PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI"

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 05 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

2 Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya başladı. Şu ada ekkler oldukça fazla olmaıa rağme yayılamaı daha uygu olacağı kaaatdeym. Şmdlk brçok ekkler bulumaktadır. İşaallah gelecek yıllarda daha düzgü hâle getrlecektr. Alıda İglzce kayaklarda Otomatk Kotrol le lgl çok daha geş ve ayrıtılı açıklamalar bulumaıa rağme, Türkçe kayaklarda fazla olmadığıda dolayı bu kıma ağırlık verlecektr. Çözümler yer geldğde Smülayo programları le de göterlecektr. Der otlarıda Türkçe ble tüm öğrecler paraız olarak faydalaablme ç PDF formatı terch edld. Böylece öğrecler derte ayı şeyler yazmak yere, zamalarıı alamaya ayırmaı ve daha başarılı olmaı arzu edld. Der otları lk defa yazılmaya başladığı ç hataları olacaktır. Fakat der eaıda ve zamala bu hatalar e az hale getrlecektr. Bu zamaa kadar öğreclere hçbr şey vermemektee hatalı da ola yayılamaı daha faydalı olacağı kaaatdeym. Notları geşletlmee mümkü olduğuca devam edlecektr. Ya zama geçtkçe daha düzgü ve hataız hale getrlecektr. Ayrıca ye bölümler de ekleecektr (Modelca kökel (MapleSm, Dymola, Matlab\Smulk ) gb program örekler ). Der otlarıda görüle hataları tarafıma bldrlme be daha da memu eder. Böylece daha düzgü hale gelecektr. İşâallah laveler yapıldıkça ye hâlyle tekrar web ayfaıda tekrar yayılamaya devam edecektr. Doç.Dr. Zekerya Grg Ağuto 05 Pamukkale Üverte Mühedlk Fakülte Make Mühedlğ Bölümü Kııklı Kampüü 0070 Dezl, Türkye Web page: İa, p boğazıa arılıp, tedğ yerde otlamak ç başıboş bırakılmamıştır; belk bütü ameller ûretler alııp yazılır ve bütü fller etceler muhaebe ç zabtedlr. Ahrette e kurtaracak br eer olmadığı takdrde, fâ düyada bıraktığı eerlere de kıymet verme

3 İçdekler Ööz... GİRİŞ Kotrol Stemler:... 5 Blok Dyagramı:... 5 Toplama Noktaı (Summg Pot):... 6 Dağılma Noktaı (Takeoff Pot):... 6 Uygulama :... 6 Uygulama :... 7 Uygulama :... 8 Uygulama :... 9 Uygulama :... 9 Uygulama :... 0 Uygulama :... 0 Uygulama :.... Laplace Döüşümler... A () de Farklı Kökler Olmaı Durumu... Laplace Döüşüm Tablou... 3 Laplace Döüşüm Özellkler... 4 A () de Kökler Tekrarlamaı Durumu Blok dyagramı cebr ve blokları drgeme İşaret Akış Grafkler: Taımlamalar... 6 İşaret Akış Grafğ Cebr... 7 Leer Stemler İşaret Akış Grafğ İle Göterm... 8 İşaret Akış Deklem... 8 Uygulama... 9 Uygulama Uygulama... 3 Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama... 4 Uygulama... 4 Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama... 47

4 5. Kararlılık Krterler Routh Krter... 5 Uygulama... 5 Uygulama... 5 Uygulama... 5 Uygulama... 5 Uygulama... 5 Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Hurwtz Krter Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Sürekl Bölme Krter Uygulama Uygulama Uygulama Leerleştrme... 6 Leer Olmaya Fokyoları Leerleştrlme... 6 Mal Mal Mal Zama Cevabı (Tme Repoe) Brc Mertebede Stemler (Frt Order Sytem) Mal : İkc Mertebede Stemler (Secod Order Sytem) Root Locu Metodu (The Root-Locu Method) Negatf ger belemel temlerde Root Locu Metodu le Çzm Mal: Mal: Mal: Mal:

5 Mal:... 8 Mal: Mal: Mal: Mal:... 9 Mal:... 9 Poztf ger belemel temlerde Root Locu Metodu le Çzm Mal: Kutup lave (Addto of Pole to G() H()) Sıfır lave (Addto of Zero to G() H()) Root-Locu le Dzay (Steme kutup ve ıfır ekleme etkler) Root-Locu le Lead Kompazayo (Lead Compeato wth Root-Locu method) 98 Root-Locu le Lag Kompazayo (Lag Compeato wth Root-Locu method) 04 Root-Locu le PD(Oratı+Itegral) Kotrol (PD Cotroller ug Root-Locu method) Durum Uzay Metotları (State-Space Method) Durum Deklem Traformayou (Traformg the State Equato) Drekt Programlama... Paralel Programlama... Ser Programlama... 3 Geel Programlama... 4 Uygulama... 6 Uygulama... 8 Uygulama Kotrol Elemaları... 3 İk koumlu veya Açık-Kapalı Kotrol Elemaı (Two-poto or o-off Cotroller)... 3 Oratı Kotrol Elemaı (Proportoal Cotroller)... 4 İtegral Kotrol Elemaı (Itegral Cotroller)... 4 Oratı + İtegral Elemaı (PI) (Proportoal+Itegral Cotroller)... 4 Oratı+Dferayel Kotrol Elemaı (PD) (Proportoal + Dfferetal Cotroller)... 5 Oratı+Itegral+Dferayel Kotrol Elemaı ( PID = Proportoal+Itegral Dfferetal Coroller)... 6 Hdrolk Kotrol Elemaları... 6 Hdrolk İtegral Elemaı... 7 Hdrolk Oratı Elemaı... 7 Amortörler... 8 Hdrolk Oratı + İtegral Elemaı

6 Hdrolk Oratı + Dferayel Elemaı... 3 Hdrolk Oratı + Itegral + Dferayel Elemaı... 3 Ked Kede Kotrol Ede Stemler Freka Tepk Aalz (Frequecy Repoe Aaly) Bode Grafğ (Bode Dagram) Matlab Cotrol Sytem Toolbox... 4 Model bağlatıları (Model Itercoecto)... 4 feedback... 4 parallel... 4 ere... 4 GİRİŞ Otomatk kotrol uygulamaı gülük hayatımızda ıkça kullaılmaktadır. Temel olarak kapalı devre (ger belemel) ve açık olmak üzere k kıma ayrılablr. Burada yalızca ger belemel kotrol temler celeecektr. Ayrıca kotrol elemalarıı malzemee bağlı olarak da ııfladırmak mümküdür. Hdrolk, mekak, pömatk, elektrok veya bleşeler şeklde olablr. Ayrıca kotrol elemalarıı göterdkler davraışa bağlı olarak da ııfladırmak mümküdür ( Oratı(P), Itegral(I), v. şeklde). Br Kotrol devre aalz veya etez edleblme ç;. Fzkel tem matematkel model elde edlr.. Gerekl bağıtılar yazılır. 3. Stem Blok dyagramı çzlr. 4. Daha bat göterm ç, blok dyagramıda şaret akış grafğ çzlr. 5. Elde edle şaret akış grafğde tem trafer fokyoları veya kararlı olup olmadığı veya kararlı olmaı ç hag aralıklarda olmaı gerektğ gb heaplamalar elde edlr. İlerde bular detaylarıyla celeecektr.. Kotrol Stemler: Kotrol tem alaşılablme açııda aşağıdak temel taımlamaları blme gerekldr. Blok Dyagramı: Fzkel br tem grş ve çıkışları araıdak, ebep ouç lşkler remle (çzm) alatılış şekle der. Blok dyagramıı oluştura parçalara e, elema der. Blok dyagramıı e bat şekl; tek blok ve br grş çıkışta oluşur (bakıız şekl:.). GrşBlok Çıkış (.) Dkdörtge ç, bloğu taımlar ve geellkle elemaı tp veya matematkel br şlem taımı çe yazılır. Blokta kullaıla oklar şlem akış yöüü belrler. 5

7 Toplama Noktaı (Summg Pot): Blok küçük br dare şeklde olduğuda bua toplama oktaı der. Toplama oktaıa gele oklarda artı(+) veya ek(-) şaret bulumalıdır. Toplama oktaıa gele grş ayıı br veya daha fazla olduğu halde çıkış adece br taedr ve çıkışa şaret koulmaz. Dağılma Noktaı (Takeoff Pot): Gele br yal, brde fazla kola çıkışıı götermek ç dağılma oktaı kullaılır ve okta () le göterlr. Grş br tae olduğu halde çıkış k veya daha fazladır. Bütü çıkış kollarıdak değerler grş le ayıdır. Öreğ br a e ştlmede br le b brdr veya evlerdek elektrk 0V le eve gelr. Ba çerde brçok dala (kola) ayrıldığı halde bütü dallardak (kollardak) voltaj ye 0V tur. Gerçek hayatta karşılaşıla problemler kotrol temlerde aıl fade edldğ aşağıdak uygulamalarda göterlmştr. Uygulama : Aşağıdak şeklde egatf ger belemel kotrol tem verlmektedr. Taktak u evye yükeldğde, yüzer top yükelmekte ve dolayııyla palagaya bağlı ola halat ayede u grş egelleye kapak aşağı mektedr. Su evye azaldığı takdrde kapak ger açılmakta ve u grş erbet bırakmaktadır. kapak makara halat u Şamadıra kap u vaa Bu teme at blok dyagramı aşağıda verlmştr. 6

8 Uygulama : Aşağıda verle deklemler blok dyagramlarıı çzz. a) x dx a dt Çözüm: a ) b) x d x dx x dt dt 3 c) x x dt 4 3 veya veya b ) Kotrol elemaları er olarak bağladığı takdrde brleştrleblr. Ayı örek; 7

9 şeklde de olablr. c ) Uygulama : Aşağıda verle ervo mekazmaı fokyou uyu açmak ve kapamaktır. Stem grşdek döer tpl voltmetre, karşııdak Batarya voltaj kayağıa bağlıdır. Voltmetre hareket edeble üçücü ucu, açıal koumla kalbre edlmştr. Çıkış ucu e, hız yükeltc (ervo amplfer) dye adladırıla termale elektrkle bağlamıştır.hız yükeltc, hızı değşeble elektrk motoruu (ervomotor)çalışmaı ç gerekl ola voltajı deteklemektedr. Servomotor e mekak br kolla u valfıa bağlıdır. Ya motoru dömeyle, u valfı açılmakta veya kapamaktadır.valfı yük etk hmal edlmektedr. Motor ml 360 dömeyle, valf tamame açılmaktadır. Ayrıca, kc voltmetre (ger beleme voltmetre) hareket edeble kc ucu paralel olarak ve abt şeklde grş voltmetree bağlıdır. Bell br açı mktarı kadar grş dödürüldüğüde,aradak fark ervo amplfer le yükeltlerek motora letlr. Motor dömeye başlar. Fakat motorda alıa dğer br uç ger beleme voltmetree verldğde buda aradak farkı düşürür. Ya motor tele kouma geldğde voltaj farkı ıfır olduğu ç motor durur. Verle açı ter yöe alııra motor ter yöde dömeye başlar ve ye belrlee kouma gelce durur. Bu tem Blok dyagramı şematk olarak aşağıdak gb çzleblr. Şeklde görüldüğü gb grş (put) ve ger beleme (feedback) voltmetre voltajları ayı olduğuda tem hareketzdr. Buradak kütleler etkde dolayı gerçekte tem heme durmaz, alıım yaparak durur. 8

10 Uygulama : Aşağıda şematk olarak verle, bat br hız kotrol tem (velocty ervomecham) blok dyagramıı çzz. Döer tpl voltmetre vardır ve rad/ cde kalbre edlmştr. (Motor mlde herhag br dış yük yok.) batarya voltaj kayağı, hem grş voltmetre hem de motoru dödürmektedr. Bataryada alıa voltaj grş voltmetree bağlı olduğuda rad/ cde verle büyüklüğü br ucu drek olarak yükeltcye, dğer ucu e takometreye bağlıdır. Uygulama : Fotoell ışık açma-kapama düğmeyle çalışa br lambaı odaı karalığıa bağlı olarak çalışmaı ç, bu tem blok dyagramıı çzz. Çözüm : Odadak ışık yoğuluğu fotoel çalışmaı ç gerekl yoğulukta daha fazla veya oa eşt olmalıdır. Fotoel ve lamba kotrol elemalarıdır. Kotrol yal odayı aydılata ışık 9

11 yoğuluğudur. Bu da güeş ve lambada gele ışıkla oluşmaktadır. E az mktardak ışık yoğuluğu r, lamba tek başıa açıkke (güeş ışığı yok) elde edle ışık yoğuluğua eşttr. Uygulama : Br aı elyle br eeye ulaşmaı ç yaptığı davraışı blok dyagramıı şematk olarak çzz. Çözüm: Bu kotrol tem temel elemaları; bey(bra), kol(arm),el(had) ve gözlerdr(eye). Grş(Iput);ee koumudur. Çıkış(Output); el koumudur. Aşağıdak şeklde verle kek çzgler ve oklar; blg akışıı yöüü götermektedr. Gözler a el le ee araıdak farkı fark eder ve beye letr. Bey bua göre koldak rler uyararak harekete geçrr. El bua göre hareket ederke, göz ürekl olarak ee le el araıdak farkı algılar ve el eeye gerektğ kadar yaklaştığıda bey, el parmaklarıı uyararak cm tutmaıı ağlar. Cm tutulurke parmak uçları eor(algılayıcı) vazfe görür. Uygulama : İa yürüme tem blok dyagramıı çzz. Çözüm: İtele hareket yöü (dered walk drecto) grştr. Gerçekleşe hareket yöü (Actual work drecto) çıkıştır. Gözler(eye) aradak farkı görür ve beye bldrr. Bey de bu farka bağlı olarak bacaklara ve ayaklara uyarı gödererek oları yöledrr.bu arada göz hep ölçmeye devam eder. Hata payı olmadığı takdrde bacaklar ve ayaklar ayı şeklde devam eder. Eğer a alkollü olduğu takdrde toplama oktaıdak fark ölçülemeyeceğ ç (gerçekleşe yö le tele hareket yöü araıdak fark ), büyük hatalar meydaa gelr. 0

12 Uygulama : Sıcaklığıı otomatk olarak ayarlayıp belrl evyede tuta elektrkl fırıı çalışmaıyla lgl blok dyagramıı çzz. Çözüm : Bzm ayarladığımız ıcak değer grştr. Fırıı(Ove) gerçek ıcaklığı e çıkıştır. Fırıı ıcaklığı, ayarlaa(refera) değerde küçük olduğu takdrde, termotat elektrk düğme(wtch) açar ve ııtıcı(heater), (rezta) çalışmaya başlar. Iıtıcı çalışıca, fırıı ıcaklığı artar ve tele değer aşıca, termotat elektrk düğme kapar ve fırıı ıcaklık yükelme durdurulmuş olur. Stemdek çıkış herhag br şeklde grş etklemyora açık devrel kotrol tem, etklyora kapalı devrel (ger belemel) kotrol tem olarak adladırılır. Ger belemel kotrol devreler, ked araıda, poztf veya egatf ger belemel olmak üzere k kıma ayrılır. Stemde meydaa gele hata mktarı düzeltlmeye çalışılıyora egatf ger belemel, artırılmaya çalışılıyora poztf ger belemel olarak adladırılır. Yukarıdak elektrkl fırı veya u takıı çalışma preb, egatf ger belemeye örektr. Grşte başlayıp çıkışa doğru gde yol üzerde bulua elemalara, ler yol kotrol elemaı, çıkışta başlayıp grşe doğru bağlaa yol üzerde bulua elemalara da ger yol elemaı der.. Laplace Döüşümler Başlagıç şartları ble dferayel deklemlere Laplace Döüşümler uygulaablr. Buu ç dferayel deklem kım açılımı le lgl aşağıdak blgler kullamak yararlıdır. F B A şeklde br eştlk verlmş olu ve B () polomuu derece, A () polomuda küçük olu. Bu durumda F(); F F F F olur. A () polomuda kökler gerçel ve brbrde farklı veya tekrarlamalı kök olmaı durumuda katayıları heabı değşr. Verle dferayel deklem mümkü olduğuca açık hale getrlme şarttır. Buu ç aşağıdak yötemler uygulaablr. şeklde verle dferayel deklemde; a0, a,..., am be b0, b,..., b- abtlerdr. a D a D a D a y(t) m m m m 0 D b D bd b0 f(t) tem zorlaya fokyou götermektedr. y(t) e çıkış fokyoudur. Deklem Error! Referece ource ot foud. aşağıdak bçmde kıa olarak göterleblr. y t L L m D D f t f t (.) (.) (.3) (.4)

13 Deklem (.4) de L(D) çarpalarıa ayrıldığıda; r,r,,r olur. r r r elde edlr. Burada; olduğu görülmektedr. Veya, paydaı köklerdr. olduğu takdrde; y( t) y ( t) y ( t) c homoje çözüm kım çözüm L D D r D r D r Lm D a a a a L D Dr Dr Dr D r Lm D Dr Dr Dr Dr K K K K L D Dr Dr Dr p L m D a lm D r Dr L D a a K y(t) f t f t f t Dr Dr Dr a y(t) f(t) Ky t Dr y t f(t) D r r t r t r t (.5) (.6) (.7) (.8) (.9) (.0) (.) y (t) c e e f(t) e dt (.) rt rt rt y(t) k e Ke f(t)e dt olduğuda; (.3) y (t) c k e rt (.4) k c K dr. rt rt y p(t) Ke f(t)e dt (.5) A () de Farklı Kökler Olmaı Durumu m B K Z Z Z F, m A P P P (.6)

14 Deklemde geçe P, P,... P ve Z, Z,... Zm gerçek veya karmaşık büyüklüklerdr. Aşağıda gerçek büyüklük ç celemştr. a : F abt değerlerdr. ( =,,..., ) B a a a A p p p B a p A p Deklem (.8) le verle a değerler daha geel olarak; Laplace Döüşüm Tablou F() f(t) t>0 B a lm p p A (Brm mpule (çarpma)) t veya u t,,3,... ( a) (Brm baamak) (Brm rampa) t 0!! at e! a a a a t co t e e at at t at t e t co t at a a e veya ut,,3,... (.7) (.8) (.9) 3

15 a Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg a at e at at at e ate a a b a at bt e ba e at bt ae ab a b be at bt ct e e e b a c a c b a b a c b c a b c z a b c ab b at bt ct z a e z b e z c e b a c a c b a b a c b c abt e t b a abt e t b a co a b b ab b F f(0) f(0) ft Laplace Döüşüm Özellkler Af ( t) AF( ) x x 3 x 4 x 5 x f ( t) f ( t) F ( ) F ( ) d f ( t ) F ( ) f dt (0 ) d f ( t ) F ( ) f (0 ) f (0 ) dt ( k) ( k ) k k d ( ) ( ) (0 ) f t F f dt k d f( t) f( t) olmak üzere k dt 6 x F ( ) f( t) dt f( t) dt t0 F ( ) k k k t0 7 x... f( t) dt... f( t) dt 8 x F () f() t dt 0 t 4

16 9 f( t) dt lm F( ) ; eğer f( t) dt mevcut e x at e f( t) F( a) f( t a)( t a) e a F( ) a 0 x t f () t x 3 x df() d d t f( t) F( ) d d 4 x t f( t) ( ) F( ),,3,... d 5 x 6 x 7 x f( t) F( ) d eğer lm f( t) mevcute; t t t f af( a) a 8 x f ( t ) f d F ( ) F ( ) t 0 c j f( t) g( t) F( p) G( p) dp j c j t0 Uygulama.: F (8) umaralı deklem uygulamaıyla; a deklem ter laplace ıı heaplayıız. 5 8 a a F() a a 3 olur. Deklem (.0) de yere yazıldığıda; 3 F() elde edlr. Bu değerler, Laplace tablou yardımıyla döüştürüldüğüde; deklem elde edlr. olur. Dğer katayı ç, (.0) (.) t t f(t) e 3e (0 t) (.) 5

17 Uygulama.: Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 3 F( ), f( t)? 3 a a F () a 3 3 a lm a bulua değerler Deklem () de yere yazıldığıda; F () f t e e t olur t t ( ), 0. Maple dldek çözümü; elde edlr ve burada; vlaplace((+3)/((+)*(+)),,t); Cevap: exp(-t) - exp(- t) şekldedr. Uygulama.3: veya F() f(t)? 5 Paydaı kökler aaldır ve aşağıdak bçmde ayrılır. 5 j j (.3) (.4) (.5) Kökler aal olduğuda ü ve coü döüşümler uygulaır. Döüşümler aşağıdak deklemler yardımıyla yapılır. veya; x x at e t e a at co t a a 0 F() 5 0 F() olarak elde edlr. Deklem (.6) ve (.7) dek döüşümler yardımıyla; (.6) (.7) (.8) (.9) 6

18 F( ) 5L f t e t e t t ( ) 5 t t co 0 oucu elde edlr. Maple dldek çözümü; vlaplace((*+)/(**+*+5),,t); Cevap: exp(-t) co( t) + 5 exp(-t) ( t) şekldedr. A () de Kökler Tekrarlamaı Durumu Kökler Tekrarlamaı Durumuda; LD m y( t) f( t) LD ve bq lm Dr Dr q q q L ( D) D r D r D r... D r L m (D) L (D), d q L m (D) bq D lm D r Dr! dd L (D) le taımlı olu cf(t) y (t), y (t) c0 ct... c t e ce... f(t)e (dt),,3,,q D r rt rt rt, k d q L m (D) bq k D lm D r k Drk! dd L (D) şekldedr. Uygulama.4: B( ) 3 b3 b b F () 3 3 A( ) 3 B( ) 3 3 ( ) 3 b3 3 0! A ( ) d 3 3 d b 3 0 3! d! d d 3 B( ) b! d A( ) ( ) t t f t t e 0 e t f ( t) t e, t 0 0 F () 3 oucu elde edlr. Uygulama.5: Aşağıda verle dferayel deklem Laplace metoduyla çözüüz. t D D y t f t, f ( t) e ve y(0) y(0) y(0) 0 D 3 4D 5D y t f ( t) 7 olarak verlyor Y y y y Y y y Y y Y F Y F Y F F() x f t t x e

19 Y Y Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 3 b b b a b3 lm 3 d b lm d d b lm 3! d Y 3 a 3 Laplace tabloudak; x -! at te ( a ) fade kullaılarak; y t t e te e e!! t t t t Maple dldek çözümü: elde edlr. Cevap: y(t) = exp(-t) + / t exp(-t) - exp(-t) t - exp(- t) şekldedr. Uygulama.6: Aşağıda verle dfeayel deklemde, bütü başlagıç şartları ıfırdır ve f( t ) = 4t olduğua göre, çıkış fokyouu heaplayıız. D 3D yt f t y t f ( t ) f ( t ) D 3D DD a a y( t) f( t) D D a lm D lm D D D D D 8

20 a lm D lm D D D D D Deklem (4) de yere yazıldığıda; y a e a e a e a e rt rt t t c olur. a = ve a = - ç kım çözüm elde edlr. 4 4 y K e t e dt K e t e dt p t t t t t t t t t t t t y p e t e dt e t e dt e e t e e t y 4 t t t 3 p y t y ( t) y ( t ) olduğuda; c y( t) k e k e t 3 dy t t t t dt p t ke k e y 0 y 0 0 olduğuda; y(0) k k 3 0 y(0) k k 0 Deklem yere yazıldığıda; y t e e t t t ( ) 4 3 elde edlr. k 4 k elde edlr. olur. Maple dlde ayı problem çözümü aşağıdak gbdr. veya çözümü: y(t) = -3+*t-exp(-*t)+4*exp(-t) şekldedr. D 4 Uygulama.7: y( t) f( t) deklemde, ( D)( D3) f t ( ) t e, y(0) 0, y(0) 0 ve f 0 (0) e olarak verldğe göre, y(t) =? ( D 5D 6) y( t) ( D 4) f ( t) ( Y( ) y(0) y(0)) 5( Y( ) y(0)) 6 Y( ) ( F( ) f(0)) 4 F( ) ( 5 6) Y( ) ( 4) F( ) f (0) ( 5 6) Y( ) ( 4) F( ) ( 4) F( ) Y () ( 56) Y () 4 ( ) ( )( 3) 6 Y () ( )( )( 3) a a a3 Y () 3 9

21 6 6 6 a lm ( ) 3 ( )( )( 3) ( )( 3) a lm ( ) 6 ( )( )( 3) ( )( 3) ( )( ) a3 lm ( 3) 3 3 ( )( )( 3) ( )( ) ( )( ) Y () 3 y( t) 3e 6e 3e t t 3t Uygulama.8: ( D 4) y( t) 0 Y( ) y(0) 4 Y( ) 0 ( 4) Y( ) y(0) 0 3 Y () 4 y t e t 4t ( ) 3 0 dy 4y 0 dt elde edlr. Laplace tablouda yararlaarak y(t) fokyouu; olduğu görülür. olarak elde edlr. Tablo yardımıyla; Maple dldek çözümü; olarak heaplaır. dolve({dff(y(t),t)+y(t)=0,y(0)=0},y(t)); Cevap: Uygulama.9: y(t) = 3*exp(-t) şekldedr. 33 F () ( )( )( 3) 3 3 a a a3 F () ( )( )( 3) 3 deklemde, y(0) = 3 olduğua göre y(t) =? deklem verldğe göre, f(t) =? ( )( 3 3) a lm ( )( )( 3) ( )( 3) ()() a lm 5 ( )( 3) ( )() a3 lm 6 3 ( )( ) ( )( ) 5 6 F () 3 olur F() ter laplace döüşümüyle; t t 3t f ( t) e 5e 6e elde edlr. Ayrıca deklemde, çıkışı kararlıdır. Maple dldek çözümü; vlaplace((***+3*+3)/((+)*(+)*(+3)),,t); 0 t, ft ( ) 0 olduğuda fokyou

22 Cevap: Uygulama.0: edldğe göre y(t) =? Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg exp(-t) - 5 exp(- t) + 6 exp(-3 t) şekldedr. ( D 3D ) y( t) f ( t) Y( ) y(0) y(0) 3 Y( ) y(0) Y( ) F( ) 4t 4 alıdığıda (laplace tablouda); F ( ) 4 Y () ( )( ) ( )( ) b b a a Y () 4 lm ( )( ) b 0 deklemde, d 4 4(3) b lm lm 0 0 3! d ( )( ) ( 3 ) 4 a lm ( ) 4 ( )( ) 4 a lm ( ) ( )( ) 3 4 Y () y t e e t t t ( ) 4 3 f ( t) 4t olur. Elde edle katayılar yere yazıldığıda; şekle gelr. Laplace tablouda faydalaarak; olduğu görülür. 3. Blok dyagramı cebr ve blokları drgeme ve bütü başlagıç şartları ıfır kabul Trafer Fokyou(TF): Br kotrol temde bütü değerler, t uzayıda uzayıa döüştürüldüğüde, Çıkış/Grş oraıa tem trafer fokyou der. TF Output() Iput() Blok dyagramları çok karışık olduğu takdrde buları drgeme gerekr. İlk şlem t uzayıda uzayıa geçlr. İkc olarak tem br grş, br çıkış ve br elema hale getrlr. Bu durumda tem çıkış değer; Grş() x Kotrol elemaı()=çıkış(), elde edlr. Grş ve çıkışı ayı cte olmaı şart değldr. İdrgeme şlem 3 farklı şeklde yapılablr.. Tabloda yararlaarak drgeme,. Cebrel eştlklerde faydalaarak drgeme, 3. Kazaç Formülüü kullaarak drgeme. E pratk yol üçücüüdür. Bütü metotlar ıraıyla verlecektr. İlk metodu kullaılablme ç aşağıda verle tabloda yararlaılır. Aşağıda verle tabloda P harfler trafer fokyouu; W,X,Y, Z e uzayıdak yaller götermektedr. Cebrel eştlklerde yararlaarak yapıla çözümlerde, dağılma oktaı başlagıç (3.)

23 kabul edlr. Burada tbare döerek tekrar ayı yere varıldığıda deklem yazılmış olur. Stemde çok fazla dağılma oktaı ve dögü buluduğu zama, değşk harfler kullaılır. Bular ora temde yok edlr. Tablo 3.: Blok dyagramı le lgl eştlkler Traformayo Deklem Blok Dyagramı Eşdeğer Dyagramı Blok Ser haldek blokları toplamaı Paralel blokları toplamaı veya ler yolu yok edlme Y. P P X Y P. X P. X 3 İler yol üzerdek bloğu kaldırılmaı Y P. X P. X 4 Ger beleme dögüüü yok edlme Y P X P. Y 5 Ger beleme dögüüde bloğu kaldırılmaı Y P X P. Y 6a Toplama oktaıı tekrar düzeleme Z W X Y 6b Toplama oktaıı tekrar düzeleme Z W X Y 7 Br bloğu gerdek toplama oktaıı öe alımaı Z P. X Y

24 8 Br bloğu öüdek toplama oktaıı gerye alımaı Z P X Y 9 Br bloğu gerdek dağılma oktaıı öe alımaı Y P. X 0 Br bloğu öüdek dağılma oktaıı gerye alımaı Y P. X Toplama oktaıı gerdek dağılma oktaıı alımaı öe Z X Y Toplama oktaıı öüdek dağılma oktaıı gerye alımaı Z X Y Uygulama 3.: Aşağıda verle blok dyagramıı tablo metoduu kullaarak drgeyz. Çözüm: Tablo 3. dek umaralı eştlk kullaıldığıda; 3

25 elde edlr. o lu eştlğ kullaılmaıyla olur. 4 o lu eştlkte faydalaıldığıda; Uygulama 3.: Aşağıda verle blok dyagramıı tablo metodua göre drgeyz. 4

26 Uygulama 3.3: Aşağıda verle tem çıkışıı heaplayıız. 5

27 Uygulama 3.4: Aşağıda verle tem çıkışıı heaplayıız. 4. İşaret Akış Grafkler: Taımlamalar Blok dyagramları, kotrol temler grafk götermde oldukça ık kullaılır. Kotrol tem damğ grafkel göterm dğer br metodu da şaret akış grafğdr. Bu grafğe S.J.Mao u adıa zafete Mao kazaç Formülü de der. Karışık düğümler, hem gele hem gde kollar le bağlatılıdır. Kol: İk düğümü brbre bağlaya çzgye der. Kol Kazacı: Kol üzerde okla göterle değere der ve artı veya ek olablr. 6

28 İler Yol: Ter yöe grmemek ve ayı düğümde k defa geçmemek kaydıyla, grşte başlayıp çıkışa gde yollara ler yol der İler Yol Kazacı: İler yol üzerdek geçşler çarpımıa eşttr. Dögü: br düğümde harekete başlayıp ayı düğüme, ter yöde gtmemek ve ayı yerde k defa geçmemek kaydıyla elde edle dögülere der. Dögü Kazacı: Br dögüü kollarıdak kazaçları çarpımıdır. Temaız Dögü: Brbr le ortak düğümü olmaya dögülere der. İşaret Akış Grafğ Cebr - Br dögüü değer, kede gele kolu geçş le doğruu çarpımıa eşttr. x ax (4.) - Ser bağlı kollarda toplam geçş, kollardak geçşler çarpımıa eşttr. 3- Paralel bağlı kollarda, geçşler toplaarak toplam geçş buluur. 4- Karışık düğümler, aşağıdak şeklde görüldüğü gb yok edleblrler. 5- Bezer bçmde br dögüde aşağıdak bçmde yok edleblr. 7

29 x a b x bc x olur, veya 3 3 X ab X bc 3 elde edlr. Leer Stemler İşaret Akış Grafğ İle Göterm Aşağıda br leer tem öreğ verlmektedr. x a x a x a x b u 3 3 x a x a x a x b u 3 3 x a x a x a x (4.) Burada; u ve u grş değşkeler; x, x ve x3 çıkış değşkelerdr. İlk olarak ıra le x, x, x3 ç düğüm koulur. Daha ora deklemler bu düğümlere uygulaır. Her üç deklem ç ayrı ayrı bu şlem tamamlaır. Daha ora üper pozyo le brleştrlr. Aşağıdak şekllerde bu uygulama göterlmştr. İşaret Akış Deklem İşaret Akış Deklem, blok dyagramlarıı trafer fokyolarıı çözümüde kullaıla br formüldür ve aşağıdak bçmde fade edlr. TF (4.3) 8 P

30 P Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg =. ler yolu kazacı = Grafğ determatı L L L... L L. L L. L... L. L L. L. L j 3 =. yolu devrede çıkarılmaıyla elde edle değer. L:. Dögüü kazacı. L Lj = Brbre tema etmeye dögüler kl çarpımları. ( dögüü ortak oktaı bulumamalıdır.) L L j çarpımıı olablme ç bu k L Lj Lk = Brbre tema etmeye dögüler üçlü çarpımlarıdır. Bu çarpımı yapılablme ç ortak düğümler olmamaı şarttır. Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. Burada üç adet dögü kazacı vardır. L GGH L G G3 H G G3H L3 GG G3 G G G3 Stem determatı; L L L 3 GG H G G3H GGG 3 Stemde adece br adet ler yol mevcuttur. İler yol kazacı P; P GG G3 G G G 3 9

31 Formül teme uyguladığıda; C R P P TF 0 GG G3 TF GG H G G3H GG G3 olarak elde edlr. Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. Burada dört adet dögü kazacı vardır. L GG H3 G G3H3 L G H G H L3 G H G H L4 G G3 H3 G G3H3 Stemdek ler yolları kazaçları e; P G G G G P G G3 G G 3 P3 G G4 G G 4 Stem determatı; 30

