Đst201 Đstatistik Teorisi I

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Đst201 Đstatistik Teorisi I"

Berk Ateş
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller oluşturmak. DERSĐN ÖĞRENĐM HEDEFLERĐ Olasılık Dağılımları KZNILN BĐLGĐ Olasılık uzayları, rasgele değşkeler ve dağılım foksyoları, rasgele değşkeler döüşümler, üretc foksyolar, bazı olasılık dağılımları, rasgele değşke dzlerde yakısamalar. KZNILN BECERĐ Đstatstksel souç çıkarımda gerekl ola temel kavramları öğrelmş olması ve kullaılablr hale gelmes. ÖĞRETĐM YÖNTEMĐ Teork ders alatımı ve problem çözümü, gerçek ve saal deeyler. RÇ-GEREÇ Ktap, ders otları, kşsel deey malzemeler, blgsayar vs. ÖLÇME VE DEĞERLENDĐRME ra sıav, ödevler ve döem sou sıavı. DERS PLNI VE ĐÇERĐĞĐ. Hafta Sgma-cebr, Borel cebr, Olasılık uzayları 2. Hafta Rasgele değşke, rasgele değşkeler dağılım foksyoları. Keskl rasgele değşkeler ve olasılık foksyoları. Sürekl rasgele değşkeler ve olasılık yoğuluk foksyoları. 3. Hafta Rasgele vektörler. Keskl rasgele vektörler ve olasılık foksyoları. Sürekl rasgele vektörler ve olasılık yoğuluk foksyoları. Marjal ve koşullu dağılımlar. Rasgele değşkeler bağımsızlığı. 4. Hafta Döüşümler. Rasgele değşkeler beklee değer, varyası ve mometler. Üretc foksyolar, momet çıkara foksyo, karakterstk foksyo. Beklee değer vektörü, varyas-kovaryas matrs, korelasyo matrs. Koşullu beklee değer. 5. Hafta Bazı keskl olasılık dağılımları; Düzgü, Beroull, Bom, Geometrk, Negatf Bom, Posso, Hpergeometrk 6. Hafta Bazı sürekl dağılımlar; Düzgü, Gamma, Üstel, K-Kare, Beta, Normal, Log- Normal, Cauchy, Webull, t ve F dağılımları, k boyutlu ormal dağılım 7. Hafta Rasgele değşke dzlerde yakısamalar, büyük sayılar kauları ve merkez lmt teoremler DERSĐN VERĐLMESĐNDE YRRLNILCK KYNKLR kdez, F. (200) Olasılık ve Đstatstk, Nobel Ktabev. 2 Öztürk, F. (993) Matematksel Đstatstk, kara Üverstes Fe Fakültes Yayıları, No:0. 3 Öztürk, F. (20) Olasılık ve Đstatstğe Grş, Gaz Ktabev. 4 kd,y. (200) Matematksel Đstatstğe Grş, Gaz Ktabev. 5 Hogg, R.V., Crag,.T. (978) Itroducto to Mathematcal Statstcs, New York, Macmlla. 6 Casella, G. (200) Statstcal Iferece. Pacfc Grove, Calf. : Wadsworth. Sıavlar E az br ara sıav ve döem sou sıavı yazılı olarak yapılacaktır. Döem ç verle ödevler ara sıav otu le brlkte değerledrmeye alııp vze otuu oluşturacaktır. Geçme otu=0.4xvze otu+0.60xdöem sou otu.

2 Grş Đstatstk edr? Bu soru ve cevabıı zamala aklıızda olgulaşıp yerl yere oturacağıı brc sııfta Olasılık ve Đstatstğe Grş dersde söylemştk. Şmd kc sııftasıız. Rasgelelk, Olasılık Ölçüsü, Rasgele Değşke, Dağılım Foksyou, Beklee Değer, Varyas gb brçok kavramı öğredz. Parametre Tahm ve Hpotez Test koularıa grş yapıp, Đstatstk öğrem başlıca amacı ola Ver alz e dokuduuz. Đstatstk öğreme serüvez ayı kavramlara br üst basamakta bakılması ve bu kavramları pekştrlmes le devam edecektr. Üçücü sııfta Đstatstk deze dalacaksıız. Hazırlıklı olmaız gerekl. Lafı uzatmada hazırlamaya başlayalım..ders Kümeler Cebr, σ-cebr ve Borel Cebr Küme kavramı matematğ br temel kavramıdır. Kümeler,B,C,D, gb büyük harflerle gösterlr. Üzerde çalıştığımız kümey geellkle Ω harf le gösterp, boş olmadığıı varsayacağız., B Ω olmak üzere, B \ { ω : ω B ve ω } = kümese ı B ye göre tümleye der. Ω \ kümese kısaca ı tümleye der. ı tümleye le göstereceğz. I br ds kümes olmak üzere, = { ω : I ç ω } I I { ω : ç ω } = I olduğuu hatırlatalım ( I = ç Ω ı altkümeler br ( ) (alt lmt) kavramları aşağıdak gb taımlaır. = k = lmsup k = I = = kabul edlmektedr). I dzs ç lmsup (üst lmt) ve lmf lm f = k = = Eğer lm sup lm f dz lmt der ve bu lmt kısaca lm k = = se ( ) dzse yakısak ve kümese bu olarak gösterlr.

3 Kümeler br ( ) dzs ç olduğuda, bu dzye arta ve olduğuda azala dyelm (altküme-öz altküme, arta-azalmaya, azala-artmaya ayrımlarıı yapmayalım). Her k durumda dzye mooto dyelm. rta dzler ç = = lm ve azala dzler ç = = lm dır. Boş olmaya br küme altkümelerde oluşa kümeye sııf der. Sııfları U,B gb el yazısı harflerle göstereceğz. R reel sayıları kümes, ( a, b) = { x R : a < x < b} olmak üzere B ₁ = {( a, b) : a < b, a, b R} [ a, b] = { x R : a x b} olmak üzere B ₂ = {[ a, b] : a b, a, b R} ( a, b] = { x R : a < x b} olmak üzere B ₃ = {( a, b] : a < b, a, b R} [ a, b) = { x R : a x < b} olmak üzere B ₄ = {[ a, b) : a < b, a, b R} (, a) = { x R : x < a} olmak üzere B 5 = {(, a) (, a] = [ x R : x a} olmak üzere B 6 = {(, a] ( a, ) = { x R : x > a} olmak üzere B 7 = {( a, ) [ a, ) = { x R : x a} olmak üzere B 8 = {[ a, ) kümeler R üzerde brer sııftır. R keds de (, + ) aralığı olarak 8 B = düşüülürse, R dek bütü aralıkları kümes ola { R} kümes, R üzerde br sııftır. Taım: Br Ω kümes altkümelerde oluşa br C sııfı, ) ΩC, ) C kümes ç C, ), B C B C özellklere sahpse C sııfıa Ω da br cebr der. Taım: Br Ω kümes altkümelerde oluşa br U sııfı, ) ΩU, ) U kümes ç C, ) U ( ) de her dzs ç U, özellklere sahpse U sııfıa Ω da br σ-cebr der. =

4 Cebrler, elemaları kümeler ola sııflar olmak üzere, brleşm, kesşm ve tümleme şlemler solu kez uygulamasıa göre kapalıdırlar. Br σ-cebr brleşm, kesşm ve tümleme şlemler sosuz kez uygulamasıa göre kapalıdır. Her σ -cebr br cebrdr, acak ters doğru değldr. Örek: Ω sosuz elemalı br küme olmak üzere, Ω ı solu elemalı altkümelerde oluşa D = { : Ω, solu sayıda elemaa sahp} sııfı br cebr değldr. C= { : Ω, veya solu sayıda elemaa sahp} sııfı br cebrdr, acak br σ-cebr değldr. Örek: Ω= R =(-,) ç C = { : B B B {, R} veya ayrık solu tae B B B {, R} ç = } sııfı br cebrdr B,B,B de brer tae elema aşağıdak gb brer aralıktır. = R (-,0], (,2], (4, )C olmak üzere, C sııfı bu gb ayrık aralıkları solu taes brleşm bçmde ola kümeler le ve R de oluşa sııftır. C sııfıı br cebr olduğu kolayca gösterleblr. C sııfı br σ-cebr değldr. Öreğ, a, b R, a < b ve (-,0] (,2] (4, ) ] ( ] ( sııfıda açık aralıklar yoktur. a, b, =, 2, C ç a, b ( a, b) = = C dır. C Br cebr arta dzler lmt altıda kapalı se br σ-cebrdr. Buu spatlamaya çalışalım.c arta dzler lmt altıda kapalı, ya C dek kümeler her ( B ) dzs ç B B2... B... lm B = B C olsu. Cebr le σ-cebr taımlarıda lk k özellk ayı olduğuda, C de herhag br ( ) dzs ç C olduğuu göstermekle bu dda spatlamış olacaktır. = B =, =,2,3,... = =

5 ç B B2... B... ve lm B = B C olmak üzere, = C dr. C br σ-cebrdr. Buula brlkte, = = B olduğuda = = Cebr azala dzler lmt altıda kapalı Cebr arta dzler lmt altıda kapalı öermes de göz öüe alıırsa, azala dzler lmt altıda kapalı ola cebr de br σ-cebrdr. Bu öerme doğru olduğuu görelm. ( ) C br cebr ve azala dzler lmt altıda kapalı olsu. ( ) dzs C de arta, ya dzs C de azala olduğuda lm = olsu. O zama, ( ) C dır. Cebr taımıdak kc özellkte, = = = lm C = = dr. ( ) C br cebr ve arta dzler lmt altıda kapalı olsu. ( ) dzs C de azala, ya dzs C de arta olduğuda lm = olsu. O zama, ( ) C dır. Cebr taımıdak kc özellkte, = = = lm C = = dr. Kısaca, mooto dzler lmt altıda kapalı ola cebrler ayı zamada brer σ-cebrdr. Ω solu sayıda elemaa sahp olduğuda her cebr ayı zamada br σ- 2 cebrdr. Ω ı elema sayısı olduğuda Ω üzerde 2 tae sııf oluşturulablr. Bularda bazıları cebr, bazıları cebr değldr. Ω sosuz elemalı olduğuda, Ω üzerde sosuz tae sııf ve sosuz tae cebr le σ- cebr oluşturulablr ( a Ω ç, { a },{ a}, Ω sııfı br σ-cebrdr). Br Ω { } kümes üzerde oluşturula {, Ω } ve { : Ω } sııfları brer σ-cebr, dolayısıyla cebrdr. U sııfı Ω üzerde br σ-cebr olmak üzere, {, Ω} U { : Ω} dır. Br Ω kümes üzerde oluşturulablecek e küçük σ-cebr {, Ω } ve e büyük σ-cebr Ω ı kuvvet kümesdr. Buradak sıralama altküme ( ) bağıtısıa göredr ve br kısm sıralamadır (bütü σ-cebrler küçükte büyüğe doğru dzlemez).

6 Ω kümes üzerde cebr (σ-cebr) olmaya br sııfıı kapsaya br e-küçük cebr (σ-cebr) vardır. sııfıı kapsaya e küçük σ-cebr σ ( ) le gösterlr. R reel sayılar kümesdek ( a, b) = { x R : a < x < b} açık aralıkları oluşturduğu B₁( R ) = {( a, b) : a < b, a, b R } sııfı br σ-cebr değldr. çık aralıkları sııfıı kapsaya (açık aralıkları doğurduğu) e küçük σ-cebre Borel cebr der ve B veya B ( R) le gösterlr. Kapalı aralıkları doğurduğu e küçük σ-cebr de Borel cebr dr. Esasıda B= σ (B ), =,2,...,8 dr. Reel sayıları sıralı -l ler kümes, { a a a a } R = R R... R= (,,..., ) : R, =,2,..., olmak üzere, a = ( a, a2,..., a), b = ( b, b2,..., b ) R ve a < b ( a < b, =, 2,..., ) ç, ( a, b) = ( a, b ) ( a2, b2 )... ( a, b ) = {( x, x2,..., x ) : x R, a < x < b, =,2,..., } kümese R de açık dkdörtge der. çık dkdörtgeler ( ) B₁( R ) = { a, b : a < b, a, b R } kümes br σ-cebr değldr. B₁( R ) y kapsaya e küçük σ-cebre R de Borel cebr der ve B( R ) le gösterlr. ralıklardak duruma bezer şeklde, [ a, b] = [ a, b ] [ a, b ]... [ a, b ] = {( x, x,..., x ) : x R, a x b, =,2,..., } kapalı dkdörtgeler sııfıı kapsaya e küçük σ-cebr ye B( R ) dr.

Benzer belgeler

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler