FUZZY MATRİS OYUNLARIN ÇÖZÜMLERİ ÜZERİNE. Adem Cengiz ÇEVİKEL, Mehmet AHLATÇIOĞLU

Transkript

1 DPÜ Fe Biieri Estitüsü Dergisi Sayı 2, Nisa 200 Fuzzy Matris Oyuarıı Çözüeri Üzerie FUZZY MARİS OYUNARIN ÇÖZÜMERİ ÜZERİNE Ade Cegiz ÇEVİKE, Mehet AHAÇIOĞU Yıdız ekik Üirsitesi Fe-Edebiyat Fakütesi Mateatik Böüü, 3420 Davutaşa-İstabu E-ai: Geiş arihi: Kabu arihi: ÖZE Bu akaede fuzzy hedefi fuzzy ödeei iki kişii sıfır toaı oyuar ee aıdı oyuu çözüeri içi uygu bir defüzifikasyo foksiyou etodu Sakawa ı etodu taıtıdı. Örek üzeride yöteer iceeerek souçar karşıaştırıdı. Aahtar Keieer: Fuzzy hedef, Fuzzy ödee, İki kişii sıfır toaı oyu, Fuzzy ödeei atris, Fuzzy sayı ABSRAC I this aer a two erso zero-su gae with fuzzy goas ad fuzzy ayoffs are cosidered ad their soutios are cacuated usig a suitabe defuzzificatio fuctio ad Sakawa s ethod. he we coared soutios of the gi a exae. We ha used MAPE 2 couter agebra syste to so gi robe. KeyWords: Fuzzy goa, Fuzzy ayoff, wo erso zero-su gae, Fuzzy ayoff atrix, Fuzzy uber. GİRİŞ Bu akae fuzzy atris oyuara igiidir. Fuzzy oyuara igii araştıraar Aubi [2,3] Butariu [4,5] tarafıda geiştiridi. Caos [7] sıfır toaı fuzzy atris oyuarı iceedi. Caos u iceediği oyu tek ödeei bir yaıdaydı fuzzy ateatikse rograaa etoduya ax-i robeii forüe etti, daha sora Sakawa Nishizaki fuzzy hedefi fuzzy ödeei çok aaçı iki kişii sıfır toaı oyuarı iceedier []. Matris oyu teorisii e öei souçarıda biri de her iki kişii sıfır toaı atris oyuu iki ieer rograaa robeie dek oası bu iki ieer rograaa robeii birbirii duai oasıdır. Bector [6,7,8], Maeda [9] i [20] bu özeiği kuaarak fuzzy hedefi atris oyuarı iceedi fuzzy ieer rograaa robeerii ria-dua iişkisiye çözdüer. So oarak Vay, Chadra Bector [8] bir defüzifikasyo foksiyou taıayarak fuzzy atris oyuarı çözdüer. Bu akaede fuzzy hedefi fuzzy ödeei iki kişii sıfır toaı oyuarı çözüeri içi defüzifikasyo etot Sakawa ı etodu suudu, örek üzeride yöteer iceeerek souçar karşıaştırıdı. 2. EME ANIMAR aı (Fuzzy ödeei sıfır toaı oyu) : Oyucu bir i I ür strateisii Oyucu 2 bir J ür strateisii seçtiği zaa, Oyucu içi bir fuzzy ödee a = ( a, a, `a ) (2.) şekide gösterisi. Burada a bir orta değer a so yayıa `a sağ yayıadır, iki kişii sıfır toaı bir fuzzy oyu a 25

2 DPÜ Fe Biieri Estitüsü Dergisi Sayı 2, Nisa 200 Fuzzy Matris Oyuarıı Çözüeri Üzerie a K a A = M O M (2.2) a a şekide bir fuzzy ödee atrisiye gösteriiş osu. Bu atriste, Oyucu otia strateierii kuaarak aksiu faydayı ede eteye çaışırke, Oyucu 2 de otia strateierii kuaarak kaybıı iiize eteye çaışacaktır. (2.2) fuzzy ödee atrisi ie taıı oyua fuzzy ödeei iki kişii sıfır toaı oyu deir [,4]. Bu şekide taıaış oa A atrisi, Oyucu içi aksiu faydayı Oyucu 2 içi iiu kaybı ayı ada recek oa bir aaç atrisi oarak da yoruaabiir. aı (Fuzzy bekee ödee): Kara strateieri herhagi bir çifti buaık bekee ödeesi: x X y Y içi, Oyucu i 0 eğer < a a a + a eğer a a < a a μ ( ) xay = (2.3) a + `a eğer a a + `a `a 0 eğer a +`a < şekide taıaabiir [,6]. aı (Fuzzy hedef): Oyucu i fuzzy ödeesie göre fuzzy hedef G, 0, eğer a a μ ( ), eğer a a G = (2.4) a a, eğer a üyeik foksiyou ie taıaabiir. Oyucu i tati değeri, ödeei a sıır değeri içi 0 a sıır değeri içi dir. a de daha küçük isteeye bir değeri içi μ ( ) = 0, a de daha büyük istee bir değeri içi μ ( ) = G a a içi μ ( ) süreki kesi arta bir foksiyo oarak taıtııştır. G aı (Fuzzy hedefi başarı derecesi) : ( x, y ) kara strateierii herhagi bir çifti oak üzere, Oyucu içi fuzzy bekee ödee xay fuzzy hedef G ie gösterisi. Bu duruda bir fuzzy küede fuzzy hedefi başarı duruu; G fuzzy hedef xay fuzzy bekee ödeei kesişii oarak beirtiir. Fuzzy küei üyeik foksiyou aşağıdaki gibi taıaabiir. μ ( ) = i( μ ( ), μ ( )) (2.5) a( x, y) xay G G Fuzzy hedefi başarı derecesi (2.5) üyeik foksiyouu aksiuu oarak taıaıştır, yai 26

3 DPÜ Fe Biieri Estitüsü Dergisi Sayı 2, Nisa 200 ˆ μ ( ) = ax μ ( ) * a( x, y) a( x, y) dir [4,5]. { ( μ μ xay G )} ax i ( ), ( ) = Fuzzy Matris Oyuarıı Çözüeri Üzerie (2.6) Bir fuzzy hedefi üyeik foksiyo değeri, fuzzy hedefi başarı derecesi oarak yoruaabiir. O zaa bir oyucu iki farkı ödeeye sahi oduğuda üyeik foksiyo değeri daha yüksek oa ödeeyi diğer ödeeye tercih eder. Yai oyucu fuzzy hedefii başarı derecesii aksiize etek ister. Oyucu 2, Oyucu i μ ( x, y) fuzzy hedefii başarı derecesii iiize etek içi bir y Y strateisii seçtiğii kabu edei. O zaa Oyucu i fuzzy hedefii başarı derecesi vx ( ) = i y Y μ( xy, ) our. Bu duruda Oyucu, vx ( ) fuzzy hedefii başarı derecesii aksiize etek içi bir x X strateisii seçer. Yai ai resibie göre hareket eder aı (Bireşiş fuzzy hedefi başarı derecesie göre ai çözüü) : ( x, y ) kara strateierii herhagi bir çifti oak üzere, Oyucu içi bireşiş fuzzy hedefi başarı derecesie göre ai değer: * ax i ˆ μ ( ) (2.7) x X y Y a( x, y) şekide taıaır. Böye bir x strateisie bireşiş fuzzy hedefi başarı derecesie göre ai çözüü deir. Bezer yoa bireşiş fuzzy hedefi başarı derecesie göre Oyucu 2 i iiax çözüüü ayrıca ee aıabiir. 3 SAKAWA NIN MEODU Bu böüde tek aaçı oyuarı ai çözüeri içi Sakawa ı hesaaa yötei riecektir. Kabu edei ki fuzzy sayıar ie gösterie fuzzy ödeeer içi şeki foksiyoarı fuzzy hedeferi üyeik foksiyoarı ieer osu. Oyucu i fuzzy hedefii üyeik foksiyou 0 eğer < a a μ ( ) eğer a a G = (3.) a a eğer a < şekide gösterisi. Burada a Oyucu i tati derecesi e kötü ödeesi a Oyucu i tati derecesi e iyi ödeesidir. Yai Oyucu, a da daha az bir ödeeye tati oazke a de daha büyük bir ödeeye ta aaıya tati our. Oyucu Oyucu 2 sırasıya i I J ür strateierii seçtiğide Oyucu içi bir ödee a = ( a, a, `a ) fuzzy sayısı ie gösterisi. Üyeik foksiyou 0 eğer < a a a + a eğer a a < a a μa ( ) = (3.3) a + `a eğer a a + `a `a 0 eğer a +`a < 27

