Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar

Transkript

1 İsaskçler Dergs (8) İsaskçler Dergs Rasgele sayıda bağımlı aküeryal rskler beklee değer ç al ve üs sıırlar Fah Tak Kırıkkale Üverses Fe-Edebya Faküles, İsask Bölümü 7-ahşha,Kırıkkale, Türkye Öze Aküerya aalz ve rsk yöem aa amaçlarıda brs oplam hasar mkarıı dağılım foksyouu belrlemesdr. Sgoracılıka rskler geellkle bağımsız olduğu var sayılmaka acak bu varsayım gerçek durumu yasımamakadır ve prm hesaplamalarıda problemler yaramakadır. Sgoracılıka prm hesaplamalarıda beklee değer hesaplaması oldukça öemldr. Bu çalışmada meydaa gele bağımlı rskler sayısıı rasgele olduğu durum ç al ve üs sıırlar celemşr. Aahar sözcükler: Bağımlı rskler; Aküeryal rsk; Freche sıırları. Absrac Lower ad Upper Bouds for Expeced Value of Radom Sze Depede Acuaral Rsks Oe of he ma am of acuaral aalyss ad rsk maageme s o deerme of he dsrbuo fuco of oal clam amou. Geeraly rsks are assumed depede surace bu hs assumpo does o reflec he real suao ad geeraes may problems a premum calculaos. Calculao of expeced value s crucal o premum calculao surace. I hs sudy we vesgae lower ad upper bouds for expeced value of he case where he umber of depede rsks s radom. Keywords: Depede rsks; Acuaral rsk; Freche bouds..grş Geellkle br sgora porföyüdek çeşl hesaplamalarda kolaylık sağlaması ve semeye br çok durumda kurulmak amacıyla rskler bağımsız oldukları varsayılmakadır. Acak gerçek yaşamda bu varsayımı gerçeğe uymadığı durumlarla karşılaşılmakadır. Öreğ br ş yerdek ş göreler br grup haya sgorası veya grup sağlık sgorası ele alıdığıda; ş yerde herkes ekleyecek br kaza sgoracıı porföyü çdek rskler kollekf olarak arıracakır. Bu yüzde bu porföyü oluşura rskler bağımsız oldukları varsayımı gerçekle bağdaşmamakadır [6, 5]. Bu ve bezer durumlar ç br değerledrme ve model yaklaşımı le brlke gerekl ola aalzler zlkle yapılması gerekmekedr. Leraürde prm hesaplamaları le lgl olarak br çok yaklaşım bulumakadır. E bas alamda bu yaklaşımları çersde oplam hasar mkarı dağılımıı beklee değer porföyde bulua her br breyde alıması gereke saf prm olarak düşüüleblr. Hesaplaa bu değer üsüe dar ve dğer masrafları yüklemes le sgoralılarda alıması gereke sgora prm elde edleblr.

2 F. Tak / İsaskçler Dergs (8) Rsk süreçler Rsk süreçler, hasar sayısı ve hasar mkarları süreçlerde oluşur. Zama aralığı, [, k ) celee oplam zama aralığı olarak aımlaır. Taım.. { } X, [ ),. zama aralığıda görüle hasar sayısı sürec olarak aımlaır. Burada keskl rasgele değşkedr.,. zama aralığıda görüle hasar mkarı sürec olarak aımlaır. Burada sürekl rasgele değşkedr. Taım.. { } Taım.3., [ ) j j = =,, j ) = [, ) [, ) j, j) X U UKU aralıklarıı bleşede oraya, T sokask, T sokask sürec çıka oplam hasar sayısıdır., aıa kadar ola hasarları sayısıı göserdğde { } sürece Toplam Hasar Sayısı Sürec der. { } a) b) amsayılı değerler alır c) s < s < (azalmaya) özellklere sahpr. {, T} oplam hasar sayısı sürec λ paramerel Posso Sürec olup,. =. Durağa ve bağımsız arımlı. P{ + h = } = λh+ o( h), v. P{ + > } = o( h), h özellkler sağlamakadır. Teorem.. {, T} oplam hasar sayısı sürec Taım.3 de belrle,,, v özellkler sağlası. uzuluğudak herhag br zama aralığıda meydaa gele hasarları sayısıı dağılımı λ paramerel posso dağılımıdır [4]. İspa.. P () P{ } = = olsu. + h aıa kadar hçbr olayı gerçekleşmemes olasılığı ( + ) = { + h= } = P{ =, + h = } = P{ = }. P{ = } P h P + h olur. Burada ve v yardımıyla, λ P + h = P h+ o h elde edlr. X

