EKSENEL SİMETRİK ANİGENİŞLEMELİ BORULARDA KOMPLEKS ÇEVRİNTİLİ TÜRBÜLANSLI AKIŞIN SAYISAL HESAPLANMASI

Transkript

1 383 EKSENEL SİMETRİK ANİGENİŞLEMELİ BORULARDA KOMPLEKS ÇEVRİNTİLİ TÜRBÜLANSLI AKIŞIN SAYISAL HESAPLANMASI Tai KARASU ÖZET 5 B bildii,.5 ile.8 5 gibi iki faklı Reynolds sayısı için eksenel simetik anigenişlemeli bolada süekli, sıkıştıılamayan, kompleks çeintili tübülanslı akışın kapsamlı bi çalışmasının sayısal esaplama sonçlaını snmaktadı. Hibit yöntemiyle geleneksel sonl acim metodn kllanaak, SIMPLE algoitmasına dayanan bi bilgisaya pogamı geliştiilmişti. Standat yüksek Reynolds sayılı k-ε tübülans modeliyle beabe, kütle e momentm konm denklemleinin sayısal çözümlei, iteatif bi sayısal çözüm tekniğini kllanaak sağlanmıştı. Katı cidala yakınında cida fonksiyonlaı kllanılmıştı. Eksenel simetik anigenişlemeli bolada çeşitli eksenel kesitlede, eksenel ız, tübülans kinetik eneji, tübülans kinetik eneji kaybolma miktaı, tübülans iskozite adyal pofillei, bo simeti ekseni boynca eksenel ızın değişimi e eksenel simetik anigenişlemeli boda üst cida boynca cida kayma geilmesinin dağılımı için sayısal esaplamala snlmş e deneysel ölçümlele kaşılaştıılmıştı. Sayısal esaplama sonçlaı deneysel blglala iyi ym göstemektedi.. GİRİŞ Bi eksenel simetik anigenişlemeli boda aşağı akıştaki ayımlı tübülanslı akış alanı e iki temel e patiksel göüş noktasından dolayı büyük öneme saipti. Şekil de gösteildiği üzee, b akış alanı çok kamaşık olp bi potansiyel göbek, tübülans seiyelei yüksek eği bi sebest kayma tabakası, biincil bi çeintili akış bölgesi e basamağın çok yakınında ikincil bi çeintili akış bölgesi eya köşe çeintisinden olşmşt. Cidada kayma tabakasının bileşmesinden sona, akış eksenel simetik anigenişlemeli bo boynca ileleyeek gelişmektedi. Eksenel simetik anigenişlemeli bolada kompleks çeintili tübülanslı akış üzeine pekçok çalışmala yapılmıştı. Gold et al. [], Dett et al. [], Steenson et al. [3], Catedi [4], Kaas [5-9], Moon e Rdinge [] ile Faaloo et al. ın [] çalışmalaı ilgi çekici çalışmala aasındadı. B aaştımada, Faaloo et al. [] ile Moon e Rdinge in [] deneysel ölçümlei standat yüksek Reynolds sayılı k-ε tübülans modelinin geçeliğini kanıtlamada kllanılmıştı.. MATEMATİKSEL VE FİZİKSEL MODEL.. Haeket Denklemlei e Tübülans Modeli Eksenel simetik anigenişlemeli bolada sıkıştıılamayan, kompleks çeintili tübülanslı akışın esaplanmasında kllanılan matematiksel e fiziksel model, akışı yöneten aeket denklemleinin

2 384 II. ULUSAL HİDROLİK PNÖMATİK KONGRESİ VE SERGİSİ tübülans modeli denklemleiyle beabe aynı anda çözümünü geektimektedi. Süeklilik, momentm, tübülans kinetik eneji e tübülans kinetik eneji kaybolma miktaı konmn gösteen taşınım denklemlei, süekli dm e eksenel simetik silindiiksel koodinatlada genel bi difeansiyel denklem alinde aşağıdaki gibi ifade edilebili: ( ) ( ) Γ Γ ρ ρ S () bada genel bi bağımlı değişkendi. e değişkenlei eksenel e adyal ız bileşenleidi, ρ akışkanın yoğnlğ, Γ taşınım katsayısı, S ise kaynak teimidi. B aaştımada kllanılan tübülans modeli Lande e Spalding in [] k-ε modelidi. Basınç, basınç düzeltme denkleminden çıkaılmıştı [3]. Taşınım denklemlei, katsayıla e kaynak teimle Tablo de özetlenmişti. Tablo. Haeket denklemlei, katsayıla e kaynak teimle Γ S t μ μ e μ μ e μ e P e μ μ e μ e μ e P k k σ μ e ρ ε G σ ε μ e ( ) ρ ε C C G k ε ε Not :. ε / C μ ρ k t μ. Tübülans modeli sabitleine aşağıdaki değele eilmişti []:.3 σ ε., k σ.9, C.44, C.9, μ C 3. t μ G Şekil. Koodinat sistemi e anigenişlemeli bo akış geometisi. U ef Kayma tabakası Çeintili akış bölgesi Yeniden bileşme noktası D in d Ro

3 385.. Sını Koşllaı İncelenen eksenel simetik anigenişlemeli bolada kompleks çeintili tübülanslı akış için sını koşllaı aşağıda snlmşt. Faaloo et al. ın [] anigenişlemeli bosnn giişinde eksenel ızın adyal dağılımı deneysel ölçümleden belitiliken, Moon e Rdinge in [] anigenişlemeli bosnn giişinde ise deneysel dma kaşılık olan düzgün bi eksenel ız dağılımı belitilmiş, adyal ız ise sıfıa eşit kılınmıştı. k e ε tübülans büyüklükleine giiş değelei emek için ampiik bağıntıla ef o kllanılmıştı. Yani, k.5 (eya ) e ε (C μ k /.3R ) dı. Bada büyük çaplı bonn giişinde küçük çaplı bodaki simeti ekseni üzeindeki ızdı, R ise büyük çaplı bonn yaıçapıdı. Çıkışta tamamıyla gelişmiş akış koşllaının üküm südüğünün kabl edilebilmesi için, çıkış düzlemi çeintili akış bölgesinden çok zakta alınmıştı. Yani, çıkış düzleminde adyal ız sıfı kabl edilmiş e bağımlı değişkenlein akış yönündeki tüm gadyantlaının sıfı oldğ asayılmıştı. Hesaplamala giiş düzleminden aşağı akışta Faaloo et al. ın [] anigenişlemeli bos için 35 e Moon e Rdinge in [] anigenişlemeli bos için ise basamak yüksekliğindeki znlkta yeleştiilen çıkış düzlemine kada yapılmıştı. Anigenişlemeli bo ekseninde simeti kabl edilmişti. Yani, ( / ), bada, k ya da ε olabili. Üst e basamak cidalaında ız bileşenlei, ile tübülans büyüklüklei k e ε sıfıa eşit kılınmıştı. Katı cida yakınındaki ağ noktalaında k e ε nn değelei Lande e Spalding in [] cida fonksiyonlaı kllanılaak esaplanmıştı. Sayısal ıaksamaya neden olmamak için başlangıç değelei tüm esaplama alanı boynca ygn olaak belitilmişti..3. Sayısal Çözüm Yöntemi B sayısal aaştımada, geleneksel sonl acim yaklaşımı kllanaak, Patanka e Spalding in [3] SIMPLE algoitmasına dayanan bi bilgisaya pogamı geliştiilmişti. () nmaalı kısmi difeansiyel denklemlei ibit yöntemiyle bi kontol acme dayanan sonl fak metodyla ayıklaştıılmıştı. Sını koşllaıyla bağımlı olaak kısmi difeansiyel denklemlein sonl acim biçimlei, üç köşegenli matis fomyla bilikte, kolon kolon çözüm yöntemini kllanaak iteatif olaak çözülmüştü..4. Hesaplama Ayıntılaı Sayısal esaplamala IBM ES / 9 bilgisayaında yapılmıştı. Bi önek olaak, Faaloo et al. ın [] akış dm için kllanılan sayısal ağ Şekil de gösteilmişti. Ağ, eksenel simetik anigenişlemeli bonn cidalaı yakınında e çeintili akış bölgesinde yoğn ağ çizgilei konsantasyonyla düzgün olmayan bi şekilde olştlmşt. Heiki akış dm için optimm ağ-bağımsız bi çözüm elde etmek için faklı ağ büyüklükleiyle ağ testlei yapılmıştı. B aaştımada snlan tüm esaplamala ağ-bağımsızdı. Tablo eiki akış dm için esaplama geeksinimleinin ayıntılaını özetlemektedi. B tabloda N yakınsamış bi çözüm elde etmek için yapılmış olan iteasyonlaın sayısıdı. T ise cp saniye cinsinden zaman e T/N de iteasyon sayısı başına zamandı. 3/ o o ef Şekil. Faaloo et al. ın [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos için sayısal ağ dağılımı.