4 DPÜ Fe Biieri Estitüsü Dergisi Sayı 2, Nisa 200 Fuzzy Matris Oyuarıı Çözüeri Üzerie ie karakterize ediiş osu. Bu duruda Oyucu i ai değeri bireşiş fuzzy hedefi başarı derecesie göre aşağıdaki gibi gösteriir: * ax i ˆ μa( x, y) ( ) = ax i ax i( μa ( ), μ ( )) x X y Y x X y Y î G. (3.4) üyeik foksiyoarı ieer oduğuda bireşiş fuzzy hedefi başarı derecesie göre ai stratei aşağıdaki teore ie rie ateatikse rograaa robeii çözüesiye ede ediebiir. eore: İki kişii sıfır toaı oyuar içi fuzzy hedefi üyeik foksiyou fuzzy ödeei şeki foksiyou (3.) (3.3) gibi ieer osu. Bireşiş fuzzy hedefi başarı derecesie göre Oyucu i ai çözüü aşağıdaki ieer oaya rograaa robeii bir otia çözüüe dektir. aize σ x, σ ( a + `a ) y a = kısıtar σ, y Y `axy i + a a (3.5) = = 0,,..., * * Eğer σ otia değerse 0 σ dir []. (3.5) robeie Shiizu Aiyoshi i rahatata rosedürüü uyguarsak, y, =,...,, y Y ie taıı oktaarı aarak, yai robei ee aabiiriz [2]. aize σ x, σ ( ` ) y =, y 0, =,..., aarak (3.5) robei içi aşağıdaki rahatatıış = a + a x y a + i = kısıtar σ, =,..., `axy i a a = = 0, i =,..., Rahatatıış robe (3.6) i bir otia çözüü ( x, σ ) ie gösterisi. Eğer ( x, σ ) (3.5) oria robeie uygusa o zaa ( x, σ ), (3.5) oria robeii otia çözüü our. Uyguuğu test ediesi e çok bozua kısıt ı üretii aşağıdaki iiizasyo robeii çözüesiye ede ediebiir. (3.6) 28

5 DPÜ Fe Biieri Estitüsü Dergisi Sayı 2, Nisa 200 iiize ( ` ) = kısıtar y = a + a y a `ax i y + a a = = y 0, =,..., Fuzzy Matris Oyuarıı Çözüeri Üzerie (3.7) y + = yˆ( x ), (3.7) iiizasyo robeii otia çözüü osu. Eğer (, $ x y( x ), σ ), (3.5) oria robeii kısıtarıı sağarsa bu duruda (, $ x y( x ), σ ), oria robei otia çözüü our. Aksi takdirde eğer (, $ x y( x ), σ ), (3.5) oria robeii kısıtarıı sağaaz ise, o zaa (3.8) kısıt ı (3.6) robeii kısıtarıa ekeir robe (3.6) yeide çözüür. + ( ` ) i = = a + a x y a σ + `axy i + a a (3.8) Bu rosedür sou sayıda tekraraarak otia çözü ede ediebiir [2]. Fakat (3.6) rahatatıış robeii çözek haa zordur çükü robe ieer oaya kısıtara sahitir. (3.6) rahatatıış robei Sakawa ı etodu kuaıarak ieer hae getiriebiir [9]. Bu etot Bisectio yötei Sieks etoda dayaır. (3.6) rahatatıış robeide σ değişkei 0 σ koşuuu sağar çükü σ değişkei fuzzy hedefi başarı derecesie göre ai değerie karşıık geir. σ = σ osu, burada σ, [0,] araığıda bir değere sahitir. Bu duruda (3.6) rahatatıış robeii kısıtarı aşağıdaki gibi our: ( a ` ) ˆ + a y a σ `a y + a a, =,..., = = =. (3.9) 0, i =,..., Yukarıdaki (3.7) iiizasyo robei aşağıdaki değişke döüşüü kuaıarak ieer rograaa robeie idirgeebiir [3]. = `ax y + a a i = t. (3.0) 29