32 L L L L Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 3 4 G G3H3 GH GH GG3H3 Formül teme uyguladığıda; P C P P P TF R GG GG3 G G4 TF G G3H3 G H G H G G3H3 olarak elde edlr. Uygulama Aşağıdak lk üç şıkta verle deklemler şaret akış grafğ le elde edz. d ) şıkkıı verle ayılar ç çözüüz. a =, a = 4, a = -, a = 3, u = ç x ve x y buluuz. d d x x x x dt dt a) b) x 3 x dt 4 3 c) d) d x3 x x x dt dt x a x a x 4u x a x a x 4u d ) x x 4x 4u x x 3x 4u 3

33 Stem çözüm fokyou buluablme ç lk olarak x çıkışı ptal edlr. P P P TF... Steme at ler yol kazaçları; P 4 4 p Dögü kazaçları; L =, L = 3, L3 = 4 (-) = -4 Determatı; L L L L L L 3 0 olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr TF 6 6 x TF. u u x Buda ora x çıkışı ptal edlr. Steme at ler yol kazaçları; P 4 4 p 4 4 Dögü kazaçları ve determat değer yukarıda bulumuştur. L 0 olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr TF 3 x 3u u x olarak elde edlr. Elde edle ouçlar, verle deklemlerde yerleştrldğde eştlğ ağladığı görülür. Eştlğ ağlamaı, elde edle ouçları doğru olduğuu göterr. x x 4x 4u x 4x 4 4=4 3

34 x x 3x 4u Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg x x 4 4=4 II. Yol : Ayı deklemler daha ade halde yazarak bezer ouçları bulablrz. x 4x 4u ve x 0,5x u olarak yazılablr. Bu durumda şaret akış grafğ aşağıdak bçmde olur. L = 0.5 (-4) = - Determatı; L 3 Stem çözüm fokyou buluablme ç lk olarak x çıkışı ptal edlr. P P P TF... Steme at ler yol kazaçları; P 4 4 P 4 () 8 Dögü kazaçları; 0 0 olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr TF 3 3 x TF. u u x Buda ora x çıkışı ptal edlr. Steme at ler yol kazaçları; P p Dögü kazaçları ve determat değer yukarıda bulumuştur. 0 0 olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr. 7 9 TF x 3u u x 3 olarak elde edlr. Elde edle ouçlar, verle deklemlerde yerleştrldğde eştlğ ağladığı görülür. Eştlğ ağlamaı, elde edle ouçları doğru olduğuu göterr. 33

35 x x 4x 4u x x 3x 4u Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg x 4x 4 x x 4 4=4 4=4 Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. Stem üç adet dögü kazacı vardır. L G H G H L GH L3 H H3 H H3 Stemdek ler yolları kazaçları; P GG G3 P GG G4 G G G4 Stem determatı; L L L L L 3 3 G HG H H H3 G HH H3 Formül teme uyguladığıda; P C P P TF R L3 H H 3 34

36 L3 H H3 TF Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg GG G3 HH3 G GG4 HH3 G HG HHH3GHH H3 olarak elde edlr. Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. R + + H G5 H4 + + G G G L L L3 L4 H G4 H L5 L6 H5 C Çözüm: Stem dögü kazaçları; L G H G H, L G H, L G4 H3 G4 H3, 4 L5 G3H4 Stemdek ler yolları kazaçları; P G G G3, Stem determatı; L H G4 G4 H 3 L G3 H5 G3H5, P G G5 G3 G G3 G5, 6 P G H G4 G3 G G3 G4H L L3 L L4 L L5 L L6 L L4 L L5 L L L3 L4 L5 L6 L L6 L3 L5 L3 L6 L4 L5 L4 L6 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L3L4, L3 L4, 3 İşaret akış deklem teme uyguladığıda; TF 3 P C P P P R Olur. Yukarıda elde edle değerler, yere yazıldığıda, tem trafer fokyou heaplamış olur. Uygulama Verle kotrol tem çıkış değerler İşaret Akış Deklem Metodua göre buluuz. C=? ; C=? 35

37 Bu tp brde fazla grş ve çıkış değerler ola temler çözümü yapılırke öce tem tek grş ve tek çıkışlı hale getrlp çözüm yapılır. Daha ora çıkış değerler toplaarak ouca ulaşılır. Çözümde zleme gerekl yol aşağıdak şekldedr. C C C C C C a ) R = R R = 0 C = C C = 0 C / R b ) R = 0 R = R C = C C = 0 C / R c ) R = R R = 0 C = 0 C = C C / R d ) R = 0 R = R C = 0 C = C C / R Yukarıdak şlem ıraları ıraıyla uyguladığıda; a ) İlk durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. 36

38 Steme at ler yollar; P = ( ) G ( ) ( ) = G P = ( ) G ( ) ( - H ) ( ) = - G H Steme at dögüler; L = G ( G G3 G4 ) = G G G3 G4 L = G ( ) H = G H Stem determatı; L L 0 0 = G G G3 G4 G H Steme Mao Kazaç Formülü uyguladığıda; C P P TF R C G GH TF R G G G3G4 GH GG H C R GG G3G4 G H olarak elde edlr. b ) İkc durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. 37

39 Steme at ler yollar; P = ( ) ( ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( ) = - G G3 G4 P = ( ) ( ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( -H ) ( ) = G G3 G4 H P3 = ( ) ( -A ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( ) = A G G3 G4 P4 = ( ) ( -A ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( -H ) ( ) = -A G G3 G4 H Steme at dögüler; L = ( -G4 G3 ) ( G ) ( -G ) = G G G3 G4 L = G ( ) H = G H Stem determatı; = ( L + L ) = G G G3 G4 G H = 0 = = 0 = 3 = 0 = 4 = 0 = Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P P P P TF R C G G3 G4 G G3 G4 H A G G3 G4 A G G3 G4 H TF R GG G3G4 GH G G3 G4 G G3 G4 H A G G3 G4 A G G3 G4 H C R G G G3G4 G H olarak elde edlr. c ) Üçücü durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. 38

40 Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. Steme at ler yollar; P = ( ) G ( -G G4 ) ( ) = -G G G4 Steme at dögüler; L = G ( ) H = G H L = G ( -G G4 ) ( -G3 ) = G G G3 G4 Stem determatı; = ( L + L ) = G G G3 G4 G H = 0 = Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P TF R C G GG4 TF R G G G3G4 GH GG G4 C R GG G3G4 GH olarak elde edlr. d ) Dördücü durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. 39

41 Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. Steme at ler yollar; P = ( ) G4 ( ) = G4 P = ( -A ) G4 ( ) = -A G4 Steme at dögüler; L = G4 ( -G3 ) G ( -G ) = G G G3 G4 L = G ( ) H = G H Stem determatı; = ( L + L ) = G G G3 G4 G H = L = - G H = L = - G H Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P P TF R C G4 G H AG4 GH TF R GG G3G4 GH G4 GG4 H A G4 A GG4 H C R G G G3G4 GH olarak elde edlr. Elde edle ouçlar aşağıdak bçmde brleştrllerek çıkış değerler buluablr. 40

42 C = C + C C = C + C C C Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg G G H R G G3 G4 G G3 G4 H A G G3 G4 A G G3 G4 H R GG G3G4 GH G GG4 R G4 GG4 H AG4 AGG4 H R G GG3G4 GH Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. Steme at ler yollar; P = ( ) G ( ) G G3 G4 ( ) ( ) = G G G3 G4 P = ( ) G ( ) G G3 G4 ( ) ( - ) ( ) = - G G G3 G4 P3 = ( ) G ( ) G ( ) H ( - ) G4 ( ) ( ) = - G G G4 H P4 = ( ) G ( ) G ( ) H ( - ) G4 ( ) ( - ) ( ) = G G G4 H P5 = ( ) G ( ) G4 ( ) ( ) = G G4 P6 = ( ) G ( ) G4 ( ) ( - ) ( ) = - G G4 Steme at dögüler; L = G ( - ) = - G L = G ( ) ( - H3 ) = - G H3 L3 = G4 ( ) ( ) ( - ) = - G4 L4 = G ( ) G G3 G4 ( - H ) = - G G G3 G4 H L5 = G ( ) G ( ) H ( - ) G4 ( - H ) = G G G4 H H L6 = G ( ) G4 ( - H ) = - G G4 H 4

43 Stem determatı; Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg = ( L + L + L3 + L4 +L5 + L6 ) + ( L L + L L3 +L L3 +L L6 ) - ( L L L3 ) = + G + G H3 + G4 + G G G3 G4 H - G G G4 H H + G G4 H + G G H3 + G G4 + G H3 G4 + G H3 G G4 H + G G H3 G4 = 0 = = 0 = 3 = 0 = 4 = 0 = 5 = L = + G H3 6 = L = + G H3 Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P P P P P P TF R TF = { ( G G G3 G4 ) + ( - G G G3 G4 ) + ( - G G G4 H ) + ( G G G4 H ) + [ ( G G4 ) ( + G H3 ) ] + [ ( - G G4 ) ( + G H3 ) ] } / { + G + G H3 + G4 + G G G3 G4 H - G G G4 H H + G G4 H + G G H3 + G G4 + G H3 G4 + G H3 G G4 H + G G H3 G4 } olarak elde edlr. Uygulama Şeklde verle tem trafer fokyouu şaret akış dyagramı deklem kullaarak heaplayıız. R + H G4 L + + G G5 - G G6 L G3 + L3 H H3 L4 G7 L5 H4 C Stem dögü kazaçları; L G H L G3 H 3 L G H 3 L G3H4 L G3H4 5 Stemdek ler yol kazaçları; P G G4 G7 P G G4 G7, L G H L G H L G3 H, 5 L G7 H3 L G7 H

44 P G G5G7 P G G4 G7 3 P4 G G5G7 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg P G G6 G7 5 P G G7 6 P G3 G7 7 Stem determatı; P3 G G4 G7 P G G6 G7 5 L L L L L L L L L L L L L L L L L , 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0 İşaret akış deklem teme uyguladığıda; TF TF C R 7 P TF P P P3 P4 P5 P6 P7 Olur. Yukarıda elde edle heaplamış olur. P P P P P P P TF P P P P P P P ve P değerler yere yazıldığıda, tem trafer fokyou Uygulama Aşağıdak verle blok dyagramıı trafer fokyouu elde edz. ( başlagıç şartları dr.) c(0),c(0) 0 K, r t u t ve K K c( t) D 4D 3 D 4D 3 K r( t) K D 4D 3 K D 4D 3 K D 4D 4 D 4D3 D 4D 3 (4.4) C c(0) c(0) 4 C c 0 4 C R C 4C() 4 4C() R() C R() C 4C 4C 4 R() C() C()

