Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof.Dr. Ülkü MEHMETOĞLU. Enstitü Müdürü

Transkript

1 AKARA ÜİVERSİTESİ FE BİLİMLERİ ESTİTÜSÜ YÜKSEK LİSAS TEZİ BAZI KISMİ TÜREVLİ DEKLEMLER İÇİ ÜMERİK ALGORİTMALAR Güay MEHMETLİOĞLU MATEMATİK AABİLİM DALI AKARA 7 Her hakkı sakıdır

2 Yrd. Doc. Dr. ri ÖZALP daışaığıda, Güay MEHMETLİOĞLU arafıda hazıraa b çaışa arihide aşağıdaki üri arafıda Maeaik Aabii Daı da Yüksek Lisas ezi oarak kab ediişir. Başka: Doç. Dr. Msafa TÜRKYILMAZOĞLU Yrd. Doç. Dr. Faa TAŞDELE Yrd.Doç.Dr. ri ÖZALP Ykarıdaki soc oayarı. Prof.Dr. Ükü MEHMETOĞLU Esiü Müdürü

3 ÖZET Yüksek Lisas Tezi BAZI KISMİ TÜREVLİ DEKLEMLER İÇİ ÜMERİK ALGORİTMALAR Güay MEHMETLİOĞLU Akara Üiversiesi Fe Biieri Esiüsü Maeaik Aabii Daı Daışa: Yrd.Doç.Dr. ri ÖZALP B ez aı böüde oşakadır. Birici böü ee kavraara ayrıışır. İkici böü Tayor serierii üerik aaı ve so farkar yardıı ie üreve üerik yakaşı forüeri ve bigisayar agoriaarıa ayrıışır. Üçücü böüde, ısı dekeii üerik çözüüü ede eek içi geişiriiş agoriaar veriişir. Ayrıca, b yöeeri kararıığı iceeişir. Dördücü, Beşici ve Aıcı böüerde bezer çaışaar sırası ie iki boy ısı dekei, daga dekei ve Lapace dekeie ygaışır. 7, 57 sayfa Aahar Keieer : Tayor serieri, so-ieri-geri ve erkezi farkar, ısı dekei, daga dekei, Lapace dekei, kararıık aaizi. i

4 ABSTRACT Maser Thesis UMERICAL ALGORITHMS FOR SOME PARTIAL DIFFERETIAL EQUATIOS Güay MEHMETLİOĞLU Akara Uiversiy Gradae Schoo of ara ad Appied Scieces Depare of Maheaics Spervisor: Ass. Prof. Dr. ri ÖZALP This hesis cosiss of six chapers. The firs chaper is for irodcory. The secod chaper is devoed o he erica foraios ad agorihs of derivaives wih fiie differeces ad Tayor series. I he hird chaper, soe we-sied erica ehods ad agorihs are give o obai he soio for he hea eqaio. A sabiiy aaysis of he ehods is aso sdied. Siiar ype ehods are sdied i forh, fifh ad sixh chaper, respecivey, for he wo diesioa hea eqaio, wave eqaio ad Lapace eqaio. 7, 57 pages Key Words: Tayor series, fiie-forward-backward-cera differece, hea eqaio, Lapace eqaio, wave eqaio, sabiiy aaysis. ii

5 TEŞEKKÜR Çaışaarıı yöedire, çaışaarıı her aşaasıda bigi, öeri ve yardıarıı esirgeeyerek akadeik orada odğ kadar beşeri iişkierde de egi fikireriye yeişe ve geişee kakıda ba daışa hoca sayı Yrd. Doç. Dr. ri ÖZALP e, çaışaarı süresice addi aevi desekerii esirgeeye aiee ve özeike baa her zaa iaa ve desekeye aee; çaışaarı sırasıda addi aevi öei kakıarda ba arkadaşı Derya KAHYA ya e deri dygara eşekkür ederi. Güay MEHMETLİOĞLU Akara, Mar 7 iii

6 İÇİDEKİLER ÖZET...i ABSTRACT...ii TEŞEKKÜR...iii ŞEKİLLER DİZİİ...vi. GİRİŞ.... SOLU FARKLAR VE KESİK TAYLOR SERİLERİ.... Poio Yakaşıarı.... Kese Haası Birici Türev Yakaşıarı İkici Türever Kısi Türever ISI DEKLEMİ Giriş Kısi Türevi Deke Hesapaaar Düzesiziği Yayıa Hızı Hesapaış Örek Forier-Vo ea Kararıık Aaizi Giriş Özdeğer Foksiyoarı ve Çarpı Soçar Kısi Türevi Deke ie Karşıaşıra Kararıık Yakısakık Kararıık Şarıı Beireesi İçi Basieşiriiş Yöe Rasgee Yürüyüş Kısi Türevi Dekeer içi Değişkeeri Ayrıı ve Fark Dekeerii Aaiik Çözüeri Birici Basaak Fark Dekeeri İkici Basaaka Fark Dekeeri Maris Göserii...3 iv

7 3.7 Hooe Oaya Probeer Diğer Sayısa Yöeer Richardso Yöei Crak-ichoso Yöei Sıır Şararıı Diğer Tiperi İKİ BOYUTLU ISI DEKLEMİ DALGA DEKLEMİ LAPLACE DEKLEMİ Giriş Jacobi İerasyo Gass-Seide Dögüsü...5 KAYAKLAR...56 ÖZGEÇMİŞ...57 v

8 ŞEKİLLER DİZİİ Şeki. Tayor poioarı... Şeki. İkici ürevi erkez fark ahii içi ağırıkar...8 Şeki.3 Birici kısi ürev içi okaar...9 Şeki.4 Lapace içi ağırıkar... Şeki 3. Uzay-zaa okasaaşırası...3 Şeki 3. Zaada ieree...5 Şeki 3.3 Düzesiziği yayıa hızı...6 Şeki 3.4 Başagıç koş...7 Şeki 3.5 Isı dekei içi 3. yakaşıarı. s k x. a s kararı b s kararsız Şeki 3.6 okasa probe içi özfoksiyoar... Şeki 3.7 Pasca üçgei...7 Şeki 3.8 Birici basaak fark dekeii çözüeri...3 Şeki 3.9 okasa ısı dekeie karşıık gee A ı Gershgari çeberi...37 Şeki 3. Kapaı Crak-ichoso yöei...4 Şeki 4. Başagıç koş...43 Şeki 4. L-şekii bögede sıcakığı sayısa hesabı...44 Şeki 4.3 L-şekii bögede sıcakığı sayısa hesabı...44 Şeki 5. Daga dekei içi zaada ieree...45 Şeki 6. Gass-Seide ierasyoarı...53 vi

9 . GİRİŞ Kısi ürevi dekeer sıkıka sııfadırıır. Ayı sııfaki dekeer bezer aeaikse ve fizikse özeikere sahipir. Isı dekei k x paraboik kısi ürevi dekeere bir örekir. Çözüer geede zaaa göre üse oarak azaır ve bir dege çözüüe yakaşır. Daga dekei c x ; hiperboik kısi ürevi deke ürüdür. Tireşi odarı vardır. Lapace dekei x y ; eipik kısi ürevi dekee bir örekir. Çözüer geeike aksi presiperii sağar. Paraboik, hiperboik ve eipik eriooisi, koik kesieri döüşü özeikerii socdr.weiberger 965 Fizike igii b kısi ürevi dekeeri açık çözüerii bak içi çeşii yöeer veriekedir. Bir boy daga dekei hariç, çözüer sıırsız serier ya da iegra içere karaşık fordadır. Pek çok evc drda, kısi ürevi dekeeri çözüerii deayı üerik hesapaaarı gerekidir Öreği Forier serisii ik eriii hesabı gibi. Acak özeike bigisayar kaıası gerekiyorsa geede üerik çözüer bak içi daha ekii eoar vardır. B ezde, farkı ürdeki kısi ürevi dekeer içi so farkı üerik yöeer geişireceğiz. Agoriaarı, ısı, daga ve Lapace dekei içi oşracağız. Lieer oayaar dahi oak üzere diğer dekeere agoriaarı ygaak çok zor oayacakır.

