EGE ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ (DOKTORA TEZ ) KISM TÜREVL D FERANS YEL DENKLEMLER N LIE S METR LER ÜZER NE.

Transkript

1 EGE ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ (DOKTORA TEZ ) KISM TÜREVL D FERANS YEL DENKLEMLER N LIE S METR LER ÜZER NE Fge AÇIL K RAZ Maemak Aablm Dal Blm Dal Kod:.6. S Tarh:..7 Tez Da ma : Prof.Dr.Trg ÖZ Borova- ZM R

2 II

3 III Fge AÇIL K RAZ araf da Dokora ez olarak sla K sm Türevl Dferasyel Deklemler Le Smerler Üzere ba l kl b çal ma E.Ü. Lsasüsü E m ve Ö rem Yöemel le E.Ü. Fe Blmler Esüsü E m ve Ö rem Yöerges lgl hükümler yar ca araf m zda de erledrlerek savmaya de er blm ve..7 arhde yap la ez savma s av da aday oybrl /oyçokl le ba ar l blm r. Jür Üyeler mza Jür Ba ka RaporörÜye Üye Üye Üye : Prof. Dr. Trg ÖZ : Prof. Dr. er SOMALI : Prof. Dr. Goca ONARGAN : Doç. Dr. P ar DÜNDAR : Doç. Dr. Eme MISIRLI

4 IV

5 V ÖZET KISM TÜREVL D FERANS YEL DENKLEMLER N LIE S METR LER ÜZER NE Dferasyel deklemler klask eorsde, oka döü ümlere ek olarak, de me (brc merebe aja) döü ümler, harekeler Hamlo deklemler egrasyo Hamlo-Jacob eorsde klla m oldkça fazlad r ve mekake kaok döü ümler olarak blr. Keyf Hamlo-Jacob deklemler, yg br kaok döü üm le kolayca egre edleble daha bas kaok bçmlere drgeeblr. Böylece kaok döü ümler kümes br grp ol rr, b edele, Hamlo-Jacob eors mekak problemler de me döü ümler al da grp eorse drger. Le, dferasyel deklemler ç de me döü ümler emel ala br eor gel rd. Le yakla m da, sürekl grplar fesmal döü ümler (üreeçler) le belrler ve br fesmal üreeç verld de grp döü ümler, oka döü ümlerde old gb çözümüü varl sadece regüler okalar küçük kom lklar da gara ola Le deklemler le blr. B kavram smer grb kavram yla dferasyel deklemlere ge leleblr ve dferasyel deklemler smer grb, verle dferasyel deklem ça s, ürevlerdek ge leme le de mez b raka döü üm grplar olarak ele al r. Aahar sözcükler: Br-paramerel yerel Le grplar, Ifesmal döü ümler, Ifesmal Üreeç, De mezler, Le cebr, Le smer, Uza m, Opmal ssem, Smer drgemes, Geelle rlm Bossesq Deklem.

6 VI

7 VII ABSTRACT ON LIE SYMMETRIES OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS I he classc heory of dffereal eqaos, coac (.e. frs order age) rasformaos, addo o po rasformaos, are of cosderable se he Hamlo-Jacob heory of egrao of Hamloa s eqaos of moo ada re kow mechacs as caocal rasformaos. A arbrary Hamlo-Jacob eqaos ca be redced by a sace caocal rasformaos o smpler caocal forms whch are easly egrable. Ths, he se of all caocal rasformaos s agrop, herefore Hamlo-Jacob heory redces mechacal problems o he heory of grops der he coac rasformaos. Le, for dffereal eqaos, developed a heory based o coac rasformaos. I Le s approach, coos grops are deermed by fesmal rasformaos (geeraors), ad whe a fesmal geeraors are gve, he grop rasformaos are fod by solvg he Le eqaos, whch s garaeed oly a small eghborhood of reglar pos as po rasformaos. Ths cocep ca be epaded o dffereal eqaos by he cocep of a symmery groyps ve reas a symmery grop of dffeal eqao as a grop of rasformaos whose eeo o dervaves leave vara he frame of he dffereal. Key words: Oe-parameer Le grops, Ifesmal geeraor, Ivaras, Le algebra, Le symmery, Prologao, Opmal sysem, Symmerry redco, Geeralsed Bossesq Eqao.

8 VIII

9 I TE EKKÜR B çal ma süresce de erl görü lerde faydalad m, lgs esrgemeye ve her koda desek ola hocam say Prof. Dr. Trg ÖZ e e ekkürlerm sar m. Ayr ca, b çal mam boyca baa göserd sevg, sadaka, desek, ho görü ve özellkle çal mam so zamalar da göserd sosz alay a dolay sevgl e m Caer K RAZ a ve yed ayd r aesde ve babas da ayr kalmak zorda kala sevgl yavrmz Do ka K RAZ a çok e ekkür ederm. Haya m her a da ya mda ola, baa her koda desekler esrgemeye, çoc ma ked çoc gb sahp ç ka ve oda lgs, sevgs esrgemeye sevgl aem Rahme AÇIL ve babam Süleyma AÇIL ba a olmak üzere büü aleme e ekkürü br borç blrm.

10

11 I Ç NDEK LER Sayfa No ÖZET ABSTRACT TE EKKÜR.G R.. Brc Merebe K sm Türevl Dferasyel Deklemler... Brc Merebe Leer K sm Dferasyel Deklemler... Homoje Leer K sm Dferasyel Deklemler... Homoje Olmaya Leer K sm Dferasyel Deklemler... Heme Heme Leer K sm Dferasyel Deklemler... Laplace Meod... Leer Homoje Dekleme drgeme... Verle E rde Geçe egral Yüzeyler... Verle Yüzey Alese Dk Yüzey Ales... Leer Olmaya K sm Dferasyel Deklemler... Tam, Geel ve Tekl egraller... Lagrage- Charp Meod... Tam egraller Yol le Cachy Problem Çözümü... Karakerskler Moge Teors... Cachy Meod...6. Hamlo-Jacob Deklem Karakerskler.. Taja Döü ümler.. Br-paramerel Yerel Le Grplar ve Ifesmal Döü ümler v v

12 II Ç NDEK LER (Devam) Sayfa No... Br-paramerel Yerel Döü üm Grplar... Br-paramerel Yerel Le Grplar... Ifesmal Döü ümler... Ifesmal Üreeç... De mezler..6. Kaok De keler.. De mez Deklemler.. Le Cebr. KISM TÜREVL D FERANS YEL DENKLEMLER N LIE S METR LER.. Klask Smerler Elde Edlmes.. Smer drgemes.. Opmal Ssem Blmas.. Örek. GENELLE T R LM BOUSSINESQ DENKLEM N N LIE S METR ANAL Z.. Gr.. Le Noka Smerler.. Smer Ge lemes. SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇM

13 .G R Do a, fzk ve mühedslk blmlerde, maemaksel modeller leer ya da leer olmaya dferasyel deklemler (ya da deklem ssemler) ssemak çözüm prosedürüü klask çözüm meodlar le ol rlmas ve blar blgsayara akar lmas ço zama mümkü olmamakad r. Maemaksel fzk problemler, yglamal grp aalz le çözümüde sahp ola ecrübe, brçok do a olay eork grp ermleryle modelleeblece göserd ve böyle br modelleme mlak soçlar olarak dferasyel deklemler, korm yasalar, ba lag ç de er problemler çözümler ve bezerler elde edld [7]. Örek olarak, smer grb; karma k do a olaylar kavramas da ve dferasyel deklemlerle modellem problemler çözümüde ba ar l br eklde klla lmakad r. 87 lerde, Norveçl maemakç Sophs Le araf da oraya kola, dferasyel deklem smer aalz, Le smer grb ad verle, deklem a mlad mafold de mez b raka yerel döü üm grplar blmas yla, dferasyel deklemler ye çözümler ssemak br prosedürle ol rlmas sa laya br eordr. B eor, fzke, özellkle hdrodamke, mekake, elekrodamke, kam eorsde, sasksel mekake, csm eorsde, aeck fz de, vb. yglamalar vard r. Le çal malar soçlar zegl z süre fark edlemem ve do a blmlerde, maemaksel modeller dferasyel deklemlere Le eor yglamas 96 l y llarda ba layablm r. L.V. Ovsyakov çal malar b koya lgy ar rm ve [6]

14 yazd kap moder yglamal grp aalz z süre emel kaya olm r. B eorye, so brkaç o y lda lg yce armas yla, öeml lerlemeler kaydedld ve çe l yglamalar, Blma ve Cole [97], Clarkso ve Krskal [989], Blma ve Kme [989], bragmov [98-99,996], Olver [986], araf da ol rld. Daha sora, dferasyel cebr hesaplamalar klla larak b prosedür blgsayara akar ld ve b ko le lgl brçok blgsayar program yaz ld. Mahemaca program klla larak b ssemak çözüm prosedürüü blgsayara yglamas da Herema [99,996], Bama [] araf da yap ld. Bzde b ezde hesaplamalarda Mahemaca çdek Bama [] araf da ol rla MahLe pake program kllad k [], [], []. Güümüzde smer aalz, amame algormk br yolla dferasyel deklemler çözümler üreld adr eorlerde brdr ve verse scaerg eor ve Hroa ek [] gb d er çözüm prosedürler aras da seçk br kom vard r. Le eors dferasyel deklemler heme heme ümüe yglaablmese ra me d er eorler geellkle am olarak egralleeblr deklemler çözümlerde veya d er baz k s lamalar al da soç verrler. B aç da Le eors güçlü ve çok yölüdür. Smer grplar yard m yla, s r de er problemler de mez çözümlere göüre ssemak prosedürle ye çözümlere la lablece gb, ad dferasyel deklem merebes dü ürülmes, k sm ürevl dferasyel deklemler de ke say s azal lmas ve ad dferasyel dekleme drgemes mümkü olmakad r.

