KÜME ÖRNEKLEMESİ. Prof.Dr.Levent ŞENYAY VIII-1 Örnekleme Yöntemleri

Transkript

1 8 KÜE ÖREKLEEİ 8.. Grş 8.. Populayo toplaıı tah 8.3. Populayo toplaıı tah varyaı ve tahleyc 8.4. Populayo toplaıı tah varya tah ç heaplaa yolları 8.5. Populayo ortalaaıı tah 8.6. Küe Hacler ve Alt örek Hacler Eşt Olduğuda Tahler 8.7. Bat Şa Öreklee le Küe Öreklee Karşılaştırılaı 8.8. Öreğ paylaştırılaı Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII- Öreklee Yöteler

2 8.. Bat Küe Öreklee Grş Öreklee rler populayo küeler halde düzeleşke eçlre, öreklee araştıraıı yöet, alyet ve hazırlaa açııda daha elverşl olacağı ezgel olarak görülelr. Öreğ, ew York u tae eç ölgee ayrılış olduğuu düşüel. Her r eç ölge aleler oluşturduğu r küe g düşüülelr. ora, tae eç ölgede oluşa r teadüf örek eçlr. Br dğer değşle her defaıda r ale eçek yere tae ale gruu eçş oluruz ve ele aldığıız duruda her ale gruu ayı eç ölgede yaşaaktadır. Böylece ölge her rde,,..., alede oluşa teadüf örekler eçlektedr ve aradığıız rleştrlş örek olaktadır. Br okulu ekzc ııfıda 0 tae şue olduğuu ve her r şue aşağıdak şeklde göterldğ g 40 dolayıda öğrecye ahp olduğuu varayalı. Br öğrec ahp olduğu ktap ayııı tah etek tyoruz , 5, Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII- Öreklee Yöteler

3 Öce 0 şuede rkaç tae şue, öreğ 3 şue (küe) eçeceğz. Bu 0 tae küe rc öreklee r (ö) dye adladırılacaktır. Daha ora, hacler 43, 5 45 ve 9 38 ola 3 küede ıraıyla 6, 5, 3 öğrecde oluşa örekler eçeceğz. Bu öğrecler kcl öreklee r (ö) olarak adladırılır. 4 ola rc küede eçle 6, 5, dek alt d, hac 43 öğreclk gruu göterektedr. Burada olarak göterle öğrec grupları ha küeler olarak 3 adladırılır. u duruda öreğz 5 öğrecde oluşacaktır. 8. Populayo Toplaıı Tah Küe öreklee özellğ öreklee rler k aşaada eçledr. Brc, tae ö de tae rcl öreklee r (ö) eç; kc e c ö de, (,,...) tae kcl öreklee r (ö)eçdr. Toplaı tah şle k adıda yapılır. Brc adı, tae küe toplaıı tah etektr. İkc adı e u tah edle tae küe toplaıı tae küe toplaıı tah etek ç kullaaktır. Ayı örekte üzerde ayı öreklee plaı, Bu geel şle atığıı ayfa dek örek ayılara adapte ettğzde toplaı apaız r tah edc elde ederz. Öğrecler topla ktap ayııı tah ete öreğ kullaarak, 3 küe ve ularda 6, 5, 4 öğrec eçtğz varayalı. 3 eçle rc küedek öğrecler topla ktap ayııı tah edel. 6 öğrec aşağıda verle ayılarda ktaa ahp olduğuu varayalı. eçle örek eleaları Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-3 Öreklee Yöteler

4 Böylece, c ha küe ç topla ktap ayıı Bu aşağıdak çde de yazılalr: 6 j j 4 ktap Böylece c ha küede öğrec aşıa düşe ortalaa ktap ayıı / ktap (öğrec aşıa) olur. 4/6 4 Bat şa öreklee ouçlarıı kullaarak c küedk (ö) topla ktap ayııı apaız tah edc 4347 ktap olduğu lektedr. Buu eollerle şu şeklde de fade edelrz: j j eçlş ola c ve 3 ücü küeler ç toplaı aşağıdak g tah edlş olduğuu varayalı: Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-4 Öreklee Yöteler

5 ktap ktap öylece, 3 küede oluşa örek ç, topla ktap ayııı tah ˆ olur. Burada tah edle toplaı göterek ç kullaılaktadır. e ˆ, 3 küe ç örek toplaıı taılaak ç kullaılıştır. Kullaıla ^ otayou e, 3 küelk örek ç tah edle toplaı göterektedr. eollerle,3 küe ç tah edle topla ˆ şeklde yazılalr. j j o olarak 3 ü 0 küede eçlş olduğua dkkat edleldr. 3 küe ç tah edle topla, toplaı tah ˆ 496 dır. Dolayııyla, 0 küe ç ktap olur. Populayo toplaıı göterek ç kullaılaktadır. tah edc eollerle () şeklde göterelrz. j j Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-5 Öreklee Yöteler

6 Ayı örekte üzerde aşka r öreklee plaı, Topla değer tah etek atığı şu şekldedr. 0 şue olduğuu ve öğrecler ahp olduğu topla ktap ayııı tah etek tedğz varayalı. Her r şue 0, j 40 öğrecye ahpke şue eçel ve her r şuede öğreclk teadüf örekler eçel. 0 0 öğrec ortalaa 5,. 0 öğreclk gruu e ortalaa 7 ktaa ahp olduğuu varayalı. Bu duruda, 40 öğrec ahp olduğu topla ktap ayııı tah ederke ortalaa 5 ktap 40 le çarpılır; ktap. Dğer tarafta 40 ç ktap vardır. Bat şa örekleede u şle apaız tahcler verdğ lektedr. Bu k şue ortalaaı (00+80)/40 ktap eder. Dolayııyla, 0 şue ç topla ktapları ayııı tah 40ktap0400 ktap olacaktır. Tah apaızlığı, apaız tah edcdr. E( ) AÇIKLAA: () olu eştlğ atığı aşağıdak g özetleelr. j j Adı Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-6 Öreklee Yöteler

7 Adı Adı:a) c ha küe ortalaaıı tah y ulu. ) Topla y tah etek ç, y le çarpı. Adı:a)Brcl küeler ortalaaıı tah yı ulu. ) y tah etek ç y le çarpı. Böylece, toplaı, ya yı tah etek ç adece at şa öreklee, lk olarak ö aşaaıda daha ora ö aşaaıda olak üzere k kez kullaılıştır. Bu atık 3 yada daha fazla aşaalara da kolaylıkla geşletlelr. Alıştıra:Aşağıdak verler kullaarak, populayo toplaıı küe öreklee le tah edz ve tah edc apaız olduğuu göterz. 3 grup çocuk (A,B,C) uluduğuu varayalı. j, c küedek j c çocuğu ahp olduğu ktapları ayıı olu. grup ve ularda da ve ayıda çocuk eç ve 4 çocuğu ahp olduğu ktap ayııı tah ed. çocukta hareketle 9 Küe j A,3,5 9 3 B 3,5,7 5 5 C 5,7,9 7 Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-7 Öreklee Yöteler

8 )ükü örekler ayııı ulu. örekleeaşaaı. öreklee j j aşaaı Bu 7 ükü örek aşağıdak taloda lteleştr. A B A C Talo 8. B C,3 3,5 7,3 5,7 36 3,5 5,7 45 3, , , ,7 36 7,9 45 7,9 54,5 3,5 3.5,5 5, ,7 5, ,7 36 5,9 45 5,9 54 5, , ,9 58,5 3,5 3,5 36 3,5 5,7 45 5,7 5,7 54 3, , , ,7 45 7,9 54 7, ) tah ed Talodak lk öreğ (,3,3,5) öreğ kullaarak populayo toplaıı tah edel. () olu eştlkte j j Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-8 Öreklee Yöteler

9 3 j j elde edlr. 3 5 Görüleceğ g, olup u, teel j lşk kullaılarak elde edle A küe tah toplaıdır. Bezer şeklde,b küe tah edle toplaı olarak uluur. Böylece küeye dayalı olarak ulua (6+)/9 Dolayııyla ye 3 küe olduğu ç,, küe aşıa ortalaa ktapları ayııdır. teel lşk kullaarak topla ktap ayııı tah, olur. Talodak kolou 7 ükü örek ç u şeklde heaplaıştır. )E( ) y elde edz. Burada görüldüğü g öreklee şle k aşaada gerçekleştrlştr. Öce 3 küede küe eçlş ve daha ora u küede ve hacl örekler eçerz. Böylece teadüf örekleey k kez gerçekleştrş Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-9 Öreklee Yöteler

10 oluruz:ilk küe eçtğzde, kc de u küelerde ve hacl örekler eçtğzde. Bu k aşaalı öreklee yöte r oucu olarak, E( ) yı elde etek de k aşaada gerçekleştrlr. Brc, lk teadüf öreklee aşaaı ç eklee değer ulak, dğer e kc teadüf öreklee aşaaı ç eklee değer ulaktır. Bu duruda, c aşaa teadüf öreklee c aşaa teadüf örekleeye ağılıdır. ve hacl örekler, lk eçle küede eçlr ve öylece u şle, c aşaa verlşke c aşaa olarak düşüülelr. Bu lşkler aşağıdak g göterlelr: E ( ) E j E j j j E, j atke (ya, rc aşaadak ö ler atke)j üzerde eklee değer göterr. ağ taraftak rc E, tü ler üzerde ya tü ö ler üzerde eklee değer taalaaktadır. Öreğzdek küe A ve B olu. Bu duruda A ve B verlş olduğu varayıı altıda E fade, talodak A ve B küelere karşılık gele 9 j j j üükü örek üzerde eklee değer alıacağıı göterektedr. Burada, Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-0 Öreklee Yöteler

