EGE ÜN VERS TES FEN B MLER ENST TÜSÜ (YÜKSEK L SANS TEZ ) SIZ YÖNTEMLERLE YAPISAL ANAL Z. Mahmut PEKED S

Transkript

1 EGE ÜNVERSES FEN BMLER ENSÜSÜ YÜKSEK LSANS EZ SZ YÖNEMLERLE YAPSAL ANALZ Mahmut PEKEDS Maka Mühedsl Aablm Dal Blm Dal Kodu : Suu arh : ez Dama : Doç. Dr. Hasa YLDZ Borova-ZMR

2

3 Mahmut PEKEDS tarafda yüksek lsas tez olarak suula Az Yötemlerle Yapsal Aalz bakl bu çalma E.Ü. Lsasüstü Etm ve Öretm Yöetmel le E.Ü. Fe Blmler Esttüsü Etm ve Öretm öerges lgl hükümler uyarca tarafzda deerledrlerek savumaya deer bulumu ve 7 Austos 008 tarhde yapla tez savuma savda aday oybrl/oyçokluu le baar bulumutur. Jür Üyeler: mza Jür Baka : Doç. Dr. Hasa YLDZ Raportör Üye: Doç. Dr. K. urgut GÜRSEL Üye : Yrd. Doç. Dr. Ayha NUHOLU

4 V

5 V ÖZE SZ YÖNEMLERLE YAPSAL ANALZ PEKEDS, Mahmut Yüksek Lsas ez, Maka Mühedsl Bölümü ez Yöetcs: Doç. Dr. Hasa YLDZ Farkl tplerdek ksm dferasyel deklemler çözümüde saysal çözümleme yötemler uygulamas so yrm yldr oldukça lg uyadrmaktadr. Ksm dferasyel deklemler saysal çözümü k temel ksm oluturur. Deklem veya blmeye foksyo yaklak olarak çözülür. Zayf veya güçlü form, yaklak formatta türetle dekleme yerletrlerek blmeye foksyo belrler. Blmeye foksyo tam olarak kararlalmas ç sr koullar uygular. Nümerk metodu doruluk ve vermll bu k ksm doruluk ve vermlle bar. So o yl boyuca çetl az yötemler EBG,DPH,NM,AYPG gb farkl mühedslk problemlere uygulaarak baar br eklde geltrlmtr. Bu çalmada ye ve so zamalarda çok kullala ümerk metodlarda az elema bamsz Galerk ve radyal okta terpolasyo yötem, elastk kat csmler meka problemlere uygulamr. Bu metodlar çözümüde hareketl e küçük kareler prosüdürü ve radyal okta terpolasyo yötem ekl foksyolar kullalmr. Ayrca ekl foksyolar br ve k boyutlu çözüm bölgelere uygulap -y-z koordat sstemde çzdrlmtr.

6 V V Bu tezde kat csm meka problem olarak br ucu akastre, der ucu da zorlamaya maruz brakla k boyutlu leer, elastk büküleblr kr celemtr. Yaklak deklem çözümü ç ararmaclar tarafda öerlp kullala radyal okta terpolasyo yötem ve elema bamsz Galerk gb farkl tekkler, doruluk ve vermllk bakda solu elemalar yötem ve aaltk çözümle karlalmr. Ayrca verml ola metodu bulumasda kr dek kestlerde gerlme ve yer detrme deerler celemtr Souç olarak radyal okta terpolasyo metodu ve elema bamsz Galerk yötemler doruluk ve vermll solu elemalar yöteme göre daha y olduu karara varlmr. Ayrca radyal okta terpolasyo yötem le elema bamsz Galerk yötemyle elde edle souçlar karlaldda, elema bamsz Galerk yötem seçle kr problem ç daha hassas souçlar verd görülmütür. Aahtar Kelmeler: Az yötemler, hareketl e küçük kareler yötem, elema bamsz Galerk yötem, az radyal okta terpolasyo yötem, solu elemalar metodu, yaklak metodlar.

7 V ABSRAC SRUCURAL ANALYSS WH MESHFREE MEHODS PEKEDS, Mahmut Msc. hess, Mechacal Egeerg Departmet Supervsor: Assoc. Prof. Dr. Hasa YLDZ here s a great of terest applyg umercal methods for soluto of partal dfferetal equatos of varous types of egeerg problems last two decades. Numercal soluto of partal dfferetal equatos cossts of two ma parts. Equatos or ukow fuctos are solved appromately. he the ukow are determed by embeddg appromated soluto the goverg equatos the weak or strog form ad boudary codtos are appled to solve ukow fuctos. Accuracy ad effcecy of umercal method, strctly depedet to accuracy ad effcecy of these two steps. Durg last decade varous meshfree methods have bee developed, such as EBG, SPH, PM, MLPG were used successfully dfferet egeerg problems. ths study a ew ad popular elemet free Galerk ad radal pot terpolato procedures of umercal methods are appled to elastc sold mechacs problem. Movg least square method ad radal pot terpolato method shape fuctos were used solvg of these

8 V V problems. However, these shape fuctos are appled to the D ad D soluto domas ad plotted -y-z coordate system. he problem cosdered ths study s a D lear, elastc catlever beam fed at the ed ad subjected to a tracto at the other free ed. ths study t was compared accuracy ad effcecy of dfferet techques lke radal pot terpolato method, elemet free Galerk wth fte elemets method, umercal methods whch proposed ad used by researchers for appromatg the soluto of equato. However stress ad dsplacemet appromate values studed to reveal the effcecy of methods varous cross-sectos of the beam. As a result t ca be cocluded that accuracy ad effcecy of radal pot terpolato method ad elemet free Galerk method are better tha fte elemet methods. However, comparso of the umercal methods obtaed by the elemet free Gelerk ad radal pot terpolato methods shows that elemet free Galerk gves more accurate result for the selected problem. Key Words: Meshfree methods, movg least squares method, elemet free Galerk method, meshless radal pot terpolato method, fte elemets method, appromato methods.

9 X EEKKÜR ez hazrlamasda deerl katklarda dolay hocam Say Doç. Dr. Hasa YLDZ a e çte teekkürlerm suar, yak lgs esrgemeye Yük. Müh. Nedm AKBULU a, tez bçmlemesde deste aldm arkadam Yük. Müh. Al ÇNAR a ve madd, maev desteklerde dolay aleme teekkürlerm br borç blrm.

10 X

11 X NDEKLER Sayfa ÖZE... V ABSRAC... V EEKKÜR...X EKLLER D...XV ABLOLAR D...XXV MGELER VE KSALMALAR... XXX NÜMERK YÖNEMLER.... Gr.... Solu Farklar Metodu....3 Solu Hacmler Metodu Solu Elemalar Metodu Nümerk Smülasyo...9 YAKLAK MEODLAR.... Zayf ve Güçlü Formlar.... Arlkl Artk Metodu ralama Yötem Kolakasyo Yötem... 6

12 X X NDEKLERDevam Sayfa.. Altbölge Metodu E Küçük Kareler Yötem Momet Yötem Galerk Yöem SZ YÖNEMLER Az Metodlar a Az Yötemler arh Gelm Az yötemler kullalmas Nedeler Az Yötemler Çözüm Prosüdürü SZ YÖNEMLERN ÇELER Formulasyo Prosüdürüe Göre Sfladrma Zayflatlm Formlar Üzere emelledrlm Az Yötemler ralama ekkler Üzere emell Az Yötemler Zayf Form ve Kolakasyo ekkler Blem Üzere emell, Az Yötemler...4

13 X NDEKLERDevam Sayfa 4. Yaklak Foksyo Uyumua Göre Sfladrma E Küçük Kareler Yaklaa Göre emelledrle Az Yötemler Yaklak Foksyo ç tegral Gösterml Metodlara emelledrle Az Yötemler Nokta terpolasyo Metodua Dayaa Az Yötemler Der Az terpolasyo Metodlara Dayaa Az Yötemler Bölge Gösterme Göre Sfladrma Bölge p Az Yötemler r p Az Yötemler Gelecektek Gelmeler SZ EKL FONKSYONLARN ÜRELMES Gr z terpolasyo/yaklak ekkler Destek Bölges... 53

14 XV XV NDEKLERDevam Sayfa 5..3 Ortalama Nodal Aral Belrlemes Radyal Nokta terpolasyo ekl Foksyolar Kovasyoel RNM Hermte p RNM RNM ekl Foksyolar Çözüm Algortmas RNM ekl Foksyolar ç Örek Problem RNM ekl Foksyolar ve ürevler Hareketl E Küçük Kareler Yötem rlk Foksyolar Seçm ELEMAN BAMSZ GALERKN YÖNEM Esas Sr Koullar Lagrage Çarpa Pealt Foksyou tegrasyo Drek Nodal tegrasyou...05

15 XV NDEKLERDevam Sayfa 6.. Arka Pla A veya Hücre Yap: SZ RADYAL NOKA NERPOLASYON YÖNEM Nümerk terpolasyo Katk Matrs Özell Esas Sr Koullar Uygulamas Drek Metodu Pealt Yötem... 8 KA CM MEKANN EMELLER Düzlem Gerlme ve Düzlem ekl Detrme Bleeler Dege Deklemler Sr artlar ve Balagç Koullar mosheko Krç Aaltk Çözüm Deklemler R BOYULU KN ASZ ELEMAN BAMSZ GALERKN MEODUYLA ÇÖZÜLMES BOYULU MOSHENKO KN ASZ YÖNEMLER LE ANAL... 34

16 XV XV NDEKLERDevam Sayfa 0. Aalz Algortmas Aalz Souçlar Souçlar y Souçlar u Souçlar U y souçlar Parametreler Etkl Elema Bamsz Galerk Yötemde Souçlar Etkleye Parametreler...60 SONUÇLAR...7 ÖNERLER...74 KAYNAKLAR...76 ÖZGEÇM...83

17 XV EKLLER D ekl Sayfa ekl. Solu farklar metoduda foksyou hücrelere bölüerek gösterl...3 ekl. 5 dorusal solu elemaa ayrlm boyutlu csm...5 ekl.3 Dktörge elemalarla ayrlm boyutlu çözüm bölges...5 ekl.4 Przmatk elemalarla ayrlm 3 boyutlu csm...6 ekl.5 Elemalar düümlerle brbrleryle balalar...6 ekl.6 Nümerk smülasyo aamalar G.r. Lu, Y.. Gu., ekl 3. SEY ve az yötemler ç problem çözüm akemas..30 ekl 3. Üçge elemalarla modellem br çözüm bölges...3 ekl 3.3 Düümler le modellem br çözüm bölges...33 ekl 3.4 Az metodlarda ekl foksyolar türetlmesde kullala yerel destek bölgeler...34 ekl 5. Daresel destek bölgeler rs:destek bölge boyutu...55 ekl 5. Dktörtge destek bölgeler rs, rsy: destek bölges ve y yölerdek boyutlar...55 ekl 5.3 Serbestlk derecel ve ormal türev alm hermte tpl terpolasyo...66

18 XV XV EKLLER DDevam ekl Sayfa ekl 5.4 RNM ekl foksyolar akemas...76 ekl 5.5 oplam 5 düzgü olarak dalm düüm oktas kullalarak az ekl foksyolar bulumas...78 ekl olu düüm oktas ç [0,0] oktasda gore türev alarak türetle RNM ekl foksyou...78 ekl olu düüm oktas ç [0,0] oktasda e gore k kere türev alarak türetle RNM ekl foksyou...79 ekl olu düüm oktas ç [0,0] oktasda y e gore k kere türev ala ekl foksyolar elde edle deerler...79 ekl olu düüm oktas ç [0.,0.4] oktasdak RNM ekl foksyou...80 ekl olu düüm oktas ç [0.,0.4] oktasda e göre türev alarak türetle RNM ekl foksyou...80 ekl 5. 3 olu düüm oktas ç [0.,0.4] oktasda y e gore türev alarak türetle RNM ekl foksyou...8 ekl 5. 3 olu düüm oktas ç [0.,0.4] oktasda e gore k kere türev ala ekl foksyolar elde edle deerler..8 ekl olu düüm oktas ç [0.,0.4] oktasda y e gore k kere türev ala ekl foksyolar elde edle deerler..8

19 XX EKLLER DDevam ekl Sayfa ekl 5.4 E küçük kareler yötemde ver etlemes...83 ekl 5.5 Br boyutlu problemler ç arlk foksyolar ve etklk yarçaplar...90 ekl 5.6 Arlk foksyolar. W:Quartk sple, W:Gauss foksyou... 9 ekl 5.7 X=[-,], Y=[-,] oktalar arasdak arlk foksyou...9 ekl 5.8 Merkez oktadasdak arlk foksyou...93 ekl 5.9 Merkez oktasdak ekl foksyou...93 ekl boyutuda üform olarak dalm düümler kullalarak oluturulmu bölge. Çember merkezdek düümü destek bölges gstermektedr...94 ekl 5. =[- ] ve y=[- ] koordatlar arasda merkez düümüdek arlk foksyou...95 ekl 5. =[- ] ve y=[- ] koordatlar arasda merkez düümüdek ekl foksyou...95 ekl 6. Elema bamsz Galerk yötemde tegrasyo a Arka pla a ekl 6. EBG ç program akemas... 06

20 XX XX EKLLER DDevam ekl Sayfa ekl 7. Az global zayf formda kullala arka pla höcreler. Problem geometr bölges düümlerle gösterlmtr. Hücreler zayf form tegraller çözmek ç oluturulmutur...08 ekl 8. Boyutlu csm :Csm bölges :Csm bölgesdek global sr, t :Kuvvet s, u :Yer detrme s, ={, y } Sr üzerdek ormal d vektörlerdr...5 ekl 9. boyutlu krte düüm oktalar...3 ekl 9. f= kuvvete maruz brakla boyutlu akastre çubuk...3 ekl 9.3 boyutlu kre f= yükü uygulamasyla elde edle yöüdek yer detrme deerler...3 ekl 0. X=L oktasda tekl yük e maruz brakla mosheko kr...36 ekl 0. EBG yötemde modellele toplam 73 adetde düzel olarak dalm düümler...38 ekl 0.3 Solu elemalar metoduda ANSYS le modellem elema ve sr koullar...39 ekl 0.4 z metotta Meshfree D le modellem düüm oktalar ve sr koullar...38

21 XX EKLLER DDevam ekl Sayfa ekl 0.5 EBG metot aalzde kullala hücreler, Gauss kuadratk oktalar ve sr aalz hatlar ekl adet düüm say kullalarak radyal okta terpolasyo metoduu uygulamasyla oluturula y=0 eksede, ekse boyuca aaltk ve RNM, yer detrme souçlar... 4 ekl adet düüm say kullalarak X=L/ oktalarda, y ekse boyuca elde edle radyal okta terpolasyo ve aatlk metodlara at y graf... 4 ekl 0.8 Aaltk ve EBG yötemler uygulamasyla oluturula y=0 eksede koordat boyuca elde edle u y yer detrme souçlar... 4 ekl 0.9 X=L/ oktalarda y ekse boyuca elema bamsz Galerk ve aatlk çözümü uygulamasyla elde edle y e at çözüm souçlar ekl okta kullalarak aaltk çöüzümü uygulamasyla elde edle e at gerlme da ekl gauss kuadratk oktas, 40 hücre kullalarak EBG metoduu uygulamasyla elde edle e at gerlme da ekl düüm oktas kullalarak RNM metoduu uygulamasyla elde edle e at gerlme da... 45

22 XX XX EKLLER DDevam ekl Sayfa ekl adetde elema say, SEY metoduu uygulamasyla elde edle e at gerlme da...45 ekl 0.4 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula brc aalz kest =0.337, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlmeler...46 ekl 0.5 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula brc aalz kest =0.337, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlmelere at hata mktarlar...46 ekl 0.6 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlmeler...47 ekl 0.7 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlmelere at hata graf...48 ekl okta kullalarak aaltk çözümü uygulamasyla elde edle y e at gerlme da...49

23 XX EKLLER DDevam ekl Sayfa ekl Gauss kuadratk oktas, 40 hücre kullalarak EBG metoduu uygulamasyla elde edle y e at gerlme da.. 49 ekl düüm oktas kullalarak RNM metoduu uygulamasyla elde edle y e at gerlme da ekl 0. 7 adetde elema say, 9 adetde düüm oktas kullalarak SEY metoduu uygulamasyla elde edle y e at gerlme da ekl 0. Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle y gerlmeler ekl 0.3 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle y ye at hata mktarlar... 5 ekl okta kullalarak aaltk çözümü uygulamasyla elde edle u e at yer detrme da... 5 ekl düüm oktas kullalarak EBG metoduu uygulamasyla elde edle u e at yer detrme da... 5

24 XXV XXV EKLLER DDevam ekl Sayfa ekl adetde düüm say, 7 elema say kullalarak SEY metoduu uygulamasyla elde edle u e at yer detrme da...5 ekl 0.7 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u e yer detrme graf...53 ekl 0.8 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u e at hata mktar graf...53 ekl okta kullalarak aaltk metoduu uygulamasyla elde edle u y e at yer detrme da...54 ekl düüm kullalarak EBG metoduu uygulamasyla elde edle u y e at yer detrme da...54 ekl adet düüm say, 7 elema say kullalarak SEY metoduu uygulamasyla elde edle u y e at yer detrme da...55 ekl 0.3 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =4 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u y yer detrme graf...55

25 XXV EKLLER DDevam ekl Sayfa ekl 0.33 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u y ye at hata mktar graf ekl 0.34 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u y yer detrme graf ekl 0.35 EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u y ye at hata mktar graf ekl 0.36 Aaltk çözüm, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =L, y=0 koordat deerlerde ekse boyuca elde edle u y çökme graf ekl 0.37 Aaltk çözüm, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =L, y=0 koordat deerlerde ekse boyuca elde edle u y ye at hata mktarlar ekl 0.38 Destek etklk bölge boyutuu elema bamsz Galerk metodu üzerdek etks... 6 ekl 0.39 Elema bamsz Galerk yötemde düüm saya ba hata ora. parametres 3.5 seçlmtr.... 6

26 XXV XXV EKLLER DDevam ekl Sayfa ekl 0.40 SEY yötemde düüm saya ba çözüm süres ve EBG yötemyle karlalmas CPU tme...64 ekl 0.4 SEY yötemde düüm saya ba hata mktarlar ve EBG yötemyle karlalmas...64 ekl 0.4 SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u y deerler...67 ekl 0.43 SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u y deerlere at hata mktarlar...68 ekl 0.44 SEY de 0, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u y deerler...69 ekl 0.45 SEY de 0, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u y deerlere at hata mktarlar...69 ekl 0.46 SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u y deerler...70

27 XXV ekl 0.47 SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u y at hata mktarlar... 7

28 XXV XXV ABLOLAR D ablo Sayfa ablo 3. Az yötemler tarhsel gelm Lu G.R., ablo 3. SEY le az yötemler arasdak farklklar Lu G.R, Gu Y.., ablo 4. z metodlar sfladlmas Lu G.R., Gu Y.., ablo 4. Az yötemler foksyo ve terpolasyouda yötemler Lu G.R., Gu Y.., ablo 5. Az terpolasyo tekkler kategorler Lu G.R., Gu Y.., ablo 5. pk temel radyal foksyolar ve ekl parametreler Lu G.R., Gu Y.., ablo 5.3 You olarak desteklem radyal temel foksyolar...59 ablo 5.4 ekl 5.5'te gösterle 5 düüm oktas koordat deerler...77 ablo 9. EBG ve aaltk çözüm souce elde edle u deerler..33 ablo 0. Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula brc aalz kest =0.337, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlme ve hata deerler...47

29 XXX ABLOLAR DDevam ablo Sayfa ablo 0. Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlme ve hata deerler ablo 0.3 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlme ve hata deerler... 5 ablo 0.4 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u yer detrme ve hata deerler ablo 0.5 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =4 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u y yer detrme ve hata deerler y ablo 0.6 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u y yer detrme ve hata mktar ablo 0.7 Aaltk çözüm, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =L, y=0 koordat deerlerde ekse boyuca elde edle u y ye at deer ve hata mktar... 59

30 XXX XXX ABLOLAR DDevam ablo Sayfa ablo 0.8 =48 y=6 koordat deerdek okta ç SEY ve EBG yötemlerde düüm saya ba çözüm süres, u y deer ve hata mktar...65 ablo 0.9 SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u y ç deer ve hata mktarlar...68 ablo 0.0 SEY de 0, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u y ç deer ve hata mktarlar...70 ablo 0. SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u y ç gerçek deer ve hata mktarlar...7

31 XXX MGELER VE KSALMALAR Smgeler Açklamalar A B b, b y c f B Ala matrs.c düüm ç ala foksyou Yükler ^ w.c Q B Jl ct gt _ t _ u Q F J t D k F u us b Söümleme katsay Kuvvet Lagrage çarpa düümü ç Lagrage çarpa X oktas ç Gauss arlk foksyou r ç er tegral Jacoba matrs t oluturmak ç kullala er hücreler say rdek Gauss oktalar say Doal sr kouluda tamlam zorlama kuvvet Esas sr kouluda taml yerdetrme Brm ekl detrme oplam kuadratk hücre say Nodal çekme kuvvet X Q oktasda yerlee Gauss oktalar arka pladak hücresde deke ala tegrasyou Nodal csm kuvvet. c düüm oktasda taml odal ala deke düümlerdek tüm ala dekeler toplaya vektör

32 XXX XXX MGELER VE KSALMALARDevam Smgeler Açklamalar Destek bölgesdek taml düüm oktalar kullaarak. c düüm oktasdak ekl foksyou Malzemeye ba parametre E Elastste modülü Çözüm bölges srlar Kest atalet momet [ K ] Katk matrs _ q u u... u X ^ W ^ V, L D c _ t y Doal sr art Yer detrme vektörü z vektörü vme vektörü Düüm oktalar geometrk yerler Çözüm bölges rlk foksyou emel foksyo rlar üzerdek ormal d vektörler ürevsel operator matrs Malzeme sabt Kütle youluu Söümleme katsay Gerlme Çekme kuvvet

33 XXX MGELER VE KSALMALARDevam Smgeler Açklamalar dc dc d V v DS s VS R X q oktasda odal aralk k düüm oktasdak uzaklk Ortalama odal aralk Düüm say Destek bölges geometrk hacm V s hacmde tamlaa düüm say Radyal temel foksyo P j [ ] X [ X, Y] koordat deerler m Polomal temel foksyo say Radyal temel foksyo say r düüm oktas le düüm oktas arasdak mesafe q ekl parametres pm Polomal momet matrs G Geelletrlm momet matrs l Cosus yöler j s, sy ds, d sy h ul r u t yölerdek boyutsuz destek büyüklükler Destek bölge boyutlar X oktas cvardak yerel yaklam foksyou Etklk yarçap Yer detrme s Çekme kuvvet s

34 XXXV XXXV KSALMALAR saltmalar Açklamalar AYSD Az yerel sr tegral deklem AYPG Az yerel Petrov Galerk AZGF Az zayf güçlü form DPH Düzgü parçack hdrodam EBG Elema bamsz Galerk HEKY Hareketl e küçük kareler yakla HNM Hbrt okta terpolasyo metodu HSD Hbrt sr tegral deklem HSNM Hbrt sr okta terpolasyo metodu HSRNM Hbrt sr radyal okta terpolasyo metodu M Nokta terpolasyo metodu RÇPM Radyal çekrdek partkül metodu RNM Radyal okta terpolasyo metodu SDRF ms desteklem radyal temel foksyolar SEM r elemalar metodu SEY Solu elemalar yötem SFY Solu farklar yötem SHM Solu hacmler metodu D Sr tegral deklem SNM Sr okta terpolasyo metodu SNM Solu okta metodu SRNM Sr radyal okta terpolasyo metodu SM Yerel tegral sr metodu YNM Yerel okta terpolasyo metodu YRNM Yerel radyal okta terpolasyo metodu YÜÇPY Yede üretle çekrdek parçac yötem

35 XXXV KSALMALARDevam saltmalar BEM BE BPM BRPM CSRBF EFG FDM FEM FPM FVM HBE HBPM HBRPM HPM PM LBM LPM MLBE LRPM MLPG MLS MWS PM RKPM RPM SPH Açklamalar Boudary elemet method Boudary tegral equato Boudary pot terpolato method Boudary radal pot terpolato method Compactly supported radal bass fuctos Elemet free Galerk Fte dffereces method Fte elemets method Fte pot method Fte volumes method Hybrd boudary tegral equato Hybrd boudary pot terpolato method Hybrd boudary radal pot terpolato method Hybrd pot terpolato method Hybrd pot terpolato method Local tegral boudary method Local pot terpolato method Meshless local boudary tegral equato Local radal pot terpolato method Meshless local Petrov Galerk Movg least squares Meshless weak-strog Pot terpolato method Reproducg Kerel pot method Radal pot terpolato method Smooth partcul hydrodyamcs

36 XXXV

37 NÜMERK YÖNEMLER. Gr So zamalarda fe blmcler ve mühedsler allm aaltk metodlarla çözümü çok zor hatta mkasz fzksel problemlerle sk sk karlamaktadr. Öre br d kuvvet tak etksde üç boyutlu elastk br csm farzadels. Bu kuvvetler csm kes tepks hesaplamas ç deformasyolar csde yazlm deklemler br kapal form çözümü aralmas gerekmektedr. Buu yada geellkle karmak geometrk ekll mühedslk problemler böyle br çözüm elde etmek ç a derecede zor ve çou zamada mkaszdr. Bu tp problemler fe, mühedslk ve der blm dallarda çok sk ortaya çkmaktadr. Böyle tp problemlerle karlaa aalzc doal olarak ümerk aalz ad verle br çözümleme aalze bavuracaktr. Aaltk metod veya baka metodlarla çözülemeye problemler çözümüde, kullalable çok sayda ümerk yötem yolu vardr. Solu elemalar yötem, solu farklar yötem, solu hacmler yötem, az yötemler bularda br ksmr. Ada geel olarak SFY, SHY, SEY le lgl temel blgler verlmtr. Solu Farklar Metodu Solu farklar hesab saysal yötemlerde yayg olarak kullalmaktadr. Hatta saysal lemler pek çou ç baz tekl ederler.

38 Matematksel problemler dekeler sürekl foksyolar olarak karza çkmaktadr. Bu foksyolar kapal br formülle tamlamlardr, ve bamsz dekeler verlm deerler ç foksyolar deerler hesaplaablr. Br baka eklde de foksyo, bamsz dekeler her br deere kark gele deerler br cümles olarak tamlaablr. Bu halde foksyo kapal ya da açk br formülle verlmemtr. Foksyou, bamsz deke verlm sral deerler le tamlamas halde, sürekllk araldak herhag br oktada formülle tamlama yoktur. Verle aralk veya bölge de foksyou mevcut olduu varsayr. Solu farklar kullalarak aral çde herhag br oktadak deer ç y br yaklam bulmak olasr. Karlala problemler pek çouda, kapal br formül eklde çözüm bulma olas se de, baze bu kapal aaltk çözüm yere ayrk oktalar cümlesde solu farklar kullalarak çözüm elde etmek daha kolaydr Çaal, B., 989. Solu farklar metoduda sr artlar oluturulmas kes olduu halde dferasyel deklem oluturulmasda yaksaklk vardr. Solu farklar metodu heme heme her probleme uygulaable bast br metodtur. Dayad esas, dferasyeller yere solu farklar alarak, problem dferasyel deklem, foksyou ayrk oktalardak deerleryle yaklak olarak fade etmektr Solu farklar metoduda türevsel fadeler, solu farklar ekle döütürülerek deklem yaklak olarak çözülür. Herhag br

39 3 deklem. türevl solu farklar gösterleblr. metoduda adak gb f a h f a f ' a lm. h 0 h Yaklak formatta foksyo adak gb kabul edleblr. f a h f a f ' a lm. h 0 h Solu farklar metodu kullalarak problem yaklak olarak çözülmek stedde öcelkle problem bölges tamlamas gerekr. ekl. de görüldüü gb foksyo üform olarak hücrelere bölümütür Morto, K.W. ad Mayers, D.F., 005. ekl. Solu farklar metoduda foksyou hücrelere bölüerek gösterl

40 4.3 Solu Hacmler Metodu Bu metod so 70 yldr solu farklar yöteme paralel olarak gelmtr. Solu farklar metoduda ksm dferasyel deklemler cebrsel deklemler eklde gösterlp çözülürler. Solu farklar metoduda olduu gb elde edlmek stee çözümler parçalara bölümü hücrelerde hesaplar. Bu metodta a üzerdek oktalar brleerek hacmler oluturur. Solu hacmler yötemde ksm dferasyel deklemdek farkl term çere hacm tegraller dverjas teorem kullalarak yüzey tegtallere döütürülür. Bu termler daha sora her br hacmde ak olarak deerledrlr. Ayrca bu metodta düzgü yapya sahp olmaya alar kolaylkla formüle edleblr. Buda dolay bu metod avatajl sayr Shura, O.P., Soloeko,.V., Votovch., 00. E çok hesaplamal akkalar dam problemler çözülmesde yayg olarak kullalmaktadr.4 Solu Elemalar Metodu Bu yötemde csm, solu boyutta ya çok sayda elemaa ayrr. Metod sm burda almaktadr. Csm uzayda =,,3 boyuta sahptr. Br boyutlu çözüm bölges ekl. de düümlerle; k boyutlu çözüm bölges ekl.3 te dktörtge elemalarla, üç boyutlu çözüm bölges ekl.4 te olduu gb hacmsel elemalara ayrlmaktadr. Br boyutlu csmlerde solu elemalar farkl uzuluklarda

41 5 olablmaktedrler, ve bütü durumlarda çözüm bölges temsl ede solu elemalar ekl.5 te görüldüü gb düümler le balamas gerekmektedr. Elemalar düümlerle brbrler bala durumu ekl.5 te e y eklde alalmaktadr. Burada düzgü brm kallkta dktörtge k düzlem solu elema vardr. ekl. 5 dorusal solu elemaa ayrlm boyutlu csm ekl.3 Dktörge elemalarla ayrlm boyutlu çözüm bölges

42 6 ekl.4 Przmatk elemalarla ayrlm 3 boyutlu csm ekl.5 te elemalar ayr ve brbrlere balamameklde verlmtr. Elemalar brbrleryle lks somu cvata lkse bezetleblr. Düümler kaldldda elemalar brbrlerde ayrrlar. ekl.5 Elemalar düümlerle brbrleryle balalar Burada öeml ola okta, düümler kaldldda elemalar brbrlerde ayrlacada komu solu elemalar arasdak fzksel sürekllkte ortada kalkar.

43 Yötem çözülmesde br sorak adm, csm temsl ede elemalar her br elema katk matrs elemet stfess matr tamlamaktr. Daha sora, elema katk matrsler parçalara ayrlm csm tamama at sstem katk matrs oluturmak üzere toplar. Katk matrs oluturmada csm solu elema modeldek bütü düümlerde kuvvetler deges ve yer detrmeler sürekll salam olur. u F [ K]..3 Deklem.3 te [K], katk matrs, F, bütü düümlere uygulaa yükler, u se yerdetrmeler göstermektedr. Deklem.3 celedde, parçalara ayrlm csmde brm yer detrme oluturacak kuvvet temsl etmektedr. Burada csm solu elema model br yaya edeer olarak düüüldüüde csm katk matrs [K], yay sabte kark olmaktadr. Dolayyla solu elemalar metodu esas tbaryle katk matrs aalz edld br metodtur. Deklem.3 te katk matrs oluturuldukta sora yerdetrmeler buluur. Yer detrme deerler le gerlmeler ve ekl demler buluur. 7 sacas solu elemalar metoduu çözüm prosüdürü ada maddelerle sralamr. a. Csm öcelkle solu elemalar sstem halde elemalara bölüür. b. Elemalara at her br katk matrsler çkartr. c. ] F kuvvetler toplar. [K sstem katk matrs ve

44 8 d. u tay edlmes lemde sr artlaryla deklem.3 çözülür. e. Elde edle u deerlerde sora elemalara at ekl detrmeler ve gerlmeler hesaplar. Kompleks mühedslk uygulamalarda geellkle boyutu büyük ola [K] matrsler olumaktadr. Bu yüzde deklem.3 ü çözülmesde blgsayar le oluturulmu kod tabal programlar veya hazr solu elemalar paket programlar kullalmaktadr. Böylece solu elemalar metodu otomatk hesap le brletrlmekle karmak problemler çözülmes salar. Der ümerk yötemler özellkle öcek bakta celee solu farklar metodu daha esk ve güvelr olduu halde solu elamalar metoduu solu farklar yöteme göre üstü kla baca özellkler ada sralamr. Solu elemalar yötem, csmler boyutlar ve ekller esekl edeyle verle çözüm bölgeler kolaylkla fade edleblr. Hatta karmak ekll br csmde daha güvel olablr Çok balat bölgeler ç hassas çözümler celeeblr. Sr artlar kolaylkla uygulaablr. Sürekl ortam mekae dayadda sebeb-souç lks etk br eklde kullalablr. Solu farklar metodu yukardak maddelerde celee kavramlar çözmede öeml ölçüde zorluk gösterr.

45 9.5 Nümerk Smülasyo Doadak mekak, jeolojk, elektrksel, kmyasal olaylar, baze cebrsel, baze dferasyel, bazede tegral deklemleryle tamlaablr. Bu deklemler öcelkle aaltk olarak çözülmeye çalr. Sadece bast ve pratk uygulamalar ç tam çözüme ulalablr. Lak problemler çou komleks br yapya sahptrler. Dolayyla yaklak çözümler elde edeblmek ç ümerk yötemler uygulamalr. Yakçada mühedsler ve fe blmcler, dek türdek problemler ç ümerk yötem tekkleryle, problemler çözmeye aa hale gelmlerdr. Çükü blgsayar tekolojs hzl gelmesyle, blgsayar destekl smülasyo fe ve mühedslkte pratk problemler çözülmesde, bu yötemler öem gttkçe artrmr. Nümerk smülasyou esas kompleks yapdak problem bast ve ayr ayr matematksel tamlamaya döütürmektr. Uygu br ümerk yötem kullald müddetçe, karmak ola problem, verml br eklde çözmek mümküdür. Adm : Fzksel olay belrler. Adm : Uygu ola varsaylarla fzksel olay ç matematksel modeller kurulur. Bu matematksel modeller geellkle uygu koullarla balagç koullar, sr koullar gb destekler. Geltrlm deklemler geellkle ya dferasyel deklemler ya da tegral deklemlerde oluurlar. Bu adm ümerk smülasyou temel sm oluturur.

46 0 Adm 3: Matematksel model uygu ola ümerk yötem ve algortmalarla tamlar. Bu adm ümerk yötem ç blgsayar destekl kod geltrmektr. ekl.6 Nümerk smülasyo aamalar G.r. Lu, Y.. Gu., 005 Adm 4: Nümerk olarak problem blgsayar vastasyla smüle edlr. Adm 5: Adm 4 te bulua deerlerlerle problem aalz edlr. y br aalz elde etmek ç çözülecek problem ç uygu br metod seçlmeldr. E çok kullala yötemler solu farklar yötem SFY, solu hacmler metodu SHM solu elemalar yötem SEY, sr

47 elemalar yötem SEY ve az yötemlerdr. ekl.6 da ümerk smülasyou aamalar verlmtr. Mühedslk sstemler çok sayda problem çermektedr. Bu problemler pek çouu matematksel model kurulmas ve smülasyouu oluturulmas oldukça zordur. Bu zorluklar almas açda sstem tamam del de sadece sstem performas etkleye e öeml parametreler modellemes, çou zama sstem hakkda yeterl blg salar. Mühedslkte kat meka, yap meka, akkalar meka gb pek çok ala mevcuttur ve her br alada fzksel problemler farkl ekllerde ele almaktadr. Acak matematksel modeller yaklak olarak ay olmaktadr. Matematk modeller dferasyel deklemler kullalarak oluturulurlar. Bu modeller çou kez solu elemalar, solu farklar sr elemalar yötem gb saysal yötemler kullalarak çözülüp fzksel problem smülasyou gerçekletrlr. Mevcut durumlaryla bu saysal yötemler kullalmasyla elde edle saysal smülasyo souçlar baze yeterl olmamasda dolay, az yötemler öerlmtr.

48 YAKLAK MEODLAR. Zayf ve Güçlü Formlar Zayf formlar e güzel öre olutura ümerk metodlarda e çok kullala solu farklar yötemdr. Solu farklar yötemler yaklak çözümü bulmak ç güçledrlm formu kullarlar. Buula brlkte SFY, geellkle bast ve düzel geometrye sahp problemler çözmek ç uygu br a kullar. Güçlü formu kar ola zayflatlm form yaklak foksyo üzerde daha zayf br yapya sahptr. Fzksel ve matematksel presblere dayaarak sstem deklem tegral operatörler kullar. Bu çalmada mekak problemler celeecede dolay zayflatlm form metodlar kullalacaktr. Zayflatlm formu oluturmak ç k temel kategor kullalacaktr. Bularda brs varyasyoel metodlar der de artk metodlardr. Galerk zayflatlm formu ve Petrov Galerk zayflatlm formlar, sstem deklemler oluturmak ç e çok kullala yaklamlardr. Ay zamada az yötemler formüller türetmek ç de kullarlar. Hamlto presb se geellkle damk problemler yaklak sstem deklemler türetmek ç kullar. E küçük toplam potasyel yötem, solu elemalar yötem veya der yaklak metodlar, problem tüm sstem deklemler oluturmak ç kullala yayg metodlardr. Arlkl artk metod se matematksel olarak uygu br yötem olup, brçok mühedslk problemler çözümüde terch edle br metodtur. Hale güümüzde kullap geltrlmeye devam edlmektedr.

49 3. rlkl Artk Metodu rlkl artk metod ksm dferasyel deklemler veya ad dferasyeller yaklak çözümler bulmak ç kapsaml ve etk br özelle sahptr. Brçok ümerk metod geel arlkl artk metod üzere kuruludur. sm dferasyel deklem F u b 0 : Problem bölges. eklde fade edlr. F ksm dferasyel deklem operatörü sr kouluda adak gb tamlr. G u g sda. Brçok mühedslk problemde srada dferasyel deklemler veya ksm dferasyel deklemler acak yaklak metodlarla çözüleblr. u ç brc yaklak foksyo u h B B.3 fadesyle tamlar.

50 4 Deklem.3 te B,.c temel foksyo term,,.c term ç blmeye katsay,, temel foksyo adeddr..3 fades. ve. dekleme koyulursa deklem.4 ve.5 elde edlr. F u h b 0.4 G u h g 0.5 Deklem.4 ve.5 e problem bölgesde sr koullar uygulaarak Rs ve R b artk fosyolar buluur. R s h F u b.6 R b h F u g.7 er.3 tek deklem tam çözüm olarak kabul edlrse.6 ve.7 olu deklemdek Rs ve R b artk deerler 0 deere et olacaktr. Ama brçok pratk problemde tam çözüm buluamayacada dolay Rs ve R b, 0 deere et deldr. Ayrca Rs ve R b deerler seçle yaklak foksyolara ba olarak da der. Artk foksyouu mümkü olduuca küçültmek ç uygu br foksyo çed seçlp baz tekkler kullalablr. ve arlkl artk tegral deklemler 0 deere etleyerek çözüme ular. ^ ^ W R d V R d 0.8 s b

51 ^ Deklem.8 de,,,,, W ve V ^, foksyolar ç verle arlk foksyolarr. R ve s 5 R b artk deerler Deklem. de sr koulua dayaarak R 0 deere ular. Böylece.8 dek deklem adak gb olur. b ^ W R d =0.9 s.9 dak deklem solu elemalar yötemde veya der yötemlerde ümerk çözüme ulamak ç sklkla kullala br formüldür..6 ve.7 deklemdek artk deerler,.8 dekleme yerletrlrse deklem.0 elde edlr. ^ ^ h h F u bd V G u gd 0 W.0.3 dek deklemde kullalmasyla ^ W ^ F B bd V G B gd 0. elde edlr.. dek deklem daha açk fadelerle,,,, ç yazrsa

52 ^ ^ ^ 3 ^ ^ ^ ^ ^ d g B G d b B F W d g B G d b B F W d g B G d b B F W d g B G d b B F W 3 V V V V. bat elde edlr. Burada sstem, adet blmeye ç adet deklem vardr.. dek deklem takdak W^ ve V^ rlk foksyou se B temel bamszdr. Ayrca B temel foksyou belrl artlar altda süreklle sahptr. Bular arlkl artk metodlar ç e geel haldr.. dek deklemler ad türevsel deklemler ve ksm dferasyel deklemlerde elde edlmtr. Farkl ümerk yaklamlar farkl arlk foksyolar seçlmesyle buluur. da brkaç metod celeecektr... ralama Yötem Kolakasyo Yötem sm veya ad dferasyel deklem br form olarak yazlmas yere problem bölgese dalm oktalar olarak yazlablr. Bu metod lk olarak 934 yda metallerde eerj tamas problemlerde kullalmr Slater, J.C., 934.

53 7 Kroecker delta foksyolar kullalarak hem arlk hemde temel foksyo ç.8 dek deklem çözülmesyle elde edlr. Kroecker delta foksyou adak özellklere sahptr. ^ ^ V W.3 0 0, c d c c.4.3 te k deklem.8 dekleme yerletrerek arlkl artk foksyouda sralama metodu türeteblr. d g B G d b B F d R d R b s.5 0 b s R R.6 veya 0 ] [ g B G b B F.7 elde edlr..6 da k deklem problem bölgesde seçle okta ç uygulaablr.

54 8.. Altbölge Metodu Altbölge metodu sralama metoduyla temel olarak ayr. ralama metoduda ayrla taraf artk foksyou sabt oktalarda 0 a etlemes yere, artk foksyou tegral,,3,,, ç 0 a etlyerek buluablr Bezeo, C.B. ad Koch, J.J., 93 Bu metoda arlk foksyou, ç taraf W 0, ds taraf.8 gb olur. Dolayyla.8 deklem W ^ olur. R d s V R d ^ b R d F B bd G B gd 0 ^ W s V R d b.9..3 E Küçük Kareler Yötem E küçük kareler yötem lk olarak 795 yda Gauss ve 806 da Legedre tarafda geltrlmtr. 908 yda Pcoe, dferasyel deklemler çözmek ç bu metodu uygulamr. Rs. J R d.0 s Burada J fades mumu deer ararsa;

55 9 0. d R R d R R J s s s s. veya 0 d R R s s. deklem elde edlr. rlkl artk metodta belrtld gb, arlk foksyou dak gb yazlablr. h s u F R W ^.3 h b G u R V.4 Dolayyla.8 deklem 0 ^ ^ d R R d R R d V R d R W b b s s b s.5 elde edlr. Burada...,,3. Bu fadede k adet deklem çözülerek yaklak souç elde edlr.

56 0..4 Momet Yötem 3 Bu metodta arlk foksyolar,,,,..., dekeler seçlr. Bu metod 947 yda Yamada ve 95 yda Fujta tarafda geltrlmtr. Bast br eklde fade edlrse; ^ ^ W V X,,...,.6 deklem buluur..8 dek deklem, ^ ^ s s W R d V R d X R d X R d 0.7 s b gb olur..7 fadesde adet blmeye deklem ç adet deklem türetlr. adetde çözülmesyle yaklak çözüme ular...5 Galerk Yöem Galerk metodu 95, özellk olarak arlkl artk metodla ay sayr. Bu yötemde test foksyolar yaklak ala foksyouda kullald gb arlk foksyolar olarak da kullalablr.

57 ^ W B ^ V B.8.8 deklem; B R d B s B R d b F B bd B GB g 0.9 gb olur. Burada tae katsay ç adet deklem çözülür. Galerk metoduda kullala sstem matrs smetrktr. Bua ek olarak eerj presbde yararlald ç fzksel özelle sahptr. Buda dolay arlkl artk metodu ümerk yötemlerde kullald ç SEY de sora e çok terch edle yötemdr

58 3 SZ YÖNEMLER So yrm yldr solu elemalar yötem ümerk mekak blmde yayg olarak kullalmaktadr. Fe ve mühedsl gelmese kayda deer yararlar salamr. Bua rame SEY yüksek deformlu ve yüksek aa sahp problemler çözümüde yetersz kalmaktadr. Yapsal çatlak optmzasyo problemlerde yede çözüm elde etmek ç tekrar a türetlmesde zorluk göstermektedr. Solu elemalar yötemde allm a tekyle bu gb zorluklar üstesde geçmek mkaszdr. z yötemler, solu elemalar, solu farklar ve solu hacmlerde ayrla taraf csm br takm odal oktalara bölerek yaklak foksyo bu düümler üzerde türetlr. Bu yötemde a ve elema oluturulmas gerekmyor. A oluturmada karlala zorluklar bu metodta görülmez. Mühedslk ve fe uygulamalarda daha esek br yaklam suar. z yötemler güümüzde de yayg olarak ararmaclar lgs çekmektedr. Esek çözüm, güçlü perfomas ve verml souçlaryla aralacak çok zeg br aladr. Ayrca zama gerektrecek problemler ç etkl souçlar vaad etmektedr. Güümüzde geltrlm yayg az yötemler vardr, ve hala bu metodlar geltrlmeler devam edlmektedr. Ay zamada bu gelmelerde yararlalacak brçok az yötem türlerde mevcuttur. Mevcut durumlar gösteryork az yötemler brçok ararma gruplar dkkatler üzerde toplayacaktr.

59 3 3. z Metodlar a z yötem, tamlaa alada a kurulmada sstem algortmk deklemler kurmaya çala br metod olarak tamlaablr. Az yötemler problem bölgesde taml düüm oktalar kullaarak sr koullar uygulayp problem çözer. Dalm düümlere ala düümler delr. Aralarda a oluturmazlar. Lu G.R., 000 Solu elemalar yötemde olduu gb uygu ola terpolasyou veya yaklak çözümü bulmak ç öcede a tamlamas gerekmemektedr. Brçok az metod kompleks uygulamalarda kullap y potasyel göstermekle güçlü ümerk çözüm araçlar hale gelmlerdr. Buula brlkte hale gelm aamasda olup, karmak mühedslk problemlerde, rahat kullalablr araçlar hale geleblmeler ç tekk sorular güümüzde de çözelmeye devam edlmektedr. Az yötemler SEY le karlaldda öeml farklklar olmayp, SEY le elde edleble tüm çözümler az yötemler kullalarak ta elde edleblr. 3. z Yötemler arh Gelm Gelm mühedslk tasarlamasda blgsayar destekl dzay araçlar kullalmasa gereksm duyulmaktadr. Böyle çözüm araçlar mühedslk sstemler smülasyouda sk olarak kullalmaktadr. Kompleks dferasyel deklem ve ksm dferasyel deklem çözülerek problem smule edlr. Güümüzde solu elemalar

60 4 yötem SEY, solu farklar metodu SFM, gb ümerk metodlar kullalarak karmak ksm dferasyel deklemler çözülür. Bu metodlarda problem bölges alara bölümektedr. A, öcede taml düümler brbrleryle balat olarak fade edlmektedr. Solu farklar yötemde alar zgara, solu hacmler yötemde, hacm ve hücre, solu elemalar yötemde se elema olarak tamlamaktadr. Hacm, hücre ve elemalar farkl fzksel problemler ç farkl tamladda farkl fzksel alamlar tamaktadrlar. Ksacas, zgaralar, hacmler, hücreler ve elemalar üstte tamlaa fadeye göre olarak smledrlr. A ç öeml ola brbrleryle etkleml olarak çözüm öcesde tamlam olmasr. Problem çözüm öces tamlam uygu br a yap kullalarak, verml br çözüm yoluyla a ç br takm algortmk deklemlerle kompleks dferasyel deklemler veya ksm dferasyel deklemler yaklak olarak çözülür. üm problem bölges ç algortmk deklemler kullalarak a boyuca sstem çözülür. z yötemler de çözüm öcesde a tamlam olmas gerekmyor. Sadece problem bölges boyuca algortmk deklemler sstem kurulup problem çözülür. Ayrca bu özellk tüm az yötemlerde ortaktr. z metod ç temel gereksm, deke ala terpolasyo çözümü ç öcede a tamlamas gerekmyor. Az metodlar ç deal gereksm se, ksm dferasyel deklemlerle oluturulmu bölge sda, uygu sr koullar altda, çözüm esasda elema yap tamlamasa htyaç duyulmamaktadr. Güümüze kadar geltrlm az yötemler tam alamyla deal saylmamaktadr.

61 5 z yötemler blmsel, tekoloj ve uygulamalarda yayg olarak kullala solu elemalar metoduu kompleks problemler çözümüde türett olumsuzluklarda dolay az yötemler geltrlmese htyaç duyulmutur. Atlur ve Zhu 998 yda yaptklar çalmada saysal tegrasyo lemde hücre yap gerektrmeye gerçek yapda az yötem geltrmlerdr. Bu metodta allm ekl ve arlk foksyolar yere Petrov-Galerk formülasyou kullalmr. Nayroles ve çalma arkadalar 99 yda dfüze elema Galerk yötem geltrmlerdr. Bu yötem sahp olduu avatajlarda br, a oluturulmada düümler toplaablmtr. Der se düümler arasdak boluu çözüm hassasyet etklememesdr. Belytschko, 994 yda dfüze elema bamsz Galerk yötem ararke elema bamsz Galerk yötem elde ett. Bu yötemde ekl foksyolar olarak hareketl e küçük kareler ekl foksyolar kullalmr. Ay zamada elde edle bu yötemle spesfk problemler ç daha hassas souçlar almr. Bu metodta r koullar uygulamasda Lagrage çarpalar kullalmr Belytschko,., Lu, Y.Y ad Gu, L., 994. Az yötemler tarhsel gelm daha ayrt br bçmde ablo 3. de verlmtr.

62 6 ablo 3. z yötemler tarhsel gelm Lu G.R., 00 Yötem Referas Kullala Deklem Formu Kullalacak Foksyo Dfüse elema yötem Nayroles vd., 99 Zayf form Heky ve Galerk yötem Elema bamsz Galerk yötem Belytschko vd., 994 Zayf form Heky ve Galerk yötem z yerel Petrov Galerk yötem Atlur ve Zhu, 998 Yerel zayf form Heky ve Petrov Galerk yötem Solu okta yötem Oate vd., 996, Lsza ve Orkzs, 980; Jerse,980 Güçlü form Solu türev aç aylor sers, HEKY, Düzgü parçack hdrodam Lucy, 977; Ggold ve Moagha, 977 Güçlü form tegral aç Yede üretle çekrdek parçac yötem Lu W.K vd., 993 Güçlü veya zayf form tegral aç YÜÇPY Ode ve Aba, Brm h-p bulutu 994, Armado ve Zayf form parçalamas, Ode, 995 HEKY Brm parçalamas yötem Babuska ve Melek, 995 Zayf form Brm parçalamas, HEKY Nokta terpolasyo yötem Lu G.R. ve Gu, 999, 000b, 00a,b,c,d Zayf form ve yerel zayf form Nokta terpolasyo r düüm yötemler Mukherjee ve Mukherjee, 977 Zayf form ve yerel zayf form HEKY r düüm terpolasyo yötemler Lu, G.Rve Gu, 000d, Gu ve Lu, G.R., 00a,e Zayf form ve yerel zayf form Nokta terpolasyo

63 7 3.3 z yötemler kullalmas Nedeler Nümerk yötemler alada öeml gelmeler 950 yda bu yaa solu elemalar ve der ümerk metodlar da olmutur. Solu elemalar yötemde karmak ekle sahp yaplar elemalara ayrr. Ayrla elemalar brbrleryle a ad verle topolojk olarak brbrleryle balamlardr. SEY de karmak ekle sahp csmler, leer ve oleer problemler çözümüde hassas souçlar verdde uygulamalarda yayg olarak kullalmaktadr. Ayrca fe ve mühedslk problemler çözümüde solu elemalar yötem çözüm prosüdüree göre tasarlaa SEY paketler de yaygdr. Lak SEY, baz problemler çözümüde yetersz kalmaktadr. Ada bu maddelerde br ksm sralamr. a. Oluturma Süres Uzu Olmas Problem, solu elemalar yötemde çözülürke zama çouluu a oluturma sürecde harcamaktadr. Bu süre ksaltlablmes ç de blgsayar h yüksek tutulmas gerekr. b. Aalze Uyarlama Zor Olmas Solu elamalar yötemde arzu edle e öeml parametrelerde brsd de çözüm soucuda elde edle deerler doruluk pay yüksek olmasr. Buu da elde edleblmes ç adaptve aalyss uyarlama aalz gerçekletrlmes gerekr. Solu elemalar yötemde uyarlama aalz yaplablmes ç souçlar daha y yaksamas salamak ç geometr tekrarda daha çok

64 8 elemaa bölümes gerekr. Bu özellk hem süre hemde uyarlama açda egatf yöde etk etmektedr. c. Solu Elemalar Metodu Baz Problemlerde Ktl Yüksek deformasyo soucu elemalar çarplmasda dolay elde edle çözüm souçlar arzu edlecek eklde olmamas. Katlarda çatlak sümülasyou zor olmas. Yüksek yük altda malzeme klma smülasyou zor olmas. Solu elemalar yötem sürekllk mekae göre temelledrlm olup elemalar dalmazlk presbe dayamaktadr. Elemalar arasdak balar kopmas le olumsuzluklar ortaya çkmaktadr. Güümüzde kullala az yötemlerle yukarda celee maddeler htyaçlar karlaablmektedr. Solu elemalar yötem le az yötemler arasda temel farklklar ablo 3. de verlmtr.

65 9 ablo 3. SEY le az yötemler arasdak farklklar Lu G.R, Gu Y.., 005 Özellk SEY z yötem Evet Hayr ekl foksyou oluturma Katk matrs Esas sr koullar uyguluu Hesaplama h Doruluu Uyarlam aalz 3D Gelm aamas car yazm paketler Öcede tamlam elemalar üzerde taml Brlek, smetrk Bast ve stadart zl SFY ye gore daha zl 3 boyutlu yaplar ç uyarlamas zor y derecede geltrlmtr. Çok Yerel destek bölges üzerde taml Brlek, kullala metoda ba olarak yletrmeler gerekr Kullala yöteme gore yletrmeler gerekr Kullala yöteme gore SEY de daha yavar SEY e gore çözüm souçlar daha y Daha kolay Az geltrlmtr. Nadr

66 z Yötemler Çözüm Prosüdürü Bu kmda temel olarak az metodlar çözüm aamalar celeecektr. ve yer yer solu elemalar yötemyle karlalacaktr. Geometr oluturulmas SEY oluturulmas z yötem Düüm oktalar oluturulmas Öcede tamlam elemalar üzerde ekl foksyolar oluturulmas Yerel destek bölgeler oluturuldkta sora ekl foksyolar türetlmes Sstem deklemler oluturulmas Uygu dekeler çözülmes ekl 3. SEY ve az yötemler ç problem çözüm akemas

67 Solu elemalar yötemde modelleme esasda a kurulurke az yötemlerde düümler kullalmaktadr. 3 Her k metod ta ekl foksyolar türetme de dekelk gösterr. Solu elemalar yötemde ekl foksyolar öcede tamlamr. Bu foksyolar ay özell göstermektedr. Fakat az yötemlerde ekl foksyolar seçle yerel düüm oktalar üzerde geellkle sadece celee özel br okta ç türetlr, ve celee okta detkçe ekl foksyolar da der. Solu elamalar yötem le az yötemlere at problem çözüm akemasekl 3. de verlmtr. z yötemler le solu elemalar yötem arasdak temel farklklar dört basamaa göre sfladlmr. a Bölge Gösterm Yaplar, bleeler veya bölgeler geellkle komleks olup çetl yötemlerle çözüleblmes ç uygu br geometrk eklde tamlamas gerekr. Solu elemalar yötemde geometrk elema er yüzeyler, er yüzeyl yüksek derecel elemalar kullalarak modelleeblr. Buula brlkte elemalar sralaarak geometr oluturulmu olur. Eer leer elemalar kullarsa elemalar yüzeyler düz çzgler veya düz yüzeylerde oluur. ekl 3. de üçgesel elemalar kullalarak elemalar üzerdek düz çzgler ve yüzeyler görülmektedr. Er yüzeyler gösterm doruluu elemalar say le kotrol edlmektedr. y yap elemalar daha hassas souçlar vermektedr. Ayrca çözüm soucuu

68 3 doruluk ve vermll kullala blgsayar doa ve programa göre dekelk göstermektedr. Elema say le çözüm süres CPU tme arasda doru orat lks bulumaktadr. Bu durumda tüm geometr boyuca delde sadece daha hassas souçlar elde edlmek stele bölgelerde a bölges ya elema say artlmas gerekr. Ayrca bölge, özel ekll, üçge veya dktörtge ekll elemalara düzgü olarak bölümes gerekr. Elemalar arasda hçbr boluu ve brbrler üzerde çakmamas gerekr. Buu yada a türetme süresde, elemalar sahp olduklar süreklkler karuyablmeler gerekr. Sayla koullar yere getrleblmes ç otomatk a olutura paket programlara htyaç duyulmaktadr. Lak güümüzde tüm bu olumsuzluklar karlaya hazr br paket program bulumamaktadr. Buu yada solu elemalar yötemde ay çözüm bölgesde üçgesel elemalarla modellem olmas le dktörtge elemalar le modellem olmas durumuda çözüm souçlar arasda dekelk görüleblmektedr. Hassas çözüm yaplmak stee bölge daha çok elemaa bölümes gerekr. z yötemlerde bölge srlar ekl 3.3 te görüldüü gb düümlerle gösterlmtr. ekl 3. Üçge elemalarla modellem br çözüm bölges

69 33 ekl 3.3 Düümler le modellem br çözüm bölges b Foksyo terpolasyou Oluturulmas z yötemlerde, a oluturulmadda dolay ala dekeler, yer detrme elemalar X [, y, z] problem geometrsde yerel destek bölges terpolasyo deerler kullar. u u u 3. s Deklem 3. de, yerel destek bölgesdek düüm say, u,.c düüm oktasdak taml odal ala deke, u s, düümlerdek tüm ala dekeler toplaya vector,, destek bölgesde taml düüm oktalar kullaarak. c düüm oktasdak ekl foksyouu belrtr.

70 34 X oktas yerel destek bölges, oktasdak yaklak foksyou olarak destekleyecek düüm oktalar belrtr. Destek bölgesdek her deke oktasda farkl boyut ve ekl özelle sahptr. Yerel destek bölgeler ekl 3.4 te görüldüü gb geel olarak daresel veya dktörtge olarak seçlr. Solu elemalar yötemde ekl foksyolar öcede tamlam elemalar üzere a edlr. Eer doal koordat sstem kullarsa, ekl foksyolar bütü elemalar ç ay özell tekl etmektedr. ekl 3.4 Az metodlarda ekl foksyolar türetlmesde kullala yerel destek bölgeler c Sstem Deklemler Oluturulmas z yötem ekl foksyolar zayflatlm veya güçlü formlar kullaarak sstem deklemler oluturulur. Bu deklemler

71 35 öcelkle odal matrs formuda, sorada da tüm problem geometrs ç global matrs formatda yazr. Lokal deklemler brletrlerek tüm sstem ç deklem tak oluturulmas SEY dek gbdr. ek fark smetrk olma veya olmama durumu kullala yöteme göre dekelk gösterr. d Global Az Deklemler Çözülmes Bu aama SEY le ay olup sadece çözüm ç atsmetrk matrslere htyaç duyulmaktadr.

72 36 4 SZ YÖNEMLERN ÇELER z yötemler tarhsel gelmde 977 e kadar zler görülmektedr. Bu zama da Lucy 977, Ggold 977, Moogha 977, yldzlar ve toz bulutlar aralmasda, srlar kullamayarak astrofzksel doa modelemesde, düzgü paçack hdrodam DPH kullamlardr. z yötemlerle lgl özellkle az zayf form metodlar hakkda kayda deer gelmeler 990 yda sora görülmütür. lerleye tarhlerde ge ararmalar yaplarak farkl metodlar geltrlmtr. GSFM Lszka ve Orkzs, 980, dfüze elema yötem Nayroles vd.,99, hücre metod partkülü HMP Sulsky vd., 99, yede üretle çekrdek parçac yötem YÜÇPY Lu vd.,995, elema bamsz Galerk EBG Belytschko vd., 994, brmsel parçack yötem BPY Babuska ve Melek., 995,996, h-p toz bulutu Duarte ve Ode., 995,996, solu okta metodu SNM Oate vd., 996, bamsz a metodu Yagawa ve Furukawa., 000, z yerel sr tegrasyo deklem metodu ve az yerel Petrov Galerk metodu AYPG Atlur ve Zhu., 000; Zhu,.000 gb az metodlar geltrlmtr. Bu metodlar ala deke terpolasyolar ç aa gereksm duymazlar. Br takm keyf düüm oktalar kullalarak yaklak foksyolar kurulur. Bu foksyolar kurulmas ç herhag elema tamlamasa veya düümler arasdak balatlar olmasa gerek yoktur. z yötemler kullalmasyla, uyarlama aalz ve smülasyo ç daha etkl ve kolay olup geleeksel solu elemalar çözüm yötemde karlala olumsuzluklar mmze edlmes amacyla az yötemler gelm devam etmektedr.

73 So yrm yldr brçok az yötem öerlm olup bu metodlarda zama çersde kayda deer lerlemeler görülmütür. 37 z yötemler dek yol ve türlere göre ada üç temel gruba göre sfladlmlardrr. 4. Formulasyo Prosüdürüe Göre Sfladrma ayrr. Formülasyo prosüdüre göre az yötemler üç aa kategorye 4.. Zayflatlm Formlar Üzere emelledrlm Az Yötemler Fzksel problem matematksel olarak fade ede dferasyel deklemler, türevledrlm sr koullaryla farkl tekkler kullalarak zayflatlm tegral deklemlere döütürülür. Zayflatlm formlar yardyla problem bölgesde global veya yerel olarak oluturulmu arka pladak hücreler kullalarak ümerk tegrasyo lemleryle brkaç cebrsel deklemlerle çözülür. Zayflatlm formlar üzer kurulu az yötemler 990 yllar balarda geltrlm olup gelm hale devam etmektedr. Bu metodlar hakkda brkçok öeml makale yaylamr. 99 yda Nayroles dfüzyo elemalar metoduu kullaarak Galerk zayflatlm formuu oluturmutur. 994 yda Belytschko elema bamsz Galerk yötem hakkda makale yaylamr. Belytschko ve çalma arkadalar brçok mekak problemler çözümüde EBG

74 38 metoduu kullap geltrlmese öeml katklar salamlardr. Zayf form temell az yötemler üzerde 994 yda sora hzl br eklde celemeler yaplmr, ve u a brçok az yötem geltrlmtr. emel olarak elema bamsz Galerk EBG ve radyal okta terpolasyo yötem RNM bu gruba grmektedrler. Der öeml zayflatlm formlar üzere kurulu az yötem, yede üretle çekrdek parçac YÜÇPY yötemdr. YÜÇPY 995 yda Lu ve arkadalar tarafda öerlp oleer ve yüksek deformasyo problemlerde kullalmr. Che, 996; Lu ve Ju., 997, elastk olmaya yaplar Cha.,997, yapsal akustk Uras., 997, akkalar meka Lu,Ju.,997 Der zayf form temell az yötemler hp-bulutu Armado ve Ode, 997, brmsel parçack solu elemalar metodu Melek ve Babuska,996, solu küresel metodu De ve Bathe,000, az yötem metodlarr Yagawa ve Yamada, Elema Bamsz Galerk Yötem Elema bamsz Galerk yötem 994 yda Belytschko, Lu ve Gu tarafda öerlmtr. Yötem ekl foksyolar olarak hareketl e küçük kareler ekl foksyolar yakla kullamaktadr. emel olarak dfuse elema yötemyle ada belrtle üç fark dda ay yapdadrlar. a. Bu metodta, Gauss kuadratk oktalarda saysal tegrasyo lem ç hücre yap kullar. Belytschko 994 yda yapt celemede bu metodu doruluk ve vermll solu

75 39 elemalarla karlaldda daha hassas çözümler türett öe sürmütür. Fakat bu metod kuadratk oktalarda saysal tegrasyo lem ç hücreler oluturulmas gerektde gerçek az metod olarak kabul edlmemektedr. Ayrca çözüm süres der metodlara azara daha fazladr. Ay düüm say kullaldda problem çözme süres elema bamsz Galerk yötem, solu elemalara göre 4 le 0 kat arasda deklk göstermektedr ablo 0.8 b. Bu metodta dfüze elema bamsz Galerk yötemde farkl olarak sr koullar uygulamas aamasda Lagrage çarpalar kullalmaktadr. Bölüm 6.. c. Elema bamsz Galerk yötemde hareketl e küçük kareler ekl foksyolar kullaldda ekl foksyolar türevler tam olarak hesaplamr. Buu terse dfüse elema Galerk yötemde ekl foksyolar olarak rlkladlm hareketl e küçük kareler ekl foksyolar kullaldda ekl foksyolar türevler tam olarak hesaplamamr. Çükü foksyolar türevler alrke baz katsaylar hmal edlmes gerekmektedr Belytschko., Yede Üretle Çekrdek Parçac Yötem Düzgü parçack hdrodam gelm aamasda olduu zamada Lu ve çalma arkadalar bu metodu öermlerdr. Yötem temel olarak çekrdek foksyou ç düzeleyc br çekrde oluturulmasr. Yede üretle çekrdek parçac yötem ç u yaklak foksyou adak gb tamlamr.

76 40 u h C, y y u y dy 4. Burada C, y, sr koullar uygulaacak yötem ç düzeltme foksyou, fades se kerel foksyou ç geletme parametresdr. Yede üretle deklem, leer temel foksyolar polomal deerler le fade edlmes gerekmektedr. Ayrca bu metodta çözüm yaplablmes ç çekrdek etrafdak oktalar deerler blmes de gerekr. Formülasyo ç ümerk tegrasyo yötem uygularsa dak bat elde edlm olur. a, u V h u u 4. _ Bu yaklamda sr koullar tam olarak uygulaamamaktadr. Buu ç br takm döüümler yaplmas gerekmektedr. Bu metod daha sora frekas çözümü ve çft dege partkül metodu olarak ta geletlmtr Lu vd., 995, 996, ralama ekkler Üzere emell Az Yötemler Bu çet az yötemlere az kolakasyo metodlar veya az güçlü formlar delmektedr. Az güçlü formlar uzu br geçme sahptrler. Solu farklar metodu SFY Grault, 974; Pavl ve Perroe, 975, Sell, 98; Lzsa ve Orkzs, 977, Krok ve Orkzs, 989, az kolakasyo metodlar, Kasa, 980, Wu, 99; Zhag ve

77 Krok, 000; lu, 00, 003 ve solu okta metodu SNM Oate, 996;998;00 tpk az yötemler tekl etmektedr Zayf Form ve Kolakasyo ekkler Blem Üzere emell, Az Yötemler Bu çet metodlara az zayf-güçlü formlar da delmektedr. AZGF metodu 00 yda lu G.R. ve Gu tarafda geltrlmtr. AZGF metoduu temel, sstem deklemler olutururke hem zayf hem de yerel zayf formlar ay problem çde kullar. Ama farkl düüm oktal gruplar ç farkl deklemler ve sr koullar kullar. AZGF metodu tegrasyo ç e küçük hücreler kullar. Ay zamada kararl ve mekak deklemler çözümüde doruluk pay yüksek olduuda dolay çözüm ç deal br yötemdr. 4. Yaklak Foksyo Uyumua Göre Sfladrma Keyf düüm oktalar üzere temelledrle terpolasyo yaklaml foksyo metodu, az yötemlerde e çok kullala ftr. Çükü foksyo yaklak olarak tamlap deerlere göre souçlar alr. 4.. E Küçük Kareler Yaklaa Göre emelledrle Az Yötemler E küçük kareler yakla 98 yda matematkç Lacaster ve Salkausas tarafda yüzey kostrüksyo amacyla kullap

78 4 geltrlmtr Lacaster ve Salkausas, 98. E küçük hareketl kareler metoduu geltrlmesyle brçok az zayf formlar gelmese olaak salad. Çükü HEKY tüm problem geometrsde ala foksyou ç sürekllk yaklam tedark edeblr. Güümüzde de az ekl foksyolar türetlmesde brçok az metod ta yayg kullalmaktadr. Nayroles 99 yda, lk olarak dfüzyo elemalar yötemde HEKY ekl foksyolar kullamr. Brçok metod ta, ekl foksyolar türetlmesde bu yaklam kullalmaktadr. Elema bamsz Galerk Belytschko,., 994 metodu ve az yerel petrov Galerk gb z Yerel Petrov-Galerk Yötem 999 yda Zhu, 000 yda Atlur ve Zhu k çet az yötem öermlerdr. Az yerel sr tegral deklem AYSD metodu ve az radyal Petrov Galerk AYPG metodudur. Her k metodta da ekl foksyolar türetlmesde hareketl e küçük kareler yakla kullar. AYSD metodu yerel srsal tegral deklem formülasyouu kullarke AYPG metodu da yerel smetrk zayf formu kullar. Her k metodta da tegraller düzgü eklledrlm bölgelerde ve rlarda hesaplar. Çözüm ç herhag br a veya arkapla hücreler tamlamas gerekmemektedr. Buda dolay bu metod gerçek az metod olarak smledrlr Atlur ve Zhu., 998a.

79 Yaklak Foksyo ç tegral Gösterml Metodlara emelledrle Az Yötemler Bu çet az yötemler, yaklak foksyolar tegral formlar kullar. Yayg olarak kullala düzgü parçack hdrodam DPH Lucy, 977; Ggold ve Moagha, 977; Gr Lu, 003 ve YÜÇPY Lu, 995 olarak sralaablr. DPH lk olarak üç boyutlu açk uzayda özel astrofzksel problemler çözümü ç geltrlmtr. DPH yakla, problem sm dferasyel deklem oluturmak ç güçlü formlar kullar. So zamalarda DPH metodu yüksek hzl çarpma problemler smülasyo edlmes amacyla uygulamaktadr. G.r Lu ve çalma arkadalar patlama ve szma uygulamalar smüle edlmes amacyla DPH metoduu kullamlardr. Bu metod ayrca ok dalgalar uygulamalarda da kullalmr Lam vd., Düzgü Parçack Hdrodam Düzgü parçack hdrodam DPH e esk metod olup Ggold ve Moagha tarafda 977 yda geltrlmtr. problem bölgesde u tek foksyou türetlmes çekrdek yaklaa dayar. Bu yaklam adak gb tamlamr. u h w y u y d 4.3

80 44 Deklem 4.3 te u h fades yaklak foksyouu gösterrke, w y fades de br çekrdek veya arlk foksyouu belrtr. h parametres de destek büyüklüüü gösterr. Bu formülasyoa ümerk kuadratk yötem uygularsa adak bat elde edlr. h u w U V u 4.4 Deklem 4.3 te V, 3 boyutlu hacm fade eder..c düüm oktas ç, w V, bat da yaklak foksyo ç ekl foksyouu göstermektedr Che, Y., Lee, J.D., Eskadra, A., 006. Nümerk meka balag bu metoda dayamaktadr. Ay zamada bu metod brçok uygulamalarda da kulllmr. Galaksler dzlm, oluumu ve astrofzk uygulamalar modellemesde baar br eklde kullalmr. Ayrca bu metodla akka meka problemlerde galaksler dzlm, ötro yldzlar, kara delkler brlem, süperovalar modellemese kadar ve hatta evre modellemesde de bu metod kullalmr Ggold, R.A ad Moagha, J.J., Nokta terpolasyo Metodua Dayaa Az Yötemler Nokta terpolasyo yötem NM, az terpolasyo tek olup Gr Lu ve çalma arkadalar az zayf form metodlarda, yerel olarak dala düüm oktalar kullaarak çetl foksyolar türetmek ç bu yötem kullamlardr. HEKY de ayrla fark

81 Kroecker delta özell kullalarak ekl foksyolar türetleblmesdr Der Az terpolasyo Metodlara Dayaa Az Yötemler Bu metodlar temel olarak h-p bulutu Durarte ve Ode, 995 ve brm parçalamas yötem olarak Melek ve Babuska, 997 gösterleblr Brm Parçalamas Yötem 995 yda Babuska ve Melek, 995 ve 996 yllarda Duarte ve Ode hareketl e küçük kareler yakla brmsel parçack özellkler taklar göstermlerdr. Duarte ve Ode brm parçalamas yötem le ye foksyolar türetmey amaçlarke h-p bulutu ad verle ye br az metod elde etmlerdr. Duarte ve Ode p derecel polomlar kullaarak az yötemler terpolatlar bulmulardr. Ayeklde Babuska ve Melek, klask solu elemalar yötem çözüm prosüdürüü, geltrdkler yöteme uygulayarak brmsel parçack solu elemalar yötem BPSEY elde etmlerdr Babuska ve Melek., 995, 996, Duarte ve Ode., 995, Bölge Gösterme Göre Sfladrma Solu elemalar yötemde ve sr elemalar yötemde olduu gb az yötemler de bölge taa göre bölge tp ve sr tp az yötemler olmak üzere kye ayrrlar.

82 Bölge p Az Yötemler Bu yötemlerde hem problem bölges hemde problem srlar, ala düümleryle gösterlr. Sstem deklemler tüm geometr ç zayf veya güçlü formlar kullalarak buluur r p Az Yötemler r tp az metodlar formüle etmek ç srsal tegral deklemler kullar. Bu çet az metodlarda, geometr rlarda düüm oktalar kurulmasyla problem çözülür. Sr tegral deklem SD, balagçta foksyolar kurulmasyla oluturulur. Sstem deklemler de az ekl foksyolarda yararlalarak sr düüm oktalarda buluur. Mukherjee ve çalma arkadalar sr düüm metoduu öermlerdr. Mukherjee, 997; Kothur, 999. Srsal az yötemde, saçla düümlere ba kalarak problem bölges gösterlr. r düüm metodu üç boyutlu potasyel teor ve elasto statk problerde kullalmr. HEKY ekl foksyolarda delta foksyo özell olmadda dolay SEY metoduda sr koul doruluu tam olarak elde edlemez. Der sr tp az yötem yerel tegral sr YSM Zhu 989; Sladek, 00 metodudur. YSM metoduda problem bölges, dalm düümler tarafda gösterlr. Herbr ala düümü ç srsal tegral deklemler oluturmak ç düzel yerel bölgeler kullar. YSM leer ve oleer sr tp deer

83 problemler çözülmesde baar br eklde kullalmr.zhu, 998, So yllarda geelletrlm varyasyoel problemlere dayaa alteratf sr elema foksyolar geltrlmtr. 99 yda DFgueredo hbrt sr tegral deklemler öermtr. Hbrt okta terpolasyo metodu ve hbrt sr radyal okta terpolasyo metodu r problemler çözmek ç formüle edlmtr. HNM ve HSRM, HSM çde NM ve RNM ekl foksyolar kullalarak formüle edlr. HSNM ve HSRNM de bulua katk matrsler smetrdr. Bu smetrlk özell HSNM ve HSRNM der az metodlarda, smetrk sstem matrsler türetlmesde avataj salar. ablo 4. z metodlar sfladlmas Lu G.R., Gu Y.., 005 fladrma Formülasyo prosüdürüe göre terpolasyo/ yaklak metoda göre Bölge gösterme göre Kategorler Güçlü form türetlmese göre az yötemler Zayf form türetlmese göre az yötemler Hem zayf form hemde güçlü formlar türetlmese göre az yötemler HEKY kullaa az yötemler Yaklak foksyo ç tegral aça kullaa az yötemler M kullaa az yötemler Der terpolasyo gösterm kullaa z yötemler Bölge tp az yötemler r tp az yötemler z yötem öre z sralama metodu, NM EBG, RNM, AYPG, LRNM z zayf güçlü form metodlar EBG, AYPG DPH RNM, LRNM BPSEY, h-p bulutu DPH, EBG, RNM, AYPG, LRNM SM, SRNM, HSRNM

84 48 ablo 4. Az yötemler foksyo ve terpolasyouda yötemler Lu G.R., Gu Y.., 005 Formülasyo gösterm terpolasyo yakla HEKY AZG RF M RNM Hermte tp terpolasyo yakla DPHYÜÇPY BPY Güçlü form SNM ralama, GSFY ralama RNSM RNSM RNSM DPH- YÜÇPY h-p butu Galerk Zayf formu EBG? Galerk metodu M RNM? YÜÇPY BPSEY, h- p bulutu Petrov- Galerk zayf formu AYPG?? YNM YRNM??? Güçlü-zayf form AZGF??? AZGF- RNM??? E küçük kareler??????? r tegral deklem SNM?? SNM SRNM??

85 Gelecektek Gelmeler ablo 4. de az yötemler formülze ve terpolasyouda kullala farkl yollar lstelemr. abloda açkça alalablece gb az yötemler, farkl terpolasyo ve formülasyo prosüdürler kullamaktadr. abloda bo ola yerler açkça görülmektedr. Bo alalar doldurulmamas ede bu yötemle heüz çallmad veya problemler ç kullala metodu uygu olmad fade etmektedr. da dört ala az yötemler geltrmek ç uygu olablr. z yaklak foksyo ç ye metod geltrlmes. Ye formülasyo prosüdürüü geltrlmes. Farkl yaklak foksyo ve formülasyo prosüdürlere dayaa az metodlar geltrlmes. Foksyo yaklamlar veya problem geometrs farkl bölümler ç formülasyo prosüdürlere dayaa az metodlar geltrlmes.

86 50 5 SZ EKL FONKSYONLARN ÜRELMES 5. Gr Bu kmda az yötemlerde kullala RNM ve HEK ekl foksyolar hakkda blg verlecektr. Bu ekl foksyolar yerel olarak desteklerler. Çükü yerel bölgede taml sadece brkaç ala düümü ekl foksyolar türetmek ç kullar. Ayrca yerel bölge dda k ekl foksyolar sr deerde dellerdr. Solu elemalar yötemde sabt düüm oktalar belrlemes ve bu düüm oktalar üzerde elemalar oluturularak terpolasyo tekkler kullap ekl foksyolar türetlr. Bu çet terpolasyolar hareketsz elemalar statoary elemets terpolasyou olarak adladr. Az yötemlerde se geellkle keyf olarak dalm yerel destek bölges çde ala düümler kullalarak ekl foksyolar türetlr. 5.. z terpolasyo/yaklak ekkler z foksyou türetmek ç kullala metodu sahp olmas gerekeler ulardr.. Keyf olarak seçle ala düümler bölgey y br eklde kapsamas gerekr.. Nümerk olarak kararl olmal. 3. Etkleml olarak destekleeblmeler gerekr. 4. Global zayf formlar kullaldda problem geometrs boyuca ekl foksyolar kullaa yötemler elverl

87 5 olmas gerekr. Zayf formlar kullaldda yerel kuadratk bölges boyuca uygu olmas gerekr. 5. er ekl foksyolar Kroecker delta özell tayorsa deal ekl foksyo özelle sahptr. 6. Foksyo hesaplaablr özelle sahp olmas gerekr. Sstem deklemler oluturulmasda kararlk çözümü ve formulasyo prosüdürü çok öeml rol oyamaktadr. Bu da acak formulasyou tam etkleye bask termler özelle sahp problem temell formulasyo prosüdürüü tasarlamasa htyaç duyulmaktadr. Der çözüm kararszl yayg olarak karlala DPH yaklak metoduu güçlü malzemel hdrodamklere uygulamasyla olua gerlm kararszlklarr Swegle, 995; Baslara, 995; Dyka ve gel, 995; Morrs, 996; Dyka, 997; Moagha, 000. Problemde global zayf formlar kullaldda ekl foksyolar uyguluu problem bölges boyuca uygu olmas gerekmektedr. Yerel arlkl artk kolakasyo yötem kullaldda sstem deklemler üretmek ç sadece yerel arlk bölges çde yerel uygulua gereksm duyulmaktadr. G.R Lu 00, tegral gösterml, ser, dferasyel ve tegral aç olmak üzere az ekl foksyolar üç aa kategorye ayrmr.

88 5 ablo 5. Az terpolasyo tekkler kategorler Lu G.R., Gu Y.., 005 Kategorler tegral Aç Ser Aç z Yaklak ekkler Düz Partkül Hdrodam DPH Yede üretle çekrdek parçac yötem YÜÇPY Hareketl e küçük kareler yötem HEKY Nokta terpolasyo metodlar RM, RNM Brmsel parçack metodu BPM Dferasyel aç Geel solu farklar metodu tegral açml metodta, arlkl tegral operasyou yardyla lokal yerleml bölge çdek verler kullap foksyo türetlr. Uygu arlk foksyou seçlmesyle ekl foksyolar oluturulur. Bu geellkle DPH metoduda kullar. Ser açml metodlar, eskde ber e çok kullala yötemlerdr. Bu metod solu elemalar yötemde de yayg olarak kullar. Keyf dalm düüm oktalar sayesde az metodlarda da kullalmaktadr. emel foksyolar kurulmasyla uyguluu salar. E küçük kareler yötem yayg olarak e çok kullala z ekl metodudur. Nokta terpolasyo az ekl yötem adr olarak ta kullala metodtur.

89 53 Dferasyel gösterml metodlar, uzu zamada ber solu farklar yötemde kullap geltrlmtr. Solu farklar yötem global sr problemlerde oldukça elverl br yötem deldr. Zekewcz ve aylor, 000. Dferasyel gösterml metodlar güçlü form foksyolara dayaa sstem deklemler oluturulmasda kullar. Solu farklar metodu SFM ve geel solu farklar metodu gb GSFM. 5.. Destek Bölges celeecek okta terpolasyo doruluu ekl 5. de görüldüü gb destek bölges çdek düümlere bar. Buda dolay uygu br destek bölges verml ve doru yaklamla seçlmes gerekr. X q oktasda k destek bölges ç; d s d s c 5. deklem kullar. Burada d c, X q oktasdak odal aralktr. s, destek bölge ç boyutsuz parametre 5. deklemdek d c, düzgü br eklde dalm k komu düüm oktas arasdak uzakl fade etmektedr. Eer düüm oktalar üform olmayacak eklde dalmsa d c, X q destek bölgesdek ortalama aral fade etmektedr Lu G.R., Gu Y.., 005

90 54 Boyutsuz destek bölge parametres ola s, destek bölges gerçek boyutuu göstermektedr. Öre. fades, ortalama olarak destek bölges yarçap fade etmektedr. s Gerçek düüm oktas say ola, destek bölgesdek tüm düüm oktalar mktarca belrleeblr. Öyle k s parametres aalzde öce aalst tarafda belrlemes gerekr. Bu da geellkle kompleks problemler ç deeylerle buluablr. Geellkle s, le 3 deer arasda çou problemler ç verml souçlar vermektedr Lu, G.R. ve Gu, L.., Ortalama Nodal Aral Belrlemes Br boyutlu problemlerde ortalama odal aral e bast fades olarak; d v d s DS 5. gb tamlar. Burada gb kabul edleblr. DS d s, yaklak olarak 5. deklemdek deer, toplam düüm sayr. Az yötemlerde X q oktas ç destek bölgeler ekl 5. ve 5. de gösterlmtr.

91 55 ekl 5. Daresel destek bölgeler rs:destek bölge boyutu ekl 5. Dktörtge destek bölgeler rs, rsy: destek bölges ve y yölerdek boyutlar k boyutlu durumlar ç ortalama odal aral; As d c 5.3 AS

92 56 eklde fade edlr. Burada AS, A s alada tamlaa düüm sayr A s, tahm edle destek bölges ala, 3 boyutlu durumda odal aralk; 3 Vs d c VS eklde gösterlr. Deklemde Vs hacmde tamlaa düüm sayr. V s, destek bölges hacm, VS, d c parametres belrledkte sora 5. deklem kullalarak üform olmayacak eklde dala düümler çde herhag br oktas destek bölges boyutu ola buluablr. X q d s parametres rahatlkla d s hesaplama lem basamaklar ada verlmtr.. d c veya. DS A s verlerek X q oktasda ds tahm edlr., As veya V s bölgeler çdek düüm say buluur. 3. Problem boyutua göre d c deer hesaplamas ç deklem 5., 5.3 veya 5.4 kullar. 4. Boyutsuz olarak verle destek bölges çde deklem 5. kullalarak d s deer hesaplar.

93 57 5. Radyal Nokta terpolasyo ekl Foksyolar 5.. Kovasyoel RNM Geellkle RNM ekl foksyolar az zayf veya güçlü formlarla brlkte kullar. RNM ekl fosyolar terpolasyo polomlar artp adak gb yazlablr. u m R a p j b j R a P b j 5.5 Burada R, radyal temel foksyou, p j, [, y] uzay sstemdek deerler, m, polomal temel foksyo say, radyal temel foksyo sayr. ve b j katsaylar sabt olup belrleecek deerlerdr. Radyal temel foksyouda r deke lglele oktadak düüm oktas le düüm oktas arasdak mesafedr. Öre k boyutlu problemler ç r foksyou adak gb tamlamr. r y y 5.6 Çok çetl radyal temel foksyolar vardr. Ayrca radyal temel foksyo özellkler ge br eklde aralmr. Kasa, 990; Shara, 997; Frake ve Schaback, 997.

94 58 ablo 5. de mult quadrc MQ, Gaussua EXP, ce tabaka sple th plate sple PS ve logartmk foksyolar verlmtr. Verml br souç ç baz ekl parametreler belrlemes gerekr. Geellkle bu parametreler, q, verle problem tpe göre ümerk olarak belrleeblr. c Öre MQ-RBF de ekl parametres k adettr. Bu parametreler a c ve q aalst tarafda belrleecektr. q 0. 5 deerde e y çözüme yaksad görülmütür. Ay zamada akkalar meka problemlerde q 0. 5le 0.98 deerler arasda y souçlar verd görülmütür Wag J.G, Lu G.R., 00a, 00c. ablo 5. pk temel radyal foksyolar ve ekl parametreler Lu G.R., Gu Y.., 005 sm Deklem ekl Parametreler Mult kuadratk R, y [ r cdc ] c 0, q Gauss ce tabaka sple th plate sple r R, y ep c c dc R, y r Logartmk R, y r log r

95 59 ablo 5.3 You olarak desteklem radyal temel foksyolar SDRF Deklem Referas Wu-C Wu-C4 Wedla- C Wedla- C4 Wedlad- C6 r 5 r R, y r r r r R, y Wu 995 Wu 995 r r r r r r 4 r Wedlad R, y r R, y r R, y 6 8 r 3 8 r 8 r 35 r 5 r Wedlad 995 Wedlad 995 SDRF: Sms desteklem radyal temel foksyolar, : Yerel destek boyutu, Bua ek olarak sms desteklem radyal temel foksyolar ç de baz formülasyolar geltrlmtr Wu,995; Wedlad, 995. Bular ablo 5.3 de verlmtr. SRF dek ekl parametres ola, yerel destek boyutuu gösterr. r olduuda deerler o kabul edlr Lu, G.R vd., Gu, Y.., 004 Deklem 5.5 ve b j belrleeblmes ç, oktasda ve destek bölges oluturulur. adet düümlere deerler koularak

96 60 b j buluur. Her düüm oktas ç adet deklem olumas salar. Bu deklemler matrs formatda adak gb yazrsa; U s R a P b 5.7 o m deklem elde edlr. Foksyo vektör deer de, s u, u, u3,, u U, 5.8 gb olur. R r R r... R r R r R r... R r R R r R r... R r Polom momet matrs adak gb olur m P y y... y 5.0 : :... : Pm Pm... Pm m Radyal temel foksyo ç katsaylar;

97 6 a a a a a olur. Polom deerler ç vektör katsaylar 3 b... b b b b 5. olur. Deklem 5.9 dak k r k k k y y r 5.3 olarak hesaplar. m adedde sr koullar uygulaarak adak deklem elde edlr. 0 a P a p m j, m j...,,3 5.4 Deklem 5.7 ve 5.4 kullalarak adak sral deklemler buluur. b a 0 P P R 0 u U m m o s s 5.5

98 6 o b... b b a... a a a u u u u s 5.7 o R matrs smetrk olduuda G matrs 0 deere et olacaktr. U s G b a a Deklem 5.5 tekrar yazrsa; b a P R b P a R u 5.9 eklde yazlablr. Deklem 5.8 ü kullalmasyla s s u U G u P R 5.0 etl elde edlr. 5.0 deklemde RNM ekl foksyolar adak gb yazlablr } { G P R m 5. So olarak ekl foksyolar odal yer detrme vektörüü bulumasyla 5. deklem elde edlr.

99 Deklem 5.0 tekrar yazrsa, u u u 5.3 elde edlr. s u türev adak gb rahatlkla buluablr. u,, l U 5.4 s Burada, l fades veya y koordatlar gösterr. R o term geellkle keyf olarak dalm düümlerde mevcuttur Powel, 99; Schaback,994; Wedlad, 998. Düüm saylar arttda R o deer y br eklde souç vermez. Bu souç formülasyoda, düümler heps bölge boyuca koulmasyla az kolakasyo yötemde bulumutur. Global kolakasyo metoduu e öeml özellklerde brs smetrk formülasyo prosüdürüüü uygulaablrldr. Radyal temel foksyolar, okta terpolasyo ekl foksyolar oluturmadak katklar ada sralamr. RF uygulamas polomu tekllk problem çözmede etkl rol oyar. RNM ekl foksyolar stabl özelle sahptr. Dolayyla keyf ve düzesz odal damlar ç uygudur.

100 64 RNM ekl foksyolar uygulamas, üç boyutlu geometrler ç kolaylkla yaplablr. Üç boyutlu terpolasyo ç uzaklk adak gb fade edleblr. r y y z z 5.5 Akkalar meka ç RNM ekl foksyolar, der ekl foksyolarda daha uygudur Lu, G.R. ad Gu, Y.., 005 RNM ekl foksyolar dezavatajlar ada sralamr. RNM ekl foksyolar HEKY ve NM ekl foksyolaryla karlaldda RNM tam çözüme yaksamas daha düüktür. Baz parametreler az metodta kullala RNM ekl foksyolar öeml eklde perfomas ve doruluuu etkledde bu parametreler dkkatlce seçlmeldr. RNM de yerel destek geometrsde daha fazla düüm say bulumas gerektde dolay hesaplaa deklem say Me göre daha fazladr Lu G.r, Y.., Gu, 005. RNM ekl foksyolar temel ola brkaç özell ada ralamr..delta Foksyo Özell: RNM ekl foksyolar kroecker delta özell tamaktadrlar..brmsel Bölümeler: RNM ekl foksyolar brmsel bölüme özelle sahptrlerler.

101 Destek Bölgesdek Düümler Youluu: RNM ekl foksyolar destek bölgesde oluturula düümler kulladda, foksyo temel olarak sms br eklde destekler. ve destek geometr harcdek foksyolar da 0 olarak kabul edlmektedr. 4.Sürekllk: RNM ekl foksyolar geellkle radyal temel foksyolar kullar. ve radyal temel foksyolar sürekll y olduuda, RNM ekl foksyolar da y dereceye sahp olurlar. 5.Çoaltlablrlk: E düük terml polom le RNM ekl foksyou leer polomu çoaltlablrl sbat etmektedr. 5.. Hermte p RNM ekl 5.3 te görüldüü gb celemek stee oktadak destek bölges le DB Drchlet boudary düümler türevler blmeye deerlerdr. Bu da DB düüm oktalar sadece foksyo deere sahp olduuu göstermeyp ay zamada dekeler gb ormal türevlere de sahp olduuu göstermektedr. Radyal temel foksyolar kullalarak Hermte tp terpolasyou uygulamasyla bulumaktadr.

102 66 ekl 5.3 Serbestlk derecel ve ormal türev alm hermte tpl terpolasyo Yaklak ala foksyou u, DB düümlerde yerel destek bölges le ormal türevler tüm düüm oktalarda RF leer kombasyou olarak yazlablr. h R u p c 5.7 DB m j R bj j k k k Burada, bölgedek düüm say,,b, c belrleecek katsaylar,, yerel destek j k DB, yerel destek bölgedek DB düümler say, m, artrablrlk ç polom deerler say, p k, tek terml,, DB düümüdek srda da döük ormal brm vektördür.

103 67 R R R DB j R DB j 5.8 R DB j l j R j l yj R j y Burada koordat deer,, yerel destek bölgede. c düüm say ç DB j, j. c düüm ç koordat deerdr. l cos,, l cos, y 5.9 j j yj j DB düümlerde ala foksyo türevler blmedde dolay deklem 5.7 dek gb DB düümler ç radyal temel foksyolar türevler kullar. Deklem 5.7 tekrar adak gb yazrsa; h u B a gb olur Deklem 5.7 da B temel foksyo vektörü adak batda tamlamr. B R... R DB DB R R DB... y... p m

104 68 0 a katsaylar adak gbdr. m o c c b... b a... a a a DB Deklem 5.7 dek k j c b a,, katsaylar, destek bölges le DB düümlerde foksyo türevler deerler le destek bölges tüm odal foksyo deerler boyuca terpolasyo uygulaarak buluur. Yerel destek geometrsde tüm düümler ç m k k l k j j l DB j l l h l c p b R R u u DB 5.3 olarak fade edlr. Burada l..,,,3, e kadar gder. üm DB düümler ç m k k DB l k j j DB l j DB DB l c p b R R u DB 5.33 gb olur. Burada DB l..,,,3, ye kadar gder. am sr ç adak srlar uygular. j j j k k m,... k b p p DB,, 0, 5.34

105 ve 5.34 dek deklemler brlkte düzeledde; Ga c b a P P P R R P P R U U u DB m DB c DB m DB Db s s 5.35 bat elde edlr. Burada G, geelletrlm momet matrsdr. Düümlerdek polomal momet matrs; m m m m m p... y p y p... y P 5.36 gb olur Polom deerler. türevler, DB DB düümlere döütürülür. / / / l DB DB DB m DB m DB m DBy DB DBy DB DBy DB DB p p p l l l l l P 5.37

106 70 Radyal temel foksyolar düümlerdek momet matrs; R R R... R R... R R R R R 5.38 olur. Radyal temel foksyolar DB düümlerdek. ormal türevler momet matrs adak gb olur / / / / / / / / / / DB DB DB DB DB DB DB DB DB DB DB DB DB DB DB R R R R R R R R R R R 5.39 Radyal temel foksyolar DB düümlerdek. ormal türevler momet matrs de adak gb olur.... DB DB DB DB DB DB DB DB DB DB DB DB DB c R R R R R R R R R R 5.40

107 7 Deklem 5.35 de odal dekeler açm vektörü, U DB DB u u [ u u 0 0] 5.4 olur. Nodal foksyo deerler vektörüde adak gb tamlamr. s 3 U u u u... u 5.4 Nodal ormal dekeler türevler adak deklemde belrtlmtr. DB DB DB udb u u u 5.43 G döütüreleblr özelle sahptr. a 0 deer bulmak ç deklem 5.35 çözülürse; a 0 G 5.44 U s deklem elde edlr deklem 5.7 dekleme koulursa; u h B a0 B G U s U s 5.45 bat elde edlr. Burada, ekl foksyo vektörüdür.

108 7 ] [ m p m P H H DB DB G B 5.46 So olarak yaklak foksyo ve türevler 5.45 dek deklem çözülmesyle buluur. u y u y u u u u u u u DB j j H j h DB j j H j h j DB j H j h DB DB DB RNM ekl Foksyolar Çözüm Algortmas Bu aamada k boyutlu problemler ç çözüm basamaklar celeecektr Destek Bölges Belrlemes k boyutlu geometrde,celee oktada dek hallerde olablr. Çembersel destek bölgeler adre kullar. Çembersel veya dktörtgesel destek bölgeler ekl 5. ve 5. de belrtlmtr. Dktörtgesel destek bölges hem tertp etme hemde uygulama açda daha kolay olduuda örekte dktörtgesel bölge kullalacaktr.

109 73 Dktörtgesel destek bölgeler kullaldda, destek bölge boyutlar ve y yölerde d ve dsy olarak adladlacaktr. s d d s sy a a s sy d d c cy 5.48 a s ve Nadre de olsa a sy, yölerdek boyutsuz destek büyüklüklerdr. as asy, c dcy d, Q celee oktada ve yölerde odal aralklar olarak kullar. Eer düüm oktalar üform olarak dalmlarsa d c, bast olarak koordatdak k düüm oktas arasdak mesafey belrtr. Hakeza d cy de y koordatdak k düüm oktas arasdak mesafey belrtmektedr. Düüm oktalar üform olmayacak eklde dalmsa d c ve d cy, X q celee oktadak destek bölgede ortalama odal aralk olarak kabul edlr. y Radyal emel Foksyolar ekl Parametreler Öre aalz edlecek MQ-RBF ç k ekl parametres mevcuttur. a ve q. Stadart RBF de, q 0. 5 olarak alablr. Wag c Gr. Lu 00a, 00c akkalar meka ve kat meka ç q 0.98 le.03deerler arasda verml souçlar verece belrlemlerdr. Hem q, hem de ac boyutsuz sabtlerdr. Nodal aralk ola d c,

110 74 d c d d 5.49 c cy deklemyle bulur. Burada belrtlmt. d c ve d cy, deklem 3.4 te EXP-RBF ç tek ekl parametres c dr. Bu deer de küçük pozrf deer alr. PS-RBF ç tek ekl parametres dr ekl parametreler radyal temel foksyolar perfomas öeml ölçüde etklemektedr. eork olarak tam deerler blmemektedr. Acak ümerk ararmalar geltrldkçe bular deerlerde buluacaktr RNM ekl Foksyolar Hesaplamas Deklem 5., RNM ekl foksyolar hesabda kullalmaktadr. Bu deklem her k taraf G le çarprsa; G R, p G G R, p 5.50 bat elde edlr. Her k taraf traspozes alrsa; G R, p 5.5

111 75 gb olur. veya p R G 5.5 eklde de gösterleblr Stadart deklem çözücüsü kullalarak deklem 5.5 çözülürse G hesaplamada drek olarak RNM ekl foksyolar buluablr. Deklem 5.5 kullalarak RNM ekl foksyolar türevler buluur. p R p R G 5.53 veya p R G 5.54 kc türevler de 5.55 deklemde verlmtr.

112 76 G R p RNM ekl Foksyolar üretlmes Ak emas ekl 5.4 RNM ekl foksyolar akemas 5.3 RNM ekl Foksyolar ç Örek Problem Bu örek kovesyoel RNM ekl foksyolar ve türevler, destek bölgede 5 düüm oktas kullalarak bulumutur düüm oktas ekl 5.5 de verlmtr. [, ] ve y [,] koordatlar arasda hesap edlmtr. Bu düüm

113 oktalar koordat deerler ablo 5.4 te verlmtr. ekl foksyolar, bölgede herhag br okta ç buluablr RNM ekl Foksyolar ve ürevler MQ radyal temel foksyolar kullalacaktr. ekl 5.6 ve 5.7 RNM-MQ ekl foksyolar ve türevler göstermektedr. ekl parametreler, 0.5, q 0.5, mbass 0 almr. c d c ablo 5.4 ekl 5.5'te gösterle 5 düüm oktas koordat deerler Düüm y Düüm y ,5-0, , ,5 7 0,5 0, , ,5 9 0,5-0,5 7-0,5 0,5 0 0,5-8 -0, ,5-0,5 0,5 0-0, ,5 0 0,

114 78 ekl 5.5 oplam 5 düzgü olarak dalm düüm oktas kullalarak az ekl foksyolar bulumas ekl olu düüm oktas ç [0,0] oktasda gore türev alarak türetle RNM ekl foksyou

115 79 ekl olu düüm oktas ç [0,0] oktasda e gore k kere türev ala ekl foksyolar elde edle deerler ekl olu düüm oktas ç [0,0] oktasda y e gore k kere türev ala ekl foksyolar elde edle deerler

116 80 ekl olu düüm oktas ç [0.,0.4] oktasdak RNM ekl foksyou ekl olu düüm oktas ç [0.,0.4] oktasda e göre türev alarak türetle RNM ekl foksyou

117 8 ekl 5. 3 olu düüm oktas ç [0.,0.4] oktasda y e gore türev alarak türetle RNM ekl foksyou ekl 5. 3 olu düüm oktas ç [0.,0.4] oktasda e gore k kere türev ala ekl foksyolar elde edle deerler

118 8 ekl olu düüm oktas ç [0.,0.4] oktasda y e gore k kere türev ala ekl foksyolar elde edle deerler 5.4 Hareketl E Küçük Kareler Yötem Bastçe e bata br boyutlu problemler ç örekler celeecektr. Daha sora k boyutlu problemler ç celeecektr. Öre u h foksyouda,, u oktalardak foksyo deer u u fadese et olacaktr. u h yaklak foksyou ç; h u a... m 0 a a am 5.56 h u p a 5.57 gb deklemlerle tamlar.

119 83 ekl 5.4 E küçük kareler yötemde ver etlemes a deer bulablmes ç u le h u deerler ç fark kares alp topladda adak fade elde edlr. h u a p u u J ] [ ] [ 5.58 a ya gore türev alp 0 a etlerse u p a p p 5.59 tl elde edlr. Deklem 5.60, blmeye a ve u h deerler bulumas salar.

120 84 da belrtle oktalarda yaklam foksyou yazls. u p [ ] a a a ] 5.60 [ 0 Dekeler deklem 5.60 a koulursa 3 3 u 5.6 gb olur, ve adak etlk elde edlr a a 0, 6 a 3 buluur. Elde edle deerler terpolasyo foksyoua koulursa; u 5 3 h formülü elde edlr.

121 85 Hareketl e küçük kareler metodu, 960 yda Shepard tarafda özel oktalar arasda terpolasyolar türetmek ç geltrmtr. Bu metod prosüdür olarak arlkl e küçük kareler ver tlemesyle ay özell tayor. ek fark bu metodu her oktaya ayr ayr uygulaablrldr. Hek yaklamlar; her düüm etrafda br meset olutura br rlk foksyou, br polom ola taba ve düüm koumua ba ola katsaylarda barettr. Her br düüm ç, arlk foksyou sadece düüm etrafdak meset dele küçük br bölgede etk bölges srda farklr. Bu etk bölgeler kesm düümler arasdak balat salar. HEK yaklamlar öeml br özell süreklkler arlk foksyou süreklle ba olmasr. Dolbow ve Belytschko., 999. HEK foksyolar geellkle verler tam üzerde geçmedde, bular yaklamlar olarak tamlarlar. u foksyouu yakla ola u h sabt katsay olmaya m. derecede br polom kullalarak oluturulmutur. Polomu dereces taba foksyouu derecese ettr. boyut ç deklemler ada verlmtr. Yaklak foksyo ola u h, m derecel polomal deere sahptr. Sabt katsay çermez. oktas cvardak yerel yaklak foksyo h u, p a L 5.64 eklde fade edlr.

122 86 m,... p [ 5.65 a katsaylar,..., [ 0 a a a a a m 5.66 r. Blmeye oktadak parametreler ola a j deerler bu oktada, yerel yaklam ve odal parametreler arasda mmze edlmesyle buluur. h L u a p w u u w J ] [ ], [ w 5.68 Mumu J deer 5.67 deklem a e gore türev alp 0 a etlemesyle buluur. m u a p p w u a p p w u a p p w 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 5.69

123 deklemde vektör ve tesörler kullalarak tekrar yazrsa; u a p p w 0 ] [ 5.70 tl elde edlr. Sabt term ola say elme edp dekeler sa tarafa atrsa; u p w a p p w 5.7 bat buluur. u B a A 5.7 p p w A 5.73 ] [ p w... p w p w B 5.74 Deklem 5.7 de a deke çözülüp deklem 5.64 e yerletrlrse hareketl e küçük kareler yakla adak gb tamlar. u B A p u h ] [ 5.75 Ble yaklak form eklde yazrsa;

124 88 N h u u u 5.76 olarak sadedetrlr. Foksyo tekrar yazrsa; p [ A ] B 5.77 olur. oktas ç düüm oktasdak ekl foksyou adak gb tamlar. p [ A ] w p 5.78 A matrs radyal okta terpolasyou gb momet matrs olarak tamlar. Boyutu m m dr. Bu matrs hareketl e küçük oktalar yötemde bulumak stee oktada ters alr. Br boyutlu leer hal ç momet matrs adak gb olur. A w w... w 5.79 Deklemde açkça görüldüü gb eer deer e etse oktas sadece br odal aral çeryor alama gelyor. m deer e t olursa matrs tekl olup döütürülemez. Döütürüleblmes ç gerekl ola koul m olmas gerekr.

125 89 Leer durum ç temel foksyo ada yazlmr. p [ y] 5.80 Kuadratk durum ç temel foksyo p [ y y y ] 5.8 olur Arlk Foksyolar Seçm ekl foksyolar oluturulablmeler ç arlk foksyolar oluturulmas gerekr. Foksyolar seçlrke adak özellkler tamalar gerekr. w 0 olmas durumuda destek bölges ç ksmda çözüm yapld w 0 olmas durumuda destek bölges d smda çözüm yapld göstermektedr. rlk foksyolarekl foksyolar hassasyet öeml ölçekte etklemektedr. Bu yüzde arlk foksyolar y br eklde seçlmes gerekr. Geellkle quartc sple ve kübk sple hareketl e küçük kareler ekl foksyolar türetlmesde kullalmaktadr. Bu foksyolar deklem 5.83 ve 5.84 te verlmtr. ekl 5.5 de br

126 90 boyutlu uygulamalar ç arlk foksyou ve etklk yarçap verlmtr. r d r 5.8 w r w Burada d fades celee oktas le düüm oktas arasdak mesafedr. r w parametres se arlk foksyou ç destek bölges boyutuu etklk yarçap temsl etmektedr. ekl 5.7 de br boyutlu problemler ç arlk foksyou ve etklk yarçap ta verlmtr. ekl 5.5 Br boyutlu problemler ç arlk foksyolar ve etklk yarçaplar ekl 5.5 de belrtld gb arlk foksyou s parametrese ba olarak fade edlmektedr. 5.8 batda çözüm bölges

127 9 bamsz deke fades se seçlm ola düümler çözüm bölgesdek koordatlar belrtmektedr. Paydada yer ala r fades se etklk yarçap temsl etmektedr. Etklk yarçap w r deer tamame aalz yapa k tarafda eçlmektedr. E çok kullala arlk foksyolar kubk sple, quartk sple gauss foksyou olup bu foksyolar 5.83, 5.84, 5.85 deklemlerde verlmtr. Kubk sple foksyou r r 0.5 r r r r r r W 5.83 Quartk sple W foksyou r r r r r W 5.84 Gauss W foksyou 0 / r r r e W 5.85

128 9 ekl 5.6 Arlk foksyolar. W:Quartk sple, W:Gauss foksyou ekl 5.7 X=[-,], Y=[-,] oktalar arasdak arlk foksyou

129 93 ekl 5.8 Merkez oktadasdak arlk foksyou ekl 5.9 Merkez oktasdak ekl foksyou MLS foksyolar grafksel olarak celedde hem rlk foksyolar hemde ekl foksyolar e y eklde

130 94 alalmas salar. Bu amaçla 5 et düüm oktasa bölümü 0 4 oktalar arasda arlk ve ekl foksyolarekl 5.8 ve 5.9 da gösterlmtr. Arlk foksyou olarak quartk sple foksyou kullalmr. Etklk yarçap olarak seçlmtr. Ayrca HEKY foksyolar Kroecker delta özell tamad da uutulmamalr. ekl boyutuda üform olarak dalm düümler kullalarak oluturulmu bölge. Çember merkezdek düümü destek bölges gstermektedr. HEKY ekl foksyolar aalz edlmes srasda düüm oktalar olarak 5 5 üform olarak dalm düümler ekl 5.0 de verlmtr. Yerel destek bölges olarak çembersel bölge seçlmtr. Bölge çap.4 olarak kabul edlmtr. Leer temel foksyolar kullalmr. Arlk foksyolar olarak ta kuadrk sple foksyolar seçlmtr. Aalze at üç boyutlu arlk ve ekl foksyolarekl 5. ve 5. de gösterlmtr.

131 95 ekl 5. =[- ] ve y=[- ] koordatlar arasda merkez düümüdek arlk foksyou ekl 5. =[- ] ve y=[- ] koordatlar arasda merkez düümüdek ekl foksyou

132 96 6 ELEMAN BAMSZ GALERKN YÖNEM Bu metod az yötemlerde e çok kullala yötemlerde br taesdr. Metod ekl foksyolar olarak hareketl e küçük kareler yötem ekl foksyolar kullar Belytschko vd., 994 Zayf formda sstem deklemler türetlmes ç Galerk prosüdürü uygular. Arka pladak ala tegrasyo uygular. ala geometrsde taml ye ba bölge kabul edls. Sr k parçaya bölüsü. u ve t. t de srdak çekme kuvvet belrtmektedr. u fades yer detrme deerler, Elastostatk durumlar ç ala deklemler, j, j b j Cjkl kl j u, j u j, 6.3 gb tamlar. Yer detrmeesas ve çekmedoal sr koullar deklem 6.4 ve 6.5 te verlmtr.

133 97 u _ u u üzerde taml 6.4 t j j _ t t üzerde taml 6.5 Daha öcek bölümlerde belrtld gb Galerk prosüdürü uygulap dege deklem test foksyou ola v le çarprsa zayf form elde edlr. v j, j j b d v ç zcr kural uygularsa; j v, d v, d v b d j j j j elde edlr Brc terme Gauss teorem uygularsa 6.8 elde edlr. v d v, d v b d j j j j Deklem 6.5 te sr koullar deklem 6.8 e uygularsa;

134 98 _ v t d jv, jd vb d elde edlr. j j et olduuda deklem adak hale sadeletrlr. v j v, j v j, j u j 6.0 j, j v u v d v t d v b d 6. j j _ Deklem vektör otasyolar eklde yazp so hal olarak dak bat buluur. _ u C v d t. vd b.vd 6. Lagrage çarpalar metodu kullalarak esas sr koullar uygularsa adak fade elde edlr. Lagrage çarpalar sorak bakta celeecektr. _ u C v d t vd bvd. u u d v. d u _ u 6.3 Lagrage çarpa fades yaklak olarak;

135 99 N s 6.4 gb gösterleblr Deklemler e so hal olarak; K G Gu f 0 q 6.5 KJ B CBJd 6.6 GK N K DSd 6.7 u f t t d _ bd 6.8 q K u N K _ S u d 6.9 S : boyutlular ç dagoal matrstr., 0 B 0,y 6.0,y, gb olur

136 00 6. Esas Sr Koullar Hareketl e küçük kare yötemler ekl foksyolar kroocker delta özell tamadda dolay esas sr koullar solu elemalar yötemde kullald gb kolay uygulaamyor. Buu ç baz tekkler öerlmtr. Bularda br zayf formlar modfkasyou temell metodlar, derde ekl foksyolar modfye edlmesyle geltrle yötemlerdr. Bular hakkda özet olarak blg verlecektr. Zayf formlar modfkasyou temell metodlar, Lagrage çarpa metodu, pealt metodu, ve Netche metodu olarak üçe ayrr. Foksyoel term ola tegral formatda tamlar. skaler celk tap adak F u, u,,... d E u, u,,... d 6. Burada, u,blmeye foksyo, F ve E, dferasyel operatörlerdr. Sürekllk foksyou ola u u çözülmes keyf dem u yu kararl yapar. 6.. Lagrage Çarpa r koullardak foksyou mumu deerler ç 6. deklemde tamlamr.

137 0 a a 6. aa a 8a 6 rlarda, a a 6.3 gb kabul edleblr., blmeye parametre Lagrage çarpa uygulap deklem çözülürse _ a a a a a a 8a 6a a a 6.4 deklem elde edlr. Blmeye alrsa; ve deerlere göre türev 0 a a _ 6.5 tl buluur. Deklem çözülürse adak deerler buluur. a a rlarla foksyoel geel br problem ç kararlk ç C u 0 da 6.7 kabul edlr. Lagrage çarpalar eklep ay prosüdür srlara da uygulamasyla,

138 0 _ u, u gb deklem elde edlr. C u d 6.8 Ye foksyoel varyasyo adak gb buluur. _ C u d C u d 6.9 Farkl deklemler türetlmes ç Lagrage çarpalar yaklak olarak uygulamas gerekr. l L N 6.30 Lagrage çarpalar uzay terpolasyolar ç baz seçeekler mevcuttur. rlardak solu elema terpolasyou rdak az yaklamlar Drac delta foksyouu kullaa okta sralama metodu N L L 6.3 Burada L, Srdak boyuca yerlem oktalar grubudur. Bu metodu kullalmasyla elastostatk problemler ç sstem deklemler;.

139 K G Gu f 0 q G K X N d K K 0 X K u q K u N K gb olurlar. u d u K Pealt Foksyou tekrar adak gb tamlas. a a a aa a 8a 6 a 6.35 Burada a a deer ya poztf, ya da 0 a et olduu blyor. Bu da foksyoel a a kararl hal ç a a olduuu gösteryor. Ye foksyo geltrlrse; _ a a 6.36 gb deklem bulur. poztf deer olup pealt umaras gösterr. Ayeklde öcek bakta adak problem tekrar yazrsa;

140 04 u, u C u C u d 6.37 formulü elde edlr. Pratk açda deklem tekrar ada yazlmr. u, u C u C u d 6.38 Pealt metoduu elastostatk problemlere uygulap adak zayf formlar çözülür. _ u C v d t. vd b. vd u. vd u. vd 6.39 u u _ Ku f 6.40 K J B CBJd Jd 6.4 u f t _ t d bd u d 6.4 u _ 6. tegrasyo Hareketl e küçük kareler yötemde ekl foksyolar, elema bamsz Galerk yötemde oluturduu e büyük dezavataj

141 05 zayf formlar ümerk olarak tegrasyo çözümü zorluluudur. Buu ç çetl çözüm yollar geltrlmtr. 6.. Drek Nodal tegrasyou tegral, tegrasyo oktalar yere düümlerde hesaplar. ralama metodudak problemler ç de uygulaablr. 6.. Arka Pla A veya Hücre Yap: Gauss kuadratk oktalar üzerdek geometr tegrasyo hücrelere bölüür. Geellkle düzgü hücre yaplar kullar. ekl 6. Elema bamsz Galerk yötemde tegrasyo a Arka pla a b Arkapla yap hücreler

142 06 ekl 6. EBG ç program akemas

143 07 7 SZ RADYAL NOKA NERPOLASYON YÖNEM ala geometrsde sda leer elastk k boyutlu kat meka problem ç ksm dferasyel deklem ve sr koullar dak gb verlmtr. L b 0 alada Dege deklem 7. _ t _ u u t üzerde Doal sr koulu 7. u üzerde Esas sr koulu 7.3 Bu fadelerde L, deklem 8.5 te tamlaa dferasyel operatördür.,gerlme vektörü, u v detrme vektörü, yy y b b by, csm kuvet vektörü, u, yer _ t, Doal sr _ kouluda tamlam zorlama kuvvet, u, Esas sr kouluda taml yerdetrme,, ekl 8. te gösterld gb herhag br oktada da döük brm vektördür. Deklem 7. te stadart varyasyoel zayf form adak gb yazlablr. Bölüm. de verlmtr. L u DLu d u bd u t d t _ Burada D, deklem 8.7 de verle düzlem gerlme ç elastk katsaylar matrsdr

144 08 Deklem 7.4, global bölgede taml zayf formu fade eder. Deklem 7.4 ü çözüleblmes ç problem geometrs arka plada hücrelere bölüür. Doal sr boyuca tegraller çözülmesde bu hücreler kullar Lu G.R., Gu, 00c; Wag ad Lu, G.R. ad Ya vd., 00; Lu G.R., ad Zhag vd., 003. Ala dekeler buluablmes ç problem geometrs ala düümleryle ekl 7. de gösterlmtr. Bu düümler tüm geometrk bölge ç de N e kadar umaraladlmr.. ekl 7. Az global zayf formda kullala arka pla höcreler. Problem geometr bölges düümlerle gösterlmtr. Hücreler zayf form tegraller çözmek ç oluturulmutur u u v u 0 0 h u v 0 0 u v 7.5

145 09 Deklem 7.5 te,, ekl foksyou matrs,, yerel destek bölgesdek düüm say, u, yerel destek bölgesdek düümlerde yer detrme vektörüdür Deklem 7.5 adak gb de yazlablr 0 u h u u v Burada,, düümüü ekl foksyo matrs, yerdetrmeler fade etmektedr u, odal h Deklem 7.6 dak u, celee okta veya kuadratk oktadak yaklak yer detrme deerler belrtr. Deklem 7.6 kullalarak adak deklem türetleblr. h u u u 7.7 Deklem 8.3 ve 7.6 uygulap yaklak yerdetrmeler kullalarak deklem 7.8 elde edlr..

146 0 h u B u B v u v u y y y y v u v u / y / y / 0 / u L Lu / / 0 / / 0 / / 0 / 0 / Burada B, uzama matrs B, düümü ç uzama matrs gösterr. Deklem tekrar yazrsa; h u B u B u L u L tlkler buluur. Problem bölgesde celee oktadak malzeme ç deklemler kullalarak gerlme vektörü buluablr u B D u B D D 7.0 Deklem 7.8 ve 7.9, 7.4 deklem lk terme koyulursa 7. bat elde edlr.

147 Lu DLu d B u J u [ B j DB u d DB ] u d j j j j 7. ve J, odal destek bölgesde düümler ç yerel umaraladrma ssteme sahplerdr. üm umaraladrma sstem ç de N e kadar, düümler lokalde global ssteme çevrlecektr. Deklem 7. tekrar yazrsa L u DLu d u [ B DB ] u d 7. N N J j j olur. tegrasyo parametres paratez çe alp deklem adak hale gelr. N N L u DLu d u B DBJ d uj 7.3 J K J Burada, olarak tamlar. K matrs boyutlarda olup odal katk matrs J K J B 3 D3 3 BJ 3 d 7.4 ve J ay kuadratk okta tepolasyou destek bölgesde olmadda yok edlr. K J

148 Deklem 7.3 adak gb yazlablr. N N J J J u K u d DLu u L 7.5 Deklem sa tarafdak termler açrsa adak bat elde edlr. KU U u K u u K u u K u u K u u K u u K u u K u u K u u K u u K u N N N N N N N N N N N N N J J J Souç olarak deklem 7.3 adak gb olur. KU U d DLu u L 7.7 K global katk matrs olup adak formda yazlablr. N N N N N N N N K K K K K K K K K K K U u matrs uzuluu 3 tür.

149 3 Deklem 7.6 dak verler deklem 7.4 ü kc terme yerletrlp, katk matrs türetlmesde ay argümalar kullarsa dak deklem elde edlr. u bd u bd 7.9 Deklem 7. dek verler deklem 7.9 ç uyarlarsa; u bd u bd 7.0 N ve gerekl düzelemeler yaprsa; N u bd u bd 7. deklemler elde edlr. b F b F odal csm kuvvet olup adak gb tamlamr. b F bd 7. Burada b, csm kuvvet vektörüdür. Deklem 7. açp matrs formatda;

150 4 b N b N b N b N N b b N b N F U F F u u F u F u F u F u bd u gb yazlablr. Burada b F, bölge tamamda tüm düümler ç odal csm kuvvet vektörler toplaya global csm kuvvet vektörüdür. N b N b b F F F 7.4 Deklem 7.4 tek so term özell le 7.9 ve 7.4 deklemleryle heme heme ay olup tek fark kuvvet vektörü, çekme kuvvet vektörüdek terpolasyolar sr tegrasyolaryla detrlmtr. _ t N F F U d t U td u d t u t t t t 7.5 Burada t F, Nodal zorlama kuvvet vektörüdür.

151 5 t F td 7.6 t _ Deklem 7.5 te, t F, odal çekme kuvvet vektörler kullaarak toplaya global zorlama kuvvet vektörüdür. 7.7, 7.3 ve 7.5 deklemler 7.4 dekleme yerletrlp dak deklem buluur. b t U KU U F U F b t veya U [ KU F F ] U, keyf katsay olduuda bat adak gb bastletreblr. b t KU F F KU b t F F 7.30 KU F 7.3 Deklem 7.3 az radyal okta terpolasyou ç yazla so sstem deklemdr. Nodal yerdetrmeler buludukta sora uzama ve gerlme elemalar deklem 7.8 ve 7.0 da buluur.

152 6 7. Nümerk terpolasyo da celeecek problem global problem bölgesde ve global çekme kuvvet t ola problem çdr. ekl 7. de verld gb öcelkle problem bölges arkapla hücrelere bölüür. Dolayyla global terpolasyo hücreler üzerdek tegraller toplamda buluur. c Gd Gd 7.3 k k Burada hücredek bölgey tamlar. c, hücre say G, tegrad belrtr. k, se k.c Gauss kuadrature solu elemalar yötemde terpolasyolar güçledrmek ç geellkle kullar. g, Gauss oktalar hücrelerde kullaldda deklem 7.3 adak gb olur. c k c k g ^ wg Gd Gd J 7.33 Q D k Burada w, Q oktasdak Gauss arlk foksyou, D J k, Q oktasda yerlee Gauss oktalar arkapladak hücrede k ala tegrasyouu belrtr. Gauss kuadratk ers ayeklde buluablr.

153 t Gd ct l tl Gd ct gt l ^ Q B l 7 w G J 7.34 Burada w^,. c Q r ç er tegral jacoba matrs ç kullala er hücreler say say fade eder. oktasdak Gauss arlk faktörü, ct, B J l, t oluturmak gt, erdek Gauss oktalar Nümerk olarak katk matrs ola K J buluablmes ç deklem 7.3 ümerk kuadratk formülasyou 7.33 batda verlmtr. K J ct g l ^ D D w B Q DB j J Q k K k J c g k K k J 7.35 k K J adak gb tamlamr. ^ k K J w B Q DBJ Q J 7.36 D k Burada K k J boyutu dr. er ve J kuadratk okta Q ç yerel destek bölgesde deller se k K J yok edlr. Deklem 7. de verle b F odal csm kuvvet buluablr.

154 8 F b c g k ^ D w Q b Q Jk F k b c g k F k b 7.37 k b F adak gb tamlamr. ^ k b F w Q b Q J 7.38 D k k b F term boyutu dr. t F odal çekme kuvvet deklem 7.6 de verlmtr.. F t ct gt k ^ D w Q t Q Jl k t F _ ct gt l F l t 7.39 l t F adak gb tamlamr. F l t ^ _ B w Q. t Q Jl 7.40 l t F term boyutu dr. RNM metoduda matrsler toplamas kuadratk oktalara bar. Dek kuadratk oktalar dek destek bölgeler kullar. Ya ekl foksyou ola le uzama matrs ola B, farkl oktalar ç farkl olablrler. Ama solu elemalar yötemde br elemada Gauss oktalar ay elemalar kullap terpolasyolar elde edlr.

155 9 Global zayf formlara dayaa az yötemler e çok arala ümerk yötemlerde br olup Dolbow ve Belytschko, 999; Lu ve Yag, 999, Lu ararmaclar bular le lg çalmalar yaylamlardr. Bu çalmalarda elde edle souçlarda bazlar ada verlmtr.. Kuadratk oktalar toplam say Q, sabtlemeye ala düümler N, e az /3 orada olmas gerekr. 3N N N 7.4 Q u veya N Q N, boyutlu problemler ç 3. Doru ve verml souçlar elde edleblmes ç uygu kuadratk oktalar seçlmes gerekr. Yaklak olarak verml kuadratk okta say Q 3 9N boyutlu problemler ç 7.4 Bu özellkler EBG yötem ç uygulamr. Mühtemele RNM ç de uygulaablr. Lu G.R., Katk Matrs Özell D matrs smetrk olduuda dolay adak formül yazlablr.

156 0 [ J J B DB ] [ B D B ] 7.43 Dolayyla [ K J ] K J 7.44 gb olur. Bu özellk global katk matrs ola K smetrk olduuu gösteryor. Global katk matrs K, uygu matrsler kullalarak hesaplar. K 0 deer sadece ve J mumu br kuadratk J oktas tarafda kapladda bu deer alr. er ve J brbrde uzak ve ayr seler herhag br destek oktasda ay destek bölges paylaamazlar. Bu yüzde yok edlr. Buda dolay s ve destek bölges kaplamazsa K J, 0 deer alr. ve global katk matrs ola K dak br hale gelm olur. Eer düümler düzel br eklde umaraladrsa K da btk olur. K J 7.3 Esas Sr Koullar Uygulamas RNM formülasyou, çekme koullar Galerk zayf formu kullalarak sstem deklemlerde doal olarak uygular. Buda dolay baze bu koullara doal sr koullar da demektedr. Buula brlkte yer detrme sr koullar deklem 7.3 te görüldüü gb formülasyo leme dahl edlmemtr. Dolayyla 7.3 deklem kuruldukta sora esas sr koullar ayrk br eklde uygular. ve yer detrme sr koullara esas sr koullar delr.

157 Esas sr koullar solu elemalar yötemde olduu gb kolaylkla uygulaablr. Ada celeecek k metod yayg olarak solu elemalarda kullald gb radyal okta terpolasyo yötemde de uygulaablr Drek Metodu. c yer detrme elema adak gb verls. _ u u 7.45 Esas sr koullar ada belrtle katk matrs ve global kuvvet vektörlere yapla modfkasyolarla 7.3 dek dekleme drek olarak uygular. Katk matrs adak ekle döüür. K K K 0 K K N K K K K - 0 N K K K K 0 N K K 0 K K N N N N N 7.46 Global kuvvet deerdek deerler adak hale döüür. u j FJ 7.47 F j K ju j

158 7.3 deklem çözülmesyle modfye edlm katk matrs ve kuvvet vektörü kullalarak tüm yer detrme elemalar buluur. Drek metodu esas sr koullar drek olarak uygulaablr. Ama matrs vektörler demese ek olarak hesap operetörlere gereksm duyar. Ayrca drek metod algortmas kompleks yapya sahptr Pealt Yötem Pealt metodu esas sr koullar uygulamasda uygu br alteratf çözüm olup, dagoal köelerdek katk matrs adak gb tamlar. K K K matrs adak ekle döüür. K K K K K K N K K K K - K N K K K K K N K K K K K N K K K K K N N N N N N

159 3 Global F kuvvetlerde F dak hal alr. F j K Fj _ u j j 7.49 So olarak deklem 7.3 çözülüp modfye katk matrs uygulayarak yer detrme elemalar buluablr. Pealt metoduu avatajlarda br, matrs ve algortma basttr. Buula brlkte yaklak olarak esas sr koullar salar. Doruluk dereces pealt katsaylara ba olarak der. Ayrca uygu br pealt katsay seçlmes de zordur.

160 4 8 KA CM MEKANN EMELLER 8. Düzlem Gerlme ve Düzlem ekl Detrme Bleeler ekl 8. de görüle boyutlu katlar ç geometr bölges z eksede bamszdr. Bu tp problemlerde tüm harc yüklemeler ve destekler z koordat eksede bamsz olur. Sadece -y koordat ekseyle bamlr. Ksacas geometr bastletrlerek üç boyutluda, k boyutluya drger. k boyutlu csmlerde gerlme ekl deme k tpk ekle sahpler. Brs düzlem gerlme der de düzlem uzamadr. Düzlem gerlme durumudak csmler z yöüdek kall ve y yöüdek uzuluklarla karlaldda ora çok düük görüldüü csmlerdr. ve y yöüdek harc yüklemeler uygulamad müddetçe, z yöüdek,, gerlme deerler 0 dr. zz zy z Düzlem uzama csmler, z yöüdek kall ve y yöüdek uzuluklarla karlaldda ora yüksek görüldüü durumlardr. Harc kuvvetler z eksee uform olarak uygular, ve z yöüdek hareket srladr. z yöüdek 3 çet düzlem uzama deer zz z, yz, 0 dr.

161 5 ekl 8. Boyutlu csm :Csm bölges :Csm bölgesdek global sr, :Kuvvet s, :Yer detrme s, ={, } Sr üzerdek ormal d t vektörlerdr. u y Gerlme Bleeler; yy y 8. Düzlem ekl deme maruz k boyutlu csmlerdek brm ekl dem bleeler yy y 8. gb olur.

162 6 Uzama yer detrme blee lks adak deklemle yazlablr. Lu 8.3 k boyutlu yer detrme vektörüde ada gösterlmtr. u u v 8.4 ürev operatör matrs adak lkyle yazlablr. / 0 L 0 / y / y / 8.5 k boyutlu csmler ç Hook kauu matrs formatda; D 8.6 olarak fade edlr. Düzlem gerlme durumu ç D matrs leer zotropk malzemeler ç; 0 E D 0 Düzlem gerlme / deklemyle yazlablr

163 7 Gerlme-uzama haldek csmler ç, malzeme sabt ola D matrs E E ve y, " ve /- le detrlerek buluur. / v 0 E D / / 8. Dege Deklemler k boyutlu katlar ç z yöüdek termler ve türevler kaldlarak dferasyel deklemler buluur.... L b u c u 8.9 Burada B d yük olup, b b 8.0 b y eklde yazlablr. Statk problemler ç dege deklemler; L b 0 8. eklde fade edleblr

164 8 4.9 deklem tesör otasyolareklde adak gb yazlablr. L... b u cu j, j b u cu Burada,j=, ve y yöüdek yöler belrtr., kütle youluuu, c, söümleme katsay,, yer detrme vektörüü,.. u u, vmey, t temsl etmektedr.. u u t, h, j, gerlmey, b, csm kuvvet 8.3 r artlar ve Balagç Koullar r ve balagç koullar adak gb yazlablr. Çekme sr koulu j j t 8.3 Yer detrme sr koulu u u 8.4 Yer detrme balagç koulu u, t u Balagç hz koulu. 0 0 u, t v 8.6 Burada u, yer detrme, yerdetrmey fade etmektedr t, çekme, u 0, balagç

165 9 8.4 mosheko Krç Aaltk Çözüm Deklemler Bölüm 0 da celeecek akastre kr ç aaltk deklemler bu kmda verlmtr. Aaltk deklemler mosheko ve Gooder 970 yda yayladklar elastste teors ktabda yararlalarak verlmtr mosheko ad Gooder, 970 yöüdek yerdetrmeler Py D u, y 6L 3 v y 8.7 6E 4 Burada,, atalet momet olup dktörtgesel kest çdr, ve dak eklde yazlablr 3 D 8.8 y yöüdek yerdetrme P D v, y 3vy L 4 5v 3L 8.9 6E 4 Kr kest bölümüdek ormal gerlme P L y, y 8.0 y yöüdek ormal gerlme

166 yy Kr kest bölümüdek kayma gerlmes P D y, y y 8. 4 Kr X L oktasda parabolk zorlama P D t y y L Esas sr koullar uygulap 8.7 ve 8.9 deklemler çözülmesyle 0 oktasdak ve y yöüdek yerdetrmeler P v D u y E 4 PvL v y E

167 9 R BOYULU KN ASZ ELEMAN BAMSZ GALERKN MEODUYLA ÇÖZÜLMES 3 Bu kmda elema bamsz Galerk metodu, br boyutlu leer elastk yapdak br boyutlu kre uygulaacaktr. Kr boyu L ve yöüde f büyüklüüde kuvvete maruz raklmr. Kr X 0 oktasda akastre olarak sabtlemtr. Sa taraf se se zorlamaya maruz braklmr. Ala brmsel olarak kabul edlmtr, ve elastste modülü se 300 Pa olarak seçlmtr. emel olarak yöüdek yer detrmeler celemtr. Problem ç dege deklemler ve sr koullar ada tamlamr. E u, 0 0 m 9. u u, Çözüm ç aaltk deklem ada verlmtr. 3 u 9.4 E 6 ekl 9. boyutlu krte düüm oktalar

168 3 ekl 9. f= kuvvete maruz brakla boyutlu akastre çubuk ekl 9.3 boyutlu kre f= yükü uygulamasyla elde edle yöüdek yer detrme deerler ekl 9. de X=0 oktasda f yüküe maruz brakla br boyutlu akastre kr verlmtr. Deklem 9. de bu kre at yöüdek yer detrmeler ç aaltk deklem verlmtr. Elema bamsz Galerk yötemde destek yarçap olarak seçlp ve ekl 9. de gösterld gb adet düüm oktas kullalmr. ekl foksyolar olarak hareketl e küçük kareler ekl foksyolar kullalmr. ekl 9.3 te az metodu boyutlu kre uygulamasyla yöü boyuca elde edle yöüdek yerdetrme deerler

169 33 verlmtr. Ayrca aaltk deklemde elde edle yerdetrme deerler de ay grafkte karlarma amacyla verlmtr. Grafk veya ablo 9. celedde u deerler açda aaltk ve az yötem souçlar arasda hassas ve kabul edleblr souçlar olduu görülmütür. ablo 9. EBG ve aaltk çözüm souce elde edle u deerler

170 34 0 BOYULU MOSHENKO KN ASZ YÖNEMLER LE ANAL Bu bölümde aaltk, RNM ve EBG az metodlar karlalmal olarak k boyutlu büküleblr akastre kre uygulaacaktr. Bu kr gerek mukavemette gerekse uygulamalarda sk olarak kullaldda dolay bu kr celem hem ümerk, hem de aaltk olarak detaylaryla üzerde durulacaktr. Kre at aaltk çözümlemeler Bölüm 8.4 te verlmtr. Bu çalmada bulumak stee hedefler adak maddeler de ralamr. z yötemler stadart zayf formlar celeecektr. RNM VE EBG Matlab, Mfreed ve Fortra programlardak kulla celeecektr. Destek bölge boyutuu etkler celeecektr. RNM ve EBG, ümerk olarak yaksamas celeecektr. RNM, EBG ve SEY vermllk bakda karlalacaktr. Yötemlerde kullala parametreler souçlara tesrl aralacaktr. Çözüm souç deerler, aaltk souçlarla karlalacaktr.

