1) Lineer Algebra ; Schaum s Outline of Theory and Problems, Seymour Lipschutz, McGraw-Hill International Book Company, New York, 1974.

Transkript

1 KYNKLR ) Lineer lger ; Schum s Outline of heory n Prolems, Seymour Lipschutz, McGrw-Hill Interntionl ook Compny, New York,. ) Mtrices ; Schum s Outline of heory n Prolems, Frnk yres, McGrw-Hill Interntionl ook Compny, New York,. ) pplie Numericl nlysis ; Curtis F. Gerl, Ptrick O. Whetley, ison Wesley Pulishing Compny, New York,. ) Syısl nliz ; Glip Oturnç, yın Kurnz, Mehmet Eyüp Kiri ş, Dizgi Ofset Mtcılık, Kony,. ) Lineer Ceir ve Mtl Uygulmlrı ; ynur Uysl, Mitht Uysl, et Yyınlrı, İstnul,. ) Lineer Ceir ; Fhrettin kulut, E.Ü. Fen Fkültesi Ofset Merkezi,, İzmirCilt I). ) Lineer Ceir ; Fhrettin kulut, E.Ü. Fen Fkültesi Ofset Merkezi,, İzmirCilt I,. skı). ) Lineer Ceir ; Fhrettin kulut, E.Ü. Fen Fkültesi Ofset Merkezi,, İzmirCilt I). ) Lineer Ceir ; Fhrettin kulut, E.Ü. Fen Fkültesi Ofset Merkezi,, İzmirCilt II). ) sic Liner lger ; Ceml Koç, Mtemtik Vkfı Yyınlrı, ODÜ,, nkr. )

2 . MRİ SLER VE MRİ SLERLE İLGİL İ İŞLEMLER Mtrisler stır ve sütunlrn oluş n iki oyutlu izilere enilmekteir. Mtrisler tek stır vey tek sütunn meyn geli ine un vektör vey tek oyutlu izi ı verilmekteir. Mtrislerle ilgili iş lemler mühenislik konulrının içerisine çok sıkç krşılşıln prolemlerenir. Mtrisler genele [ ], ) ; [], ) vey [ ] i i i j j j i j şekline gösterilirler. Mtris stır ve sütunlrn oluştu un göre yukrıki [] mtrisinin stır syısı i ) ve sütun syısı j ) ile gösterilmiş tir. Fiziksel olylrl ilgili tnımlmlr ve gösterimlere mtrisler genele kre mtrisler olrk krşımız çıkr. i j oluun mtris kre mtris i j oluun ikörtgen mtris i stır ve j sütun mtrise stır mtris, i stır ve j sütun mtrise sütun mtris ı verilmekteir. ).. L ve ÜS ÜÇGEN MRİ S Mtrisin köşegeni üstüneki elemnlrı sıfır eş itse lt üçgen mtris, mtrisin köşegeni ltınki elemnlrı sıfır eş itse üst üçgen mtris olrk tnımlnır. şı sırsıyl üst ve lt üçgen mtrisler gösterilmiştir.

3 L [ ] i i i i j ) U [ ] j j j j ).. İRİM ve KÖŞEGEN MRİS irim mtris köşegeni üzerineki elemnlrı ) oln mtrise enilir. Köş egen mtris igonl) ise sece köşegeni üzerine eer ulunn i er elemnlrı sıfır ) oln mtrise enilmekteir. şı sırsıyl irim ve köş egen mtris gösterilmiştir. I [ ] ) ig [ ] i j ).. N MRİS Mtris elemnlrının köş egen etrfın elli ir isipline göre izilmesinen oluş n mtrise nt mtris enilir. Genele kısmi türevli enklemlerin çözümüne u tür mtrislerle krşılşırız. ş ı nt mtrisin genel ypısı gösterilmiştir.

4 [ ],,,,,,,,,,,,,,,,, ) i, j i, j i, j i, j i, j i, j i, j.. DEVRİK trnspoze) MRİS ir mtrisin stır ve sütunlrını eiş tirerek ele eilen mtrise o mtrisin trnspozesi enilir ve [] ile gösterilir. Simetrik ir mtrisin trnspozesi kenisine eşittir. [ ] [ ] ) ) DEVRİK MRİS ÖZELLİKLER İ RNSPOZE) ) ) ) ) ) λ ) λ ). )... SİMERİK MRİS

5 ir mtrisin trnspozesi kenisine eş itse o mtris simetrik mtris olrk tnımlnmktır. Yni ireir stır ve sütun elemnlrı iririne eş it mtrise enilmekteir. [ ] ).. KOFKÖR MRİS ir mtrisin herhngi ir elemnının ulunu u stır ve sütun silinerek ele eilen mtrisin iş retli eterminntı o elemnın kofktörü vey minörü olrk tnımlnmktır. u iş lem ütün elemnlr için tekrrlnır ve yerlerine konulurs ele eilen yeni mtris kofktör mtris olrk ilinir.,,,,, ),,,, [ ] i,j ) [] mtrisinin i ). stır ve j ). sütunlu elemnını göstermek üzere,. ij ) nin ulunuu stır ve sütun silinir.. Geri kln mtrisin işretli eterminntı hesplnır.. öylece ij ) nin kofktörü minörü M ij ) ulunmu ş olur. ir i er şekile ij Kofktörünü ulmk için şıki eşitlii kullniliriz.. Kofktör ij ) - ) ij. M ij ulunur. u işlem ımlrı ütün elemnlr için tekrr eilerek sonuc giilir.

6 ) [ ] Kofktör, ) -) Kofktör ) -) ) ) öyle evm eilerek mtrisin ütün elemnlrı için ynı iş lemler ypılrk şı gösterilii gii ulunn e erler yerlerine konulrk Kofktör mtris ele eilir. Kofktör [ ] K. f. ) K. f. ) K. f. ) ) ) ) K. f. K. f. ) ) ) K. f. K. f. K. f. ) K. f.

7 .. EK MRİS joint ) Kofktör mtrisin stır ve sütunlrının yer eiş tirilmesinen trnspozesine) meyn gelen mtrise ek mtris enilmekteir. Ek mtris joint) [] { Kofktör [] } Ek) j ) ) EK MRİSİN ÖZELLİKLERİ ). j) ig,,, ). I j). ). j) n j). ) Eer tekil olmyn ir n-kre mtris ise; j) n- ir. ) Eer, ir n-kre tekil mtris ise,. j) j). ır. ) Eer ve, n-kre mtrisler ise; j. ) j). j) ir... ERS MRİS INVERSE) ve n-kre mtrisler olsun. E er.. I ise ye nın tersi - ) ve y nin tersi - ) enir. I- ir n-kre mtrisinin tersinin olmsı için gerek ve yeter koş ul g.v.y.k), tekil olmmsıır yni et) sıfırn frklı olmlı). II- Eer tekil e il ise,.. C ; C olur. ekil olmyn ir igk, k,, k n ) mtrisinin tersi ig/k, /k,, /k n ) köş egen mtrisiir. Eer,,, s tekil olmyn mtrisler ise, ig,,, s ) irekt toplmının tersi, ig -, -,, - s) olur. Genel olrk tekil olmyn ir mtrisin tersi şıki yollrn hesplnilir. I- EK MRİS DJOIN) İLE ERS ULM: ir mtrisin ek mtrisinin o mtrisin eterminntın ölünmesi ile ele eilen mtrise o mtrisin ters mtrisi [ ] enilir. j. [ ] ) II- RIRILMI Ş MRİS UGMENED) İLE ERS ULM:

8 [: I] [ I : - ] ur mtrisine I irim mtris ilve eilerek stır sütun) işlemleri ile mtrisi yerine I irim mtris oluştu un I irim mtrisinin yerine ters mtris ele eilmi ş olur. III- CYLEY HMİLON EOREM İ YRDIMI İLE ERS ULM: Cyley-Hmilton teoremi: her kre mtris keni krkteristik enklemini slr. IV- NIMDN HREKELE ERS MRİS ULM İŞLEM İ:, n-kre mtrisinin tersini ulmk için n-kre oyutlu ilinmeyenleren oluş n ir mtris lınrk;.. I özelliini slyn n xn oyutlu sistemin çözümü ile rnıln eerler ulunrk, mtrisin tersi ulunmu ş olur. ERS MRİS ÖZELLİKLER İ INVERSE) ).. I ise - inverse mtrix) ters mtris ). ) ) nın tersi vrs. ır. ). - I.. OROGONL MRİS Genellikle eksen önüş ümlerine kullnıln u mtris tnımlmsın ir mtrisin ortogonl olilmesi için mtrisin trnspozesinin tersine eş it olmsı gerekir. [] [ ]... İR MRİSİN İZ İRCE) ise [] mtrisi ortogonlir. ir n-kre mtrisinin,,, nn elemnlrın köş egen elemnlrı, u elemnlrın toplmın nın izi enir ve İz n i ii ile gösterilir. İR MRİSİN İZ İ İLE İLGİL İ ÖZELLİKLER ) İz ) İz İz

9 ) C skler olmk üzere; İz c) c İz ) İz ) İz ) ) İz ).. MRİSLERDE OPLM Mtrislerin toplnmsı ynı oyuttki mtrisini ynı konumki elemnlrının toplnmsıyl gerçekleştirilir. mxn) ve mxn) türüne iki mtris olsun. C mxn) türüne olur. ij ij c ij kurlın göre toplm işlemi gerçekleşir. [ ] [ ] ) [ ] [ ] ) ) OPLM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLER İ: ) C ) C ) ) C ) ) - )

10 .. MRİSLERDE ÇRPM Mtrislerin irirleriyle çrpılilmesi için, irinci mtrisin stır elemnlrıyl ikinci mtrisin sütunlrı çrpılrk çrpım sonucu ele eilir. mxn) ve nxm) türüne iki mtris olsun. C mxm) türüne olur. n ip. pj c ij p ip. pj kurlın göre çrpm işlemi gerçekleşir.[ ij] ile [ mn ] çrpm işleminin gerçekleşeilmesi için j m) olmlıır. [ ] [ ] [ C ] [ ]. [ ] C C C C C C C C C ) ÇRPM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLER İ: ) k [k ij ], k R ) k k ) k k, k R, k R ) λ C) λ λc, λ R ). ) I., I unity mtrix) ) λ ve λ. ır. )..

11 ).. C ). ). C ) ij ij Mtrislere ölme i lemi yoktur. nck mtris herhngi ir syıy ölüneilir. ş ki mtrisin çrpılmsın ili kin m x n oyutunki [] mtrisi ile nx İ ş oyutunki [] mtrisinin çrpımı için progrm eyimleri ı ş gösterilmi tir. ş [C] [] mxn. [] nx ) DO i O m DO j O SUM. DOFOR k O n i, k ) k, j ) ENDDO c i,j ) ENDDO ENDDO MR LER LE LG L ÖRNEKLER İ İ İ İ İ C, x x olu unu gösteriniz. x x x x x x x x ) ) ) )?, x), x) türüne olu u için toplnmz. nlmsızır enir.

12 C ) C),C, olu unu gösteriniz. C) C ) C) C ) C [ ] ) ) olu unu gösteriniz. ),? x ) ) x??,.., x x x. ) ) ). olu unn çrpılmz. nin sütun syısı ile nın stır syısın e it e ilir. ş??,..,

13 ....? )?,. ). I..I olu unu gösteriniz. I..I t, z x olmk üzere olmsı için x, z, t ne olmlıır? x x x x x x z z [ r ], [ -] mtrisleri. e itli ini ş s lyck ekile ir r e eri ulunuz. ş. [ r ] [ -] r, urn r - / olrk ulunur.

14 x x, y ne olmlıır? y y olmk üzere olmsı için x, x x y y x x x y y y ve y [[ x] ] [[ x] ] x x R x kümesini ulunuz. [[ x]] [[ x ]] ve x x [[ x]] [[ x ]] x < [[ x ]],x [, /) olur. x < / [[ x ]] Cosθ Sinθ Sinθ Cosθ n ulunuz. n Cos θsin θ CosθSinθ Cosθ Sinθ CosθSinθ Cos θsin θ Sinθ Cosθ CosθCosθSinθSinθ CosθSinθ SinθCosθ θ Cos SinθCosθ CosθSinθ SinθSinθ CosθCosθ Sinθ Cosnθ Sinnθ olrk ele eilir. Sinnθ Cosnθ mtrisinin tersini ulunuz. Sinθ Cosθ c.. c - c - c I - c n c c n c) c c /,

15 / n -/ - n -/) /, -/ / / / / olrk ulunur. mtrisinin tersini ulunuz. I c.. c c c - - c - c - c - -/ / olrk ulunur., olmk üzere.) olu unu gösteriniz. / / / / / / / /. / / / /.). c c c c c c. / / / / c c c.

16 ? olrk ulunur.? ) ) olur. ), olu unu gösteriniz. ) olrk ulunur.