15 B bölümü devam da, eor ol rlmas ç klla la emel a m ve eoremler verlmekedr. kc bölümde, k sm ürevl dferasyel deklemler, Le smer grb klla larak ssemak çözüm prosedürüü ol rlmas ç emel a m ve eoremler verlm r. K sm ürevl dferasyel deklemler Le grba kar l k gele Le cebr, br boyl al cebr klla larak bla bezerlk döü ümler s flad r lmas da deklk s flar blmak ç b al cebrlere kar l k gele al grplar adjo emslde yararla lm r. Her br deklk s f br üyes al arak elde edle opmal ssem le smer drgemeler as l yap laca ayr ca öreklem r. Üçücü bölümde, Clarkso [9] çal mas ge lelmes b aç da ele al m r. Geelle rlm Bossesq Dekleme p q p, q, r keyf sabler olmak üzere Le grp meod yglam ve [9] da drek meodla verle smer çözümler, deklem Le grba kar l k gele Le cebr br-boyl al cebrler opmal ssem klla larak elde edle bezerlk çözümlere kar l k geld göserlerek br s flamas elde edlm r. Opmal ssem klla larak bla bezerlk döü ümler le deklem ad dferasyel dekleme drgemes yap lm r. Ayr ca özel drm olarak deklem so q erm öüe a yapay kasay s ekleerek, p=q, r drm ç a elde edle grb fesmal üreec ge lelm, deklem smer drgemes yap larak çözülmü ür. r

16 md de Le grb daha y aç klamak ve dferasyel deklemler çözümlere daha ge aç da bakablmek ç a a dak s rada k saca blgledrme yapma zorl old dü ücesdeyz... Brc Merebe K sm Türevl Dferasyel Deklemler Bld gb, brc merebe k sm ürevl dferasyel deklemler eors ble elemalar, Le eors ç ö ko l ol rr. B bölümde br ba ml de ke çere brc merebe deklemler çözmek ç klla la emel klask yöemler özeleyece z. B yöemler ç daha ayr l blg, emel k sm ürevl dferasyel deklem kaplar da blablr [], [], [], []. md, ek ba ml de ke ve =(,,, ) ( ) ba ms z de keler ols ve p k sm ürevler de p=( p, p,, p ) le göserelm. Böylece brc merebe k sm ürevl dferasyel deklem F(,,,,, p, p,, p )= ya da olarak yaz l r. F(,,p)= (..)...Ta m =(,,, ) okas br kom l da a ml ve sürekl olarak dferasyelleeble () foksyo, (..) k sm dferasyel deklem br çözümü (egral) se =(,,, )

17 okas br kom l da = (), p () yer de rmes le (..) deklem sa la r. Özel drm olarak k ba ms z de ke ç a a dak oasyolar kllaaca z. Ba ms z de keler,y le ba ml de ke le ve ba p, q= ms z de kelere göre brc ürevler de le göserelm. Böylece (..) deklem y F(,y,,p,q)= (..) olarak yaz l r. (..) dferasyel deklem = (,y) çözümü,,y ve karezye koordal üç boyl zayda yüzey a mlar. Ba klask leraürde egral yüzey der....brc Merebe Leer K sm Dferasyel Deklemler B ürde deklemler ç lk eor Lagrage araf da verlm r. (), c() ve f() ba ms z de keler foksyolar olmak üzere brc merebe leer k sm ürevl dferasyel deklem geel bçm ya da () + () + + () +c()=f() p + p + + p +c()=f() (..) eklde verlr. Özelkle (..) deklemde c()= ve f() = se dekleme leer homoje deklem der. p + p + + p = (..)

18 6... Homoje Leer K sm Dferasyel Deklemler (..) pdek deklemler çözme yöem a a dak eoremle verlr....ö Teorem = () + () + + () brc merebe k sm dferasyel operaörüü ele alal m. ba ms z de keler = (), =,,, ersr döü ümleryle a mlas. Brada (..) ye ( )= () + () + + () olmak üzere (..) operaörü ye de kelerle bçmde yaz l r. = ( ) +( ) + +( )...Teorem () () + () + + () = (..6) leer homoje k sm dferasyel deklem geel çözümü, F keyf br foksyo ve (..6) deklem d = d = = d karakersk ssem - ae ba ms z lk egral br kümes (..7)

19 7 olmak üzere formülü le verlr. ()= C, ()= C,, ()= C =F( (),, ())... Homoje Olmaya Leer K sm Dferasyel Deklemler Brada, (..) homoje olmaya leer deklemler () + () + + () = f() (..8) p egral ele alaca z. (..) operaörü klla larak (..8) deklem olarak yaz l r. ()=f()...teorem ()=f() homoje olmaya deklem br özel çözümü = () le verls. Geel çözüm, ()= homoje dekleme kar l k gele homoje çözümü () özel çözümüe eklemesyle elde edlr. Böylece... Teoremde, (..8) deklem geel çözümü olr. = ()+F( (),, ()) B eorem, (..8) homoje olmaya leer k sm dferasyel deklem () gb br özel çözümüü blmes halde b deklem egrasyo problem (..7) ad dferasyel deklem ssem çözümüe drger.

20 8... Heme Heme Leer K sm Dferasyel Deklemler ve g foksyolar ba ml ve ba ms z de keler foksyolar seler (,) + (,) + + (,) = g(,) (..9) dekleme heme heme (qas) leer deklem der.... Laplace Meod Laplace, k ba ms z de kel (,y) + (,y) =g(,y,) (..) y deklem, ba ms z de keler de m yakla m yglayarak deklem ad dferasyel dekleme drgeyerek çözdü. kasay lar her ksde s f rda farkl ols. Aks akdrde (..) deklem ad dferasyel deklem olr. (..) deklem, = ve y = (,y) ye de keleryle bçmde yaz l r. (..) le l kl +( + y ) =g(,y,) y ve (,y) + (,y) y = leer homoje deklem br çözümü (,y) olr. Böylece ( = ) (,y) = g(,y,)

21 ad dferasyel deklem elde edlr. Brada y ye göre y = (,y) 9 çözülmesyle ve y ermlerde y fade edlm olr. Böylece (..) deklem brc merebe ad dferasyel dekleme drgem olr. Laplace meod, çok de kel deklemlere ge leleblr.... Leer Homoje Dekleme drgeme ba ms z de kel (..9) geel heme heme leer deklem a a dak gb + de kel homoje leer dekleme drgeeblr., =(,,, ) br foksyo olarak kapal bçmde V(,,,,)= le a mlas ve V foksyo,,, ve + de kel blmeye br foksyo olarak ele al s. D = + p ye göre oplam dferasyel operaörü ols. B operaörü V foksyoa yglamas yla D V V + p V = deklem elde edlr. B yüzde =,,, ç p =- V / V olr. (,) p + (,) p + + (,) p = g(,) deklemde p =- V / V yere kolrsa,,,,, de keler blmeye foksyo ola V ç

22 (V) (,) V + (,) V + + (,) V +g(,) V = (..) elde edlr. (..) leer dekleme,... Teorem yglamas yla heme heme leer deklem çözümü ç a a dak eoreme var r z...6.teorem (..9) heme heme leer deklem d = karakersk ssem ae ba d = = d d = g ms z lk egral br kümes (,)= C, (,)= C,, (,)= C (..) ols. Brada F, de kel keyf br foksyo olmak üzere (..) deklem geel çözümü, le verlr. V(,)=F( (,),, (,)) Soç olarak, (..9) heme heme leer deklem çözümü, V(,)= le kapal olarak a mla r. olarak = () yaz lablr. V... Verle E rde Geçe egral Yüzeyler sa la r ve çözüm aç k B bölümde, leer k sm dferasyel deklemler ykar da bla geel çözümüü, verle br e rde geçe egral yüzeyler blmas da as l klla ld görece z. (..9) deklem k ba ms z de kel P(,y,) +Q(,y,) = R(,y,) (..) y

23 Pp+qQ=R drm ç..6.teoremdek (..) yard mc deklemlerde d dy d = = P Q R (,y,) = c, (,y,) = c (..) gb k çözümüü bld mz farzedelm. Ye..6. Teoremde (..) deklem herhag br çözümüü c le c aras dak F( c, c ) = gb br ba da elde edle F(, ) = ba s yap s da old gördük. mdk problemmz özel arlar al da F foksyo belrlemeye çal mak r. ola br s paramere olmak üzere paramerk deklemler (..) dek özel çözüm = (s), y = y(s), = (s) e rsde geçe egral yüzey blmak syorsak, ((s),y(s),(s)) = c, ((s),y(s),(s)) = c özellkler gösermekedr. Böylece F(, )= pde br deklem elde emek ç elmzde bla k deklemde s y yok ederz. O zama arad m z çözüm F( c, c ) = le verlr.

24 ... Verle Yüzey Alese Dk Yüzey Ales Verle br yüzey alese dk yüzey ales blmas problem, brc merebede leer k sm dferasyel deklemler eors lgç br yglamas d r. f(,y,z)=c (..) deklem le br yüzey ales verlm ols. B yüzeyler heps dk aç le kese br ba ka yüzey ales blmak seyelm. (..) ssem (,y,z) okas da geçe elemalar b okadak ormal (P,Q,R)=( f f f,, ) (..6) y do rlsdad r. Deklem = (,y) ola yüzey ykar da verle yüzey ales dk keserse (,y,) koordal okas do rls (,,-) y ola ormal, (..) yüzey ales b okada geçe elema b okadak do rls (P,Q,R) ola ormale dkr. Böylece = (,y) yüzey belrlemek ç P +Q y = R (..7) leer k sm dferasyel deklem elde ederz. (..6) dak e l yere koyarsak b deklem f f + y dekleme dek old görürüz. f = y

25 Terse (..7) leer k sm dferasyel deklem herhag br çözümü (..) le verle ssem büü yüzeylere dkr. B yüzde (..7) leer k sm dferasyel deklem (..) yüzey ales elemalar a dk ola yüzeyler belrleye geel dferasyel deklemdr. Ya (..) sseme dk yüzeyler d f / dy f / y d f / deklemler egral e rler araf da do rla e rlerdr.... Leer Olmaya K sm Dferasyel Deklemler F, p ve q leer olmaya br foksyo ke (..) dek k ba ms z de kel F(,y,,p,q)= (..8) brc merebe deklem dü üelm. Geelde çözümü keyf foksyo çerr. Lagrage emel soc, sadece k paramereye ba l çözümü blmes yeerl old fade eder. (..8) deklem d er büü egraller paramereler yok edlmesyle am ürevlee böyle br çözümde elde edlr.... Tam, Geel ve Tekl egraller..7.ta m (..8) deklem am egral = (,y,a,b) (..9) ekldek k keyf sabe ba l br çözümdür. B alam, = ve y = y olmak üzere ve p,q s ras yla = (,y,a,b) ve

26 p= (,y,a,b), q= y (,y,a,b) (..) le yer de rmesyle (..8) ba s,y,a,b de özde lk olr. Bda ba ka (..9) ve (..) dek üç ba da a ve b paramereler yok edld farzedelm ve (..), keslkle (..9) dekleme gder...8.teorem (..9) am egral verls. a ve b, b= (a) keyf ba s al dak paramereler ve = (,y,a, (a)) (..) egral yüzey ek paramerel ales zarf = f (,y) (..) ols. Brada (..), (..8) deklem ç br egral yüzeydr. (..) dek al ds, foksyo seçme ba l çözümler göserr...9.ta m Geel egral, olas büü b= (a) ba edle (..) büü özel çözümler kümesdr. lar ç elde...ta m Tekl egral, k paramereye ba l (..9) egral yüzeyler ales zarf d r. (..9) deklemde a ve b yok edlmesyle elde edlr ve (, y,a,b) =, a (, y,a,b) = b deklemler b yok eme mümkü olmas sa lar. Herhag say da de kee sahp (..) deklem ç am egral çere br çözümle verlr.

27 ...Ta m F(,,,,, p, p,, p )= deklem am egral, ae a keyf paramere çere = (,,,, a, a,, a ) (..) çözümüdür. (..) deklemde paramereler yok edlmes ve p = (,...,,a,...,a ) =,,, deklemler, keslkle (..) dferasyel dekleme göürür.... Lagrage-Charp Meod Öcek bölüme göre (..8) deklem büü çözümler am egraller hesaplamas yla blablr. B problem çözmek ç br meod Lagrage-Charp araf da verlm r. B meod, am egralleeble ssemler a a dak dü ücese daya r., =(,,, ) de keler blmeye foksyo ve f (,), verls., f (,) lerde ve,,, foksyolar olarak = f (,),, = f (,) (..) br merebel k sm dferasyel deklem ssem dü üelm ve b deklem w= f (,) d + + w -form l kledrlmesyle a mla r. f (,) d (..)...Ta m (..) herhag br =() çözümü ç

28 6 f (,) d + + f (,) d =d w form amsa (..) sseme am egralleeblr der. w form am olmas ç gerek ve yeerl ko l w form kapal olmas d r. B edele am egralleeblme ar dw (..) = olr....torem (..) ssem am egralleeblr olmas ç acak ve acak a a ( ) dak deklem, f k f + f k = f k f + k f,,,, de aye sa lamas le mümküdür.,k=,,, (..6) (..8) k sm dferasyel deklem Lagrage ve Charp araf da bla çözüm yöem emel fkr (,y,,p,q)=a, a=sab (..7) brc merebede yard mc k sm dferasyel deklem çe soklmas d r. (..8) ve (..7) deklemlerde p ve q p= f (,y,a), q= f (,y,a) olarak çözüleblr. (..) am egralleeble ssem = f (,y,a), = f (,y,a) (..8) y sa lar. B ssem geel çözümü ad dferasyel deklemler egrasyo le elde edlr ve b keyf egrasyo sab çerr. Böylece (..8) ssem çözümü al da (..8) deklem = (,y,a,b) eklde am egral elde edlr.

29 Yard mc (..7) deklem ol rlmas a a dak 7 hesaplamalar gerekrr. p p q q,,, k sm ürevler de erler, y ve y ye göre ürevlemesyle ve yok edlmesyle (..9) ve (..7) de elde edlr. Tam egralleeblrlk ç es, p p q q +q = + p y (..6) egralleeblrlk ko ldak b de erler yere geçmesyle elde edlr ve,y,,p,q be ba ms z de kel leer k sm dferasyel deklem olarak a a dak gb F ve foksyolar ermleryle aç kça yaz lablr. P +Q y +(pp+qq) -(+pu) p -(Y+qU) = (..9) q Brada, Y, U, P ve Q foksyolar = F, Y= y F, U= F, P= p F, Q= q F le a mla r. (..9) egre emek ç d dy = = P Q d pp dp dq =- =- qq pu Y qu (..) karakersk ssem lk egral gerekldr. Ayr ca meod, sadece (..7) lk egral br blgs gerekrr.... Tam egraller Yol le Cachy Problem Çözümü (..8) F(,y,,p,q)= deklem ç Cachy problem verle br e rsde geçe egral yüzey belrlemesdr. Geelde Cachy

30 8 problem ad dferasyel deklemler drmdak gb sadece ek br çözüme sahpr. ba lag ç e rs, = (s), y= y (s), = (s) le paramer olarak verls ve (..8) deklem = (,y,a,b) am egral bls. Bz, öüde larak elde edle foksyo a al m. ba lag ç e rs üzerdek am egral göz W(s,a,b)= (s)- ( (s), y (s),a,b) (..) W(s,a,b)=, W(s,a,b) = (..) s deklemlerde s parameres yok edlmesyle br b= (a) ba sa la r. Ya, (..) egral yüzey br-paramerel alesdr. B ale zarf, s e rsde geçer. Ayr ca..8. Teorem le br egral yüzeydr. B edele sordak Cachy problem çözümüü sa lar.... Karakerskler Moge Teors Moge, Lagrage eors görüleblr geomerk resm sa lamas yla k sm dferasyel deklemler ça da eors emel güçledrd. Moge oraya koyd karakerskler emel kavram, am egraller ça s da do al bçmde aç klaablr. V(,y,,a,b) =, (..8) deklem br am egral kapal emsl ols. Geel egral, V(,y,,a, (a))= yüzey br-paramerel ales zarf d r ve (a) keyf br foksyo olmak üzere

31 9 V(,y,,a, (a))=, V V + (a)= (..) a b deklemlerde a yok edlmesyle elde edlr. md de a verle br de er ç b k deklem dü üelm. Brada (..) deklemler, zarflam yüzeyler le zarf de me e rs emsl eder. Moge ba karakersk e r sm verm r. Karakersk e rler yer, geel egralde aç k bçmde ola a de rlmesyle elde edlr. Ayr ca (a) keyf br foksyo old da, b foksyo de erler ve a verle herhag br de erdek (a) ürev, s ras yla b ve c keyf paramereler olarak dkkae al ablr. Böylece verle br (..8) deklem büü karakersk e rler kümes a, b ve c üç keyf paramerese ba l d r ve V(,y,,a,b) =, V(, y,,a,b) + a V(, y,,a,b) c= (..) b deklemleryle a mla r. Zarflar a m da harekele, zarflar ve zarflam yüzeyler karakerskler boyca orak aja düzleme sahpr. Orak aja düzlemlerde belrlee p ve q ked de erler, V(,y,,a, (a))= olmak üzere ba V V V V +p =, +q = (..) y lar da elde edlr. (..) ve (..) deklemler, a herhag sab de er ç, e r br aja düzlem ve br karakersk e r a mlar. Karakersk e rler b kombasyo ve aja düzlemde, brc merebe br karakersk ya da karakersk er olarak bahsedlr. B soc sm, p ve q lk ürevler ve, y,

32 de keler çere brce merebe karakers old da kedde aç klamal d r. Verle br (..8) dekleme göre, o br merebel karakerskler a a dak brc merebe ad dferasyel deklem ssemyle a mla r. d dy = = P Q d pp dp dq =- =- =d (..6) qq pu Y qu (..6) deklem,(..) ssemyle özde r. yard mc parameres, y,, p, q de kelerde sadece smer ç oraya kom br parameredr. (..8) le verle br dferasyel deklem ç,, Y, U, P, Q celkler, y,, p, q be de ke ble foksyolar d r. Soç olarak, am egrallerde ba ms z olarak karakerskler, (..6) karakersk deklemleryle a mla r. So yaz la, y,, p, q ba ml de kel br (..) ssem olarak ele al ablr ve d dy d =P, =Q, =pp+qq, d d d dp =-(+pu), d dq =-(Y+qU) (..7) d çözüleblr. Ya = dak ba lag ç ko l ola, y,, p, q de erler klla lmas yla. Çözüm, (..8) deklem ba lag ç de erler sa laya br- merebel br karakersk a mlar.... Cachy Meod Cachy problem çözümüe aleraf br yakla m dü üelm. B yakla m am egrallerdek Lagrage eorsde ba ms zd r. Cachy meod (..) k sm dferasyel deklem ç Cachy problem karakersk deklemlere drger. k ba ms z de kel deklemler dü üelm.

33 = f ( ;, y,, p, q ), y = f ( ;, y,, p, q ), = ( ;, y,, p, q ), (..8) p = ( ;, y,, p, q ), q = ( ;, y,, p, q ), = da, y,, p, q ba lag ç de erler farzedle (..7) deklemler çözümü ols. ba lag ç e rs (, y, ) ba lag ç okas a k s lamas = (s), y = y (s), = (s) (..9) ols. Meod aa fkr, p ve q ya s parameres p (s) ve q (s) foksyolar aamas d r. Bla brlke (..9) de farkl, p (s) ve q (s) keyf foksyolar olamaz. F(, y,, p, q )= deklem ve d = p d + q d y e elk ko l sa lar. B so yaz la deklem ds ye bölümesyle, p (s) ve q (s) belrlemes ç a a dak k deklem elde edlr. F(, y,, p, q )=, d = p ds d + q ds dy (..) ds Ykar dakler oparlay p, Cachy meod a a dak gb formülle relm., (..9) le verle e r ols. F(,y,,p,q)= (..8) deklem egral yüzey, e rsde geçe (..9) ü lk üç = f, y = f ve = deklem le a mla r. Brada, y,, (..8)

34 foksyolar yla yer de rm r ve p (s) ve q (s) le p ve q (..) cebrsel deklemlerde elde edlr Hamlo-Jacob Deklem Karakerskler Hamlo-Jacob Deklemler br merebel ler olmaya k sm dferasyel deklemler çok öeml öreklerdedr. Ba çermeye (..) deklem özel br drmdr. ya da Deklem S p ve p=( p, p, S +H(,,,,,, p ) olmak üzere S S + H(,,p) =,..., S ml de ke )= (..) bçmdedr. Brada ba ms z de keler, zama ve =(,,, ) koordalar d r. H(,,p) foksyoa mekaksel ssemler Hamloa ad verlr. (..) deklem ç karakersk deklemler d= d H / p eklde yaz l r. = = d H / p = S ds p H p = =- dp H / =- ds H / B deklemler S de ke çermez. B yüzde, ds ve ds çermeye deklemler ba deklemler ms z olarak egre edleblr ya Hamlo

35 d = d H dp, =- p d H =,,, (..) dr. Özelersek, mekakler, (..) kaok deklemler Hamlo- Jacob deklem ç karakersk deklemler olr. Ba ka br de le br mekak ssem, Hamlo-Jacob deklem karakerskler boyca hareke eder. Ayr ca, (..) deklem, S de ke çermed de (..) am egral br sab laves le S = (,, a,, a ) + a bçmde kolayca elde edlr. Soç olarak, am egral geellkle S= (,, a,, a ) aa k sm le özde le rlr. Jacob [], a a dak eoremle, harekeler Hamlo deklemler geel çözümüü Hamlo-Jacob deklemler am egralde elde edleblece fade eder....torem (..) deklem, br S = (,, a,, a ) am egral verls. (..) kaok deklemler geel çözümü S = p, S = b =,,, (..) a ba lar yla verlr. Brada a ve sa lar... Taja Döü ümler b, geel çözümü keyf sab Düzlemdek oka döü ümlere ek olarak, mekak, opk ve geomerde klla la, de me (coac) ya da brc merebe aja döü ümler blm r. Bda ba ka Le, k sm dferasyel

36 deklemler eors kllaarak, de me döü ümler grplar yard m yla dferasyel deklemler merebes drged. Ba göre (..) F(,,p)= br merebel k sm dferasyel deklem, yg br de me döü ümü yard m yla H(,,p)= eklde d er br merebel dekleme döü ür. Geelde de me döü ümler, keyf say da ba ms z de ke ve sadece ek br ba ml de ke çerrler. B döü ümler, =(,,, ) ba ms z de keler, ba ml de ke ve ba ml de ke ba ms z de kelere göre p=( p, p,, p ), p k sm ürevler çerr. Böylece br de me döü ümü (,,p) IR okalar, (,, p ) IR ye pozsyoa göürür. = f(,,p), = g(,,p), p =(,,p) (..) (..) döü ümlere marz kal d da d - p d = (,,p)(d- p d ) (..) de me ko lyla k s la lm olr. Brada (,,p) belrsz çarpad r. De me döü ümler; çe l harekeler Hamlo deklemler egrasyo ç Hamlo-Jacob eorsde s kça klla l r ve mekake kaok döü ümler olarak blr []. De me döü ümler bell ba l özellkler so erm yas r, mekake dü üüldü üde hareke deklemler (..) kaok form korr. Ko ca al c okas (..) keyf br Hamlo-Jacob deklem yg br kaok döü üm le dgeerek basle rleblmes ve (..) le verle ye kaok deklemler do rda egre edlr olmas d r. Kaok döü ümler ersler ve

37 ble keler de kaok döü üm olr. Böylece üm kaok döü ümler kümes br grp ol rr. Böylece, Hamlo-Jacob eors mekak problemler de me döü ümler al da grp eorse drger. Le, k sm ürevl deklemler ç ykar da bahsedle klask egral meodlar a ek olarak de me döü ümler dü üces emel ala ye br egrasyo meod gel rd. Le yakla m, leer olmaya br merebel k sm dferasyel deklemler karakerskler Lagrage-Moge dü üces ve döü üm eorsde a mlad fesmal döü ümler emel al r ve am çözümler özel p ola k sm dferasyel deklemler de mez (vara) çözümler grp de mezl bak aç s da verr. md, k sm ürevl dferasyel deklemler de mez çözümlere geçmede öce b eor emel ol ra a m ve eoremler verelm [6], [6], []... Br-paramerel Yerel Le Grplar ve Ifesmal Döü ümler Le eors emel de mezlk (varace) kavram ol rr. De mezlk de smerler varl le mümküdür. Düzlemdek oka döü ümler br G grb göz öüe alal m. Düzlemde verle br e r ales, G grb al da de mez olmas ç ale e rler, G grb her br döü ümüyle ked aralar da perme olmas d r. Smerler sürekll gerekldr ya grp döü ümleryle herhag br IR ve G grb yol e rs dee = f(, ) okas, kom sürekl br e r ola okas a a r. Grp özellkler alam da, yol e rs herhag br okas ay e r okalar a G le a r. f(, ) görüüler yere okas G-

38 6 yörüges ad verlr ve G() le göserlr. G al dak de mez e rler le G grb yol e rler çak r. Böylece G grb, sürekl olarak de eble paramereler kümesyle belrlr ve G döü ümler sürekl grb olr. Uyglamal grp aalzde, döü ümlerde de mezl ol rlmas baze hesaplama problem ol raca sürekl grplar kavram da, döü ümler fesmal döü ümler ya da fesmal üreeçlerle belrlmes daha yg olm r. De mezlke fesmal üreeçler üzerde verlr. Verle br fesmal üreeçde Le deklemler çözülmesyle grp döü ümler blr. Le deklemler çözümüü varl sadece regüler okalar küçük kom lklar da garadr. B da bz br-paramerel yerel döü üm grplar kavram a göürür... Br-Paramerel Yerel Döü üm Grplar IR üzere, paramerese ba l = f(, ) (..) ekldek döü ümler ele alal m. B döü ümlerde brm döü üm ya da özde lk döü ümü elde emek ç, paramere bell de er ç f(, )= (..) ko l koyal m ve cvar da hçbr de er blmamas yla, (..) döü ümü özde lk döü ümüe drger. (..) ve (..) deklemler koordalar da = f (, ), f (, )= =,,..., (..)

39 7 eklde yaz lablr. Prak yglamalarda b döü ümler, sadece parameres say sal olarak yeer kadar küçük de erlere k s lamas yla grp özellkler sa lar. B da yerel döü üm grb kavram yla verlr.... Ta m U IR paramereler kümes olmak üzere, (..) le a ml br-paramerel döü ümler G kümes alal m. E er a a dak özellkler sa laya ve çere U U al aral varsa G kümese brparamerel yerel grp der. (), U ç = f (, ), f (,,..., = ; ) f (,,..., ; ) se f (, (, )) (..) olacak eklde paramereler aras dak ble m kral yla a ml br foksyo vard r. (),, U ç (, (, ))= ( (, ), ) () Herhag U de er ç (, )= deklem eklde ek br çözüme sahpr. (v) (, ) U,, U de keler ç üç defa sürekl olarak dferasyelleeble foksyodr. Böylece (, ) (..) foksyoa grb ble m kral ad verlr. Ayr ca f (, )= ba lag ç ko llar ve (..) de (, )=, (, )= olr. Ters döü üm de f (, )= =,,...,

40 8 le verlr. IR de döü ümler br G grb alal m. E er T, T G gb herhag k döü üm, grb çdek elemalar sürekl br kümesyle ba laablyorsa, G grba sürekldr der. Ya, T, G grb çdek T ye sürekl olarak döü ür. Br-paramerel br G grb sürekll ykar dak dü üce le aç k r. Sürekl r-paramerel G r grplar drmda, G r () yörügeler, sürekl r-boyl mafoldlard r. Böylece mafold üzerde a mlaa Le grplar a geçlr.... Br-Paramerel Yerel Le Grplar Döü ümler br-paramerel yerel Le grb vermede öce Le grb geel a m verelm.[8].. Ta m Le grplar, grp özellklerde ba ka ek özellklere sahp ola özel grplard r. Temel grp özellklere ek olarak br Le grp, düzgü mafold yap s da a makad r. B alam, Br G Le grb üzerdek grp lem m: G G G, m(g,h)=g.h g,h G ve g, g elema grp leme göre ers olmak üzere, ers döü üm (verso) : G G, (g)= g g G mafoldlar aras dak düzgü döü ümlerdr.

41 ... Ta m Döü ümler br-paramerel yerel grb,... Ta mda verle ()-(v) aksyomlar a ek olarak a a döü ümler br-paramerel yerel Le grb a mlar. 9 dakler arlar sa l yorsa () sürekl paramere ya, S, IR br aral d r. Geell kaybemede = brm elemaa kar l k gelr. () = f(, ), e göre sosz olarak dferasyelleeblr ve aalk fosyo. (), U ç, (, ) aalk foksyodr. U... Ifesmal Döü ümler md de fesmal (sosz küçük) döü ümler as l ol rld celeyelm. (..) ble ke kral grp paramereler seçme ba l d r. Geell bozmada (..) ble ke kral (, )= + seçlmesyle, grb paramerele rm olrz. Brada da döü ümler brparamerel Le grb le verlr. =- olr. Böylece br-paramerel döü ümler Le = f (, ), f (,)= =,,..., (..6) md de (..6) döü ümler = kom l da Taylor serse açarak ge leelm. Böylece = f (,,..., ;) + f ( ) +O( ) elde edlr. Brada = (,,..., ) olmak üzere, f ( ) = () dyelm. Brada da (..6) ba lag ç ko l al da

42 blr. + () (..7)... Ta m =,, olmak üzere, + () döü ümlere (..6) Le grb fesmal döü ümler ve fesmaller der.... Örek Düzlemde = cos + y s ekldek dömeler grb (, y) = fesmallere sahpr. A a, y = y cos - s = y, (, y) = () e de (..6) grb y = - (..6) le verle döü üm grb fesmaller elde ek. dak eoremle de fesmaller blmes halde grp döü ümüü elde edeblrz...6. Teorem (Brc Temel Le Teorem) (..7) fesmal döü ümler verls. = f (,,..., ; ) foksyolar Le deklemler olarak da ble a a dak brc merebe ad dferasyel deklem ssem çözülmesyle blr. =,,, = (,..., ) olmak üzere d d ( ). (..8) Le Brc Temel Teorem, (..6) le verle döü ümler brparamerel Le grb ked fesmal döü ümleryle belrleeblece fade eder.

43 ... Ifesmal Üreeç fesmaller, brc merebe leer operaör olarak yaz l r...7. Ta m = (..9) operaörüe (..6) döü ümler br paramerel Le grb fesmal üreec der. Böylece Le Brc Temel Teoremde (..6) le verle döü ümler br-paramerel Le grb ked fesmal üreeçleryle de belrler...8. Örek... Örekek dömeler br-paramerel grb = y - y fesmal üreece sahpr. (..8) Le deklemlerde ve aalk foksyoyla verle (..9) üreecde, (..6) grp döü ümler üsel foksyo kllaarak sosz serye açablrz...9. Teorem = (,..., ), = (,,..., ) ve de..7. Ta mla verle üreeç olmak üzere, (..6) le verle döü ümler br paramerel Le grb, dekr. = e = ( ) ( ) (..)!!!

44 ... Soç F() sosz kez ürevleebl br foksyo ols. fesmal üreece sahp (..6) döü ümler br-paramerel Le grb ç, olr. F( )=F( e )= e F() Böylece fesmaller blmes halde grp döü ümüü blmas ç br yöem daha elde edlm olr.... De mezler... Ta m F() sosz kez ürevleeble br foksyo ols. F() foksyo (..6) le verle döü ümler Le grb de mez (vara) foksyo olmas ç gerek ve yeerl ko l (..6) le verle grp döü ümler herhag br ç olmas d r. F( )=F() E er F(), (..6) de mez foksyo se F() e (..6) de mez der....teorem F() foksyo (..6) döü ümler Le grb al da de mez (vara) olmas ç gerek ve yeerl ko l grb üreec ç F() F() = (..) leer homoje k sm ürevl dferasyel deklem çözülmesdr....teorem IR de döü ümler br-paramerel Le grb am olarak - ae foksyoel ba ms z de mez vard r. Ba ms z

45 de mezler herhag br kümese (), (),, (), grb de mezler br baz ad verlr. B baz ek de ldr. Blar (..) deklem karakersk ssem - ae lk egralde d = = d ()= C, ()= C,, ()= C olarak elde edlr. Grb herhag keyf de mez formülü le verlr. F()= ( (), (),, ()) (..)..6. Kaok De keler (..6) le verle döü ümler Le grb... Teorem le verle de mezler ye de keler olr....teorem (..6) le verle döü ümler br-paramerel Le grb, (), (),, (), grb de mezler br baz ve (), ( ) () = (..) homoje olmaya leer deklem herheg br çözümü se = (), = (),, = (), = () kaok de kelere sahpr. Verle br üreeçde grp döü ümüü blmak ç Le deklemler çözülmes, üsel foksyo klla lmas ve kaok de keler klla lmas olmak üzere üç meod klla l r. B üç meod ç a a dak öre verelm.

46 ..6. Örek = + y y fesmal üreece sahp grb blal m. () Le deklemler çözülmesyle: üreec,(..8) de Le deklemler ve ba lag ç ko llar d d, d y = y d, y y olarak yaz l r. Deklemler egrasyoda = C, y = C C elde edlr. Ba lag ç ko llar yere kolmas yla da = C C, y = C y olr ve brada egrasyo sabler C =, C = olarak blr. Böylece operaörü, =, y = y özel projekf döü ümler br-paramerel grb ürer. () Üsel döü ümü klla lmas yla: (..) deklemlerde = e =( ) ()!!! y = e y=( ) (y)!!!

47 yaz l r. Brada =,,... ç () ve ç öce brkaç erm hesaplayal m. ()=, Böylece Bezer eklde = e = + () = (())= ( )=!, (y) blmas gerekl. B () = (! )=! ()=! olmal. B ümevar mla spalayal m. ()=( ())=(! )=!(+) (y)=!y blr. Böylece + + =(+)!. ç + =( ) = y = e y = y + y + + y + =y( ) = ay grp elde edlr. y () Kaok de keler klla lmas yla: üreec ç (..) deklemler d yaz l r ve C= y brc egral sa la r. Böylece de mez = y olarak dy y blr. (..) deklemde ()=. =- elde edlr. Böylece kaok koordalar = y, =- Soç olarak grp döü ümler =, = + ya da - =- +, = y y olarak yaz l r. So yaz la deklemler çözülmesyle

48 6 =, y = y döü ümler elde edlr... De mez Deklemler Kaok form yap s da görüleblece gb verle br deklem ssem ç büü çözümler elde edlmes mümkü olamayacak r. B a lmas ç deklem ssemlerde b grplar eks as l old a a dak a m ve eoremle k saca verlmeye çal lm r. B ç IR ve s olmak üzere, deklem ssem dü üelm. okalar da IR de s ae deklemde ol a F ()=, =,,,s (..) F / Jacobye mars (..) deklemler sa laya üm F rak =s s rakl olma ar koyal m. (..) deklem ssem çözümler yer (-s)-boyl br M IR mafolddr.... Ta m =f(, ) döü ümler br G grb alal m. (..) deklemler çözümü ç, F ( )=, =,,,s olyorsa (..) ssem, G grb le lgl olarak de mez yada (..) deklemler G grb kabl eder der.

49 B geomerk olarak alam, herhag br M okas da geçe G grb yol e rs, M üzerde yaar. Soç olarak M mafolda G ç de mez br mafold der. üreeçl (..6) döü ümler br-paramerel br G Le grb alal m. (..) ssem G grb al dak de mezl fesmal es a a dak eorem le verlr.... Teorem (..) ssem, fesmal üreece sahp G grb al da de mez olmas ç gerek ve yeerl ko l F ( ) (..) =, =,,,s deklem sa lamas d r. Bradak (..) sembolüü alam, (..) M çözüm mafold üzerde de erledrlm r. 7.. Le Cebr.. Bölümde gördük k, her br paramerel grp br fesmal üreec le belrler. Ml-paramerel local grp eors bz Le Cebrlere göürür. r-paramerel sürekl grplar fesmal üreeçler r-boyl br Le Cebr ürer. Le Cebr eors moder maema y gel m csmlerde brdr. B kavram öeml ley özel leraürde blablr. md de (..9) operaörler Le cebr ol ral m. Geomerk olarak, (..7) le verle fesmal döü ümler, okas dak ()=( (), (), ()) aja vekörüyle a mla r. Böylece () ye (..6) grb aja vekör csm der. Taja vekör csm, geellkle () le göserlr ve

50 8 = () brc merebe leer dferasyel operaör olarak yaz l r. Brc merebe leer dferasyel operaörler br Le cebr ya aja vekör csmler vekör zay ol ral m. =,,r olmak üzere, leer ba ms z aja vekör csmler = () ols. B r ae leer ba ms z vekörle ürelm leer zay, reel say lar csm üzerde r-boyl br vekör zay olr. B leer zay üzerde a a dak lem a mlayal m., = j - j j =( ( )- j j ( )) B kl lem a +b j, k =a, k +b[ j, k ] (blear),a +b k =a, +b[, k ] j j, j =- j, (a smerk, skew-smerk), j, k ]+ j, k, ]+[ k,, j ]= (Jacob özell ) özellkler sa lar....ta m B vekör zay ykar da a ml kl leme göre kapal se r-boyl Le cebr der ve L r le göserlr.

51 [, ] operaörü, cebr çarp m ba s d r ve Le çarp m veya Le paraez der. Le çarp m geelde brle mel de ldr. E er herhag v,w L r ç [v,w]= se Le cebre de mel der. 9...Teorem operaörleryle ürele r-boyl vekör zay L r olmak üzere Le deklemler çözülmesyle baz operaörler her brde elde edle ek paramerel grp döü ümler T a = T r T r... T ble kes ol rd grb r-paramerel br local grp olmas acak ve acak L r Le cebr olmas le mümküdür. md de Le grp le Le cebr aras dak l ky verelm. Br G Le grb verls. g G okas a a G dek aja zay a a a Tg G olmak üzere, G dek üm elemalara a aja zaylar brle m ola aja deme (age bdle) de TG le göserelm. Ya, TG = g G T G y Brada e brm elema a a aja zay le özellkle lglelr. Ba G Le Grb Le cebr der ve L r = T e G le göserlr.

52

53 . KISM D FERANS YEL DENKLEMLER N L E S METR LER B bölümde Le araf da ol rla ssemak çözüm prosedürü k sm dferasyel deklemlerde as l yglad verece z [], [], [6], [], [], [8]. Verle k sm ürevl dferasyel deklem, döü ümler Le grplar al da de mez kal yorsa b grba k sm ürevl dferasyel deklemler Le smer grb ya da Le smers der. Br Le smer grb, üm ba ml ve ba ms z de kelere ba l olarak verle döü ümler al da dferasyel deklem de mez b raka br fesmal üreeçle a mla r. B fesmal üreeç, k sm ürevl dferasyel deklemler Le grba kar l k gele Le cebr üree br baz leer kombasyodr. B baz klla larak bla bezerlk döü ümlerde grp-de mez çözümler elde edlr. B bezerlk çözümü, ay boyl al cebrler le ol rla üm bezerlk çözümler ales kümesdek ba ka br bezerlk çözümüe herhag br döü üm le kar l k geleblr. Böylece b bezerlk çözümler s flad r lmas ç b al cebrlere kar l k gele al grplar adjo emsl klla larak al cebrler adjo emsl blr ve brada bezerlk döü ümler deklk s flar ol rlr [], []. Her br deklk s f da br üye al arak elde edle opmal ssem ol rlm ve b opmal ssem klla larak smer drgemeler yap lm r [], [8]. Smer grplar klla ld herhag br yglamada, lk olarak verle deklem smerler blmam z gerekr.

54 .. Klask Smerler Elde Edlmes K sm dferasyel deklem ssem e geel hal ele alal m. p,q,k,m keyf pozf am say lar olmak üzere, =(,,, p) p ae ba ms z de ke, =(,,..., q ) q ae ba ml de ke ve (k), ba ml de keler ba ms z de kelere göre k- c merebeye kadar üm k sm ürevler gösers. Brada da k- c merebede k sm ürevl dferasyel deklem ssem (, (k) ) = =,,,m (..) le verls. Bradak =(,,, l ), (k) m : J IR foksyo düzgü br foksyodr. md de... a mla verle = (,, ) (..) = (,, ) (...) ekldek sürekl paramerese ba l döü ümler br-paramerel Le grb alal m. (..) deklem ssem b döü ümler al da de mez se (..) ve (..) le verle döü üm grba deklem ssem smer grb ya da Le smers der. B alam, döü üm grb, deklem ssem = () ekldek br çözümüü, ba ka br v= (, ) çözümüe göürür. = (), (..) ssem br çözümü ols. E er ve ba ml ve ba ms z de keler v ve le de rrsek (..) deklemler (, v (k) ) = =,,,m (..) olr. Brada v= ( ), (..) deklem ssem çözümüdür. B da göserr k (..) ve (..) deklemler ek çözüme sahpseler

55 ( )= (, (), ) olr. B edele, ( (, ))= (,, ) br-paramerel foksyoel deklem sa lar. (..) ve (..) deklemler = cvar da ge leelm. = + (, ) + O( ) =,,, p = + (, ) + O( ) =,,, q Brada... Ta mla verle + (, ) ve + (, ) fesmal döü ümler elde ederz. Bradak ve foksyolar a deklem fesmaller der. Ifesmal yakla m da,.. Bölümde a mlaa G Le grba kar l k gele Le cebr göz öüe alal m. De mezl cebrsel a mlamas da ykar dak fesmal üreeçler p = (, ) + (, ) q (..) vekör csmyle l kledrlr. B vekör csm, Le cebr üree vekör csm br baz leer kombasyo göserr ve (..) le verle dferasyel deklem ssem Le smer üreec der. Bradak blmeye, fesmaller blmak ve... Bölümde verle de mezlk ar ç ürevler özellkler çere döü üm grb za m (prologao) blmam z gerekldr. B ç a a dak a mlar verelm.

56 ...Ta m: J=( j,..., jm ), jm p, m k ç,j, =,J = m... j j m olmak üzere -c oplam ürev geel bçm a a dak gb verlr. D = + q J,J,, J Brada da deklem k -c merebede old ç (..) le verle vekör csm k -c za m a a dak gb a mla r.... Ta m : (..) le verle vekör csm k- c za m pr (k) = + q J (k),j (, ) (..6),J eklde hesaplaa vekör csmdr. Bradak, J kasay foksyolar, j J D, = p D, J -,(J ) m m m formülüyle hesapla r. J=, J = Ykar dak a m klla larak, (..) ve (..) grb al da (..) deklem de mezl ç fesmal krer a a dak eoremle verlr.... Teorem : (..) le verle vekör csm, (..) le verle k sm dferasyel deklem ssem br smer üreec olmas ç gerek ve yeer ko l e l sa lamas d r. (k) pr = (..7)

57 (..) le verle ssem Le smerler üreec blmas ç (..6) formülü klla larak vekör ala za m blr. B za m formülüde deklem yere kolarak (..7) e l sa la r. Elde edle e l = mafolda k s lamas al r. B e l sol araf, ba ml ve ba ms z de keler üm k sm ürevler s f r polom olarak dü üülüp, ürevlere a her br kasay s f ra e leerek belrleyc deklemlere la l r. Elde edle belrleyc deklemler her zama do rsald r ve deklem say s blmeye say s da fazlad r. Belrleyc deklemler çözülerek blmeye, fesmaller blr. Böylece, verle deklem Le smer üreec hesaplam olr. Belrleyc deklemler çözümü soc a a kar la lablr: dak drmlarla (a) Aç k çözüm: = = B drmda (..) ssem smer grb yokr ve yöem yglaamaz. (b) Belrleyc deklemler, r IN say da egrasyo sabe ba l olarak çözülür. B drmda deklem smer cebr boy r dr. (c) Geel çözüm keyf foksyolar çerr. B drmda smer grb sosz boyldr([]). md de smer üreec ykar dak prosedür le hesaplaa deklem, b smer üreec klla larak grp-de mez çözümler elde edelm.

58 6.. Smer drgemes Smer drgemes k sm ürevl dferasyel deklem br ad dferasyel dekleme ya da daha az ba ürevl dferasyel dekleme drgemes sa lar. ms z de ke çere br k sm Bezerlk drgemes deklem de mezl le yak da lgldr. Çükü brada bezerlk döü ümler elde ederz. drgeme prosedürü deklem br bezerlk emsl ol rr. De ke say s br azal lmas orjal dekleme k yasla baz avaajlara sahp br emsl elde edlmes sa lar. B prosedür leer yada leer olmaya deklem do as da ba ms z çal r. Ayr ca deklem merebesde ba ms zd r ve s r ko llar dak blgye hyaç dymaz. drgeme faydas, aalk ya da ümerk çözümü blablecek bas br deklem elde edleblmesdr....teorem. = (), (..) deklem ssem de mez çözümü olmas ç gerek ve yeerl ko l (..) e l e ek olarak, (..) deklem fesmal üreec ç (- ())= ke (, ()) () (, ()) de mez yüzey ko l dee brc merebe k sm ürevl dferasyel deklem sa lamas d r. Brada de mez yüzey ko l çözümüe kar l k gele d (,)... p d p (,) d (,) karakersk deklemler çözümüyle deklem... q d q (,) (, ),, p (,), v (, ),, v q (,)

59 ekldek foksyoel ba 7 ms z de mez çözümler blr. Blara bezerlk de keler der ve dekleme yglamas yla v=( v (, ),, (,) ) olmak üzere ba v q ( (, ), (, ),, (,) ms z de ke say s br azal lm olr. (k) p, v )= K sm ürevl dferasyel deklem kabl e smer grb üreec, b smer grba kar l k gele Le cebr üree vekör csm br baz leer kombasyo old da ve b üreeç k say da keyf sab çere fesmaller le belrled de, k sab seçm le Le cebr br cebr b baz klla larak, s,,..., k baz alal m. Böylece Le k olmak üzere, elde edle s-boyl L s al cebrler le yap la smer drgemeler ol rablrz. L ={ s,,..., s drgemes yap lablmes ç } s-boyl al cebre kar l k gele smer (, ), (, ),, (,) p q s ekldek foksyoel ba ms z çözümler blr. E er j(,) foksyolar aras da j(,) ekldek q aes ba ml de kelere ersr br asvr a mlayacak eklde seçleblyorsa, br ba ka dey le J (,..., (,..., q q ) ), dej e szl sa layacak eklde q ae j(,) foksyo blablyorsa, blar ye ba ml de keler blmas da klla l r. j(,) foksyolar da ger kala p-s aes se

60 8 (, ), (, ),, (, ) p s ekldek ye ba ms z de keler olarak seçlr. = (,..., ) j j k, j=,,,q e lklerde j ba ml de keler j ()= v j (, j (,..., k ) ), j=,,,q eklde çözülüp lk deklemde yere kolarak drgem deklem blr. B deklem çözülerek çözümlere la lm olr. md de b L s L s al cebre kar gele am al cebrleryle elde edle grp-de mez çözümler br s flamas opmal ssem blarak ol ral m... Opmal Ssem Blmas boyl.. Bölümde ol rla smer üreec br baz üre r L r Le cebr s-boyl al cebr ç bezerlk çözümler ales blablr. Baz drmlarda böyle al cebrler sosz say da old da bezerlk çözümler heps hesaplamak mkas zd r. Smer grb b kümede, döü üm yglamas yla ay kümedek d er bezerlk döü ümlerde elde edle bezerlk çözümler vard r. B bezerlk çözümler s flad r lmas ç mmal lseye sahp olmalar faydal olacak r. Öylek, b elemalar her br, döü üm yol le d er bezerlk çözümler heps vers. Böyle br lseye opmal ssem der. [] ve []'de ala ld gb b opmal ssem blmak ç al cebrler aras da br deklk ba ol ral m. s a mlamak ç adjo emsl

61 ...Ta m V g G olmak üzere, 9 L r, H=ep( V) br-paramerel al grb üreyor se, Ad g(v) d K g (V), V L r olarak a mlaa adjo emsl K g (H) =gh g br-paramerel e lek (cojgae) al grb ürer. Le cebr adjo emsl le Le grb adjo emsl aras da l k vard r. B l k a a dak eoremle verlr.... Teorem : L r Le cebr, s-boyl k Le al cebr L s, b al Le cebrlere kar l k gele, G Le grb k Le al grb L ~ s ve H s, H ~ s ols. H s ve Ya, H ~ s, e lek al grplar d r. L s ve L ~ s e lek al cebrlerdr. H ~ s =gh g L ~ s =Adg( L ). Brada adjo emsl, fesmal üreeçler üzerde ol rmak sersek,, ep( ) br-paramerel al grb üreyor se bz, Ad() e lek döü ümler br-paramerel grba kar l k gele Le cebr üreeçler üzerde vekör csm olarak al r z. Böylece d Ad( ) = d olr. Brada da V()= V olmak üzere V Ad(ep( ))V V L r s

62 Ad(ep( )) V = ad() ( j V )= (ad()) (V ) j! j j elde edlr. md de = V - [, V ]+ [,[, V ]]- (..) L r cebr, br-boyl al cebrler aras da ykar da a mlaa adjo emsl kllaarak br deklk ba s a mlayal m....ta m : L r cebr L, ve L, br boyl al cebrlere kar gele drgem çözümler brbre dek olmas ç gerek ve yeer ko l L, =Adg(, L ) e l sa layacak eklde g G blmas d r. B eklde a mlaa br deklk ba s yla deklk s flar bldka sora, b s flar herbrde br emslc al arak, b emslcye kar gele de mez çözümler blmas yeerldr. B deklk s flar da brer emslc al arak ol rlr. a a L r cebr opmal ssem md de braya kadar ala la ko daha y ala lmas ç dak öre verelm.

63 .. Örek: = (..) k sm ürevl dferasyel deklem Le smer aalz yapaca z. Brada Le smerler opmal ssem ol rp, b opmal sseme göre deklem smer drgemeler elde edece z. = (,,) = (,, ) = (,,) fesmal döü ümler br paramerel ( ) Le grb dü üelm. Ykar dak döü üm grba kar l k gele vekör csm = (,,) + (,,) + (,,) (..) olarak yaz lablr. vekör csm, (..) deklem smer üreec olmas ç, deklem. merebe old da b vekör csm -c za m gerekldr. B za m, deklem erm çermed de... Ta mda () pr (..) eklde elde edlr. Brada... Ta mda D, D oplam ürevler D... D... olmak üzere, (..) dek

64 e lkler, ( + - D ( ) - D ( ) - D ( ) D ( ) - D ( ) - D ( ) D ( ) - D ( ) - D ( ) D ( ) - D ( ) - D ( ) ( ) - ( ) ( ) - = ( ) - + ( ) ( ) -( ( ) - ) ) - ( ) - ( ( ) + ( ) )- ( ( ) + ( ) )- ( ) ( ) - ( - ) + ( ( ) - ) ( - ) = ) ( ) - ( ) ( ) ( - ( ) - ( ) (..-a) ( ) (..-b) ( ) - ( ) ) ( - ( ) - ( ) ( ) - ( ) (..-c) - ( ) - ( ) -( + ) ) ( - ) ( ( ) = ) ( - ( ) - ( ) - ( ) ( ) - ( ) - ( ) ( ) - ( ) - ( ) (..-d) - olr. ( ) -( + ( - ) ) ) ( ( ) Deklem... Teoremdek smer ko l ç, pr ) ( (..) dekleme yglamas yla, ( + )+ - + =

65 e l sa lamas gerekr... e lkler klla larak deklem mafold üzerdek drgemes al arak (..) deklem smer ko l ç c =- ( ) c =- ( ) - ( ) + ( ) + c =- ( ) c =- ( ) c = ( ) + d =- ( ) d =- ( ) + ( ) - ( ) d =- ( d = ( ) ) d = ( ) + ( ) - e =- ( ) e =- ( ) + e =- ( ) e = ( - ( ) ) e = ( + ) f =- ( ) f =- ( ) + f =- ( ) f =- ( )

66 f =- ( ) f 6 =- ( ) + ( ) - ( ) f 7 =- ( ) + ( ) - ( ) + f 8 =- ( ) + + ( ) f 9 = ( ) - ( ) + ( ) - ( ) + - f = ( ) f = ) f = ) f =- ( ) ( ( - kasay lar olmak üzere, c f f ( ) + c + d + e ( ) + f + d + e ( ) + f 6 + f = + c + f ( ) + f 7 + d + c + e ( ) + f ( ) + f8 + c + d ( ) + e ( ) + f ( ) + f 9 ( ) + d ( ) + f + e + f ( ) + ( ) + e l elde edlr. B elde edle e l her k ya ve ye göre ürevler br polom olarak al r ve =,,, j=,,8 olmak üzere c, d, e, f j la l r. (deermg eqaos) kasay lar s f ra e leerek belrleyc deklemlere c, c, c, c, d, f 7, f 8 kasay lar da ( ) = ) ( = ( ) = ( ) = ( ) = = = belrleyc deklemler elde edlr. Böylece blmeye,, foksyolar yap s

67 olarak belrler. c, d, e, f 9, f = ( ) = ( ) = (,) kasay lar da da - ( ) + ( ) = - ( ) + = - = - ( ) + = belrleyc deklemlere la l r. Ykar dak,, foksyolar b deklemlerde yere kolrsa, ( ) = = ( ), = = ( ) = deklemler elde edlr. B deklemler egrasyo le belrleyc deklemler çözülmü olr. Belrleyc deklemler çözülmesyle deklem fesmal üreece la l r. Deklem fesmal üreec = k + k = k + k = k + k + k olarak blmas yla, deklem smer üreec =( k + k ) +( k + k ) +( k + k + k ) olr. B üreeç ç

68 6 k = = k = = k = = k = = k = = + + vekör csmler br aba olr... Bölümde Le paraez ablos: [, ] Brada b aba L =,,,, Le cebr ürer. Her br üreece kar l k gele grp [6] G : (,,) (,, + ) G : (,,) (,, - ) G : (,,) (+,, ) G : (,,) (, +, )

69 7 G : (,,) ( e, e, e ) olr. (..) deklem kabl e smer üreec e geel hal = a + a + a + a + a ols. B deklem opmal sem blmak ç... e l ve Le paraez ablos kllaarak adjo emsl ablos ol ral m. Ad(ep( *)* e e e B adjo emsl ablos kllaarak Ad( e )= Ad( e )= Ad( e )= Ad( e )=

70 8 Ad( e )= e e e marsler elde edlr. Grb herhag g elema adjo emsl ykar dak marsler çarp m le verlr []. g Ad = e e e e e e e e Opmal ssem ol rmak ç a a dak hesaplamalarla aalz yapal m. Ad g a = e e e e e e e e a = (..)

71 ler belrleyerek e l sa araf basle rmeye çal aca z. 9 ç söz kos ola drmlar celeyelm.. : ( =a, ) Dördücü süda ba layal m ve s f ra e olmas ç çözümüü blal m. Brada ü = blr. ü b seçmde = elde edlr. Ay eklde üçücü sü ç ü = seçmyle de = olr. Ayr ca brc süda ü yere koyarsak, brc sü e e e e olarak blr. Brada se = ve = seçlerek de s f r olr. Böylece () e l dek vekörü olarak blr. =(,,,,) a = se brc süda =

72 6 seçlerek s f r olr. Böylece vekörü olarak blr. Brada üreec elde edlr.. = (..) e l IR olmak üzere =(,,,,) + e e e a e e = hal al r. Brada () : ( =a, ) Brc sü ç drm celeyelm. = seçlerek = elde edlr. Üçücü ve dördücü sü sadele rmek ç (a), se e a =, e a =

73 6 e lklerde = l a Brada da vekörü, = l a =(,,±,±,) seçlmesyle elde edlr. olr. ={-,}olmak üzere + + üreec elde edlr. (b) =: (..) e l e e e a e = olr. Dördücü südak e a = e l ç, = l seçlerek, a olr. Brada ={-,,}olmak üzere üreec elde edlr. +

74 6 () e l (c) =: e e a e = olr. Üçücü südak e a = e l ç, = l seçlerek, a olr. Brada ={-,,}olmak üzere üreec elde edlr. () =: (..) e l + a e e e e = hal al r. Brada ç söz kos ola brkaç drm celeyelm.

75 6 (a) se: Brc süda = seçlerek = elde edlr. Üçücü südak e a = e l ç, = l seçlerek, a olr. ={-,}ve ={-,,}olmak üzere + üreec elde edlr. (b) =: (..) e l a e e = hal al r. Brc südak e a =

76 6 e l ç, = l seçlerek, a olr. Üçücü südak e a = e l ç, = l seçlerek, a olr. ={-,,}olmak üzere + üreec elde edlr. üzere Soç olarak opmal ssem, IR, ={-,}, ={-,,}olmak +, + +, +, +, +, + olarak blr. Brada da b opmal ssem kllaarak.. Bölümde verle smer drgemeler yapal m.

77 6. L, cebr klla larak yap la drgeme: ( + )W(,,)= deklemde + vekör csm de mezler d d d karakersk deklem çözülerek c, c blr. Kar gele bezerlk de keler z =, =v(z)- eklde elde edlr. Brada b bezerlk de kelere göre yap la drgeme zv ( z ( z )( v zv )) = olarak blr.. L, cebr klla larak yap la drgeme: ( + + )W(,,)= deklem çözülerek elde edle bezerlk de keler z =-, = v( edlr. Brada b bezerlk de kelere göre yap la drgeme olarak blr. ( v (z v )v ) =z+ ) eklde elde. L, cebr klla larak yap la drgeme: ( + )W(,,)= deklem çözülerek elde edle bezerlk de keler z=, =v(z)+ eklde elde edlr. Brada b bezerlk de kelere göre yap la drgeme z v =