Kuadratik Programlama Tabanlı Modelleme Yardımı ile. Portföy Optimizasyonu ve İMKB-30 Portföy Oluşturma. Uygulaması

Transkript

1 T.C. İtabul Üverte Soyal Blmler Ettüü İktat Teor Aablm Dalı Yükek La Tez Kuadratk Programlama Tabalı Modelleme Yardımı le Portföy Optmzayou ve İMKB-30 Portföy Oluşturma Uygulamaı Murat Beşer Tez Daışmaı Prof. Dr. Abdulkadr Mercül İtabul 005

2 ÖZ Kuadratk programlama tabalı portföy oluşturma yötem celedğ bu çalışmada üç aa bölüm yer almaktadır. İlk bölümde doğrual olmaya programlama teor celemştr.çalışma koumuzu temel oluştura kc bölümde; portföy oluşturma krterler, Markowtz ve Sharpe yötemler celemştr.so bölümde e çalışmamızı teork kımıı uygulamaıa yer verlmştr. ABSTRACT I th work there are three chapter whch reearchg quadratc programmg baed portfolo optmzato method. I the frt chapter olear programmg theory reearched.i the ecod chapter whch cottute the ma part of the work, portfolo cottuto crtera, Markowtz ad Sharpe method are reearched.i the lat chapter applcato of theorc part of the work dcued.

3 İÇİNDEKİLER ÖZ (ABSTRACT). ÖNSÖZ... İÇİNDEKİLER..v ŞEKİL VE TABLO LİSTESİ...v GİRİŞ... BİRİNCİ BÖLÜM:DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA..3. KISIT İÇERMEYEN OPTİMİZASYON Tek Değşkel Fokyolar Çok Değşkel Fokyolar Poztf Ve Negatf Taımlı Matrler...8. KISIT ALTINDA OPTİMİZASYON Kovek Küme Ve Kovek Fokyolar Kovek Küme Kovek Fokyo..... Kovek Programlama Ve Karuh Kuh Tucker Şartları Ayırma Teorem Detek Teorem Kovek Programlama Kuadratk Programlama...9 v

4 İKİNCİ BÖLÜM: PORTFÖY SEÇİM MODELİ.... PORTFÖY SEÇİM PROBLEMİ....PORTFÖY GETİRİSİ VE RİSKİ.....Portföy Getr Stematk Ve Stematk Olmaya Rk Varlık Rkler Etkleşm İKİ VE İKİDEN ÇOK VARLIK İÇEREN PORTFÖY İk Varlık İçere Portföy İkde Fazla Varlık İçere Portföy Mmum Rk Noktaı Markowıtz Etklk Sıırı Rkz Varlık İçere Portföy Sermaye Pyaaı Doğruu Deklem Tekl İdek Model Optmum Portföyü Bulumaı (Elto-Gruber Yötem) ÜÇÜNCÜ BÖLÜM: İMKB-30 UYGULAMASI...49 SONUÇ...56 KAYNAKÇA...58 EK...6 v

5 ŞEKİL ve TABLO LİSTESİ Şekl. Eğer oktaıa ahp fokyo...9 Şekl. Kovek ve kovek olmaya kümeler...0 Şekl.3 Kovek kombayou... Şekl.4 Kovek fokyoa, üzerdek br oktada çzle teğet... Şekl.5 Kovek fokyo... Şekl.6 y oktaıı C kovek kümede ayıra hperdüzlem...4 Şekl.7 Kapalı kovek kümeye teğet ola hperdüzlem...5 Şekl.. İk varlık araıdak korelayo katayııı ıfır olduğu durum...6 Şekl.. İk varlık araıdak korelayo katayııı bre eşt olduğu durum 8 Şekl.3. İk varlık araıdak korelayo katayııı ek bre eşt olduğu durum...9 Şekl.4. İk varlıklı portföyü tam ve tam egatf korelayo durumları...3 Şekl.5. İk varlıklı portföyde tam ve tam egatf araıdak korelayo durumları...33 Şekl.6. Ağırlık uzayıda rk-beklee uzayıa fokyo...35 Şekl.7. Rkz varlık çere portföy ve ermaye pyaaı doğruu...4 Tablo 3.. İMKB-30 da şlem göre he eetler...50 Tablo 3.. İMKB-30 verler aalz..5 Tablo 3.3. Souçlar.55 v

6 GİRİŞ İktad varlık olarak betmlee moder brey taarruflarıı, gelecekle lgl belrzlkler olumuz etklerde korumak ç çeştl yatırım araçlarıa yöledrme zorululuğu hetmektedr.bu yatırım araçları baka faz, tahvl, repo gb rkz yatırım araçları olableceğ gb, he eed, dövz gb rkl yatırım araçları da olablr. Rkl yatırım araçlarıa yatırım yapacak brey ç öüde k e öeml oru, yatırımıı telğe göre değşe rk aıl mmum evyee drleceğdr. He eed pyaaı açııda, tek br he eed yere brde fazla he eede yatırım yapmak rk mmze etmede uygulaacak e öeml yoldur. Brey rke katlama evyee göre he eed çeştllğ de değşm göterecektr. Bu durum da yatırımcıya kede e uygu he eed çeştledrme eçme şaı verr. Bu tezde İMKB-30 da şlem göre he eetler ç mmum rk makmum getr ağlaya portföyler elde edlme çalışılmıştır. Çalışmaı brc bölümüde doğrual olmaya programlamaı matematkel temeller göterlmştr. Bu temeller kapamıda lk olarak, kııt çermeye optmzayo celemş, daha ora amaç fokyou olarak belrlee temel fokyou çeştl kııt durumları altıda, makmzayo ve mmzayo şartları göterlmştr. So olarak da doğrual olmaya programlamaı özel durumu olarak kuadratk programlama celemştr. İkc bölümde lk olarak, rkl varlıklar çere portföyler ç rk mmzayouu e şeklde elde edleceğ celemştr. Br orak adımda, portföy çde rkz varlıkları bulumaı

7 durumuda, portföy rk hag yollarla mmze edldğ göterlmştr. So olarak da pazarı getr le tekl varlığı getr araıdak lşk ele alımıştır. Üçücü bölümde e lk k bölümde teork olarak celee kouu İMKB-30 uygulamaı yapılmıştır.

8 BİRİNCİ BÖLÜM DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA. KISIT İÇERMEYEN OPTİMİZASYON. Tek Değşkel Fokyolar Bu alt bölümde herhag br kııta tab olmaya ve bell br aralıkta taımlaa tek değşkel fokyolar ve bu fokyoları lgl aralıkta makmum ve mmumları celeecektr. İlgl ouçlar aalzde Taylor formülü le adladırıla teorem yardımı le elde edlmektedr. Teorem.. : ( ) f x, [ ] a, b = { xî R: a x b} kapalı aralığıda taımlı, kc derecede türevleeblr tek değşkel fokyo olu. x ve x, [, ] ab kapalı aralığı çde keyf k okta olarak taımlarak, üçücü br okta ola okta araıdak keyf br değer olarak eçeblrz. z y bu k f( x ) fokyouu Taylor teorem yardımıyla, x oktaı cvarıda açarak f( x) = f( x ) + f ( x )( x- x ) + f ( z)( x-x ),,, eştzlğ elde ederz. Yukarıdak formül, optmzayo heabıda oldukça kullaışlıdır. Buu ede, x oktaıı fokyou makmum veya mmum oktaı olarak alıp, lgl Athoy PERESSINI, Frac SULLIVAN, J.J. UHL, The Mathematc of Nolear Programmg, New York, Sprger-Verlag, 988,.-. 3

9 oucu yukarıdak dekleme eklerek, bütü ederz. x ¹ xç aşağıdak oucu elde f( x ) = f( x ) reel ayı Elde ettğmz o eştzlğ ağ tarafıdak reel ayıı poztf veya egatflğe göre göre, x değer fokyou e şeklde belrledğ çıkarılablr. Bua f( x ) = f( x ) poztf reel ayı : x, fokyou mmze ede değerdr. f( x ) = değerdr. f( x ) egatf reel ayı : x, fokyou makmze ede br Teorem.. : f( x ), f ' ( x ), f '' ( x ) fokyoları, üzerde taımladıkları I aralığıda ürekl ve x Î I, lgl fokyou krtk oktaı olu. Bua göre, a) Her xî I ç, f '' ( x ) ³ 0durumu gerçekleyora, x lgl aralık üzerde taımlı f( x ) fokyou ç global mmumdur. b) Her xî I ç, x ¹ x şartı doğrultuuda f '' ( x ) > 0 gerçekleyora, x lgl aralık üzerde taımlı f( x ) fokyou ç ke global mmumdur. c) e poztf br ayı, x ± e < x şartıı ağlaya her xî I ç f x ( ) < f( x) gerçekleyora ke global mmumdur. d) Her xî I ç, f '' ( x ) 0 durumu gerçekleyora, x lgl aralık üzerde taımlı f( x ) fokyou ç global makmumdur. 4

10 e) Her xî I ç, x ¹ x şartı doğrultuuda f '' ( x ) < 0gerçekleyora, x lgl aralık üzerde taımlı f( x ) fokyou ç ke global makmumdur.. Çok Değşkel Fokyolar Bu alt bölümde amaç, brc kemde elde edle ouçları brde fazla değşkee ahp ola fokyolara yaymaktır. Acak tek değşkel aalzde kullaıla yötemler tek başıa yeterl olmamakta, leer cebr de ek olarak kullaılmaktadır. Teorem.. : f( x ) fokyou D Î R bölge üzerde taımlaı. Bu D bölge üzerdek x oktaı ç aşağıdak çıkaramalar yapılablr. a) Her xî D ç f( x ) f( x ) şartı gerçekleyora, x D üzerde taımlı f( x) fokyou ç global mmumdur. b) Her xî D ç, x ¹ x şartı doğrultuuda f x ( ) < f( x) gerçekleyora, x D üzerde taımlı f( x ) fokyou ç ke global mmumdur. c) e poztf br ayı, her xî D ç x Î Bx (, e) açık yuvarı üzerde f x ( ) f( x) ağlaıyora lokal mmumdur. d) Her xî D ç f x ( ) f( x) ³ şartı gerçekleyora, x D üzerde taımlı f(x) fokyou ç global makmumdur. e) Her xî D ç, x ¹ x şartı doğrultuuda f( x ) > f( x ) gerçekleyora, x D üzerde taımlı f(x) fokyou ç ke global makmumdur. Tom APOSTOL, Calculu, Joh Wley & So,. clt, 967,.89., Sterlg BERBERIAN, A Frt Coure Real Aaly, Sprger-Verlag, 994,.8. 5

11 Teorem.. : f( x ) fokyou, kc derecede türevleeble ve DÌ R bölge üzerde taımlı, reel değerl fokyo olu. x ve x Î D ç x x = zî R= z x + t x- x t şartıı ağlaya doğru parçaı D açık [, ] { : ( ); 0 } küme çdedr ve z, [ xx, ] kapalı aralığıda keyf br oktadır. Teorem.. de tek değşkel fokyo ç yaptığımız Taylor açılımıı yukarıda k teorem dkkate alarak çok değşkel fokyoda geelleştrrek, x oktaıa göre f x f x f x x x Hf z x x ( ) = ( ) +Ñ ( )( - ) + ( )( - ) eştlğ elde ederz. Teorem..3 : x, R üzerde kc derecede türevleeble f( x) fokyouu krtk değer olu. Bua göre, a) Her x Î R ve z Î [ xx, ] ç, f( x ) fokyou ç global mmumdur. x- x + Hf z x- x ³ e t ( ) ( )( ) 0 x, b) Her x Î R, x ¹ x ve z Î [ xx, ] ç x f( x ) fokyou ç ke global mmumdur > 0 e, t ( x x ) Hf( z)( x x ) c) Her xî R ve z Î [ xx, ] ç, f( x ) fokyou ç global makmumdur e t ( x x ) Hf( z)( x x ) x, d) Her x Î R, x ¹ x ve z Î [ xx, ] ç < 0 e, t ( x x ) Hf( z)( x x ) x f( x ) fokyou ç ke global makmumdur. 3 3 Alpha C. CHIANG, Fudametal Method of Mathematcal Ecoomc, McGraw-Hll, 994,.37. 6

12 Yukarıdak teorem global makmum ve global mmum u bulumaıda pratk br yol değldr. Hea matr bze daha krtk br değer ağlamaktadır.bua t göre x metrk şeklde ola Hea matr Q ( y) = y Ay şeklde göterebleceğmz kuadratk br yapıya ahptr. İlgl kuadratk yapıı şarete göre fokyou makmum veya mmum olup olmadığı belrleeblr. A t Teorem..4 : A, metrk matr ve Q ( y) = y Ay, A matr kuadratk bçm olu. Bua göre, A a) Her b) Her c) Her d) Her e) Bazı y y y y Î R ve Q ( ) t A y y Ay 0 Î R ve Q ( ) t A y y Ay 0 Î R ve Q ( ) t A y y Ay 0 Î R ve Q ( ) t A y y Ay 0 y = ³ e poztf yarı taımlıdır. = > e poztf taımlıdır. = e egatf yarı taımlıdır. = < e egatf taımlıdır. Î R ç Q ( ) t A y y Ay 0 = > ve ger kala y Î R ç t Q ( y) = y Ay < 0 e taımızdır. 4 A ederek. Teorem..4 ü teorem..3 yardımı le aşağıdak şeklde yede formüle Teorem..5 : x oktaı kc derecede türevleeble f( x) fokyouu krtk oktaı ve Hf( x ), f( x ) fokyouu Hea matr olu. Bu şartlar altıda x, a) Hf( x ), R üzerde poztf yarı taımlı e, f( x ) ç global mmumdur. 4 Berard KOLMAN, Davd R. HILL, Uygulamalı Leer Cebr, Çev. Prof. Dr. Ömer Akı, Palme Yayıcılık, 00,.04. 7

13 b) Hf( x ), R üzerde poztf taımlı e, f( x ) ç ke global mmumdur. c) Hf( x ), R üzerde egatf yarı taımlı e, f( x ) ç global makmumdur. d) Hf( x ), R üzerde egatf taımlı e, f( x ) ç ke global makmumdur..3 Poztf ve Negatf Taımlı Matrler Bu alt bölümde matrler poztf, egatf ve yarı taımlılıklarıı aıl elde edleceğ celeecektr. Buu yaparke k tette yararlaablrz. Bular ıraıyla determat ve özdeğerler celemedr. Teorem.3. : A, metrk matr ve D k, A matr k. mörü olu. k a) k =... değerler ç, D > 0 e A matr poztf taımlıdır. k k b) k =... değerler ç (-) D > 0 e A matr egatf taımlıdır. 5 k Teorem.3. : f( x ), kc derecede türev D Ì R üzerde taımlı fokyo, x, D Ì R bölgede br ç okta ve ( ) f x fokyouu krtk oktaı olu. Hea Hf( x ) taımız e x oktaı f( x ) fokyouu eğer oktaı olarak kabul edlr. Aşağıdak Şekl, eğer oktaıa ahp br fokyou görütüüdür. Determat tetde başka, lgl metrk matr özdeğerlerde yararlaarak da matr pozttf, egatf veya yarı taımlı olup olmadığı buluablr. 5 CHIANG, a.g.e.,

14 ŞEKİL. Teorem.3.3 : A, metrk matr olu, bua göre, a) A matr özdeğerler tümü poztf e, poztf taımlıdır. b) A matr özdeğerler tümü egatf değl e poztf yarı taımlıdır. c) A matr özdeğerler tümü egatf e, egatf taımlıdır d) A matr özdeğerler tümü poztf değl e, egatf yarı taımlıdır e) A matr çde e az br egatf ve e az br poztf özdeğer vara, taımızdır.. KISIT ALTINDA OPTİMİZASYON. Kovek Küme ve Kovek Fokyolar Kovek fokyolar tattk, ktad ve edütryel uygulamalarda ortaya çıka pek çok optmzayo problemde görülür. Buu dışıda koveklk varayımı, fokyoları Hea matrler tpler celeme zorluğuda kurtardığı gb doğrual olmaya programlamaı merkez oluşturur. 9

15 .. Kovek Küme Teorem... : C Î R ç oktaı ola her x ve y ç, bu oktaları brleştre doğru parçaı lgl C bölge çde kalıyora kovek kümedr. x ve y oktalarıı brleştre doğru parçaıı deklem aşağıdak şeklde yazablrz. 6 [ x, y] = { y+ l( y- x); 0 l } Şekl. Teorem... : x Î R ve a Î R ç F y R xy a + = { Î : ³ } veya F - = { yî R : xy a} kümeler kapalı yarı uzay olarak taımlaır. 7 C, C... C kümeler R de kovek küme olarak alırak, bu kovek kümeler keşm de kovek küme olur. 6 7 Chrtodoulo A. FLOUDAS, Nolear ad Mxed-Iteger Optmzato, New York, Oxford Pre,995,.0., Olv L. MANGASARIAN, Nolear Programmg, SIAM, 994,.39. FLOUDAS, a.g.e.,.8. 0

16 Teorem...3 : C, R uzayıda kovek br küme ve x... x k Î C olu. Eğer... k l l k toplamları br ola ve egatf olmaya ayılar e, å l x le fade = edle kovek kombayo da C bölge çdedr. Şekl.3.. Kovek Fokyo Teorem... : f( x ), I aralığı üzerde taımlı br fokyo olu.ilgl fokyou kovek olmaı ç yeter şart, grafk üzerde keyf k oktayı brleştre çzg fokyou üzerde olmaıdır. Teorem... : ( ab, ) aralığı üzerde taımlaa f( x ) fokyou kovek özellğe ahpe, f( x ) bu aralık üzerde ürekldr. Kovek fokyolarla lgl dğer öeml çıkarama, I aralığı üzerde taımlı ve türevleeble f (x) fokyoua, üzerdek keyf br oktada çzle

17 teğet dama lgl fokyou altıda kalacağıdır. Bu fadey aşağıdak şeklde yazablrz, 8 f( x ) + f ( x )( x - x ) f( x ) ' Şekl.4 Teorem...3 : f( x ) reel değerl ve kovek C küme üzerde taımlı br fokyo olu. x, yî C, 0 l ç f( lx+ (- l) y) lf( x) + (-l) f( y) eştzlğ yazılır. 9 Şekl Davd LUENBERGER, Itroducto to Lear ad Nolear Programmg, Addo Weley Publhg Compay, 973,.7. S. VAJDA, Theory of Lear ad Nolear Programmg, Lodo, Logma, 974,.4., MANGASARIAN, a.g.e.,.59.

18 l... l k egatf olmaya, toplamları e eşt ola ayılar olmak şartı le, yukarıda k teorem geel şekl, k k ål å olarak yazılır. = = f( x ) l f( x ). Kovek Programlama ve Karuh Kuh Tucker Şartları Gerçek hayatla lgl pek çok optmzayo problem, lgl fokyou makmzayouu veya mmzayouu araştırırke kouyla lgl pek çok kııt durumu le karşı karşıya kalmaktadır. İlgl kııt durumlarıı egatf değer almama, toplamları bell değerler aşmama şeklde örekleyeblrz. Bu tarz problemler kııt altıda optmzayo problemler olarak adladırılmaktadır. Problemler geel bçm aşağıda göterle şeklde yazablrz. 0 Mmze f( x) Kııtlar g( x) b... gm( x) b m Burada f( x ), g ( )... ( ) x g x fokyolarıı kovek fokyolar m olarak kabul ederek, lgl problem kovek programlama adıı alacaktır. Kovek programlamaya örek olarak doğrual programlama ve e küçük kareler problemler göterlr. Kovek programlama yötem alamada e öeml yol Karuh Kuh Tucker teoremdr. Bu teoremle, lgl problem ç mmumu ağlaya oktalar etk şeklde buluurke, ayı zamada kııtları geel yapıyı e orada etkledkler de celeeblmektedr. Karuh Kuh Tucker teorem oluşturmak ç kullaıla yaklaşımlarda e öeml kovek kümeler ç ayırma ve detek teoremlerdr. 0 Waye WINSTON, Operato Reearch, Thomo, 004,.670., Davd HIMMELBLAU, Appled Nolear Programmg, McGraw-Hll Book Compay, 97,.6. 3

19 .. Ayırma Teorem Teorem... : C, R üzerde kapalı kovek br küme ve y, C elemaı olmaya br vektör olu. a x a a y şartıı ağlaya br aî R vektörü ve a reel ayıı vardır. Yukarıdak teorem, y oktaı ve C kovek küme br hperdüzlem le ayrılmaktadır şeklde öyleyeblrz. İlgl hperdüzlem H = { xî R : ax = a} bçmde yazarak, kovek kümemz H - = { x Î R : ax a} kapalı yarı uzayıda kalırke, y oktaı H + = { x Î R : ax > a} yarı uzayıda kalacaktır. Bu fade öem, R çde bulua kapalı kovek küme, lgl kümey çere tüm kapalı yarı uzayları keşme oucu ortaya çıktığıı götermedr. Şekl.6 G. HADLEY, Lear Algebra, Lodo, Addo-Weley Publhg Compay,96,.0 4

20 .. Detek Teorem Teorem... : C, R üzerde kapalı kovek br küme ve z lgl kovek küme ıır oktaı olu. a x a z şartıı ağlaya br a vardır. Î R vektörü Yukarıdak teorem, kapalı kovek kümeye teğet ola hperdüzlem, teğet olduğu oktadak ıır elemaıı çerr şeklde öyleyeblrz. Teorem... : f( x ), C küme üzerde taımlamış br fokyo olu. x Î C e, f( x) ³ f( x ) + d( x- x ) eştzlğ ağlaya br d vektörü vardır. 3 Yukarıdak teorem Karuh Kuh Tucker teorem açııda oldukça öemldr. Bu teoreme göre, fokyou ürekz olduğu oktalarda ble lgl oktaya teğet olablecek br d vektörü buluablr. Şekl.7 3 A. Waye ROBERTS, Dale VARBERG, Covex Fucto, Academc Pre, 973,.85. Dmtr P. Berteka, Nolear Programmg, Athea Scetfc, 999,.609., PERESSINI, a.g.e.,.67. 5

21 ..3 Kovek Programlama Doğrual olmaya programlama çde e fazla gelşe alalarda br kovek programlamadır. Bu programlama türü, kovek fokyoları kııt durumua maruz kala kovek fokyou mmze etmek le lgldr.programlamaı geel yapıı, Mmze f( x) Kııtlar g ( ) 0... ( ) 0 x g x m xîc Ì R f( x ), programımız çdek amaç fokyouu, g ( ) 0... ( ) 0 x g x eştzlk fokyoları, kııt durumlarıı götermektedr. Bütü kııtları ağlaya xî C oktaı, uyguluk oktaı ve bütü uyguluk oktalarıı oluşturduğu küme, uyguluk bölge olarak taımlaır. Uyguluk bölge boş değle, lgl program tutarlı olarak adladırılır. m Programlama çdek tüm uyguluk oktaları ç f x ( ) f( x) şartıı ağlaya br x oktaı buluura, lgl okta programlamaı çözümü olarak adladırılır. Eğer x gb br uyguluk oktaı, gj ( x ) 0 şartıı ağlıyora, programlama tam tutarlı olarak adladırılır. Verle br kovek programlamada, programlamayı mmum yapacak oktaı göterm aşağıdak şekldedr. MP = f f( x) xîc g( x) 0 6

22 Kovek programlama çdek kııtları geel yapıyı hag orada etkledkler blmek ayrı br öem taşımaktadır. Buu ölçeblmek ç kııtlarda küçük değşklkler yapıp geel yapıda e gb değşmler meydaa getrdğ celere, hag kııtları dğerlere göre daha etk olduğu aptaablr. 4 Bu amaç doğrultuuda z m Î R ç, programlamamızı ( ) taımlayablr, böylelkle aşağıdak programlamayı elde ederz. Pz şeklde yede taımlaa kovek fokyolar. Mmze f( x) Kııtlar g( x) z... gm( x) z xîc Ì R ve f( x), g( x)... gm( x ), C üzerde m Teorem..3. : P kovek program ve Pz ( ) lgl programı yede taımlamış hal olu. Bua göre MPz ( ) fokyou kovektr ve fokyou taım küme kovek yapıdadır. Teorem..3. : P tam tutarlı br kovek program e, 0 oktaı MPz ( ) fokyouu taım küme ç oktaıdır. Teorem..3.3: P tam tutarlı br kovek program ve MP ıırlı olu. Bu durumda MPz ( ) tüm taım küme üzerde ıırlıdır ve l ³ 0 ve vektör ç MP( z) ³ MP(0) - l z eştzlğ elde edlr. 5 m l Î R gb br l vektörü P ç duyarlılık vektörü olarak adladırılır ve yukarıdak teorem yükek tutarlı kovek programı dama duyarlılık vektörüe ahp olduğuu göterr. 4 5 LUENBERGER, a.g.e.,.3. PERESSINI, a.g.e.,.77. 7

23 Teorem..3.4: P kovek program ve l duyarlık vektörü olu. Bua göre m MP= f { f( x) +ålg ( x)} şeklde göterle eştlk doğrudur. xîc = Teorem..3.5: P kovek programıı Lagrage ı m L( x, l) f( x) lg ( x) = +å şeklde taımlaa fokyodur ve kıaca Lxl (, ) = şeklde göterlr. Teorem..3.6 (Karuh-Kuh-Tucker, Eğer Noktaı Bçm): P tam tutarlı kovek program olu. Aşağıda ıralaa 3 şartı gerçekleye br ç x Î C, lgl programı çözümüdür. 6 l vektörü a) b) l ³ 0 Lx (, l) Lx (, l ) Lx (, l ), tüm xîc c) l g ( x ) = 0, =...m Teorem..3.7 (Karuh-Kuh-Tucker, Gradet Bçm): P, C kovek üzerde taımlı ve brc derecede türevleeble, amaç ve kııt fokyolarıa ahp, tam tutarlı kovek program olu. Aşağıda ıralaa 3 şartı gerçekleye br l vektörü ç, x Î C lgl programı çözümü olacaktır. 7 a) l ³ 0, =...m b) l g ( x ) = 0 m +å Ñ = c) Ñ f(x) l g x = ( ) MANGASARIAN, a.g.e.,.7. HIMMELBLAU, a.g.e.,.34. 8

24 Teorem..3.8 (Lagrage Çarpaı): S, R + de br -yüzey, U R + Ì ç : f U ¾ ¾ R ve her qî S ç Ñ f( q) ¹ 0 olu. : g U ¾ ¾ R düzgü br fokyo ve pî S, S üzerdek g fokyou ç ektrem okta e Ñ g( = p) lñ f( q) eştlğ ağlaya br l ayıı vardır ve bu ayı Lagrage çarpaı olarak adladırılır Kuadratk Programlama Değşkeler üzerde makmum veya mmum şartıı ağlamak ç doğrual kııt ve egatf olmama kııtı le ıırladırılmış, amaç fokyou kc derecede br polom ola doğrual olmaya programlama tpe kuadratk programlama der. Kuadratk programlama tattkte regreyo aalzde, portföy aalze kadar pek çok yerde uygulama alaıa ahptr. Aşağıda göterle form tadart kuadratk programlamaı geel şekldr, Mmze : f ( x) = a + cx + xqx Kııtlar : Ax b, x³ 0 m matr. Q, poztf taımlı matr, b m Î R, c Î R, a R Î ve A rakı m ola x gb kuadratk programımızı mmze ede br okta vara, Karuh- Kuh-Tucker koşulları programımızı mmze ede x değer bulumaı ç kullaılır. Bu durumda doğrudur, 9 m m Î R ve v Î R değerler ç aşağıdak şartlar 8 9 Joh A. THORPE, Elemetary Topc Dfferetal Geometry, New York, Sprger Verlag, 979,.9. PERESSINI, a.g.e.,.60. 9

25 a) m ³ 0, =... k, v ³ 0, j =... j b) c) d) c Qx A v t + + m - = m [( Ax ) - b] = 0, =... m xv = 0, j =... j j 0 0

26

27 İKİNCİ BÖLÜM PORTFÖY SEÇİM MODELİ. Portföy Seçm Problem Belrl br kş veya grup tarafıda elde tutula, ağırlıklı olarak he eed, tahvller gb mekul kıymette oluşa bleşkeye portföy adı verlr. Portföy oluşturmaı altıda yata temel felefe, gelecekle lgl belrzlğ oucu olarak ortaya çıka rk mümkü olduğu kadar e aza drme düşücedr. Acak burada cevabıı bulumaı gereke e öeml oru, portföyü oluşturma krter e olduğudur. Kıacaı hag varlıkları hag ağırlıkta portföyümüzde yer almaı gerektğdr. Model amacı belrlee adet varlıkta elde edleblecek mümkü portföy küme çde, yatırımı beklee getr le rk araıda e y degey ağlayacak optmum portföyü bulumaıdır. Portföy aalz lk defa H. Markowtz ortaya koymuştur. Markowtz model elde tutma döem olarak ble br üre çde yatırımcıı paraıı hag portföye yatıracağıı celer. Bu edele Markowtz yaklaşımı br tek döem yaklaşımı olarak düşüüleblr. Döem ouda yatırımcı paraıı çekebleceğ gb yede de yatırablr. Peter MOLES, Nchola TERRY, The Hadbook of Iteratoal Facal Term, Oxford Uverty Pre, 999,.46.

28 Markowtz e göre, yatırımcı e y portföyü tept etmek ç mümkü tüm portföyler beklee getr ve rk oralarıı celemel ve portföyler araıda e az rk, e fazla getry vere portföyü terch etmeldr.. Portföy Getr ve Rk döem başı, t Br öcek bölümde belrtldğ gb model k döemde oluşmaktadır. t = 0 = T döem ouu götermektedr. Modelmzde a portföyümüz çdek. ıradak varlığı götermektedr. İlgl varlığı döem başı değer J,0 ve döem ou değer JT, şeklde göterlecektr. Q= ( q... q ) lgl portföy çde. ıradak varlığı mktarıı götermektedr. Model çdek tüm mktarlar poztf olarak kabul edlecektr (θ є R + ) portföy çdek ağırlığı a varlığımızı t = 0 zamaıda w = qj å j=,0 qj j,0 şekldedr. Burada öeml br ouç, tekl varlıkları portföy çdek ağırlıklarıı toplamıı e eşt olmaıdır ( å wj = ). a varlığıı getr j= R, J ( ), T = J,0 + R eştlğ le taımlaır. Ayı eştlğ R ye göre çözerek

29 R J -J = J, T,0,0 deklem elde ederz.gelecek le lgl ögörü tam kelğe ahp olmadığıda varlığı T döemdek değer raal değşke durumudadır k bu ouç varlığı getr ( R ) de raal br değşke olduğuu göterr. Acak varlığı geçmş döemlerdek pozyolarıda hareketle beklee getr, m = e( R ) ve beklee getrde apmalar (varya), = VarR ( ) buluablr. a varlığıı varyaı, lgl varlığı rk olarak taımlaır. Varlığı rk çerme, varyaıı ıfırda büyük olma şartıı ağlamaıa bağlıdır.. Portföy Getr Yukarıda k kıımda tek varlık ç beklee getr ve buu rk taımlamıştı. Bu alt bölümde e varlıkları oluşturduğu portföyü getr ve rk taımlaacaktır. Portföyü getr, portföy çdek varlıkları her bre karşılık gele ağırlığıyla çarpımlarıı toplamıdır ve R= å wr = F. Wllam SHARPE, Ivetmet, New Jerey, Pretce Hall, 985,.0 3

30 şeklde göterlr. Beklee değer fokyou doğrual olduğuda, br bütü olarak portföyü beklee getr 3 å m = e( wr) = wm = = å şekldedr. varyaı 4 Tekl getrler geellkle bağımız olmadıklarıda, portföyü getr = Var( wr) ww = cov( R, R ) ww = å åå åå r j j j, j j = = = = = j j şeklde göterlr... Stematk ve Stematk Olmaya Rk Portföye grecek varlıkları ayıı arttıkça, portföyü rkde düşme görülür. Bua portföy etk der. Bu etk, varlıkları ayıı arttıkça, varlıkları rk portföy rk gderek azaltmaı olarak yorumlaır. Rk çeştledrme le yok edle bu kımıa tematk olmaya rk der. 5 Portföy oluşturma le yok edlemeyecek kıım e tematk rk olarak adladırılır. Stematk rk, varlıkları tümüü performalarıı etkleye edelerde ler gelr. Öreğ faz hadlerde, para arzıda k değşmeler gb makro ekoomk etkler, bütü varlıkları değerde değşm meydaa getrr Robert A. HAUGEN, Moder Ivetmet Theory, Pretce Hall, 993,.7. J. Alexader GORDON, Wllam F. SHARPE, Jeffery V. Barley, Fudametal of Ivetmet, Pretce Hall, 993,.5. Frak K. REILLY, Ivetmet, The Dryde Pre, 99,

31 Stematk olmaya rk, br frmayı ya da br edütry etkleye rktr. Öreğ ye keşfler, tüketc zevklerdek değşmler, grevler, reklamlar, yöetcler başarıı tematk olmaya rke ebep olur. Markowtz şaret ettğ okta, aralarıda tam veya tama yakı korelayo lşk olmaya varlıkları eçlme le oluşturula portföyü rk tematk rk düzeye ebleceğdr. Buu varlıkları getrler araıdak lşk oraı e kadar düşüke, portföyü rk o orada düşer şeklde öyleyeblrz..3 Varlık Rkler Etkleşm Varlıkları çeştl korelayo durumlarıda k görütüler 3 temel şeklde götereblrz. Batlk ve görellğ korumaı açııda varlıklı portföy kullaılacaktır. m ve ıraıyla a varlığıı beklee getr ve rk, m ve, a varlığıı beklee getr ve rkdr. Portföy çde a varlığıı ağırlığıı t olarak alırak, a varlığıı ağırlığı (- t) olmak zorudadır. Portföyü beklee getr, m = tm + (-t) m portföyü rk, = t + (- t) + t( -t) r, şeklde göterlr. Keyf olarak brc varlığı rk kc varlığı rkde daha düşük veya eşt olu. Bu fadey 0 < şeklde götereblrz. 5

32 r, = 0 Şartı : a ve a varlığıı araıda herhag br lşk varolmadığıı göterr. Bu durumda portföy rk 6, = t + (-t) şeklde olacaktır. Bu fadey t değşke katayılarıa göre düzelerek, ( + ) t - t+ fade elde ederz. Bu fade. derecede br polom olduğu açıktır ve grafğ aşağıda göterle şekldedr, Şekl. Mmum rk elde etmek ç varlıkları hag ağırlıkta portföyümüzde bulumaı gerektğ bulmak zorudayız. Buu ç lgl fokyou brc derecede türev alıp ıfıra eştlerek, 6 Steve ROMAN, Itroducto to the Mathemat of Face, Sprger Verlag, 004,.45. 6

33 t m = + eştlğ elde ederz k bu mmum rk ç gerekl ola ağırlık oktaıdır. Elde ettğmz oucu deklemmze yerleştrek, m = + elde ederz k bu da bze mmum portföy rk verr. Souçlarda görüleceğ gb portföyü mmum rk, tekl varlıkları ked rklerde daha küçüktür 0< < m(, ) m r, = Şartı : portföy rk, a ve a varlıkları araıda tam br korelayou varolmamaı durumuda = t + (- t) + t( -t) olcaktır. Bu fadey t değşke katayılarıa göre düzelerek, [( - ) t+ ] hal elde ederz. Bu fade grafğ aşağıda göterlmştr, 7

34 Şekl. Mmum rk gerçekleye ağırlıkları bulmak ç lgl fokyou brc derecede türev alıp ıfıra eştlerek, t = m - > 0 oucuu elde ederz. Acak a varlığımızı ağırlığıı (portföy çdek) heaplarak, - - t m = < 0 - oucuu elde ederz k bu da bze mmum rk gerçekleyecek portföyü a varlığıı yükek rk çerme durumuda açığa atış durumuu gerçekleyeceğ göterr. r, = - Şartı : a ve a varlıkları araıda tam ter yölü korelayou var olmaı durumuda portföy rk, 8

35 = t + (-t) - t( -t) olacaktır. Bu fadey t değşke katayılarıa göre düzelerek, [( + ) t- ] oucuu buluruz. Bu fade grafğ aşağıdak şekldek gbdr, Şekl.3 Mmum rk gerçekleye ağırlıkları bulmak ç lgl fokyou brc derecede türev alıp ıfıra eştlerek, t m + = > 0 elde ederz. Elde ettğmz oucu deklemmze yerleştrrek, = 0 m 9

36 oucuu elde ederz. Yukarıda göterle 3 temel durumda, tam egatf korelayoa ahp ola varlıkları oluşturduğu portföyü e geçerl portföy olduğu göterlmştr. Acak gerçek hayattak temel zorluk bu şeklde tam egatf korelayoa ahp ola varlıkları bulmaktır. 3. İk ve İkde Çok Varlık İçere Portföy Üçte fazla varlık çere portföyler ç yapacağımız aalzler cebrel boyutta celemek zoruda kalmaktayız. Portföy aalz yapııı görel olarak da götereblmek ç lk olarak lk varlık çere portföyü almak daha ora buu varlık çere portföye geelleştrmek daha ağlıklı br yötemdr. 3. İk Varlık İçere Portföy a ve a, portföyümüzü oluştura varlıklar w ve w e lgl varlıkları portföy çdek ağırlıklarıı göter. İlgl portföyü beklee getr, m = wm + w m portföyü rk, = w + w + wwr, şekldedr. r, = m Şartı : Öcek bölümde k mutlak değer bçmde yazarak, r = m şartıdak durumlarıı tadart apmaı 30

37 = w mw eştlğ elde ederz k mutlak değer ıfırda büyük şartı dahlde varlıkları dama rk çerdğ götermş oluruz. Görel batlk ç w = - l, w = l olarak yazıp buları da beklee getr ve tadart apma fokyolarıa yerleştrek, m = (- l) m + lm = (-l ) ml şekldek parametrk deklemler elde etmş oluruz. ( l Î (0,) ). İlgl parametrk deklem grafğ (, m ) düzlemde çzerek aşağıdak grafkler elde ederz. 7 Şekl.4 Yukarıda k grafklerde de görüldüğü gb, tadart apmaı mutlak değer eştlğ şeklde olmaıda dolayı, doğru dama - eke poztf yöüde kalmaktadır. r, = şartıı ağlaya grafğ üzerde k koyu kımı -, örte özellğe ahp olmaı, mmum portföy rk ç varlıkları portföy çdek ağırlıklarıı poztf değerde olmaı gerektğ şartıı bozar. Koyu kımı - lk 7 Wllam SHARPE, Portfolo Theory, New York, McGraw-Hll Book Compay, 970,.46. 3

38 özellğ kaybettğ kc grafkte e portföy rk mmum yapacak ola varlık ağırlıklarıı, poztf olma şartı ağlamış olacaktır -<r< Şartı : Varlıklar araıda k korelayo lşk -<r< aralığıda kabul ederek deklemlermz, m = ( m - m ) l+ m = ( + - r ) l - ( - r ) l+ şeklde yazarız. r > 0 olduğuda, portföy rk götere fokyo çdek katayıı, l + - r = ( - ) + (- r) > 0 şartıı ağlar k, bu durum fokyou r = m durumuda farklı olarak, kuadratk br fokyo olmaı gerektğ ortaya koyar. 8 Aşağıdak şekller (, m ) ve (, m ) oktalarıı fokyo üzerde k farklı koumlarıı götermektedr. Daha öce elde etmş olduğumuz ouçlar yardımı le ağ tarafta k grafğ mmum rk gerçekleştrmek ç açığa atış durumuda olmaı gerektğ çıkarablrz. Sol taraftak grafğmz ç böyle br gerekllk yoktur. 8 SHARPE, A.g.e.,.48. 3

39 Şekl.5 Keyf olarak 0 < şartıı kabul edp, rk fokyouu l parametree göre türev alırak, d d ( ) = ( + - r ) l - ( - r ) oucuu elde ederz k bu oucu l ya göre çözerek mmum rk ağlaya portföy çdek ağırlıklarda br elde etmş oluruz. Bua göre, l = ( -r ) m + -r bu fadey de rk fokyoumuza da yerleştrrek, (-r ) m = + -r oucuu elde ederz. 9 Daha öcede de fade edldğ gb portföy rk açığa atış durumu le karşı karşıya kalmamaı ç lm Î [ 0,] şartıı ağlamaı gerekr. 9 Erdç ALTAY, Sermaye Pyaaı da Varlık Fyatlama Teorler, İtabul, Der Yayıları, 004,.7. 33

40 3. İkde Fazla Varlık İçere Portföy Bu alt bölümde portföyümüzü oluştura varlıkları ayııı kde fazla olduğu kabul edlecektr. Portföy çdek varlıkları ağırlıklarıı vektörel bçm ve brler matr ıraı le, W = ( w... w ) O = (...) şeklde göterlr. Böylelkle ağırlıkları toplamıı bre eşt olmaı şartıı vektörel t ç çarpım le OW = şeklde götereblrz. Beklee getrler vektörü ve kovarya matr e ıraı le, M = ( m... m ) C c, j = ( ), c, = Cov( R, R ) j j şeklde göterlr. Kovarya matr le lgl olarak belrtlme gereke öeml özellkler vardır. Bularda brc metrk br matr olmaı dğer e poztf matr olma özellğe ahp olmaıdır. Portföyü beklee getr vektörel ç çarpım olarak yazarak, t m = MW = m... w m w eştlğ elde ederz. Portföy rk de aşağıda k şeklde yazarız. 34

41 = Var( w R= ) c w w= WCW å å j j, j j j=, j= t Bu oktada ora rk kavramı tadart apmaya drgeerek celeecektr. Buu edeler, yorum kolaylığı ağlamaı açııda rk ölçütü olarak kullaılmaı olarak göterebleceğmz gb, kıa döeml verler dağılımıı geellkle ormal dağılım özellğ erglemede dolayı, bu dağılımı tadart apma özellklerde yararlaableceğdr. Portföy çde k varlıkları ağırlıkları ve bu ağırlıklara karşılık gele rkbeklee getr oktaıı üç varlık çere portföy yardımı le celeyp buda geellemeler yapablrz. Aşağıda k şekl ol tarafı üç varlığı ağırlık katayılarıı götermektedr. Daha öce de belrtldğ gb bu ağırlıkları toplamı bre eşttr. Yorumlarımıza üç boyutlu uzayda k görel fade boyutlu uzaya oyutlaışı olarak yaparak, ol şekl bze toplamları br ola ağırlık vektörler küme üzerde buluduğu hperdüzlem verr. f ağırlık uzayıda k her oktayı, rkbeklee getr ıralı kl gerdğ uzaya taşıya br fokyodur ve kıaca f( w... w ) = (, m) şeklde göterlr. 0 Şekl.6 0 ROMAN, a.g.e.,

42 f fokyouu geel olarak aıl br eğlm göterdğ alayablmek ç, lgl fokyo altıda ağırlıklar hperdüzlem görütüüü aıl belrledğ celemek gerekmektedr. Buu ç boyutlu uzayda k ağırlıklar hperdüzlem parametrk deklem formülze etmek gerekmektedr. f ( t) = ( at+ b,..., a t+ b ) = At+ B m = MW = M ( At + B) ( MA = ) t + MB fokyou doğrualdır ve t ye göre yukarıda k eştlğ çözerek, m - MB t = MA elde ederz. Portföy rk, = WCW = ( At+ B) C( At+ B ) ( ACA = ) t + ( BCA + ACB ) t+ BCB t t t t t t t şekldedr ve kuadratk br yapıdadır. Böylelkle f () t, - < t < aralığıda br doğruyu zlerke, rk-beklee getr oktaı (, m) düzlemde br parabolü zler. 3.. Mmum Rk Noktaı Aalzde k temel amacımız, mmum rk elde edebleceğmz portföy ağırlıklarıı bulmaktır. Bu mmum değerler bulmak ç Lagrage çarpaı yötem kullaılır. Başka br öylemle, eştlğ å = c w w = WCW, j j, j= t 36

43 t OW = w... w = kııtıa göre mmze edlme amaçlamaktadır. å g( w... w ) = c w w + a( -w... -w ), j j, j= fokyouu w ve a parametrelere göre kım türevler alııra, CW t a = O t W a - = OC eştlğ elde edlr. Eştlğ fokyou kııtıa koyarak, a = - t OC O eştlğ elde edlr. Bu o eştlğ ağırlıklar vektörüü eştlğe yerleştrrek, W OC = OC Ō - t oucuu elde ederz k bu bze mmum rke ahp portföyü varlıklarıı ağırlıklarıı vermektedr. 3.. Markowtz Etklk Sıırı Tüm beklee getr değerler ç mmum rk vere oktalar küme Markowtz etklk ıırı olarak taımlaır. Bu alt bölümde verle br beklee 37

44 getrye göre mmum rke ahp portföyü ağırlıklarıı bulumaı celeecektr. Br öcek alt bölümde k gb amacımız, å = c w w = WCW, j j, j= t eştlğ mmze etmektr. Bu okta da k kııt vardır. Bular ıraı le, t OW = w... w = t MW =m... w mw alırak, Mmum oktalarıı celeyeceğmz fokyou yazıp, kım türevler å g = c w w + a( m-m w... - m w ) + b( -w...-w ), j j, j= CW = am + bo t t t W= ( am+ boc ) - eştlğ elde ederz. t W ç bu fadey fokyou kııtlarıa yerleştrrek, MC M a + MC O b = m ( - t ) ( - t ) - t - t ( OC M ) a + ( OC O ) b = oucu elde edlr. Yukarıda k deklem tem Cramer kuralıa göre çözüp, b ve a değerler ağırlık vektörüü eştlğe yerleştrrek, 38

45 W æm MC O ö æmc M mö ç ç OC O OC M = è ø è ø - t - t æmc M MC O ö ç - t - t èoc M OC O ø - t - t - - MC + OC - t - t oucuu elde ederz. Bu ouç, öcede belrlee beklee getry ağlayacak ve mmum rk verecek ola varlıkları portföy çde k ağırlıklarıı mktarıı verr. 3.3 Rkz Varlık İçere Portföy Bu bölüme kadar portföyü oluştura varlıkları hep rkl olduğu kabul edlmşt. Bu bölümde e portföy çde rkl varlıkları yaııra rkz varlıkları da olduğu kabul edlecektr. Markowtz portföy teor rkz varlıkları da çerecek şeklde geşletlme Wllam Sharpe tarafıda bulumuş ola da Joh Lter ve J. Mo brbrlerde bağımız ve eşzamalı olarak bu kouda bulmuş oldukları ouçlar ede le, lgl teorem lteratürde SLM-CAP M olarak da adladırılır. Sermaye fyatlama model gerde yata temel düşüce, yatırımcıı rk-beklee getr dege daha y br evye de oluşturmak ç portföyüü rkl ve rkz varlıklarda bell orada ekleyerek oluşturacağıdır. Bu fadey aaltk yollarda göterrek varlıkları ağırlıklarıı, varlıkları ağırlıklarıı göter, arf portföy çde k rkz varlıkları, wrf lgl rkz a... a portföy çde k rkl varlıkları ve w... w bu w rf å + w = = ROMAN, a.g.e.,.59. REILLY, a.g.e.,

46 w rkl å = w = şartları altıda portföyü beklee getr, å m = w m + wm= w m + m rf rf rf rf rkl = şekldedr. Portföyü varyaı e aşağıda k şekldedr. = Var( wrf Rrf + åwr ) Var= ( åwr ) rkl = = = Portföy çde rkl varlıkları ked aralarıda k ağırlıkları türetlmş rkl portföy olarak adladırılır. Türetlmş rkl portföyü beklee getr mder ve rk der şeklde göterlr.bu kavramlara göre portföyü beklee getr tekrarda yazarak, m w m wm rf rf = = +å w m + w å w m rf rf rkl wrkl w m + w m rf rf rkl der oucu elde edlr. Portföy rk e aşağıda k şekldedr, = Var( åw R ) wrklvar = ( å R ) wrkl= der = wrkl w 40

47 Böylelkle aşağıda k ouçlar elde edlmş oluur, m = w m + w m rf rf rkl der = w rkl der w rf = - wrkl ve = wrklder ouçlarıı beklee getr fokyoua eklerek, m -m = + der rf m mrf der eştlğ elde edlr. Aşağıda k grafk bu doğruyu götermektedr. 3 Şekl.7 Grafk üzerde k marjal durum da görülmektedr. Rkl varlıkları portföy çde k ağırlıkları ıfıra eşte, (, m) = (0, m rf ) durumu ağlamış olur ve rk çermedğde beklee getr ekede br oktadır. Rkl varlıkları portföy 3 George W. GALLINGER, Jerry B. POE, Eetal of Face, New Jerey, Pretce Hall,.66. 4

48 çde k ağırlıkları toplamı bre eşte, (, m) = (, m ) durumu ağlamış olur k burada da öcek bölümde celee ouçlar buluur. der der Yukarıda belrtle k marjal durumu dışıda, yatırımcı portföyü rkl ve rkz varlıklar çeryora, portföy ç rk-beklee getr oktaı (0, m rf ) ve (, m ) oktalarıı brleştre doğru üzerde olacaktır. Acak (, m ) oktaı der der Markowtz bölgede keyf br yerdedr, bu yüzde e yükek getry bulmak ç Markowtz bölge üt kımıa teğet ola doğruu teğet oktaıı bulmak gerekr. der der 3.3. Sermaye Pyaaı Doğruu Deklem Markowtz bölgede k keyf br (, m ) oktaıı (0, m ) oktaı le brleştre doğruu eğm, rf m-m rf = = å å mw -m rf c ww, j j şekldedr. Mmum rk ağlaya oktayı, (0, m rf ) oktaı le brleştre doğru, bu şartı ağlaya dğer doğrularla mukayee edldğde daha dk olmak zorudadır, başka br değşle dğer doğruları eğmler le mukayee edldğde makmum olmak zorudadır. yötem uygulayıp, å w = kııtı altıda, makmum eğm bulmak ç Lagrage = f å mw -mrf = + l( -åw ) c ww å, j j 4

49 fokyouu kım türevler alırak, f w k å å å mk c, jww j -( mw -mrf )( c, kw) = - l = 0 3 ( c ww ) å, j j oucuu elde ederz k bu oucu da vektörel fade aşağıda k şekldedr. ( WCW t ) m -( MW t - m ) C W t = l( WCW t ) k rf k 3 m -( m - m ) CW = l t 3 k rf k Bütü k değerler ç bu eştlk ağladığıda, yukarıda k fade, M -( m - m ) C W = l O t t 3 t rf k şekle döüşür. So fade trapoze alıp ağda t W vektörü le çarparak, MW -( m - m ) WCW = l t t 3 rf m -( m - m ) = l 3 rf l = m rf oucu elde edlr. Bu fadey deklemde yere koyarak ve gerekl adeleştrmeler yaparak, 43

50 ( M-m OC ) - rf W= t ( M mrf O ) C - - O oucuu elde ederz. Bu eştlk portföyü rk çermeye varlıklara ahp olduğuda mmum rk ağlamak ç varlıkları hag ağırlıkta olmaı gerektğ götermektedr. 3.4 Tekl İdek Model Portföy çdek varlıkları ayıı arttıkça ortalama varya model uygulamaı heaplamalar kouuda zorluk göterecektr. Tekl dek modelde varlık getrler araıda k korelayo yere, herbr varlık getr pyaa ortalama getr veya pyaa dek le ola beta katayıları kullaılmaktadır. Wllam Sharpe varlıklar le pyaa araıda doğrual br lşk olduğuu ve bu lşk bat doğrual regreyo model le fade edlebleceğ ler ürmüştür. Bua göre her br varlığı getr aşağıda k regreyo doğruu le heaplaır, 4 R = a + b R + e k k k M R k, k.varlığı getr ke R M pyaa getr götermektedr. k.varlığı, pazarı durağa olduğu durumuda k getr, araıda k lşky götermektedr. b k katayııı, 5 bk a k, k.varlık le Pazar b k Cov( R, RM) = k M 4 5 REILLY, a.g.e.,.583. Stephe F. LEROY, Ja WERNER, Prcple of Facal Ecoomc, Cambrdge, Cambrdge Uverty Pre, 00,

51 a k katayııı aşağıda k şeklde buluur. a = e( R) -be( R ) k k M Bata katayıı, keyf br varlığı pyaada k dalgalamalarıa karşı duyarlılığıı ölçüüdür. Böylelkle varlığı portföy getre ve rke katkıı, lgl varlığı beta katayıı le ölçülür. Beta katayıı le tekl varlığı rk ve beklee getr ölçeblrz. Bua göre varlığı rk, 6 = Var( R ) Var = ( b R + a + e) Var( b= R + e) b =+ Var( e) k k k M k k M k M şekldedr. Burada b k M, k a varlığıı tematk rk göterr ve pyaa rk le oratılıdır. Var( e ) e tematk olmaya rk götermektedr. üreç zler, Tekl varlığı beklee getr beta katayıı le fade etmek ç aşağıdak e k = ( ) m = Me k t k daha öce bulmuş olduğumuz pyaa portföy ağırlıkları deklem M vektörüe göre çözerek, W C+ m O M M rf = t ( M m O rf ) C - - O eştlğ elde edlr. Varlık beklee getre lgl eştlk eklere, 6 Sheldo M. ROSS, A Elemetary Itroducto to Mathematcal Face, Cambrdge, Cambrdge Uverty, 003,

52 m k W C+ m O = ( ) e ( M - ) M rf t - t k mrf O C O m k Cov( Rk, RM) = + m - rf ( M -m O) C O rf Cov( Rk, RM) buluur. Beta katayıı, bk = le göterlmşt, bu fadey yukarıda elde edle ouçlara göre çözerek, M b k mk - mrf = m - m M rf m = b ( m - m ) + m k k M rf rf oucua ulaşılır. Yukarıda k ouçları özetlerek, varlığı tematk rk, pyaa tematk rkde küçüke, b < varlığı getr pyaa getrde daha k M M düşük olacaktır. b > durumu gerçekleşre, varlığı getr pyaa getr k M M üzerde olacaktır. Burada yatırımcı ç öeml br huu, pyaa getrde yükek tekl varlık getr ayı zamada pyaa rkde büyük varlık rk alamıa geldğdr. Stematk ve tematk olmaya rkler toplamıda oluşa portföy rk heaplamaı ç, p = p M +åx M = b formülü kullaılır. p portföyü getr rk, M pyaa dek tadart apmaı, M. varlığı getr dekle lgl olmaya değşmdr. 46

53 Yukarıda k formül yardımı le çok ayıda varlık çere portföy ç varya ve kovarya heaplamak yere, portföy çdek varlık ayıı kadar varya ve her br varlığı dek le ola lşk heaplamaktadır. 3.5 Optmum Portföyü Bulumaı (Elto-Gruber Yötem) Elto-Gruber yöteme göre varlıklar aşağıda verle formül yardımı le performalarıa göre ıralaırlar, R - R b rf R,. varlığı beklee getr, R rf rkz varlığı getr, b. varlığı getrde k % lk değşm fade ede katayıdır. Yukarıda k formülle heaplaacak e büyük ora performaı, e yükek varlığı göterecektr. Bu oralar yardımı le varlıklar araıda br ıralama yapılablr ve böylelkle kaç varlığı portföy çe alıacağı br C kem oktaı le buluur. ç her br varlık ç aşağıdak formül uygulaarak C kem oktaıı bulmak C değerler buluur. 7 C = M å = + ( R -R ) b rf e b M å = e Yukarıda k formülde, M Pazar dek varyaıı, e tematk olmaya rk götermektedr. Bulua C değerler le R - R b rf değerler 7 J. Edw ELTON, J. Mart GRUBER, Moder Portfolo Theory ad Ivetmet Aaly, Caada, Joh Wley & So, 995,.85 47

54 karşılaştırılır ve R -R b şartı ağlamayalar portföy dışıda tutulur. rf > C şartıı ağlaya varlıklar portföy çe alıırke bu Portföye grecek varlıklar belrledkte ora, bu varlıkları portföy çde k ağırlıklarıı bulumaı gerekmektedr. Bu şlem ç her varlık ç heaplaır. 8 Z değerler Z b R -R = - ( rf C ) e b Z değerler heapladıkta ora,. varlığı portföy çde k payı değerler aşağıda k formül le heaplaır. w w = k Z å = Z Yukarıda k formüller yardımı le varlıklar performalarıa göre değerledrlerek e y rk-getr dege ağlaya portföyler elde edlmş olur. 8 A.e.,

55 49

56 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM UYGULAMA Bu bölümde Markowtz portföy çeştledrmede Sharpe yaklaşımları kullaılarak çok ayıda varlık araıda e y rk-getr dege verecek portföyler oluşturmayla lgl uygulamaya yer verlmştr. Uygulama da modele alıa he eetler, İtabul Mekul Kıymetler Boraı ( İMKB-30) da alımıştır. Bu he eetler tarhler araıda k döem kapaış fyatları baz alıarak şlemler yapılmıştır. İMKB-30 da şlem göre he eetler 30 adet olup bu he eetler aşağıda k tabloda göterlmştr.. ANADOLU EFES BIRACILIK (AEFES). AKBANK (AKBNK) 3. AKSIGORTA (AKGRT) 4. ARCELIK (ARCLK) 5. DENIZBANK A.S. (DENIZ) 6. DOGAN HOLDING (DOHOL) 7. DOGAN YAYIN HOLDING (DYHOL) 8. ENKA INSAAT (ENKAI) 9. EREGLI DEMIR CELIK (EREGL) 0. FINANSBANK (FINBN). FORD OTOSAN (FROTO). GARANTI BANKASI (GARAN) 3. HURRIYET GAZETECILIK (HURGZ) 4. IHLAS HOLDING (IHLAS) 49

57 5. IS BANKASI (C) (ISCTR) 6. IS GAYRIMENKUL YAT. ORT. (ISGYO) 7. KOC HOLDING (KCHOL) 8. KARDEMIR (D) (KRDMD) 9. MIGROS (MIGRS) 0. SABANCI HOLDING (SAHOL). SISE CAM (SISE). TURKCELL (TCELL) 3. TURK HAVA YOLLARI (THYAO) 4. TANSAS (TNSAS) 5. TOFAS T. OTOMOBIL FABRIKASI (TOASO) 6. TUPRAS (TUPRS) 7. ULKER GIDA (ULKER) 8. VESTEL (VESTL) 9. YAZICILAR HOLDING (YAZIC) 30. YAPI VE KREDI BANKASI (YKBNK) Tablo 3. Markowtz ve Sharpe yötemler lgl döemde uygulaablme ç İMKB-30 da şlem göre 30 he eed gülük getrler P t + - t P P t = R formülü le heaplaır. İlgl formülde t P +,. he eed t + c gükü kapaış fyatı, t P,. he eed t c gükü kapaış fyatıı götermektedr. R,. he eed gülük getrdr. ayı formülle heaplaır. R m le göterle Pazar edek gülük getrler de Öcek bölümde belrtldğ gb Sharpe yaklaşımıda her he eed getr ( R ) le Pazar getr ( R m ) araıda R = a + brm + e şeklde göterle br regreyo lşk vardır. 50

58 Regreyo deklemde k parametreler bulumaı amacıyla Mcrooft Excel 000 de regreyo heaplamaları yapılmıştır. Bulua regreyo deklemler parametrelerde hareketle 30-he eed hagler portföy oluşturmada etk olduğuu tept edlme ç Elto-Gruber yöteme başvurulmuştur. Elto-Gruber yötemde he eetler R - R b f oralarıa göre ıralamaktadır. Burada R,. he eed ortalama getr, R f rkz varlığı getr ( uygulamada rkz varlık kullaılmadığıda bu değer ıfır olarak alımıştır), b. he eed beta katayııdır. Bu formülü uygulamaı le he eetler portföy çdek etklk ıraları ve bua bağlı olarak hag he eetler portföye dahl edlebleceğ tept edlr. R b oralarıa göre ıralaa 30 he eed Tablo de göterlmştr. Bu ıralamaya göre portföye grmede e etk he eetler Dezbak A.S., Aadolu Efe Bracılık, Yapı ve Kred Bakaı, Akgorta şeklde k ıra le başlamaktadır. Etklk ıralamaıı belrlemede ora kaç he eed portföye alıacağıı belrleme gerekr. Bu tept ç M Pazar dek varyaı, olmak üzere, aşağıda göterle formül yardımı le e tematk olmaya rk C değerler heaplaır. C = M å = + ( R -R ) b rf e b M å = e Pazar dek varyaı 0,8369 olarak bulumuştur. Brc etk he eed Dezbak A.Ş. ç R = 0,04699, b = 0,05569, C değer formül yardımı le 0,36847 olarak heaplamıştır. e = 0,003 olduğuda 5

59 He Seed R b R / b DENIZ AEFES YKBNK AKGRT YAZIC VESTL HURGZ ENKAI DYHOL GARAN FROTO SISE ULKER TOASO ISGYO FINBN THYAO KCHOL IHLAS TUPRS EREGL ISCTR DOHOL KRDMD AKBNK TCELL MIGRS ARCLK SAHOL TNSAS e C Z x Tablo 3. İkc etk he eed Aadolu Efe Bracılık ç R = , b = , e = olduğuda C değer formül yardımı le olarak heaplamıştır. Heaplaa C değerler portföye hag he eetler alımaı 5

60 gerektğ aptamamıza yarar. Bu belrleme de temel krter C de büyük oralarıa ahp he eetler eçlmedr. İlgl özellğe ahp he eetler etk olarak kabul edlr. R b Tablo- de hareketle Dez Bak ve Aadolu Efe Bracılık etk he eetler oldukları görülür. R b oraıı C değerde büyük olduğu o he eed C değer C kem oktaıı verr. Optmum portföyü oluşturmak ç lgl portföy çde k he eetler ağırlıklarıı bulumaı gerekmektedr. Buu ç öcelkle aşağıdak formül yardımı le Z değerler heaplaır, Z b R -R = - ( rf C ) e b daha ora Z değerler yardımı le he eetler portföy çde k ağırlıkları tept edlr. Buu ç aşağıda k formül uygulaır, w = k Z å = Z Tablo- de görüleceğ gb Dez Bak portföy çde %9,3 lük br ağırlığa ahp ke Aadolu Efe Bracılık % 80 lk br ağırlığa ahptr. Bulua portföyü beklee getr aşağıda k formül yardımı le heaplaır. å å R = wr = w( a + b R + e ) p = = 53

61 Yukarıda k formül yardımı le portföyümüzü beklee getr 0,0393 olarak heaplaır. Portföyü getr rk ç aşağıda k formül kullaılır. p å m å e = = V( x) = [( wb ) = ] + [ w ] İlgl formülü yardımı le portföyü varyaı 0,00074, tadart apmaı e 0,07 olarak buluur. Sharpe dek ve Elto-Gruber optmum portföy bulma yötemler kullaılarak 30 he eedde tae portföy oluşturmada etk olduğu tept edlmş ve lgl he eetlerde optmum portföy oluşturulmuştur.sharpe yaklaşımıyla bulua bu ouçlarda ora yatırımcı tpe göre optmum portföyler Markowtz yaklaşımı le oluşturulmaya çalışılmıştır. Yatırımcı açııda çeştl beklee getr oralarıa göre optmum portföyü bulumaı ç kc bölümde verle aşağıda k formül kullaılacaktır. W æm MC O ö æmc M mö ç ç OC O OC M = è ø è ø - t - t æmc M MC O ö ç - t - t èoc M OC O ø - t - t - - MC + OC - t - t Yukarıda k formülde matr formları çde geçe değerler aşağıda k tabloda verlmştr. C, portföye dahl ola he eetler varya-kovarya matr götermektedr. Yatırımcı beklee getr değer (μ) belrleyp lgl formüle yerleştrerek optmum portföy çde k he eetler ağırlıklarıı bulacaktır. 54

62 C C OC OC - O t MC MC - O t 0.96 OC - M t MC - M t 0.43 Tablo 3.3 Yatırımcı açııda beklee getr oraı (μ) 0,05 olarak alııp lgl formüle bu değer yerleştrldğde yatırımcı açııda optmum portföy tüm ermaye Dez Bak a yatırılmaı le elde edlr. Bu durumda e optmum portföyü rk Dez Bak ı döem ç rke dek gelecektr. Yatırımcı açııda beklee getr oraı (μ) 0,03 olarak alııp, bu değer formüle yerleştrlre, yatırımcı açııda optmum portföy, ermaye % 46,88 Dez Bak a, % 5,76 ı Aadolu Efe Bracılık a yatırılmaı le elde edlecektr. Bu durumda e optmum portföyü rk 0,0009 olarak gerçekleşr. 55

63 56

64 SONUÇ Moder portföy teor le geçmşte oyut br kavram ola rk, omut br yapıya drgemş ve bu ayede rk ölçüleblme özellğ de ortaya çıkmıştır. Rk ölçüleblme özellğ, bu yapıyı mmze edecek yötemler de gelştrlme de ağlamıştır. Bu yötemlerde Markowtz ve Sharpe yaklaşımları oldukça kullaışlı olalardadır. Sharpe yaklaşımı tekl he eed getr le pazarı getr araıdak lşky celerke, Markowtz yaklaşımıda getr-rk fokyolarıda oluşa amaç fokyouu mmze edlme amaçlamaktadır. Bu çalışmada k yötemde br eçlme yere, çözümü daha etk telkte olmaı ç yötemler brleştrlmştr. Sharpe ı tek dek model le Elto- Gruber optmum portföy yaklaşımları brleştrlerek 30 he eed etk he eede drlmş, daha ora bu he eed Markowtz kuadratk programlama model değşkeler kabul edlerek e y rk-getr dege vere optmum portföyler elde edlmştr. Beklee getr le rk araıdak değşm ayı yöde olduğuda, yükek beklee getr amaçlaya yatırımcı yükek br rk oraı le karşı karşıya kalacaktır. Yatırımcıı rke katlama düzeye ya da amaçladığı yükek getr evyee göre farklı portföyler oluşturulablr. Uygulamada, etk he eedde oluşturula ve çeştl yatırımcı tplere htabede portföyler oluşturulmuştur. 0,05 lk br beklee getr evye amaçlaya yatırımcı paraıı tümüü Dez Bak a yatırmak zorudadır, böylelkle de 0,0098 lk br rkle karşı karşıya kalacaktır. 0,03 lük br beklee getr 56

65 amaçlaya yatırımcı, 0,0009 luk br rke katlamayı kabul ederek paraıı %46,88 Dez Bak a ger kalaıı Aadolu Efe Bracılık a yatırmalıdır. İlk k portföyü rkl bula yatırımcı ç görel olarak daha düşük rk çere portföy getr oraı 0,03 olarak belrlemştr. Bu getr oraıda yatırım yapmak teye yatırımcı 0,00074 gb daha düşük br rkle karşı karşıya kalacaktır. Bu durumda yatırımcı paraıı %9,3 üü Dez Bak a ger kalaıı Aadolu Efe Bracılık a yatırarak optmum portföye ulaşacaktır. 57

66 KAYNAKÇA ALTAY, Erdç: Sermaye Pyaaı da Varlık Fyatlama Teorler, İtabul, Der Yayıları, 004 APOSTOL, Tom: Calculu, Joh Wley & So,. clt, 967 BERBERIAN, Sterlg: A Frt Coure Real Aaly, Sprger-Verlag, 994 BERSEKAS, Dmtr P.: Nolear Programmg, Athea Scetfc, 999 CHIANG, Alpha C.: Fudametal Method of Mathematcal Ecoomc, McGraw-Hll, 994 ELTON,J. Edw, J. Mart GRUBER: Moder Portfolo Theory ad Ivetmet Aaly, Caada, Joh Wley & So, 995 FLOUDAS, Chrtodoulo A.: Nolear ad Mxed-Iteger Optmzato, New York, Oxford Pre,995 GALLINGER, George W., Jerry B. POE: Eetal of Face, New Jerey, Pretce Hall 58

67 GORDON, J. Alexader, Wllam F. SHARPE, Jeffery V. Barley: Fudametal of Ivetmet, Pretce Hall, 993, HADLEY,G.: Lear Algebra, Lodo, Addo-Weley Publhg Compay,96 HAUGEN,Robert A.: Moder Ivetmet Theory, Pretce Hall, 993 HIMMELBLAU, Davd: Appled Nolear Programmg, McGraw-Hll Book Compay, 97 KOLMAN, Berard, Davd R. HILL: Uygulamalı Leer Cebr, Çev. Prof. Dr. Ömer Akı Palme Yayıcılık, 00 LEROY, Stephe F., Ja WERNER: Prcple of Facal Ecoomc, Cambrdge, Cambrdge Uverty Pre, 00 LUENBERGER, Davd: Itroducto to Lear ad Nolear Programmg, Addo-Weley Publhg Compay, 973 MANGASARIAN, Olv L.: Nolear Programmg, SIAM,994 MARKOWITZ,M. Harry : Mea-Varace Aaly Portfolo Choce ad Captal Market, Oxford, Bal Blackwell MARKOWITZ,M. Harry: Portfolo Selecto Effcet Dverfcato of Ivetmet, 997 MOLES, Peter, Nchola TERRY: The Hadbook of Iteratoal Facal Term, Oxford Uverty Pre,