4 386 Tablo. Akış dm, Reynolds sayısı, ağ büyüklüğü, cp zamanı e iteasyon sayısı. T Akış Dm Re Ağ Büyüklüğü cp zamanı N T / N ( ) () (saniye) Faaloo et al. [] Moon e Rdinge [] BULGULAR VE TARTIŞMA Eksenel simetik anigenişlemeli bolada kompleks çeintili tübülanslı akış için iki faklı Reynolds sayısında bilgisaya esaplamalaı yapılmış e esaplamalaın sonçlaı Faaloo et al. [] ile Moon e Rdinge in [] deneysel ölçümleiyle kaşılaştıılmıştı. Faaloo et al. ın [] deneysel ölçümlei b aaştımaya esas teşkil etmek üzee biinci olaak seçilmişti. Eksenel simetik anigenişlemeli bo D/d.5 genişleme oanına saipti. Giişte akışın Reynolds sayısı.5 5 ti (Re ef d/ ν, bada giişte simeti ekseni üzeindeki ızdı e d giişteki bo çapıdı). Anigenişlemeli boda esaplama alanı giiş düzleminden aşağı akışta 35 basamak yüksekliğinde () bi eksenel mesafeye kada zatılmıştı. Hesaplanan eksenel ız ile tübülans kinetik eneji adyal pofillei e bnlaın Faaloo et al. ın [] deneysel ölçümleiyle kaşılaştıılması / den 35 e kada olan basamak yüksekliğine dayanan boytsz eksenel mesafelede belitilen dokz eksenel kesitte sıasıyla Şekil 3 e 4 te gösteilmişti. Şekil 3 ten göüldüğü üzee, esaplanan eksenel ız pofillei ile kaşılıklaı olan deneyselle aasında çok iyi bi ym adı. /35 kesitindeki esaplanan eksenel ız pofili, ız dağılımının tamamıyla gelişmiş bi tübülanslı akış biçimine yaklaştığını göstemektedi. Hesaplanan akış ttnma znlğnn takibi olaak /6 kesitinde olştğ blnmşt. Oysa, deneysel akış ttnma znlğnn yaklaşık olaak /8 kesitinde olştğ bildiilmişti. Şekil 4 te gösteilen esaplanan tübülans kinetik eneji pofillei ile ölçülenle aasında elde edilen ym oldkça iyidi. Çeintili akış bölgesinde esaplanan tübülans kinetik eneji pofillei önce ölçülenlein üstünde kalıyoken daa sona / dan sonaki aşağı akış eksenel kesitleinde ölçülenlein altında kalmaktadı. ef.5 R / R in.5 / Hesap lamala Deney U / U ef Şekil 3. Eksenel simetik anigenişlemeli akış bos boynca esaplanan boytsz eksenel ız adyal pofilleinin Faaloo et al. ın [] deneysel ölçümleiyle kaşılaştıılması.

5 387.5 R / R in.5 / Şekil 4. Eksenel simetik anigenişlemeli akış bos boynca esaplanan tübülans kinetik eneji adyal pofilleinin Faaloo et al. ın [] deneysel ölçümleiyle kaşılaştıılması. Bnn nedeni kayma tabakasında üetilen tübülans kinetik enejinin esaplanan akış alanında adyal olaak simeti eksenine doğ yayılamamasıdı. Şekil 4 teka gözden geçiildiğinde göülüyo ki, akış anigenişlemeli bo boynca geliştikçe tübülans kinetik eneji adyal dağılımı azalmaktadı. B olay aynı zamanda esaplamala taafındanda gösteilmişti. Şekil 5 e 6, sıasıyla, Faaloo et al. ın [] eksenel simetik anigenişlemeli bos için esaplanan tübülans kinetik eneji kaybolma miktaı ile tübülans iskozite adyal pofilleini Şekil 3 e 4 teki gibi aynı aşağı akış kesitlei için göstemektedi. Bada, esaplanan pofille sıasıyla giişteki tübülans kinetik eneji kaybolma miktaı ε e tübülans iskozite μ tin Hesaplamala Deney 5 k (m / s ) ile boytsz ale getiilmişti. B şekille, anigenişlemeli bo boynca esaplanan tübülans kinetik eneji kaybolma miktaı ile tübülans iskozite pofilleinin nasıl geliştikleini göstemektedi. Şekil 7, büyük bo çapıyla boytszlaştıılan aşağı akış mesafesinin bi fonksiyon olaak çizilen anigenişlemeli bo ekseni boynca azalan esaplanan simeti ekseni üzeindeki ızı göstemektedi. Şekilden göüldüğü üzee, anigenişlemeli bo akışının giiş bölgesinde simeti ekseni üzeinde esaplanan eksenel ızın azalışı daa çabk, aşağı akış bölgesinde ise daa yaaş olmaktadı. Şekil 8 de eksenel simetik anigenişlemeli bo akışı için esaplanan gei akışın geometik yei () gösteilmişti. Cidadan ölçülen dikey mesafe y büyük bo çapıyla boytszlaştıılmış e büyük bo çapıyla boytszlaştıılan aşağı akış mesafesinin bi fonksiyon olaak çizilmişti. Şekilden göüldüğü üzee esaplanan akış ttnma znlğ takibi.5 in R / R in.5 / ε / ε in Şekil 5. Faaloo et al. ın [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos boynca esaplanan boytsz tübülans kinetik eneji kaybolma miktaı adyal pofillei.

6 R / R in.5 / μ t / μ tin Şekil 6. Faaloo et al. ın [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos boynca esaplanan boytsz tübülans iskozite adyal pofillei. U c (m/s) Şekil 7. Faaloo et al. ın [] eksenel simetik anigenişlemesi için esaplanan simeti ekseni üzeindeki eksenel ızın değişimi.. / D.5 Step y / D / D Şekil 8. Faaloo et al. ın [] eksenel simetik anigenişlemesi için esaplanan gei akışın geometik yei (). olaak /D.9 kesitinde olştğ blnmşt. Son olaak, Şekil 9 da Faaloo et al. ın [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos boynca esaplanan cida kayma geilmesinin dağılımı basamak yüksekliği ile boytszlaştıılan aşağı akış mesafesinin bi fonksiyon olaak gösteilmişti. Şekilden göüldüğü gibi, cida kayma geilmesinin tamamıyla gelişmiş değei takiben /3 kesitinde elde edilmişti.

7 389 τ w (N/m ) / Şekil 9. Faaloo et al. ın [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos boynca esaplanan cida kayma geilmesinin dağılımı. Moon e Rdinge [] taafından yapılan bi eksenel simetik anigenişlemeli bo akışının deneysel incelenmesi çalışması, badaki sayısal çalışma için ikinci deney öneği olaak seçilmişti. Eksenel simetik anigenişlemeli akış bos D/d.48 genişleme oanına saipti. Giişte akışın Reynolds 5 sayısı takiben.8 ti (Re d / ν, bada büyük bonn giişinde küçük bodaki o tamamıyla gelişmiş tübülanslı ız pofilinin simeti ekseni üzeindeki ızıdı e d küçük bonn çapıdı). Şekil da Moon e Rdinge in [] akış dm için kllanılan sayısal ağ dağılımı gösteilmişti. Anigenişlemeli akış bosnda esaplama alanı giiş düzleminden aşağı akışta basamak yüksekliğinde bi eksenel mesafeye kada zatılmıştı. o Şekil. Moon e Rdinge in [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos için sayısal ağ dağılımı.

8 39 Hesaplanan eksenel ız adyal pofillei üst cidadan ölçülen y/d boytsz mesafenin bi fonksiyon olaak /D.7 den 6 ya kada olan sekiz eksenel kesitte belitilen büyük bo çapına dayanan boytsz eksenel mesafele için Şekil de segilenmişti. B şekil basamaktan ölçülen /D boytsz mesafenin bi fonksiyon olaak akış alanının gelişimini göstemek amacıyla çizilmişti. Şekilden göüldüğü gibi, /D nin.75 ten büyük değei için gei akış yokt. Bndan başka, simeti ekseni üzeindeki ızın basamaktan atan mesafe ile tedici olaak azaldığı göülmektedi. Böylece, küçük çaplı bodan büyük çaplı boya olan akış, başlangıçta sanki sebest bi jetmiş gibi aeket ede. /D3 eksenel kesitinde simeti ekseni üzeinde esaplanan ız 47.6 m/s ye kada düşmektedi. Oysa, Moon e Rdinge [] taafından bildiilen deneysel değe 38 m/s di. B esaplanan ile ölçülen değele aasında 9.6 m/s bi fak göstemektedi. Bna ağmen, Moon e Rdinge in [] deneysel noktalaının ebii için tamin edilen belisizliğin 4 m/s ye kada yüksek olabileceği bildiilmişti. /D6 kesitindeki ız pofili, ız dağılımının tamamıyla gelişmiş bi tübülanslı akış biçimine yaklaştığını göstemektedi. /D.75 kesitinde esaplanan ile deneysel eksenel ız adyal pofili aasında bi kaşılaştıma een Şekil, Moon e Rdinge in [] deneysel pofilinin dış bölgede yüksek olaak esaplandığını, eksenel simetik anigenişlemeli bonn göbek bölgesinde ise düşük olaak esaplandığını göstemektedi. Bna ağmen, esaplanan ız pofili deneyselle aynı tendi göstemektedi. Hesaplanan akış ttnma znlğnn takiben /D.75 kesitinde olştğ blnmşt. Oysa, deneysel akış ttnma znlğnn yaklaşık olaak /D.3 kesitinde olştğ bildiilmişti. Şekil 3 simeti ekseni üzeinde esaplanan eksenel ız ile deneysel eksenel ızın bi kaşılaştımasını emektedi. Şekilden göüldüğü üzee, başlangıç bölgesinde simeti ekseni üzeinde esaplanan eksenel ızın azalışı daa çabk, çeintili akış bölgesinden aşağı akışta ise biaz daa yaaştı. Bna ağmen, genel olaak, simeti ekseni üzeinde esaplanan eksenel ızın azalışı ile deneysel eksenel ızın azalışı aasındaki ym kalitatifti. 7 U (m/s) / D y / D Şekil. Moon e Rdinge in [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos boynca esaplanan eksenel ız adyal pofillei.

9 39 7 / D U (m/s) 4 3 Hesaplamala Deney y / D Şekil. Bi eksenel simetik anigenişlemeli bo için esaplanan eksenel ız adyal pofilinin Moon e Rdinge in [] deneysel blglaıyla kaşılaştıılması U c 3 Hesaplamala Deney / D Şekil 3. Bi eksenel simetik anigenişlemeli bo boynca simeti ekseni üzeinde esaplanan eksenel ızın Moon e Rdinge in [] deneysel blglaıyla kaşılaştıılması. Hesaplanan tübülans kinetik eneji adyal pofillei, boytsz şekilde k/ e adyal mesafe /D cinsinden, /D.7 den 6 ya kada büyük bo çapına dayanan boytsz eksenel mesafelede tespit edilen sekiz eksenel kesitte Şekil 4 te snlmşt. B şekil, anigenişlemeli bo boynca akış geliştikçe, tübülans kinetik eneji adyal dağılımının azaldığını göstemektedi. Şekil 5 e 6, sıasıyla, Moon e Rdinge in [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos için, esaplanan tübülans kinetik eneji kaybolma miktaı adyal pofilleiyle efektif iskozite pofilleini, /D.7 den 6 ya kada tespit edilen boytsz eksenel mesafelede sekiz eksenel kesitte göstemektedi. Bada, esaplanan pofille sıasıyla giişteki tübülans kinetik eneji kaybolma miktaı ε in e efektif iskozite μ ein ile boytsz kılınmıştı. B şekille, anigenişlemeli bo boynca esaplanan tübülans kinetik eneji kaybolma miktaı ile efektif iskozite pofilleinin nasıl geliştikleini segilemektedi. Son olaak, Şekil 7 de Moon e Rdinge in [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bosnn üst cidaı boynca esaplanan cida kayma geilmesinin değişimi, büyük bo çapıyla boytsz kılınan aşağı akış mesafesinin bi fonksiyon olaak gösteilmişti. Şekilden göüldüğü üzee, cida kayma geilmesinin tamamıyla gelişmiş değei takiben /D6 kesitinde elde edilmişti. o

10 / D.. /D k / U o Şekil 4. Moon e Rdinge in [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos boynca esaplanan boytsz tübülans kinetik eneji adyal pofillei..5.4 / D.3.. /D ε / ε in Şekil 5. Moon e Rdinge in [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos boynca esaplanan boytsz tübülans kinetik eneji kaybolma miktaı adyal pofillei / D.. /D μ e / μ ein Şekil 6. Moon e Rdinge in [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos boynca esaplanan boytsz efektif iskozite adyal pofillei.

11 393 τ w (N/m ) / D Şekil 7. Moon e Rdinge in [] eksenel simetik anigenişlemeli akış bos boynca esaplanan cida kayma geilmesinin değişimi. SONUÇ B aaştımanın sayısal esaplamalaından çıkaılan başlıca sonçla aşağıdaki gibi özetlenebili. Eksenel simetik anigenişlemeli bolada ayımlı, kompleks çeintili tübülanslı akış, standat yüksek Reynolds sayılı k-ε tübülans modelini kllanaak,.5 5 e.8 5 gibi iki faklı Reynolds sayısı için sayısal olaak esaplanmıştı. Geleneksel sonl acim yöntemini kllanaak, Patanka e Spalding in [3] SIMPLE algoitmasına dayanan bi bilgisaya pogamı geliştiilmişti. İki faklı eksenel simetik anigenişlemeli bola için standat k-ε tübülans modelinin pefomansı aaştıılmıştı. k-ε tübülans modeline dayanan eksenel ız, tübülans kinetik eneji e simeti ekseni boynca üzeindeki eksenel ızın azalışının esaplanmış değelei, liteatüde bildiilen deneysel değelele kaşılaştıılmıştı. Eksenel ızın esaplanan e ölçülen değeleinin kaşılaştıılması genel olaak oldkça iyidi. Bna ağmen, çeintili akış bölgesinin ttnma znlğ deneyselden daa küçük olaak esaplanmıştı. Ayımlı akışın kayma tabakasından anigenişlemeli bonn simeti eksenine doğ tübülans kinetik enejinin adyal yayınımı, k-ε tübülans modeli taafından daa küçük olaak esaplanması istisna olmak üzee, esaplanan ile ölçülen tübülans kinetik eneji değelei aasındaki ym oldkça iyidi. KAYNAKLAR [] Gold, R. D., Steenson, W. H., and Tompson, H. D., Inestigation of Tblent Tanspot in an Aisymmetic Sdden Epansion, AIAA Jonal, 8, 76-83, 99. [] Dett, R. P., Steenson, W. H., and Tompson, H. D., Radial and Aial Tblent Flow Measements wit an LDV in an Aisymmetic Sdden Epansion Ai Flow, ASME J. Flids Eng.,, , 988. [3] Steenson, W. H., Tompson, H. D., and Caig, R. R., Lase Velocimete Measements in Higly Tblent Reciclating Flows, ASME J. Flids Eng., 6, 73-8, 984.

12 394 [4] Catedi, M. C., Flow Caacteistics of Aisymmetic Epansions, J. Hydalics Di., Poc. ASCE, 89, HY3, 6-9, 963. [5] Kaas, T., Nmeical Pediction of Tblent Reciclating Flow Tog Aisymmetic Sdden Epansions, t Intenational Confeence on Nmeical Metods in Lamina and Tblent Flow, st 5 t Jly 997, Swansea, U.K., Poc.,, , 997. [6] Kaas, T., Geiye Doğ Basamakla Akasında Tübülanslı Akışın Sayısal Hesaplanması,. Ulsal Mekanik Kongesi, İstanbl, Bildiile Kitabı, 37-37, 998. [7] Kaas, T., Cody, P. R., Gestein, M., Upwind e Hybid Diskitizasyon Metotlaı ile k-ε Tübülans Modelini Kllanaak Bazı Tübülanslı Akışlaın Hesaplanması, Doğa Bilim Degisi, Cilt 9, Sei B, 8-34, 985. [8] Kaas, T., Kal, O., Eksenel Simetik Anigenişlemelede Tübülanslı Akışın Sayısal Hesaplanması,. Ulsal Hesaplamalı Mekanik Konfeansı, Tabzon, Bildii Kitabı, 45-54, 996. [9] Kaas, T., Nmeical Comptation of Tblent Flow in Pipes, Doğa-T. J. of Engineeing and Enionmental Sciences, 7, 9-38, 993. [] Moon, L.F., and Rdinge, G., Velocity Distibtion in an Abptly Epanding Cicla Dct, ASME J. Flids Eng., 99, 6-3, 977. [] Faaloo, S.C., Nejad, A.S., and Amed, S.A., Epeimental and Comptational Inestigation of Isotemal Swiling Flow in an Aisymmetic Dmp Combsto, J. Poplsion, AIAA, 7, No.3, , 99. [] Lande, B. E., and Spalding, D. B., Te Nmeical Comptation of Tblent Flows, Comp. Met. Appl. Mec. Eng., 3, 69-89, 974. [3] Patanka, S.V., Nmeical Heat Tansfe and Flid Flow, Captes 5 and 6, 79-38, Hemispee, McGaw-Hill, Wasington, DC, 98. ÖZGEÇMİŞ Tai KARASU 95 yılında Eskişei de doğd. D.I.C. (Diploma of Impeial College), Impeial College of Science, Tecnology and Medicine, London, U.K.; M.Sc., Te Uniesity of Bimingam, Bimingam, U.K.; e P.D., Te Uniesity of London, London, U.K.; deeceleini aldı yıllaında Ameika Bileşik Deletleinde Kalifoniya da Güney Kalifoniya Üniesitesi nde postdoktoal aaştımacı olaak çalıştı yıllaında Uldağ Üniesitesi nde, yıllaında Çkoa Üniesitesi nde, e yıllaında Anadol Üniesitesi nde çalıştı. 984 te doçent, 995 te pofesö old. 993 yılından b yana Osmangazi Üniesitesi Makina Müendisliği Bölümü nde Temodinamik Anabilim Dalı Başkanlığını yapmakta olan Pof. D. Tai Kaas İngilizce bilmekte e ağılıklı olaak Akışkanla Mekaniği, Temodinamik, Isı Tansfei, Sayısal Akışkanla Dinamiği e Isı Tansfei alanlaında çalışmaktadı.