171 35 Düüm say souç üzerdek tesr celep hata aalzler celeecektr. Seçle az yötemlerle kr yük altdak gerlme ve yerdetrme davralar celeecektr. rlk foksyolar ç etklk yarçap öem ve etklk yarçapa ba hata aalzler celemtr. Problem aalz edlmes srasda radyal okta terpolasyou ç Meshfree D paket program, elema bamsz Galerk yötem ve solu elema yötem hesaplamalar ç Matlab, aaltk çözümlemeler ç Matlab ve Ecel programlar kullalmr. Programa at çktlar Matlab, ANSYS, Meshfree D ve Ecel grafk araçlarda yararlalmr. Hareketl e küçük kareler ve radyal okta terpolasyo formüle edlp yötemlerle lgl ekl foksyolar türetlmtr. rlk foksyolar olarak Gauss ve sple foksyolar seçlmtr.

172 36 ekl 0. X=L oktasda tekl yük e maruz brakla mosheko kr ekl 0. de görüldüü gb X L oktasda tekl yük e maruz brakla leer elastk br kr aalzde kullalmr. S brm sstem seçlmtr.. Yük: P 000 N X L Youg modülü 7 E 30 Pa Posso ora v 0. 3 Kr boyu L 48 m Kr yüksekl D m Kr kall m oktasda 0. Aalz Algortmas k boyutlu mosheko kr problem adak basamaklara göre aalz edlmtr.

173 37. Problem bölge geometrs tamlamas.. Problem bölges gösterm ç ala düümler oluturulmas. 3. Nümerk tegrasyo ç arkapladak hücreler tamlamas. 4. Esas sr koullar tamlamas. 5. Gauss okta say, bölge etklk boyutu, RNM ve EBG ekl parametreler, pealt katsay gb parametreler tamlamas. mosheko kr ç problem bölges geometrs oluturmak basttr. Karmak yapdak problemler ç, az yötemler hazr paket programlar kullalmas öerlr. Problem, elema bamsz Galerk yötem matlab da programlamasyla 97 3 adetde düüm say kullalmr. Nümerk tegrasyo ç toplam düzel dktörtgesel arkapla hücreler kullalmr. Arkapla hücreler ala düümlerde bamszdr. ekl 0. de kr ANSYS te modelemes, elemalar ve sr koullar göstermektedr. ekl 0.5 te EBG metot aalzde kullala hücreler, Gauss kuadratk oktalar ve sr aalz hatlar verlmtr. Program ver dosyas üç öeml temel bölüme ayrr. Problem tamlama parametreler. Ala düümler ve arkapla hücreleryle balat verler. r koul tamlamalar. Bu çalmada çözüle problem ç tam sr artlar olarak, deklem 8.4 ve 8.5 kullalarak sol km esas sr koular uygulamar. Sa km ç deklem 8.3 kullalarak doal sr

174 38 artlar uygulamr. Problemde br yerde toplaa odal kuvvet bulumamaktadr. ekl 0. EBG yötemde modellele toplam 73 adetde düzel olarak dalm düümler ekl 0.3 Solu elemalar metoduda ANSYS le modellem elema ve sr koullar ekl 0.4 z metotta Meshfree D le modellem düüm oktalar ve sr koullar

175 39 ekl 0.5 EBG metot aalzde kullala hücreler, Gauss kuadratk oktalar ve r aalz hatlar

176 40 0. Aalz Souçlar Aalzde radyal okta terpolayo yötem kullalarak y 0 oktasda 0 adettde düüm say kullap yer detrme deerler ekl 0.6 de verlmtr. 8.7 ve 8.9 deklemler uygulamasyla aaltk çözümler de ay grafkte verlmtr. Radyal okta terpolasyo yötem uygulamasyla elde edle souçlar le aaltk yötem uygulamasyla elde edle souçlar arasda uyuma olduu grafkte açkça alalmaktadr. e at gerlmeler at kayma gerlmeler souçlar ekl 0.4 te gösterlmtr. Aaltk souçlarla karlaldda yötem çok y ve hassas souçlar verd grafkte açkça alayor. ekl 0.9 ve ekl 0.0 elema bamsz Galerk çözümüü k boyutlu mosheko kre uygulamas soucu elde edle grafkler verlmtr. Kr y yöüdek çökmeler ekl 0.9 da verlmtr. Aaltk çözümlemelerde 8.7 ve 8.9 deklemler kullalmr. Elema bamsz Galerk le aaltk çözümler arasda uyuma olduu tespt edlmtr. y gerlme souçlar ekl 0.7 de verlmtr. Aaltk souçlarla karlaldda aralarda hassas örtüme vardr. ekl 0.4 ve ekl 0.6, radyal okta terpolasyo metodu, elema bamsz Galerk metodu, aaltk çözüm ve solu elemalar metodu, ked aralarda karlarmak amacyla verlmtr. Solu elemalar yötemde 7 adet elema kullalmr. Solu elemalar yötem doruluk olarak az fakat aalz açda kabul edleblr

177 4 souçlar verd grafkte görülmektedr. celee problemde açkça görüldüü gb gerlmer açda, az yötemler solu elemalar yötemde daha avatajl olduu alalmaktadr. Solu elemalar yötemde ala düümlerdek gerlmeler çevrelem elemalarda bastçe ortalamas olarak elema bamsz Galerk yötemde se gerlmeler Gauss kuadratk oktalarda buluur. z yötemler dezavatajlarda brs aalzde seçle parametre deerler soucu öeml ölçekte etkled görülmütür. Elema bamsz Galerk ve radyal okta terpolasyo yötemde souçlar öeml ölçekte etkleye parametreler tezde br sorak mda celemtr. ekl adet düüm say kullalarak radyal okta terpolasyo metoduu uygulamasyla oluturula y=0 eksede, ekse boyuca aaltk ve RNM, yer detrme souçlar

178 4 ekl adet düüm say kullalarak X=L/ oktalarda, y ekse boyuca elde edle radyal okta terpolasyo ve aatlk metodlara at y graf ekl 0.8 Aaltk ve EBG yötemler uygulamasyla oluturula y=0 eksede koordat boyuca elde edle u y yer detrme souçlar

179 43 ekl 0.9 X=L/ oktalarda y ekse boyuca elema bamsz Galerk ve aatlk çözümü uygulamasyla elde edle e at çözüm souçlar y 0.. Souçlar ekl 0.0, 607 okta kullalarak aaltk mukavemet deklemler mosheko kre uygulamasyla elde edle gerlme damlar verlmtr. Gerlme dada kr alt ve üst blgelerde smetrk olduu görülmütür. ekl Gauss kuadratk oktas, 40 hücre ve 9 adetde düüm oktas kullalarak elema bamsz Galerk yötem uygulamasyla elde edle gerlme da verlmtr.

180 44 ekl 0., 06 düüm oktas radyal okta terpolasyo metoduu uygulamasyla elde edle gerlme damlar verlmtr. Ayeklde ekl 0.3 te 7 adetde elema say, solu elemalar yötem kullalarak elde edle gerlme da verlmtr. ANSYS paket programda elema tp olarak sold 8 ode 8 seçlmtr. A yap olarak kuadratk mesh seçld. ekl 0.4 te mosheko krde belrlee brc kuadratk hat oktalar aalz hattda y ekse boyuca elde edle aaltk, EBG, RNM ve SEY e at gerlme graf verlmtr. ekl 0.6 da EBG, RNM ve SEY aaltk metodla karlalarak hata mktarlar verlmtr. Metodlar arasda hata ora e az EBG de görülürke, hata mtar e fazla solu elamalar yötemde olduu tespt edlmtr. ablo 0. de de grafklerde kullala metodlar deerler verlmtr. Der aalz hatlarda elde edle souçlar grafklerle gösterlmtr. ekl okta kullalarak aaltk çöüzümü uygulamasyla elde edle e at gerlme da

181 45 ekl gauss kuadratk oktas, 40 hücre kullalarak EBG metoduu uygulamasyla elde edle e at gerlme da ekl düüm oktas kullalarak RNM metoduu uygulamasyla elde edle e at gerlme da ekl adetde elema say, SEY metoduu uygulamasyla elde edle e at gerlme da

182 46 ekl 0.4 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula brc aalz kest =0.337, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlmeler ekl 0.5 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula brc aalz kest =0.337, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlmelere at hata mktarlar

183 47 ablo 0. Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula brc aalz kest =0.337, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlme ve hata deerler ekl 0.6 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlmeler

184 48 ekl 0.7 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlmelere at hata graf ablo 0. Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlme ve hata deerler

185 y Souçlar ekl okta kullalarak aaltk çözümü uygulamasyla elde edle e at gerlme da y ekl Gauss kuadratk oktas, 40 hücre kullalarak EBG metoduu uygulamasyla elde edle e at gerlme da y ekl düüm oktas kullalarak RNM metoduu uygulamasyla elde edle e at gerlme da y

186 50 ekl 0. 7 adetde elema say, 9 adetde düüm oktas kullalarak SEY metoduu uygulamasyla elde edle e at gerlme da y ekl 0. Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlmeler y

187 5 ekl 0.3 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle ye at hata mktarlar y ablo 0.3 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, oluturula kc aalz kest =3.667, y= le y=5.797 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle gerlme ve hata deerler y

188 u Souçlar ekl okta kullalarak aaltk çözümü uygulamasyla elde edle at yer detrme da u e ekl düüm oktas kullalarak EBG metoduu uygulamasyla elde edle u e at yer detrme da ekl adetde düüm say, 7 elema say kullalarak SEY metoduu uygulamasyla elde edle u e at yer detrme da

189 53 ekl 0.7 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u e yer detrme graf ekl 0.8 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u e at hata mktar graf

190 54 ablo 0.4 Aaltk, EBG, RNM ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u yer detrme ve hata deerler 0..4 U y souçlar ekl okta kullalarak aaltk metoduu uygulamasyla elde edle u e at yer detrme da y ekl düüm kullalarak EBG metoduu uygulamasyla elde edle u e at yer detrme da y

191 55 ekl adet düüm say, 7 elema say kullalarak SEY metoduu uygulamasyla elde edle u e at yer detrme da y ekl 0.3 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =4 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u yer detrme graf y

192 56 ekl 0.33 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u ye at hata mktar graf y ablo 0.5 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =4 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u yer detrme ve hata deerler y

193 57 ekl 0.34 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u yer detrme graf y ekl 0.35 EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u ye at hata mktar graf y

194 58 ablo 0.6 Aaltk, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =48 y=-6 le y=6 koordat deerlerde y ekse boyuca elde edle u yer detrme ve hata mktar y ekl 0.36 Aaltk çözüm, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =L, y=0 koordat deerlerde ekse boyuca elde edle u çökme graf y

195 59 ekl 0.37 Aaltk çözüm, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =L, y=0 koordat deerlerde ekse boyuca elde edle u ye at hata mktarlar y ablo 0.7 Aaltk çözüm, EBG ve SEY metodlar uygulamasyla, =L, y=0 koordat deerlerde ekse boyuca elde edle u ye at deer ve hata mktar y 0.3 Parametreler Etkl Çözümlerde kullala parametreler etkl bulumas açda tezde celee problem celeecektr. Problem bölges 93 7 düzel düümlerde ve hücre say kullalmr. Herbr arkapladak hücrede adetde Gauss kuadratk oktas kullald. Deklem 7.4 de belrtld gb hücrede

196 60 kullala Gauss okta say arttkça souçlar vermll de artmaktadr. Ncelk ve tam sr elde edlmes açda tam sr koullar ve tam doal sr koullar uygulamr. am doal sr kouluda kr sa taraf L' de parobolk zorlamaya maruz raklmr. ve er tegral sa sda oluur. Hata da e Num Eact Num Eact D d 0. e Elema bamsz Galerk metoduda leer temel ve kubk sple arlk foksyolar hareketl e küçük kareler yötemde kullalmr. Hata da deklem 0. de verlmtr Elema Bamsz Galerk Yötemde Souçlar Etkleye Parametreler Problem ç adak deklemde belrtld gb bölgeler etklk boyutu soucu drek olarak etklemektedr. d d y d d y c cy Farkl deerler ç eerj orm hatalarekl 0.38 te verld. Grafkte görüldüü gb hata ora, ye ba olarak demekte ve e y soucu 4 arasda olduu görülüyor. Etklk bölge

197 6 boyutu küçüldüüde veya büyüdüüde veya 4 elema bamsz Galerk yötem hata ora artmaktadr. Bölge etklk boyutu olduu durumlarda ala foksyolar ç foksyo yakla türetlmesde yeterl düüm oktas olumuyor. ve hareketl e küçük kareler yötem ekl foksyolar düzgülüü azalr. Problem etklk bölges 4 olduuda hareketl e küçük kareler yötem ekl foksyolar ala dekeler düzlerler. Ayrca etklk boyutu büyük ola geometrler, hesaplama zama da artr. Dolayyla uygu br etklk boyutu elema bamsz Galerk yötemde seçlmes gerekr. 3 cvarda gerek bu çalmada gerek ararmaclar tarafda verml souçlar türett görülmütür. ekl 0.38 Destek etklk bölge boyutuu elema bamsz Galerk metodu üzerdek etks

198 Düüm Say Düzel olarak yerletrlm 83 6, 555, 7 6, düüm saylar kullalarak elde edle hata oralar ekl 0.39 da gösterlmtr. Elema bamsz Galerk yötemde leer polomlu temel foksyolar kullalmr. ekl 0.39 Elema bamsz Galerk yötemde düüm saya ba hata ora. parametres 3.5 seçlmtr. Nümerk yötemlerde e öeml dkatör olarak ta problem çözme süresdr. Bu yötem baar saylablmes ç problem e sa zamada e doru eklde çözmes gerekr. z metodlarda sürey etkleye e öeml k parameter da verlmtr.

199 63. terpolasyo çözüm aamasda, momet matrs ters alaca zamadr. Bu yüzde terpolasyo çözüm süres momet matrs boyutuyla oratr. Radyal okta terpolasyo yötemde momet matrs boyutlar destek bölgedek ala düüm say m=3 leer polom foksyo ç alr. Geellkle radyal okta terpolasyo hesaplama süres elema bamsz Galerk yötemde fazladr.. Problem çözme süres etkleye der parametre de global katk matrs boyutlara dayaa sstem deklemler çözülmesde geçe zamadr. Sstem katk matrs umaraladrma sstemde problem bölgesde seçle düüm saylara bar. Radyal okta terpolasyo yötemde destek bölge boyutu geellkle elema bamsz Galerk yöteme göre daha küçüktür. Bu yüzde radyal okta terpolasyo yötemde geçe zama daha fazladr Lu, G.R., 00 Deklem 6.5 te görüldüü gb Lagrage çarpalar kullaldda global katk matrs boyutu artmaktadr. ve katk matrs btk olmayacak hale gelr. Bu da açkça elema bamsz Galerk yötem çözüm sürec artracaktr. Özellkle de büyük sstemler ç bu geçerldr. Bu çalma da solu elemalar yötem le EBG arasda düüm düüm saya ba olarak hata ve zama parametreler celemtr.

200 64 ekl 0.40 SEY yötemde düüm saya ba çözüm süres ve EBG yötemyle karlalmas CPU tme ekl 0.4 SEY yötemde düüm saya ba hata mktarlar ve EBG yötemyle karlalmas

201 ablo 0.8 =48 y=6 koordat deerdek okta ç SEY ve EBG yötemlerde düüm saya ba çözüm süres, u deer ve hata mktar Yötem Düüm say u y = Aaltk çözüm y Çözüm süres s Deer Hata EBG 3X SEY 3X SEY 0X SEY 3X Nümerk metodlarda kullala yötem uyguluuu ve vermll artra e öeml etkelerde br de problem çözüm süresdr. Solu elemalar yötemdek çözümü hassasyet etkleye e öeml parametre aalzde kullala elema sayr. Elema say le souç çözüm dorululuu arasda geel olarak doru orat lks olduu söyleeblr. Bu alamda tezde celee problem ç solu elemalar yötemde farkl düümler seçlerek gerek souç esekl ve gerekse çözüm süres bakda elema bamsz Galerk metoduyla karlalmr. Solu elemalar metoduda 3X7, 0X 3X7 düüm say say kullap çözüm ç e y hassas souç vere zoparametrk kuadratk elema tp seçlmtr. Elema bamsz Galerk yötemde se 3X7 düüm say, 40 hücre, 640 Gauss kuadratk okta kullalmr. Çözüm süres etkleye parametrelerde br der aalzde kullala programlama dl, letm sstem özell ve e öemls de

202 66 blgsayar doa le alakalr. Aalzde y souçlar elde edleblmes ç EBG, SEY açda Matlab program kullalmr. Aalz süresce Core duo tel sde.ghz CPU, GB RAM hafza, Wdows Vsta letm sstem ve Matlab 7.0 program kullalmr. Aalzde kr Y=-6 le 6 eksede solu elemalar yötemde deke düüm say kullalarak elde edle u y deerler le ay kre EBG uygulamas soucu elde edle deerler aaltk çözümlerlerle karlalmr. Uygulaa brc aalzde her k metodtada ay sayda düüm oktas kullalmr. X=L le y=-6 le y=6 koordatlar arasda elde edle u y deerler ekl 0.4 de ve hata mktar graf ekl 0.43 te verlmtr. Solu elemalar yötemde çözüm süres 0.80 olurke elema bamsz Galerk yötem se ay problem s de çözülmütür. X=L, Y=0 oktas ç u y deer açda EBG de hata mktar oluurke SEY de hata mktar se gb br rakama kark gelmektedr. Hassasyet deer ve çözüm süresde EBG de 3X7 adetde düüm say kullalmr. EBG yötemde X=L oktas y ekse boyuca 7 oktada deerler bldde SEY e et hale getrleblmes ç terpolasyo yaplmr. Elde edle u y deerler ve hata mktarlarekl 0.44 ve 0.46 da verlmtr. Bulara at hata mktarlarda 0.45 ve 0.47 de verlmtr. Solu elamalar yötemde elema say artldkça çözüm hassasyet artt görülmütür. ve hassasyet açda EBG ye doru lerlemeler kaydetmtr. Bua

203 67 kark olarak zama sürec artmr. Ay zama sürecde ya SEY de 0X düüm say, EBG de se 3X7 yaklak olarak düüm say kullaldda EBG, çözüle problem ç solu elemalar yötemde daha hassas souçlar vermtr, ve ay hata mktarda ya SEY de 3X7 düüm say, EBG de se 3X7 düüm say kullaldda EBG yötemde çözüle problem ç solu elemalar yötemde daha ksa sürede problem çözülmütür ablo 0.8. ekl 0.40, SEY de düüm saya ba problem çözüm amasda geçe zama göstermektedr. EBG metodu le SEY de ay düüm say kullaldda problem çözme süres EBG yötemde SEY e gore daha uzu olduu görülmütür. Buu e öeml edelerde br ekl foksyolar hesaplamasda geçe zama ve Gauss kuadratk oktalar oluturdukta sora gerlme hesabda geçe zamadr ekl 0.4 SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u deerler y

204 68 ekl 0.43 SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u deerlere at hata mktarlar y ablo 0.9 SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u ç deer ve hata mktarlar y

205 69 ekl 0.44 SEY de 0, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u deerler y ekl 0.45 SEY de 0, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u deerlere at hata mktarlar y

206 70 ablo 0.0 SEY de 0, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u ç deer ve hata mktarlar y ekl 0.46 SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u deerler y

207 7 ekl 0.47 SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u at hata mktarlar ablo 0. SEY de 37, EBG yötemde 37 düüm say kullalarak X=48, Y=-6 le 6 koordatlar arasda elde edle u ç gerçek deer ve hata mktarlar y y