3 F. Tak / İsaskçler Dergs (8) ( + ) P h P o h lm = λp () + lm h h h h eşlğde, λp P = (.) bçmde elde edlr. Bezer şeklde durumu ç yukarıdak şlemler yapıldığıda, () () P = λp + λp (.) olarak buluur. P( z, ) = P. z le = rasgele değşke olasılık çıkara foksyou göserldğde P( z, ) = P. z = (.3) olur. Eşlk (.) ve (.) de bulua fadeler, Eşlk (.3) de yere koulduğuda P( z, ) = λ P. z + λ P. z = = = λ + = λ olur. P( z, ) λzp( z, ) ( z ) P( z, ) P( z ) = λ( z ) + c( z) = = (,) = ve c( z) = l, P, P, P z olduğuda, olasılık çıkara foksyo (, ) ( z ) P z = e λ bçm almakadır. Bu λ paramerel Posso dağılımı olasılık çıkara foksyoudur. Taım.4. S j = [, ) zama peryoduda oraya çıka oplam hasar mkarıdır. Tüm bu süreçlerde zama aralığı, [, k ) celee oplam zama aralığı olarak aımlaır. Burada [, k) = [, ) U[, ) UKU [ k, k) şeklde olup [, ) aralıkları ( =,, K, k) eş uzuluklu, kesşmeye ve ara kes boş ola aralıklardır.

4 F. Tak / İsaskçler Dergs (8) Sgoracılıka rsk (, ) S Taım.4 de belrldğ gb [ ) P [ ) P S çf le belrleblr. Burada;, zama aralığıda prmlerde elde edle kazaç olup, zama aralığıda meydaa gele hasar mkarlarıı oplamı dır. Bu k süreçe e az br sokask süreçler kapsamıda rasgele foksyo olup geel olarak P değşmlerde bağımsız ve S sokask olarak düşüülür. Prake P le S arasıdak lşky aımlamak gerekmekedr. Buu ç aşağıdak değşkeler ve bulara bağlı olarak sokask süreçler aıılmasıa hyaç vardır. 3. Bağımlı rskler ve orak moooluk Toplam hasar mkarıı oluşura bağımlı rskler (hasar mkarları) ç yapılacak değerledrme ve öermelerde bağımlılık bçm öem kazamakadır. Bazı bağımlılık çeşler aşağıda aımlamışır. P y, y P y P y, y, y se ve hasar mkarları pozf kuadra. [ ] [ ] bağımlıdır der ve PQD (, ). P y y bçmde göserlr. y de y e göre azala se hasar mkarı e göre sol kuyruk azaladır der ve LTD ( ). P > y > y bçmde göserlr. y de y e göre ara se hasar mkarı e göre sağ kuyruk aradır der ve RTI ( ) bçmde göserlr [3]. Bağımlı rskler oplamı ç br dağılım bulmak kousuda yapısal bağımlılığı çselleşre yaklaşımlar yapılablmekedr [5]. Toplam hasar mkarı dağılımıda beklee değerler ç al ve üs sıırlar oluşurulması, bu yaklaşımları rsk yöem bağlamıa çekmek bakımıda yararlıdır. Br sgora şrke ç olası oplam hasar mkarı S y meydaa gere hasar mkarları arasıdak lşk orak moooluk ve pozf korelasyo bağlamıda ele alıablr. Br hasar mkar (solu oralamalı, F y = P y y ve buu gerçel değerl egaf olmaya r.d.) brkml dağılım foksyou { } ers foksyou { } F q = f y: F y q q olsu. Hasar mkarları (, ) rsk çf ç dağılım foksyou, (, ) = {, } ( y, y ) F y y P y y, olsu. Orak moooluk kavramı lk olarak Schmedler (986) ve aar (987) ve Roell (987) arafıda oraya aılmışır. Bu kavram rsk karar kuramıda öeml br rol oyamışır. Komooluk kavramı aşağıdak eorem le verlecekr [6]. Teorem 3.. ve k değşkel dağılım foksyou F y, y = m F y, F y y, y, bçmde yazılablyorsa ve orak mooo dur [6].

