dayanarak belirtildiği tespit ediliştir. Daha sonra ise çözülerde belirtilen ideal duruların söz konusu eşitlikleri sağlayıp sağlayaayacakları belirleniştir. Bunun için Ek-B de verilen ateatiksel ispatlardan faydalanılıştır. Buna göre Atwood aleti probleinde ivelerin eşitliği için düzenekte kullanılan ipin esnek olaası gerekektedir. Gerili kuvvetlerinin eşit olabilesi için düzenekteki ip ile akaranın kütlesiz ve akaranın sürtünelerinin öneseneesi gerekir. BULGULAR Öğreti eleanları tarafından gerçekleştirilen 30 çözüün analizi sonucunda üç farklı çözü stratejisi tespit ediliştir. Bu bölüde söz konusu stratejiler tanılandıktan sonra detaylı bulguları sunulacaktır. Strateji 1: Altı çözüde Newton un ikinci yasasının doğru olarak kullanıladığı görülüştür. Hatalar seçilen sistele, siste üzerine etki eden kuvvetlerin doğru olarak belirleneeesinden kaynaklanaktadır. Strateji 2: On dört çözüde Newton un ikinci yasası M ve kütlelerine ayrı ayrı uygulanış olup yasanın uygulanasında herhangi bir soruna rastlanaıştır. Fakat ipteki gerile kuvvetleri ve kütlelerin iveleri herhangi bir veriye (ideal durua) dayandırıladan ve nedeni belirtileden eşit olarak kabul ediliştir. Strateji 3: Geri kalan 10 çözüde Strateji 2 de olduğu gibi Newton un ikinci yasası M ve kütlelerine ayrı ayrı uygulanış olup yasanın uygulanasında herhangi bir soruna rastlanaıştır. Fakat ipteki gerile kuvvetlerinin eşitliği (T M =T ) ve kütle ivelerinin eşitliği (a M =a ) için belirtilen önerelerde tutarsızlıklar tespit ediliştir. 365

10 Strateji 1 Bu stratejiye karşılık gelen 6 çözüün internet adresi Ek-A da belirtiliştir. Bu çözülerde Newton un ikinci yasası yanlış kullanılaktadır. Çözülerde genellikle, açık bir şekilde tanılanayan bir sisteden söz edilip, sistee etki eden net kuvvetin Mg-g olduğu belirtiliştir. Buradan yola çıkarak Newton un ikinci yasası (M-)g=(M+)a şeklinde yazılış ve sonuç bulunuştur. Bu stratejiye karşılık gelen çözülerde ip üzerindeki gerili kuvvetlerine değinileiştir. Bu stratejiye örnek teşkil eden Şekil 2 de gösterilen Çözü 1, öğrencilere Newton un ikinci yasasının nasıl uygulanaası gerektiğini gösteren kötü bir örnektir. Bu tür bir çözü ancak fizikte uzan çözücü olayan bir öğrenciden beklenecek tarzdadır. Şekil 2. Çözü 1 de seçilen siste ve sistee etki eden kuvvetler *. Şekil dikkatli incelendiğinde ip üzerinde bir siste seçildiği (işle T1 Sistein tanılanası ) ve bu sistee uygulanan iki kuvvet olduğu (işle T4 Sistee uygulanan kuvvetlerin belirlenesi ) bunların ise ipin her iki ucundaki kütlelerin ağırlıkları (Mg ve Mg+g) olduğu görülektedir. Oysaki şekil üzerinde gösterilen noktada bir siste seçilirse bu sistee uygulanan sadece zıt yönde iki gerili kuvveti olacaktır. Çözüün tutarsızlığı sistee etki eden kuvvetlerin hatalı belirlenesinden, diğer bir ifadeyle T4 Sistee uygulanan kuvvetlerin belirlenesi işleinin doğru olarak gerçekleşeesinden kaynaklanaktadır. Yukarıda verilen çözü McDeroot ve diğerleri (1994) tarafından belirtilen ve öğrenci çözülerinde görülen, seçilen siste üzerine uygulanan kuvvetlerin doğru bir biçide belirleneeesi sorununa bir örnek teşkil etektedir. Proble çözüleri yasaların verilen fiziksel durulara doğru olarak uygulaası olarak düşünülürse, bu tür bir çözüün bu aaca uygun oladığı görülektedir. * FRes ip üzerinde seçilen sistee uygulanan net kuvveti ifade etektedir. 366

11 Strateji 2 Bu stratejiye dahil edilen topla 17 çözüün internet adresi Ek A da belirtiliştir. Analiz edilen çözülerde iki sistein incelendiği, her iki kütlenin aynı iveye (a) sahip olduğu, her iki kütleye ip tarafından aynı gerile kuvvetinin (T) uygulandığı görülektedir. Fakat bu çözülerde söz konusu eşitliklerin nedeni açıklanaıştır. Herhangi bir ideal durua (esnek olayan ve kütlesi ihal edilen ip gibi) çözülerde değinileiştir. Bu stratejiye örnek teşkil eden Çözü 2 ve Çözü 3 Şekil 3 de gösterilektedir. Çözü 2 Çözü 3 Şekil 3. Çözü 2 ve Çözü 3 deki Newton'un ikinci yasasının kullanıına ait işleler. Şekil 3 de gösterilen iki çözüde de Newton un ikinci yasasının kullanıına ilişkin herhangi bir proble yoktur. Hangi sistelerin inceleneceği açık olarak belirtilese de iki kütleye etki eden kuvvetlerin şekil üzerinde gösterilesi iki sistein incelendiğini belirtektedir (İşle T1 Sistein tanılanası ). Her iki çözüde de sistelere ait iveler yazılış (İşle T2 Sistein ivesinin yazılası ) ve sistelere etki eden kuvvetler gösteriliştir (işle T4 Sistee uygulanan kuvvetlerin belirlenesi ). İki çözüde de bir koordinat sistei açık olarak seçilese de küçük kütleli cisin hareket yönü pozitif yön olarak kabul edildiği anlaşılaktadır (işle T3 Uygun bir koordinat sisteinin seçilesi ). Görüldüğü gibi bu strateji içerisinde yer alan çözülerde Newton un ikinci yasası doğru olarak kullanılaktadır. Fakat öğreti eleanları kütlelerin Çözü S2 de F 1res Ve F 2res M 1 Ve M 2 kütlelerine uygulanan net kuvveti z ise gerile kuvvetini ifade etektedir. 367

12 iveleri ve kütlelere etki eden gerili kuvvetlerinin hangi şartlar dahilinde eşit olacağına ilişkin herhangi bir tartışaya gireektedir. Böylece problein çözüünü basite indirgeektedir. Problei sorunsuz çözek için etkili bir strateji gibi düşünülebilir. Fakat ekanik öğretii sadece Newton un ikinci yasası ile sınırlı değildir. Zaten en aza indiriliş olan ve gerçeğin odellenesinden gelen veriler bu stratejide taaen ortadan kaldırılaktadır. Oysaki bu çözüde hesaba bile katılayan veriler aynı ders dahilinde öğretilecek olan açısal oentuun korunuu ilkesinin uygulanası esnasında öneli rol oynayacaktır. Strateji 3 Bu stratejiye dahil edilen topla 10 çözüün internet adresi Ek-A da belirtiliştir. Bu stratejide yer alan çözüler iki aşaadan oluşaktadır: (1) Newton un ikinci yasası iki kütleye ayrı ayrı uygulanakta ve (2) T M =T ve/veya a M =a eşitlikleri bazı verilere (ideal durulara) dayanılarak belirtilektedir. Çözülerde Newton un ikinci yasasının uygulanasında hata bulunaaktadır. Fakat söz konusu eşitlikler için kurulan önerelerde çeşitlilik ve tutarsızlıklar gözleniştir. Sadece iki çözüde (Çözü 4 ve Çözü 28) gerili kuvvetleri arasındaki ilişkinin açısal oentuun korunuu ilkesi yardııyla ispatlanabileceği belirtiliştir. Şekil 4 de Çözü 4, Çözü 5 ve Çözü 6 da yer alan şekil ve diyagralarla her iki kütle için yazılan hareket denkleleri gösterilektedir. Çözü 4 de iki farklı ive belirtilekte fakat iki kütleye etki eden gerile kuvvetlerinin aynı olduğu herhangi bir önereye dayandırıladan kabul edilektedir. Çözü 5 de kütlelerin iveleri aynı kabul edilekte, diğer taraftan iki kütleye etki eden gerile kuvvetlerinin farklı olduğu belitilektedir. Çözü 6 da ise he gerile kuvvetleri hede kütlelerin iveleri farklı olduğu kabul edilektedir. Çözü 4 Çözü 5 Çözü 6 368

13 Şekil 4. Çözü 4, Çözü 5 ve Çözü 6 da Newton'un ikinci yasasının kullanıına ait işleler. Çözü 4 de kütlelerin dörtgen içine alınış olası; Çözü 5 de ise iki kütleye uygulanan kuvvetlerinin gösterii ve Çözü 6 da iki kütlenin geoetrik bir noktaya indirgenip kuvvetlerin belirlenesi T1 Sistein tanılanası işleinin gerçekleştirildiğini gösterektedir. T2 Sistein ivesinin yazılası işlei sadece Çözü 4 de açık olarak gerçekleştiriliştir. Çözü 5 ve Çözü 6 da T3 Uygun bir koordinat sisteinin seçilesi işlei açık olarak gerçekleştiriliştir. Bu çözülerde Atwood aleti şeklinin yanında ve serbest cisi diyagraında koordinat sistei belirtiliştir. Çözü 4 de ise serbest cisi diyagraında seçilen koordinat sistei açık olarak gözükeektedir. Fakat bu çözüdeki hareket denkleleri incelendiğinde dikey ve küçük kütleli cisin hareket yönü doğrultusunda bir koordinat sisteinin seçildiği anlaşılaktadır. Her üç çözüde de sistelere etki eden kuvvetler diagra olarak gösteriliştir. Yani T4 Sistee uygulanan kuvvetlerin belirlenesi işlei her üç çözüde açık olarak gerçekleştiriliştir. Bu işlelerle birlikte her iki sistee (iki kütle) ait hareket denkleleri incelendiğinde Newton un ikinci yasasının çözülerde doğru olarak kullanıldığı anlaşılaktadır. Farklı ülkelerdeki üç üniversitenin web sitesinde bulunan çözülerde Newton un ikinci yasasının kullanıı biribirine benzerken, gerile kuvvetleri ve iveler arasındaki eşitlikleri belirtek için kullanılan ideal durular birbirinden farklıdır. Örneğin Çözü 4 de ipin esnek olaası nedeniyle ivelerin büyüklükleri eşitlenirken, Çözü 5 de aynı ideal duruun bu defa ivelerin değil gerile kuvvetlerinin eşitliğine sebep olduğu belirtilektedir. Çözü 6 de ise ipin ideal bir ip olası he gerile kuvvetlerinin hede ivelerin eşitliğini belirteye yardıcı olduğu ifade edilektedir. Oysaki ip üzerindeki gerile kuvvetlerinin eşitliğini ispatlaaızı ipin kütlesiz olası, akaranın kütlesiz ve ip ile akara arasındaki sürtünenin ihal edilebilir olası sağlaaktadır. Kütle ivelerinin eşitliğini ise ipin esnek olaası sağlaaktadır. Yukarıda belirtilen ideal duruların kullanıı birbiri ile farklılık gösterirken, hepsi doğru olan önere ile çelişektedir. Çünkü bu çözülerde belirtilen ideal durularla söz konusu eşitlikler ispatlanaaz. Diğer taraftan öğreti eleanları bu eşitlikleri belirtirken herhangi bir yasayı teel alaıştır. Bu ise öğrencinin ideal duruları ve bu ideal duruların önereleri oluşturaktaki gerekçeleri ta olarak anlayaaasına yol açaktadır (Yavuz, 2007). Dolayısıyla öğrenci problei çözerken tutarlı bir strateji geliştireeyebilir. 369

14 TARTIŞMA VE ÖNERİLER Yapılan analiz neticesinde öğreti eleanlarının Atwood aleti probleini çözek için 3 farklı stratejiye başvurdukları görülüştür. Analiz edilen 30 çözüün 24 ünde öğreti eleanları M ve kütlelerini iki farklı siste olarak ve Newton'un ikinci yasasını doğru kullanarak inceleişlerdir. Fakat bu 24 çözüün 14 ünde (Strateji 2) öğreti eleanları ipteki gerili kuvvetlerinin ve iki kütlenin ivelerinin hangi şartlar dahilinde eşit olacağını tartışaayı tercih etişlerdir. Dolayısıyla da elde edilen sonucun hangi şartlar dahilinde geçerli olacağı bilineektedir. Bu 24 çözüün 10 unda (Strateji 3) ise bu eşitliklerin hangi şartlar dahilinde eşit olacağı ideal durulara dayanılarak tartışılıştır. Söz konusu eşitliklerin ateatiksel olarak ispatı söz konusu oladığından hangi ideal duru veya duruların hangi eşitliği doğru ve tutarlı olarak belirteye yarayacağı konusunda birbiri ile çelişen hatalı sonuçları ortaya çıkartıştır. Öğreti eleanlarının özellikle ipteki gerili kuvvetlerinin eşitliğinin açısal oentuun korunuu ilkesi yardııyla ispatlanabileceğini bilelerine rağen çözüde bunu belirteeleri de dikkate değer bulunuştur. Analiz edilen 30 çözüün 6 sında ise (Strateji 1) siste hatalı olarak belirleniş ve seçilen bu sistee etkiyen kuvvetlerin hatalı olarak belirlendiği tespit ediliştir. Problein öğreti eleanları tarafından hatalı bir şekilde çözülesi öğrencinin her şeyden önce doğru bir çözü stratejisi belirleesini engelleyecektir. Gerili kuvvetlerini ve iveleri tartışadan eşit olarak kabul etek Atwood aleti düzeneğinde akarayı yokuş gibi kabul eteye eşdeğerdir. Bu duruda proble etninde belirtilen ideal duruların önei öğrenci tarafından ta olarak anlaşılaayabilir. Diğer taraftan öğreti eleanının gerili kuvvetleri ve ivelerin eşitliği için belirttiği önerelerin tutarsızlıkları karşısında öğrencinin tutarlı olası bekleneez. İzlenilen bu 3 stratejinin öğrencilerin anlalı bir öğrene ve proble çöze stratejisini geliştireye izin vereeyeceği düşünülektedir. Oysaki Atwood aleti problei öğrencilerde anlalı proble çöze stratejilerini öğreteye yarayacak güzel bir örnektir. Bu örnek öğrencilere Newton'un ikinci yasasının açık bir şekilde uygulaasını gösterirken öğrencilerin fiziksel kavralar arasındaki ilişkileri kurayı öğretekte ve bir proble çözüünde başlangıç duruundan hedef duruuna nasıl ulaşılacağını gösterektedir. Bu tür örnek teşkil edecek problelere ilişkin çözüler Gick (1986) tarafından önele dikkate alınası gereken Worked exaples olarak adlandırılır. Atwood aleti probleinin bu bağladaki öneini ve çözüünün yine aynı bağlada hangi stratejilerle örtüşebileceği aşağıda tartışılaktadır. 370

15 Atwood Aleti Probleinin Çözüünde Nitel Basaak Nitel analiz proble çöze stratejilerinin öneli bir basaağıdır ve nicel çözüden önce problei anlaaya yardıcı olaktadır (Duas-Carré & Goffard, 1997; Leonard ve diğ., 1996; Reif, 1995; VanLehn, 1996). Atwood aleti problei nitel olarak analize son derece uygundur ve probleinin nicel çözüü nitel olarak kolayca öngörülebilir. Bu yaklaşıda öğreti eleanı öğrencileri düzeneğin özel durularının (special cases) keşfine yönlendirebilir. Böylece proble nitel olarak analiz edilebilir ve ivenin değeri öngörülebilir. Bu özel durular (1) düzeneğin dengede olduğu (M=) ve (2) düzenekteki kütlelerden birinin diğerine oranla çok büyük olduğu (M>>) durudur. Düzeneğin dengede olduğu duruda ive sıfır olacaktır. Diğer duruda ise büyük olan kütle yerçekii ivesine yakın bir iveyle hareket edecektir. Böylelikle problein çözüü ile elde edilecek sonuç için değer aralığı belirleniş olacaktır. Elde edilecek nicel sonucun bu iki özel duru ile tutarlı olası gerektiği öğrenciye açıklanabilir. Düzeneğin dengede olduğu durudan hareketle, her iki kütleyi harekete geçiren etkinin, bu kütlelerin farkı olduğu belirtilebilir. İki kütlenin değeri birbirine ne kadar yakınsa ive o kadar küçük olacak, aksi takdirde ive yerçekii ivesine yaklaşacaktır. Böylece problein Newton un ikinci yasası ile çözülesiyle elde edilecek olan sonuç M a g nitel olarak M öngörülebilir. Atwood Aleti Probleini Çözüünde Nicel Basaak Öğreti eleanı çözülerinde tespit edilen tutarsızlıkları giderek için nicel basaakta iki farklı strateji önerebiliriz. Bunlar (1) problein hipotetik bir yaklaşıla çözüü ve (2) problein analoji yönteiyle çözülesidir. Problein nicel çözüüne hipotetik yaklaşı: Öğreti eleanı Newton'un ikinci yasasını düzenekteki iki kütleyi ayrı sisteler olarak kabul edip inceleelidir. Fakat burada iki kütleye etki eden gerili kuvveti doğrudan eşit olarak kabul edileelidir. Bunun yerine T M, T gibi iki farklı gerili kuvveti belirtilelidir. Benzer şekilde kütlelerin a M, a gibi iki farklı iveye sahip olduğu belirtilelidir. Anlalı fizik problei çözüünde aaçlardan biride öğrenciye bilisel çalışalarda izlenilen süreçleri öğretektir (Duas-Carré & Goffard, 1997; Gaidioz, Vince, & Thiberghien, 2004). Burada öneli bir basaakta hipotezlere başvuraktır. Newton yasaları bölüünde sunulan Atwood aleti probleini çözek için gerili kuvvetlerinin ve ivelerin eşit olduğu kabul 371

16 edilelidir. Fakat öğreti eleanlarının bu eşitlikleri belirtedeki stratejilerin de tutarsızlıklar vardır. Dolayısıyla bu eşitlikler öğrenciye birer hipotez olarak verilebilir. Böylece öğrenci proble çözüünde nerede yasaları kullanacağını nerede hipoteze başvuracağını kavrayabilir. Hipotetik bir yaklaşıın neticesinde sonucun kontrol edilesi gerekir. Eğer nicel basaakta elde edilen sonuç, düzeneğin iki özel duruu (M= ve M>>) ile tutarlı ise bu duruda yapılan hipotezin doğru olacağı öğrenci tarafından belirlenebilir. Problein analoji yardııyla çözülesi: Analoji yardııyla proble çöze farklı stratejilerin öğrenilesinde bir araçtır (Gick, 1986, ss. 107,108). Atwood aleti problei bu stratejilerin öğrenilesine yardıcı olabilir. Üstelik bazı öğreti eleanları çözülerinde hatalı olarak sadece bir sistei inceleişlerdir. Eğer Atwood aleti problei tek bir sistein incelenesi ile çözülecekse analoji yöntei aşağıda açıklanacağı gibi çözüü daha anlalı kılacaktır. Şekil 5 de gösterilen düzenek Atwood aleti ile benzerdir. Düzenekte iki kütle (M ve ) esnek olayan bir iple bağlıdır. M ve kütlelerine kendi ağırlıkları büyüklüğünde fakat zıt yönde iki kuvvet uygulanaktadır. Düzeneğin tanıtılasından sonra bu sistein Atwood aleti düzeneğiyle benzeşen yönleri öğrencilere keşfettirilebilir. Örneğin Atwood aleti probleinde olduğu gibi sistein hareketi M ve kütleleri üzerlerine etki eden kuvvetlere bağlıdır. Eğer M ve kütlelerine uygulanan kuvvet eşitse kütleler hareket eteyecektir. Siste F M Mg F M M F F g Şekil 5. Atwood Aleti Probleini Çözek İçin Analoji Yapılabilecek Düzenek. Bu düzenekte M ve kütleleri tek bir siste olarak incelenebilir. Bu duruda ip üzerindeki gerile kuvvetleri seçilen sistee bir dış kuvvet değildir. Dolayısıyla Newton'un ikinci yasasının yazılıında dikkate alınazlar. Newton'un ikinci yasası seçilen sistee uygulanıp (Tablo 2) sistein ivesi elde edilebilir. Elde edilen bu ive aynı zaanda Atwood 372

17 aleti probleinde kütlelerin ivesine eşdeğerdir. Tablo 2 de Newton'un ikinci yasasının kullanıına ilişkin Prakseolojik Organizasyonla problein analoji yoluyla çözüü özetleniştir. İşle Tablo 2. Atwood Aleti Probleinin Analoji Yardııyla Çözüü. İşlein sonucu T1: Sistein tanılanası M+ kütlelerinden oluşan bir siste T2: Sistein ivesinin yazılası A T3: Uygun bir koordinat sisteinin seçilesi T4: Sistee uygulanan kuvvetlerin belirlenesi T5: Siste için hareket denkleinin yazılası M kütlesinin hareket yönünde seçiliş bir eksen F M (M kütlesine uygulanan kuvvet) F ( kütlesine uygulanan kuvvet) F M -F =(M+)a (M-)g=(M+)a SONUÇ Araştıra neticesinde Atwood aleti probleinin çözüünde öğreti eleanlarının üç farklı strateji izlediği görülüştür. Çözüü basitleştire ve öğrencilerin seviyesine uygun hale getire isteği beraberinde tutarlılık bazında bazı güçlükleri de getiriştir. İzlenilen stratejilerin, öğrencilerin anlalı ve tutarlı bir proble çöze stratejisi geliştiresine izin vereyen nitelikte olabileceği görülüştür. Daha önce yapılan bir araştırada (McDerott ve diğ., 1994) Atwood aleti probleinin Newton'un ikinci yasasını öğreteye yardıcı olaayacağı kanısına varılıştır. Bu kanının aksine yapılan araştıranın bir sonucu olarak Atwood aleti probleinin anlalı bir öğrene için iki büyük avantajı olduğu düşünülektedir: Atwood aleti problei Newton'un ikinci yasasının doğru olarak kullanılasının öğretilesinde öneli bir rolü olabilir. Öğrenci eğer Newton'un ikinci yasasını doğru olarak iki farklı sistee uygulayabilirse, tek bir sistein incelendiği problelere zaten uygulayabilecektir. Atwood aleti problei, analoji yönteiyle proble çöze, nitel olarak proble çöze ve hipotetik bir yaklaşıla proble çöze gibi farklı stratejilerin öğretilesine olanak sağlayabilir. 373

18 KAYNAKLAR Bosch, M., Chevallard, Y., & Gascon, J. (2005). Science or agic? The use of odels and theories in didactics of atheatics. In Proceedings of the Fourth Congress of the European Society for Research in Matheatics Education tarihinde erişiliştir. Chevallard, Y. (1997). Failière et probléatique, la figure du professeur. Recherches en Didactique des Mathéatiques, 17(3), Chevallard, Y. (1998). Analyse des pratiques enseignantes et didactique des athéatiques: L approche anthropologique. La Rochelle-France. nseignantes.pdf tarihinde erişiliştir. Chi, M., Feltovich, P., & Glaser, R. (1981). Categorization and representation of physics probles by experts and novices. Cognitive Science, 5(2), Çalışkan, S., Selçuk, G. S., & Erol, M. (2006). Fizik öğreten adaylarının proble çöze davranışlarının değerlendirilesi. H.