10 . SOLU FARKLAR VE KESİK TAYLOR SERİLERİ. Poio Yakaşıarı So farkı üerik hesapaaar içi ee ekik x x koşğda f x foksiyoa poio yakaşııa dayaır. x xx aaı yai x x x os. Eğer f x e x xkoşğda bir sabi ie yakaşırsak f x seçeriz. f x içi daha iyi bir ahi x x daki eğe doğrs; f df x. dx x f x x x x Yai ieer bir yakaşı birici derece poio dır. f x e daha iyi bir yakaşı. f x xf x x f x! ikici derece kadraik yakaşıı op, b yakaşıı x x daki birici ve ikici ürev değereri f x ie ayıdır. Böyece, eğer x, x a yeerice yakı yai küçük ise, Şeki. de görüdüğü gibi f x e her bir üs derece poio yakaşıı daha faza dyarı or. x Şeki. Tayor poioarı

11 . Kese Haası Bir poio yakaşııdaki haa forüü, x f x xf x x f x R f....! eşiiğide doğrda ede ediir. B eşiik kaa erii Tayor serisi oarak biiir. Kaa eri R kese haası da deir, serii bir soraki erii ciside veriir, faka geeike biieye bir ora okada hesapaır. Yai x! ξ R f x < ξ < x x x.3 oacak şekide bir ξ değeri vardır. Kşksz, b değeri var oası içi f x i süreki üreve sahip oası gerekidir. Örek: Teğe doğrs yakaşııdaki haa,.3 de içi f x x f x x x x df d f ξ.4 dx! dx op geişiriiş oraaa değer eorei oarak adadırıır. Eğer x küçükse, ξ küçük bir araığı içide kaır ve Yai; d f dx süreki ise kese haası hee hee beireir. R x d f dx x or. Kese haası b drda O x dea x kare basaakadır deriz. B aaı; 3

12 R C x dir, çükü geeike d f dx i d f dx < M sıırı odğ varsaydığıız içidir. Böyece M C dir..3 Birici Türev Yakaşıarı Tayor serisii kaarak ürevere değişik şekierde yakaşabiiriz. Öreği.4 de df dx x f x x f x x d f dx ξ.5a x dir. Böyece df dx içi bir so fark yakaşıı oarak; df dx x f x x f x x.5b ieri fark yakaşııı verebiiriz ki b eredeyse ürevi aııdır. Brada bir ieri fark yakaşıı kaıyorz acak x iiii aıyorz..5a her x içi geçeri odğda, x yerie df x yazarsak dx içi df f x x f x x dx x dx ξ x d f.6a ve brada df dx x x x f x f x f x x f.6b x x 4

13 geri fark yakaşııı ede ederiz..5a yı.5b ie ve.6a yı.6b ie kıyasarsak, Ox i kese haası odğ ve b birici üreve ieri ve geri fark yakaşıarı içi eredeyse özdeş odğ görebiiriz. df dx x a daha dyarı bir yakaşı bak içi, ieri ve geri fark yakaşıarıı oraaasıı aabiiriz..5a ve.6a yı opayarak, df dx x x x f x x x d f d f f ξ ξ x dx dx.6c ede ederiz. ξ,ξ ye yakı odğda, haaı eredeyse yok oasıı ve doayısıya O x de az oasıı bekiyorz. B yakaşıdaki haayı ede eek içi Tayor serierie geri döüp f x x de f x x i çıkarırsak; x x 3 f x x f x xf x f x f ξ.7a! 3! x x 3 f x x f x xf x f x f ξ.7b! 3! ve böyece f x 3 x f x x xf x x [ f ξ f ξ] 3! brz. Her iki yaı x ie böüp, f içi oraaa değer eoreii kaırsak x x f x x x f ξ3.8a x 6 f x f 5

14 df dx ede ederiz. Brada da x içi f x x x f x x f.8b x erkezi fark yakaşııı ede eiş orz..8b dekei daha dyarı kese haası O x odğda ve he ieri he geri fark forüeride odğ gibi ayı sayıda iki foksiyo hesabı içerdiğide, geeike ercih ediir. Acak daha sora gösereceğiiz gibi erkezi fark forüüü kaak her zaa daha iyi değidir. df dx içi b so fark ahieri arıdır, yai x içi kese haası yok or. o edei ki, daha dyarı so fark forüeri evcr, faka, daha faza foksiyo hesabı içereeride doayı, daha az kaıakadırar. x oak üzere f x og x içi Örek:. aaı. Praik probeeri aksie, brada gerçek cevabı Hesap akiesi kaarak df dx i üerik ahiii göz öüe df dx odğ biiyorz. og x, x., f x x f. og..953 ve f x x op, Tabo. deki sayısa değereri ede edebiiriz. Teorik oarak, x i bir kvvei oa erkezi fark içi haa daha küçük oaıdır ki b aboda görekeyiz. Haayı daha iyi aaak içi, kaa eri içi bir ahi yaparak bekee E haasıı hesapayaı. 6

15 ieri geri erkez Fark forüü haa % 5.365%.335% İeri ya da geri farkar içi. E.5 x d f dx E x 6 3 d f 3 dx dir. B değerer abodaki gerçek haa değereriye odkça yşakadır. Haaarı b şekide ahi eek çok daha ygdr, çükü ikici ve üçücü ürever her zaa biiekedir..4 İkici Türever.7a ve.7b haa erierii dördücü ürevde opayarak 4 x ξ ξ 4 4 f x x f x x f x x f x f f 4! ve brada da f x x f x f x x x x 4 f ξ f x.9a ede ederiz. Brada, ve ξ ξ ξ arasıda bir sayıdır. B bize x O kese haası ie 7

16 d f dx x x f x x f x f x x.9b ikici ürev içi so fark yakaşııı verir..9b dekei ikici ürev içi erkezi fark yakaşıı oarak adadırıır çükü o ayı zaada birici erkezi fark forüerii ekraraarak ygaasıya da babiir. İkici ürev içi erkezi fark yakaşıı üç foksiyo değeri içerir f x x, f x ve f x x gee ağırıkarı, x, ve x x. Karşıık, Şeki. de veriişir. Asıda, gee oarak her ürevi so fark yakaşıı içi ağırıkar opaı aka sıfır oaıdır. - Şeki. İkici ürevi erkez fark yakaşıarı içi ağırıkar.5 Kısi Türever Kısi ürevi dekeeri çözerke, öreği x,y, x, ve x,y, gibi iki ya da daha çok değişkei foksiyoarı iceeekeyiz. üerik yöeer geeike so fark yakaşıarı kaır. Bazı aa hepsi deği kısi ürever, bir değişkei foksiyoar içi ede eiğiiz forüerde çıkarıabiir. Öreği, eğer x, y ise, x ürevi, d y sabi kab ediek üzere ürevidir. Böyece, kısi ürever içi ieri, geri ya da dx erkezi fark forüerii kaabiiriz. Merkezi fark forüüü kaırsak x x, y x x, y x x, y x 8

17 or. y içi x sabi kab ediirse y x y, x y y x, y y, y br. Bar Şeki.3 de göseridiği gibi iki oka forüeridir. x,y y x - x,y x x,y x,y - y Şeki.3 Birici kısi ürev içi okaar Fizik probeeride geeike x y Lapasyee gereksii vardır. İkici ürev içi.9b erkezi fark forüüü y yi sabi p x e ve x i sabi p y ye göre yazarsak, x, y x x, y x, y x x, y x x, y y x, y x, y y y. ede ederiz. Brada haa Oy Lapasye içi ve Ox i büyüğüdür. Geeike xy aıarak x x, y x x, y x, y y x, y y 4 x y x, x, y 9

18 . sadar beş oka so fark yakaşııı ede ederiz. Şeki.4 de görüdüğü gibi ağırıkar opaı sıfırdır -4 Şeki.4. Lapasye içi ağırıkar x y

19 3. ISI DEKLEMİ 3. Giriş B böüde, < x< L so araığıda kayaksız, bir-boy ısı dekeii çözek içi üerik so fark yöeii oşracağız. Maeaikse oarak, probeii göz öüe aaı. k 3.a x, 3.b L, 3.c x f x, 3.d 3. Kısi Türevi Deke Türever içi verie so fark forüerie dayaa yakaşıarı x x, okaarıda kısi ürevi dekede yerie yazarak başayaı. B çeşii yoara yapabiiriz, faka bazı yoarı iyi diğererii köü odğ göreceğiz. Keyfi oarak, içi ieri fark yakaşııı kaaı, < η < içi,, x x x,, x η or. Uzaysa ürever içi erkezi fark forüerii yazarsak, x < ξ< x x içi x,,, x 4 x x x x x x x x ξ,, 4 or. Böyece herhagi bir x x, okasıda, kese haası

20 oak üzere ısı dekei a oarak x 4 k E x, η ξ, x x, x, x x, x x x,, k x E 3. şekidedir. E biiediğide 3. yi çözeeyiz. B yerie, kese haasıı yok sayarak x, x, x x, x, x x, k x 3.4 yakaşııı yapaı. Daha açık oası içi, x x, okasıdaki kesi çözü x, a yakaşıı x ie göserei. x çözsü. B drda ~, ~ yakaşıı 3.4 ü kesi oarak, ~ ~ ~ x, x, x x, x, x x, k x ~ ~ 3.5 ~ sadece yakaşık oarak doğr oa bir dekei kesi çözüüdür. or. x, İseie çözü x, a x, % ie doğr yakaşıdığıı yorz. 3.5 dekei zayda x ve zaada düzgü bir x ağı ve sabi bir araığı ie ayrıış okaar içerir. O hade, okaaşıra zaaıı göz öüe aaı. Başagıç sıır değer probeiizi aı küeside ağ ve zaa okaaşırasıı bir zayzaa diyagraı ie Şeki 3. deki gibi göserebiiriz. L zğdaki çbğ eşi araığa böersek, oarak, L x. x, x x, x x,., x x L ve gee x x 3.6

21 Şeki 3. Uzay-zaa okasaaşırası or. Bezer şekide zaa adı zkarı yi 3.7 oarak verebiiriz. x, okasıdaki gerçek sıcakık, yakaşık oarak % x, op, b 3.5 i sağar. Basiik içi zaaıda yici ağda 3.5 i a çözüüü beirek üzere, ~ x, dekeii her bir x x ağ okasıda, zaaıda zay-zaa sıırarı hariç sağayacakır. x x i x x x ve i, odğa dikka edei. Böyece,,..., ve, de başaak üzere, k x 3.9 br. 3.9 dekeie kısi fark dekei deir. Yere kese haası 3.3 de veridiği gibi, O ve O x i büyük oaıdır. x ve ike E odğda, 3.9 yakaşıı 3. kısi ürevi dekei ie arıdır. 3

22 Ek oarak, i, ağ okaarıda başagıç koşarıı sağaasıda ısrar ediyorz. Yai x x,,,..., oak üzere, x f x f x 3. kab ediyorz. Bezer şekide, her bir zaa adııda, 3.a L, 3.b sıır koşarıı sağar. Eğer başagıç zaaıda herhagi bir sıır okasıda fizikse ve doayısıya aeaikse bir süreksizik varsa, yoara aaiz ediebiir. ya da, farkı sayısa 3.3 Hesapaaar 3.9 so farkar yapısı Şeki 3. de göseridiği gibi 4 oka içerir, 3 ae zaaıda, bir ae de ieri zaaıda. zaa içide iereyebiiriz: Brada s, boysz bir paraere op, i 3. de çözerek s. 3. s k 3.3 x dir., öcede beireiş 3 değeri ieer bireşiidir. f x,,..., başagıç değererii kaarak hesapaaıza başıyorz. Böyece 3. de zaaıdaki çözüüü beirer ve hesapaayı sürdürürüz. Sıırara biişik araık okaarı içi yai ya da içi, 3., ya da sıır okaarıdaki çözüe gerek dyar. B değerer sıır 4

23 koşarıda ede ediir. B yöee okasa probeiizi koayıka çözebiiriz. B çözü yapısı bigisayarda prograaabiir. Şeki 3. Zaada ieree 3.3. Düzesiziği Yayıa Hızı Basi bir örek oarak, başagıç koşarı araığı bir iç ağ okasıda, diğer okaarda sıfır oarak verisi. İk zaa adııda, 3. de, sıfırda farkı ağ okası ve o iki koşs dışıda kaa her yerde çözü sıfır or. B süreç Şeki 3.3 deki gibi deva eder. Yıdızar sıfırda farkı değereri göserir. İzoe ediiş sıfırda farkı değerer sabi hıza yayıırar sııra aşaa kadar. B düzesizik x hızıya yayıır. Faka, ısı dekei içi düzesizik sosz hızda deva eder. B ise, bir aada, 3. üerik forüüü ısı dekeii b özeiğie zayıf yakaşığıı söyer. s paraeresi sabieirse, sayısa yayıı hızı x kx s x k sx or. Böyece, x ike sabi s içi arz edidiği şekide hız a yakaşır. 5

24 Şeki 3.3 Düzesiziği yayıı hızı 3.3. Hesapaış Örek 3. yi kaak içi x ve çözüüüz daha küçük kesiike azaacakır. x ve x ve yi beireeiyiz. Tahi edieceği gibi, ie daha dyarı oacakır. Yere kese haaarı, i azaıasıı beirgi bir dezavaaı ise, büü sayısa hesapaaarda gereki oa zaaı paraı arasıa ede oasıdır. B iişkieri üerik hesapaaarda geeike karşııza çıkar. Faka aaiz yapaız gereke daha ciddi zorkar bakadır. B probei görek içi 3. i hesapaasıı yapacağız. Öceike x ve seçiir. Hesapaaarıızda x k oarak sabi aırız 9 iç, sıır oka. 3. kısi fark dekei öceike s x ye bağı odğda, öceike yi seçei. Öreği drda da Şeki 3.3 deki gibi x, f x aaı. Kısi ürevi dekei a çözüü L s veya s aaı. İki 4 başagıç ve 3. sıfır sıır koşarıı a L x f xsi π dx L L oak üzere x, a πx si e L π k L 3.4 dir. 6

25 Şeki 3.4 Başagıç koşarı 3.4 de çözüü ye göre üse oarak azadığı ve büyük er içi basi bir siüsse π x si L şekie yakaşığı görüekedir. s ve s içi Şeki 3.5 de 3. 4 yakaşıarı göseriişir. Kesi soçara dayaarak aadığıız s içi oa 4 soç daha aıkıdır. Diğer arafa s içi oa soç aasızdır. B e açık zorğ egaif sıcakıkardır. Çözü zaa ve zayda hızı dagaaaar şekide büyür. Barda hiçbiri ısı dekeiye bağaıı değidir. s ise, so farkar yakaşııda kararsız soçar oraya çıkar. Bir soraki böüde b soçar k açıkaacakır. Maıkı sayısa çözüer ede edebiek içi s değerii ası x seçiesi gerekiğii aaaıyız. 3.4 Forier-Vo ea Kararıık Aaizi 3.4. Giriş B böüde, ısı dekei içi zaada erkezi fark ve zayda ieri fark forüeri ie k ede edie so fark prograı aaiz ediecekir. s, x x x, ve x, oak üzere aşağıdaki probei göz öüe aaı. 7

26 a Şeki 3.5 Isı dekei içi 3. yakaşıarı s k x b a s b s kararsız 4 KTD: s 3.5a BK: f x f 3.5b SK: 3.5c 3.5d 8

27 3.4. Özdeğer Foksiyoarı ve Çarpı Soçar Değişkeeri ayrıası yöei kısi ürevi dekeere ygaırsa, α daga sayısıı göserek üzere e iαx Q e iαx Q 3.6 forda öze çarpı çözüeri ede ediir [Habera]. 3.6 ve 3.5 dekeerii bireşii ve i x e α Q i sadeeşiriesiye [ cos α ] iαx iαx Q s e e s x 3.7 ede ediir. Q, egaif ve poziif α değereri içi değişeekedir. Bda doayı i x e α ± i ieer kobiasyo kaıabiir. Sıır koş içi siα x ygdr ve içi π α dir. Böyece 3.5 i L π x si Q 3.8 L forda çözüeri vardır. Brada Q, 3.7 de πx Q s cos L 3.9 ve ieride açıkaacağı gibi,,..., oarak beireir. π x Kısi ürevi deke içi sosz sayıda si,,, 3,... özfoksiyo vardır. L Acak bizi kısi fark dekeiiz içi sadece bağısız özfoksiyo πx vardır si,,,..., : L 9

28 πx πx π φ si si si 3. L L Bar kısi ürevi dekeerdeki ie ayıdır. Öreği içi φ si π ü er içi. Ayrıca π π π π si si π si π si odğda içi φ, içi oa φ ye eşiir. Şeki 3.6 da, içi bazı özfoksiyoar göseriişir. Kısi fark dekei okasaaşıra edeiye sadece dagada oşr. B daga sayısı bağısız ağ okaarıı sayısıa eşiir ç okaar hariç. E kısa daga zk daga, π π π si si si L op, her okada işare değişirir. Gee çözü, süperpozisyo presibi ie β er sabi oak üzere, πx π β si s cos L 3. k op, brada s dir. B kasayıar x π si özdeğer foksiyoarıı dikiği kaıarak, başagıç koşarıda beireebiir.

29 3.4.3 Kısi Türevi Deke ie Karşıaşıra Kısi fark dekei çarpı çözüü, kısi ürevi dekei x, çarpı çözüü ie karşıaşırıabiir: x L π π si s cos,,..., Şeki 3.6 okasa probe içi öz foksiyoar π πx k L x. si e,,... L Kısi ürevi deke içi, her daga e k π L eriide doayı üse oarak azaır. πx Kısi fark dekei içi, zaaa bağııığı si e karşıık gee L dir. Q π s cos L 3.

30 3.4.4 Kararıık Eğer Q> ise, zaaa göre üse bir arış vardır. Eğer < Q< ise üse azaa oşr. Eğer Q ise çözü zaaa göre sabiir. Acak, ba ek oarak, zaaa göre yakısak saııar < Q<, saf saııar Q, ve ıraksak saııar Q< oabiir. B oasııkar Kesi 3.5 de iceeiş ve göseriişir. Q değeri kararığı beirer. Büü çözüer içi eğer Q ise sayısa yöei kararı odğ söyeyeceğiz. Aksi drda, yöe kararsızdır. Q π Q yi aaiz eeye geri döersek, Q s cos dir. Brada Q dir. Çözü zaaa göre kesi oarak üse bir şekide büyüyeez. Acak, üse oarak azaabidiği gibi çözü yakısak ve ıraksak saııar yapabiir. Sayısa yöeiizi zaaa göre ıraksak saıasıı iseeyiz *. Eğer s çok büyükse Q egaif oabiir. Q odğda, eğer Q ise, çözü kararı or. Kararı oası içi π,,..., içi s cos yada,,..., içi s π cos oaıdır. Böyece kararıık içi, s aka, içi de, küçük yada eşi oaı, yai s π cos π oaı ki koş basieşirek içi, cos < s ise sayısa çözüü kararıığı kesidir: odğ göz öüe aırsak Yakısak saııar kısi ürevi dekei davraışıı ekraraaz, aa e azıda azaırar. Saııı azaa erieri oere edeceğiz.

31 s < 3.3 π cos Praike, π π π cos cos odğda, de daha büyük aaayız ve i π büyük değereri içi, cos or. Eğer s > ise, bazı er içi, geeike Q< ecbr değidir or. Böyece, sayısa çözü ıraksak bir saıı içerir. Ba sayısa kararsızık deir. Eğer s> ise, e hızı ara çözü, zayda bir hızı saııa karşıık geir. Sayısa kararsızık zayda hızı saıa çözüü zaadaki Q< ıraksak saııı ie karakerize ediir. Geeike, b şekide bir bigisayar çıkısı oşrsa, sayısa yöe kararsız ve aıksız deekir. B da bizi sayısa oarak gözeediğiiz soçr. s içi çözü daha aıkı davraakadır. Acak, 4 s içi, zaaa göre ıraksak ve zayda hızı değişe bir saıı görüür. k s odğda x s kısıaası x 3.4 k odğ söyer. B, sayısa hesapaaara praik sııraaar koyar. zaa araığı çok büyük oaaıdır yoksa yapı kararsız or. Asıda, dyarı hesap içi küçük oası gerekiğide 3.4 zaa araığıı oabidiğice küçük oası gerekiğii göserir. Bda doayı, ısı dekei içi ieri fark yakaşıı hesabı bir aada pahaıdır. Hesapaaarı küçüek içi oabidiğice büyük kararıığı x 3

32 sağaak üzere aıaıdır. Brada dekei s iyi bir değerdir. B drda kısi fark [ ] or. İeri zaaıdaki sıcakık, sağdaki ve sodaki sıcakığı oraaasıdır. 4

33 3.4.5 Yakısakık Diferesiye ve fark dekeeri arasıda bir gee karşıaşıra; kısi fark dekeii x ve içi çözüü iierii iceeesidir. Eğer << ise, sabieiş ve içi okasaaşıraı zaaa bağııığıı, ısı dekeiikie yakaşığıı göserei. Eğer << π cos π odğ Tayor seriside br. Böyece L içi x ise h π π s k, op, brada z z z e i, içi h e k π ede ediir. Acak, küçük değise, praik hesapaaarda zorkar oabiir. Bar, kısi fark dekeii yüksek zaysa saııı çözüeridir. Bar ısı dekei içi zork çıkarabiecek ek dagaardır. Yakısakık ve kararıık arasıdaki iişki geeeşiriebiir. Lax dekik eorei derki: iyi aıı oa zaaa bağı ieer kısi ürevi dekeeri arı so fark yakaşıarı içi sayısa forü, eğer kararı ise yakısar ve yakısak ise kararıdır Kararıık Şarıı Beireesi içi Basieşiriiş Yöe Sayısa eod kararığıı daha hızı aaiz ediesi çoğ zaa ygdr. Bizi değişkeeri ayrıası eoda dayaa aaiziizde, x x ve oak üzere, fark dekeii x e göre saıı yapa öze çözüerii var odğ göserişik: 5

34 i x e α Q 3.5 idi. α, sıır koşarıda kısıadırıışır. Geeike kararıık aaizii basieşirek içi sıır koşarıı görezde geir ve α ı herhagi bir değer aasıa izi veririz *. B drda s ise kararıık 3.7 dekeideki gibidir Rasgee Yürüyüş 3.5a kısi fark dekei Şekide yazıabiir. Kararı bögede, s s s bir oasıık probei oarak düşüüebiir. Her bir rasgee sağa soa 3.6 s op, b rasgee yürüyüş oarak adadırıa zaa biriide dikie ya da x büyüküğüde adıar aarak yürüye bir ayyaş göz öüe aıabiir. B kişii a oarak erede oacağıı bieeyiz. yi bir ayyaşı. zaada okasıda ba oasıığı oarak aaı. Kişii aıda, sağa veya soa adı aa oasıığı s, ayı os. B drda de küçük ya da eşi oaıdır. B kişi aıda s, x de daha faza zakaşaaz. Bda doayı, kişi s oasıığı ie drr. Kişii bir soraki aıda x de oa oasıığı 3.6 da veriir. B üç oası dr opaıdır. Öreği, kişi öceki zaada oasıığı ie orada oabiirdi ve s oasııka kııdaaışı, b iki oayı bieşik oasıığı s dir. Ayrıca, kişi oasııka soa ya da ie sağa bir adı aış ve s oasııka yg yöe adı aış oabiir. Daha deayı kararıık aaizeri göserir ki kararsız dagaar daha küçük daga boyarıda oşrar. B dagaara sıır ekisii odkça az oası bekeir. 6

35 Kararı hesapaaar içi e büyük zaa adıı rasgee yürüyüş probei dikii kaa oasıığı sıfır oa s ye karşıık geir. Eğer ik pozisyo a oarak biiiyorsa,, ik biie ko, diger ko or. Daha sora, kişi ½ oasııka sağa ya da soa gider. B Pasca üçgei ie göserie bio oasıık dağıııı verir Şeki 3.7. Şeki 3.7 Pasca üçgei 3.5. Kısi Türevi Dekeer içi Değişkeeri Ayrıı ve Fark Dekeerii Aaiik Çözüeri Kısi fark dekeeri, kısi ürevi dekeer içi kaıa değişkeerie ayıra yöei ie ayı şekide aaiz ediebiir. 3.5a ı φ h 3.7 7

36 şekide öze çarpı çözüerii odğ varsayarak başayaı. 3.6 yı 3.5a da yerie koyarsak, φ h φ h s φ h φ h φ h ede ederiz. φ ye böerek, değişkeerie ayrıırsa, h h h φ s φ φ λ λ ayrı sabii or. Böyece kısi fark dekei, iki adi fark dekei haie geir. okasa zaaa göre oa fark dekei birici basaaka yai ek fark içere h λ 3.8 h or. Özdeğer λ, kısi ürevi dekeerde odğ gibi, bir sıır değer probei ie beireir. Brada, ikici basaaka fark dekei λ s φ φ φ s 3.9a op, iki sıır koş ise, 3.5c ve 3.5d de φ 3.9b dir. φ 3.9c 8

37 3.5. Birici Basaak Fark Dekeeri 3.8 gibi, birici basaak sabi kasayıı ieer fark dekeeri koay aaiz ediir. λ sabi oak üzere, h λ 3.3 h Dekeii göz öüe aaı: Açıkca h λ, h λ h λ ho, h Ve böyece çözü, h λ 3.3 h dir. Brada, h, birici basaaka fark dekei içi bir başagıç koşdr. 3.3 i ede eek içi aeraif bir yo, odğ varsayakır. B 3.3 da yerie koyarsak h Q forda bir hooe çözü Q λq yada Q λ yı verir ki b 3.3 dir. B so ekik, r e yi, sabi kasayıı hooe diferesiye dekede yerie koyaya bezer. Şeki 3.8 de çeşii λ değereri içi 3.3 çözüü göseriişir. 9

38 Şeki 3.8 Birici basaak fark dekeerii çözüeri Dikka ediirse λ > içi çözü üse oarak büyür odğda ogλ ogλ λ e e. Eğer λ < < ise, çözü üse oarak azaır. Dahası eğer < λ< ise, çözü dagaı azaır yakısak saıı oarak biiir. Diğer arafa eğer λ< ise çözü ıraksak saıır. Bazı drarda, λ kopeks oabiir. Kopeks sayıı kpsa for kaarak λ iθ re, λ r ve θ argλ λ iθ r e λ cos θ i si θ 3.3 ede ediir. Öreği, gerçek kısı λ cos θ dır. i bir foksiyo oarak λ π π periyod ie saıı yapar. Çözü okasa zaada λ > ise θ argλ 3

39 büyür, λ < ise azaır. Özeersek, h λh i çözüü λ, eğer λ ise ararke ararke sıırı kaır. Eğer λ > ise büyür İkici Basaaka Fark Dekeeri λ s, adııda bağısız odğda 3.9a fark dekei sabi s kasayııdır. Aaiik bir çözü koayca babiir. Her sabi kasayıı fark dekei içi birici basaaka fark dekeide yapabidiğiiz gibi φ Q aıarak hooe çözüer babiir. Sıır koşarı φ φ, çözüü saıabieceğii öerir.. B geeike Q kopeks ve Q odğda görüür ki, b drda eşdeğer bir döüşü, θ argq α oak üzere x x x, x x iθ iθ iθ x iαx Q e e e e 3.33 φ dir ü 3.9a da yerie koyarak, α daga araı: e e λ s i αx -iαx s veya λ s cos α x 3.34 s dekei ede ediir. B α ı iki değerie karşıık geir biri diğerii egaifi, böyece i x φ e α i yerie i x e α ± i bir ieer bieşii veya φ c siαx c cosαx

40 kaırız. Sıır şararı, φ φ, göserir ki c ve Brada da, or. α π,,. L πx πx π φ si si si 3.36 L L 3.6 Maris Göserii Kısi ürevi dekeeri ayrışırıasıı aaizide aris göserii çoğ zaa daha ygdr. Sabi içi, x, sadece x i foksiyodr. okasaaşırası her zaa adııda, ağ okasıı her biride aıaır. Her bir zaa araığıda değişe boy bir vekörü aıarsak; i bir foksiyo or. i. bieşei x, i. ağ okasıdaki değeridir. Yai, Kısi fark dekei 3.37 s 3.38 sıır koşarıı ygarsak. s s s Op bezer bir deke içi de geçeridir. Her bir zaa adııda ae biieye vardır. Böyece ik aa köşege değereri s ve koş köşegeeri s, diğereri oa üçköşegese A arisii ede ederiz: 3

41 s s A... s s s... s s s... s s 3.39 Böyece kısi fark dekei A 3.4 Fark dekeie döüşür vekörü düzgü oarak değişir. başagıç koş ie başarsak, Ve böyece, A A A A 3.4 brz. A arisii ici kvvee çıkası, ici zaa adııda başagıç şararıı çözüü ası ekiediğii göserir. Çözüü aaak içi, A arisii µ özdeğererii yai, A ξ µξ 3.4 Dekeii aşikar oaya ξ çözüerii vere µ değererii göz öüe aaı. Özdeğerer, [ I] de A µ 3.43 dekeii sağaaıdır. Brada I biri arisdir. 3.4 dekeii sağaya açık oaya ξ vekörerie µ ü özveköreri deir. A ı ik aris oasıda, ae özdeğeri vardır. Faka bazı özdeğerer farkı oayabiir, çakışık 33

42 özdeğereri oabiir. Farkı özdeğereri, özveköreri farkıdır. Çakışık özdeğer drda k ae, e faza k ae doğrsa bağısız özvekör oabiir. Bazı özdeğereri k aede az özvekörü oabiir, b drda arise bozk aris deir. Eğer A ree ve sierikse 3.39 daki gibi, her hagi bir çakışık özdeğer içi A arisi bozk aris değidir. Bda doayı, A arisii ae ieer bağısız öz vekörü vardır doğrsa bağısız. Dahası, A ree ve sierik ise, özdeğerer bda doayı özvekörer ree ve özvekörer orogoadir. karşıık gee özvekör os. µ, ici özdeğer ve ξ ba Özvekör açııı eod kaarak vekör dekei 3.4 kısi ürev dekeie dek çözebiiriz B ekik, özfoksiyo açııı kaıarak kısi ürevi dekeeri çözüüü bezeridir. Herhagi bir vekör özdeğereri bir serisie açıabiir: c ξ 3.44 Vekör, zaa ie değişeke ve c sabii zaa a bağıdır: c ξ 3.45 Faka 3.4 da ve 3.44 ie 3.4 kaıarak ; A c Aξ c µ ξ 3.46 br ve 3.46 yı karşıaşırırsak, c içi sabi kasayıı birici basaaka c c µ

43 fark dekei ede ediir. B koayıka çözüüp, c c µ 3.48 ve böyece, c µ ξ 3.49 ede ediir. c başagıç şararıda babiir da, i arasıya i arasıya çözüü büyüesi µ e bağıdır. µ i ree odğ aısarsak, µ üse büyüe üse azaa yakısak saıı ıraksak saıı µ > < µ < < µ < µ <. Herhagi µ > ve µ <- özdeğeri içi sayısa çözü kararsızdır. A ı ae özdeğerii ede ediesi gerekir. A ξ µξ 3.5 ξ, ξ i ici bieşei ise, 3.5 yi ş şekide yazabiiriz, s ξ µξ 3.5a s ξ sξ ξ ve ξ. 3.5b 35

44 3.5a aşağıdaki dekee eşi or: ξ µ s ξ ξ. 3.5 s 3.5 ve 3.9 dekeerii karşıaşırırsak A ı µ özdeğererii, değişkeeri ayrıası eodya ede edie ikici basaaka fark dekeii λ özdeğererie π eşi odğ görüür. Böyece, α,,,3,... oak üzere L µ s cos αx 3.53 dir. Öcede odğ gibi, b yapı s> içi geeike kararsızdır. Özeeek gerekirse, basi probeerde özdeğeri basıda geeike Forier aaizi yapıır. Daha zor probeerde çok adire büyük ariseri özdeğereri koay ede ediir. Baze Gershgari çeber eorei kaıı koayık sağar. A ı büü özdeğereri kopeks düzedeki e az bir c,..., c çeberi üzeride yer aırar. Brada c i, erkezi i. köşege değeri ve yarıçapı da i. saırı ak değererii opaı oa çeberdir.. Eğer a i A ı eeaarı ise, b drda ü µ özdeğereri i µ a ii a i 3.54 çebereride e az biri üzeridedir. Bizi A arisiiz içi, köşege değereri s ve geriye kaa saırardaki değereri opaı s dir opaı s oa ik ve so saır hariç. Böyece oşa iki ae çeber µ s < s ve diğer 3 çeber µ s < s

45 dir. Büü özdeğerer Şeki 3.9 da görüdüğü gibi, oraya çıka böge içide e büyüğü 3.55 ie veriişir kaırar. Özdeğerer ree odğda, Şeki 3.9 da, 4s µ dir. Eğer µ ise kararıık kesidir. Gershgari çeber eorei göserir ki içi sayısa yapı kararıdır. Eğer odğ vrgaaz. s s> ise, Gershgari çeber eorei yapıı kararsız - 4s - s Şeki 3.9 okasa ısı dekeie karşıık gee A ı Gershgari çeberi 3.7 Hooe Oaya Probeer Bir kayağa sahip ısı dekei ayı yoa hesapaabiir. k Q x, x, A L, B x, f x Probeii göz öüe aaı. Öcede odğ gibi, zaada ieri fark ve zayda erkez fark kadı. 37

46 Aşağıdaki sayısa yakaşıı ede ederiz: k Q x, x A B x. i çözüesi ie çözü koayıka ede ediebiir. İddia ediyorz ki, hooe probeer içi kararıık aaizi hooe-oaya probeer içi de geçeridir. k Bda doayı, s x içi hesapayacağız. 3.8 Diğer Sayısa Yöeer Isı dekei içi, zaada ieri fark ve zayda erkez fark ie kaıa sayısa yöe, k x s içi kararıdır. Zaa adıı küçükür x ie oraıı oarak. Tabi ki daha az asrafı bir yöe arz ediir. Terieri opaı oa yvaraa haaarı, biri ie oraıı diğeri de x ie oraııdır. Eğer s sabieirse ör s, büü haaar x ie oraııdır, çükü sx dır. k 3.8. Richardso Yöei Daha koay bir yöe içi daha dyarı zaa araığı kaıabiir. He zaa he de zay içi erkez fark yöei ik Richardso 97 arafıda öerie: k x 3.56a veya 38

47 39 s 3.56b yakaşııdır. Brada, x k s ve yvaraa haaarı, ve x erierii opaıdır. Bir aada b yöe bir öcekie göre daha dyarı oasıa rağe, 3.56b dekei kaıaz çükü b sayısa eo her zaa kararsızdır Crak-ichoso Yöei Crak ve ichoso 947, erkezi fark iceeeside aeraif bir yo oraya koyşardır. Zaada ieri fark: koşğda erkez fark oarak yoraabiir. ye yakaşı haası O dir. Bda doayı deki ikici ürevi erkez fark yöei ie ayrışırabiiriz. B, b zaa araığıdaki foksiyo hesabı içerdiğide, ve i oraaası aıır. Böyece Crak-ichoso yöei: x x k 3.57 or. B yöei açık oaasıa rağe yvaraa haaarı yie x ve erierii opaıa eşiir. Crak-ichoso yöeii avaaı, büü x k s

48 değereri içi kararı oasıdır. yi x yerie x e oraıı seçebiiriz. B drda haa O x op, böyece daha az çaba sarf ederek eşdeğer doğrk ede ediiş or. Crak-ichoso yöei praikir. Acak, Crak-ichoso yöei 6 oka içerir ve barı üç aesi ieri zaa okasıdır. Şeki 3. Kapaı Crak-ichoso yöei 3.57 dekei ie ieri zaaı doğrda işareeyeeyiz. B yerie, bir zaa adıı iereek içi, 3.57 dekeii çözüü ae doğrsa deke içerir dekei kapaıdır. 3. ise açık dekedir. Mariseri üçköşegese oasıda doayı, doğrsa sise, büyük osa bie Gass eeiasyo yöei ie koayıka çözüebiir. 3.9 Sıır Şararıı Diğer Tiperi x içi g x ise x da veriesi yerie, b drda sıır şararı içi sayısa yakaşıar ifade edieidir. Kısi ürev dekeii ayrışırıasıda doayı oşa yvaraa haası O x odğda, zayda erkez fark yöei ie sıır şararıda da ayı eşi haa erii sabiir: x xx, x x,. x 4

49 4 B drda x içi g x de sıır şarı; g g g x 3.58 or. Saa x x okasıdaki sıcakığı ede eek içi 3.58 kaıırsa xg 3.59 or. B yoa ik oarak saa okadaki değerii beireriz. B saa oka, soraki zaaarda kısi fark dekei sıır şararıı basıda gerekidir. Eğer zaaı ieri farkı ve zayı erkez fark içi da e kadar ygaabiir. Öreği, x da içi xg s s kaıabiir. Brada 3.59 kaıdı B yoa kısi ürevi dekeer, sıır şararıı üreverii de kapsayarak sayısa oarak çözüebiir saa oka kısi ürevi deke ve sıır şararı arasıda eiie ediir.

50 4 4. İKİ BOYUTLU ISI DEKLEMİ Öceki böüe bezer fikirer iki boy y x k ısı dekeii sayısa çözüüde de ygaabiir. İki boy bir ağ ais aıarsak, x y odğ varsayıı yg oacakır. x ve y içi, zaaı ieri farkı ve erkez farka dayaa Lapace forüeri kaırsak, [ ],,,,,,, 4 x k 4. ede ediir. Brada,,,, y x dir. 4. kaıarak zaada iereyebiiriz. Daha öcekier gibi, üerik yapı kararsız oabiir. Basieşiriiş bir kararıık aaizi yapıp, böyece sıır koşarıı göz ardı edeceğiz., y x i e Q α β 4. döüşüü yaparsak, zaysa periyodik dagaarı büyüe oasıığıı iceeyei. 4. yi 4. de yerie koyarsak, 4 y i y i x i x i e e e e s Q β β α α cos cos y x s β α ede ederiz. Brada x k s ve x y dir. Kararıığı sağaak içi, Q < < ve böyece, 4 x k s 4.3

51 kararıık koş ede ederiz. Bir ee öreği ee aırsak, heüz bir a çözüü biieye, Şeki 4. deki L- şekideki aadaki içi ısı dekeii ee aaı. Başagıç sıcakığıı sıfır odğ varsayaı. Ayrıca x içi ve geriye kaa sıırarda os. E büyük kararı zaa adıı dekei s 4 x 4k [ ],,,, içi hesap yaparsak 4., or. B sayısa yapıda, bir soraki adaki sıcakık değeri, o adaki dör koş ağ okasıı oraaasıdır. x 4 k oarak seçersek, Şeki 4. ve Şeki 4.3 sayısa çözüeri çiziir. B aaı iç kesierii arz kadığı era eeriyi gözeeek içi yakaşık oarak eşi sıcakıkarı koorarıı çizdik.. Şeki 4. Başagıç koş 43

52 Şeki 4. L_Şekii bögede sıcakığı sayısa hesabı Şeki 4.3 L_Şekii bögede sıcakığı sayısa hesabı 44

53 5. DALGA DEKLEMLERİ So farkar yakaşıarı ie ek boy daga dekeii de çözek üküdür. Zaa ve zay erkez farkarı kaıırsa daga dekei, c x 5. daga dekei, c x 5. kısi fark dekeie döüşür. Yvaraa haası, O x ve O i opaıdır. 5. dekeii içi çözüesiye, çözü zaada iereiebiir. Şeki 5. de göseridiği gibi, 5. dekeii üç zaa seviyesi kaıır. Hesapaaara başayabiek içi ik oarak i iki değer; ve dekei içi ve gerekekedir. Daga de hesapaak içi iki başagıç koş x, f x ve x, g x i kaaı. yvaraa haaı, içi zaa erkez farkı kaıırsa O f x f x 5.3 g x g x 5.4 ede ediir. Şeki 5. Daga dekei içi zaada ieree 45

54 Hesapaaara başayabiek içi hesapaaıdır. Başagıç şararı 5.3 ve 5.4, üç biieyei,,, iki dekedir. daki kısi fark dekei üçücü bir deke verir. c. 5.5 x, 5.3 dekeide biidiği içi,, 5.4 ve 5.5 dekeeride eiie ediebiir. B yoa çözüür. ve i biiesiye, 5. dekeide değeri babiir. Sıır şararı öcekier gibi iceeebiir. Bizi sıırı deeyieriizde gördüğüüz, kararıığı öei odğdr. Her hagi bir zaysa periyodik daga büyüesii beireek içi, Q e iαx 5.6 Kaıarak, 5. dekei verir. Brada, Q σ 5.7 Q c c σ iα x iα x e e cos α x x x 5.8 dir. 5.7 dekei Q ikici derecede dekeidir çükü 5, üç zaa seviyesi ve zaa farkı içerir : Q σ Q 5.9a böyece σ σ 4 Q 5.9b 46

55 br. kök, dagaı zaa içi yayıdığı iki yoa ekaü eder. Eğer < σ <, köker birbirii kopeks eşeiğidir. B drda öcede biidiği gibi, r Q ve θ argq oak üzere, iθ iθ Q re r e dir. Q σ 4 4 σ 4 odğda eğer - <σ < ise çözü zaa ararke sabi x içi saıı πx cπ yapar. B, eksese böüerii periyodik ör si, cos odğda zaa L L periyodik çözüere izi vere daga dekeii kedisie bezerdir. Eğer σ > veya σ < - ise, köker eşi ve çarpıarı or 5.9a. Bda doayı, kökerde biri ak değerce birdede büyükür, b da kararsızığa yo açar. Çözü, - <σ < veya -4 < σ < odğda kararı oacakır. 5.8 de eğer; c x 5. İse sayısa yapı kararıdır. 5. Cora Kararıık Şarı daga dekeeri içi oarak biiir. Brada c daga dekeide siyaeri yayıa hızı ve x e okasa daga dekeeride siyaeri yayıa hızıdır. Kararıık içi özeeyecek orsak, sayısa yapıı yayıa hızı daga dekeii kedi hızıda daha büyük oaıdır. B şekide sayısa yapı gerçek yayıa siyaeri karşıayacakır. Kararıık şarı, yie zaa adııı boy sııradıracakır ki, b drda dir. x 5. c 47

56 6. LAPLACE DEKLEMİ 6. Giriş 6. Lapace dekei, geeike büü sıır boyca bir şarı kesi oarak sağadığı bögeerde forüe ediir. Zaa değişkei yokr, bda doayı so farkar yöei ısı veya daga dekeeride farkı oacakır. Sadar erkez fark forüü kaıırsa, boyaki Lapace dekei aşağıdaki kısi fark dekeie döüşür x y oarak kab ediirse :,,,, x 4, 6. Brada x, oasıı yorz., y Sıır şararı ısı ve daga dekeerideki ayı yoara aaiz ediebiir. E koay drda sıır ağ okaarıı bieşii boyca beireir. 6. dekei her bir iç oka içi geçeridir. 6. dekeideki erieri bazıarı sıır şararı ie beireebiesie rağe çoğ biieye eri oarak kaır. 6. dekei doğrsa sise oarak yazıabiir. Gass eeiasyo kaıabiir, faka çoğ zaa praik drarda deke ve biieye sayıarı ekii hesapaa içi çok fazadır. B özeike üç boya geçeridir. Öreği ik bir grid 8 ae biieyei 8 ae doğrsa deke oşracakır. 6. yi düzeersek;,,,,, ede ediir. 48

57 , sıcakığı, dör koş oraaası oaıdır. Bda doayı, Lapace dekeii ayrışırıış, çözüü bir oraaa değer özeiğii sağar. Ayrıca 6.3 dekeide, okasa aksi ve ii presibi sağaır. B özeiker Lapace dekeii özeikerie bezerdir. 6. Jacobi İerasyo 6.3 kesi oarak çözek yerie, bir yakaşık ierasyo yapısı kaak daha aışıageişir. Eğer, haaar yeerice küçük ise, 6.3 ü kedisi de bir yakaşı odğ içi, çözüdeki haa içi kaygıaak gereksizdir. 6.3 dekeii, koş dör sıcakığı biede doğrda çözüesi ükü değidir. Faka, aşağıdaki izee prosedür çözüü verecekir. Çözü içi bir başagıç ahii yapıp, 6.3 oraaa presibi kaıırsa, yei, 4 eski,,,, ierasyoarıı ede ederiz. B yöee Jacobi ierasyodögüsü deir. Başagıç, ahii, birici dögüyü de beiree dögüde beiree ici ierasyo,,,, ikici dögüde birici ve b gibi diğer dögüeri seboize edebiiriz. Böyece,,,,, dekeii sağar. Eğer ierasyo yakısaksa, yai, v, i ise 6.4 de v, i 6.3 okasa Lapace dekeii sağadığıı görürüz. 49

58 6.4 dekei bigisayar içi odkça ygdr. oasıa izi veriez. Uygaada büü ve er içi küçük bir değer odğda dögü,, drdrr. Ardıda,,, v kesi soca iyi bir yakaşıdır v, Lapace dekeii yakaşık çözüüdür. Her bir geişirede eydaa gee değişikiker, Jacobi dögüsü yeide,,,,,,, 4, şekide yazıarak vrgaabiir. B şekide Jacobi dögüsü, k. s x 4 k ie x y, iki boy difüzyoyayıa dekeii sadar ayrışırıası oarak görüebiir zaada ieri, zayda erkez fark. Her bir dögü, x 4k zaa adııa karşıık geir. Daha öceki L-bögei ısı dekei hesabı a bir Jacobi dögüsüdür. Büyük er içi, çözü değereri de bağısız hae geekedir. Soçaa zaysa dağıı, Lapace dekeii ayrık versiyo çözüüe dyarı bir yakaşıdır. Jacobi dögüsü yakısak oasıa rağe, çok yavaş yakısadığı göseriebiir. L Yakısaa oraıı kabaca aaizi içi, L L ik kare x y içi zaysa saııdaki azaayı iceeyei. 6.4 dekeide,, zaa ye aaogdr; 6.4 dekei de daha öcede iceediğiiz kısi fark dekeie aaogdr. B edee, π, L α π,,,..., oak üzere L β i α xβy, Q e 6.6 5

59 şekide çözüeri var odğ biiyorz. B hesapaaarda kear boyca sıır şararıı sıfır odğ varsayıyorz. giderke çözüü sıfıra yakısaası gerekir. Kaç ae dögü gerekiğii beireek içi yakısaa hızı baıdır. 6.6 dekeii 6.4 e yerie koyarsak, Q 4 iαx iαx iβy iβy e e e e cosαx cosβy oarak ede ediir. Büü α ve β değereri içi < Q< odğda, 6.6 dekeide iseidiği gibi,, i or. Faka yakısaa çok yavaş oabiir. Q içi e yavaş yakısaa e yakıdır. B dr da α ve β ı e küçük ve π π L e büyük değereri, α β ve α β içi oşr. x ve çok L L büyük odğda Q πx π π cos cos 6.7 L dir. B drda Q yakaşık oarak π dir. Eğer büyükse, haa yavaşça sıfıra yakısar. Öreği, haa ik bir ka ie azaıabiir, π Doğa ogaria aıarak çözüürse, π og og 5

60 or. π küçük odğda daha basi bir forü ede ediir. Küçük x değereri içi Tayor seriside og x x oarak br ve Jacobi dögüsüde haayı azaak içi yeeri sayıda dögü içi: og π og π oaıdır. O hade, haayı sadece yarı yarıya azaak içi gereki ierasyo sayısı odkça büyük oabiir. Çükü, ie oraııdır. 6.3 Gass-Seide Dögüsü Jacobi ierasyoarı odkça zaa aıcıdır. Daha öeisi, daha koay ygaa ve Lapace dekeii ayrışırıış çözüüe daha çabk yakısaya başka bir yöe vardır. Jacobi dögüsüde ora oarak ik, so a eksese bögedeki yei sıcakık, ede ediir. Şeki 6. de göseridiği gibi, büü sıra boyca büü ağ okaarıdaki sıcakıkar ede ediir ve soda sağa, sora bir üs saır içi sıcakık değereri ede ediir yie soda sağa. Öreği dir

61 Şeki 6. Gass-Seide ierasyoarı Jacobi ierasyoda yei 3,7 ve,8 içi yei değerer öcede değereri hesapaasıa rağe eski,,8, 3,7, 3,9 değereri kaıır. Jacobi 4,8 dögüsüü bigisayar ygaasıda, eski değereri hee yok edeeyiz görüdüğü gibi bazı eski değerer yei değereri basıda daha sora gereki oabiir. Yei değerer ede edidiği ada eskieri yo ediirse, hesapaaarı prograaası daha koay oacakır. B yüzde bdğ ada yeieiş sıcakıkarı kaıası öeriebiir. Öreği, 3,8,8 4,8 3,7 3,9 4 op, gee oarak, Gass-Seide ierasyo oarak biie,,,,, kaıabiir. B yöe yakısaksa, çözü Lapace dekeii ayrışış versiyo sağayacakır. 53

62 B okada b yöei Jacobi dögüsüe göre daha hızı yakısadığıı söyeek içi güçü edeer yokr. Gass-Seide yakısaa oraıı iceeek içi kare içi, yeide yerie koyarsak, π, L α π,,,..., oak üzere L β, i α xβy Q e 6.9 aaı. Soç, Q 4 iαx iβy iαx iβ e e Q e e y 6. op, dekei sadeeşirek içi, e z iαx e 4 iβy ζ iη 6. dersek z Q oarak br. Q kopeksir, z iθ Q Q e,, iθ i αx βy Q e e. Yakısaa oraı Q da brsa, Q zz z ξ η ξ η z z z Re z ξ η ξ ξ η 6. z < ve ζ < odğda, Q < or, b da Gass-Seide dögüsüü yakısaasıı sağar. Faka Q e yakısa, yakısaa oraı yavaşır. 6. dekei göseriyor ki, α ve β ı oabidiğice küçük değereri içi ζ ı ½ ye yakı oası π π haide Q e yakıdır. Kare içi, α ve β, L L böyece: πx ζ cos L ve πx η si. L 54

63 55 Böyece, π küçük odğda, 4cos 5 4cos 5 L x Q π π π π ve böyece, Q π or. B Q değeri Jacobi dögüsü ie karşıaşırıdığıda de iki ka zakır. Öceki aaizeri yaparak, haayı sabi bir orada azaak içi öcekii yarısı kadar dögü gerekekedir. O hade Gass-Seide dögüsü daha iyi ve yg bir aeraifir. Geeceke bigisayararı da geişiie parae oarak daha geişiş yöeeri bacağı kşkszdr.

64 KAYAKLAR Aefed, G. ad Grigorieff, R eds Fdaeas of erica Copaios. Spriger. Birkhoff, G. ad Lych, R.E erica Soios of Eipic Eqaios. SIAM. Cha, C.Y. ad Ke, L.. erica Copaios for Sigar Seiiear Eipic Bodary Vae Probes. Coper ad Maheaics wih Appicaios, 43, Cocs, P., Gob, G.H. ad O Leary, D.P A Geeraized cogae gradie ehod for he erica soios of eipic paria differeia eqaios. I Sparse Marix Copaios, Acadeic Press, ew York. Gob, G.H. ad Orega, J.M. 99. Scieific Copig ad Differeia Eqaios. Acadeic Press, Y. Habera, R Eeeary Paria Differeia Eqaios, Preice Ha. IMSL IMSL Library Referece Maa. Hoso: Visa erics Ic. Kearfo, R.B., Dawade, D, K. ad H, C A porabe Forra 77 ierva sadar fcio ibrary, ACMTOMS, Kicaid, D. ad Cheey, W erica Aaysis. Maheaics of Scieific Copig, Brooks-Coe Co. Veri, V. ad Karps, W.J. 98. Digia Coper Treae of Paria Differeia Eqaios. Preice-Ha Series i Copaioa Maheaics. Weiberger, H. F. A A Firs Corse i Paria Differeia Eqaios, Xerox Wesseig, P. 99. A irodcio o Migrid Mehods. Wiey, Y. 56

65 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Güay MEHMETLİOĞLU Doğ Yeri : AKARA Doğ Tarihi : Medei Hai : Bekar Yabacı Dii : İGİLİZCE Eğii Dr Kr ve Yı Lise : Öze Arı Fe Lisesi Lisas : Akara Üiversiesi Fe Faküesi Maeaik Böüü 3 Yüksek Lisas : Akara Üiversiesi Fe Biieri Esiüsü Maeaik Aabii Daı Şba4-isa 7 57