45 5 C() 4 4 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg b lm 0! C() 3 5 b b 4 4 Uygulama 5 3 c t 3 t e e! t, d 5 b lm! d t c t 3 t e e t t Aşağıda verle blok dyagramıda tüm başlagıç şartları ıfır ve grş değer verlmştr. Bu durumda, r t e t olarak a) K= ç c(t) =? b) Stem kararlı olmaı ç, K aralığıı heaplayıız. c) b şıkkıda elde edle ouca göre, tem kararız kıla br K değer ç tem kararız olduğuu patlayıız. a) 4K c(t) (D ) (D 5) 4K r(t) 4K D 6D 5 4K (D ) (D 5) veya adeleştrldğde; ( D 6D 5 4 K). c( t) 4. K. r( t) ( 6 9) C( ) 4 4 a b b C () ( 3) ( ) ( 3) ( 3) Başlagıç şartları ıfır olduğuda D yere yazılır a ( ) ( )( 3) ( 3) , b 3 3 d 4 d b 3! ( 3) ( ) ( ) 4 d d C () elde edlr. Laplace döüşüm tablouda yararlaarak; ( 3) ( 3) c(t) e te e t 3t 3t b) ( D 6D 5 4 K) c( t) 4 Kr( t ) 44

46 C( ) c(0) c(0) 6 C( ) c(0) 5 C( ) 4 K C( ) 4 K R( ) K C( ) 4 K R( ) r( t) e R( ) t döüşümü yapılablr. 4K 4K C () ( K) ( ) ( 3 7 ( 4 K) 5 4 K) olarak elde edlr. Kararlılığı celeeblme ç trafer fokyouu determatı ıfıra eştlemeldr. 3 7 ( 4 K) 5 4K 0 Routh krtere göre; 3 ( 4K) 0 7 (5 4K) 0 7 4K K 0 5 4K 0 4K 5 K 5 4 olmalıdır. 7 4K 0 K 7 K 3 4 olmalıdır. olmalıdır. İk şart brleştrldğde; c) b şıkkıda bulua ouca göre, K = - ç tem kararız çıkmalıdır. ct ( ) 8 r( t) D 6D 3 8 C () şeklde elde edlr. Deklem kökler; ( 6 3)( ) a a a3 C () ( ( 3 3)) ( ( 3 3)), 3 3 tür. Bua göre; K 5 4 ( 3 3)( 8) ( 8) 3 a lm 3 3 ( 3 3)( 3 3)( ) ( 3 3)( ) 3 3 3( 3) ( 3 3)( 8) ( 8) a lm 3 3 ( 3 3)( 3 3)( ) ( 3 3)( ) 3 3 3( 3) ( )( 8) ( 8) a 3 lm ( 3 3)( 3 3)( ) ( 3 3)( 3 3) ( 3)( 3) c() t a e a e a e t t t 3 c() t a e a e a e olarak buluur. Elde edle deklemde, c ( ) olduğuda 0,464t 6,464t t 3 kararız olduğu görülür. 45

47 Uygulama Aşağıda verle blok dyagramıda tüm başlagıç şartları ıfırdır. a) r(t) = u (t) ke t 4t c(t) Ce Ce olmaı ç, K=? ve a =? b) r(t) = e -t ke olmaı ç, K =? ve a =? c) a şıkkı ç tem kararlı olmaı ç K =? ve a =? d) c şıkkıda elde edle koşula göre, kararız K ve a değer ç tem kararızlığıı patlayıız. c() t C e C e C e t t 3t 3 a) K C() ( a) K R() K a K ( a) c() t C e C e t 4t olduğuda; C() C C ( )( 4) a 5 ; K 4 olmalıdır. a K olur. (4.5) b) C() K R() a K K C () a K C C C3 C () 3 ( )( 3) 5 6 a 5 ; K 6 c) 0 a K 0 K 0 a 0 K Routh krtere göre; a 0 ve K 0 olmalıdır. e) Kararız durum ç; K = ve a = -3 olu, a a C () 3 ( ) ( ) a lm ( )( ) a lm ( )( ) 46

48 C () ( ) ( ) Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg elde edlr. Tabloda yararlaarak; c(t) e e t t buluur. t, c(t) olduğuda kararız olduğu görülür. Uygulama 4.0: Aşağıdak verle gerçek tem trafer fokyouu heaplayıız. (k:= yay katayıı, m:= kütle, x:= x doğrultuudak yer değştrme, x := x doğrultuudak hız, := x doğrultuudak vme, f:= amortör katayıı, F:= dış kuvvet ), ( Steme at başlagıç şartları ıfırdır.), (X > X dr.) x Steme at grş değer F kuvvet ve çıkış değer e x yerdeğştrme değerdr. Steme at dış kuvvetler ve ç kuvvetler dege yazıldığıda; kx F ma 0 ma kx F kx ma F m X x 0 x 0 kx F X m k F X F m k mx kx F m X kx F olarak elde edlr. Yukarıda verle tem ele alıdığıda, olu kütle ç kuvvet dege; Şeklde de görüldüğü gb, yayı kütleye yaptığı etk F = k x, amortörü yaptığı etk e F = f x le ölçülmektedr. Bua göre dege deklem; k ( x x ) f ( x x ) f ( t) m x olarak elde edlr. olu kütle ç kuvvet dege e; () 47

49 olu kütle ç dege deklem e; k x f x k x x f x x m x Elde edle k dege deklem yede yazıldığıda; m x f ( x x ) k ( x x ) f ( t) mx f x x fx k x x kx 0 Deklem (3) ve (4) matr formuda yazıldığıda; m 0 x f f x k k x f ( x) 0 m x f ( f f) x k ( k k) x 0 olarak elde edlr. İk deklem uzayıda aşağıdak bçmde yazılablr. ( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) (0) m X x x f X x X x ( ) ( ) k X X F ( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) (0) m X x x f X x X x f X ( ) x (0) k X ( ) X ( ) k X ( ) 0 Başlagıç şartları ıfır kabul edldğde, deklem (6) aşağıdak bçmde elde edlr; m X ( ) f X ( ) k X ( ) f X ( ) k X ( ) F( ) m f k X ( ) ( f k ) X ( ) F( ) A deklem (.7) e; m f f k k X ( ) f k X ( ) B B C (9) olarak elde edlr. Deklem (8) ve deklem (9) aşağıdak bçmde kıa olarak tekrar yazıldığıda; B AX( ) BX( ) F( ) X( ) X( ) F( ) A A B CX( ) BX( ) X( ) X( ) C () Deklem (0) ve deklem () de, teme at şaret akış dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. () (3) (7) (8) (0) (4) (5) (6) 48

50 Bua göre trafer fokyou; X () P F () Determat değer; () B AC 0 İler yol değer; B P AC olarak yazılır. Elde edle değerler, deklem () de yere koulduğuda; B X() AC B F() AC B AC B AC 5. Kararlılık Krterler olarak elde edlr. Br temde t ke mpulf cevap ıfıra yaklaşıyora, tem kararlıdır der. Uygulama 5.: fokyou ele alıı. Deklemdek durumda tem kararızdır. y 5t y 4(5 t) t gderke; y gtmektedr. Bu Uygulama 5.: fokyou ele alıı. Ele alıa deklem grafğ çzldğde, y değer ıfıra gtmedğ görülür. Stem kararızdır. Uygulama 5.3: y 0 t fokyou ele alıı. t gderke; y 0 gtmektedr. Stem kararlıdır. Uygulama 5.4: t y 5 e fokyou ele alıı. t gderke; y 0 gtmektedr. Stem kararlıdır. t y 5t Uygulama 5.5: e fokyou ele alıı. Bu orada payda paya göre daha hızlı lerlemektedr. Buda dolayı y 0 gtmektedr. Stem kararlıdır. 49

51 Uygulama 5.6: Aşağıdak şeklde üç durum verlmştr. İlk durumda ç bükey br yüzeyde, kc durumda düz br yüzeyde, üçücü durumda e dış bükey br yüzeyde göterle pozyoda ked hale bırakıla toplarda lk belrl br alıım hareketde ora e alt oktada durur. Bu durum tem kararlı olduğuu göterr. Çükü zama çde tem kararlılık oktaıa gelmştr. İkc durumda topu hareketde herhag br değşklk olmaz. Bu hal Marjal Kararlılık olarak adladırılır. Üçücü durumda e top aşağı düşer. Stem kararızdır. Uygulama 5.7: Aşağıda ter yölü olarak k mafal bağlatıı göterlmştr. Brc pozyoda çubuk erbet bırakıldığıda çubuk aşağı doğru düşecektr. Ya br kararızlık öz kouudur. Acak kc durumda çubuk erbet bırakıldığıda bell br zama ora tem kararlı hale gelecektr. Uygulama 5.8: Aşağıda şekldek gb br mafal bağlatııda, açıı büyüdükçe yayı çubuğu tutmaı zorlaşır. Eğer açıı bell br değer geçere, yay çubuğu tutamaz hale gelr. Böyle br tem kararlılık kouua örek olalarak düşüüleblr. Ya tem e uygu bçmde çalışmaı ç yay katayııı heaplamaı veya yay katayıı bell br temdek e uygu çalışma açılarıı belrleme orularıı cevaplarıı kararlılığıı celeyerek elde edeblrz. Bütü bu öreklerde de alaşılacağı üzere kararlılık hal br tem bell br zama dlm çde düzel duruma gelme haldr. Kararlılık durumu yukarıda alatıldığı gb tebt edleceğ gb tem ç elde edle trafer fokyoudak determat değer celemeylede yapılablr. Öcelkle determat değer ıfıra eştler. = 0 polomua tem karaktertk deklem der. Karaktertk deklem aşağıdak bçmlerde celeerek tem kararlı veya kararız olduğu alaşılır. Ayı zamada kararlılık ç gerekl ıır değerler heaplaır. Bu celeme üç değşk bçmde yapılablr.. Routh Krter 50

52 . Hurwtz Krter 3. Sürekl Bölme Krter Routh Krter a a... a a 0 0 polomu verlmş olu. a a a 4 a a 3 a5 3 c c c b b b b a a a a 3 a, b a a a a 4 5 a (5.) c b a a b 3 b, c b a a b 5 3 b Tablou brc ve kc atırları karaktertk deklemde doğruda yazılır. Dğer katayılar ( b, b,..., c, c,... ) bell kurallara göre heaplaarak elde edlr. Bu şlem 0 polomuu katayıı heaplaaa kadar devam eder. Tablo oluşturuldukta ora celeme ç lk ütu göz öüe alıır. İlk ütudak katayılar ıfırda büyük olduğu takdrde tem kararlıdır der. Sütuda ıfır bulumaı durumda tem marjal kararlıdır. Küçük olmaı durumuda e tem kararızdır. Eğer heaplama oucuda lk ütudak elemalarda br ıfır çıkara, ıfır yere ε değer alıır ve şleme devam edlr. ε değer ıfıra çok yakı br değer olarak kabul edlr. Heaplaa atırı tüm elemaları ıfır çıkara; bu durumda heaplaa atırı, üzerdek atırdak katayıları oluşturduğu polomu türev alıır ve elde edle ye polomu katayıları heaplaa atıra yerleştrlr. Bu şeklde şleme devam edlr. Uygulama karaktertk deklem kararlılığıı Routh Krtere göre celeyz. (5.) / İlk ütudak elemaları hep poztf şaretl olduğuda kararlıdır. Uygulama K 0 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta olmalıdır? K 0 8 K 3 0 K 0 Routh tablouu 3. atırıda, 8 K K K 0 8 K şartı ve 4. atırıda, 5

