PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 05 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

2 Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya başladı. Şu ada ekkler oldukça fazla olmaıa rağme yayılamaı daha uygu olacağı kaaatdeym. Şmdlk brçok ekkler bulumaktadır. İşaallah gelecek yıllarda daha düzgü hâle getrlecektr. Alıda İglzce kayaklarda Otomatk Kotrol le lgl çok daha geş ve ayrıtılı açıklamalar bulumaıa rağme, Türkçe kayaklarda fazla olmadığıda dolayı bu kıma ağırlık verlecektr. Çözümler yer geldğde Smülayo programları le de göterlecektr. Der otlarıda Türkçe ble tüm öğrecler paraız olarak faydalaablme ç PDF formatı terch edld. Böylece öğrecler derte ayı şeyler yazmak yere, zamalarıı alamaya ayırmaı ve daha başarılı olmaı arzu edld. Der otları lk defa yazılmaya başladığı ç hataları olacaktır. Fakat der eaıda ve zamala bu hatalar e az hale getrlecektr. Bu zamaa kadar öğreclere hçbr şey vermemektee hatalı da ola yayılamaı daha faydalı olacağı kaaatdeym. Notları geşletlmee mümkü olduğuca devam edlecektr. Ya zama geçtkçe daha düzgü ve hataız hale getrlecektr. Ayrıca ye bölümler de ekleecektr (Modelca kökel (MapleSm, Dymola, Matlab\Smulk ) gb program örekler ). Der otlarıda görüle hataları tarafıma bldrlme be daha da memu eder. Böylece daha düzgü hale gelecektr. İşâallah laveler yapıldıkça ye hâlyle tekrar web ayfaıda tekrar yayılamaya devam edecektr. Doç.Dr. Zekerya Grg Ağuto 05 Pamukkale Üverte Mühedlk Fakülte Make Mühedlğ Bölümü Kııklı Kampüü 0070 Dezl, Türkye Web page: İa, p boğazıa arılıp, tedğ yerde otlamak ç başıboş bırakılmamıştır; belk bütü ameller ûretler alııp yazılır ve bütü fller etceler muhaebe ç zabtedlr. Ahrette e kurtaracak br eer olmadığı takdrde, fâ düyada bıraktığı eerlere de kıymet verme

3 İçdekler Ööz... GİRİŞ Kotrol Stemler:... 5 Blok Dyagramı:... 5 Toplama Noktaı (Summg Pot):... 6 Dağılma Noktaı (Takeoff Pot):... 6 Uygulama :... 6 Uygulama :... 7 Uygulama :... 8 Uygulama :... 9 Uygulama :... 9 Uygulama :... 0 Uygulama :... 0 Uygulama :.... Laplace Döüşümler... A () de Farklı Kökler Olmaı Durumu... Laplace Döüşüm Tablou... 3 Laplace Döüşüm Özellkler... 4 A () de Kökler Tekrarlamaı Durumu Blok dyagramı cebr ve blokları drgeme İşaret Akış Grafkler: Taımlamalar... 6 İşaret Akış Grafğ Cebr... 7 Leer Stemler İşaret Akış Grafğ İle Göterm... 8 İşaret Akış Deklem... 8 Uygulama... 9 Uygulama Uygulama... 3 Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama... 4 Uygulama... 4 Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama... 47

4 5. Kararlılık Krterler Routh Krter... 5 Uygulama... 5 Uygulama... 5 Uygulama... 5 Uygulama... 5 Uygulama... 5 Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Hurwtz Krter Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Sürekl Bölme Krter Uygulama Uygulama Uygulama Leerleştrme... 6 Leer Olmaya Fokyoları Leerleştrlme... 6 Mal Mal Mal Zama Cevabı (Tme Repoe) Brc Mertebede Stemler (Frt Order Sytem) Mal : İkc Mertebede Stemler (Secod Order Sytem) Root Locu Metodu (The Root-Locu Method) Negatf ger belemel temlerde Root Locu Metodu le Çzm Mal: Mal: Mal: Mal:

5 Mal:... 8 Mal: Mal: Mal: Mal:... 9 Mal:... 9 Poztf ger belemel temlerde Root Locu Metodu le Çzm Mal: Kutup lave (Addto of Pole to G() H()) Sıfır lave (Addto of Zero to G() H()) Root-Locu le Dzay (Steme kutup ve ıfır ekleme etkler) Root-Locu le Lead Kompazayo (Lead Compeato wth Root-Locu method) 98 Root-Locu le Lag Kompazayo (Lag Compeato wth Root-Locu method) 04 Root-Locu le PD(Oratı+Itegral) Kotrol (PD Cotroller ug Root-Locu method) Durum Uzay Metotları (State-Space Method) Durum Deklem Traformayou (Traformg the State Equato) Drekt Programlama... Paralel Programlama... Ser Programlama... 3 Geel Programlama... 4 Uygulama... 6 Uygulama... 8 Uygulama Kotrol Elemaları... 3 İk koumlu veya Açık-Kapalı Kotrol Elemaı (Two-poto or o-off Cotroller)... 3 Oratı Kotrol Elemaı (Proportoal Cotroller)... 4 İtegral Kotrol Elemaı (Itegral Cotroller)... 4 Oratı + İtegral Elemaı (PI) (Proportoal+Itegral Cotroller)... 4 Oratı+Dferayel Kotrol Elemaı (PD) (Proportoal + Dfferetal Cotroller)... 5 Oratı+Itegral+Dferayel Kotrol Elemaı ( PID = Proportoal+Itegral Dfferetal Coroller)... 6 Hdrolk Kotrol Elemaları... 6 Hdrolk İtegral Elemaı... 7 Hdrolk Oratı Elemaı... 7 Amortörler... 8 Hdrolk Oratı + İtegral Elemaı

6 Hdrolk Oratı + Dferayel Elemaı... 3 Hdrolk Oratı + Itegral + Dferayel Elemaı... 3 Ked Kede Kotrol Ede Stemler Freka Tepk Aalz (Frequecy Repoe Aaly) Bode Grafğ (Bode Dagram) Matlab Cotrol Sytem Toolbox... 4 Model bağlatıları (Model Itercoecto)... 4 feedback... 4 parallel... 4 ere... 4 GİRİŞ Otomatk kotrol uygulamaı gülük hayatımızda ıkça kullaılmaktadır. Temel olarak kapalı devre (ger belemel) ve açık olmak üzere k kıma ayrılablr. Burada yalızca ger belemel kotrol temler celeecektr. Ayrıca kotrol elemalarıı malzemee bağlı olarak da ııfladırmak mümküdür. Hdrolk, mekak, pömatk, elektrok veya bleşeler şeklde olablr. Ayrıca kotrol elemalarıı göterdkler davraışa bağlı olarak da ııfladırmak mümküdür ( Oratı(P), Itegral(I), v. şeklde). Br Kotrol devre aalz veya etez edleblme ç;. Fzkel tem matematkel model elde edlr.. Gerekl bağıtılar yazılır. 3. Stem Blok dyagramı çzlr. 4. Daha bat göterm ç, blok dyagramıda şaret akış grafğ çzlr. 5. Elde edle şaret akış grafğde tem trafer fokyoları veya kararlı olup olmadığı veya kararlı olmaı ç hag aralıklarda olmaı gerektğ gb heaplamalar elde edlr. İlerde bular detaylarıyla celeecektr.. Kotrol Stemler: Kotrol tem alaşılablme açııda aşağıdak temel taımlamaları blme gerekldr. Blok Dyagramı: Fzkel br tem grş ve çıkışları araıdak, ebep ouç lşkler remle (çzm) alatılış şekle der. Blok dyagramıı oluştura parçalara e, elema der. Blok dyagramıı e bat şekl; tek blok ve br grş çıkışta oluşur (bakıız şekl:.). GrşBlok Çıkış (.) Dkdörtge ç, bloğu taımlar ve geellkle elemaı tp veya matematkel br şlem taımı çe yazılır. Blokta kullaıla oklar şlem akış yöüü belrler. 5

7 Toplama Noktaı (Summg Pot): Blok küçük br dare şeklde olduğuda bua toplama oktaı der. Toplama oktaıa gele oklarda artı(+) veya ek(-) şaret bulumalıdır. Toplama oktaıa gele grş ayıı br veya daha fazla olduğu halde çıkış adece br taedr ve çıkışa şaret koulmaz. Dağılma Noktaı (Takeoff Pot): Gele br yal, brde fazla kola çıkışıı götermek ç dağılma oktaı kullaılır ve okta () le göterlr. Grş br tae olduğu halde çıkış k veya daha fazladır. Bütü çıkış kollarıdak değerler grş le ayıdır. Öreğ br a e ştlmede br le b brdr veya evlerdek elektrk 0V le eve gelr. Ba çerde brçok dala (kola) ayrıldığı halde bütü dallardak (kollardak) voltaj ye 0V tur. Gerçek hayatta karşılaşıla problemler kotrol temlerde aıl fade edldğ aşağıdak uygulamalarda göterlmştr. Uygulama : Aşağıdak şeklde egatf ger belemel kotrol tem verlmektedr. Taktak u evye yükeldğde, yüzer top yükelmekte ve dolayııyla palagaya bağlı ola halat ayede u grş egelleye kapak aşağı mektedr. Su evye azaldığı takdrde kapak ger açılmakta ve u grş erbet bırakmaktadır. kapak makara halat u Şamadıra kap u vaa Bu teme at blok dyagramı aşağıda verlmştr. 6

8 Uygulama : Aşağıda verle deklemler blok dyagramlarıı çzz. a) x dx a dt Çözüm: a ) b) x d x dx x dt dt 3 c) x x dt 4 3 veya veya b ) Kotrol elemaları er olarak bağladığı takdrde brleştrleblr. Ayı örek; 7

9 şeklde de olablr. c ) Uygulama : Aşağıda verle ervo mekazmaı fokyou uyu açmak ve kapamaktır. Stem grşdek döer tpl voltmetre, karşııdak Batarya voltaj kayağıa bağlıdır. Voltmetre hareket edeble üçücü ucu, açıal koumla kalbre edlmştr. Çıkış ucu e, hız yükeltc (ervo amplfer) dye adladırıla termale elektrkle bağlamıştır.hız yükeltc, hızı değşeble elektrk motoruu (ervomotor)çalışmaı ç gerekl ola voltajı deteklemektedr. Servomotor e mekak br kolla u valfıa bağlıdır. Ya motoru dömeyle, u valfı açılmakta veya kapamaktadır.valfı yük etk hmal edlmektedr. Motor ml 360 dömeyle, valf tamame açılmaktadır. Ayrıca, kc voltmetre (ger beleme voltmetre) hareket edeble kc ucu paralel olarak ve abt şeklde grş voltmetree bağlıdır. Bell br açı mktarı kadar grş dödürüldüğüde,aradak fark ervo amplfer le yükeltlerek motora letlr. Motor dömeye başlar. Fakat motorda alıa dğer br uç ger beleme voltmetree verldğde buda aradak farkı düşürür. Ya motor tele kouma geldğde voltaj farkı ıfır olduğu ç motor durur. Verle açı ter yöe alııra motor ter yöde dömeye başlar ve ye belrlee kouma gelce durur. Bu tem Blok dyagramı şematk olarak aşağıdak gb çzleblr. Şeklde görüldüğü gb grş (put) ve ger beleme (feedback) voltmetre voltajları ayı olduğuda tem hareketzdr. Buradak kütleler etkde dolayı gerçekte tem heme durmaz, alıım yaparak durur. 8

10 Uygulama : Aşağıda şematk olarak verle, bat br hız kotrol tem (velocty ervomecham) blok dyagramıı çzz. Döer tpl voltmetre vardır ve rad/ cde kalbre edlmştr. (Motor mlde herhag br dış yük yok.) batarya voltaj kayağı, hem grş voltmetre hem de motoru dödürmektedr. Bataryada alıa voltaj grş voltmetree bağlı olduğuda rad/ cde verle büyüklüğü br ucu drek olarak yükeltcye, dğer ucu e takometreye bağlıdır. Uygulama : Fotoell ışık açma-kapama düğmeyle çalışa br lambaı odaı karalığıa bağlı olarak çalışmaı ç, bu tem blok dyagramıı çzz. Çözüm : Odadak ışık yoğuluğu fotoel çalışmaı ç gerekl yoğulukta daha fazla veya oa eşt olmalıdır. Fotoel ve lamba kotrol elemalarıdır. Kotrol yal odayı aydılata ışık 9

11 yoğuluğudur. Bu da güeş ve lambada gele ışıkla oluşmaktadır. E az mktardak ışık yoğuluğu r, lamba tek başıa açıkke (güeş ışığı yok) elde edle ışık yoğuluğua eşttr. Uygulama : Br aı elyle br eeye ulaşmaı ç yaptığı davraışı blok dyagramıı şematk olarak çzz. Çözüm: Bu kotrol tem temel elemaları; bey(bra), kol(arm),el(had) ve gözlerdr(eye). Grş(Iput);ee koumudur. Çıkış(Output); el koumudur. Aşağıdak şeklde verle kek çzgler ve oklar; blg akışıı yöüü götermektedr. Gözler a el le ee araıdak farkı fark eder ve beye letr. Bey bua göre koldak rler uyararak harekete geçrr. El bua göre hareket ederke, göz ürekl olarak ee le el araıdak farkı algılar ve el eeye gerektğ kadar yaklaştığıda bey, el parmaklarıı uyararak cm tutmaıı ağlar. Cm tutulurke parmak uçları eor(algılayıcı) vazfe görür. Uygulama : İa yürüme tem blok dyagramıı çzz. Çözüm: İtele hareket yöü (dered walk drecto) grştr. Gerçekleşe hareket yöü (Actual work drecto) çıkıştır. Gözler(eye) aradak farkı görür ve beye bldrr. Bey de bu farka bağlı olarak bacaklara ve ayaklara uyarı gödererek oları yöledrr.bu arada göz hep ölçmeye devam eder. Hata payı olmadığı takdrde bacaklar ve ayaklar ayı şeklde devam eder. Eğer a alkollü olduğu takdrde toplama oktaıdak fark ölçülemeyeceğ ç (gerçekleşe yö le tele hareket yöü araıdak fark ), büyük hatalar meydaa gelr. 0

12 Uygulama : Sıcaklığıı otomatk olarak ayarlayıp belrl evyede tuta elektrkl fırıı çalışmaıyla lgl blok dyagramıı çzz. Çözüm : Bzm ayarladığımız ıcak değer grştr. Fırıı(Ove) gerçek ıcaklığı e çıkıştır. Fırıı ıcaklığı, ayarlaa(refera) değerde küçük olduğu takdrde, termotat elektrk düğme(wtch) açar ve ııtıcı(heater), (rezta) çalışmaya başlar. Iıtıcı çalışıca, fırıı ıcaklığı artar ve tele değer aşıca, termotat elektrk düğme kapar ve fırıı ıcaklık yükelme durdurulmuş olur. Stemdek çıkış herhag br şeklde grş etklemyora açık devrel kotrol tem, etklyora kapalı devrel (ger belemel) kotrol tem olarak adladırılır. Ger belemel kotrol devreler, ked araıda, poztf veya egatf ger belemel olmak üzere k kıma ayrılır. Stemde meydaa gele hata mktarı düzeltlmeye çalışılıyora egatf ger belemel, artırılmaya çalışılıyora poztf ger belemel olarak adladırılır. Yukarıdak elektrkl fırı veya u takıı çalışma preb, egatf ger belemeye örektr. Grşte başlayıp çıkışa doğru gde yol üzerde bulua elemalara, ler yol kotrol elemaı, çıkışta başlayıp grşe doğru bağlaa yol üzerde bulua elemalara da ger yol elemaı der.. Laplace Döüşümler Başlagıç şartları ble dferayel deklemlere Laplace Döüşümler uygulaablr. Buu ç dferayel deklem kım açılımı le lgl aşağıdak blgler kullamak yararlıdır. F B A şeklde br eştlk verlmş olu ve B () polomuu derece, A () polomuda küçük olu. Bu durumda F(); F F F F olur. A () polomuda kökler gerçel ve brbrde farklı veya tekrarlamalı kök olmaı durumuda katayıları heabı değşr. Verle dferayel deklem mümkü olduğuca açık hale getrlme şarttır. Buu ç aşağıdak yötemler uygulaablr. şeklde verle dferayel deklemde; a0, a,..., am be b0, b,..., b- abtlerdr. a D a D a D a y(t) m m m m 0 D b D bd b0 f(t) tem zorlaya fokyou götermektedr. y(t) e çıkış fokyoudur. Deklem Error! Referece ource ot foud. aşağıdak bçmde kıa olarak göterleblr. y t L L m D D f t f t (.) (.) (.3) (.4)

13 Deklem (.4) de L(D) çarpalarıa ayrıldığıda; r,r,,r olur. r r r elde edlr. Burada; olduğu görülmektedr. Veya, paydaı köklerdr. olduğu takdrde; y( t) y ( t) y ( t) c homoje çözüm kım çözüm L D D r D r D r Lm D a a a a L D Dr Dr Dr D r Lm D Dr Dr Dr Dr K K K K L D Dr Dr Dr p L m D a lm D r Dr L D a a K y(t) f t f t f t Dr Dr Dr a y(t) f(t) Ky t Dr y t f(t) D r r t r t r t (.5) (.6) (.7) (.8) (.9) (.0) (.) y (t) c e e f(t) e dt (.) rt rt rt y(t) k e Ke f(t)e dt olduğuda; (.3) y (t) c k e rt (.4) k c K dr. rt rt y p(t) Ke f(t)e dt (.5) A () de Farklı Kökler Olmaı Durumu m B K Z Z Z F, m A P P P (.6)

14 Deklemde geçe P, P,... P ve Z, Z,... Zm gerçek veya karmaşık büyüklüklerdr. Aşağıda gerçek büyüklük ç celemştr. a : F abt değerlerdr. ( =,,..., ) B a a a A p p p B a p A p Deklem (.8) le verle a değerler daha geel olarak; Laplace Döüşüm Tablou F() f(t) t>0 B a lm p p A (Brm mpule (çarpma)) t veya u t,,3,... ( a) (Brm baamak) (Brm rampa) t 0!! at e! a a a a t co t e e at at t at t e t co t at a a e veya ut,,3,... (.7) (.8) (.9) 3

15 a Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg a at e at at at e ate a a b a at bt e ba e at bt ae ab a b be at bt ct e e e b a c a c b a b a c b c a b c z a b c ab b at bt ct z a e z b e z c e b a c a c b a b a c b c abt e t b a abt e t b a co a b b ab b F f(0) f(0) ft Laplace Döüşüm Özellkler Af ( t) AF( ) x x 3 x 4 x 5 x f ( t) f ( t) F ( ) F ( ) d f ( t ) F ( ) f dt (0 ) d f ( t ) F ( ) f (0 ) f (0 ) dt ( k) ( k ) k k d ( ) ( ) (0 ) f t F f dt k d f( t) f( t) olmak üzere k dt 6 x F ( ) f( t) dt f( t) dt t0 F ( ) k k k t0 7 x... f( t) dt... f( t) dt 8 x F () f() t dt 0 t 4

16 9 f( t) dt lm F( ) ; eğer f( t) dt mevcut e x at e f( t) F( a) f( t a)( t a) e a F( ) a 0 x t f () t x 3 x df() d d t f( t) F( ) d d 4 x t f( t) ( ) F( ),,3,... d 5 x 6 x 7 x f( t) F( ) d eğer lm f( t) mevcute; t t t f af( a) a 8 x f ( t ) f d F ( ) F ( ) t 0 c j f( t) g( t) F( p) G( p) dp j c j t0 Uygulama.: F (8) umaralı deklem uygulamaıyla; a deklem ter laplace ıı heaplayıız. 5 8 a a F() a a 3 olur. Deklem (.0) de yere yazıldığıda; 3 F() elde edlr. Bu değerler, Laplace tablou yardımıyla döüştürüldüğüde; deklem elde edlr. olur. Dğer katayı ç, (.0) (.) t t f(t) e 3e (0 t) (.) 5

17 Uygulama.: Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 3 F( ), f( t)? 3 a a F () a 3 3 a lm a bulua değerler Deklem () de yere yazıldığıda; F () f t e e t olur t t ( ), 0. Maple dldek çözümü; elde edlr ve burada; vlaplace((+3)/((+)*(+)),,t); Cevap: exp(-t) - exp(- t) şekldedr. Uygulama.3: veya F() f(t)? 5 Paydaı kökler aaldır ve aşağıdak bçmde ayrılır. 5 j j (.3) (.4) (.5) Kökler aal olduğuda ü ve coü döüşümler uygulaır. Döüşümler aşağıdak deklemler yardımıyla yapılır. veya; x x at e t e a at co t a a 0 F() 5 0 F() olarak elde edlr. Deklem (.6) ve (.7) dek döüşümler yardımıyla; (.6) (.7) (.8) (.9) 6

18 F( ) 5L f t e t e t t ( ) 5 t t co 0 oucu elde edlr. Maple dldek çözümü; vlaplace((*+)/(**+*+5),,t); Cevap: exp(-t) co( t) + 5 exp(-t) ( t) şekldedr. A () de Kökler Tekrarlamaı Durumu Kökler Tekrarlamaı Durumuda; LD m y( t) f( t) LD ve bq lm Dr Dr q q q L ( D) D r D r D r... D r L m (D) L (D), d q L m (D) bq D lm D r Dr! dd L (D) le taımlı olu cf(t) y (t), y (t) c0 ct... c t e ce... f(t)e (dt),,3,,q D r rt rt rt, k d q L m (D) bq k D lm D r k Drk! dd L (D) şekldedr. Uygulama.4: B( ) 3 b3 b b F () 3 3 A( ) 3 B( ) 3 3 ( ) 3 b3 3 0! A ( ) d 3 3 d b 3 0 3! d! d d 3 B( ) b! d A( ) ( ) t t f t t e 0 e t f ( t) t e, t 0 0 F () 3 oucu elde edlr. Uygulama.5: Aşağıda verle dferayel deklem Laplace metoduyla çözüüz. t D D y t f t, f ( t) e ve y(0) y(0) y(0) 0 D 3 4D 5D y t f ( t) 7 olarak verlyor Y y y y Y y y Y y Y F Y F Y F F() x f t t x e

19 Y Y Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 3 b b b a b3 lm 3 d b lm d d b lm 3! d Y 3 a 3 Laplace tabloudak; x -! at te ( a ) fade kullaılarak; y t t e te e e!! t t t t Maple dldek çözümü: elde edlr. dolve({(d@@3)(y)(t)+4*(d@@)(y)(t)+5*d(y)(t)+*y(t)=exp(- t),y(0)=0,(d@@)(y)(0)=0,(d@@)(y)(0)=0},y(t)); Cevap: y(t) = exp(-t) + / t exp(-t) - exp(-t) t - exp(- t) şekldedr. Uygulama.6: Aşağıda verle dfeayel deklemde, bütü başlagıç şartları ıfırdır ve f( t ) = 4t olduğua göre, çıkış fokyouu heaplayıız. D 3D yt f t y t f ( t ) f ( t ) D 3D DD a a y( t) f( t) D D a lm D lm D D D D D 8

20 a lm D lm D D D D D Deklem (4) de yere yazıldığıda; y a e a e a e a e rt rt t t c olur. a = ve a = - ç kım çözüm elde edlr. 4 4 y K e t e dt K e t e dt p t t t t t t t t t t t t y p e t e dt e t e dt e e t e e t y 4 t t t 3 p y t y ( t) y ( t ) olduğuda; c y( t) k e k e t 3 dy t t t t dt p t ke k e y 0 y 0 0 olduğuda; y(0) k k 3 0 y(0) k k 0 Deklem yere yazıldığıda; y t e e t t t ( ) 4 3 elde edlr. k 4 k elde edlr. olur. Maple dlde ayı problem çözümü aşağıdak gbdr. dolve({dff(y(t),t$)+3*dff(y(t),t)+*y(t)=4*t,y(0)=0,(d@@)(y)(0)=0},y(t)); veya dolve({(d@@)(y)(t)+3*d(y)(t)+*y(t)=4*t,y(0)=0,d(y)(0)=0},y(t)); çözümü: y(t) = -3+*t-exp(-*t)+4*exp(-t) şekldedr. D 4 Uygulama.7: y( t) f( t) deklemde, ( D)( D3) f t ( ) t e, y(0) 0, y(0) 0 ve f 0 (0) e olarak verldğe göre, y(t) =? ( D 5D 6) y( t) ( D 4) f ( t) ( Y( ) y(0) y(0)) 5( Y( ) y(0)) 6 Y( ) ( F( ) f(0)) 4 F( ) ( 5 6) Y( ) ( 4) F( ) f (0) ( 5 6) Y( ) ( 4) F( ) ( 4) F( ) Y () ( 56) Y () 4 ( ) ( )( 3) 6 Y () ( )( )( 3) a a a3 Y () 3 9

21 6 6 6 a lm ( ) 3 ( )( )( 3) ( )( 3) a lm ( ) 6 ( )( )( 3) ( )( 3) ( )( ) a3 lm ( 3) 3 3 ( )( )( 3) ( )( ) ( )( ) Y () 3 y( t) 3e 6e 3e t t 3t Uygulama.8: ( D 4) y( t) 0 Y( ) y(0) 4 Y( ) 0 ( 4) Y( ) y(0) 0 3 Y () 4 y t e t 4t ( ) 3 0 dy 4y 0 dt elde edlr. Laplace tablouda yararlaarak y(t) fokyouu; olduğu görülür. olarak elde edlr. Tablo yardımıyla; Maple dldek çözümü; olarak heaplaır. dolve({dff(y(t),t)+y(t)=0,y(0)=0},y(t)); Cevap: Uygulama.9: y(t) = 3*exp(-t) şekldedr. 33 F () ( )( )( 3) 3 3 a a a3 F () ( )( )( 3) 3 deklemde, y(0) = 3 olduğua göre y(t) =? deklem verldğe göre, f(t) =? ( )( 3 3) a lm ( )( )( 3) ( )( 3) ()() a lm 5 ( )( 3) ( )() a3 lm 6 3 ( )( ) ( )( ) 5 6 F () 3 olur F() ter laplace döüşümüyle; t t 3t f ( t) e 5e 6e elde edlr. Ayrıca deklemde, çıkışı kararlıdır. Maple dldek çözümü; vlaplace((***+3*+3)/((+)*(+)*(+3)),,t); 0 t, ft ( ) 0 olduğuda fokyou

22 Cevap: Uygulama.0: edldğe göre y(t) =? Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg exp(-t) - 5 exp(- t) + 6 exp(-3 t) şekldedr. ( D 3D ) y( t) f ( t) Y( ) y(0) y(0) 3 Y( ) y(0) Y( ) F( ) 4t 4 alıdığıda (laplace tablouda); F ( ) 4 Y () ( )( ) ( )( ) b b a a Y () 4 lm ( )( ) b 0 deklemde, d 4 4(3) b lm lm 0 0 3! d ( )( ) ( 3 ) 4 a lm ( ) 4 ( )( ) 4 a lm ( ) ( )( ) 3 4 Y () y t e e t t t ( ) 4 3 f ( t) 4t olur. Elde edle katayılar yere yazıldığıda; şekle gelr. Laplace tablouda faydalaarak; olduğu görülür. 3. Blok dyagramı cebr ve blokları drgeme ve bütü başlagıç şartları ıfır kabul Trafer Fokyou(TF): Br kotrol temde bütü değerler, t uzayıda uzayıa döüştürüldüğüde, Çıkış/Grş oraıa tem trafer fokyou der. TF Output() Iput() Blok dyagramları çok karışık olduğu takdrde buları drgeme gerekr. İlk şlem t uzayıda uzayıa geçlr. İkc olarak tem br grş, br çıkış ve br elema hale getrlr. Bu durumda tem çıkış değer; Grş() x Kotrol elemaı()=çıkış(), elde edlr. Grş ve çıkışı ayı cte olmaı şart değldr. İdrgeme şlem 3 farklı şeklde yapılablr.. Tabloda yararlaarak drgeme,. Cebrel eştlklerde faydalaarak drgeme, 3. Kazaç Formülüü kullaarak drgeme. E pratk yol üçücüüdür. Bütü metotlar ıraıyla verlecektr. İlk metodu kullaılablme ç aşağıda verle tabloda yararlaılır. Aşağıda verle tabloda P harfler trafer fokyouu; W,X,Y, Z e uzayıdak yaller götermektedr. Cebrel eştlklerde yararlaarak yapıla çözümlerde, dağılma oktaı başlagıç (3.)

23 kabul edlr. Burada tbare döerek tekrar ayı yere varıldığıda deklem yazılmış olur. Stemde çok fazla dağılma oktaı ve dögü buluduğu zama, değşk harfler kullaılır. Bular ora temde yok edlr. Tablo 3.: Blok dyagramı le lgl eştlkler Traformayo Deklem Blok Dyagramı Eşdeğer Dyagramı Blok Ser haldek blokları toplamaı Paralel blokları toplamaı veya ler yolu yok edlme Y. P P X Y P. X P. X 3 İler yol üzerdek bloğu kaldırılmaı Y P. X P. X 4 Ger beleme dögüüü yok edlme Y P X P. Y 5 Ger beleme dögüüde bloğu kaldırılmaı Y P X P. Y 6a Toplama oktaıı tekrar düzeleme Z W X Y 6b Toplama oktaıı tekrar düzeleme Z W X Y 7 Br bloğu gerdek toplama oktaıı öe alımaı Z P. X Y

24 8 Br bloğu öüdek toplama oktaıı gerye alımaı Z P X Y 9 Br bloğu gerdek dağılma oktaıı öe alımaı Y P. X 0 Br bloğu öüdek dağılma oktaıı gerye alımaı Y P. X Toplama oktaıı gerdek dağılma oktaıı alımaı öe Z X Y Toplama oktaıı öüdek dağılma oktaıı gerye alımaı Z X Y Uygulama 3.: Aşağıda verle blok dyagramıı tablo metoduu kullaarak drgeyz. Çözüm: Tablo 3. dek umaralı eştlk kullaıldığıda; 3

25 elde edlr. o lu eştlğ kullaılmaıyla olur. 4 o lu eştlkte faydalaıldığıda; Uygulama 3.: Aşağıda verle blok dyagramıı tablo metodua göre drgeyz. 4

26 Uygulama 3.3: Aşağıda verle tem çıkışıı heaplayıız. 5

27 Uygulama 3.4: Aşağıda verle tem çıkışıı heaplayıız. 4. İşaret Akış Grafkler: Taımlamalar Blok dyagramları, kotrol temler grafk götermde oldukça ık kullaılır. Kotrol tem damğ grafkel göterm dğer br metodu da şaret akış grafğdr. Bu grafğe S.J.Mao u adıa zafete Mao kazaç Formülü de der. Karışık düğümler, hem gele hem gde kollar le bağlatılıdır. Kol: İk düğümü brbre bağlaya çzgye der. Kol Kazacı: Kol üzerde okla göterle değere der ve artı veya ek olablr. 6

28 İler Yol: Ter yöe grmemek ve ayı düğümde k defa geçmemek kaydıyla, grşte başlayıp çıkışa gde yollara ler yol der İler Yol Kazacı: İler yol üzerdek geçşler çarpımıa eşttr. Dögü: br düğümde harekete başlayıp ayı düğüme, ter yöde gtmemek ve ayı yerde k defa geçmemek kaydıyla elde edle dögülere der. Dögü Kazacı: Br dögüü kollarıdak kazaçları çarpımıdır. Temaız Dögü: Brbr le ortak düğümü olmaya dögülere der. İşaret Akış Grafğ Cebr - Br dögüü değer, kede gele kolu geçş le doğruu çarpımıa eşttr. x ax (4.) - Ser bağlı kollarda toplam geçş, kollardak geçşler çarpımıa eşttr. 3- Paralel bağlı kollarda, geçşler toplaarak toplam geçş buluur. 4- Karışık düğümler, aşağıdak şeklde görüldüğü gb yok edleblrler. 5- Bezer bçmde br dögüde aşağıdak bçmde yok edleblr. 7

29 x a b x bc x olur, veya 3 3 X ab X bc 3 elde edlr. Leer Stemler İşaret Akış Grafğ İle Göterm Aşağıda br leer tem öreğ verlmektedr. x a x a x a x b u 3 3 x a x a x a x b u 3 3 x a x a x a x (4.) Burada; u ve u grş değşkeler; x, x ve x3 çıkış değşkelerdr. İlk olarak ıra le x, x, x3 ç düğüm koulur. Daha ora deklemler bu düğümlere uygulaır. Her üç deklem ç ayrı ayrı bu şlem tamamlaır. Daha ora üper pozyo le brleştrlr. Aşağıdak şekllerde bu uygulama göterlmştr. İşaret Akış Deklem İşaret Akış Deklem, blok dyagramlarıı trafer fokyolarıı çözümüde kullaıla br formüldür ve aşağıdak bçmde fade edlr. TF (4.3) 8 P

30 P Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg =. ler yolu kazacı = Grafğ determatı L L L... L L. L L. L... L. L L. L. L j 3 =. yolu devrede çıkarılmaıyla elde edle değer. L:. Dögüü kazacı. L Lj = Brbre tema etmeye dögüler kl çarpımları. ( dögüü ortak oktaı bulumamalıdır.) L L j çarpımıı olablme ç bu k L Lj Lk = Brbre tema etmeye dögüler üçlü çarpımlarıdır. Bu çarpımı yapılablme ç ortak düğümler olmamaı şarttır. Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. Burada üç adet dögü kazacı vardır. L GGH L G G3 H G G3H L3 GG G3 G G G3 Stem determatı; L L L 3 GG H G G3H GGG 3 Stemde adece br adet ler yol mevcuttur. İler yol kazacı P; P GG G3 G G G 3 9

31 Formül teme uyguladığıda; C R P P TF 0 GG G3 TF GG H G G3H GG G3 olarak elde edlr. Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. Burada dört adet dögü kazacı vardır. L GG H3 G G3H3 L G H G H L3 G H G H L4 G G3 H3 G G3H3 Stemdek ler yolları kazaçları e; P G G G G P G G3 G G 3 P3 G G4 G G 4 Stem determatı; 30

32 L L L L Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 3 4 G G3H3 GH GH GG3H3 Formül teme uyguladığıda; P C P P P TF R GG GG3 G G4 TF G G3H3 G H G H G G3H3 olarak elde edlr. Uygulama Aşağıdak lk üç şıkta verle deklemler şaret akış grafğ le elde edz. d ) şıkkıı verle ayılar ç çözüüz. a =, a = 4, a = -, a = 3, u = ç x ve x y buluuz. d d x x x x dt dt a) b) x 3 x dt 4 3 c) d) d x3 x x x dt dt x a x a x 4u x a x a x 4u d ) x x 4x 4u x x 3x 4u 3

33 Stem çözüm fokyou buluablme ç lk olarak x çıkışı ptal edlr. P P P TF... Steme at ler yol kazaçları; P 4 4 p Dögü kazaçları; L =, L = 3, L3 = 4 (-) = -4 Determatı; L L L L L L 3 0 olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr TF 6 6 x TF. u u x Buda ora x çıkışı ptal edlr. Steme at ler yol kazaçları; P 4 4 p 4 4 Dögü kazaçları ve determat değer yukarıda bulumuştur. L 0 olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr TF 3 x 3u u x olarak elde edlr. Elde edle ouçlar, verle deklemlerde yerleştrldğde eştlğ ağladığı görülür. Eştlğ ağlamaı, elde edle ouçları doğru olduğuu göterr. x x 4x 4u x 4x 4 4=4 3

34 x x 3x 4u Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg x x 4 4=4 II. Yol : Ayı deklemler daha ade halde yazarak bezer ouçları bulablrz. x 4x 4u ve x 0,5x u olarak yazılablr. Bu durumda şaret akış grafğ aşağıdak bçmde olur. L = 0.5 (-4) = - Determatı; L 3 Stem çözüm fokyou buluablme ç lk olarak x çıkışı ptal edlr. P P P TF... Steme at ler yol kazaçları; P 4 4 P 4 () 8 Dögü kazaçları; 0 0 olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr TF 3 3 x TF. u u x Buda ora x çıkışı ptal edlr. Steme at ler yol kazaçları; P p Dögü kazaçları ve determat değer yukarıda bulumuştur. 0 0 olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr. 7 9 TF x 3u u x 3 olarak elde edlr. Elde edle ouçlar, verle deklemlerde yerleştrldğde eştlğ ağladığı görülür. Eştlğ ağlamaı, elde edle ouçları doğru olduğuu göterr. 33

35 x x 4x 4u x x 3x 4u Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg x 4x 4 x x 4 4=4 4=4 Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. Stem üç adet dögü kazacı vardır. L G H G H L GH L3 H H3 H H3 Stemdek ler yolları kazaçları; P GG G3 P GG G4 G G G4 Stem determatı; L L L L L 3 3 G HG H H H3 G HH H3 Formül teme uyguladığıda; P C P P TF R L3 H H 3 34

36 L3 H H3 TF Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg GG G3 HH3 G GG4 HH3 G HG HHH3GHH H3 olarak elde edlr. Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. R + + H G5 H4 + + G G G L L L3 L4 H G4 H L5 L6 H5 C Çözüm: Stem dögü kazaçları; L G H G H, L G H, L G4 H3 G4 H3, 4 L5 G3H4 Stemdek ler yolları kazaçları; P G G G3, Stem determatı; L H G4 G4 H 3 L G3 H5 G3H5, P G G5 G3 G G3 G5, 6 P G H G4 G3 G G3 G4H L L3 L L4 L L5 L L6 L L4 L L5 L L L3 L4 L5 L6 L L6 L3 L5 L3 L6 L4 L5 L4 L6 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L3L4, L3 L4, 3 İşaret akış deklem teme uyguladığıda; TF 3 P C P P P R Olur. Yukarıda elde edle değerler, yere yazıldığıda, tem trafer fokyou heaplamış olur. Uygulama Verle kotrol tem çıkış değerler İşaret Akış Deklem Metodua göre buluuz. C=? ; C=? 35

37 Bu tp brde fazla grş ve çıkış değerler ola temler çözümü yapılırke öce tem tek grş ve tek çıkışlı hale getrlp çözüm yapılır. Daha ora çıkış değerler toplaarak ouca ulaşılır. Çözümde zleme gerekl yol aşağıdak şekldedr. C C C C C C a ) R = R R = 0 C = C C = 0 C / R b ) R = 0 R = R C = C C = 0 C / R c ) R = R R = 0 C = 0 C = C C / R d ) R = 0 R = R C = 0 C = C C / R Yukarıdak şlem ıraları ıraıyla uyguladığıda; a ) İlk durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. 36

38 Steme at ler yollar; P = ( ) G ( ) ( ) = G P = ( ) G ( ) ( - H ) ( ) = - G H Steme at dögüler; L = G ( G G3 G4 ) = G G G3 G4 L = G ( ) H = G H Stem determatı; L L 0 0 = G G G3 G4 G H Steme Mao Kazaç Formülü uyguladığıda; C P P TF R C G GH TF R G G G3G4 GH GG H C R GG G3G4 G H olarak elde edlr. b ) İkc durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. 37

39 Steme at ler yollar; P = ( ) ( ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( ) = - G G3 G4 P = ( ) ( ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( -H ) ( ) = G G3 G4 H P3 = ( ) ( -A ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( ) = A G G3 G4 P4 = ( ) ( -A ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( -H ) ( ) = -A G G3 G4 H Steme at dögüler; L = ( -G4 G3 ) ( G ) ( -G ) = G G G3 G4 L = G ( ) H = G H Stem determatı; = ( L + L ) = G G G3 G4 G H = 0 = = 0 = 3 = 0 = 4 = 0 = Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P P P P TF R C G G3 G4 G G3 G4 H A G G3 G4 A G G3 G4 H TF R GG G3G4 GH G G3 G4 G G3 G4 H A G G3 G4 A G G3 G4 H C R G G G3G4 G H olarak elde edlr. c ) Üçücü durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. 38

40 Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. Steme at ler yollar; P = ( ) G ( -G G4 ) ( ) = -G G G4 Steme at dögüler; L = G ( ) H = G H L = G ( -G G4 ) ( -G3 ) = G G G3 G4 Stem determatı; = ( L + L ) = G G G3 G4 G H = 0 = Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P TF R C G GG4 TF R G G G3G4 GH GG G4 C R GG G3G4 GH olarak elde edlr. d ) Dördücü durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. 39

41 Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. Steme at ler yollar; P = ( ) G4 ( ) = G4 P = ( -A ) G4 ( ) = -A G4 Steme at dögüler; L = G4 ( -G3 ) G ( -G ) = G G G3 G4 L = G ( ) H = G H Stem determatı; = ( L + L ) = G G G3 G4 G H = L = - G H = L = - G H Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P P TF R C G4 G H AG4 GH TF R GG G3G4 GH G4 GG4 H A G4 A GG4 H C R G G G3G4 GH olarak elde edlr. Elde edle ouçlar aşağıdak bçmde brleştrllerek çıkış değerler buluablr. 40

42 C = C + C C = C + C C C Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg G G H R G G3 G4 G G3 G4 H A G G3 G4 A G G3 G4 H R GG G3G4 GH G GG4 R G4 GG4 H AG4 AGG4 H R G GG3G4 GH Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. Steme at ler yollar; P = ( ) G ( ) G G3 G4 ( ) ( ) = G G G3 G4 P = ( ) G ( ) G G3 G4 ( ) ( - ) ( ) = - G G G3 G4 P3 = ( ) G ( ) G ( ) H ( - ) G4 ( ) ( ) = - G G G4 H P4 = ( ) G ( ) G ( ) H ( - ) G4 ( ) ( - ) ( ) = G G G4 H P5 = ( ) G ( ) G4 ( ) ( ) = G G4 P6 = ( ) G ( ) G4 ( ) ( - ) ( ) = - G G4 Steme at dögüler; L = G ( - ) = - G L = G ( ) ( - H3 ) = - G H3 L3 = G4 ( ) ( ) ( - ) = - G4 L4 = G ( ) G G3 G4 ( - H ) = - G G G3 G4 H L5 = G ( ) G ( ) H ( - ) G4 ( - H ) = G G G4 H H L6 = G ( ) G4 ( - H ) = - G G4 H 4

43 Stem determatı; Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg = ( L + L + L3 + L4 +L5 + L6 ) + ( L L + L L3 +L L3 +L L6 ) - ( L L L3 ) = + G + G H3 + G4 + G G G3 G4 H - G G G4 H H + G G4 H + G G H3 + G G4 + G H3 G4 + G H3 G G4 H + G G H3 G4 = 0 = = 0 = 3 = 0 = 4 = 0 = 5 = L = + G H3 6 = L = + G H3 Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P P P P P P TF R TF = { ( G G G3 G4 ) + ( - G G G3 G4 ) + ( - G G G4 H ) + ( G G G4 H ) + [ ( G G4 ) ( + G H3 ) ] + [ ( - G G4 ) ( + G H3 ) ] } / { + G + G H3 + G4 + G G G3 G4 H - G G G4 H H + G G4 H + G G H3 + G G4 + G H3 G4 + G H3 G G4 H + G G H3 G4 } olarak elde edlr. Uygulama Şeklde verle tem trafer fokyouu şaret akış dyagramı deklem kullaarak heaplayıız. R + H G4 L + + G G5 - G G6 L G3 + L3 H H3 L4 G7 L5 H4 C Stem dögü kazaçları; L G H L G3 H 3 L G H 3 L G3H4 L G3H4 5 Stemdek ler yol kazaçları; P G G4 G7 P G G4 G7, L G H L G H L G3 H, 5 L G7 H3 L G7 H

44 P G G5G7 P G G4 G7 3 P4 G G5G7 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg P G G6 G7 5 P G G7 6 P G3 G7 7 Stem determatı; P3 G G4 G7 P G G6 G7 5 L L L L L L L L L L L L L L L L L , 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0 İşaret akış deklem teme uyguladığıda; TF TF C R 7 P TF P P P3 P4 P5 P6 P7 Olur. Yukarıda elde edle heaplamış olur. P P P P P P P TF P P P P P P P ve P değerler yere yazıldığıda, tem trafer fokyou Uygulama Aşağıdak verle blok dyagramıı trafer fokyouu elde edz. ( başlagıç şartları dr.) c(0),c(0) 0 K, r t u t ve K K c( t) D 4D 3 D 4D 3 K r( t) K D 4D 3 K D 4D 3 K D 4D 4 D 4D3 D 4D 3 (4.4) C c(0) c(0) 4 C c 0 4 C R C 4C() 4 4C() R() C R() C 4C 4C 4 R() C() C()

45 5 C() 4 4 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg b lm 0! C() 3 5 b b 4 4 Uygulama 5 3 c t 3 t e e! t, d 5 b lm! d t c t 3 t e e t t Aşağıda verle blok dyagramıda tüm başlagıç şartları ıfır ve grş değer verlmştr. Bu durumda, r t e t olarak a) K= ç c(t) =? b) Stem kararlı olmaı ç, K aralığıı heaplayıız. c) b şıkkıda elde edle ouca göre, tem kararız kıla br K değer ç tem kararız olduğuu patlayıız. a) 4K c(t) (D ) (D 5) 4K r(t) 4K D 6D 5 4K (D ) (D 5) veya adeleştrldğde; ( D 6D 5 4 K). c( t) 4. K. r( t) ( 6 9) C( ) 4 4 a b b C () ( 3) ( ) ( 3) ( 3) Başlagıç şartları ıfır olduğuda D yere yazılır a ( ) ( )( 3) ( 3) , b 3 3 d 4 d b 3! ( 3) ( ) ( ) 4 d d C () elde edlr. Laplace döüşüm tablouda yararlaarak; ( 3) ( 3) c(t) e te e t 3t 3t b) ( D 6D 5 4 K) c( t) 4 Kr( t ) 44

46 C( ) c(0) c(0) 6 C( ) c(0) 5 C( ) 4 K C( ) 4 K R( ) K C( ) 4 K R( ) r( t) e R( ) t döüşümü yapılablr. 4K 4K C () ( K) ( ) ( 3 7 ( 4 K) 5 4 K) olarak elde edlr. Kararlılığı celeeblme ç trafer fokyouu determatı ıfıra eştlemeldr. 3 7 ( 4 K) 5 4K 0 Routh krtere göre; 3 ( 4K) 0 7 (5 4K) 0 7 4K K 0 5 4K 0 4K 5 K 5 4 olmalıdır. 7 4K 0 K 7 K 3 4 olmalıdır. olmalıdır. İk şart brleştrldğde; c) b şıkkıda bulua ouca göre, K = - ç tem kararız çıkmalıdır. ct ( ) 8 r( t) D 6D 3 8 C () şeklde elde edlr. Deklem kökler; ( 6 3)( ) a a a3 C () ( ( 3 3)) ( ( 3 3)), 3 3 tür. Bua göre; K 5 4 ( 3 3)( 8) ( 8) 3 a lm 3 3 ( 3 3)( 3 3)( ) ( 3 3)( ) 3 3 3( 3) ( 3 3)( 8) ( 8) a lm 3 3 ( 3 3)( 3 3)( ) ( 3 3)( ) 3 3 3( 3) ( )( 8) ( 8) a 3 lm ( 3 3)( 3 3)( ) ( 3 3)( 3 3) ( 3)( 3) c() t a e a e a e t t t 3 c() t a e a e a e olarak buluur. Elde edle deklemde, c ( ) olduğuda 0,464t 6,464t t 3 kararız olduğu görülür. 45

47 Uygulama Aşağıda verle blok dyagramıda tüm başlagıç şartları ıfırdır. a) r(t) = u (t) ke t 4t c(t) Ce Ce olmaı ç, K=? ve a =? b) r(t) = e -t ke olmaı ç, K =? ve a =? c) a şıkkı ç tem kararlı olmaı ç K =? ve a =? d) c şıkkıda elde edle koşula göre, kararız K ve a değer ç tem kararızlığıı patlayıız. c() t C e C e C e t t 3t 3 a) K C() ( a) K R() K a K ( a) c() t C e C e t 4t olduğuda; C() C C ( )( 4) a 5 ; K 4 olmalıdır. a K olur. (4.5) b) C() K R() a K K C () a K C C C3 C () 3 ( )( 3) 5 6 a 5 ; K 6 c) 0 a K 0 K 0 a 0 K Routh krtere göre; a 0 ve K 0 olmalıdır. e) Kararız durum ç; K = ve a = -3 olu, a a C () 3 ( ) ( ) a lm ( )( ) a lm ( )( ) 46

48 C () ( ) ( ) Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg elde edlr. Tabloda yararlaarak; c(t) e e t t buluur. t, c(t) olduğuda kararız olduğu görülür. Uygulama 4.0: Aşağıdak verle gerçek tem trafer fokyouu heaplayıız. (k:= yay katayıı, m:= kütle, x:= x doğrultuudak yer değştrme, x := x doğrultuudak hız, := x doğrultuudak vme, f:= amortör katayıı, F:= dış kuvvet ), ( Steme at başlagıç şartları ıfırdır.), (X > X dr.) x Steme at grş değer F kuvvet ve çıkış değer e x yerdeğştrme değerdr. Steme at dış kuvvetler ve ç kuvvetler dege yazıldığıda; kx F ma 0 ma kx F kx ma F m X x 0 x 0 kx F X m k F X F m k mx kx F m X kx F olarak elde edlr. Yukarıda verle tem ele alıdığıda, olu kütle ç kuvvet dege; Şeklde de görüldüğü gb, yayı kütleye yaptığı etk F = k x, amortörü yaptığı etk e F = f x le ölçülmektedr. Bua göre dege deklem; k ( x x ) f ( x x ) f ( t) m x olarak elde edlr. olu kütle ç kuvvet dege e; () 47

49 olu kütle ç dege deklem e; k x f x k x x f x x m x Elde edle k dege deklem yede yazıldığıda; m x f ( x x ) k ( x x ) f ( t) mx f x x fx k x x kx 0 Deklem (3) ve (4) matr formuda yazıldığıda; m 0 x f f x k k x f ( x) 0 m x f ( f f) x k ( k k) x 0 olarak elde edlr. İk deklem uzayıda aşağıdak bçmde yazılablr. ( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) (0) m X x x f X x X x ( ) ( ) k X X F ( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) (0) m X x x f X x X x f X ( ) x (0) k X ( ) X ( ) k X ( ) 0 Başlagıç şartları ıfır kabul edldğde, deklem (6) aşağıdak bçmde elde edlr; m X ( ) f X ( ) k X ( ) f X ( ) k X ( ) F( ) m f k X ( ) ( f k ) X ( ) F( ) A deklem (.7) e; m f f k k X ( ) f k X ( ) B B C (9) olarak elde edlr. Deklem (8) ve deklem (9) aşağıdak bçmde kıa olarak tekrar yazıldığıda; B AX( ) BX( ) F( ) X( ) X( ) F( ) A A B CX( ) BX( ) X( ) X( ) C () Deklem (0) ve deklem () de, teme at şaret akış dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. () (3) (7) (8) (0) (4) (5) (6) 48

50 Bua göre trafer fokyou; X () P F () Determat değer; () B AC 0 İler yol değer; B P AC olarak yazılır. Elde edle değerler, deklem () de yere koulduğuda; B X() AC B F() AC B AC B AC 5. Kararlılık Krterler olarak elde edlr. Br temde t ke mpulf cevap ıfıra yaklaşıyora, tem kararlıdır der. Uygulama 5.: fokyou ele alıı. Deklemdek durumda tem kararızdır. y 5t y 4(5 t) t gderke; y gtmektedr. Bu Uygulama 5.: fokyou ele alıı. Ele alıa deklem grafğ çzldğde, y değer ıfıra gtmedğ görülür. Stem kararızdır. Uygulama 5.3: y 0 t fokyou ele alıı. t gderke; y 0 gtmektedr. Stem kararlıdır. Uygulama 5.4: t y 5 e fokyou ele alıı. t gderke; y 0 gtmektedr. Stem kararlıdır. t y 5t Uygulama 5.5: e fokyou ele alıı. Bu orada payda paya göre daha hızlı lerlemektedr. Buda dolayı y 0 gtmektedr. Stem kararlıdır. 49

51 Uygulama 5.6: Aşağıdak şeklde üç durum verlmştr. İlk durumda ç bükey br yüzeyde, kc durumda düz br yüzeyde, üçücü durumda e dış bükey br yüzeyde göterle pozyoda ked hale bırakıla toplarda lk belrl br alıım hareketde ora e alt oktada durur. Bu durum tem kararlı olduğuu göterr. Çükü zama çde tem kararlılık oktaıa gelmştr. İkc durumda topu hareketde herhag br değşklk olmaz. Bu hal Marjal Kararlılık olarak adladırılır. Üçücü durumda e top aşağı düşer. Stem kararızdır. Uygulama 5.7: Aşağıda ter yölü olarak k mafal bağlatıı göterlmştr. Brc pozyoda çubuk erbet bırakıldığıda çubuk aşağı doğru düşecektr. Ya br kararızlık öz kouudur. Acak kc durumda çubuk erbet bırakıldığıda bell br zama ora tem kararlı hale gelecektr. Uygulama 5.8: Aşağıda şekldek gb br mafal bağlatııda, açıı büyüdükçe yayı çubuğu tutmaı zorlaşır. Eğer açıı bell br değer geçere, yay çubuğu tutamaz hale gelr. Böyle br tem kararlılık kouua örek olalarak düşüüleblr. Ya tem e uygu bçmde çalışmaı ç yay katayııı heaplamaı veya yay katayıı bell br temdek e uygu çalışma açılarıı belrleme orularıı cevaplarıı kararlılığıı celeyerek elde edeblrz. Bütü bu öreklerde de alaşılacağı üzere kararlılık hal br tem bell br zama dlm çde düzel duruma gelme haldr. Kararlılık durumu yukarıda alatıldığı gb tebt edleceğ gb tem ç elde edle trafer fokyoudak determat değer celemeylede yapılablr. Öcelkle determat değer ıfıra eştler. = 0 polomua tem karaktertk deklem der. Karaktertk deklem aşağıdak bçmlerde celeerek tem kararlı veya kararız olduğu alaşılır. Ayı zamada kararlılık ç gerekl ıır değerler heaplaır. Bu celeme üç değşk bçmde yapılablr.. Routh Krter 50

52 . Hurwtz Krter 3. Sürekl Bölme Krter Routh Krter a a... a a 0 0 polomu verlmş olu. a a a 4 a a 3 a5 3 c c c b b b b a a a a 3 a, b a a a a 4 5 a (5.) c b a a b 3 b, c b a a b 5 3 b Tablou brc ve kc atırları karaktertk deklemde doğruda yazılır. Dğer katayılar ( b, b,..., c, c,... ) bell kurallara göre heaplaarak elde edlr. Bu şlem 0 polomuu katayıı heaplaaa kadar devam eder. Tablo oluşturuldukta ora celeme ç lk ütu göz öüe alıır. İlk ütudak katayılar ıfırda büyük olduğu takdrde tem kararlıdır der. Sütuda ıfır bulumaı durumda tem marjal kararlıdır. Küçük olmaı durumuda e tem kararızdır. Eğer heaplama oucuda lk ütudak elemalarda br ıfır çıkara, ıfır yere ε değer alıır ve şleme devam edlr. ε değer ıfıra çok yakı br değer olarak kabul edlr. Heaplaa atırı tüm elemaları ıfır çıkara; bu durumda heaplaa atırı, üzerdek atırdak katayıları oluşturduğu polomu türev alıır ve elde edle ye polomu katayıları heaplaa atıra yerleştrlr. Bu şeklde şleme devam edlr. Uygulama karaktertk deklem kararlılığıı Routh Krtere göre celeyz. (5.) / İlk ütudak elemaları hep poztf şaretl olduğuda kararlıdır. Uygulama K 0 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta olmalıdır? K 0 8 K 3 0 K 0 Routh tablouu 3. atırıda, 8 K K K 0 8 K şartı ve 4. atırıda, 5

53 K 0 K şartı elde edlr. Bu k şartı brleştrlmeyle brlkte K 8 olmalıdır. Uygulama K 0 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta olmalıdır? K K 60 6K 0 0 K Routh tablouu 4. atırıda, 60 6K 0 0 K K K K şartı elde edlr. Bu k şartı brleştrlmeyle brlkte K 0 0 K 0 şartı ve 5. atırıda, olmalıdır. Routh krterde karşılaşıla k ta durum vardır. Bularda brc; Routh tablouu atırıdak lk ütu değer ıfıra eşt ve dğer atır değerler ıfırda farklı e, bu ıfır ola değer ıfıra çok yakı poztf br ε değer le değştrlr. Aşağıda bua at br mal verlmştr. Uygulama karaktertk deklem kararlılığıı Routh Krtere göre celeyz..ütu, 3.atırdak lk elema 0 ve dğer elemalar ıfırda farklı çıktığı ç, lk ütudak ıfır yere, ıfıra çok yakı ola poztf br ( ) değer le değştrlerek şleme devam edlr. Sütudak o k değer, ıfırda küçük olduğu ç tem kararızdır. İkc ta durum aşağıda verlmştr. Ya atırdak bütü elema değerler ıfıra eşt çıkmaı durumudur. Uygulama Karaktertk deklem kararlılığıı Routh Krtere göre celeyz. 5

54 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 4 P dp 3 8 d Not: üçücü atırı tüm elemaları ıfır çıktığı ç kc atırı katayılarıda oluşa polomda türev alma şlem uygulaır ve elde edle polomu katayıları yazılır. Eğer adece. ütudak elema ıfır olup dğerler ıfırda farklı olura, ıfır ola elema yere poztf ve ıfırıra çok yakı ɛ alıarak şleme devam edlr. Br atırda tek elema var ve bu da ıfıra eşt e buu yere de ɛ kullaılır Brc ütuu bütü elemaları ıfırda büyük olduğuda, Stem kararlıdır. Uygulama K olmalıdır? 4 4 K K K K le verle karaktertk deklemde, tem kararlı olmaı ç K e 4 K 9 K K 0.5 K K K 0.5 K K 0 K 9K K K olmalıdır. Uygulama le verle karaktertk deklemde, kaç adet gerçek kımı poztf ola a Çözüm: bj veya a 0j gb kök olduğuu, Routh tablou le heaplayıız. Not: Routh tablou oluşturulduğuda, lk ütua bakılır. Burada kaç adet şaret değşklğ var e, karaktertk polomuda da o kadar poztf gerçek ayıya ahp kök vardır. Ya köklerde o kadarı gerçek de ola aal da ola poztf gerçek kıma ahptr. Alaşılmaı ç, yukarıda verle polom şekldedr. Bu karaktertk polomda br adet kök değer, 3 5 komplek düzlemde aal eke ağ tarafıda olacak şekldedr. Routh tabloua 4 3 yerleştrldğde,

55 Uygulama Aşağıdak şeklde verle temde, R() 5 K C() Stem kararlı olmaı ç K aralığı e olmalıdır? Çözüm: Stem Trafer Fokyou; TF 5 K 5 K TF 4 K 4 K TF 4K 4 K TF 4K K 4K Burada tem Routh tablou oluşturulduğuda, 4K 0 K K 0 0 K 0 4K 0 K K K olmalıdır. Uygulama Aşağıdak şeklde verle tem kararlı olmaı ç K aralığı e olmalıdır? R() K C() Çözüm: Stem Trafer Fokyou; TF K K TF K K TF K K K TF K K K Burada tem Routh tablou oluşturulduğuda, 54

56 K 0 K K 0 0 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg K 0 K 0 K K K olmalıdır. Uygulama Aşağıda verle tem karalı olmaı ç K değer e olmalıdır. R() K C() TF C() R() K K K 7 0 K K K 30 0 K 0 K TF K 0 K İk şartı brleştrlmeyle brlkte; K K 7 6 K 30 0 K K olduğu görülür. 55

57 Root-Locu grafğde 540 değer görülmektedr. Uygulama Aşağıdak verle blok dyagramıı R() grş değer, brm mpulf br etk e; tem trafer fokyouu elde edp, tem kararlı olmaı ç gerekl ola K aralığıı Routh kararlılık krtere göre heaplayıız. K C() ( ) ( ) K K 4 3 R( ) K ( ) ( ) K 3 3 K ( ) ( ) (5.3) Kararlılık krter celeeblme ç determat değer ıfıra eştleme gerekr. Elde edle karaktertk dekleme göre Routh tablou aşağıdak bçmde oluşur K K / 3 K 0 4 9K 7 0 K 0 56

58 Elde edle tablou lk ütuudak bütü elemalar ıfırda büyük olmalıdır. 4 9K K K So atırı lk ütuuda K 0 olmalıdır. İk şartı brleştrlmeyle, 0 K 4 9 olur. Root-Locu Grafğ çzldğde k<.55 (Ga) olduğu görülmektedr. Ayı ouçlar Bode dyagramı çzldğde de görülmektedr. Bode dyagramı aşağıda verlmştr. 0log a 0log0x log0x 0 x l x 3. l lx l 0 57

59 e l x e x K.55 Gerçekte okua değer dr. Ve tam uyum ağlamaktadır. Açı değer 80 olduğua dkkat edz. Dğer verle değerler adece tet amaçlıdır. Root-Locu grafğ le karşılaştırma yapılablr. Hurwtz Krter 0 a a... a a 0 polomuda, -,..., değerler hep poztf olduğu takdrde tem kararlıdır der. Herhag br ıfırda küçük olura tem kararız olur. Sıfıra eşt olmaı durumua marjal kararlılık der. a a a 3 5 a a a a a a a a 0 (5.4) Uygulama karaktertk deklem kararlılığıı Hurwtz Krtere göre celeyz (5.5) 6 6 0, , Bütü determat değerler ıfırda büyük olduğuda dolayı tem kararlıdır. Uygulama K 0 olmalıdır? 3 K 3, 3 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta Hurwtz şartıa göre bütü Determat değerler ıfırda büyük olmalıdır. Burada, 3 K 3 0 şart ağlamaktadır. 9 K 8 K 0 K 8 olmalıdır, 3 3 K 0 0 olmaı gerektğde dolayı brleştrlmeyle brlkte K 8 oucu çıkarılır. K 0 K olmalıdır. Bu k şartı 58

60 Uygulama K 0 olmalıdır? K K, 3 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta K 0 6 6, 6 6, Bütü determat değerler ıfırda büyük olmaı gerekl olduğuda dolayı, şartı ağlamaktadır. = 66 6 = 60 > K K 3 K K K K K 0 0 K 0 K K 0 4 3K K K 0 olmalıdır. Souçta; 0 K 0 elde edlr. Uygulama , karaktertk deklem kararlılığıı Hurwtz Krtere göre celeyz., 0, 0 0 0, olduğuda dolayı tem marjal kararlıdır. Sürekl Bölme Krter Bu krterde polom aşağıdak bçmde kye ayrılır ve brc polom kc poloma bölüür. Daha ora elde edle böle değer kala değere bölüerek, şleme, kala değer ıfır buluucaya kadar devam edlr. Bölme ş le mlerde e lde edle bölü m değerle r dek, () katayı la rı ıfırda büyüke tem kararlı dır der. Kalala rı br tae dah ıfırda kü çük olu r a tem k ararı z o lu r. Sıfıra e şt o l maı duru mu ma r j al ka ra r lı lık duru mudur Q a a Polom Q a a Polom 59

61 h, h, h3,..., h değerler hep de ıfırda büyük olduğu takdrde tem kararlıdır der. h lerde br tae ıfır veya egatf olura tem kararızdır der. Uygulama Çözüm: Verle karaktertk deklemde karaktertk deklem kararlılığıı Sürekl Bölme Krtere göre celeyz. Q 3 ve Q 6 8 polomları buluur Q 3 Q , h 6 0, h tem kararlıdır. Bütü değerler ıfırda büyük çıktığı ç tem kararlıdır. ve h olduğuda Uygulama Bua göre; deklem kararlılığıı Hurwtz Krtere göre celeyz (6.5.) () (6.5.) 4(6.4.)

62 ( 30) Elde edle determat değerlerde 3, 4 ve 5 değerler ıfırda küçük olduğu ç tem kararızdır. Uygulama K 0 deklem kararlı olablme ç gerekl ola K aralığıı Sürekl Bölem Krtere göre celeyz. Q ( ) 3 3 Q ( ) 3 K ve şekldedr. İkc polomdak bakımıda A term kullaılı. Bua göre; +K term yere, şlem kolaylığı A 3 3 A 3 3 A A B 9 A 3 3 B B B 0 A B A A Elde edle bölümlerdek ler katayılarıı ıfırda büyük olmaı gerekr. Bua göre; 3 0 B B A A 9 A 3 9 A 3 0 A 9 A 0 3A ( K) 9 ( K) 0 3( K) K Stem aalz brçok güçlü metotları, leer kotrol temler ç gelştrlmştr. Br leer kotrol tem ç, değşkeler araı bütü bağıtılar geellkle abt katayılı leer dferayel deklemlerdr. Bu edele ger belemel kotrol temdek değşkeler, cebrel değşkelerde zyade zamaa bağlı dferayel deklemlerdr. Öreğ ıcaklık kotrolüde gerçek yal şaret akışıda değşklğe ede olur. Fakat ıcaklığı tele değere getrmek ç, lave edlecek ıı 6 K 8 8 K 0 3 3K 8K 0 Elde edle şartlara göre 8 de küçük K değerler ç tem kararlıdır. 8 K 6. Leerleştrme Kotrol temler aalzde ve etezde kullaıla bütü teorler doğrual (leer) temler ç geçerl olduğu ç, fokyolar ble aralıklarda doğrual hale getrlr. Böylece çözümler elde edlr. Leer Olmaya Fokyoları Leerleştrlme

63 mktarıda dolayı zama gerekldr. Ye hız kotrol temde gerçek yal, yakıt grşdek aıl hareket değşme ede olur ( Temel kotrol değşme ede olur. ). Ama arzu edle hıza erşmek ç motoru hızladırmak veya yavaşlatmak amacıyla zamaa htyaç vardır. Bezer şeklde baıç kotrol temlerde arzu edle baıç değerlere ulaşmak ç zamaa htyaç vardır. Kotrol temler, geellkle bazı leer olmaya elemalarda oluşur. Bu elemalarda dolayı teme at dferayel deklemde oleer olur. Buları leer hale aıl döüştürüleceğ aşağıda göterlmştr. değşkel br leer deklem; f f cx cx cx (6.) f, c, c,..., c Burada, abt değerlerdr. f : f fokyouu ble oktalardak başlagıç (tal) değerdr. Örek olarak; y x (6.) fokyou göz öüe alalım. Grafkte görüleceğ gb; y y y y y (6.3) Grafkte x,y oktaıdak eğm; dy c dx (6.4) Burada y değer ç; dy y dx (6.5) 6