ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ZEMİNLERDE SİSMİK DALGA SÖNÜMÜNÜN KESİRSEL TÜREV YAKLAŞIMI İLE MODELLENMESİ.

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ZEMİNLERDE SİSMİK DALGA SÖNÜMÜNÜN KESİRSEL TÜREV YAKLAŞIMI İLE MODELLENMESİ Üal DİKMEN JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 004 Her hakkı saklıdır.

2 Prof. Dr. Ahme T. BAŞOKUR daışmalığıda Üal DİKMEN arafıda hazırlaa bu çalışma 8/05/004 arhde aşağıdak jür arafıda Jeofzk Mühedslğ Aablm Dalı da Dokora ez olarak kabul edlmşr. Başka : Prof. Dr. Güay ÇİFCİ Üye : Prof. Dr. Ahme T. AŞOKUR Üye : Prof. Dr. Fama ERDOĞAN Üye : Prof. Dr. Berka ECEVİTOĞLU Üye : Doç. Dr. Ala NECİOĞLU Yukarıdak soucu oaylarım Prof. Dr. Me OLGUN Esü Müdürü

3 ÖZET Dokora Tez ZEMİNLERDE SİSMİK DALGA SÖNÜMÜNÜN KESİRSEL TÜREV YAKLAŞIMI İLE MODELLENMESİ Üal DİKMEN Akara Üverses Fe Blmler Esüsü Jeofzk Mühedslğ Aablm Dalı Daışma: Prof. Dr. Ahme T. BAŞOKUR Yer damk davraışı belrlemes karmaşık br problemdr. Bu şlem maemaksel olarak, sürekl br oramda ssmk dalgaı yayılmasıı hesaplamasıdır. Zem damk yaıı belrlemesdek emel problemler başıda, ssmk dalga eerjs soğurulma mekazmasıdak belrszlk gelr. Bu şlem söüm olarak smledrlr. Geel olarak, zama oramıda çözümleme yapa programlar, söüm şlem ç deeysel souçları veya frekasa bağlı söüm fadeler (Raylegh 945, Idrss vd 973, Hudso vd 994) kullaır. Frekasa bağlı söüm, özellkle büyük zama aralığı gerekre şlemlerde yeersz kalır. Ayrıca söüm şlem zem yapılarıda frekasa bağlı değldr (Hudso vd 994, Chorpa 995). Hard vd (97) frekası söüm üzerdek eks farklı zem örekler üzerde laborauar deeyleryle gösermşr. Buula brlke, söüm üzerde deformasyo geçmş ek rol oyadığıı belrmşr. Bu ez çalışmasıda ssmk dalgaı zemlerdek söümlemes hesaplayablmek ç, zemde oluşa deformasyou geçmşe bağlı ye br söüm yaklaşımı öerlmşr. Bu söüm yaklaşımıa gerçel merebe ürev yaklaşımı der. Hareke deklem k boyua modellemesde, söüm ç gerçel merebe ürev yaklaşımıı kullaa br blgsayar programı (DYND) MATLAB programlama dl kullaılarak yazılmışır. Farklı fzksel ve geomerk özellklerdek zem ürler k boyua modellemş ve elde edle souçlar, Raylegh söüm yaklaşımıı kullaa Quad4m (Hudso vd 994) programı souçları le karşılaşırılmışır. Söüm şlemde gerçel merebe ürev yaklaşımı, klask söüm yaklaşımlarıa orala üsülük sağlamakadır. Klask söüm yaklaşımlarıda sab br söüm oraı (Schabel vd 97) kullaılmaka veya söüm br frekas yada belrl frekas aralığı le lşkledrlmekedr (Idrss vd 973, Hudso vd 994, Barde vd 000). Bua karşı gerçel merebe ürev yaklaşımı, frekasa bağımsız ve ssmk eerj söümlemesde e öeml eke ola deformasyou geçmşe bağlıdır. Gelşrle blgsayar programı (DYND) le model başlagıç paramere grubu, laborauar deeylere gerek duyulmada, jeofzk çalışmalarda elde edlecek blglerle sağlaablmekedr. Bu durum, hem ekoomkdr, hemde zama açısıda üsülük sağlamakadır. 004, 58 sayfa ANAHTAR KELİMELER: Ssmk yaı, Söüm, Gerçel merebe ürev, Modelleme, Solu elemalar yöem

4 ABSTRACT Ph.D. Thess MODELING OF SEISMIC WAVE ATTENUATION IN SOILS BY USING FRACTIONAL DERIVATIVE APPROACH Üal DİKMEN Akara Uversy Graduae School of Naural ad Appled Sceces Deparme of Geophyscal Egeerg Supervsor: Prof. Dr. Ahme T. BAŞOKUR The se respose deermao s a complex problem. Mahemacally, correspods o solve he wave propagao he subsurface. The major dffculy se respose aalyss of a sol srucure s he uceray sesmc eergy dsspao (aeuao) mechasm amed as dampg. Compuer programs ha perform operaos me doma use expermeal resuls or frequecy depede relaos (Raylegh 945, Idrss e al. 973, Hudso e al. 994) for dampg. The frequecy depede relaos are suffce especally for he problems requrg large me durao. Moreover, he sol dampg s o frequecy depede (Hudso e al. 994, Chopra 995). Hard e al. (97) poed ou he effec of frequecy o dampg usg dffere ype of sol specme s by laboraory expermes. They also showed ha he sra hsory plays acve role o dampg. I hs hess, a ew approach ha performs sesmc eergy dsspao depedg upo sra hsory a sol depos s proposed for dampg process. Ths ew dampg approach s called as fracoal dampg. I order o mpleme wo-dmesoal modelg of equao of moo, a compuer program (DYND) ha uses fracoal dampg approach s wre by usg MATLAB programmg laguage. Two dmesoal sol models whch have dffere ype of physcal ad geomercal properes are modeled by usg fracoal dampg scheme ad resuls are compared wh Quad4m (Hudso e al. 994) sofware whch uses Raylegh dampg (Raylegh 945) procedure. Fracoal dampg approach has fudameal superory ha classcal dampg schemes. Classcal dampg schemes use a cosa dampg rao (Schabel e al. 97) or relae dampg wh frequecy or cera frequecy erval (Idrss e al. 973, Hudso e al. 994, Barde e al. 000). I spe of classcal dampg schemes, fracoal dampg approach s o frequecy depeded ad use deformao hsory, whch plays he mos mpora role sesmc aeuao. Wh he developed program (DYND), al parameer groups for a gve model are oly provded by geophyscal daa whou laboraory expermes. Ths codo has ecoomcal ad me savg advaages. 004, 58 pages Key Words: Sesmc respose, Dampg, Fracoal dervave, Modelg, Fe eleme mehod

5 ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR Zem damk paramereler belrlemesde karşılaşıla soruları başıda, zem brmlerdek ssmk eerj soğurulma mekazmasıdak belrszlk gelmekedr. Bu ez çalışması le ssmk eerj zemlerdek soğurulma (söüm) mekazmasıa gerek maemaksel gerekse fzksel açıda alamlı br yöem gelşrlerek, güümüzde kullaıla yaklaşımları dışıda farklı br bakış açısı gerlmşr. Öcelkle, be bu kouda çalışmaya yöledre, üverse eğm boyuca blmsel araşırma ve blm adamı olma kousuda yol gösere, ayı zamada yaşam felsefem değşmesde de ekl ola, değerl hocam, daışmaım Prof. Dr. Ahme T. Başokur a sosuz eşekkürlerm suarım. Br saı e kadar müevaz kşlğe sahp olableceğ gösere ve eg blgs le örek aldığım değerl hocam Prof. Dr. Tura Kayıra a verdğ deseklerde öürü eşekkür ederm. Tez savuma komemde bulua hocam Prof. Dr. Fama Erdoğa a, Prof. Dr. Güay Çfc ye, Prof. Dr. Berka Ecevoğlu a ve Doç. Dr. Ala Necoğlu a değerl kakılarıda dolayı eşekkür ederm. Tez süresce desekler esrgemeye Yrd. Doç. Dr. E. Ugur Ulugergerl ye ve Yrd. Doç. Dr. M. Em Cadasayar a eşekkür ederm. Deseklerde dolayı başa Afe şler Geel Müdürü Musafa Taymaz olmak üzere Geel Müdür Yardımcısı Aamer Seyme e, Deprem Araşırma Dares Başkaı Bekr Tüzel e Laborauar. Şb. Müdürü Dr. Mura Nurlu ya, Ssmoloj Şb. Müdürü Dr. Ramaza Demraş a, kayak sağlama kousuda yardımlarıı esrgemeye Deprem Araşırma Dares Küüphae sorumlusu Ercüme Şaaa ya ve mesa arkadaşlarıma eşekkür ederm. Bu gülere gelmemde e büyük pay sahb ola aeme, kardeşlerme ve rahmele adığım babam a sosuz sevg ve saygılarımı suarım. So olarak zor gülermde yaımda ola sevgl şalım Nurha a eşekkür ederm. Üal DİKMEN Akara, Mayıs 004

6 İÇİNDEKİLER ÖZET... ABSTRACT... ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR... SİMGELER DİZİNİ... v ŞEKİLLER DİZİNİ... v ÇİZELGELER DİZİNİ... x. GİRİŞ..... Çalışmaı Kapsamı.... KURAMSAL TEMELLER Temel Zem Mekağ Gerlme Deformasyo Elasse Dege deklemler Saal yerdeğşrmeler lkes..... Fzksel Problem ve Maemaksel Model Hareke Deklem ve Çözüm Yöemler Kuramsal çözüm Evrşm (Duhamel egral) çözümü Laplace ve Fourer döüşümü çözüm yöem Kp (mode) çözüm yöem MATERYAL ve YÖNTEM Söüm İşlem ve Yaklaşımları Deeysel yaklaşımlar Mekak model ve kompleks modül Raylegh ve Coughy söüm yaklaşımları Kesrsel merebe ürev yaklaşımı Solu Elemalar Yöem le Modelleme İşlem Çözüm bölges solu elemalara ayrılması v

7 3... Yaklaşım (yerdeğşrme) foksyoları Şekl foksyoları Koorda döüşümler Hareke deklem solu elema yapısı Geel dzey deklem elde edlmes Sıır koşullarıı uygulaması Newmark yaklaşımı Doğrusal deklem ssem çözülmes ARAŞTIRMA BULGULARI Uygulamalar Model Model Model Model Model TARTIŞMA ve SONUÇLAR KAYNAKLAR... 4 EKLER EK EK... 5 EK EK ÖZGEÇMİŞ v

8 SİMGELER DİZİNİ F Kuvve σ Gerlme A, H Gelk Normal vekörü e Baz vekörü τ Makaslama gerlmes ε Normal deformasyo γ Makaslama deformasyou u,v Yer değşrme υ Posso oraı E Elasse modülü G Makaslama modülü B Büyüme kasayısı, Kemak (yer değşrme-deformasyo) dzey φ, ϕ Faz ü İvme u& Hız m Küle ağırlığı M Global küle dzey k Elema sıkılık (sffess) dzey K Global sıkılık dzey c Söüm kasayısı C Global söüm dzey g Yerçekm vmes c c Krk söüm kasayısı w Ek (hakm, emel) frekas w d Söümlü reşm frekası T Peryo T d Söümlü reşm peryodu ζ Söüm oraı Zama değşke δ Logarmk azalım h() Brm epk foksyou Zama oramı örekleme aralığı x Uzay oramı örekleme aralığı L Laplace döüşüm operaörü Ω Spekral dzey µ Vskoze sab x,y Karezye koorda değşkeler N Şekl foksyou J Jacoba dzey ρ Brm hacm ağırlığı (yoğuluk) f Model serbeslk dereces N Ver örek sayısı v

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl.. Dış kuvve eksyle elemada oluşa eksesel gerlme... 6 Şekl.. Deforme olable br elemada a) dış kuvveler, b) çsel gerlmeler.. 7 Şekl.3. Elemada pozf ve egaf yüzeyler. 8 Şekl.4. Elema üzerde gerlme bleşeler.. 9 Şekl.5. Eksesel deformasyo. (a) çekme (b) sıkışırma.. 0 Şekl.6. Makaslama deformasyou... Şekl.7. Yer değşrme ve ürevlere bağlı düzlem deformasyou... Şekl.8. Doğrusal elask deformasyo... 5 Şekl.9. Doğrusal olmaya gerlme-deformasyo davraışı... 6 Şekl.0. İk boyua makaslama deformasyou... 7 Şekl.. İk boyua düzlem gerlme... 0 Şekl.. Csm çersdek br P okasıda saal yerdeğşrme... Şekl.3. Mekak yay-küle ve vskoz söümledrcde oluşa reşm ssem, Ssem üzerde ek kuvveler... 9 Şekl.4. Söümsüz serbes reşm davraışı Şekl.5. Söümlü serbes reşm davraışı Şekl.6. Krk söümlü davraış.. 36 Şekl.7. Aşırı söümlü davraış Şekl.8. Dış kuvve alıda söümsüz serbes reşm Şekl.9. Rezoas davraışı Şekl.0. Rm davraışı... 4 Şekl.. Büyüme kasayısı ve ssem epks... 4 Şekl.. Fazı frekas le değşm Şekl.3. Dış kuvve brm epk foksyolar le göserm Şekl 3.. Kumda γ a bağlı G/G max ve D/D max değşm Şekl 3.. Farklı zem brmler ç deformasyoa bağlı makaslama modül oraıı değşm Şekl 3.3. Referas deformasyou Şekl 3.4. Referas deformasyoa bağlı modül oraıı (G/G max ) ve söüm v

10 oraıı (D/D max ) değşm Şekl 3.5. Mekak ssemde küley dege koumua gere yay kuvve... 6 Şekl 3.6. Yapısal elemaı mekak elemalar le bezeşm... 6 Şekl 3.7. Mekak yay elemaları:paralel bağlı yay ssem,eşdeğer yay Şekl 3.8. Mekak yay elemaları, (a) ser bağlama, (b) eşdeğer yay Şekl.3.9. Maxwell model Şekl 3.0. Maxwell model ç a) süme, b) gerlme-gevşeme davraışı Şekl.3. Kelv-Vogh Model.. 70 Şekl 3.. Kelv-Vog model ç a) süme, b) gerlme-gevşeme davraışı Şekl 3.3. Harmok dış kuvve alıda elask malzeme ve vskoelask yaı... 7 Şekl 3.4. Elpk gerlme-deformasyo eğrs (hserss eğrs)... 7 Şekl 3.5. Küle ve sıkılık dzeyler frekasa bağlı değşm Şekl 3.6. Söüm oraıı doğal reşm frekası le değşm Şekl 3.7. Grüwald kasayılarıı değşm.. 8 Şekl 3.8. Sprg-po söüm elemaı.. 8 Şekl 3.9. Sprg-po söüm elemaı kullaa Kelv-Vog model. 83 Şekl 3.0. Yer model ve k boyulu solu elema ağı Şekl 3.. Dörge elema ve düğüm okalarıdak yer değşrme bleşeler. 87 Şekl 3.. Elemaı global ve yerel düğüm umaraları Şekl 3.3. Koorda ssemler... 9 Şekl 3.4. Dörge elemada şekl foksyoları elema üzerdek değşm Şekl 3.5. Üç elemada oluşa solu elema ağı Şekl 3.6. Oralama vme yaklaşımı... 0 Şekl 3.7. Damk problem SEY le çözümüde şlem adımları Şekl 3.8. Quad4m programı şlem akış şeması Şekl 3.9. Dyd programı şlem akış şeması Şekl Ekm 989 Loma Prea deprem soucu oluşa hasar... Şekl 4.. Model solu elema ağı... Şekl 4.3. Model ç hesaplaa vme zama geçmş... 4 Şekl 4.4. Model vme zama geçmşlere a spekrum yaıı... 5 Şekl 4.5. Model ç hesaplaa gerlme zama geçmş... 5 Şekl 4.6. Model Makaslama modülü ve söüm oraı değşm... 6 v

11 Şekl 4.7. Model gerlme-derlk değşm... 6 Şekl 4.8. Model solu elema ağı... 8 Şekl 4.9. Model ç hesaplamış vme zama geçmş... 0 Şekl 4.0. Model vme zama geçmşlere a spekrum yaıı... 0 Şekl 4.. Model ç hesaplaa gerlme zama geçmş... Şekl 4.. Model makaslama modülü ve söüm oraı değşm... Şekl 4.3. Model gerlme-derlk değşm... Şekl 4.4. Kasım 999 Düzce deprem soucu oluşa hasar... 3 Şekl 4.5. Model 3 solu elema ağı... 3 Şekl 4.6. Model 3 ç hesaplaa vme zama geçmş... 5 Şekl 4.7. Model 3 vme zama geçmşlere a spekrum yaıı... 6 Şekl 4.8 Model 3 ç hesaplaa gerlme zama geçmş... 6 Şekl 4.9. Model 3 ç makaslama modül ve söüm oraı değşm... 7 Şekl 4.0. Model 3 gerlme-derlk değşm... 7 Şekl 4. 7 Hazra 998 Adaa-Ceyha deprem soucu oluşa hasar... 8 Şekl 4.. Model 4 solu elema ağı... 9 Şekl 4.3. Model 4 ç hesaplaa vme zama geçmş... 3 Şekl 4.4. Model 4 vme zama geçmşlere a spekrum yaıı... 3 Şekl 4.5. Model 4 ç hesaplaa gerlme zama geçmş... 3 Şekl 4.6. Model 4 makaslama modül ve söüm oraı değşm... 3 Şekl 4.7. Model 4 gerlme-derlk değşm Şekl 4.8. Mayıs 003 Bgöl deprem soucu oluşa hasar Şekl 4.9. Model 5 solu elema ağı Şekl Model 5 ç hesaplaa vme zama geçmş Şekl 4.3. Model 5 vme zama geçmşlere a spekrum yaıı Şekl 4.3. Model 5 ç hesaplaa gerlme zama geçmş Şekl Model 5 makaslama modül ve söüm oraı değşm Şekl Model 5 gerlme-derlk değşm Şekl E. S yüzeydek egral ala sıırları.. 50 x

12 ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge 3.. Kumlu zemlerde makaslama deformasyoua bağlı makaslama modülü oraı ve söüm değşm Çzelge 3.. Farklı zem paramereler makaslama modülü ve söüm üzerdek ekler Çzelge 4.. Model ç Quad4m programı grş vers... Çzelge 4.. Model ç Dyd programı grş vers... 3 Çzelge 4.3. Model ç Quad4m programı grş vers... 8 Çzelge 4.4. Model ç Dyd programı grş vers... 9 Çzelge 4.5. Model 3 ç Quad4m programı grş vers... 4 Çzelge 4.6. Model 3 ç Dyd programı grş vers... 4 Çzelge 4.7. Model 4 ç Quad4m programı grş vers... 9 Çzelge 4.8. Model 4 ç Dyd programı grş vers Çzelge 4.9. Model 5 ç Quad4m programı grş vers Çzelge 4.0. Model 5 ç Dyd programı grş vers x

13 . GİRİŞ.. Çalışmaı Kapsamı Deprem rsk aşıya ülkelerde zem damk davraışı üzere yapıla çalışmalar, deprem sorası küçük alalarda oluşa hasar dağılımlarıı farklılık göserdğ oraya koymuşur. Bu farklılığı oluşmasıda aa eke, zemde yayıla deprem dalgalarıı gelğdek aormal büyümedr. Zemlerde büyüme olarak aımlaa paramere, emel kayada düşüülecek br süsodal hareke yer yüzeye ulaşığıdak gelk değşmdr (Campllo vd 990, Kramer 996, Bruo vd 999). Yumuşak zem abakalarıı kedse gele deprem dalgasıı öeml ölçüde büyüüğü ve yeryüzeyde oluşa hasarda öeml rol oyadığı blmekedr (Gueberg vd 956, Polyakov 985, Naz vd 99). Bu durum özellkle, 985 Mchoaca-Mekska, 989 Loma Prea, 994 Norhrdge ve 995 Kobe depremlerde elde edle verler değerledrlmesyle görülmüşür (Plakers vd 989). Dalga gelğdek büyüme emel ede, zem abakaları le ala yer ala aa kaya arasıdak empedas farkıdır (Kramer 996). Empedas, jeolojk oramdak aeck harekee karşı oramı göserdğ drec br ölçüsüdür (Ak vd 980). İk farklı jeolojk brm arasıda bulua empedas farkı yaıda, zem geomerk şekl ve orama a fzksel özellkler yaal yödek değşm, dalga gelğ büyümesde öeml rol oyamakadır. (Newmark vd 965, Kudo vd 970, Kramer 996, Campllo vd 990, Rassem vd 997, Bruo vd 999). Zem abakalarıı yaal yödek uzaımı abaka kearı sıırıda yüzey dalgalarıı oluşmasıa, yaal yöde rezoas eks yaramaya ve yer hareke gelğ armasıa ede olur (Ak vd 980). Bu edele yerel zem koşulları deprem aıda büyük gelkl yer değşrmelere ve deformasyolara ede olablmekedr. Bu ekler belrlemes özellkle ssmk rsk, mkro bölgeledrme, ye yerleşme açılacak alaları plalamasıda ve ssmk asarım (sesmc desg) çalışmalarıda öeml rol oyar.

14 Güümüzde yer epks (se respose) belrlemes amacıyla çeşl ölçü alım ekkler ve çözümleme yöemler gelşrlmşr (Hard vd 97a, Hard vd 97b, Haherly 986). Bu yöemlere, kuvvel yer hareke kayıları, mkroremor ölçümler ve ssmk kırılma (sesmc refraco) yöemler verleblr (Mooey 974, Jogmas vd 993, Jogmas vd 996). Bu ölçüm yöemlere yerde ölçüm yöemler (su) der (Prokash vd 98). Damk yer yaııı belrlemesde, mkroremor ve ssmk kırılma yöemler zayıf reşmler ç yararlı blgler sağlarke, br deprem aıda olablecek büyük deformasyo değerler ve zem koşullarıı yaraacağı ekler hakkıda yeersz kalır. Yer damk davraışıı belrlemes karmaşık br problemdr. Bu şlem maemaksel olarak, sürekl oramda ssmk dalga yayılımıı hesaplamasıdır. Gerçeke doğrusal br yapıda olmaya zem davraışıı üç boyulu modellemes so derece zordur. Buula brlke düşey doğruluda yayıla br makaslama dalgası ç zem brmler damk davraışı br veya k boyulu modelleme şlem le yeerl yaklaşım sağlaablmekedr. Buu yaıda yerküre çersde yayıla deprem dalgalarıı br doğruludak değşm ele alıdığıda problem büyük orada basleşrlmş olur. Yeralı oramıı ve bu oramı damk kuvveler alıda davraışıı belrlemek amacıyla çeşl çözüm yöemler gelşrlmşr. Bu yöemler, uyguladığı yaklaşıma göre deermsk ve sokask yaklaşımlar olarak k kısma ayrılır. Deermsk yaklaşımda zem davraışı aalk deklemlere bağlı olarak çözülür ve deprem kaydı (hız, vme veya yerdeğşrme) emel grd versdr. Sokask yaklaşımda se deprem kayıları yere güç spekrumlarıda harekele zem davraışıı yasıa zem rasfer foksyou kesrlmeye çalışılır (Papouls 984). Kullaıla bu yöemler çözümleme şlem zama ve frekas oramıda gerçekleşrmese göre de ked çersde kye ayrılır. Doğrusal olmaya zem yaıı, yelemel (erave) yöemlerde yararlaılarak elde edlr. Frekas oramı çözümü üree Shake (Schabel vd 97), Eera (Barde vd 000) blgsayar programları jeoekk problemlere çözüm germede yaygı olarak kullaılmakadır. Bu programlar Shake, yaay abakalı ve br boyulu vskoelask oramda dalga yayıımıı frekas oramıda celer. Eera se kompleks modül (complex respose mehod) şlem kullaır. Bu yöem yer

15 vmes 0.3 g de küçük olduğu durumlarda geçerl olduğu blmekedr (Pesaa 000). Yer vmes 0.3 g de büyük olduğu durumlarda frekas oramı çözümü yere zama oramı çözüm yöemler uygulaması erch edlr (Pesaa 000). Zama oramı çözüm yöemlerde yer yaıı, doğruda veya dolaylı egral hesaplama yöemleryle elde edlr. Zemde gerlme-deformasyo davraışıı gösere yapısal deklemler çözümleme öces aımlaır. Quad4 (Idrss vd 973) ve gelşrlmş sürümü ola Quad4m (Hudso vd 994) dolaylı egral hesaplama yöem (mplc egrao procedure) kullaarak zama oramı çözümü sağlar. Bu programlarda hareke deklem her br zama adımı ç hesaplaır. Çözüm şlem belrl sayıda yeleme veya modelde yer değşrme belrlee br değer aşmasıyla so bulur (Hudso vd 994). Zem damk yaııı belrlemesdek emel problemler başıda, zemde dalga eerjs soğurulmasıdak (dampg, aeuao) belrszlk gelr. Gerek frekas oramı gerekse zama oramı yaklaşımlarıı uygulaya programlar, zem brmler söüm özellğ ç klask yaklaşımlar kullaır. Bu yaklaşımlarda söüm, sab br değer (Schabel vd 97) veya frekası foksyou (Idrss vd 973, Hudso vd 994, Barde vd 000) olarak ele alıır. Frekas oramı çözümleme şlem özellkle büyük zama aralığı gerekre problemlerde yeersz kaldığı blmekedr (Hughes 987, Zekewcz 983, Owe 980, Bahe vd 973, Chopra 995). Hard vd (97a, 97b) çok sayıda zem örekler üzerde yapıkları laborauar deeyler le frekası zem damk davraışı üzerde ek br rol oyamadığıı, buula brlke özellkle deformasyo geçmş öeml olduğuu gösermşr. Bu ez çalışmasıı emel amacı, hareke deklemde yer ala söüm erm ç klask yaklaşımlar yere, deprem aıda zemde gelşe deformasyou geçmşe bağlı ye br yaklaşım germekr. Öerle söüm yaklaşımı kullaılarak, farklı özellklerdek zem brmler damk yer epks, solu elemalar yöem (fe eleme mehod) yardımıyla modellemese çalışılmışır. Elde edle souçlar Hudso vd (994) arafıda öerle Quad4m programı souçları le karşılaşırılmışır. İkc bölümde verle kuramsal emeller çersde, zem mekağ emel koularıı çere gerlme, deformasyo, elasse lkeler, dege deklemler ve saal 3

16 yer değşrmeler lkes ve hareke deklem çözüm yöemler açıklamışır. Üçücü bölümde, ez çalışmasıı esasıı oluşura zem brmlerde söüm şlem ve kullaıla yaklaşımlar ayrıılı verlerek öerle ye söüm yaklaşımı gerçel merebe ürev (fracoal dervave) ve bu yaklaşımı kullaarak hareke deklem verle yer epks belrlemes ç solu elemalar yöem yardımı le modellemes açıklamışır. Bölüm souda hareke deklem solu elemalar yöemyle modellemesde emel şlem adımları açıklamışır. Dördücü bölümde, farklı fzksel ve geomerk özellklerdek zem modellere a souçlar Quad4m (Hudso vd 994) programı souçları le karşılaşırılmış ve öerle söüm yaklaşımıı üsü ve zayıf yöler oraya koulmuşur. Beşc bölümde, öerle ye söüm yaklaşımıı eksk ve üsü yöler arışılarak yer epks belrlemesde kullaılablrlğ rdelemşr. 4

17 . KURAMSAL TEMELLER.. Temel Zem Mekağ Zem mekağ, mekak ve hdrosak yasalarıı mühedslk problemlere uygulamasıdır (Massarsch vd 976, Ammo 00). Jeolojk kayaçlar çersde sedmaer (orul) brmler dğer br fadeyle, pekşmemş (kosolde olmamış) çakıl, kum, sl ve kl gb jeolojk brmler, zem mekağ çersde ele alıır. Dış kuvveler alıda pekşmemş bu zem brmler göserdğ davraışları celemes, kuramsal lkeler ve deeysel yaklaşımları uygulamasıı gerekrr (Love 944, Terzagh 96). Zem mekağ problemler k aa gruba ayrılır; brcs duraylılık (sably) problemlerdr. Bu ür problemlerde, yapı veya jeolojk brm üzerdek dege koşulları celer. İkc ür problem, elasse problemlerdr. Elasse problemlerde ek dış kuvveler alıdak zem üzerde oluşa gerlmedeformasyo lşks celer. Deforme olable ve dege durumuu koruya br yapı elemaı üzerde ek k ür kuvve vardır. Bular, hacmsel ve yüzeysel kuvvelerdr (Terzagh 96, Bulle 965). Bu k ür kuvve, dış kuvveler oluşurur. Öreğ yerçekm kuvve ve elema üzerdek ek merkezkaç kuvve hacmsel kuvver. Hacmsel kuvveler, brm hacm üzerde ek ola kuvve olarak aımlaır. Yüzeysel kuvveler, yapı yüzey üzerdek ek kuvvelerdr. Bu ür kuvveler, brm yüzeye karşılık gele kuvvelerde oluşur. Yapı üzerdek ek dış kuvveler yapıda deformasyo meydaa gerr. Gelşe deformasyoa bağlı olarak yapı çersde gerlmeler oluşur. Oluşa bu çsel gerlmeler km zama ç kuvveler olarak da smledrlr. Yapıı dege koumuu koruyablmes ç ç ve dış gerlmeler brbr degelemes gerekr. Bu bölüm, gerlme, deformasyo ve emel elasse kouları, dege deklemler ve saal yerdeğşrmeler lkes le Hareke deklem ve çözüm yöemler koularıda oluşmakadır. Burada verle deformasyo erm le yapı elemaıda oluşa hacmsel ve şeklsel bozulmayı, ayrıca elema ermyle jeolojk brm sosuz küçük br hacm çere parçası aımlamışır. 5

18 ... Gerlme Gerlme, brm alaa düşe kuvve yoğuluğuu ölçüsüdür. Gerlme aalzde amaç, verle kuvve ve koşullar alıda elemada oluşa yerdeğşrmeler veya deformasyoları belrlemesdr. Şekl. de br F dış kuvve alıda elemadak eksesel gerlme göserlmşr. Eksesel gerlme, F σ = (.) A le verlr. Gerlmey aımlayablmek ç Şekl. de dış kuvveler eksde br elema ve üzerdek herhag br P okasıda geçe düzlem parçası göz öüe alıır. F A F Şekl.. Dış kuvve eksyle elemada oluşa eksesel gerlme. Şekl.b de göserle, A kes düzlem ormal vekörüdür. A kes alaı üzerde herhag br v gerlme vekörü, v F lm A = A 0 (.) le aımlaır. Burada F kuvve, A alaı üzerdek ek kuvve göserr. Bu edele v vekörüe kuvve yoğuluğu veya gerlme der. v gerlme vekörü, ormal ola A kes alaı üzerde buluur. Dk koorda ssemde brm (baz) vekörler olarak ele alıırsa, v gerlme vekörü, v v e, e x y v ve e z v v v v = e + e + e (.3) x x y y z z 6

19 le verlr (Terzagh 96). ormal vekörü, koorda ekseler yöüde seçlrse, v gerlme vekör bleşeler, v ex v = σ e + τ e + τ e xx x xy y xz z (.4a) v ey v v v = τ e + σ e + τ e (.4b) yx x yy y yz z v ez v v v = τ e + τ e + σ e (.4c) zx x zy y zz z şeklde aımlaır. v ex vekörüe a gerlme bleşeler Şekl.b de göserlmşr. z F F F F F F τ xz P. A τ xy σ x x F F (a) F F y (b) Şekl.. Deforme olable br elemada a) dış kuvveler, b) çsel gerlmeler. v v Bezer şeklde dğer ey ve bleşeler de göserleblr. Bu şeklde csm üzerde herhag br P okasıdak gerlme değer dzey yapısıda, ez σ xx τ xy τ xz σ = τ yx σ yy τ yz (.5) τ zx τ zy σ zz le verlr. Bu bağıı le verle dzeye gerlme esörü der (Terzagh 96). (.5) 7

20 esör fadesde σ ormal ve τ makaslama gerlmeler gösermekedr. Şekl.b de P okasıı sara sosuz küçük br küp elemaı Şekl.3 de göserlmşr. Bu durumda x, y ve z koorda ekseler küpü yüzeylere ormal olur. +x, +y ve +z yölerde yer ala yüzeyler küpü pozf yüzeylerdr. v ex gerlme vekörü yz düzleme ormal doğruluda uygulamış olur. v ex gerlme vekörüü σ xx bleşe +x doğrulusuda, τ xy bleşe y doğrulusuda ve τ xz bleşe de z doğrulusuda uygulaır. Bezer durum v e y ve v ez gerlme vekörler çde yazılablr. x doğruluda yer ala σ xx gerlme bleşee ormal gerlme, τ xy ve τ xz bleşelere se makaslama gerlmes veya kayma gerlmes bleşeler der. Düzlem gerlme durumuda, yapıı z doğrulusuda sosuz uzuluka olduğu kabul edlr. Bu edele z doğrulusudak gerlme sıfırda farklı faka deformasyou oluşmadığı kabul edlr. (.5) le verle gerlme dzey düzlem gerlme durumuda, σ xx [ σ ] = σ yy (.6) τ xy gerlme bleşeyle belrler (Ode vd 98). +y -z -x +x +z -y Şekl.3. Elemada pozf ve egaf yüzeyler. 8

21 Şekl.3 de göserle küp elemaı üzerde (.5) le verle gerlme bleşeler ekl olduğu varsayılırsa, küp elemaı, σ zz σ zz + dz z τ zx τ zx + dz z τ zy + τ zy z dz τ yz τ yz + dy y τ xz τ xz + dx x τ xy τ xy + dx x τ yx τ yx + dy y σ yy σ yy + dy y σ xx σ xx + dx x Şekl.4. Elema yüzeydek gerlme bleşeler. σ A = 0 (.7) dege koşuluu sağlamalıdır. (.7) dege koşuluu uygulamasıyla, τ = τ, τ = τ ve τ = τ makaslama gerlmeler brbre eş olduğu xy yx yz zy zx xz görülür. Şekl.4 de sosuz küçük küp elemaı üzerde ek ola gerlme bleşeler göserlmşr. Bua göre, homoje ve zorop br elema üzerde herhag br okadak gerlme değer aımlayablmek ç oplam alı gerlme bleşe (σ x, σ y, σ z,τ xy, τ yz, τ zx ) blmes gerekr.... Deformasyo Elema üzerdek deformasyo, yerdeğşrme vekörüü u(x,y,z) gradyee bağlı olarak aımlaır. Şekl.5 dek gb l 0 uzuluğudak br elema üzerde eksesel 9

22 gerlme uygulaırsa, elema boyudak değşm, l = l l0 dır. Elemada oluşa eksesel deformasyo, ε σ σ L 0 σ l o L 0 σ l (a) Şekl.5. Eksesel deformasyo. (a) çekme (b) sıkışırma. (b) l ε = (.8) l 0 le verlr (Terzagh 96). Bu şeklde verle eksesel deformasyoa ormal deformasyo der. Makaslama deformasyou, γ Şekl.6 da göserldğ gb uygulaa gerlmeler alıda elemaı kear açılarıdak değşm olarak aımlaır. Küçük açılar ç makaslama deformasyou, γ a a( θ ) γ = (.9) b dır. Gerek ormal deformasyo gerekse makaslama deformasyou ç verle bu fadeler küçük deformasyo durumuda geçerldr. Elema üzerde oluşa gerçek deformasyou aımlayablmek ç Şekl.5 de göserle elemada oluşa l=l-l 0 boy değşm belrl sayıda adımda oluşuğu kabul edlr. Deformasyodak arım mkarı, d ε = dl / l le verlr. Buradak dl elema boy uzuluğudak arım mkarıı, l deformasyo öcesdek uzuluğu göserr. Toplam deformasyo, elema boyuu l 0 da l uzuluğua ulaşıcaya kadar oluşa deformasyo mkarlarıı oplamı: 0

23 a σ θ b σ σ σ Şekl.6. Makaslama deformasyou. L L dl l ε = dε = = l( ) (.0) l l L0 L0 0 le verlr. (.0) fades gerçek deformasyou aımlar. Küçük deformasyolar ç (.0) fades, l l l( + ) (.) l l 0 0 şeklde verleblr. Düzlem deformasyo durumuda, oluşa deformasyou sadece xy düzlem üzerde olduğu kabul edlrse, Şekl.7 de elemadak yerdeğşrmelere bağlı olarak oluşa deformasyo göserlmşr. Eksesel doğrulularda gelşe deformasyolar ç, u ( x + x) x O' C' OC x u ε xx = lm ( ) = lm = (.a) x 0 OC x 0 x x v ( y + y) y O' E' OE y v ε yy = lm ( ) = lm = (.b) y 0 OE y 0 y y

24 v u x y π π π x y v u γ xy = lm ( C' O' E' ) = lm ( ( )) = + (.c) x, y 0 x, y 0 x y x y yazılablr. Bu souçlar üç boyulu durum ç yazılırsa, sırasıyla x, y ve z ekselerdek yerdeğşrmeler, u(x,y,z), v(x,y,z) ve w(x,y,z) olmak üzere, u ε xx =, x v u γ xy = +, x y γ xz w u = + x z u v γ yx = +, y x v ε yy =, y w v γ yz = + (.3) y z u w γ zx = +, z x v w γ zy = +, z y ε zz w = z π/-γ xy y y E y O x u o u e E D O x C (a) u c u d C D x u+(du/dy) y E v+(dv/dy) y O E u O v D v+(dv/dx) x D C C u+(du/dx) x (b) Şekl.7. Yerdeğşrme ve ürevlere bağlı düzlem deformasyo. deformasyo fadeler elde edlr (Terzagh 96, Ode vd 98). Düzlem deformasyo durumuda Şekl.7 de elemaı z yöüdek boyuu sosuz kabul edlmşr. Bu durumda elema üzerde ek ola üm dış kuvveler x ve y değşkeler br foksyou olur. Elemada gelşe deformasyo sadece xy düzlemde oluşur. z doğrulusudak üm yerdeğşrme ve deformasyolar w, ε zz, γ xz ve γ yz sıfırdır. Üç boyua deformasyo dzey,

25 ε xx γ xy γ xz ε = γ yx ε yy γ yz (.4) γ zz γ zy ε zz [] le verlr. Homoje ve zorop br oramda deformasyo dzey bakışımlılık (smer) özellğe sahpr (Love 944). Bu edele, br elema üzerde herhag br P okasıdak deformasyo durumuu aımlayablmek ç alı ade deformasyo bleşe (ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ xz ) blmes gerekr. Elemada asal (ormal) gerlme doğruluları le asal deformasyo doğruluları ayıdır. Düzlem deformasyo durumuda, (.4) le verle deformasyo dzey bleşeler hmal edlmesyle, ε xx, deformasyo γ, xz γ, yz γ ve γ zx zy ε xx [] ε = ε yy (.5) γ xy üç ade deformasyo bleşeyle belrleeblr...3. Elasse Br elemada gerlme belrleeblmes, gerlme ve deformasyo bleşeler arasıdak lşk blmes gerekrr. Ele alıa elemaı elask deformasyo sıırları çersde kaldığı düşüülürse, elemada gelşe gerlme-deformasyo lşks Hook kauu olarak adladırıla koşula uyduğu gözler. Hook kauu, gerlmey deformasyou doğrusal br foksyou olarak göserlmes sağlar (Love 944, Terzagh 96). Elask, azorop ve homoje olmaya br yapı ç gerlmedeformasyo lşks, 3

26 σ xx c σ yy c σ zz c = τ xy c τ yz c τ zx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c ε ε ε γ γ γ xx yy zz xy yz zx = [ C] ε T (.6) dzey le verlr. Burada C dzeye yapısal (cosuve) dzey der (Love 944). Homoje br yapı ç C dzey bakışımlıdır. Bu edele, azorop ve homoje br yapıda gerlme-deformasyo lşks elask sab le aımlaablr. Eğer yapıı brbre dk üç smer düzlem var se, (.6) da verle C yapısal dzey, c = c c C (.7) 0 c c c c 44 c 0 55 c66 şeklde dokuz elask sab le aımlaır (Love 944, Terzagh 96). Smer düzlemler se xy, yz ve zx düzlemlerdr. Buula brlke elask, homoje ve zorop br yapıda elask davraışı gösere her br düzlem br smer düzlem olarak ele alıablr. Bu durumda, k elask sab; Elasse modülü (E) ve Posso oraı (υ) gerlme-deformasyo lşks aımlamak ç yeerldr. Bu durumda, gerlmedeformasyo dzey, σ σ σ τ τ τ xx yy zz xy yz zx E = ( + υ)( υ) υ υ υ 0 υ υ υ υ 0 υ ε ε ε γ γ γ υ xx yy zz xy yz zx (.8) 4

27 le verlr. Geel mekak problemler, üç boyulu br yapıda aımlaırke bu p problemler blgsayarda şlem zamaı ve hesaplamalardak zorluklar edeyle k veya br boyulu duruma drger. Düzlem deformasyo durumuda (.7) le verle yapısal dzey, υ υ 0 C E = υ υ 0 ( + υ)( υ ) υ (.9) 0 0 ve gerlme-deformasyo lşks, σ σ τ xx yy xy ε = C ε γ xx yy xy (.0) şekldedr. Deformasyo dereces elask sıırlar çersde kalması halde elasse kuralları geçerldr. Elask deformasyou özellğ, elema üzerde ek ola kuvveler kaldırıldığıda csm lk (kuvve uygulamada öcek) hal almasıdır. Bu durumda gerlme-deformasyo arasıda doğrusal br lşk mevcuur. Şekl.8 de l uzuluğudak elema üzerde gerlme uyguladığıda oluşa küçük deformasyolar, uygulaa gerlme le doğru oraılıdır. Deformasyou büyük değerlerde olması halde gerlme-deformasyo lşks doğrusal olmaya br davraış göserr. Csm üzerde dış kuvve kaldırıldıka sora csmde br mkar kalıcı deformasyo oluşur. Bu durum ç pk br gerlme-deformasyo eğrs Şekl.9 da göserlmşr. σ Şekl.8. Doğrusal elask deformasyo. ε 5

28 Gerlme-deformasyo arası doğrusal lşk yalızca küçük deformasyolar ç geçerldr. Uygulamalarda zem yapılarıı mühedslk özellkler belrmek ç çeşl aımlar kullaılır. Bu aımlar csmler deforme olablme, hacmsel sıkışablme gb özellkler aımlar ve brbryle lşkldr. Bular: Elasse modülü (Youg modülü): Elemadak ormal gerlme, oluşa ormal deformasyoa oraıdır ve σ E = (.) ε le verlr. Elasse modülü, elemaı brm deformasyoa karşı dayaımı br ölçüsüdür. Elemada oluşa ormal deformasyo, gerlme doğrulularıdak deformasyolardır. (.) le verle br boyulu fadeye Hook kauu der. Hook kauu gerlme-deformasyo arası lşks doğrusal olduğu bölgede geçerldr (Terzagh 96). Posso oraı: Elemada gelşe ee deformasyou, boyua deformasyoa oraıyla aımlaır. Posso oraı, ν aralığıda değer alır. Zem brmlerde Posso oraı yaklaşık arasıda değerler alır (Tmosheko 95). ε y y υ =. (.) ε xx Makaslama (kayma) modülü: Şekl.0 de göserldğ gb makaslama modülü, G makaslama gerlmes, τ u makaslama deformasyou, γ ye oraıdır ve σ ε 0 ε Şekl.9. Doğrusal olmaya gerlme-deformasyo davraışı. 6

29 τ G = (.3) γ le verlr. Elasse modülüde olduğu gb makaslama modülü de elemaı brm kayma gerlmese karşı dayaımıı br ölçüsüdür. G makaslama modülü bağımsız br paramere olmayıp, elasse modülü ve Posso oraı le lşkldr. Bu lşk: E G = (.4) ( + υ) le verlr. (.5) le verle gerlme dzeyde dokuz gerlme bleşe elema üzerde ayı ada ek olduğu varsayılırsa, oluşa deformasyo, her br gerlme bleşe elemada oluşurduğu deformasyou oplamasıyla elde edlr. y dy dz dx x Şekl.0. İk boyua makaslama deformasyou. Üç boyulu durumda deformasyo bleşeler ç, τ xy ε xx = [ σ xx υ( σ yy + σ zz )], γ xy = E G τ yz ε yy = [ σ yy υ( σ xx + σ zz )], γ yz = E G (.5a) (.5b) ε zz [ υ( σ + σ )] τ xz = σ zz xx yy, γ xz = E G (.5c) 7

30 le verle fadeler araf arafa oplaırsa, ( υ ) ε xx + ε yy + ε zz = ( σ xx + σ yy + σ zz ) (.6) E elde edlr. Bu fade (.) le verle Hook kauu geel fadesdr ve oplam gerlme le oplam deformasyo arası lşky aımlar. Bulk modülü (sıkışmazlık modülü): Ek gerlmeler, elemada oluşurduğu deformasyoa göre k ayrı gruba ayrılır. Bular asal ve makaslama gerlmelerdr. Asal gerlmeler ek olduğu elema üzerde yalızca hacmsel değşm meydaa gerrke, makaslama gerlmeler elemada şeklsel bozulma oluşururlar. Bu edele, asal gerlme bleşelere hdrosak gerlme bleşeler ve makaslama gerlme bleşelere devaork gerlme bleşeler der (Tmosheko 95). Normal gerlmeler csde hdrosak gerlme: ( σ xx + σ yy + σ zz ) σ H = (.7) 3 le verlr. Devaork gerlme, elema üzerde (.5) le verle gerlme hdrosak gerlmede farkıdır: σ xx σ H τ xy τ xz σ D = τ yx σ yy σ H τ yz. (.8) τ zx τ zy σ zz σ H (.8) le verle devaork gerlme dzeydek asal gerlme bleşelere asal devaork gerlme bleşeler der. Hdrosak gerlmeler ede olduğu hacmsel değşm, = V V = ( ε xx υ 3( υ ) + ε yy + ε zz ) = ( σ xx + σ yy + σ zz ) = σ H (.9) E E 8

31 3( υ ) le verlr. Burada verle fades ers ola, E E B = (.30) 3( υ ) fadese bulk modülü der. Bulk modülü, csm hdrosak gerlmeler alıda sıkışablrlğ ölçüsüdür. Taımlaa zem modüller, zemler mühedslk açısıda emel özellkler yasıır...4. Dege deklemler Dege deklemler, dış kuvveler ve bulara bağlı olarak oluşa çsel gerlmeler alıda elemaı dege durumuu gösere dferasyel yapıdak deklemlerdr. Şekl. de k boyua dx ve dy kear uzuluğudak br elema ele alıdığıda, ormal gerlmeler elemaı P merkez okasıa uyguladığı varsayılır. Gerlmeler her okada sürekl olduğu kabul edlr. Elema kearlarıdak gerlme değerler Taylor açılımı kullaılarak elde edlr. P okasıdak σ xx ormal gerlme vekörüü +x kearı üzerdek değer ç Taylor serse açılır: dx σ xx dx σ xx dx σ ( x + ) = σ x + ( ) + ( ) +... (.3) x x! ve yüksek merebel ermler hmal edlrse, σ xx dx σ dx = σ x + (.3) x+ x elde edlr. x doğrulusudak kear üzerde gerlme değer bezer şeklde, σ xx dx σ dx = σ x (.33) x x 9

32 olarak buluablr. +y ve y ekseler üzerde yer ala kearlardak gerlme değerler bezer şeklde elde edleblr. Makaslama gerlmeler çde bezer bağıılar yazılablr. Şekl. de verle P okasıdak F x ve F y kuvveler hacmsel kuvvelerdr. Hacmsel kuvveler brm hacm üzerde ek kuvveler ke, k boyulu durumda (kalılık br brm kabul edlrse) brm ala üzerde ek ola kuvve olarak aımlaır. Şekl. de verle elemaı x yöüde dege şarı ç (.7) le verle dege bağıısı kullaılırsa, σ xx x τ + y yx + F x = 0 (.34) dege deklem elde edlr. Bezer şeklde y doğrulusu ç, τ xy x σ + y yy + F y = 0 (.35) elde edlr. İk boyuak durum ç, ç elde edle dege deklemler, üç boyulu durum σ yy F y σ xx dy P F x σ xx dx σ yy Şekl.. İk boyua düzlem gerlme. 0

33 σ xx x τ xy + y τ xz + z + F x = 0 (.36) τ yx x σ + y yy τ yz + z + F y = 0 (.36b) τ zx x τ zy + y σ + z zz + F z = 0 (.36c) kolaylıkla yazılablr (Ode vd 98). (.36) le sak durum ç verle dege deklemler damk durum ç yazılmak serse, Newo u kc hareke kauuda yararlaablr. Üç boyulu durumda damk dege deklemler, σ xx x τ + y xy τ + z xz + F x = m u (.37a) τ yx x σ + y yy τ yz + z + F y v = m (.37b) τ zx x τ zy + y σ + z zz + F z w = m (.37c) şeklde verlr. Burada u, v ve w sırasıyla x, y ve z doğrulularıdak yer- değşrmelerdr...5. Saal yerdeğşrmeler lkes Br dış kuvve, elema üzerde yerdeğşrme oluşurduğuda, elema üzerde br ş yapılmış olur. Eğer uygulaa kuvve le yer değşrme ede-souç (cause-effec) lşks le brbre bağlı değlse elema üzerde yapıla şe saal ş (vrual work) der. Saal ş, gerçek kuvveler hayal yerdeğşrmeler boyuca yapığı ş olarak aımlaır. Saal ş lkes, eerj yöemler çersde yer alır. Saal ş lkes k

34 yaklaşımla uygulaır; brcs saal yerdeğşrmeler lkes, kcs se saal kuvveler lkesdr. Saal yerdeğşrmeler lkesde, gerçek kuvveler saal yerdeğşrmeler boyuca yapığı ş göz öüe alıır. Saal kuvveler lkesde se saal kuvveler gerçek yerdeğşrmeler boyuca yapığı ş ele alıır. Her k lke uygulamasıda elema üzerdek dege ve uyumluluk (compably) koşulları elde edlmeye çalışılır. Bu çalışmada, hareke deklem elde edlmesde saal yerdeğşrmeler lkes kullaılmışır. Elema çersde herhag br okadak yerdeğşrme, koorda ekselere paralel u, v ve w yerdeğşrmelere bağlı olarak verlr. Elema üzerde varsayıla herhag br saal yerdeğşrme x, y ve z koorda ekseler sürekl foksyou olduğu ve kemak sıır koşullarıı sağladığı varsayılır. Şekl. de verle br csm çersdek herhag br P(x,y,z) okasıda oluşa yerdeğşrmeler sırasıyla u, v, w ve bu csme lşk dege deklemler sak durum ç (.36) ve damk durum ç (.37) deklemleryle verlmşr. Elema üzerde aımlaa saal yerdeğşrmeler ayı zamada sıır koşullarıa da uygu olmalıdır. y, δv P(x,y,z) z, δw x, δu Şekl.. Csm çersde bulua br P okasıdak saal yerdeğşrme. Elema yüzeydek dege koşulları, σ l + τ m + τ = xx xy xz f x

35 τ l + σ m + τ = f (.38) yx yy yz y τ l + τ m + σ = zx zy zz f z le verlr. Burada yer ala f x, f y ve f z kuvveler yüzey kuvvelerdr. Hacm çersdek dege koşulu olarak verle (.36) deklemler sırasıyla δu, δv ve δw saal yer- değşrmeler le çarpılır ve araf arafa oplaırsa, v σ τ xx xy τ τ xz Fx δu + x y z x τ τ zy zx σ zz Fz δw x y z yx σ + y yy τ yz + z + F y δv = 0 (.39) elde edlr. φ(x,y,z) ve ϕ(x,y,z) skaler foksyolarıı, (.38) le verle koşulları sağladığı kabul edlrse, δu, = x ϕ = δv, = y δw, = z ve σ φ = σ σ xx yy zz, =, =, = 3 (.40) yazılablr. Gree eoremde (EK ) yararlaılarak (.39) fades ç σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ dv xx xx yy yy zz zz xy xy xz xz yz yz v = + F δu + F δv + F w dv f δu + f δv + f w ds x y z x y z v s (.4) elde edlr. (.4) fades, { } v v T σ xxε xx + σ yyε yy + σ zzε zz + τ xyγ xy + τ xzγ xz + τ yzγ yz dv = ε σ T ( Fxδ u + F δ y v + Fz w) dv FBu dv = v v (.4a) 3

36 ( f x u + f yδv + f z w) ds T δ = Fsu ds (.4b) s s dzey yapısıda verleblr. Burada s, elema sıırıdak yerdeğşrmeler ö-aımlı olduğu kısımları göserr. F B, F S ve u T kuvve ve yerdeğşrmeler, F F B S u T v v v = Fx + Fy j + Fzk (.43a) v v v = f x + f y j + f z k (.43b) v v v = δ u + δvj + δwk (.43c) dzeysel yapıda verlr. (.4) fadesde yararlaılarak saal yerdeğşrmeler lkes ç, + T T T ε σ dv FB u dv + FS u ds = 0 v v S (.44) yazılablr. (.44) le verle fade lk erm deformasyo eerjs göserr. İkc ve üçücü egral erm sırasıyla elemadak hacmsel ve yüzeysel kuvvelerce yapıla ş göserr. Treşmler söz kousu olduğu problemlerde, hacmsel kuvveler başlıca söüm kuvve ve eylemszlk kuvve oluşurur (Bahe 996). Ger kala dış kuvveler, f olarak göserlrse (.44) fades, T T ε σ dv + ρ u & u dv = V V f u T (.45) şeklde verleblr (Padova 987). Burada ρ yapısal elemaı brm hacm ağırlığıı ve u& & yerdeğşrme zamaa göre kc ürev göserr. Saal yerdeğşrmeler lkes, dferasyel deklem şeklde verle fadeler solu elema yapısıda göserleblmes sağlaya emel lkeler arasıda yer alır. Üçücü bölümde hareke deklem solu elemalar yöemyle modellemes verlmşr. Hareke deklem solu elema yapısıı elde edlmesde (.45) fadesde yararlaılmışır. 4

37 .. Fzksel Problem ve Maemaksel Model Mühedslk problemler çözümü, çoğu zama fzksel ssem br maemaksel model le bemlemes gerekrr. Modelleme şlem, farklı mühedslk problemler ç ayrııda farklı olsa da geel şlem basamakları ayıdır. Modelleme şlemde öcelkle fzksel problem çözüm alaı aımlaır. Çözümde elde edlecek blgler (blmeyeler) belrler ve ble değşkeler modelde belrlr. Fzksel problemler sayısal olarak çözümleeblmes ve maemaksel yöemler uygulaablmes ç problem üzerde yalılaşırma şlem yapılır. Fzksel ssem modellemesde, büü ekler ele alıırsa, souça elde edlecek maemaksel fadeler oldukça karmaşık hale gelr ve maemaksel çözüm mümkü olmaz. Acak varsayımlar kullaıldığıda fzksel problem maemaksel olarak yaklaşık modelleeblr. Faka yapılacak varsayımlar sadece problem çözümüü kolaylaşırdığı durumlarda yapılır. Maemaksel problem çözümü, fzksel problem özellkler ve davraışıı emsl emeldr. Problem üzerde gereğde fazla yalılaşırma gerçek fzksel davraışı yasımayablr. Bu edele model üzerde yapılacak yaklaşım ve varsayımları doğruluğuda deelemeldr (Kelly 993, Hammg 96, Ppes vd 970). Fzksel problemler yalılaşırılması amacıyla maemaksel model oluşurulmasıda belrl varsayımlar yapılır. Bu varsayımlar geel olarak aşağıdak gbdr: a) Yapıdak fzksel özellkler bağımsız değşkeler sürekl foksyoları olarak ele alıır. Bu varsayım sürekllk varsayımı dır. Bu şeklde ssem parçalıb) Yeryüzey eylemszlk ç referas okası seçlr. Bu şeklde, Newo kauu sürekl olarak göz öüe alıablr. gb fzksel kaular uygulaablr. c) Bağıl olarak küçük ekler hmal edleblr. d) Yerçekm vmes, br dış kuvve olarak görülür. e) Fzksel ssem oluşura büü bleşeler doğrusal, elask, ekdüze ve yö bağımsızdır. 5

38 Bu ür varsayımlar le fzksel ssem belrl derecede yalılaşırılmış olur. Gerçeke karşılaşıla problemler br çoğu doğrusal olmaya br yapıdadır. Fzksel problem gerçeğe yakı br şeklde modelleeblmes, doğrusal olmaya dferasyel deklemlerle elde edlr. Bu dferasyel deklemler aalk çözümü çoğu zama mümkü olmaz. Bu edele, fzksel problem üzerde yapıla varsayımlarla gerçeke, doğrusal yapıda olmaya problem doğrusal br yapıya döüşürülmüş olur. Maemaksel model, fzksel probleme br yaklaşımdır. Doğrusal olmaya ssemler doğrusal yapıya döüşürürke dkka edlmeldr. Çükü, el olarak doğrusal olmaya ssem davraışı doğrusal ssem davraışıda farklıdır. Öreğ reşm ssemlerde olduğu gb fzksel problem emsl ede maemaksel modeldek küçük geomerk farklılıklar veya modelde doğrusal olmaya davraış özellkler beklemeye reşm kplere göürür. Bu edele, fzksel br ssem modellemesde yapıla varsayımları geçerllğ deelemeldr (Ppes vd 970). Maemaksel model oluşurulmasıda kullaıla ve kc bölümde alaılmış ola yapıcı deklemler, ssemdek malzemeler fzksel özellkler hakkıda blg verr. Malzemeler farklı koşullar alıda farklı davraışlar göserr. Fzksel br ssem maemaksel modellemesyle, maemaksel br problem elde edlr. Maemaksel çözüm, maemaksel modelleme so aşamasıdır. Modelleme şlem, problem üzerde uygu maemak yöemler kullaılarak souçları elde edlmesyle amamlamış olur. Farklı pek problemler, farklı maemaksel yöemler kullaılmasıı gerekrr. Damk, sak ve mekak problemler modellemes çoğu zama cebrsel deklemlerle yapılır. Mekak problemler çersde yer ala reşm problemler maemaksel modellemes dferasyel deklemlerle yapılır. Tek serbeslk derecel ayrık (decoupled)) ssemler reşm, sab kasayılı doğrusal dferasyel deklemlerle, çok serbeslk derecel ssemler reşm, sab kasayılı doğrusal dferasyel deklem ssemleryle göserlr. Sürekl ssemler reşmler se kısm dferasyel deklem ssemleryle aımlaır (Kelly 993). 6

39 .3. Hareke Deklem ve Çözüm Yöemler Treşm problemler, deeysel ve kuramsal souçları mühedslk problemlere uygulaması açısıda oldukça öemldr. Çoğu zama reşm le salıım ayı alamda kullaılır. Faka bu k erm arasıda alam farkı vardır. Treşm, br dış kuvve veya kuvveler alıda csm hareke fade eder. Bu durumda dış kuvve zama çersde yö ve büyüklük bakımıda değşke olablr. Salıım, csm dege koumu erafıda ler-ger hareke yasıır. Bu açıda her reşm hareke br salıım hareke olmayablr. Bu al bölümde yer ala lk dör çözüm yöem daha çok bas reşm problemlere uygulamakadır. Büyük serbeslk derecel ve karmaşık geomerl reşm problemler çözümü, üçücü bölümde alaılmış ola, solu elema yöem gb yaklaşık çözüm yöemler kullaılarak gerçekleşrlr. Bu edele lk dör çözüm yöem, hareke deklem emel özellkler ve deklemde yer ala kasayıları reşm davraışı üzerdek ekler alaşılması amacıyla verlmşr..3.. Kuramsal çözüm Serbes reşm davraışı, kc merebede sab kasayılı, homoje dferasyel deklem le verlr. Yerdeğşrme zamaı br foksyoudur. Treşm ssemde vskoz söüm dışıda koruumlu olmaya kuvveler bulumadığı durumda, dferasyel deklem homoje br yapıya sahpr. Treşm ssemlerde yerdeğşrmeye geel koorda adı verlr. Treşm sseme a dferasyel deklem, Newo u kc hareke kauu veya eerj yöemler olmak üzere brde fazla yöemde yararlaılarak elde edleblr. Burada, vskoz söümlü br reşm sseme a dferasyel deklem Newo u kc hareke kauuda yararlaılarak yazılmışır. Şekl.3a da verle küle-yay ve vskoz söümledrcde oluşa br mekak ssem göserlmşr. Ssem üzerde ek ola dış kuvve deprem edeyle oluşa yer harekede kayakladığı varsayılırsa, u g yer yerdeğşrmes ve u, m küles dege koumuda bare yerdeğşrmes göserr. u g yerdeğşrmese göre mekak ssemdek f() dış kuvve, 7

40 u g f ( ) = m (.46) le verlr (Hasselma vd 97, Kelly 993). Küle dege koumuda bare u kadar yerdeğşrdğde, küle üzerde oluşa kuvve bleşeler Şekl.3b de göserlmşr. Bu ür br reşm ssemde küle eylemszlk kuvve reşm üzerde ek rol oyar. Görecel yerdeğşrmeye bağlı olarak eylemszlk kuvve, f e () Newo u kc hareke kaua göre, f e u ( ) = m (.47) le verlr. Treşm ssemde vskoz söüm hız le doğru oraılı br söüm kuvve oluşurur. Bu söüm kuvve, dış kuvve le ers doğruludadır (Şekl.3b). Vskoz söüm kuvve, f d u = c (.48) le verlr (Chopra 995). Newo u kc hareke kauuda yararlaarak, reşm ssem aıdak dege koşulu, Şekl.3b yardımıyla, u u m + c + ku = f ( ) (.49) dferasyel deklemyle verlr. Bu dferasyel dekleme hareke deklem der. (.49) le verle dferasyel deklem, ek serbeslk derecel br reşm ssem hareke göserr (Jacobse vd 958, Johso vd 97, Newmark vd 97). Bu ür br dferasyel deklem geel çözümü, homoje ve özel çözümü oplamasıyla elde edlr. Çözümde bulua k keyf sab, egral sablerdr. İegral sabler, reşm ssem başlagıç zamaıa ( = 0 ) karşılık gele durumuu göserr ve başlagıç koşulları yardımıyla belrler. Başlagıç koşulları, başlagıç zamaı yerdeğşrmes ve hız değerlerdr. (.49) bağıısı le verle hareke deklem celemes, deklemde 8

41 yer ala söüm kasayısıı (c) durumua bağlı olarak yapılır. Serbes reşm durumuda, ssem dferasyel deklem, (.49) le verle hareke deklemde söüm kasayısı, c ve dış kuvve f() sıfır kabul edlmesyle, u m + ku = 0 (.50) yazılır. (.50) fades söümsüz serbes reşm deklemdr. Burada m ve k sırasıyla reşm ssem özellklere bağlı, küle ve sıkılık (sffess) değerlerdr. (.50) le verle dferasyel deklem, u ( 0) = u (.5) 0 u(0) = u& 0 (.5) k u mg c m ku c u& m f() u g (a) (b) Şekl.3. (a) Mekak yay-küle ve vskoz söümledrcde oluşa reşm ssem, (b) Ssem üzerde ek kuvveler. başlagıç koşullarıa bağlı çözümü, u u( ) = u0 cos( w) + s( w ) (.53) w dır. Burada w değer radya/s csde, 9

42 w = k m (.54) söümsüz serbes reşm doğal açısal frekasıı göserr. (.53) le verle çözümü geel şekl, u( ) = As( w + φ) (.55) dr. (.55) çözümü rgoomerk özellklerde yararlaarak, u ( ) = Acos( φ )s( w ) + As( φ)cos( w ) (.56) şeklde yazılablr. (.53) ve (.56) çözümler karşılaşırıldığıda, salıımı gelk ve faz değerler sırasıyla, A = u& 0 0 u + w (.57) wu0 φ = arca( ) (.58) u& 0 olduğu görülür. (.50) fadesyle verle söümsüz serbes reşm davraışı Şekl.4. de farklı frekas değerler ç göserlm şr. Şekl.4. Söümsüz serbes reşm davraışı. 30

43 (.5) ve (.5) fadeler le verle başlagıç koşulları, ssem başlagıç aıdak eerjs göserr. Ssemde kuvveler ümü koruumlu olduğuda, kek ve poasyel eerj döüşümü sürekl olur. Ssem dege koumua ulaşığıda başlagıça var ola eerjsdedr. Treşm ssem br peryoluk salıım hareke eş zamada amamlar. Bu ür reşm harekee peryodk hareke der. Treşm peryodu, T T π = (.59) w le br am devrlk hareke amamlayablmes ç gereke zamaı göserr. Treşm ssem frekası, w f = = (.60) T π brm zamadak ekrarlama sayısıdır. (.57) le verle gelk fades, m küles dege koumuda ola e büyük yer değşrmes göserr. Serbes reşm gelğ, ssem reşm frekasıa ve başlagıç koşullarıa bağlıdır. Söümlü serbes reşm, vskoz söümlü br reşm ssem ç (.49) le verle hareke deklemde, f ( ) = durumua karşılık gelr. Dış kuvve sıfır olduğu durumda (.49) fades karakersk deklem, 0 c k α + α + = 0 (.6) m m ve kökler, c c k α, = ± (.6) m m m le verlr. f ( ) = 0 durumu ç (.49) deklem maemaksel çözümü ve reşm 3

44 ssem davraışı, (.6) le verle karakersk deklem dskrmaıı durumua bağlıdır. Dskrma değer pozf olursa, karakersk deklem k gerçel kökü, egaf olursa k karmaşık kökü ve sıfıra eş olursa, k eş kökü (kalı köklere) vardır. Dskrma değer sıfır olması durumuda, reşm ssem krk söümlü br davraış göserr. Sab br küle, m ve sıkılık, k değer ç (.6) karakersk deklem fadesde krk söüm, c c = km (.63) elde edlr. Boyusuz br değer ola söüm oraı, gerçek söüm kasayısı c krk söüm değer c c ye oraıdır: c c ζ = = (.64) c km c Söüm oraı ζ, reşm sseme a özellkler br foksyoudur. (.6) kök fades, s öüm oraı,ζ ve söümsüz serbes reşm açısal frekasıa (w ) bağlı olarak, α = ζ ± w ζ, w (.65) v erlr. ζ ve f ( ) = 0 ç (.49) le verle hareke deklem çözümü, ζw u( ) = e w ( ( b e ζ ) w ( + b e ζ ) ) (.66) dır. Burada b ve b keyf kasayılardır. (.66) çözüm fadesde görüleceğ üzere re şm ssem davraışı, ζ söüm oraıa bağlıdır. ζ ve w değerler kullaılarak (.49) hareke deklem, u u + ζ w + w u = 0 (.67) 3

