Cebir Notları. Permutasyon Mustafa YAĞCI,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Cebir Notları. Permutasyon. www.mustafayagci.com, 2005. Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com"

Transkript

1 005 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Matematikçiler üçe ayrılır: Sayı saymayı bilenler ve bilmeyenler Matematikle ilk tanışmamız sayı saymayla başlamıştır desek sanırım yanılmış olmayız. Daha 1,5 yaşında bir bebek daha ne olduğunu bilmese bile 1,, 3, 4, diye en azından 10 a kadar sayabilir. Bunların birer rakam olduğunu bile bilmeden Çünkü sıfır ı bilen bebek ben görmedim. Biraz büyüdükçe artık sayıları değil nesneleri saymaya başlar. 3 elma, araba, 4 kitap diye Bizim saymak dediğimiz şey bu kadar basit değil! Bu dersimizin başında önce saymayı öğreneceğiz. Sonsuza kadar saymayı bilen bir adam bile bazen bazı şeyleri sayamaz. En azından buna ömrü izin vermez. Demek sayı saymayı bilen her zaman nesneleri sayabilir diyemeyiz. Nesneler sonlu miktarda olsalar bile! Sayma için bilinen 3 farklı metot vardır: i. Eşleme yoluyla sayma ii. Toplama yoluyla sayma iii. Çarpma yoluyla sayma İlk ikisi zaten günlük hayatta da kullandığımız sayma yöntemleridir. Birilerinin bunları kullanarak nesneleri sayması onun matematik biliyor olması anlamına gelmez. Ama üçüncü şıktaki saymayı bilmiyorsan, aslında saymayı bilmiyorsundur. Şimdi sırasıyla bunları öğreneceğiz: Eşleme yoluyla sayma. Bir sınıftaki öğrenci sayısını, bir apartmanın kaç katlı olduğunu, bir pakette kaç sigara bulunduğunu, sonlu bir kümenin eleman sayısını filan belirlemek için söz konusu elemanları sayma sayıları ile birebir eşlemeye eşleme yolu ile sayma denir. Örneğin, kitabın ilk sayfasına 1, ikinci sayfasına, üçüncü sayfasına 3, gibi isim vererek o kitapta kaç sayfa olduğunu bulabiliriz. Zaten başka yolu da yoktur. Bu işlem en temel sayma işlemidir. Ama bu her zaman geçerli bir yol değildir. Aslında geçerlidir de elverişli değildir desek daha doğru olur. Bir yüz kenarlı çokgenin tüm köşegenlerinin kaç tane olduğu sorulsa mesela n apacaksın? Diyelim inat ettin, yüzgeni çizdin, tüm köşegenlerini de çizip, bismillah deyip saymaya başladın. Ya yüzgen değil, bingen olsa veya milyongen? Olamaz mı, sen inat edersin de ben edemem mi? O halde saymanın başka yolları da olmalı. Yoksa biz sayamıyoruz diye orada köşegen yok demek değil! Aşağıda vereceğimiz ikinci sayma metodu da bu derdimize derman olmayacak ama çözümlerimizde bunu kullanacağız. Toplama yoluyla sayma. A ve B ayrık iki küme olsun, yani kesişimleri boşküme olsun. A ve B kümelerinin toplam kaç elemanı olduğunu bulmak için A B kümesinin elemanlarını saymalıyız, ki o da s(a) + s(b) dir. Örneğin, bir sınıftaki öğrenci sayısını eşleme yoluyla tek tek sayabileceğimiz gibi, eğer biliniyorsa sınıftaki kız öğrenciler kümesinin eleman sayısı ile sınıftaki erkek öğrencilerin eleman sayılarını toplayarak da sonuca ulaşabiliriz. Örneğin, bu sınıfta kız öğrenci ve 3 erkek öğrenci varsa, bu sınıfta + 3 = 45 öğrenci vardır deriz. İşte buna toplama yoluyla sayma işlemi denir. Örnek. A kentinden B kentine 40 farklı karayolu ve 0 farklı demiryolu vardır. A dan B ye gitmek isteyen biri kaç yoldan emeline ulaşabilir? Çözüm: = 60 farklı yol olduğundan, bu biri 60 farklı şekilde A dan B ye gider. Bu A ile B kentleri neredeyse, merak ettim bak şimdi, senelerdir ders anlatırım, herkes A dan B ye veya B den A ya gidiyor, bu kadar farklı yolu tabii yaparlar. Örnek. x + 1 < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tamsayısı vardır? Çözüm: 3 < x + 1 < 3 olduğundan 4 < x < olur. Bu eşitsizlikleri sağlayan x tamsayıları { 3,, 1, 0, 1} olmak üzere 5 tanedir. Sabaha kadar

2 mutlak değer bil, saymayı bilmiyorsan 5 i bulamazsı Çarpma yoluyla sayma. A, B, C boş kümeden farklı birer sonlu küme olmak üzere; A ve B kümelerinden sırasıyla birer eleman seçerek oluşturulabilecek bütün sıralı ikililerin sayısı s(a B) = s(a) s(b) veya A, B, C kümelerinden birer eleman seçerek oluşturulabilecek bütün sıralı üçlülerin sayısını s(a B C) = s(a) s(b) s(c) şeklinde çarpma işlemi yaparak buluruz. Örneğin, 3 farklı gömleği, 4 farklı pantolonu olan biri kendine 3 4 = 1 değişik kıyafet yapabilir. Buna bir de 5 farklı kravat eklediğinizi düşünün = 60 farklı kıyafet olur. İşte bu çarpma yolu ile sayma kuralı, eşleme ve-ya toplama kuralı ile saatler, belki de bir ömür alacak toplamları birkaç saniyede bizim için yapar. İlerde farklı örneklerini göreceksiniz. Saymanın temel ilkesi. Sonuç olarak ayrık r tane işten, 1 incisi n 1 değişik yoldan, ncisi n değişik yoldan, r incisi n r değişik yoldan gerçekleştirilebiliyorsa; bu r tane işten her biri n 1 + n + n n r değişik yoldan gerçekleştirilebilir ve bu şekilde sayma işlemine toplama kuralı denir. Bu r tane işin hepsi birlikte, sıralı bir biçimde n 1 n n 3 n r değişik yoldan gerçekleştirilebilir ve bu şekildeki sayma işlemine genel çarpım kuralı veya saymanın temel ilkesi denir. Örnek. Adana dan Ankara ya 3, Ankara dan İstanbul a 4 farklı yol bulunmaktadır. Adana Ankara İstanbul i. Adana dan İstanbul a kaç farklı gidiş seçeneği vardır? Adana dan Ankara ya giden yollardan herhangi birini seçin. Hala Ankara dan İstanbul a gitmek için önünüzde 4 seçenek var. Ve bu diğer iki Adana-Ankara yolu seçimi için de geçerlidir. Dolayısıyla 3 4 = 1 farklı yoldan gidilebilir. ii. İstanbul dan Adana ya kaç farklı dönüş seçeneği vardır? Dönüş için de aynı olay geçerlidir. 4 3 = 1 farklı yoldan dönülebilir. iii. Adana dan İstanbul a kaç farklı gidiş-dönüş seçeneği vardır? Gidiş-dönüş için 1 1 = 144 farklı yol vardır. iv. Adana dan İstanbul a giden bir aracın, Adana ya dönerken daha önceden kullandığı yolu kullanmamak üzere kaç farklı dönüş seçeneği vardır? Hangisi kullanıldı bilinmez ama Adana dan Ankara ya ve Ankara dan İstanbul a gidilen yollardan biri kullanıldı. Dolayısıyla İstanbul dan Ankara ya kullanılmadık, Ankara dan Adana ya 3 yol kaldı. 3 = 6 dönüş seçeneği vardır. Örnek. A dan B ye, B den C ye 4 farklı yol bulunmaktadır. C den A ya dönüş için ise 5 farklı yol vardır. Soru bu ya, bazı yollar için gidişe izin var ama dönüşe yok. Bu şartlar altında A dan B ye uğramak kaydıyla C ye gidip, geri A ya dönmek isteyen birinin önünde kaç değişik seçenek vardır? Çözüm: Şimdi kim oturup da şehir çizecek, sonra şehirleri birbirine bağlayan yollar çizecek? Biz derdimizi kutu çizerek halledelim. Aslında kutu bile çizmesek de olur ama ilerde çok işimize yarayacak bu iş. A dan B ye gitmeye bir kutu, B den C ye gitmeye bir kutu, C den geri A ya dönmeye de bir kutu olmak üzere toplam 3 kutu çizelim. 4 5 Demek ki, bu adamın önünde 40 farklı seçenek varmış. Örnek. a, b, c farklı asal sayılar ve m, n, p birer sayma sayısı olduğuna göre a m b n c p sayısının kaç tane pozitif böleni vardır? Çözüm: Demek ki bu sayının m tane a çarpanı, n tane b çarpanı, p tane c çarpanı varmış. Bu çarpanların herhangi çarpımları bize bu sayının farklı pozitif bölenlerini verir. Canım ister, a dan 1 tane b den tane alır çarparım, canım ister b den 3 tane c den tane alır çarparım. Ama tane b varsa 3 tane b alamam tabii ki. Demek ki kaç farklı a, b veya c seçebiliyorsam, o kadar farklı pozitif bölen mevcut. Yalnız unutmayın ki bundan hiç almıyorum demek de bir seçenektir. Yani a çarpanını m + 1 değişik şekilde, b çarpanını n + 1 şekilde, c çarpanını da p + 1 şekilde seçebiliriz. O halde saymanın temel ilkesine göre (m + 1) (n + 1) (p + 1)

3 kadar farklı seçenek mevcut, bundan dolayı bu sayının pozitif bölenleri bu kadardır. Bazen bize bu sayının tek veya çift pozitif bölenlerinin kaç tane olduğunu sorar. Örneğimizde a nın çift, b ve c nin de tek sayı olduğunu farzedelim. a ile çarpılan her şey çift olmak zorundadır. Dolayısıyla içinde a olmayan çarpımlar bize kaç tane pozitif tek böleni olduğunu verir. O halde pozitif tek bölen sayısı (n + 1) (p + 1) tanedir. Toplam pozitif bölen sayısından tekleri çıkartırsak çift pozitif bölen sayısı da m (n + 1) (p + 1) olarak bulunur. 1. A köyünden B köyüne 5 yol, B köyünden C köyüne de 3 farklı yol vardır. A dan B ye uğramak kaydıyla C ye giden birinin dönüş için kaç farklı seçeneği vardır?. 3 farklı cep telefonu ve 4 farklı hattı bulunan bir kimse kaç değişik şekilde görüşme yapabilir? 3. Bir öğrenci kendini eksik hissettiği 5 dersi her hafta hem okulda, hem dershanede dinliyor ama yine anla-mıyor. Bir de bunlardan özel ders almaya başlıyor. Bu öğrenci haftada en az kaç kere ders dinliyordur? 4. Bir lokantada çeşit çorba, 5 çeşit yemek, 3 çeşit tatlı vardır. Her çeşitten birer tane yemek isteyen birinin kaç değişik seçeneği vardır? 5. farklı takım elbisesi, 3 farklı ayakkabısı, 4 farklı şapkası bulunan bir kişi, bu giysilerle kaç farklı şekilde giyinebilir? sayısının kaç farklı pozitif böleni vardır? sayısının kaç farklı pozitif tek böleni vardır? sayısının kaç farklı pozitif çift böleni vardır? Örnek. 5 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? Çözüm: Sadece 1 kişi için kaç farklı seçenek var, ona bir bakalım. Ya başarılı olacak, ya başarısız. Yani seçenek var. O halde 5 kişi için = 5 = 3 farklı seçenek vardır. Sorunun çözümü için yine kutuları çizmek mümkün: Her adam için bir kutu çizilir ve her adamın kaç değişik şekilde sınavı sonuçlandırabileceği yazılır. Bunların çarpımı sonucu verecektir. Unutmayın, kutuları, hikayelerin başrol oyuncuları için çiziyoruz. Yani cümlelerin özneleri için. Çok kullanacağımız bu yönteme biz kutu yöntemi diyeceğiz. Örnek. 8 kişi arasından önce bir başkan, sonra kalanlar arasından iki başkan yardımcısı, sonra da kalanlar arasından bir sekreter seçilecektir. Bu seçim kaç türlü yapılabilir? Çözüm: Tahmin etmişsinizdir, başkana bir, yardımcılarına iki, sekretere de bir olmak üzere 4 lü kutu çizeceğiz = 1680 olduğundan 1680 farklı seçim yapılabilir. Örnek. İki zar ile bir madeni para birlikte atıldığında kaç farklı durum oluşabilir? Çözüm: İki tane zarlar için, bir tane de para için olmak üzere 3 lü kutu yapacağız. Zarların 6 şar, paranın ise yüzü olduğunu unutmayın. İki yüzlü şeyleri sevmeyi Ya para veya zarlardan biri dik gelirse geyiğini de yapmayı = 7 olduğundan 7 farklı durum vardır. Örnek. 4 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı bir kümeye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir? Çözüm: Tanım kümesindeki 4 eleman için 4 lü bir kutu oluşturalım:

4 Her eleman değer kümesindeki canının istediği 3 elemanla da eşlenebilir. Bundan dolayı = 3 4 = 81 farklı fonksiyon tanımlamak mümkündür. Örnek. 4 elemanlı bir kümeden 5 elemanlı bir kümeye kaç farklı bire-bir fonksiyon tanımlanabilir? Çözüm: Tanım kümesindeki 4 eleman için 4 lü bir kutu oluşturalım: Bu sefer tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde canının istediğiyle eşleşemez. Bire-bir fonksiyonun tanımına göre iki eleman tek elemanla eşleşemez. O halde tane bire-bir fonksiyon tanımlamak mümkündür kişilik bir gruptan önce bir başkan sonra bir yardımcı kaç değişik şekilde seçilebilir? kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç değişik şekilde sonuçlanabilir? takımlı bir ligde bir hafta sonunda oynanan tüm maçların sonuçlarını (ev sahibi takım yener, misafir takım yener, berabere biter şeklinde) garanti bilmek için en az kaç tahminde bulunmak gerekir? takımlı bir futbol liginde sezon sonu ilk üç takım kaç değişik şekilde oluşabilir? takımlı bir futbol liginde belli üç takımın ilk üç sırayı paylaşacakları önceden bellidir. Sezon sonu kaç değişik sıralama oluşabilir? ili olan ülkemizde kendi alfabemizle 01 MY 001 şeklinde kaç değişik araç plakası yazmak mümkündür? 15. Bir haritadaki 1 şehrin 4 ü kırmızıya, 3 ü sarıya, 5 i maviye kaç farklı şekilde boyanabilir? toptan rastgele 6 sını seçip rasgele bir sıraya diziyorlar. Bu sırayı bilmek için en az kaç değişik tahminde bulunmak gerekir? 17. İki zar atıldığında oluşabilecek tüm durumlarda üst yüze gelen sayıların çarpımı kaç durumda tek sayı olur? 18. Birler basamağı tek sayı, onlar ve yüzler basamağı çift sayı olan kaç tane değişik üç basamaklı sayı yazılabilir? 19. Bir futbol takımı 6 kişi arkada 5 kişi önde olmak üzere kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir? 0. Bir futbol takımı en uzun 6 kişi arkada, en kısa 5 kişi önde olmak üzere kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir? 1. Bir kimse, bilgisayarındaki dosyalara 1 Türkçe harf ve rakamdan oluşan isimler vermektedir. Bu sistemle en çok kaç dosyayı isimlendirebilir?. 3 elemanlı bir kümeden 4 elemanlı bir kümeye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir? 3. 3 elemanlı bir kümeden 4 elemanlı bir kümeye kaç farklı bire-bir fonksiyon tanımlanabilir? 4. 6 farklı oyuncak 3 çocuğa kaç değişik şekilde verilebilir? 5. 3 mektup 5 posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir? 6. 5 insan farklı asansöre kaç değişik şekilde binebilir? 4

5 7. 5 insan 5 kişilik bir arabaya öne, 3 arkaya olmak üzere kaç değişik şekilde binebilir? 8. İkisi ehliyetli 5 kişi, 5 kişilik bir arabaya, ehliyetliler öne, ehliyetsizler arkaya olmak üzere kaç değişik şekilde binebilir? Kişiye özel sayı oluşturmak. Tek basamaklı pozitif kaç tane sayı vardır? 10 değil mi? Hatta biz bunlara rakam deriz. Peki, iki basamaklı kaç sayma sayısı var? Bundan kolay ne var: 90. Peki üç basamaklı? 900. Dört? Beş? Ne kadar da kolay! Sen öyle sa Her zaman bu kadar basit değil. Bazen şöyle sorar: Şu şu şu rakamlarla şu kadar basamaklı kaç sayı var? Şu sayıdan büyük, şu sayıdan küçük, şu kadar basamaklı, tek veya çift kaç basamaklı sayı var? Üstüne üstlük bir de şu sayıya bölünsün. Hıı, unutmadan bir de şu sayıyla başlaması Olur, başka emriniz? İşte notlarımızın bu kısmında şımarıkça sorulan bu sorulara cevap arayacağız. Örnek soru-çözümlerle anlatalım: Örnek. Sadece 1,, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak; 1) Üç basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? Birler, onlar ve yüzler basamağı için 5 er farklı seçeneğimiz var. O halde cevabımız 15 olmalı. ) Dört basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? Aynen yukardaki gibi ama bu sefer 4 basamak olduğundan 5 4 = 65 değişik seçenekle karşı karşıyayız. 3) Üç basamaklı kaç değişik çift sayı yazılabilir? 5 5 Birler basamağı için {, 4} olmak üzere hakkımız var, diğer basamaklar için herhangi bir sınırlamamız yok. O halde cevabımız 5 5 = 50 dir. 4) Üç basamaklı kaç değişik tek sayı yazılabilir? Bunu ister yukardaki gibi birler basamağının 3 ayrı hakkı var diye yapabiliriz, ki bunlar {1, 3, 5} tir, istersek de yazılabilecek tüm üç basamaklı sayılardan çift olanları çıkararak yapabiliriz: = 75 bulunur. 5) Rakamları farklı kaç değişik üç basamaklı sayı yazılabilir? Yüzler basamağına 5 farklı rakam da gelebilir. Yalnız onlar basamağına böyle diyemeyiz. Çünkü oluşturacağımız sayının rakamlarının farklı olduğu söyleniyor. Hangi rakamı yüzler basamağına kullandıysak kullandık, fark etmez, onlar basamağına 4 hakkımız kalır. Aynen bunun gibi birler basamağına da 3 hakkımız kalır. O halde = 60 tane böyle sayı yazılabilirmiş. Aynı işlemleri birler basamağından başlayarak yüzler basamağına doğru giderek de yapabilirdik, sonuç değişmezdi. İsterseniz deneyi 6) Rakamları farklı kaç değişik üç basamaklı çift sayı yazılabilir? 3 4 Bu sefer birler basamağından başlayacağız. Sayının çift olması istendiğinden birler basamağına hakkımız var, hangisi gelirse gelsin, ortadaki kutuya 4 hak kalır. Aynı şekilde başa da 3. Bunları çarparsak 3 4 = 4 çıkar. Bu sorunun çözümüne yüzler basamağından başlanabilir miydi? Deneyelim: İlk kutuya 5 hak var, ikinci kutuya 4. Eee, son kutuya kaç? diyorsun ama ya bu sayıyı çift yapan değerler ilk kutularda kullanılmışlarsa? Belki de son kutuya hiç hak kalmadı! Belki de 1 tane kaldı, belki de si de hala duruyor. Demek ki kutu yönteminde ilk önce mecbur olduğumuz sayıları yerleştirmemiz gerekir. Başlamaya mecbur olmadığımız kutular, ne kaldıysa onunla yetinmek zorundalar. 7) Rakamları farklı kaç değişik üç basamaklı tek sayı yazılabilir? Bu soruda da mecbur olduğumuz basamak son basamak. O halde son kutuya 3 yazalım. Rakamları farklı istendiğinden, birer birer azalarak diğer kutulara sayılarımızı yerleştirip çarpalım: = 36 bulunur. Bu soruyu, istersek yazılabilecek tüm rakamları farklı değişik üç basamaklı sayılardan çift olanları çıkararak da bulabilirdik: 60 4 = 36. 5

6 8) Rakamları farklı, 300 den büyük üç basamaklı kaç değişik çift sayı yazılabilir? Yukardaki kutular niye boş, merak ediyorsunuz değil mi? Anlatayım: Mecbur olduğumuz kaç kutu var? Bu sefer. Çünkü hem son basamağa çift sayılar gelecek, hem de ilk basamağa 3 veya daha büyük rakamlar. Eee, hangisinden önce başlamamız gerekir? İkisinden de başlayamazsı Kutu yöntemini kullanabilmek için başlamaya mecbur olduğun kutu sayısı en çok 1 olmalı. O halde ne yapacağız? İki farklı kutu çizeceğiz. Bir mecburiyetimizi birinde, diğer mecburiyetimizi ise diğerinde gidereceğiz. Sorunu bir de başka türlü açıklayayım: Son basamağa {, 4} olmak üzere iki hakkımız var ya, eğer son basamağa gelirse bu ilk basamak için tehdit oluşturmaz ama ya 4 gelirse? 4 ü son basamakta kullandığımız için artık ilk basamakta kullanamayız. İşte bundan dolayı bir sona nin geldiği kutu çizeceğiz, bir de 4 ün geldiği. Son basamağı olan: Son basamakta kullanıldığından ilk basamakta 4 ü kullanabiliriz. İki rakam kullanıldığından onlar basamağına 3 hakkımız kalır. Bun-dan dolayı bu seçeneğin cevabı 9 dur. Son basamağı 4 olan: 3 1 Burada da son basamakta 4 kullanıldığından ilk basamağa sadece {3, 5} sayıları kalır. Yine iki rakam kullanıldığından ortadaki kutuya 3 hak kalır. Bu seçeneğin de cevabı 6 dır. İki seçenek sonuçları toplanırsa = 15 bulunur. 9) 100 den büyük dört basamaklı 5 ile bölünebilen 4 basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? Rakamları farklı denmediğinden bu sefer tehlike yok gibine geliyor değil mi? Sadece mecbur olduğumuz tek şey var, o da son rakamın 5 olması zannediyorsun. Hayır, durum bu kadar basit değil. Çünkü ilk rakam 1 olsa, ikinci rakam 1 olamaz. Ama ilk rakam, 3, 4, 5 rakamlarından biri olsa ikinci rakam 1 olabilir. O halde yine kutu çizmemiz gerekir. İlk basamağı 1 olan: İlk basamağı 1 olmayanlar: İlk seçenekte 0, ikinci seçenekte 100 sayı olduğundan cevabımız 10 olmalıdır. 10) Rakamları çarpımı çift olan üç basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? Bir sayının rakamları çarpımının çift olması için ne olması gerekir? En az bir rakamı çift olmalı. Bu ne demek? Sadece bir rakamı çift olsa da olur, iki rakamı çift olsa da olur, üç rakamının üçü çift olsa da olur. E, bunlar için üç hatta daha çok kutu gerekir. Biz bunun yerine tüm sayılardan rakamları çarpımı tek olanları çıkartacağız. Zira bu çok kolay. Çünkü bir sayının tüm rakamları tek sayı oldu mu, rakamlarının çarpımı zaten tek olur. Üç basamaklı 15 değişik sayı yazılabileceğini bulmuştuk. Şimdi de tüm rakamları tek sayı olan kaç tane üç basamaklı değişik sayı yazabileceğimizi bulalım: Her kutuya mecburen {1, 3, 5} rakamlarından biri gelmeli. Rakamları farklı istenmediğinden = 7 tane böyle sayı yazılabileceğini anlarız. O halde sorunun cevabı 15 7 = 98 tir. Örnek. {0, 1,, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak kaç değişik rakamları farklı üç basamaklı çift sayı yazılabilir? Çözüm: Bu sorunun, üstte on şıkta çözdüğümüz sorudan farkı var. Çünkü bu sefer 0 sayısı da kullanılacak. Diğer rakamların hepsi ilk basamakta kullanılabilecekken, sıfırın böyle bir hakkı yok. Kullanmayız biter hocam, ne var ki? diyorsundur, haklısın ama bu soruda bir de sayının çift olması isteniyor. Yani 0 son basamakta kulanılırsa, ilk rakam için artık tehdit oluşturmaz ama ya son rakam da 0 değil de veya 4 kullanılmışsa? İşte bu yüzden iki farklı kutu çizmek zorunda kalacağız. Ama son rakamın çift olma zorunluluğu olmasa tek kutu işimizi görürdü, bunu da bilin Son basamağı 0 olan: Son basamağı veya 4 olanlar: 4 4 İlk durumda 0, ikinci durumda ise 3 değişik sayı elde ettik, bunları toplarsak = 5 değişik sayı yazılacağını anlarız. 9. M = {1,, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı rakamları farklı kaç değişik sayı yazılabilir? 6

7 30. A = {1,, 3,4} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? 31. B = {0, 1,, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı rakamları farklı 400 den küçük kaç çift sayı yazılabilir? 3. C = {0, 1,, 3, 5, 8, 9} kümesinin elemanlarıyla 3000 ile 8000 arasında kaç farklı sayı yazılabilir? 33. D = {0, 1,, 3, 4, 5, 9} kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek üç basamaklı rakamları farklı sayıların kaç tanesi 15 ile kalansız bölünür? 34. E = {1,, 3, } kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek rakamları farklı üç basamaklı sayıların adedi 10 ise s(e) kaçtır? Oturma, dizilme, sıralanma. Sakın kıpraşma! manasında değil tabii ki Şimdi de bir miktar kimsenin/nesnenin boş buldukları bir yere/sıraya/rafa kaç değişik biçimde oturabileceğini/dizilebileceğini/sıralanacağını bulmaya çalışacağız. İşimiz yok ya! Yine örneklerle açıklayalım ama ilerde permutasyon konusunda bu soruları farklı şekillerde çözebileceğimizi de belirtelim. Bazen daha kısa ama bazen daha uzun. Örnek. Ahmet ve Mehmet in aralarında bulunduğu 5 kişi bir sıraya; i. Kaç değişik şekilde oturabilir? ii. Ahmet ile Mehmet yan yana olmak üzere kaç değişik şekilde oturabilir? iii. Ahmet ile Mehmet birbirlerine küsler ve bundan dolayı yan yana olmak istemiyorlarsa kaç değişik şekilde oturabilirler? iv. Ahmet ile Mehmet arasında her defasında sadece 1 kişi olmak kaydıyla kaç değişik şekilde oturabilirler? Çözüm: i. 5 kişi olduğundan 5 li bir kutu çizelim Sıranın en başına 5 kişinin 5 i de oturabilir. Onun sağına aday 4 kişi kaldı. Böylece ortaya 3, ortanın sağına da aday kaldı. En sağa da 1 kişi. O halde = 5! = 10 değişik şekilde oturabilirler. ii. Madem Ahmet ile Mehmet ayrılmak istemiyorlar, biz de onları bir iple bağlayalım. Artık Ahmet nereye giderse, Mehmet de oraya gideceğinden sanki tek kişi gibi oldular. 5 kişi bir sıraya 5! değişik şekilde oturuyorsa 4 kişi de 4! = 4 değişik şekilde oturur. Ama bu 4 durumun hepsinde Ahmet ile Mehmet yer değiştirebilirler. Bundan dolayı cevap 48 olmalıdır. iii. Toplam durumdan yan yana olma durumlarını çıkartırsak, yan yana olmama durumlarını bulmuş oluruz. O halde cevap = 7 dir. iv. Ahmet i A ile, Mehmet i M ile diğer üç insanı da X ile gösterelim. AXMXX, XAXMX ve XXAXM durumları mümkündür. Bir de A ile M yer değiştirirler, onu da unutmayacağız. Üç tane farklı X insanı kendi arasında 3! kadar yer değiştirirler, bir de A ile M nin yer değiştirme durumu olduğundan cevabımız 3!! = 1 dir. Örnek. 7 kişilik bir sıraya 5 kişi kaç farklı şekilde oturabilir? Çözüm: Yine 5 kişi olduğundan 5 li bir kutu çizeceğiz İlk adamın oturmak için 7 seçeneği var. İkincisinin 6. Üçüncüsünün 5. Dördüncüsünün 4. Sonuncusunun ise 3. Bundan dolayı cevabımız = 50 Örnek. 4 farklı matematik, 3 farklı geometri kitabı bir rafa; i. Kaç farklı şekilde dizilebilir? Matematik kitapları birbirlerinden, geometri kitapları da birbirlerinden farklı olduğundan aslında 7 farklı kitap vardır. Bundan dolayı cevap 7! olur. ii. Geometri kitapları birbirinden ayrılmamak üzere kaç değişik şekilde dizilebilir? Madem geometri kitapları birbirinden ayrılmayacak, bunları bir iple birbirlerine bağlayalım. Hepsi birlikte hareket edeceğinden tek bir kitapmış gibi davranırlar. 4 matematik kitabıyla birlikte ortada 5 kitap varmış gibi olur. 5 kitap da bir rafa 5! kadar değişik şekilde dizilir. Ama geometri kitapları da bu 10 dizilişin her birinde kendi aralarında yer değiştirebilirler. Bundan dolayı cevap 5! 3! = 70 dir. 7

8 35. 4 kişi 8 kişilik bir sıraya kaç değişik şekilde oturabilirler? 36. Belli üç kişi bir arada olmak kaydıyla 7 kişi bir sıraya kaç değişik şekilde oturabilir? 37. Belli üç kişinin üçü birden yanyana olmamak üzere 7 kişi bir sıraya kaç farklı şekilde oturabilirler? farklı matematik, 4 farklı fizik kitabı bir rafa aynı dersin kitapları yan yana olmak üzere kaç değişik şekilde dizilebilir? farklı matematik, 4 farklı fizik, 5 farklı kimya kitabı bir rafa dizilecektir. Matematik kitapları birbirinden ayrılmamak üzere kaç değişik şekilde diziliş sağlanabilir? 40. Üstteki soruda fizik kitabı ile başlayıp, fizik kitabı ile biten bir sıralama kaç değişik şekilde yapılabilir?. r < n olduğu bir durumda, n tane farklı nesnenin r tanesini aynı anda seçerek sıraya dizersek, yani bu nesnelerle bir sıralı r li oluşturursak, bu sıralamaya n nin r li bir permutasyonu denir. Oluşturabileceğimiz tüm sıralı r liler de n nin r li permutasyonlarının tümünü verir. Kaç farklı sıralı r li yapılabiliyorsa, n nin r li permutasyonu o kadardır denir. Örneğin, A = {a, b, c, d} kümesinden aynı anda 3 eleman seçelim. Bunlar da örneğin a, b, c olsun. O halde bca, A kümesinin 3 lü bir permutasyonudur. Peki seçtiğimiz bu elemanları başka türlü sıraya dizebilir miydik? Tabii ki, abc, acb, bac, bca, cab, cba gibi 6 farklı şekilde dizilebilirlerdi. O halde A nın 3 lü permutasyonlarının sayısı 6 dır deriz. Eğer 4 elemanın 4 ünü de seçseydik, abcd, abdc, acbd, acdb, gibi 4 farklı diziliş meydana gelirdi ki A nın 4 lü permutasyonlarının sayısı da 4 tür derdik. Dikkat ederseniz, A kümesinin 3 lü permutasyonlarının sayısı 6 yani 3!, 4 lü permutasyonlarının sayısı da 4 yani 4! çıktı, demek ki bu hesaplamanın faktöryelle bir alakası olmalı diye şüpheye düştük. Yanılmadık, var! Ama tabii ki r! değil. Öyle olsaydı 1 li permutasyonların sayısı 1! = 1 çıkmalıydı, halbuki A kümesinin a, b, c, d olmak üzere 4 farklı 1 li permutasyonu vardır. O halde n nin r li permutasyonlarının sayısı kaç? Şimdi bu soruya cevap arayacağız. Başlıyoruz: n nin r li permutasyonlarının sayısı. Önce r tane eleman seçeceğiz, sonra bu r tane elemanı değişik değişik sıralara dizeceğiz. Bunu yapabilmek için başkan ve yardımcılarını seçtiğimiz örneği aklınıza getirin. 1 başkan, yardımcı ve 1 sekreter seçtiğimizden 4 lü bir kutu çizmiştik. Burada da r tane eleman seçeceğimizden r li bir kutu çizeceğiz. Nasıl ki başkana 8 aday var diye başkan kutusuna 8 yazmıştık, burada da ilk elemanın kutusuna n yazacağız. Sonraki kutuya (n 1), bir sonrakine (n ) filan yazacağız ve bu böyle devam edecek. r.inci kutuya ise (n r + 1). Şimdi geriye bunları çarpmak kaldı. n(n 1)(n ) (n r + 1) n( n 1)( n )...( n r+ 1)( n r)( n r 1) = = ( n r)( n r 1) ( n r)! Zor değilmiş değil mi? İşte bu n nin r li permutasyonu sayısı da P n veya P(n, r) ile gösterilir. Unutmamamız gereken bu eşitliği tekrar r yazalım: P(n, r) = ( n r)! Uyarı. Biraz önceki işlemlerin başında bulduğumuz P(n, r) = n (n 1) (n ) (n r + 1) eşitliği gereği, n nin r li permutasyonunu yani P(n, r) yi pratik yoldan hesaplamak isteyenler n den başlayan ve birer birer azalan r tane sayıyı çarpmalılar. Örneğin, P(11, ) = 11 10, P(10, 3) = , P(15, 4) = gibi 8

9 Teorem. P(n, 0) = 1. Kanıt: P(n, 0) = = ( n 0)! n! = 1. Teorem. P(n, 1) = n n( n 1)! Kanıt: P(n, 1) = = = n. ( n 1)! ( n 1)! Teorem. P(n, n) = Kanıt: P(n, n) = = = ( n n)! 0! Soru. P(n, 4) = 4 P(n, 3) olduğuna göre n kaçtır? Çözüm: = 4 ( n 4)! ( n 3)! olduğundan (n 3)! = 4(n 4)! yani (n 3)(n 4)! = 4(n 4)! olur ki n = 7 dir. Soru. 10 kişilik bir grupta herkes birbirine tokat atarsa, toplam kaç tokat atılmış olur? Çözüm: (A, B) sıralı ikilisi, A insanı B insanına tokat atmış demek olsun. Bu on insana isim verirsek, bu isimlerle yapabileceğimiz tüm sıralı ikililer bize atılmış bir tokat verir. O halde P(10, ) = 10 9 = 90 tokat atılmış olur. Soru. 10 kişilik bir grupta herkes birbiriyle dans ederse, toplam kaç dans edilmiş olur? Çözüm: (A, B) sıralı ikilisi, A insanı B insanıyla dans etti demek olsun. Ama bu aynı zamanda B insanının da A ile dans etmiş olduğunu söyler. Yani deminki gibi çözeceğiz ama her dansı iki kere saymış olacağımızdan (ama ortada edilmiş tek dans olduğundan) cevabı ikiye böleceğiz. P(10, )/ = P(n, ) + P(n, 3) = 5 P(n, 1) ise n kaçtır? 4. P(n+, ) = P(n+1, ) ise n kaçtır? 43. P(10, ) + P(9, 3) = P(n, 1) ise n kaçtır? 44. Herkesin birbirine hediye aldığı bir toplulukta toplam 110 hediye verilmişse, bu toplulukta kaç kişi vardır? Soru. A = {a, b, c, d} kümesinin içinde a bulunan 3 lü permutasyonlarının sayısı kaçtır? Çözüm: Önce a yı n olur n olmaz diye kenara bir ayıralım. A kümesinin a dışındaki elemanlarının kaç değişik li permutasyonu var onu hesaplayalım, sonra bunların arasına a yı koyarız. P(3, ) = 6 olur. Bu altı li permutasyonun hepsinde a yı en başa da koyabiliriz, iki elemanın arasına da, en sona da O halde 3 6 = 18 tane içinde a bulunan 3 lü permutasyon vardır. Bu soruyu ilerde kombinasyon dersinde farklı bir şekilde daha çözeceğiz. Ben size o yolu tavsiye ederim. Soru. A ={a, b, c, d, e, f, g} kümesinin a ve b elemanlarını yan yana bulunduran 5 li permutasyonlarının sayısı kaçtır? Çözüm: Biz a ile b elemanlarını, birbirlerinden ayrılmasınlar diye, ab gibi tek bir elemanmış gibi düşünelim. O halde şu an A kümesi 7 değil, 6 elemanlı olur. ab elemanını yine n olur n olmaz diye kenara ayıralım. Kalan 5 eleman ile değişik sıralı 3 lüler yapıp, aralara bu ab elemanını serpiştireceğiz. Böylece 5 li permutasyonlar oluşacak. c, d, e, f, g elemanlarıyla P(5, 3) = 60 tane sıralı 3 lü yapılabilir. Bu ab leri en başa koyabileceğimiz gibi, birinci ile ikinci elemanın arasına da koyabiliriz, ikinci ile üçüncü elemanların arasına da, en sona da. Yani 4 seçenek var. O halde içinde ab bulunan 5 li permutasyon sayısı 60 4 = 40 tür. Son dikkat edilmesi gereken ise soruda ab bulunan demiyor, a ile b nin yan yana bulunduğu diyor, yani ba olsa da olur demek istiyor. Bulduğumuz sonucu ile çarparsak soruyu çözmüş oluruz, cevabımız 40 = 480. Kombinasyon dersinde bu soruyu tekrar çözeriz. 45. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permutasyonlarının kaç tanesinde b eleman olarak bulunur? 9

10 46. B = {a, b, c, d, e} kümesinin 4 lü permutasyonlarının kaç tanesinde a veya b eleman olarak bulunur? 47. C = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 3 lü permutasyonlarının kaçında a bulunur ama e bulunmaz? 48. F = {1,, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarıyla içinde 1 ya da yi barındıran kaç farklı 3 lü permutasyon yazılabilir? Tekrarlı. n 1 tanesi birinci türden, n tanesi ikinci türden, n 3 tanesi üçüncü türden,, n r tanesi r ninci türden olmak üzere n 1 + n + n n r = n tane elemanın birbirlerinden farklı dizilişlerine birer tekrarlı permutasyon denir. Böyle bir diziliş n1!. n!... nr! farklı şekilde yapılabilir. Örnek. MUSTAFA kelimesinin harfleri ile anlamlı veya anlamsız kaç değişik 7 harfli kelime yazılabilir? Çözüm: MUSTAFA kelimesinin tüm harfleri farklı olsaydı, bu harflerle 7! tane farklı kelime yazabilirdik ama burada iki tane A olduğundan, yani bunlar kendi aralarında yer değiştirseler bile oluşacak yeni kelime eskisiyle aynı olacağından, 7! sayısı! e bölünmelidir. 7! 5040 O halde cevabımız = = 50.! Örnek. MATEMATİK kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 7 harfli; 1) Kaç değişik kelime yazılabilir? Hepsi farklı harf olsaydı 9! tane değişik kelime yazabilirdik. Ama iki tane M, iki tane A, iki tane T 9! harfinden dolayı kadar değişik kelime yazılabilir.!.!.! ) E harfiyle başlayan kaç değişik kelime yazılabilir? Madem ki E harfi mecbur başta olacak, al E yi başa koy. Kaç harf kaldı? 8 değil mi? Yani MATMATİK kelimesinin harfleriyle kaç değişik kelime yazabilirsen o kadar E harfiyle başlar. Bu 8! da tanedir.!.!.! 3) M harfiyle başlayıp, K harfiyle biten kaç değişik kelime yazılabilir? Şimdi de M yi başa, K yı sona koy. ATEMATİ kelimesinin harfleriyle kaç değişik 7 harfli kelime 7! yazabilirsen cevap odur. O halde cevap olur.!.! 4) Sesli harfle başlayıp, sesli harfle biten kaç değişik kelime yazılabilir? Önce kaç tane sesli harfimiz var, ona bakalım. A, A, E, İ olmak üzere 4 tane. Peki, bunlarla kaç farklı şekilde harfli kelime yapabileceğimizi bulalım: = 1. Bu 1 farklı iki harfli kelimenin bi- 4!! rinci harfleri oluşturacağımız 9 harfli kelimenin ilk harfleri, ikinci harfleri de son harfleri olacak. Yalnız, iki durumda (başa E, sona İ ve başa İ, sona E harfleri geldiğinde), ortadaki 7 harfli kelime MTMTKAA olur, diğer 10 durumda ise ortadaki kelime MTMTKS 1 S olur. O halde 7! 7! 7! + 10 = 11!.!.!!.!!.! tane değişik kelime yazılabilir. Örnek sayısının rakamlarıyla 6 basamaklı ve birbirinden değişik; 1) Kaç sayı yazılabilir? Hepsi farklı rakam olsaydı 6! değişik sayı yazılabilirdi. Üç tane 1, iki tane olduğundan dolayı 6! = 60 değişik sayı yazılabilir. 3!.! ) 3 ile başlayan kaç sayı yazılabilir? Madem 3 ile başlayacak. 3 ü aldık, başa koyduk. Kalan sayının rakamlarıyla kaç değişik sayı yazabilirsek, onları getirip 3 ün sağına koyacağız. O 5! halde 111 sayısıyla = 10 sayı yazılabildiğinden cevap 3!.! 10 dur. 3) Kaç çift sayı yazılabilir? Çift sayı olabilmesi tek durum ile mümkün, sayının son rakamının olmasıyla. Hangisinin olduğunun önemi yok, lerin birini al, sona koy. Ge- 10

11 riye ne kaldı? Bunun rakamlarıyla sayı yazılacağından cevabımız 0 dir. A A B biçimde gidilebilir? B A A B B 5! = 0 3! Örnek. Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan B ye en kısa yoldan kaç değişik Çözüm: Yolun en kısa olması için, daima sağa veya yukarıya gitmeliyiz. 1 kere bile sola veya aşağıya gidersek, yol uzamış olur. O halde yan şekildeki gibi sağa doğru hareket etmeyi 1 ile, yukarı doğru çıkmayı ile gösterelim sayısında rakamlar yer değiştirdikçe A dan B ye giden yollar da değişir ama hala en kısa yol olur. Demek ki bu sayının rakamları ile kaç farklı 10 basamaklı sayı yazabilirsek, o kadar farklı rota belirlemiş oluruz. Bundan dolayı cevabımız Örnek. A dan C ye en kısa yoldan; i. B ye uğramak kaydıyla ii. B ye uğramamak kaydıyla kaç farklı şekilde gidilebilir? Çözüm: i. A dan B ye farklı en kısa yol sayısını, B den C ye farklı en kısa yol sayısıyla çarpacağız, cevap o olacak. 10! = 10 olmalıdır. 3!.7! A dan B ye farklı en kısa yol sayısı 111 sayısının rakamlarıyla kaç değişik dört basamaklı sayı yazılabiliyorsa o kadardır. B den C ye farklı en kısa yol sayısı da 1111 sayısının rakamlarıyla kaç değişik altı basamaklı sayı yazılabiliyorsa o ka- 4! 6! dardır. O halde cevabımız = 60 olmalıdır. 3! 1! 4!! ii. Bulmuştuk, toplam 10 farklı yol vardı, bunların 60 ının B den geçtiğini de demin bulmuştuk, o halde = 60 yolun B den geçmeyen en kısa yol olduğunu söyleyebiliriz. Örnek. Her defasında sadece 1 veya 3 basamak atlayan bir çocuk, 1 basamaklı bir merdiveni kaç değişik şekilde çıkabilir? C C Çözüm: Canı isterse tüm basamakları teker teker çıkar. Bu 1 seçenektir. Canı isterse sadece 1 kere 3 basamak atlar, diğerlerini teker teker çıkar. Bu da sayılarının kaç değişik şekilde dizilebileceği kadardır. Veya kere 3 basamak atlar, diğerlerini yine tek tek çıkar. Burada da sayılarını kaç değişik şekilde sıraya dizebileceğimiz kadardır. Benzer durumda ve 3333 durumu vardır. O halde cevap: 10! 8! 6! = 60. 9!!.6! 3!.3! 49. GEOMETRİ kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 8 harfli kaç değişik kelime yazılabilir? 50. TASTAMAM kelimesinin harfleriyle A harfiyle başlayıp A harfiyle biten kaç farklı 8 harfli kelime yazılabilir? aynı matematik kitabı, 4 aynı fizik kitabı bir rafa kaç değişik şekilde dizilebilir? 5. Üstteki soruda matematik kitabı ile başlayan fizik kitabı ile biten bir sıralama kaç değişik şekilde yapılabilir? sayısının rakamlarıyla kaç değişik 8 basamaklı sayı yazılabilir? sayısının rakamlarıyla kaç değişik 8 basamaklı çift sayı yazılabilir? 55. YAĞCI kelimesinin harfleriyle yazılabilecek harfleri farklı tüm beş harfli kelimeler alfabetik sıraya dizilirse, baştan 7. kelime ne olur? 56. YAĞCI kelimesinin harfleriyle yazılabilecek harfleri farklı tüm 5 harfli kelimeler alfabetik sıraya dizilirse, sondan 5. kelime ne olur? 11

12 57. YAĞCI kelimesinin harfleriyle yazılabilecek harfleri farklı tüm 5 harfli kelimeler alfabetik sıraya dizilirse, YAĞCI baştan hangi sırada olur? 58. YAĞCI kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız, harfleri farklı en çok 4 harfli kelime kaç değişik biçimde yazılabilir? 59. YAĞCI kelimesinin harfleriyle yazılabilecek harfleri farklı tüm 5 harfli kelimelerin kaç tanesi Y harfiyle başlar ama I harfiyle bitmez? 60. YAĞCI kelimesinin harfleriyle sesli harflerin alfabetik sırada olduğu beş harfli anlamlı ya da anlamsız kaç değişik kelime yazmak mümkündür? 61. YAĞCI kelimesinin harfleriyle sessiz harflerin alfabetik sırada olduğu beş harfli anlamlı ya da anlamsız kaç değişik kelime yazmak mümkündür? 6. A noktasından B noktasına, çizgiler üzerinden gitmek şartıyla en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir? 63. A noktasından B noktasına, çizgilerin dışına çıkmadan ve U ya uğramak kaydıyla en kısa yoldan kaç değişik şekilde gidilebilir? 64. Üstteki soruda U dan geçmek yasak ise kaç farklı yol vardır? 65. Her defasında 1 veya 4 basamak atlayan bir çocuk, 1 basamaklı bir merdiveni kaç değişik şekilde çıkabilir? 66. Rakamları çarpımı 300 den büyük 3 basamaklı rakamları farklı kaç doğal sayı vardır? A A U B B Dairesel (Dönel). Sonlu bir kümenin elemanlarının bir çember üzerinde (kapalı bir eğri üzerinde) birbirlerine göre farklı biçimde dizilişlerinin her birine bu elemanların bir dairesel permutasyonu veya dönel sıralaması denir. Toplam diziliş sayısı ise (n 1)! formülüyle hesaplanır. (n 1)! sayısı nerden çıktı? n tane nesnenin, bir sıraya kadar değişik şekilde dizilebileceğini kanıtlamıştık. Bunu unutmayın. Şimdi bu n tane nesneyi sıraya değil de yuvarlak bir masa etrafına oturtalım. Canımız nasıl isterse öyle oturtalım. Sonra herkes aynı yöne doğru birer sandalye kaysın. Sizce birbirlerine göre başka bir sıralama mı elde ettik, yoksa deminkinin aynısını mı? Aynısını değil mi? Peki bu kaymalar ne kadar sürerse sürsün fark etmez, onu da biliyorsunuz değil mi? Yani n tane dizilişin hepsi aslında birbirlerine göre aynı diziliştir. Onun için ilk bulduğumuz sayısını n ye bölmeliyiz, buradan da (n 1)! sayısına ulaşırız. Örnek. 5 kişilik bir aile yuvarlak masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler? Çözüm: Kanıtladığımız üzere (5 1)! = 4! = 4 değişik şekilde oturabilirler. Örnek. 6 kişilik bir aile yuvarlak masa etrafında yemek yiyecektir. i. Anne ile baba yan yana oturacaksa ii. En küçük çocuk, anne ile babanın arasında olacaksa iii. Anne ile baba yan yana olmayacaksa Bu yemek kaç farklı şekilde yenir? Çözüm: i. Madem anne ile baba ayrılmayacak, onları bir iple bağlayalım. Şimdi 5 kişi oldular. 5 kişi yuvarlak masa etrafına 4! = 4 kadar değişik şekilde otururlar. Bir de anne ile babanın kendi aralarında yer değiştirme durumlarını düşünürsek 4 = 48 farklı şekilde olabileceğini buluruz. ii. Bu sefer anne-çocuk-babayı bir iple bağlayalım. Oldular 4 kişi. Yuvarlak masa etrafına 4 kişi 3! = 6 değişik şekilde otururlar. Anne ile baba yine kendi aralarında yer değiştirebilirler, ortadaki çocuk, hala ortada olduğundan sorun yok. O halde cevabımız 6 = 1 dir. iii. 6 kişi yuvarlak masaya 5! = 10 değişik şekilde otururlar. 48 seferinde anne ile babanın yan ya- 1

13 na olduğunu bulmuştuk. O halde = 7 durumda yan yana değillerdir. Örnek. 4 erkek ve 4 kadın yuvarlak bir masada aynı cins iki kişi yan yana olmayacak biçimde kaç farklı şekilde oturabilirler? Çözüm: Önce centilmen olup, şu kadınları bir oturtalım bakalım. 4 kadın yuvarlak masaya 3! = 6 değişik şekilde oturur. 4 kadın oturunca 4 kişilik boş yer kaldı aralarda. İşte bu boş 4 yere 4 erkek oturacak. Ama artık masanın yuvarlaklığının bir ehemmiyeti kalmadı yani. Onun için erkekler 4! = 4 değişik şekilde otururlar. O halde cevap: 6 4 = 144. Soru. 6 farklı anahtar dairesel bir anahtarlığa kaç farklı şekilde takılabilir? Çözüm: Anahtarlık sorularında diğerlerinden farklı bir durum vardır. Çünkü anahtarlar diğer nesnelerden biraz farklıdır da ondan. Aynı farka sahip her nesneye ait sorularda birazdan bahsedeceğimiz ayrıntıya dikkat ediniz. Anahtar problemlerinde anahtarların önü ile arkası aynı kabul edilir ve yapılan herhangi bir dizilişte aslında farklı dizilişin birlikte yapıldığı düşünülür. Örneğin A, B, C isminde 3 farklı anahtarın olduğunu düşünün. Bunları bir anahtarlığa takın. Örneğin ABC sırasıyla taktınız. Şimdi anahtarlığı elinize alın ve şöyle bir havaya fırlatıp yere düşmesini sağlayın. Tekrar elinize aldığınızda anahtarları CBA diziliminde görmeniz mümkün müdür? Pek tabii ki İşte bu yüzden anahtarlık problemlerinde 1 diziliş aslında diziliş demek olduğundan bulduğumuz cevabı ye bölmeliyiz. Şimdi dairesel anahtarlığı bir yuvarlak masa, anahtarları da bu yuvarlak masa etrafına oturan insanlar olarak farzedin. Bu problemin cevabı (6 1)! = 10 olurdu, o halde bizim anahtarlık probleminin cevabı da 10/ = 60 olmalıdır. yan yana gelirler. İşte bu yüzden maskotlu anahtarlıklar dairesel bile olsalar sıra gibi düşünülmelidirler. Peki, bir anahtarlığı maskotlu diye artık havaya atamaz mıyız? Kim tutar bizi? Yani, hala cevabı ikiye bölmeye devam! İşte bu sebeplerden dolayı sorumuzun cevabı 6!/ = 70/ = 360 olmalıdır kişi yuvarlak bir masa etrafında otururken kaç değişik şekilde poz verebilirler? 68. Belli üç kişi birbirlerinden ayrılmamak üzere 7 kişi yuvarlak masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler? erkek ve 5 kadın, yuvarlak bir masa etrafına erkek arasına 1 kadın gelecek biçimde kaç değişik şekilde oturabilirler? farklı anahtar dairesel bir anahtarlığa kaç farklı şekilde takılabilir? farklı anahtar dairesel ve maskotlu bir anahtarlığa kaç değişik şekilde takılabilir? 7. 6 farklı anahtar belli ikisi yan yana olmak kaydıyla dairesel ve maskotlu bir anahtarlığa kaç değişik şekilde takılabilir? Soru. 6 farklı anahtar dairesel ve maskotlu bir anahtarlığa kaç farklı şekilde takılabilir? Çözüm: Şimdi bu maskotlu lafı nerden çıktı diyorsunuzdur. Çiçekli-böcekli si de mi var yoksa? Anahtarlık problemlerinde maskotun işlevi yuvarlak masayı sıraya çevirmektir. Çünkü daha önceden yan yana sayılan anahtarları artık birbirlerinden ayırmıştır. Yuvarlak masa ile sıranın da zaten böyle bir ayrımı yok mudur? ABC insanları bir sıraya otursalar A ile C ye yan yana diyemeyiz ama bir yuvarlak masada her halükarda A ile C 13

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla

Detaylı

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde, PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

Ali ERGİN, Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Saymanın Temel Prensibi

Ali ERGİN, Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Saymanın Temel Prensibi Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr, 011 Cebir Notları Ali ERGİN, Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Saymanın Temel Prensibi M atematikle ilk tanışmamız sayı saymayla başlamıştır desek sanırım yanılmış

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A

Detaylı

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Tekrarlı Permutasyon

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Tekrarlı Permutasyon www.mustafayagci.com.tr, 01 ebir Notları Mustafa ĞI, yagcimustafa@yahoo.com ekrarlı Permutasyon G eçen dersimizde n kişinin n! kadar değişik şekilde sıralanabileceğini öğrenmiştik. Şimdiyse bu n kişinin

Detaylı

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3)

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3) PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : 1 1. P(6, 2) + P(4, 3) işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 44 C) 50 D) 54 5. P(6, n) = 6! eşitliğini sağlayan n doğal sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {7} B)

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25 1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37

Detaylı

PERMÜTASYON - KOMBİNASYON

PERMÜTASYON - KOMBİNASYON PERMÜTASYON - KOMBİNASYON Sayma Yöntemleri Saymanın çeşitli yöntemleri vardır. Bunlardan biri eşleme yolu ile saymadır. Eşleme yolu ile sayma yönteminde sayma sayıları kümesinin elemanları sayılacak nesneler

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır.

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır. Saymanın Temel İlkesi Birinci elemanı A 1 kümesinden, ikinci elemanı A 2 kümesinden,..., n inci elemanı A n kümesinden alınmak koşulu ile; kaç değişik sıralı n li yazılabilir? 1. Aşağıdaki problemleri,

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

Cebir Notları. Nesnelerin Dağılımları Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Nesnelerin Dağılımları Mustafa YAĞCI, www.mustafayagci.com, 2006 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları Bu yazımızda, r ve n birer sayma sayısı olmak üzere, r tane nesneyi n farklı kutuya belli şartlar altında

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS - - - ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon K ombinasyon. n tane farklı elemandan oluşan bir kümenin altkümelerine birer kombinasyon denir.

Detaylı

A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48

A GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ 2. K 5 tam çizgesinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 İşaretlemelerinizde kurşun

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

Ünite 1: SAYMA Konu : Sıralama ve seçme Alt Konu : Toplama ve çarpma yolu ile sayma Neler öğreneceksiniz? Olayların gerçekleşme sayılarını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplamayı öğreneceksiniz.

Detaylı

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları 2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1.

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI. 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin. ÇÖZÜM: 1000a 10b 1000.a b 1. SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI 1) 1000a 10b ifadesi aşağıdaki sayılardan hangisinin çözümlenmiş biçimidir? A) ab B) a0b C) a0b0 D) ab0 E) ab00 1000a 10b 1000.a 100.0 10.b 1.0 a0b0 Doğru Cevap:

Detaylı

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız.

SORULAR. 2. Noktaları adlandırılmamış 6 noktalı kaç ağaç vardır? Çizerek cevaplayınız. MAT3 AYRIK MATEMATİK DERSİ DÖNEM SONU SINAVI 4.0.0 Numarası :..................................... Adı Soyadı :..................................... SORULAR. Prüfer kodu ( 3 3 ) olan ağacı çiziniz.. Noktaları

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

PERMÜTASYON. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: B) Çarpma Kuralı. Benzer şekilde, a 1

PERMÜTASYON. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: B) Çarpma Kuralı. Benzer şekilde, a 1 ERMÜTASYON SAYMANIN TEMEL KURALI A) Toplama Kuralı Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir. Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM)

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) Permütasyon Kombinasyon Binom Açýlýmý Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum

Detaylı

www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları

www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları B u yazımızda, r tane nesneyi n farklı kutuya belli şartlar altında kaç değişik şekilde dağıtabileceğimizi

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

TEST-8. Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D)

TEST-8. Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D) TEST-8 Matematik Yarışmalarına Hazırlık 1 Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D) 2 Yandaki kareden çizgiler boyunca kesilerek çeşitli şekiller

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

Cebir. Notları. Faktöryel Mustafa YAĞCI,

Cebir. Notları. Faktöryel Mustafa YAĞCI, www.mustafayagci.com, 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

YGS MATEMAT K DENEME SINAVI

YGS MATEMAT K DENEME SINAVI MATEMAT K DENEME SINAVI I Muharrem ŞAHİN muharrem49@gmail.com Maatteemaatti ikk Deeneemee Sınaavvı I Muhaarrrreem Şaahi in. 9 8 0 0 0 0 5 işleminin sonucu kaçtır? x x 3. 0, 0, 3 0, 0, olduğuna göre, x

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu

Tanım: (1. Tip Üretken Fonksiyonlar) (a r ) = (a 1, a 2, a 3,,a r, ) sayı dizisi olmak üzere, (a r ) dizisinin 1. Tip üretken fonksiyonu Üretken Fonksiyonlar Ali İlker Bağrıaçık Üretken fonksiyonlar sayma problemlerinin çözümünde kullanılan önemli yöntemlerden biridir. Üretken fonksiyonların temeli Moivre nin 1720 yıllarındaki çalışmalarına

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER

ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER MATEMATİK PROJESİ DANIŞMAN YASEMİN YAVAŞ İSTANBUL-2014 İÇİNDEKİLER AMAÇ... 3 GİRİŞ... 4 TEOREMLER...

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar

Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar Bölüm BÖLÜNEBİLME VE ÇARPANLARA AYIRMA. Bölünebilme Kuralları Bir a doğal sayısı bir b sayma sayısına bölündüğünde bölüm bir doğal sayı ve kalan sıfır ise, a doğal sayısı b sayma sayısına bölünebilir.

Detaylı

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

26 Nisan 2009 Pazar,

26 Nisan 2009 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2009 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 26 Nisan 2009 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır?

2. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? 4. Düzlemsel kodu (planar code) olan ağacın kaç köşe noktası vardır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.06.01 Numarası :. K 6 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin.

25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin. BÖLME VE BÖLÜNEBİLME 25 sayısını 6 ya böldüğümüzde bölüm 4 ve kalan 1 olur. Şekli inceleyin. 25 = 6 x 4 + 1 Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan 12312312 sayısını 123 e bölelim. 123 te 123 bir kere var. Sonra

Detaylı

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI

BÖLÜNEBĐLME KURALLARI YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS - 2 2-2 1 1-1 1 kalanı bulmak için sağdan ve + ile başlamak gerekir BÖLÜNEBĐLME KURALLARI 2 Đle Bölünebilme: tüm çift sayılar, yani birler

Detaylı

Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile ça

Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı sıfır olur? Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile ça Sayılar Mustafa Yağcı, yagcimustafa@yahoo.com Tanım: n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n nin faktöryeli veya kısaca n faktöryel denir. (n!) biçiminde

Detaylı

tmoz.info ozeldersci.com 1 PERMÜTASYON Not Örnek 1.1 FAKTÖRİYEL Örnek Örnek Çözüm Çözüm

tmoz.info ozeldersci.com 1 PERMÜTASYON Not Örnek 1.1 FAKTÖRİYEL Örnek Örnek Çözüm Çözüm Tüm hakları yazarı Bora Arslantürk'e aittir. Kaynak belirtmek şartı ile tüm öğretmen ve öğrencilerimizin - 1 permütasyon kombinasyon olasılık kullanımına açıktır.007 yılı sonuna dek kaynak belirtmek şartı

Detaylı

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI ÜNİTE VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm TEMEL SAYMA KLURALLARI AÇIK UÇLU SORULAR. A = {0,,, 3, 4, } kümesindeki rakamlar kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? 48. A = {0,,

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ

PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJENİN AMACI: Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom açılımı kullanmak suretiyle sorulara

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

SİVAS FEN LİSESİ. Soru Kitapçığı Türü. 25 Nisan 2015 Cumartesi, 9:30 12:30

SİVAS FEN LİSESİ. Soru Kitapçığı Türü. 25 Nisan 2015 Cumartesi, 9:30 12:30 SİVAS FEN LİSESİ SİVAS İL MERKEZİ ORTAOKUL 1. MATEMATİK OLİMPİYATI SINAVI 015 ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI : T.C. KİMLİK NO : OKUL / SINIFI : SINAVLA İLGİLİ UYARILAR: Soru Kitapçığı Türü A 5 Nisan 015 Cumartesi,

Detaylı

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM 2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM TEST 1 1) Güzelyurt ta oturan bir aile piknik için arabayla Karpaz a gidip, geri dönüyor. Bu yolculuk sonunda arabanın km göstergesini kontrol

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik

Detaylı

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin Bu yazıda hile yapıyorum... Bir yerde bir hata var. Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin K endinden ve birden başka sayıya bölünmeyen a asal denir. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 asal dır. Ama 35 asal

Detaylı

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR

OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR OBEB OKEK ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 4, 36 ve 48 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü kaçtır? A) 1 B)16 C) 18 D) 4 E) 7 1) Sayılarınhepsini aynı anda asal çarpanlarına ayıralım; 4 36 48 1 18 4 6 9 1 3 9 6

Detaylı

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim.

ÇARPANLAR ve KATLAR ASAL SAYILAR. Örnek-2 : 17 ve 27 sayılarının asal sayı olup olmadığını inceleyelim. SINIF ÇARPANLAR ve KATLAR www.tayfunolcum.com 8.1.1.1: Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade ya da üslü ifadelerin çarpımı seklinde yazar. Çarpan ( bölen ) Her

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

HADİ BAKALIM KOLAY GELSİN DİJİTAL İŞLEM NE UYGULANDI? SİNEMA - TİYATRO - KONSER

HADİ BAKALIM KOLAY GELSİN DİJİTAL İŞLEM NE UYGULANDI? SİNEMA - TİYATRO - KONSER DİJİTAL İŞLEM HADİ BAKALIM KOLAY GELSİN Hesap makinelerini hepimiz kullanmışızdır. O makenilerdeki sayıların yazılışlarını biliyorsunuz. O rakamlarla yapılmış iki işlem bulacaksınız yanda. Ama işlemlerin

Detaylı

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ İSTANBUL BİLİM OLİMPİYATLARI 2017 LİSE MATEMATİK SINAVI. 10 Mayıs 2017 Çarşamba,

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ İSTANBUL BİLİM OLİMPİYATLARI 2017 LİSE MATEMATİK SINAVI. 10 Mayıs 2017 Çarşamba, İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ İSTANBUL BİLİM OLİMPİYATLARI 07 LİSE MATEMATİK SINAVI 0 Mayıs 07 Çarşamba, 09.30 -.30 Öğrencinin, Adı Soyadı : T.C. Kimlik No : Okulu / Sınıfı : Sınav Merkezi : . Bir

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı