Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi

Transkript

1 Jol of Egeeg d Ntl Sceces Mühedslk ve Fe Blmle Degs Sgm 7, 6-38, 009 Aştım Mkles / Resech Atcle SOLUON OF D CANLEVER BEAM BY USNG HE ELEMEN FREE GALERKN MEHOD WH HE FNE ELEMEN MEHOD Mhmt PEKEDİS, Hs YLDZ* Ege Üvestes, Mühedslk Fkültes, Mke Mühedslğ Bölümü Boov/İZMİR Receved/Gelş: Revsed/Düzeltme: Acceted/Kbl: ABSRAC he Elemet Fee Glek EFG method bsed o Glek fomlto, hch s develoed s ltetve to the fte elemet method hs bee sed dely solto of egeeg oblems fo lst to decdes. ths stdy, e d ol EFG method s led to smle sold mechcs oblem. As mecl emle, D elstc ctleve bem fed t oe ed d sbjected to tcto t the othe fee ed s vestgted. Movg lest sqes omto s sed s she fctos. Dslcemet vles d y d solto tme obted by sg EFG e comed th lytcl solto d the fte elemet eslts. As eslt, t c be coclded tht the cccy d effcecy of elemet fee Glek method soltos e bette th the eslts of the fte elemet method. Keyods: Messless methods, the fte elemet method, elemet fee glek, ctleve bem. İKİ BOYULU ANKASRE KİRİŞİN ELEMAN BAĞMSZ GALERKİN MEODU VE SONLU ELEMANLAR YÖNEMİ İLE ÇÖZÜMÜ ÖZE Glek çözüm osedüüe dy Elem Bğımsız Glek EBG metod so ym yıldı sol eleml yöteme ltetf olk gelştlmş ol mühedslk oblemle çözümüde yygı olk kllılmktdı. B çlışmd ye ve oüle ol EBG metod bst b ktı csm mekğ obleme yglmışıdı. İcelee ümek öek olk b c kste dğe c d zolmy mz bıkıl k boytl elstk kş celemşt. EBG metod kllılk elde edle. ve y ye değştme değele ve çözüm süele, ltk çözüm ve sol elml soçlıyl kşılştıılmıştı. Soç olk celee oblem ç elem bğımsız Glek yötem doğlk ve vemllk bkımıd sol eleml yötemde dh y oldğ kı vılmıştı. Aht Sözcükle: Ağsız yötemle, sol eleml yötem, elem bğımsız glek, kste kş.. GİRİŞ Dfesyel deklemle, ltk çözümle yıd lışılmış olk sol fkl, sol hcmle, sol eleml gb çeştl syısl yötemle kllılk çözülmekted. Lk b yötemle kllılmsı sısıd bzı zolkl yşmktdı. B yötemlede e çok kllıl Sol Eleml Yötem de SEY kşılşıl zolkld b tes çözüm ğıı * Coesodg Atho/Soml Yz: e-ml/e-let: hs.yldz@ege.ed.t, tel: / 897 6

2 Solto of D Ctleve Bem by Usg the Elemet Sgm 7, 6-38, 009 olştlmsıdı. Ayıc SEY, yüksek defomsyol ve çok syıd elem sh oblemle çözümüde sol çıkmktdı. B yıd yısl çtlk lelemes oblemlede yede çözüm elde etmek ç tek ğ tüetlmes de kşılşıl zolkld b bşksıdı. Sol eleml yötemde lışılmış ğ tekğyle b gb zolklı üstesde gelmek oldkç zod. Mevct yötemledek b tü sıkıtıld dolyı ğsız yötemlele çözüm tekkle gelştlmşt. B yötemlede ğ blmmkt ve düzel b şeklde dzlm geekmeye düğüm oktlı kllılmktdı. Ağ olştmd kşılşıl zolkl b metott göülmez. B edele mühedslk yglmlıd dh esek b yklşım s.[ Ağsız yötemle bçok ştım gb üzede yoğlştığı b l ol ktı csm mekğde yygı olk kllılmktdı. Gelştle ğsız yötemlede Düz Pçcık Hdodmğ DPH [, Yede Üetle Çekdek Pçcığı Yötem YÜÇPY [3,, h- toz blt [5, Ağsız Yeel Petov-Glek AYPG [6, Elem Bğımsız Glek EBG metod [7,8, gb metotl şekl foksyolıı olştlmsıd Nyoles tfıd [9 öele heketl e küçük kele yklşımı kllıl. B çlışmd, b c kste dğe c yük ygl elstk b kş k boytl çözümüde, elem bğımsız Glek yötem kllılk elde edle ye değştme değele ve çözüm süele, sol eleml yötem ve ltk çözümde elde edle soçll kşılştıılmıştı.. ELEMAN BAĞMSZ GALERKİN YÖNEMİ B metot ğsız yötemlede e çok kllılld b tesd. Metot şekl foksyolı olk heketl e küçük kele yötem foksyolıı kllı. B yötemde: Zyıf fomd sstem deklemle tüetlmes ç Glek osedüü yglı. Ak ldk ğl tegsyo yglı... Heketl E Küçük Kele Yötem Heketl E küçük Kele HEK metod, özel oktl sıd teolsyolı tüetmek ç gelştlmşt. B metot osedü olk ğılıklı e küçük kele ve eştlemesyle yı özellğ tşımktdı. ek fkı b metod he okty yı yı yglbllğd. HEK yklşımlı; he düğüm etfıd b destek olşt b ğılık foksyo, b olom ol tb ve düğümü kom bğlı ol ktsyıld bett. He b düğüm ç, ğılık foksyo sdece düğüm etfıdk destek dele küçük b bölgede etk bölges sıfıd fklıdı. B etk bölgele kesşm düğümle sıdk bğltıyı sğl. HEK yklşımlıı öeml b özellğ süeklkle ğılık foksyo süekllğe bğlı olmsıdı [0. HEK foksyolı geellkle vele tm üzede geçmedğde, yklşıml olk tımlıl. foksyo yklşımı ol h sbt ktsyılı olmy m. deecede b olom kllılk olştlmşt. Polom deeces tb foksyo deecese eştt. oktsı cvıdk yeel yklşık foksyo, h L, şeklde fde edl. Bd m [,... ktsyılı, [ 0,... m 3 7

3 8 dı. Blmeye metele ol j değele b oktd, yeel yklşım ve düğüm metele sıd mmze edlmesyle bl. h L J [, [ 0 5 J mmm değe, deklem e göe tüev lıı sıfı eştlemesyle bl. m 0 [ 0 [ 0 [ 6 6 deklem vektö ve tsöle kllılk tek yzılıs; ı 0 [ 7 eştlğ elde edl. Sbt tem ol syısıı elme ed değşkele sğ tf tılıs; 8 bğıtısı bl. B A 9 A 0 [ ı... B Deklem 9 d değşke çözülü deklem e yeleştlse heketl e küçük kele yklşımı şğıdk gb ol. B A h [ Ble yklşık fom şeklde yzılıs; M. Pekeds, H. Yıldız Sgm 7, 6-38, 009

4 9 N h φ Φ 3 olk sdeleştl. Bd [ B A φ ol. oktsı ç düğüm oktsıdk şekl foksyo şğıdk gb tımlı. [ A φ 5 A mts momet mts olk tımlı. Boyt m m d. B boytl lee hl ç momet mts şğıdk gb ol. + + A... 6 Deklemde çıkç göüldüğü gb eğe değe e eştse oktsı sdece b odl lığı çeyo lmı gelmekted. m değe ye eşt ols mts tekl ol döüştüülemez. Döüştüüleblmes ç geekl ol koşl m d. Lee dm ç temel foksyo şğıd yzılmıştı. [ y 7 Kdtk dm ç temel foksyo [ y y y 8 ol.... Ağılık Foksyolıı Seçm Şekl foksyolıı olştlblmele ç ğılık foksyolı olştlmsı geek. Foksyol seçlke bzı özellkle tşımsı geek. Öeğ, destek bölges çde - >0, destek bölges dışıd - 0 olck şeklde seçl. Ağılık foksyolı şekl foksyolıı hsssyet öeml ölçekte etklemekted. B yüzde ğılık foksyolı y b şeklde seçlmes geek. E çok kllıl ğılık foksyolı kübk sle, ktk sle ve Gss foksyolı ol b foksyol 9, 0, deklemlede velmşt. Kübk sle foksyo > W 9 Ktk sle W foksyo Solto of D Ctleve Bem by Usg the Elemet Sgm 7, 6-38, 009

5 M. Pekeds, H. Yıldız Sgm 7, 6-38, W 0 0 > Gss W foksyo / α e W 0 d > Ykıdk fdelede bd d - fdes, celee oktsı le düğüm oktsı sıdk mesfed. metes se ğılık foksyo ç destek bölges boyt etklk yıçıı temsl etmekted. bğıtısıd çözüm bölges bğımsız değşke fdes se seçlmş ol düğümle çözüm bölgesdek koodtlıı beltmekted. Pydd ye l etklk yıçıı değe tmme lz y kş tfıd seçlmekted... Çözüm Posedüü Γ le sııldıılmış oblem bölges kbl edls. Sıı Γ ve Γ t olk k çy bölüsü. Bld Γ fdes ye değştme değele tımldığı sııı, Γ t de çekme kvvet veldğ sııı beltmekted. Elstosttk dml ç l deklemle, σj, j + b 0 0 σ j Cjkl ε kl ε j, j + j, gb tımlı. Ye değştme ess ve yük doğl sıı koşllı deklem 6 ve 7 de velmşt. Γ üzede tımlı 3 t σ t Γ t üzede tımlı j j Dh öce beltldğ gb Glek osedüü yglı dege deklem test foksyo ol v le çılıs zyıf fom elde edl. v σ, + b d 0 j j j 5 v σ ç zc klı yglıs; j v σj, j d σjv, jd + vbd 0 6 elde edl. Bc teme Gss teoem yglıs şğıdk eştlk bl. 30

6 Solto of D Ctleve Bem by Usg the Elemet Sgm 7, 6-38, 009 Γ v σj jdγ σjv, jd + vb d 0 7 Deklem 7 de k sıı koşllı deklem 30 yglıs şğıdk eştlk bl. Γ vt dγ σ jv, j d + vb d 0 8 σ j σ j eşt oldğd deklem şğıdk şeklde sdeleştl. σ jv, j σj v, j + v j, σj εj v 9 Γ σ ε v d v t dγ + v b d 30 j j Deklem vektö otsyolı şeklde yzılı so hl olk şğıdk bğıtı bl. ε Cε v d t vdγ + b vd Γ Lgge çlı metod kllılk ess sıı koşllı yglıs şğıdk fde elde edl. Γ ε Cε v d t vdγ + b v d + δλ dγ + v λ dγ 3 Lgge ç fdes yklşık olk; λ N s λ Γ 33 gb göstelebl. Deklemle e so hl olk; K G f G 0 λ q KJ B CBJ d 35 GK Φ N K DSdΓ 36 f Γt Γ Φ tdγ + Φ bd qk NK SdΓ 38 Γ bd S, boytl dygol mtst. Ktılık mtsdek Γ

7 M. Pekeds, H. Yıldız Sgm 7, 6-38, 009 Φ, 0 B 0 Φ,y 39 Φ,y Φ, şeklde ol. 3. İKİ BOYULU ANKASRE KİRİŞİN EBG VE SEY İLE ANALİZİ B bölümde ltk, EBG ğsız metotlı kşılştıılmlı lz k boytl elstk kste kşe Şekl yglcktı. B kş yglmld sık olk kllıldığıd dolyı hem ümek, hem de ltk olk celemşt. Şekl. P yüküe mz k boytl kste kş Alzde Şekl de göüldüğü gb L oktsıd P yüküe mz bıkıl elstk b kş kllılmıştı. Poblemdek değşkele değele Çzelge gb seçlmşt. Çzelge. Akste kştek değşkele değele Değşke Değe Yük P 000 N Yog modülü E 30 MP Posso oı ν 0.3 Kş boy L 8 m Kş yükseklğ D m Kş klılığı b m 3.. mosheko Kş İç Altk Çözüm Deklemle Ye değştmele ç ltk çözümle ltetüde ylılk şğıdk gb elde edlmşt [. 3

8 Solto of D Ctleve Bem by Usg the Elemet Sgm 7, 6-38, 009 y Py D, y 6L v y 6E P D, y 3vy L + + 5v + 3L 6E Ess sıı koşllı yglı 0 ve deklemle çözülmesyle 0 oktsıdk ve y yöüdek ye değştmele P + v y 6E D 0 y 0 PvL y E olk bl. İk boytl mosheko kş oblem EBG yötem kllk şğıdk bsmkl göe lz edlmşt.. Poblem bölge geomets tımlmsı.. Poblem bölges göstem ç l düğümle olştlmsı. 3. Nümek tegsyo ç k ldk hücele tımlmsı.. Gss okt syısı, bölge etklk boyt, EBG şekl metele, eltı ktsyısı metele tımlmsı. 5. Deklem tkımlıı olştlmsı. 6. Ess sıı koşllıı tımlmsı. 7. Deklem tkımıı çözümü. mosheko kş ç oblem bölges geomets olştmk bstt. Kmşık yıdk oblemle ç, ğsız yötemlele çözümde dh kmşık ogmlmı yılmsı geekmekted. Poblem, EBG yötemyle Mtlb ket ogmı ve det düğüm oktsı kllılk çözülmüştü. Nümek tegsyo ç tolm 0 0 düzel dkdötge k l hücele kllılmıştı. Ak l hücele l düğümlede bğımsızdı. Şekl de kş modellemes ve koodtlı göstelmekted. Şekl de EBG, SEY ve ltk çözümde kllıl düğüm oktlı velmşt. B çlışmd çözüle oblem ç ess sıı ştlı olk, deklem ve 3 kllılk sol ç ç yglmıştı. Sol eleml metodd 9, 0 ve 57 düğüm syısı kllılı çözüm ç e y soç vee zometk kdtk elem t seçlmşt. Elem bğımsız Glek yötemde se 9 düğüm syısı, 0 hüce, 60 Gss kdtk okt kllılmıştı. Şekl 3, ve 5 te ltk, EBG ve SEY çözümlede elde edle ye değştme dğılımlı velmşt. 0 3 Şekl. EBG, SEY ve ltk çözümde kllıl düğüm oktlı. 33

9 M. Pekeds, H. Yıldız Sgm 7, 6-38, 009 Şekl 3. Altk çözümde elde edle dğılımı Şekl. EBG metodd elde edle dğılımı Şekl 5. SEY kllılk elde edle dğılımı Şekl 6. Altk, EBG ve SEY de elde edle, sebest çt y ekse boyc ye değştmele Şekl 7. EBG ve SEY de elde edle, sebest çt y ekse boyc dek htl 3

10 Solto of D Ctleve Bem by Usg the Elemet Sgm 7, 6-38, 009 Şekl 6 ve 7 de kş yük ygl sebest cdk ekseel yödek ye değştme değele ltk, EBG ve SEY le heslmış ve bbleyle kşılştıılmıştı. B kşılştım socd ltk çözümle EBG ve SEY sıdk fkl ht mktı olk tımlmış ve yı b şeklde velmşt. Şekl 6 d göüldüğü gb EBG yötemde ht olıı dh z oldğ bellemşt. Şekl 8-0 d se kş y yöüdek defomsyo dğılımı veşmşt. B gfklede göüldüğü gb üç fklı çözüm yötemde elde edle dğılıml bezed. Şekl 7. Altk metott elde edle y ye değştme dğılımı Şekl 8. EBG metodd elde edle y ye değştme dğılımı Şekl 9. 7 elemlı SEY de elde edle y ye değştme dğılımı Şekl. Altk, EBG ve SEY de elde edle, kş otsıd y ekse boyc y ye değştmele Şekl 0. EBG ve SEY de elde edle, kş otsıd y ekse boyc y dek htl 35

11 M. Pekeds, H. Yıldız Sgm 7, 6-38, 009 Şekl ve de kş zlmsı ekse ot oktsıdk eksee dk yödek ye değştme y değele ltk, EBG ve SEY le heslmış ve bbleyle kşılştıılmıştı. B kşılştım socd ltk çözümle EBG ve SEY sıdk fkl ht mktı olk tımlmış ve yı b şeklde velmşt. Şekl de göüldüğü gb EBG yötemde ht olıı dh z oldğ bellemşt. Şekl. Altk, EBG ve SEY de elde edle, sebest çt y ekse boyc y ye değştmele Şekl. EBG ve SEY de elde edle, sebest çt y ekse boyc y dek htl Şekl 3 ve de kş sebest cd y ekse boyc y yöüdek ye değştme y değele ltk, EBG ve SEY le heslmış ve bbleyle kşılştıılmıştı. B kşılştım socd ltk çözümle EBG ve SEY sıdk fkl ht mktı olk tımlmış ve yı b şeklde velmşt. Şekl 3 ve de göüldüğü gb EBG yötem ltk çözümle dh yml oldğ ve EBG yötemde ht olıı dh z oldğ göülmekted. Şekl 5. Altk, EBG ve SEY de elde edle, y0 d ekse boyc y ye değştmele Şekl 3. EBG ve SEY de elde edle, y0 d ekse boyc y dek htl Dğe b kşılştım kş tfsız ekse boyc düşey ye değştme y değele le yılmış ve Şekl 5 ve 6 d b kşılştıml ve ht mktlı velmşt. Şekl 6 d göüldüğü gb EBG yötem kste mesette zklştıkç ltk çözümle dh yml oldğ, mesete ykı oktld SEY dh y soç vedğ göülmekted. 36

12 Solto of D Ctleve Bem by Usg the Elemet Sgm 7, 6-38, 009 Şekl. EBG yötemdek çözüm süele CPU tme düğüm syısı bğlı olk SEY yötemyle kşılştıılmsı Şekl 5. EBG yötemdek ht mktlıı düğüm syısı bğlı olk SEY yötemyle kşılştıılmsı Nümek metotld kllıl yötem yglğ ve vemllğ tı e öeml etkelede b oblem çözüm süesd. Sol eleml yötemdek çözümü hsssyet etkleye e öeml mete lzde kllıl elem syısıdı. Elem syısı le soç çözüm doğllğ sıd geel olk doğ otı lşks oldğ söyleebl. B lmd b çlışmd celee oblem ç sol eleml yötemde fklı düğüm syısı seçleek geek soç eseklğ ve geekse çözüm sües bkımıd elem bğımsız Glek metodyl kşılştıılmıştı. Çözüm sües etkleye metelede dğele se lzde kllıl ogmlm dl, şletm sstem özellğ ve e öemls de blgsy doımı le lklıdı. Alz süesce Coe do tel sde.ghz CPU, GB RAM hfız, Wdos Vst şletm sstem ve Mtlb 7.0 ogmı kllılmıştı. Çzelge de EBG ve SEY de oblem çözüm sües düğüm syısı bğlı olk değşm velmşt. EBG metod le SEY de yı düğüm syısı kllıldığıd, oblem çözüm sües EBG yötemde SEY e göe dh z oldğ göülmüştü. B e öeml edelede b EBG yötemde şekl foksyolıı heslmsıd geçe zm ve Gss kdtk oktlıı olştldkt so ye değştmele hesbıd geçe zmı z olmsıdı. SEY de elem syısı ttıkç doğl olk çözüm sües ttığı gözlemşt. Ack k yötem sıdk ht olıı kşılştımsı socd se Şekl 6, yı ht mktlıı ck yüksek düğüm syılı SEY le elde edldğ ve b dmd SEY sües EBG yötemde dh z oldğ bellemşt. Çzelge. Sebest çtk ot okt 8, y6 ç SEY ve EBG yötemlede düğüm syısı bğlı çözüm sües, değe ve ht mktlı ltk çözüm y Yötem Düğüm syısı Çözüm sües s y m Ht mktı EBG SEY SEY SEY y 37

13 M. Pekeds, H. Yıldız Sgm 7, 6-38, 009 Sol elml yötemde elem syısı tııldıkç çözüm hsssyet ttığı göülmüştü. Hsssyet çısıd EBG yöteme yklştığı gözlemşt. B kşılık olk çözüm sües tmıştı. Ayı zm süecde y SEY de 0 düğüm syısı, EBG yötemde se 9 yklşık olk düğüm syısı kllıldığıd EBG, çözüle oblem ç sol eleml yötemde dh hsss soçl vemşt, ve yı ht mktıd y SEY de 57 düğüm oktsı syısı, EBG yötemde se 9 düğüm syısı kllıldığıd EBG yötemde oblem ç sol eleml yötemde dh kıs süede çözülmüştü Çzelge.. YORUMLAR B çlışmd elem bğımsız Glek yötem k boytl mosheko kşe yglı elde edle soçll sol eleml yötem ve ltk çözümle ye değştme değele, çözüm süele ve düğüm syısı gb değşkele bkımıd kşılştıılmıştı. Geek SEY de, geekse EBG yötemde düğüm syısıı tıılmsı çözüm hsssyet olml yöde etklemşt. B bğlı olk çözüm sües de tmıştı. B çlışmd celee oblem ç SEY le EBG yötemde eşt syıd düğüm syısı kllıldığıd EBG metod y değele çısıd SEY e göe dh hsss soçl vedğ ck dh z şlem süese sh oldğ göülmüştü. İk yötem ltk çözümle kşılştıılmsı soc elde edle ht olıı yı değede olmsı ç SEY de dh fzl düğüm oktsıı elemı kllılmsı geektğ ve b d SEY çözüm süele tıdığı ve EBG yötemde dh fzl olmsı yol çtığı bellemşt. B edele EBG yötem kmşık oblemle dışıd bst b mekk oblem çözümüde ble SEY de dh veml oldğ bellemşt. REFERENCES / KAYNAKLAR [ Pekeds M., Ağsız Yötemlele Yısl Alz, Yüksek Lss ez, Ege Üvestes, Mk Mühedslğ Bölümü, İzm, 008. [ Mogh J.J., A todcto to SPH. Comt. Phys. Com., 8, 89 96, 988. [3 L W.K., Che Y., Chg C.., Belytschko., Advces mltle keel tcle methods, Comt. Mech., 8:73, 996. [ L W.K., J S, Zhg Y.F., Reodcg keel tcle methods, t. J. Nme. Methods Eg., 06, 08 06, 995. [5 Dte C.A.M., Ode J.., H clods A h meshless method, Nme Methods Ptl Dffee Eqt.,7, , 996. [6 Atl S.N., Zh., A e meshless locl Petov Glek MLPG och comttol mechcs, Comt. Mech., :7 7, 998. [7 Belytschko., L Y.Y., G L., Elemet-fee Glek method, t. J. Nme. Methods Eg., 37:9 56, 99. [8 Belytschko., Kogz Y., Og D., Flemg M., Kysl P., Meshless methods: oveve d ecet develomets, Comt. Methods Al. Mech. Eg., 39:3 7, 996. [9 Nyoles B., ozot G., Vllo P., "Geelzg the fte elemet method: dffse omto d dffse elemets, Comttol Mechcs, 0, , 99. [0 Dolbo J., Belytschko., Nmecl tegto of the Glek Wek Fom Meshfee Methods, Comttol Mechcs, 3, 9-30, 999. [ mosheko S.P., Goode J.N., heoy of Elstcty, hd Ed. McG-Hll, Ne Yok, USA,