53 K 0 K şartı elde edlr. Bu k şartı brleştrlmeyle brlkte K 8 olmalıdır. Uygulama K 0 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta olmalıdır? K K 60 6K 0 0 K Routh tablouu 4. atırıda, 60 6K 0 0 K K K K şartı elde edlr. Bu k şartı brleştrlmeyle brlkte K 0 0 K 0 şartı ve 5. atırıda, olmalıdır. Routh krterde karşılaşıla k ta durum vardır. Bularda brc; Routh tablouu atırıdak lk ütu değer ıfıra eşt ve dğer atır değerler ıfırda farklı e, bu ıfır ola değer ıfıra çok yakı poztf br ε değer le değştrlr. Aşağıda bua at br mal verlmştr. Uygulama karaktertk deklem kararlılığıı Routh Krtere göre celeyz..ütu, 3.atırdak lk elema 0 ve dğer elemalar ıfırda farklı çıktığı ç, lk ütudak ıfır yere, ıfıra çok yakı ola poztf br ( ) değer le değştrlerek şleme devam edlr. Sütudak o k değer, ıfırda küçük olduğu ç tem kararızdır. İkc ta durum aşağıda verlmştr. Ya atırdak bütü elema değerler ıfıra eşt çıkmaı durumudur. Uygulama Karaktertk deklem kararlılığıı Routh Krtere göre celeyz. 5

54 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 4 P dp 3 8 d Not: üçücü atırı tüm elemaları ıfır çıktığı ç kc atırı katayılarıda oluşa polomda türev alma şlem uygulaır ve elde edle polomu katayıları yazılır. Eğer adece. ütudak elema ıfır olup dğerler ıfırda farklı olura, ıfır ola elema yere poztf ve ıfırıra çok yakı ɛ alıarak şleme devam edlr. Br atırda tek elema var ve bu da ıfıra eşt e buu yere de ɛ kullaılır Brc ütuu bütü elemaları ıfırda büyük olduğuda, Stem kararlıdır. Uygulama K olmalıdır? 4 4 K K K K le verle karaktertk deklemde, tem kararlı olmaı ç K e 4 K 9 K K 0.5 K K K 0.5 K K 0 K 9K K K olmalıdır. Uygulama le verle karaktertk deklemde, kaç adet gerçek kımı poztf ola a Çözüm: bj veya a 0j gb kök olduğuu, Routh tablou le heaplayıız. Not: Routh tablou oluşturulduğuda, lk ütua bakılır. Burada kaç adet şaret değşklğ var e, karaktertk polomuda da o kadar poztf gerçek ayıya ahp kök vardır. Ya köklerde o kadarı gerçek de ola aal da ola poztf gerçek kıma ahptr. Alaşılmaı ç, yukarıda verle polom şekldedr. Bu karaktertk polomda br adet kök değer, 3 5 komplek düzlemde aal eke ağ tarafıda olacak şekldedr. Routh tabloua 4 3 yerleştrldğde,

55 Uygulama Aşağıdak şeklde verle temde, R() 5 K C() Stem kararlı olmaı ç K aralığı e olmalıdır? Çözüm: Stem Trafer Fokyou; TF 5 K 5 K TF 4 K 4 K TF 4K 4 K TF 4K K 4K Burada tem Routh tablou oluşturulduğuda, 4K 0 K K 0 0 K 0 4K 0 K K K olmalıdır. Uygulama Aşağıdak şeklde verle tem kararlı olmaı ç K aralığı e olmalıdır? R() K C() Çözüm: Stem Trafer Fokyou; TF K K TF K K TF K K K TF K K K Burada tem Routh tablou oluşturulduğuda, 54

56 K 0 K K 0 0 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg K 0 K 0 K K K olmalıdır. Uygulama Aşağıda verle tem karalı olmaı ç K değer e olmalıdır. R() K C() TF C() R() K K K 7 0 K K K 30 0 K 0 K TF K 0 K İk şartı brleştrlmeyle brlkte; K K 7 6 K 30 0 K K olduğu görülür. 55

57 Root-Locu grafğde 540 değer görülmektedr. Uygulama Aşağıdak verle blok dyagramıı R() grş değer, brm mpulf br etk e; tem trafer fokyouu elde edp, tem kararlı olmaı ç gerekl ola K aralığıı Routh kararlılık krtere göre heaplayıız. K C() ( ) ( ) K K 4 3 R( ) K ( ) ( ) K 3 3 K ( ) ( ) (5.3) Kararlılık krter celeeblme ç determat değer ıfıra eştleme gerekr. Elde edle karaktertk dekleme göre Routh tablou aşağıdak bçmde oluşur K K / 3 K 0 4 9K 7 0 K 0 56

58 Elde edle tablou lk ütuudak bütü elemalar ıfırda büyük olmalıdır. 4 9K K K So atırı lk ütuuda K 0 olmalıdır. İk şartı brleştrlmeyle, 0 K 4 9 olur. Root-Locu Grafğ çzldğde k<.55 (Ga) olduğu görülmektedr. Ayı ouçlar Bode dyagramı çzldğde de görülmektedr. Bode dyagramı aşağıda verlmştr. 0log a 0log0x log0x 0 x l x 3. l lx l 0 57

59 e l x e x K.55 Gerçekte okua değer dr. Ve tam uyum ağlamaktadır. Açı değer 80 olduğua dkkat edz. Dğer verle değerler adece tet amaçlıdır. Root-Locu grafğ le karşılaştırma yapılablr. Hurwtz Krter 0 a a... a a 0 polomuda, -,..., değerler hep poztf olduğu takdrde tem kararlıdır der. Herhag br ıfırda küçük olura tem kararız olur. Sıfıra eşt olmaı durumua marjal kararlılık der. a a a 3 5 a a a a a a a a 0 (5.4) Uygulama karaktertk deklem kararlılığıı Hurwtz Krtere göre celeyz (5.5) 6 6 0, , Bütü determat değerler ıfırda büyük olduğuda dolayı tem kararlıdır. Uygulama K 0 olmalıdır? 3 K 3, 3 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta Hurwtz şartıa göre bütü Determat değerler ıfırda büyük olmalıdır. Burada, 3 K 3 0 şart ağlamaktadır. 9 K 8 K 0 K 8 olmalıdır, 3 3 K 0 0 olmaı gerektğde dolayı brleştrlmeyle brlkte K 8 oucu çıkarılır. K 0 K olmalıdır. Bu k şartı 58

60 Uygulama K 0 olmalıdır? K K, 3 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta K 0 6 6, 6 6, Bütü determat değerler ıfırda büyük olmaı gerekl olduğuda dolayı, şartı ağlamaktadır. = 66 6 = 60 > K K 3 K K K K K 0 0 K 0 K K 0 4 3K K K 0 olmalıdır. Souçta; 0 K 0 elde edlr. Uygulama , karaktertk deklem kararlılığıı Hurwtz Krtere göre celeyz., 0, 0 0 0, olduğuda dolayı tem marjal kararlıdır. Sürekl Bölme Krter Bu krterde polom aşağıdak bçmde kye ayrılır ve brc polom kc poloma bölüür. Daha ora elde edle böle değer kala değere bölüerek, şleme, kala değer ıfır buluucaya kadar devam edlr. Bölme ş le mlerde e lde edle bölü m değerle r dek, () katayı la rı ıfırda büyüke tem kararlı dır der. Kalala rı br tae dah ıfırda kü çük olu r a tem k ararı z o lu r. Sıfıra e şt o l maı duru mu ma r j al ka ra r lı lık duru mudur Q a a Polom Q a a Polom 59

61 h, h, h3,..., h değerler hep de ıfırda büyük olduğu takdrde tem kararlıdır der. h lerde br tae ıfır veya egatf olura tem kararızdır der. Uygulama Çözüm: Verle karaktertk deklemde karaktertk deklem kararlılığıı Sürekl Bölme Krtere göre celeyz. Q 3 ve Q 6 8 polomları buluur Q 3 Q , h 6 0, h tem kararlıdır. Bütü değerler ıfırda büyük çıktığı ç tem kararlıdır. ve h olduğuda Uygulama Bua göre; deklem kararlılığıı Hurwtz Krtere göre celeyz (6.5.) () (6.5.) 4(6.4.)

62 ( 30) Elde edle determat değerlerde 3, 4 ve 5 değerler ıfırda küçük olduğu ç tem kararızdır. Uygulama K 0 deklem kararlı olablme ç gerekl ola K aralığıı Sürekl Bölem Krtere göre celeyz. Q ( ) 3 3 Q ( ) 3 K ve şekldedr. İkc polomdak bakımıda A term kullaılı. Bua göre; +K term yere, şlem kolaylığı A 3 3 A 3 3 A A B 9 A 3 3 B B B 0 A B A A Elde edle bölümlerdek ler katayılarıı ıfırda büyük olmaı gerekr. Bua göre; 3 0 B B A A 9 A 3 9 A 3 0 A 9 A 0 3A ( K) 9 ( K) 0 3( K) K Stem aalz brçok güçlü metotları, leer kotrol temler ç gelştrlmştr. Br leer kotrol tem ç, değşkeler araı bütü bağıtılar geellkle abt katayılı leer dferayel deklemlerdr. Bu edele ger belemel kotrol temdek değşkeler, cebrel değşkelerde zyade zamaa bağlı dferayel deklemlerdr. Öreğ ıcaklık kotrolüde gerçek yal şaret akışıda değşklğe ede olur. Fakat ıcaklığı tele değere getrmek ç, lave edlecek ıı 6 K 8 8 K 0 3 3K 8K 0 Elde edle şartlara göre 8 de küçük K değerler ç tem kararlıdır. 8 K 6. Leerleştrme Kotrol temler aalzde ve etezde kullaıla bütü teorler doğrual (leer) temler ç geçerl olduğu ç, fokyolar ble aralıklarda doğrual hale getrlr. Böylece çözümler elde edlr. Leer Olmaya Fokyoları Leerleştrlme

63 mktarıda dolayı zama gerekldr. Ye hız kotrol temde gerçek yal, yakıt grşdek aıl hareket değşme ede olur ( Temel kotrol değşme ede olur. ). Ama arzu edle hıza erşmek ç motoru hızladırmak veya yavaşlatmak amacıyla zamaa htyaç vardır. Bezer şeklde baıç kotrol temlerde arzu edle baıç değerlere ulaşmak ç zamaa htyaç vardır. Kotrol temler, geellkle bazı leer olmaya elemalarda oluşur. Bu elemalarda dolayı teme at dferayel deklemde oleer olur. Buları leer hale aıl döüştürüleceğ aşağıda göterlmştr. değşkel br leer deklem; f f cx cx cx (6.) f, c, c,..., c Burada, abt değerlerdr. f : f fokyouu ble oktalardak başlagıç (tal) değerdr. Örek olarak; y x (6.) fokyou göz öüe alalım. Grafkte görüleceğ gb; y y y y y (6.3) Grafkte x,y oktaıdak eğm; dy c dx (6.4) Burada y değer ç; dy y dx (6.5) 6

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2016 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2016 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 06 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON)

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON) BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou

Detaylı

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,

Detaylı

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ TALEP TAHMİNLERİ Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ Yöetm e temel foksyolarıda br ola plalama, e kaba taımıyla, şletme geleceğe yöelk alıa kararları br bleşkesdr. Geleceğe yöelk alıa kararları başarısı yöetcler yaptıkları

Detaylı

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term

Detaylı

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br

Detaylı

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ Taımlayıcı İstatstkler (Descrptve Statstcs) Dr. Musa KILIÇ TANIMLAYICI ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ YER ÖLÇÜLERİ (Frekas dağılışıı abss eksedek durumuu belrtr.) DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ ( Frekas dağılışıı şekl belrtr.).

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2 Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

Tek Yönlü Varyans Analizi

Tek Yönlü Varyans Analizi Tek Yönlü Varyan Analz Nedr ve hang durumlarda kullanılır? den fazla grupların karşılaştırılmaı öz konuu e, çok ayıda t-tet nn kullanılmaı, Tp I hatanın artmaına yol açar; Örneğn, eğer 5 grubu kşerl olarak

Detaylı

Okan Yurduseven 1, Ahmet Serdar Türk 2. Marmara Üniversitesi oyurduseven@marmara.edu.tr. Yıldız Teknik Üniversitesi asturk@yildiz.edu.tr.

Okan Yurduseven 1, Ahmet Serdar Türk 2. Marmara Üniversitesi oyurduseven@marmara.edu.tr. Yıldız Teknik Üniversitesi asturk@yildiz.edu.tr. Mkrodalga Radar Stemler İç Koekat-Kare Işıma Deel Dışbükey Parabolk Yaıtıcı Ate Taarımı Covex Parabolc Reflector Atea Deg Wth Coecat-Squared Radato Patter For Mcrowave Radar Sytem Oka Yurdueve, Ahmet Serdar

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI 1 KONTOL KATLAI 1)DEĞİŞKENLE İÇİN KONTOL KATLAI Ölçe,gözle veya deey yolu le elde edle verler değşke(ölçüleblr-sürekl) ve özellk (sayılablr-keskl) olak üzere başlıca k gruba ayrılır. Değşke verler belrl

Detaylı

Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri

Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri Korol Siemleri Taarımı Siem Modellerii Zama Cevabı ve Performa Krierleri Prof.Dr. Galip Caever Korol Siemleri Taarımı Prof.Dr.Galip Caever Kapalı dögü iemi oluşurulmaıda öce iem modelide geçici rejim cevabıı

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE

ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE DOKTORA TEZİ Dez UÇAR DANIŞMAN Doç. Dr. Yaşar BOLAT MATEMATİK ANABİLİM DALI TEMMUZ AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

Sistemin derecesi, sistemin karakteristik denkleminin en sade halinde (çarpansız) paydadaki s nin en yüksek derecesidir.

Sistemin derecesi, sistemin karakteristik denkleminin en sade halinde (çarpansız) paydadaki s nin en yüksek derecesidir. 43 BÖLÜM 3 ZAMAN CEVABI Sitemi derecei, itemi karakteritik deklemii e ade halide (çarpaız) paydadaki i e yükek dereceidir. Bir Trafer Fokiyouu Kutupları Trafer fokiyou G() N()/N() şeklide ifade edilire,

Detaylı

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24 İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... KISALTMA LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÖNSÖZ... v ÖZET... x ABSTRACT... x GİRİŞ... BÖLÜM : OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK YOĞUNLUKLARI... BÖLÜM : OLASILIK

Detaylı

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI A. DNYİN AMACI : Bast ser ve bast paralel drenç devrelern analz edp kavramak. Voltaj ve akım bölücü kurallarını kavramak. Krchoff kanunlarını deneysel olarak uygulamak. B. KULLANILACAK AAÇ V MALZML : 1.

Detaylı

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain *

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain * BİR ESAS İDEAL BÖLGESİ ÜZERİNDEKİ SONLU DOĞURULMUŞ BİR MODÜLÜN DİREK PARÇALANIŞI * Drec Decompoon of A Fnely-Generaed Module Over a Prncpal Ideal Doman * Zeynep YAPTI Fen Blmler Enüü Maemak Anablm Dalı

Detaylı

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr.

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr. Der #9 Otomatik Kontrol Kararlılık (Stability) 1 Kararlılık, geçici rejim cevabı ve ürekli hal hataı gibi kontrol taarımcıının üç temel unurundan en önemli olanıdır. Lineer zamanla değişmeyen itemlerin

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ

TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ 2. HAFTA Doç. Dr. Haka GÜLER (2015-2016) 1. TRAFİK AKIM PARAMETRELERİ Üç öeml rafk akım parameres vardır: Hacm veya akım oraı, Hız, Yoğuluk. 2. KESİNTİSİZ AKIM HACİM E AKIM

Detaylı

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1 ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ

Detaylı

Yüksek Mertebeden Sistemler İçin Ayrıştırma Temelli Bir Kontrol Yöntemi

Yüksek Mertebeden Sistemler İçin Ayrıştırma Temelli Bir Kontrol Yöntemi Yüksek Mertebede Sstemler İç Ayrıştırma Temell Br Kotrol Yötem Osma Çakıroğlu, Müjde Güzelkaya, İbrahm Eks 3 Kotrol ve Otomasyo Mühedslğ Bölümü Elektrk Elektrok Fakültes İstabul Tekk Üverstes,34369, Maslak,

Detaylı

denklemini x=0 adi nokta civarında çözünüz.

denklemini x=0 adi nokta civarında çözünüz. dklmii = adi okta ivarıda çözüüz. Rküra bağıtıı DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN y +y +( /6y= ( dklmi içi = oktaıı düzgü tkil okta olduğuu götri, İdi dklmii köklrii bulu v çözü. P( = = = = tkil okta

Detaylı

DENEYĐN AMACI: Bu deneyin amacı MOS elemanların temel özelliklerini, n ve p kanallı elemanların temel uygulamalarını öğretmektir.

DENEYĐN AMACI: Bu deneyin amacı MOS elemanların temel özelliklerini, n ve p kanallı elemanların temel uygulamalarını öğretmektir. DENEY NO: 7 MOSFET ÖLÇÜMÜ ve UYGULAMALARI DENEYĐN AMACI: Bu deeyi amacı MOS elemaları temel özelliklerii, ve p kaallı elemaları temel uygulamalarıı öğretmektir. DENEY MALZEMELERĐ Bu deeyde 4007 MOS paketi

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde fazla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla veya ayrıca örek verlerde hareketle frekas dağılışlarıı sayısal olarak düzeleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlede

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

ESM406- Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü. 2. SİSTEMLERİN MATEMATİKSEL MODELLENMESİ Laplace Dönüşümü

ESM406- Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü. 2. SİSTEMLERİN MATEMATİKSEL MODELLENMESİ Laplace Dönüşümü ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü. SİSTEMLERİN MATEMATİKSEL MODELLENMESİ Laplace Dönüşümü.. Hedefler Bu bölümün hedefleri:. Komplek değişkenlerin tanıtılmaı.. Laplace Tranformayonun tanıtılmaı..

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

İleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455

İleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455 İler Tekoloj Blmler Dergs Joural of Advaced Techology Sceces ISSN:47-3455 GÜÇ SİSTEMLERİNDE HARMONİKLERİN KRİTİK DEĞERLERE ETKİSİ Yusuf ALAŞAHAN İsmal ERCAN Al ÖZTÜRK 3 Salh TOSUN 4,4 Düzce Üv, Tekoloj

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Ders Notları MART 27, 2016 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

SAYISAL ANALİZ. Ders Notları MART 27, 2016 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SAYISAL ANALİZ Ders Notları MART 7, 06 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Ösöz Mühedslkte aaltk olarak

Detaylı

MANYETİK OLARAK STABİLİZE EDİLMİŞ AKIŞKAN YATAKLARDA KÜTLE AKTARIM KATSAYILARININ İNCELENMESİ

MANYETİK OLARAK STABİLİZE EDİLMİŞ AKIŞKAN YATAKLARDA KÜTLE AKTARIM KATSAYILARININ İNCELENMESİ MANYETİK OLAAK STABİLİZE EDİLMİŞ AKIŞKAN YATAKLADA KÜTLE AKTAIM KATSAYILAININ İNCELENMESİ Metn ŞENGÜL, Ahet. ÖZDUAL* Şeker Enttüü Etegut/ANKAA; *H.Ü. Kya Mühendlğ Bölüü Beytepe/ANKAA ÖZET Bu çalışanın

Detaylı

EGITIM AMAÇLI PNÖMATIK SERVO-KONTROL DÜZENEGIN DENEYSEL DEGERLENDIRMESI

EGITIM AMAÇLI PNÖMATIK SERVO-KONTROL DÜZENEGIN DENEYSEL DEGERLENDIRMESI 03 III. ULUSAL HIDROLIK PNÖMATIK KONGRESI VE SERGISI 411 EGITIM AMAÇLI PNÖMATIK SERVO-KONTROL DÜZENEGIN DENEYSEL DEGERLENDIRMESI Mehmet YUNT Ark YETIS Koray K. SAFAK Osma S. TÜRKAY ÖZET Pömatk sstemler

Detaylı

Değişkenlik (Yayılım) Ölçüleri

Değişkenlik (Yayılım) Ölçüleri Değşel (Yayılım) Ölçüler İ arlı aaütley brbrde ayırma ç her zama yalızca yer ölçüler yeterl olmayablr. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla ve geellle artmet ortalama etraıda değşm date alara heaplaa

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ Clt: 2 Sayı: 3 sh 87-02 Ekm 200 VOLTERRA SERİLERİ METODU İLE DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLERİN FREKANS BOYUTUNDA ANALİZİ İÇİN NET TABANLI ARAYÜZ TASARIMI (DESIGN

Detaylı

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının 1 DİĞER ÖZEL İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARI X, R, p, np, c, u ve dğer kontrol dyagramları statstksel kalte kontrol dyagramlarının temel teknkler olup en çok kullanılanlarıdır. Bu teknkler ell

Detaylı

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarhl ve 25391 sayılı Resm Gazete'de yayımlamıştır.) Amaç BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayaak Madde 1 Bu Yöetmelğ amacı, 4857 sayılı İş Kauuu 53 ücü maddes

Detaylı

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim.

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim. 6..27 Tarhl Mühedslk ekooms fal sıavı Süre 9 dakka Sıav Saat: Sıav süresce görevllere soru sormayı. Başarılar dlerm. D: SOYD: ÖĞRENCİ NO: İMZ: Tek ödemel akümüle değer faktörü Tek ödemel gücel değer faktörü

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME 6 TABAKAI ŞA ÖREKEME 6.. Populasyo ortalaması ve populasyo toplamıı tam 6.. Populasyo ortalamasıı ve toplamıı varyası 6... Populasyo ortalamasıı varyası 6... Populasyo toplamıı varyası 6..3. Ortalama ve

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl@deu.edu.tr Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler) Duyarlı Ortalamalar

Detaylı

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes

Detaylı

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI DERS NOTLARI Hazırlaya: Pro.Dr. Orha ÇAKIR Akara Üverstes, Fe Fakültes, Fzk Bölümü Akara, 7! İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

DİŞLİ ÇARKLAR PLANET SİSTEMLERİ 12-02. 2013 Nisan. www.guven-kutay.ch. M. Güven KUTAY / 2013-Nisan-14 Yeniden elden geçirilmiş çıktı.

DİŞLİ ÇARKLAR PLANET SİSTEMLERİ 12-02. 2013 Nisan. www.guven-kutay.ch. M. Güven KUTAY / 2013-Nisan-14 Yeniden elden geçirilmiş çıktı. 3 Nsa www.guve-kutay.ch DİŞLİ ÇARLAR LANET SİSTELERİ -. üve UTAY / 3-Nsa-4 Yede elde geçrlş çıktı. 3-Nsa4 www.guve-kutay.ch Sevgl eş FİSUN ' a ÖNSÖZ Br kouyu blek deek, ou eldek kalara göre kullaablek

Detaylı

DENEY 5 İkinci Dereceden Sistem

DENEY 5 İkinci Dereceden Sistem DENEY 5 İkici Drcd Sitm DENEYİN AMACI. İkici drcd itmi karaktritiklrii alamak.. Söüm oraı ζ i, ikici drcd itm üzridki tkiii gözlmlmk. 3. Doğal frka i, ikici drcd itm üzridki tkiii gözlmlmk. GENEL BİLGİLER

Detaylı

Şekil 1. Bir oda ısıtma sisteminin basitleştirilmiş blok diyagram gösterimi. 1. Kontrol Sistemlerindeki Blok Diyagramlarının Temel Elemanları:

Şekil 1. Bir oda ısıtma sisteminin basitleştirilmiş blok diyagram gösterimi. 1. Kontrol Sistemlerindeki Blok Diyagramlarının Temel Elemanları: Blok yaraları: araşık teler, rok alt ten rrne uyun şeklde ağlanaından oluşur. Blok dyaraları, her r alt te araındak karşılıklı ağlantıyı öterek n kullanılır. Blok dyaralarında her r alt ten fonkyonu ve

Detaylı

8. Niteliksel ( Ölçülemeyen Özellikler İçin) Kontrol Diyagramları

8. Niteliksel ( Ölçülemeyen Özellikler İçin) Kontrol Diyagramları 1 8. Ntelksel ( Ölçüleeye Özellkler İç) Kotrol Dyagraları Ürüler taşıası gereke kalte karakterstkler br ya da br kaçı belrlee sesfkasyolara uyayablr. Ntelk olarak adladırıla bu özellk edeyle ürü belrl

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

PERDE-ÇERÇEVE SİSTEMLERİN. YÜKSEK LISANS TEZI İnş. Müh. Bedri Sinan GÜL 501021123. Prof.Dr. Yalçın AKÖZ (Maltepe Üniversitesi)

PERDE-ÇERÇEVE SİSTEMLERİN. YÜKSEK LISANS TEZI İnş. Müh. Bedri Sinan GÜL 501021123. Prof.Dr. Yalçın AKÖZ (Maltepe Üniversitesi) İSTANBU TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ PERDE-ÇERÇEVE SİSTEMERİN DİNAMİK ANAİZİ YÜKSEK SANS TEZ İş. Mü. Bedr Sa GÜ 53 Tez Esttüye Verldğ Tar : 8 Mayıs Tez Savuulduğu Tar : Hazra Tez Daışmaı :

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 07 KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ, LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİ FAİZ ESNEKLİĞİ Bugünk dersn çerğ: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 1.1 İŞLEMLER (MUAMELELER) TALEBİ... 2 1.2 ÖNLEM (İHTİYAT) TALEBİ...

Detaylı

ELIN FİLTRELERİN GENEL SENTEZ TEORİSİ VE GERÇEKLENME ŞARTLARI

ELIN FİLTRELERİN GENEL SENTEZ TEORİSİ VE GERÇEKLENME ŞARTLARI PAMUKKAE ÜNİ ESİ TESİ MÜHENDİ Sİ K FAKÜTESİ PAMUKKAE UNIESITY ENGINEEING COEGE MÜHENDİ Sİ K B İ İ MEİ DEGİ S İ JOUNA OF ENGINEEING SCIENCES YI CİT SAYI SAYFA : 007 : 3 : : 47-56 EIN FİTEEİN GENE SENTEZ

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

Nümerik Analiz. Bilgisayar Destekli. Ders notları 2014. PROGRAMLAR: Doğrusal denklem sistemi Çözücüler

Nümerik Analiz. Bilgisayar Destekli. Ders notları 2014. PROGRAMLAR: Doğrusal denklem sistemi Çözücüler ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedilik Mimarlık Fakültei İşaat Mühediliği Bölümü E-Pota: ogu.ahmet.topcu@gmail.com We: http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu Bilgiayar Detekli Nümerik Aaliz Der otları 014 Ahmet

Detaylı

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ BÖLÜM 6 ALTERNATİF AKIM DEVRE ÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ 6.4 THEVENİN TEOREMİ 6.5 NORTON TEOREMİ Tpak GİRİŞ Alternatf akımın

Detaylı

İstatistiksel Tahminleme. Güven Seviyesi. Verilerin yayılımı ( Örnek hacmi X = X / n Güven seviyesi (1 - )

İstatistiksel Tahminleme. Güven Seviyesi. Verilerin yayılımı ( Örnek hacmi X = X / n Güven seviyesi (1 - ) 04.05.0 İtatitikel Tahmileme İTATİTİKEL TAHMİNLEME VE YORUMLAMA ÜRECİ GÜVEN ARALIĞI Nokta Tahmii Populayo parametreii tek bir tahmi değerii verir μˆ σˆ p Pˆ Aralık Tahmii Populayo parametreii tahmi aralığıı

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

GIDA SEKTÖRÜNDE İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNİN BİR UYGULAMASI

GIDA SEKTÖRÜNDE İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNİN BİR UYGULAMASI GIDA SEKTÖRÜNDE İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNİN BİR UYGULAMASI Aytaç PEKMEZCİ * Özet Kalte kontrol grafkler üreç kontrolü ve yleştrlmende öneml br yere ahptr. İşletmelerdek ürünlern kalte düzeylernn

Detaylı

Đst201 Đstatistik Teorisi I

Đst201 Đstatistik Teorisi I Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ M. Turha ÇOBAN Ege Üiversitesi, Mühedislik Fakultesi, Makie Mühedisliği Bölümü, Borova, İZMİR Turha.coba@ege.edu.tr Özet: Kimyasal degei

Detaylı

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1 Feel Deklemle 8 HSaı 1 De İçeğ Aa Yüzeyde Mawell Deklemle Feel şlkle Yaıma Kıılma 8 HSaı Kayak(la Oc ugee Hech, Alfed Zajac Addo-Weley,199 Kuaum leko-diamğ (KDİ, Rchad Feyma, (Çev. Ömü Akyuz, NAR Yayılaı,

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

BİR BOYUTLU HAREKET FİZİK I. Bir Boyutlu Hareket? 12.10.2011. Hız ve Sürat. 1 boyut (doğru) 2 boyut (düzlem) 3 boyut (hacim) 0 boyut (nokta)

BİR BOYUTLU HAREKET FİZİK I. Bir Boyutlu Hareket? 12.10.2011. Hız ve Sürat. 1 boyut (doğru) 2 boyut (düzlem) 3 boyut (hacim) 0 boyut (nokta) .0.0 r oulu Hareke? İR OYUTLU HREKET FİZİK I bou (doğru bou (düzlem 3 bou (hacm 0 bou (noka u bölümde adece br doğru bounca harekee bakacağız (br boulu. Hareke ler olablr (pozf erdeğşrme ea ger olablr

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

ZKÜ Mühendislik Fakültesi - Makine Mühendisliği Bölümü ISI VE TERMODİNAMİK LABORATUVARI Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değiştirgeci Deney Föyü

ZKÜ Mühendislik Fakültesi - Makine Mühendisliği Bölümü ISI VE TERMODİNAMİK LABORATUVARI Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değiştirgeci Deney Föyü ZKÜ Müendslk Fakültes - Makne Müendslğ Bölümü Sudan Suya Türbülanslı Akış Isı Değştrge Deney Föyü Şekl. Sudan suya türbülanslı akış ısı değştrge (H950 Deneyn adı : Boru çnde sudan suya türbülanslı akışta

Detaylı

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 2. Konu ELEKTRİK AKIMI, POTANSİYEL FARK VE DİRENÇ ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 2. Konu ELEKTRİK AKIMI, POTANSİYEL FARK VE DİRENÇ ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 10. SINIF ONU NTII. ÜNİTE: EETİ E NYETİZ. onu EETİ II, POTNSİYE F E DİENÇ ETİNİ ve TEST ÇÖZÜEİ Ünte Elektrk ve anyetzma 1.. Ünte. onu (Elektrk kımı) nın Çözümler ampul 3. Şekl yenden aşağıdak gb çzeblrz.

Detaylı

H09 Doğrusal kontrol sistemlerinin kararlılık analizi. Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören

H09 Doğrusal kontrol sistemlerinin kararlılık analizi. Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören H09 Doğrual kontrol itemlerinin kararlılık analizi MAK 306 - Der Kapamı H01 İçerik ve Otomatik kontrol kavramı H0 Otomatik kontrol kavramı ve devreler H03 Kontrol devrelerinde geri belemenin önemi H04

Detaylı

Box ve Whisker Grafiği

Box ve Whisker Grafiği www.memetaarayl.com Bölümü Amaçları DEĞİŞKELİK ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKOOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aarayl@deu.edu.tr Bu Bölümü tamamladıta ora eler yapablecez: Bo ve Wher grağ ouma

Detaylı

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar www.saskcler.org İsaskçler Dergs (8) 64-74 İsaskçler Dergs Rasgele sayıda bağımlı aküeryal rskler beklee değer ç al ve üs sıırlar Fah Tak Kırıkkale Üverses Fe-Edebya Faküles, İsask Bölümü 7-ahşha,Kırıkkale,

Detaylı

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR FE VE MÜHEDİSLİKTE MTEMTİK METOTLR 3. KİTP MTRİS CEBİRİ f 70 İÇİDEKİLER I. MTRİS CEBİRİ ) Matrsler ve Elemaları B) İşlemler C) İk Özel Matrs D) Dyagoal Matrsler E) İz ve Determat F) Bazı Matrs İşlemler

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı TOBB Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sıav toplam 100 pua değerde 4 soruda oluşmaktadır. Sıav süres 90 dakkadır ve

Detaylı

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t)

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t) III.4. YÜKSEK MEREBE AYLOR MEODLARI Saısal tekkler amacı mmum çaba le olablğce uarlı aklaşımlar ele etmektr. Bu eele çeştl aklaşım ötemler vermllğ karşılaştıracak br krtere gereksm varır. İlk ele alıacak

Detaylı

GM-220 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL. Frekans Dağılımı Oluşturma Adımları VERİLERİN SUNUMU. Verilerin Özetlenmesi ve Grafikle Gösterilmesi

GM-220 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL. Frekans Dağılımı Oluşturma Adımları VERİLERİN SUNUMU. Verilerin Özetlenmesi ve Grafikle Gösterilmesi VERİLERİN SUNUMU GM-0 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER Br çalışadan elde edlen verler ha ver ntelğndedr. Ha verlerden blg ednek zor ve zaan alıcıdır. Ha verler çok karaşık durudadır. Verlern düzenlenes

Detaylı

KONSTRUKSİYONDA ŞEKİLLENDİRME

KONSTRUKSİYONDA ŞEKİLLENDİRME T.C. Uludağ Üverstes Fe Blmler Esttüsü ake ühedslğ Bölümü KOSTRUKSİYODA ŞEKİLLEDİRE PROJE: HASSAS DÖE SAYISI AYAR EKAIZASI TASARII Prof. Dr. Em GÜLLÜ Hazırlaya: ake üh. İlyaz İDRİZOGLU 585 Bursa 9 İÇİDEKİLER

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı