MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

Transkript

1 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 108 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Analiz Yazar: Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Editör: Öğr.Gör.Dr. Mehmet ÜREYEN

2 Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Anadolu Üniversitesine aittir. "Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Copyright 1999 by Anadolu University All rights reserved No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic tape or otherwise, without permission in writing from the University. Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN ISBN X

3 Başlarken Bu kitap, Anadolu Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi'nce yürütülen İlköğretim Öğretmenliği Lisans Tamamlama Programı Matematik dalı Analiz dersi için hazırlanmıştır. Okuyucuların lise öğrenimlerini uzun yıllar önce tamamlamış olmaları nedeniyle birinci ve ikinci üniteleri, daha sonraki ünitelerde ihtiyaç duyulacak kavramlar için ayırdık. Bu kavramları belli bir bütünlük içerisinde inceleyince bu ünitelerin hacmi, uzaktan eğitim ilkelerine göre olması gereken boyutu aştı. Hedef kitlenin özel durumu nedeniyle bu konuda bağışlanacağımızı umuyoruz. Kümeler ve Sayılar konusunu incelediğimiz 1. ünitede gerçel sayılar sistemine geniş yer ayırdık, ancak gerçel sayıların titiz inşasını ikinci plana alıp temel özelliklerin ispatına ağırlık verdik.. Ünitede Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler konularını ayrıntılı olarak inceledik. Özellikle özdeşliklerin geometrik yorumlarına önem verdik. Bu konuya öğretmenlerimizin de önem vermelerini, kesilmiş tahta veya kartonlarla bu ispatları sınıfta yapmalarını arzuladık. Esas itibariyle fonksiyon ve fonksiyon davranışlarını inceleyen ve matematik bölümlerinin en temel dersi olan analiz konusuna 3. ünitede fonksiyon kavramını ele alarak başladık. Fonksiyonun resmi olan grafik konusuna özel önem verdik ve bilgisayarla gerçeğe uygun grafikler çizdik. 4. üniteden itibaren kitabın büyük bölümünü tek değişkenli fonksiyonlara ayırdık ve bu tür fonksiyonların, limit, süreklilik, türev ve integralini inceledik. Bu kavramların temel özelliklerini genellikle örneklerle açıkladık, ayrıntılı ve zor ispatlardan kaçındık. Son iki ünitede, çok değişkenli fonksiyon kavramı, katlı integraller ve diferansiyel denklemler konularında sadece bir ön bilgi vermeyi amaçladık. Ünitelerde incelenen konular, çözümü okuyucuya bırakılan ve ünite içersinde soru işaretiyle birlikte belirttiğimiz sorular ve değerlendirme sorularıyla birlikte düşünülmelidir. Her iki grup soruların cevapları verildiğinden okuyucuların, bu soruları çözerek hem bilgilerini pekiştireceklerine hem de kendilerini kontrol edebileceklerine inanmaktayız. Dizgi anında her türlü nazımızı olgunlukla karşılayan dizgi ve grafik ekibine teşekkür ederiz. Sağlık ve başarı dileklerimizle. Editör Öğr.Gör.Dr. Mehmet ÜREYEN ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

4

5 Sayılar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 1 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; küme kavramını ve kümelerle işlemleri, sayı kümelerini ve sayıların bazı temel özelliklerini, bir sayının mutlak değerini, üslü ve köklü sayıları, logaritma kavramını hatırlayacaksınız. İçindekiler Giriş 3 Küme Kavramı 3 Gerçel Sayılar 6 Aralıklar 18 Mutlak Değer 0 Üslü ve Köklü Sayılar 1 Logaritma 6 Gerçel Sayıların Aksiyomatik Yapısı 8

6 Doğal Sayılarla İlgili Bazı Çözülmemiş Problemler 9 Değerlendirme Soruları 30 Çalışma Önerileri Tanımları iyi öğreniniz Mutlaka yazarak çalışınız Yanınızda hesap makinesi bulundurunuz Çözümleri size bırakılan soruları cevaplarına bakmadan çözmeye çalışınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 SAYILAR 3 1. Giriş Sayıların tarihi gelişimi insanlık tarihinin gelişimine paralel bir süreç izlemiştir. İnsanoğlu asırlar boyu "1 nedir?", " nedir?", "3 nedir?", daha genel olarak "sayı nedir?" sorularına cevap aramış ve ancak 19. yüzyılın sonlarında tam bir cevap bulabilmiştir. Bu cevap sayıların ünite sonunda verdiğimiz aksiyomatik tanımıdır. Sayıların tarihi gelişimini merak eden okuyuculara TÜBİTAK tarafından seri halinde dilimize çevrilen "Ifrah Georges; Rakamların Evrensel Tarihi" isimli eser önerilebilir. Bu ünitede küme kavramı ile ilgili bazı hatırlatmalar yaptıktan sonra, sayı kümelerini ve sayılarla ilgili sıkça kullanılan bazı özellikleri ele alacağız.. Küme Kavramı Kümeler teorisi geçen asrın sonlarında ortaya çıkmış olup matematiğin gelişmesinde önemli rol oynamıştır.kümenin kesin tanımı yapılmamakla beraber, canlı ya da cansız varlıklardan oluşan bir topluluğa ait olan nesneler açık ve kesin olarak biliniyorsa, böyle bir topluluğa küme denir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler sembolik olarak A, B, C, gibi büyük harflerle, onların elemanları ise a, b, c, gibi küçük harflerle gösterilir. a elemanının A kümesine dahil olması sembolik olarak a A, dahil olmaması ise a A biçiminde ifade edilir. Hiç bir eleman içermeyen kümeye boş küme denir ve sembolik olarak ile gösterilir. Kümeler çeşitli yollarla ifade edilir. Bunlardan birincisi, kümedeki elemanları tek tek belirtmektir. Örneğin, a,b,c ve d elemanlarından oluşan bir A kümesi, A = { a, b, c, d } biçiminde yazılır. Ancak kümenin eleman sayısı çok olduğunda bu tür yazılım zorlaşır. Bu durumda, eğer mümkünse, küme elemanları noktalar yardımı ile gösterilir. Örneğin, A, 50 den büyük olmayan doğal sayılar kümesi ise, A kümesi A = { 1,, 3,..., 49, 50 } şeklinde gösterilir. Fakat, bazen bu tür yazılım da mümkün olmayabilir. A kümesi, ancak ve ancak P özelliğini sağlayan elemanlardan oluşuyorsa, bu durumda A kümesi şu şekilde gösterilir: A = { x x elemanı P özelliğini sağlar } AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 4 SAYILAR Örneğin, A kümesi, 1998 yılında A.Ü.Açıköğretim Fakültesini kazanan öğrenciler kümesini gösteriyorsa, o zaman A = { x x 1998 yılında A.Ü. Açıköğretim Fakültesi'ni kazanmıştır } şeklinde yazılabilir. Kümeleri ve onlar üzerindeki işlemleri daha iyi anlayabilmek için kümeler, sembolik olarak, dikdörtgen, çember veya elips gibi eğriler ile sınırlanan bir düzlem parçasıyla temsil edilir. Bu durumda bazen sınırlanan bölge içerisine kümenin elemanları yazılır. Kümenin bu tür gösterimine Venn şeması ile gösterimi denir. Aşağıda A = { a, b, c, d } ve B = { 1,, 5, 7 } kümeleri sembolik olarak Venn şeması ile gösterilmiştir..a.d.1..c.b.5.7 A kümesi B kümesi A ve B gibi iki küme verilsin. A kümesindeki her eleman B kümesinin de elemanı ise o zaman A kümesi B nin altkümesidir denir ve sembolik olarak A B şeklinde gösterilir. Örnek: A = { 1,, 3 }, B = { 1,, 3, 8, 9 } verilsin. A kümesindeki her eleman B kümesinin de elemanı olduğundan A B dir. A ve B gibi iki küme verilsin.eğer hem A B ve hem de B A ise A kümesi ile B kümesi eşittir denir ve sembolik olarak A = B şeklinde gösterilir. Elemanları ya A, ya da B kümesinin elemanları olan kümeye A ile B nin birleşimi denir ve birleşim kümesi sembolik olarak A B şeklinde gösterilir. Elemanları hem A, hem de B kümesinin elemanları olan kümeye A ile B nin kesişimi denir ve kesişim kümesi sembolik olarak A B gibi gösterilir. A kümesinin B ye dahil olmayan elemanlarının kümesine A ile B nin farkı denir ve sembolik olarak A-B veya A\B gibi gösterilir. Bu tanımlara göre, yazılabilir. A B = { x x A veya x B }, A B = { x x A ve x B }, A - B = { x x A ve x B } ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

9 SAYILAR 5 Kümelerde alt küme, birleşim,kesişim ve fark ile ilgili şu temel özellikleri verebiliriz. A, B ve C herhangi üç küme olmak üzere, aşağıdaki özellikler sağlanır: A A A A B ve B C ise A C dir. A A = A A B = B A A (A B) ve B (A B) (A B) C = A (B C) A A = A A B = B A ( A B ) C = A (B C) (A B) A ve (A B) B A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) ( A C). Örnek: A = { 1,, 5, 7 }, B = { 1, 5, 9, 10 } verilsin. O zaman A B = { 1,, 5, 7, 9, 10 }, A B = { 1, 5 }, A - B = {, 7 } olur. Kümelerin birleşimi, kesişimi ve farkı Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilebilir. A B A B A B A B A B 1) A = {1,, 3} kümesinin alt kümelerini yazınız ) A = {a, b, c, d}, B = {a, c} kümeleri veriliyor. A B, A B, A - B, B - A kümelerini bulunuz. A - B? Cevaplarınız şöyle olmalıdır: 1), {1}, {}, {3}, {1, }, (, 3}, {1, 3}, {1,, 3} ) A B = {a, b, c, d}, A B = {a, c}, A - B = {b, d}, B - A =. A ve B gibi boş kümeden farklı herhangi iki küme verilsin ( A = B de olabilir). a A, b B olmak üzere, bu iki eleman yardımıyla, sıra gözetilerek oluşturulan ve (a, b) şeklinde gösterilen eleman çiftine bir sıralı ikili denir. (a, b) sıralı ikilisinde a ya ikilinin birinci terimi veya birinci bileşeni, b ye ikinci terim veya ikinci bileşeni denir. (a, b) ve (c, d) sıralı ikilileri verilsin. Bu iki sıralı ikilinin eşit olması için gerek ve yeter koşul, birinci ve ikinci bileşenlerin kendi aralarında eşit olmasıdır. Yani, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 6 SAYILAR (a, b) = (c, d) a = c ve b = d dir. Buna göre örneğin, (, 1) (1, ) dir. A ve B kümeleri verilsin. { (a, b) a A, b B} kümesine A ile B nin çarpım kümesi (kartezyen çarpımı) denir ve A x B biçiminde gösterilir. Buna göre, A x B = { (a, b) a A, b B}. Örnek: A = { -1,, 3 } ve B = { a, b } kümeleri veriliyor. A x B kümesini bulunuz. Çözüm: A x B = { (-1, a), (-1, b), (, a), (, b), (3, a), (3, b) }. Genel olarak, A x B B x A dır. A x A kümesi kısaca A biçiminde de gösterilir. 3. Gerçel Sayılar Sayma,sıralama ve numaralama amacıyla kullandığımız 1,, 3, gibi sayılara doğal sayılar diyoruz. Doğal sayılar kümesi IN ile gösterilir: IN = { 1,, 3, 4,... }. Sıfır sayısı sayım işleminde kullanılmadığından doğal sayılar kümesine katılmıyor. İki doğal sayının toplamı yine doğal sayıdır, fakat farkı doğal sayı olmayabilir. Doğal sayılar kümesi, negatifleri ve sıfırı da katmakla Z tam sayılar kümesine genişletilir: Z = {..., -3, -, -1, 0, 1,, 3,... }. IN Z olduğu açıktır. Her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır. m ve n tam sayıları verilsin. Eğer m n bir doğal sayı ise m sayısı n sayısından büyüktür veya buna denk olarak n sayısı m sayısından küçüktür denir ve sırasıyla ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

11 SAYILAR 7 m > n veya n < m şeklinde gösterilir. 0 dan büyük tam sayılar pozitif, 0 dan küçük tam sayılar ise negatif olur. 0 pozitif veya negatif değildir.pozitif tamsayılar kümesi Z + ile, negatif tam sayılar kümesi Z - ile gösterilir. Buna göre, Z = Z + { 0 } Z - yazılabilir. Bölüşmenin, parçalamanın gerekli olduğu durumlarda iki tam sayıyı bölmek gerekmektedir ve bölme sonucu tam sayı çıkmayabilir. Bu sebepten tam sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde gösterilebilen rasyonel sayılara genişletilir. Böylece Q rasyonel sayılar kümesi olarak tanımlanır. Q = m n m, n Z ve n 0 m Herhangi bir m tamsayısı şeklinde yazılabildiğinden her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Bu nedenle 1 IN Z Q yazılabilir. Örnek: 3, 5-7, 0, 7 3, 3, sayıları birer rasyonel sayıdır. m rasyonel sayısında, m ve n tam sayıları aynı işaretli ise rasyonel sayı pozitif, ters işaretli ise negatif rasyonel sayı olur. Bundan n başka, - m n = -m n = m -n dir. Bunun sonucu olarak, sayı olarak düşünülebilir. m n rasyonel sayısında her zaman n pozitif bir tam Pozitif rasyonel sayılar kümesi Q +, negatif rasyonel sayılar kümesi Q - olmak üzere, dir. Q = Q + { 0 } Q - m n = p q mq = np dir. Buna göre, örneğin 3 = 4 6 = 8 1 =16 4 yazabiliriz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ =... = -4-6 = -8-1 =-16-4 =...

12 8 SAYILAR Eğer m rasyonel sayısında, n pozitif olmak üzere, m ve n nin ortak bölenleri n yoksa yani, her iki tam sayıyı da bölen 1 den farklı bir tam sayı bulunmuyorsa, m n sayısı sadeleşmiş şekildedir denir. Örneğin, 3 sadeleşmiş şekilde bir rasyonel 5 sayıdır. Buna karşılık, 4 sadeleşmiş şekilde değildir. Ancak, 4 olduğundan 6 6 = 3 ve ile 3 ün ortak böleni bulunmadığından 4 sayısının sadeleşmiş şekli dir. 6 3 Benzer şekilde, in sadeleşmiş şekli 3 iken, in sadeleşmiş şekli ise -4 5 dir. m n, p q ve r k rasyonel sayıları verilsin. 1) m n + p q = m q + n p n q ) m n - p q = m q - n p n q 3) m n. p q = m p n q 4) m n : p q = m q n p 5) m p n q + r k = m p n q + m r n k = m p k + m r q n q k 6) Herhangi bir p 0 tam sayısı için m n = m p n p 7) 0 m = 0, (m 0) 8) - - m n = m n dir. Örnek: = = = , = = = = m ve n iki doğal sayı olsun. Eğer m > n ise, p bölüm, k kalan olmak üzere, m = pn + k yazılabilir. Bu durumda m rasyonel sayısı p k biçiminde gösterilir. Örneğin, n n 17 5 = 3 5 dir. p k n sayısına tam sayılı kesir de denmektedir. p k = p + k n n demek olduğuna dikkat edip bu tür sayılarla işlem yaparken dikkatli olunuz = = = = ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 SAYILAR 9 Herhangi iki rasyonel sayıyı karşılaştırmak mümkündür. Yani m ve p gibi iki n q rasyonel sayı verildiğinde bu sayılar ya eşit, ya birinci ikinciden büyük, ya da birinci ikinciden küçük olacaktır. Herhangi iki rasyonel sayıyı karşılaştırmak için onları ortak paydaya getirip paylarını karşılaştırmak yeterlidir. Örnek: 1) 3 4 ve 4 5 sayılarını karşılaştırmak için 3 4 = 15 0, 4 5 = 16 0 ) den büyük olduğundan 4 5 in 3 4 gibi yazarsak 16 sayısı den büyük olduğu sonucuna varıyoruz. ve 1 3 verilsin. O zaman 6 7 = = , 1 3 = = gibi yazarsak 1 3 ün 6 7 den büyük olduğunu görüyoruz. 3) ve sayıları verilsin. O zaman = = ; = = gibi yazılımları mümkün olduğundan ve -55 sayısı -56 sayısından büyük olduğundan sayısı den büyüktür. 4) 19 3 ve 50 7 sayılarını karşılaştırmak için ortak paydaya gerek yoktur, çünkü 19 3 = 6 1 3, 50 7 = gibi yazarsak ikincinin tam kısmı büyük olduğundan 50 7 nin 19 3 den büyük olduğu sonucuna varıyoruz. Rasyonel sayıları kolaylıkla geometrik olarak göstermek mümkündür. Bunun için bir doğru seçilir ve bu doğru üzerinde sıfır sayısına karşılık gelmek üzere bir O başlangıç noktası, soldan sağa olmak üzere pozitif yön ve bir birim uzunluk seçilir. birim uzunluk 0 pozitif yön O başlangıç bafllang ç noktası noktas Bu doğruya sayı doğrusu veya sayı ekseni denir. 0 noktasından itibaren birim uzunluk, sağa doğru 1 defa, defa, 3 defa,... taşınarak 1,, 3,... sayılarına karşılık gelen noktalar belirlenir. Aynı işlem 0 noktasından sola doğru tekrarlanarak -1, -, -3,... sayılarına karşılık gelen noktalar belirlenmiş olur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 10 SAYILAR Sadeleşmiş şekli m olan rasyonel sayı verilsin. Birim uzunluğu, herbirinin uzunluğu n 1 olan n tane eşit parçaya bölelim ( n > 0 olduğunu hatırlayalım). Sonra eğer, n m > 0 ise 0 noktasından sağa doğru m tane, m < 0 ise sola doğru -m tane 1 uzunluğunu taşıdığımızda son ulaştığımız nokta m sayısına karşılık gelen nokta olarak n n belirlenmiş olur. Örneğin, 8 olduğundan uzunluğunu 0 dan itibaren sağa doğru 8 adım 3 = taşıdığımızda gelinen nokta 8 noktasıdır: Eğer rasyonel sayı 1 den büyükse bu sayıya karşı gelen nokta aşağıdaki yöntemle daha kolay bulunabilir. m > 1 ise m yazılır ve birim n n = p k n = p + k p, k IN n uzunluk n eşit parçaya bölünür. Daha sonra p den itibaren 1 uzunluğu sağa m n doğru k kez taşınırsa n ye karşı gelen nokta bulunmuş olur. Örneğin, 8 olduğundan bu sayıya karşı gelen nokta aşağıdaki gibi 3 = 3 = + 3 de bulunabilir m < 0 ise - m karşı gelen nokta yukarıdaki yöntemle bulunur, daha sonra n n ye bu noktanın başlangıç noktasına göre simetriği alınır. m n nin pozitif olması durumunda bu nokta aşağıdaki şekilde de bulunabilir. L N M O 0 P m/n 1 B ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 SAYILAR 11 Şekilde görüldüğü gibi önce, OL yarı doğrusu çizilir. OL yarı doğrusu üzerinde OM = m ve ON = n olacak şekilde M ve N noktaları belirlenir (OL yarı doğrusu üzerindeki birim uzunluk sayı doğrusu üzerindeki birim uzunluktan farklı olabilir). Daha sonra N noktası sayı doğrusu üzerinde 1e karşı gelen B noktası ile birleştirildikten sonra M noktasından NB doğrusuna bir paralel çizilir. Bu paralel doğrunun sayı doğrusunu kestiği nokta olan P noktası m pozitif sayısına karşı gelen n nokta olur. Böylelikle her rasyonel sayıyı sayı doğrusunda bir nokta ile göstermek mümkündür. Eğer bir rasyonel sayıya karşı gelen nokta, başka bir sayıya karşı gelen noktanın sağında ise, birinci sayı ikinciden büyük olur sayısına sayı ekseni üzerinde karşı gelen noktayı bulunuz. 11? Cevabınız olmalıdır. Şimdi doğal olarak şu soru ortaya çıkar. Sayı doğrusu üzerindeki her nokta bir rasyonel sayıyı gösterir mi? Bu sorunun cevabı hayırdır. Gerçekten, aşağıdaki şekildeki gibi bir ikizkenar dik üçgen alalım. Bu dik üçgende OA kenarı hipotenüstür ve Pisagor teoremine göre, OA = OB + BA dir. OB = BA = 1 olduğundan OA = olur. Şimdi sayı ekseni üzerinde OA = OP olacak şekilde P noktasını işaretleyelim. A O 0 1 B P O zaman OP = olur. Buna göre P noktasının O noktasına uzaklığı, karesi olan bir sayı kadar birimdir. Ancak bilinen odur ki karesi olan rasyonel sayı yoktur. O zaman OP uzunluğu rasyonel sayı değildir ve P noktasına rasyonel sayı karşı gelmez. OA uzunluğunun kenar uzunluğu 1 birim olan karenin köşegen uzunluğuna eşit olduğuna dikkat ediniz. P noktasında olduğu gibi O noktasına uzaklığı bir rasyonel sayı ile ifade edilemeyen çok fazla sayıda noktanın varlığı bilinmektedir. Bu tür noktalara karşı gelen sayılara irrasyonel sayılar denir. Örneğin yukarıda varlığını gördüğümüz, karesi ye eşit olan sayı ki bu sayıyı şeklinde göstereceğiz, bir irrasyonel sayıdır. Sayı ekseninde bir B noktası verildiğinde OB uzunluğu rasyonel sayılarla ifade edilemezse o zaman B noktasının gösterdiği sayı irrasyonel sayıdır. Daha sonra tanıyacağımız ve orta öğreniminizden de hatırlayacağınız 3, 5, 4, köklü sayıları birer irrasyonel sayılardır. 3 Rasyo- AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 1 SAYILAR nel sayılar kümesine irrasyonel sayıların da eklenmesi, herhangi doğru parçasının uzunluğu kavramını tanımlamaya imkan verir. İrrasyonel sayılar köklü sayılarla bitmiyor. Örneğin, herhangi çemberin çevresinin çapına oranı olan π sayısı ve daha sonra tanıyacağımız ünlü bir limitin değeri olan e sayısı da irrasyoneldir. Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine gerçel sayılar kümesi, bu kümenin her bir elemanına da bir gerçel (reel) sayı denir. Gerçel sayılar kümesi IR ile gösterilir. Her gerçel sayıya sayı ekseni üzerinde bir nokta, ve tersine, sayı ekseni üzerindeki her noktaya bir gerçel sayı karşı gelir. Sayı doğrusu üzerinde rasyonel ve irrasyonel sayılara karşılık gelen noktalar farklı olduğundan bir sayı hem rasyonel hem de irrasyonel olamaz. Yani rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin kesişimi boş kümedir. IN Z Q IR olduğu da açıktır. Bundan sonra sayı dediğimizde gerçel sayıyı kastedeceğiz. Her rasyonel sayının devirli ondalık yazılımı vardır. Devirli ondalık yazılım, rasyonel sayının ondalık yazılımında aynı doğal sayının sonsuza kadar tekrarlanmasıdır. Bu yazılımı bulmak için, pay paydaya bölünür ya da bazı özel durumlarda rasyonel sayının paydası 10 un kuvvetlerinden birine dönüştürülür. Örnek: 1 = 0,5, 1 3 = 0,333..., 3 = 3,555..., = 0, , = = = -,75. Eğer bir rasyonel sayının ondalık yazılımı sonlu ise, bu durumda 0 devrediyor kabul edilir. Örneğin, 1 sayılarında 0 devrediyor kabul edilir. = 0,5 ve = -,75 Bu tür sayıların ondalık kesirlerle ikinci tür yazılımı da mümkündür. İkinci yazılım, 9 un devrettiği devirli ondalık yazılımdır. Örneğin, 1 = 0,5 ve 1 = 0, , 13 5 =,6 ve 13 5 =, , = - 0,5 ve - 1 = - 0, yazılabilir. 4 Herhangi bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde devirli ondalık sayı çıkacağına dikkat ediniz. Rasyonel sayıların bu özelliğine karşılık, irrasyonel sayıları onluk sistemde yazmak istediğimizde devirsiz bir ondalık yazılımla karşılaşırız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 SAYILAR 13 Her irrasyonel sayı devirli olmayan sonsuz ondalıklı bir sayıdır. Örneğin, = 1, , 3 = 1, , π = 3, , e =, Aşağıdaki sayılardan hangileri irrasyoneldir? -56, 3 + 1, 3 6, 5π? Cevabınız ikinci ve dördüncü sayılar olmalıdır. a ve b gibi iki sayı verilsin. Eğer sayı doğrusu üzerinde a sayısına karşı gelen nokta, b sayısına karşı gelen noktanın solunda ise o zaman a sayısı b sayısından küçüktür veya buna eşdeğer olarak b sayısı a dan büyüktür denir. Bu bağıntı a < b veya buna eşdeğer olarak b > a gibi gösterilir. Herhangi a ve b sayıları için a < b, a = b, a > b bağıntılarından ancak ve ancak biri doğrudur. a > 0 ise a sayısı pozitif, a < 0 ise negatif sayı olur. Pozitif gerçel sayılar kümesi IR +, negatif gerçel sayılar kümesi IR - olmak üzere, dir. IR = IR + {0} IR - Eğer a ve b sayıları için a sayısı b sayısından büyük değilse (yani küçük veya eşit ise) bu bağıntı a b veya buna eşdeğer olarak b a gibi yazılır. Buna göre 1, , 3 3 yazılımları doğru yazılımlardır. Böylece a b bağıntısı, a < b veya a = b demektir. Benzer şekilde a b bağıntısı, a > b veya a = b demektir. <, >,, bağıntılarına eşitsizlikler denir. Eğer a sayısı b sayısına eşit değilse bu bağıntı a b şeklinde gösterilir. Eğer a, b ve c sayıları için hem a < b, hem de b < c eşitsizlikleri sağlanıyorsa bu iki eşitsizlik a<b<c şeklinde yazılır ve b sayısı a ile c nin arasındadır denir. a b c, a < b c ve a b < c eşitsizlikleri de benzer anlam taşımaktadır. Gerçel sayılar kümesinin eşitsizliklerle ifade olunan ve çok sık kullanılan aşağıdaki özellikleri vardır. Her bir a sayısı için a < n olacak şekilde (sonsuz sayıda) n doğal sayısı vardır (Arşimet özelliği) Her hangi iki sayı arasında (sonsuz sayıda) rasyonel sayı vardır Her hangi iki sayı arasında (sonsuz sayıda) irrasyonel sayı vardır AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 14 SAYILAR Sayı dediğimizde gerçel sayıyı kasdettiğimizi bir daha hatırlayalım. Gerçel sayılar üzerinde tanımlanan iki esas işlem toplama ve çarpma işlemleridir. Fark ve bölme işlemleri ise bu iki işlemden elde edilebilir. a ve b sayıları verilsin. O zaman a + b toplamı öyle bir gerçel sayıdır ki r 1 < a < r, r 3 < b < r 4 eşitsizliklerini sağlayan tüm r 1, r, r 3, r 4 rasyonel sayıları için r 1 + r 3 < a + b < r + r 4 eşitsizliği sağlanmış olsun. Gerçel sayıların toplamının aşağıdaki özellikleri vardır. A1) Her a, b IR için a + b = b + a A) Her a, b ve c IR için (a + b) +c = a + (b + c) A3) Her a IR için a + 0 = a A4) Her hangi a IR verildiğinde a + (-a) = 0 olacak şekilde bir tek -a sayısı vardır. Sayı ekseni üzerinde -a sayısına karşı gelen nokta, a sayısına karşı gelen noktanın başlangıç noktasına göre simetriğidir. -a sayısına a nın toplamaya göre tersi denir. a ve b sayılarının a-b farkını tanımlamak için önce (-b) bulunur, sonra ise a ile (-b) toplanır: a - b = a + (-b). Aşağıda, A1 )- A4) özelliklerinden yararlanarak bazı önermeler ispatlanmıştır. Önerme 1: Her a IR için - (-a) = a dır. İspat: Eğer a + b = 0 ise A1) ve A4) den ve a nın toplamaya göre tersinin tekliğinden b = -a olmak zorundadır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

19 SAYILAR 15 (-a) + a = a +(-a) = 0 olduğundan, (-a) nın toplamaya göre tersi olan - (-a) sayısı a ya eşit olmak zorundadır: - (- a) = a. Önerme : İspat: Her a, b IR için (-a) + (-b) = -(a+b) dir. A1), A), A3), A4) özelliklerinden, (a+b) + [(-a) + (-b)] = [(a + b) + (- a)] + (- b) = [(b + a) + (- a)] + (- b) = [(b + (a + (- a))] + (- b) = (b + 0) + (- b) = b + (- b) = 0 bulunur. Buna göre, a + b nin toplamaya göre tersi olan - (a + b) sayısı (- a) + (- b) dir: - (a+b) = (-a) + (-b). İki irrasyonel sayının toplamı her zaman bir irrasyonel sayı mıdır? Cevabınız hayır olmalıdır ( ve - sayılarını düşününüz).? Her ikisi pozitif a ve b sayılarının a.b çarpımı, öyle bir sayıdır ki r 1 < a < r, r 3 < b < r 4 eşitsizliklerini sağlayan tüm pozitif r 1, r, r 3 ve r 4 rasyonel sayıları için r 1 r 3 < a. b < r r 4 eşitsizliği sağlanmış olsun. Eğer a < 0, b > 0 ise a.b çarpımı a. b = - ((-a). b) a > 0, b < 0 ise a.b çarpımı a. b = - (a. (-b)) a < 0, b < 0 ise a.b çarpımı a. b = (-a). (-b) olarak tanımlanmakla, a ve b den en az birisi negatif olduğunda çarpma pozitif sayıların çarpımına dönüştürülebilir. Çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır. M1) Her a, b IR için a. b = b. a M) Her a, b, c IR için (a. b). c = a. (b. c) AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 16 SAYILAR M3) Her a IR için a. 1 = a M4) Her a IR, a 0 sayısı için, tek bir a -1 sayısı vardır, öyle ki a. (a -1 ) =1 a -1 sayısına a nın çarpmaya göre tersi denir. Buna göre, a. a -1 = 1 dir. M5) Her a, b, c IR için a (b + c) = ab + ac. a ve b sayıları verilsin ve b 0 olsun. a. b -1 sayısına a nın b ye bölümü denir ve a şeklinde gösterilir: b a b = ab-1. Çarpma ve bölme işlemlerinin aşağıdaki özellikleri vardır. Önerme 3: Her a IR için a. 0 = 0 İspat: A3) e göre 0 + 0= 0. Buradan M5) e göre a. 0 = a (0 + 0) = a. 0 + a. 0 yazılır. Şimdi bunu ve A4) ü kullanırsak, 0 = a. 0 + [- (a. 0)] = a. 0 + a. 0 + [- (a. 0)] = a. 0 + [a. 0 + (- (a. 0))] = a = a. 0, buradan a. 0 = 0 elde edilir. Önerme 4: Her a IR, a 0, için (a -1 ) -1 = a dir. İspat: Bir sayının çarpmaya göre tersinin tanımına göre, (a -1 ) -1 = a olması için a -1. a = 1 olmalıdır. M1) ve M4) ü kullanırsak ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

21 SAYILAR 17 a -1. a = a. a -1 =1 dir. Buna göre a -1 in çarpmaya göre tersi a dır. Yani (a -1 ) -1 = a. Önerme 5: a, b IR, a. b = 0 ise o zaman ya a = 0 veya b = 0 dır. İspat: a sayısı için iki durum sözkonusu olabilir: a = 0 veya a 0. Eğer a = 0 ise teoremin ispatı biter. Eğer a 0 ise M4) e göre öyle bir a -1 IR vardır ki a. a -1 =1 sağlanır. O zaman önerme 3, M), M4), M3) e göre aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz. 0 = a = a -1. (a. b) =(a -1. a). b = 1. b = b. Böylece eğer a 0 ise b = 0 olmalıdır. Önerme 6: a, b IR için eğer a 0, b 0 ise o zaman a. b 0 ve (a. b) -1 = a -1. b -1 dir. İspat: a 0 ve b 0 olduğundan önerme 5 e göre a. b 0 olmalıdır. (a.b) -1 = a -1. b -1 eşitliğini ispatlamak için ise (a. b). (a -1. b -1 ) =1 olduğunu göstermemiz gerekiyor. Şimdi M1), M), M3), M4) özelliklerini kullanırsak aşağıdakileri yazabiliriz: (a. b). (a -1. b -1 ) =(b. a). (a -1. b -1 ) = b. [a. (a -1. b -1 )] =b. [(a. a -1 ). b -1 ] = b. [1. b -1 ] = b. b -1 = 1, ve önerme ispatlanmış olur. Önerme 7: dir. a, b, c, d IR için eğer b 0, d 0 ise o zaman a b. c d = ac bd İspat: olur. a b = a.b-1, c d = c.d-1 yazılabildiğinden M1), M) özellikleri ve önerme 6 dan a b. c d = (a.b -1 ). (c.d -1 ) = a. b -1. (c.d -1 ) = a. (b -1. c).d -1 = a. (c.b -1 ).d -1 = a. c. (b -1. d -1 ) = (a.c)( b -1. d -1 ) = (a.c) (b.d) -1 = a.c b.d Önerme 8: a, b IR ve a 0, b 0, ise o zaman a -1 = b dir. b a AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

22 18 SAYILAR İspat: M) ve M3) özelliklerini kullanırsak a b. b a = (a.b -1 ). ( b.a -1 ) = a. b -1.(b.a -1 ) = a. (b -1.b).a -1 = a.(1. a -1 ) = a.a -1 = 1 olur. O zaman çarpmaya göre tersin tanımından dolayı a -1 = b b a yazabiliriz. Gerçel sayıların toplamı sayı ekseni üzerinde kolayca yorumlanabilir. a ve b sayıları verilsin. Bu sayılara karşı gelen noktaları eksen üzerinde bulalım. Eğer b 0 ise a sayısına karşılık gelen noktadan itibaren pozitif yönde b kadar uzunluğu taşıdığımızda vardığımız nokta (a + b) yi temsil eder. b 0 b a a+b Eğer b < 0 ise b ile 0 arasındaki uzunluğu a noktasından itibaren negatif yönde taşıdığımızda vardığımız nokta (a+b) yi temsil eder. - b b 0 a+b Bu yolla a ve b sayılarının farkını da kolayca yorumlamak mümkündür. a ve b sayılarının çarpımı da sayı ekseni üzerinde yorumlanabilir, fakat bunun üzerinde durmayacağız. a 4. Aralıklar Aralıklar, IR gerçel sayılar kümesinin önemli altkümeleridir. a < b olmak üzere a ve b sayıları verilsin. b den büyük ve a dan küçük olmayan bütün sayılar kümesine [a,b] kapalı aralığı denir. Tanıma göre, [a, b] = {x IR a x b}. b den küçük ve aynı zamanda a dan büyük olan (başka deyişle a ile b arasında olan) bütün sayıların kümesine (a, b) açık aralığı denir: (a, b) = {x IR a < x < b}. Benzer yolla (a,b], [a,b) yarı kapalı (veya yarı açık) aralıkları tanımlanır: [a, b) = {x IR a x < b} (a, b] = { x IR a < x b} ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

23 SAYILAR 19 Bundan başka sınırsız aralıklar da tanımlanabilir. Bunun için (artı sonsuz) ve - (eksi sonsuz) sembolleri kullanılır: (a, ) = {x IR x > a }, [a, ) = {x IR x a }, (-, b) = {x IR x < b }, (-, b] = {x IR x b }. Bu işaretlere göre IR gerçel sayılar kümesinin kendisi de (-, ) aralığı gibi gösterilebilir. Örneğin, 1 den büyük tüm gerçel sayılar kümesi (1, ) aralığıdır. 1,3 (1, ), (1, ), 10 (1, ), 0,5 (1, ) dır. 9 Negatif sayılar kümesi (-, 0) şeklinde gösterilebilir. -3 (-, 0), (-, 0), - (-, 0), 0 (-, 0) dır. Örnek: (0, 1), [, 3], 3 1,, (-, - 4], [-3, -1) gösteriniz. aralıklarını sayı ekseni üzerinde Çözüm: (-, -4] [-3, -) (0,1) [,3] 3 1, aralığının birleşimini, kesişimini ve farkını bulu- Örnek: [0, 1] aralığı ile nuz. 1, 3 Çözüm: 0, 1 1, 3 = 0, , 1 1, 3 = 1, , 1-1, 3 = 0, bulunur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

24 0 SAYILAR 4. Mutlak Değer Bir gerçel a sayısının mutlak (salt) değeri, o sayıyı sayı ekseni üzerinde gösteren noktanın başlangıç noktasından olan uzaklığını ifade eder ve a ile gösterilir. Buna göre, eğer a > 0 ise a = a, a = 0 ise a = 0 ve a < 0 ise a = -a olur. Bu tanımı büyük parantez kullanarak a a > 0 ise, a = 0 a = 0 ise, gibi yazabiliriz. -a a < 0 ise Örneğin, 4 = 4, 5 1 = = - =, - e = e, 0 = 0. Örnek: a+1 sayısını a nın aldığı değerlere bağlı olarak mutlak değersiz açık yazınız. Çözüm: Tanıma göre mutlak değer işareti altındaki ifade pozitif ise o zaman ifadenin mutlak değeri kendisine eşittir. Eğer a + 1> 0 ise a + 1 = a +1. Benzer yolla a + 1= 0 ise a + 1 = 0 ve a + 1 < 0 ise a + 1 = -(a + 1) dir. Buradan a + 1 a > -1 ise, a + 1 = 0 a = -1 ise, -(a + 1) a < -1 ise yazılabilir. Örnek: = = = 3-1 =. b IR + olmak üzere, a b - b a b. Bir sayının mutlak değeri ile ilgili aşağıdaki özellikler vardır. Her a ve b sayıları için - a = a a + b a + b (üçgen eşitsizliği) a - b a - b a. b = a. b a b = a b b 0 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

25 SAYILAR 1 a + b = a + b, a - b = a - b yazılımlarının genellikle doğru olmayacağına dikkat edelim. Örneğin, a = -3, b = 4 ise a = -3 = 3, b = 4 = 4, a + b = = 7, a + b = = 1 = 1, a - b = -3-4 = -7 = 7 ve a + b a + b, a - b a - b olur. Yukarıda bahsettiğimiz açık ve kapalı aralıklar da mutlak değer yardımı ile gösterilebilir. [a, b] kapalı ve (a, b) açık aralığı verildiğinde bu aralığın b - a uzunluğu ve c = a + b orta noktası bulunursa, a, b = x IR x - c b - a, a, b = x IR x - c < b - a şeklinde yazılım mümkün olur. Örnek: -, 5 ve (-1, 4) aralıklarını mutlak değer yardımı ile yazınız. Çözüm: Uzunluklar = 5 + = = 9, = 5 ; orta noktalar = = = 1 4, = 3 dir. Buna göre -, 5 = x IR x , 4 = x IR x - 3 < 5 yazılabilir. 5. Üslü ve Köklü Sayılar a IR ve n IN olmak üzere n tane a nın çarpımına a sayısının n.ci kuvveti denir ve a n ile gösterilir. Bu tanıma göre, a n = a. a... a. n tane AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

26 SAYILAR Bundan başka a o için a 0 = 1 ve a - n = 1 olarak tanımlanır. a n Bu yolla sıfırdan farklı gerçel sayının herhangi tam kuvveti tanımlanmış olur. Sıfırın pozitif kuvvetleri sıfır iken negatif kuvvetleri ve sıfırıncı kuvvetleri tanımsızdır. a nın birinci kuvveti a nın kendisidir. a n biçiminde yazılan sayılara üslü sayılar denir. Örneğin, (-3) 5 = (-3). (-3). (-3). (-3). (-3) = -43, 3 3 = = 33 = , - 4 = 1 4 = 1 16, 3 =.. =, 3 4 = = = 3 8 = Şimdi a IR + v e n N olmak üzere, a nın n. dereceden (kuvvetten) kökünü tanımlayalım. Eğer bir b sayısının n.ci kuvveti a ise, o zaman b ye a nın n. dereceden (kuvvetten) kökü denir. n çift sayı olduğunda b sayısı, birisi pozitif, diğeri negatif olmak üzere n iki tanedir. n tek ise b bir tanedir. Pozitif kök b = a şeklinde gösterilir. Örnek: 3 sayısı 7 nin 3. dereceden köküdür, çünkü 3 3 = 7; sayısı 3 nin 5. dereceden köküdür. Çünkü 5 = 3 dir. 3 sayısı 81 in 4. dereceden köküdür. Çünkü 3 4 = 81 dir. Buna göre, (-) sayısı 16 nın 4. kuvvetten köküdür, çünkü (-) 4 = 16. Örnek: 4 3 =, = 3, 3 5 = 4, 43 4 =, 81 4 = 3, 1 16 = 3 dür = 1. Bu örnekler sizi yanıltmamalıdır. Her sayının n. dereceden kökü bir rasyonel sayı olmayabilir. Örneğin karesi 10 olan sayı bir rasyonel sayı değildir, bunun gibi, 3 5 4, 10, 1000 sayıları birer rasyonel sayı değildir. n 1 n a a sayısı bazen gibi yazılır. Eğer n= ise a yerine a yazılır ve karekök 3 n a şeklinde okunur. a küp kök a şeklinde okunur. a sayısı bir rasyonel sayı değilse, bu sayılara köklü sayı (çokluk) denir. Bir sayı mış ise bu durumda sayıya rasyonel üslü sayı denir. 1 n a biçiminde yazıl- Köklü çoklukların aşağıdaki özellikleri vardır. Her a, b IR + ve n IN olmak üzere, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

27 SAYILAR 3 n i) a ii) iii) iv) n. b n = a. b n m n a = a m, m Z n n m a b n n v) a m n = a b a mn = a np = a mp, m IN, p IN vi) n a n = a. Örnek: = = 3 = = 54 3 = 7 = = = = = = = 305 3, = = = = = 3 = ,714 = 8, = = = = = 5 = 5,36 Yukarıdaki örneklerde işareti köklü sayının hesap makinesinden bulunan yaklaşık değerini göstermektedir =? 3-3 =? Hacmi 36 π cm 3 olan kürenin yarıçapını bulunuz Cevaplarınız şu şekilde olmalıydı: ,05 ; 1 6 0,408 ; 3 cm??? Genel olarak a + b a + b olduğuna dikkat ediniz. a negatif ve n tek ise b n = a koşulunu sağlayan b sayısına a nın n. kuvvetten n n n kökü denir ve a şeklinde gösterilir. Bu durumda a = - -a dır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

28 4 SAYILAR Örneğin = = = - 3, = = - 3 = - dir. Eğer n tek ise her a IR için a nın n. dereceden tek bir gerçel kökü vardır. Eğer a sayısı pozitif ve n çift sayı ise a nın n. dereceden kökü iki tanedir. Eğer n çift ve a negatif ise a nın n. dereceden gerçel kökü yoktur. Örneğin 81 in 4-üncü dereceden gerçel kökü tanedir ve bu kökler -3 ile 3 dür. Köklü sayılarla ilgili olarak yukarıda verdiğimiz özellikler, köklü sayılar tanımlı olması koşuluyla, a nın negatif olması halinde de doğrudur. a IR, a 0, m sadeleşmiş biçimde bir rasyonel sayı (bu durumda n nin pozitif n olduğunu, m ve n nin ortak bölenlerinin bulunmadığını hatırlayalım) olmak m m 1 m üzere, a sayısının m -inci kuvveti, a n şeklinde gösterilir ve a n n m = eşit a = a n n eşitliği ile tanımlanır. Eğer n çift ise bu kuvvet ancak a > 0 değerleri için, eğer n tek ise tüm a değerleri için tanımlıdır. Bu biçimde yazılan sayılara da rasyonel üslü sayılar denir. Rasyonel üslü sayılarla ilgili aşağıdaki özellikleri yazabiliriz. p m m + p i) a n q n q. a = a ii) a m/n m - p iii) a = a n q p/q iv) a - mn m m m = 1 n v) ab = a n n b vi) a m/n p q m m. p a n n q = a a m/n b = a m/n b m/n Örnek: = 9 = = 7, 81 = 81 = 3 3 = 7, = 4 = 5 = 3, = =. = = = 5 5 =. 3 5 = 5 3 = 5/ = = ,781, 3 = = 1,59, 5 = - 1 3, tanımsızdır, çünkü - tanımsızdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

29 SAYILAR 5 Şimdi her hangi pozitif gerçel sayının irrasyonel kuvvetini tanımlayalım. a > 0 ve b gerçel sayıları verilsin ve b nin irrasyonel olduğunu varsayalım. Önce a > 1 olsun. O zaman a b kuvveti öyle bir gerçel sayıdır ki m < b < m' koşulunu sağlayan n n' tüm m ve m' m m' rasyonel sayıları için a n < a b n' < a eşitsizliği sağlanmış olsun n n' m m (Burada a n n' ve a rasyonel üsler olduklarından tanımlıdırlar). Eğer a = 1 ise 1 b = 1 dir. 0 < a < 1 ise, o zaman a b = 1 - b, 1 > 1 olduğundan a 1 - b a a yukarıdaki gibi tanımlanabilir. Böylece herhangi pozitif sayının irrasyonel kuvveti de tanımlanmış olur. Görüleceği gibi bu tanımla a b sayısı ancak yaklaşık olarak hesaplanabilir. Günümüzde bu sayılar hesap makinaları ile yaklaşık olarak bulunabilmektedir.bu sayıların gerçek değeri sonsuz basamaklı devirsiz ondalık sayılar olduklarından gerçek değerler onluk sistemde tam olarak yazılamazlar, ancak yaklaşık değerleri ifade edilebilirler. Örnek:,665, ,664, 1 0,375, = 3-7 0,33 Rasyonel kuvvetler için yazılan özellikler gerçel kuvvetler için de geçerlidir. a, d IR +, b, c IR olmak üzere, i) a b. a c = a b+c ii) (a b ) c = a b.c iii) (a. d) b = a b. d b iv) v) a b a c = a b - c a b = a b d d b vi) Eğer a 1 için a b = a c ise o zaman b = c dir. Örnek: 3 8 = 3 8 = 3 16 = 3 4 = =. 4 3 = , = = 3 3 6, = = 1 =. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

30 6 SAYILAR 6. Logaritma Pozitif gerçel sayının gerçel kuvvetlerinin tanımından yola çıkarak logaritma işlemi tanımlanabilir. a > 0, a 1 ve b > 0 gerçel sayıları verilsin. a c = b eşitliğini sağlayan c sayısına b nin a tabanına göre logaritması denir ve c = log a b olarak yazılır (a = 1 durumu bir anlam ifade etmiyor). Bu tanıma göre, b sayısının a tabanına göre logaritması, b yi elde etmek için a nın yükseltilmesi gereken kuvvet demektir: log a b = c a c = b. Tanımdan görüldüğü gibi logaritma işlemi, a c = b eşitliğinde a ve b verildiğinde c nin bulunmasıdır ve buna göre bu işlem kuvvet alma işleminin ters işlemidir. a c = b ve c = log a b eşitliklerinden eşitliği çıkar. a log ab = b Örneğin, 1 = olduğundan log = 1 ; 3 = 8 olduğundan log 8 = 3, 1 3 = olduğundan log 1 1/3 7 = 3 ; 5- = 1 5 olduğundan log = -, 40 = 1 olduğundan log 1 = 0 dır. 4 Bu örneklerimizde logaritmasını aradığımız sayı tabanın rasyonel bir kuvvetine eşittir. Ancak her zaman bu kadar şanslı olmayız. Logaritmasını aradığımız sayı tabanın rasyonel bir kuvvetine eşit değilse, bu sayının logaritmasını bulmak için logaritma cetvelleri veya günümüzde hesap makinalarından yararlanılır. Hesap makinalarından bir sayının 10 tabanına göre veya e tabanına göre logaritması bulunabilir. Aşağıda vereceğimiz taban değiştirme özelliği yardımıyla 10 veya e tabanına göre logaritmaları bilinen bir sayının her hangi bir tabana göre logaritması hesaplanabilir. Logaritmanın aşağıdaki özellikleri vardır: a, b, c pozitif gerçel sayılar, a 1, r herhangi gerçel sayı olsun. O zaman i) log a (bc) = log a b + log a c ii) log a b c = log a b - log a c iii ) log a b r = r. log a b iv) log a a = 1, log a 1 = 0 v) log a b = log cb log c a (taban değiştirme özelli ği) vi) a > 1 olsun. Bu durumda eğer b > 1 ise log a b > 0, 0 < b < 1 ise log a b < 0 dır. 0 < a < 1 olsun. Bu durumda eğer b > 1 ise log a b < 0, 0 < b < 1 ise log a b > 0 dır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

31 SAYILAR 7 Bu özelliklerin ispatı kuvvetlerin özellikleri ve logaritma tanımından çıkar. i) in ispatı için a log abc = bc, a log ab = b, a log ac = c olduklarından, kuvvetlerin özelliğinden yararlanırsak a log abc = bc = a log ab. a log ac = a log ab + log a c, buradan log a (bc) = log a b + log a c elde edilir. iii) ün ispatı için a log a b r = b r = a log a b r = a rlog a b, buradan log a b r = rlog a b. Kalan özellikler de benzer yolla ispatlanır. Tabanları 10 ve e olan logaritmalar için özel işaretler kullanılır. Şöyle ki e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir ve log e b yerine lnb yazılır, 10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma denir ve log 10 b yerine logb yazılır. Her hangi a tabanına geçmek için v) özelliği kullanılır. Bugün sayıları 10 nun kuvvetleri yardımıyla yazdığımızdan, sayısal işlemlerde 10 tabanına göre logaritma çok kullanışlıdır. Sayılarla yapılan işlemleri karşılaştırdığımızda toplama ve çıkarma işlemlerinin,çarpma ve bölme işlemlerinden, çarpma işleminin ise kuvvet alma işleminden daha kolay olduğunu söyleyebiliriz. Logaritma yukarıdaki özellikleri ile kuvvet alma işlemini daha kolay olan çarpma işlemine, çarpma ve bölme işlemlerini daha kolay olan toplama ve çıkarma işlemlerine dönüştürmektedir. Bu nedenle logaritma, hesaplama işlemlerinde oldukça kullanışlı bir araçtır. Örnek: 1) log 18 = log.9 = log + log 9 = 1 + log 3 = 1 + log 3 log 3 = log3 log 0,477 0,301 1,584 olduğundan log ,584 = 4,168 ) log 0,301 olduğuna göre, 4 log 00 = log = 1 4 log. 100 = 1 4 log + log100 = 1 4 0, log10 = 1 4 0, = 1., ,575 4 olur. Örnek: 0 < a < b olsun. Bu durumda b > 1 olduğundan log b a a > 0 dir. Buradan logb loga > 0, logb > loga olur. Yani sayı büyüdükçe 10 tabanına göre logaritması da büyür. Burada tabanın 1 den büyük olduğuna dikkat ediniz. log1 = 0, log10 = 1, log100 =, log 1000 = 3, log10 n = n dir. Yukarıda ispatladığımız özelliğe göre, 1 < b < 10 ise 0 < logb < 1, 10 < b < 100 ise 1 < logb <, 100 < b < 1000 ise < logb < 3. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

32 8 SAYILAR Benzer şekilde, 1 < b < 1 ise -1 < logb < < b < 1 10 ise - < logb < -1 dir < b < ise -3 < logb < - Örnek: N = 3,15 8, ,1 sayısını hesaplayınız. Çözüm: N sayısının doğal logaritmasını alalım. 3,15 ln N = 0,1. ln 8,3. 53 = 0,1. ln 3,15 - ln 8,3. 53 = = 0,1. ln 3,15 - ln 8,3 + ln 53 = 0,1. ln 3,15 - ln 8,3-1 ln 53 0,1 3,141-4, ,970 = 0,1. -3,54 = - 0,354. lnn - 0,354 olduğundan, yine hesap makinası veya tablodan N e -0,354 0,7 bulunur. 7. Gerçel Sayıların Aksiyomatik Yapısı Şimdi, gerçel sayıların, ünitenin girişinde sözünü ettiğimiz, aksiyomatik tanımını verelim. Bir IR kümesi verilsin. Bu küme üzerinde adına toplama denilen ve + ile gösterilen, çarpma denilen ve. ile gösterilen işlemler tanımlanmış olsun. Bundan başka IR deki bazı elemanlar arasında küçüktür denilen ve < ile gösterilen bir bağıntının olduğunu kabul edelim. a, b IR için bu elemanların toplamını a + b, çarpımını a. b ile, eğer a ile b arasında < bağıntısı varsa bunu a < b ile gösterelim. IR üzerinde, toplama, çarpma işlemleri ve küçüktür bağıntısı aşağıdaki koşulları sağlarsa, IR kümesine gerçel sayılar kümesi, IR nin her bir elemanına da bir gerçel sayı denir. 1) Her a, b IR için a + b = b + a ) Her a, b, c IR için (a + b) + c = a + (b + c) 3) IR nin sıfır denilen öyle bir 0 elemanı vardır ki her a IR için a + 0 = a dır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

33 SAYILAR 9 4) Her a IR için IR de a ile gösterilen öyle eleman vardır ki a + (-a) = 0 dır. 5) Her a, b IR için a. b = b. a 6) Her a, b, c IR için (a. b). c = a. (b. c) 7) IR de bir denilen ve 1 ile gösterilen öyle bir eleman vardır ki her a IR için a. 1 = a dır. 8) Sıfırdan farklı a IR için IR de a -1 ile gösterilen öyle bir eleman vardır ki a. (a -1 ) = 1 dir. 9) Her a, b, c IR için (a + b). c = a. c + b. c 10) a, b IR elemanları verildiğinde, a = b, a < b, b < a durumlarından bir ve yalnız biri doğrudur. 11) a, b, c IR elemanları verildiğinde a < b ve b < c ise, o zaman a < c dir. 1) a, b IR elemanları verildiğinde a < b ise, o zaman her c IR için a + c < b + c dir. 13) a, b IR elemanları verildiğinde 0 < a ve 0 < b ise 0 < a.b dir. Son aksiyomu vermek için bazı yeni kavramlara ihtiyacımız vardır. Boş küme olmayan A IR altkümesi verilsin. Eğer öyle bir b IR elemanı varsa ki her bir a A elemanı için a < b sağlansın, o zaman A ya üstten sınırlı küme, b ye A nın üst sınırı denir. Üstten sınırlı A kümesi için üst sınırların (b lerin) kümesini S ile gösterelim. Eğer S kümesinde öyle bir s elemanı varsa ki her bir b S, b s elemanı için s < b sağlansın, o zaman bu s elemanına A kümesinin en küçük üst sınırı denir ve supa ile gösterilir. Şimdi IR gerçel sayılar kümesinin son aksiyomunu söyleyebiliriz. 14) IR nin boş küme olmayan ve üstten sınırlı her A alt kümesi için supa mevcuttur. 8. Doğal Sayılarla İlgili Bazı Çözülmemiş Problemler İki p ve q doğal sayıları verilsin. Eğer p sayısı q ya kalansız bölünüyorsa o zaman q ya p nin çarpanı denir. Örneğin p = 6 nın çarpanları 1,, 3, 6, p = 0 nin çarpanları ise 1,, 4, 5, 10, 0 sayılarıdır. p sayısının p den başka tüm çarpanlarına öz (proper) çarpanları denir. Eğer bir p doğal sayısı kendi öz çarpanlarının toplamına eşitse bu sayıya mükemmel (perfect) sayı denir. Örneğin 6 = olduğundan 6 mükemmel sayıdır. Birden büyük her bir doğal sayının en az iki çarpanı vardır. Bunlar 1 ve sayının kendisidir. Eğer birden büyük bir p doğal sayısının başka çarpanları bulunmuyorsa p ye asal sayı denir. 1 sayısı asal sayı olarak kabul edilmiyor. Asal sayılar AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

34 30 SAYILAR, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, gibi sayılardır. Sayılar teorisi çok ilginç problemler bakımından oldukça zengindir. Bunlardan bazıları bugüne kadar da henüz çözülmüş değildir. Bu çözülmemiş problemlerin ifadeleri çok basittir, ama buna rağmen çözümleri bulunamamaktadır. Aşağıda sayılar teorisinden birkaç çözülmemiş problem sıralanmıştır. 1) Goldbach problemi: Dörtten büyük her çift doğal sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir. Örneğin 8 = 5 + 3, 14 = , 3 = , 46 = ,... Fakat her çift sayı için böyle gösterimin mümkün olduğu ispatlanmış değil. ) Asal sayılar çifti ile ilgili problem: Farkları iki olan asal sayılar çifti sonsuz tanedir. Örneğin (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (9, 31), (41, 43), bu tür çiftlerdir. Bu tür çiftlerin sonsuz sayıda olduğu iddia ediliyor. 3) Tek mükemmel sayı problemi: Tek ve mükemmel olan bir doğal sayı yoktur. Bu iddia bugüne kadar ipsatlanamamıştır. 4) Ulam problemi: Herhangi doğal sayıyı alalım. Bu sayı çift ise ye bölelim, tek ise 3 ile çarpıp 1 ekleyelim. Eğer böyle devam edersek sonlu adımdan sonra 1 sayısını elde ederiz. Örneğin 19 sayısı için bu işlem şöyle gelişiyor: Bu iddianın da doğru olup olmadığı ispatlanamamıştır. Değerlendirme Soruları 1. 1 sayısından büyük olmayan en büyük tam sayı kaçtır? 3 - A. 0 B. 1 C. D. 3 E. 4 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

35 SAYILAR sayısı kaçtır? A. -1 B. 0 C. 1 D. 7 E x ise x x + 1 =? A. 3 B. 5 C. 4x - 3 D. -3 E =? A. 6 B. 14 C. D. E. A. B. C. -5 D. -10 E. -15 A. 0 B. 9,5 C. 30 D. 30,5 E =? 7-0, , =? 7. Aşağıdakilerden hangileri a hangi gerçel sayı olursa olsun her zaman doğrudur? i) a < a, ii) a + a = 0, iii) a = a, iv) a 3 = a v) A. i, ii, v B. ii, iii, iv C. iii, iv D. i, iii, iv E. iii, v a 3 = a AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

36 3 SAYILAR x /3. x -1/3 =? x -5/3 A. x B. x C. 1 D. x 1/ E. x - 1,5 3.,5-1,5. 0, A. -40 B. -30 C. -0 D. 0 E =? log 5 = a ise A. 1 a B. a log kaçtır? 5 C. - 3 a D. 3a E. -3a 11. Aşağıdakilerden hangileri her bir a, b IR sayıları için doğrudur. i) a + b < a + b, ii) ab = a. b, iii) ab = a. b, iv) a + b = a + b, v) a - b > a - A. i, ii, v B. i, iii, iv C. ii, iii D. iv, v E. ii 1. [-, ], (0, 3), [1, 3] ve (1, 4) aralıklarının kesişimi hangisidir? A. B. [0, 1] C. (1, ] D. [1, ] E. [0, ] ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

37 SAYILAR işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 7 A. 1 B. 8 C. 84 D. 84 E a, b IR için aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur? i) a < b a < b ii) a 0, b 0 ve a < b iv) a a a 1 > 1 v) -a < a b iii) 0 < a < b a < b A. i, ii, iii B. ii, iiii C. ii, iii, iv D. ii, iii, iv, v E. iii 15. a, b IR + için aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur? i) a < b log a < log b ii) a < b log 1 a < log 1 b iii) log (a + b) = log a. log b iv) log a. log b = log a + log b c c c c v) log a = log b a = b A. i, v B. i, ii, v C. i, ii, iv, v D. i, ii E. iii, iv, v Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D. B 3. E 4. A 5. E 6. D 7. C 8. A 9. A 10. C 11. E 1. C 13. D 14. E 15. A AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

38 Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; temel özdeşlikleri ve binom açılımını, birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini ve bu denklemler yardımıyla çözülebilen problemleri, birinci ve ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümünün bulunmasını, bir iki terimli ile bir üç terimlinin işaretinin incelenmesini, yüksek dereceden bazı denklemlerin çözümlerinin bulunmasını öğrenmiş olacaksınız. İçindekiler Giriş 37 Özdeşlikler ve Binom Açılımı 37 Denklemler 46 Eşitsizlikler 6 Yüksek Dereceden Denklemler 73 Değerlendirme Soruları 78

39 Çalışma Önerileri Üniteyi çok dikkatli okuyunuz Mutlaka yazarak çalışınız Çözümleri size bırakılan soruları kendiniz çözüp cevaplarınızı karşılaştırınız Benzer sorular yazıp çözmeye çalışınız Ezberlemeye değil öğrenmeye çalışınız Bu konuların büyük bölümü liselerde okutulduğu için lise bilgilerinizi hatırlayınız Zaman zaman hesap makinesine ihtiyaç duyabilirsiniz, mümkünse, yanınızda bir hesap makinesi bulundurunuz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

40 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Giriş Günlük yaşantımızda sıkça karşılaştığımız ve dört işlemle çözmekte zorlandığımız hatta bazen çözemediğimiz problemleri denklemler yardımıyla kolayca çözebilmekteyiz. Ancak bundan daha önemlisi gerek matematik ve gerekse uygulamalı bilimlerde pek çok problemin çözümü bir denklemin çözümüne indirgenebilmektedir. Bu nedenle denklem çözümlerinin bilinmesi matematikçiler açısından oldukça önemli olmuş ve matematikçiler asırlar boyunca her tür denklemin çözümünde izlenebilecek bir yöntem bulmaya çalışmışlardır. Ancak her tür denklemin çözümünde izlenebilecek belirli bir yöntemin verilemeyeceği görülmüş ve denklemler sınıflara ayrılarak her bir sınıf için bir çözüm yöntemi verilmeye çalışılmıştır. Bugün dahi pek çok denklem için kesin çözüm yöntemi verilememektedir. Kesin çözüm yöntemi verilemeyen denklemlerin kökleri,günümüzde özellikle bilgisayarlar yardımıyla yaklaşık olarak istenilen hassasiyette bulunabilmektedir. Bu ünitede bazı özdeşlikleri ve Binom (iki terimli) eşitliğini hatırlattıktan sonra birinci ve ikinci dereceden (polinom) denklemler ile çözümleri bu tür denklemlerin çözümüne indirgenebilen bazı denklemlerden söz edeceğiz. Daha sonra matematiğin denklemler kadar önemli bir konusu olan ve denklemlerle çok yakından ilgili olan eşitsizlik çözümlerini ele alacağız.. Özdeşlikler ve Binom Açılımı Kısa kenar uzunluğu birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim olan bir dikdörtgenin alanının ise 7, birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dikdörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluklarını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gerekir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıflarında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden olmuştur. Dikdörtgenin alanının bulunması ile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç birim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarıçapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r şeklinde ifade edebiliriz. Alan formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem yapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin "bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne kadar değişir?" sorusuna kolayca cevap verebiliriz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

41 38 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER? Kenar uzunlukları x ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenarlarının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzunlukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan, bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından birisinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz. Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız. Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Kelimeler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha kolay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyeceğiz. Örneğin, xy, πr, x + 5, 3x - 4x +1, x + 1, x + 1 x + 1, 3x - y 3 +, x + y 3, 1 gt şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bulunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken veya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x - 4x +1 ifadesinin x = - için sayısal değeri 3(-) - 4(-) + 1 = = 1 dir. İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki ifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x - 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinci ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak, (x -1)(x + 1)= x.x + x.1-1.x -1.1 = x - 1 buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için x - 1 = (x - 1)(x + 1) dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz. Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir. İki ifadenin özdeşliği işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

42 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 39 x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır. Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım. (x + y) = (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x + xy + y olduğundan Her x, y IR için (x + y) = x + xy + y dir. x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geometrik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y) sayısını, bir kenar uzunluğu x + y olan bir karenin, x ile y yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y olan karelerin alanları olarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağıdaki şekilden kolayca görülebilir. y x x xy x x y y xy y y x Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz. Her x, y IR için (x - y) = x - xy + y x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

43 40 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER y y y y y xy x - y x - y x x y xy y x Şekil.1 x Bir diğer özdeşlik, Her x, y IR için x - y = (x - y) (x + y) Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak yeterlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geometrik olarak da görmek mümkündür. x x C y B x - y x - y D A y D C y x + y A B y x - y Şekil. Her x, y IR için (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3 Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için (x + y) 3 = (x + y) (x + y) = (x + xy + y )(x +y) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

44 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 41 çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz. Şekil.3 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

45 4 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa, Her x, y IR için (x - y) 3 = x 3-3x y + 3xy - y 3 bulunur. Her zaman karşımıza çıkan, Her x, y IR için x 3 + y 3 = (x + y)(x - xy +y ) Her x, y IR için x 3 - y 3 = (x - y)(x + xy +y ) özdeşliklerini de unutmamalıyız. Son iki eşitlikte sağ taraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatlanabilir. Bunlara benzer şekilde (x + y) 4 = (x + y)( x + y) 3 = (x + y)(x 3 + 3x y + 3xy + y 3 ) = x 4 +3x 3 y +3x y + xy 3 + yx 3 +3x y +3xy 3 + y 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4 dır. O halde, Her x, y IR için (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4 (x + y), (x + y) 3, (x + y) 4 ifadelerinin açılımları, n doğal sayı olmak üzere (x + y) n nin Newton Binom Açılımı nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım, x + y n = x n + n 1 xn-1 y + n n x n- y + n n - 1 n x n-3 y n n - 1 n - n n - k x n-k y k n n k n şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir. y n Burada olduğu gibi k IN olmak üzere k çarpımına k faktöriyel denir ve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1..3 = 6, 5!= = 10 dir. 0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımını şöyle yazabiliriz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

46 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 43 x + y n = x n + n 1! xn-1 y + n n - 1! x n- y + n n - 1 n - 3! x n-3 y n n - 1 n - n n - k x n-k y k y n k! Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. Formülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda; i) terim sayısı n + 1 dir, ii) ilk terim x n dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer birer artar ve son terim y n olur, iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir, iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Ax n-k y k dır ve burada A katsayısının payı n den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, paydası ise k! dir. Örnek: x + y 10 = x x9 y x8 y x7 y x6 y x5 y x4 y x 3 y x y xy 9 + y 10 = x x 9 y + 45 x 8 y + 10 x 7 y x 6 y x 5 y x 4 y x 3 y x y x y 9 + y 10. Örnek : x + y 4 = x x3 y x y x y y 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4x y 3 + y 4 (y) = y = 4y, (y) 3 = 3 y 3 = 8y 3, (y) 4 = 4 y 4 = 16y 4 olduğundan (x + y) 4 = x 4 + 8x 3 y + 4x y + 3xy y 4 dir. Bu açılımda ikinci terimin y olduğuna ve y nin kuvvetlerinin alındığına dikkat ediniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

47 44 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Örnek : x - y 5 = x + -y 5 = x ! ! x 4 -y + 5.4! x -y 4 + -y 5 x 3 -y ! = 3x 5 80 x 4 y + 80x 3 y - 40x y xy 4 y 5. x -y 3 Burada da birinci terimin x, ikinci terimin y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin alındığına dikkat ediniz. Örnek: = ( )(1000 ) =1000 = = Örnek : 47 = (50 3) = = =09, veya 47 = (40 + 7) = = = 09. Örnek: Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır? Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50, xy = 481 olur. Diğer taraftan (x + y) = x + xy + y = (x + y ) + xy olduğundan 50 = (x + y ) olur. Buradan da x + y = = = 1538 bulunur. Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca n k dir. Özel olarak 4 0 dir. = n n - 1 n -... n - k k = 1, 4 1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ n 0 = 4 1 = 4, 4 = 1 alınır. Buna göre örneğin n k = n n - 1 n -... n - k + 1 k! = = 6, 4 3 n n - 1 n -... n - k k şeklinde de gösterilir. Buna göre = = 4, 4 4 = = 1

48 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 45 n n n - k k = n n - 1 n -... n - k k. n - k n - k + 1 n - k +... n - n - n - n - 1 n - k n - k + 1 n - k +... n - n - n - n - 1 yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın n = n!, paydanın ise ( k)[ (n-k)] = k!. (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra, n şu şekilde yazılabilir: k n = n! k k! n - k!, n IN, k IN Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz. x + y n = n 0 x n + n 1 x n-1 y + n x n- y n k x n-k y k n n yn, n IN, k IN Örnek: x + y 7 = 7 0 x x 6 y + 7 x 5 y x 4 y x 3 y x y xy y 7 = x 7 + 7! 1!.6! x 6 y + 7!!.5! x 5 y + 7! 3!.4! x 4 y 3 + 7! 4!.3! x 3 y 4 + 7! 5!.! x y 5 + 7! 6!.1! = x 7 + 7x 6 y + 1x 5 y + 35x 4 y x 3 y 4 + 1x y 5 + 7xy 6 + y 7. xy 6 + 7! 7!.0! y 7 Örnek: (x + y) 11 in Binom açılımında x 4 y 7 teriminin katsayısı kaçtır? Çözüm: Binom açılımında x n-k y k teriminin katsayısı n dır. Burada k nın y nin kuvveti k olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x 4 y 7 nin katsayısı 11 = 11! = 330 dır. 7 7!.4! Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımları ile bu açılımlardaki katsayılara birlikte bir göz atalım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

49 46 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER (x + y) = x + y 1 1 (x + y) = x + xy + y 1 1 (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y + 10x y 3 + 5xy 4 + y (x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y + 0x 3 y x y 4 + 6xy 5 + y Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu özellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının toplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki ile nin solundaki 1 in toplamına, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşittir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodan kolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımındaki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncı satırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci satırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bu katsayılar, 1,7, 1, 35, 35, 1, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında oldukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-inci kuvvetinin açılımındaki katsayıları Pascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuvvetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi gerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir özelliktir. 3. Denklemler Matematiğin önemli kavramlarından birisi olan denklem kavramı matematiğin gelişmesine önemli katkılar sağlamıştır. Bundan başka uygulamalı bilimlerde de pek çok problemin çözümü bir denklemin veya denklemler sisteminin çözümüne indirgenebilmektedir. Bu nedenle denklem çözümlerinde izlenebilecek kesin yöntemler bulmak matematik kadar uygulamalı bilimler açısından da önem taşımaktadır. Daha öncede ifade ettiğimiz gibi her tür denklemin çözümünde izlenebilecek kesin bir yöntem yoktur. Bu nedenle denklemler çeşitli sınıflara ayrılır ve her sınıf için izlenebilecek çözüm yöntemleri verilmeye çalışılır. Biz bu kesimde birinci ve ikinci dereceden polinom denklem çözümlerini ayrıntılı olarak inceleyeceğiz. Daha sonra yüksek dereceden bazı özel polinom denklemlerin nasıl çözülebileceğine dair örnekler vereceğiz. Trigonometrik, üstel ve logaritmik denklemlerin çözümlerini de ilgili bölümlerde açıklayacağız. Şimdi, aşağıdaki soruları ele alalım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

50 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 47 Bir kişi cebindeki para ile 5 kiloluk karpuz alırsa parası lira eksik geliyor, bunun yerine bu kişi 3 kiloluk karpuz alıyor ve cebinde lira parası kalıyor. Buna göre karpuzun fiyatı kaç liradır? Uzun ve kısa kenar uzunlukları toplamı 50 birim, alanı 481 birim kare olan dikdörtgenin kenarları kaç birimdir? Sorulardan birincisini, bazı kimseler biraz uğraşarak bazıları ise fazla uğraşmadan, dört işlemle çözebilir, ancak ikinci soruya dört işlemle ya da şekle bakarak doğru cevap vermemiz oldukça zordur. Bu sorulara denklem kavramını bildikten sonra daha kolay cevap verebiliriz. Sorulardan birincisinde, karpuz fiyatına x diyelim. Buna göre, 5x = 3x eşitliğini sağlayan x sayısını bulursak, karpuz fiyatını bulmuş oluruz. İkinci soruda ise, dikdörtgenin kenar uzunluklarına x ve y dersek, x + y = 50, x.y = 481 eşitliklerinin her ikisini de sağlayan x ve y sayıları ya da x -50x = 0 eşitliğini sağlayan x sayısı ile y = 50 - x sayısı dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır. Bu örneklerde olduğu gibi x,y z,... bilinmeyenlerini içeren ve bilinmeyenlerin bazı değerleri için gerçeklenen (sağlanan) eşitliklere denklem diyoruz. Bilinmeyenlerin denklemi sağlayan değerlerine denklemin kökü ya da çözümü, tüm çözümlerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi, denklemin köklerini bulmak için yapılan işlemler zincirine de denklemin çözülmesi denir. Denklem, bilinmeyenlerinin hiçbir değeri için sağlanmıyorsa bu durumda denklemin çözümü veya kökü yoktur denir. Bu durumda çözüm kümesinin boş küme olacağı açıktır. Özdeşlik ile denklem arasındaki fark nedir? Özdeşlik bilinmeyenlerin her değeri için gerçeklenen eşitliktir. Denklem ise genellikle bilinmeyenlerin bazı özel değerleri için gerçeklenen eşitliktir. Örneğin x - y = (x - y)(x + y) eşitliğinde x ve y ye hangi değerler verilirse verilsin bu eşitlik sağlanır. Buna karşılık 5x = 3x eşitliği sadece x = için sağlanır, x + y = 50 eşitliği ise örneğin x = 15, y = 35 için sağlanırken x = 10 ve y = 0 için sağlanmaz.? Denklemler öncelikle bilinmeyen sayılarına göre sınıflara ayrılır. Eğer denklemde bir bilinmeyen varsa denkleme bir bilinmeyenli, iki bilinmeyen varsa iki bilinmeyenli,..., n tane bilinmeyen varsa n bilinmeyenli denklem denir. Örneğin 7x - 81 = 144, 3 x = 81 bir bilinmeyenli iken x + y = 50, x + y = 1 denklemleri birer iki bilinmeyenli denklemdir. Cebirsel ifadelerin eşitlenmesiyle elde edilen denklemlere cebirsel denklem denir. Örneğin x - 5 = 0, 4x - 5 x + 1 = 3, x - 5x + 6 = 0, 3x x = -1, x 3-4x + 5 = 0 birer cebirsel denklemdir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

51 48 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Şimdi bir bilinmeyenli bazı denklemlerin çözümlerini inceleyelim Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a ve b bilinen gerçel sayılar, a 0 olmak üzere, ax + b = 0 biçiminde yazılabilen bir denkleme birinci dereceden bir bilinmeyenli polinom denklem veya kısaca birinci dereceden denklem veya bir bilinmeyenli lineer (doğrusal) denklem, a ile b ye denklemin katsayıları, x e bilinmeyen denir.bu denkleme birinci dereceden veya lineer denklem denmesinin nedeni x in sadece birinci kuvvetinin bulunması ve başka hiçbir kuvvetinin bulunmamasıdır. Bu denklemi çözmek yani eşitliği sağlayan x i bulmak için şu işlemler yapılır. ax + b = 0, ax = - b. Burada a 0 olduğundan her iki tarafı a ile bölebiliriz. Bu işlemi yaparsak ax a = -b a, x = - b a bulunur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Ç= - b dır. a Örnek: x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x + 4 = 0 ise x = - 4 buradan x = -4 x = -, Ç= { - } bulunur. Örnek: x + 4 = x + denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: İlk bakışta denklem ax + b = 0 biçiminde değildir. Ancak denklemi düzenlersek x - x = - 4, x = - elde ederiz. Denklemin kökü x = - olduğundan Ç = { - } olur. Örnek: Yukarıdaki birinci problemin cevabı, 5x = 3x denkleminin kökü olduğuna göre bu denklemi çözelim. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

52 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 49 Çözüm : 5x = 3x x - 3x = x = x = bulunur. Ç = { }. Örnek: a, b, c, d IR olmak üzere, ax + b = cx + d denkleminin çözüm kümesini araştıralım. Çözüm: ax + b = cx + d...(1) ax - cx = d - b (a - c) x = d - b...() Burada köklerin varlığı a, b, c ve d katsayılarına bağlıdır. Şimdi karşılaşabileceğimiz durumlara göre kökün varlığını inceleyelim. i.durum: a = c ve b = d ise ( ) e şitliği 0x = 0 şeklini alır. Bu eşitlik her gerçel x sayısı için doğru olduğundan Ç = IR dir. Aslında bu sonuç doğal bir sonuçtur. Çünkü a = c ve b = d ise ( 1) eşitliği, ax + b = ax + b demektir. Bu eşitlik de her gerçel sayı için doğrudur. ii. durum: a = c ve b d ise () eşitliği 0x = d - b şeklini alır. Burada sol taraf x in her değeri için daima 0 iken, sağ taraf sıfırdan farklı bir sayıdır. Bu nedenle bu eşitlik hiçbir x gerçel sayısı için sağlanmaz, çözüm kümesi boş kümedir. Ç = Ø. iii.durum: a c olsun. Bu durumda () eşitliğinde x in katsayısı olan a - c sıfırdan farklı olacağı için her iki tarafı a - c ye bölebiliriz. bulunur. Ç = Örnek: d - b a - c a - c x a - c = d - b a - c x = d - b a - c olur. Bu durumda b = d ise 0 ın kök olacağına dikkat ediniz. Bir tüccar liraya bir miktar kumaş alıyor. Kumaşın 1/4 ünü metresi liradan, geri kalanını da metresi liradan satıyor ve lira kar sağlıyor. Bu tüccar kaç metre kumaş almıştır? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

53 50 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Çözüm: Alınan kumaş miktarına x diyelim. Kumaşın 1/4 ünün satışından elde edilen x gelir = x lira, kalan kumaşın satışından elde edilen gelir 4 ise x - x liradır. Buna göre toplam gelir = 3x = x x = x liradır. Kar = gelir - gider olduğundan = x denklemi elde edilir. Bu denklemin kökü aradığımız kumaş miktarını verecektir = x = x = x 180 = x. Buna göre tüccar 180 metre kumaş almıştır. Örnek: Ardışık 5 tamsayının toplamı 45 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü ve en büyüğü kaçtır? Çözüm: Sayıların en küçüğüne x diyelim. Ardışık tamsayı birbirini izleyen tamsayı demek olduğuna göre, diğer sayılar x +1, x +, x +3,... x + 4 olacaktır. Bu sayıların toplamı, x + (x +1) + (x + ) (x +4) = 5 x + ( ) = 5 x dir. Bu sayı 45 olduğuna göre, 5x = 45 5 x = 15 x = 5 bulunur. O halde en küçük sayı 5, en büyük sayı ise x + 4 = = 9 olarak bulunur. Bazı denklemlerin çözümleri birinci dereceden denklem çözümüne indirgenebilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

54 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 51 Örnek: 1 x + 3 x x + 1 = x + 1 Çözüm: x = 0 ve x = -1 için paydalar sıfır olduğundan x 0 ve x -1 olmalıdır. 1 x + 3 x x + 1 = x x + 3 x x x + 1 = 0 x x = 0. x x +1 Bir kesrin 0 olması için payın 0 olması gereklidir. Bu nedenle, (x +1) x = x = 0, buradan da x = 4 bulunur. Ç = { 4 }. Örnek: Alkol oranı % 65 olan 40 litrelik bir çözeltinin alkol oranını % 80 e çıkarmak için ne kadar saf (mutlak) alkol ilave edilmelidir? Çözüm: Çözeltideki alkol oranı % 65 olduğuna göre, saf alkol miktarı 0,65.40 = 6 litredir. İlave edilecek saf alkol miktarı x litre olsun. Bu durumda alkol oranı 6 + x olur x Bu oranın % 80 olması istendiğine göre, 6 + x eşitliğini sağlayan x aradığımız sayıyı verecektir. Bu eşitlikte her iki tarafı 40 + x ile 40 + x = 0,80 çarparsak, 6 + x = (40 + x).0,8 6 + x = 3 + 0,8x 0,x = 6 x = 30 bulunur. Demek ki 30 litre saf alkol ilave etmek gerekmektedir. Bir denklemin kökü olarak bulunan sayının gerçekten kök olup olmadığını kontrol etmek için bu sayı denklemde yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılır, sonuçta bir özdeşlik elde edilirse, sayı denklemin köküdür. Bu işleme kökün denklemi sağlaması ya da denklemin sağlatılması denir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

55 5 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Örneğin bir önceki örnekte 6 + x denkleminin kökü olarak 30 sayısını 40 + x = 0,80 bulmuştuk. Şimdi bu sayının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim. Diğer bir deyişle denklemi doğru çözüp çözmediğimizi kontrol edelim. Bunun için denklemde x yerine 30 yazalım. 6 + x = 0,80, 56 = 0,8, 0,8 = 0,8 Buna göre, 30 sayısı denklemi sağlamaktadır, dolayısıyla denklemin köküdür 40 + x 70 diyebiliriz. Örnek: x + 3 = 8 deklemini çözünüz. Çözüm: Bir sayının mutlak değeri 8 ise, bu sayı ya 8 ya da - 8 dir. Bu yüzden x + 3 = 8 veya x + 3 = - 8 olmalıdır. Buradan da x = 5/ veya x = - 11/ olmalıdır. Denklemim çözüm kümesi, dir. Örnek: Ç = {5/, - 11/} x + 3 = x denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: Bu denklemde, i) x 0, ii) x < 0 durumlarına göre kök arayacağız. i) x 0 ise, x = x olduğundan denklem, x +3 = x denklemine dönüşür. Buradan x = 3 bulunur. x in bu değeri x 0 koşulunu sağladığından, 3 denklemin bir köküdür. ii) x < 0 ise, x = -x olduğundan denklem, - x + 3 = x şekline dönüşür. Buradan x = 1 bulunur. Ancak bulunan 1 sayısı x < 0 koşulunu sağlamaz, bu nedenle kök olamaz. O halde denklemin çözüm kümesi Ç = { 3} dir. 3.. İkinci Dereceden Denklemler a,b,c IR, a 0, olmak üzere ax + bx + c = 0 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

56 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 53 biçiminde yazılabilen denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli veya kısaca ikinci dereceden denklem denir. x bilinmeyeninin en büyük kuvvetinin olması ve x in kesirli ve negatif kuvvetlerinin olmaması nedeniyle denkleme ikinci dereceden denklem denildiği açıktır. Burada a,b, c sayılarına denklemin katsayıları denir. Şimdi bu denklemin köklerinin nasıl araştırıldığını görelim. ax + bx + c = 0 denkleminde a 0 olduğundan bu denklem ax + b a x + c a = 0 şeklinde yazılabilir. Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan birisinin sıfır olması yeterlidir. Burada a 0 olduğundan x + b a x + c a = 0 olmalıdır. Bu denklemi çözmek için x in katsayısının yarısının karesini bir ekleyip bir de çıkaralım (bu işlemi yapmak için x nin katsayısının 1 olması gerektiğine dikkat ediniz) x + b a x + c a = x + b a x + b a x + b a - b a - b - 4ac = a + c a = x + b a - b 4a + c a = b - 4ac. Bu gösterimden sonra ikinci dereceden denklemin köklerinin varlığı ve sayısı şu şekilde özetlenebilir. i) = b - 4ac > 0 ise (1) eşitliği şu şekilde yazılabilir. Burada daima x + b 0 dır. Buna karşılık b - 4ac nin işareti, 4a > 0 oldu- a 4a ğundan b - 4ac nin işaretine bağlıdır. Eğer b - 4ac negatif değilse (1) eşitliğinin sol tarafı negatif olmayan iki sayının farkı olur, dolayısıyla bu toplam x in bazı değerleri için sıfır olabilir, diğer bir deyişle denklemin kökü vardır. Eğer b - 4ac negatif ise (1) eşitliğinin sol tarafı negatif olmayan bir sayı ile negatif bir sayının farkı olur, dolayısıyla sıfır olamaz. Bu nedenle bu durumda denklemin kökü olamaz. Dikkat ederseniz ikinci dereceden denklemin köklerinin varlığı b - 4ac nin işaretine bağlıdır. Bu nedenle b - 4ac sayısına, denklemin diskriminantı denir ve ile gösterilir: x + b a - = x + b - 4a a a = x + b a - a x + b a + a bu eşitliğin sıfır olması için AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

57 54 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER x + b a - a = 0 veya x + b a + a = 0 olmalıdır. Bu eşitliklerden denklemin iki kökünün varlığı ve bu köklerin x = - b a - a = -b - a, x = - b a + a = -b + a olduğu kolayca görülebilir. Bu köklere x 1 ve x dersek, > 0 olduğunda ikinci dereceden denklemin farklı iki gerçel kökünün varlığı ve bu köklerin olduğu sonucuna ulaşırız. x 1, = - b ± a > 0 ise denklemin farklı iki gerçel kökü vardır ve kökler, dır. x 1, = -b ± a? ax + bx + c = 0 denkleminde a ile c ters işaretli ise denklemin kesinlikle gerçel kökü vardır diyebilir misiniz? Cevabınız evet olmalıydı. Çünkü bu durumda diskriminant kesinlikle pozitif olur. ii) = 0 ise (1) eşitliği x + b a olması için, her iki çarpan Bu durumda iki kök eşit olmaktadır: = x + b x + b a a = 0 x + b a olduğundan, x + b a = 0, x = - b a x 1 = x = - b a. şeklini alır. Bu eşitliğin sıfır olmalıdır. O halde ikinci dereceden denklemde = 0 ise denklemin tek kökü vardır diyebiliriz. Bu durumda kökler çakışıktır veya iki kat kök vardır da denir. = 0 ise denklemin tek kökü (iki kat kökü) vardır ve bu kök, dır. x 1 = x = - b a ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

58 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 55 iii) < 0 ise b - 4ac < 0, 4ac - b > 0 olur. (1) eşitliğinin sol tarafı, x + b a - a = x + b a - b - 4ac 4a = x + b a + 4ac - b 4a biçiminde, negatif olmayan bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı olur, dolayısıyla sıfır olamaz. Bu nedenle denklemin gerçel kökü yoktur. < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Örnek: x - 3x + = 0 denkleminin çözümünü bulunuz. Çözüm: Bu denklemde a = 1, b = - 3 ve c = olduğundan = b - 4ac = (- 3) = 9-8 = 1 > 0 olduğundan denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. Bu kökler, x 1, = - b ± a = --3 ± 1.1 = 3 ± 1, x 1 = 3-1 = 1, x = = bulunur. Çözüm kümesi Ç = {1, } dir. 1 ve sayılarının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol ediniz. Örnek: 3x + x + 5 = 0 denkleminin çözümünü araştırınız.? Çözüm: a = 3, b = ve c = 5 olduğundan, = b - 4ac = = 4-60 = - 56 < 0 olduğundan denklemin gerçel kökü yoktur. Çözüm kümesi Ç = Ø dir. Örnek: 4x - 4x +1 = 0 denkleminin çözümünü bulunuz. Çözüm: = (- 4) = = 0 olduğundan denklemin tek (iki kat) kökü vardır. Bu kök x 1 = x = - b a = = 1 = 0,5 dir. Çözüm kümesi Ç = 1 dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

59 56 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Örnek: x + x + 1 = 0 denkleminin çözümünü araştırınız. Çözüm: a = b = c = 1 olduğundan = = -3 < 0 dır. Dolayısıyla gerçel kök yoktur. Ç = Ø dir. Bu kesimin başında sözünü ettiğimiz dikdörtgen problemini hatırlayalım. Problemde uzun ve kısa kenar uzunlukları toplamı 50 birim, alanı ise 481 birim kare olan dikdörtgenin kenar uzunlukları soruluyordu. Bu dikdörtgenin kenar uzunluklarına x ve y diyelim. Probleme göre, x + y = 50, x. y = 481 dir. Bu eşitliklerin birincisinden y = 50 - x bulup ikinci eşitlikte yerine yazarsak, x - 50 x = 0 denklemini elde ederiz. Böylece problem bu ikinci dereceden denklemin çözümüne indirgenmiş olur. Bu denklemde = = = 576 > 0 - (-50) ± ± 4 olduğundan iki gerçel kök vardır ve bu kökler, x 1, = = olup,.1 buradan da x 1 = 37, x =13 bulunur. x = 37 için y = = 13; x = 13 için y = = 37 bulunur. Buna göre söz konusu dikdörtgenin kenar uzunlukları 37 ve 13 birimdir. Bu problemde dikkatimizi çeken bir nokta var. Dikdörtgenin kenar uzunluklarını ifade eden x ve y sayılarının toplamı 50, çarpımı 481 dir ve bu sayılar x - 50x = 0 denkleminin kökleridir. Acaba bu her zaman doğru mudur? Yani iki sayının toplamı p, çarpımı q ise bu iki sayı x - px + q = 0 denkleminin kökleri midir? Şimdi bu soruya cevap vermeye çalışalım. Sayılara x 1 ve x diyelim. Bu durumda x 1 + x = p, x 1.x = q dur. x - px + q = 0 denkleminde p yerine x 1 + x ve q yerine x 1. x yazalım: x - (x 1 + x ) x + x 1. x = 0. Bu eşitliğin sol tarafı (x - x 1 ) (x - x ) dir (Bunun doğruluğunu görmek için buradaki çarpma işlemini yapmak yeterlidir). Bu durumda denklem (x - x 1 ) (x- x ) = 0 şeklini alır. Buradan x- x 1 = 0 veya x x = 0, buradan da x = x 1 veya x = x bulunur. Buna göre tahminimiz doğrulanmaktadır. Yani: İki sayının toplamı p, çarpımı q ise bu iki sayı, x - px + q = 0 denkleminin kökleridir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

60 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 57 Bazı ikinci dereceden denklemleri yukarıda verdiğimiz formülü kullanmadan daha kolay çözebiliriz. Örneğin x - 9 = 0 denkleminin çözümü için formüle gerek yoktur. Bunun çözümü için sol tarafı çarpanlara ayırmak yeterlidir. (x -3) (x + 3) = 0, buradan x - 3 = 0 veya x + 3 = 0 olmalıdır. Buradan da x = 3 ve x = -3 bulunur. Benzer şekilde x + 8x = 0 denklemi, x (x + 8) = 0 şeklinde yazılabilir, buradan x = 0, x = - 8 çözümleri elde edilir. ax + bx + c = 0 denkleminde > 0 ise bu denklemin kökleri, - b x 1, = ± b - ac a formülü ile de bulunabilir. Bu formülün doğruluğunu görmek istiyorsanız, x 1, = -b ± formülünde pay ve paydayı ile bölünüz. b nin çift sayı olması a durumunda oldukça kullanışlı olan bu formüle yarım formül denir. Örnek: 4x - 4x - 13 = 0 denkleminin çözümünü bulalım. Çözüm: b çift sayı olduğundan yarım formülü kullanabiliriz. x 1, = 1 ± 1-4. (-13) 4 1 ± 14 = 4, buradan x 1 = 6,5, x = - 0,5 bulunur. Ç = {6,5, -0,5} dır. Örnek: Bir karenin kenarlarından birisi birim kısaltılıp, diğer kenar 4 birim uzatılırsa, elde edilen dikdörtgenin alanı 80 birim kare oluyor. Buna göre karenin kenar uzunluğu kaç birimdir? Çözüm: Karenin kenar uzunluğuna x dersek, dikdörtgenin kenar uzunlukları x - ve x + 4 birim olur. Dikdörtgenin alanı 80 birim kare olduğuna göre, (x - ). (x + 4) = 80 olmalıdır. Bu eşitliğin sol tarafını açarsak, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

61 58 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER x + x - 8 = 80, x + x - 88 = 0 x x + 4 x - denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri, x = - 1 ± = - 1 ± 89 = - 1 ± 17 x 1 = - 18, x = 16 dır. Negatif bir sayı kenar uzunluğu olamayacağından karenin kenar uzunluğu 16 birimdir. Örnek: Dikdörtgen şeklinde bir kartonun köşelerinden, bir kenar uzunluğu cm olan eşit kareler kesilerek dikdörtgenler prizması şeklinde üstü açık bir kutu yapılmıştır. Kutunun tabanının uzun kenarı, kısa kenarından 5 cm daha uzun ve kutunun hacmi 1000 cm 3 olduğuna göre, dikdörtgen biçimindeki kartonun kısa kenar uzunluğu kaç cm dir? Çözüm: Kartonun kısa kenarının uzunluğu x cm olsun. Buna göre kutunun tabanının kısa kenarının uzunluğu x - 4 cm, uzun kenarının uzunluğu x = x +1 cm, yüksekliği ise cm dir. Buna göre kutunun hacmi (x - 4)(x +1) cm 3 olur. Bu durumda (x - 4)(x +1) = 1000 eşitliğini sağlayan x sayısı kartonun kısa kenar uzunluğunu verecektir. x (x - 4)(x +1) = 1000 (x - 4)(x +1) = 500 x -3x - 4 = 500 x -3x = 0 Bu denklemin kökleri, x + 1 x - 4 x 1, = 3 ± = 3 ± 45 buradan da x 1 = 4, x = -1 bulunur. Negatif sayı kenar uzunluğu olamayacağından aradığımız cevap 4 cm dir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

62 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 59 Bazı denklemlerin köklerinin bulunması, bir ikinci dereceden denklemin köklerinin bulunmasına indirgenebilir. Şimdi buna ait birkaç örnek verelim. Örnek: x - 1 x = 5 6 denklemini çözünüz. Çözüm: Verilen denklemde x 0 olmak zorundadır, çünkü x = 0 için payda sıfır olmaktadır, bu nedenle denklem anlamlı olmaz. x 0 olmasının manası, kökleri IR de değil IR - {0} da arayacağız demektir. Yani denklemi çözmek için yapılan işlemler sonunda elde edilen "yardımcı" denklemin köklerinden birisi 0 ise, 0 esas denklemin kökü olamaz. x - 1 x = 5 6, x - 1 x = 5 6. Burada her iki tarafı 6x ile çarparsak, 6 (x - 1 ) = 5x, 6x - 5x - 6 = 0 elde ederiz. Bu denklemde = (-5) (-6) = 169 > 0 olduğundan farklı iki gerçel kök vardır: x 1 = = 3, x = = - 3, Ç = 3, - 3. Örnek: Bir gün, ekmek fiyatlarına 5000 TL zam geliyor ve bir işçi, bir günlüğü ile alabildiği ekmek sayısından 10 ekmek daha az ekmek alabilir duruma düşüyor. İşçinin günlüğü TL olduğuna göre ekmeğin eski fiyatı kaç liradır? Çözüm: Ekmeğin eski fiyatına x diyelim. İşçinin ekmek zammından önce alabildiği ekmek sayısı x, ekmek zammından sonra alabildiği ekmek sayısı ise x dir. İkinci sayı birincisinden 10 eksik olduğundan AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

63 60 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER x - 10 = x eşitliğini sağlayan x sayısı ekmek fiyatını verecektir. Bu eşitliğin her iki tarafını x (x ) ile çarparsak, (x )-10x(x ) = x, buradan -10 x x = 0 x x = 0 elde ederiz. Bu denklemin köklerini bulalım. b = çift sayı olduğundan yarım formülü kullanabiliriz. x 1, = ± = ± = ± = ± = ± , buradan x 1 = , x = bulunur. Ekmek fiyatı negatif olamayacağından aradığımız cevap TL dir. Örnek: 4x x = -1 denkleminin çözüm kümesini bulalım Çözüm: Bu denklemin (varsa) kökünü bulmak için kareköklü ifade eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır ve her iki tarafın karesi alınır. 4x + 1 = x - 1, 4x + 1 = (x - 1), 4x + 1 = x - x + 1, x - 6x = 0, buradan da x = 6 ve x = 0 bulunur. Ancak bulunan bu sayıların esas denklemin kökü olup olmadığı mutlaka kontrol edilmelidir. 6 nın verilen denklemi sağlayıp sağlamadığına bakalım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

64 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER = -1, 5-6 = -1, bu eşitlik doğru olduğundan 6 verilen denklemin köküdür. Şimdi de 0 ın denklemi sağlayıp sağlamadığına bakalım = -1 1 = -1 Bu eşitlik doğru olmadığından 0 kök değildir. O halde çözüm kümesi Ç = {6} dır. Denklemlerde bulunan sayıların denklemin kökü olup olmadığını mutlaka kontrol ediniz. Bir dikdörtgenin kısa kenarı, uzun kenarından 7 cm, köşegeninden 8 cm kısa olduğuna göre, dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu kaç cm dir? Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan bir kapalı dairesel dik silindirin toplam yüzey alanı S = πr + πrh dir. Yüksekliği 10 cm, toplam yüzey alanı 88π cm olan bir silindirin taban yarıçapı kaç cm dir? Cevaplarınız birinci problem için, 5 cm, ikinci problem için 8 cm olmalıydı. Bir ikinci dereceden denklemi çözmeden denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını bulabilir misiniz???? Cevabınız evet olmalıydı. a x + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı - b a, kökler çarpımı c a dır. Kökler farkı, köklerin kareleri toplamı, köklerin sıfırdan farklı olması halinde köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını katsayılar türünden ifade edebilir misiniz?? Cevaplarınız şu şekilde olmalıydı. x 1 - x = a, x 1 + x = b - ac a, 1 x1 + 1 x = - b c. a, b, c IR, a 0, olmak üzere, ax + bx + c ifadesine bir ikinci derece üç terimlisi denir. ax + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri var ve kökler x 1, x ise, üçterimli a(x - x 1 )(x- x ) biçiminde yazılabilir, diğer bir deyişle çarpanlarına ayrılabilir. Yani ax + bx + c = a(x - x 1 )(x - x ) dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

65 6 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Örnek: 3x + 5x - üç terimlisini çarpanlarına ayırınız. Çözüm: 3x + 5x - = 0 denkleminin kökleri x 1 = 1/3, x = - olduğundan, 3x + 5x - = 3 x x + dir.? 6x + x - 1 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız. 5x - 30x + 9 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız. Cevaplarınız 6 x + 1 x - 1 3, 5 x olmalıydı.? ax + bx + c = 0 denkleminin tek kökü varsa, yazılabilir mi? Cevabınız evet olmalıydı. ax + bx + c = a x + b a ax + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri yoksa, ax + bx + c = a x + b a + - a yazılabilir. 4. Eşitsizlikler 4.1. Birinci Dereceden Eşitsizlikler a, b IR, a 0 olmak üzere, ax + b ifadesine bir iki terimli denir. Bir iki terimli x değişkenine verilecek gerçel değerlere göre pozitif, negatif veya sıfır değerini alır. Örneğin - 4x + 7 iki terimlisi x = 0 için pozitif bir değer, x = için negatif bir değer alırken x = 7/4 için 0 değerini almaktadır. Bazı problemlerin çözümü, böyle bir iki terimlinin x in hangi değerleri için sıfır, x in hangi değerleri için pozitif veya x in hangi değerleri için negatif değerler aldığını bilmemizi gerektirebilir. ax + b iki terimli sinin, sadece ax + b = 0 denkleminin kökü olan x = - için sıfır değerini aldığını a b biliyoruz. Böyle bir iki terimlinin pozitif değerler alması demek x in bazı değerleri için ax + b > 0 eşitsizliğinin sağlanması, benzer şekilde negatif değerler alması da bazı x ler için ax + b < 0 eşitsizliğinin sağlanması demektir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

66 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 63 a, b IR, a 0 olmak üzere, ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0 biçiminde yazılabilen eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik veya kısaca birinci dereceden eşitsizlik denir. Eşitsizliği doğru kılan x gerçel sayılarının kümesine de eşitsizliğin çözüm kümesi,bu kümenin bulunması işlemine de eşitsizliğin çözülmesi denir. Şimdi bu tip eşitsizliklerin çözüm kümesinin nasıl bulunacağını görelim. ax + b > 0 eşitsizliğini ele alalım. Diğer eşitsizliklerin çözümleri benzer yolla bulunabilir. Sadece, > yerine "<", " ", " " işaretleri gelir. 1. yol: ax + b > 0 ax > - b, şimdi burada her iki tarafı a ya böleceğiz. Ancak biraz dikkatli olmamız gerekiyor. Çünkü bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıya bölünürse eşitsizlikte yön değişmez, ancak negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlikte yön değişir. Bu nedenle eğer a > 0 ise x > - b a a < 0 ise x < - b a elde edilir. Birinci durumda çözüm kümesi Ç = - b a, aralığı, ikinci durumda ise Ç = -, - b a aralığıdır. Örnek: x + 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: x + 4 > 0 x > - 4, x > - 4, x > -. Buna göre çözüm kümesi Ç = ( -, ) dır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

67 64 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Örnek: - 3x eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: Bu eşitsizliğin bir önceki eşitsizlikten farkı, > işareti yerine gelmiş olmasıdır. Ancak bu değişiklik çözüm yönteminde önemli bir değişikliği gerektirmemektedir, sadece > işareti yerine işareti gelecektir. -3x + 4 3, -3x + 1 0, -3x -1, x -1-3, x 1 3. Buna göre çözüm kümesi, Ç = -, 1 3 dır. Burada her iki tarafı negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizliğin yön değiştirdiğine dikkat ediniz.. yol: ax + b > 0 eşitsizliğini göz önüne alalım. Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için ax + b ifadesinin, x in hangi değerleri için pozitif, hangi değeri için sıfır veya hangi değerleri için negatif olduğunu belirlememiz gerekmektedir. ax + b ifadesini a x + b a biçiminde yazabiliriz. ax + b = a x + b a eşitliğinde x < - b a ise x + b a < 0 olacağından a x + b a, dolayısıyla ax + b, a ile ters işaretli bir değer olur. Yani a pozitif ise ax + b negatif bir değer, a negatif ise pozitif bir değer olur. x = - b a ise ax + b = 0 olduğunu biliyoruz. Eğer x > - b a ise x + b a > 0 olacağından a x + b a, dolayısıyla ax + b, a ile aynı işaretli bir değer olur. Kısaca, a > 0 iken x < - b a ise ax + b negatif (yani a ile ters ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

68 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 65 işaretli), x > - b a ise ax + b pozitiftir (yani a ile aynı işaretlidir). Bu durumu tablo ile şöyle ifade edebiliriz. a > 0 ise x - b a ax + b Negatif bir değer 0 Pozitif bir değer Benzer şekilde, a < 0 iken x < - a b ise ax + b pozitif (yani a ile ters işaretli), x > - b ise ax + b a negatiftir (yani a ile aynı işaretlidir). Bu durumu da tabloda şu şekilde gösterebiliriz. a < 0 ise x - b a ax + b Pozitif bir değer 0 Negatif bir değer Dikkat ederseniz, a nın işareti ne olursa olsun, x değişkeni negatif ve yeteri kadar küçük değerlerden pozitif ve yeteri kadar büyük değerlere doğru değiştikçe, yani x değişkeni - dan + a doğru değiştikçe, ax + b ifadesi ancak bir kez işaret değiştirmektedir. Tablo ile çözümün basit olmasının nedeni de budur. Yukarıdaki iki tabloyu tek bir tablo ile kısaca şöyle ifade edebiliriz. x - b a ax + b a ile ters işaretli bir değer 0 a ile aynı işaretli bir değer Bu tabloya ax + b ifadesinin işaret tablosu denir. Birinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için, ax + b nin işaret tablosu hazırlanır ve çözüm kümesi belirlenir. Şimdi yukarıda çözdüğümüz örnekleri bir de bu yöntemle çözelim. Örnek: x + 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

69 66 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Çözüm: Önce x + 4 ifadesinin işaret tablosunu hazırlayalım. Bunun için işaretin değişim noktası olan x + 4 = 0 denkleminin kökünü bulmamız gerekiyor. Bu kökün - olduğu açıktır. a = > 0 olduğundan tablo aşağıdaki şekildedir. x - x + 4 _ 0 + Tabloya göre x > - için x + 4 >0 olduğundan çözüm kümesi Ç = (-, ) dır. Örnek: -3x eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: - 3x ise - 3x dır. - 3x +1 = 0 denkleminin kökü a = - 3 < 0 olduğundan - 3x + 1 in işaret tablosu aşağıdaki şekildedir. x = 1 3 dir. x 1/3-3x _ x 1 3 için -3x olduğundan çözüm kümesi Ç = ( -, 1 3 ] dir. Örnek: x - > 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 3 - x Çözüm:? Eşitsizliğe bakar bakmaz aklımıza şu soru gelmektedir. Burada her iki tarafı (3 - x) ile çarpabilir miyiz? Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirmez, ancak negatif bir sayı ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir. Burada 3 - x in işareti x e bağlıdır. x üzerine "x < 3 veya x > 3 olsun" gibi bir koşul bindirmeden her iki ta- ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

70 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 67 rafı 3 - x ile çarpamayız. Bu koşulları bindirdikten sonra koşullara göre çözüm kümelerini bulup bu çözüm kümelerinin birleşimlerini almamız gerekir. Ancak böyle bir soruya yukarıda verdiğimiz tablo yöntemi ile daha kolay cevap verebiliriz. Bunun için önce 1 i eşitsizliğin sol tarafına alıp toplama işlemini yapmamız gerekmektedir. x x > 1, x x -1 > 0, x x > 0, x x 3 - x > 0 Böyle bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için, pay ve paydanın işaretlerine göre bölümün işareti incelenir. Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi pay ve paydanın işaretlerini inceleyelim. Bunun için öncelikle pay ve paydanın köklerini bulmamız gerekiyor. x - 5 = 0, x = 5 ; 3 - x = 0, x = 3 Buna göre tabloyu oluşturalım. x 5/ 3 x x _ _ x x _ 0 + _ Tablodan görüldüğü gibi, x < 5/ için x - 5 < 0 ve 3 - x > 0 olduğundan x x < 0 ; 5/ x < 3 için x ve 3 - x > 0 olduğundan x x 0 ; 5/ x < 3 için x ve 3 - x > 0 olduğundan x x < 0. x = 3 için payda sıfır olduğundan x - 5 tanımsızdır, bu durumu düşey çift 3 - x çizgi ile belirtiyoruz. Bu sonuçlara göre, eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = ( 5/, 3) aralığıdır. Burada x = 5/ için kesir 0 olduğundan 5/ çözüm kümesine dahil değildir. 3x + 4 x - gösteriniz? 0 eşitsizli ğinin çözüm kümesinin (-, - 4/3] (, ) olduğunu? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

71 68 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Örnek: 3x eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Bir a sayısının mutlak değeri 7 den küçük veya eşit ise, -7 a 7 olmalıdır. Bunun tersi de doğrudur. Bu nedenle, 3x x dir. Bu son eşitsizliğin çözüm kümesi aradığımız çözüm kümesidir. -7 3x - 8 7, x x 15, 1 3 x 5, buna göre çözüm kümesi Ç = [ 1/3, 5] kapalı aralığıdır. Örnek: - 4x + 7 > 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Bir gerçel sayının mutlak değeri 5 den büyük ise o sayı ya 5 den büyüktür veya 5 den küçüktür. Bunun tersi de doğrudur. Bu nedenle, - 4x + 7 > 5-4x + 7 > 5 veya - 4x + 7 < -5 dir. Bu iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin birleşimi aradığımız çözüm kümesi olacaktır. - 4x + 7 > 5-4x > - x < 0,5 Ç 1 = (-, 0,5), - 4x + 7 < -5-4x < -1 x > 3 Ç = (3, ),? buna göre, çözüm kümesi Ç = (-, 0,5) (3, ) dır. 1) x + x ) x - 4 > 3x eşitsizliklerinin çözüm kümelerini bulunuz. Cevaplarınız ( -, - 1] ve ( -, 1) aralıkları olmalıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

72 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER İkinci Dereceden Eşitsizlikler a, b, c IR ve a 0 olmak üzere, ax + bx + c > 0, ax + bx + c 0, ax + bx + c < 0, ax + bx + c 0 biçiminde ifade edilebilen eşitsizliklere bir bilinmeyenli ikinci dereceden eşitsiz likler veya kısaca ikinci dereceden eşitsizlikler denir. Bu tür eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulmak için ax + bx + c üç terimlisinin işaretini incelememiz, yani bu ifadenin x in hangi değerleri için pozitif, x in hangi değerleri için negatif bir değer aldığını belirlememiz gerekir. Bu işaret ise, a nın işareti ile birlikte ax + bx + c = 0 denkleminin köklerine bağlıdır. i. > 0. Yani, ax + bx + c = 0 denkleminin x 1 < x olmak üzere x 1 ve x gibi farklı iki gerçel kökü olsun. Bu durumda ax + bx + c = a (x x 1 ) (x x ) yazılabileceğini biliyoruz. Şimdi x değişkeni - dan kadar tüm gerçel sayıları tarasın. Eğer x < x 1 ise x x 1 < 0 ve x - x < 0 olacağından (x x 1 ) (x x ) > 0 olur. Bu durumda a (x x 1 ) (x x ) ve dolayısıyla ax + bx + c üçterimlisi a ile aynı işaretli bir değer alır. Eğer x 1 < x < x ise x x 1 > 0 ve x x < 0 olacağından (x x 1 ) (x x ) < 0 olur. Bu nedenle a (x x 1 ) (x x ) ve dolayısıyla ax + bx + c üç terimlisi a ile ters işaretli bir değer alır. Eğer x>x ise x x 1 ve x x çarpanlarının her ikisi de pozitif olacağından a (x x 1 ) (x x ) = ax + bx + c üç terimlisi a ile aynı işaretli bir değer alır. Bu durumları bir tablo ile kısaca ifade edebiliriz. x x 1 x ax + bx + c a ile aynı işaretli a ile ters işaretli a ile aynı işaretli bir değer 0 bir değer 0 bir değer Böyle bir tabloya ax + bx + c üç terimlisinin işaret tablosu denir. ii. = 0, yani a x + bx + c = 0 denkleminin tek kökü olsun. Bu durumda ax + bx + c üç terimlisinin, a x + b a biçiminde yazılabileceğini biliyoruz. Burada x + b a ifadesi x = - b a için sıfır, diğer durumlarda daima pozitif olduğundan a x + b a dolayısıyla a x + bx + c üç terimlisi daima a ile aynı işaretli bir değer alır. Bu durumda işaret tablosu şu şekilde olur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

73 70 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER x - b a ax + bx + c a ile aynı işaretli a ile aynı işaretli bir değer 0 bir değer iii. < 0, yani ax + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökü olmasın. Bu durumda ax + bx + c = a x + b a + 4ac - b 4a yazılabileceğini biliyoruz. Burada = b 4ac < 0 olduğundan 4ac b > 0 dır, dolayısıyla köşeli parantezin içi daima pozitiftir. Bu nedenle ax + bx + c daima a ile aynı işaretli bir değer alır. Bu durumda işaret tablosu şu şekildedir. x ax + bx + c a ile aynı işaretli bir değer Örnek: x 3x + 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için x 3x + üç terimlisinin işaret tablosunu hazırlamamız gerekmektedir. Bunun için de x 3x + = 0 denkleminin köklerini araştırmalıyız. = (-3) 4.1. = 1 > 0 olduğundan denklemin farklı iki gerçel kökü vardır ve bu kökler x 1, = 3 ± 1, x 1 = 1, x = dir. Buna göre işaret tablosu şu şekildedir. x 1 x - 3x + + _ Tabloya göre x e 1 den küçük veya den büyük bir değer verirsek x 3x + üç terimlisi pozitif bir değer, x e 1 ile arasında bir değer verirsek bu üç terimli negatif bir değer, x = 1 ve x = için 0 değerini aldığından eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = (-, 1] [, ) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

74 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 71 dır. Burada eşitsizlik biçiminde olduğundan üç terimlinin sıfır olduğu 1 ve nin de çözüm kümesine dahil olduğuna dikkat ediniz. Üç terimlinin kökleri içermeyen herhangi bir açık aralıktaki işareti, bu aralıktan seçilen herhangi bir noktada üç terimlinin aldığı değerin işareti ile aynıdır. Örneğin x - 3x + üç terimlisinin (-, 1) aralığında işaretini belirleyelim. Bunun için bu aralıktan keyfi bir nokta seçelim, işlem yapması kolay olduğu için 0 noktasını seçelim, (siz isterseniz veya seçebilirsiniz). 0 için üç terimli + değerini almaktadır. Dolayısıyla (-, 1) aralığında x - 3x + üç terimlisinin işareti + dır. Bunun doğruluğu yukarıdaki tablodan da açıkça görülmektedir. Örnek: - 9x + 6x 1 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: tür. Buna göre, a = - 9 < 0 oldu- = 0 olduğundan tek kök vardır ve bu kök ğundan, işaret tablosu aşağıdaki gibidir. 1 3 x 1/3-9x + 6x -1 _ 0 Tablodan görüldüğü gibi, - 9x + 6x 1 üçterimlisi sadece x = 1/3 noktasında sıfır olmakta, bunun dışındaki noktalarda ise daima negatif değer almaktadır. Buna göre eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = IR {1/3} = (-, 1/3) (1/3, ) dir. Bu cevabın doğruluğunu aşağıdaki eşitliğe bakarak kontrol ediniz. -9x + 6x - 1 = -9 x Örnek: x 4x + 5 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: = 16 0 = - 4 < 0 olduğundan üçterimli daima a ile aynı işaretli bir değer alır. a = 1 > 0 olduğundan üç terimli daima pozitif değer alır, hiçbir noktada sıfır veya negatif olmaz. Bu nedenle eşitsizliğin çözüm kümesi boş kümedir: Ç =. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

75 7 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Örnek: 1 x - 1 x + 1 < 4 15 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Bu eşitsizliği çözmek için önce bazı düzenlemeler yapmamız gerekmektedir. 1 x - 1 x + 1 < 4 15, x x x (x + 1) < 0, -4x - 4x x (x + 1) < 0. Son eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ayrı ayrı işaretlerini inceleyerek bölümün işaretini inceleyelim. Bunun için pay ve paydanın köklerini bulalım. - 4x 4x + 15 = 0 ise x 1 = - 5/, x = 3/ dir. 15x (x +1) = 0 ise x 1 = 0, x = - 1 dir. x - 5/ / - 4x - 4x + 15 _ _ 15x (x + 1) _ x - 4x x (x + 1) _ 0 + _ + 0 _ Tabloya göre, eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = ( -, - 5/) (- 1, 0) (3/, ) olur. Örnek: Bir maldan x birim satıldığında elde edilen karın, -x x TL olduğu belirlenmiştir. Buna göre, kârın TL dan az olmaması için ne kadar mal satılmalıdır? Çözüm: Karın dan az olmaması için satılan mal miktarını ifade eden x in -x x eşitsizliğini sağlaması gerekir. Şimdi bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

76 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 73 -x x , x 1, = -100 ± x 1 = 600, x = ± = - x x x _ _ Buna göre, 600 x koşulunu sağlayan x miktarda mal satıldığında kar TL dan az olmaz. 5. Yüksek Dereceden Denklemler n IN, a 0, a 1,..., a n-1, a n IR ve a 0 0 olmak üzere, a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n biçimindeki bir cebirsel ifadeye n-inci dereceden polinom (çok terimli), a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n = 0 biçiminde yazılabilen bir denkleme de n-inci dereceden bir bilinmeyenli polinom denklem veya kısaca n-inci dereceden denklem denir. n-inci dereceden bir polinom bazan kısaca P(x), Q(x),... şeklinde gösterilir. Örneğin, P(x) = 5x 3-4x + x + 5 üçüncü dereceden, Q(x) = x 13 - x ,5x onüçüncü dereceden bir polinomdur. 5x 3-4x + x + 5 = 0 üçüncü dereceden, x 13 - x ,5x = 0 ise onüçüncü dereceden bir denklemdir. 1-inci ve -inci dereceden denklemleri önceki kesimlerde incelemiştik. Bu incelemelerden hatırlayacağınız gibi birinci dereceden denklemin bir tane gerçel kökü varken ikinci dereceden denklemin en çok iki tane gerçel kökü vardır. Genel olarak denklemin derecesi ile gerçel köklerinin sayısı hakkında, burada ispatını vermeyeceğimiz, şu ilişkiyi söyleyebiliriz. n-inci dereceden bir polinom denklemin en çok n tane gerçel kökü vardır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

77 74 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Her dereceden polinom denklemlerin çözümünde izlenebilecek kesin yöntemler bulma konusunda çok çalışmalar yapılmış ve 3. ve 4. dereceden denklemlerin çözümünde kullanılabilecek kesin yöntemler bulunmuştur. Ancak bu yöntemler de çok kullanışlı değildir. 5 ve daha yüksek dereceden denklemlerin çözümünde izlenebilecek kesin bir yöntem yoktur. Yüksek dereceden denklemlerin kökleri günümüzde bilgisayarlar yardımı ile yaklaşık olarak bulunabilmektedir. b IR olmak üzere, P(x) = a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n polinomunu x b ye böldüğümüzde, bölüm Q(x), kalan K sabit sayısı olmak üzere, P(x) = (x b) Q(x) + K yazılabilir. P(x) = (x b) Q(x) + K eşitliğinde x yerine b yazarsak, P(b) = (b b) Q(b) + K, buradan da K = P(b) bulunur. Buna göre, P(x) polinomunun x b ye bölümünden kalan P(b) dir. P(x) = (x b) Q(x) + K eşitliğinde, eğer K = 0 ise P(x) polinomu x b ye kalansız bölünüyor demektir.tersine, P(x) in x b ye kalansız bölünebilmesi için K = P(b) = 0 olmalıdır. Böylece aşağıdaki teoremi ispatlamış olduk. Teorem: P(x) polinomunun x b ye kalansız bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul P(b) = 0 olması, diğer bir deyişle x = b nin P(x) = 0 denkleminin bir kökü olmasıdır. P(x) polinomu x b ye kalansız bölündüğünde, Q(x), (n-1)-inci dereceden bir polinom olmak üzere, P(x) = (x b) Q(x) yazılabileceği açıktır. Örnek: P(x) = x 4 x 3 + 5x + polinomu verilsin. Bu polinom x + 1 e kalansız bölünebilir. Çünkü P(-1) = (-1) 4 - (-1) 3 + 5(-1) + = = 0. P(x) polinomunu x +1 bölersek, bölüm olarak, Q(x) = x 3 3x + 3x + buluruz. Buna göre, x 4 x 3 + 5x + = (x +1 ) (x 3 3x +3x + ) yazabiliriz. Örnek: P(x) = x 3 - x - x - polinomu x - ye kalansız bölünür. Çünkü, P() = = = 0 dır. Bölme işleminden sonra, x 3 x x = (x ) (x + x +1 ) yazabiliriz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

78 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 75 Şimdi yüksek dereceli bazı denklemlerin köklerinin bulunması ile ilgili bir teoremi ve bu teoremin uygulamalarını görelim. Teorem: a 1, a,..., a n-1, a n birer tam sayı olmak üzere, x n + a 1 x n-1 + a x n a n-1 x + a n = 0 n-inci dereceden polinom denklemi verilsin. Bir p tam sayısı bu denklemin bir kökü ise p sayısı a n katsayısının (sabit teriminin) bir bölenidir. İspat: x = p tam sayısı denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar, yani p n + a 1 p n-1 + a p n a n-1 p + a n = 0 dır. Buradan p n + a 1 p n-1 + a p n a n-1 p = - a n p(p n-1 + a 1 p n- + a p n a n-1 ) = - a n. Bu eşitlikte p, a 1, a,...,a n-1 birer tam sayı olduğundan sol taraf bir tam sayıdır ve p ile bölünür. Bu nedenle sağ taraf ve dolayısıyla a n katsayısı p ile bölünür. Örnek: x 3 + 4x + x 6 = 0 denkleminin köklerini araştırınız. Çözüm: Yukarıdaki teoreme göre, bu denklemin varsa tam sayı kökleri, sabit terim olan a 3 = - 6 nın bölenleridir. Bu nedenle (- 6) nın bölenleri olan -1, 1, -,, -3, 3, -6 ve 6 sayılarının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edersek, -, -3 ve 1 in denklemin kökleri olduğunu görürüz. Denklem üçüncü dereceden olduğundan en fazla üç tane gerçel kökü vardır. Denklemi sağlayan (varsa) üç tane tam sayı bulunduktan sonra, kontrol edilmeyen bölenler denklemi sağlamaz, bu nedenle başka kök aramaya gerek yoktur. Her zaman yukarıdaki örnekte olduğu kadar şanslı olmayabiliriz. Karşılaşabileceğimiz durumları görmek için aşağıdaki örnekleri ele alalım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

79 76 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Örnek: x 3-5x + 5x + 3 = 0 denklemini çözünüz. En büyük dereceli terimin katsayısı 1 olduğundan bu denklemin varsa tam sayı olan kökleri 3 ün bölenidir. 3 ün bölenleri -1, 1, -3, 3 tür. Bu sayıların denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edersek 3 ün denklemi sağladığını, diğerlerinin sağlamadığını görürüz. Buna göre denklemin köklerinden birisi x = 3 tür. 3 ün diğer bölenleri denklemi sağlamadığından denklemin başka tam sayı kökü yoktur. Tam sayı olmayan eğer varsa diğer kökleri bulmak için x 3-5x - 5x + 3 polinomunu x - 3 e bölelim. Bu işlemi yaparsak bölümün x x 1 olduğunu görürüz. O halde x 3-5x + 5x + 3 = (x - 3) (x - x -1) yazabiliriz. x 3-5x + 5x + 3 = (x - 3) (x - x - 1)= 0 olması için x - 3 = 0 veya x - x - 1 = 0 olmalıdır. x - 3 = 0 ise x = 3, x - x - 1 = 0 ise x 1 = 1 +, x = 1 - dir. O halde denklemin çözüm kümesi Ç = {3, 1 +, 1 - } dir. Örnek: x 4 - x 3 + 3x - 8x - 4 = 0 denkleminin tam sayı köklerini araştıralım. Çözüm: Önce - 4 ün bölenleri arasından varsa tam sayı köklerini araştıralım. -1, 1, -,, - 4 ve 4 sayılarının hiç birisi denklemi sağlamamaktadır.bu nedenle denklemin tamsayı kökü yoktur diyebiliriz.bu yöntemle, denklemin gerçel kökleri hakkında bir şey söyleyemeyiz. Bu denklemin köklerinin araştırılması amacımız dışındadır. Örnek: x 4 - x 3 + 5x - 8x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini araştıralım. Çözüm: 4 ün bölenleri olan -1, 1, -,, -4 ve 4 sayılarından 1 in denklemi sağladığı kolayca görülebilir. O halde x = 1 denklemin köküdür. x 4 - x 3 + 5x - 8x + 4 polinomunu x - 1 e bölerek x 4 - x 3 + 5x - 8x + 4 = (x - 1 ) (x 3 - x + 4x - 4) = 0 yazabiliriz. Buradan x -1 = 0 veya x 3 - x + 4x - 4 = 0 olması gerektiği açıktır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

80 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 77 x 3 - x + 4x - 4 = 0 denkleminde - 4 ün bölenlerinden 1 denklemi sağlamaktadır. Bu nedenle x 3 - x + 4x - 4 = (x - 1)(x + 4) yazılabilir. Buna göre, x 4 - x 3 + 5x - 8x + 4 = (x - 1) (x + 4) dır. x 4 - x 3 + 5x - 8x + 4 = 0 ise (x - 1) (x + 4) = 0, buradan (x - 1) = 0 veya x + 4 = 0 olmalıdır. Bu eşitliklerin birincisinden x = 1 iki kat kök olarak bulunur,ikincisinin gerçel kökü yoktur. Bu durumda verilen denklemin çözüm kümesi Ç = {1} dir. Bazı yüksek dereceli denklemlerin çözümleri bir ve ikinci dereceden denklemlerin çözümlerine indirgenebilir. Örnek: x 4-5x + 6 = 0 denklemini çözelim. Çözüm: Bu denklemde x = t dersek, denklem t - 5t + 6 = 0 denklemine dönüşür. Bu ikinci dereceden denklemin kökleri t = ve t = 3 tür. Şimdi t yerine x cinsinden eşitini ya- zarsak x = ve x = 3 olur. Bu denklemlerden de x 1 = -, x =, x 3 = - 3, x 4 = 3 bulunur. Çözüm kümesi Ç = - 3, -,, 3 dir. Örnek: x 5 - x 3-1x = 0 denklemini çözelim. Çözüm: Bu denklemi önce x parantezine alalım, x (x 4 - x -1) = 0, buradan x = 0 veya x 4 - x - 1 = 0 olmalıdır. Birinci eşitlikten x 1 = 0 bulunur. İkinci denklemi bir önceki örnekte izlediğimiz yöntemle çözebiliriz. x = t dersek, t - t - 1 = 0 olur, buradan t = 4, t = - 3 bulunur. x = 4 ise x = -, x 3 = dir. Buna karşılık x = - 3 eşitliğini hiçbir gerçel sayı sağlamaz. Bu nedenle denklemin üç tane gerçel kökü vardır ve bu kökler, x 1 = 0, x = -, x 3 = dir. Ç = {0, -, }. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

81 78 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER Değerlendirme Soruları 1. Kareleri toplamı 1156 olan iki doğal sayının farkı 14 ise bu sayıların çarpımı kaçtır? A. 30 B. 360 C. 40 D. 480 E x + y 6 A. 110 B. 115 C. 10 D. 15 E. 130 açılımında x 4 y 'nin katsayısı kaçtır? 3. x 3 + y 3 x + y : x - y y + x + y - xy x - y A. x + y B. x - y C. 1 D. E. x ifadesinin sadeleşmiş şekli nedir? 4. a 3 xy + a a + x x - xy - a a + y xy - y A. 1 B. a C. ax D. x E. y ifadesinin sadeleşmiş şekli nedir? 5. 3 x - 8 x x + 1 = - x + 1 A. {-, 1} B. {1} C. {1, 3} D. {1, } E. Ø denkleminin çözüm kümesi hangisidir? ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

82 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER katının 7 fazlası karesine eşit olan doğal sayı kaçtır? A. 15 B. 1 C. 9 D. 7 E milyon TL ile bir maldan kaç tane alınıyorsa aynı para ile ikinci maldan 6 tane daha fazla mal alınabilir. Birinci mal ikinciden 3 milyon TL pahalı olduğuna göre, birinci malın fiyatı kaç milyon TL. dir? A. 4,5 B. 5,5 C. 7 D. 8 E x - 3 = 5 - x A. Ø B. {7} C. {4, 7} D. {4} E. {1} denkleminin çözüm kümesi hangisidir? 9. - x - 3x + > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? A. -, 1 B. -, - 1, C. 1, D. -, 1 E. -, (x - ) 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? A. [0, 3] B. [1, 3] C. [- 1, ] D. [- 1, 3] E. [1, ] AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

83 80 ÖZDEŞ L İ KLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİ ZLİ KLER 11. x - 4 x eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? A. (-, 0] [4, ) B. [0, 4] C. [, ) D. [4, ) E. [, 4] 1. 5 katının 4 eksiği karesinden büyük olan en büyük tam sayı kaçtır? A. 1 B. C. 3 D. 4 E x 4 + 3x 3 - x - 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A. {- 5, } B. {- 3, } C. {- 3} D. {1} E. {- 3, 1} 14. Köklerinin toplamı - 1/15, çarpımı - /15 olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A. 15x + 3x + = 0 B. 15x - x - 1 = 0 C. 15x - x + = 0 D. 15x + x - = 0 E. x - x + 15 = x eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir? x + 1 A. (-, - ] B. [1, ) C. [-, - 1) D. [-, - 1] E. (0, 1) Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D. B 3. C 4. B 5. B 6. D 7. D 8. D 9. E 10. B 11. C 1. C 13. E 14. D 15. C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

84 Fonksiyon Kavramı Yazar Prof. Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; fonksiyon kavramını tanıyacak, bir fonksiyonun bire-bir ve örten olup olmadığını araştırabilecek, iki fonksiyonun bileşkesini bulabilecek, ters fonksiyon kavramını anlayacak, fonksiyon grafiği kavramını öğrenip bazı fonksiyonların grafiklerini çizebileceksiniz. İçindekiler Giriş 83 Fonksiyon Kavramı 83 Fonksiyon Grafikleri 98 Değerlendirme Soruları 116

85 Çalışma Önerileri Yazarak çalışınız Bir kavramı anlamadan diğerine geçmeyiniz Çözümleri size bırakılan soruları mutlaka çözünüz ve cevaplarınızı kontrol ediniz Grafikleri doğru çizebilmek için yanınızda kareli kağıt ve cetvel bulundurunuz Hesap makinesinden yararlanınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

86 FONKSİ YON KAVRAMI Giriş Fonksiyon kavramı matematiğin en temel kavramlarından birisidir. Bu kavramı tanımlamadan önce birkaç örneği ele alalım. i) Fiyatı TL olan ekmekten x tane aldığımızda ödeyeceğimiz paraya y dersek y = x yazabiliriz. Burada ödeyeceğimiz paranın aldığımız ekmeğin miktarına bağlı olduğu açıktır. Ekmek miktarı değiştikçe ödenecek para da değişecektir. İşte bu durumda ödenecek para alınan ekmek miktarının bir fonksiyonudur diyoruz. ii) Bir çemberde, Ç çevre uzunluğu, r yarıçap olmak üzere, Ç = πr olduğunu biliyoruz. Burada da yarıçap değiştikçe çevre uzunluğu değişecek ve her bir yarıçap için çevre uzunluğu olarak tek bir sayı bulunacaktır. Bu durumda da çevre uzunluğu yarıçapın bir fonksiyonudur diyoruz. iii) Hava direncinin olmadığı bir ortamda belirli bir yükseklikten serbest bırakılan bir cismin aldığı s yolu ile t zamanı arasında s = 1 gt, g = 9,8 m / sn bağıntısının varlığını fizik derslerinden biliyoruz. Burada da s yolu t zamanına bağlıdır. Yani t değiştikçe s de değişmektedir. Bu durumda da s yolu t zamanının bir fonksiyonudur diyoruz.. Fonksiyon Kavramı Yukarıdaki örneklerle sezdirmeye çalıştığımız fonksiyon kavramının kesin tanımını verelim. Boş kümeden farklı A ve B gibi iki küme verilsin. A kümesindeki her bir elemana B kümesinden bir ve yalnız bir eleman karşılık getiren bir eşlemeye A kümesinden B kümesine bir fonksiyon denir. Bu eşleme genellikle bir kuralla verilir. Bu kural çoğu kez f, g,..., h gibi harflerle gösterilir. A kümesinden B kümesine f kuralı ile verilen fonksiyon f : A B şeklinde gösterilir. Bu durumda A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi, B kümesine de değer kümesi denir. A kümesinden alınan bir x elemanına B kümesinden f ile karşı getirilen elemana x in f altında görüntüsü denir ve bu eleman f(x) ile gösterilir. A kü- AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

87 84 FONKSİ YON KAVRAMI mesindeki tüm elemanların f fonksiyonu altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye f fonksiyonunun görüntü kümesi denir ve f (A) ile gösterilir. Bazen, f : A B fonksiyonuna A üzerinde bir fonksiyon da denir. Örneğin, A ve B kümeleri olarak Z tamsayılar kümesini alalım ve her tam sayıyı karesi ile eşleyen eşlemeyi düşünelim. Bu eşlemede her tam sayıya karşılık o sayının karesi olan bir tam sayı vardır ve bu tamsayı tektir. Bu nedenle bu eşlemeye bir fonksiyondur diyebiliriz. Bu fonksiyon, f : Z Z, x x veya f : Z Z, f (x) = x şeklinde gösterilir. Bu fonksiyon altında 0 ın görüntüsünün 0, - 1 ile 1 in görüntüsünün 1, - 4 ile 4 ün görüntüsünün 16 olduğunu şu şekilde ifade ederiz: f (0) = 0, f (-1) = 1, f (1) = 1, f (- 4) = 16, f (4) = 16. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümeleri Z tam sayılar kümesi iken her tam sayının karesi pozitif tam sayı veya 0 olduğundan görüntü kümesi, f (Z) = IN {0} dır. Bu fonksiyonu Venn şeması ile şöyle gösterebiliriz. f Z Z Tanım kümesine ait her bir elemanın bir fonksiyon altındaki görüntüsü tek olmak zorundadır, ancak tanım kümesine ait farklı iki elemanın görüntüsü aynı olabilir. Örneğin yukarıdaki f fonksiyonunda f (-1) = f (1) = 1 dir. Ünitenin başlangıcındaki birinci örneğimizde, alınan ekmek sayısı doğal sayılarla ifade edildiğinden tanım kümesi IN doğal sayılar kümesi, değer kümesi ise, satın alınan ekmek sayısı katı ile eşlendiğinden o da IN olarak alınabilir. Buna göre bu fonksiyon şu şekilde ifade edilir: g: IN IN, g (x) = x. Burada değer kümesi, den büyük doğal sayılar kümesini içeren herhangi bir küme de olabilir. Örneğin Z, Q veya IR alınabilir: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

88 FONKSİ YON KAVRAMI 85 h: IN Z, h (x) = x, k: IN Q, k (x) = x, l: IN IR, l (x) = x. Ancak bu durumlarda fonksiyon doğal sayılar kümesinden doğal sayılar kümesine değil, doğal sayılar kümesinden sırasıyla tamsayılar, rasyonel sayılar veya gerçel sayılar kümesine tanımlanmış bir fonksiyon olur. Bu fonksiyonların görüntüleri aynıdır ve hepsinde den büyük doğal sayılar kümesidir. İkinci ve üçüncü örneklerimizi bir fonksiyon olarak şöyle ifade edebiliriz: t: IR + IR, t (r) = πr, burada yarıçapın herhangi bir pozitif gerçel sayı olabileceğine dikkat ediniz, s : IR + IR, s t = 1 gt, burada da her türlü kesirli zamanın ölçülebildiğini varsaymış bulunuyoruz. Bu son örneklerimizden de görüldüğü gibi, bir fonksiyonda tanım kümesinin elemanları x den farklı harflerle de gösterilebilir. Örneğin yukarıdaki f fonksiyonu, f : Z Z, f (n) = n, veya f : Z Z, f (u)= u şeklinde de ifade edilebilir. Bir fonksiyonda önemli olan,tanım ve değer kümelerinin elemanlarının, bunlar farklı harfle gösterilmek koşuluyla, hangi harfle gösterildiği değil, tanım ve değer kümeleri ile bu kümelere ait elemanların nasıl eşlendiği, yani kural önemlidir. Alanı 10 birim olan dikdörtgeninin yüksekliğini x taban uzunluğunun fonksiyonu olarak yazınız.? Cevabınız fx = 10 x olmalıdır. Örnek: Yukarıda verilen g, t, s fonksiyonlarına göre g (10), t (3) ve s (5) görüntülerini bulalım. Çözüm: g : IN IN, g (x) = x olduğundan g (10) = = , buna göre 10 ekmeğin bedelinin TL olduğu açıktır. t: R + IR, t (r) = πr olduğundan t (3) = π. 3 = 6 π 18,84, buna göre, yarıçapı 3 cm olan bir çemberin çevresi yaklaşık olarak 18,84 cm dir. s : IR + IR, s t = 1 gt, g = 9,8 m /sn olduğundan s 5 = 1 9,8. 5 = 4,9. 5 = 1,5, buna göre, yeteri kadar yüksek bir yerden serbest düşmeye bırakılan bir cisim 5 saniyede 1,5 m yol alır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

89 86 FONKSİ YON KAVRAMI Örnek: A = {x x Türkiye de bir il}, B = IN olmak üzere, her ili trafikteki plaka numarasına gönderen bir fonksiyondan söz edebiliriz. Bu fonksiyona göre Eskişehir in görüntüsü 6, İstanbul un görüntüsü 34 dür. Bu fonksiyona p dersek, p(eskişehir) = 6, p(istanbul) = 34 yazabiliriz.(bu fonksiyonda 1 i 01, yi 0,..., 9 u 09 şeklinde gösteriyoruz.) Örnek: f:ir IR, f(x)= x -x fonksiyonu veriliyor. f(1) + f(-1) i bulunuz. Çözüm: Fonksiyon tanım kümesinin her bir x elemanını bu elemanın karesi ile katının farkına göndermektedir. Yani x x -x dir. Buna göre f(1)= 1 -.1= -1, f(- 1)= (-1) -.(-1)= 3 olduğundan f(1) + f(-1)= = dir. Örnek: f : IR IR, f (x) = x 3-4x + x + 1 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyon kuralına göre her x gerçel sayısı x 3-4x + x + 1 gerçel sayısı ile eşlenmektedir. Şimdi f (0), f (1), f (-3), f görüntülerini bulalım. Bunun için fonksiyonun kuralında x yerine ilgili sayıyı yazıp gerekli işlemleri yapacağız. f (0) = = 1, f (1) = = = 0, f (-3) = (-3) 3 4.(-3) +.(-3) + 1 = = - 68,? f = = = ,343. f:ir IR, f(x)= x - x fonksiyonu için f(π) ve f(-) sayılarını bulunuz. Cevaplarınız 3,58 ve 8 olmalıdır. f : A B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait bir x elemanının bu fonksiyon altındaki görüntüsünün f (x) şeklinde gösterildiğini yukarıda ifade etmiştik. f (x) de bazen y,z..gibi harflerle gösterilir. Bir fonksiyonun tanım ve değer kümeleri açıkça biliniyor ve eşleme f (x) gibi bir kuralla ifade edilebiliyorsa, fonksiyon kısaca, y = f (x) şeklinde de gösterilir. Örneğin her gerçel sayıyı katı ile eşleyen fonksiyon, f : IR IR, f (x) = x gösterimi yerine, kısaca y = x biçiminde de gösterilmektedir. Ancak bu tür gösterimlerde tanım ve değer kümelerinin çok açık olarak biliniyor olması gerekir. Burada x tanım kümesindeki tüm elemanları tararken y de x e bağlı olarak değişecektir. Bu nedenle x e bağımsız değişken y ye de bağımlı değişken denir. Bir fonksiyonda tanım kümesi, IR gerçel sayılar kümesinin alt kümesi ise fonksiyona gerçel değişkenli fonksiyon denir. f : A A, f (x) = x fonksiyonuna A kümesinin birim fonksiyonu denir ve I A şeklinde gösterilir. Sözle ifade edersek, bir kümenin her bir elemanını kendisiyle eşleyen fonksiyona bu kümenin birim fonksiyonu denir. f : A B, f (x) = c, yani A kümesinin tüm elemanlarını B kümesinin tek bir c elemanı ile eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

90 FONKSİ YON KAVRAMI 87 f : A B, g : C D fonksiyonları verilsin. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa bu iki fonksiyona eşittir denir ve f = g şeklinde gösterilir. i) A = C, ii) B = D, iii) her x A (= C ) için f (x ) = g (x). Bir fonksiyonda asıl olanın tanım kümesi ve tanım kümesindeki her bir elemanın ne ile eşlendiği diyorsanız, o zaman iki fonksiyonun eşitliği için değer kümelerinin eşitliği koşulunu aramayabilirsiniz. Örnek : A = {0,}, B = {0,4} olmak üzere, f : A B, f (x) = x, g: A B, g (x) = x fonksiyonları yukarıdaki koşulları sağladığından bu iki fonksiyon eşittir. Gerçel değişkenli bir fonksiyon, y = f (x) biçiminde verilip tanım kümesi açıkça verilmemişse, bu durumda tanım kümesi olarak fonksiyonun kuralının anlamlı olduğu en geniş gerçel sayılar kümesi fonksiyonun tanım kümesi olarak alınır. Örnek: y = f (x) = 1 fonksiyonunun tanım kümesi açıkça verilmemiştir. Bu x - 3 durumda 1 ün anlamlı olduğu (yani bir gerçel sayı olduğu) en geniş gerçel x - 3 sayılar kümesini bu fonksiyonun tanım kümesi olarak alacağız. 1 ifadesinde x x - 3 yerine 3 den farklı hangi sayıyı yazarsak yazalım bir gerçel sayı bulabiliriz. Ancak x = 3 için payda sıfır olur, bir sayının sıfıra bölümü ise tanımsızdır. Bu nedenle bu fonksiyonun tanım kümesi olarak IR {3} kümesini alacağız. Yani y = fonksiyonunu, f : IR {3} IR, f (x) = olarak kabul edeceğiz. 1 x x - 3 fonksiyonunun kısaca ifade edilmiş biçimi Örnek: y = 4 + x fonksiyonunun tanım kümesini bulalım. Çözüm: Bu fonksiyonun kuralı x 4 + x dir. Bu kuralın anlamlı olabilmesi için 4 + x 0 olmalıdır. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, [- 4, ) olduğundan fonksiyonun tanım kümesi [- 4, ) dır. Bu fonksiyonu da g : [- 4, ) IR, g (x) = 4 + x fonksiyonu olarak anlayacağız. y = g (x) = y = h (x) = x 4 - x fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Birinci soruda cevabınız [-,] aralığı, ikinci soruda ise IR olmalıydı. Nedenlerini düşününüz.?? Sayılarla yapılan bazı işlemler, fonksiyonlarla da yapılabilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

91 88 FONKSİ YON KAVRAMI f : A IR, g : A IR fonksiyonları verilsin. Her x A için x i f(x) + g (x) ile eşleyen fonksiyona f ile g nin toplamı denir ve f+g ile gösterilir. Buna göre, Benzer şekilde, f + g : A IR, (f + g) (x ) = f (x) + g (x). f - g : A IR, (f - g) (x ) = f(x) - g(x) fonksiyonuna f ile g nin farkı, f.g: A IR, (f.g) (x) = f (x).g (x) fonksiyonuna f ile g nin çarpımı, f g : A IR, f g x = f x g x ( her x A için g x 0 ) fonksiyonuna da f ile g nin bölümü denir. Örnek: f: IR IR, f (x) = - x + 3x - 4, g: IR IR, g (x) = x +1 fonksiyonları veriliyor. i) (f + g) (), (f - g) (), (f. g) (), f (), g ii) (f + g) (x), (f- g) (x), (f. g) (x), f (x) g değerlerini bulalım. Çözüm: i) (f + g) () = f () + g () = ( ) + ( +1) = = -1, (f g) () = f () - g () = ( ) - ( +1) = = -11, (f.g) () = f ().g () = ( ). ( +1) = = -30, f g = f g = = bulunur. Benzer şekilde, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

92 FONKSİ YON KAVRAMI 89 ii) (f + g) (x) = f (x) + g (x) = (-x +3x - 4) + (x + 1) = -x +3x -3, (f - g) (x) = f (x) g (x) = (-x +3x - 4) - (x + 1) = - 3x +3x -5, (f.g) (x) = f (x).g (x) = (-x + 3x - 4) (x +1 ) = - x 4 + 3x 3-6x + 3x - 4, f g x = f x g x = -x + 3x - 4. x + 1 (f + g) (), (f g) (), (f. g) (), f ( ) sayılarını son bulduğumuz kurallara g? göre bulup, yukarıda bulunan değerlerle karşılaştırınız. f(x)= x + 3x -5 ve g(x)= -x + 3x + 4 fonksiyonlarının toplamını ve farkını bulunuz.? Cevaplarınız 6x -1 ve x -9 olmalıdır. Bire bir fonksiyon f: A B fonksiyonu verilsin. Eğer her x 1, x A ve x 1 x için f (x 1 ) f (x ) ise f fonksiyonuna bire bir (1-1) fonksiyon denir. Sözle ifade edersek, tanım kümesinin herhangi farklı iki elemanının görüntüleri farklı ise, fonksiyona bire bir fonksiyon denir. Örnek: f : IN IN, f (x) = x fonksiyonu bire birdir. Çünkü x 1, x IN ve x 1 x için x x olduğundan f (x 1 ) f (x ) dir. Örnek: f: IR IR, f (x) = x fonksiyonu bire bir değildir. Örneğin - olduğu halde f (-) = f () = 4 dür. Farklı iki elemanın görüntüsü eşit olduğundan bu fonksiyon bire bir olamaz. Örnek: f : IR IR, f (x) = x - 6x + 7 fonksiyonunun bire bir olup olmadığını araştırınız. Çözüm: Her x 1, x IR ve x 1 x için f (x 1 ) f (x ) olup olmadığını görmek kolay görünmemektedir. Bu örnekte f(1) = =, f (5) = = dir. Farklı iki elemanın görüntüleri eşit olduğundan bu fonksiyon bire - bir değildir. Sizde bu örnek için görüntüleri eşit başka sayılar bulabilirsiniz. Ancak her zaman bu kadar şanslı olmayabiliriz. Aşağıdaki önermeyi ispatladıktan sonra, fonksiyonların bire bir olup olmadıklarını biraz daha kolay araştırabiliriz. Önerme: f : A B fonksiyonu verilsin. Eğer her x 1, x A ve f (x 1 ) = f (x ) iken x 1 = x oluyorsa, f fonksiyonu bire birdir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

93 90 FONKSİ YON KAVRAMI İspat: Bire birliğin tanımına göre, her x 1, x A ve x 1 x için f (x 1 ) f (x ) olduğunu göstermeliyiz. En az bir x 1, x A, x 1 x için f (x 1 ) = f (x ) olamaz. Çünkü, f (x 1 ) = f (x ) olsaydı, hipoteze göre, x 1 = x olurdu. Bu ise x 1 x ile çelişirdi. Bu önerme bire birliğin ikinci tanımı olarak alınabilir. Buna göre, her x 1, x A ve f (x 1 ) = f (x ) iken x 1 = x oluyorsa, f fonksiyonu bire birdir diyebiliriz. Örnek : Yukarıda en son verdiğimiz örneğin bire bir olmadığını bir de bu önermeyi kullanarak görmeye çalışalım. f: IR IR, f (x) = x 6x + 7 olduğundan f (x 1 ) = f (x ) ise x 1-6x = x 6x + 7 dır. Buradan x 1-6x 1 - x + 6x = 0, (x 1 - x ) (x 1 + x - 6) = 0, x 1 = x veya x 1 + x = 6 bulunur. Bu eşitliklerin manası tanım kümesi olan IR den alınan iki sayının f altında görüntüleri eşitse ya bu sayılar eşittir, ya da bu sayıların toplamı 6 dır. Tanım kümesi olan IR deki sayıların toplamı 6 ise bu sayılar eşit olmak zorunda olmadığından (örneğin 1 ile 5, ile 4... gibi) fonksiyon bire bir değildir. Örnek: f: IR IR, f (x) = x + 1 fonksiyonunun bire bir olduğunu gösteriniz. Çözüm: Herhangi x 1, x gerçel sayıları için f (x 1 ) = f (x ) ise x 1 = x olduğunu göstermeliyiz. f (x 1 ) = f (x ) ise x 1 + 1= x +1 dir. Buradan x 1 = x, x 1 = x elde edilir. Dolayısıyla fonksiyon bire birdir. Örnek: f: IR + {0} IR, f (x) = x fonksiyonunun bire bir olup olmadığını araştırınız. Çözüm: Herhangi x 1, x IR + {0} için f (x 1 ) = f (x ) ise x 1 = x dir. Buradan x 1 x = 0, (x 1 x ) (x 1 + x ) = 0 buradan da x 1 - x = 0 veya x 1 + x = 0 olmalıdır. Bu eşitliklerin birincisinden x 1 = x, ikincisinden x 1 = - x elde edilir. İkinci eşitlik sadece x 1 = x = 0 için doğrudur (x 1 0, x 0 olduğunu hatırlayınız). Bu nedenle x 1 = x olmak zorundadır. Dolayısıyla fonksiyon bire birdir. IR üzerinde tanımlı f(x)= x fonksiyonunun bire bir olmadığını göstermiştik. Bu örnekle, fonksiyonun bire birliğinin, fonksiyonun kuralı kadar tanım kümesine de bağlı olduğunu görmüş olduk. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

94 FONKSİ YON KAVRAMI 91 f:ir IR, f(x)= x 3 -x fonksiyonunun bire-bir olmadığını gösteriniz. (f (0) ve f (1) değerlerini karşılaştırınız). Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak bire birliğine karar veremeyiz. Kuralla birlikte tanım kümesini de göz önüne almamız gerekir.? Örten fonksiyon f : A B fonksiyonu verilsin. Eğer f (A) = B ise yani değer kümesindeki herhangi bir eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü ise, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Fonksiyonun örtenliğini şöyle de ifade edebiliriz. B değer kümesinden alınan herhangi bir b elemanına karşılık, f (a) = b olacak şekilde A tanım kümesinden en az bir a elemanı bulunabiliyorsa, f fonksiyonu örtendir denir. Örnek: f : IR IR, f (x) = x +1 fonksiyonunun örten olup olmadığını araştıralım. Çözüm: Fonksiyonun örten olduğunu görmek için her bir b IR için f (a ) = b olacak şekilde en az bir a IR nin varlığını görmeliyiz. f (a) = b ise a + 1 = b dir. Buradan a = b - 1 bulunur. b gerçel sayısı için a = b - 1 de bir gerçel sayıdır ve fonksiyonun tanım kümesinin elemanıdır. Böylece herhangi bir b sayısına karşılık f (a) = b koşulunu sağlayan bir a sayısı bulabildiğimizden fonksiyon örtendir. Örnek: g: IR IR, g (x) = x fonksiyonunun örten olmadığı açıktır. Çünkü değer kümesinden alacağımız herhangi bir negatif sayı, örneğin - 1, hiçbir gerçel sayının karesine eşit olamaz, dolayısıyla tanım kümesine ait hiçbir elemanın görüntüsü değildir. Buna karşılık f : IR IR + {0}, f (x) = x fonksiyonu örtendir. Çünkü değer kümesinden alınacak herhangi bir b değeri, hem - b hem de b nin görüntüsüdür. Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak örten olup olmadığına karar veremeyiz. Kuralla birlikte değer kümesini de göz önüne almamız gerekir. Bir fonksiyonun tanım kümesi ve kuralı değiştirilmeden, fonksiyon örten bir fonksiyona dönüştürülebilir. Bunun için değer kümesi olarak görüntü kümesini almak yeterlidir. Yani, f : A f (A) fonksiyonu daima örten fonksiyondur. Bir fonksiyonun bire-bir veya örten olmadığını göstermek için tanımlarla uyuşmayan elemanlar (sayılar) bulmak yeterli iken bu özelliklerin varlığını görmek için genel ispat yapmamız gerektiğine dikkat ediniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

95 9? FONKSİ YON KAVRAMI f:[-, 3] B, f(x)= x fonksiyonunun örten olması için B kümesi ne olmalıdır? Cevabınız B= [0, 9] aralığı olmalıdır. Bileşke Fonksiyon f :A B, g : B C fonksiyonları verilsin. Herhangi bir x A elemanını g (f (x)) ile eşleyen, yani x i f (x) in g altındaki görüntüsü ile eşleyen fonksiyona f ile g nin bileşkesi denir ve gof ile gösterilir. A f B g C f(x) x gof g(f(x)) Buna göre, gof : A C, (gof) (x) = g (f (x)) dir. gof fonksiyonunun tanım kümesinin f nin tanım kümesi olan A, değer kümesinin ise g nin değer kümesi olan C olduğuna dikkat ediniz. Örnek : A = {-1,, 3}, B = {0,1,4,5}, C = {1,} kümeleri veriliyor. Bu kümeler üzerinde, f : A B, f (- 1) = 5, f () = 0, f (3) = 1, g : B C, g (0) = 1, g (1) = 1, g (4) =, g (5) = fonksiyonları tanımlanıyor. A f B g C gof fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: gof : A C, (gof) (-1) = g (f (- 1)) = g (5) =, (gof) () = g (f ()) = g (0) = 1, dir. (gof) (3) = g (f(3)) = g (1) = 1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

96 FONKSİ YON KAVRAMI 93 Örnek: f: IR IR, f (x) = 3x + 1, g : IR IR, g (x ) = x 4 fonksiyonları veriliyor. (gof) (1), (gof) (), (gof) (x), (fog) (1), (fog) () ve (fog) (x) görüntülerini bulalım. Çözüm: (gof) (1) = g (f (1)) = g (3.1+1) = g (4) = 16-4 = 1, (gof) () = g (f ()) = g (3. +1) = g (7) = 49-4 = 45, (gof) (x) = g (f (x)) = g ( 3x+1) = (3x +1 ) - 4 = 9x + 6x -3. Bu son eşitlikle gof fonksiyonunun kuralını bulmuş olduk. (gof) (1) ve (gof) () görüntülerini bu kural yardımıyla da bulabileceğinizi görünüz. Diğer sorulara cevap vermeden önce şunu ifade edelim: gof tanımlı iken fog tanımlı olmayabilir. fog nin tanımlı olabilmesi için g nin görüntü kümesinin f nin tanım kümesinin bir alt kümesi olması gerektiğini görmeye çalışınız. Bu soruda bu koşul sağlanmaktadır. Bu nedenle soru anlamlıdır. (fog) (1) = f (g (1)) = f (1-4) = f (-3) = 3.(-3) +1 = - 8, (fog) () = f ( g()) = f ( -4) = f (0) = = 1, (fog) (x) = f (g (x)) = f (x - 4) = 3 (x 4) + 1 = 3x 11. Bu örnekten de görüldüğü gibi, genel olarak dir. gof fog f : A B, g: B C, h : C D fonksiyonları verildiğinde dir. fo (goh) = (fog) oh f : IR + 0 IR, fx = x ve g : IR IR, gx = -x - 1 fonksiyonları verilsin. gof ve fog bileşke fonksiyonlarını bulunuz.? Cevaplarınız gof: IR + { 0 } IR, (gof) (x) = - x - 1, fog ise "tanımsızdır" olmalıdır. Örnek: f: IR IR, f (x) = x +1 olduğuna göre f (x - ) yi bulunuz. Çözüm: g (x) = f (x - ) dersek, g fonksiyonu h (x) = x - fonksiyonu ile f (x) = x + 1 fonksiyonunun bileşkesidir. Bu nedenle g (x) i bulmak için x + 1 ifadesinde x yerine x yazmak yeterlidir. Buna göre, bulunur. f (x - ) = (x - ) + 1 = x - 4x + 5 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

97 94? FONKSİ YON KAVRAMI g: IR IR, g (x) = x 3 4x + olduğuna göre, g (x + 1) i bulunuz. Cevabınız x 3 + 3x - x -1 olmalıdır. Ters fonksiyon f: A B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait herhangi bir elemanın görüntüsünü, diğer bir deyişle x in resmini f(x) kuralı ile bulabiliyoruz. Acaba resmi bilirsek aslı bulabilir miyiz? Şimdi bu soruya cevap vermeye çalışacağız. f (A) görüntü kümesinden alınan herhangi bir eleman, görüntü kümesinin tanımı gereği, tanım kümesinden en az bir elemanın görüntüsüdür. Bu nedenle herhangi bir b f (A) elemanına karşılık f (a) = b olacak şekilde en az bir a A elemanı bulabiliriz. Ancak fonksiyon bire bir değilse b ye karşılık bulunan a birden fazla olabilir. Eğer f fonksiyonu bire bir olursa, herhangi bir b f( A) için f (a) = b olacak şekilde tek bir a A bulunur ve dolayısıyla ters yönde bir eşlemeyle, yani f (A) dan A ya tanımlanan yeni bir fonksiyonla b ye karşı gelen a yı bulabiliriz. İşte bu eşlemeye f nin ters fonksiyonu denir. f: A B bire bir fonksiyonu verilsin. f (A) görüntü kümesinden alınan herhangi bir görüntüyü (resmi) A daki aslına gönderen fonksiyona f nin ters fonksiyonu denir ve f -1 ile gösterilir. Buna göre, f -1 : f (A) A, f -1 (b) = a f (a) = b. Örnek: A ={1,,3,4}, B ={- 1, - 4, - 7, -10, - 15 } olmak üzere A dan B ye aşağıdaki Venn şeması ile verilen f fonksiyonu tanımlanıyor. A f B Bu f fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulalım. f nin bire bir olduğu açıkça görülmektedir. Bu nedenle f (A) = {- 1, - 4, - 7, - 10 } kümesinden A kümesine f -1 tersi fonksiyonu vardır. f -1 : {- 1, - 4, - 7, - 10 } {1,, 3,4} ve ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

98 FONKSİ YON KAVRAMI 95 f (1) = -1 olduğundan f -1 (-1) = 1, f () = - 4 f -1 (- 4) =, f (3) = -7 f -1 (-7) = 3, f (4) = -10 f -1 (- 10) = 4 dir. f 1 fonksiyonunun Venn şeması ile gösterimi aşağıdaki gibidir. f(a) f A i) f: A B fonksiyonunun ters fonksiyonu varsa, f -1 : f (A) A ters fonksiyonunun bire bir ve örten olduğuna dikkat ediniz. ii) f fonksiyonu bire bir ve örten ise, ters fonksiyonun değer kümesinden tanım kümesine tanımlandığına dikkat ediniz. Örnek: f : IR + {0} IR, f (x) = x +1 fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: Ters fonksiyonun olması için f nin bire bir olması gerekir. Şimdi bunu araştıralım. x 1, x IR + {0} için f (x 1 ) = f (x ) ise x 1 = x olduğunu görmeliyiz. f (x 1 ) = f (x ) x 1 +1 = x +1 x 1 - x = 0, (x 1 x ) (x 1 + x ) = 0, buradan da x 1 = x veya x 1 = - x bulunur. x 1, x IR + {0} olduğundan x 1 = - x eşitliği ancak x 1 = x = 0 ise mümkündür, bunun dışında x 1 = -x olamaz. Bu nedenle x 1 = x olmalıdır, dolayısıyla fonksiyon bire birdir. Fonksiyon bire bir olduğundan ters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonun tanım kümesi, f nin f ( IR + {0}) görüntü kümesi olduğundan, bu görüntü kümesini bulalım (fonksiyon örten ise görüntü kümesinin değer kümesi olduğunu hatırlayınız). AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

99 96 FONKSİ YON KAVRAMI Her x IR + (0} için x 0 olduğundan x dır. Buna göre görüntü kümesi [1, ) aralığı olabilir. Bu aralığın görüntü kümesi olduğunu görmek için, bu aralıktan alacağımız herhangi bir b sayısına karşılık f (a) = b olacak şekilde tanım kümesinde bir a elemanının varlığını görmeliyiz. a + 1 = b ise a = b 1 dir. b [1, ) olduğundan b 1 0 dır. Buradan a = - b - 1 veya a = b - 1 bulunur. - b - 1 IR + olmasına karşılık b - 1 IR + 0 dır. Dolayısıyla aradığımız a sayısı b - 1 dir. Böylece [1, ) aralığına ait herhangi bir sayının tanım kümesine ait bir sayının görüntüsü olduğunu, yani [1, ) aralığının fonksiyonun görüntü kümesine eşit olduğunu göstermiş olduk. Buna göre, f -1 : [1, ) IR + {0} dır. Şimdi de ters fonksiyonun kuralını bulalım. f : x x + 1= y olduğundan f -1 : y = x + 1 x dir. f -1 fonksiyonu altında y değişkeni, x değişkenine dönüştüğünden x i y türünden ifade edersek, y ye karşı gelen x görüntülerini daha kolay bulabiliriz. y = x + 1, x = y 1 buradan da x = y - 1, x = - y - 1 y >1 için - y - 1 R + 0 dır. O halde, bulunur. Burada f -1 : [1, ) IR + {0}, y x = y - 1, f -1 : [1, ) IR + {0}, f -1 y = y - 1 dir. Genellikle fonksiyonlarda bağımsız değişkeni x ile gösterdiğimizden ve ileride grafik çiziminde de sorun yaratmamak amacıyla bu ters fonksiyonu şu şekilde ifade edeceğiz: f -1 : [1, ) IR + {0}, f -1 (x ) = x - 1. y = f (x) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulmak için, önce y = f (x) eşitliğinden x değişkeni y türünden hesaplanır daha sonra x yerine y, y yerine x yazılır. Örnek: f: R R, f (x) = 3x + 5 fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz. Çözüm: f fonksiyonunun bire-bir olduğunu kolayca görebiliriz. Bu nedenle fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. Ayrıca f örten olduğundan, f -1 : IR IR dir. Ters ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

100 FONKSİ YON KAVRAMI 97 fonksiyonun kuralını bulmak için, y = 3x + 5 ifadesinde x i y cinsinden çözüp x yerine y, y yerine x yazalım. y = 3x + 5, 3x = y 5 buradan da x = y - 5 bulunur. Şimdi x yerine y, y yerine x yazarsak, y = x - 5 elde ederiz. Buna göre ters fonksiyon 3 3 f -1 : IR IR, y = f -1 (x) = x dir. f : A B bire bir ve örten fonksiyon ise, aşağıdaki Venn şemasından görüldüğü gibi x A için (f -1 of) (x) = x dir. Dolayısıyla f -1 of = I A dir. A f B f -1 A f(x) x -1-1 f of f (f(x)) = x Benzer bir şema ile fof -1 = I B olduğunu da siz gösteriniz. Örnek: f : IR IR, f (x) = x fonksiyonu bire bir olmadığından ters fonksiyonu yoktur. Buna karşılık, g : IR + { 0} IR, g (x) = x fonksiyonunun ters fonksiyonu vardır ve g (IR + {0}) = R + {0} olduğundan g -1 : IR + {0} IR + {0}, g -1 (x) = x dir. a ve b gerçel sayılar ve a 0 olmak üzere f: IR IR, f(x) = ax + b fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz. Cevabınız f -1 : IR IR, f -1 (x) = x - b olmalıdır. a h : IR IR, h (x) = x 3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun var ve h -1 : IR IR, h -1 (x) = 3 x?? olduğunu gösteriniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

101 98 FONKSİ YON KAVRAMI 3. Fonksiyon Grafikleri A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, f : A B fonksiyonu verildiğinde bu fonksiyonu f = {(x, y) y = f (x), x A } şeklinde bir ikililer kümesi olarak düşünebiliriz. Bu düşünce, analitik geometri bilgilerimizle, fonksiyonları geometrik olarak temsil etme, fonksiyonun" resmini" çizme olanağı sağlamıştır. İnsanoğlu resmini çizebildiği soyut kavramları daha iyi anlayabilmekte ve bu tür kavramlar arasında daha kolay ilişki kurabilmektedir. Bu nedenle resmini çizebildiğimiz ( bu resme fonksiyonun grafiği denir) fonksiyonların davranışlarını daha kolay anlayabilmekteyiz. Bir fonksiyonun grafiği konusuna geçmeden önce düzlemdeki kartezyen koordinat sistemini tanıtmaya çalışalım. Düzlemde, sıfıra karşı gelen noktalarında birbirini dik olarak kesen yatay ve düşey doğrultuda iki sayı ekseni alalım. Bu sayı eksenlerinde yatay olanı soldan sağa, düşey olanı da aşağıdan yukarı doğru yönlendirelim. Yani, pozitif yön, yatay doğru üzerinde soldan sağa, düşey doğru üzerinde ise aşağıdan yukarıya doğru olsun. Böylece oluşturulan yatay eksene apsisler ekseni (x-ekseni), düşey eksene ordinatlar ekseni (y-ekseni), bu iki eksenin oluşturduğu sisteme kartezyen koordinat sistemi veya dik koordinat sistemi veya kısaca koordinat sistemi, eksenlerin kesiştikleri noktaya da başlangıç noktası veya orijin denir. Düzlemde böyle bir koordinat sistemi belirlendikten sonra, düzlemin noktaları aşağıda açıklayacağımız şekilde adreslenebilmekte ve bu sayede birçok geometri problemleri cebirsel yöntemlerle çözülebilmektedir. Bu tür geometriye de analitik geometri denilmektedir. Bu düşünceyi ilk kez ünlü filozof Descartes ortaya attığından bu koordinat sistemine Descartes'in sistemi anlamında kartezyen koordinat sistemi denilmektedir. y 0 x Düzlemde bir kartezyen koordinat sistemi seçelim. Bu koordinat sistemi yardımıyla düzlemin noktaları ile IR x IR = {(x,y): x,y IR } kartezyen çarpım kümesinin elemanları arasında bire bir eşleme kurmaya çalışacağız. Bunun için düzlemde bir P noktası alalım ve bu noktadan yatay ve düşey eksenlere birer dikme çizelim. Bu dikmelerin birer tane olduğunu Euclid (Öklid) geometrisi derslerinden bilmekteyiz. Yatay eksene çizilen dikmenin bu ekseni kestiği noktaya karşı gelen sayıya x, düşey eksene çizilen dikmenin bu ekseni kestiği noktaya karşı gelen sayıya ise y diyelim. Yatay ve düşey eksenler sayı doğrusu olduklarından her noktaya karşılık bir ve yalnız bir gerçel sayı vardır. Bu nedenle böyle x ve y sayıları vardır ve bunlar tektir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

102 FONKSİ YON KAVRAMI 99 y P = (x, y) x Böylece elde ettiğimiz x ve y sayıları ile sıraya da dikkat ederek, yani yatay eksenden bulduğumuz sayıyı birinci, düşey eksenden bulduğumuz sayıyı ikinci bileşen alarak, (x, y) sıralı ikilisini elde ederiz. Bu yolla düzlemdeki her bir P noktasına karşılık (x,y) gibi bir tek gerçel sayı ikilisi bulmuş oluruz. Tersine, (x,y) gibi bir gerçel sayı ikilisi verildiğinde, x sayısına yatay eksen üzerinde, y sayısına ise düşey eksen üzerinde karşı gelen noktaları belirledikten sonra, bu noktalardan üzerinde bulundukları eksenlere birer dik çizersek bu dikmeler P gibi bir noktada kesişirler. Bu P noktasını (x,y) gerçel sayı ikilisine düzlemde karşı gelen nokta olarak aldığımızda, gerçel sayı ikilileri ile düzlemin noktaları arasında bire-bir bir eşleme kurmuş oluruz. Bu eşleme nedeniyle düzlemdeki herhangi bir noktaya bir gerçel sayı ikilisi, tersine herhangi bir gerçel sayı ikilisine de düzlemde bir nokta gözüyle bakabiliriz. Düzlemde alınan herhangi bir P noktasına yukarıdaki eşleme ile karşı gelen gerçel sayı ikilisi (x, y) ise x e P noktasının apsisi, y ye P noktasının ordinatı, (x,y) ikilisine de P noktasının koordinatları denir ve P noktası, P = (x,y) veya P(x,y) şeklinde gösterilir. Örnek: Düzlemde A (,1); B (-1,3) ; C (0,-3); D (-3,-); E (- 0,5, ); sayı ikililerine karşı gelen noktaları işaretleyiniz. F 5, 3 gerçel Çözüm: Birinci bileşenlere yatay eksen üzerinde, ikinci bileşenlere düşey eksen üzerinde karşı gelen noktaları bulduktan sonra her bir noktadan üzerinde bulunduğu eksene birer dik çizersek, karşılıklı dikmelerin kesiştikleri noktalar aradığımız noktalar olacaktır. B E 3 F 1 A ,5 5 D - C -3 Şimdi fonksiyonun grafiği konusuna dönelim. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

103 100 FONKSİ YON KAVRAMI A IR ve B IR olmak üzere f: A B fonksiyonu verildiğinde, bu fonksiyonu f = {(x,y) y = f (x), x A} şeklinde bir ikililer kümesi olarak düşünebileceğimizi yukarıda ifade etmiştik. Bu ikililer kümesinin elemanı olan her bir ikili düzlemin bir noktası ile geometrik olarak temsil edilebilir. Böylece f kümesinin elemanı olan herhangi bir (x,y) ikilisine düzlemin tek bir noktası karşılık getirilebilir. İşte f kümesinin elemanı olan (x,f (x)) ikililerine düzlemde karşı gelen noktaların kümesine f fonksiyonunun grafiği denir. f : A B fonksiyonu verilsin. f = {(x,y) y = f (x), x A} kümesinin elemanlarına düzlemde karşı gelen noktaların kümesine f fonksiyonunun grafiği denir. Örnek: A = {-, -1, - 0, 5, 0, 0, 5, 1,, } olmak üzere, f: A IR, f (x) = x + 1 fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: f = {(-, - 3),(-1, -1),(-0,5, 0),(0,1),(0,5, ),(1,3), (, + 1 ),(,5)} dir. Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktaların kümesi fonksiyonun grafiği olacaktır. f:{-, -1, -0,5, 0, 0,5, 1,, } IR, f(x )= x + 1 Şekil 3.1: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

104 FONKSİ YON KAVRAMI 101 Fonksiyonun grafiği olarak bulduğumuz bu noktaların bir doğru üzerinde olduğunu bir cetvel yardımıyla kontrol edebiliriz. Burada tanım kümesinde az sayıda eleman bulunduğundan grafiği oluşturan noktaları tek tek bulmak mümkündür. Tanım kümesinde eleman sayısı çok sayıda hatta sayılamaz sayıda olabilir, bu durumlarda grafiği, fonksiyonu oluşturan tüm ikilileri yazıp daha sonra bunlara karşı gelen noktaları işaretleyerek bulamayız. Ancak tanım kümesine ait sonlu tane x 1, x,...,x n değerleri seçilir ve fonksiyonun bu noktalardaki değerleri olan y 1 = f (x 1 ), y = f (x ),...,y n = f (x n ) bulunduktan sonra düzlemde (x 1, y 1 ),(x, y ),...,(x n, y n ) ikililerine karşı gelen noktalar düzgün bir eğri ile birleştirilerek y = f (x) fonksiyonunun grafiği denilen eğri bulunur. Tanım kümesinden ne kadar çok ve ne kadar yaygın eleman seçilirse fonksiyonun gerçek grafiğine o kadar yakın bir eğri bulunur. Daha sonraki ünitelerde inceleyeceğimiz türev kavramından sonra fonksiyonun grafiği daha hassas ve gerçeğe yakın çizilebilecektir. Bazı durumlarda da grafik bilinen bir eğri olabilir, bu durumda bu eğriyi daha kolay çizebiliriz. Örneğin eğer fonksiyon g : IR IR, g (x) = x + 1 ise, bu fonksiyonun grafiğinin bir doğru olduğu ünite 4 de görülecektir. Bu doğru yukarıda bulduğumuz noktaları taşıyan doğrudur. g:ir IR, g(x)= x + 1 Şekil 3.: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

105 10? FONKSİ YON KAVRAMI f: IR IR, f (x) = x fonksiyonunun grafiğinin aşağıdaki doğru olduğunu görünüz. f: IR IR, f(x)= x Şekil 3.3: Örnek: A = {-, - 3, -, -1, - 0,5, 0, 0,5, 1,, 3, } olmak üzere, f: A IR, f (x) = x fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: f = {(-, 4), - 3, 3, -,, (-1,1), (- 0,5, 0,5), (0,0), (0,5, 0,5), (1,1),,, 3, 3, (,4)} dir. Fonksiyonu oluşturan ikililerde birinci bileşen x bağımsız değişkenini gösterirken ikinci bileşen x in f altındaki görüntüsünü, diğer bir deyişle x e karşı gelen y değerini ifade ettiğinden fonksiyonu oluşturan ikililer aşağıdaki tablodaki gibi de verilebilir. x ,5 0 0,5 1 3 y ,5 0 0, Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktalar ve dolayısıyla fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

106 FONKSİ YON KAVRAMI 103 f: -, - 3, -, -1, -0,5, 0, 0,5, 1,, 3, IR, f x = x Şekil 3.4: Eğer fonksiyon g: IR IR, g (x) = x olsaydı onun grafiği yukarıda bulduğumuz noktalardan geçen düzgün bir eğri olurdu. Bu eğriye parabol denir. g: IR IR, g(x)= x Şekil 3.5: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

107 104 FONKSİ YON KAVRAMI Eğer fonksiyon h : IR IR, h (x) = - x olsaydı bu fonksiyonun grafiği bir önceki g fonksiyonunun grafiğinin x-eksenine göre simetriği olurdu. Çünkü (x,y) g iken (x, -y) h dir. h:ir IR, h(x)= -x Şekil 3.6: Örnek : f: IR + {0} IR, f (x) = x fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: Tanım kümesine ait bazı noktaların görüntülerini bulalım (tanım kümesi negatif olmayan sayılar kümesidir). x y 0 0,5 0,5 1 1, ,5 0, , 1,41 1,73,4 Bu tabloya göre, (0, 0), (0,5, 0,5), (0,5, 0, 707), (1, 1), (1,44, ), (, 1,41), (3, 1,73), (4, ), (5,,4) ikililerine karşı gelen noktalar f nin grafiğine aittir (burada irrasyonel sayıların yaklaşık değerlerini aldığımıza dikkat ediniz). Bu ikililere karşı gelen noktalar işaretlendikten sonra bu noktalar düzgün bir eğri ile birleştirilirse, bu fonksiyonun grafiği olan aşağıdaki eğri elde edilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

108 FONKSİ YON KAVRAMI 105 f: IR + {0} IR, f(x)= x Şekil 3.7: Örnek: f: IR IR, f (x) = 3 sabit fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm:Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için tablo hazırlamaya gerek yoktur. Çünkü tüm x gerçel sayılarının görüntüsü 3 tür. Yani f = {(x,3): x IR} dir. Bu nedenle fonksiyonun grafiği, şekilde görüldüğü gibi x- eksenine paralel bir doğrudur. y 3 NOT: x i) Bazı fonksiyonların grafiğini çizmek mümkün değildir. Örneğin Dirichlet fonksiyonu dediğimiz, rasyonel sayıları 1 ile irrasyonel sayıları 0 ile eşleyen fonksiyonun grafiğini çizmek mümkün değildir. ii) Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde herhangi bir x 0 değerinin bu fonksiyon altındaki görüntüsünü bulabiliriz. Bunun için, x 0 noktasından x-eksenine dik bir doğru çizilirse bu doğrunun grafiği kestiği noktanın y 0 ordinatı, x 0 ın f altındaki görüntüsü olur. y y 0 x 0 x AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

109 106? FONKSİ YON KAVRAMI Düzlemdeki herhangi bir eğri her zaman bir fonksiyon grafiği midir? Eğer x-eksenine çizilen her dik doğru eğriyi en çok bir noktada kesiyorsa, bu eğri, uygun bir küme üzerinde tanımlanmış bir fonksiyon grafiği olarak düşünülebilir. Eğer x- eksenine çizilen dik doğrulardan bir tanesi dahi eğriyi iki veya daha çok noktada kesiyorsa bu eğri bir fonksiyon grafiği olamaz. Örneğin aşağıdaki şekildeki eğri bir fonksiyon grafiği değildir. y x Bir fonksiyonun grafiğini bilirsek, o fonksiyonun bire bir olup olmadığına kolayca karar verebiliriz. Eğer apsisler eksenine paralel olarak çizilen her doğru grafiği en çok bir noktada keserse fonksiyon bire birdir. Eğer apsisler eksenine paralel olarak çizilen doğrulardan bir tanesi dahi grafiği birden fazla noktada keserse fonksiyon bire bir değildir. y y y 0 x a b c x Bire - bir fonksiyon Bire - bir olmayan fonksiyon f: A B fonksiyonu bire bir ise bu fonksiyonun, f -1 : f (A) A ters fonksiyonunun varlığını biliyoruz. Bu durumda, x A, y f (A) olmak üzere, (x,y) f iken (y,x) f -1 dir. Yani (x,y) ikilisine düzlemde karşı gelen nokta f nin grafiğine ait bir nokta iken, (y,x) ikilisine karşı gelen nokta f -1 in grafiğine ait bir noktadır. Bu iki nokta birinci ile üçüncü bölgenin açıortay doğrusuna göre simetrik olduğundan f -1 in grafiği, f nin grafiğinin bu açıortay doğrusuna göre simetriğidir. Bu açıortay doğrusu h : IR IR, h (x) = x fonksiyonunun grafiği olduğundan, bu doğru, y = x doğrusu olur. O halde, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

110 FONKSİ YON KAVRAMI 107 Aynı koordinat sisteminde f -1 ters fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir diyebiliriz. y (x, y) x (y, x) x y Örnek: f: IR IR, f (x) = x fonksiyonunun ters fonksiyonunun f -1 : IR IR, f -1 (x) = x olduğunu biliyoruz. Şimdi bu iki fonksiyonun grafiklerini aynı koordinat sisteminde çizelim. f (x) = x fonksiyonunun grafiğine ait bazı noktaları bulalım. x y = x , ,5 1 1, y = x fonksiyonunun grafiği çizildikten sonra bu grafiğin y = x doğrusuna göre simetriği de y= x ters fonksiyonunun grafiğidir. Şekil 3.8: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

111 108 FONKSİ YON KAVRAMI Örnek : f: IR IR, f (x) = x 3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun 3 f -1 : IR IR, f -1 (x) = x olduğunu yukarıda ifade etmiştik. Şimdi bu iki fonksiyonun grafiğini aynı koordinat siteminde görelim. Şekil 3.9: A IR olmak üzere, f: A IR fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g: A IR, g (x) = f (x) + a, (a IR), fonksiyonunun grafiği de bulunabilir. Bunun için f nin grafiğini y-ekseni doğrultusunda, a pozitif ise yukarı doğru, a negatif ise aşağı doğru a birim kaydırmak yeterlidir. Çünkü, (x 0, y 0 ) noktası f nin grafiğine ait bir nokta ise, (x 0, y 0 + a) noktası da g nin grafiğine ait bir noktadır. (x 0, y 0 + a) noktası (x 0, y 0 ) noktasının y-ekseni doğrultusunda, a nın işaretine göre a birim kaydırılmışı olduğundan g nin grafiği f nin grafiğinin y-ekseni doğrultusunda a birim kaydırılmışıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

112 FONKSİ YON KAVRAMI 109 Şekil 3.10: Örnek: g: IR IR g (x) = x + fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm: Bu fonksiyonda f (x) = x ve a = alabiliriz. Buna göre, g nin grafiği f nin grafiğinin y ekseninin pozitif yönünde (yukarı doğru) birim kaydırılmışıdır. Şekil 3.11: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

113 110? FONKSİ YON KAVRAMI y = x 3-1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Cevabınız şu şekilde olmalıydı. Şekil 3.1: f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g (x) = f (x a), (a IR) fonksiyonunun grafiği bulunabilir. g nin grafiği, f nin grafiğinin x ekseni doğrultusunda a birim, a pozitif ise sağa doğru, a negatif ise sola doğru kaydırılmışıdır. Çünkü bir (x 0, y 0 ) noktası f nin grafiğine ait ise y 0 = f (x 0 ) demektir. Yani f nin x 0 daki değeri y 0 dır. g fonksiyonu aynı y 0 değerini x 0 + a noktasında alır, çünkü g (x 0 + a) = f (x 0 + a a ) = f(x 0 ) dır. Buna göre, (x 0 + a, y 0 ) noktası g nin grafiğine aittir. (x 0 + a, y 0 ) noktası (x 0, y 0 ) noktasının x - ekseni doğrultusunda a nın işaretine göre a birim kaydırılmışı olduğundan, g nin grafiği f nin grafiğinin x ekseni doğrultusunda a birim kaydırılmışıdır. Örnek: a) y = (x-1) 3 b) y = (x + ) fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. Çözüm: a) f (x) = x 3 ve a = 1 alınabilir. Buna göre, y = (x-1) 3 fonksiyonunun grafiği, y = x 3 fonksiyonunun grafiğinin x-ekseni doğrultusunda ve pozitif yönde (sağa doğru) 1 birim kaydırılmışıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

114 FONKSİ YON KAVRAMI 111 Şekil 3.13: b) f (x) = x ve a = - alınabilir. Buna göre y = (x + ) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. Şekil 3.14: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

115 11 FONKSİ YON KAVRAMI f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla tanımlanan g (x) = f (x -a) + b, ( a,b IR) fonksiyonunun grafiğini bulabiliriz. g fonksiyonunun grafiği, yukarıdaki iki kaydırma işlemi yardımıyla kolayca bulunabilir. Bunun için f nin grafiği önce x-ekseni doğrultusunda, yöne de dikkat ederek, a birim kaydırılır, daha sonra elde edilen yeni grafik y- ekseni doğrultusunda yine yöne dikkat ederek b birim kaydırılır. Örnek: g(x) = (x + 1) + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: Burada f (x) = x, a = -1, b = 3 alabiliriz. Bu nedenle y = x fonksiyonunun grafiği önce x-ekseni doğrultusunda sola doğru 1 birim kaydırılır, daha sonra yeni grafik y-ekseni doğrultusunda yukarı doğru 3 birim kaydırılırsa g nin grafiği elde edilir. Şekil 3.15:? y = (x-) - 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

116 FONKSİ YON KAVRAMI 113 Cevabınız aşağıdaki gibi olmalıdır. Şekil 3.16: f 1 : IR IR ve f : IR IR fonksiyonları verilsin. f x = f 1 x, x a ise f x, x > a ise veya f x = f 1 x, x < a ise f x, x a ise gibi tanımlanan f: IR IR fonksiyonuna parçalı tanımlı fonksiyon denir. Tanımdan görüldüğü gibi f(x), x ın a ya kadar olan değerlerinde f 1 (x) e, a dan sonraki değerlerinde ise f (x) e eşittir. Parçalı tanımlı fonksiyonun grafiğini çizmek için x in a ya kadar olan değerleri için y= f 1 (x) in, x in a dan sonraki değerleri için ise y= f (x) in grafiğini çizmek gerekiyor. Benzer yolla iki tane yerine, sonlu tane fonksiyonlarla belirlenen parçalı fonksiyonlar tanımlanabilir. Aşağıda tanımlarını vereceğimiz mutlak değer, tam değer ve işaret fonksiyonları parçalı fonksiyonlardır. f: IR IR, f(x)= x fonksiyonuna mutlak değer fonksiyonu denir. Şimdi mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizelim. f : IR IR, f x = x = x, x 0 ise, -x, x < 0 ise, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

117 114 FONKSİ YON KAVRAMI yazılabilir. Bu yazıma göre, grafik, x 0 için y= x olduğundan y= x doğrusunun I. bölgedeki parçası ile, x < 0 için y= -x olduğundan y= -x doğrusunun ikinci bölgedeki parçasından oluşur. f: IR IR, f(x)= x Şekil 3.17:? f: IR IR, f(x)= x -, g: IR IR, g(x)= - x + fonksiyonlarının grafiklerinin aşağıdaki biçimde olduğunu görmeye çalışınız. f: IR IR, f(x)= x - Şekil 3.18: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

118 FONKSİ YON KAVRAMI 115 g: IR IR, g(x)= - x + Şekil 3.19: Bir x IR sayısı verilsin. x den büyük olmayan (yani küçük veya eşit) en büyük tam sayıya x in tam değeri denir ve [x] biçiminde gösterilir. Örneğin [ 1, 5 ]= 1, [ 0, 9 ]= 0, [ π ]= 3, [ - π ]= - 4, - 1 [ 0 ]= 0, [ - ]= -, [ 100 ]= 100. = - 1, f: IR IR, f(x)= [ x ] fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir. Bu fonksiyonunun grafiği sonsuz basamaklı bir merdivene benzer. Bunun hakkında bir fikir vermek için, g: [- 1, ] IR, g(x)= [ x ] fonksiyonunun grafiğini çizelim. -1 x < 0 ise [ x ]= -1 olduğundan g(x)= -1 0 x < 1 ise [ x ]= 0 olduğundan g(x)= 0 1 x < ise [ x ]= 1 olduğundan g(x)= 1 x= ise [ x ]= olduğundan g(x)= dir. Buna göre g nin grafiği aşağıdaki gibidir. y x -1 g: [-1, ] IR, g(x)= [ x ] Şekil 3.0: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

119 116 FONKSİ YON KAVRAMI f : IR IR, f x = 1, x > 0 ise 0, x = 0 ise -1, x < 0 ise fonksiyonuna işaret fonksiyonu denir. Bu fonksiyonun grafiğinin aşağıdaki biçimde olduğu kolayca görülebilir. y 1 x -1 İşaret fonksiyonu f(x)= sgnx gibi de gösterilir. Değerlendirme Soruları 1. Alanı 10 birim kare, bir taban uzunluğu 4 birim olan bir yamuğun yüksekliğini diğer tabanının x uzunluğunun bir fonksiyonu olarak yazımı aşağıdakilerden hangisidir? A. B. C. D. E x 4 + x x x 5 5 x. Kenar uzunluğu x cm (x > 4) olan bir karenin her köşesinden, kenar uzunlukları cm olan küçük kareler kesilip çıkarılmış ve sonra kenarlar kıvrılarak üstü açık bir kutu yapılmıştır. Bu kutunun hacminin (cm 3 ) x in fonksiyonu olarak yazımı aşağıdakilerden hangisidir? A. x + 16x + 3 B. x + 3 C. x + 16x - 3 D. x + 16 E. x - 16x + 3 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

120 FONKSİ YON KAVRAMI fx = - 3x + 4x - 1 fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir? A. IR B. 1 3, 1 C. IR + D. 1 3, 1 E. (-, 1] 4. fx = 1 fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir? 1 - x A. [-1, 1] B. [0, 1] C. - 1, 1 D. (-1, 1) E. (-1, 0) 5. f: IR IR, f(x) = x - x + fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir? A. IR B. [1, ) C. IR + {0} D. (-, 1] E. (-, 0] 6. f: IR IR, f(x) = - x fonksiyonu görüntü kümesi hangisidir? A. (-, ] B. (-, ) C. IR D. IR + {0} E. IR - {0} 7. f: IR IR, f(x) = x + x için f(x - 1) - f(-x) aşağıdakilerden hangisidir? A. x B. C. x D. 0 E. x - 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

121 118 FONKSİ YON KAVRAMI 8. f : IR - 0 IR, f x = x + 1 x için f x - f 1 x hangisidir? A. x B. 1 C. - x D. 0 E. x f: A IR, f(x) = x - x fonksiyonu verilsin. A kümesi aşağıdakilerden hangisi olduğunda bu fonksiyon A üzerinde bire-birdir? A. [1/, ) B. IR + {0} C. [-1, ) D. [1, ) E. (-, ] 10. f: [-1, ) B, f(x)= x fonksiyonu verilsin. B kümesi aşağıdakilerden hangisi olduğunda bu fonksiyon örtendir? A. [1, 4] B. [0, 4] C. (1, 4) D. [0, 4) E. (0, ) 11. f: IR IR, f(x) = x + 1, g: IR IR, g(x) = sgn x (işaret fonksiyonu) verilsin. (gof) (x) hangisidir? A. x B. 1 C. 0 D. x + 1 E. x 1. f(x) = x - 1 fonksiyonu için (fof) (-) =? A. 0 B. 1 C. 3 D. 8 E f x = x fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x A. IR B. [1, ) C. (-, 0) [1, ) D. (1, ) E. (0, ) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

122 FONKSİ YON KAVRAMI f: (-, a] IR, f(x) = (x - 1) fonksiyonu verilsin. f fonksiyonunun (-, a] üzerinde bire-bir olmasını sağlayacak en büyük a değeri hangisidir? A. - B. - 1 C. 0 D. 1 E. 15. f : IR - 0 IR, f x = - 1 fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir? x A. (-, 0) B. IR- {0} C. IR D. [-1, ) E. (-, -1] Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. C. E 3. B 4. D 5. B 6. A 7. D 8. D 9. D 10. D 11. B 1. D 13. C 14. D 15. A AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

123 Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş olacaksınız. İçindekiler Giriş 13 Polinom Fonksiyonlar 13 Rasyonel Fonksiyonlar 19 Değerlendirme Soruları 135 Çalışma Önerileri Ünite 3 ü öğrenmeden bu üniteyi çalışmaya başlamayınız Grafik çizimlerinde hangi tür noktalara önem verildiğine dikkat ediniz ve bu tür noktaların nasıl bulunduğunu iyi öğreniniz. Grafiği verilen fonksiyonlara benzer fonksiyonlar yazıp grafiklerini çizmeye çalışınız Doğrunun eğiminin anlamını iyi öğreniniz Doğru ve parabol çizimlerine önem veriniz

124 Bir fonksiyonun tanım kümesi açıkça verilmemişse tanım kümesinin nasıl bulunacağını mutlaka öğreniniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

125 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR Giriş Bir fonksiyonun tam olarak belirlenebilmesi için tanım kümesinin, değer kümesinin ve kuralının açık olarak bilinmesi gerektiğini Ünite 3 de ifade etmiştik. Fonksiyonlar, kurallarına göre, cebirsel, üstel, logaritmik, trigonometrik, ters trigonometrik, v.s. gibi isimler alırlar. Biz bu ünitede cebirsel fonksiyonları kısaca gözden geçireceğiz. Uygun bir küme üzerinde tanımlı bir fonksiyonun kuralında değişkenle ilgili toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi işlemlerin yanı sıra kök alma işlemini de içeren kısaca kuralı cebirsel bir ifade ile verilen fonksiyonlara cebirsel fonksiyonlar denir. Örneğin, f: IR IR, f (x) = -4x 3 + 5x - g: IR IR, g (x) = 4x - 1 x + 9 h: [0, ) IR, h (x) = x k: IR - 0 IR, k(x) = 1 l: IR IR, l(x) = fonksiyonları birer cebirsel fonksiyondur. 5 3 x x - 1 x + 1. Polinom Fonksiyonlar a 0, a 1,..., a n IR, a 0 0 ve n doğal sayı olmak üzere P: IR IR, P(x) = a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n gibi fonksiyonlara n. dereceden polinom fonksiyonlar denir. P(x) = c sabit fonksiyonuna da 0. dereceden polinom fonksiyon olarak bakılabilir. Aksi söylenmedikçe, bir polinom fonksiyonun tanım kümesi olarak IR gerçel sayılar kümesi alınır. a, b, c IR, a 0 0 olmak üzere P(x) = ax + b birinci dereceden polinom fonksiyona doğrusal fonksiyon, P(x) = ax + bx + c ikinci dereceden polinom fonksiyona ise kuadratik fonksiyon da denir. y = ax + b doğrusal fonksiyonunun grafiğinin bir doğru olduğunu gösterelim. Bunun için y = ax + b fonksiyonunun grafiği üzerinde koordinatları (x 1, y 1 ) ve (x, y ) olan iki farklı A ve B noktalarını alalım. Bu noktalar y = ax +b nin grafiği üzerinde olduklarından onun denklemini sağlamak zorundadırlar: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

126 14 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR y 1 = ax 1 +b, y = ax +b. Bu eşiklikleri taraf-tarafa çıkarırsak y - y 1 = a (x - x 1 ) veya y - y 1 x - x 1 = a bulunur. Öte yandan geometriden bildiğimize göre farklı iki noktadan tek bir doğru geçer. Şimdi yukarıdaki (x 1, y 1 ) ve (x, y ) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulmaya çalışalım. Bu doğru üzerinde (x, y) koordinatlı herhangi C noktasını alalım. Şekilden görüldüğü gibi AD = x - x 1, AE = x - x 1, BD = y - y 1, CE = y - y 1 dir. ABD ve ACE üçgenlerinin benzerliklerinden veya CE AE = BD AD y - y 1 x - x 1 = y - y 1 x - x 1 yazabiliriz. Buradan y - y 1 = y - y 1 x - x 1 (x - x 1 ) Şekil 4.1: y - y 1 dır. = a olduğundan y - y 1 = a (x - x 1 ) veya y = ax+ y 1 - ax 1 çıkar. Öte yandan, y 1 = a x 1 + b eşitliğinden b yi bulursak b = y 1 - ax 1 elde ederiz. Bunu yukarıda x - x 1 yazarsak y = ax + b buluruz. Bu onu gösteriyor ki (x 1, y 1 ) ve (x, y ) noktalarından geçen doğrunun denklemi y = ax + b dir ve tersine, y = ax + b fonksiyonunun grafiği bu iki noktadan geçen doğru olur. Burada a sayısına doğrunun eğimi denir. x = 0 iken y = b olduğundan b sayısı bu doğrunun ordinatlar eksenini hangi noktada kestiğini gösterir. Eğer y = ax + b eşitliğinde y = 0 yazar ve x i çözersek bu doğrunun apsisler eksenini kestiği noktayı bulmuş oluruz. y = 0 ise ax + b = 0 olur. Bu denklemden x = - b a bulunur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

127 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR 15 Aşağıdaki şekilleri inceleyerek eğimin bir doğru için önemini anlamaya çalışınız. y = ax + b a y 0 b -b/a 0 x 0 x Şekil 4.: Şekil 4.3: Yukarıda söylenilenlerden görüldüğü gibi y = ax + b nin grafiğini çizmek için doğru üzerinde iki nokta bulmak yeterlidir. Bu iki nokta olarak genellikle doğrunun x -ekseni ve y-eksenini kestiği noktalar tercih edilir. Bunun için doğru denkleminde y= 0 yazıp x bulunur, sonra ise x=0 yazıp y bulunur. Örnek: y = - 3x + doğrusunu çiziniz. Çözüm: x = 0 ise y = ; x =1 ise y = -1. Buna göre (0, ) ve (1, -1) noktalarından geçen doğruyu çizersek y = -3x + nin grafiğini elde ederiz. Örnek: y = x +4 doğrusunu çiziniz. Çözüm: y = 0 ise, x = -; x = 0 ise y = 4. Buna göre (-, 0) ve (0, 4) noktalarından geçen doğru aranan doğrudur. (0 (0, ) (0, 4) 0 (1, -1) y =- 3x + (-, 0) Y = x +4 0 Şekil 4.4: Şekil 4.5: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

128 16 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR Şimdi P(x) = ax + bx + c ikinci dereceden polinom fonksiyonları (kuadratik fonksiyonları) ele alalım. y = ax + bx + c fonksiyonunun grafiğine parabol eğrisi denir (a 0 olduğunu bir daha hatırlayalım). Ünite 3 de y = x nin grafiğinden bahsetmiştik. a > 0 olmak üzere, y = ax nin grafiği olan parabol eğrisi de y = x grafiği gibi çizilir. a büyüdükçe bu parabolün kolları daralarak yükselir, a küçüldükçe parabolün kolları y-ekseninden uzaklaşır. Eğer a < 0 ise y = ax fonksiyonunun grafiği y = (-a)x parabolünün x-eksenine göre simetriğidir ve a büyüdükçe parabolün kolları x-ekseninden uzaklaşır. Şekil 4.6: Şekil 4.7: Şimdi y = ax + bx + c fonksiyonun grafiğini inceleyelim. Gösterelim ki bu fonksiyonun grafiği y = ax nin grafiğinden kaydırma işlemleri ile elde edilebilir. Bu amaçla ax + bx + c ifadesini aşağıdaki şekilde yazalım: ax + bx + c = a x + b a + 4ac - b 4a. Burada p = - b a, q = 4ac - b 4a dersek ax + bx + c = a (x -p) + q olur. Buradan görüldüğü gibi y = ax + bx + c parabolünün grafiğini çizmek için y = ax parabolünün grafiğini p kadar sola veya sağa kaydırdıktan sonra yeni grafiği q kadar aşağıya veya yukarıya kaydırmak gerekmektedir. Buna göre eğer a > 0 ise parabolun bir tane en alçak noktası, eğer a < 0 ise bir tane en yüksek noktası vardır. Bu noktaya parabolün tepe noktası denir. Yukarıdaki ifadelerden görüldüğü gibi parabolün tepe noktasının koordinatları ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

129 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR 17 olur. Parabolün tepe noktasından geçip, y-eksenine paralel olan doğruya parabolün ekseni denir. Açıkca görüldüğü gibi y = ax + bx + c parabolünün ekseninin denklemi dır. (p, q) = - b a, 4ac - b 4a x = - b a Örnek: 1) y = x - 3x + 5 ) y = -x + 4x - 5 parabollerinin tepe noktalarını, eksenlerini bulup grafiklerini çiziniz. Çözüm: 1) a =1, b = -3, c = 5 olduğundan O zaman tepe noktasının koordinatları x = 3 olur. x - 3x + 5 = x - 3 3, gibi yazabiliriz., parabol ekseninin denklemi ise Eğer y = x parabolunu 3 birim kadar sağa kaydırdıktan sonra elde edilen grafiği 11 birim kadar yukarı kaydırırsak aranan grafiği buluruz. 4 Şekil 4.8: Şekil 4.9: ) a = -, b = 4, c= - 5 olduğundan -x + 4x - 5 = - (x-1) - 3 yazılabilir. Buna göre tepe noktası (1, - 3), parabol ekseninin denklemi ise x =1 dir. Eğer y = - x parabolünü 1 birim kadar sağa kaydırdıktan sonra 3 birim kadar aşağıya kaydırırsak aranan grafiği elde ederiz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

130 18 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR y = ax + bx + c parabolünün koordinat eksenleri ile kesişim noktaları bulunursa, grafik daha kolay çizilebilir. Genellikle, y = f(x) denklemi ile verilmiş eğrinin x-ekseni ile kesişim noktalarının apsisleri, eğer varsa, f(x) = 0 denkleminin kökleridir. Bu grafiğin y-ekseni ile kesişim noktası kolay bulunur, çünkü y =f(x) de x = 0 yazarsak y = f(0) bulunur ve y-ekseni ile kesişim noktası (0, f(0)) olur. Örnek: 1) y = -x + x + 3 ) y = x + x + 1 parabollerinin tepe ve eksenleri kestiği noktalarını bulup grafiklerini çiziniz. Çözüm: 1) a = -1, b =, c = 3 olduğundan tepe noktası (1, 4) dür. x = 0 yazarsak y = 3 dür. -x + x + 3 = 0 denkleminin kökleri x 1 = -1, x = 3 dür. Buna göre parabolun y-ekseni ile kesişim noktası (0, 3), x-ekseni ile kesişim noktaları ise (-1, 0) ve (3, 0) noktalarıdır. ) a = b= c =1 olduğundan tepe noktası - 1 dür. x = 0 yazarsak y=1 bulunur. x + x +1 = 0 denkleminin gerçel kökleri yoktur. Çünkü diskirminant ne-, 3 4 gatiftir: = b - 4ac = = - 3 < 0. Bu parabol y-eksenini (0, 1) noktasında keser, ancak x-eksenini kesmez. Şekil 4.10: Şekil 4.11:? 1) y = x + 5x - 3 ) y = 9x + 6x + 1 parabollerinin tepe noktalarını, eksenlerini, koordinat eksenleri ile kesişim noktalarını bulup grafiklerini çiziniz. Cevaplarınız aşağıdaki gibi olmalıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

131 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR 19 Şekil 4.1: Şekil 4.13: Daha yüksek dereceden (n 3) polinom fonksiyonların grafikleri türev kavramı yardımıyla incelenebilir. Bu konuyu Ünite 10 da ele alacağız. 3. Rasyonel Fonksiyonlar P(x) ve Q(x) birer polinom fonksiyon, S = { x Q(x) = 0, x IR } olmak üzere f : IR - S IR, f(x) = P(x) Q(x) fonksiyonuna rasyonel fonksiyon denir. Bu fonksiyonun tanım kümesinin Q(x) = 0 denkleminin kökleri dışındaki tüm gerçel sayılar kümesi olduğuna dikkat ediniz. Örneğin, 1) f(x) = 1 ) f(x) = 3) x x + x + 1 x - f(x) = 3x3 + x - x + 1 x - 5x + 6 fonksiyonlarının her biri rasyonel fonksiyonlardır. Bunlardan birincisinin tanım kümesi IR - { 0 }, ikincinin IR - { } iken üçüncü fonksiyonun tanım kümesi ise x - 5x + 6 = 0 denkleminden bulunan x = ve x = 3 sayıları dışındaki gerçel sayılar kümesidir, yani IR - {, 3 } dır. Örnek: y = 1 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: Grafiği, x e bir kaç değer verip, bu değerlerin görüntüleri olan y değerlerini bularak çizmeye çalışalım. Bunun için aşağıdaki tabloyu oluşturalım. x y = f(x) = 1 x Bulunan noktaları "uygun" bir eğri ile birleştirirsek ederiz. Bu eğriye hiperbol denir. y = 1 x in grafiğini elde AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

132 130 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR Şekil 4.14: Düzlemde bir eğri ve bir doğru verilsin. Eğer eğri üzerindeki her hangi P noktası eğri üzerinde hareket ederek orijinden uzaklaştığında bu noktanın o doğrudan olan uzaklığı sıfıra yaklaşıyor ise bu doğruya o eğrinin asimptotu denir. Tanımdan görüldüğü gibi y = 1 hiperbolünün iki asimptotu vardır. Bunlardan biri x - ekseni, diğeri y - x eksenidir. Örnek: y = 1 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz ve asimptotlarını bulunuz. Çözüm: Tanım kümesi x = 0 dışındaki gerçel sayılardır. Grafik çizimi için tablo oluşturalım. x y = f(x) = x Tablodaki değerlere karşı gelen noktaları bulup"uygun" bir eğri ile birleştirirsek, g- rafik eğrisini bulmuş oluyoruz. Bu eğrinin de iki asimptotu vardır : Biri x - ekseni, diğeri y - eksenidir. Şekil 4.15: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

133 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR 131 Örnek: y = 1 (x + ) fonksiyonunun grafiğini ve grafik eğrisinin asimptotlarını bulunuz. Çözüm: Tanım kümesi x - değerleridir. Bu fonksiyonun grafiği, y = 1 x nin grafiği birim sola kaydırılarak elde edilir. Asimptotlar ise x - ekseni ve x = - doğrusudur. Şekil 4.16: Örnek: bulunuz. y = 3x + 4 x + 1 fonksiyonunun grafiğini ve grafik eğrisinin asimptotlarını Çözüm: Fonksiyonun tanım kümesi x -1 değerleridir. (3x + 4) ü (x + 1) e bölersek 3x + 4 elde ederiz. Buna göre fonksiyonun grafiğini önce 1 x + 1 = y = x x birim sola, sonra 3 birim yukarı kaydırırsak y = 3x + 4 fonksiyonunun grafiğini x + 1 buluruz. Asimptotlar ise y = 3 ve x = -1 doğrularıdır. Şekil 4.17: Yukarıda bahsettiğimiz kaydırma yöntemi ile fonksiyonunun grafiğini elde etmek mümkündür. y = ax + b cx + d AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

134 13 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR Örnek: y = f(x) = 3x - 3 -x + x + 3 fonksiyonunun, i) tanım kümesini ve f(), f (-), f(1) değerlerini bulunuz. ii) f(a) = 1 eşitliğini sağlayan a değerlerini hesaplayınız. Çözüm: i) -x + x + 3 = 0 denkleminin kökleri x 1 = -1 ve x = 3 olduğundan tanım kümesi R - { -1, 3 } kümesidir. f() = = 3 3 = 1, f(-) = 3. (-) - 3 -(-) +. (-) + 3 = = -9-5 = 9 5, f(1) = = 0 4 = 0 ii) f(a) = 3a a + a + 3 = 1 eşitliğinin her iki tarafını - a + a + 3 ile çarpalım. 3a - 3 = a- + a + 3 veya a + a - 6 = 0 olur. Bu denklemi çözersek a 1 =, a = - 3 değerleri bulunur. Şimdi rasyonel fonksiyon olmayan bir kaç cebirsel fonksiyonun grafiğini görelim. Örnek: y = f(x) = -3x + fonksiyonunun tanım kümesini bulup grafiğini çiziniz Çözüm: Karekök altındaki ifade negatif olmayacağından -3x + 0 olmalıdır. Buradan - 3x - veya x - bulunur. Buna göre fonksiyonun tanım -3 ve x 3 kümesi (-, aralığıdır. Grafiği çizmek için değerler tablosu oluşturalım. 3 ] x y = f(x) = -3x + 0 1,41,3,8 3,31 3,74 4,1 (Bu ve bundan sonraki tablolarda irrasyonel sayıların yaklaşık değerleri alınmıştır). Bu değerlere göre grafik aşağıdaki gibidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

135 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR 133 Şekil 4.18: Örnek: 1) ) 5 y = -x y = 1 x fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. Çözüm: 1) Herhangi gerçel sayının tek dereceden kökü tanımlı olduğundan, bu fonksiyonun tanım kümesi IR dir. Grafik çizimi için aşağıdaki tabloyu oluşturalım. x y = 5 - x 1,3 1,5 1, ,15-1,5-1,3 Grafik aşağıdaki gibidir. Şekil 4.19: ) Fonksiyonun tanım kümesi x > 0 eşitsizliğini sağlayan x gerçel sayılarıdır. Grafik çizimi için aşağıdaki tabloyu oluşturalım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

136 134 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR x 0,3 0,5 1 1,5 3 4 y = 1 x 1,83 1,41 1 0,8 0,71 0,57 0,5 Şekil 4.0:? y = x + 3 x y = x - 1 fonksiyonun grafiğini çiziniz ve asimptotlarını bulunuz. fonksiyonun grafiğini çiziniz. Cevaplarınız aşağıdaki gibi olmalıdır. Şekil 4.1: Şekil 4.: Genel olarak cebirsel fonksiyonların grafiklerini elle çizmek kolay değildir. Ancak günümüzde bu grafikler bilgisayarlar yardımı ile kolayca çizilmektedir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

137 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR 135 Değerlendirme Soruları 1. y = 4x - 1x + 13 parabolünün tepe noktasının koordinatları hangisidir? A. 3, 0 B. - 3, -4 C. (3, -4) D. 3, 4 E. 3, - 4. ϕ (x) = x + 3 x - 1 için 1 + x x. ϕ 1 x =? A. + 3x 1 - x B. + 3x 1 + x C. - 3x 1 - x D. - 3x 1 + x E. + 3x 1 - x 3. f : IR IR, f(x) = x 3 + 3x + 3x + 1 fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir? A. (0, ) B. [0, ) C. IR D. [1, ) E. (1, ) 4. f(x) = 3x + 5 x - 1 için f(a) = 1 5 A. B. 1 C. 0 D. -1 E. - i sağlayan a değeri kaçtır? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

138 136 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR 5. y = x -3 x + A. x =, y = B. x = - C. y = D. x = -, y = E. x = -, y = - fonksiyonunun grafiğinin asimptotları aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir? 6. f(x) = x 3 - x A. [0, 3] B. (-, 3) C. [0, 3) D. (-, 0) E. (, 4) fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir? 7. f(x) = x x - 4 fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir? A. (4, ) B. [, 4] C. [4, ) D. [-, ) E. (, 4) 8. f : IR IR, f(x) = 4x - ax + 13 fonksiyonu veriliyor. f() = 5 olması için a kaç olmalıdır? A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 E f(x) = - x + ax + 3 fonksiyonunun maksimum değerinin 11 olması için pozitif a değeri kaç olmalıdır? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

139 CEBİ RSEL FONKSİ YONLAR Grafiği yanda verilen f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangileri doğrudur? i) f(0) = 6 ii) f(3) = 0 iii) x = 1 asimptottur iv) y = asimptottur v) f(- 1) > A. i, ii, v B. ii, iii, C. i, iv D. i, ii, iii, iv E. i, ii, iii, iv, v Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D. A 3. C 4. E 5. D 6. C 7. C 8. E 9. D 10. E AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

140 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini çizebilecek, üstel ve logaritmik fonksiyonlar yardımıyla çözülebilen problemleri öğreneceksiniz. İçindekiler Giriş 141 Üstel Fonksiyonlar 141 e x Fonksiyonu 146 Logaritmik Fonksiyonlar 147 Değerlendirme Soruları 15 Çalışma Önerileri Ünite 1 de ele aldığımız üslü sayılar ve logaritma ve ünite 3 de açıklanan fonksiyon kavramlarını öğrendikten sonra bu üniteyi çalışınız Yanınızda mutlaka hesap makinesi bulundurunuz

141 Farklı tabanlı üstel ve logaritmik fonksiyonlar yazıp, bu fonksiyonların grafiklerini çizmeye çalışınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

142 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR Giriş Üstel ve logaritmik fonksiyonlar cebirsel olmayan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlarda bağımsız değişken bir sayının kuvvetinde veya bir tabana göre logaritma işareti altında olur. Bu ünitede bu fonksiyonların genel tanımları, grafikleri ve bazı özellikleri verilmiştir.. Üstel Fonksiyonlar Birinci ünitede herhangi pozitif gerçel a sayısının rasyonel veya irrasyonel kuvvetlerini tanımlamıştık. Buna göre a pozitif gerçel sayı ve a 1 olmak üzere f : IR IR, f(x) = a x fonksiyonundan sözetmek mümkündür. Bu tür fonksiyonlara (genel) üstel fonksiyonlar denir. Burada a 1 alıyoruz, çünkü a = 1 ise her x için 1 x = 1 olduğundan üstel fonksiyon sabit fonksiyona dönüşür. f(x) = a x fonksiyonunun tanım kümesi gerçel sayılar kümesidir. a yı değiştirerek farklı üstel fonksiyonlar elde ederiz. Örneğin, f(x) = x, g(x) = 3 x, h(x) = 5 x, k(x) = 3 x x, l(x) = 1 3, p(x) = 1 x x, q(x) = 50 3 fonksiyonları birer üstel fonksiyonlardır. Örnek: f(x) = x fonksiyonu için f(0), f(1), f(3), f 1, f -1 3, f, f - 3 değerlerini bulunuz. Çözüm: f(0) = 0 = 1, f(1) = 1 =, f(3) = 3 = 8, f 1 = 1 = 1,414, f = - 3 = 1 = 1 1/ ,6 0,79, f =,665, f - 3 = - 3 = ,73 1 3,317 0,301. Bileşik faiz, nüfus artması, radioaktiv maddenin kütlesinin zamana bağımlılığı vb. problemler üstel fonksiyonlarla ifade edilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

143 14 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR Üstel fonksiyonların grafikleri hakkında bir fikir sahibi olmak için f(x) = 3 x ve f(x) = 1 3 x üstel fonksiyonlarının grafiklerini değerler tablosu oluşturarak çizelim. 3 - = 1 9 0,11 ; 3-1 = 1 3 0,33 ; 3-1 = 1 3 0,58 ; 30 = 1 ; 3 1 = 3 1,73 ; 3 1 = 3 ; 3 = 9 olduğundan tablo ve grafik aşağıdaki gibidir: x / 0 1/ 1 y = f(x) = 3 x 0,11 0,33 0,58 1 1, Şekil 5.1 f(x) = 1 3 x için, = 3-1 = 9 ; 1 = 3 ; 1 0 = 3 1,73 ; 1 = 1 ; 1 = ,58; 1 1 0,33 ; 1 = ,11 olduğundan tablo ve grafik aşağıdaki gibi olur: x / 0 1/ 1 y=f(x)= 1 3 x 9 3 1,73 1 0,58 0,33 0,11 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

144 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR 143 Şekil 5. Şekillerden de görüldüğü gibi bu grafiklerin birisi, diğerinin y-eksenine göre simetriğidir. Bunun sebebini, x 1 = 3 -x 3 gibi yazdığımızda daha iyi anlayabiliriz. a > 1 için f(x) = a x in grafiği f(x) = 3 x fonksiyonunun grafiğine, 0 < a < 1 için f(x) = a x in grafiği ise, f(x) = 1 x fonksiyonunun grafiğine benzerdir. 3 Şekil 5.3 Şekil 5.4 Görüldüğü gibi hem a > 1 ve hem de 0 < a < 1 için y = a x fonksiyonun grafiğinin asimptotu vardır. Bu asimptot x-eksenidir. Şimdi üstel fonksiyonların bazı özelliklerini verelim: 1). a > 0 olduğundan, her x için a x > 0 olur. Dolayısıyla üstel fonksiyon daima pozitif değerler alır. Geometrik olarak bu, üstel fonksiyonun grafiğinin her zaman x-ekseni üzerinde olduğunu ifade eder. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

145 144 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR ). a 0 = 1 olduğundan üstel fonksiyon grafiği y-eksenini daima (0, 1) noktasında keser. 3). a x 1 = a x ise x 1 = x olduğundan dolayı f(x) = a x fonksiyonu bire-bir fonksiyondur. Geometrik olarak bu onun ifadesidir ki x-eksenine paralel her bir doğru, y = a x fonksiyonunun grafiğini en fazla bir noktada keser. 4). x 1 ve x sayıları x 1 < x koşulunu sağlasın. O zaman eğer a > 1 ise a x 1 < a x sağlanır, eğer 0 < a < 1 ise a x 1 > a x sağlanır. İspat: a > 1 olsun. Kuvvetlerin özelliklerine göre a x = a ( x - x 1 + x 1 ) = a x - x 1. a x 1 yazarız. x 1 < x olduğundan x - x 1 > 0 olur. Birden büyük sayının pozitif kuvveti de birden büyük olduğundan a x - x 1 > 1 olur ve dolayısıyla a x = a x - x 1. a x 1 > 1.a x 1 = a x 1 ve a x > a x 1 elde edilir. Benzer yolla 0 < a < 1 iken a x 1 > a x olduğu ispatlanır. 5). a > 1 olsun. Eğer x < 0 ise 0 < a x < 1, eğer x > 0 ise a x > 1 olur. Bu özellik 4). özellikten çıkar. x < 0 ise a x < a 0 ve a 0 = 1 olduğundan a x < 1 elde edilir. Eğer x > 0 ise bu eşitliği 0 < x gibi yazarak yine 4). özelliğe göre a 0 < a x veya 1 < a x elde edilir. 6). 0 < a < 1 olsun. Bu durumda eğer x < 0 ise a x > 1, eğer x > 0 ise 0 < a x < 1 sağlanır. y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer x 1 < x koşulunu sağlayan tüm x 1 ve x için f(x 1 ) f(x ) eşitsizliği sağlanıyorsa bu fonksiyona monoton artan fonksiyon, eğer f(x 1 ) < f(x ) ise bu fonksiyona kesin artan fonksiyon denir. Eğer x 1 < x koşulunu sağlayan tüm x 1 ve x ler için f(x 1 ) f(x ) ise bu fonksiyona monoton azalan fonksiyon, eğer f(x 1 ) > f(x ) ise bu fonksiyona kesin azalan fonksiyon denir. O zaman 4). özelliğe göre aşağıdakileri söyleyebiliriz: Eğer a > 1 ise f(x) = a x fonksiyonu kesin artandır. Eğer 0 < a < 1 ise f(x) = a x fonksiyonu kesin azalandır. Örnek: f(x) = 3 x+1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: Bu grafik bir kaç yolla çizilebilir. Örneğin, y=3 x in grafiğini 1 birim sola kaydırmakla y = 3 x+1 in grafiği elde edilebilir. Üstlerin özelliklerinden yararlanarak bu grafiği başka yolla da elde edebiliriz. 3 x+1 = 3 x. 3 1 = 3. 3 x olduğundan y = 3 x fonksiyonunun grafiği üzerindeki tüm noktaların ordinatlarını 3 ile çarparsak y = 3 x+1 in grafiğini elde ederiz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

146 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR 145 Şekil 5.5 Örnek: y = - 3 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: y = 3 x in grafiğinin x-eksenine göre simetriğini alırsak, y = - 3 x fonksiyonunun grafiğini elde ederiz, sonra bu grafiği birim yukarı kaydırırsak y = - 3 x fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. Şekil 5.6 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

147 146 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR 3. e x Fonksiyonu Hesap makinesi yardımı ile n doğal sayı olmak üzere, sayısını gittikçe n büyüyen n ler için hesaplarsak bu değerlerin n arttıkça belli bir değere "istenildiği kadar yakın olabileceğini" görebiliriz. Örneğin, n =,5, =,370..., =,488..., =,594..., =,613..., =,653..., =,705..., =,714..., =,717..., =, , =, , =, n yi artırdıkça bu değerlerin istenildiği kadar yakın olduğu sayıya e sayısı denilmektedir. e sayısı irrasyonel sayı olup, yaklaşık değeri e =, dir. e nin daha kesin tanımı limit kavramı ile verilir ve bu sayının irrasyonel olduğu ispatlanır. e sayısının matematikte çok önemli yeri vardır. Eğer üstel fonksiyonun tanımında a = e alırsak f(x) = e x fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyona eksponansiyel fonksiyon da denir. Genellikle üstel fonksiyon denilip taban belirtilmezse e x fonksiyonu anlaşılır. Herhangi bir x IR için e x değeri günümüzde hesap makineleri yardımı ile bulunabilir. y = e x ve y = e -x fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki gibidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ Şekil 5.7 Şekil 5.8

148 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR 147 Örnek: Bir şehrin nüfusu yaklaşık olarak N(t) = e 0,04 (t-1980) formulü ile verilmiştir. Burada t değişkeni yılı göstermektedir. 000 ve 010 yıllarında nüfusun yaklaşık olarak ne kadar olacağını hesaplayınız. Çözüm: t = 000 yazarsak N(000) = e 0,04. ( ) = e 0,04.0 = e 0,8 = , , t = 010 yazarsak N(010)= e 0,04. ( ) = e 1, = , buluruz. 4. Logaritmik Fonksiyonlar 1. ünitede a ve b pozitif gerçel sayılar ve a 1 olmak üzere log a b ("a tabanına göre b nin logaritması") sayısını tanımlamıştık. Hatırlayalım ki log a b öyle bir c sayısına eşittir ki a c kuvveti b ye eşit olsun. Buradan a log a b = b eşitliği elde edilmişti. log a b nin tanımında b yerine x koyarsak f(x) = log a x fonksiyonunu elde ederiz. Bu fonksiyona a tabanlı logaritmik fonksiyon denir. Logaritmik fonksiyonun tanım kümesi tüm pozitif gerçel sayılardır. Logaritmik fonksiyon y = a x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu olarak da tanımlanabilir. Biz üstel fonksiyonun bire-bir olduğunu yukarıda söylemiştik. Buna göre y = a x eşitliğinden x i bulursak x = log a y elde ederiz. Ters fonksiyonun tanımında açıkladığımız gibi burada x yerine y, y yerine x yazarsak y = a x in ters fonksiyonu olan y = log a x logaritmik fonksiyonunu elde ederiz. Verilmiş y = f(x) fonksiyonu ile onun ters fonksiyonu y = f -1 (x) in grafikleri, y = x doğrusuna göre simetrik olduğundan y = log a x fonksiyonun grafiğini elde etmek için, y = a x in grafiğinin bu doğruya göre simetriğini almak gerekmektedir. Örnek : y = log 3 x, y = log1 x fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. 3 Çözüm : Bu grafikler y 3= x ve y = 1 x 3 doğrusuna göre simetriğidirler. fonksiyonlarının grafiklerinin y = x AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

149 148 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR Şekil 5.9 Şekil 5.10 Şekillerinden de görüldüğü gibi eğer a > 1 ise log a x fonksiyonu kesin artan, eğer 0 < a < 1 ise log a x fonksiyonu kesin azalandır. Her iki durumda da y-ekseni asimptottur. Örnek: f(x) = log x ise f, f 1, f 1 3, f, f 3 16 değerlerini bulunuz. Çözüm: f() = log = 1, f 1 = log 1 = log -1 = -1 log = -1, f 1 3 = log = log -5 = - 5, f = log = log = 1, 3 f 16 3 = log 16 3 = log = log = 4 3. Logaritmik fonksiyonun aşağıdaki özellikleri vardır. 1). y = a x fonksiyonu bire-bir olduğundan y = log a x logaritmik fonksiyonu da birebirdir. Başka deyişle eğer log a x 1 = log a x ise o zaman x 1 = x dir. ). log a 1 = 0, log a a = 1. 3). log a (x 1. x ) = log a x 1 + log a x, (x 1 > 0, x > 0). 4). log x 1 a = log a x 1 - log a x, (x 1 > 0, x > 0). x ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

150 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR log a x r = rlog a x, burada x > 0 ve r keyfi gerçel sayılardır. Özel olarak, eğer r = 1 n ve r = -1 alırsak, x1 n n = x, x -1 = 1 x olduklarından log n a x = 1 n log a x, log a 1 x = - log a x elde edilebilir. 6) a > 1 için f(x) = log a x fonksiyonu kesin artan, 0 < a < 1 için ise kesin azalan fonksiyondur. İspat a > 1 olduğunu varsayalım ve x 1 < x olsun. log a x 1 < log a x olduğunu göstermemiz gerekiyor. Olmayana ergi yöntemini uygulayalım. Yani log a x 1 < log a x eşitsizliğinin sağlanmadığını varsayalım. O zaman iki durum sözkonusu olabilir: log a x 1 = log a x veya log a x 1 > log a x. Birinci durum için log a x 1 = log a x eşitliğinden x 1 = x çıkar, bu ise x 1 < x ile çelişir. Eğer ikinci durum sözkonusu ise a > 1 için y = a x fonksiyonu kesin artan olduğundan log a x 1 > log a x ise a log a x1 > a log a x olmalıdır. Öte yandan a log a x 1 = x 1, a log a x = x olduğundan buradan x 1 > x elde ediyoruz. Bu ise yine x 1 < x ile çelişiyor. Buna göre varsayımımız yanlıştır ve x 1 < x ise log a x 1 < log a x olmalıdır. Benzer yolla 0 < a < 1 için f(x) = log a x fonksiyonunun kesin azalan olduğu gösterilebilir. 7) a > 1 olsun. Bu durumda 0 < x < 1 değerleri için f(x) = log a x < 0 ve x > 1 değerleri için f(x) = log a x > 0 olur. Eğer 0 < a < 1 ise, bu durumda 0 < x < 1 değerleri için f(x) = log a x > 0, ve x > 1 değerleri için f(x) = log a x < 0 olur. Bu özelliğin ispatı 6). özellikten çıkar. Örneğin 0 < a < 1 olsun. f(x) = log a x fonksiyonu kesin azalan olduğundan x < 1 ise f(x) > f(1) veya log a x > log a 1 olmalıdır. Buradan, log a 1 = 0 olduğundan log a x > 0 elde edilir. Eğer x > 1 ise yine kesin azalanlıktan log a x < log a 1 olup buradan da log a x < 0 elde edilir. log a x ifadesinde a = e olursa log e x yerine ln x yazıldığını ve bu logaritmaya doğal logaritma denildiğini biliyoruz. Buna göre y = log e x fonksiyonu y = lnx gibi yazılır. Bu fonksiyon kesin artan olup, 0 < x < 1 için negatif, x > 1 için ise pozitif değerler alır. Örnek : 1. y = lnx. y = ln(x - ) + 1 fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. Çözüm : 1. y = ln x fonksiyonunun grafiği, y = e x in grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

151 150 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR Şekil 5.11 Şekil 5.1. Fonksiyonun tanım kümesi x > değerleridir. Eğer y = ln x in grafiğini birim kadar sağa ve 1 birim kadar yukarı kaydırırsak y = ln (x - ) + 1 in grafiğini elde ederiz. Örnek: ln3 1,0986 olduğuna göre ln(3e 4 ), ln 9 e, ln(e 4 ) kaçtır? Çözüm : ln(3e 4 ) = ln3 + ln(e 4 ) = ln3 + 4 lne 1, = 5, 0986, ln 9 e = ln9 - ln(e ) = ln(3 ) - lne = ln3 - lne. 1, = 0,197, ln(e 4 ) = 4 lne = 4. 1 = 4. Örnek : 4 x = 5 denklemini çözünüz. Çözüm : Logaritmanın tanımına göre, x = log 4 5 dir. Burada taban değiştirme formülünden ve hesap makinesinden yararlanırsak x = ln 5 ln 4 1, ,3869 1,161 elde ederiz. Örnek : 3 x = 5 x+ denklemini çözünüz. Çözüm : 5 x+ = 5 x. 5 = 5. 5 x gibi yazılabildiğinden denklemi 3 x = 5. 5 x gibi yazarız. Buradan 3 x = 5, x 3 = 5, x = log3 5 5 x 5 5 bulunur. Taban değiştirme formülünden ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

152 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR 151 x = ln 5 ln 3 5 = ln 5 ln 3 - ln 5 = ln 5 ln 3 - ln 5. 1, ,0986-1,60943 = 3,1886-0, ,301 bulunur. Örnek: 1. log x - 3 x + 1 = 1. log x + log (x - 3) = 1 denklemlerini çözünü Çözüm: 1. x - 3 x + 1 = 1 x - 3 = (x + 1) x - 3 = 4x + 4x - x = -3-3x = -5 x = bulunur. Bulunan değerin denklemi sağladığını görmek zor değil. Denklemin çözümü x = -5/3 dür.. Logaritmanın özelliklerinden log x(x - 3) = 1 veya x(x - 3) = 10 1, x - 3x - 10 = 0, sonuncu denklemi çözersek, x 1 = -, x = 5 bulunur. x = - değeri çözüm olamaz, çünkü bu değerde denklemin sol tarafındaki fonksiyonlar tanımsızdır. Buna göre tek çözüm x = 5 dir. 1. x = 5. 3 x = 4 x- 3. log 4 x + log 4 (x-6) = denklemlerini çözünüz.? Cevaplarınız log4 1) log 5 ) log4 - log3 3) 8 olmalıdır Örnek: (Bileşik faiz). A ana parası yıllık yüzde p faizi üzerinden bankaya yatırılırsa, n yıl sonra bu paranın ulaştığı miktar M = A (1+p) n formülü ile hesaplanır (Bu formülü sizler de zorlanmadan çıkarabilirsiniz). A = 50 milyon TL, yıllık yüzde 70 faizle bankaya yatırılıyor. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

153 15 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR 1. n = 4 yıl sonra bu para hangi miktara ulaşır?. Kaç yıl sonra bu para 1 milyar TL yi geçer? Çözüm: 1. A = , n = 4, p = 0,7 olduğundan M = (1+0,7) 4 = (1,7) 4 = TL bulunur.. Bankadaki paranın 1 milyar TL yi aşması için kaç yılın geçmesini bulmamız gerekmektedir. Yani n en az kaç olmalıdır ki (1,7) n sayısı 10 9 sayısından büyük olsun. Buna göre (1,7) n = 10 9 denklemini n ye göre çözelim. (1,7) n = (1,7) n = 0, log 0 n = log 1,7 0 = log (1,7) = log + log 10 log 17 - log 10 0, ,3-1 = 1,301 0,3 5,56 olduğundan cevap olarak n = 6 almamız gerekiyor. Değerlendirme Soruları 1. f(x) = 3 x için f(x+) - 6 f(x+1) + 9 f(x) =? A. 3 x B. - 3 x C. 1 D. 0 E. 1/3. f: IR IR, f(x) = ln 1 fonksiyonunun görüntü kümesi nedir? 1 + x A. IR B. [0, 1] C. (-, 1] D. [-1, 1] E. (-, 0] ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

154 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR f(x) = 6x. 3x fonksiyonunun f(x) = a x biçiminde yazılımı aşağıdakilerden hangisidir? A. x B. 8 x C. 64 x D. 16 x E. 4 x 4. f(x) = log (1-6x) + log (x + 5) fonksiyonunun tanım kümesi nedir? A. (-, 1/6) B. (-5/, 1/6) C. (-5/, ) D. IR E. (0, ) 5. f(x) = -1 - log x fonksiyonunun tanım kümesi nedir A. (0, 1/10] B. (-, 1/10) C. (0, ) D. [0, 1/10) E. IR 6. Yıllık %80 bileşik faiz oranıyla bankaya yatırılan 50 milyon TL, 6 yıl sonra kaç TL olur? A. 0,5 milyar B. 1 milyar C. 1,5 milyar D E x x -6x = A. {0} B. {1} C. {0, } D. {0, -} E. {0,, -} denkleminin çözüm kümesi nedir? 8. 3 x = 7 -x + 4 denkleminin çözümü yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisidir? A. 1,58 B. 1,9 C.,55 D.,6 E.,93 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

155 154 ÜSTEL VE LOGARİ TMİ K FONKSİ YONLAR 9. log (x + ) = log (-6x) - 1 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A. {-1} B. {-3} C. {-1, 1} D. {-, 1} E. {-1, -} 10. Bir şehrin nüfusu yaklaşık olarak N(t) = e 0,05 (t ) formülü ile verilmiştir (burada t yılı göstermektedir). Kaç yıl sonra şehrin nüfusu 1990 daki nüfusunun üç katını geçer? A. 5 B. 30 C. 34 D. 38 E. 44 Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D. E 3. C 4. B 5. A 6. D 7. E 8. C 9. E 10. E ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

156 Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik fonksiyonların tanımını, özelliklerini ve grafiklerini görecek, trigonometrik özdeşlikler ve trigonometrik denklemleri hatırlayacaksınız. İçindekiler Giriş 157 Açı Kavramı, Sinüs ve Kosinüs 157 Tanjant ve Kotanjant 166 Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri 170 Değerlendirme Soruları 175

157 Çalışma Önerileri Ünite 1, ve 3 ü okumadan bu üniteyi okumayınız Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını hesap makinesi ile bulmaya çalışınız Trigonometrik özdeşlikleri iyi öğreniniz Herhangi bir trigonometrik fonksiyon yazıp grafiğini çizmeye çalışınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

158 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR Giriş Bilindiği gibi ABC dik üçgeninde α açısının sinüsü, kosinüsü, tanjant ve kotanjantı aşağıdaki gibi tanımlanır: B sin α = BC AB, cos α = AC AB tan α = BC AC, cot α = AC BC. A α C Şekil 6.1 Bu tanımlamalarda α açısı dar açıdır. Ancak dar açı olmayan herhangi α açısının ve bir gerçel sayının da sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı tanımlanabilir. Buna göre sinx, cosx, tanx ve cotx fonksiyonlarından sözedilebilir. Bu bölümde bu fonksiyonların özellikleri ve grafikleri ele alınacaktır.. Açı Kavramı, Sinüs ve Kosinüs Açı, sabit bir noktadan çıkan bir L yarı doğrusunun bu sabit nokta etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir açıklıktır. Sabit noktaya açının tepe noktası, L yarı doğrusuna açının başlangıç kenarı, dönmeden sonra elde edilen yarı doğruya ise açının son kenarı (bitim kenarı) denir. Eğer dönme saat ibresinin ters yönünde ise açı pozitif, saat ibresi yönünde ise açı negatiftir. Eğer kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasını açının tepe noktası, x-ekseninin pozitif yarı eksenini ise L doğrusu olarak alırsak bir açının belirlenmesi için O noktasından çıkan bir yarıdoğrunun verilmesi yeterlidir. Son Kenar 0 Tepe Başlangıç Bafllang ç kenarı kenar L Pozitif açı Pozitif aç 0 Negatif aç L Negatif açı Şekil 6. Açıların ölçümü için derece, dakika, saniye ve radyan gibi birimler kullanılır. Eğer L yarıdoğrusu O noktası etrafında tam bir devir yaparsa elde edilen açının başlangıç kenarı ile son kenarı çakışmış olur. Böyle elde edilen açıya 360 derecelik açı denir ve 360 ile gösterilir. Tam devrin 1/360 i ile elde edilen açının ölçüsü 1 (1 derece) olur. 1 derecenin altmışta birine 1' (1 dakika), 1 dakikanın altmışta birine 1" (1 saniye) denir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

159 158 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR Örnek: 45, 150, 70, -60, -180, -315 gibi açıları gösteriniz L L Şekil 6.3 Şimdi, açıların radyan ölçü birimini tanımlamak için merkezi koordinat başlangıcında, yarıçapı bir birim olan bir çember düşünelim. Şekildeki açının başlangıç kenarı olan x-ekseninin çemberle kesişim noktası A, son kenarının kesişim noktası B, AB yayının uzunluğu ise a birim olsun. Bu durumda AOB açısına a radyanlık açı denir. Bu tanıma göre 1 radyanlık açı için AB yayının uzunluğu 1 birim, radyanlık açı için birim, π radyanlık açı için π birim olmalıdır. 1 B -1 0 A 1-1 Şekil 6.4 Eğer açının başlangıç kenarından son kenarına olan hareketi saat ibresinin ters yönünde ise radyan ölçüm pozitif, aynı yönde ise negatif olur. Aynı bir açının derece ölçümü ile radyan ölçümü arasındaki bağıntıyı bulmak için tam bir devir ile elde edilen 360 lik açıyı gözönüne alalım. Bu açının radyan ölçümü = birim çemberin uzunluğu = π. 1 = π radyandır. Böylece 360 derece = π radyan, 1 radyan = 180 π 57 18', 1 derece = π 180 radyan ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

160 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR 159 elde edilir (π irrasyonel sayısının yaklaşık değerinin 3,1416 olduğunu hatırlayalım). Bir açının ölçümü a ise bazen bu açıya a açısı da denir. Örnek: 30 = 30. π 180 radyan = π 6 radyan, 45 = 45. π 180 radyan = π 4 radyan, 60 = π 3 radyan, 90 = π radyan, 180 = π radyan vs. 1) 150 ve 70 yi radyana çeviriniz. ) -1/ radyan ve 3 radyanı dereceye çeviriniz. Cevaplarınız 1) 5π 6 ve 3π ) -8 39' ve ' olmalıdır Merkezi başlangıç noktasında, yarıçapı 1 olan çember ve tepesi başlangıçta olan a açısını alalım (burada a, açının derece veya radyan ölçümüdür). a açısı çember üzerinde bir B noktasını belirlemiş olur. B noktasının ordinatına a açısının sinüsü, apsisine ise kosinüsü denir. Böylece sina = y, cosa = x olur. y nin x e oranına a açısının tanjantı, x in y ye oranına ise kotanjantı denir:? y B (x, y) sin a = y, cos a = x tan a = y x, cot a = x y a 0 x A (1, 0) Şekil 6.5 Bundan başka 1 x e a açısının sekantı, 1 y ye ise kosekantı denir. sec a = 1 x, cosec a = y 1 Görüldüğü gibi x = 0 için tanjant ve sekant, y = 0 için kotanjant ve kosekant tanımsızdır. Eğer a açısının ölçü birimi derece ise sina, cosa, tana, cota, seca ve coseca yazılır. a açısının ölçü birimi radyan ise sina, cosa, tana, cota, seca, coseca yazılır. Buna göre sin30, 30 lik açının sinüsünü, sin30 ise 30 radyanlık açının sinüsünü gösterir. Bu iki sayı birbirinden çok farklıdır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

161 160 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR sin a ile sin a yı, cos a ile cos a yı karıştırmayınız. Birim çemberin üzerindeki tüm noktaların apsisleri ve ordinatları (-1) den küçük ve 1 den büyük olmadığına göre her a açısı için -1 sina 1, -1 cosa 1 yazılabilir. a açısının son kenarının koordinat sisteminde bulunduğu bölgeye göre, a açısı I., II., III. veya IV. bölgededir denilebilir. a açısının bulunduğu bölgeye bağlı olarak sinüs ve kosinüsün işaretleri aşağıdaki gibi değişir. Sin a Cos a I. Bölge + + II. Bölge + - III. Bölge - - IV. Bölge - + Örnek: sin 580 ve cos (-5) in işaretlerini belirleyiniz.? Çözüm: 580 = , (-5) radyan = (-5). 180 π gibi yazarsak 580 açının III. bölgede, (-5) radyanlık açının ise I. bölgede olduğunu görebiliriz. Yukarıdaki tabloya göre sin 580 nin işareti "-", cos (-5) ninki ise "+" olur. sin 9 ve cos 1000 nin işaretlerini belirleyiniz. Cevaplarınız "+" ve "+" olmalıdır. derece ' Örnek: sin 30 ve cos 135 yi hesaplayınız. Çözüm: Aşağıdaki birinci şekilde COB dik üçgeninde 30 lik açı karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün uzunluğunun yarısıdır. OB = 1 olduğundan CB = 1/ olur. Buna göre sin 30 = 1/ olur. B B 0 30 C C Şekil 6.6 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

162 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR 161 İkinci şekle baktığımızda OB doğrusunun III. bölgenin açıortayı olduğunu görebiliriz. Buna göre OBC dik üçgeni ikizkenardır. Pisagor teoremine göre OC + CB = OB, OC = 1, OC = 1 =. B noktasının apsisinin negatif olması gerektiğinden cos 135 = - olur. Bahsettiğimiz bu yöntemle cos 30 = 3, sin 45 = cos 45 =, sin 60 = 3, cos 60 = 1, sin 90 = 1, cos 90 = 0 vb. eşitlikler elde edilebilir. Bu eşitlikle- ri açının radyan ölçümü ile de ifade edebiliriz: sin π 6 = cos π 3 = 1, sin π 4 = cos π 4 =, sin π 3 = cos π 6 = 3, sin π = 1, cos π = 0 vs. 10, 135, 150, 180, 10,... gibi açıların da sinüs ve kosinüsleri yukarıdaki yöntemle hesaplanabilir. Fakat herhangi açının (ister derece isterse radyanla ifade edilsin) sinüs ve kosinüsleri tablo veya hesap makinesi yardımı ile hesaplanır. Açıların tanımından görüldüğü gibi bir a açısına birim çember üzerinde B noktası karşı geliyorsa ve a + 360, a , a ,... a - 360, a , a ,... gibi açılara da aynı B noktası karşı gelir. Buna göre k herhangi tam sayı olmak üzere sin (a k) = sina, cos (a k) = cosa eşitlikleri sağlanır. Eğer a açısı radyanla verilmişse bu eşitlikleri sin (a + π. k) = sina, cos (a + π. k) = cosa gibi yazabiliriz. Sinüs ve kosinüsün yukarıdaki eşitliklerle ifade edilmiş özelliklerine periyodiklik özelliği, 360 (=π) ye ise sinüs ve kosinüsün periyodu( en küçük periyodu) denir. Örnek: sin 780 ve cos 1170 yi hesaplayınız. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

163 16 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR Çözüm: sin 780 = sin ( ) = sin 60 = 3, cos 1170 = cos ( ) = cos 90 = 0 Örnek: sin 11 6 π ve cos 9 π 4 yi hesaplayınız. Çözüm: sin 11 6 π = sin 0 π + π 6 = sin π 6 = 1, cos 9 π 4 = cos π + π 4 = cos π 4 =. Not: Sinüs, kosinüs ve bunlara benzer diğer fonksiyonlarda sin a = (sina), cos a = (cosa),... dır. Açıların sinüs ve kosinüslerini içeren çok sayıda özdeşlikler mevcuttur. Aşağıda bunlardan çok kullanışlı olanları sıralanmıştır. 1) sin (-a) = - sin a, cos (-a) = cos a ) sin a + cos a = 1 3) sin π - a = cos a, cos π - a = sin a sin π + a = cos a, cos π + a = - sin a sin π - a = sin a, cos π - a = -cos a 4) sin (a + b) = sin a. cos b + cos a. sin b 5) sin (a - b) = sin a. cos b - cos a. sin b 6) cos (a + b) = cos a. cos b - sin a. sin b 7) cos (a - b) = cos a. cos b + sin a. sin b 8) sin a = sin a. cos a, cosa = cos a - sin a 9) sin a. cos b = 1 [sin (a + b) + sin (a - b)] 10) cos a. cos b = 1 [cos (a + b) + cos (a - b) 11) 1) sin a. sin b = 1 [cos (a - b) - cos (a + b)] sin a + sin b = sin a + b. cos a - b ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

164 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR ) 14) 15) 16) sin a - sin b = sin a - b. cos a + b cos a + cos b = cos a + b. cos a - b cos a - cos b = - sin a + b. sin a - b sin a = 1 - cosa, cos a = 1 + cosa Bu özdeşliklerde a ve b açıları ya derece, ya da radyanla ifade edilmiş açılardır. 3). özdeşlikte ise a açısı radyanla ifade edilmiş kabul edilir. Bu özdeşlikler sinüs ve kosinüsün tanımından yararlanarak belli işlemlerle ispatlanabilir. B (x, y) y C x 0 α Şekil 6.7 1) ve 3) özdeşlikleri tanımdan çıkar. ) yi ispatlamak için şekil 6.7 de OBC dik üçgeninde Pisagor teoremine göre OB = OC + CB dir. CB = y = sin a, OC = -x = -cos a olduğundan (sin a) + (-cos a) = 1 veya sin a + cos a = 1 elde edilir. 7) yi ispatlamak için Şekil 6.8 i gözönüne alalım. OB 1 B üçgeni OBA üçgenine eştir (Her iki çemberin birim çember olduğunu hatırlayalım). B 1 1 B a-b 1 B 0 a b 1 0 a-b 1 A Şekil 6.8 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

165 164 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR Buna göre, B 1 B = AB. Analitik geometriden bilinen ve Pisagor teoreminden elde edilen iki nokta arasındaki uzaklık formülünden yararlanalım. Bunun için B 1 in koordinatlarının (cosa, sin a), B nin koordinatlarının (cos b, sin b), B nin koordinatlarınının (cos (a-b), sin (a-b)) ve A noktasının koordinatlarının ise (1, 0) olduğunu gözönüne alalım. O zaman B 1 B = (cos a - cos b) + (sin a - sin b) = cos a - cos a. cos b + cos b + sin a - sin a. sin b + sin b = (cos a + sin a) + (cos b + sin b) - (cos a. cos b + sin a. sin b) = - (cos a. cos b + sin a. sin b), AB = [cos (a - b) - 1] + [sin (a - b) - 0] = cos (a - b) - cos (a - b) sin (a - b) = [cos (a - b) + sin (a - b)] cos (a - b) = - cos (a - b) yazabiliriz. B 1 B ve AB nın son ifadelerini eşitlersek 7) yi elde ederiz. 4), 5), 6) her hangi birisi 7) den 1) ve 3) ü kullanmakla elde edilebilir. Örneğin 4) ü ispatlamak için sin (a + b) = cos π - (a + b) = cos π - a - b = = cos π - a. cos b + sin π - a. sin b = sin a. cos b + cos a. sin b?? yazabiliriz. 1) - 16) özdeşliklerini ispatlayınız. 1) sin 3a sin a + cos 3a cos a - 4 cos a =? ) cos 3 a + sin 3 a cos a + sin a + 1 sin a =? Cevaplarınız 0 ve 1 olmalıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

166 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR 165 Örnek: Hesap makinesi kullanmadan aşağıdakileri hesaplayınız. 1) sin π 8 + cos π 8 ) cos 75 Çözüm: sin π 8 + cos π 8 = sin π 8 + sin π 8. cos π 8 +cos π 8 sin = π 8 + cos π 8 + sin π 8 = 1 + sin π 4 = 1 + elde edilir. ) cos 75 = cos ( ) = cos 45. cos 30 - sin 45. sin 30 = = 3-1 elde edilir. Hesap makinesi kullanmadan aşağıdakileri hesaplayınız. 1) (sin 75 - cos 75 ) ) sin 75 + sin 15? Cevaplarınız 1 ve 1,5 olmalıdır. Her hangi x IR verilsin. x radyanlık açının sinüsü ve kosinüsüne x sayısının sinüsü ve kosinüsü denir. Buna göre, f: IR IR, f(x) = sin x, g: IR IR, g(x) = cos x fonksiyonları tanımlanabilir. Yukarıda bahsedilen özelliklere dayalı olarak aşağıda bu fonksiyonların bir kaç önemli özellikleri sıralanmıştır: 1) Her x IR için sin (-x) = - sin x, cos (-x) = cos x ) Her x IR için -1 sin x 1, -1 cos x 1 3) Her x IR için ve her n Z için sin (x + π n) = sin x, cos (x + π n) = cos x AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

167 166 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR 4) f: - π fonksiyonu bire-bir, kesin artan ve örten, π -1, 1, f(x) = sin x fonksiyondur. Bu nedenle - π, π aralığında y = sin x fonksiyonunun ters fonksiyonu vardır. Bu ters fonksiyon y = Arcsin x şeklinde gösterilir. 5) g: [0, π] [-1, 1 ], g (x) = cos x fonksiyonu bire-bir, kesin azalan ve örten fonksiyondur. Bu nedenle [0, π] aralığında y = cos x fonksiyonunun ters fonksiyonu vardır ve bu ters fonksiyon y = Arccos x şekilnde gösterilir. Örnek: f(x) = sin x, g(x) = cos (x) olduğuna göre, f π. g - π 4 + f π. g (π) sayısını hesaplayınız. Çözüm: f π = sin π = 1, g - π 4 = cos - π 4 = cos π 4 =, olduğundan olur. f π = sin π = - sin 13 3 π = - sin π 3 + 4π = - sin π 3 = - 3, g (π) = cos π = -1 f π. g - π 4 + f π. g (π) = (-1) = Tanjant ve Kotanjant Köşesi koordinat sisteminin başlangıç noktasında olan bir a açısının son kenarının birim çemberi kestiği noktaya B diyelim. Daha önce, B noktasının ordinatının apsisine oranına a açısının tanjantı, B noktasının apsisinin ordinatına oranına da a açısının kotanjantı demiştik. Buna göre, tana = y x (x 0), cota = x y (y 0). tan a = sin a cos a ve cot a = cos a sin a olduğu açıktır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

168 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR y B a x 0 C 1 Tanımdan görüldüğü gibi a açısının Şekil 6.9 ± π, ± 3π, ± 5π,... gibi değerlerinde tanjant tanımsızdır. Çünkü bu açılar için B noktasının apsisi sıfır olur. Benzer nedenden a açısının 0, ± π, ± π,... gibi değerlerinde kotanjant tanımsızdır. Tanjantın tanımsız olduğu a açıları genel olarak π + kπ, k Z gibi, kotanjantın tanımsız olduğu a açıları ise kπ, k Z şeklinde yazılabilir. Tanjant ve kotanjantın işaret tablosunun aşağıdaki gibi olduğu kolayca görülebilir. tan a cot a I. Bölge + + II. Bölge - - III. Bölge + + IV. Bölge - - Sinüs ve kosinüsten farklı olarak tanjant ve kotanjantın alabileceği değer herhangi bir gerçel sayı olabilir: Her b IR sayısı için öyle a 1 ve a açıları vardır ki dir. tan a 1 = b, cot a = b AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

169 168 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR Örnek: tan 30, cot π 3, tan - 3π 4, cot (-1), tan 150 hesaplayınız. Çözüm: tan 30 = sin 30 cos 30 = 1 3 = 1 3, cot π cos π 3 = 3 sin π 3 = 1 3 = 1 3, tan - 3π 4 sin - 3π = 4 cos - 3π 4 - sin 3π = 4 cos 3π 4 - sin π = + π 4 cos π + π 4 - cos π = 4 - sin π 4 = - - = 1, cot (-1) = cos (-1) sin (-1) = cos 1 - sin 1-0,64, sin 150 sin ( ) tan 150 = = cos 150 cos ( ) 1 cos 60 = - sin 60 = - 3 = Eğer a açısına birim çember üzerinde B noktası karşı geliyorsa ve bu noktanın koordinatları (x, y) ise a ± π, a ± 3π, a ± 5π,... gibi açılara karşı gelen C noktasının koordinatları (-x, -y) ve a ± π, a ± 4π, a ± 6π,... gibi açılara karşı gelen noktanın koordinatları yine (x, y) olduğundan bu açıların tanjant ve kotanjantları yine y/x ve x/y olur. Buna göre her k Z için tan (a + kπ) = tan a, cot (a + kπ) = cot a yazılabilir. Bu eşitlikler tanjant ve kotanjantın peryodik olduğunu ve en küçük peryodunun π olduğunu gösterir. Örnek: tan 10, tan 4, cot 11π 6, cot 585 hesaplayınız. Çözüm: Tanjant ve kotanjantın periyodikliğini kullanırsak tan 10 = tan ( ) = tan 30 = 1 3, tan 4 = tan π tan ( ') = tan 9 1' = tan 49 1' 1,15, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

170 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR 169 cot 11π 6 = cot - π 6 + π = cot - π cos - π 6 = 6 sin - π 6 cos π = 6 - sin π 6 3 = - 1 = - 3, cos 45 cot 585 = cot ( ) = cot 45 = sin 45 = 1 elde ederiz. Tanjant ve kotanjantla ilgili aşağıdaki özdeşlikler verilebilir: 1) tan (-a) = - tan a, cot (-a) = - cot a ) tan a. cot a = 1 3) tan π - a = cot a, cot π - a = tan a tan π + a = - cot a, cot π + a = - tan a tan π - a = - tan a, cot π - a = - cot a 4) 1 + tan a = 1 cos a, 1 + cot a = 1 sin a 5) tan (a + b) = tan a + tan b 1 - tan a. tan b, cot (a + b) = cot a. cot b - 1 cot a + cot b tan a = tan a 1 - tan a, cot a = cot a - 1 cot a. Bu özdeşlikler, tanımlardan ve sinüs, kosinüs için geçerli olan özdeşliklerden elde edilebilir. Yukarıdaki 1) - 5) özdeşliklerini ispatlayınız.? x IR - k + 1 π olmak üzere, x radyanlık açının tanjantına x sayısının tanjantı denir. Buna k Z göre, h : IR - k + 1 π k Z IR, h (x) = tan x fonksiyonu tanımlanabilir. Bu fonksiyona tanjant fonksiyonu denir. Benzer şekilde, x IR - { n π n Z} olmak üzere x radyanlık açının kotanjantına x sayısının kotanjantı, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

171 170 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR l: IR - { n π n Z} IR, l (x) = cot x fonksiyonuna da kotanjant fonksiyonu denir. h (x) = tan x, l (x) = cot x olmak üzere, 1) h π 4. l π 3 - h π 3 =?? ) h. l =? 3) sin 1 0,84, cos 1 0,54 olduğuna göre h () =? l (1) 4) h π 1 + l π 1 =? Cevaplarınız 1) ) 1 3) -3,38 4) 4 olmalıdır. 4. Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri Her bir x gerçel sayısı için sin x ve cos x değerleri hesaplanabiliyor. Aynı zamanda x bir gerçel sayı olmak üzere x π, (k Z) ise tan x ve x n π, (n + kπ Z) ise cot x değerleri de hesaplanabilir. f: IR [-1, 1], f(x) = sin x g: IR [-1, 1], g(x) = cos x h: IR - π + kπ k Z IR, h(x) = tan x l: IR - n π n Z IR, l(x) = cot x fonksiyonlarına trigonometrik fonksiyonlar denir. Örnek: 1) y = tan x 4 ) y = cot x + π 6 fonksiyonlarının tanım kümelerini bulunuz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

172 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR 171 Çözüm: 1) x 4 = π + kπ ; buradan x = π + 4π. k, (k Z), değerleri y = tan x 4 ün tanımsız olduğu değerlerdir. Buna göre, tanım kümesi IR - {π + 4π. k k Z} olur. ) x + π 6 = kπ, x = - π 6 + kπ değerleri, y = cot x + π 6 nin tanımsız olduğu değerlerdir. Buna göre tanım kümesi IR - - π + kπ k Z olur. 6 Trigonometrik fonksiyonların da grafikleri değerler tablosu yardımı ile çizilir. Bu fonksiyonların peryodikliği grafik çizimini kolaylaştırır. Öyle ki y = sin x ve y = cos x in grafiklerini [0, π] aralığında çizip, bu grafikleri sağa ve sola (paralel) kaydırarak tüm IR üzerinde grafik çizilmiş olur. y = tan x ve y = cot x fonksiyonları da π peryodlu olduklarından y = tan x in grafiğini - π, π aralığında, y = cot x in grafiğini ise (0, π) de çizip sağa ve sola kaydırma ile grafikler tüm tanım kümelerinde belirlenmiş olur. y = sin x, y = cos x, y = tan x ve y = cot x fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki gibidir. Şekil 6.10 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

173 17 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR Şekil 6.1 Şekil 6.13? 1) f: [0, π] ΙR, f (x) = sin x -1 ) g: [0, π] ΙR, g (x) = sin x + cos x 3) h: [-π, π] ΙR, h (x) = - cos x fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. Grafikler aşağıdaki gibi olmalıdır. Şekil 6.14 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

174 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR 173 Şekil 6.15 Şekil 6.16 Eğer bir denklemde bilinmeyen, trigonometrik fonksiyon işareti altında ise bu denkleme trigonometrik denklem denir. Şimdi bir kaç trigonometrik denklem çözümünü ele alalım. Örnek: sinx = 3 denklemini çözünüz Çözüm: Bir açının sinüsünün 3/ olması için bu açı, π + kπ (k Z) veya 3 π + nπ (n Z) şeklinde olmalıdır. Buradan denklemin çözüm kümesi 3 π 3 + kπ k Z π + nπ n Z olur. 3 Örnek: cosx + sinx cosx = 0 denklemini çözünüz. Çözüm: Denklemi cosx (1 + sin x) = 0 gibi yazarsak, cosx = 0 veya 1 + sinx = 0 elde ederiz. cosx = 0 denkleminin çözümü x = π değerleridir + kπ k Z (y = cosx in grafiğini gözönüne getiriniz). Ikinci denklemden sinx = -1 çıkar. Bunun çözümü ise x = - π değerleridir. Buna göre denklemin çözüm + nπ n Z kümesi AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

175 174 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR π + kπ k Z - π + nπ n Z dir. Örnek: tan x + tanx - 3 tanx - 3 = 0 denklemini çözünüz Çözüm: Denklemi tanx + 1 tanx - 3 = 0 gibi yazarsak tanx = -1 veya tanx = 3 elde ederiz. tanx = -1 in çözümü x = - π 4 + kπ k Z değerleri, tanx = 3 ün çözümü ise x = π 3 + n π kümesi n Z değerleridir. Buna göre, deneklemin çözüm - π 4 + k π k Z π 3 + n π n Z dir. Örnek: cot x = 1 denkleminin (0, π) aralığına düşen tüm çözümlerini bulunuz. Çözüm: cot x = 1 ise o zaman cotx = 1 veya cotx = -1 olmalıdır. (0, π) aralığında cotx = 1 i sağlayan değerler x = π ve x = 5π 4 4 ; cotx = -1 i sağlayan değerler ise x = 3π Buna göre çözüm kümesi π 4 ve x = 7π 4 dir. 4, 3π 4, 5π 4, 7π dir. 4 denkleminin (0, π) aralığına düşen tüm çözümlerini bulu- Örnek: nuz. cos x = 1 Çözüm: cos x = 1/ olması için x = - π 3 + kπ (k Z) veya x = π 3 + nπ (n Z) olmalıdır. Bu x lerden (0, π) aralığına düşenler değerleridir. Buna göre denklemin çözüm kümesi π 6, 5π 6, 7π 6 π 6, 5π 6, 7π 6, 11π 6 ve 11π 6 dir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

176 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR 175 Değerlendirme Soruları lik açının radyan türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A. π 40 B. π 0 C. π 9 D. π 9 E. 4π 9. sin (-5 ). cos (315 ) + tan 150. cot sin 150 aşağıdakilerden hangisidir? A. - B. -1 C. 0 D. 1 E a π ise sin 4a aşağıdakilerden hangisidir? ve sin a = 1 3 A B C. 9 D. E. 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

177 176 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR 4. cota = 3 ise cot (-a) aşağıdakilerden hangisidir? A. 1 B. 3 4 C. 0 D E tan 010 sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A. 3 B. 1 C. 1 3 D. 1 E Aşağıdakilerden hangisi sin 1 sayısının en iyi yaklaşık değeridir? A. 0 B. 0,01 C. 0,5 D. 0,7 E. 0,8 7. f ; IR IR, f(x) = ln (1 + cos x) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A. IR B. [0, 1] C. [0, ln] D. [0, ] E. (0, ln4) 8. sin x + cos x cos x - sin x sin x ifadesinin sadeleşmiş şekli aşağıdakilerden hangisidir? A. sin x B. cos x C. 0 D. sin x E. cos x ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

178 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR tan x A. sin x B. cos x C. 1 sin x D. 1 cos x E. cot x ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir? 10. y = tan 3x fonksiyonu aşağıdaki noktaların hangisinde tanımlı değildir? A. π 9 B. π 1 C. - π 1 D. - π 6 E. - π Aşağıdakilerden hangisi y = cot x fonksiyonunun grafiğinin bir asimptotudur? A. x = 0 B. y = 0 C. x = π D. y = π E. x = 3π 1. 0 < x < π, sin x + π 6 = 3 A. - 1 ise cos x aşağıdakilerden hangisidir? B. 0 C. 1 D. 3 E. 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

179 178 TRİ GONOMETRİ K FONKSİ YONLAR 13. sin x = 3 cos x denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A. { π 6 + k π k Z } B. { π 6 + k π k Z } C. { π 3 + k π k Z } D. { π 3 + k π k Z } E. { π + k π k Z } 14. (sin x + cos x) = 1 denkleminin [0 π], aralığındaki çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. π 4 B. 5π 1 C. 7π 1 D. 9π 1 E. 11π cos x = 1 denkleminin [0, π] aralığındaki çözümlerinden birisi aşağıdakilerden hangisidir? A. π 18 B. π 9 C. π 6 D. π 3 E. π 3 Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D. E 3. A 4. D 5. C 6. E 7. C 8. A 9. B 10. D 11. A 1. D 13. D 14. C 15. C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

180 Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; dizi kavramını tanıyacak, dizilerin yakınsaklığını araştırabilecek, sonsuz toplamın anlamını bilecek, serilerin yakınsaklığını araştırabilecek, bazı serilerin toplamını bulabileceksiniz. İçindekiler Giriş 181 Diziler 181 Seriler 186 Pozitif Terimli Serilerin Yakınsaklığı 191 Alterne Seriler ve Mutlak Yakınsaklık 195 Değerlendirme Soruları 197

181 Çalışma Önerileri Ünitedeki kavramları, tanımları, testleri iyi öğreniniz Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz Herhangi bir dizi, seri örnekleri alıp onların yakınsaklığını araştırmaya çalışınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

182 D İ Z İ LER VE SERİ LER Giriş Cebir kuralları ile ancak sonlu tane sayıyı toplayabiliriz. Buna karşılık matematikte sonsuz sayıda sayının "toplamı" ile de sık sık karşılaşmaktayız. Örneğin, 1 sayı-ssının ondalık açılımı 3 1 = 0, = 3 gibi bir sonsuz toplamdır Böyle bir toplama seri kavramı ile anlam kazandırılmıştır. Bu ünitede seri kavramı ile, serilerle çok yakından alakalı olan dizi kavramını inceleyeceğiz.. Diziler Tanım kümesi IN doğal sayılar kümesi, değer kümesi ise IR gerçel sayılar kümesi olan bir fonksiyona dizi denir. Dizinin verilebilmesi için her 1,,..., n,... doğal sayılarına x 1, x,..., x n,... gibi gerçel sayıların karşı getirilmesi gerekmektedir. x 1, x,..... sayılarına dizinin terimleri, n ye bağlı bir ifade olan x n ye ise dizinin genel terimi denir. Diziler ya x 1, x, x 3,...gibi veya x n genel terimini parantez içine alarak {x n } veya (x n ) gibi de gösterilebilir. Örnek: 1) 1 dizisinin genel terimi dir. Bu nedenle, dizi, 1 4, 1 8,... x n = 1 1 n n şekilnde gösterilir. Bu dizinin, örneğin 8. ci terimi x8 = 1 = dır. ) -1, 1, -1, 1,... dizisinin genel terimi x n = (-1) n dir. Buna göre, dizi kısaca ((-1) n ) şeklinde gösterilir. 3) 1, 1 dizisinin genel terimi Bu nedenle, dizi şeklinde, 1 3, 1 4,... x n = 1 n dir. 1 n gösterilir. 4) a ve d gerçel sayılar olmak üzere, a, a + d, a + d, a + 3d,... dizisinin genel terimi x n = a + (n - 1) d dir. Böyle ifade edilebilen bir diziye aritmetik dizi, d sayısına da dizinin ortak farkı denir. (a + (n - 1) d) aritmetik dizisinde ardışık (birbirini takip eden) herhangi iki terim arasındaki farkın daima sabit olup d ye eşit olduğuna dikkat ediniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

183 18 D İ Z İ LER VE SERİ LER 5) a ve q, q 0, gerçel sayılar olmak üzere a, aq, aq, aq 3,... dizisinin genel terimi x n = a.q n-1 dir. Böyle bir diziye geometrik dizi, q sayısına da dizinin ortak çarpanı denir. (aq n-1 ) geometrik dizisinde ardışık herhangi iki terimin oranı daima sabit olup q ya eşittir. 6) 3 sayısının yaklaşık değerlerini gösteren 1; 1,7; 1,73; 1,73; 1,730; 1,7305,... rasyonel sayıları da bir dizi oluşturur. Önceki örneklerden farklı olarak bu dizinin genel terimini bir formülle ifade etmek mümkün değildir. 7) Yarıçapı r olan bir daire içine çizilmiş düzgün n-kenarlının (n-gen) çevresinin P n uzunluğu P n = nr sin π formülü ile hesaplanır. Buna göre, bu dairenin içine n çizilmiş düzgün üçgen, dörtgen, beşgen,... lerin çevre uzunlukları 6r sin π 3, 8r sin π 4, 10r sin π 5,... gibi bir dizi oluşturur.? Aşağıdaki dizilerin genel terimlerini yazınız. 1) 1 3, 4, 3 5, 4 6,... 3) 1, 4, 3 8, 4 16,... ) -1, 1, - 1 3, 1 4,... 4) - 1 3!, 1 6!, - 1 9!, 1 1!,... Cevaplarınız x n = n olmalıydı. n +, ) x n = (-1) n, 3) x n = n n ve 4) x n n = (-1) n 3n! Bir (x n ) dizisinde n büyüdükçe, dizinin terimleri belli bir a sayısına istenildiği kadar yaklaşıyorsa, (x n ) dizisi a sayısına yakınsıyor denir. Bu durumu matematik dille ve daha kesin olarak ifade etmeden önce bir hatırlatma yapalım: matematikte, sıfıra istenildiği kadar yakın olabilen pozitif sayılar, ε (epsilon), δ (delta),... gibi harflerle gösterilirler. (x n ) dizisi verilsin. Eğer her ε > 0 için öyle bir n 0 doğal sayısı bulunabiliyor ve n nin n 0 dan büyük tüm değerleri için x n - a < ε eşitsizliği sağlanıyorsa, o zaman a sayısına (x n ) dizisinin limiti denir ve a = lim x n n veya x n a ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

184 D İ Z İ LER VE SERİ LER 183 şeklinde gösterilir ("lim" sembolü latince "limes" sözünden kaynaklanıp limit anlamı ifade etmektedir). Bu durumda (x n ) dizisi a ya yakınsıyor da denir. Eğer bir dizi herhangi bir limite yakınsıyor ise, bu diziye yakınsak dizi, hiç bir limite yakınsamıyorsa ıraksak dizi denir. Mutlak değerin özelliklerine göre, x n - a < ε eşitsizliği - ε < x n - a < ε ve a - ε < x n < a + ε eşitsizlikleri ile eşdeğer olduğundan, limitin yukarıdaki tanımı geometrik olarak şöyle yorumlanabilir: Sayı ekseni üzerinde orta noktası a ve uzunluğu ε olan (a - ε, a + ε) açık aralığı verildiğinde ε ne kadar küçültülürse küçültülsün, n nin öyle bir n 0 değeri vardır ki numarası (indisi) n 0 dan büyük olan tüm x n terimleri bu aralığın içine düşer. x n ( ) a - ε a a + ε x n - a mutlak değeri sayı ekseni üzerinde x n noktası ile a noktası arasındaki uzaklığı gösterdiğinden limitin tanımı şöyle de ifade edilebilir: Belli bir n den sonra x n ile a arasındaki uzaklık önceden verilen ve istenildiği kadar küçük olabilen pozitif ε sayısından küçük oluyorsa, (x n ) dizisinin limiti a dır. Örnek: Çözüm: x n = 1 n x n = 1 n dizisinin limitinin sıfır olduğunu gösteriniz., a =0 dır. ε > 0 verilsin. O zaman x n - a < ε 1 n - 0 < ε 1 n < ε n > ε 1. Buna göre eğer, n 0 = 1 + 1, alırsak o zaman n > n 0 ε 1 nun tam değeri artı 1 ε eşitsizliğini sağlayan tüm n ler için x n - a = 1 n - 0 < ε olur. Yukarıdaki örneğe benzer olarak x n = 1 dizisinin de limitinin sıfır olduğu n gösterilebilir. Fakat bu dizide sıfıra yaklaşma hızı daha yüksektir. Örneğin, 1 n için x 5 = 0, ; x 10 = 0, 1 iken, 1 için x n 5 = 1 = 0, 0315, 3 x 10 0, 001 olur. (x n ) = ( (-1) n ) dizisi ise ıraksaktır. Çünkü n nin tek veya çift olmasına bağlı olarak n büyüdükçe x n hem -1 hem de 1 değerleri almaya devam eder. Yani tek indisli terimler 1 e, çift indisli terimler -1 e yaklaşmaz. Dolayısıyla ne -1 ne de 1 limit olmadığı gibi başka bir sayı da bu dizinin limiti olamaz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

185 184 D İ Z İ LER VE SERİ LER Bu kitabın amacı dışındaki yöntemlerle x n = (1 + 1 dizisinin yakınsak olduğunu ispatlamak mümkündür. Bu dizinin limitine, 1. ve 5. ünitelerde de sözünü etti- n )n ğimiz e sayısı denir: lim n n n = e.? 1) x n = n n + 1 ) x n = -1 n n dizisinin limitinin 1 olduğunu gösteriniz. dizisinin limitinin 0 olduğunu gösteriniz. Dizilerin yakınsak olduğunu tanımdan hareketle göstermek zor olabilir. Bu durumlarda aşağıdaki önermeler yararlı olabilir. 1) (x n ) dizisi yakınsak ise limiti tektir. ) (x n ) dizisi yakınsak ise sınırlıdır, yani öyle bir M sayısı vardır ki tüm n ler için x n M sağlanır. 3) (x n ) ve (y n ) yakınsak dizileri verildiğinde eğer her n için x n y n ise o zaman lim lim x n n y n n dir. 4) (x n ) ve (y n ) yakınsak dizileri verildiğinde x n ± y n, x n. y n dizileri de yakınsaktır ve lim x n ± y n = lim x n ± lim y n n n n lim n x n. y n = lim x n n. lim y n n dir. Son eşitlikte y n = c sabit dizisini alırsak, o zaman c n = c lim x n eşitliği çıkar. Başka deyişle sabiti limit işareti dışına n çıkarmak mümkündür. lim n 5) (x n ) ve (y n ) yakınsak ve lim y n 0 ise o zaman dizisi de yakınsaktır n y n ve x n lim x n n y n lim = lim x n n y n n ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

186 D İ Z İ LER VE SERİ LER 185 6) (x n ), (y n ) ve (z n ) dizileri verilsin ve her n için z n x n y n eşitsizliği sağlanmış olsun. Eğer (yn) ve (zn) dizileri ayni limite yakınsar ise (xn) dizisi de yakınsaktır ve lim x n n = lim y n n = lim z n n dir. Bu önermeler tanımdan yararlanarak ispatlanabilir, fakat ispatlar üzerinde durmayacağız. Örnek:1) lim n + 3n -1 ) n n - n + limitlerini hesaplayınız. lim n n n Çözüm: 1) n + 3n -1 n - n + kesrinde pay ve paydayı n ile bölersek + 3 n + 3n -1 n - n + = n - 1 n 1-1 n + olur. O zaman n lim 1 = 1, lim =, lim 3 = 3. lim 1 = 3.0 = 0, lim 1 n n n n n = lim 1. lim 1 n n n n n n n lim 1 = 0, lim =. lim 1 n n n n n n = 0 = 0.0 = 0, olduklarından lim n n + 3n -1 n - n n - 1 = lim n 1-1 n + = n lim n lim n n + 3 n - 1 n 1-1 n + n = = bulunur. ) n n ifadesini n n ile çarpıp bölersek n n = n n n n n n = n + 1 -n n n = = n n n n = 1 n n olur. n + 1 > n olduğunda 1 n n < 1 n AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

187 186 D İ Z İ LER VE SERİ LER olur. Dolayısıyla elde edilir. n n = 1 < 1 n n n 0 < n n < 1 n, lim 1 = 0 olduğundan yukarıdaki 6). önermeye göre n n olur. lim n n n = 0 Not: Iraksak olduğu halde limitinden söz etmenin yararlı olduğu diziler vardır. (x n ) dizisi verilsin. Eğer yeterli derecede büyük her M > 0 için bir n 0 doğal sayısı varsa ve n > n 0 eşitsizliğini sağlayan tüm n ler için x n > M oluyorsa, o zaman (x n ) dizisinin limiti sonsuzdur denir ve lim x n n = veya x n şeklinde gösterilir. Eğer (-x n ) dizisinin limiti ise (x n ) dizisinin limiti - dur denir ve lim = - gibi gösterilir. x n n? Örneğin, n, n + 1 n, n! 10 n dizilerinin limiti dur. Yukarıdaki dizilerin limitinin olduğunu gösteriniz. 3. Seriler Bir (x n ) dizisi verilsin. Bu dizinin ilk n tane teriminin toplamı olan x 1 + x x n ifadesi sembolik olarak n x k k = 1 gibi yazılır. Buradaki (sigma) harfi bu tür toplamları kısa olarak yazmak için kullanılır. k ya toplama indisi denir ve k indisi yerine başka indisin kullanılması sonucu etkilemez. Örneğin, = k = m = n k= m= n= 1, = 1 k k= 1 50 = 1 i i= 1 50 = 1 n n= 1 yazılabilir. işareti matematikde çok kullanışlıdır ve çok zaman uzun ifadelerin yazılımını kısaltmaya imkan verir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

188 D İ Z İ LER VE SERİ LER 187 Şimdi (x n ) dizisinin sonlu tane elemanını değil de tüm elemanlarını "toplayalım". x 1 + x x n +... sonsuz "toplamına" seri denir. Sigma gösterimi yardımı ile bu seri x n n = 1 gösterilir. Şimdi sonsuz sayıda gerçel sayının toplamına anlam kazandırmak için gibi n = 1 x n serisinden yeni (s n ) dizisini elde edelim: s 1 = x 1, s = x 1 + x, s 3 = x 1 + x + x 3,..., s n = x 1 + x x n,... Eğer (s n ) dizisi yakınsak olup limiti a ise n = 1 x n = a gibi yazılır. a sayısına serinin toplamı da denilir. Eğer (s n ) dizisi ıraksak ise n = 1 x n n = 1 serisine ıraksak seri denir. serisine yakınsak seri denir ve x 1, x,... sayılarına serinin terimleri, x n ye genel terimi, (s n ) dizisine serinin kısmi toplamlar dizisi denir. x n Görüldüğü gibi sonsuz sayıda gerçel sayının "toplamı", sonlu sayıdakilerin toplamlarının bir limiti olarak tanımlanmaktadır. Eğer (s n ) dizisinin limiti ise yazılımı kullanılır. n = 1 x n serisi ıraksak olmasına rağmen n = 1 x n = Örnek: x n = 1 geometrik diziden elde edilen, 1 serisinin yakınsak ol- 3 n = 1 3 duğunu gösteriniz. n n Çözüm: Bu serinin kısmi toplamlar dizisini görelim: s 1 = 1 3, s = ,..., s n = n ;... s n toplamının n ifadesine eşit olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla s n = n olur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

189 188 D İ Z İ LER VE SERİ LER lim n 1 3 n = 0 olduğu da kolayca gösterilebilir. Buna göre, lim s n n = lim 1 n n = lim 1 n 3 n = = 1, (s n ) dizisi yakınsak olduğundan verilen seri yakınsaktır ve toplamı n = n = 1. 1 dir:?? a ve q gerçel sayılar ve q 1 olmak üzere a + aq + aq aq n - 1 = a 1 - qn 1 - q olduğunu gösteriniz. q gerçel sayısı 0<q<1 koşulunu sağlasın. O zaman yakınsak ve toplamının q olduğunu gösteriniz. n = 1 q n geometrik serisinin Örnek: n = 1 1 n n + 1 serisinin yakınsak olup olmadığını araştırınız. Çözüm: x n = 1 n n + 1 olduğundan kısmi toplamlar aşağıdaki gibidir. s 1 = 1 1., s = , s 3 = ,..., s n = n n + 1,... s n nin ifadesini sadeleştirmek mümkündür. Bunun için 1 1. = = = n n + 1 = 1 n - 1 n + 1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

190 D İ Z İ LER VE SERİ LER 189 eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, n n + 1 = n - 1 n + 1 = 1-1 n + 1 elde edilir. Dolayısıyla lim s n n = lim 1-1 n n + 1 s n = 1-1 dir ve n + 1 = 1-0 = 1 olur. Buna göre, seri yakınsak olup toplamı 1 dir n n = 1 Önerme: Eğer n = 1 x n serisi yakınsak ise lim x n n = 0 dır. İspat: Kısmı toplamlar için s n-1 = x 1 + x x n-1, s n = x 1 + x x n -1 + x n yazılabilir. Buradan x n = s n - s n-1 olur. Seri yakınsak olduğundan (s n ) ve (s n-1 ) dizileri serinin toplamı olan aynı a sayısına yakınsarlar. Buna göre, lim x n n = lim s n - s n - 1 = lim s n n n - lim s n - 1 n n = 1 = a - a = 0. n 1 Yukarıda yakınsak olduklarını gösterdiğimiz ve 1 3 n= 1 n n + 1 serilerinde genel terimler x n = 1 n ve xn = 1 3 n n + 1 dir. n 1 ve 1 3 n n + 1 dizilerinin limitlerinin sıfır olduğunu görmek zor değildir. Yukarıdaki önermeye göre lim x n n = 0 koşulu x n serisinin yakınsaklığı için gerekli koşuldur. Yani bu koşul sağlanmıyorsa seri kesin olarak ıraksaktır. Ancak bu koşul yeterli olmayabilir: Genel terimi sıfıra yaklaşan seri ıraksak olabilir. Bunu aşağıdaki örnekte görebiliriz. n = 1 Örnek: Harmonik seri denilen n = 1 1 n = n +... serisinin ıraksak olduğunu gösteriniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

191 190 D İ Z İ LER VE SERİ LER Çözüm: Önce her n IN için 1 olduğunu kolayca görebiliriz. (bunun için 1 kesirlerinin yerine onlardan küçük kesrini n n n > 1 n + 1, 1 n +,... 1 n yazmak yeterlidir) Buna göre s n kısmi toplamları için aşağıdakileri yazabiliriz. s = > 1 s = s 4 = s > =.1 s 3 = s 8 = s > = 3.1 s 4 = s 16 = s > = s k > k. 1 dır. Buradan lim s k = olur. s n pozitif terimli dizinin s k alt dizisinin limiti k οlduğundan lim s n = n olduğu sonucuna varıyoruz. O zaman 1 n serisi ıraksak olup n = 1 1 n = dur. Sonuçta lim 1 = 0 olmasına rağmen 1 serisi ıraksaktır. n n n n = 1 Not: 1) Seride toplama indisinin 1 den başlaması mecburi değildir. Örneğin, aynı n = 1 n = 1 1 n serisi k = 0 1 k + 1, 1 m - 1,... m = gibi de yazılabilir. ) Her gerçel a sayısının a= c 0, c 1 c... gibi devirli veya devirsiz sonsuz ondalık kesirle yazılımının mümkün olduğunu biliyoruz. Bu yazılım aslında bir seriden başka bir şey değildir: a = c 0, c 1 c... = c c c Örneğin, dir. 1 = 0, = n ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

192 D İ Z İ LER VE SERİ LER 191 Aşağıdaki serilerin toplamlarını bulunuz: 1) 1 5 n = 1 n ) 1 n n + 5 n = 1? Cevaplarınız 1 4 ve olmalıdır. Örnek: 1000 litrelik bir su deposu, önce 1 litre, sonra 1 litre,..., 1 litre,... su alınarak boşaltılabilir mi? n Çözüm: Boşaltılan su miktarı n +... = 1 n n = 1 litredir. Bu serinin toplamı olduğundan depo sonlu adımda boşaltılabilir. Örnek: 30 litrelik bir su deposu, önce 30 litre, sonra 30 litre,..., 30 litre,... su alınarak boşaltılabilir mi? n Çözüm: Boşaltılan su miktarı = 30 n n = 1 n litredir. Bu serinin toplamı n = 1 30 n = 30 1 n = 1 n = = 30 olduğundan, depo, bu yolla, sonlu adımda fiilen boşaltılamaz. n = 1 ln n serisinin ıraksak olduğunu gösteriniz. 4. Pozitif Terimli Serilerin Yakınsaklığı? Bir serinin yakınsaklığının araştırılması ile serinin yakınsak olması halinde toplamının bulunması seri konusunun önemli iki problemidir. Serilerin yakınsaklığını araştırmak için çeşitli testler vardır. Biz bu kesimde pozitif terimli serilerin yakınsaklığını araştırmada kullanılıan bazı testleri ele alacağız. n = 1 x n serisi verilsin. Eğer her n için x n > 0 ise bu seriye pozitif terimli seri denir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

193 19 D İ Z İ LER VE SERİ LER Pozitif terimli bir serinin yakınsaklığı veya ıraksaklığını bu seriyi, yakınsaklığı veya ıraksaklığı bilinen başka seri ile karşılaştırarak söylemek mümkün olur. Karşılaştırma testleri n = 1 x n ve n = 1 y n pozitif terimli serileri verilsin. 1) Öyle bir n 0 IN bulunsun ki n > n 0 değerleri için x n y n eşitsizliği sağlanmış olsun. O zaman: serisi yakınsak ise de yakınsaktır. n = 1 serisi ıraksak ise de ıraksaktır. n = 1 y n x n n = 1 n = 1 y n x n x n n y n ) Eğer lim limiti mevcut olup pozitif bir sayıya eşitse, o zaman bu iki seri aynı zamanda yakınsak veya ıraksaktır. Örnek: n = 1 1 n! ve 1 n n = 1 serilerinin yakınsak olup olmadığını araştırınız. Çözüm: 1) 1 n! = n 1 n - 1 olduğundan x n = 1 n!, y n = 1 n - 1 alırsak x n y n olur. n = 1 1 n - 1 = 1 n = 1 n - 1 geometrik serisi yakınsak olduğundan, karşılaştırma testine göre, yakınsaktır. n = 1 1 n! serisi ) 1 n 1 n n = 1 eşitsizliği her n ΙΝ için doğru ve 1 harmonik serisi ıraksak olduğundan n karşılaştırma testine göre 1 serisi de ıraksaktır. n n = 1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

194 D İ Z İ LER VE SERİ LER 193 Örnek: n = 1 1 n - 1 = n serisinin ıraksak olduğunu gösteriniz. Çözüm: Bu seriyi ıraksak olmak üzere, n = 1 1 n serisi ile karşılaştıralım. x n = 1 n - 1, y n = 1 n lim x n n y n = lim 1 n - 1 : 1 n = lim n n n = lim 1 n n - 1-1/n = 1-0 = 1 > 0 dir. Bu durumda ). karşılaştırma testine göre n = 1 1 n - 1 n n = 1 1 n - 1 serisinin yakınsak olduğunu gösteriniz. serisi ıraksaktır.? α IR + olmak üzere 1 n = 1 n α serisi verilsin. Eğer 0 < α 1 ise 1 serisi ıraksaktır. α > 1 ise serisi yakınsaktır. n α 1 n = 1 n α n = 1 Örneğin 1 serisinde α = > 1 olduğundan seri yakınsaktır. Buna karşılık, n = 1 n n = n serisinde α = 1 3 < 1 olduğundan bu seri ıraksaktır. Örnek: n = 1 1 n n + serisinin yakınsaklığını arştırınız. Çözüm: Bu serinin genel teriminin paydasının derecesi 3 dir. 1 n n + = 1 n 1/ n + = 1 n 3/ + n 1/ olduğuna dikkat ediniz. Bu seri ile lim n n = 1 1 n 3/ 1 n n + 1 n 3/ serisini karşılaştıralım.). karşılaştırma testini uygulayalım. = lim n 3/ n n 3/ 1 + n = lim 1 n 1 + n = 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

195 194 D İ Z İ LER VE SERİ LER dir. Buna göre, 1 yakınsak olduğundan α = 3 serisi > 1, 1 n n + yakınsaktır. n = 1 n 3/ n = 1 Örnek: n = 1 n n + 3 serisinin yakınsaklığını araştıralım. Çözüm: n n + 3 = n n + 3 n = 1 n + 3 n olduğundan bu seriyi n = 1 1 n serisi ile karşılaştıralım. n lim n + 3 = lim n n 1 n + 3. n 1 = lim n n n = lim 1 n + 3 n = = 1. n n + 3 ). karşılaştırma testine göre, 1 serisi ıraksak olduğundan n = 1 n n serisi ıraksaktır. n + 3 n = 1 α = 1 < 1 Cauchy testi n = 1 x n pozitif terimli serisi verilsin. Eğer n lim x n n limiti varsa ve 1 den küçükse o zaman bu seri yakınsak, 1 den büyükse ıraksaktır. D'Alambert oran testi x x n + 1 n n x n = 1 n Eğer pozitif terimli serisinde lim limiti varsa ve 1 den küçükse bu seri yakınsak, 1 den büyükse ıraksaktır. Cauchy ve D'Alambert testleri verilen serileri geometrik serilerle karşılaştırmaya dayanır. Örnek: 1) 1 n = ln n n ) 3 n n + 1! n = 1 serilerinin yakınsaklığını araştırınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

196 D İ Z İ LER VE SERİ LER 195 Çözüm: n 1) x n n = 1 ln n n = 1 ln n, n lim x n n = lim 1 = 0 < 1 n ln n olduğundan Cauchy testine göre seri yakınsaktır. ) x n = 3 n n + 1!, x n+1 = 3 n+1 n +! lim n x n+1 x n = lim 3 n+1 n n +! : 3 n n + 1! = 3 n+1. n + 1! lim n 3 n. n +! = 3. 3 n. n + 1! lim = 3 n. n + 1! n + lim 3 n n + = 0 < 1 n olduğundan seri yakınsaktır. n = 1 n 3 n serisinin yakınsaklığını araştırınız. Cevabınız "seri yakınsaktır" olmalıydı.? Pozitif terimli seri ya yakınsaktır ya da toplamı dur. Tüm terimleri negatif olan serilerin yakınsaklığı ise pozitif terimli serilerin yakınsaklığının bir sonucu olarak incelenebilir. n Pozitif terimli serilerde lim x n = 1 veya lim ise kök testi ve oran testi n x n + 1 n x n ile karar verilemez. Başka testleri denemek gerekir. 5. Alterne Seriler ve Mutlak Yakınsaklık Her n IN için x n > 0 olmak üzere, x 1 - x + x 3 - x n+1 x n +... = şeklindeki bir seriye alterne seri denir. Örneğin, n n n = 1-1 n + 1 x n n+1 1 n +... serileri alterne serilerdir. Bu tür serilerin yakınsaklığı için Leibniz kuralı geçerlidir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

197 196 D İ Z İ LER VE SERİ LER Leibniz Kuralı x n > 0 olmak üzere -1 n + 1 x n alterne serisinde, eğer lim x n = 0 ve her n = 1 n n IN için x n+1 < x n ise o zaman bu alterne serisi yakınsaktır. Örneğin, yukarıda örnek olarak verdiğimiz her iki alterne seri bu kurala göre yakınsaktırlar. Çünkü dir. lim 1 = 0, lim 1 = 0, 1 n n n n n + 1 < 1 n ve 1 n + 1 < 1 n Örnek: 1) -1 n + 1 n + n n = 1 ) n = 1-1 n + 1 ln n alterne serilerinin yakınsak olup olmadığını araştırınız. Çözüm: 1) Serinin genel terimi olan -1 n+1 n + n dizisinin limiti yoktur. Çünkü tek indisli terimler 1 e yakınsarken çift indisli terimler -1 e yakınsarlar. Serinin genel terimi sıfıra yakınsamadığından seri ıraksaktır. ) lim 1 n ln n = 0 ve 1 ln n + 1 < 1 ln n olduğundan Leibniz Kuralına göre seri yakınsaktır. x 1 + x x n +... = x n n = 1 serisi verilsin. (Bu serinin terimleri hem pozitif, hem de negatif olabilir). Eğer terimlerin mutlak değerlerinden oluşan x 1 + x x n +... = n = 1 x n serisi yakınsak ise Eğer n = 1 x n n = 1 x n (şartlı) yakınsak seri denir. serisine mutlak yakınsak seri denir. serisi yakınsak fakat mutlak yakınsak değilse bu seriye koşullu Önerme: Eğer n = 1 x n serisi mutlak yakınsak ise yakınsaktır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

198 D İ Z İ LER VE SERİ LER 197 Örnek: 1) n n serisi mutlak yakınsaktır. Çünkü mutlak değerlerden oluşan n serisi yakınsaktır. ) n n serisi mutlak yakınsak değil fakat koşullu yakınsaktır. Çünkü serinin kendisi yakınsak iken terimlerin mutlak değerlerinden oluşan seri, harmonik seri olup ıraksaktır. Değerlendirme Soruları 1. 0, 1 4, 6, 3,... dizisinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir? 8 A. n - 1 n B. n + n C. n + 1 n D. n - 1 n E. n - n. lim n n - n -1 limiti aşağıdakilerden hangisidir? A. -1 B. 0 C. 1 D. E lim n A. -1 B. 4/3 C. D. 3 E. 4 4n - -1 n limiti aşağıdakilerden hangisidir? n + 3 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

199 198 D İ Z İ LER VE SERİ LER 4. a sabitinin hangi değerinde an + n - 1 n A. -1 B. - 1 C. 0 D. 1 E. dizisi yakınsaktır? 5. Aşağıdaki dizilerden hangisi yakınsaktır? A n n B. -1 3n + 1 C. -1 n n D. -1 n n + 1 n + 3 E. n + -1 n n 6. İlk terimi 5, ortak farkı (-3) olan bir aritmetik dizinin ilk dört teriminin toplamı kaçtır? A. 0 B. 1 C. D. 3 E İlk terimi 1, ortak çarpanı 3 olan bir geometrik dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır? A. 954 B C D E İlk terimi 1, olan bir geometrik dizinin 11. terimi 104 olduğuna göre, dizinin ortak çarpanı kaçtır? A. B. 4 C. 8 D. 1 E. 16 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

200 D İ Z İ LER VE SERİ LER Bir (x n ) dizisi yakınsak ise aşağıdaki dizilerden hangisi yakınsak olmayabilir? A. 3x n B. x n C. 1 xn D. x n x n + 1 E. x n - x n 10. n = 3 n 3 7 serisinin toplamı kaçtır? A. 7 4 B. 7 8 C. 4 7 D E Aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur? i) x n n = 1 yakınsak ise lim x n = 0 dır. n ii) lim x n = 0 n ise x n n = 1 yakınsaktır. iii) n = 1 x n yakınsak ise lim n n x n iv) Mutlak yakınsak seri yakınsaktır. v) x n n = 1 dur. A. i, ii, iii, iv, v B. i, iv C. i, iv, v D. i, iii E. iii, iv, v < 1 dir. serisi yakınsak ise bu serinin kısmi toplamlar dizisinin limiti AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

201 00 D İ Z İ LER VE SERİ LER 1. n = 1 q n serisinin yakınsak olduğu q gerçel sayılarının en genişkümesi aşağıdakilerden hangisidir? A. -, B. -, 0 C. 0, D. -1, 1 E. 0, Aşağıdaki serilerden hangisi ıraksaktır? A. n = 1-1 n n B. 1 n = 1 n C. n = 1-1 n n D. 3n + 1 n + n = 1 E. 4n + 3 n = 1 n Aşağıdaki serilerden hangisi koşullu yakınsaktır? A. n = 1-1 n n B. n = 1-1 n n n C. n = 1-1 n n D. n = 1-1 n n 5n + 1 E. n = 1-1 n + 1 n ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

202 D İ Z İ LER VE SERİ LER n = 1 1 n n + serisinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A. 1 B. 3 4 C. 1 D. 4 3 E. Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D. B 3. C 4. C 5. A 6. C 7. A 8. A 9. C 10. D 11. B 1. D 13. D 14. C 15.B AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

203 0 Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar Demana F., Waits B. K., Precalculus, Addison- Wesley Publishing Com., New York, Gaughan E. D., Hall C. E., College Algebra and Trigonometry, Brooks/Cole Publishing Com., Monterey, Göğüş M., Koçak Ş, Tayfur C., Üreyen M., Matematik I (Diferansiyel Hesap), Bizim Büro Basımevi, Ankara, Göğüş M., Koçak Ş, Tayfur C., Üreyen M., Matematik I (İktisadi Uygulamalı) Bizim Büro Basımevi, Ankara, Koçak Ş., Üreyen M., Göğüş M., Olgun Ş., Görgülü A., Genel Matematik Fasikül 1, Açıköğretim Fakültesi Yayınları No: 115, Eskişehir, Göğüş M., Koçak Ş, Tayfur C., Üreyen M., Matematik Fasikül 1, Açıköğretim Fakültesi Yayınları No: 58, Eskişehir, Larson R. E., Hostetler R. P., Edwards B. H., Brief Calculus, D.C. Heath and Com., Lexington, Musser G.L., Burger W. F., Mathematics for Elementary Theachers, Prentice Hall, New Jersey, Saban G., Analize Giriş, İ. Ü. Fen Fakültesi Basımevi, İstanbul, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

204 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt Ünite 8-14

205 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 108 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Analiz Yazar: Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Editör: Öğr.Gör.Dr. Mehmet ÜREYEN

206 Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Anadolu Üniversitesine aittir. "Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Copyright 1999 by Anadolu University All rights reserved No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic tape or otherwise, without permission in writing from the University. Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN ISBN X

207 Limit ve Süreklilik Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 8 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; fonksiyonların limiti kavramını öğrenecek, limitler hakkındaki teoremleri görecek, basit limitlerin hesaplanması tekniğini öğrenecek, fonksiyonların sürekliliği kavramı ile tanışacaksınız. İçindekiler Giriş 05 Fonksiyon Limitinin Tanımı 05 Limit Özellikleri 11 Süreklilik 16 Değerlendirme Soruları 19 Çalışma Önerileri Limit ve Süreklilik Kavramlarını iyi öğreniniz Çok sayıda fonksiyon örneği alıp limitlerini bulmaya çalışınız

208 Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz Çok sayıda fonksiyon örneği alıp onun sürekli olup olmadığına karar veriniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

209 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Giriş Geçen ünitede dizilerin limitleri ile tanışmıştık. Bu ünitede fonksiyonların limiti kavramını ele alacağız. Fonksiyonların limiti kavramı türev, integral gibi kavramların temelini oluşturur. Ünite sonunda sürekli fonksiyonlar konusuna kısaca değineceğiz.. Fonksiyon Limitinin Tanımı A IR olmak üzere f: A IR, y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer x değişkeninin değerleri sabit bir a gerçel sayısına istenildiği kadar yakın ise o zaman bu yaklaşma sembolik olarak x a gibi gösterilir ve "x değişkeni a ya yaklaşıyor" şeklinde okunur. y = f(x) fonksiyonunun limitinin varlığı, x değişkeni a ya yaklaştığı zaman f(x) fonksiyon değerlerinin bir gerçel sayıya yaklaşıp yaklaşmamasına bağlıdır. Örneğin, f(x) = x - fonksiyonunu ele alalım ve x 3 olduğunu varsayalım. x 3 e yakın değerler aldığı zaman f(x) in aldığı değerleri gösteren aşağıdaki tabloyu ele alalım: x,9 3,1,99 3,01,999 3, f(x) = x - 6,41 7,61 6,9401 7,0601 6, , Tablodan görüldüğü gibi x değişkeni 3 e ister 3 den küçük değerlerle, isterse 3 den büyük değerlerle yaklaşsın f(x) = x - nin değerleri 7 ye yaklaşmaktadır. İşte bu durumda x 3 iken f(x) in limiti 7 dir diyecek ve sembolik olarak şeklinde göstereceğiz. lim x 3 (x - ) = 7 A kümesi ve a sayısı verilsin. Eğer merkezi a noktasında olan her (a - δ, a + δ) açık aralığında b a, b A koşullarını sağlayan en az bir b sayısı bulunabiliyorsa, o zaman a noktasına A kümesinin yığılma noktası denir. Bir kümenin yığılma noktası o kümenin elemanı olabilir de, olmayabilir de. Örneğin, a = 0 noktası A = (0,1) açık aralığının yığılma noktasıdır. Her bir gerçel sayı Q rasyonel sayılar kümesinin yığılma noktasıdır. f: A IR fonksiyonu verilsin ve a sayısı A kümesinin yığılma noktası olsun. Eğer her ε > 0 için bir δ >0 sayısı bulunabiliyor ve 0 < x - a < δ eşitsizliğini sağlayan tüm x A değerleri için f(x) - L < ε eşitsizliği sağlanıyorsa, o zaman x a iken f(x) in limiti L dir (veya f fonksiyonunun a noktasındaki limiti L dir) denir ve sembolik olarak AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

210 06 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K şeklinde gösterilir. lim x a f(x) = L veya x a iken f(x) L Dizi limitinde olduğu gibi bu tanım da şöyle yorumlanabilir. Her ε > 0 için öyle δ > 0 vardır ki tanım kümesine ait olan ve (a - δ, a + δ) aralığına düşen a dan farklı tüm x ler için f(x) değerleri (L - ε, L + ε) aralığına düşer. Örneğin, lim x 3 = 8 dir, çünkü her ε > 0 için öyle δ > 0 vardır ki ( - δ, + δ) x Şekil 8.1 aralığındaki tüm x ler için x 3 ün değerleri (8 - ε, 8 + ε) aralığına düşer (ε verildiğinde δ nın ε a bağlı nasıl seçileceğini tartışmıyoruz). Şekil 8. Tanımdan görüldüğü gibi sabitin limiti kendisidir: lim x a c = c. Dizilerin limiti ile fonksiyonların limiti arasında sıkı bir ilişki vardır. lim x a f(x) = L olması için gerek ve yeter koşul, her x n A, (n N) ve (x n ) a koşulunu sağlayan (x n ) dizileri için (f(x n )) L olmasıdır. lim Yani, f(x) = L x a olması için gerek ve yeter koşul, tanım kümesinin elemanlarından oluşan ve a ya ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

211 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 07 yakınsayan her (x n ) dizisine karşılık, fonksiyon değerlerinden oluşan (f(x n )) dizisinin L sayısına yakınsamasıdır. Örnek: f: IR IR, f(x) = x - olmak üzere lim f(x) = 7 olduğunu gösterelim. Çözüm: x 3 x n IR için (n IN) f(x n ) = x n - dir. Her (x n ) 3 için (x n ) 9 olduğundan (f (x n )) = (x n - ) 9 - = 7 dir. Dolayısıyla lim (x - ) = 7 dir. x 3 Örnek: f: IR IR, f(x) = x + 4, 5x - 1, x 1 ise x > 1 ise parçalı tanımlı fonksiyonun x 1 için limitinin olmadığını gösterelim. Çözüm: n IN için x n = 1-1 alalım. Bu durumda (x n ) 1 olduğu açıktır. n olduğundan f( x n ) = 1-1 n + 4 = 6 - n ve x n = 1-1 n < 1 lim n f (x n ) = lim 6 - n = 6 dır. n y 6 4 x n n Şekil 8.3 Buna karşılık, n IN için x alırsak (x' n ) 1 dir. Her n IN için x' n > 1 n ' = olduğundan n f( x n ' ) = 5 xn ' - 1 = n - 1 = n ve lim f( x n ' ) = lim n n n = 4 dür. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

212 08 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Burada tanım kümesinin elemanlarından oluşan ve 1 e yakınsayan farklı iki diziye karşı gelen fonksiyon dizileri aynı sayıya yakınsamamaktadır. Bu nedenle fonksiyonun x = 1 noktasında limiti yoktur. Bu durum grafikten de açıkça görülmektedir. Grafikten gördüğümüz gibi, x değişkeni 1 e 1 den büyük değerlerle yaklaşırken fonksiyon değerleri 4 e yaklaşmakta, x değişkeni 1 e 1 den küçük değerlerle yaklaşırken ise fonksiyon değerleri 6 ya yaklaşmaktadır. x 1 için fonksiyon değerleri aynı sayıya yaklaşmadığından fonksiyonun limiti yoktur.? 1) lim x x 0 ) lim x - 1 x 1 3x + 5 limitlerini araştırınız. Cevaplar 1) Yoktur ) 0 olmalıydı. Örnek: lim x 4 x =, lim lnx x 1 = 0, lim x 8 3 x = 4, lim e x x 0 = 1, lim x 3 5 x =, lim (cosx) x π = -1, lim x π lim x π sinx = 1, lim cotx = 1, x π 4 tanx - yoktur. Eğer x değişkeni a ya yaklaşırken onun aldığı değerler a dan küçük kalıyorsa, o zaman "x değişkeni a ya soldan yaklaşıyor" denir ve bu yaklaşma sembolik olarak x a - gibi gösterilir. Eğer x değişkeni a ya yaklaşırken onun aldığı değerler a dan büyük kalıyorsa, o zaman "x değişkeni a ya sağdan yaklaşıyor" denir ve sembolik olarak x a + gibi gösterilir. x a - iken f(x) in limiti varsa, bu limite f(x) in a noktasında soldan limiti denir ve bu limit lim x a- f(x) gibi gösterilir. x a + iken f(x) in limiti varsa, bu limite f(x) in a noktasında sağdan limiti denir ve bu limit lim x a + f(x) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ gibi gösterilir.

213 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 09 lim f(x) limitinin mevcut olması için, a noktasında sağdan ve soldan limitler x a mevcut ve birbirine eşit olmalıdır. Yani dir. lim f(x) = lim f(x) x a + x a- = L lim f(x) x a = L Örnek: lim x 0- x x soldan ve sağdan limitleri hesaplayalım. Çözüm: ve lim x 0 + x x x 0 - olması x < 0, x 0 + ise x > 0 demektir. x < 0 için x = -x, x > 0 için ise x = x olduğundan lim x 0- x x = lim -x x 0- x = lim -1 x 0- = -1 x lim = lim x = lim 1 = 1 x 0 + x x 0 + x x 0 + bulunur. Soldan ve sağdan limitler eşit olmadığından (-1 1), yoktur. lim x 0 x x limiti Örnek: f(x) = x, x 1 ise, -x + 3, x < 1 ise parçalı tanımlı fonksiyonu için lim x 1- f(x), lim f(x) x 1 + limitlerini bulalım. Çözüm: x < 1 için f(x) = -x + 3, x > 1 için f(x) = x olduğundan lim x 1- f(x) = lim (-x + 3) x 1- lim f(x) = lim x = 1 x 1 + x 1 + = (-) = 1, dir. Soldan ve sağdan limitler eşit olduğundan lim x 1 f(x) limiti var ve 1 dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

214 10? L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K f(x) = x - x, x -1 ise, x +, x > -1 ise fonksiyonunun x = -1 noktasında soldan ve sağdan limitlerini hesaplayınız. Cevaplarınız 3 ve 1 olmalıdır. a - ve a durumlarında da limit tanımlanabilir. Eğer her ε > 0 için bir > 0 bulunabiliyor ve x < - eşitsizliğini sağlayan tüm x ler için f(x) - L < ε oluyorsa, o zaman "x - iken f(x) in limiti L dir" denir ve gibi yazılır. Eğer her ε > 0 için bir > 0 bulunabiliyor ve x > eşitsizliğini sağlayan tüm x ler için f(x) - L < ε oluyorsa o zaman "x iken f(x) in limiti L dir" denir ve lim f(x) = L x gibi yazılır. Tanımlardan görüldüğü gibi lim x - f(x) lim f(x) = L x - = L (veya lim f(x) x = L) olması için x in aldığı değerler negatif yönde gittikçe çok küçüldüğünde (veya pozitif yönde çok büyüdüğünde) f(x) in aldığı değerler bir L ye istenildiği kadar yakın olmalıdır. Örnek: 1) 1 1 lim = 0 dır. Çünkü x büyük değerler aldığında ifadesi 0 a istenildiği kadar yakın değerler alır. Aynı sebepten lim 1 = 0 dır. Ayrıca, x x x x - x lim c = 0 (c-sabittir) olur. x x? ) 3) lim x - 4 lim x x + 3 x bulunur. lim x - x + 3 x limitlerinin değerleri nedir? Cevaplarınız, 0 ve 5 olmalıdır. limitini bulmak için x + 3 ifadesini x e bölelim: = + 3 x, buradan lim x + 3 x x 1 x - 1 = 0 dır. Çünkü x - iken 1 x - 1 = lim + 3 x x = + 0 = ifadesi negatif değerler alarak sıfıra istenildiği kadar yakın değerler alır. (Burada, x - için kesrin payı sabit kalırken paydası mutlak değerce sınırsız büyümektedir). x +, lim 100, lim 5x + 3 x - x x x - ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

215 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Limit Özellikleri Şimdi limitlerin hesaplanmasında faydalı olan aşağıdaki teoremleri vereceğiz. 1) Eğer lim fx limiti varsa bu limit tekdir. x a ) f(x) ve g(x) fonksiyonları verilsin. Eğer x in a ya yakın tüm değerlerinde fx g x ise ve lim x a eşitsizliği sağlanır. fx, lim gx x a lim x a fx limitleri varsa o zaman lim x a gx 3) f 1 (x), f (x),..., f n (x) fonksiyonları verilsin ve lim x a f 1 x, lim f x x a,..., lim x a f n x limitleri mevcut olsun. Bu durumda lim x a f 1 x ± f x ±... ± f n x ve lim x a f 1 x. f x... f n x limitleri de vard ır ve lim x a f 1 x ± f x ±... ± f n x = lim f 1 x x a ± lim f x x a ±... ± lim f n x x a lim x a f 1 x. f x... f n x = lim f 1 x x a. lim f x x a... lim f n x x a dir. c bir sabit olmak üzere lim c = c olduğundan, son eşitliğin bir sonucu x a olarak, sabitin her zaman limit işaretinden dışarı çıkarılabileceğini söylemek mümkündür: lim x a c f x = c lim fx. x a 4) Eğer pay ve paydanın limiti varsa ve paydanın limiti sıfırdan farklı ise o zaman kesrin limiti, limitler oranına eşittir: lim gx 0 olmak üzere, x a dir. lim x a fx gx lim fx = x a lim gx x a 5) f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonları verilsin. Eğer x in a ya yakın tüm değerleri için h(x) f(x) g(x) eşitsizli ği sağlanı yorsa ve x lim a hx = x lim a gx = L ise o zaman lim f x limiti de vard ır ve x a dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ lim fx = lim hx = lim gx = L x a x a x a

216 1 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Bu teoremlerin ispatı limitin tanımından yararlanarak yapılabilir. Örneğin, 1). yi ispatlamak için x a iken f(x) in L 1 ve L limitlerinin var olduğunu varsayalım. O zaman tanıma göre her ε > 0 için öyle δ 1 > 0 vardır ki 0 < x - a < δ 1 iken f x - L 1 < ε dir ve aynı zamanda öyle δ > 0 vardır ki 0 < x - a < δ iken f x - L < ε olur. Eğer δ 1 ve δ sayılarından küçük olanına δ dersek o zaman 0 < x - a < δ eşitsizliğini sağlayan her bir x için aynı zamanda x - a < δ 1 ve x - a < δ eşitsizlikleri de sağlanmış olur. Buna göre mutlak değerin de özelliklerini kullanırsak, L 1 - L = L 1 - f x + f x - L L 1 - f x + f x - L f x - L 1 + f x - L < ε + ε = ε, buradan L 1 - L < ε yazabiliriz. ε keyfi olduğundan L 1 - L = 0 veya L 1 - L = 0, L 1 = L olmalıdır. Dolayısıyla varlığı halinde limit tekdir. Not: Yukarıdaki teoremler a - ve a için de doğrudur. Örnek: 1) lim x x + 3x -1 = lim x x + lim 3x x - lim 1 x = lim x - 1 = = 9 x ) lim x 4 x = x + 1 lim x 4 lim x 4 x x + 1 = 5 3) lim x π sinx. 1 + cosx = lim x π sinx. lim x π 1 + cosx = = 1 4) lim x x + 4 3x + 1 limitini hesaplamak için pay ve paydayı x ile bölelim: x + 4 3x + 1 = + 4 x x lim x bulunur. x + 4 3x + 1 = lim x buna göre, + 4 x x = lim x lim x + 4 x x = + lim 4 x x = lim = 3 x x 5) lim 3x + x + 1 x - x + 4 bölelim: limitini hesaplamak için pay ve paydayı x ile ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

217 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 13 3x + x + 1 x + 4 = lim x - x = lim 1 x - x lim 3x + x + 1 x - x + 4 bulunur. 3 + x + 1 x x. =. 0 = 0, lim x - lim 3 + lim x - = x - lim 1 + lim x - x - 1 x = 0, lim x + lim 1 x - x x - x a veya x ± için f(x) değerleri pozitif yönde sınırsız büyüyorsa fonksiyonunun limiti dur denir. Benzer şekilde x a veya x ± için f(x) değerleri negatif yönde sınırsız küçülüyorsa, bu durumda fonksiyonun limiti - dur denir. Örneğin lim x x =, lim 1 x 0 - x = -, lim x x - 4x = dur. 4 x 4 x = 0 olduğunda = = 3 Yukarıdaki 4). ve 5). örneğimizde, sırasıyla x veya x - için kesirlerin pay ve paydaların limiti olduğu halde kesirlerin limitleri sırasıyla /3 ve 3 tür. Bu örneklerde olduğu gibi x ± (veya x a için) bir kesrin pay ve paydası olduğunda kesrin limitinin varlığı veya varsa değeri kesre bağlıdır. Bu nedenle, bu durumda sonsuz bölü sonsuz belirsizliği vardır diyor ve sembolik olarak / şeklinde gösteriyoruz. / belirsizliği limit yok demek değildir. Sadece limitin varlığının ve varsa değerinin kesre bağlı olduğunu ifade eder.! 6) lim x 0 x + x 3x + 4x limitini bulmak için pay ve paydada x in yaklaştığı değer olan sıfırı yazarsak pay ve payda sıfır olur. Ancak bu durum limitin olmadığı anlamına gelmez. Limiti bulmak için kesri sadeleştirmek gerekir. Bunun için x + x 3x + 4x = x x + 1 x 3x + 4 = x + 1 3x + 4 yazabiliriz. Buradan lim x 0 x + x 3x + 4x elde edilir. = lim x 0 x + 1 3x + 4 = lim x 0 x + 1 lim 3x + 4 = 1 4 x 0 7) lim x - 1 limitini bulalım. x 1 için hem pay hem de payda 0 x 1 x - 1 olmaktadır. Payı çarpanlara ayırıp kısaltma yaparsak AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

218 14 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K x - 1 x - 1 = x - 1 x + 1 x - 1 = x + 1 olur. Aynı sonuç, pay ve payda, paydanın eşleniği ile genişletilerek de bulunabilir: x - 1 x - 1 = x - 1 x - 1. x + 1 x + 1 = x - 1 x + 1 x - 1 Buna göre, = x + 1. lim x 1 x - 1 x - 1 bulunur. = lim x 1 x + 1 =? 6). ve 7). örneklerde, sırasıyla x 0, x 1 için pay ve payda 0 a yaklaştığı halde kesirlerin limitleri 1/4 ve olmaktadır. Bu örneklerden görüldüğü gibi x a ( veya x ± ) için pay ve payda 0 a yaklaşırsa kesrin limiti kesre bağlıdır. Bu nedenle, bu durumda da 0 belirsizliği vardır diyoruz. Bu belirsizlik de limitin 0 olmadığı anlamına gelmemekte, sadece limitin varlığının ve değerinin kesre bağlı olduğunu ifade etmektedir. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız. lim x - 4x - x 3x + 4x 3, lim x + e - x 8, lim x - 9 x 8 x -3 Cevaplarınız 4/3, 4 + e -1, -6, - 1 x + 3, lim x π 4 ve " " olmalıdır. sinx - cos x, lim x x - x + 1 x lim x 0 sinx x Limitinin Hesaplanması y B C 0 x A x K (1,0) Şekil 8.4 Şimdi, x bir açının radya cinsinden ölçümünü göstermek üzere, lim sinx x 0 x = 1 olduğunu ispatlayalım. Bunun için merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktasında olan birim çemberi ele alalım (Şekil 8.4). BOA açısı x, A noktasında çemberin teğeti ile OB nin uzantısının kesiştiği nokta C olsun. Şekilden görüldüğü gibi ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

219 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 15 AOB üçgen alanı < AOB daire kesmesinin alanı < AOC üçgen alanı, BK = sinx, OA = 1, AC = OA. tanx = tanx olduğundan AOB üçgen alanı = 1 sinx, AOC üçgen alanı = 1 tanx, AOB daire kesmesinin alanı = x. (daire alanı) π = x. π. 1 π = x olur Buradan 1 sinx < 1 x < 1 tanx veya sinx < x < sinx cosx elde edilir. x dar açı olduğundan sinx > 0 olur ve son eşitsizlikte tarafları sinx e bölersek 1 < x sinx < 1 cosx veya 1 > sinx x > cosx olur. Eğer x 0 ise o zaman cosx 1 olur ve limitler haklarındaki 5). teoremden olduğu sonucu elde edilir. a 0 olmak üzere, lim x 0 sinax ax lim x 0 sinx x = 1 = 1 olduğunu gösteriniz.? Örnek: 1) lim tanx x 0 x = lim x 0 sinx cosx x = lim sinx. lim 1 = 1. 1 = 1 x 0 x x 0 cosx = lim sinx x cosx = lim x 0 x 0 sinx x. 1 cosx ) lim sinx = lim. x 0 x sinx = lim sinx =. 1 = x 0 x x 0 x 3) lim x = lim 1 x 0 sinx x 0 sinx x = 1 lim x 0 sinx x = 1 1 = 1 4) lim sinax = lim sinax/ax x 0 sinbx sinbx/bx. ax = lim a x 0 bx b. x 0 sinax ax sinbx bx = a lim sinax b. x 0 ax lim sinbx x 0 bx AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

220 16 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K?? lim x 0 a = b. 1 1 = a b (a ve b sabit gerçel sayılardır ve a 0, b 0 dır). x cotx, lim sin3x, lim sin x x 0 x x 0 x Cevaplarınız 1, 3 ve 0 olmalıdır. lim x 0 x sin 1, lim sinx x x x limitlerini hesaplayınız. Cevaplarınız her ikisi içinde 0 olmalıydı. limitlerini hesaplayınız. 4. Süreklilik A IR olmak üzere f: A IR fonksiyonu verilsin ve a A olsun. Eğer f(x) limiti varsa ve bu limit f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki değeri olan lim x a f(a) ya eşitse, yani lim x a f x = f a ise y = f(x) fonksiyonu x = a noktasında sürekli dir denir. Aksi halde y = f(x) fonksiyonuna x = a noktasında süreksiz veya sürekli olmayan fonksiyon denir. Böylece fonksiyonun x = a da süreksiz olması için ya f(x) limiti mevcut olma- lim x a malı ya da limit mevcut olsa da f(a) ya eşit olmamalıdır. Not: A kümesi [a,b] kapalı aralığı ise o zaman a ve b noktalarında sağdan ve soldan süreklilikten sözedilebilir. Yani, fonksiyonun a noktasında sürekli olması lim x a+ f x = f a b noktasında sürekli olması ise lim f x = f b x b- anlamlarını taşımaktadır., Eğer y = f(x) fonksiyonu her bir a A noktasında sürekli ise o zaman bu fonksiyona A kümesi üzerinde veya A da süreklidir denir.! Önceki ünitelerden bildiğimiz polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonlar, üstel ve logaritmik fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonlar tanım kümeleri üzerinde sürekli fonksiyonlardır. Sürekli fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı yine süreklidir. Sürekli fonksiyonların oranı ise paydanın sıfır olmadığı noktalarda süreklidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

221 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 17 Örnek: fx = x + 1, x 0 ise, -x + 1, x < 0 ise fonksiyonunun x = 0 da sürekli olduğunu gösterelim. Çözüm: f 0 = = 1 olduğundan lim f x x 0 limitinin var olduğunu ve bu limitin f 0 = 1 e eşit olduğunu göstermeliyiz. Bunun için sağdan ve soldan limitleri hesaplayalım. lim fx = lim x + 1 = = 1, lim fx = lim -x + 1 = = 1, x 0 + x 0 + x 0 - x 0 - sağdan limit soldan limite eşit olduğundan lim x 0 fx lim x 0 fx limiti var ve 1 e eşittir. = 1 = f 0 olduğundan fonksiyon x = 0 noktasında süreklidir. Not: Fonksiyonun x = a noktasında sürekli olması, geometrik olarak onun grafiğinin o noktada kesiksiz olmasını gösterir. Yukarıdaki fonksiyonun ve x = 0 noktasında süreksiz olan gx = x + 1, x > 0 ise x, x 0 ise fonksiyonlarının grafiklerine dikkat ediniz. lim gx = lim x + 1 = 1, lim gx = lim x = 0 olduğundan lim gx x 0 + x 0 + x 0 x 0- x 0- limiti yoktur ve buna göre g(x) fonksiyonu x = 0 da süreksizdir). Şekil ünitede öğrendiğimiz f(x) = x (mutlak değer) fonksiyonu IR de süreklidir. f(x) =[x] (tam değer) fonksiyonu ise her bir x = 0, ±1, ±,...tam sayı noktalarda AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

222 18 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K süreksizdir, çünkü tam sayı noktalarda soldan limit sağdan limite eşit değildir. İşaret fonksiyonu olan f(x) = sgn x fonksiyonu ise x = 0 noktasında süreksizdir. Bu fonksiyonların grafikleri 3. ünitede verilmişti. Bu grafikleri inceleyerek süreksizlikleri görmeye çalışınız. Not: Sürekliliğin tanımında a sayısını f(x) fonksiyonunun tanım kümesinin bir elemanı olarak almıştık. Bu nedenle, genel olarak bir fonksiyon bir noktada tanımlı değilse, fonksiyonun bu noktada sürekliliği veya süreksizliğinden söz edilmez. Ancak aşağıdaki gibi özel noktalarda fonksiyonun süreksizliği kavramı yaygın olarak kullanılmaktadır. Eğer a sayısı bir f fonksiyonunun tanım kümesine dahil olmayıp bu kümenin bir yığılma noktası ise ve fx limiti yoksa, a nın tanım kümesinde olmamasına rağmen f(x) fonksiyonu a noktasında süreksizdir denilir. Örneğin, x = 0 noktası fx = 1 fonksiyonunun tanım kümesinden olmamasına rağmen, lim 1 limiti bulunmadığından bu fonksiyon x = 0 da süreksizdir denilir. Aynı sebepten f(x) = x x 0 x tanx fonksiyonu için de lim x a x = π noktasında süreksizdir denilir. Eğer limiti varsa ve a sayısı tanım kümesine dahil olmayıp bu kümenin bir yığılma noktası ise veya fonksiyon a yığılma noktasında tanımlı fakat f(a) lim x a lim x a fx fx sahiptir denir. Örneğin, ise o zaman f(x) fonksiyonu a noktasında kaldırılabilir süreksizliğe fx = -x, x < 0 ise, x, x > 0 ise fonksiyonu x = 0 noktasında süreksizdir, çünkü x = 0 noktası tanım kümesine dahil değildir.ancak lim x 0 fx = 0 ve x = 0 noktası fonksiyonun tanım kümesinin yığılma noktası olduğundan f fonksiyonunun bu noktadaki süreksizliği kaldırılabilir süreksizliktir. Çünkü f(x) ile sadece x = 0 da farklılık gösteren gx = -x, x < 0 ise, 0, x = 0 ise, = x x, x > 0 ise, fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur.? 1) fx = x mutlak değer fonkisyonunun sürekliliğini tanımdan yararlanarak gösteriniz. ) fx [ x ] tam değer fonkisyonunun tam sayı noktalarda süreksizliğini gösteriniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

223 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 19 Değerlendirme Soruları 1. lim x 10 =? A. -10 B. 0 C. D. 10 E. Yoktur. lim x 3 x - 4x + 1 =? 3. A. -3 B. - C. 1 D. E. 3 lim x 1 x - 1 x + 1 A. 0 B. 1/ C. 1 D. E. =? lim x A. - B. 0 C. 1 D. E. Yoktur lim x A. - B. 0 C. D. E. 1 x - 3x + x - x - 3x + x - =? =? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

224 0 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K lim x 1 x -5 x - 5 A. -1 B C. 0 D. 4 5 E. Yoktur lim x 5 x -5 x - 5 A. - 1 B. 0 C. 1 D. 5 E. Yoktur =? =? 8. x - lim =? x + x - A. - 1 B. 0 C. 1 D. E. Yoktur 9. lim x x x + 1 =? A. - B. 0 C. 1 D. E lim x x x =? A. - B. 0 C. 1 D. E. 11. lim h 0 A. -3 B. - C. -1 D. 0 E h h + h =? ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

225 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 1 1. lim x A. - B. -1 C. 0 D. 1 E. sinx x =? 13. lim x π A. 0 B. 1 3 sinx + cosx =? C. 1 D. 1 E lim x 0 A. B. 3 C. D. 1 E. 0 tan3x x =? 15. lim x lnx x =? (y.g.: x > e için 1 < lnx < x dir) A. - B. -1 C. 0 D. 1 E. 16. lim lnx =? x 0 + x A. - B. -10 C. - e D. 0 E. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

226 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 17. lim x 10 - x =? A. - B. -1 C. 0 D. 1 E. 18. lim x A. 0 B. 1 C. 1 xe - x =? (y. g. : x > 0 için e x > x ) D. 1 e E fx = x - a, x + 4, x 1 ise x > 1 ise parçalı tanımlı fonksiyonun x = 1 noktasında sürekli olması için a sayısı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A. 1 B. 0 C. -1 D. - E. -3 fx = a sinx x, x 0 ise x - a + 1, x > 0 is parçalı tanımlı fonksiyonun x = 0 noktasında sürekli olması için a sayısı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A. - 1 B. 0 C. 1 D. 1 E. 3 Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D. B 3. A 4. C 5. D 6. A 7. E 8. B 9. B 10. B 11. A 1. C 13. C 14. B 15. C 16. A 17. C 18. A 19. E 0. C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

227 Türev Kavramı Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramını anlayacak, türev alma kurallarını öğrenecek, türevin geometrik ve fiziksel anlamını kavrayacak, çeşitli tipte fonksiyonların türevlerini bulabileceksiniz. İçindekiler Giriş 5 Fonksiyon Türevi 7 Türev Alma Kuralları 36 Teğet Denklemi 40 Yüksek Mertebeden Türevler 41 Değerlendirme Soruları 43

228 Çalışma Önerileri Türev kavramını ve türev alma kurallarını iyi öğreniniz Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz Türevin geometrik ve fiziksel anlamına dikkat ediniz Çok sayıda fonksiyon örneği alıp türevlerini (I. mertebeden, II. mertebeden,...) bulunuz Çeşitli fonksiyon örnekleri alıp teğet denklemlerini yazınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

229 TÜREV KAVRAMI 5 1. Giriş Önce, denklemi y = f(x) olan bir eğrinin üzerindeki herhangi bir (x 0, f(x 0 )) noktasındaki teğetinin bulunması problemini ele alalım. Bunun için önce teğetin tanımını hatırlayalım. Eğri üzerinde bir T noktası verilsin. Eğri üzerinde bu noktadan farklı herhangi T 1 noktası seçip TT 1 kirişini çizelim. T 1 noktası eğri boyunca T noktasına yaklaştığı zaman bu kiriş T noktası etrafında dönme hareketi yapar. TT 1 kirişinin limit konumuna (eğer varsa) bu eğrinin T noktasındaki teğeti denir. Teğetin x- ekseni ile oluşturduğu α açısının tanjantına ise teğetin eğimi denir. Teğetin eğimini bulmak için T 1 noktasının apsisinin x 0 + h olduğunu varsayalım. O zaman bu noktanın ordinatı f(x 0 + h) olur. TNT 1 dik üçgeninden TN = h, T 1 N = f(x 0 + h) - f(x 0 ), T 1 TN = β olduğundan kirişin eğimi olur. tan β = T1 N TN = f( x 0 + h) - f( x 0 ) h y T 1 y = f (x) T α β. N 0 α β x 0 x 0 + h x Şekil 9.1 T 1 in eğri boyunca T ye yaklaşması h nin sıfıra yaklaşmasını gerektirdiğinden h 0 iken kirişin eğimi teğetin eğimine yaklaşır: Eğer teğetin eğimi = tan α = lim h 0 f( x 0 + h) - f( x 0 ) h lim h 0 T 1 N TN limiti varsa, olur. Buna göre, teğetin eğimini bulmak için yukarıdaki limiti hesaplamak gerekmektedir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

230 6 TÜREV KAVRAMI Örnek: 1) y = x 3 ve ) y = 1 + x eğrilerinin herhangi x 0 apsisli noktadaki teğet eğimlerini hesaplayalım. Çözüm: 1) Eğri üzerinde x 0 apsisli nokta, (x 0, x 0 3 ) noktasıdır. f(x 0 ) = x 0 3, f (x 0 + h) = (x 0 + h) 3 olduğundan tan α = lim (x 0 + h) x 0 h 0 h ) f(x 0 ) = 1 + x 0, f(x 0 + h) = 1 + (x 0 + h) = lim h 0 x x 0 h + 3x 0 h + h 3 - x 0 3 h = lim h 0 3x 0 + 3x 0 h + h = 3x = 3x 0 olur. 1 + (x tan α = lim 0 + h) - (1 + x 0 h 0 h olur. Örneğin, (-, 5) noktasındaki teğet eğimi. (-) = - 4 dür. ) = lim h 0 (x 0 + h) = x 0 Şimdi ise hareketli bir cismin ani hızının hesaplanması problemini ele alalım. Düzlemde bir doğru boyunca harekette olan cisim, başlangıçta (t=0 anında) doğru üzerindeki O noktasında olsun. t anında cismin bulunduğu nokta ile O noktası arasındaki s(t) uzaklığı t zamanının bir fonksiyonu olup, cismin t zamanı içinde katettiği yolu gösterir. s = s(t) fonksiyonuna cismin hareket denklemi denir. Bu hareketin t o anındaki ani hızını bulmak için t 0 a t artması verelim. t süresinde katedilen yol, s = s(t 0 + t) - s(t 0 ) olur. Bu durumda s oranı ise, [t 0, t 0 + t] zaman t aralığındaki ortalama hız olur. t 0 anındaki v ani ani hızını bulmak için s oranının t t 0 iken limitini bulmamız gerekmektedir. Buna göre, ani hız v ani = lim t 0 st 0 + t - s t 0 t olur, dolayısıyla ani hızı bulmak için bu limiti hesaplamak gerekmektedir. Örnek olarak hava direncinin hesaba alınmadığı ortamda serbest düşen cismin ani hızını bulalım. t = 0 (sn) anında cisim O başlangıç noktasında ise o zaman t 0 saniye içinde katedilen yol s (t 0 ) = g t 0 (metre) formülü ile veriliyor. Burada g 9,8 m/sn dir. Buna göre, s t 0 + t = g. t 0 + t, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

231 TÜREV KAVRAMI 7 v ani = lim t 0 g. t 0 + t t - g. t 0 = g lim t 0 (t 0 + t) - t 0 t = g lim t 0 t 0 + t 0. t + t - t 0 t = g lim t 0 t 0 + t = g t 0, v ani = gt 0 olur. Örnek: Hava direncinin hesaba alınmadığı ortamda yeteri kadar yüksekten serbest düşen cismin, düşmeye başladıktan 10 saniye sonraki ani hızını bulunuz. Çözüm: v ani = gt 0, t 0 = 10 sn, g 9,8 m/sn olduğundan aradığımız hız, v ani 9,8.10 m/sn = 98 m/sn olur. Not: t yi ile t nin çarpımı olarak düşünmeyiniz, küçük artmaları göstermek için kullanılan bir gösterimdir.. Fonksiyon Türevi Yukarıda incelediğimiz her iki örnekte, fonksiyon artması denilen f(x 0 + h) - f(x 0 ) ve s(t 0 + t) - s(t 0 ) ifadeleri, bağımsız değişken artmaları olan h ve t ye bölünüp, bölümün bu artmalar sıfıra yaklaşırken limitleri alındı. Bu limitlerin hesaplanması bizi türev kavramına getirir. A IR aralığı üzerinde tanımlı, gerçel değişkenli f: A IR, y = f(x) fonksiyonu verilsin. x 0 A olmak üzere x 0 a x kadar artma verelim. x 0 + x sayısının da x in küçük değerleri için yine A aralığı içinde kaldığını varsayalım (burada x > 0 veya x < 0 olabilir). O zaman y = f(x 0 + x) - f(x 0 ) a y = f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki artması, y ifadesine ise fonksiyonun x = f(x 0 + x) - f(x 0 ) x [x 0, x 0 + x] aralığında ortalama değişme hızı denir, (burada, eğer x < 0 ise [x 0 + x, x 0 ] aralığından sözetmeliyiz). f x Eğer 0 + x - f x 0 lim limiti varsa, bu limite y = f(x) fonksiyonunun x 0 x 0 x noktasındaki türevi denir. Bu durumda y = f(x) fonksiyonuna da x 0 noktasında türevlenebilir fonksiyon denir. Buna göre türev, fonksiyon artması y nin bağımsız değişken artması olan x e oranının x sıfıra yaklaşırken limitidir. lim x 0 fx 0 + x - fx 0 x = lim x x 0 fx - fx 0 x - x 0 olduğuna dikkat ediniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

232 8 TÜREV KAVRAMI Eğer y = f(x) fonksiyonunun her x A noktasında türevi varsa, o zaman bu fonksiyona "A üzerinde (veya A kümesinde) türevlenebilir" veya "A üzerinde türevi vardır" denir. Bu durumda A üzerinde yeni bir fonksiyon, türev fonksiyonu tanımlanmış olur. Bu fonksiyon her x A sayısını fonksiyonun x noktasındaki türevi ile eşler. Türev Fonksiyonu gibi, x 0 noktasındaki türev ise y', f ' x, dy dx, d f x dx y' x0, f ' x 0, dy dx x = x 0 gibi sembollerle gösterilir. Böylece,, d f x 0 dx y' x0 = f ' x 0 = dy dx x = x 0 = d f x 0 dx = fx 0 + x - fx 0 lim x x 0 yazılabilir. Türev alma işlemine bazen diferansiyelleme işlemi de denir. f '(x) türevine bazen f(x) fonksiyonunun x değişkenine göre türevi veya sadece f(x) fonksiyonunun türevi denir. Yukarıdaki örneklerde bulduğumuz sonuçları şöyle ifade edebiliriz: x 0 noktasında türevlenebilir y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin (x 0, f(x 0 )) noktasındaki teğetinin eğimi olan tan α değeri f '(x 0 ) türevine eşittir. Doğru boyunca hareket eden ve denklemi s = s(t) ile verilen cismin hareketinde herhangi t 0 anındaki ani hız s'(t 0 ) türevine eşittir. Giriş kesimindeki 1). ve ). örneklere göre, y = x 3 fonksiyonu için y'(x 0 ) = 3x 0 ve y = x + 1 fonksiyonu için y'(x 0 ) = x 0 diyebiliriz. Tanımdan görüldüğü gibi y = f(x) fonksiyonu için x = x 0 noktasındaki f '(x 0 ) türevinin sonucu bir sayıdır. Bu sayıyı bulmak için ya lim x 0 fx 0 + x - f x 0 x limiti hesaplanır ya da eğer mümkünse, f ' (x) türev fonksiyonu hesaplanıp x yerine x 0 yazılır. Örnek: y = x birim fonksiyonun türevini bulalım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

233 TÜREV KAVRAMI 9 Çözüm: f(x) = x, f(x + x) = x + x olduğundan y' = lim x 0 x + x - x x = lim 1 = 1 ve dolayısıyle x ' = 1 elde edilir. x 0 Örnek: y = x - 3x + 5 fonksiyonunun türevini bulalım. Çözüm: f(x) = x - 3x + 5, f(x + x) = (x + x) - 3(x + x) + 5 = ( x + x. x + x ) - 3x - 3 x + 5 = x + 4x. x + x - 3x - 3 x + 5 olduğundan y' = = 4x = 4x - 3, buna göre (x - 3x + 5)' = 4x - 3 dir. Örnek: f(x) = x + x 3 fonksiyonunun x = - noktasındaki f ' (-) türevini bulalım. Çözüm: lim x 0 f ' - = f(-) = - + (-) 3 = - -8 = -10 f(- + x) = - + x + (- + x) 3 = - + x + ( x - 6 x + x 3 ) = x 3-6 x + 13 x - 10 olduğundan f ' (-) = x + 4x. x + x - 3x - 3 x x + 3x - 5 lim x 0 lim x 0 f - + x - f - x x x 3-6 x + 13 x x = lim 4x +. x - 3 x 0 limitini (eğer varsa) bulmamız gerekiyor. = lim x - 6 x + 13 x 0 = = 13 bulunur. Örnek: y = 1 x (x 0) fonksiyonunun türevini bulalım Çözüm: y' = f(x) = 1 x, f(x + x) = 1 x + x lim x 0 1 x + x - 1 x x = lim x 0 olduğundan x - x - x x (x + x) = - lim 1 x x 0 x (x + x) = - 1 x (x + 0) = - 1 x elde edilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

234 30 TÜREV KAVRAMI Fonksiyonların süreklilik kavramını geçen ünitede tanımlamıştık. Süreklilik kavramı ile türev kavramı arasında aşağıdaki ilişki vardır: Eğer y = f(x) fonksiyonunun x = x 0 noktasında türevi varsa o zaman bu fonksiyon bu noktada süreklidir. Not: y = f(x) fonksiyonu verilsin. x değiştikçe buna bağlı olarak y de değişir. Farklı f(x) fonksiyonları için bu değişim farklıdır. İşte f '(x) türevi, y nin x e göre değişme hızını ifade eder. Gerçekten, fonksiyon artmasının bağımsız değişken artmasına oranı olan f(x + x) - f(x) oranı fonksiyonun [x, x+ x] veya x f(x + x) - f(x) [x+ x, x] aralığındaki ortalama değişme hızını, f' (x) = lim x 0 x limiti ise fonksiyonun x noktasındaki değişme hızını gösterir. Türevin bu anlamı uygulama açısından çok önemlidir. Örnek: y = x fonksiyonunun x = 3 noktasında değişme hızını bulalım. Çözüm: y' = f'(x) = x olduğundan x = 3 noktasında değişme hızı f'(3) =.3 = 6 olur. Örnek: y = 1 x fonksiyonunun x = - noktasında değişme hızını bulalım. Çözüm: y' = f ' (x) = - 1 x olduğundan f ' (-) = - 1 = - 1 (-) 4 olur Burada hızın negatif olması, fonksiyonun x = - noktası civarında azaldığına işaret eder. Şimdi türevi olmayan bir fonksiyon örneği verelim. Örnek: y = x fonksiyonunun x 0 = 0 noktasında türevinin olmadığını gösterelim. Çözüm: x 0 ise x = x, x < 0 ise x = -x olduğunu hatırlayalım. Buna göre, f(x 0 ) = x 0 = 0 = 0, f(x 0 + x) = 0 + x = x f( x 0 + x) - f( x 0 ) x lim = lim x 0 x x 0 x olur. Sonuncu limit yoktur, çünkü x x lim = lim = 1 x 0 + x x 0 + x lim x 0- x = lim x x 0- - x = -1 x ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

235 TÜREV KAVRAMI 31 olduğundan sağdan limit soldan limite eşit değildir. O zaman bu fonksiyonun x 0 = 0 da türevi yoktur. Şimdi bazı fonksiyonların türevlerini hesaplayalım. 1) y = c sabit fonksiyonunun türevi sıfırdır: y' = (c)' = 0. f(x) = c, f(x + x) = c olduğundan y' = dır. lim x 0 f(x + x) - f(x) x = lim c - c = lim 0 x 0 x x 0 x = lim 0 = 0 x 0 ) a gerçel sayı olmak üzere, y = x a fonksiyonunun türevi y' = a x a-1 dir. Bu formülü a nın doğal sayı olması durumda ispatlayacağız. (Genel durumda karmaşık limitler kullanılır). f(x) = x a, f(x + x) = (x + x) a dır.. ünitedeki Binom formülüne göre, f(x + x) = x a + ax a-1. x + a (a-1) yazabiliriz. Buradan x a- x x a f(x + x) - f(x) = x a + ax a-1. x + a (a-1) y' = x a ' = lim x 0 = a x a-1 x + a (a-1) x a- x x a - x a x a- x x a, a x a-1 a (a - 1). x + x a- x x a x = a x a-1 a (a - 1) lim + x 0 bulunur. x a- x x a-1 = ax a = ax a-1 Örnek : 1) y = x 5, ) y = 1, 3) y = x, 4) y = x3 fonksiyonlarının tü- x revlerini bulalım. 5 Çözüm: 1) y = x 5 fonksiyonu için a = 5 dir. Buna göre y' = (x 5 )' = 5x 5-1 = 5x 4 dür. ) 1 x = x-1 yazılabildiğinden bu örnekte a = - 1 dir. Buradan y' = 1 ' = (-1). x -1-1 = (-1) x - = -x - = - x 1 x olur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

236 3 TÜREV KAVRAMI 1 3) x = x olduğundan yukarıdaki formülde a = 1 olur. elde edilir. y' = x ' = 1. x 1-1 = 1 x - 1 = 1 x 5 4) x = x gibi yazılabildiğinden, bu örnekte a = 3 5 dir. 5 y' = x 3 ' = x 5-1 = 3-5 x 5 = x? bulunur. 3 f(x) = x g(x) = 1 3 x ise f ' (8) =? ise g' (8) =? h(x) = x x ise h ' (4) =? Cevaplarınız 1 3, ve 3 olmalıydı. 3) a > 0, a 1 gerçel sayı olmak üzere, y = f(x) = a x üstel fonksiyonunun türevi y' = a x ln a dır. f(x) = a x, f(x + x) = a x+ x olduğundan y' = lim x 0 a x + x - a x x = a x. lim a x - 1 x 0 x = lim a x. a x - a x = x 0 x lim x 0 a x a x - 1 x yazılabilir (limit x değişkenine göre hesaplandığından a x sabittir ve limitin önüne çıkarılabilir). Öte yandan lim a x - 1 x 0 x limitini bulmak için a x - 1 = 1 u diyelim. Buradan, x = log a u bulunur. Diğer taraftan x 0 için u olduğundan lim x 0 a x - 1 x = lim 1/u u log a u = lim 1 u log a u u = 1 log a e = ln a bulunur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

237 TÜREV KAVRAMI 33 Buna göre y' = (a x )' = a x. lna bulunur. Özel olarak, a = e alınırsa lne = 1 olduğundan (e x )' = e x olur: (a x )' = a x ln a, (e x )' = e x. fonksiyonlarının türevlerini bu- Örnek: lalım. 1) y = x ) y = 1 3 x, 3) y = 5 x Çözüm: 1) y' = x ln, ) y' = ) y' = 5 x ln 5 = 5 x ln 5 = x ln 1 3 = - 1 x ln 3, 3 5 x ln 5. Örnek: 1) y = 4 x ) y = e x fonksiyonlarının x = -1 noktasındaki türevlerini bulalım. Çözüm: 1) y' = 4 x ln 4 olduğundan ) y' = e x olduğundan f ' (-1) = 4-1 ln 4 = ln 4 4 f ' (-1) = e -1 = 1 e 0,368 0,347 olur 4) a > 0, a 1 gerçel sayı olmak üzere y = f(x) = log a x logaritmik fonksiyonunun türevi y' = 1 x lna = 1 x log ae dir. f(x + x) = log a (x + x) olduğundan 5. üniteden logaritmik fonksiyonun özelliklerini kullanırsak y' = lim x 0 log a (x + x) - log a x = x lim x 0 log a x + x x x = lim elde ederiz. x 0 1 x. log a x x 1 + x x = 1 x. lim x 0 log a 1 + x x x x lim x x x x x = e olduğunu ve logaritmik fonksiyonun sürekliliğini gözönüne alırsak y' = 1 x log a e = 1 x. ln a bulunur. Eğer a = e alınırsa ln e = 1 olduğundan (ln x)' = 1 çıkar. Böylece, x AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

238 34 TÜREV KAVRAMI dir. log a x ' = 1 x ln a, (ln x)' = 1 x Örnek: 1) y = log 5 x ve ) y = ln x fonksiyonlarının x = 3 noktasındaki türevlerini bulalım. Çözüm: 1) y' = log 5 x ' = 1 x ln 5 olduğundan, x yerine 3 yazarsak bulunur. f' (3) = 1 3 ln 5 0,07? ) (ln x) ' = 1 x ve x yerine 3 yazarsak f '(3) = 1 3 bulunur f(x) = log x ise f'(4) =? g(x) = lnx ise g'(1) =? k(x) = logx ise k'(10) =? Cevaplarınız 1 4 log e, 1 ve 1 10 ln10 = 1 10 log 10 e olmalıydı. 5) Trigonometrik fonksiyonların türevi. y = sin x fonksiyonunun türevini bulalım. f(x) = sin x, f(x + x) = sin (x + x) olduğundan f(x + x) - f(x) = sin (x + x) - sin x olur. 6. ünitedeki formüllerden dolayı sin (x + x) - sinx = sin x + x - x yazabiliriz. Buna göre. cos x + x + x y' = lim x 0 sin (x + x) - sinx x = lim x 0 sin x. cos (x + x ) x = lim x 0 sin x. cos (x + x ) x = lim x 0 sin x x. lim cos (x + x ) x 0 yazılabilir. y = cosx fonksiyonunun sürekliliğinden ve geçen ünitede ispatladığımız lim x 0 sinx x = 1 limitinden yararlanırsak ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

239 TÜREV KAVRAMI 35 sin x lim x 0 x yazabiliriz. Buradan = 1, lim cos (x + x ) = cos (x + 0) = cos x 0 y' = (sinx)' = cosx bulunur. Benzer yolla y = cosx fonksiyonu için bulabiliriz. y' = (cosx)' = -sinx Şimdi y = tanx fonksiyonunun türevini bulalım. y' = (tanx) ' = lim x 0 tan (x + x) - tanx x = lim x 0 sin (x + x) cos (x + x) - sinx cosx x = = lim x 0 lim x 0 sin (x + x). cosx - cos (x + x) sinx cos (x + x). cosx x sin (x + x). cosx - cos (x + x).sinx x. cos (x + x). cosx dir. 6. ünitedeki formüllerden dolayı sin(x + x). cosx - cos(x + x). sinx = sin (x + x - x) = sin( x) yazabiliriz. Buradan y' = lim x 0 sin ( x) = x. cos (x + x). cosx lim x 0 sin x x. lim 1 x 0 cos (x + x). cosx bulunur. Böylece olur. = 1. 1 cos (x + 0). cosx = 1 cos x = 1 + tan x y' = (tanx) ' = 1 cos x = 1 + tan x AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

240 36 TÜREV KAVRAMI Benzer yolla, y = cotx fonksiyonu için bulunur. y' = (cotx) ' = - 1 sin x = - (1 + cot x) (sinx) ' = cosx, (cosx) ' = - sinx, (tanx) ' = 1 cos x, (cotx)' = - 1 sin x. Türev Tablosu 1. y = c y ' = 0. y = x a y ' = ax a-1 y = x y ' = 1 y = 1 x y ' = - 1 x y = x y ' = 1 x 3. y = a x y ' = a x lna y = e x y ' = e x 4. y = log a x y ' = 1 x lna y = ln x y ' = 1 x 5. y = sinx y ' = cosx 6. y = cosx y ' = - sinx 7. y = tanx y ' = 1 cos x 8. y = cotx y ' = - 1 sin x 3. Türev Alma Kuralları Geçen bölümde bazı fonksiyonların türevlerini türev tanımından yararlanarak hesapladık. Şimdi bu bilgilerden yola çıkarak daha geniş bir sınıf fonksiyonların türevlerini hesaplamak için aşağıdaki kuralları (teoremleri) ispatsız vereceğiz (Bu ispatlar tanımdan yararlanarak kolayca yapılabilir). 1) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ise f(x) ± g(x) fonksiyonu da türevlenebilirdir ve [f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

241 TÜREV KAVRAMI 37 dir. Bu formül ikiden fazla fonksiyonlar için de geçerlidir: Eğer f 1 (x), f (x),..., f n (x) türevlenebilir fonksiyonlar ise o zaman [f 1 (x) ± f (x) ±... ± f n (x)]' = f'(x) ± f' (x) ±... ± f' n (x) dır. Örnek: (sinx + x 5 )' = (sinx)' + (x 5 )' = cosx + 5x 4, ( x 3 - x + 5)' = ( x 3 )' - (x )' + (5)' = 3x - x, (e x + lnx - x)' = (e x )' + (lnx)' - ( x) ' = e x + 1 x - 1 x. ) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ise f(x). g(x) çarpım fonksiyonu da türevlenebilirdir ve [f(x). g(x)]' = f'(x). g(x) + f(x). g'(x) dir. Eğer g(x) = c (sabit) alırsak g'(x) = 0 olduğundan [c f(x)]' = c f'(x) bulunur. Yani sabiti türev işareti dışına çıkarmak mümkündür. İkiden fazla fonksiyonun çarpımı için de benzer formül geçerlidir: Eğer f 1 (x), f (x), f 3 (x),..., f n (x) fonksiyonları türevlenebilir ise o zaman [f 1 (x). f (x). f 3 (x)..... f n (x)]' = [f 1 '(x). f (x). f 3 (x)..... f n (x)] + [f 1 (x). f '(x). f 3 (x)..... f n (x) ] + [f 1 (x). f (x). f 3 '(x)..... f n (x)] [f 1 (x). f (x). f 3 (x)..... f n '(x)] dir. Örnek: (5 x cosx)' = 5 (x cosx)' = 5 [(x )' cosx + x (cosx)'] = 5 (x cosx - x sinx), (x e x ln x)' = (x)' e x ln x + x. (e x )'. lnx + x e x. (ln x)' = 1. e x ln x + x. e x ln x + x e x. 1 x = e x ln x + x e x ln x + e x. 3) f(x) ve g(x) fonksiyonları türevlenebilir ve g(x) 0 ise o zaman fonksiyonu da türevlenebilirdir ve f x g x dır. fx gx ' = f ' x. g x - f x. g' x g x AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

242 38 TÜREV KAVRAMI Örnek: x + 3 x + 1 ' = x + 3 ' x x + 3. x + 1 ' =. x x x + 1 x + 1 = x + - x -3 = - 1, x + 1 x + 1 sin x x ' = sin x '. x - sin x. x ' x = x. cos x - 1. sin x= x cos x - sin x. x x 4) Bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı) Eğer y = f(u) fonksiyonu u değişkenine göre türevlenebilir ve u= g(x) fonksiyonu ise x değişkenine göre türevlenebilir ise o zaman y= f[g(x)] bileşke fonksiyonu x değişkenine göre türevlenebilir fonksiyondur ve dir. [f(g(x)]' = f'(g(x)). g'(x) Zincir kuralı türev alma işleminde önemli araçlardan biridir. Örnek: 1) x + 1 ' = 1 x + 1. x + 1 ' = 1 x + 1, y = f (u) = u, u = x + 1 ) x - 4x + 3 ' = 3 x - 4x +. x - 4x + ' = 3 x - 4x +. x - 4 = 6x - 1 x - 4x +, y = f(u) = u 3, u = x - 4x + 3) sin x ' = cos x. x ' = cos x, y = f(u) = sinu, u = x 4) tan 1 + x ' = 1 cos 1 + x 1 + x ' = x cos 1 + x, y = f(u) = tanu, u =1 + x ' 3 5) x - x ' = x 3 - x = 3 x x. x - x ' = x 3 x x x - 1 = 3 3 x - x 3, y = f(u) = u, u = x - x 6) ln 1 + x ' = x. 1 + ' x = x, y = f(u) = lnu, u = 1+ x 1 + x ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

243 TÜREV KAVRAMI 39 Zincir kuralında türevin diğer sembolünü kullanırsak, dy dx = dy du. du dx yazabiliriz. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. 1) y = 1 + sinx 1 - sinx ) y = cosπx? 3) y = ln (tanx) 4) y = e sinx 5) y = lnx 6) y = x + 1 x - 3 7) y = e 1/x 8) y = e - x 9) y = sinx e cosx 10) y = lnx x Cevaplarınız aşağıdaki şekilde olmalıydı. 1) y' = cosx, ) y' = - π sin πx (1 - sinx) cosπx 4) y' = cosx e sinx, 5) y' = 1 x lnx, 3) y' = 1 + tan x tanx, 6) y' = -7 (x - 3),, 7) y' = - 1 x e1/x, 8) y' = - x e - x, 9) y' = (cosx - sin x) e cosx, 10) y' = - lnx x x Türevlenebilir y = f(x) fonksiyonu verilsin. f'(x) türevi ile dx in çarpımına f(x) in diferansiyeli denir ve dy ile gösterilir: dy = f'(x) dx. u= u(x) ve v= v(x) türevlenebilir fonksiyonları verilsin. O zaman d(u ± v) = du ± dv, d(u.v) = udv + vdu, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

244 40 TÜREV KAVRAMI d u v = v du - u dv v formülleri doğrudur. Örnek: 1) y = cos x için dy = (cos x)' dx = - sin x dx ) y = 5x 3 + x - 8 için dy= (5x 3 + x - 8)' dx = (15x + 1) dx 3) y = x. tanx için dy = (x. tanx)' dx = tanx + x cos x dx Diferansiyel kavramı yaklaşık hesaplarda oldukça faydalı bir araçtır. 4. Teğet Denklemi Şekil 9. Yukarıda, türevlenebilir y = f(x) fonksiyonunun grafik eğrisi üzerindeki herhangi bir (x 0, f(x 0 )) noktasındaki teğetinin eğiminin f'(x 0 ) olduğunu bulmuştuk. Analitik geometriden bildiğimize göre, bir (x 0, y 0 ) noktasından geçip, eğimi m olan doğrunun denklemi y - y 0 = m (x - x 0 ) dir. Burada y 0 yerine f(x 0 ), m yerine ise f'(x 0 ) yazarsak y = f(x) fonksiyonunun (x 0, f(x 0 )) noktasındaki teğet denklemini aşağıdaki gibi bulmuş oluruz: y - f(x 0 ) = f '(x 0 ) (x - x 0 ). ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

245 TÜREV KAVRAMI 41 Örnek: y = x - 5x + 6 parabolünün (-1, 13) noktasındaki teğet denklemini bulalım. Çözüm: x 0 = -1, f'(x) = (x - 5x + 6)' = 4x - 5 olduğundan f '(-1) = 4 (-1) - 5 = -9 dur. Buna göre, teğet denklemi y - 13 = -9 (x+1) veya y + 9x - 4 = 0 olarak bulunur. noktasındaki teğet denk- Örnek: y = cosx fonksiyonun grafiğinin lemini bulalım. π 4, Çözüm: x 0 = π 4 olarak bulunur., f x 0 = cos π 4 =, f' (x) = cos x' = - sin x olduğundan f ' π 4 = - sin π 4 = -. Buradan, teğet denklemi y - = - veya y + x π = 0, 8y +4 x π = 0 x - π 4 1) f(x) = e x eğrisinin x = 0 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. ) g(x) = lnx eğrisinin x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz.? Cevaplarınız 1) y = x + 1 ) y = x - 1 olmalıydı. 5. Yüksek Mertebeden Türevler f: A IR, y = f(x) fonksiyonunun her bir x A için türevi varsa bu f '(x) türevi x in yeni bir fonksiyonudur. Eğer f '(x) türev fonksiyonunun her bir x için (f '(x))' türevi varsa, f(x) fonksiyonuna II. mertebeden türevlenebilir fonksiyon, (f'(x))' türevine ise f(x) in II. mertebeden türevi denir ve y", f" (x), d y dx, d f(x) dx gibi sembollerle gösterilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

246 4 TÜREV KAVRAMI Örnek: 1) y = 3x 4-4x + 5 için y' = 1x 3-8x, y'' = (1x 3-8x)' = 36x - 8 ) y = ln x için y' = 1 x, y" = 1 ' x = - 1 x 3) y = sin3x için y' = 3 cos3x, y'' = (3 cos3x)' = -3 sin3x. (3x)' = -9 sin3x. f : A IR fonksiyonu, her x A için ikinci mertebeden türevi olan bir fonksiyon olsun. Bu durumda f'' : A IR fonksiyonundan söz etmek mümkündür. Eğer f'' fonksiyonunun her bir x A noktasında türevi varsa, bu türeve f nin üçüncü mertebeden türevi denir ve y"', f"' (x), d3 y dx 3, d 3 f(x) dx 3 gibi sembollerle gösterilir. f''' fonksiyonuna f nin üçüncü mertebeden türev fonksiyonu denir. Bu şekilde devam ederek, f (n-1) : A IR, (n IN) fonksiyonunun eğer varsa, türev fonksiyonuna f nin n. mertebeden türev fonksiyonu denir ve y (n), f (n) (x), d n y dx n, d n f(x) dx n gibi sembollerle gösterilir. Örnek: y = f(x) = x 4-5x 3 + x - 4 polinom fonksiyonu verilsin. Bu durumda f '(x) = 4x 3-15x + 4x f''(x) = 1x - 30x + 4 f'''(x) = 4x - 30 f (v)) (x) = 4 f (v) (x) = 0 f (n) (x) = 0, n 5 dir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

247 TÜREV KAVRAMI 43 Örnek: f (x) = lnx ise f' (x) = 1 x, f" (x) = - 1 x, f'''(x) = x 3 dir. f (ıv) (x) = - 6 x 4,..., f (n) (x) = (-1) n-1 (n-1)! x n 1) f(x) = x ise f (v) (4) =? ) g(x) = sin 3 x g"' π =? 3) h(x) = lnx x h"(1) =?? Cevaplarınız, 1) ) 0 3) -3 olmalıydı. 14 Değerlendirme Soruları 1. f(x) f (x) = = (x 3x + - 1) 15 ise ise f '(1) f' (0) =? =? A. 15 x + B. 43 A. 7 C. 405 D. 810 B. E C. 3 D. 1 E f(x) = x lnx ise f '(e) =? A. e B. e C. e + 1 D. E. 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

248 44 TÜREV KAVRAMI 4. f (x) = x e -x ise f ' (0) =? A. -1 e B. - e C. 1 D. e E. e 5. f (x) = e x ise f ' (4) =? A. e B. 1 e C. 1 4 e D. 1 e E. 1 4 e 6. f(x) = tan 3x f '(π) =? A. 0 B. 1 C. D. 3 E f (x) = sin 3x ise f ' π =? A. 0 B. 1 C. D. 6 E. 1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

249 TÜREV KAVRAMI f (x) = 3 4x - 7x ise f ' () =? A B C D E f(x) = x ise f '(0) =? A. ln B. ln C. 4ln D. 4 E f(x) = x (1-3x) 5 fonksiyonunun x = 1 noktasında değişme hızı aşağıdakilerden hangisidir? A. -7 B. -11 C. -3 D. -16 E f (x) = lnx fonksiyonunun x = e noktasında değişim hızı aşağıdakilerden x x hangisidir? A. -1 e e B. e - 3 e e C. 3e D. 3 e E. - 3e e e AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

250 46 TÜREV KAVRAMI 1. f(x) = x 3 - x + 1 fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A. y = x B. y = -x C. y = x - 1 D. y = x + 1 E. y = -x f(x) = sinx - cosx fonksiyonu x = π apsisli noktasındaki teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? A. - B. -1 C. 0 D. 1 E. 14. f (x) = 1 3 x A B C D E ise f' (8) =? 15. f(x) = e lnx, (x > 0) ise f'(x) =? A. B. x C. lnx D. e lnx E. x ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

251 TÜREV KAVRAMI f (x) = x x + 1 A. 1 x B. x C. - x D. - 1 x E. -3 x ise f''(x) =? 17. f(x) = x lnx ise df(x) =? A. lnx dx B. x dx C. (1 + lnx) dx D. (x + lnx) dx E. (1 + x lnx) dx 18. f (x) = x ise f''' (x) =? A. 3 4 x B. 3 8x x C. 3 8x 3 x D. x x E. 3 8x x 19. f(x) = sinx ise f (v) (x) =? A. cosx B. -cosx C. sinx D. -sinx E. sinx AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

252 48 TÜREV KAVRAMI 0. f(x) = e sinx ise f"(x) =? A. e sinx B. e cosx C. cosx e sinx D. sinxe sinx E. (cos x - sinx) e sinx Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D. B 3. D 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B 9. B 10. A 11. A 1. C 13. B 14. B 15. B 16. C 17. C 18. E 19. A 0. E ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

253 Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm noktalarını araştırabilecek, fonksiyonun grafiğinin çiziminde türev kavramının nasıl kullanabileceğini öğrenecek, ekstremum problemlerinin çözümüne dair örneklerle tanışacaksınız. İçindekiler Giriş 51 Fonksiyonun Artan, Azalan Olduğu Aralıklar ve Ekstremum Noktaları 51 Konvekslik, Konkavlık ve Grafik Çizimi 59 Ekstremum Problemleri 73 Değerlendirme Soruları 76

254 Çalışma Önerileri Ünitedeki testleri ve grafik çizimi için gereken işlemleri iyi öğreniniz Türevlerin işaret tablolarından yararlanmayı alışkanlık haline getiriniz Çözülmüş örnekleri iyi inceleyiniz Çeşitli fonksiyon örnekleri alıp, türev yardımı ile gerekli özellikleri araştırınız ve grafiklerini çizmeye çalışınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

255 TÜREV UYGULAMALARI Giriş Basit geometri ve fizik problemlerinde türev kavramının nasıl ortaya çıktığını geçen ünitenin başında gördük. Biz bu ünitede matematiğin önemli bir kavramı olan türev kavramının, fonksiyonun artan, azalan olduğu aralıkların belirlenmesinde, ekstremum noktalarının bulunmasında, konkav ve konveks olduğu aralıkların araştırılmasında, kısaca fonksiyon davranışının incelenmesinde ne kadar önemli bir araç olduğunu göreceğiz.. Fonksiyonun Artan, Azalan Olduğu Aralıklar ve Ekstremum Noktaları A, sonlu veya sonsuz bir aralık olmak üzere f: A IR fonksiyonu verilsin. Ünite 5 de, eğer her x 1, x A, x 1 < x için f(x 1 ) f(x ) ise f(x) fonksiyonuna A üzerinde monoton artan fonksiyon, f(x 1 ) < f(x ) ise kesin artan fonksiyon demiştik. Benzer şekilde, eğer her x 1, x A, x 1 < x için f(x 1 ) f(x ) ise f(x) fonksiyonuna A üzerinde monoton azalan fonksiyon, f(x 1 ) > f(x ) ise kesin azalan fonksiyon demiştik. Şekil 10.1 Grafiği şekil 10.1 deki gibi verilmiş y = f(x) fonksiyonu (a,b) ve (c,d) aralıklarında kesin artan, (b, c) aralığında ise kesin azalandır. Şekilden de görüldüğü gibi eğer y = f(x) fonksiyonu A aralığında kesin artan ise o zaman her bir x A için (x, f(x)) noktasındaki teğet doğrusu apsis ekseni ile dar açı oluşturur. Fonksiyonun kesin azalan olduğu aralıkta ise teğet doğrusu apsis ekseni ile geniş açı oluşturur. Buna göre, türevlenebilir y = f(x) fonksiyonu verildiğinde: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

256 5 TÜREV UYGULAMALARI Eğer bir aralığın tüm x noktalarında f '(x) 0 ise fonksiyon bu aralıkta monoton artan, eğer f '(x) > 0 ise kesin artan fonksiyondur. Eğer bir aralığın tüm x noktalarında f'(x) 0 ise fonksiyon bu aralıkta monoton azalan, eğer f'(x) < 0 ise kesin azalan fonksiyondur. Bu sonuçlara göre, türevlenebilir y= f(x) fonksiyonunun kesin artan olduğu aralıkları bulmak için fonksiyonun f '(x) türevini bulup f'(x) > 0 eşitsizliğinin, kesin azalan olduğu aralıkları bulmak için ise f '(x) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümelerinin bulunması gerekmektedir. Örnek: 1) y= x ) y= x - x 3) y= x 3-3x + 3 4) y= x 3-3x - 1x + 1 fonksiyonlarının kesin artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım. Çözüm: 1) f(x)= x, f '(x) = (x )' = x olduğundan f '(x) türev fonksiyonunun işaret tablosu aşağıdaki gibidir (. üniteye bakınız): x f'(x) = x Buna göre, y = x fonksiyonu (0, ) aralığında kesin artan, (-, 0) aralığında ise kesin azalandır. ) f(x)= x - x, f'(x) = (x - x)' = x - olduğundan türev fonksiyonunun işaret tablosu aşağıdaki gibidir: x f'(x) = x ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

257 TÜREV UYGULAMALARI 53 Buna göre, y = x - x fonksiyonu (1, ) aralığında kesin artan, (-, 1) aralığında ise kesin azalandır. 3) f(x) = x 3-3x + 3, f ' (x) = (x 3-3x + 3)' = 3x - 3; 3x - 3 > 0 x - 1 > 0. Son eşitsizliğin çözüm kümesi (-, - 1) (1, ) dur (Ünite ye bakınız). 3x - 3 < 0 x - 1 < 0, bu eşitsizliğin çözüm kümesi ise (- 1, 1) aralığıdır. x f'(x) = 3x Fonksiyon, (-, - 1) ve (1, ) aralıklarında kesin artan, (- 1, 1) aralığında ise kesin azalandır. 4) f(x) = x 3-3x - 1x + 1, f ' (x) = (x 3-3x - 1x + 1)' = 6x - 6x - 1 ; 6x - 6x - 1 = 0 x 1 = - 1, x =. İşaret tablosu aşağıdaki gibidir: x f'(x) = 6x - 6x Fonksiyon (-, - 1) ve (, ) aralıklarında kesin artan, (- 1, ) aralığında ise kesin azalandır. Grafiği aşağıdaki gibi olan bir y = f(x) fonksiyonu verilmiş olsun. Şekil 10. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

258 54 TÜREV UYGULAMALARI Fonksiyonun azalanlıktan artanlığa ve artanlıktan azalanlığa geçtiği B ve C noktalarını ele alalım. Bu noktaların apsisleri b ve c dir. Şekil 10. de görüldüğü gibi: 1) Eğer x değişkeni b nin "küçük" bir komşuluğunda ise f(x) fonksiyon değeri f(b) değerinden küçük değildir. ) Eğer x değişkeni c nin "küçük" bir komşuluğunda ise f(x) fonksiyon değeri f(c) değerinden büyük değildir. 3) b noktasının solunda y = f(x) fonksiyonu kesin azalan (f '(x) < 0), sağında ise kesin artandır (f '(x) > 0). 4) c noktasının solunda y = f(x) fonksiyonu kesin artan (f'(x) > 0), sağında ise kesin azalandır (f '(x) < 0). 5) B ve C noktalarındaki teğetler apsis eksenine paraleldir ve buna göre f '(b) = f '(c) = 0 dır. İşte x = b gibi noktalara yerel minimum, x = c gibi noktalara ise yerel maksimum noktaları denir. f : A IR fonksiyonu ve x 0 A noktası verilsin. Eğer öyle bir ε > 0 varsa ki (x 0 - ε, x 0 + ε) A olmak üzere, her bir x (x 0 - ε, x 0 + ε) için f(x) f(x 0 ) ise, x= x 0 noktasına y = f(x) fonksiyonunun (A kümesinde) yerel maksimum noktası denir. Eğer bu tanımda f(x) f(x 0 ) eşitsizliğini f(x) f(x 0 ) eşitsizliği ile değiştirsek x =x 0 noktasına y = f(x) fonksiyonunun (A kümesinde) yerel minimum noktası denir. Yerel maksimum ve yerel minimum noktalarına fonksiyonun ekstremum noktaları denir. Fonksiyonun ekstremum noktasındaki değerine onun ekstremum değeri denir. f: A IR fonksiyonu verilsin. Eğer bir x 0 A noktası fonksiyonun ekstremum noktası ise ve bu noktada türev varsa o zaman f'(x 0 )= 0 dır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

259 TÜREV UYGULAMALARI 55 Bu nedenle türevin sıfır olduğu noktalar ekstremum noktası olmaya aday noktalardır. Bir noktanın ekstremum noktası olup olmadığına karar vermek için aşağıdaki işlemler yapılır. Birinci Türev Testi A aralığı üzerinde tanımlı bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun ekstremumlarını bulmak için aşağıdaki işlemler yapılmalıdır. 1) Fonksiyonun f '(x) türevi alınır ve f ' (x) = 0 denkleminin tüm kökleri bulunur. Sonra (eğer varsa) tanım kümesinden olan ve fonksiyonun sürekli olduğu, fakat f'(x) türevinin mevcut olmadığı x noktaları da belirlenir. Bu tür noktalara ve f'(x) = 0 denkleminin köklerinin hepsine kritik noktalar denir. Kritik noktalar büyüklük sırasına göre x 1, x, x 3,... olsun. ) Türevin işaret tablosu oluşturulur. Bunun için f'(x) türevinin ifadesinde x yerine x 1 den küçük herhangi değer, sonra ise x 1 ile x arasından herhangi değer yazılarak türevin işaretleri belirlenir. Eğer türevin işareti "+" dan "- " ye değişirse x 1 noktası yerel maksimum, "-" den "+" ya değişirse x 1 noktası yerel minimum noktasıdır. Eğer türevin işareti değişmezse x 1 noktasında ekstremum yoktur. 3) Sonra f'(x) türevinin ifadesinde x yerine x ile x 3 arasından herhangi bir değer yazarak (x, x 3 ) aralığında türevin işareti belirlenir ve x noktasının ekstremum noktası olup olmadığına karar verilir. 4) Tüm kritik noktalar için bu işlem tekrarlanır. Örnek: 1) y = x - x + ) y = x 3-3x - 1x + 1 3) y = x 3-1 4) 3 y = x - 1 fonksiyonlarının ekstremum noktalarını bulalım. Çözüm: 1) f '(x) = (x - x +)' = x - ; f '(x) = 0 x - = 0 x= 1. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

260 56 TÜREV UYGULAMALARI Tek kritik nokta x= 1 dir ve (-, 1) de fonksiyon azalan, (1, ) da ise artandır. Bunu tabloda ifade etmek için " " ve " " işaretleri kullanılarak tabloya yeni satır eklenir: x f'(x) f(x) 1 x = 1 kritik noktasında fonksiyon azalanlıktan artanlığa geçtiğinden x = 1 yerel minimum noktası, f(1) = = 1 ise yerel minimum değeridir. ) f '(x) = (x 3-3x - 1x + 1)' = 6x - 6x - 1; f '(x) = 0 6x - 6x - 1 = 0 x 1 = - 1, x =. Kritik noktalar iki tanedir: x 1 = - 1, x =. Tablo aşağıdaki gibidir: x f'(x) f(x) 8-19 x = - 1 noktasında f(x) artanlıktan azalanlığa geçtiğinden x = - 1 noktası yerel maksimum noktasıdır; x = de ise f(x) azalanlıktan artanlığa geçtiğinden x = noktası yerel minimum noktasıdır. f(- 1) = (- 1) 3-3 (- 1) - 1 (- 1) + 1 = 8 f() = = - 19 yerel maksimum değer, yerel minimum değeridir. 3) f '(x) = (x 3-1)' = 3x ; f '(x) = 0 3x = 0 x = 0. x = 0 kritik nokta olduğundan tablo aşağıdaki gibidir: x f'(x) f(x) - 1 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

261 TÜREV UYGULAMALARI 57 x = 0 noktasının solunda ve sağında fonksiyon artan olduğundan x = 0 ekstremum noktası değildir. Buna göre fonksiyonun ekstremumu yoktur. 4) f ' 3 x = x - 1 ' = x 3-1 ' = 1 3 x- 3 = 3 3 x ; f '(x) = 0 denkleminin kökü yoktur, x = 0 noktası tanım kümesinde olmasına karşılık f '(0) türevi mevcut değildir. Buna göre, x = 0 tek kritik noktadır. Tablo aşağıdaki gibidir. x f'x) yoktur + f(x) - 1 x = 0 yerel minimumdur, f(0) = - 1 ise yerel minimum değeridir. Eğer bir aralık tanım kümesine dahilse ve kritik nokta içermiyorsa bu aralıkta türevin işaretini belirlemek için bu aralıktan herhangi bir değer alınarak türevin işareti belirlenebilir. Eğer y = f(x) fonksiyonu II. mertebeden türevlenebilir ise o zaman ekstremum noktalarının belirlenmesi için ikinci türev testi uygulanabilir. İkinci Türev Testi 1) Önce f'(x) = 0 denkleminin kökleri olan tüm kritik noktalar belirlenir. ) Fonksiyonun f "(x) II. mertebeden türevi bulunur. Eğer x 0 kritik noktası için f "(x 0 ) < 0 ise x 0 noktası yerel maksimum noktasıdır. Eğer x 0 kritik noktası için f"(x 0 ) > 0 ise x 0 noktası yerel minimum noktasıdır Örnek: 1) y = x - 6x + 8 ) y = x 4-18x + 4 3) y = x - lnx fonksiyonlarının ekstremum noktalarını bulalım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

262 58 TÜREV UYGULAMALARI Çözüm: 1) f '(x) = (x - 6x + 8) ' = x - 6 ; f '(x) = 0 x - 6 = 0 x = 3 kritik noktadır. f "(x) = (f '(x)) ' = (x - 6) ' =, f "(3) = > 0 olduğundan ikinci türev testine göre, x = 3 noktası yerel minimum noktası, f(3) = = -1 ise yerel minimum değeridir. ) f '(x) = (x 4-18x + 4) ' = 4x 3-36x ; f '(x) = 0 4x 3-36x = 0 4x (x - 3) (x + 3) = 0 x 1 = -3, x = 0, x 3 = 3 kritik noktalardır. f "(x) = (f '(x)) ' = (4x 3-36x) ' = 1x - 36, f "(-3) = 1(- 3) - 36 = = 7 > 0, f "(0) = = - 36 < 0, f "(3) = = 7 > 0 olduğundan ikinci türev testine göre, x = 0 yerel maksimum, x = -3 ve x = 3 ise yerel minimum noktalarıdır. f(0) = 4 yerel maksimum, f(-3) = -77, f(3) = -77 ise yerel minimum değerleridir. 3) Fonksiyonun tanım kümesi x > 0 değerleridir. f' (x) = (x - lnx)' = x - x = (x - 1) x ; f' (x) = 0 (x - 1) x = 0 (x - 1) = 0 x 1 = -1, x = 1. x = -1 noktası tanım kümesi dışında olduğundan tek kritik nokta x = 1 dir. f" (x) = (x - 1) x ' = + x, f" (1) = + 1 = 4 > 0 olduğundan x = 1 noktası yerel minimum noktası, f(1) = 1 - ln1 = 1 ise yerel minimum değeridir. Not: İkinci türev testi birinci türev testine göre daha kullanışlı gözükebilir. Fakat birinci türev testi ikinci türev testine göre daha geniş sınıf problemlere uygulanabilir. Örneğin, eğer f(x) fonksiyonu II. mertebeden türevlendirilebilir değilse veya fonksiyon II. mertebeden türevlenebilir, ancak x 0 kritik noktası için f "(x 0 ) = 0 ise ikinci türev testi uygulanamaz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

263 TÜREV UYGULAMALARI 59 Örneğin, f(x) = (x - 1) 4 fonksiyonunun tek kritik noktası x = 1 dir. Bu noktada f "(x) türevi de sıfır olduğundan ikinci türev testi uygulanamaz. Buna karşılık, birinci türev testi ile bu noktanın bir yerel minimum noktası olduğu kolayca görülebilir. 3. Konvekslik, Konkavlık ve Grafik Çizimi y = f(x) fonksiyonunun Şekil 10.3 te verilen grafiğini ele alalım. Grafiğin, apsisi x 0 olan B noktasına kadar olan kısmında herhangi bir kiriş, grafik parçasının altında, B noktasından sonraki kısmında ise üstte kalır. Bu durumda grafiğin B ye kadar kısmı konkav, B den sonraki kısmı konveks, B noktası ise büküm noktası olur. Şekil 10.3 y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer bir aralıkta y = f(x) in grafiğinin her kirişi ilgili grafik parçasının üstünde kalıyorsa fonksiyona bu aralıkta konveks fonksiyon (veya yukarı bükey fonksiyon), altında kalıyorsa konkav fonksiyon (veya aşağı bükey fonksiyon) denir. Fonksiyonun konvekslikten konkavlığa veya konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktaya fonksiyonun büküm noktası denir. Konvekslik, Konkavlık ve Büküm Noktası Testi y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer bir (a, b) aralığında f"(x) > 0 ise f fonksiyonu bu aralıkta konvekstir, eğer (a, b) aralığında f"(x) < 0 ise f fonksiyonu bu aralıkta konkavdır. Buna göre, fonksiyonun konveks ve konkav olduğu aralık veya aralıklarla büküm noktalarını bulmak için şu işlemler yapılır: 1) f(x) fonksiyonunun f "(x) ikinci türevi bulunur. ) f "(x) > 0 eşitsizliği çözülerek f fonksiyonunun konveks olduğu aralıklar; f "(x) < 0 eşitsizliği çözülerek de konkav olduğu aralıklar bulunur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

264 60 TÜREV UYGULAMALARI 3) Eğer x 0 noktasında f"(x 0 ) = 0 ise ve x 0 noktasının solunda ve sağında f "(x) ikinci türevi zıt işaretli değerler alıyorsa o zaman x 0 noktası büküm noktasıdır. Eğer bir x 1 noktasında fonksiyon sürekli ve bu noktada f '(x 1 ) ve f "(x 1 ) türevlerinden en az biri yoksa ve bu noktanın solunda ve sağında f "(x) ikinci türevi zıt işaretli değerler alıyorsa, o zaman x 1 noktası yine büküm noktasıdır. Örnek: 1) y = x ) y = x 3 3) y = x 4 4) y = x 4 - x 3-1x + 1 fonksiyonlarının konvekslik, konkavlık aralıklarını ve büküm noktalarını bulalım. Çözüm: 1) f(x) =x, f ' (x) = x, f '' (x) = dir. Tüm x IR için f'' (x) > 0 olduğundan fonksiyon her yerde konvekstir ve büküm noktası yoktur. ) f(x) = x 3, f'(x) = 3x, f ''(x) = 6x ; f ''(x) = 0 6x = 0 x = 0. f'' ikinci türevi için işaret tablosu aşağıdaki gibidir: x f'' (x) Buna göre (-, 0) aralığında fonksiyon konkav, ( 0, ) da konvekstir. x = 0 noktasında f'' (0) = 0, x = 0 ın solunda f ''(x) < 0, sağında f''(x) > 0 olduğundan x = 0 büküm noktası 3) f (x) = x 4, f ' (x) = 4x 3, f'' (x) = 1x 0 olduğundan fonksiyon her yerde konvekstir ve büküm noktası yoktur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

265 TÜREV UYGULAMALARI 61 4) f(x) = x 4 - x 3-1x + 1, f '(x) = 4x 3-6x - 4x, f ''(x) = 1x - 1x - 4 ; f''(x) = 0 1x - 1x - 4 = 0 x 1 = -1, x =. Buna göre f'' nün işaret tablosu aşağıdaki gibidir: x - -1 f'' (x) Tabloya göre, (-, -1) ve (, ) aralıklarında fonksiyon konveks, (-1, ) aralığında ise konkavdır. x = -1 ve x = noktalarında f ''(x) türevi işaret değiştirdiğinden x = -1 ve x = noktaları büküm noktalarıdır. y = x 4-4 x + x + 1 fonksiyonunun konvekslik, konkavlık aralıklarını ve büküm noktalarını bulunuz.? Cevabınız şöyle olmalıdır: (-, -) ve (, ) aralıklarında fonksiyon konveks, (-, ) aralığında konkav, x = - ve x = noktaları büküm noktalarıdır. Örnek: 3 1) y = x fonksiyonlarının konvekslik, konkavlık aralıklarını ve büküm noktalarını bulalım. Çözüm: ) y = x ) f (x) = x + 1, f ' 3 (x) = x = 1 3 x- 3 = x + 1 ' = x ' ; f " x = 1 3 x - ' 3 = x- 3 = x 5 f ''(x) = 0 denkleminin kökü yoktur, fakat x = 0 noktası tanım kümesindedir ve bu noktada f' (0) ve f''(0) türevleri mevcut değildir. f '' nün işaret tablosu aşağıdaki gibidir: ; x f'' (x) yoktur - Yukarıdaki teste göre fonksiyon (-, 0) da konveks (0, ) da konkavdır, x = 0 noktası büküm noktasıdır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

266 6 TÜREV UYGULAMALARI ) 3 fx = x- 1 5 = x , f ' (x) = 5 3 x ; f " x = x = x - 1 ; f ''(x) = 0 denkleminin kökü yoktur. x = 1 noktası tanım kümesindedir ancak bu noktada f ''(1) türevi mevcut değildir. x f'' (x) yoktur +? Fonksiyon (-, 1) da konkav, (1, ) da konvekstir, x = 1 büküm noktasıdır. 1) f: 0, IR, f x = lnx ) f: - π, π IR, f x = sinx 3) f: IR IR, f x = e x fonksiyonlarının konveks, konkav olduğu aralıkları ve büküm noktalarını araştırınız. Cevaplarınız şu şekilde olmalıydı. 1) Tüm tanım kümesinde konkavdır ve büküm noktası yoktur, ) - π, 0 aralığında konveks, 0, π de konkav, x = 0 büküm noktasıdır, 3) IR üzerinde konvekstir, büküm noktası yoktur. Fonksiyonların monotonluk, ekstremum, konvekslik ve konkavlığı gibi özellikleri onun grafiğinin çiziminde önemli rol oynarlar. Grafik çizimi için gereken işlemler aşağıdaki gibi verilebilir. Grafik Çizimi 1) Fonksiyonun tanım kümesi açık olarak verilmemişse önce tanım kümesi bulunur. ) Tanım kümesini oluşturan aralıkların uçlarında fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri bulunur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

267 TÜREV UYGULAMALARI 63 3) Fonksiyonun türevi bulunur, kritik noktalar belirlenir ve türevin işaret tablosu oluşturulur. 4) İşaret tablosuna göre fonksiyonun artan, azalan olduğu aralıklar ve ekstremum noktaları belirlenir. 5) İkinci türev bulunur ve ikinci türevin işaret tablosu oluşturulur. 6) İkinci türevin işaret tablosuna göre fonksiyonun konveks ve konkav olduğu aralıklar ve büküm noktaları bulunur. 7) x = 0 için fonksiyon değeri hesaplanarak y - ekseni ile kesişim noktası bulunur. Sonra, eğer mümkünse, f(x) = 0 denklemi çözülerek x - ekseni ile kesişim noktaları bulunur. Bu işlemleri yaptıktan sonra fonksiyonun grafiğinin çizimi oldukça kolaylaşır. Not: ). şıktaki işlemler yapılırken fonksiyon grafiğinin (eğer varsa) asimptotları da bulunmuş olur. Öyle ki: Eğer x a - veya x a + iken f(x) in limiti sonsuz ise (ister artı sonsuz, isterse de eksi sonsuz) o zaman x = a doğrusu bir (düşey) asimptottur. Eğer x - veya x iken f(x) b ise o zaman y = b doğrusu bir (yatay) asimptottur. Örnek: 1) y = x 3-3x - ) y = ax + bx + c, a > 0, b - 4 ac < 0 fonksiyonlarının grafiklerini çizelim. Çözüm: 1) f(x) = x 3-3x - fonksiyonu polinom fonksiyon olduğundan tanım kümesi IR = (-, ) dur. lim (x 3-3x - ) = - ve lim (x 3-3x - ) = dur. Yatay ve düşey asimptot x - yoktur. x f '(x) = 3x - 3, 3x - 3 = 0 x = -1, x = 1 türevin kökleridir. Türevin işaretini inceleyerek fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyelim. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

268 64 TÜREV UYGULAMALARI x f'(x) f(x) Tabloya göre fonksiyon (-, -1), (1, ) aralıklarında kesin artan, (-1, 1) aralığında kesin azalandır. x = -1 noktası yerel maksimum, f(-1) = (-1) 3-3(-1) - = 0 yerel maksimum değeridir. x = 1 yerel minimum noktası, f(1) = = - 4 yerel minimum değeridir. f ''(x) = 6x, 6x = 0 x = 0 ikinci türevin köküdür. İkinci türevin işaretini inceleyerek fonksiyonun konveks ve konkav olduğu aralıkları belirleyelim. x - 0 f''(x) f(x) konkav - konveks Tabloya göre, fonksiyon (-, 0) aralığında konkav, (0, ) aralığında konvekstir. x = 0 büküm noktasıdır. x = 0 için f(0) = - dir. y = 0 için x 3-3x - = 0 x =, x = -1 ; Fonksiyon x-eksenini x = - 1 ve x = de kesmektedir. (x = -1 in iki kat kök olduğuna dikkat ediniz). Bütün bu bilgileri tek bir tabloda berliştirip bu tabloya göre grafiği çizelim. x f'(x) f"(x) f(x) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

269 TÜREV UYGULAMALARI 65 Şekil 10.4 ) y = f(x) = ax + bx + c, a > 0, b - 4ac < 0 fonksiyonu da polinom fonksiyon olduğundan tanım kümesi IR = (-, ) dir. a > 0 olduğundan lim x - (ax + bx + c) =, lim x dur. Yatay ve düşey asimptot yoktur. (ax + bx + c) = f' (x) = ax + b, ax + b = 0 x =- b a türevin köküdür. Türevin işaret tablosu aşağıdaki gibidir. - b x - a f'(x) f(x) 4ac - b 4a Tabloya göre fonksiyon -, - b a aralığında azalan, - b a, aralığında artandır. x = - b yerel minimum noktası, f - b = 4ac - b a a 4a yerel minimum değeridir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

270 66 TÜREV UYGULAMALARI f ''(x) = a > 0 olduğundan fonksiyon tanım kümesi üzerinde konvekstir ve büküm noktası yoktur. x = 0 için f(0) = c, y = 0 için ax + bx + c = 0, b - 4ac < 0 olduğundan gerçel kök yoktur. Eğri x - eksenini kesmemektedir. Bu bilgileri bir tabloda birleştirip grafiğini çizelim. - b x - a f'(x) f''(x) f(x) ac - b 4a Şekil 10.5 a > 0 ve b - 4 ac < 0 olduğundan c > 0 olmak zorunda olduğunu görünüz. y = ax + bx + c fonksiyonunda minimun noktasının parabolün tepe noktası olduğuna ve tepe noktasının apsisinin türevin kökü, ordinatının ise fonksiyonun bu noktadaki değeri olduğuna dikkat ediniz.? y = ax + bx + c fonksiyonunda a < 0 ise fonksiyonun yerel minimum noktasının x = - b olduğunu ve fonksiyonun konkav olduğunu gösteriniz. a Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi polinom fonksiyonların yatay ve düşey asimptotları yoktur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

271 TÜREV UYGULAMALARI 67 Daha önceki ünitelerde rasyonel, üstel, logaritmik ve trigonometrik fonksiyonların grafiklerini fazla ayrıntıya girmeden sezgisel bir yaklaşımla çizmiştik. Türev kavramı, bu fonksiyonların grafiği dediğimiz eğrilerin çiziminin ve fonksiyon davranışlarının daha ayrıntılı incelenmesine imkan verir. Örnek: Aşağıdaki fonksiyonların, tanım kümelerini, artan, azalan oldukları aralıkları, ekstremum noktalarını, konveks ve konkav oldukları aralıkları, büküm noktalarını ve asimptotlarını araştırarak grafiklerini çizelim: 1) y = x + 3 x - 1 3) y = e - x 5) y = sin x ) y = 1,5 x 4) y= ln x 6) y = tan x Çözüm: 1) f(x) = x + 3 x - 1 fonksiyonu paydanın kökü olan x = 1 noktasında tanım olmadığından tanım kümesi, (-, 1) (1, ) dur. lim x - x + 3 = olduğundan y = yatay asimptottur. lim x + 3 x - 1 x 1 - x - 1 = - olduğundan x = 1 düşey asimptottur. x lim x + 3 x - 1 = ve lim x 1 + x + 3 x - 1 = dur. Bu sonuçlara göre de x = 1 düşey asimptot, y = yatay asimptottur f' (x) = x + 3 x - 1 ' = x + 3 ' x x + 3 x - 1 ' x - 1 = - 5 x - 1 f" (x) = - 5 x - 1 ' = - 5 x ' = x = 10 x ; Hem birinci ve hem de ikinci mertebeden türevlerin kökü yoktur ve bu türevlerin işaret tablosu aşağıdaki gibidir: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

272 68 TÜREV UYGULAMALARI x - 1 x - 1 f'(x) - - f''(x) - + f(x) - + f(x) konkav konveks Yukarıdaki tablolara göre, fonksiyon (-, 1), (1, ) aralıklarında kesin azalandır ve ekstremum noktası yoktur. Fonksiyon (-, 1) aralığında konkav, (1, ) aralığında konvekstir. x = 1 noktasında fonksiyon tanımlı ve dolayısıyla sürekli olmadığından, bu noktada ikinci türev işaret değiştirmesine rağmen x = 1 büküm noktası değildir. Fonksiyonun büküm noktası yoktur. Grafiğin eksenleri kestiği noktalar, x = 0 için y= = = y = 0 için x + 3 x - 1 = 0 x + 3 = 0, x = 3 - dir. Tüm bilgileri topladığımız tabloyu oluşturup grafiği çizelim. x f'(x) f''(x) f (x) - - 3/ Şekil 10.6 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

273 TÜREV UYGULAMALARI 69 ) f(x) = (1, 5) x fonksiyonu üstel fonksiyondur ve tanım kümesi IR = (-, ) dur. lim x - 1, 5 x = 0 olduğundan y = 0 (x-ekseni) yatay asimptottu Ayrıca lim x 1, 5 x = dur. f '(x) = (1,5) x ln 1,5, f ''(x) = (1,5) x (ln 1,5) ; Her x IR için (1,5) x > 0 olduğundan birinci ve ikinci mertebeden türevin kökü yoktur. Ayrıca ln 1,5 > 0 olduğundan her x IR için f'(x) > 0 ve f'' (x) > 0 dır. Fonksiyon kesin artan ve konvekstir. Ekstremum ve büküm noktası yoktur. x = 0 için y = (1,5) 0 = 1, y = 0 için (1,5) x = 0 denklemi elde edilir, bunun ise kökü yoktur. Bu bilgilere göre, tablo ve grafik aşağıdaki gibidir. x f'(x) f'' (x) f (x) 0 1 Şekil ) f(x) = e - x fonksiyonunun tanım kümesi IR = (-, ) dur. x lim - e - x =, lim e - x = 0 olduğundan y = 0 doğrusu yatay asimptottur. x f '(x) = - e - x, f ''(x) = e - x dir. Her x IR için e - x > 0 olduğundan, her x IR için f'(x) < 0, f''(x) > 0 dır. Buna göre fonksiyon kesin azalan ve konvekstir. Ekstremum ve büküm noktası yoktur. x = 0 için e - 0 = 1, e - x = 0 denkleminin kökü yoktur. Tablo ve grafik aşağıdaki gibidir. x f'(x) f'' (x) f (x) 1 0 Şekil 10.8 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

274 70 TÜREV UYGULAMALARI x y = (1,5) x, y = e -x = 1 fonksiyonlarından birincisinde a = 1,5 > 1, ikincisindea = 1 dir. y = (1,5) x in kesin artan, y = e - x e in kesin azalan olduğu- e < 1 nu gördük. Bu bilgilerin ünite 5 de gördüğünüz, "y = a x fonksiyonunda a > 1 ise fonksiyon kesin artan, 0 < a < 1 ise fonksiyon azalandır" bilgisini doğruladığına dikkat ediniz. 4) f(x) = ln x fonksiyonunun tanım kümesi (0 ), aralığıdır. lim ln x = - x 0 + olduğundan x = 0 düşey asimptottur. lim x ln x = dur. f' (x) = 1 x, f " (x) = - 1 x ; x 0, için f' (x) = 1 x > 0, f " (x) = - 1 < 0 dır. Buna göre fonksiyon kesin x artan ve konkavdır. Türevlerin kökü olmadığından ekstremum ve büküm noktası yoktur. x = 0 için y tanımsızdır. y = 0 için ln x = 0 x = 1 dir. Tablo ve grafik aşağıdaki gibidir. x f'(x) f'' (x) f (x) Şekil ) f(x) = sin x fonksiyonu her yerde tanımlı olup π periyotlu olduğundan x i 0, π aralığından alacağız. lim x 0 Yatay ve düşey asimptot yoktur. sin x = 0, lim x π sin x = 0 dır. f(x) = sin x, f '(x) = cos x, f "(x) = - sin x ; f' x = 0 cosx = 0, x 1 = π, x = 3π birinci türevin kökleri, f" x = - sinx = 0 x 1 = 0, x = π, x 3 = π ikinci türevin kökleridir. Birinci ve ikinci türevler için işaret tabloları aşağıdaki gibidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

275 TÜREV UYGULAMALARI 71 x 0 π 3π π x 0 π π f'(x) f"(x) f(x) f(x) konkav konveks Fonksiyon 0, π ve 3π, π de kesin artan, π, 3π de kesin azalandır, 0, π de konkav, π, π de konvekstir. x = π yerel maksimum, x = 3π yerel minimumdur. x = π noktası ise büküm noktasıdır. 8 sayfa Şekil ) f(x) = tan x fonksiyonunun tan m kümesi x IR x π + kπ, k Z dir. tan x fonksiyonu π periyotlu olduğundan x i - π, π açık aralığından alacağız. lim x - π + tanx = -, lim x π - doğruları düşey asimptottur. tan x = olduğundan x = - π ve x = π f(x) = tan x, f ' (x) = 1 cos x Her x - π, π = - cos -3 x. -sin x = sin x cos 3 x için f ' (x) = 1 cos x > 0, f " (x) = cos - x ' = -. cos -3 x. cos x' = ; olduğundan fonksiyon bu aralıkta kesin artandır ve ekstremumu yoktur. Birinci ve ikinci türevlerin işaret tabloları şöyledir: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

276 7 TÜREV UYGULAMALARI x - π π x - π 0 π f'(x) + f"(x) f (x) - f (x) konkav 0 konveks - π, π aralığında cos x > 0 olduğunu hatırlayınız. II. türev tablosuna göre, - π, 0 da fonksiyon konkav, 0, - π de konveks, x = 0 büküm noktasıdır. x = 0 iken y = 0 ve y = 0 iken x = 0 dır. x - π 0 π f'(x) + + f"(x) - + f(x) - Şekil 10.11? 1) y = log a x (a >1) fonksiyonunun kesin artan ve konkav olduğunu gösteriniz. ) y = cosx (0 < x < π) fonksiyonunun kesin artan ve azalan olduğu aralıkları, konveks ve konkav olduğu aralıkları, ekstremumlarını ve büküm noktalarını bulunuz. Cevaplarınız şöyle olmalıdır: ) Fonksiyon (0, π) de kesin azalan, ( π, π) de kesin artandır; 0, π ve 3π, π de konkav, π, 3π büküm noktalarıdır. de konvekstir, x = π ve x = 3π noktaları ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

277 TÜREV UYGULAMALARI Ekstremum Problemleri Bu bölümde türev yarıdımı ile çözülebilen bir kaç ekstremum problemini ele alacağız. Örnek: Toplamları 100 olan öyle iki sayı bulunuz ki birincinin kübü ile ikincinin çarpımı maksimum olsun. Çözüm: Birinci sayı x ise ikinci sayı x olur. O zaman x 3 (100 - x) ifadesi maksimum olmalıdır. f(x) fonksiyonu olarak x 3 (100 - x) i alırsak o zaman f(x) in maksimum değerini bulmamız gerekmektedir. f(x) = 100 x 3 - x 4, f'(x) = 300 x - 4x 3, f"(x) = 600x - 1x ; f '(x) = x - 4x 3 = 0 4x (75- x) = 0 x = 0 ve x = 75. Kritik değerler x = 0 ve x = 75 dir. x = 0 problemin çözümü olamayacağından x = 75 için f"(75) = = = -500 < 0 olduğundan x = 75 maksimum noktasıdır. Cevap olarak bu sayılar 75 ve = 5 olmalıdır. Örnek: Çevresinin uzunluğu 0 m olan bir dikdörtgenin alanının maksimum olması için bu dikdörtgenin boyutları ne olmalıdır? Çözüm: Boyutlar x ve y ise (x + y) =0 ve S = xy alanı maksimum olmalıdır. x + y = 10 ; y = 10 - x olduğundan S(x) = x(10 - x) = 10x - x fonksiyonunun maksimumu bulunmalıdır. S'(x) = 10 - x, S"(x)= - ; 5 m S'(x) = 0 10 x= 0 x= 10 x= 5. 5 m AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

278 74 TÜREV UYGULAMALARI S"(5) < 0 olduğundan x = 5 maksimum noktasıdır. O zaman y = 10 - x = 10-5 = 5 bulunur ve dolayısıyla çevre uzunluğu verildiğinde alanın maksimum olması için dikdörtgen kare olmalıdır. Örnek: Bir odanın bir penceresinin aşağısı dikdörtgen, yukarısı ise yarım daire şeklindedir. Pencerenin çevresinin uzunluğu 7 m dir. Pencereden odaya maksimum ışık düşebilmesi için onun boyutları ne olmalıdır? Çözüm: Düşen ışığın maksimum olması için pencerenin S alanı maksimum olmalıdır. S 1 dikdörtgenin alanı, S ise yarımdairenin alanı olmak üzere, S = S 1 + S dir. S y S 1 x Dikdörtgenin boyutları x ve y olsun. O zaman pencere çevresinin uzunluğu x + y + 1. π. x olur. S 1 = xy, S = 1 π. x olduğundan S = S 1 + S = xy + πx 8 olur. Çevre uzunluğu 7 m olduğundan buradan x + y + πx 7 - πx Sx = x. - x + πx 8 = = 7 y = 7 - πx - x y = 7x - πx - x 7 - πx - x 4 7x - πx + πx 8 = - x + πx = 8 = 8x - πx - 4x + πx = 8x - 4x - πx 8 8 elde edilir. Böylece, pencerenin S alanı onun x tabanının fonksiyonu olarak bulunmuş oldu. Bu fonksiyonun x e göre maksimumunu bulmamız gerekiyor. Fonksiyonun türevlerini alalım:, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

279 TÜREV UYGULAMALARI 75 S ' x = 8x - 4x - πx 8 ' = 8-8x - πx 8, S " x = 8-8x - πx 8 ' = π 8 = π 4 ; S' x = 0 8-8x - πx 8 Kritik noktada S" ikinci türev negatif olduğundan (aslında S" her yerde negatif tir) x 1,96 maksimum noktasıdır. = 0 (8 + π) x = 8 x = π = π 1,96. Cevap olarak x 1,96 m, y 0,98 m bulunur. Örnek: Hacmi 1500 cm 3 olan silindir şeklinde üstü kapalı metal kutu yapılacaktır. Gerekli metal miktarının minimum olması için silindirin boyutları (taban yarıçapı ve yükseklik) ne olmalıdır? Çözüm: Silindirin taban yarıçapı r, yüksekliği h olsun. Silindirin hacmi V =πr.h = 1500 cm 3 dür. Metal miktarının minimum olması için toplam yüzey alanı (yan yüzeyinin alanı artı taban alanları) minimum olmalıdır. r h Yan yüzeyi alanı πrh, taban alanları toplamı πr dir. Buna göre toplam yüzey alanı A = πr + πrh olur. πr. h = 1500 h = 1500 πr bulunur. Bunu yukarıda yazarsak A r = πr + πr = πr πr r olur. A yüzey alanı r nin bir fonksiyonudur. Bu fonksiyonun r ye göre minimumu bulunmalıdır. Türevleri alalım: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

280 76 TÜREV UYGULAMALARI A' r = 4πr r, A" r = 4π r 3, A' r = 0 4πr = 0 r 3 = 3000 r 4π r = π 6,. İkinci türev testine göre r 6, cm minimum noktasıdır. Yükseklik ise h = 1500 πr ,4 cm π. 38,4 olarak bulunur.? 1) Hangi gerçel sayı için bu sayı ile onun karesi farkı en büyük olur? ) Odanın penceresinin aşağısı dikdörtgen, yukarısı ise eşkenar üçgen şeklindedir. Pencerenin çevre uzunluğu 3 m olduğuna göre pencere alanının maksimum olması için taban uzunluğu ne olmalıdır? Cevaplarınız 0,5 ve 0,7 m olmalıdır. Değerlendirme Soruları 1. y = x 3-9x - 4x + 6 fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları aşağıdakilerden hangisidir? A. x = -1 B. x = C. x = -1 ve x = D. x = -1 ve x = 4 E. x = - ve x =. y = x 3-3x - 1x + 6 fonksiyonunun büküm noktası aşağıdakilerden hangisidir? A. x = 3 B. x = 1 C. x = - 1 D. x = - 3 E. Yoktur ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

281 TÜREV UYGULAMALARI y = xlnx fonksiyonunun kesin artan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A. (0, ) B. (0, 1 e ) C. (e, ) D. ( 1 e, ) E. (1, ) 4. y = - 3x x + hangisidir? fonksiyonunun grafiğinin tüm asimptotları aşağıdakilerden A. x = - doğrusu B. x = -3 doğrusu C. x = - ve y = 0 doğruları D. x = - ve y = -3 doğruları E. x = 0 ve y = -3 doğruları 5. 3 Aşağıdakilerden hangisi y = (x + ) mudur? A. x = 0 B. x = 0 ve x = - C. x = - D. x = 1 E. Yoktur + 5 fonksiyonunun yerel minimu 6. 3 y = (x + ) + 5 fonksiyonunun büküm noktası aşağıdakilerden hangisidir? A. x = - B. x = -1 C. x = 0 D. x = 1 E. Yoktur AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

282 78 TÜREV UYGULAMALARI 7. y = x + lnx fonksiyonunun konkav olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A. (0, 1) B. (0, e) C. (e, ) D. (0, ) E. (1/e, ) 8. y = cos x fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde konvekstir? A. π 4, π B. - π, π C. 0, π D. 0, π E. 0, π 9. y = cot x fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde kesin azalandır? A. 0, π B. 0, π C. π, π D. 0, π 3 E. π 4, 3π y = x + 1 x hangisidir? A. {-1} B. {1} C. {0, -1, 1} D. {0, 1} E. {-1, 1} fonksiyonunun tüm kritik noktaları kümesi aşağıdakilerden ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

283 TÜREV UYGULAMALARI y = x (1 - x) 1 3 fonksiyonunun tüm kritik noktaları kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A. 0, B. 0 C. D. 0, 6 7, 1 E. 1. y = xe x fonksiyonunun büküm noktası aşağıdakilerden hangisidir? A. x = - B. x = -1 C. x = 0 D. x = 1 E. x = 13. Hacmi 1500 cm 3 olan silindir şeklinde üstü açık metal kutu yapılacaktır. Gerekli metal miktarının minimum olması için silindirin boyutları ( r taban yarıçapı ve h yüksekliği) ne olmalıdır? A. r 5,81 cm, h 10 cm B. r 6,81 cm, h 8,9 cm C. r 6,9 cm, h 8,71 cm D. r 7,01 cm, h 8,1 cm E. r 7,8 cm, h 7,8 cm 14. Kenarı 6 cm olan eşkenar üçgen içine şekildeki gibi dikdörtgen çizilmiştir. Dikdörtgenin alanının maksimum olması için onun x ve y boyutları kaç olmalıdır? A. x = 3 cm, y = 3 cm B. x = 3 3 cm, y = 3 cm C. x = 3 cm, y = 3 3 cm 6 y 6 D. x = 3 cm, y = 3 3 cm x 6 E. x = 3 cm, y = 3 cm AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

284 80 TÜREV UYGULAMALARI 15. Pozitif iki sayının çarpımı 384 dür. Birincinin iki katı ile ikincinin kübünün toplamının minimum olması için bu sayılar aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A. 1 ve 3 B. 4 ve 16 C. 48 ve 8 D. 96 ve 4 E. 19 ve Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D. B 3. D 4. D 5. C 6. E 7. D 8. A 9. B 10. E 11. D 1. A 13. E 14. C 15. D ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

285 İntegral Kavramı Yazar Prof.Dr.Vakıf CAFEROV ÜNİTE 11 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; belirli ve belirsiz integral kavramlarını öğrenecek, belirli integralin geometrik anlamını görecek, integral teknikleri ile tanışacaksınız. İçindekiler Giriş 83 İlkel Fonksiyon 83 Belirli İntegral 85 Bir Toplamın Limiti Olarak Belirli İntegral 89 Belirsiz İntegral 90 Belirli İntegrallerin Hesaplanması 98 Değerlendirme Soruları 300

286 Çalışma Önerileri Belirli integral ve belirsiz integral kavramları arasındaki ilişkiye dikkat ediniz Belirsiz integral ve türev kavramları arasındaki bağlantıyı görmeye çalışınız Çok sayıda fonksiyon örneği alıp, integrallerini bulmaya çalışınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

287 İ NTEGRAL KAVRAMI Giriş İntegral kavramı da türev gibi, matematiğin temel kavramlarından biridir. İntegral teorisinin tarihsel gelişimini incelediğimizde bu kavramdaki temel düşüncenin ilk defa Eudoxos (M.Ö ) tarafından kullanıldığını görürüz. Bu düşünce Arşimet (M.Ö. 87-1) tarafından geometrik şekillerin alan ve hacimlerinin hesaplanmasında kullanılarak oldukça gelişir. Daha sonra Newton ve Leibniz, alan ve hacim hesaplaması türünden çalışmalar için integrali sistemli bir araç haline getirdiler. Bugün uygulamalı bilimlerde de sıkça kullanılan klasik integrasyon teorisi Riemann ( ) tarafından geliştirilmiştir. Bu ünitede biz belirli integral (Riemann integrali) ve belirsiz integrali tanımlayıp, onların temel özelliklerini ve integral alma yöntemlerini kısaca ele alacağız.. İlkel Fonksiyon Türevlenebilir bir f(x) fonksiyonu verildiğinde onun türevinin nasıl bulunabileceğini geçen ünitelerde öğrenmiş olduk. Hareket eden cismin hız formülüne göre hareket denkleminin bulunması, her noktasında eğimi bilindiğinde eğrinin kendisinin bulunması gibi problemlerde de olduğu gibi bazen ters problemi çözmemiz gerekiyor: f(x) fonksiyonu verildiğinde öyle bir F(x) fonksiyonu bulmamız gerekir ki F(x) in türevi f(x) olsun. Bir f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer öyle bir F(x) fonksiyonu varsa ki her bir x için F'(x) = f(x) olsun, o zaman F(x) fonksiyonuna f(x) in ilkel fonksiyonu denir. Örneğin f(x) = x fonksiyonunun ilkeli f(x) = sinx fonksiyonunun ilkeli f(x) = 3 x fonksiyonunun ilkeli Şimdi bir hususa dikkat etmemiz gerekiyor. f(x) in ilkel fonksiyonu F(x) ise, C her hangi bir sabit olmak üzere, F(x) + C fonksiyonu da f(x) in ilkelidir, çünkü sabitin türevi sıfır olduğundan (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x) F(x) = x dir, çünkü x ' = x ; F(x) = - cosx dir, çünkü -cos x ' = sin x ; F(x) = 3x ln3 ' dür, çünkü 3x = 3 x. ln3 olur. Buna göre, C keyfi sabit olmak üzere, + C, - cos x + C ve 3x fonksiyonları da sırasıyla x, sinx ve 3 x ln3 + C fonksiyonlarının birer ilkelidir. Dolayısıylabir f(x) fonksiyonunun ilkel fonksiyonu tek değildir. O zaman şu soru ortaya çıkar: Bir f(x) fonksiyonunun ilkel fonksiyonları ne kadar çoktur? Bu sorunun cevabı ispatsız olarak vereceğimiz aşağıdaki önermeden çıkar. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ x

288 84 İ NTEGRAL KAVRAMI Önerme 1 Eğer F(x) ve G(x) fonksiyonları bir f(x) fonksiyonunun iki tane ilkel fonksiyonları ise, o zaman öyle bir C sabiti vardır ki F(x) = G(x) + C dir. Bu önermeye göre, f(x) fonksiyonunun her hangi F(x) ilkelini bulup, üzerine keyfi C sabiti eklersek o zaman f(x) in tüm ilkelleri bulunmuş olur. Örneğin, f(x) = x fonksiyonunun tüm ilkelleri, C keyfi sabit olmak üzere, x şeklindedir. + C Örnek: 1) f(x) = 1 x ) f(x) = tanx fonksiyonlarının tüm ilkellerini bulunuz. Çözüm: 1) f(x) = 1 x nin tüm ilkelleri F(x) = - 1 x + C dir. Çünkü F'(x) = - 1 x + C ' = - 1 ' + C ' = x 1 x + 0 = 1 x. ) f(x) = tanx in tüm ilkelleri F(x) = -ln cosx + C dir, Çünkü -ln cosx + C ' = - ln cosx ' + C ' = tanx. Burada C herhangi keyfi sabittir. Ayrıca cos x in pozitif veya negatif olduğu durumlara göre türev alındığında her iki durumda da sonucun tan x e eşit olduğu kolayca görülebilir. Önerme F(x) ve G(x) fonksiyonları f(x) in iki ilkeli olsun. O zaman herhangi a ve b gerçel sayıları için eşitliği sağlanır. F(b) - F(a) = G(b) - G(a) İspat Önerme 1 e göre öyle bir C sabiti vardır ki F(x) = G(x) + C. Burada x yerine b ve sonra a yazıp iki eşitliği taraf tarafa çıkarırsak, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

289 İ NTEGRAL KAVRAMI 85 F(b) = G(b) + C F(a) = G(a) + C F(b) - F(a) = G(b) - G(a) + (C - C) = G(b) - G(a) elde edilir. Bir fonksiyonun ilkelini bulmak her zaman kolay değildir. Belirsiz integral konusunu gördüğümüzde ilkel fonksiyonları bulma yöntemleri ile tanışacağız. 3. Belirli İntegral [a, b] aralığında sürekli ve negatif olmayan y = f(x) fonksiyonunun MN grafiğini ele alalım. a ile b arasından keyfi bir x seçelim. Yandaki şekle göre, BMPK alanı x e bağlı bir fonksiyon olur. Bu fonksiyonu A(x) ile gösterelim. Şimdi bu A(x) fonksiyonunun f(x) in ilkeli olduğunu gösterelim. Yani her x için A'(x) = f(x) y M P B K L C a x x + x b E F Q alan = A N x Şekil 11.1 olduğunu ispatlayalım. Bunun için türevin tanımına göre x e x artması verdiğimizde A(x) fonksiyonunun A = A(x + x) - A(x) artmasının x e bölümünün x 0 iken limitini bulmalıyız. A(x + x) = BMFL alanı olduğundan, A alanı KPFL nin alanına eşittir. KPQL alanı = KP. x = f(x). x, KEFL nin alanı = LF. x = f(x + x). x olduğundan eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizlikleri x e bölersek, (şekle göre x > 0 olduğuna dikkat ediniz) f(x) A x f x + x olur. f(x) fonksiyonu sürekli olduğundan dir. Buna göre limitler hakkında bilinen teoreme göre, eşittir. Dolayısıyla KPQL alanı A KEFL alanı, f(x). x A f(x + x). x lim x 0 lim x 0 A x f x + x = f x limiti vardır ve bu limit f(x) e elde edilir. A' (x) = lim x 0 A x = f(x) AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

290 86 İ NTEGRAL KAVRAMI Sonuç 1 A(x) fonksiyonu f(x) in bir ilkelidir. Şimdi F(x) fonksiyonu f(x) in herhangi bir başka ilkeli olsun. Önerme ye göre A(b) - A(a) = F(b) - yazılabilir. A(a) = 0, A(b) ise BMNC nin alanı olduğundan aşağıdaki sonuca varıyoruz: Sonuç [a, b] aralığında sürekli ve negatif olmayan f(x) fonksiyonu verilsin. F(x) ise f(x) in herhangi bir ilkeli olsun. O zaman y = f(x) in grafiği, x-ekseni, x = a ve x = b doğruları ile sınırlı bölgenin alanı A(b) için eşitliği yazılabilir. A(b) = F(b) - F(a) Örnek: 1) y = 1 eğrisi, x-ekseni ve x = 1, x = doğruları arasındaki bölgenin alanını bulalım. x ) y = sin x eğrisi, x-ekseni, x = π doğruları arasındaki bölgenin alanını 4, x = π bulalım. Çözüm: 1) f(x) = 1 x fonksiyonunun bir ilkeli F(x) = - 1 x dir. Buna göre istenilen alan olur. F() - F(1) = = 1-1 = 1 Şekil 11. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

291 İ NTEGRAL KAVRAMI 87 ) f(x) = sinx in bir ilkeli F(x) = - cosx dir. İstenilen alan dir. F π - F π 4 = - cos π - - cos π 4 = 0 + = Şekil 11.3 [a, b] üzerinde sürekli herhangi f(x) fonksiyonu verilsin, F(x) ise f(x) in bir ilkeli olsun. O zaman F(b) - F(a) sayısına f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığında belirli b integrali denir ve f(x)dx şeklinde gösterilir. Böylece a b f(x) dx = F(b) - F(a) dır. a ya integralin alt sınırı, b ye ise üst sınırı denir. a Bu tür tanımlı integrale bazen Riemann integrali de denilir. F(b) - F(a) farkı ise sembolik olarak F(x) b a gibi yazılır. b b f(x) dx = F(x) = F(b) - F(a), F' (x) = f(x) a a Not: Genellikle integralin tanımı olarak bundan sonraki bölümde göreceğimiz gibi bir toplamın limiti kabul edilir. Ancak [a, b] aralığı üzerinde sürekli fonksiyonlar için yukarıdaki tanım ile toplamın limiti olarak verilen tanım birbirine eşdeğerdir. Tanımdan aynı zamanda aşağıdaki sonuç çıkar. Sonuç 3 [a, b] aralığı üzerinde sürekli ve negatif olmayan y = f(x) fonksiyonu için y = f(x) grafiği, x-ekseni, x = a, x = b doğruları ile sınırlı bölgenin alanı integraline eşittir. b f(x)dx a AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

292 88 İ NTEGRAL KAVRAMI y Alan = a b f(x) dx a b x Şekil 11.4 Bu sonuca göre, yukarıdaki örneklerdeki cevaplar aşağıdaki şekilde yazılabilir: 1 1 x dx = 1, π sin x dx = π 4. Örnek: x dx 3 1) -1 x dx ) 0 3) 1 π 4 tanx dx 0 integrallerini hesaplayalım. Çözüm: 1) -1 x dx = x -1 = - -1 = - 1 = 1 ) 3) 1 3 x dx = 3x 0 ln3 1 π 4 tanx dx = - ln cos x = 3 ln3-30 ln3 = 3 ln3-1 ln3 = 3-1 ln3 π 4 0 0,666 = - ln cos π 4 - -ln cos 0 = - ln + ln1 = - ln - ln + 0 = - ( ln 1 - ln ) = - 1 ln - ln = 1 ln 0,347. b Tanımdan görüldüğü gibi f(x) dx belirli integralini hesaplamak için esas a problem F(x) ilkelinin bulunmasıdır. F(x) ilkeline f(x) fonksiyonunun belirsiz integralı denir. Bu ilkellerin bulunması yollarını "Belirsiz integraller" bölümünde göreceğiz. Belirli integralin aşağıdaki özellikleri vardır: [a, b] üzerinde sürekli f(x) ve g(x) fonksiyonları verilsin. O zaman aşağıdaki eşitlikler sağlanır: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

293 İ NTEGRAL KAVRAMI 89 1) b f(x)dx = - b a f(x)dx, a a f(x)dx = 0 a ) b f(x) ± g(x) dx = a b f(x)dx ± a b g(x)dx a 3) b c f(x)dx = c a b f(x)dx a (c sabit gerçel sayıdır) 4) b f(x)dx = a c f(x)dx + c a b f(x)dx (c sabit gerçel sayıdır) Bu özellikler tanımdan yararlanarak kolayca ispatlanır. 4. Bir Toplamın Limiti Olarak Belirli İntegral Yukarıda söylediğimiz gibi belirli integral genellikle toplamın limiti olarak tanımlanır. [a, b] aralığı üzerinde sürekli f(x) fonksiyonu verilsin. Bu aralığı a = x 0, b = x n, x 0 < x 1 < x <... < x n olmak üzere, [x 0, x 1 ], [x 1, x ],... [x n 1, x n ] gibi alt aralıklara bölelim. Buna [a, b] aralığının bir bölüntüsü denir ve sembolik olarak P ile gösterilir. Alt aralıkların uzunlukları olan x 1 - x 0, x - x 1,..., x n - x n-1 sayılarının en büyüğüne bu bölüntünün çapı (normu) denir ve δ ile gösterilir. Şimdi keyfi olarak [x 0, x 1 ] aralığından bir δ 1 noktasını, [x 1, x ] aralığından bir δ noktasını,..., [x n -1, x n ] aralığından ise bir δ n noktalarını seçip aşağıdaki toplamı oluşturalım: S (P) = f (δ 1 ) (x 1 - x 0 ) + f (δ ) (x - x 1 ) f (δ n ) (x n - x n-1 ) (Her x [a, b] için f(x) 0 olduğunda geometrik olarak bu toplam taban kenarları [x 0, x 1 ], [x 1, x ],..., [x n-1, x n ] ve yükseklikleri f (δ 1 ), f (δ ),... f (δ n ) olan dikdörtgenlerin alanları toplamıdır). Şekil 11.5 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

294 ϕ 90 İ NTEGRAL KAVRAMI δ 0 iken (δ 0 ise doğal olarak n olur, fakat tersi doğru olmayabilir) S (P) toplamının limitine ( f(x) sürekli olduğundan bu limit vardır) f (x) fonksiyonunun [a, b] aralığında belirli integrali denir ve b f (x) dx gibi gösterilir: a b f (x) dx = lim S(P) δ 0 a "Integral" sözü ve " " işareti de bu tanıma dayanarak izah edilebilir. Şöyle ki "integral" sözü latince integer (tam) sözünden olup hisseleri toplayıp tamı oluşturmak anlamını taşıyor. " " integral işareti ise genellikle toplamı gösteren S harfinin uzatılmışıdır. Sürekli fonksiyonlarda toplamın limiti olarak verilen integral tanımı ile, f (x) in ilkeline bağlı tanımın eşdeğerliliği diferansiyel ve integral hesabın temel teoremi denilen teoremle ispatlanır. Bu ispat üzerinde durmayacağız. 5. Belirsiz İntegral Yukarıda gördük ki sürekli f(x) fonksiyonunun belirli integralinin hesaplanması için f(x) in ilkelini bulmak yeterlidir. f(x) fonksiyonunun ilkeline bu fonksiyonun belirsiz integrali denir ve f (x) dx şeklinde gösterilir. C keyfi sabit olmak üzere, f(x) in tüm ilkelleri F(x) + C gibi olduklarından f(x) dx = F(x) + C, F'( x) = f(x) yazılımı kullanılır. Örneğin, x dx = x + C, cos dx = sinx + C dir Belirli integralin sonucunun bir sayı olduğunu biliyoruz, zaten "belirli" terimi de buradan kaynaklanır. Belirsiz integralin sonucu ise bir fonksiyon ailesi olur. Bir f (x) dx integralini hesaplamak için öyle bir fonksiyon bulmamız gerekiyor ki bu fonksiyonun türevi f(x) e eşit olsun. Bu yolla biz aşağıdaki integral tablosunu oluşturabiliriz. x a dx = xa+1 a+1 + C (a -1, a IR) dx x = 1 x dx = ln x + C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

295 İ NTEGRAL KAVRAMI 91 a x dx = a x lna + C (a 1, a IR+ ) e x dx = e x + C sinx dx = - cosx + C cosx dx = sinx + C dx cos x = tanx + C dx = - cotx + C sin x Bu formüllerin doğruluğunu sağ tarafların türevlerini alarak görebiliriz. Bunun için sağ taraftaki fonksiyonun türevinin integral altındaki fonksiyona eşit olduğunu görmek yeterlidir. Örneğin - cotx ' = - cotx ' = sin x olduğundan = 1 sin x 1 dx = - cotx + C sin x yazılabilir. Belirsiz integralin doğrudan tanımdan çıkan aşağıdaki özellikleri vardır. f(x), f 1 (x), f (x),..., f n (x) sürekli fonksiyonları verilsin. O zaman a f(x) dx = a f(x) dx (a sabit gerçel say ı dı r) dir. f 1 (x) ± f (x)... ± f n (x) dx = f 1 (x) dx ± f (x) dx ±... ± f n (x) dx Örnek: 1) x 11 dx ) x dx 3) 1 3 x dx 4) (x 3-5x + 4x - 1) dx 5) (x + ) 3 dx integrallerini bulalım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

296 9 İ NTEGRAL KAVRAMI Çözüm: 1) a= 11 olduğunu hesaba katarsak, kuvvet fonksiyonunun integralleme formülünden dir. ) x 11 dx = x C = x1 1 + C 1 x = x 1 1 x dx = x dx = x olduğundan a = 1/ olu + C = x C = 3 x 3 + C 3) dir x 1 x - 3 = x gibi yazılabildiğinden, dx = x dx = x C = x C = 3x + C 1 4) (x 3-5x + 4x - 1) dx = x 3 dx - 5x dx + 4x dx - 1 dx = x 3 dx - 5 x dx + 4 x dx - dx = x4 4-5 x x - x + C = x4-5x3 3 + x - x + C 5) x + 3 = x 3 + 6x + 1x + 8 olduğundan (x+ ) 3 bulunur. dx = ( x 3 + 6x + 1x + 8) dx = x 3 dx + 6 x dx + 1 x dx + 8 dx x= x3 + 6x + 8x + C Örnek: 1) e x + 1 3x - 4 x dx ) 3 sinx cosx cos x dx integrallerini bulalım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

297 İ NTEGRAL KAVRAMI 93 Çözüm: 1) e x + 1 3x - 4 x dx = ex dx + 1 3x dx - 4 dx x = e x x ln3-4 ln x + C ) 3 sin x 3 sinx cosx cos x dx = 3 sinx dx cosx dx x 3-1 4x dx integralini bulunuz 1 cos x dx = - 3 cosx sinx tanx + C? Cevabınız - 3 cotx + x 3 ln - x + C olmalıydı. Eğer verilen bir integral, integral tablosundaki integrallere dönüştürülemiyorsa o zaman başka yöntemler denemek gerekmektedir. Bu yöntemlerden en yaygınları değişken değişimi ve kısmi integrasyon yöntemleridir. f(x) dx integralinde x = ϕ (u) yazarsak bu integral f(ϕ (u)) ϕ' (u) du integraline dönüşür. Buna değişken değişimi denir. Bir çok hallerde ϕ (u) fonksiyonunu uygun seçersek, yeni integral daha kolay hesaplanabilir. Örnek: x + 3 dx integralini bulalım. Çözüm: x = ϕ u = u - 3 yazarsak dx = ϕ' (u) du = 1 du olur. Buna göre, x + 3 dx =. u du = 1 u du = 1 u 1/ du = 1 u 3/ 3 + C = 1 3 u3/ + C, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

298 94 İ NTEGRAL KAVRAMI u yerine x + 3 yazarsak x + 3 dx = 1 3 x + 3 3/ + C bulunur. u = ϕ (x), du = ϕ' (x) dx dönüşümü yapılırsa, bu integral g (u) du integraline dönüşür. ϕ (x) in uygun seçilmesi halinde g (u) du integrali f (x) dx integraline göre daha kolay bulunabilir. Örnek: Çözüm: dx 3x - 4 bulunur. integralini hesaplayalım. u = ϕ (x) = 3x - 4, 3 dx = du, dx du =. Bunları integralde yazarsak 3 dx 3x - 4 = 1 u du 3 = 1 3 du = 1 u 3 ln u + C = 1 ln 3x C 3 Örnek: 1) ) 3) 4) cos (ax + b) dx tan x dx x x 4 dx e - 3x dx 5) sin x dx integrallerini hesaplayalım. Çözüm: 1) ax + b = u ise a dx = du, dx = 1 a du olur cos ax + b dx = cos u. 1 a du = 1 a sin u + C = 1 a sin ax + b + C ) cosx = u ise - sinx dx = du ve sin x dx = - du olur. tan x dx = sin x dx = - du cos x u = -ln u + C = -ln cosx + C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

299 İ NTEGRAL KAVRAMI 95 3) 1 + x 4 = u ise 4 x 3 dx = du, x 3 dx = (1/4) du x x 4 dx = 1 u. du 4 = 1 4 ln u + C = 1 4 ln 1 + x4 + C 4) - 3x = u ise - 3 dx = du, dx = (-1/3) du olur. e -3x dx = e u du = eu + C = e-3x + C 5) sin x = 1 - cosx sin x dx = 1 - cosx olduğundan dx = cosx dx = 1 dx - cosx dx = 1 x - cosx dx cosx dx integralini hesaplamak için x = u değişken değişimini kullanırsak dx = du olur ve cosx dx = cos u. du = 1 cos u du = 1 sin u + C = 1 sin x + C bulunur. Bunu yukarıda yazarsak sin x dx = 1 x - 1 sin x + C = 1 x - 1 sin x + C 4 bulunur. Burada - 1 C yerine yeniden C yazıldı. C keyfi sabit olduğundan bu tür yazılımların hiç bir sakıncası yoktur. 1 3x - 5 dx, dx, x 5 dx, cos x dx integrallerini bulunuz.? - x 1 - x 6 Cevaplarınız, 3 3x - 5 1/ + C, - ln - x + C, ln 1 - x6 + C 1 x + 1 sin x + C olmalıydı. 4 Şimdi ise önemli integralleme yöntemlerinden biri olan kısmi integrallemeye değinelim. u(x) ve v(x) türevlenebilir fonksiyonlar ise çarpımın türevi formülüne göre, (u.v)' = u'v + v'u yazarız. Her iki tarafı dx ile çarpıp integrallersek (u.v)' dx = u' v dx + v' u dx AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

300 96 İ NTEGRAL KAVRAMI bulunur. Belirsiz integralin tanımından dikkate alarak, (u. v)' dx = u. v yazılabilir. Bunu u v' dx = uv - v u' dx formülünü elde ederiz. u' dx = du, v' dx = du olduğundan son formülü aşağıdaki gibi de yazabiliriz: u dv = uv - v du yazabiliriz. Bu formüllere kısmi integrasyon formülleri denir. vdu integralinin udv integraline göre daha kolay hesaplanabileceği durumlarda kısmi integrasyon yöntemi faydalı olur. Örnek: 1) ) xe x dx x cosx dx integrallerini hesaplayalım. Çözüm: 1) e x = (e x )' olduğundan u = x, v = e x olarak seçilmesi daha uygundur. O zaman u' = 1 olur ve yukarıdaki formüle göre, du = dx, dv = e x dx olduğunu dikkate alarak, bulunur. xe x dx = x e x ' dx = x. e x - e x. 1. dx = xe x - e x + C ) cos x = (sin x)' olduğundan u = x, v = sin x seçilmesi uygundur. u' = 1 olduğundan yukarıdaki formüle göre bulunur. x cosx dx = x sin x ' dx = x sinx - sinx dx = = x sinx - - cosx + C = x sinx + cosx + C Örnek: 1) x 3 ln x dx ) x e -3x dx integrallerini bulalım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

301 İ NTEGRAL KAVRAMI 97 Çözüm: 1) x 3 = x4 4 lnx ' = 1 x ' olduğundan u = ln x, v x = 4 4 olduğundan seçimi daha uygun görünmektedir x 3 ln x dx = ln x x4 4 ' dx = x 4 4. ln x - x x dx = x4 4. ln x x3 dx = x4 ln x - x C dir. ) e -3x = - 1 ' 3 e-3x olduğundan u = x, v = 1-3 e-3x alalım. u' = 1 dir. Kısmi integrasyon formülünden yararlanırsak x e -3x dx = x e-3x ' dx = x e-3x e-3x. 1 dx = x e-3x e-3x dx = x e-3x e-3x + C bulunur. = x e-3x e-3x + C Belirsiz integralde cevabın doğru olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. Bunun için, cevaptaki fonksiyonun türevi integral altındaki fonksiyona eşit olmalıdır. Son örnekte x e-3x e-3x + C ' = x. e-3x ' e-3x ' = e-3x + x. -3. e -3x e-3x = e-3x + xe -3x e-3x = xe -3x olduğundan cevap doğru bulunmuştur. Aşağıdaki integralleri kısmi integrasyon yöntemi ile bulunuz. 1) x sin x dx, ) x 4 ln x dx, 3) x e x x dx, 4) ln x dx? Cevaplarınız, -x cosx + sinx + C, x5 5 olmalıydı. lnx - x5 5 + C, x ex ex + C ve x lnx - x + C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

302 98 İ NTEGRAL KAVRAMI 6. Belirli İntegrallerin Hesaplanması [a, b] aralığı üzerinde sürekli f(x) fonksiyonu verilsin. Yukarıda belirli integrali, F(x) ilkel fonksiyon olmak üzere b f (x) dx a b f (x) dx = F(b) - F(a) = F(x) a b a gibi tanımlanmıştı. Öte yandan, f (x) dx belirsiz ingetrali f(x) in F(x) ilkelidir. Buna göre, eğer belirsiz integrali hesaplayabiliyorsak belirli integralin hesaplanmasında bir zorluk kalmaz. Örnek: 1) ) 4 x dx 0 1 x 3-5 x + 4x - 1 dx 3) x + 3 dx belirli integrallerini hesaplayalım. Çözüm: 1) Yukarıda x dx = 3 x3/ + C bulunmuştu. F(x) = 3 x3/ alırsak 4 x dx = 0 3 x3/ 4 0 = 3 43/ / = = 3. 8 = 16 3 bulunur. ) x 3-5 x + 4x - 1 dx = x4-5 3 x3 + x - x + C olduğunda F (x) = x4-5 3 x3 + x - x alırsak 1-1 x 3-5 x + 4x - 1 dx = x4-5 3 x3 + x - x 1-1 = = = bulunur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

303 İ NTEGRAL KAVRAMI 99 3) x + 3 = 1 3 x + 3 3/ + C olduğunu yukarıda bulmuştuk. Buna gö F(x) = 1 3 x + 3 3/ alırsak 3-1 x + 3 = 1 3 x + 3 3/ 3-1 = / / = / = = = = 6 3 bulunur. Yukarıdaki örneklerde ilkel fonksiyon olarak F(x) yerine F(x) + C alındığında sonucun değişmediğini görmeye çalışınız. Örnek: 1) 1 x e x dx 0 ) π x cos x dx - π integrallerini hesaplayalım. Çözüm: 1) x e x dx = x e x - e x + C olduğundan F(x) = e x - e x alırsak 1 x e x dx = x e x - e x = 1 e 1 - e 1-0 e 0 - e 0 = e - e + 1 = 1 bulunur. ) x cos dx = x sin x + cos x + C olduğundan F(x) = x sin x + cos x alabilir Buna göre, π - π - π x cos x dx = x sin x + cosx π = π sin π + cos π - - π sin - π +cos - π = = π. 0 + (-1) - - π. (-1) + 0 = -1 - π = - π + bulunur. sinπ = 0, cos π = -1, sin - π = - sin π = -1, cos - π =cos π = 0 olduklarını hatırlayınız). AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

304 300 İ NTEGRAL KAVRAMI b f(x) dx belirli integralini hesaplamak için önce F(x) = f(x) dx a = F(b) - F(a) sayısını bulmak gerekmek- integralini hesaplayıp sonra F(x) tedir. b a belirsiz? Aşağıdaki integralleri hesaplayınız. 1) 1-1 x + 1 dx ) dx 1 3 x 3) π/3 0 cos x + sin x dx 4) 1 0 dx 3x +1 5) -1 1/3 x e -3x dx Cevaplarınız 8 3, 3 3-1, 3 + 1, 3 ve e + e3 olmalıydı. Değerlendirme Soruları 1. e dx =? 1 x A. - e B. 0 C. 1 e. D. 1 E. e 1 10 x dx =? 0 A. 9 ln 10 B. 10 ln 10 C. 11 ln 10 D. 9 ln 10 E. 9 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

305 İ NTEGRAL KAVRAMI π/ cos x dx =? - π/ A. - 1 B. 0 C. 1 D. E. π 4. 3 x dx =? A. 1 3 x + C B. 3 4 x4/3 + C C. x 4/3 + C D. 1 3 x- /3 + C E. 1 3 x + C x dx =? A x 3/ + C B x 3/ + C C x + C D x + C E x + C 6. sin 3x + 1 dx =? A. 3 cos (3x + 1) + C B. - 3 cos (3x + 1) + C C cos (3x + 1) + C D. 1 3 cos (3x + 1) + C E. - cos (3x + 1) + C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

306 30 İ NTEGRAL KAVRAMI 7. x x + 4 dx =? A. 1 x C B. - 1 x C C. 1 ln x C D. ln x C E. ln x + 4 x C x dx =? A. 31,4 B. 156, C. 64,8 D. 14 E. 61,5 9. x x 5 dx =? A x 5 C B x 5 + C C ln 3 - x5 + C D. 1 5 ln 3 - x5 + C E. ln 3 - x 5 + C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

307 İ NTEGRAL KAVRAMI x + 3 x + 3x dx =? A. 1 x + 3x C B. 1 5 x + 3x C C. ln x + 3x C D x + 3x C E. 1 x + 3x C 11. 4x + 6 x + 3x + 5 dx =? A. x + 3x C B. 4 x + 3x C C. 1 x + 3x + 5 D. - 1 x + 3x + 5 3/ + C E. ln x + 3x C + C 1. ln x x dx =? A. ln x + C B. ln x + C C. 1 ln (lnx) + C D. ln (ln x) + C E. 1 ln x + C 13. e x (1 - x) dx =? A. (1 - x) e x + C B. (1 - x) e x + e x + C C. e x + C D. x - x ex + C E x e x + C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

308 304 İ NTEGRAL KAVRAMI 14. cos x e sin x dx =? A. e sin x + C B. 1 esin x + C C. - e sin x + C D. - 1 esin x + C E. sin x e sin x + C 15. ln 3x + 1 dx =? 3x + 1 A. 1 3 ln3 (3x + 1) + C B. ln (3x + 1) + C C. ln (3x + 1) 3x C D. 1 3x C E. 1 9 ln3 (3x + 1) + C tan x tan x dx =? A. ln (1 + 4 tan x) + C B. 1 4 ln tan x + C C. tan x 1 + ln cos x + C D tan x + C E (1 + 4 tan x + C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

309 İ NTEGRAL KAVRAMI x - 5 1,5 x - 5x + 6 dx =? A ,5 x - 5x + 6 4/3 + C B. 1 1,5 x - 5x /3 + C C. ln 1,5 x - 5x C D. 1 ln 1,5 x - 5x C E. 1,5 x - 5x + 6 4/3 + C 18. x sin x dx =? A. x B. - x cos x + C cos x + C C. - x cos x + sin x + C D. - x cos x - cos x + E. - x sin x + cos x + C Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D. A 3. D 4. B 5. A 6. C 7. C 8. A 9. C 10. D 11. B 1. E 13. B 14. A 15. E 16. B 17. A 18. C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

310 İntegral Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 1 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; düzlemsel alan ve dönel cisimlerin hacimlerinin belirli integral yardımı ile hesaplanabileceğini, küre, koni ve kesik koninin hacim formüllerinin belirli integral yardımıyla nasıl kolayca bulunabileceğini göreceksiniz. İçindekiler Giriş 309 Alan Hesabı 309 Hacim Hesabı 315 Değerlendirme Soruları 319 Çalışma Önerileri Ünite içinde çözülmüş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz Yanlış sonuçlar çıkmaması için alan hesaplarken fonksiyonun hangi aralıkta pozitif, hangi aralıkta negatif olduğunu belirlemeye çalışınız

311 Çok sayıda fonksiyon örnekleri alıp fonksiyonların grafikleri ile x-ekseni arasındaki; iki fonksiyonun grafikleri arasındaki alanları hesaplamaya çalışınız Dönel cisimlerin hacimleri ile ilgili de çok sayıda örnek çözmeye çalışınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

312 İ NTEGRAL UYGULAMALARI Giriş Geçen ünitede, bir fonksiyonun grafiği ile x-ekseni arasındaki düzlemsel bir bölgenin alanının bulunması probleminin bizi matematiğin ikinci ana kavramı olan integral kavramına nasıl getirdiğini gördük. İntegralin çeşitli bilim dallarında (mühendislik, fizik, ekonomi...) çok sayıda uygulamaları vardır. Bir ünitede bu uygulamaların hepsinden bahsetmek imkansızdır. Bu ünitede belirli integralin basit uygulamalarından olan düzlemsel alan ve dönel cisimlerin hacmi konularını ele alacağız.. Alan Hesabı Geçen ünitede bir [a, b] aralığında sürekli ve negatif olmayan y = f(x) fonksiyonu için y = f(x) eğrisi, x-ekseni, x = a, x = b doğruları arasındaki alanın b f(x) dx belirli integrali olduğu ispatlanmıştı. Eğer y = f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında nega- a tif ise o zaman sözü edilen alan - b f(x) dx a integraline eşittir. Eğer c (a, b) olmak üzere, f(x) fonksiyonu (a, c) aralığında negatif, (c, b) aralığında pozitif ise, o zaman y = f(x) eğrisi, x-ekseni, x = a, x = b doğruları arasındaki toplam alan - c b f(x) dx + f(x) dx, a c eğer fonksiyon (a, c) aralığında pozitif, (c, b) de negatif ise o zaman sözü edilen alan olur. c b f(x) dx - f(x) dx a c Aşağıdaki şekilleri inceleyerek yukarıdaki formülleri anlamaya çalışınız. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

313 310 İ NTEGRAL UYGULAMALARI y = f(x) y = f(x) a b a c b a c b y = f(x) f(x) < 0 Şekil 1.1 Bu durumlar A= b f(x) dx formülü ile birleştirilebilir. a Örnek: 1) y = x - 3x - 4 parabolü ile x-ekseni arasındaki ) y = (x - 1) 3 eğrisi, x-ekseni, x = -1, x = doğruları arasındaki 3) y = 1 - x 3 eğrisi, x-ekseni, x = 0, x = 3 doğruları arasındaki alanları hesaplayalım. Çözüm: Aşağıda verilen grafikleri gözönünde tutalım. 1) Şekil 1. x - 3x - 4 = 0 x = -1, x = 4. Parabol, apsis eksenini x = -1 ve x = 4 noktalarında keser ve (-1, 4) aralığında x - 3x - 4 fonksiyonu negatiftir. Buna göre sözü edilen S alanı aşağıdaki gibi hesaplanır: S = - 4 (x - 3x - 4)dx = - x x - 4x 4-1 = = ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

314 İ NTEGRAL UYGULAMALARI 311 ) Şekil 1.3 x değişkeni [-1, ] aralığında değişirken x (-1, 1) ise (x -1) 3 fonksiyonu negatif, x (1, ) ise pozitiftir. Buna göre sözü edilen S alanı S = - 1 (x - 1) 3 dx + -1 (x - 1) 3 dx 1 = - 1 (x 3-3x + 3x - 1)dx + -1 (x 3-3x + 3x - 1)dx 1 = - x4 4 - x3 + 3x - x x4 4 - x3 + 3x - x 1 = 4,5 olur. 3) Şekil x 3 = 0 x 3 = 1 x = 1. Buna göre, y = 1 - x 3 fonksiyonu x = 1 noktasında işaret değiştirmektedir. x in 0 ile 3 arasında olması gerektiğini hatırlarsak x (0, 1) iken 1 - x 3 fonksiyonu pozitif, x (1, 3) iken ise negatiftir. Buna göre bulmak istediğimiz alan, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

315 31 İ NTEGRAL UYGULAMALARI S = 1 (1 - x 3 )dx (1 - x 3 )dx = x - x x - x = = = = 75 4 = dır. [a, b] aralığında verilmiş y = f(x) eğrisi ile x-ekseni arasındaki alanı bulma işleminde ilk adım f(x) in bu aralıkta işaretinin incelenmesidir.? 1) y = x - 4x eğrisi ile x-ekseni arasındaki, ) y = 9 - x eğrisi ile x-ekseni arasındaki, 3) y = x 3 eğrisi, x-ekseni, x = -1, x = doğruları arasındaki, 4) y = sinx eğrisi, x-ekseni, x = π/4, x = 3π/ doğruları arasındaki alanları hesaplayınız. Cevaplarınız 10 3, 36, 4 1 4, ve 4 + olmalıdır. [a, b] aralığı üzerinde tanımlı, sürekli y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları verilsin ve her bir x [a, b] için f(x) g(x) eşitsizliği sağlansın ( f(x) ve g(x) sabit işaretli olmayabilir, şekil 1.5 e bakınız). O zaman y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = a, x = b doğruları arasında kalan alan formülü ile hesaplanır. S = b [f(x) - g(x)] dx a Şekil 1.5 Örnek: 1) y = x - x eğrisi ve y = x doğrusu arasında ) y = x ve y = x eğrileri arasında kalan alanları bulalım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

316 İ NTEGRAL UYGULAMALARI 313 Çözüm: 1) Şekil 1.6 y = x - x parabolü ile y = x doğrusunun kesişim noktalarını bulalım. x - x = x x - x = 0 x(x - 1) = 0 x = 0 ve x = 1. Grafikler x = 0 ve x = 1 apsisli noktalarda kesişiyorlar. x değişkeni 0 ile 1 arasında iken parabol doğrudan yukarıda kalır. Buna göre istediğimiz alan aşağıdaki gibidir: S = 1 (x - x - x)dx = 0 1 (x - x )dx = x 0 - x = 1 6. ) Şekil 1.7 y = x ile y = x eğrilerinin kesişim noktalarını bulalım. x = x x 4 = x x(x 3-1) = 0 x = 0, x = 1. x [0, 1] iken x x olduğundan arada kalan alan olur. S = 1 ( x - x )dx = 0 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ 1 1 (x - x )dx = x - x = = 1 3

317 314 İ NTEGRAL UYGULAMALARI Eğer [a, b] aralığının tüm noktalarında f(x) g(x) eşitsizliği sağlanmıyorsa, örneğin, c (a, b) olmak üzere, her x (a, c) için f(x) g(x) ve her x (c, b) için f(x) g(x) ise y = f(x), y = g(x) eğrileri ve x = a, x = b doğruları arasındaki alan S = c [f(x) - g(x)] dx + a c b [g(x) - f(x)] dx olur. Örnek: y = x 3, y = x eğrileri arasında kalan bölgenin x = 0 dan x = ye kadar olan kısmının alanını bulunuz. Şekil 1.8 Çözüm: x (0, 1) ise x > x 3 ; x (1, ) ise x 3 > x olduğundan sözü edilen alan S = 1 0 x - x 3 dx + x 3 - x dx = x - x x x = = ,95 1 = dir. Genel olarak [a, b] üzerinde sürekli y = f(x) ve y = g(x) grafik eğrileri arasındaki bölgenin x = a dan x = b ye kadar olan kısmının alanı S = b f(x) - g(x) dx a formülü ile hesaplanır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

318 İ NTEGRAL UYGULAMALARI 315 1) y = x eğrisi ve y = 4 - x doğrusu arasındaki alanı bulunuz. ) y = sinx, y = cos x eğrileri arasındaki bölgenin ki kısmının alanını bulunuz. x = - π den x = π ye kadar-? Cevaplarınız 18 ve olmalıdır. 3. Hacim Hesabı Bu bölümde dönel cisimlerin hacimlerinin integral yardımı ile hesaplanmasını ele alacağız. [a, b] aralığında sürekli y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ele alalım. Şekil 1.9 ABCD düzlem parçasını x - ekseni etrafında döndürdüğümüzde tabanları paralel daireler olan üç boyutlu bir cisim elde edilir. Bu cisme dönel cisim denir. Bu cismin hacmi V = π b f (x) dx a formülü ile hesaplanır. Örnek: 1) y = x eğrisi, x-ekseni, x = 1 ve x = 4 doğruları ile sınırlı, ) y = e x eğrisi, x - ekseni, x = -1 ve x = 1 doğruları ile sınırlı bölgelerin x - ekseni etrafında dönmesiyle oluşan dönel cisimlerin hacimlerini bulalım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

319 316 İ NTEGRAL UYGULAMALARI Çözüm: 1) V = π 4 1 x dx = π 4 x dx = π x = π 8-1 = 15 π 3,55. ) V = π 1 e x dx = π -1 1 e x dx = π 1 ex = π e - e - 11,4. Şekil 1.10 Örnek: y = x - x parabolü, x = 1 ve x = 3 doğruları ile sınırlı bölgenin x - ekseni etrafında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulalım. Çözüm: V = π 3 x - x dx = π 1 3 x 4-4x 3 + 4x dx = π x x x3 3 1 = π = π = π 9,63.? Şekil 1.11 y = 1 eğrisi, x - ekseni x =, x = 3 doğruları ile sınırlı bölgenin x - ekseni x etrafında dönmesinden meydana gelen hacmi bulunuz. Cevabınız π 6 olmalıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

320 İ NTEGRAL UYGULAMALARI 317 Geometriden bilindiği gibi yarıçapı R, yüksekliği h olan dairesel dik koninin hacmi; taban yarıçapları R ve r, yüksekliği h olan kesik koninin hacmi; yarıçapı R olan kürenin hacmi sırasıyla aşağıdaki formüllerle verilir: V = 1 3 π R h, V = 1 3 π h R + Rr + r, V = 4 3 π R3. Şimdi bu formüllerin dönel cisimlerin hacimleri formulünden nasıl elde edilebileceğini görelim. Dairesel Dik Koninin Hacmi Dairesel dik koniyi ve koordinat sistemini şekildeki gibi alalım. A R 0 α B h Şekil 1.1 AB = R, OB = h olur. Bu durumda koni, [OA] doğru parçasının x - ekseni etrafında dönmesiyle elde edilen dönel cisimden başka bir şey değildir. Dönel cismin hacim formülünü uygulayabilmemiz için OA doğru parçasının denklemini y = f(x) şeklinde ifade etmemiz gerekiyor. OA nın denklemi y = mx şeklindedir. m eğimi tanα ya eşit olduğundan m = tanα = AB OB = R h ; OA nın denklemi y = R h Buradan, dönel cismin hacim formülüne göre koninin hacmi olur. V = π 0 = π. R h h f (x) dx = π. x3 3 h 0 h 0 R h x dx = π = π. R. h 3 h 3 h R 0 x olarak bulunur. h x dx = 1 3 π R. h AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

321 318 İ NTEGRAL UYGULAMALARI Kesik Koninin Hacmi Şekil 1.13 Kesik koniyi ve koordinat sistemini şekildeki gibi alalım. OA = r, BC = R, OC = h olur. Kesik koni, [AB] doğru parçasının x - ekseni etrafında dönmesinden meydana gelir. AB nin denklemini bulalım. Doğrunun denklemi y = mx + n gibidir ve m, n sabitleri bulunmalıdır. m = tanα, n = r, tanα = BD AD = R - r h olduğundan AB nin denklemi y = R - r h x + r olur. Buna göre kesik koninin hacmi olarak, V = π h 0 R - r h x + r dx = π h 0 R - r h x r (R - r) + h x + r dx = π R - r h x r (R - r) h x + r x h 0 = π R - r h h 3 3 r (R - r) + h h + r h = π R - r h 3 + rh (R - r) + r h = π h 3 R - Rr + r + 3Rr - 3r + 3r = π h 3 R + Rr + r bulunur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

322 İ NTEGRAL UYGULAMALARI 319 Kürenin Hacmi Şekil 1.14 Koordinat sistemini şekildeki gibi kürenin merkezinde seçelim. O zaman küre, ABC yarım çemberinin x - ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen bir dönel cisimdir. Buna göre ABC eğrisinin y = f(x) şeklindeki denklemini bulmamız gerekiyor. Merkezi koordinat başlangıcında, yarıçapı R olan çemberin denklemi x + y = R dir. Buna göre ABC yarım çemberinin denklemi dir. Buna göre kürenin hacmi, y = R - x -R x R V = π R f (x) dx = π -R R -R R - x dx = π R -R R - x dx = π R x - x3 3 R -R = π R 3 - R R 3 + R3 3 = π R 3-3 R3 = π 4R3 3 = 4 π R3 3 olarak bulunur. Değerlendirme Soruları 1. f: [-1, ] IR, f(x) = x fonksiyonunun grafiği ile x-ekseni arasındaki alan kaç birimkaredir? A. 3 B. 5/ C. D. 3/ E. 1 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

323 30 İ NTEGRAL UYGULAMALARI. f: [0, π] IR, f(x) = cosx eğrisi, x = 0, x = π doğruları ve x-ekseni tarafından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. 0 B. 1 C. 3/ D. E. π 3. y = e x eğrisi, x = 0, x = 1 doğruları ve x-ekseni tarafından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. e B. e / C. e - 1 D. e + 1 E. e 4. f: [1, ] IR, f(x) = lnx eğrisi, x-ekseni ve x = e doğrusu tarafından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. e B. e / C. 1 D. /e E. 1/e 5. y = x + x - 3 parabolu ile x-ekseni arasında kalan alan kaç birimkaredir? A. 3/3 B. 9 C. 9/ D. 4 E. 5/3 6. y = lnx eğrisi, x = 1 e birimkaredir? doğrusu ve x-ekseni tarafından sınırlanan alan kaç A. 1 - e B. e C. 1 e D. 1 E. e ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

324 İ NTEGRAL UYGULAMALARI y = x - 1 eğrisi ile y = x - 1 doğrusu tarafından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. 1/6 B. 1/3 C. 1/ D. 5/6 E f: [0, π] IR, f(x) = sinx eğrisi ile x-ekseni tarafından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. 1/ B. 1 C. 3/ D. E y = 3x, y = 0, x = tarafından sınırlanan bölgenin x-ekseni etrafında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür? A. 6π B. 1π C. 4π D. 36π E. 7π 10. y = 1 - x eğrisi ile x-ekseni arasında kalan bölgenin x-ekseni etrafında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür? A. 3 π B. 1 3 π C. 4 3 π D. π E. π 11. y = 4 - x eğrisi ile x-ekseni arasında kalan alanın x-eksenin etrafında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür? A. 4π B. 3 3 π C. 8π D. 4π E. π AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

325 3 İ NTEGRAL UYGULAMALARI 1. y = x 3 eğrisi, x = -1, x = 1 doğruları ve x-ekseni tarafından sınırlanan alanın x-ekseni etrafında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür? A. π 7 B. π 7 C. 3π 7 D. 4π 7 E. π Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. B. D 3. C 4. C 5. A 6. A 7. A 8. E 9. C 10. A 11. B 1. B ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

326 Çok Değişkenli Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 13 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; çok değişkenli fonksiyonları tanıyacak, çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevlerini bulabilecek, iki değişkenli fonksiyonların dikdörtgen bölge üzerindeki iki katlı integralini hesaplayabileceksiniz. İçindekiler Giriş 35 İki Değişkenli Fonksiyonlar 35 Çok Değişkenli Fonksiyonlar 38 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türev 331 İki Değişkenli Fonksiyonların İki Katlı İntegrali 336 Değerlendirme Soruları 339

327 Çalışma Önerileri Çok değişkenli fonksiyon örnekleri alıp bu fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz ve bu kümeleri geometrik olarak çizmeye çalışınız Çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevlerinin tek değişkenli fonksiyonların türevi gibi bulunduğuna dikkat ediniz Çok değişkenli basit fonksiyon örnekleri alıp iki katlı integrallerini hesaplamaya çalışınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

328 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR Giriş Şimdiye kadar incelediğimiz fonksiyonlar tek değişkenli fonksiyonlar idi. Bu fonksiyonlara tek değişkenli denilmesinin sebebi bağımsız değişkenin bir tane olmasıdır. Birçok problemde ortaya çıkan fonksiyonlar ise çok değişkenli (iki, üç,... değişkenli) olabilir. Boyutları x ve y olan dikdörtgenin alanı S = xy, çevresinin uzunluğu P = (x+y) dir. Burada alan ve çevre uzunluğu boyutların iki değişkenli fonksiyonlarıdır. Aralarındaki uzaklık R olan m ve M kütleleri arasındaki çekme kuvveti F = γ m. M R formülü ile hesaplanır (burada γ - gravitasyon sabitidir). F kuvveti, m, M kütlelerinin ve R uzaklığının üç değişkenli fonksiyonudur. Taban yarıçapı x, yüksekliği y olan silindirin hacmi V = π x y formülü ile hesaplanır. Burada V hacmi x ve y nin iki değişkenli fonksiyonudur. Bu ünitede iki ve daha çok değişkenli fonksiyonlar, bu fonksiyonlar için kısmi türev ve integral kavramları ele alınacaktır.. İki Değişkenli Fonksiyonlar Boş küme olmayan herhangi A, B ve C kümeleri verilsin ve A x B sembolü A ve B kümelerinin kartezyen çarpımını göstersin: A x B = { (x, y) x A, y B }. Eğer AxB kümesinden alınmış her (x, y) çiftini C kümesinden tek bir z elemanı ile eşleyen bir f kuralı verilmişse bu f kuralına A x B kümesinden C kümesine iki değişkenli fonksiyon denir ve sembolik olarak f : AxB C, z = f (x, y) veya f = f (x, y) şeklinde gösterilir. AxB ye fonksiyonun tanım kümesi veya tanım bölgesi, C ye ise değer kümesi denir. Giriş kısmındaki 1. ve 3. örneklerdeki S = xy, P = (x+y) ve V = π x y fonksiyonları birer iki değişkenli fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların tanım kümesi IR + x R + değer kümesi ise IR dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

329 36 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR Örnek: A = {-1,, 3}, B = {-, 0}, C = {, 3, 5} kümeleri verilsin. O zaman AxB = { (-1, -), (-1, 0), (, -), (, 0) (3, -), (3, 0) } olur. f kuralını aşağıdaki gibi tanımlayalım: f (-1, -) = 3, f (-1, 0) = 5, f (, -) =, f (, 0) = 5, f (3, -) =, f (3, 0) =. Bu yolla tanımlanmış f, AxB den C ye bir iki değişkenli fonksiyondur. Örneklere geçmeden önce IR x IR kümesinin IR olarak gösterildiğini bir daha hatırlayalım (ünite 1). Örnek: f : IR IR, f (x, y) = x - y iki değişkenli fonksiyonu için f (0, 1), f (-, 3) ve a IR olmak üzere, f (a, a) yı hesaplayalım. Çözüm: f (0, 1) = 0-1 = -1, f (-, 3) = (-) - 3 = -5, f (a, a) = a - a = 0. Örnek: Yarıçapı 0,5 cm, yüksekliği 30 cm olan silindirin hacmini hesaplayalım. Çözüm: V (x, y) = π x y fonksiyonunda x = 0,5, y = 30 yazarsak V (0,5, 30) = π. 0, ,55 cm 3 bulunur. Not: Tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi iki değişkenli fonksiyonlarda da değişkenlerin ve kuralın hangi harflerle gösterildiğinin önemi yoktur. Örneğin, f : IR IR, f (x, y) = x - y g : IR IR, g (t, s) = t - s bağıntıları aynı fonksiyonları ifade eder. İki değişkenli fonksiyonun tanım kümesi açık şekilde verilmemişse o zaman tanım kümesi olarak fonksiyon işlemlerinin anlamlı olduğu en geniş küme alınır. Örneğin, f (x, y) = x fonksiyonunun tanım kümesi, x + y 0 koşulunu x + y sağlayan tüm (x, y) gerçel sayı ikilileridir. Örnek: y 1) f (x, y) = x - 5x + 6 ) f (x, y)= 1 - x - y 3) f (x, y) = ln ( x + y -1) fonksiyonlarının tanım kümelerini bulalım. Çözüm: 1) x - 5x + 6 = 0 x 1 =, x = 3. Buna göre tanım kümesi (IR - {, 3}) x IR dir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

330 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR 37 ) 1 - x - y 0 x + y 1. Tanım kümesi x + y 1 koşulunu sağlayan tüm x ve y gerçel sayılar kümesidir. Geometrik olarak bu küme, düzlemde merkezi koordinat başlangıcında, yarıçapı 1 olan çember üzerindeki ve içerisindeki noktalar kümesidir. 3) x + y - 1 > 0 y > 1 - x. Tanım kümesi y > 1 - x koşulunu sağlayan tüm(x, y) gerçel sayı ikililerinin kümesidir. Geometrik olarak bu (x, y) ikililer kümesi, düzlemde y = 1 - x parabolü üstünde kalan düzlem parçasındaki noktalara karşı gelen (x, y) ikilileri kümesidir. Şekil 13.1 Şekil 13. 1) f (x, y) = 1 5 x + y - 4 ) f (x, y) = x + y xy 3) f (x, y) = xy? fonksiyonlarının tanım kümelerini bulunuz. Cevaplarınız, 1) { (x, y) IR x + y 4 }, ) { (x, y) IR x 0 ve y 0 }, 3) { (x, y) IR xy 0 } olmalıdır. İki değişkenli fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü tek değişkenli fonksiyonlardakine benzer olarak tanımlanabilir. Örnek: f (x, y) = x + y ve g (x, y) = xy fonksiyonlarının toplamını, farkını, çarpımını ve bölümünü bulalım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

331 38 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR Çözüm: f (x, y) + g (x, y) = x + y + xy = (x + y) f (x, y) - g (x, y) = x + y - xy = (x - y) f ( x, y). g (x, y) = (x + y ). xy = x 3 y + xy 3? f (x, y) g (x, y) = x + y xy, xy 0 f (x, y) = sin (xy) ve g (x, y) = cos (xy) fonksiyonlarının toplamını, farkını, çarpımını ve bölümünü bulunuz. Cevaplarınız 1, - cos (xy), 1 4 sin (xy) ve tan (xy) olmalıdır. Tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi, iki değişkenli fonksiyonların da grafikleri çizilebilir. Bunun için uzayda 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemini tanımlamak gerekiyor. Bu koordinat sisteminde iki değişkenli fonksiyonun grafiği genellikle bir yüzey tanımlar. İki değişkenli fonksiyonların grafikleri konumuz dışında olduğundan bu konuya girmiyoruz. 3. Çok Değişkenli Fonksiyonlar n IN olmak üzere, boş küme olmayan A 1, A,..., A n ve C kümeleri verilsin. x 1 A 1, x A,..., x n A n olmak üzere, tüm (x 1, x,..., x n ) sıralı n-lilerin kümesine A 1, A,..., A n kümelerinin kartezyen çarpımı denir ve sembolik olarak A 1 x A x... x A n gibi gösterilir. Böylece, A 1 x A x... x A n = { (x 1, x,..., x n ) x 1 A 1, x A,..., x n A n }. Örnek: A 1 = {1, }, A = {-1, 0}, A 3 = {a, b} ise A 1 x A x A 3 = { (1, -1, a), (1, -1, b), (1, 0, a), (1, 0, b), (, -1, a), (, -1, b), (, 0, a), (, 0, b) }. A x A x... x A kümesi çoğu kez A n gibi gösterilir. Buna göre, A x A x A = A 3, n tane A x A x A x A = A 4,... yazılabilir. Her bir (x 1, x,..., x n ) A 1 x A x... x A n n-lisine C kümesinden bir tek z elemanı karşı getiren f kuralına A 1 x A x... x A n den C ye n-değişkenli fonksiyon denir ve f : A 1 x A x... x A n C, z = f (x 1, x... x n ) veya f = f (x 1, x,... x n ) şeklinde gösterilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

332 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR 39 A 1 x A x... x A n kümesine fonksiyonun tanım kümesi veya tanım bölgesi, C ye ise değer kümesi denir. Üç değişkenli fonksiyonlar çoğu zaman f = f (x, y, z) gibi gösterilir. f (x, y, z) = xyz, g (x, y, z) = (xy) z ln (yz), h (x, y, z) = sin x fonksiyonları üç değişkenli, f (x 1, x, x 3, x 4 ) = x 1 + x + x 3 + x 4, g (x 1, x, x 3, x 4 ) = x 1 x 3 - x x 4 fonksiyonları ise dört değişkenli fonksiyon örnekleridir. Örnek: f : IR 3 IR, f (x, y, z) = x y f (-1, 1, 8) fonksiyon değerlerini bulalım. 3 z fonksiyonu için f (1,, -1) ve Çözüm: f (1,, -1) = = (-1) = - 4, Örnek: f : IR + x IR + x IR IR +, f (x, y, z) = (xy) z fonksiyonu için f (, 3, ) f (-1, 1, 8) = (-1) = (-1). 1. = -. ve f (4, 1, -1) fonksiyon değerlerini bulalım. Çözüm: f (, 3, ) = (. 3) = ( 6) = 6, f (4, 1, -1) = (4. 1) -1 = (4) -1 = 1 4. Eğer çok değişkenli fonksiyonun tanım kümesi (bölgesi) açık şekilde verilmemişse o zaman tanım kümesi olarak kuralın anlamlı olduğu en geniş küme alınır. Örnek: 1) f (x, y, z) = 4 - x - y - z ) f (x, y, z) = xyz 3) f (x 1, x, x 3, x 4 ) = x1 + x x 3 + x 4 fonksiyonlarının tanım kümelerini bulalım. Çözüm: 1) 4 - x - y - z 0 buradan tanım kümesi { (x, y, z) IR 3 x + y + z 4 } olur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

333 330 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR ) xyz 0 olması gerekiyor. Buna göre tanım kümesi öyle (x, y, z) gerçel sayı üçlüleridir ki onların çarpımı negatif olmasın. Örneğin, (1,, -3) üçlüsü tanım kümesine dahil değildir. 3) x 3 + x 4 0 olması gerekiyor, buradan tanım kümesi { (x 1, x, x 3, x 4 ) IR 4 x 3 0 veya x 4 0 } olur. Örneğin, (, 3, -1, 0) tanım kümesindendir, (, 3, 0, 0) ise tanım kümesinde değildir.? 1) 4 f (x, y, z) = y. (1 + x + z ) ) f (x 1, x, x 3, x 4 ) = log 1 + x 1 x - x 3 - x 4 fonksiyonlarının tanım kümelerini bulunuz. Cevaplarınız { (x, y, z) IR 3 y 0 } ve { (x 1, x, x 3, x 4 ) IR 4 x > x 3 + x 4 } olmalıdır. Üç ve daha çok değişkenli fonksiyonların grafik kavramı yoktur. Çok değişkenli fonksiyonların limit ve süreklilik kavramları tek değişkenlilere benzer yolla tanımlanır. A IR kümesi ve (x 0, y 0 ) IR noktası verilsin. Eğer her δ > 0 için x δ - x 0 < δ, y δ - y 0 < δ, (x δ, y δ ) (x 0, y 0 ) olacak şekilde en az bir (x δ, y δ ) A varsa, o zaman (x 0, y 0 ) noktasına A kümesinin yığılma noktası denir. Başka deyişle yığılma noktası öyle bir noktadır ki, onun istenildiği kadar "yakın civarında" A kümesinin bu noktadan farklı en az bir elemanı vardır. Örneğin, x + y 1 koşulunu sağlayan her bir (x, y) IR noktası A = { (x, y) IR x + y < 1 } "açık birim çemberi" kümesinin yığılma noktasıdır. A IR olmak üzere, f : A IR, z = f (x, y) iki değişkenli fonksiyonu ve L sayısı verilsin, (x 0, y 0 ) ise A kümesinin bir yığılma noktası olsun. Eğer her ε > 0 için öyle δ > 0 var ve 0 < x - x 0 < δ, 0 < y - y 0 < δ eşitsizliklerini sağlayan tüm (x,y) A için f (x, y) - L < ε eşitsizliği sağlanıyorsa, (x, y) ikilisi (x 0, y 0 ) a yaklaşırken f (x, y) nin limiti L dir denir ve sembolik olarak ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

334 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR 331 şeklinde gösterilir. lim (x,y) (x 0, y 0 ) f (x, y) = L Eğer (x 0, y 0 ) A ve lim f (x, (x,y) (x 0, y 0 ) limiti var ve f (x 0, y 0 ) eşitse, yani lim f (x, y) = f (x 0, y 0 ) (x,y) (x 0, y 0 ) ise, o zaman z = f (x, y) fonksiyonuna (x 0, y 0 ) noktasında sürekli fonksiyon denir. Eğer z = f (x, y) fonksiyonu A kümesinin her bir noktasında sürekli ise bu fonksiyona A üzerinde sürekli fonksiyon denir. Üç ve daha çok değişkenli fonksiyonların limit ve sürekliliği de benzer yolla tanımlanabilir. 4. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türev Tek değişkenli fonksiyonlarda fonksiyonun türevi, x bağımsız değişkenine x artması verildiğinde fonksiyonun y = f (x + x) - f (x) artmasının x e oranı olan y in x 0 iken (varsa) limitine denilmişti. x z = f (x, y) iki değişkenli fonksiyonu verildiğinde bağımsız değişkenlere x ve y artmaları verildiğinde fonksiyon artması z = f (x + x, y + y) - f (x, y) olur. Bu artmanın bağımsız değişkenler artması olan ( x, y) ikilisine oranı anlamlı değildir. Bunun yerine bağımsız değişkenlerden birisi sabit tutulursa fonksiyon tek değişkenli fonksiyona dönüşür ve yeni fonksiyonun türevinden söz edilebilir. Bu tür türevlere kısmi türevler denir. z = f (x, y) fonksiyonu verilsin. Eğer y yi sabit tuttuğumuzda elde edilen fonksiyonun x e göre türevi varsa bu türeve x e göre kısmi türev; Eğer x i sabit tuttuğumuzda elde edilen fonksiyonun y ye göre türevi varsa bu türeve ise y ye göre kısmi türev denir. x e göre kısmi türev f x (x, y), f x, z x (x, y), f x ' (x, y) ; AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

335 33 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR y ye göre kısmi türev ise gibi sembollerle gösterilir. f y (x, y), f y, z y (x, y), f y ' (x, y) Tanıma göre, z = f (x, y) fonksiyonunun (x 0, y 0 ) noktasında x e göre kısmi türevini hesaplamak için x f (x, y 0 ) fonksiyonunun x = x 0 noktasındaki türevini hesaplamak gerekiyor. Bu türev f x (x 0, y 0 ), f (x 0, y 0 ) x, z x (x 0, y 0 ), f x ' (x 0, y 0 ) gibi sembollerle gösterilir. f y (x 0, y 0 ), f (x 0, y 0 ) y, z y (x 0, y 0 ), f y ' (x 0, y 0 ) işaretleri de benzer anlam taşımaktadır. Buna göre f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ) türevleri, eğer varsa, f (x f x (x 0, y 0 ) = 0 + x, y 0 ) - f (x 0, y 0 ) lim, x 0 x f (x f y (x 0, y 0 ) = 0, y 0 + y) - f (x 0, y 0 ) lim y 0 y limitleri olarak tanımlanır. Örnek: f (x, y) = xy - y + x fonksiyonunun f x (x, y) ve f y (x, y) kısmi türevlerini hesaplayalım. Çözüm: f x (x, y) türevini bulmak için y yi sabit olarak düşünmemiz gerekiyor. O zaman f x (x, y) = (xy - y + x ) x ' = (xy) x ' - (y ) x ' + (x ) x ' = y x = x + y = (x + y) olur. f y (x, y) türevini bulmak için ise x i sabit olarak düşünerek, y ye göre türev almamız gerekiyor. f y (x, y) = (xy - y + x ) y ' = (xy) y ' - (y ) y ' + (x ) y ' olur. = x - y + 0 = (x - y) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

336 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR 333 Örnek: f (x, y) = x 3 + xy fonksiyonu için f x (1, ) türevini bulalım. Çözüm: (1, ) noktasında y = olduğundan f (x, y) nin ifadesinde y = yazarsak f (x, ) = x 3 + x elde edilir. Bu fonksiyonun x e göre türevini alıp x yerine 1 yazmamız gerekiyor: f x (1, ) = (x 3 + x) x ' = 1 = (3x + ) x = 1 = 5. Örnek: f (x, y) = x + y fonksiyonu için f y (3, 4) türevini bulalım. Bu fonksiyonun y ye göre türevi- Çözüm: x = 3 yazarsak ni alırsak f (3, y) = 9 + y olur. 9 + y ' = (9 + y ) 1 ' = 1. (9 + y ) - 1. (y ) ' y = = 9 + y y 9 + y olur. Son ifadede y = 4 yazarsak f y (3, 4) = = 4 5 bulunur. xy Örnek: f (x, y) = fonksiyonunun tanım kümesine ait (x, y) değerleri x + y için f x (x, y) ve f y (x, y) türevlerini bulalım. Çözüm: y (x + y) - 1. xy f x (x, y) = =, (x + y) (x + y) y x (x + y) - 1. xy f y (x, y) = = x. (x + y) (x + y) Örnek: 1) f (x, y) = x ln (x + y) ) f (x, y) = (x + y ) e -x fonksiyonları için f x (x, y), f y (x, y) kısmi türevlerini bulalım. Çözüm: 1) f x (x, y) = x. ln (x + y) + x. 1 = x ln (x + y) + x x + y x + y, f y (x, y) = x. 1 x + y = x x + y. ) f x (x, y) = x. e -x + (x + y ). e -x. (-1) = x - x - y. e -x, f y (x, y) = y e -x. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

337 334? ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR 1) f (x, y) = sin (xy) + cos (xy) ) f (x, y) = x tan y fonksiyonları için f x (x, y), f y (x, y) türevlerini hesaplayınız. Cevaplarınız 1) y cos (xy) - y sin (xy), x cos (xy) - x sin (xy) ) tan y, x cos y olmalıdır. Üç ve daha çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevleri iki değişkenli fonksiyonların kısmi türevlerine benzer olarak tanımlanır: Bağımsız değişkenin biri dışında kalan tüm bağımsız değişkenler sabit tutularak o tek bağımsız değişkene göre türev alınır ve bu türeve verilmiş fonksiyonun o değişkene göre kısmi türevi denir. z = f (x 1, x... x n ) n- değişkenli fonksiyonun x i değişkenine göre kısmi türevi f (x 1, x..., x i + x i,... x n ) - f (x 1, x..., x i,..., x n ) lim x i 0 x i limitine eşit olup gibi sembollerle gösterilir. f xi (x 1, x,... x n ), f x i, z xi, f xi ' Örnek: f (x 1, x, x 3, x 4 ) = x 1 x + x 3 x 4 + x x 3 dört değişkenli fonksiyonun fx1, fx, fx3 ve fx4 kısmi türevlerini bulalım. Çözüm: fx1 (x 1, x, x 3, x 4 ) = x, fx (x 1, x, x 3, x 4 ) = x 1 + x 3, fx3 (x 1, x, x 3, x 4 ) = x 4 + x, fx4 (x 1, x, x 3, x 4 ) = x 3 olarak bulunur. Örnek: f (x, y, z) = y üç değişkenli fonksiyonun tanım kümesine ait x - z noktalarda f x, f y ve f z kısmi türevlerini bulalım. Çözüm: Fonksiyonun tanım kümesi A = { (x, y, z) IR 3 x z ve x -z } dir (eğer bir (x, y, z) için x = z veya x = -z ise o zaman bu (x, y, z) tanım kümesine dahil değildir). Her bir (x, y, z) A için (-1). x f x (x, y, z) = y. = - xy, (x - z ) (x - z ) ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

338 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR 335 f y (x, y, z) = 1 x - z, (-1). (-z) f z (x, y, z) = y. = (x - z ) yz (x - z ) bulunur. Örnek: f (x, y, z) = 1 x + y + z türevlerini bulalım. fonksiyonunun (1, -, ) noktasında kısmi Çözüm: Bu türevleri bulmak için türevlerin mevcut olduğu bir (x, y, z) noktasında f x, f y ve f z türevlerini bulup, sonra bu türevlerde x yerine 1, y yerine - ve z yerine yazmak gerekmektedir. Buna göre (-1). x f x (x, y, z) = = - x,. (x + y + z ) 3 (x + y + z ) 3 (-1). y f y (x, y, z) = = - y,. (x + y + z ) 3 (x + y + z ) 3 (-1). z f z (x, y, z) = = - z. (x + y + z ) 3 (x + y + z ) 3 dür. Buradan f x (1, -, ) = = - 1 7, f y (1, -, ) = = 7, f z (1, -, ) = = - 7 bulunur. f (x, y, z) = x ln (1 + y + z ) fonksiyonunun kısmi türevlerini hesaplayınız. Cevabınız f x (x, y, z) = ln (1 + y + z xy ), f y (x, y, z) = ve 1 + y + z? f z (x, y, z) = xz olmalıdır. 1 + y + z AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

339 336?? ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR f (x, y, z) = z e sin (xy) fonksiyonunun kısmi türevlerini bulunuz. Cevabınız f x (x, y, z) = yz e sin (xy) cos (xy), f y (x, y, z) = xz e sin (xy) cos (xy) ve f z (x, y, z) = e sin (xy) olmalıdır. f (x, y, z) = x tan (yz) fonksiyonu için f x -1, π 4, 1, f y -1, π 4, 1 ve f z -1, π 4, 1 türevlerini hesaplayınız. Cevabınız -, ve π olmalıdır. 5. İki Değişkenli Fonksiyonların İki Katlı İntegrali [a, b] ve [c, d] birer kapalı aralık olmak üzere, D = [a, b] x [c, d] = { (x, y) IR x [a, b] ve y [c, d] } kümesine x0y düzleminde kapalı dikdörtgen denir (Şekil 13.3). y d D c 0 a b x Şekil 13.3 D kapalı dikdörtgeni üzerinde tanımlı ve sürekli f : D IR, z = f (x, y) iki değişkenli fonksiyonu verilsin. [a, b] aralığının a = a 0 < a 1 < a <... < a i-1 < a i <... < a n = b bölüntüsünü, [c, d] aralığının ise c = c 0 < c 1 <... < c j-1 < c j <... < c m = d bölüntüsünü seçelim (ünite 11 e bakınız). Bu bölüntülerin çapları δ 1 ve δ olsun. Bu bölüntüler D dikdörtgeninin de D 1, D,..., D mn ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

340 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR 337 gibi küçük dikdörtgenlerden oluşan bir bölüntüsünü doğurmuş olur (bu dikdörtgenler sayısı mn dir, Şekil 13.4 e bakınız). Her 1 k mn için D k dikdörtgeninden keyfi P k (x k, y k ) noktasını seçip d D mn y k P k c c 1 c D 1 a a 1 a x k b Şekil 13.4 S = f (x 1, y 1 ) 1 A + f (x, y ) A f (x mn, y mn ) mn A mn = f (x k, y k ) k A k = 1 toplamını oluşturalım. Burada k A sembolü D K dikdörtgenin alanını göstermektedir. δ 1 0 ve δ 0 iken S toplamının limitine z = f (x, y) fonksiyonunun D dikdörtgeni üzerinde iki katlı integrali denir ve sembolik olarak D gibi gösterilir: f (x, y) d A veya f (x, y) dx dy veya f (x, y) dy dx D D f (x, y) d A = Bu integralin değeri [a, b] ve [c, d] aralıklarının bölüntülerinden ve P k noktalarının seçiminden bağımsızdır. lim (δ 1, δ ) (0, 0) S Eğer f (x, y) 0 ise bu integral, aşağıdan D dikdörtgeni, yukarıdan z = f (x, y) yüzeyi, yanlardan ise D dikdörtgenine dik düzlemlerle sınırlanmış üç boyutlu cismin hacmini ifade eder. I = f (x, y) d A integralini hesaplamak için aşağıdaki işlemler yapılır: D AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

341 338 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR d Önce x i sabit tutup y ye göre f (x, y) dy belirli integrali hesaplanır. Bu c integralin sonucu x e bağlı olduğundan bu sonuç x in fonksiyonudur. Bu fonksiyona g (x) diyelim: g (x) = f (x, y) dy. d c Sonra g (x) fonksiyonunun [a, b] aralığında belirli integrali hesaplanarak sonuç bulunur. Buna göre iki katlı integralin hesaplanması işlemini şöyle ifade edebiliriz: I = D f (x, y) da = a b g (x) dx = a b d f (x, y) dy dx. c Örnek: D = [0, 1] x [-1, 3] olmak üzere hesaplayalım. I = D (x + y ) da integralini Çözüm: Önce x i sabit tutarak g (x) = -1 3 (x + y ) dy = -1 3 x dy y dy = x -1 3 dy + y = x y = x 3 - (-1) = 4x bulunur. Sonra I = 0 1 g (x) dx = 0 1 4x dx = 4. x x 1 0 = = 3 3 bulunur. Örnek: D = 0, π x 0, π olmak üzere, I = sinx cos y integralini hesap- da layalım. D Çözüm: π y g (x) = sinx cos 0 dy = sinx. π y cos 0 dy π = sinx. sin y = sinx. sin π - sin0 = sinx, 0 π/ π/ π/ I = g (x) dx = sinx dx = - cosx = - cos π cos0 =. 0 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

342 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR 339 İki katlı integralin hesaplanmasında integralleme sırası değişebilir. Yani, önce y yi sabit tutup, x e göre b f (x, y) dx a integralini hesaplayıp, sonra elde edilen fonksiyonu [c, d] aralığında integrallersek aynı sonuca geliriz. Yukarıdaki fonksiyonları önce x e, sonra y ye göre integre edip sonucun değişmediğini görünüz. İki katlı integral D dikdörtgeni yerine daha karmaşık kümeler üzerinde de tanımlanabilir, fakat dikdörtgenle yetineceğiz. Değerlendirme Soruları 1. Hacmi 1000 (cm 3 ) olan kesik koninin yüksekliğini, alt taban yarıçapı x ve üst taban yarıçapı y nin iki değişkenli fonksiyonu olarak yazınız. A π (x + xy + y ) B π (x + xy + y ) C π (x + xy + y ) D π x + xy + y E π x + xy + y. f (x, y, z) = y x. ln z üç değişkenli fonksiyonu için f (, 1, e ). f, -1, 1 e - f (4, 1, e) =? A. 1 B. C. 3 D. 4 E. 5 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

343 340 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR 3. f (x, y) = x + y x - y iki değişkenli fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A. { (x, y) IR x + y 1 } B. { (x, y) IR x + y 1 } C. { (x, y) IR x + y > 1 } D. { (x, y) IR x + y < 1 } E. { (x, y) IR x + y = 1 } 4. f (x, y, z) = ln [ z (1 +x + y ) ] üç değişkenli fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A. { (x, y, z) IR 3 z < 0 } B. { (x, y, z) IR 3 z > 0 } C. { (x, y, z) IR 3 z 0 } D. { (x, y, z) IR 3 z 0 } E. IR 3 5. f (x, y) = e x - y ise f x (x, y) f y (x, y) =? A. x y B. y x C. - x y D. x y E f(x, y) = x y + xy 3 ise f x (1, -1) + f y (-1, 1) =? A. -5 B. -4 C. -3 D. - E f (x, y, z) = sinx. cosy. tan z üç değişkenli fonksiyonu içi f y ( π 4, π 4, π 4 ) - fz ( π, 0, π 4 ) =? A. 1 B. 0 C. -1 D. - 5 E. - 7 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

344 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİ YONLAR x y f (x, y) = e A. e B. -e C. -e D. e E. 1 ise f y (, 1) =? 9. D = [-1, ] x [1, 3] olmak üzere A. 1 x y da =? B C. D. 7 3 E f(x, y) = ln(x + y ) ise f x (x, y) + f y (x, y) =? A. 1 x + y B. x + y C. x - y D. (x + y) x + y E. 1 y + 1 x Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. C. D 3. E 4. B 5. C 6. A 7. D 8. C 9. A 10. D AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

345 Diferansiyel Denklemler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 14 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; diferansiyel denklem kavramı ile tanışacak, diferansiyel denklemler ile pratik problemler arasındaki bağlantıyı görecek, basit diferansiyel denklemleri çözebileceksiniz. İçindekiler Giriş 345 Diferansiyel Denklem Kavramı 345 Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler 349 I. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler 353 II. Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Homojen Denklemler 356 Değerlendirme Soruları 359 Çalışma Önerileri Üniteyi baştan sona kadar bir kaç defa dikkatlice okuyunuz

346 Çözülmüş örnekleri iyice inceleyiniz Basit denklemler yazıp tipini belirleyerek çözmeye çalışınız Özel çözümün genel çözümden nasıl elde edildiğine dikkat ediniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

347 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER Giriş Diferansiyel denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli kollarından biri olup, bir çok pratik problemin çözümünde önemli bir araçtır. Bu problemlere örnek olarak salınım problemleri, roket, uydu ve gezegenlerin hareketleri, kimyasal reaksiyonlar, radioaktif maddelerin parçalanması problemleri vb. gösterilebilir. Bu ünitenin amacı diferansiyel denklemlerle tanışmak ve basit denklemlerin çözümünü vermektir.. Diferansiyel Denklem Kavramı Diferansiyel denklemler, bilinmeyen y = y(x) fonksiyonunun türevlerini içeren bir eşitliktir. Bu eşitlikte türevlerle beraber y = y(x) fonksiyonunun kendisi x in bilinen fonksiyonları ve sabitler de bulunabilir. Türevler denildiğinde I. mertebeden, II. mertebeden,... türevler kastediliyorlar. Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Örneğin, y' = sin x, y' - y = 0, xy' + x y = 3 denklemleri I. mertebeden, y'' + 4y = 0, y'' + 3y' + 5y = 0, y 3 y'' + e x y 4 = 8 denklemleri ise II. mertebeden denklemlerdir. Not: Yukarıdaki denklemlerde y, y', y'' fonksiyonları x değişkeninin fonksiyonlarıdır. Genellikle, denklem yazılımında y, y', y'',... altındaki x değişkeni yazılmıyor. Örneğin, y'(x) - y(x) = 0 yerine kısaca y' - y = 0 yazılır. Şimdi matematik modeli diferansiyel denklemlerle verilebilen bir kaç örneği ele alalım. Örnek: 1) Düzlemde bir y = y(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki her (x, y(x)) noktasında teğetin eğiminin x. y(x) olduğunu varsayalım. Türev konusundan bildiğimiz gibi, (x, y(x)) noktasındaki teğetin eğimi y'(x) olduğundan y'(x) = x y(x) yazılabilir. Buna göre, bu eğrinin diferansiyel denklemi AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

348 346 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER y' = xy olur. ) Deneyler sonucunda herhangi bir radyoaktif maddenin, herhangi bir andaki kütlesinin değişim hızının (başka deyişle cismin parçalanma hızının) o andaki kütlesi ile orantılı olduğu görülmüştür. Eğer x anındaki kütle y(x) ise, kütlenin değişim hızı y'(x) türevidir. Deneyler sonucuna göre, y'(x) = k. y(x) yazılabilir. Burada k verilmiş cisme bağlı bilinen sabit negatif bir sayıdır. Bu sayının negatif olmasının sebebi, y(x) kütlesinin zaman geçtikçe azalmasının sonucu olarak y'(x) türevinin negatif olmasıdır. Dolayısıyla radyoaktif kütlenin diferansiyel denklemi dır. y' - ky = 0 3) Yeterli derecede ısınmış bir metal cisim 30 lik bir ortamda (örneğin, havada veya suda) soğutulmaktadır. Deneyler gösteriyor ki bu durumda cismin soğuma hızı, cismin o andaki sıcaklığı ile ortamın sıcaklığı farkı ile orantılıdır. Eğer x anındaki sıcaklık y(x) ise y'(x) = k (y(x) - 30) yazılabilir. Burada k cisme bağlı negatif bir sabittir. Böylece soğumanın diferansiyel denklemi olur. y' = k(y - 30) 4) Esnek bir yaya asılmış m kütleli ağır bir cismin serbest salınımını ele alalım. Eğer x anında denge durumundan olan uzaklık y(x) ise o zaman Newton'un II. kanununa göre (bazı varsayımlar koşuluyla) my''(x) + k y(x) = 0 eşitliği yazılabilir. Burada k sabiti yayın esneklik sabitidir. Buna göre serbest salınımın diferansiyel denklemi olur. my'' + ky = 0 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

349 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER 347 y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer bu fonksiyon ve onun y' = f'(x), y'' = f"(x),... türevlerini denklemde yazdığımızda denklem x e göre bir özdeşliğe dönüşüyorsa, o zaman y = f(x) fonksiyonuna denklemin çözümü denir. Örneğin, y = e x fonksiyonu y' - y = 0 denkleminin çözümüdür. Çünkü y' = (e x )' = e x olduğundan denklemde y yerine e x ve y' yerine de e x yazarsak e x - e x = 0 gibi bir özdeşlik elde ederiz. Aynı zamanda C keyfi sabit olmak üzere y = C e x fonksiyonunun da çözüm olduğunu görmek zor değildir. Keyfi sabit (veya sabitler) içeren çözümlere genel çözümler denir. y' - y = 0 denkleminin genel çözümü y = C e x dir. I. mertebeden diferansiyel denklemlerin genel çözümleri bir keyfi sabit, II. mertebeden denklemlerin genel çözümleri ise iki keyfi sabit içerir. Örnek: xy' + y = e -x denklemi verilmiştir. Bu denklemin genel çözümünün olduğunu gösterelim. y = C - e-x x Çözüm: y = C - e-x x fonksiyonunun türevini kesrin türevi gibi alalım: y' = C - e-x x ' = C - e -x '. x - x'. C - e -x x = 0 + e -x. x - 1. C - e -x = x. e-x - C + e -x. x x y ve y' ifadelerini denklemde yazarsak x. x. e-x - C + e -x x + C - e-x x = e -x ; e -x = e -x özdeşliği elde ediliyor. Buna göre C keyfi sabitine bağlı fonksiyonlar ailesi genel çözümdür. y = C - e-x x Örnek: y'' + 4y = 0 denkleminin genel çözümünün y = C 1 sin x + C cosx olduğunu gösterelim. Burada C 1 ve C keyfi sabitlerdir. Çözüm: y = C 1 sinx + C cosx fonksiyonunun türevlerini alıp denklemde yazalım. y' = C 1 cosx - C sinx, y'' = -4C 1 sinx - 4C cosx ; AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

350 348 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER y ve y'' değerlerini denklemde yerlerine yazarsak, -4C 1 sinx - 4C cosx + 4(C 1 sinx + C cosx) = 0 ; 0 = 0 özdeşliği elde edilir. Böylece iki keyfi C 1 ve C sabitlerine bağlı y = C 1 sinx + C cosx fonksiyonu C 1 ve C sabitlerinin her bir değerinde deklemi sağlamış olur ve dolayısıyla genel çözümdür. Genel çözümden, keyfi sabite (veya sabitlere) değerler verilmesiyle elde edilen çözümlere denklemin özel çözümleri denir. Örneğin, y = e x, y = - e x, y = 1 ex,... fonksiyonları y' - y = 0 denkleminin özel çözümleridir. y = sinx + cosx fonksiyonu da y'' + 4y = 0 denkleminin bir özel çözümüdür. Bu çözüm genel çözümden keyfi sabitlerin C 1 = 1, C = değerleri için elde edilmiştir. Bunlarla beraber, diferansiyel denklemlerin tekil (singüler) çözümü de mevcut olabilir. Eğer denklemin bir çözümü genel çözümde sabite (veya sabitlere) değerler verilerek elde edilemiyorsa bu çözüme tekil çözüm denir. Örneğin, y'(y - x) + xy - x = 0 denkleminin genel çözümü y = - x Aynı zamanda bu denklemin, genel çözümünde sabite değer verilerek + C dir. elde edilemeyen y = x çözümü de bulunmaktadır. Buna göre y = x tekil çözümdür. x ile y arasındaki bir G(x,y) = 0 bağıntısı diferansiyel denklemi sağlıyorsa o zaman bu bağıntıya denklemin kapalı çözümü denir. Örneğin, x + y = 3 bağıntısı yy' + x = 0 denkleminin kapalı çözümüdür. I. mertebe diferansiyel denklem ve a, b sabit sayıları verilsin. Bu denklemin çözümleri içerisinde y(a) = b koşulunu sağlayan y(x) çözümünün bulunması problemine başlangıç değer problemi (b.d.p) denir. B.d.p. çözümü için önce denklemin genel çözümü bulunur. Sonra x yerine a, y yerine b yazılarak C keyfi sabiti için bir değer bulunur. Bu değer genel çözümde C yerine yazılarak istenen özel çözüm elde edilmiş olur. Örnek: y' - y = 0 denklemi ve y(1) = e koşulundan oluşan b.d.p. çözelim. Çözüm: y' - y = 0 denkleminin genel çözümünün y = C e x olduğunu yukarıda ifade etmiştik. Bu çözümde x yerine 1, y yerine e yazarsak ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ e = C e 1 C = e e 1 = e-1 = e

351 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER 349 bulunur. C = e değerini genel çözümde yazarsak y = e. e x = e x+1 fonksiyonu b.d.p. nin çözümü olarak bulunur. Örnek: xy' + y = e -x denklemi ve y(-1) = 0 dan oluşan b.d.p. ni çözelim. Çözüm: olduğunu yukarıda göstermiştik. Bu- Denklemin genel çözümünün y = C - e-x rada x yerine -1, y yerine 0 yazarsak x -1 0 = C - e- C - e = 0 C = e -1 bulunur. C = e değerini genel çözümde yazarsak çözümü bulunmuş olur. y = e - e-x x 1) y = C - x x in (x + y) + xy' = 0 ) y = C 1 x + C nin x y" + y' = 0 denkleminin genel çözümü olduğunu gösteriniz. denkleminin genel çözümü olduğunu gösteriniz.? Yukarıda ele aldığımız örnek diferansiyel denklemlerin çözümlerini gerekli amaçlar için kullandık. Ancak, bu çözümlerin nasıl bulunduğundan söz etmedik. Aslında diferansiyel denklemler teorisinin esas problemi, denklemlerin çözümlerinin bulunması ve çözümlerin özelliklerinin araştırılmasıdır. Fakat, tüm denklemler için yararlı olan genel çözüm yöntemi yoktur. Ancak bazı özel tip denklemlerin çözüm yöntemleri bilinmektedir. Şimdi bu tip denklemlerden, değişkenlerine ayrılabilir denklemleri ele alacağız. 3. Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler f(x) ve g(y) fonksiyonları x ve y nin birer fonksiyonları olmak üzere, y' = f(x). g(y) biçiminde yazılabilen denklemlere değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklemler denir. Örneğin y' = x. y, y' = y. cosx, y' = e x. y, y' = (x + 1). e y,... AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

352 350 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER gibi denklemler değişkenlere ayrılabilir denklemlerdir. Değişkenlerine ayrılabilir denklemi çözmek için y' yerine veya dy dx = f x. g y dy dx yazılarak dy g y = f x dx elde edilir. Her iki tarafın integralini alırsak, dy g y = f x dx + C yazılabilir. İntegraller hesaplandıktan sonra genel çözüm bulunur. Not: Yukarıda iki tane integralleme sonucunda iki C 1 ve C keyfi sabitleri yazılmalıdır. Ancak iki keyfi sabitin farkı yine bir keyfi sabit olduğundan sonuçta tek bir C sabiti yazılır. Örnek: y' - y = 0 dekleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: dy dx = y ; dy y = dx yazıp her iki tarafın integralini alırsak dy y = dx + C yazılır. dy y = ln y, dx = x olduğundan ln y = x + C y = e x+c = e C. e x elde edilir. e C yeniden bir keyfi sabit olduğundan e C yerine yine C yazarsak genel çözümü ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

353 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER 351 y = C e x olarak buluruz. Örnek: y' = k(y - 30) denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: dy dx = k y - 30, dy y - 30 = k dx, dy y - 30 = k dx + C, ln y - 30 = k x + C, y - 30 = ekx + C = e C. e kx ve genel çözüm y = 30 + Ce kx olarak bulunur. Örnek: 100 C ye kadar ısıtılmış bir metal cisim 30 lik bir ortamda soğutulmaktadır. 4 dakika sonra cismin sıcaklığı 70 C olmuşsa, 10 dakika sonra cismin sıcaklığı kaç olur? Çözüm: Yukarıda soğumanın diferansiyel denkleminin genel çözümü y = 30 + C e kx olarak bulunmuştu. Başlangıçta cismin sıcaklığı 100 C olduğundan y(0) = 100 olur. Bu koşuldan yararlanarak C sabitini bulalım: 100 = 30 + C e k.0 C = 70. Buna göre, y = e kx olur. k yı bulmak için y(4) = 70 koşulundan yararlanalım. k - 0,14. Bunu yukarıda yazarsak y = e -0,14x bulunur. Burada x = 10 yazarsak 10 dakika sonra cismin sıcaklığı olur. 70 = e k.4 e 4k = 4 7 4k = ln 4 7 k = 1 4 ln 4 7, y(10) = e - 0,14.10 = e -1,4 47 C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

354 35 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER Örnek: y' = 3 (y-) denkleminin y(0) = 3 koşulunu sağlayan çözümünü bulalım. Çözüm: dy dx = 3 (y-), dy y- = 3 dx, dy y- = 3 dx + C, ln y- = 3x + C. Burada y(0) = 3 koşulunu kullanırsak C sabitini bulabiliriz. x = 0, y = 3 yazarsak ln 3- = C C = ln1 = 0 bulunur. C nin bu değerini yukarıda yazarsak ln y- = 3x y- = e 3x y = ± e 3x bulunur. Bu çözümlerden y(0) = 3 koşulunu y = + e 3x çözümü sağladığından cevap olarak y = + e 3x elde edilir. Örnek: y' = y. cosx denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: dy dx = y cosx, dy y = cosx dx dy y = cosx dx + C ln y = sinx + C y = e sinx + C = e C e sinx. Burada e c yerine yine C yazarsak genel çözüm olarak y = C e sinx bulunur.? 1) y' = xy + x denkleminin genel çözümünü bulunuz. ) y' + y tanx = 0 denkleminin y(0) = 1 koşulunu sağlayan çözümünü bulunuz. Cevaplarınız y = C e x - 1 ve y = cosx olmalıydı. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

355 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER I.Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler I. mertebeden denklemler içerisinde çözüm yolu bulunmuş olan denklem tiplerinden biri de lineer denklemlerdir. P(x) ve Q(x) bilinen fonksiyonlar olmak üzere y' + P(x). y = Q(x) gibi denklemlere I. mertebeden lineer diferansiyel denklemler denir. Fiziksel anlamlara uygun olarak Q(x) fonksiyonuna "girdi", elde edilen y(x) çözüm fonksiyonuna ise "çıktı" denir. Bu denklemin genel çözüm formülü y = e - P x dx C + e P x dx. Q x dx gibidir. Bunun genel çözüm olduğunu bu ifadeden y' türevini alıp denklemde yazıp özdeşlik elde ederek görmek mümkündür, fakat bunun üzerinde durmayacağız. Formülden görüldüğü gibi genel çözümü bulmak için iki tane belirsiz integrali hesaplamak gerekmektedir. Bu integraller r x = P x dx ve R x = Q x e rx dx integralleridir. O zaman genel çözüm y = e -r(x) [ C + R(x) ] dir. Örnek: y' - y x = x denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: Denklem Buna göre y ' gibi yazılabildiğinden x. y = x P(x) = - 1 x, Q(x) = x dir r(x) = - 1 x dx = - dx x = -ln x, R(x)= x. e-ln x dx, e -ln x = (e ln x ) -1 = x -1 olduğundan AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

356 354 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER R(x) = x. x -1 dx = x bulunur. Buna göre genel çözüm y = e - (-ln x ) ( C + x ) = e ln x ( C + x ) = x ( C + x ) dir. Örnek: y' + y = e -x denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: P (x) = 1, Q (x) = e -x olduğundan r x = 1. dx = x, R x = e - x. e x. dx = 1. dx = x olur. Buna göre genel çözüm y = e -x ( C + x ) dir. Örnek: y' - y tanx = 1 cosx çözelim. denklemi ve y(0) = 0 dan oluşan başlangıç değer problemini Çözüm: P(x) = -tanx, Q(x) = 1 cosx olduğundan r(x) = (-tanx) dx = - tanx dx = - sinx cosx dx Bu integrali hesaplamak için cosx = u dönüşümünü (değişken değişimini) yaparsak -sinx dx = du olur. Buna göre cosx > 0 varsayımı ile r(x) = - -du = du = lnu = ln (cosx u u R(x) = 1 cosx eln (cosx) dx elde edilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

357 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER 355 e ln (cosx) = cosx olduğundan R(x) = 1 cosx dx = 1. dx = x cosx ve genel çözüm y = e -ln (cosx) ( C + x ) = (e ln (cosx) ) -1 ( C + x ) = (cosx) -1. (C+x) = C + x cosx dır. Böylece, denklemin genel çözümü y = C + x cosx olarak bulunur. Şimdi burada x = 0, y = 0 yazarsak C yi buluruz: 0 = C + 0 cos0 0 = C 1 C = 1. 0 = 0 C = 0 değerini genel çözümde yazmakla y = 0 + x cosx = x cosx çözümünü bulmuş oluyoruz. Örnek: xy' + y = x + 1, y () = 3 başlangıç değer problemini çözelim. Çözüm: Bu denklemin her iki tarafını x e bölelim. y' + 1 x y = x + 1 x Buradan P(x) = 1 x, Q(x) = x + 1 = 1 + x 1 x olur Buna göre x > 0 varsayımı ile r(x) = 1 x dx = lnx, R(x) = (1 + 1 x ). elnx dx = (1 + 1 ) x dx = (x + 1) dx = x x + x bulunur. Genel çözüm AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

358 356 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER y = e -lnx ( C + x + x ) = x-1 ( C + x + x ) = C x + x + 1 ; y = C + x x + 1 dir. Genel çözümün formülünde x = ve y = 3 yazalım: 3 = C C = 1 C = bulunur. C = değerini genel çözüm formülünde yazarsak istenen çözümü buluruz:? y' - y + 3 = 0 denkleminin y(0) = 1 koşulunu sağlayan çözümünü bulunuz. Cevabınız y = 3 - ex olmalıydı. y = x + x II. Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Homojen Denklemler p ve q sabit sayılar olmak üzere y'' + py' + qy = 0 gibi denklemlere II. mertebeden sabit katsayılı lineer homojen deferansiyel denklem denir. Biz bu denklemin çözüm yöntemini verip, bunların nereden elde edildiğini tartışmayacağız. Bu tür denklemlerin çözümü karakteristik denklem denilen λ + p λ + q = 0 ikinci dereceden denklemin çözümüne bağlıdır. = p - 4 q diskriminant olmak üzere, üç durum söz konusudur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

359 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER 357 1) > 0. İkinci dereceden denklemin λ 1 = - p -, λ = - p + gibi iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin genel çözüm y = C 1 e λ 1 x + C e λ x formülü ile verilir. Burada C 1 ve C keyfi sabitlerdir. ) = 0. Bu durumda ikinci dereceden denklemin tek kökü var: λ 1 = λ = - p = λ. Diferansiyel denklemin genel çözümü y = (C 1 + C x) e λ x formülü ile verilir. 3) < 0. Bu durumda ikinci dereceden denklemin gerçel köklerinin olmamasına rağmen diferansiyel denklemin genel çözümü y = e ax (C 1 cosbx + C sinbx) formülü ile veriliyor. Burada Örnek: a = - p, b = - dir. y'' - 4y = 0 denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: Karakteristik denklem λ - 4 = 0 dir. Buradan λ 1 = -, λ = olur. Genel çözüm y = C 1 e -x + C e x AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

360 358 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER olarak bulunur. Örnek: y'' + y' - 6y = 0 denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: λ + λ - 6 = 0 karakteristik denklemin kökleri λ 1 = -3, λ = olarak bulunur. Buna göre genel çözüm y = C 1 e -3x + C e x olur. Örnek: y'' + 6y' + 9y = 0 denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: λ + 6 λ +9 = 0 karakteristik denklemin tek kökü var: λ 1 = λ = -3. Buna göre genel çözüm y = C 1 e -3x + C x e -3x = (C 1 + C x) e -3x olur. Örnek: y'' - 6y' + 13y = 0 denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: Κarakteristik denklem λ - 6 λ + 13 = 0 dır. Diskirminant = 36-5 = -16 < 0 olur. a = - p = - -6 = 3, b = - = - (-16) = 16 = 4 = olduğundan genel çözüm aşağıdaki gibi olur: y = e 3x ( C 1 cosx + C sin x ) Örnek: y'' + 9y = 0 denkleminin genel çözümünü bulalım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

361 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER 359 Çözüm: λ + 9 = 0 karakteristik denklemin gerçek kökleri yoktur: = = -36 < 0. a = - p = - 0 = 0, b = - = 36 = 6 = 3 olduğundan genel çözüm y = e 0.x ( C 1 cos 3x + C sin 3x ) dir. e 0.x = e 0 = 1 olduğundan genel çözüm, y = C 1 cos 3x + C sin 3x olarak bulunur. 1) y'' + 4y' + 3y = 0 ) y'' + y' + y = 0 3) y'' + y' + y = 0 denklemlerinin genel çözümünü bulunuz.? Cevaplarınız y = C 1 e -3x + C e -x, y = C 1 e -x + C x e -x ve y = e -x (C 1 cosx + C sinx) olmalıydı. Değerlendirme Soruları 1. (y'') 3 + (y' ) 5 + xy = 0 denkleminin mertebesi aşağıdakilerden hangisidir? A. 1 B. C. 3 D. 4 E C ye kadar ısıtılmış bir metal cisim 0 C lik bir ortamda soğutulmaktadır. Eğer 5 dakika sonra cismin sıcaklığı 100 C olursa, 15 dakika sonra cismin sıcaklığı yaklaşık olarak kaç olur? A. 35,8 C B. 36,8 C C. 37,8 C D. 38,8 C E. 39,8 C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

362 360 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER y' = y 3. x 3 denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = Ce x B. y = Ce - 1 x C. y = Ce - 1 x D. y = Ce - x E. y = Ce -x 4. y' - y cotx = y denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = Ce x cosx B. y = Ce x sinx C. y = Ce x tanx D. y = Ce x cotx E. y = C sinx 5. y' = xe - y, y(0) = -1 başlangıç değer probleminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = ln x + 1 e B. y = x - 1 e x C. y = ln x + 1 e D. y = ln x + 1 e E. y = x - 1 e - x y' + y 6. x = x3 denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = C x + x3 6 B. y = C x + x4 6 C. y = C x + x 6 D. y = C x + x 6 E. y = C x + x4 6 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

363 D İ FERANSİ YEL DENKLEMLER y' - y = e x cosx, y(0) = 1 başlangıç değer probleminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = ex 1 + sinx B. y = e- x 1 + sinx C. y = ex 1 + cosx D. y = e- x 1 + cosx E. y = ex sinx + cosx 8. y'' + 5y' - 3y = 0 denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = C 1 e - x + C e 1 x B. y = C 1 e x + C e - 1 x C. y = C 1 e 3x + C e - 1 x D. y = C 1 e - 3x + C e 1 x E. y = C 1 e - 3x + C e x 9. 4y'' + 1y' + 9y = 0 denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = Ce - 3 x B. y = C 1 + C x e 3 x C. y = C 1 + C x e 3x D. y = C 1 + C x e -3x E. y = C 1 + C x e - 3 x 10. y'' + y' + 5y = 0 denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = e -x (C 1 cosx + C sinx) B. y = e x (C 1 cosx + C sinx) C. y = e -x (C 1 cosx + C sinx) D. y = e -3x (C 1 cosx + C sinx) E. y = e -x (C 1 cosx + C sinx) Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. B. A 3. C 4. B 5. C 6. B 7. A 8. D 9. E 10. A AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

364 36 Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar Çoker D., Özer O., Taş K., Küçük Y., Genel Matematik, Cilt 1,, Bilim Yayınları, Ankara, Demana F., Waits B. K., Precalculus, Addison- Wesley Publishing Com., New York, Gaughan E. D., Hall C. E., College Algebra and Trigonometry, Brooks/Cole Publishing Com., Monterey, Göğüş M., Koçak Ş, Tayfur C., Üreyen M., Matematik I (Diferansiyel Hesap), Bizim Büro Basımevi, Ankara, Göğüş M., Koçak Ş, Üreyen M., Matematik I (İktisadi Uygulamalı), Bizim Büro Basımevi, Ankara, Göğüş M., Koçak Ş., Tayfur C., Üreyen M., Matematik II (İntegral Hesap), Bizim Büro Basımevi, Ankara Göğüş M., Koçak Ş., Üreyen M., Matematik Fasikül 1, Açıköğretim Fakültesi Yayınları No: 58, Eskişehir, Koçak Ş., Üreyen M., Göğüş M., Olgun Ş., Görgülü A., Genel Matematik Fasikül 1, Açıköğretim Fakültesi Yayınları No: 115, Eskişehir, Larson R. E., Hostetler R. P., Edwards B. H., Brief Calculus, D.C. Heath and Com., Lexington, Musser G.L., Burger W. F., Mathematics for Elementary Theachers, Prentice Hall, New Jersey, Saban G., Analize Giriş, İ. Ü. Fen Fakültesi Basımevi, İstanbul, Shepley L. Ross, Differential Equations, John Wiley and Sons, New York, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