Ü. Eğiti Fakültesi Dergisi, (30), Dhillon, A. (1998). Individual differences within proble-solving strategies used in physics. Science Education, 82, Duas-Carré, A., & Goffard, M. (1997). Rénover les activités de résolution de problées en physique. Paris: Arand Colin/Masson. Fabre, M. (1999). Situations-Problèes et savoir scolaire. Paris: Presse Universitaire de France (PUF). Gaidioz, P., Vince, J., & Thiberghien, A. (2004). Aider l'élève à coprendre le fonctionneent de la physique et son articulation avec la vie quotidienne. BUP, 866, Gick, M. L. (1986). Proble-Solving Strategies. Educational Psychologist, 21(1&2), Heller, P., Keith, R., & S.Anderson. (1992). Teaching proble solving through cooperative grouping. Part 1.Group versus individual proble solving. A. J. Phys., 60, Heuvelen, A. V. (1991). Learning to think like a physicist: A review of researchbased instructionalstrategies. A. J. Phys., 59, Johsua, S., & Dupin, J. (1999). Introduction à la didactique des sciences et des athéatiques. Paris: Presse Universitaire de France (PUF). 374

19 Leonard, W., Dufresne, R., & Mestre, J. (1996). Using qualitative proble-solving strategies to highlight the role of conceptual knowledge in solving probles. A. J. Phys., 64, McDerott, L. C., Shaffer, P. S., & Soers, M. D. (1994). Research as a guide for teaching introductory echanics: An illustration in the context of the Atwood's achine. A. J. Phys., 62(1), Newell, A., & Sion, H. (1972). Huan Proble Solving (Englewood Cliffs.). NJ: Prentice Hall. Özsoy, G. (2005). Proble Çöze Becerisi İle Mateatik Başarısı Arasındaki İlişki. GÜ, Gazi Eğiti Fakültesi Dergisi, 25(3), Reif, F. (1983). Understanding and teaching proble-solving in physics. In Research on Physics Education: Proceedings of the First International Workshop, June 26-July 13, La Londe les Maures. Reif, F. (1995). Millikan Lecture 1994: Understanding and teaching iportant scientific thought processes. A. J. Phys., 63, Reif, F., Larkin, H., & Brackett, G. (1976). Teaching general learning and problesolving skills. A. J. Phys., 44-3, Serway, A., & Robert, J. (2002). Fen ve ühendislik için fizik- 1 (5th ed.). Ankara: Pale Yayıncılık. VanLehn, K. (1996). Conceptual and eta learning during coached proble solving. In Proceedings of the 3rd International Conference on IntelligentTutoring Systes ITS '96. Yavuz, A. (2007). Stratégie de résolution d'exercice en écanique du point atériel. Stratégie des enseignants et difficultés des étudiants de la preière année universitaire: Exeple du problèe de la achine d'atwood. Yayınlanaış Doktora Tezi, Université Jospeh Fourier Grenoble 1 France. 375

20 Ek B Atwood Aleti Probleinin Çözüü Siste 1: M kütlesi Siste 2: kütlesi x T M M WM F W M a T M Ma Mg T M Ma M M x T W F a W T a g T a Siste 3 Makara ve üzerinden geçen ip parçası T M R Açısal oentuun korunuu prensibi: d L dt Makaranın açısal oentuu L: L ( r v) akara Makaranın kütlesi ihal ediliyor L 0 Kuvvetlerin oentleri: Sürtüneler ihal ediliyor M ( F s ) 0 TM gerile kuvvetinin oenti: T gerile kuvvetinin oenti: M i ( i i M ( T M ) RTM M ( T ) RT T 0 RTM RT ve buradan TM T F ) 376

21 Siste 4 ipin boyunun incelenesi x M x İp esnek değil ipin boyu sabit x M x R =sabit d dt d x dt 2 d 0, 0 2 dt 2 M 2 d x dt d x M M kütlesinin ivesi 2 dt 2 d x kütlesinin ivesi 2 dt am a 377