5 F. Tak / İsaskçler Dergs (8) Orak moooluk kavramı le Fréche al ve üs sıırları arasıda, k rasgele değşke pozf lşkl (pozf korelasyo) çde olması bağlamıda br bağıı vardır [6]. Teorem 3.. ve (, ) F y y,, rskler dağılım foksyou (, ) { F ( y) + F ( y ) } F, ( y y) F ( y) F ( y) { } max,, m, bçmde ala ve üse sıırladırılablr. Marjaller yukarıda verldğ gb F ( y ) ve ( ) oluşurduğu dağılım sııfı (, ) sıırlar geçerldr. F y y le göserls. Bu durumda, F y ola üm k değşkel rasgele değşkeler R F F ye a dağılımlara sahp ola her (, ) ç Teorem 3. de verle Verle marjal dağılımlarla sııfak üm rskler ç Fréche sıırlarıa ulaşablmek amacıyla U ~ U, bçmde ele alıarak ( F ( U), F ( U) ) R( F, F ) elde edlr k bu Fréche üs sıırıı, ( F ( U), F ( U) ) R( F, F ) se Fréche al sıırıı göserr. ve rskler am pozf lşkl (PPC) olması ç = a+ b sağlayacak şeklde a > ve b sayılarıı olması gerek ve yeer şarır. ve PPC özellğ { } F y, y = m F y, F y y, y, y sağlamakadır. Dolayısıyla orak moooluğu PPC br uzaısı olduğu ve bu açıda Fréche üs, rsk (hasar mkarlarıı) am pozf korelasyo lşks aşıdığı; dolayısıyla Fréche sıırıda. üs sıırı dkkae alıarak düzeleecek rsk yöem rske karşı e duyarlı rsk yöem (rske karşı maksmum edbr) alamıa geldğ açıkır. Taım 3.. ve (, ) F y y,, rskler dağılım foksyou (, ) { F ( y) + F ( y ) } F, ( y y) F ( y) F ( y) { } max,, m, bçmde ala ve üse sıırladırılablr []. Toplam hasar ç sıırlı hasar (sop-loss) prm ( SM) E{ ( S M )}, F y y le göserls. Bu durumda π, = max,, M (3.) le fade edlmekedr.

6 F. Tak / İsaskçler Dergs (8) = ç S = + olduğu durumda (3..) eşlğde verle sıırlı hasar prm ( * ) ( **, M, M, M) π + π + π + (3.) bçmde ala ve üse sıırladırılablr [, 6]. ve aralarıdak lşk, F açıklamakadır []. Burada { } F = f s R : F s * ve ** sırasıyla e egaf ve pozf bağımlıdır dağılım foksyou ke * { } = F F, ** { } F F = le dr. Beklee değer mevcu ola ve azalmaya koveks φ foksyou yardımıyla (3.) eşszlğ { ( * )} { } { ( ** )} π φ + π φ + π φ + (3.3) bçmde yazıldığıda le arasıdak bağımlılığa foksyoel bağımlılık der. ukarıda yapıla şlemler yardımıyla P S s P S s P S s s R m max yazılabldğde (3.3) eşszlğe dek olarak, beklee değerler sıırlı olması koşuluyla { φ( max )} { φ} { φ( m )} E S E S E S oraya çıkar [7]. Beklee oplam hasar mkarı E ( S ) ç sokask sıırlar rdelemes ayrıılarıa geçmede öce; aşağıda yapıla değerledrmeler F ( s) P( S s) F ( s) sıırları emelde yapıldığıı ve buu, orak moooluk bağlamıda { F ( y) + F ( y ) } F, ( y y) F ( y) F ( y) m max { } max,, m, sıırları le eşdeğerlk (eşalamlılık) çde olduğuu vurgulaması yerde olacakır. Haırlamalıdır k; Fréche sıırları bağlamıda orak moooluk, maksmal sıırlı hasar prm E ( S ) oraya çıkarır. 4. Bağımlı rskler oplamı ç sıırlar sayıda dağılım foksyou F ve sol lmler { (,,, ) : } S% = y = y y K y R y + y + K + y = s aımı alıda Fm ( s) = supmax F ( y) ( ), y S% = ve F (,,, ) = K olsu. Bu durumda

7 F. Tak / İsaskçler Dergs (8) Fmax ( s) = f m F( y), y S% = olmakadır.,, K, rasgele değşkeler dağılım foksyoları sırasıyla F, F, K, F olsu. S = + + K + ke gerekl eşszlkler yardımıyla F m ve F max ç m F s P S s F s, s R yazılacakır. Örek 4.. max dağılım foksyou exp ( θ, ω ) olsu =,. Toplam hasar mkarı S = + olduğuda S ç al sıır, ω = ω+ ω + ( θ+ θ) log( θ+ θ) θlog( θ) θlog( θ) ke Fm = exp ( θ + θ, ω) ve üs sıır Fmax = exp( max ( θ, θ ), ω + ω ) olur. Özel olarak ~ exp( θ = 4, ω = 3) ve ~ exp( θ = 5, ω = ) alıarak F ( s ) ç al ve üs sıırlar bulumuş ve bulua sıırlar Şekl 4. de göserlmşr. S Şekl 4. Kaydırılmış üsel dağılıma sahp oplam hasar dağılımı ç al ve üs sıırlar (=) Örek 4.. ~exp (, ) θ ω ke Fm = exp θ, ω, = ω = ω + θ log θ θ log θ = = = = ve Fmax = exp max ( θ, θ, K, θ), ω bçmde elde edlr. Özel olarak ~ exp ( θ 4, ω 3) ~ exp θ 5, ω = ~ exp θ 3, ω 3 ( = = ) ve ( = = ) alıarak F 4.. de göserlmşr S = =, s ç al ve üs sıırlar bulumuş ve Şekl

8 F. Tak / İsaskçler Dergs (8) Şekl 4.. Kaydırılmış üsel dağılıma sahp oplam dağılımı ç al ve üs sıırlar (=3) 5. Rasgele sayıda bağımlı rsk oplamıı beklee değer ç sıırlar Rskler arasıda bağımlılığı olduğu durumlar ç oplam hasarı dağılımıa ve beklee değere al ve üs sıırlar verlmş, acak bağımlı rskler sayısı sab alımışı. Toplam hasar mkarıı oluşura, zama aralığıda bağımlı rskler sayısıı rasgele olduğu durum ç değerledrme yapılacakır. [ ) meydaa gele hasar sayısı Posso dağılımı le ele alımakadır. Toplam hasar sayısı ~ Posso ( λ ) ke oplam hasar mkarı S =, le fade edldğde, oplam hasar mkarı S ' ade rasgele = değşke oplamıda oluşuğuu gösermekedr. Rasgele sayıda hasar mkarıı oplamı ç dağılım foksyou, = verldğde { < } = { < = } { = } P S s P S s P { } { } = P S < s P = (5.) olmakadır. Fréche sıırlarıda yararlaarak (5.) ç lgl sıırlar Fm ( s) P{ = } P( S s) P{ = } Fmax ( s) P{ = } bçmde elde edlr. Rasgele sayıda bağımlı hasar mkarıı oplamıda elde edle oplam hasar mkarıı beklee değer se, = olduğuda

9 F. Tak / İsaskçler Dergs (8) E S = = X = E X = P = = = E X P = = = E X P = = = E S P = (5.) olacakır. (5.) eşlğde yararlaarak rasgele sayıda bağımlı rsk oplamı ç al ve üs sıırlar gerekl şlemler uyguladıka sora (,max ) (,m ) E S < E S < E S (5.3) elde edlr [8]. Örek 5.. Örek 5. de verle Üsel dağılıma sahp üç bağımlı hasar mkarı oplamıı beklee değer şlemler yapıldığıda ~ Posso ( λ ) olduğu durumda al ve üs sıırlar ( 5.986, ) olarak elde edlmşr. Bu aralık, sgora şrke gele rskler karşılayablmes ç alması gereke prm al ve üs sıırı olarak yorumlamakadır. Rasgele sayıda bağımlı ve üsel dağılıma sahp hasar mkarları oplamıı beklee değer ç Eşlk (5.) de yararlaarak, ~ Posso( λ = ) alıda, beklee oplam hasar değerlere a al ve üs sıırlar bulumuş ve Çzelge de göserlmşr. Çzelge grafksel göserm Şekl 5. de verlmşr. Çzelge 5.. Rasgele sayıda ve üsel dağılıma sahp hasarları oplamı ç beklee değerler = Al Sıır Üs Sıır

10 F. Tak / İsaskçler Dergs (8) Şekl 5.. Çzelge 5.. grafksel göserm E( S,m ) hesaplamasıda, Freche üs sıırı dağılımıa sahp ler ele alımış ve (,m ) E S = = = E = P = = = E P = = = E P= = ( ) / ( ( ) ) = E S P = P = P = (5.4) eşlğ kullaılmışır. E( S,max ) değer bezer şeklde buluur. 6. Souç Bağımlı aküeryal rskler ç bulua al ve üs sıırlar aküeryal rsk yöemde oplam hasar mkarı dağılımıı beklee değerde faydalaarak, rsk büyüklüğü hakkıda fkr sahb olablmeye mka aımakadır. Elde edle bu fkr yardımıyla, rsk rezerv, muafye sıırları ve reasüras reeşı saklama payı (reeo) sıırları belrlemeler yapılarak flas olasılığı mmze edleblmese mka aır ve gerekl üm kararlar karar vercler arafıda rdeleeblr. Kayaklar [] Albers, W., 999, Sop-loss Premums Uder Depedece, Isurace Mahemacs ad Ecoomcs, 4, [] Balakrsha,., Basu, A. P., 995, The Expoeal Dsrbuo, Theory, Mehods ad Applcaos, Gordo ad Beach Publshers. [3] Barlow, R.E., Proscha, F., 975, Sascal Theory of Relably ad Lfe Tesg, Hol-Rehar & Wso Ic. [4] Beard, R.E., Pekae, T., Pesoe, E., 984, Rsk Theory, Chapma-Hall.

11 F. Tak / İsaskçler Dergs (8) [5] Cosee, H., Gallardez, P., Marceau, E., Roux, J.,, O Two Depede Idvdual Rsk Models, Isurace Mahemacs ad Ecoomcs, 3, [6] Dhaee, J., Deu M., 999, The Safes Depedece Srucure Amog Rsk, Isurace Mahemacs ad Ecoomcs, 5, -. [7] Hu, T., Wu, Z., 999, O Depedece of Rsks ad Sop-loss Premums, Isurace Mahemacs ad Ecoomcs, 4, [8] Tak, F.,, Sgoracılıka Bağımlı Rskler: İk Değşkel Durum İç aklaşımlar, Akara Üverses Fe Blmler Esüsü İsask Aablm Dalı Dokora Tez (83 s.)