6 DPÜ Fe Biieri Estitüsü Dergisi Sayı 2, Nisa 200 Fuzzy Matris Oyuarıı Çözüeri Üzerie yt= z. (3.) Böyece (3.7) iiizasyo robei aşağıdaki ieer rograaa robeie idirgeiş our. i zt, kısıtar ( ` ) = = a + a z at z = t. (3.2) `ax i z + ( a at ) = 0, =,..., = z z = ( z, z,..., z ) t karar değişkeerie sahitir. İki eşitik (3.2) bir ieer rograaa robeidir, 2 kısıt ı değişkeeri egatif oaa koşuu vardır. Fuzzy ödeei fuzzy hedefi iki kişii sıfır toaı bir oyuda ai çözüü hesaaası aşağıdaki agoritaya özeteebiir. AGORİMA Adı : Ödeeer içi bir fuzzy hedef taıa, her hagi bir y Y seç = a. Sora (3.6) rahatatıış robeii forüe et. Adı 2: (3.6) rahatatıış robeii kısıtarıda σ = ˆ σ aarak (3.9) kısıtarıı forüe et, Bisectio etodu siex etodu kuaarak ( x*, ˆ σ = σ *) otia değerii hesaa, sora x* = x a. Adı 3: (3.2) deki iiizasyo robeii x ie forüe et. Adı 4: (3.2) deki iiizasyo robeii çöz otia çözü ( z, t ) ede et. Aaç foksiyouu değeri ( z Φ, t ) osu Adı 5: eğer ( z Φ, t ) σ * + ε ise agorita soa erer, burada ε öcede beirtiiş bir sabittir. Bu duruda x fuzzy hedefi başarı derecesie göre ai çözüdür. Aksi takdirde eğer Φ ( z, t ) < σ * + ε ise = + a ˆ σ yı düzeeyerek adı 2 ye dö. Sakawa gösterdi ki aşağıdaki rograaa robei (3.5) robeie dektir []. aize σ x, σ a + a x a = `ax i + a a = 0, i =,..., ( ` ) i kısıtar σ,,..., (3.3) 30

7 DPÜ Fe Biieri Estitüsü Dergisi Sayı 2, Nisa 200 Fuzzy Matris Oyuarıı Çözüeri Üzerie 4 DEFÜZİFİKASYON FONKSİYON MEODU Bütü fuzzy sayıarı küesi N ( ), A eeaarı fuzzy sayıar oa atris, b c sırasıya eeaarı fuzzy sayıar oa ktörer oak üzere uygu oacak şekide seçiiş q içi sırasıya Ax < b A y > c q iki fuzzy kısıt osu. Yager i [0] çözü yöteide i, i =,..., içi Ax b + ( λ), λ [0,] şekide yazabiiriz. Bezer şekide A y > q c A y c q ( η ), η [0,] şekide yazabiiriz. Ax< b kısıt ıı fuzzy ktörüü i. bieşei kısıt ıı q fuzzy ktörüü. bieşei q, =,..., içi Burada iki fuzzy sayı arasıdaki bağatıdır fuzzy sayıar ozitif skaere çarıdığıda sıraaayı korurar. Öreği herhagi bir sıraaa foksiyou F : N( ) içi eğer a b ise Fa () Fb () dir [7]. Bu F foksiyou rie fuzzy ieer rograaa robeeride beirsiziği ortada kadırak içide kuaıabiir, o zaa bu foksiyoa defuzzificatio foksiyo deir. O hade Ax< b A y > q c fuzzy kısıtarı aşağıdaki gibi our. Ai x b i + ( λ) i, λ [0,] ( i =,..., ) A ( ) y c η q, η [0,] ( =,..., ) Burada F( Ai x) F( b i ) + ( λ) F( ) F( A ) ( ) ( ) ( y F c η F q). ede ediir. a, b,, c q fuzzy üçgese sayıar F i i du Ax< b F( D) = d du d xμd ( xdx ), μ ( x) dx D [0] dir. Burada d A y > q c kısıtarı sırasıya aşağıdaki gibi our: d u fuzzy sayıarı at üst iiteridir. Fuzzy üçgese sayıarı öze duruarı içi 3