11 j fade tah edcler taloda heaplaıştır. tah edc olduğuu lyoruz. Bu A ve B de eçlele 9 ükü öreğ herr eçle olaılığı eşt olduğuda, öreğzdek A ve B ç E j İkc adı u şle tü ükü koayolar ç gerçekleştrektr. Bö lerde oluşturula özkouu üç ükü öreğ her r ayı eçle şaıa ahp olduğuda E ( ) E 3 9 E j orjal verde heaplaa topla ktap ayıı şöyledr: j A ve B ç A ve C ç B ve C ç Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII- Öreklee Yöteler

12 E( ) 8.3 ) Varyaı ve Tah Edc Varyaı V yı türetede de öreklee k aşaada olduğuu gözöüe alıaı gerekr. ezgel olarak değş k kayağı olduğuu görelrz. Brc, ö (rc öreklee r) ler araı değş dye adladırıla ve ö ler eçlee ağlı olarak oluşa değş; dğer e ö ç değş dye adladırıla ve ö lerde teadüf örekler eçe edeyle oluşa değş V V (ö ler araı değşe)+(ö ç değş) yazılır. Burada j şekldedr. j küe toplaları araıdak varyaı göterektedr. Ya da apalarıı göterr. ter,, c ııf çde ye lşk j ler etrafıdak varyaıı göterr. Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII- Öreklee Yöteler ' etrafıdak öreklee varyaıı göterdğ at şa

13 örekleede lyoruz. ortalaaıdır. (, de eçlş ) ter de varyaı taıladığıı lyoruz. Dolayııyla, olacağıda,, ye eşt olur ve olacağıı görelrz. olduğuda V 0 hacl tadüf öreğ örek etrafıdak olur ve olduğuda etrafıdak varyaıı ıfır V adece tarafıda etkler. Bö(ııf) ç değş ıfır olur ve gerye adece ö ler araı değş kalır. Buu ake eğer ö ler (öğrecler), tae ö ü hepde alııra ya olura, V 0 çe gelr. Küeler araı varya ıfır olur ve gerye adece küe ç değş kalır. Bu oucu her r taakada alt örekler eçldğ öreklee yöte ola taakalı şa örekleedek V( t ) forülüe eşt olduğua dkkat edleldr. Alıştıra: Küe j A,3,5 9 3 B 3,5,7 5 5 C 5,7,9 7 V Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-3 Öreklee Yöteler 45

14 3 9 5 (5 5) (5) 36 j j şeklde d. j j 3 3 (3 3) (5 3) 4 4, 3 4 olarak uluur V (3) 3 (4 4 4) 8 ) V Vˆ Tah Edc göterr., tae ö araıda ler değşe Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-4 Öreklee Yöteler

15 j j, c ö de elde edle ha küe çdek ler değşe göterr. j E( ) E( ) Vˆ V E( ) şekldedr. Vˆ 8.4 Vˆ İç Heaplaa Bçler heaplaaı karaşık olduğuda dolayı dekle atleştrle yararlıdır. Eğer ve olduğu varayılıra 0 % olduğuda Öreğ, 0.0 Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-5 Öreklee Yöteler

16 Bu koşullar altıda Vˆ şu şeklde atleştrlelr: Duru. () Vˆ () j j (3) şeklde d. ve ye lşk kare fadeler aşağıdak g yede yazılalr. (4) (5) j j j j j (6) j Böylece, Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-6 Öreklee Yöteler

17 , ve heaplayalrz. j fadeler heaplayarak ve y kolaylıkla Alıştıra. Aşağıdak verler kullaarak V ˆ ˆ heaplaışıı göterz. ö j A,,3 6 B,,3,5 C 4,5, ö A ve B olu. ve 3, (,3) ve (,,5) varayılı. j j j j ˆ ˆ j / / 4 3/ /3 44 j 8 80 Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-7 Öreklee Yöteler

18 ( ) ( ) j j j / ( 3(3-)3 / 3 4(4-3)4 3/3 4 ) Vˆ Vˆ 3(3 )(8/ ) (3/ ) V( ) 48 şekldeyd. Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-8 Öreklee Yöteler

19 Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-9 Öreklee Yöteler Duru : ve olduğuda, () olu eştlk, fpc alıarak atleştrlelr: (7) ) ( V Duru 3: ke, (7) olu eştlğ aşağıdak g daha da atleştrelrz. V ) ˆ ( (8) 0 ) ( Vˆ Bu eştlk / <% olduğuda kullaılalr. Duru 4: ve koşulua ek olarak, / olduğuu varayalı. Her r ö(ııf), ayı ayı cvarıda ö ye (öğrecler) ahptr. (8) olu eştlk, u duruda aşağıdak g atleştrlelr: (9) Vˆ ˆ ˆ

20 (9) olu eştlk ayı zaada şöyle de yazılalr Vˆ Vˆ 8.5 Populayo Ortalaaıı Tah j urada, populayo toplaıı () tah populayo hac ye ölüede elde edle populayo ortalaaıı ( ) tah edcdr. örek ortalaaı olur. E( ) E( ) şekldedr. V( )V V( ) olur. Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-0 Öreklee Yöteler

21 V( ) ( ) şekldedr. Vˆ ( ) ( ) hal alır. 8.6 Küe Hacler ve Altörek Hacler Eşt Olduğuda Tahler Bazı prolelerde; küe hacler ( altörek hacler ( der. eollerle fade edecek olurak, ) eşt olduğuu ve küelerde eçle ) eşt olduğuu varayalrz. Bu alt öreklere ha küeler () () olur. () ve () olu eştlklerde verle koşullar kullaıldığıda, tah edc örek ortalaaı olur ve şu ç alır: (3) j j j Burada, tah edcdr. örek hac taılar. Ayı zaada, ı apaız r Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII- Öreklee Yöteler

22 Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII- Öreklee Yöteler (3)olu eştlkte şaret edle gereke r okta, populayo ortalaaı y tah etek ç y leze gerek oladığıdır. ı varyaı; (4) V( ) ( ) Şekldeyd. Bu fade () ve () olu eştlkler kullaılarak aşağıdak g yazılalr: ağ taraftak rc ter ç, elde ederz. olduğuu hatırlarak, ö ortalaaları araıdak varya şeklde yazılalr. Bu da küeler araı varyatır. (5) ağ taraftak kc ter ç

23 (6) elde ederz. j fade ö çdek elealar araı rleştrlş varyaı taıladığıı gözöüe alarak uu (7) le taılarız. Daha ora j (5) ve (7) olu eştlkler (4) olu eştlkte yere koyarak, (8) V elde ederz. (5)olu eştlğ (8) olu eştlk olarak yede yzaızı ede, forülü daha atleştrek ve at şa öreklee varyaıı deklee ezerlğ ağlaaktır. (4)olu eştlkte verle varya yede yazılalr: V, (5) ve (6) olu eştlklerde yere koarak (9) Bu V V ı apaız tah Vˆ (0) olur. Burada Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-3 Öreklee Yöteler

24 j olarak taılaaktadır. (9) olu eştlkte verle forata uydurak ç (0) olu eştlk aşağıdak g yede yazılalr: Vˆ () Bu eştlkte j j olarak taılaır. Bua göre, küe ç varyalar olarak heaplaa elde edle, rleştrlş varya olarak adladırılır. ler r fokyou olarak Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-4 Öreklee Yöteler

25 Özetlerek ; / ve / olduğuda ortalaaı tah edc ve u tah edc varyaı, () (8) V j şeklde fade edlr. (8) olu eştlğ tah edc () Heaplaa Yöte Vˆ şeklde yazılır. Heaplaaları yapak ç geellkle ve ve terler le götereye dayaır. y açarız. Yöte u varyaları ( ) j j y ezer şeklde aşağıdak g geşletelrz: ( ) j j Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-5 Öreklee Yöteler

26 j j j j j j j Alıştıra: Bu heaplaa forüller aşağıdak verlere uygulayalı. Bö j A,3,5 9 3 B 3,5,7 5 5 C 5,7, ö ve ö eçel A:3,5 B:5,7 değerler eçtğz varayalı. j j j j Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-6 Öreklee Yöteler

27 j j j j ( ) j 8 5 j j j 5 5 ( ) j j j Vˆ Batleştre Eğer ve e dekle () aşağıdak g atleştrlelr: Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-7 Öreklee Yöteler

28 Vˆ ( ) 8.7 Bat Şa Öreklee le Küe Öreklee Karşılaştırılaı > ve > ke aşağıdak lşk yazılalr. V( küe ) ˆ ˆ V ( ) V ( ) ( küe ) şş çde yazılalr. V küe le V ˆ ) karşılaştıralı. 0 veya ıfıra yakı e, duyarlılıktak fark ( şş küçülür. 0 olaı heterojelğe şaret eder ve ezgel olarak u duruda küe örekleeyle r örek eçe, at şa öreklee le örek eçeye ezeyecektr. Bu ayı zaada küe ç öreklee rler heteroje olduklarıda ve ve ke, V( küe ) ı r tah olarak. / kullaaleceğz fade eder. Böyle yapak, y adece y rlk öreklerde heaplaayı gerektrdğde, varyaı heaplaaıı kolaylaştıracaktır. Küçük ye ahp olak ve üküe küe ç heterojelğ ağlayacak çde örek taarıı arzulaaktadır. Bu da geellkle ö ler üyük alakla aşarılalr. Dğer tarafta, ö ü ayıı küçük tutulduğuda, üyüe eğl göterecektr. Bu duruda yı küçük y üyük alalıyız. Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-8 Öreklee Yöteler

29 8.8 Öreğ Paylaştırılaı Burada ell r ütçe altıda ve optu paylaştırılaı celeecektr. Optu paylaştıra le at r ütçe verlşke u varyaa ahp r paylaştırada ahedlektedr. )alyet Fokyou E at alyet fokyou, c ve c ıraıyla ö ve ö eçe alyet olduğuu ve lşk doğrual olduğuu varaydığıızda elde edlr. c c c çdedr. c urada topla alyet taılaaktadır. at alyet. c 0 olarak taılaıra, uu fokyoa dahl eder ve şuu yazarız: c c c c 0 fakat c 0 ı örek paylaştıra prolee etk olayacağıda, zleye kıılarda c 0 ı hal ederz. )Optu Paylaştıra Küe örekleede V V ve alyet fokyou c c c Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-9 Öreklee Yöteler

30 d. Dolayııyla, optu paylaştırayı ula prole, verle ütçe kııtı altıda, V yı u kılacak ve Lagrage çarpaları tekğ le kolayca ulalrz. değerler ula prole hale gelr. ve y () c c / çdedr. ve, u değer alyet fokyouda yere koyak ve y çözekle elde edlelr. ke, varya V şeklde fade edlelr ve Lagrage çarpaları tekğ uyguladığıda,.() c c olarak uluur. () olu eştlk, c c ke daha fazla ayıda ö alaız gerekr. ke daha az ayıda ö alalıyız. Bu ouç ııf ç korelayo katayııyla lgl ouçlarla uyu çdedr. () olu eştlğ, ııf ç korelayo katayııa göre aşağıdak g fade edlelr. c c Böylece, üyüdükçe küçülür. Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-30 Öreklee Yöteler

31 Küe Öreklee (II):Çap le Oratılı Olaılık Küe çapları farklı ke, populayodak her re eşt öe verle ağlaya ve populayou tel ede örek aıl eçlecektr? Bazı ııflar çok üyük ve dğerler çok küçükke, daha üyük ııflara daha üyük eçle olaılıkları taıalı ve öylece daha üyük ııfları eçle şaı daha üyük olalıdır. Böyle r yöte kullaılaı halde, öreklee rler üyük ııflarda eçe olaılıkları küçük ııflarda eçe olaılıkları le eşt hale getrlelrler. Çaplı oratılı olaılık (çoo) kullaılarak yapıla öreklee e alaa geldğ aşağıdak alıştıra üzerde göterlecektr: ııf Çap A B 7 6- C D E Ataa Aralık Teadüf olarak le 37 araıda r ayı eçlr. Bua göre,,3,4 veya 5 ayılarıda r eçle olaılığı 5/37 dr.,,3,4 veya 5 ayılarıda r eçldğde, lk ö (A ııfı) eçlş olur. Bu duruda A ııfıı eçle olaılığı 5/37 dr. Bua göre, c ııfı eçle olaılığı / olacaktır. Bu duruu p İle göterel. Şd ııf eçleceğ ve teadüf ayılar talouda 4 ayııı eçldğ varayalı. Üçücü ö (C ııfı) eçlş olur. eçle kc teadüf ayıı 6 olduğuu varayalı. Bua göre, üçücü ö yede eçlş olacaktır. Yere koyarak eç yapılış Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-3 Öreklee Yöteler

32 olacaktır. Yere koyarak eç yapılaıı ede, u yöte kullaıldığı zaa ortalaa ve varyaa lşk forüller daha at olur. Bua lave olarak çoğu zaa olduğu g ke, ayı ö y yede eçe olaılığı küçüktür ve yere koyarak eç yapak, yere koyada eç yapakla yaklaşık olarak ayıdır. Populayo Ortalaaı ve Toplaıı Tah Edc Populayo ortalaaıı tah edc j çdedr ve apaız r tah edcdr. ve Olarak kaul edldğde, tah edc, ˆ j () ç alaktadır. özkouu () olu eştzlğ elrg özellğ, tattğ atçe, çaplı r öreğ örek ortalaaı olaı ve tattğ elde edlede hçr ağırlıkladıraı kullaılaış olaıdır. Bu tp tah edc, kedde ağırlıklı dye adladırılır. Kedde ağırlıklı r örek yakıda celere, çaplı r örekte populayoa at herhag r ö çerle olaılığıı populayou tü eleaları ç eşt olduğu derhal ortaya çıkar. Herhag r ö çaplı örekte çerlş ola olaılığı / dr. Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-3 Öreklee Yöteler

33 Bu duru şu şeklde göterlelr: tae ö at teadüf öreklee le tae ö araıda eçldğde, oluşturula örekte herhag r ö yer alaı olaılığı / dr. Örek hac ola r alt örekte herhag r ö yer alaı olaılığı, / olacaktır. Örek çapı olaılığı, öylece, ola topla örekte herhag r ö yer alaı olur. / / Bu duruda şu k özellk göze çarpar: ) Herhag r ö örekte yer alaı olaılığı / dr. ) Populayo ortalaaıı tah edc, atçe örek ortalaaıdır, ağırlıkladıra htyacı yoktur ve uda dolayı heaplaaı kolaydır. Bu özellkler ked ked ağırlıkladıra tah edcler arzu edlr kılar. ()olu eştlkte verle tah edc arzu edlelr olaıa rağe, u tah edc küe çaplarıı ve alt örek çaplarıı olduğu kııtlayıcı varayılarıa dayaır. () olu eştlk ç varola kııtlayıcı varayıları ortada kaldırarak populayo ortalaaıı yukarıda elrtle özellkler koruacak çde, çde tah ete aşka r yolu vardır. Çoo ya dayalı küe öreklee kullaıldığıda, ağırlıkladırılaış örek ortalaaı populayo ortalaaıı apaız r tah edc olaktadır ve küe öreklee ouçlarıda daha haa olduğu görülecektr. Bu kullaışlı ve uygu r ouçtur, küe çaplarıı değşe göterelee rağe, örek ortalaaıa adece populayo ortalaaıı r tah edc olarak htyaç duyarız. Küe çapları adece ö ler eçlede r krter olarak ş çe grer. Burada lk dkkat çeke şey, ö ler çoo yapııa göre eçldğde, ö ler eçle olaılıklarıı değşe göterdğ r eç yötee lk defa ahp oluaktadır. Bütü öcek öreklee yötelerde, ö ler / eşt olaılığı le eçlşt. evcut duruda, ö ler eç, / olaılıklarıyla olaktadır. Öce eşt olaya olaılıklara dayalı geel Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-33 Öreklee Yöteler

34 öreklee prole ve ardıda çoo yapııa uygu öreklee ç uu aıl gelştrleleceğ göterel. Br öreğ p/4 üü ağırlığıı 0 o olduğuu varayalı. Bu duruda öreğ taaı pˆ 0 / 4 40 o ağırlığıdadır. Şd, 3 küe olduğuu ve her r u duruda, ve 3 adet ktap çerdğ varayalı, ++3 topla ktap ayııdır. Br küe () eçerek, tah etek teekteyz. eçş olduğuuzu varayalı. Eğer topla çdek oraı leyd, örek uygulaaıda görüldüğü g, topla kolaylıkla tah edlrd. Varayalı k u oraı pˆ tel etektedr. O halde topla ç tah, pˆ olur. Topla çdek oraı, pˆ ı verldğ kaul ettğz ç, pˆ Şeklde yazalrz, öylece pˆ / olur ve / pˆ fade, ta olarak tah eder. Geelde, Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-34 Öreklee Yöteler

35 pˆ ve pˆ / olduğuda, Buula rlkte, öreklee prolelerde ta olarak e eştttr. pˆ değerler ledğ ortadadır. Ou yere ye lşk olaılıkları lyor olalrz. Bu olaılıkları p le göterel. pˆ ler ç çok yaklaşık olduğuu varayarak, tah edcy, pˆ p ler şeklde ulalrz. adece İle pˆ p araıdak fark arttıkça, pˆ / ke, ta olarak e eşt olacaktır. p le araıdak açıklık da artacaktır. Buula rlkte, pˆ özellğ elde edlr. Ya, aşağıdak g kolaylıkla görülelr: p p oraları yere p olaılıkları kullaıldığıda, öel r öreklee p E ( ) tah edc apaız tah edc olur. Bu Şd de, küelk r örek ç tah yöte açıklayalı. Toplaı tah etek ç ve eçlş olduğuu varayalı. Bu duruda, /p, /p oraları topla tahlerdr. Böylece, toplaı r tah, u tahler r ortalaaı olarak elde edlr. ( + ) (5) p p p Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-35 Öreklee Yöteler

36 elde edlr. (5) olu eştlk, tah ete geel r forülü g düşüülelr ve ayı zaada apaız r tah edcdr. Bu duru şu şeklde göterlelr. p E ( ) E( ) p p P 3 3 P P P P 3 P 3 Şekl (.) Bu şle r grafk yoruuu elde etek ç, küelk r duru ç örek uzayıı oluşturalı. Örek uzayı şekl. de olduğu g göterlelr. özkouu şekl 9 örek oktaı çere k oyutlu örek uzayıdır. Örek uzayıda yer ala (, ) örek oktaıı dkkate alalı. Bu örek oktaı kullaılarak tah ( p + p ) olur ve u örek otaıı eçle olaılığı pp dr ve arta kala örek oktaları ç eçle olaılıkları ezerdr. Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-36 Öreklee Yöteler

37 özkouu 9 örek oktaı kullaılarak heaplaalr: ( p 3 3 E ( ) + p ı eklee değer aşağıdak g 3 ( + )pp+ ( + )pp ( + )p3p+ p p p p p3 p 3 3 )p 3 p Bu heaplaa, ı ç r apaız tah edc olduğuu yede göterektedr. Çözü ekleye prole, pˆ oraları le p olaılıkları araıdak uyululaştırıladır. p olaılığı ke pˆ / oraıa yaklaştıkça, tah edc haalığı artaktadır. p eçtğz varayalı: olur ve olaktadır ve varya ıfırdır. özgel (, ) örek oktaıı uda dolayı V( ( p + p ) ( + ) / / le araıda fark yoktur. Bu duru, tü ükü örekler ç geçerldr ve ) ıfır değer alacaktır. pˆ Böylece, pratkte çözü ekleye prole, pˆ / değere yakı olacak değer p değer elrlee proledr. Tah etek tedğz, leye paraetre olduğuda, pˆ da lektedr. O halde p aıl elrleecektr? Cevaplarda r, ö ler çapla oratılı olaılık yapııa göre eçek ve u olaılıkları pˆ değerlere yakı olacağıı uaktır. Bu uut aşağıdak edelerle akul uluaktadır. Aşağıdak taloya göre ııf Çap Ataa Aralık A B 7 6- C D E Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-37 Öreklee Yöteler

38 Brc ııfta 5 öğrec, kc ııfta 7 öğrec uluaktadır. Burada, 37 öğrec ahp olduğu topla ktap ayııı tah le lgledğz varayalı.,, 3, 4,5 ıraıyla rc, kc,..., eşc ııflardak ktap ayııı göter ve olu. Öcek küe öreklee yötelerde, ö ler at teadüf öreklee le eçlşt, ya her r ö e //5 eçle olaılığı verlşt. Şd e, ükü olduğuca azaltak ç, tah etek tyoruz. Veya, pˆ oralarıa yakı olacak le araıdak farkı p olaılıklarıı küelere ya lşk varyaı azaltak tedğz öyleyelrz. Buda dolayı, ö ler çapla oratılı olaılık yapııa göre eçlrler, uradak çap ter ö cde değl cde üyüklüğüü fade etektedr. Böylece ye r oru ortaya çıkar: /, / y r yaklaşığı ıdır? Hoojelk ve heterojelk ağlaıda u oruyu celeyel. Ayı küe çdek öreklee rler heterojee, küeler araı değş küçük olacağıı öcek ölülerde tartışıştık ve u durularda küe ortalaalarıı çok fazla değşedğ görüştük. özgel, aşağıdak öreklee rler kapaya 3 tae küe olduğuu varayalı: j, ,,3,9, ,6,8 5 5 Görüldüğü g, her rde küe ç değş üyüktür, fakat küe ortalaaları 3 5 tr, ya küe ortalaaları araıda değşe yoktur. Bu örekte, küe oraları şöyleyd: Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-38 Öreklee Yöteler

39 Çapla oratılı olaılıklar, ya /, olaktadır. Görüldüğü g / / dr. Bu ouç aşağıdak g açıklaalr. Küe ortalaaları araıdak fark küçük olduğuda, / oraı / oraıı y r yaklaşığıdır. Bu uygulaa ç / / olarak ortaya çıka ouç şu şeklde kaıtlaalr. 3 5 olduğuda, doğal olarak 5 tr. Buda dolayı, olur ve ezer şeklde dğerler akııda da // dr. Böylece küe ortalaaları araıdak fark küçük olduğuda, çoo le öreklee yapak küçük varyalı apaız tah edcler ağlar. Bu oktaya kadar adece ö lere lşk örekleey dkkate aldık. Şd de ouçlarıızı ö ler ç geşletel. Topla ktap ayııı tah ete prolezdek terler cde, öce ö ler eçtk ve ardıda u () k ııfta ve ayıda öğrec çere alt örekler eçtk. Bu alt örekler kullaarak, ve y tah edp uları ve le göterel. Örek çapları ve ola alt örekler, yere koyada at teadüf öreklee le eçlr. Alt örekler çerdğ topla ktap ayıları, j ve j olu. O halde, at teadüf öreklee teore göre, ve ye lşk tahler ve Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-39 Öreklee Yöteler

40 olur. Bu ouç geelde, (6) şeklde fade edlelr. Bat teadüf öreklee teore göre E ( ) olduğuu da lyoruz. Şd de, (6) olu eştlğ (5) olu eştlkte yere koyarak, rc aşaadak ö ürecyle kc aşaadak ö ürec ouçlarıı rleştrel. Araştırdığıız geel ouç, ç eçe olaılığı p ke, p ( ) p (7) ( j) p şeklde olur, dolayııyla (7) olu eştlk, ç apaız r tah edcdr. Bu ouç, aşağıdak şleler zledğde, kolaylıkla görülür: E( ) E (E j ) p E ( ) p p ( ) p Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-40 Öreklee Yöteler

41 (7) olu eştlk yardıı le, özel haller olarak, at küe öreklee ve çoo yapııa uygu küe öreklee tah edcler kolaylıkla türetelrz. Bat küe öreklee özel halyle aşlayalı. Daha öcek at küe öreklee prolede p/ değer (7) olu eştlkte yere koduğuda, ze j oucuu verr k, u ouç at küe örekleede elde edle ouçlarla ayıdır. d. Bu Çoo yapııa uygu küe örekleede e, p/ dr. Buda dolayı (7) olu eştlk, (9) j hale gelektedr ve u, çoo yapııa uygu küe öreklee geel forülüdür. / e, (9) olu eştlk, j (0) şeklde adeleşektedr. Populayo ortalaaıı tah edc olarak j () elde ederz. Görüldüğü g () olu eştlk atçe, çaplı öreğ örek ortalaaıdır ve ked ked ağırlıkladıradır. Ayı zaada apaız r tah edcdr., örek çapı ola r öreğ örek ortalaaı olduğuda, ou Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-4 Öreklee Yöteler

42 çoo j şeklde götereceğz. Alıştıra: Aşağıdak verlere göre, çoo yapııa uygu küe öreklee le populayo ortalaaıı tah ed. Bö j A,,3 3 6 B 5,6,6, C 9,9,0,, ) çoo yapııa göre ö eç yapı ö Tah Edle Açıklık A B C 5 8- İk tae ö çere () r örek eç. Teadüf ayılar talouda ve ayıları eçlş olu. Bua göre A ve C y eçerz. A yı eçe olaılığı /3/, C y eçe olaılığı e 3/5/ dr. ) Teadüf örek le A ve C de örek çapı ola örekler eç. Aşağıdakler elde ettğz varayalı: A C j j 0 Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-4 Öreklee Yöteler

43 3 ) çoo değer uluuz. çoo j ( 3 + ) 6 Populayo ortalaaı şöyledr. j Alıştıra: Br küçük kaaaı ıraıyla 0,5 ve 5 öğrec ola A,B ve C l 3 okulu olduğuu varayalı. Br çocuğu r güde çğedğ akız ktarıı ortalaaıı tah etek tyoruz. Çoo yapııa uygu küe öreklee le tae okul, 5 tae öğrec eç ve ortalaayı tah edz. ) tae ö eç ö A 0-0 B 5-35 C Teadüf ayılar talouda, 5 ve 39 ayıları eçlş olu. Böylece B le C y eçerz. )B ve C de 5 lk örek eç. Yere koyada teadüf öreklee kullaılarak, aşağıdak örekler elde ettğz varayalı: Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-43 Öreklee Yöteler

44 B C j j v) çoo değer heaplayı. çoo j ( 0 + ) 4. tae/gü 5 çoo u Varyaı V( çoo - + ( - ) ) ( ) ( - ) Şekldedr. ağ taraftak lk ter küe ortalaaları araıdak değş göterektedr. İkc ter e, ö ler küe ç değş göterektedr. ter, c küe çdek j ler varyaıı fade etektedr. Alıştıra: Bö j A,,3 3 6 B 5,6,6, C 9,9,0,, Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-44 Öreklee Yöteler

45 80 şeklde ke çoo u varyaıı elde edz. V( çoo - + ( - ) ) ( ) şeklde ke ağ taraftak lk ter ( - ) ve kc ter de ( - ) ( 8 ) 3 9 V( çoo ) elde edlr. Prof.Dr.Levet ŞEYAY VIII-45 Öreklee Yöteler