DERS 7. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar II

Transkript

1 DERS 7 Türv Hsabı v Bazı Uygulamalar II Bu rst bilşk fonksiyonlarının türvi il ilgili zincir kuralını, üstl v logaritmik fonksiyonların türvlrini, ortalama v marjinal ortalama ğrlri; rsin sonuna oğru, it hsabına büyük kolaylık sağlayan L Hospital Kuralını görcğiz 7 Bilşk Fonksiyonlarının Türvlri Zincir Kuralı f, g v B fonksiyonları için B( f( is, B fonksiyonuna f v g nin bilşk fonksiyonu nir f v g nin bilşksi olan B nin tanım kümsi, g nin tanım kümsin olan v ğri f nin tanım kümsin olan tüm sayılarıır: { R : v f( tanımlı} Örnk f (, ( için B( ( B fonksiyonunun tanım kümsi tüm rl sayılar kümsi R ir Örnk f ( ln, için B( ln ( ir B fonksiyonunun tanım kümsi > olan tüm sayılarının kümsi, yani (-/, ur Örnk u f ( u,, h( v v için f ( g (, g ( f ( u u u ( f ( u (, ( v g ( h( v ( h( v v h ( Şimi bilşk fonksiyonunun türvi il ilgili kuralı vriyoruz y f (u v u is, y B( f(

2 Drs 7 bilşk fonksiyonunun türvi ( f ( v g ( var olmak koşuluyla ir y B ( f ( g ( Bilşk fonksiyonunun türvi il ilgili bu kurala Zincir Kuralı nir Zincir kuralının iğr göstrimlrl yazılışları ( f ( ( f '(, y y u u biçimin olur Yukarıaki ikinci formül, y bağımlı ğişkni u nun, u a in fonksiyonu olarak üşünülmkt, y nin gör türvinin y nin u ya gör türvi il u nun gör türvinin çarpımı oluğu ifa ilmktir Örnk B( ( B (? Buraa, u ( v alınırsa, B( f( ( olur Böylc, f ( u u B ( f ( g ( ( 9 ( 9 Örnk (? l ilir Buraa, u v y u alınırsa, y y u ( ( 6 u u ( 6 (? Örnk 6 ( alalım O zaman Bu türvin hsabı için y u, u y y u ( u (6 u ( (6 u (6 l ilir

3 Marjinal Analiz Örnk 7 (? Buraa önc, ( oluğuna ikkat v, u y u alalım O zaman ( ( u u y y ( 6 6 (6 u u Örnk 8 (? Buraa türvi hsaplanmak istnn ifayi bir çarpım olarak üşünüp önc çarpım için türv formülünü kullanıyoruz: ( ( Şimi son ifaki ( türvini zincir kuralı il hsaplayarak sonuca giriz ( ( ( Örnk 9 (? Bunu a bölümün türvi olarak üşünüp aha sonra ilgili yr zincir kuralını kullanıyoruz ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6 Örnk ( ( ( ( (

4 Drs Üstl v Logaritmik Fonksiyonların Türvlri Doğal Logaritma fonksiyonunun türvi il başlayalım f ( ln, f ( h f ( f '( h h Önc itini hsaplayacağımız ğişim oranını salştir f ( h h f ( ln ( h ln h h ln h h ln h ln h h ln h ln h h O hal, ir Şimi, h h f '( ln h t alalım O zaman, h için t olur Dolayısıyla, h f '( ln t t t t ln t t Böylc, oğal logaritma fonksiyonunun türvi il ilgili olarak l ilir ( ln ln Doğal üstl fonksiyonun türvi, oğal logaritma fonksiyonunun türvi v zincir kuralı kullanılarak bulunabilir ln oluğunu anımsayalım Buraa u v y ln u alınırsa, y ln u ln y y u u u u ( ( ( u

5 Marjinal Analiz 7 v böylc l ilir ( Doğal logaritma fonksiyonu v v üstl fonksiyon için l iln formüllr zincir kuralı il birlştirilirs, u olmak üzr oluğu görülür ( u u u u ln, ( u u (? u alınarak yukarıaki formül uygulanırsa, Örnk ln ( l ilir ( ( ( lnu Örnk (? u ln ( u u alınarak yukarıaki formül uygulanırsa, l ilir u u u ( ( ( ( Örnk Aşağıaki hsaplamaları ikkatl izlyiniz ( ln( ( ln( ( ln( ( ( ( ln( ln( ( ( ( ( ( ( ln( ((ln( ( ( ((ln(