45 şeklde yazılablr. Bu fade, vskoz söümlü serbes reşm ssem ayrık (decoupled) yapıdak dferasyel deklemdr. Vskoz söümlü ssem celemes, ζ söüm oraıı emel üç durumua bağlıdır (Kelly 993). Durum-: ζ < (zayıf söüm): Bu durumda (.6) le verle karakersk deklem k karmaşık eşlek kökü vardır. Bu kökler, α = w ( ζ ± ) (.68), ζ le verlr. (.66) çözümüe, (.68) kökler ve (.5)-(.5) le verle başlagıç koşullarıı uygulamasıyla, ζ w u& + ζw u u( ) = e u cos( w ζ ) + o o s( w ζ ) o (.69) w ζ yazılablr. (.69) çözüm fadesde gelk ve faz değerler, A = φ d u& + ζw u + o o w d u o u w = arca( o d u& + ζw u o o ) (.70) (.7) dır. (.69) çözümüde, = w d ζ w (.7) fades, vskoz söümlü ssem reşm frekasıdır. (.70)-(.7) fadeler kullaılarak (.69) çözümü ç, 33

46 ζwd u( ) = Ae s( wd + φ d ) (.73) yazılablr. (.73) le verle çözümü farklı söüm değerler ç davraışı Şekl.5 de göserlmşr. Şekl.5. Söümlü serbes reşm davraışı. Şekl.5 de görülebleceğ gb, koruumlu olmaya vskoz söüm kuvve, ssem eerjs yok emeye çalışır. Ssem üzerde dış kuvveler arafıda herhag br ş yapılmadığıda ssemde var ola eerj zamala azalır. Bu edele, zayıf söümlü reşmler salıımlı olmakla brlke peryodk özellke değldr. Faka her br söümlü reşm ç geçe zama ayıdır. Zayıf söümlü reşm peryodu, T d π w d = (.74) le verlr. Br peryoluk sürede kaybedle eerj mkarı söüm oraıa bağlıdır. Büyük söüm oralı reşm ssemde her br peryoluk sürede kaybedle eerj mkarı da büyük olmakadır. Söüm oraı br ( ζ = ) olması halde reşm ssem başlagıç aıdak eerj, br peryoluk sürede yok edlr. Bu edele krk 34

47 söüm oralı reşm ssemler reşm hareke yapamaz. Zayıf söümlü ssemlerde, brbr akp ede k gelk değer logarmk oraıa, logarmk azalım der: u( ) δ = l = ζ = ( + T d ) w d Td u πζ ζ. (.75) Söüm oraıı küçük değerler ç, logarmk azalım yaklaşık δ = πζ (.76) olarak verlr. Logarmk azalımı, söüm oraı le lşks, δ ζ = (.77) 4π + δ ve (.73) çözüm fadesde harekele, u( ) = e δ u( + T ) d (.78) logarmk azalım değer hız ve vme le lşks, u& ( ) δ = l (.79) u& ( + T ) d δ = l u&( & ) u& & ( + T ) d (.80) le verlr (Kelly 993, Chopra 995). (.79)-(.80) fadelerde görülebleceğ gb logarmk azalım, brbr akp ede salıım peryoları kullaılmada, hız veya vme değerler kullaılarak da elde edleblr. 35

48 Durum-: ζ = (krk söüm): Bu durumda (.6) le verle karakersk deklem kalı k kökü vardır. Krk söüm ç (.49) hareke deklem çözümü, u w ( ) = e ( b + b) (.8) le verlr. (.8) çözümüe (.5)-(.5) le verle başlagıç koşulları uygulaırsa, w u ) = e & ) (.8) [ u + ( u w u ] ( elde edlr. Krk söümlü reşm ssem davraışı Şekl.6 da göserlmşr. Şekl.6. Krk söümlü davraış. Şekl.6 da görüldüğü gb krk söümlü reşm ssemde, ssem üm eerjs br peryoluk zamada ükelmekedr. Bu ür br reşm ssem, dege koumuda br kez geçer ve ssem eerjs üsel olarak azalır. Durum-3: ζ > (aşırı söüm): Bu durumda (.6) le verle karakersk deklem brbrde farklı k gerçel kökü vardır. Bu kökler, 36

49 ± =, ζ ζ α w (.83) le verlr. (.49) hareke deklem geel çözümü, (.5)-(.5) le verle başlagıç koşullarıı uygulamasıyla, e ) = w u w u w e u w u w e u ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ & & (.84) larak elde edlr. Aşırı söümlü reşm ssem davraışı Şekl.7 de göserlmşr. jl her k ssemdek eerj kaybı, o Şekl.7 de görülebleceğ üzere, ssem davraışı peryodk değldr. Ssem eerjs hızlı br şeklde söümlemekedr. Şekl.6 de göserle krk söüm davraışı le karşılaşırıldığıda başlagıça eş eer krk söümlü ssemde, aşırı söümlü sseme göre daha büyük olmakadır. Şekl.7. Aşırı söümlü davraışı. Br dış kuvve arafıda sseme eerj akarıldığıda, ssem söüm özellğe bağlı 37

50 olarak reşm hareke yapablr. Serbes reşmler, eerj kayağıı oramda kalkmasıyla oluşur. Zorla reşmler se reşm haldek sseme br dış eerj kayağı arafıda eerj akarılmasıyla oluşur. Treşm ssemlerde eerj kayağı farklı şekllerde olablr. Deprem esasıda oluşa yer hareke br eerj kayağı olarak görülür. Ssemler zorla reşmler celemesde eerj kayağıı çeşl durumları göz öüde buludurularak yapılır. Geel olarak ssem davraışı, eerj kayağıı k farklı durumu ç celer. Bular, kayağı peryodk yapıda veya rasgele olmasıdır. Peryodk özellk gösere kayakları göz öüe alıdığı durumlarda, ssem davraışıı celemes uzu zama aralığıı gerekrr. Rasgele davraış özellğdek dış kayakları varlığıda se kısa zama aralığıda celer. Söümlü reşm ssem (.49) le verle dferasyel deklem geel çözümü, homoje ve özel çözümü oplamasıda oluşur. Homoje kısmıı çözümü u h, ζ w u ( ) = e ( ζ ) + c s( ζ c cos ) h (.85) le verlr. Homoje kısmıı çözümü f() dış kuvvede bağımsızdır. Özel çözüm kısmı se dış kuvvee bağlıdır. Bu ür reşm ssemde zamaı arıkça homoje kısmıı çözümü eksz, özel çözüm kısmı se ek hale gelr. Bu duruma kararlı durum (seady-sae) der. Peryodk br f() dış kuvve, f ( ) = F0 s( w + ϕ) (.86) şeklde verlr. Burada F 0, dış kuvve gelğ, w reşm frekasıı ve ϕ faz açısıı göserr. Bu ür br dış kuvve söümsüz reşm sseme ekmes halde hareke deklem, u f + w u = s( w + ϕ) (.87) m şekldedr. Eğer w w se, özel çözüm (u p ) ç blmeye kasayılar yöem 38

51 kullaılarak, F0 u ( ) = s( w + ϕ) (.88) p m( w w ) yazılablr (Kelly 993). (.85) le verle homoje ve (.88) le verle özel çözümlere (.5)-(.5) başlagıç koşullarıı uygulamasıyla geel çözüm, F0 sϕ u ( ) = u0 cos( ) w + m( w w ) w F0 + s( w + ϕ) m( w w ) u& 0 F0 wcosϕ s( ) w m( w w ) (.89) olarak elde edleblr (Ksslger 967). (.89) le verle çözüm davraışı Şekl.8 de göserlmşr. Şekl.8. Dış kuvve eksde söümsüz serbes reşm davraışı. w = w olması durumuda (.89) le verle geel çözümde, homoje çözüm le özel çözüm brbre bağlıdır. Bu durumda özel çözüm, u F0 ( = cos( w + ϕ) (.90) mw p ) 39

52 dr. (.5)-(.5) başlagıç koşullarıı, (.85) homoje ve (.88) özel çözümler oplamıa uygulamasıyla geel çözüm, u0 ( ) F0 cos( ϕ) F u( ) = u0 cos( w ) + + s( ) cos( + ϕ) w w (.9) w0 mw mw le verlr. Dış F() kuvve salıım frekası reşm ssem salıım frekasıa eş olduğuda, reşm gelğ sürekl arar. Bu duruma rezoas der (Ksslger 967, Hasselma 97). Rezoas durumu Şekl.9 da göserlmşr. Dış kuvve frekası, reşm ssem doğal frekasıa yakı br değer aldığıda ssem rm adı verle davraış göserr (Kelly 993). Bu durum, (.9) çözüm fadesde alıarak, w w u ( ) = Fo w w w + w s( ) cos( ) m( w w ) (.9) şeklde elde edlr. Şekl.0 de rm davraışı göserlmşr. Treşm ssem vskoz söümlü olması durumuda (.49) le verle hareke deklem özel çözümü, ( F ζw w cos( ) = [ ] 0 w + ϕ u p ) (.93) m ( w w ) + (ζ w ) + ( w w )s( w + ϕ) Şekl.9. Rezoas davraışı. 40

53 dır. Trgoomerk özellklerde yararlaılarak, (.93) çözümü, u p ( ) = H s( w +ϕ φ) (.94) şeklde yazılablr. Burada reşm gelğ H ve faz açısı φ: H F 0 = [( ) ( ) ] / (.95) m w w + ζww ζww φ = arca (.96) w w dır. Treşm ssem uzu sürel davraışı dkkae alıdığıda, (.85) le verle homoje çözüm sıfır olur. Şekl.0. Rm davraışı. Treşmde dış kuvve eks hakm duruma gelr. Dış kuvve hakm olduğu durumda serbes reşm hmal edleblr. (.95) ve (.96) le verle gelk ve faz fadeler reşm sseme a öeml blgler sağlar. (.95) le verle gelk fades her k 4

54 arafı, mw F 0 erm le çarp ılırsa, mw F 0 H = w ( w ) w + (ζ ) w / (.97) elde edlr. M = mw F 0 H boyusuz erme büyüme kasayısı der (Chopra 995). Büyüme kasayısı reşm ssem frekas yaııı göserr. Farklı w değerler ç w büyüme kasayısı ve ssem yaıı Şekl. de göserlmşr. Şekl.. Büyüme kasayısı ve ssem epks. Şekl. de ve (.97) fadesde sırasıyla aşağıdak özellkler verleblr: w a) = 0 w ke büyüme kasayısı, M = değer alır. Bu durumda reşm ssemde gelşe e büyük kuvve sab dış kuvvee eşr. 4

55 w b) ke büyüme kasayısı, M 0 dır. Bu durumda yüksek frekaslarda ssem w gelğ küçükür. c) Söüm oraıζ arıkça, büyüme kasayısı, M azalmakadır. d) ζ = 0 ç büyüme kasayısı, M sıırsız büyümekedr. Büyüme kasayısı, M 0 < ζ aralığıda ζ söüm oraıı belrl br değerde e büyük değer alır. Bu durum rezoasa karşılık gelmekedr. e) 0 < ζ aralığı da büyüme kasayısı M e büyük değer, w/w, w w = ζ (.98) okasıda, M max = (.99) ζ ζ ( ) 0. 5 değerdedr. (.98) ve (.99) fadeler M ( w / w = 0 durumu göz öüe alıır. ) elde edlmesde (.97) fades f) w ζ = ve = 0 w M değerde = 0 ( w / ) w dır. ζ > ç w w oraı arıkça büyüme kasayısı, M moook olarak azalmakadır. (.96) le verle faz fades, w w bağlı olarak, φ = a w ζ w w ( ) w (.00) dr. Söüm oraı ζ farklı değerler ç, fazı frekas le değşm Şekl. de göserlmşr. 43

56 Şekl.. Fazı frekas le değşm. (.00) le verle faz fadesde ve verleblr: w Şekl. de sırasıyla aşağıdak özellkler w a) ζ = 0 veya = 0 durumuda reşm ssem le dış kuvve ayı fazdadır. w ζ ve 0 < < w b) > 0 ç faz ssem fazı dış kuvve gersde buluur. π 0 < φ < aralığıdadır. Bu durumda, reşm w π ζ ve = ç φ = dır. (.86) le verle dış kuvve fadesde ϕ = 0 olursa, c) > 0 w dış kuvve br süs dalgası ve reşm ssem ek davraışı br kosüs dalgasıdır. Bu durumda dış kuvve, reşm ssem hızı le ayı fazdadır. Dış kuvve yöü hareke yöü le ayı olur. w ζ ve > olduğuda φ fazı d) > 0 w π < φ < π aralığıdadır. Treşm ssem fazı dış kuvve fazıda ödedr. w e) ζ > 0 ve >> durumuda φ π dır. Treşm ssem fazı dış kuvve fazı le w ers şareedr. 44

57 Yukarıda elde edle souçlarda, br dış kuvve alıdak reşm durumuda, sseme uygulaa dış kuvve ve reşe ssem söüm özellğ, reşm hareke üzerde öeml rol oyadığı görülmekedr..3.. Evrşm (Duhamel egral) çözümü Treşm sseme a (.49) le verle hareke deklem maemaksel çözümü ç (.5) ve (.5) le verle başlagıç koşulları blmeldr. (.49) hareke deklem, kc merebede doğrusal, homoje olmaya br dferasyel deklemdr. Dış kuvve geçc (rase) olması halde homoje çözüm kısmı ve başlagıç koşulları geel çözüm üzerde ek rol oyar. Bu p problemlerde geel çözüm le brlke başlagıç koşulları da ele alıır. Dış kuvve geçc olduğu reşm problemlerde, km zama e büyük yaı, dış kuvve yok olduğu ada bare oluşablmekedr (Chopra 995). Bu edele, göz öüe alıa üm zama ç uygulaacak çözüm yöem geçerl olması gerekr. Bu ür yöemlerde brs, evrşm (covoluo) veya Duhamel egral yöemdr. Evrşm çözümü, brm epk-mome lkes uygulamasıa dayaır. Kovolüsyo çözümüde, Şekl.3 dek gb br reşm ssem dege koumudak m külese I büyüklüğüde br epk uyguladığıda, zayıf söüm durumuda ssem reşm yapar. Ssem başlagıç hızıı belrlemek ç brm epkmome lkes uygulaırsa, v 0 I = (.0) m y azılablr. Bu ür reşm hareke, (.49) le verle hareke deklem, F( ) = 0 ve u 0 u& = v başlagıç durumu le verlr. Zayıf söüm durumuda ( ζ < ) çözüm, 0 =, 0 vskoz söümlü serbes reşm çözümü ola (.73) fades, I ζw u( ) = e s( w ) (.0) mw d d 45

58 veya kısaca u ( ) = I h( ) (.03) le verlr. Burada h() brm epk foksyoua karşılık reşm ssem verdğ yaı: ζ w h( ) = e s( wd) (.04) mw d şekldedr (Jacobse vd 958, Chopra 995). Treşm sseme ekye dış kuvve 0- zama aralığıda Şekl.3 dek gb verldğde, 0- zama aralı ğı brbre eş, F().. 3 (-) Şekl.3. Dış kuvve brm epk foksyolar le göserm. = (.05) ade al aralığa bölüerek, her br zama aralığıdak dış kuvve, F( k ) büyüklüğüdek brm epk foksyoları olarak ele alıır. Toplam dış kuvve 0- zama aralığıda bulua epk foksyolarıı oplamı şeklde elde edlr. Herhag br aıda ssem yaıı, dferasyel deklem ξ = k k aı ç, 46

59 u k ξ k + ζw u k ξ k + w u k = 0 (.06) ve başlagıç koşullarıı, u ( ξ = 0) = 0 (.07) k k uk F( k ) (ξ k = 0) = ξ m k (.08) uygulamasıyla elde edlr. (.06) dferasyel deklem (.07) ve (.08) başlagıç koşullarıa göre çözümü, u ξ ) = F( ) h( ξ ) (.09) k ( k k k yaklaşımı le elde edlr. (.49) hareke deklem doğrusal yapıda olduğuda üs üse oplama lkes uygulaarak, reşm ssem aıdak yaıı, u = ( ) = 0 u ( ξ ) (.0) k k oplamıyla elde edlr. Toplam zamaı eş zama aralığıa bölüdüğüde (.0) çözümü br yaklaşımdır. Bu edele gerçek çözüm, (.0) çözümüü lm durumuu alımasıyla, u( ) = F( ) h( τ ) dτ (.) 0 olarak elde edlr. (.) fades br kovolüsyo egral dr (Chopra 995). (.) egral üm doğrusal reşm ssemler ç uygulaablr. Treşm ssem brm epk foksyou, h() ssem krk ve aşırı söümlü olması durumuda sırasıyla, 47

60 w e h ( ) = ; ζ = (.) m ζ w e h ( ) = sh( w ζ ) ; ζ > ζ mw (.3) le verlr (Chopra 995). Başlagıça sıfırda farklı hızı ola b r reşm ssem epks, brm epkye bağlı olarak (.) çözümüe eklemesyle elde edlr. Başlagıç aıda dege koumuda bulumaya br ssem ç, y = u u(0) (.4) değşke döüşümüyle (.06) dferasyel deklem, k F & y + ζ w y& + w y = u(0) + (.5) m m ve (.) kovolüsyo egral, [ ] y( ) = ku(0) + F( ) h( τ ) dτ (.6) 0 şeklde verlr. Zayıf söümlü br reşm ssem ç geel çözüm, u& (0) + ζwdu(0) u0 cos( wd ) + s( w ) ζw w d d u( ) = e ζ w τ + F( τ ) e s w d d ( τ ) τ mwd 0 (.7) dır. (.7) fades, zayıf söüm durumu ç ve rle (.69) fadese dış kuvve eks eklemş hal gösermekedr. 48

61 .3.3. Laplace ve Fourer döüşüm yöemler le çözüm Treşm ssem yaııı elde edlmesde Laplace ve Fourer döüşüm yöemler, hareke deklem çözümü ç yararlaıla başlıca yöemler arasıda yer alır. Laplace ve Fourer döüşüm yöemlerde (.49) le verle hareke deklem (.5)- (.5) le verle başlagıç koşulları ve döüşüm yöem özellkler uygulamasıyla cebrsel br yapıya döüşürülür. Laplace döüşüm yöemde, u( ) yer değşrmes Laplace döüşümü, 0 s u( s ) = u( ) e d (.8) egral le verlr (Jacobse vd 958, Spegel 965, Hu 979, Balmes 003). Burada s değşke karmaşık düzlem değşkedr. F() dış kuvve Laplace döüşümü F(s) le göserlrse, (.49) hareke deklem Laplace döüşümü, F( s) L( u& ) + ζ wl( u& ) + wu( s) = (.9) m olarak verleblr. Burada L, Laplace döüşüm operaörüdür. Laplace döüşümüü ürev özellğ F( ) L = s f ( s) F(0) (.0) kullaılarak, (.9) fades cebrsel yapıda: u( s) = F( s) + ( s + ζ w ) u(0) + u& (0) m s + ζw s + w (.) elde edlr. u() yerdeğşrmey zama oramıda elde emek ç ers Laplace döüşümü: 49

62 0 s u( ) = u( s) e ds π j (.) ve Laplace döüşümüü özellkler kullaılması le u( ) F( s) ( s + ζ w ) u(0) + u& (0 L + L m s + ζw s + w s + ζw s + w = ) (.3) elde edlr (Spegel 965). (.3) le verle çözüm, her br erm paydasıda yer ala kc derecede deklem köklere ve söüm oraı, ζ ye bağlıdır. Buula brlke (.3) çözümüü hesaplaablmes ç F() dış kuvve aımlı ve Laplace döüşümüü alıablmes gerekrmekedr. Doğrusal dferasyel deklemler çözümüde kullaıla dğer br yöem, Fourer döüşüm yöemdr. u() gb br foksyou Fourer döüşümü U(w), U ( w) w = u( ) e d π (.4) döüşüm egral le verlr (Balmes 003). (.49) le verle hareke dekleme Fourer döüşümü ve döüşüm özellkler uygulaırsa, F( w) H ( w) = = w m + cw + k (.5) U ( w) elde edlr (Balmes 003). Burada H(w), ssem frekas yaııı göserr. Zama oramıdak u() yerdeğşrmes elde emek ç ers Fourer döüşümü, w u( ) = U ( w) e dw π (.6) 50

63 kullaılarak elde edlr. Fourer döüşüm yöem uygulaırke, F() dış kuvve zama oramıda aımlı ve peryodk br yapıda olması gerekr. Fourer döüşüm yöem, reşm ssemlere lşk spekral özellkler belrlemes ve sayısal şlemler kolay yapılmasıda dolayı erch edle br yöemdr Kp (mode) çözüm yöem Kp çözüm yöem, özellkle yüksek kpler öemsz olduğu ve uzu zama aralığıda celemes gereke problemlerde yararlaıla br yöemdr (Johso vd 97, Chopra 995, Balmes 003). Hareke deklem zama oramı çözümüde, söüm dzey hmal edlrse, her br zama adımı ç gerekl ola şlem sayısı yaklaşık m dr. Burada, çok serbeslk derecel reşm ssem serbeslk dereces (oplam blmeye sayısıı) ve m (.49) deklemde yer ala sıkılık dzey ba geşlğdr. Başlagıç durumu hesaplamaları ve dzeyler üs üçge dzey hale gerlmesde gerekl şlemlerde hesaba kaıldığıda oplam şlem sayısı armakadır. Bu edele (.49) deklem zama oramı sayısal çözümüde uzu zama aralığı gerekre durumlar ç kp çözüm yöem kullaılır. Kp çözümleme yöem br özdeğer problemdr. (.49) hareke deklemde söüm erm hmal edldğde, söümsüz serbes salıım, (.50) deklem le verlmekedr. (.50) fades, serbeslk derecesdek br reşm ssem ç ade doğrusal ve homoje dferasyel deklem ssem göserr. (.5)- (.5) başlagıç koşullarıı sağlaya u() yerdeğşrme çözümü, w u( ) = Ae (.7) le verlr. Burada A, (,) boyulu kp şekl (mode shape) gösere vekördür. w her br kp açısal frekasıdır. Her br w frekas değer ç (.7) fades (.50) deklem çözümü olur ve reşm br kp göserr. (.50) le verle söümsüz serbes reşm deklem doğrusal ve homoje yapıda olduğuda geel çözüm, her br kp çözümü üs üse oplamasıyla elde edlr. (.7) fades (.50) deklemde yere yazılırsa, 5

64 ( M K w I ) A = 0 (.8) elde edlr. Burada, - br dzey ers göserr ve I (,) boyulu brm dzeydr. (.8) fadesde A 0 kabul edlrse, ade doğrusal deklem ssem dzey yapısı, w w w w = M K (.9) şekldedr. (.8) deklem deerma ı, de ( M K w I) = 0 (.30). derecede br polomdur. (.30) deerma fadese reşm ssem karekersk deklem der. Küle dzey, M ve sıkılık dzey, K gerçel ve pozf aımlı olduğuda karakersk dzey üm kasayıları da gerçeldr. Karakersk deklem kökler (özdeğerler) reşm ssem açısal frekaslarıı emsl eder. Her br w açısal frekasıa karşılı k br A reşm kp (özvekörü) karşılık gelr ve M KA = w A (.3) deklem sağlar. Treşm ssemde yer ala kpler, A T MA j = 0, j (.3) A T KA j = 0, j (.33) dklk (orogoallk) özellğ sağlar (Jacobse vd 958, Kelly 993, Chopra 995). 5

65 Uygulamalarda A kpler ç ormalleşrme şlem yapılır. Normalleşrme şlem ç, T A MA = (.34) ve A KA = w (.35) T özellkler kullaılır. Kp şekller çere, Φ = [ A A... ] (.36) A dzeye kp dzey (modal marx) der ve (.34) le (.35) özellkler sağlar: ΦKΦ = Ω w = w w (.37) Φ M Φ = I (.38) Burada, Ω dzeye spekral dzey der (Kelly 993). Yerdeğşrme, u kp dzey ve asal koordalara (prcple coordaes) bağlı olarak, u = Φ z (.39) şeklde verlr. Burada asal koorda yöey, 53

66 z( ) z ( ) z =.. z ( ) (.40) dr. (.40) le verle asal koordalara bağlı yerdeğşrmeler (.49) hareke deklemde yere yazılırsa, M Φ & z + Cφ z& + Ωz = p() (.4) T elde edlr. Burada, C söüm dzey ve p( ) = Φ f ( ) dr. (.4) le verle φ dekleme kp deklemler (modal equaos) der (Bahe vd 97). Treşm ssemlerde her br reşm kpe a özellkler gösermesde dolayı ayrık yapıdadır. (.4) le asal koordalara bağlı olarak verle yerdeğşrmey elde emek ç ekrar (.39) bağıısı kullaılır. 54

67 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3.. Söüm İşlem ve Yaklaşımları Mühedslk problemlerde oram amame elask davraış göserdğde söüm hmal edleblecek merebededr. Acak, jeolojk yapıları büyük gerlmeler alıda damk özellkler celemesde, söüm göz ardı edlemeyecek düzeydedr. Bu edele deal elask durum ç verle ve gerlme-deformasyo lşks aımlaya Hook kauu yere farklı yapısal deklemler (cosuve equaos) kullaılır (Laza 968, Ak vd 980). Elasse kuramıa göre, yeerce küçük deformasyo durumuda elask kaı üzerdek gerlme oluşa deformasyola, vskoz br sıvıda se hdrodamk lkelere göre deformasyodak değşm le oraılıdır. Vskoelask malzemeler elask ve vskoz davraış özellkler brlke göserr. Vskoelask br malzeme k emel özellğ le aımlaır. Bular: sab gerlme alıda süme (creep) ve sab deformasyo alıda gevşeme (relaxao) davraışlarıdır (Laza 968). Bu ür malzemelerde deformasyo durumu alık değere olduğu kadar geçmş gerlme durumua da bağlıdır. Bu özellğe bellek (memory) adı verlr (Oldham vd 974, Koeller 984, Blak 996, Dehelm 997, Novozhlov 997, Lu vd 998, Ruge vd 999, Dehelm vd 000, Ford vd 00). Söüm davraışıı maemaksel modellemes de bu özellğe dayaır. (.49) fadesyle verle hareke deklemdek c u& erm, reşmde söüm erm göserr. Treşm ssemlerde söüm, ssem eerjs yrmese ve reşm gelğ zama çersde azalmasıa ede olur. Söüm kasayısıı (c) brm kuvve zama/uzuluk dır. Tamame elask davraış gösere oramda söüm şlem maemaksel olarak aımlaablrke, pekşmemş zem brmlerde söüm mekazmasıı maemaksel olarak aımlayablmek oldukça zordur (Bagley vd 983a, Bagley vd 983b). Buu edeler arasıda söüm mekazmasıa kakıda bulua çok sayıda eke buluması, alüvyal brmler dalga yayıımı üzerde farklı ekler gösermes verleblr. (.49) le verle hareke deklemde söüm erm hız le doğru 55

68 oraılı olarak verlmşr. Bu ür br söüm mekazmasıa vskoz söüm der. Tüm söüm mekazmalarıı çerse ala ve reşm ssemde söümü emsl ede erme eşdeğer söüm (equvale dampg) olarak adladırılır (Idrss vd 99). Geel olarak uygulamalarda vskoz söüm erch edlr. Buu başlıca ede, bu ür br söümü yapısal deklemlere doğrusal br erm olarak grmes ve maemaksel olarak kolay hesaplaablmesde kayaklaır (Laza 968). Gerçeke zem brmlerde söüm şlem ümüyle vskoz yada ümüyle elask davraış gösermez (Laza 968, Mavko 979, Joes 00). Kjarasso (979) ve O Coel vd (978) zem brmlerde söüm mekazması üzerde çalışmalarıı Q kale fakörüe bağlı olarak celemşlerdr. Bu ez emel amacı, reşm ssem emsl ede ve (.49) hareke deklemde yer ala söüm erm (c) ç kullaıla klask yaklaşımlar yere, gerlme alıda bulua reşm ssemde zama çersde gelşe deformasyoa ve deformasyo geçmşe bağlı br söüm yaklaşımı germekr. Bu kısımda, lk olarak uygulaa klask söüm yaklaşımları ve sora ye söüm yaklaşımı olarak fade eğm kesrsel merebel ürev yaklaşımı alaılmışır Deeysel yaklaşımlar Zem brmlerdek söüm üzere bazı deeysel çalışmalar, Hall vd (963), Idrss vd (968), Seed vd (969, 987), Hard vd (97a), Sherf vd (976), Mavko vd (979), Morao (980) ve Meke vd (985) arafıda gerçekleşrlmşr. Bu çalışmalar çersde Hall vd (963) reşm gelğ söüm üzerdek eks, elask dalga eerjs dael zem brmlerde (kumlarda) söümü ve dael zemlerde dalga yayılımıı celemşr. Idrss vd (968) deprem aıda zem davraışıı ve zem özellkler eks celemşr. Farklı bölgelere a kumlu zem brmler üzerde yapıkları deeysel çalışmalar soucuda, makaslama deformasyoua bağlı olarak 56

69 makaslama gerlmes ve söüm lşks araşırmışır. Çzelge 3. ve Şekl 3. de Seed vd (969) arafıda elde edle souçlar göserlmşr. Çzelge 3.. Kumda γ a bağlı G/G max ve D/D max değşm (Seed vd 969) γ(%) G/G max (%) D/D max (%) Hard vd (97a), zemlerde makaslama modülü (G/G max ) le söüm lşks ayrıılı celemşr. Hard vd (97a) özellkle farklı zem umueler üzerde laborauar deeyleryle zem paramereler makaslama modülü ve söüm üzerdek ekler celemşr. Hard vd (97a) ı elde ekler souçlar Çzelge 3. de göserlmşr G/Gmax (%) D/Dmax (%) Deformasyo (%) Şekl 3.. Kumda γ a bağlı G/G max ve D/D max değşm (Seed vd 969). 57

70 Çzelge 3.. Farklı zem paramereler makaslama modülü ve söüm üzerdek ekler (Hard vd 97) Değşke Makaslama Modülü Kumlu zem Kll zem Kumlu zem Söüm Deformasyo gelğ V V V V Efekf ormal gerlme V V V V Boşluk oraı V V V V Yükleme süres R R V V Doyguluk(saurasyo) dereces R V L U Aşırı kosoldasyo oraı R L R L Efekf Gerlme zarfı L L L L Makaslama gerlmes L L L L Yükleme frekası(0. Hz ve üzer) R R R L Zama eks R L R L Zem dae büyüklüğü, boyuu, şekl, dereceleme oraı ve meralojs R R R R Dae geomerk yapısı R R R R Makaslama deformasyoua bağlı hacm değşm (deformasyo < 0.5%) U R U R V: Çok öeml, L: Az öeml, R: Görecel olarak öemsz, U: Öem am olarak blmyor. Kll zem Hard vd (97a) farklı zem örekler üzerde yapıkları deey souçlarıa dayaarak, zemlerde deformasyoa bağlı makaslama modül oraı (G/G max ) değşm geş br aralık göserdğ belrmşr. Bu souç Şekl 3. de göserlmşr G/Gmax γ(%) Şekl 3.. Farklı zem brmler ç makaslama modül oraı değşm. 58

71 Hard vd (97b), elde ekler deeysel souçlarda harekele, referas deformasyo kavramı kullaarak makaslama modülü ve söüm lşks deeysel (amprk) olarak vermşr. Hard vd (97b) referas deformasyou ç, τ max γ r = (3.) Gmax bağıısıı aımlamışır. Burada τ max, Gmax ve γ r Şekl 3.3 de göserlmşr. τ max θ γ r τ a( θ ) = Gmax = γ γ max r Şekl 3.3. Referas deformasyou. Referas deformasyo fadesde harekele, hperbolk deformasyo: γ b ( ) γ = + γ r γ h ae (3.) γ r bağıısı le verlmşr. Burada, a ve b zem sablerdr. Hperbolk deformasyoa bağlı olarak makaslama modül oraı, G/G max G G max = + γ h (3.3) ve söüm oraı, D/D max 59

72 D D max γ h = + γ h (3.4) bağııları le verlmşr. Referas deformasyoua bağlı olarak modül ve söüm oraı değşm Şekl 3.4. de göserlmşr. Hard vd (97a, 97b) çalışmalarıa bezer olarak Sherf vd (976), kuru kum örekler üzerde yapığı makaslama deeylere dayaarak makaslama modülü ve söüm oraı üzere bezer lşkler gelşrmşr. Thomso vd (974) deeysel souçlarda yararlaarak söüm üzere deeysel fadeler elde emşr D/Dmax γ D D max G h Gmax γ h = + γ h G/Gmax γ h (%) 5 7 Şekl 3.4. Referas deformasyoa bağlı modül oraı (G/G max ) ve söüm oraı (D/D max ) değşm Mekak model ve kompleks modül Br reşm hareke oluşması ç, mekak ssemde br düzeleyc (ssem dege koumua germeye çalışa) kuvve veya mome buluması gerekr. Ssem reşm, br eerj dış kayaka sseme verlmesyle başlar. Şekl 3.5 de verle yay, mekak ssem br elask elemaıdır ve reşm ssem düzeleyc kuvve emsl eder. 60

73 Dege koumu f=k x m x Şekl 3.5. Mekak ssemde, küley dege koumua gere yay kuvve. Şekl 3.5 de göserle m küles dege koumuda bare yerdeğşrmes ç br ş yapıldığıda yay gerlr ve gerle yayda poasyel veya deformasyo eerjs oluşur. Yayda oluşa kuvve, ger çağırma kuvvedr. Dış kuvve kaldırıldığıda, yay kuvve m küles dege koumua ger çeker. Bu esada yaydak poasyel eerj kek eerjye döüşümü olur. Ssemde koruumlu olmaya kuvveler bulumadığıda bu eerj döüşümü sürekl olur. Küle, dege koumu erafıda sürekl salıım yapar. Ssemdek düzeleyc kuvvee örek olarak yerçekm kuvve verleblr. Treşm problemler alaşılması, maemak ve mühedslk blmler br arada kullaılmasıı gerekrr. Treşm ssemler oluşurulmasıda emel fzk lkeler ve yapısal deklemler damk ssemlere uygulaması yer alır. Bu uygulama, damk ve kaı mekak lkeler kullaılmasıdır. Mekak br ssemde Hook p yay elemaı, k parçacık arası elask bağlaıyı sağlar. Yay elemaıı her k arafıdak gerlme kuvve eş olduğu varsayılır. İkc bölümde verle gerlme-deformasyo lkese göre, elask sıırlar çersde kuvve le yer değşrme arasıda doğrusal lşk vardır. Bu lşk, F = f (x) (3.5) foksyoel şekldedr. Burada verle f(x) foksyou, mekak ssem özellklere bağlı yapısal deklemlerle aımlaır. x uzuluğudak yay elemaıı dege koumuda bare x kadar yerdeğşrmes le oluşa yay kuvve bulmak ç x = 0 okasıda Taylor açılımıı uygulaması le 6

74 F ) 3 = k0 + k x + k ( x) + k3( x) k ( x (3.6) elde edlr. x = 0 ke F = 0 olduğuda (3.6) fadesde k 0 = 0 dır. x pozf br değer aldığıda (X+ x>0) yay gerlmş olur. x egaf olması halde (X>X+ x) yay sıkışmış olur. Bu edele, elask br yayda x kadar sıkışırma veya uzama meydaa germek ç eşdeğer kuvve gerekldr. Bu souç (3.6) le verle fade ek derecel ermlerde oluşuğuu göserr. F 3 = k x + k 3 ( x) k ( x), =,,... (3.7) (3.7) le verle fade, bezer özellklerdek yay elemalarıı doğrusal olmaya kuvve-gerlme kuralıa uyduğuu göserr. Faka uygulamada yüksek derecel ermler küçük olduğuda hmal edlr ve yayda oluşa elask kuvve, F F = kx (3.8) le verlr. (3.8) dekleme uya yay elemalarıa doğrusal yay elemaı der. Mekak yay elemaı le yapısal elema arasıdak lşky gösermek ç Şekl 3.6 da L uzuluğudak br yapısal elema M külese bağlamışır. Yapısal elemaı elasse modülü, E ve kes alaı, A dır. M küles dege koumuda x kadar yerdeğşrdğde, yapısal elemada oluşa ormal deformasyo: A E L m Şekl 3.6. Yapısal elemaı mekak elemalar le bezeşm. F x ε = = (3.9) AE L 6

75 dr. Br F kuvve arafıda yapısal elema üzerde yapıla ş, W = EALε (3.0) dır. Dış kuvve a olarak kaldırıldığıda, m küles dege koumu erafıda salıım yapar. Yapısal elemada oluşa deformasyo eerjs, kek eerjye döüşür. m külese göre yapısal elemaı küles küçük olduğuda hmal edleblr. Böylece m küles dege koumuda bare x kadar yerdeğşrmes ç gerekl F kuvve: AE F = x (3.) L dır. Bu edele yapısal elemaı sıkılık değer: AE k = (3.) L ola br mekak yay elemaıı M külese uyguladığı kuvvee eşr. Şekl 3.6 da verle yapısal elema-küle Şekl 3.7b de verle mekak yay-küle sseme karşılık gelr. Uygulamada mekak ssemdek yay, brde fazla yay elemaıda oluşur. Bu durumda ssem sıkılık değer, her br yayı sıkılık değer yay dzlme uygu şeklde oplamasıyla elde edle, eşdeğer sıkılık değere eş olur. k x k k 3 m. k eş x. m. k (a) (b) Şekl 3.7. Mekak yay elemaları, (a) paralel bağlı yay ssem, (b) eşdeğer yay. 63

76 Şekl 3.7a da brbrlere paralel bağlı yay-küle ssem verlmşr. Paralel bağlı yaylarda her br yayı yer değşrmes ayıdır. Faka her br yayda oluşa kuvve farklı olup, k yay sabe bağlıdır. Bu ür br ssem eşdeğer yay sab Şekl 3.7b de göserlmşr. Şekl 3.7a da küleye ekye kuvve, her br yaydak kuvveler oplamıa eşr: F = k x + k x k x =. k x (3.3) = Şekl 3.7b de se küleye ekye kuvve: F = k x (3.4) eş dr. (3.3) ve (3.4) fadeler eşlerse, mekak ssem eşdeğer serlğ, k eş k eş = k = (3.5) dr. Şekl 3.8 de ade yay ser bağlamışır. Bu durumda her br yayda oluşa kuvve eş, faka yerdeğşrme farklı ve k yay sabe bağlıdır. Küle dege koumuda bare x kadar yerdeğşrmes, her br yaydak k k k 3 k F k eş... m m (a) (b) Şekl 3.8. Mekak yay elemaları, (a) ser bağlama, (b) eşdeğer yay. yerdeğşrmeler oplamıa eş ve 64

77 x = x = (3.6) dr. Her br yaydak kuvve eş olduğuda, F x = (3.7) k dr. Toplam yer değşrme se, F x = = k (3.8) dr. Ser bağlı yaylar ç eşdeğer sıkılık değer, k eş (3.8) fades (3.4) de yazılmasıyla, k eş = / (3.9) = k elde edlr (Laza 968). Mekak ssemlerde yer ala yay elemaları le elekrk devre elemaları arasıda bezer lşkler buluur. Elekrk devre elemalarıda kapasörler ser bağlamasıda eşdeğer kapasör, ser bağlı yay elemalarıı eşdeğer sıkılık değer elde edlmes şeklde ve paralel bağlı kapasörler eşdeğer sıkılık değer se paralel bağlı yay elemalarıı eşdeğer sıkılık değer elde edlmes şekldedr. Mekak ssem br dğer elemaı ola söüm elemaı, vskoz söüm davraışıı göserr. Kaı br csm sıvı le emas halde olduğuda vskoz söüm oluşur (Terzagh 96, Tmosheko 95, Love 944). Kaı csm hızı le oraılı ola söüm kuvve: F = cv (3.0) 65

78 dr. Burada c, söüm kasayısıdır. Vskoz söüm çoğu zama mekak ssemlerde see br elemadır. Çükü reşm gelğ zamala azalmasıı sağlar. Vskoz söüm elemalarıı eklemes, reşm ssem emsl ede dferasyel dekleme doğrusal ermler eklemesdr. Mekak ssemlerde dashpo adı verle Newo p söüm elemaı vskoz söümü emsl eder. Vskoz söümledrc dama uygulaa dış kuvvee ers yöde olduğuda koruumsuz br kuvver. Dğer br fadeyle ssemde egaf ş yapar. Başlagıç kek veya poasyel eerjl br reşm ssem, dış kuvve bulumadığı durumda serbes reşm yapar. Serbes reşm hareke br salıım harekedr. Şekl 3.5 de m küles, sıkılık değer k ola br yayla bağlamışır. Küle, dege koumuda bare x kadar yerdeğşrdğde, yayda oluşa poasyel eerj (deformasyo eerjs): E p k x = ( ) (3.) le verlr. Yay, m külese (3.8) büyüklüğüde br kuvve uygular. Dege koumuda x kadar yerdeğşre m küles serbes bırakıldığıda, yay kuvve m küles dege koumua germeye çalışır. Bu durumda yaydak poasyel eerj, kek eerjye döüşür. Küle dege koumua geldğde kek eerj e büyük değere ulaşır. Küle, hareke yayda x kadar br sıkışırma oluşuraa kadar devam err. Yay, x kadar sıkışığıda m küles hızı sıfır olur. Faka yayı sıkışması esasıda yayda ekrar poasyel (deformasyo) eerj oluşur. Ssemde koruumlu olmaya kuvveler bulumadığı durumda bu eerj döüşümü sürekl olur. Gerçek fzksel reşm ssemlerde se çeşl söüm eklerde dolayı, sürekl reşm mümkü olmaz. Ser veya paralel bağlı yaylar ve söümü emsl ede elemala (dashpo) brleşrlerek reşm ssemler modellemeye çalışılır. Bu şeklde kullaıla mekak modeller başıda Maxwell ve Kelv-Vog p modeller gelmekedr. Bu modeller br arada kullaılmaları le daha karmaşık mekak modeller oluşurulablmekedr. Faka mekak modeldek elema sayısı arıkça model emsl ede deklemler de karmaşık hale gelmekedr. Burada mekak modellerde Maxwell ve Kelv-Vog modeller alaılmışır. Leer vskoelask malzemeler geel gerlme-deformasyo bağıısı, 66

79 m d d d d d d a 0 + a + a a ) σ ( 0... )ε = b + b + b + + b m (3.) m d d d d d d ( dferasyel deklem le aımlaır (Dllard 999). Burada a ve b kasayıları pozfr ve malzeme fzksel özellkler gösere sablerdr. Geel olarak, gerlmedeformasyo davraışıı doğrusal olmadığı durumlarda, (3.) fades üm ürevler alımasıı gerekrr. Faka uygulamada belrl sayıda erm ürev alıarak (öreğ lk k erm) yeerl yaklaşım sağlaablmekedr. Malzeme özellkler belrlemesde doğrusal dferasyel deklemlere eşdeğer mekak modeller asarlaır. Doğrusal dferasyel deklemlerde yer ala her br kasayı model asarımıda br fzksel değşkee karşılık gelr. Bas mekak modeller malzemeler özellkler hakkıda geel br fkr vereblmekedr. Bu ür model k ade bleşede oluşur. Bular sırasıyla, a) Yay elemaı: F k = (3.3) x le verlr. Burada, F yaya uygulaa kuvve, x yerdeğşrme ve k yay sabdr. b) Vskose kasayısı buludura br söüm elemaı: dx µ = F / (3.4) d le verlr. Burada, F söüm elemaıa ekye dış kuvve, x söüm elemaıdak yerdeğşrme ve µ vskose sabdr. İk bleşel söüm modeller, gerçek malzemelerdek söüm davraışlarıı am alamıyla olmasa da yaklaşık olarak gösereblmekedr. İk bleşel modellerde brcs, Maxwell modeldr. Maxwell modelde yay ve söüm elemaı ser bağlaır (Şekl 3.9). Her k elemada oluşa gerlmeler eş, 67

80 σ = σ y = σ d (3.5) ve deformasyolar farklıdır. Toplam deformasyo her k elemada oluşa deformasyou oplamıa eşr: ε = ε y + ε d. (3.6) Maxwell modelde gerlme-deformasyo lşks (3.5) ve (3.6) fadelerde harekele, η σ + & σ = ηε& E (3.7) le verlr. (3.7) dferasyel deklem le (3.) geel fades karşılaşırıldığıda, d d a 0 + a ) σ = ( b0 + b )ε d d ( yapısıda olduğu görülür. Burada a o =, a =η/e (gevşeme zamaı, relaxao me), b o =0 ve b =η dr. Maxwell modele a deklem, vskoelask br malzemede gerlmegevşeme (sress-relaxao) durumuu gösereblrke süme durumuu emsl edememekedr (Laza 968). Bu edele bu modele "eksz (dead) davraış model der (Bagley vd 986). Maxwell modele a süme ve gerlme-gevşeme davraışları Şekl 3.0 da göserlmşr. k µ Şekl.3.9. Maxwell model. 68

81 γ τ γ τ (a) (b) Şekl 3.0. Maxwell model ç a) süme ve b) gerlme-gevşeme davraışı. Maxwell modeldek eksklğ üsesde Kelv-Vog model le gelmşr. Kelv-Vog model Şekl 3. de göserlmşr. Kelv-Vog modelde yay ve söüm elemaı brbre paralel bağlıdır. Her k elemada oluşa deformasyo ε = ε y = ε d (3.8) eş, acak gerlmeler farklıdır ve her k elemadak gerlme oplamıa eşr: σ = σ y + σ d. (3.9) Kelv-Vogh modelde gerlme-deformasyo lşks (3.8) ve (3.9) fadelerde harekele, σ = E ε + ηε& (3.30) le verlr. (3.30) dferasyel deklem, (3.) geel deklemyle karşılaşırıldığıda a o =, a =0, b o = E ve b =η olduğu görülür. 69

82 µ k Şekl.3.. Kelv-Vog Model. Kelv-Vog modelyle değşke süme durumu sağlaablmekedr. Bu modelde karşılaşıla zorluklar se kuvve kaldırıldıka sora elask davraışa gözlee durumu olmaması ve süme oraıı belrl br zama sora sıfıra yaklaşmasıdır. Kelv-Vog p modele "bas karmaşık oasyolu model" der (Laza 968). Kelv-Vog modele a süme ve gerlme-gevşeme davraışı Şekl 3. de göserlmşr. γ τ γ τ (a) (b) Şekl 3.. Kelv-Vog model ç a) süme ve b) gerlme-gevşeme davraışı. Malzeme üzere belrl frekasa harmok br gerlme uyguladığıda malzemede oluşa deformasyoda ayı frekaslı harmok br davraış gösermekedr. Faka uygulaa gerlme le deformasyo arasıda br zama geckmes veya faz farkı 70

83 oluşmakadır. Bu ür br durum Şekl 3.3 de göserlmşr. Elask ve vskoelask sıırlar çersde uygulaa gerlme le oluşa deformasyo grafğ çzlrse elpk br şekl elde edlr. Tpk br gerlme deformasyo eğrs Şekl 3.4 de göserlmşr. Elpk şekl aa ekse eğm, malzeme sıkılık dereces br ölçüsü, aa ekse (major axs) le kısa ekse (mor axs) oraı se malzemedek söümü br ölçüsü olarak değerledrlr. Elpk şekll gerlme deformasyo eğrse hserss eğrs der. Hserss eğrs malzemeler söüm özellkler celemes ve aalk olarak modelleeblmese emel oluşurur. Uygulaa gerlme ve oluşa deformasyo harmok br yapıda olduğuda, söüm özellkler celemes ve modellemes çoğu zama frekas oramıda gerçekleşrlr. σ() ε() σ() ε() φ (a) (b) Şekl 3.3. Harmok dış kuvve alıda a) elask davraış, b) vskoelask davraış. τ γ Şekl 3.4. Elpk gerlme-deformasyo eğrs (hserss eğrs). 7

84 Gerlme le deformasyo arasıdak faz geckmes, gerlme-deformasyo lşks hareke hızıa bağlı olduğuu göserr. Her k davraış harmok yapıda olduğuda makaslama gerlmes ve makaslama deformasyou: τ ( ) = τ 0 s( w) (3.3) ve γ ( ) = γ 0 s( w φ) (3.3) şeklde verleblr. (3.3) le verle gerlme fades ç, τ ( ) = τ s( w) = τ s 0 [( w φ) + φ] = τ s( w φ)cosφ + τ cos( w φ)sφ 0 0 τ 0 τ 0 dγ ( ) = cosφ γ ( ) + sφ γ γ w d yazılablr (Laza 968). Makaslama modülü: τ 0 G = cos( φ) (3.33) γ 0 ve söüm kasayısı (loss facor): η = a φ (3.34) le aımlaırsa, makaslama gerlmes ç, Gη dγ ( ) τ ( ) = Gγ + (3.35) w d 7

85 fades elde edlr. (3.35) fadese bezer br fade ormal gerlme ve ormal deformasyo arasıda da yazılablr. (3.35) fadesde zamala deformasyodak değşm oraıı gösere kc erm malzemedek söüm veya eerj kaybıı emsl eder. Vskoelask davraış gösere br malzeme ç (3.35) fades, gerlme deformasyo lşks göserr. Dış kuvve harmok olmadığı daha karmaşık durumlarda bu fade yeersz kalır (Joes 00). Bu edele (3.35) fades kompleks sayılar (complex umbers) kullaılarak daha geel br yapıda verlr. Bu durumda makaslama deformasyou üsel foksyoa bağlı olarak, w γ ( ) = γ 0 e (3.36) şeklde yazılablr. Zamaa bağlı deformasyo oraı se dγ ( ) = w d (3.37) olarak buluablr. (3.36) ve (3.37) fadeler, (3.35) bağıısıda kullaılırsa makaslama gerlmes ve makaslama deformasyou arasıda, Gη w τ = G γ + wγ = G( + η ) γ (3.38) w w lşks yazılablr. (3.38) fadesde, w frekasıı üm zamaıda pozf değerler alıırsa, τ = G ( + η) γ (3.39) elde edlr. (3.39) le verle fadeye kompleks modül adı verlr. Bu fadede makaslama modülü G (bezer şeklde elasse modülü, E) ve söüm kasayısı, η büyüklükler frekası foksyoudur. G ve η büyüklükler frekas le değşm mekak modeller yardımıyla maemaksel olarak modelleeblr olmasıa karşı, elde edle fadeler so derece karmaşık br yapıdadır. 73

86 3..3. Raylegh ve Coughey söüm yaklaşımları Vskoz söümü uygulamasıda kullaıla br dğer yaklaşım, Raylegh ve Coughey söüm yaklaşımlarıdır. Coughey söüm yaklaşımı Raylegh yaklaşımı geel haldr. Uygulamada sıkça kullaıla Raylegh söüm yaklaşımı, gerçeke fzksel alamı olmaya br yaklaşımdır (Cook 995). Faka özellkle reşm ssemler fade ede doğrusal dferasyel deklemlere ye doğrusal br erm olarak kaılmasıda ve sayısal olarak kolay hesaplamasıda dolayı erch edlmekedr. Bu yaklaşımda söüm: C = α m + β k (3.40) şeklde verlmekedr. Burada m, Şekl 3.5 de göserle mekak reşm ssem ç küle, k sıkılık değerlerdr. Çok serbeslk derecel reşm ssemler ç bular brer dzey yapısıdadır. (3.40) bağıısıda verle α ve β kasayıları reşm ssemde lglele frekas aralığı ve söüm oraıa bağlı olarak belrlee sablerdr. Söüm oraı, ζ ve frekas değer, w α β w ζ = + (3.4) w fadesde elde edlr. Frekas ve söüm oraı kullaıcı arafıda belrler. (3.4) bağıısı le verle söüm fades lk erm, reşm ssem küles le doğru oraılı söüm uygular. Bu erm reşm ssem düşük frekaslı kpler hızlı br şeklde söümledrr. Bezer şeklde kc erm, ssem sıkılık değer le oraılı söüm uygular. Bu erm se reşm ssem yüksek frekaslı kpler hızlı br şeklde söümledrr. Bu durumları frekasa bağlı değşmler Şekl 3.5a ve Şekl 3.5b de göserlmşr. Treşm ssem sıkılık değer le oraılı söüm ola c fades fzksel alamı, yapıdak deformasyoa bağlı olarak eerjdek kaybı modellemesdr. Buula brlke, ssem küle dzey le oraılı söüm ola c 74

87 fadese br fzksel alam verlememekedr. Bu söüm ermler her ks de deeysel verler le uyumlu değldr (Chopra 995). ζ c = α m α ζ = w ζ c = β k β w ζ = (a) w (b) w Şekl-3.5. a) küle ve b) sıkılık dzeyler frekasa bağlı değşm. Homoje elask br yapıı br çok salıım kp brbre yakı söüm oraları verr. Homoje olmaya yapıları farklı söüm değerler bulumakadır. Uygulamada yapıı söümü, küle ve sıkılık dzeyler doğrusal bleşmde oluşurulur. Bu yaklaşım lk defa Wlso (968) arafıda kullaılmışır. (3.40) le verle C söüm dzey doğal frekaslara bağlı değşm Şekl 3.6 da göserlmşr. ζ ζ = a o a w + w ζ w w w Şekl 3.6. Söüm oraıı (ζ) doğal reşm frekası le değşm. 75

88 (3.4) fadesde verle α ve β kasayılarıı hesaplaması ç uygulaıla yol, başlagıç aıda reşm sele frekas aralığıda (w ve w ) kalmasıı sağlayacak şeklde, dğer br fadeyle, sabler lglele frekas aralığıda e küçük söüm değerler verecek şeklde seçlmesdr. Bu şlem, başlagıç aıda reşm hareke emel frekas değer kullaılması şekldedr (Idrss vd 973, Idrss vd 99). Bazı çalışmalarda se emel frekas yaıda kc br frekas değer kullaılmakadır (Hudso vd 994). α ve β kasayıları frekası br foksyou olarak ele alımakadır. Buula brlke araşırmalar, zemlerde söümü frekasa bağlı olmadığıı gösermekedr (Idrss vd 97, Chopra 995, Bahe 996, Hudso vd 994). Ayrıca, (3.4) bağıısı le verle söüm fadesde m küle dzey frekasa bağlı br söüm yapmadığı ve fzksel br alamıı olmadığı, k sıkılık dzey se reşm üzerde hızlı br söüm uyguladığı görülür (Chopra 995). Ele alıa yapı brbrde farklı söüm özellklerdek brmlerde oluşuğuda (öreğ, kaya-zem gb brbrde çok farklı k söüm özellğdek oram) Raylegh söüm fades uygu br söüm davraışı gösermez. Raylegh söüm fades homoje ve yapı elemalarıa a fzksel özellkler brbre yakı olduğu durumlar ç daha uygudur (Chopra 995). Ayrıca, Raylegh yaklaşımıı da sıfır frekasıda sosuz söümlü olması fzksel olarak doğru değldr. Raylegh söüm yaklaşımı çok serbeslk derecel reşm ssemlere uyguladığı gb (3.49) bağıısı le verle hareke deklem çözümüde de kullaılır. Br dğer söüm yaklaşımı Caughey söüm yaklaşımıdır. Gerçeke Raylegh söüm yaklaşımı Caughey yaklaşımıı özel haldr. Caughey söüm yaklaşımıda söüm fades: C = M N = 0 a [ ] M k (3.4) le verlr. Burada N, ssem serbeslk dereces ve a sab kasayıdır. (3.4) fades br serdr. Bu ser lk k erm (3.4) le verle Raylegh söüm fadese eşr. Raylegh söüm yaklaşımıda olduğu gb söüm oraı (ζ), 76

89 N ζ = a w (3.43) = 0 le verlr. Caughey söüm yaklaşımıı uygulaması Raylegh söüm yaklaşımıa bezer şekldedr. Bu yöem dezavaajlarıda brcs, (3.43) fadesde yer ala a kasayıları elde edlmesde cebrsel deklemler köü-durumlu (ll-codoed) olmasıdır. (3.43) fadesde kde fazla erm söüme kaıldığıda, C söüm dzey am-aımlı dzeye (full-marx) döüşür. Buula brlke, çok serbeslk derecel reşm ssemlerde k sıkılık dzey bad yapısıda ve m küle dzey yığı küle (lumped-mass) yaklaşımı kullaıldığıda köşege (dyagoal) dzey yapısıdadır Kesrsel merebe ürev yaklaşımı Vskoelask davraış gösere malzemelerde söüm mekazmasıı, klask modeller le aımlamasıyla elde edle söüm değerler, laborauar deeylerde ölçülelerde büyük olduğu görülmüşür (Koeller 984, Agrawal 998, Gaul 999, Schmd vd 00, Trks vd 00). Uzu zama veya frekas aralığı gerekre durumlarda, klask modeller vskoelask davraışı am emsl edememekedr (Padova 987, Schmd vd 00). Mekak modellerde yer ala elema sayısı aıkça söüm fadeler çok sayıda değşke grş parameres olarak verlmes gerekrr (Laza 968, Joes 00). Bu kısılamaları üsesde gelmek ve malzemelerdek vskoelask davraışı daha y modelleeblmes amacıyla (3.) le verle geel ürev operaörü (amsayı merebel ürev) yere, Rose (975), gerçel merebel ürev operaörüü üsülüğüü gösermşr. Gerçel merebel ürev operaörlere egrodferasyel operaör der (Capuo 976, Bagley vd 983a, 986). Gerçel merebel ürev operaörüü üsülüklere rağme, sayısal çözümlemelerde kullaılması, karmaşık şlemler yapılmasıı gerekrmekedr (Schmd vd 00, Padova 987). 77

90 Deprem kuvve gb damk br dış kuvve karşısıda zem davraışıı celemesde söüm mekazması klask mekak modeller yere gerçel merebel ürev (fracoal dervave) operaörü kullaılarak vskoelask davraış daha y göserleblr. Br foksyou amsayı merebel ürev operaörü, foksyou yerel davraışıa bağlı ke gerçel merebel ürev operaörü foksyou geçmş değerlere de bağlıdır. Foksyou geçmş değerler foksyou davraışıa ağırlık kasayıları olarak grer. Ağırlık kasayılarıı her bre bellek eks (memory effec) der (Koeller 984, Padova 987). Gerçel merebel ürev şlemde ürev operaörü, foksyo geçmş değerler çermesde dolayı global operaör özellğ göserr. Çözümsel foksyoları gerçel merebel ürevler hesaplamasıda brbrleryle lşkl üç farklı yaklaşım kullaılır. Bu yaklaşımlarda lk, Grüwald-Lekov yaklaşımıdır. Bu yaklaşım ger-farklar yöem kullaılarak amsayı merebel ürev şlem geelleşrlmş haldr (Oldham vd 974, Padova 987, Podluby 999, Schmd vd 00). Grüwald-Lekov aımıa göre, zamaa bağlı br f() foksyouu brc merebe ürev, ger-farklar yaklaşımı kullaılarak, d f ( ) d = lm 0 ( ) [ f ( ) f ( ] (3.44) şeklde verleblr. İkc merebe ürev ç d f ( ) = lm d 0 ( ) [ f ( ) f ( ) + f ( ) ] (3.45) ve bezer şeklde üçücü merebe ürev ç d 3 f ( ) d 3 = lm 0 ( ) 3 [ f ( ) 3 f ( ) + 3 f ( ) f ( 3 ) ] (3.46) yazılablr. Br f() foksyouu. merebe ürev ç geel fade: 78

91 = = f d f d 0 0 ) ( ) ( ) ( lm ) ( (3.47) şeklde verlr (Padova 987, Schmd vd 00). (3.47) fadesde yer ala bom kasayıları, ) ( > = ve 0 ; 0 0 ; )!!(! (3.48) dr. örekleme aralığı yere N = yazılırsa, (3.47) fades ç = = 0 ) ( ) ( lm ) ( N N N f N d f d (3.49) yazılablr. Burada, oplam zamaı ve N örek sayısıı göserr. (3.49) fadesde oplam fades al ve üs sıırlarıa ermal der (Padova 987, Orquera 000, Schmd vd 00). Üs sıır (N) keyf seçlrke, al sıır ürev şlem ç sıfıra eşr. (3.49) deklem amsayı merebel ürevler ç aımlamışır. Türev merebes gerçel sayılara geşlemek ç (3.48) le verle bom açılımı: = > = 0 ; 0 ; ) )...( )( ( j j j j a a a a j a (3.50) şeklde gerçel sayılar ç geelleşrlr (Padova 987, Schmd vd 00). Burada, a reel ve j amsayıdır. (3.47) fadesde yer ala erm ç (3.50) fades kullaılırsa, ) ( 79

92 = + + = a a a a a a a! ) )( )...( )( ( ) ( ) ( (3.5) elde edlr. Gamma foksyou özellğ: )! ( ) ( ) ( ) ( = Γ = Γ (3.5) kullaılarak, (3.5) fades Gamma foksyoua bağlı olarak, ) ( ) ( ) ( ) ( + Γ Γ Γ = = a a a a (3.53) verlr. (3.53) fadese Grüwald kasayıları der. Grüwald kasayıları: A a a a a a a A = Γ Γ Γ = + Γ Γ Γ = + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (3.54) yeleme (recurrece) bağıısıyla hesaplaır. (3.54) soucu (3.49) deklemde yazılırsa gerçel merebel ürev ç Grüwald-Lekov (867) aımı: + Γ Γ Γ = = = 0 ) ( ) ( ) ( ) ( lm ) ( N a N a a a N f a a N d f d f D (3.55) şeklde verlr. (3.55) fades, amsayı ve gerçel merebe ürev veya egraller ç geçerl olur (Padova 987, Schmd vd 00). Bu fadede, egral Rema aımıa göre al sıırı sıfır kabul edlr. Bu durumda ürev merebes (-,- ) aralığıda değşr. Türev merebes gerçel olduğuda (3.54) le verle Grüwald kasayıları sıfırda farklı değer alır (Schmd vd 00). Türev merebes (a) amsayı olması halde sadece (a+) sayıda kasayı sıfırda farklı olur ve yerel operaör özellğ göserr. Hem gerçel merebel ürev hem de a (a: gerçel sayı) kalı egral fades ç geel br Grüwald- Lekov aımı: 80

93 = + + Γ + + Γ = m k a m m k k a d f k k a a f f D 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( τ τ τ α α α α α şeklde verlr (Podluby 999). Burada, f k (), (k=,,,m+) ürevler [a,] kapalı aralığıda sürekl olmalıdır ve m amsayısı m>α- eşszlğ sağlamalıdır. Bu eşszlğ sağlayacak e küçük m değer, m< α<m+ eşszlğde belrler (Podluby 999). (3.54) fadesyle verle Grüwald kasayılarıı ürev merebese bağlı değşm Çzelge 3.3 ve Şekl 3.7 de göserlmşr. İkc yaklaşım, Rema- Louvlle aımıdır. Bu yaklaşımda Cauchy egral fades: [ ] = = a a a a d f d f d a d f d τ τ τ ) ( )! ( ) (... ) ( ) ( 0 0 başlagıç okası olarak kullaılır (Oldham vd 974, Ford vd 00, Blak 996, Dehelm 997, Dehelm vd 000, Ruge vd 999). Şekl 3.7. Grüwald kasayılarıı değşm. Rema-Louvlle yaklaşımıa göre gerçel merebe ürev fades, Gamma foksyou ve özellkler kullaılarak: 8

94 a D α f ( ) = d d m+ m α ( τ ) f ( τ ) dτ, ( m α m + ) a le verlr. Geel Grüwald-Lekov aımı, Rema-Louvlle aımıı özel br haldr (Podluby 999). Grüwald-Lekov aımıa kısm egrasyo uygulaması ve ürevler alımasıyla elde edleblr. Gerçel merebel ürev ve egraller hesaplamasıda kullaıla üçücü yaklaşım Capuo fadesdr (Capuo 967). Capuo (967) Rema aımıı başlagıç ve sıır koşulları üzerdek kısılamaları gdermek ç gerçel merebe ürev ve egral: a α = f ( τ ) D f ( ) dτ, ( < α < ) α Γ ( α ) ( τ ) a le aımlamışır. Capuo aımı, verle dğer k aıma karşı daha geel br fade sumaka ve ele alıa foksyo üzerdek kısılamaları kaldırmakadır (Podluby 999). Gerçel merebe ürev ve egraller hesaplaması ç verle üç yaklaşımda farklı aımlarda olmasıa karşı bezer souçlar vermekedr (Oldham vd 974, Podluby 999, Schmd vd 00). Bu çalışmada, söüm mekazmasıı gerçel merebel ürev operaörü kullaılarak modellemes şlemde hesaplamalardak kolaylığıda dolayı (3.55) bağıısı le verle Grüwald-Lekov yaklaşımı kullaılmışır. Klask mekak modellerde söüm elemaı (dashpo) yere sprg-po adı verle elemalar kullaılarak gerçel merebel modeller elde edlr (Koeller 984). Sprg-po elemaı Şekl 3.8 de göserlmşr. η, v Şekl 3.8. Sprg-po söüm elemaı. 8

95 Sprg-po elemaı klask mekak modellerde söüm elemaı yere kullaarak ye mekak modeller elde edleblr. Bu çalışmada, Sprg-po elemaı Kelv-Vog p modelde kullaılarak gerçel merebel Kelv-Vog model elde edlmşr. Sprg-po elemaı kullaa Kelv-Vog model Şekl 3.9 da göserlmşr. η,v E Şekl 3.9. Sprg-po söüm elemaı kullaa Kelv-Vog model. (3.30) le verle Kelv-Vog modele a gerlme-deformasyo fadese bezer şeklde Sprg-po kullaa Kelv-Vog modelde, gerlme-deformasyo fades elde edlr: σ = E ε + ηd v ε. (3.57) Gerçel merebel ürev kullaa Kelv-Vog modelde oluşa gerlme, deformasyou geçmşe bağlı olması ede le klask mekak modellere göre malzemede vskoelask davraışı bemleye süme ve gevşeme davraışlarıı daha y gösereblmekedr. İkc bölümde, saal yerdeğşrmeler lkese göre (.45) le verle damk dege deklemde gerlme değşke ç (3.57) le verle gerlmedeformasyo bağıısı kullaılmışır. Br al bölümde alaıla hareke deklem solu elema yöemyle çözümüde (.45) ve (3.57) fadeler kullaılarak, hareke deklem solu elema yapısı elde edlmşr. 83

96 3.. Solu Elema Yöem (Sey) le Modelleme İşlem Mekak problemler br çoğu sıır-değer (boudary value) problemlerdr. Bu ür problemler çözüleblmes ç çözüm foksyolarıı emel k koşulu sağlaması gerekr. Bu koşullar; ala koşulu (feld codo) ve maemaksel model koşuludur. Ala değşke, öreğ yerdeğşrme, deformasyo, gerlme veya bu değşkelerde üreye büyüklükler maemaksel olarak fade edleblmeldr. Fzksel problemler maemaksel modellemesde geellkle mekak kuralları vekörel olarak ele alımasıyla dferasyel deklemler elde edlr. Elde edle dferasyel deklemler bu açıda model dege ve uyumluluk koşullarıı da sağlamalıdır. Bu ür problemler solu elema yöem le çözümüde lk adım, fzksel ssem mümkü olduğu kadar aımlayablecek br maemaksel model gelşrlmesyle başlar. Maemaksel model gelşrlmesde karmaşık problemler çözüleblmes ç belrl varsayımlar yapılır. Gelşrle maemaksel fade fzksel ssem davraışıı emsl eder. Geellkle maemaksel fade br dferasyel deklem ve sıır koşullarıda oluşur. Çoğu zama verle dferasyel deklem aalk çözümü elde edlemez. Bu dferasyel deklemler çözümü ç br çok sayısal çözüm yöem gelşrlmşr. Yaklaşık çözüm yöemlerde br ola solu elema yöem (fe eleme mehod), dğer çözüm yöemler çersde blgsayarda kolay programlaablmes ve karmaşık problemlere kolaylıkla uyarlaablmes yöüde güümüzde erch edle br yöemdr. Solu elema yöemyle problem çözümü emel alı şlem adımıda oluşur. Bu adımlar sırasıyla aşağıdak gbdr: - Problem aımlaya dferasyel deklem egral yapısıda göserlr. Bu döüşüm le problem sıır ve başlagıç koşulları açık olarak belrlemş olur. Döüşürme şlem le elde edle egral yapısıdak gösermlere zayıf formülasyo (weak formulao) der. Bu döüşüm şlem ç ağırlıklı rezdüel yöem, varyasyo yöem veya eerj yöemlerde yararlaılır. Bu 84

97 çalışmada, (3.49) le verle hareke deklem egral yapısı, kc bölümde eerj yöemler çersde yer ala ve saal yerdeğşrmeler lkesde verle (.45) deklem kullaılmışır. - Problem aım alaı (çözüm bölges) solu sayıda elema adı verle küçük geomerk parçalara ayrılır. Çözüm bölges solu elemalara ayrılması, sosuz serbeslk derecesdek çözüm bölges belrl (solu) sayıda serbeslk derecesdek br bölge le yerdeğşrmes şlemdr. Seçlecek elema problem fzksel özellğe ve davraışıa uygu olmalıdır. Oramı geomerk şekl ve bağımsız koorda sayısı elema seçmde ekl olur. Oram geomers, malzeme özellkler ve dğer değşkeler (yerdeğşrme, gerlme ve deformasyo gb) k doğruluda değşm göserdğde, bu çalışmada doğrusal dörge (quadrlaeral) geomerk elemaı kullaılmışır. Taım alaıda bu elemalar brbre düğüm okaları (odes) le bağlıdır. Solu elema ağıda yer ala düğüm okaları ve elemalar ayrı ayrı umaraladırılır. Her br elema ek ek ele alıdığıda, elema umaralarıa yerel umaralar, çözüm bölges ele alıdığıda düğüm umaralarıa global umaralar der. 3- Blmeye ala değer (x ve y doğrulusudak yerdeğşrme) her elema üzerde aımlaa br yaklaşım foksyou (geel olarak polom ve adre rgoomerk foksyolar) le emsl edlr. Bu çalışmada elema çersdek yerdeğşrmeler aımlamak ç kc merebede polom kullaılmışır. Ala değşke elema çersdek değer, aımlaa yaklaşım foksyou kullaılarak elemaı düğüm okalarıdak değerlere bağlı olarak aımlaır. 4- Düğüm okalarıa bağlı olarak aımlaa ala değşke brc adımda aımlaa egral fadesde kullaılarak her br elemaa a doğrusal deklem akımları elde edlr. Doğrusal deklem akımları brleşrlerek elema dzey deklemler elde edlr. 5- Dördücü adımda oluşurula elema dzey deklemler uygu br yöem le brleşrlerek solu elema ağı ç geel dzey deklemler elde edlr. Geel dzey deklemlere ö-aımlı sıır koşulları uygulaır. 85

98 6- So adımda, problem sak veya damk olmasıa göre çözüm farklılık göserr. Sak br problem ç doğrusal br deklem ssem uygu br yöem le çözülmesyle so bulur. Damk br problem ç zama bağımsız değşke olduğuda sak durumdak çözüm şlem her br ç yeler. Her br yeleme şlemde model dzeyler güceller., zama arımı 3... Çözüm bölges solu elemalara ayrılması Çözüm bölges solu elemalara ayrılması, solu elemalar yöem lk adımıı oluşurur. Sürekl ve sosuz serbeslk derecesdek oram, belrl sayıda ve brbrlere düğüm okalarıyla bağlamış, solu sayıda serbeslk derecel ayrık orama bölüür. Çözüm bölges solu elemalara ayrıklaşırılmasıda kullaıla geomerk elemaları şekl, boyuu ve sayısı öemldr. Elema boyuu gereğde büyük seçlmes duyarlılığı azalır, küçük seçlmes se şlem sayısıı armasıa ede olur. Bu çalışmada çözüm bölges k boyua celemşr. İcelemeye kou ola ürde yer model Şekl 3.0a ve k boyulu solu elema ağı Şekl 3.0b de göserlmşr. Çözüm bölges ayrıklaşırılmasıda kullaıla geomerk dörge elema Şekl 3. de göserlmşr. Dörge elema her düğüm okasıda k serbeslk derecesdedr. Bular, elemada oluşa yaay ve düşey yerdeğşrmelerdr. Dörge elemaı oplam serbeslk dereces sekzdr (u, v,..., u 4, v 4 ). Elema seçmde dkka edlmes gereke br dğer oka, elemaı düğüm sayısı ve ala değşke ç aımlaa yaklaşım foksyouu kasayı aded brbre eş olmalarıdır. Solu elema yöemde elema sıkılık dzey smerk ve bad yapısıdadır. Dzey bad geşlğ düğüm umaralarıı sıralaışıa göre değşr. E küçük bad geşlğ seçlmes, yapıı uzuluğuu e kısa ola yöde umaraladırılmayla elde edlr. Elema dzeyler hesaplamasıda değerler egaf olmasıı ölemek amacıyla her br elemaa a yerel düğümler saa yelkovaı ers yöüde umaraladırılmasıyla sağlaır. 86

99 y x z (a) (b) Şekl 3.0. a) Yer model, b) İk boyua solu elema ağı. v 4 u 4 v 3 v u 3 u v Şekl 3.. Dörge elemaı düğüm okalarıdak yerdeğşrme bleşeler. u Bu durum Şekl 3. de göserlmşr. Şekl 3. de dare çersde verle rakamlar elemaı global düğüm umaralarıı, dörge çersde verle rakamlar se elemaı yerel umaralarıı gösermekedr Şekl 3.. Elemaı global ve yerel düğüm umaraları. 6 87

100 Bad yapısıda elde edle sıkılık dzey bad uzuluğu, B = f ( h +) (3.58) fadesyle verlr. Burada, f elemaı düğüm serbeslk dereces, h ağ üzerde yer ala herhag br elemada e büyük ve e küçük global düğüm umaraları farkıı e büyüğüdür Yaklaşım (yerdeğşrme) foksyoları Solu elema yöem emel amacı, karmaşık yapıdak problemler bas solu elemalara ayırmak ve geel çözüme bu solu elemalarda harekele ulaşmakır. Bu edele elema üzerde ala değşm emsl edeblecek br yaklaşım foksyou aımlaır. Seçle foksyo elema üzerde ala değşke (yerdeğşrme) davraışıı emsl edeblmeldr. Solu elema yöemde aımlaacak yaklaşım foksyou emel k koşulu sağlamalıdır. Brcs yakısama koşulu dur. Yakısama koşulua göre, a) Elema üzerde yerdeğşrme foksyou sürekl olmalıdır. Ayı zamada yerdeğşrme foksyou, elemaı kaı hareke de emsl edeblmeldr. Bu durum şu şeklde açıklaablr: Elema düğümler ayı orada hareke erldğ zama elemada deformasyo meydaa germemeldr. Bu kaı hareke yerdeğşrme foksyouda sab erm buludurulmasıyla sağlaır. İkc koşula se uyumluluk koşulu der. Bu koşula göre: b) Elema üzerde yerdeğşrme foksyou sab deformasyou emsl edeblmeldr. Buu ç yerdeğşrme foksyou doğrusal ermlerde oluşmalıdır. 88

101 Uyumluluk koşuluda, yerdeğşrmeler bşk elema düğümlerde brbre uyumlu olmalıdır. Elemada deformasyo meydaa geldğde bşk düğümlerdek elemalar arasıda sürekszlkler bulumamalıdır. Ya elemalar arasıda üs üse bme (overlappg) veya ayrılma (separag) olmamalıdır. Yakısama ve uyumluluk koşullarıı sağlaya elemalara uyumlu elema (compable eleme) der. Yakısama, uyumluluk ve sürekllk koşullarıı sağlamaları, ürev ve egral şlemler kolay hesaplaablmelerda dolayı, yaklaşım foksyoları ç geelde polomlar seçlr. Bu çalışmada dörge elema çersde yerdeğşrmey aımlamak üzere yaklaşım foksyou: [ ][ ] T xy y x xy y x U α α α α α 3 0 = = (3.59) çokge le aımlamışır. Treşm model k boyua celedğde, U=(u, v) le elemaı herhag br düğüm okasıdak yaay (u) ve düşey (v) yerdeğşrmeler göserr. Seçle dörge elemaı dör düğüm okası olduğuda aımlaa yaklaşım foksyou da eş sayıda α kasayısı çerr. (3.59) le verle yaklaşım foksyoudak α kasayılarıa geel koordalar der. Yaklaşım foksyouda yer ala α geel koordaları, elemaı düğüm okalarıdak değerlere bağlı aımlaır. Buu ç Şekl 3. de verle dörge elema göz öüe alıarak, düğüm okalarıdak yer- değşrme değerler dzey yapısıda: T A y x y x y x y x y x y x y x y x v u v u U α α α α α = = = (3.60) 89

102 le verlr. Burada, x ve y değerler elema düğüm okalarıı global koorda değerlerdr. (3.60) fades her k arafı A - le çarpılır ve α T vekörü ç (3.59) fadesde yere yazılırsa, elema üzerdek yerdeğşrme yaay bleşe ç, U = aa U = N U (3.6) ve bezer şeklde düşey bleşe ç, v = aa V = N V (3.6) yazılarak, yerdeğşrme bleşeler, düğüm okalarıdak değerlere bağlı olarak elde edlr Şekl foksyoları (3.6) ve (3.6) bağıılarıda yer ala, N [ N N N N ] = a A 3 4 (3.63) fadesdek N foksyolarıa şekl foksyou veya erpolasyo foksyou der. Şekl foksyoları global koorda ssemlere bağlı olarak verldğde, karmaşık geomerl problemlerde hesaplama şlemler zorlaşır. Bu edele, global koordalar yere elema üzerde yerel koorda ssem aımlamışır. Şekl foksyolarıı yerel koorda ssemlere bağlı fadeler daha kısa ve hesaplamalar daha kolaydır. Şekl 3.3a da verle global koorda ssem ve bu elemaa karşı gele yerel koorda ssem Şekl 3.3b de göserlmşr. Burada, (r,s) koorda değşkeler (-,) aralığıda değşr. (3.63) fadesyle verle şekl foksyolarıı lokal koordalara bağlı olarak elde edlmesde Lagrage veya Hermye erpolasyo polomlarıda yararlaılır. Düğüm okalarıda ala değşke değer yeerl olduğu şekl foksyolarıa Lagrage ürü foksyo der. Düğüm 90

103 okalarıda hem ala değşke değere hem de brc üreve gerek duyula şekl foksyolarıa se Hermye p foksyo der (Rao 989). (x,y ) (-,) s (x,y ) (a) (4x 4,y 4 ) 4 3 (3x 3,y 3 ) (-,-) (0,0) (b) 4(,) 4 3 3(,-) r Şekl 3.3. Koorda ssemler, a) global, b) yerel. Şekl foksyolarıı Lagrage polomları yardımıyla elde edlmesde varsayıla foksyou elema üzerdek her br düğüm okasıda yerdeğşrme le ayı değer alacak yapıda seçlr. Hermye ürü yaklaşımda se foksyoları eğmler elema düğüm okalarıda yerdeğşrme le ayı değer alacak yapıda seçlr. Bu çalışmada şekl foksyoları Lagrage erpolasyo polomları kullaılarak elde edlmşr. Lagrage erpolasyo polomları kullaılarak yerel koordalara (r,s) bağlı şekl foksyoları: ( r r ) j ; = j N ( r) = = (3.64) j ( r r ) 0 ; j j bağıısıda elde edlr (Zekewcz vd 983, Hughes 987, Rao 989, Cook 995, Owe vd 980, Krshomoorhy 996, Bahe 996, Lu 998). Br boyulu durum ç verle (3.64) fades k boyua, N ( r, s) = N ( r) N ( s) (3.65) 9

104 şeklde elde edlr. Dör düğüm okalı dörge elema ç şekl foksyoları, (3.64) ve (3.65) bağııları kullaılarak: N = ( r)( + s) (3.66a) 4 N = ( r) ( s) (3.66b) 4 N = ( + r)( s) (3.66c) 3 4 N = ( + r)( + s) (3.66d) 4 4 elde edlr (Kwo vd 997, Lu 998). Burada N,. düğüme a şekl foksyoudur. Herhag br düğüm üzerde, lgl düğüm le lşkl şekl foksyou brm değerdedr. Dğer düğümlerde se sıfır değer alır. Br elema üzerde şekl foksyolarıı oplamı brm değere eşr. Bu özellk (3.66) le verle fadeler elema düğüm okaları ç yazılıp oplamasıyla sağlaablr. Elema üzerde herhag br okaı global koorda değerler şekl foksyolarıda yararlaarak: x = = N x (3.67) y = = N y (3.68) bağııları le verlr. Burada, elemadak oplam düğüm sayısıı göserr. Dörge elemada şekl foksyolarıı elema üzerdek değşm, lk k düğüm ç Şekl 3.4 de göserlmşr. 9

105 (b) (a) Şekl 3.4. Dörge elemada şekl foksyolarıı elema üzerdek değşm a) brc düğüm, b) kc düğüm. (3.67) ve (3.68) bağıılarıa bezer şeklde, elema üzerdek yaay ve düşey yer- değşrmeler şekl foksyolarıa bağlı olarak, = = U N U (3.69) = = V N V (3.70) le verlr. Dörge br elema ç yerdeğşrmeler dzey yapısıda: T v u v u v u v u N N N N N N N N v u U = = (3.7) verlr. Ayı şekl foksyolarıı hem koorda döüşümlerde hem de yer değşrmelerde kullaıldığı elemalara soparamerk elemalar der. 93

106 3..4. Koorda döüşümler Solu elema ağ düzelemesde geel olarak, elema düğüm koordaları global (karezye) koordalara bağlı olarak verlr. (3.7) le verle şekl foksyoları yerel koorda sseme (r,s) bağlı olarak aımlamışır. Bu edele global koordalarda verlmş düğüm koorda değerler yerel koordalara döüşürülmes gerekr. Koorda döüşümüü elde edlmesde (3.67) ve (3.68) fadelerde (r,s) yerel koorda değşkelere göre her k arafı ürev alıarak elde edlr. = = = = = y x y s N x s N y r N x r N s r (3.7) = = = = = y s N x s N y r N x r N J (3.73) Burada, dzeye Jacoba dzey der. (3.7) fades her k arafı le çarpılırsa global-yerel koorda döüşümü ç J = s r J y x (3.74) bağıısı elde edlr. 94

107 3..5. Hareke deklem solu elema yapısı Düzlem deformasyo durumuda solu elemada gelşe deformasyo, kc bölümde verle (.5), gerlme (.6) ve gerlme-deformasyo lşks (.0) bağıısıyla aımlamışır. (.5) le verle deformasyo bleşeler elema yerdeğşrmelere bağlı olarak, DU v u x y y x xy y x = = 0 0 γ ε ε (3.75) yazılarak ve U yer değşrmes ç (3.7) fades yazılırsa, BU DNU xy y x = = γ ε ε (3.76) elde edlr. (3.76) fadesde yer ala, = x N x N x N x N x N x N x N y N y N y N y N y N x N x N x N x N B (3.77) dzeye deformasyo-yerdeğşrme veya kemak dzey der (Zekewcz vd 99). (3.76) fadesyle elemada gelşe deformasyo, elemaı düğümlerdek yer değşrme değerlere bağlı olarak verlr. 95

108 Gerçel merebel ürev yaklaşımı kullaılarak elde edle Kelv-Vog ürü modelde, gerlme deformasyo lşks (3.57) deklemyle verlmşr. Kelv-Vog ürü modelde gerlme elde edlmes ç (3.76) deformasyo bağıısı (3.57) deklemde yazılırsa, α σ = EBU +ηbd U (3.78) elde edlr. Burada, D ürev operaörüü, α ürev merebes ve E düzlem deformasyo ç (.9) le verle yapısal dzey göserr. Saal yerdeğşrmeler lkese göre (.45) le verle dege deklemde (3.6) le verle yerdeğşrme foksyou, (3.76) le verle deformasyo bağıısı ve (3.78) le verle gerlme deklem yazılarak düzelerse, K U && α + CD U + MU = f (3.79) hareke deklem elde edlr. Burada f dış kuvveler göserr. (3.79) le verle hareke deklemdek kasayılar çok serbeslk derecel br reşm ssem ç dzey yapısıdadır. Global ve yerel koordalara bağlı olarak sıkılık dzey: T = B EBds = T K B EB J dr ds (3.80) S r S söüm kasayı dzey: C T = B Bds = S T η B ηb J dr ds (3.8) r S ve küle dzey: M T = N N ds = S T ρ N ρ N J dr ds (3.8) r S 96

109 dr. (3.79) hareke deklem vskoz söüm durumu göz öüe alıarak elde edle (3.49) soucuda farkı, elemada gelşe yerdeğşrmeler geçmş değerlere bağlı olmasıdır. (3.80) ve (3.8) le verle elema sıkılık dzey ve söüm kasayı dzey smerk ve bad yapısıda dzeylerdr. Bu dzeyler her bre elema karakersk dzey der. Elema sıkılık ve karakersk dzeyler yerel koordalara bağlı olarak hesaplamasıda ala hesaplama şlem Gauss ala hesaplama yöem (Gauss quadraure) kullaılmışır. Bu yöeme lşk ayrıı Zekewcz vd (983) ve Bahe de (996) buluablr Geel dzey deklem elde edlmes Elema dzeyler hesaplamasıda sora modele a geel dzeyler, elema dzeyler brleşrlmesyle oluşurulur. Elema dzeyler brleşrlmes şlem, probleme ve kullaıla elema ürüe bakılmaksızı ayı şeklde yapılır. Elema dzeyler brleşrlmes, elema düğüm okalarıdak uyumluluk koşulua bağlı olarak gerçekleşrlr. Buu alamı, herhag br global düğüm okasıı kullaa elemaları bu düğüm okasıdak yerdeğşrme değerler ayı olmasıdır. Bu edele orak düğümü kullaa elemaları bu düğüme a sıkılık değerler oplaarak orak düğüme a global sıkılık değer elde edlr. Bezer şlem modele a söüm kasayı dzey hesaplaması ç de geçerldr. Elema dzeyler smerklk özellkler kullaılmadığıda dzey brleşrme şlem, K = E e= K e (3.83) ve C = E e= C e (3.84) 97

110 şeklde cebrsel fadelerle elde edlr. Karakersk dzeyler fzksel alamları brbre bezerdr. Elema sıkılık dzey j. kolou, elemaı j. serbeslk derecesde brm yerdeğşrme oluşurmak ç elemaı dğer düğüm okalarıa uygulaması gereke kuvveler göserr. Bezer şeklde küle dzey j. kolou, elemaı j. serbeslk derecesde brm aale kuvve oluşurmak ç dğer düğüm okalarıda oluşurulması gereke eylemszlk kuvveler göserr. Bu çalışmada model dzeyler hesaplamasıda elema dzeyler smer özellğ kullaılarak modele a dzey hacmler e küçük yapılmasıa çalışılmışır. (3.8) le verle elema küle dzey brleşrlerek, model küle dzey elde edlmesde brbrde farklı k yaklaşım kullaılır (Rao 989). Bular, sürekl küle (cosse mass) ve yığı küle (lumped mass) yaklaşımlarıdır. Sürekl küle yaklaşımı kullaıldığıda model küle dzey, model sıkılık dzeyde olduğu gb smerk yapıda elde edlr. Bu şlem (3.8) egral fades sayısal hesaplamasıyla yapılır. Yığı küle yaklaşımı kullaıldığıda se köşege (dagoal) dzey yapısıda elde edlr. Bu yaklaşımda her br elema küles, elemaı düğümler arafıda paylaşırılır. Bu çalışmada, yığı küle yaklaşımı kullaılmışır. Elema sıkılık ve küle dzeyler brleşrlmesde smer ve bad özellkler göserlmes amacıyla üç elemada oluşa br solu elema ağı Şekl 3.5 de göserlmşr. Şekldek solu elema ağı üzerde kalı rakamlarla verle umaralar global düğüm umaralarıı, alk olarak belrle rakamlar her br elemaa a yerel düğüm umaralarıı ve al çzg le verle rakamlar elema umaralarıı gösermekedr m =ρ A m =ρ A m 3 =ρ 3 A Şekl 3.5. Üç elemada oluşa solu elema ağı. 98

111 Zem brmler dış kuvveler (deprem kuvve gb) alıda damk davraışıı belrlemesde ala değşke, bağıl yerdeğşrmelerdr. Sıır koşulları olarak modele a sıır düğümlerde (Şekl 3.5 ç:,, 4, 6, 7 ve 8 umaralı düğümler) dış kuvve uyguladığı varsayılır. Modelde gerlme ve deformasyoları oluşablmes ç modele a br sıır sab uulur. Burada 3 umaralı elemaa a 7. ve 8. umaralı düğümler sab uulmuşur. Brc elemaa a sıkılık ve küle dzeyler, alaıla yöemde harekele, Global düğüm umarası Global düğüm umarası k k k3 k4 k5 k6 k7 k8 k k k3 k4 k5 k6 k7 k 8 3 k3 k3 k33 k34 k35 k36 k37 k k4 k4 k43 k44 k45 k46 k47 k m 48 =, K M = 4 7 k 5 k5 k53 k54 k55 k56 k57 k k6 k6 k63 k64 k65 k66 k67 k k7 k7 k73 k74 k75 k76 k77 k k 8 k8 k83 k84 k85 k86 k87 k88 6 kc elema ç, Global düğüm umarası Global düğüm umarası K k k k3 k4 k5 k6 k7 k8 6 k k k3 k4 k5 k6 k7 k8 7 k 3 k3 k33 k34 k35 k36 k37 k38 8 k4 k4 k43 k44 k45 k46 k47 k48 = k 5 k5 k53 k54 k55 k56 k57 k58 k6 k6 k63 k64 k65 k66 k67 k68 9 k7 k7 k73 k74 k75 k76 k77 k78 0 k 8 k8 k83 k84 k85 k86 k87 k88, M = m ve üçücü elema ç, 99

112 Global düğüm umarası Global düğüm umarası K k k k3 k4 k5 k6 k7 k k k k3 k4 k5 k6 k7 k k 3 k3 k33 k34 k35 k36 k37 k k4 k4 k43 k44 k45 k46 k47 k48 = k 5 k5 k53 k54 k55 k56 k57 k k6 k6 k63 k64 k65 k66 k67 k k7 k7 k73 k74 k75 k76 k77 k k 8 k8 k83 k84 k85 k86 k87 k88, M = 3 m elde edlr. Şekl 3.5 de verle solu elema ağı ç (3.58) fadesde h=(4-)=3, f=, bad geşlğ, b=8 ve model serbeslk dereces f=0 dur. Şekl 3.5 de verle model ağıa a global dzey hesaplamasıda bad geşlğ dkkae alımaz se, model sıkılık dzey (0 0) boyuuda, bad geşlğ kullaılırsa dzey boyuu (0 8) e drgemş olur. 3 blk br şlem ssem göz öüe alıdığıda bad özellğ kullaılmaması halde, sıkılık dzey ç belleke 800 Bye yer ayrılması gerekrke bad özellğ kullaıldığıda 640 Bye lık br alaı ayrılması yeerl olacakır. Az sayıda elemada oluşa br model ç bad geşlğ kullaılması fazla yarar sağlamaz. Acak model ağı büyük sayıda elema çerdğ durumda dzey boyularıda büyük orada azalma söz kousu olur. Model sıkılık dzey elde edlmesde, her br elemaa a sıkılık dzey ve global düğüm umaraları göz öüe alıarak brleşrlr. Solu elema yöemde, elema dzeyler brleşrlmesyle modele a global dzeyler elde edlmş olur. Bu aşamada sora global dzeyler üzerde sıır koşullarıı uygulaması gelr Sıır koşullarıı uygulaması Sıır-değer problemler, maemaksel model, başlagıç ve sıır koşullarıda oluşur. Başlagıç koşullarıı =0 aı ç yerdeğşrme ve hız değerler oluşurur. Sıır koşulları ç k ür sıır koşulu uygulaır. Bular Drchle ve Neuma sıır 00

113 koşullarıdır. Drchle sıır koşuluda solu elema ağı sıırlarıda belrl okalarda yerdeğşrmeler ö-aımlıdır. Neuma sıır koşuluda se elema sıırlarıda yer değşrmeler ormal ürevler ö-aımlıdır. Hareke deklem solu elema yöem le modellemesde, ağ sıırlarıda dış kuvve uyguladığı düğümlerde yerdeğşrmeler ö-aımlıdır (geel olarak sıfırdır). Bu şeklde aımlaa her k sıır koşuluda uygulamış olur. Sıır koşullarıı sayısal olarak uygulamasıda j. serbeslk derecese karşı gele düğüm ç verle sıır koşulu, global sıkılık ve söüm kasayı dzeylerde lgl düğüme karşı gele saır ve süü elemalarıı brm değere, ayı saır ve süüü dğer elemalarıı sıfıra eşlemesyle, küle dzeyde se j. serbeslk derecese karşı gele dzey elema değer sıfır yapılmasıyla sağlaır. Sıır koşullarıı uygulaması le geel dzeylerdek ekl değer soruu da gderlmş olur Newmark yaklaşımı (3.79) le verle hareke deklem sayısal çözüleblmes ç deklemde yer ala vme, U & değer blmes gerekr. Hareke deklem doğruda egral yöemleryle çözümü zama değşkee bağlı olarak adım adım brleşrme şlemyle yapılır. Doğruda erm, blmeye br öcek değeryle lşkl olması ve deklem başka br yapıya döüşürülmedğ fade eder. Doğruda egral şlem, k emel fkre dayaır: Brcs, (3.79) deklem herhag br zamaı ç sağlamak yere, ayrık zama aralıklarıda sağlamasıa çalışılmasıdır. Bu durum, çözüm aralığı çde ayrık okalarda aale ve söüm ekler eklemş dege aramasıdır. Bu edele sak çözümleme şlem ç kullaıla üm yöemler doğruda egral yöemler çde kullaılablr. İkcs, yerdeğşrme, hız ve vme zama aralığıdak değşmdr. Yerdeğşrme, hız ve vme değşm yöem doğruluğuu (accuracy), duraylılığıı (sably) ve çözüm gücüü (effcecy) göserr. Doğruda egral yöemler le hareke deklem çözümüde yerdeğşrme, hız ve vme vekörler, =0 aıda bldğ varsayılır ve (3.79) deklem 0- zama 0

114 aralığıda çözümü bulumaya çalışılır. zamaı ade al zama aralığıa bölüür, =/ ve doğruda egral yaklaşımı,, 3,..., zamaları ç ayrı ayrı uygulaır. Yöem + zamaıdak çözüm ç 0,,,..., zama değerler blmes gerekrr. Doğruda egral yöemlerde geel olarak sab br zama aralığı kullaılsa da, kolaylıkla değşke zama aralığı kullaılablr. Uygulamalarda sıkça kullaıla yöemler başıda koşulsuz durağa çözüm vere Newmark (959) yaklaşımı verleblr. Bu çalışmada hareke deklem doğrusal br deklem akımıa döüşürülmes ç Newmark (959) Bea yaklaşımı kullaılmışır. Newmark bea yaklaşımı, oralama vme yaklaşımıı geelleşrlmş haldr.. U +, U + yerdeğşrme ve hız değerler + zamaı ç Taylor serse açılırsa:..... U + = U + U + ( α)u + αu + (3.85) U + U + ( β)u + β U + = (3.86) elde edlr. Burada verle so ermler ser açılımda kala ermler ç br yaklaşımdır (Chopra 995, Wes vd 999, Zekewcz 977). Bu fadelerdek α ve β değerler egral şlem doğruluğuu ve durağalılığıı gösere kasayılardır. α=0.5 ve β=0.5 değerler ç (3.85) ve (3.86) bağııları oralama vme yaklaşımıı göserr. Bu yaklaşım ayı zamada yamuk kuralı der. Oralama vme yaklaşımı Şekl 3.6 da göserlmşr. U& U & + u & τ ) 0.5 ( u&& + u& ) ( = + U & τ + Şekl 3.6. Oralama vme yaklaşımı (Newmark 959). 0

115 (3.85) ve (3.86) fadeleryle brlke (3.79) hareke deklem, + zamaıdak yer- değşrme, hız ve vme değerler çözmek ç kullaılır. Buu ç (3.85) bağıısıda ç,.. U + [ ] U U U U U & & & & & = (3.87) elde edlr. (3.87) fades (3.79) hareke deklemde yazılır ve (3.55) fadesyle verle Grüwald aımı kullaılırsa, = = + + )) ( ( N j j N j U A N C U U U M f U K C A N M α α && & (3.88) elde edlr. Burada ek (effecve) sıkılık dzey, : K mod C A N M K K mod 4 α + + = (3.89) ve ek kuvve vekörü : F mod = =... mod )) ( ( 4 4 N j j N j U A N C U U U M f F α (3.90) yazılırsa U + yer değşrmeler ç doğrusal deklem yapısı, mod F mod U K = + (3.9) elde edlr. (3.9) fadesyle (3.79) hareke deklem doğrusal deklem akımıı çözümüe drgemş olur. 03

116 3..9. Doğrusal deklem akımıı çözülmes (3.9) deklem ssem U + yerdeğşrmeler ç çözüleblmes, ek sıkılık dzey ers alımasıı gerekrr. Bu çalışmada, Gauss yok eme (Gauss elemao) yöemde şlemler dzey yapısıda yürüüldüğü LDL T ayrışım (decomposo) yöem sıkılık dzey ers alımasıda kullaılmışır. Bu K mod T yöemde dzey, K = LDL şeklde üç dzey çarpımıa drger. mod dzey al üçge ve D dzey köşege br dzeydr.yöeme lşk ayrıılı blg Bahe (996), Hughes (987) ve Krshomoorhy de (996) buluablr. + zamaı ç U + yerdeğşrmes çözülmes le (3.85) ve (3.86) bağııları kullaılarak, + zamaıdak hız,... U + ve vme, U + değerler elde edlr. Bu aşamada sora sele dğer büyüklükler; öreğ elema çersde her br zamalarıdak gerlme ve deformasyo değerler sırasıyla (3.76) ve (3.78) deklemler kullaılarak hesaplaır. Damk br problem solu elema yöemyle çözülmesde yürüüle şlem adımları Şekl 3.7 de göserlmşr. Şekl 3.8 ve Şekl 3.9 da sırasıyla Quad4m programı (Hudso vd 994) ve Dyd programıda yürüüle geel şlem adımları göserlmşr. L 04

117 FİZİKSEL PROBLEM MATEMATİKSEL MODEL VE VARSAYIMLAR a) Geomerk varsayımlar b) Kemak varsayımlar c) Model üzerdek varsayımlar SONLU ELEMAN ÇÖZÜMÜ a) Elema seçm b) Model ağ asarımı (geomerk şekl seçm, elema sayısı vb. gb) c) Çözüm paramereler seçm d) Model üzerde kuvveler seçm e) Sıır koşullarıı göserm vb. gb Model veya Çözüm Paramereler değşrlmes Maemaksel model yelemes Fzksel model yelemes Çözüürlük hassasye dereces SONUÇLARIN YORUMLANMASI Çözümü yelemes MODELİN GELİŞTİRİLMESİ VEYA YAPISAL DURUMUN ORTAYA KONULMASI Şekl 3.7 Damk br problem solu elema yöem le çözümüde emel şlem adımları. 05

118 BAŞLA Solu elema ağıa a blgler grlmes ve dzey boyularıı belrle Yeleme şleme başla (er = ) Elema küle, sıkılık ve söüm dzeyler hesapla Elema dzeyler brleşrerek global dzeyler oluşur Sıır koşullarıı uygula Başlagıç vme, hız ve yer değşrmeler aa Damk çözüm şleme başla (kme = ) Ek kuvve vekörüü hesapla Hareke deklem yer değşrmeler ç çöz. Her br düğümdek vme ve hız değerler hesapla Durdurma ölçüüü sağlıyor mu? H E Her br elemadak gerlmeler hesapla kme =kme+ H kme > N E Modül (G/G max ) ve söüm (ζ) oralarıı gücelle er = er + BİTİR Souçları Yaz E er >Ler H Şekl 3.8. Quad4m programı şlem akış şeması. 06

119 BAŞLA Solu elema ağıa a grş blgler oku, dzey boyularıı,ve zem damk modüller hesapla Elema sıkılık ve küle dzeyler hesapla Başlagıç vme, hız ve yerdeğşrmeler aa Kesrsel ürev merebes aa (α = 0.5 ) Grüwald kasayılarıı ve elema söüm dzey hespla Elema dzeyler brleşrerek Global dzeyler oluşur. Sıır koşullarıı uygula Damk çözüme başla (kme = ) Her br düğüm okası ç söüm değer hesapla Ek kuvve vekörüü hesapla Hareke deklem yer değşrmeler ç çöz Düğüm vme, hız değerler ve elemalardak gerlmeler hesapla Durdurma ölçüüü sağlıyor mu? H E kme =kme+ H kme > N E BİTİR Souçları Yaz Şekl 3.9. Dyd programı şlem akış şeması. 07

120 4. ARAŞTIRMA BULGULARI 4.. Uygulamalar Zemlerde söümü veya ssmk dalga eerj kaybıı modellemes, emel kayada zeme gele deprem dalgalarıı yeryüzüe ulaşıcaya değ geçe süreçe, eerjsdek kaybı belrlemesdr. Bu ez çalışmasıda sab br değer veya frekasa bağlı söüm yere yapısal elemada gelşe deformasyou göz öüe ala, kesrsel ürev yaklaşımıı kullamak amacıyla Dyd adı verle br blgsayar programı MATLAB programlama dl kullaılarak yazılmışır. Farklı fzksel ve geomerk özellklerdek beş farklı model üzerde, her k söüm yaklaşımı kullaılarak ayı elema ve düğüm okalarıda hesaplaa vme ve gerlme zama geçmşler karşılaşırılmışır. Quad4m programıa karşılık Dyd programı, gerlme değerler hesapladığı elemalarda makaslama modül değşme karşılık, söüm oraı veya eerj kaybı oraıı kümülaf deformasyoa bağlı olarak verr. Söümü hesaplamasıda kullaıla kesrsel ürev merebes, zem fzksel özellklere bağlı olarak 0~.5 aralığıda değşm gösermese karşılık, burada verle uygulamalarda 0.5 değeryle sab uulmuşur. Quad4m programıa göre hareke deklem zama oramı sayısal çözümüde, her br yeleme şlemde makaslama modül oraı ve söüm oraı değerler sab bırakılır ve yeleme souda her k modül oraı gücelleerek br sorak yeleme şleme geçlr. Bu gücelleşrme şlem, farklı zem ürlere a laborauar deey souçlarıa dayaarak yapılır. Frekas oramıda söüm şlem modellerke söüm oraı ve makaslama modül oraı ç kompleks smgeleme kullaılır ve sayısal hesaplamalar frekası bağımlı değşke olarak yürüülür. Kesrsel ürev yaklaşımıda se söümü hesaplaması her br zama adımıda yede hesaplaırke her br yeleme şlem souda kesrsel ürev merebes değşrlr. Kesrsel ürev merebes yapıla uygulamalar soucuda, model fzksel özellklere göre 0~.5 aralığıda değer aldığı görülmüşür. Bu bölümde ele alıa modellere a Quad4m souçları üç yeleme le elde edlmşr. 08

121 Temel kayada yer yüzeye ulaşa dalgaları söümlemesde rol oyaya emel ekeler Hard vd (97a) arafıda ayrıılı olarak verlmşr. Elde edle souçlara göre; söüm üzerde ek ola e öeml ekeler başıda yapısal elemada gelşe deformasyo gelmekedr. Ayrıca, gerek r dael (kohezyosuz) gerekse ce dael (kohezyolu) zem ürlerde frekası söüm üzerde belrg br eks olmadığıı gösermşlerdr. Hard vd (97) elde emş olduğu souçlar Çzelge 3. de ayrıılı olarak verlmşr. Quad4m (Hudso vd 994) programı belrldğ gb söüm şlem ç frekasa bağlı yaklaşım kullaır. Söüm ç her k programı kulladığı yaklaşımlar dışıda geel şlem adımları bezerdr. Her k programda çözümlemeler zama oramıda gerçekleşrlr. Quad4m programı söüm ç (3.40) deklem kullaır. Bu deklemde yer ala k frekas değerde brcs; ele alıa model doğal reşm frekasıdır. İkc frekas değer se; emel kayaya ulaşa deprem dalgasıı hakm reşm frekasıdır. Quad4m programı hesaplaa bu k frekas aralığıda mmum söüm ve bu frekas aralığı dışıda maksmum söüm uygulaacak şeklde yaklaşım sağlar. Quad4m programı başlagıça Dyd programıa göre oldukça fazla sayıda paramere grubuu grş vers olarak alır. Yoğuluk, başlagıç söüm oraı ve başlagıç makaslama modül oraı değerler laborauar deeyleryle elde edlr. Bua karşı Dyd programı daha esek br grş ver yapısıdadır. Dyd programı ele alıa modele a ssmk hızları (Vp, Vs), yoğuluk değer (seğe bağlı olarak program arafıda hesaplaabldğ gb grş dosyasıda da okuulablr), solu elema ağıa a elema ve düğüm okaları blgler grş vers olarak alır. Bu açıda Dyd programı laborauar verse gerek duymada yalızca jeofzk verye dayaarak hesaplama şlem yapablmekedr. Dyd programıda ssmk dalga hızlarıı kullaarak maksmum makaslama modülü: G max = ρ Vs (Pa) (4.) yoğuluk: 0.8 ρ = 0.3 Vp (g/cm 3 ) (4.) ve Posso oraı: 09

122 ( V = ( V / V ) υ p s p / Vs ) (4.3) bağııları kullaılmışır (Ammo 00). Her k program gerek İglz brm ssem gerekse uluslararası (SI) brm ssem kullaablmekedr. Modellere a solu elema ağıda belrle ç dolu elemalar, gerlmeler hesapladığı elemaları göserr. İvme değerler se gerlme değerler hesapladığı elemaları brc düğüm okalarıa ar. Hesaplamış vme zama geçmşler Fourer döüşümler alımış ve her br model spekral epkse 0 Hz kesme frekasıda alçak geçşl Buerworh süzgeç şlem uygulaarak göserlmşr. Verle uygulamalarda modellere a ssmk hız (Vp, Vs) ve yoğuluk değerler lk model ç Idrs vd de (973), kc model değerler Hudso vd de (994) alımışır. So üç modelde, zem brmler yaklaşık ssmk hız ve yoğuluk değerler kullaılmışır. Quad4m ve Dyd programları ç kullaıla grş vers dosya çerkler sırasıyla EK ve EK 3 de verlmşr Model Zem damk davraışıı belrlemes ve kesrsel ürev yaklaşımı le söüm hesaplamasıı kullaımıı gösermek amacıyla, emel kaya üzerde yer ala 500 f geşlğde ve 00 f kalılığıda kumlu br zem ele alımışır. Model, Idrs vd de (973) alımışır. Modele a solu elema ağı Şekl 4. de göserlmşr. Quad4m ve Dyd programları ç modele a özellkler sırasıyla Çzelge 4. ve Çzelge 4. de göserlmşr. 7 Ekm 989 Loma Prea deprem (M= 6.9) emel kaya grş vme vers olarak kullaılmışır. Loma Prea deprem, Sa Adreas fayı üzerde Saa Cruz dağlarıda meydaa gelmşr. Deprem aa şok süres 5 s dr. Deprem özellkle Sa Fracsco ve çevresde ekl olmuşur. Deprem merkez üssü K elem ve.88 B boylamıdır. Loma Prea zrves adı verle Saa Cruz u yaklaşık 4 km kuzey doğusu ve Sa Fracsco u yaklaşık 96 km güey doğusudadır. Deprem odak derlğ 8 km, yüzey kırık uzuluğu 35 km ve yaay aım mkarı m olarak ölçülmüşür (Plakers vd 989). Loma Prea deprem soucu 500 ev ve şyer 0

123 amame yıkılmış, yaklaşık 7,000 ev ve şyer hasar görmüşür. Ölü sayısı 6 yaralı sayısı se yaklaşık 4,000 olarak belrlemşr. Deprem Amerka ekoomse eks yaklaşık 6 mlyar dolar olmuşur. Bölgede çeşl kurum ve kuruluşlarca ölçüle vme değerler, yerçekm vme değer %47 le %55 arasıdadır. Şekl 4. de deprem oluşurduğu hasar göserlmşr. Loma Prea deprem, hasarı zem abakalarıı kedse gele deprem dalgalarıı öeml ölçüde büyümes ede le oluşurduğuu göserebldğde, arhek öeml depremler arasıda yer almakadır. Şekl 4. de göserle modele a solu elema ağıda, ç dolu elemalar gerlme ve vme zama geçmşler hesapladığı elemaları göserr. İvme zama geçmşler lgl elemaları brc düğüm okalarıda hesaplamışır. Model- de vmeler 3, 57 ve umaralı düğüm okalarıda, gerlmeler se 3, 48 ve 93 umaralı elemalarda hesaplamışır. Modelde İglz brm ssem kullaılmışır. Model al sıırıa a düğüm okaları sab uularak, model yalızca yaay doğruluda harekee z verlmşr. Her k program arafıda ayı düğüm okalarıda hesaplaa vme zama geçmşler Şekl 4.3 de göserlmşr. Her k program soucu elde edle vme zama geçmşlere a hesaplamış dalga şekller bezerlk gösermekedr. Hesaplaa vme zama geçmşler arasıdak farklılıklar uygulaa farklı söüm yaklaşımlarıda ler gelmekedr. Şekl 4.3 de göserle hesaplamış vmelere a model spekrum yaıı Şekl 4.4 de göserlmşr. Şekl 4.4 de görüleceğ üzere hesaplaa hakm peryolar her k program ç bezerlk göserrke, gelk değerlerde farklılıklar görülmekedr. Şekl 4. de ç dolu olarak göserle elemalara a gerlme zama geçmşler Şekl 4.5 de göserlmşr. Her k program arafıda hesaplaa gerlme değerler yaklaşık bezerdr. Şekl 4.6 da Model e a makaslama modül oraı (G/G max ) ve söüm oraı (D/D max ) kümülaf deformasyoa bağlı olarak göserlmşr. Şekl 4.7 de gerlme zama geçmşler hesapladığı düğümlerdek gerlme değerler derlkle değşm göserlmşr. Model ç Dyd programıda kullaıla ssmk hızlar ve yoğuluk değerler ayı model ç verle Quad4m versde yararlaarak hesaplamışır.

124 Şekl Ekm 989 (M= 6.9) Loma Prea deprem soucu oluşa hasar. Şekl 4.. Model solu elema ağı. Çzelge 4.. Model ç Quad4m programı grş vers UNITS (E for Eglsh, S for SI): E DRF PRM ROCKVP ROCKVS ROCKRHO NELM NDPT NSLP KGMAX KGEQ NEQ NEQ N3EQ NUMB KV KSAV DTEQ EQMUL EQMUL UGMAX UGMAX HDRX HDRY NPLX NPLY PRINPUT