8 DPÜ Fe Biieri Estitüsü Dergisi Sayı 2, Nisa 200 Fuzzy Matris Oyuarıı Çözüeri Üzerie ( ( a) + a+ ( a) u) x (( bi) + bi+ ( bi) u) + ( λ) (( i) + i+ ( i) u) = (( a) + a+ ( a) u) yi (( c) + c+ ( c) u) ( η) (( q) + q+ ( q) u) λ [0,], η [0,], i =,..., =,...,. Burada ( ) ( ) ( ) ( c c c u) q ( q q q u) a = ( a ) + a + ( a ), b = ( b) + b + ( b), = ( ) + + ( ), u i i i i u i i i i u c = ( ) + + ( ) = ( ) + + ( ) fuzzy üçgese sayıardır. S = x, e x=, S = y, e y= A eeaarı fuzzy sayıarda ouşa bir atris { + } { + } oak üzere, v w sırasıya Oyucu Oyucu 2 i tati seviyeeri osu. Bu duruda fuzzy hedefi fuzzy ödeei iki kişii sıfır toaı bir oyuu FG ie gösterirsek ( FG = S, S, A, v, <,, w, >, q ) şekide our. Burada < > sırasıya i fuzzy rsiyoarı, q sırasıya Oyucu Oyucu 2 i fuzzy teoras seviyeeridir. Şidi fuzzy atris oyu FG i çözüüü iceeyeceğiz. aı: Eğer ( x ) Ay > v, y S x Ay < w, x S q ise ( x, y) S S oktasıa FG fuzzy atris oyuuu çözüü deir. Burada x ya Oyucu i otia strateisi y ya Oyucu 2 i otia strateisi deir. O hade Oyucu Oyucu 2 içi fuzzy ieer rograaa robeeri çiftii aşağıdaki gibi gösterebiiriz. öye bir x S bu ki (GFP) x Ay > v, y S öye bir y S bu ki (GFD) x Ay < w, x S q Bu ifadeye Yager i [0] çözü etodu Ziera ı [] yakaşıı uyguaırsa fuzzy ieer rograaa robei aşağıdaki robee idirgeir. ax λ kısıtar x Ay v ( λ), y S (GFP2) x S λ [0,] 32

9 DPÜ Fe Biieri Estitüsü Dergisi Fuzzy Matris Oyuarıı Çözüeri Üzerie Sayı 2, Nisa 200 (GFD2) ax η kısıtar x Ay w + q ( η), x S y S η [0,] (GFP2) (GFD2) kısıtarı F : N( ) defuzzificatio foksiyou yardııya şu şekide yazıabiir. ax λ kısıtar F( x Ay) F( v ) F( )( λ), y S (GFP3) ex= λ x, λ 0 ax η ( ) ( ) ( kısıtar F x Ay F w + F q)( η), x S (GFD3) e y = η y, η 0 Daha ev bahsettiğiiz gibi defuzzificatio foksiyo sıraaayı değiştireyeceğide (GFP3) (GFD3) aşağıdaki gibi yazıabiir. ax λ kısıtar x F( A) y F( v ) F( )( λ), y S (GFP4) ex= λ x, λ 0 ax η ( ) ( ) ( kısıtar x F A y F w + F q)( η), x S (GFD4) e y = η y, η 0 Burada F( A ) bir atris eeaarı ( Fa ) i =,..., =,..., dir. S S koks oduğuda, (GFP4) (GFD4) ü kısıtarıda S S i yaızca uç oktaarı etkidir. Bu da bizi Oyucu Oyucu 2 içi sırasıya aşağıdaki iki fuzzy ieer rograaa robeie götürür. ax λ kısıtar x F( A) F( v ) F( )( λ), (=,...,) (GFP5) ex= λ x, λ 0 33

10 DPÜ Fe Biieri Estitüsü Dergisi Sayı 2, Nisa 200 Fuzzy Matris Oyuarıı Çözüeri Üzerie (GFD5) ax η kısıtar F( A) y F( w) + F( q )( η), ( i =,..., ) i e y = η y, η 0 Burada F( A ) i F( A ) sırasıya F( A ) ı i. satırı. sütuudur. O hade FG fuzzy atris oyuuu çözek içi, sırasıya Oyucu Oyucu 2 içi (GFP5) (GFD5) ieer rograaa robeerii çözek zorudayız. Ayrıca eğer ( x, λ ), (GFP5) i bir otia çözüü ise o zaa x Oyucu içi bir otia stratei λ Oyucu i tati seviyesidir. Ayı ifadeer robe (GFD5) i bir otia çözüü oa ( y, η ) içide söyeebiir. eore : ( FG = S, S, A, v, <,, w, >, q ) şekide taıaış oa FG fuzzy atris oyuu (GFP5) (GFD5) ieer rograaa robeerie dektir [8]. Örek : (75,80,90) (50,56,58) A = (80,90,00) (75,80,90) şekide taıaış fuzzy atrisi ee aaı. Üyeik foksiyou aşağıdaki gibi taıaış osu. 0.eğer < 90 ( 90) μ ˆ ( ) =.eğer G 90.eğer 80<, Bu duruda bu robei Sakawa ı etodu ie çözersek aşağıdaki souçar ede ediir. ( x = , x = 0, 2244, σ = ) 2 Ayı robei = 2 = (8,2,24) teoras seviyesi v = (55,65,75) tati seviyesi içi Defuzzificatio foksiyo etodu ie çözersek souçar şu şekide our. ( x = , x = 0, , σ = ) 2 5 SONUÇ Fuzzy hedefi fuzzy ödeei iki kişii sıfır toaı oyuarı çözüeri içi Sakawa ı etodu Defuzzifikasyo foksiyo etot suudu. Bu etotar bir örek üzeride iceedi. Souçara dikkat ediirse ayı souçarı ede edidiği görüür ( σ = 0.8 ). Öreği çözüeride Mae 2 bigisayar rograı kuaııştır. 34

11 DPÜ Fe Biieri Estitüsü Dergisi Sayı 2, Nisa 200 Fuzzy Matris Oyuarıı Çözüeri Üzerie KAYNAKÇA [] M. Sakawa, ad I. Nishizaki, Max-Mi soutios for fuzzy utiobecti atrix gaes, Fuzzy set ad Systes, Vo.67,.53-69, 994. [2] K. Shiizu, ad E. Aiyoshi, Necessary coditios for i-ax robes ad agorith by a reaxatio rocedure, IEEE ras. Autoat. Cotro AC-25, 62-66,980 [3] A. Chares, ad W. Cooer, Prograig with iear fractioa fuctio, Nava Res. ogist. Quart. 9, 8-86, 962 [4] I.; Nishizaki, M. Sakawa, Fuzzy ad Mutiobecti Gaes for Cofict Resoutio, Heideberg; New York: Physica-Ver. 200 [5] W.D. Cook, Zero-su gaes with utie goas, Nava Res. ogist. Quart. 23, [6] M. Zeey, Gaes with utie ayoffs, Iteratioa Joura of Gae heory, Vo.4,. 79-9, 975. [7]. Caos Fuzzy iear rograig odes to so fuzzy atrix gaes, Fuzzy Sets ad Systes, Vo.32, , 989 [8] V. Vay, S. Chadra, C.R. Bector, Matrix gaes with fuzzy goas ad fuzzy ayoffs, Oega, Vo.33, , 2005 [9] M. Sakawa, Iteracti couter rogra for fuzzy iear rograig with utie obectis, Iteratioa oura of a-achie studies, Vo.8, , 983. [0] R.R. Yager, A rocedure for orderig fuzzy ubers of the uit iterva, Iforatio Scieces, Vo.24,.43-6, 98 [] H.J. Ziera, fuzzy rograig ad iear rograig with sera obecti fuctios, Fuzzy sets ad systes, Vo.,.45-55, 978 [2] J.P. Aubi, Matheatica Methods of Gae ad Ecooic heory 979 [3] J.P. Aubi, Cooerati fuzzy gae, Math. Of Oer. Res. 6-3, 98 [4] D. Butariu, Fuzzy gaes : A descritio of the cocet, Fuzzy sets ad systes, 8-92, 978 [5] D. Butariu, Stabiity ad shaey vaue for -erso fuzzy gae, Fuzzy sets ad systes 4, 63-72, 980 [6] C.R. Bector, S. Chadra, O duaity i iear rograig uder fuzzy eviroet, Fuzzy sets ad systes 25:3, 7-25, 2002 [7] C.R. Bector, S. Chadra, V. Vay, Matrix gaes with fuzzy goas ad fuzzy iear rograig duaity, Fuzzy Otiizatio ad Decisio Makig 3: , 2004 [8] C.R. Bector, S. Chadra, Vay V, Duaity i iear rograig with fuzzy araeters ad atrix gaes with fuzzy ayoffs, Fuzzy sets ad systes 46:2, 53-69, 2004 [9]. Maeda O characterizatio of equiibriu strategy of two erso zero-su gaes with fuzzy ayoffs, Fuzzy sets ad systes 39:2, 83-96, 2003 [20] i D-F. A fuzzy utiobecti aroach to so fuzzy atrix gaes, he oura of Fuzzy Matheatics 7:907-2,