6 Drs 7 8 Şimi hrhangi bir tabana üstl v logaritmik fonksiyonların türvlrini gör y b Böylc, ln y ln b ln y ln b ln b ln b ln b ln b ln b ( b ( ( ln b ln b b ln b ( b b ln b y b ln b Yukarıa l iln b şitliğin b tabanına bir üstl ifa tabanına bir üstl ifay önüşmüştür Üstl ifalrki bu taban ğiştirm formülünn yararlanarak logaritmik fonksiyonlara a taban ğiştirm formülü l biliriz: y log b b y y ln b ln ln( y ln b ln y lnb y ln lnb log b ln lnb Son ifan v böylc ln (log b ln lnb lnb lnb l ilir ( log b ln b El iln formüllr zincir kuralı il birlştirilirs, u olmak üzr formüllri l ilir u u u ( b b b, ( log u ln b u ln b u Örnk ( log (? u alınarak ( log ( ( log u u u ln ( ( ln ( ln

7 Marjinal Analiz 9 Örnk (? u alınarak, u u u ( ( ln ln ( Örnk 6 ( log ( ( log ( log ( log ln ( log ln Örnk 7 ( ln Örnk 8 Bir istatistikçi yaşaığı kntt yapılan nüfus sayımı vrilrini kullanarak t yılına kablolu tlvizyon abonsi olan vatanaşların sayısı S (t il göstrilmk üzr S ( t (lnt molini oluşturuyor Buraa, yılına t kabul iliyor Bu mol gör, o kntt yılına kaç at kablolu tlvizyon abonsi bulunacağını tahmin iniz Ayrıca yılına kablolu tlvizyon abonlrinin sayısının zamana gör ğişim oranını bulunuz Çözüm yılına t olacaktır Dolayısıyla, yılına kablolu tlvizyon abonsi sayısı S ( (ln olarak tahmin ilir t yılına kablolu tlvizyon abonlrinin sayısının zamana gör ğişim oranı S'( t ir Dolayısıyla, yılına kablolu tlvizyon abonlrinin sayısının zamana gör ğişim oranı olur t S '( (

8 Drs 7 Örnk 9 İyi kalit Kaysri pastırması satan bir süprmarkt, kilogramı p YTL n kilogram pastırma satması urumuna fiyat talp nklminin p (999 olacağını tspit iyor Talp 8 kg oluğu ana fiyatın talb gör ğişim oranını bulunuz Çözüm Fiyatın talb gör ğişim oranı p ur Dolayısıyla, talp 8 kg olunca, p '(8 (999 (999 8 ln(999 ln( olur Talp 8 kg olunca, fiyat kilogram başına 6 YTL üşüyor 7 Ortalama Dğrlr v Marjinal Ortalama Dğrlr Bir işltm at ürün ürtmk için toplam gir Gi( is, bu uruma bir ürün ürtmk için ortalama gir Gi( Gi( olarak tanımlanır Bu noktaa, ortalama gir il marjinal giri bir araa üşünmkt yarar varır ürün ürtmk için toplam gir Gi ( is, marjinal gir Gi '(, bir sonraki ürünün yaklaşık maliytini, Gi ( is ürtiln ürün ürün başına ortalama giri vrir Dolayısıyla, Gi '( ilriy oğru bakarak bir sonraki ürün için yapılacak giri tahmin tm olanağı vrirkn Gi ( griy oğru bakılarak o ana kaar yapılan ürtim ürün başına ortalama giri vrir Eğr Gi '( < Gi( is, bir sonraki ürünü ürtmk ortalama giri üşürür Eğr Gi '( > Gi( is, bir sonraki ürünü ürtmk ortalama giri yüksltir

9 Marjinal Analiz Bu bağlama n önmli sorularan biri, ortalama girin hangi ürtim sviylrin minimum oluğuur Türv üzrin ilri yapacağımız tartışmalar sonucu aha iyi anlaşılacaktır ki, ortalama girin minimum oluğu ürtim sviylri Gi '( olan ğrli arasına bulunur v kolayca görülbilcği üzr bunlar Gi '( Gi( olan, yani marjinal gir il ortalama girin çakıştığı ürtim sviylriir: Gi( Gi'( Gi( Gi ( Gi'(, Gi'( Gi'( Gi( Ortalama girin minimal oluğu ürtim sviysinin blirlnmsin önm kazanan Gi '( ( Gi( türvi il tanımlanan fonksiyona marjinal ortalama gir fonksiyonu nir Marjinal ortalama gir Gi '( bir sonraki ürünün ürtilmsinin ortalama giri yaklaşık olarak n kaar ğiştircğini göstrir Ortalama glir, ortalama kâr, marjinal ortalama glir v marjinal ortalama kâr a bnzr biçim tanımlanır Ortalama glir : Ortalama kâr : G( G(, Marjinal ortalama glir : G '( ( G( K( K(, Marjinal ortalama kâr : K '( ( K( Örnk Ptrol nüstrisin kullanılan sonaj parçaları ürtn bir firmanın gün parça ürtmsi urumuna günlük toplam giri YTL olarak vriliyor a Gi ( v Gi '( i bulunuız ( Gi ( b Gi ( v Gi '( u bulunuız c inci parçayı ürtmk ortalama giri üşürür mü, yoksa yüksltir mi? Öncki şıkta buluğunuz ğrlri kullanarak gün parça ürtilmsi urumuna parça başına ortalama giri yaklaşık olarak blirlyiniz ç Ortalama gir hangi ürtim sviysin minimum olur? Gi Çözüm a ( (, Gi '( YTL

10 Drs 7 b Gi( ( ( 6, Gi'( 99 YTL c Gi '( 9 9 ngatif oluğunan inci parçanın ürtilmsi, ortalama giri üşürür Bu sonuca, Gi '( ( 7 < Gi( 6 oluğu gözlmlnrk ulaşılabilir parça ürtilmsi urumuna parça başına ortalama girin yaklaşık ğri olarak l ilir Gi ( Gi( Gi '( YTL ç Ortalama girin minimum oluğu ğrlri Gi '( Gi( nklmini sağlamalıır Gi' ( Gi( ( parça ürtilinc ortalama gir Gi ( YTL olur ki bu ortalama girin minimum ğriir ( ( ( ( 7 L Hospital Kuralı Limit hsaplarkn, blirsiz hallr iğimiz,,, f ( urumları il karşılaşılığı çok olur Blirsiz hallrn ilk ikisi il gibi bir ksrin, üçüncüsü il f ( gibi bir çarpımın v son hall f ( gibi bir farkın iti hsaplanırkn karşılaşılabilir

11 Marjinal Analiz Eğr f ( v is, c c nir Bnzr şkil, ğr f ( c blirsiz halinir nir f ( v ksri c c için blirsiz halinir is, f ( ksri c için Yukarıaki tanıma, c yrin c, c, vya alınarak bir ksrin bu urumlara a blirsiz hal olmasının tanımlanabilcği açıktır İlk iki blirsiz urum için L hospital Kuralı nı bir torm olarak ifa : Torm(L Hospital Kuralı f v g türvli fonksiyonları vrilmiş olsun Eğr ksri c için f '( vya blirsiz halin is v c g'( mvcut is, f ( c f ( c f ' ( g' ( ir Sözl ifa il, ğr c için bir ksrin hm payının hm payasının iti sıfır is, payın türvi pay v payanın türvi paya olarak yazılınca l iln ksrin itin bakılır Bu it mvcut is, başlangıçtaki ksrin itin şittir Bnzr şkil, ğr c için bir ksrin hm payının hm payasının iti sonsuz is, payın türvi pay v payanın türvi paya olarak yazılınca l iln ksrin itin bakılır Bu it mvcut is, başlangıçtaki ksrin itin şittir Ayrıca, L Hospital Kuralı nın ifasin c yrin an hrhangi biri alınsa a kural gçrliir c, c, vya 8 Örnk? Buraa, pay f ( 8, paya 6 ır v 6 f ( için hm payın hm payanın iti sıfırır Dolayısıyla ksri için blirsiz halinir Limiti bulmak için L Hospital Kuralı uygunabilir Payın türvi f '(, payanın türvi g '( ir v 6 ir O hal, 8 6 6

12 Drs 7 ln Örnk? Buraa, pay f ( ln, paya tir f ( ksri için blirsiz halin oluğunan,, L Hospital Kuralı uygulanabilir Payın türvi (/ f '(, payanın türvi g'( ir v ( ( / ır O hal, ln / ( / ( Örnk? Buraa, vriln ksir için blirsiz halin oluğunan, L Hospital Kuralı uygulanabilir: ln Örnk? Buraa a vriln ksir L Hospital Kuralı uygulanabilir: için blirsiz halinir v ln / / L Hospital Kuralı uygulanırkn bir bölümün iti söz konusuur, ancak bu kural uygulanırkn iti bulunmak istnn bölümün payının v payasının ayrı ayrı türvlri alınınca l iln ksrin itin bakılır; iti bulunmak istnn bölümün türvi hsaplanmaz Daha önc başka bir yöntml hsaplaığımız bir iti L Hospital Kuralı yarımıyla hsaplayalım: Örnk oluğuna ikkat iniz Buraa için nin blirsiz halin blirsiz hali il f ( gibi bir çarpımın iti hsaplanırkn karşılaşılabilir Eğr f ( v is, bu takir, c c f ( (vya f ( f ( f (

13 Marjinal Analiz yazılarak blirsiz hali, blirsiz halin (vya blirsiz halin önüştürülrk yin L Hospital Kuralı uygulanır Örnk 6 ln? Buraa açıktır Yukarıaki önüşüm uygulanarak, L Hospital Kuralı uygulanır: ln in için blirsiz halin oluğu blirsiz halinn blirsiz halin gçilrk ln ln (/ (/ ( / ( blirsiz hali il f ( gibi bir farkın iti hsaplanırkn karşılaşılabilir Bu uruma a vriln ifa vya blirsiz hallrinn birin önüştürülrk sonuca giilir Örnk 7 ( ( ( ( Vriln ifasinin şiti olan için L Hospital Kuralı uygulanmıştır ksri için blirsiz halinir v bu ksir Bazn bir it hsaplanırkn L Hospital Kuralı nın art ara uygulanması grkbilir Örnk 8 Bu örnkt, vriln ksir blirsiz halin olup L Hospital Kuralının uygulanmasınan sonra l iln ksir blirsiz halinir Dolayısıyla, L Hospital Kuralı bir kz aha uygulanarak sonuç bulunmuştur Örnk ( ( 6 6 Bir ksrin itinin hsabına L Hospital Kuralı uygulanırkn ksrin blirsiz hal oluğunan min olunmalıır Bazı sınavlara, öğrnciyi şaşırtmak vya ikkatini ölçmk için blirsiz hal olmayan ksirlrin iti sorulur Blirsiz hal olmayan bir ksir için L Hospital Kuralı nın uygulanması çoğu zaman yanlış sonuçlara götürür

14 Drs 7 6 Örnk iti hsaplanırkn payın iti ( v payanın iti ( oluğunan, bölümün iti için bilinn özlliktn l ilir Eğr bu it hsaplanırkn, ksrin için blirsiz hal olup olmaığına bakmaan L Hospital kuralı uygulansayı yanlış sonucu l iliri Örnrk? Blirsiz hal olup olmaığına ikkât ilmn art ara L Hospital Kuralı uygulanırsa l ilir Oysa buraa blirsiz hal bulunmayıp ( ( ] ( [( oluğu görülür

15 Marjinal Analiz 7 Problmlr 7 Zincir Kuralı kullanarak f ( i hsaplayınız a f ( ( b f ( ( c f ( ( ç f ( Aşağıaki türvlri hsaplayınız a (( ( ( b ( 7 f ( i hsaplayınız a f( ln b f( ln c f( ln ç f( (ln f( ( ln f( f f( ln ( g f ( ln Aşağıaki türvlri bulunuz a (ln ( b ( c ç ln( Aşağıaki türvlri bulunuz a (log ( b ( c ç log ( 6 f ( ( oluğuna gör f fonksiyonunun grafiğin (, noktasına tğt olan oğrunun nklmini yazınız 7 Bir şirkt t aya S ( t t at otomobil satıyor ' a S ( t yi hsaplayınız ' b S ( v S ( ğrlrini hsaplayınız v bu ğrlri yorumlayınız

16 Drs Bir firmanın bir aya tansi p YTL n tan ürün satılabilcğini varsayarak ürtim yapması urumuna fiyat talp fonksiyonu p, < < v tan ürünün ürtimi için toplam gir Gi( YTL olarak vriliyor a G (, G '(, K ( v K '( i bulunuz b K ( v K '( yi bulunuız inci ürünün ürtilmsi ortalama kârı yüksltir mi, yoksa üşürür mü? c K ( v K '( yi bulunuız inci ürünün ürtilmsi ortalama kârı yüksltir mi, yoksa üşürür mü? ç ürün ürtilmsi urumuna ürün başına ortalama kârı yaklaşık olarak blirlyiniz 9 at ürtilmsi için yapılması grkn toplam gir Gi ( YTL olarak vriliyor a at ürün ürtilmsi urumuna ürün başına ortalama giri blirlyiniz b at ürün ürtilmsi urumuna ürün başına marjinal ortalama giri blirlyiniz c inci ürün ürtilirs, ortalama gir yükslir mi yoksa üşr mi? ç Buluğunuz ğrlr yarımıyla at ürün ürtilmsi urumuna ürün başına ortalama giri tahmin iniz Kaç at ürün ürtilmsi urumuna ortalama gir minimum olur? tan çim biçm makinsi satılınca l iln kâr K( 7 YTL olarak vriliyor a Marjinal kâr fonksiyonunu bulunuz b makin satılması urumuna marjinal kâr n olur? c makin satılması urumuna makin başına ortalama kâr nir? Ortalama kâr il marjinal kârı karşılaştırınız Bu karşılaştırmaan n sonuç çıkarınız? ç makinlik bir satış sviysi için marjinal ortalama kârı blirlyiniz v bunu yorumlayınız inci makin satılınca ortalama kâr yükslir mi, yoksa üşr mi? makin satılması urumuna ortalama kârın n olacağını tahmin iniz Aşağıaki itlri hsaplayınız(l Hospital Kuralı 6 a b ln c 8 f ç g ln Aşağıaki itlri hsaplayınız 6 a b 8 c ln ç