ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KARBON NANOTÜPLERDE ELEKTRON-FONON ETKİLEŞMESİ. Melek KESKİN FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KARBON NANOTÜPLERDE ELEKTRON-FONON ETKİLEŞMESİ Melek KESKİN FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA 9 He hakkı saklıdı

2 Annem Ülkü KESKİN e ve Babam Sab KESKİN e

3 TEZ ONAYI Melek KESKİN taafından hazılanan Kabon Nanotüplede Elekton-Fonon Etkleşmes adlı tez çalışması 3/6/9 tahnde aşağıdak ü taafından oy blğ le Ankaa Ünvestes Fen Blmle Ensttüsü Fzk Anablm Dalı nda DOKTORA TEZİ olaak kabul edlmşt. Danışman : Pof. D. Bek Sıtkı KANDEMİR Ankaa Ünvestes Fen Fakültes Fzk A.B.D Jü Üyele: Başkan: Pof. D. Şnas ELLİALTIOĞLU Ota Doğu Teknk Ünvestes Fzk A.B.D Üye : Pof. D. Bas ÜNAL Ankaa Ünvestes Mühendslk Fakültes Fzk Mühendslğ A.B.D Üye : Pof. D. Tacettn ALTANHAN Ankaa Ünvestes Fen Fakültes Fzk A.B.D Üye : Pof. D. Abdullah VERÇİN Ankaa Ünvestes Fen Fakültes Fzk A.B.D Üye : Pof. D. Bek Sıtkı KANDEMİR Ankaa Ünvestes Fen Fakültes Fzk A.B.D Yukaıdak sonucu onaylaım. Pof.D.Ohan ATAKOL Ensttü Müdüü

4 ÖZET Doktoa Tez KARBON NANOTÜPLERDE ELEKTRON-FONON ETKİLEŞMESİ Melek KESKİN Ankaa Ünvestes Fen Blmle Ensttüsü Fzk Anablm Dalı Danışman: Pof. D. Bek Sıtkı KANDEMİR Bu tez çalışmasında, tek duvalı zkzak kabon nanotüplen fonon dağınım bağıntılaının ve bunlala lntl elekton- fonon etkleşme Hamltonyennn tam ve analtk fades elde edlmş ve ayıntılı bçmde ncelenmşt. Koltuk ve zkzak kabon nanotüplen aasındak temel fak geometlenden kaynaklanı. Bu geomety göz önünde bulunduaak, lk olaak kütle-yay model le bnc yakın komşuluk, knc yakın komşuluk ve adyal bağ bükümü etkleşm potansyellen çeen ögü tteşmle elde edlmşt. Bunun çn bölge katlama yöntemnden faklı olaak, tüp yüzey üzendek b kabon atomuna göe dğe kabon atomlaının konumu bellenmşt. Bu yöntemn kullanılmasının neden bölge katlama yöntemnn tüm fonon kplen doğu olaak vememesd. İknc olaak, bu şeklde elde edlen ögü tteşmle kuantumlanmış ve bulunan fonon Hamltonyen uygun kanonk dönüşümlele köşegenleştlmşt. Fonon fekanslaının analtk bçm çn esolvent fomalzm kullanılmıştı ve fonon kple 6 cm dek Raman kpne göe nomalze edlmşt. Fonon modüle hoplama etkleşmes le ncelenmş olan elekton-fonon etkleşmele fonon kısmı le uyumlu olaak aynı ünte dönüşümle kullanılmıştı. Bnc yakın komşuluk ve adyal bağ bükümü etkleşmelen çeen elekton-fonon çftlenm genlğ, band ç ve bandla aası bütün fonon kple çn q dalga vektöünü ve geometden kaynaklanan dğe paametele çeecek şeklde tam olaak elde edlmşt. Son olaak, faklı yaklaşımla köşegenleştlmş sıkı bağ Hamltonyennden oluşan elektonk kısım, elekton-fonon etkleşme kısmına uygun olaak yenden yazılmıştı Hazan 9, 88 Sayfa Anahta Kelmele: tek duvalı koltuk nanotüp, tek duvalı zkzak nanotüp, elektonfonon etkleşmes

5 ABSTRACT Ph.D Thess ELECTRON-PHONON INTERACTION IN CARBON NANOTUBES Melek KESKİN Ankaa Unvesty Guduate School of Natual and Appled Scences Depatman of Physcs Supevso: Pof. D. Bek Sıtkı KANDEMİR In ths thess, the exact analytcal phonon dspeson elatons fo sngle-walled zgzag nanotubes and the fom of electon-phonon nteacton Hamltonan assocated wth them ae obtaned and studed n detal. The man dffeence between amcha and zgzag cabon nanotubes ases fom the geomety. By consdeng ths geomety, fstly, wthn the famewok of mass-spng model, the lattce vbatons of zgzag cabon nanotubes ae obtaned by ust ncludng potentals of the neaest, next neaest negbo and bond bendng nteactons. To do ths, apat fom the zone foldng method, elatve coodnates of cabon atoms n a unt cell wth espect to othe cabon atoms ae wtten on the suface of tube. The eason why we use such a method s that the zone foldng method does not pedct all phonon modes n these stuctues. Secondly, the classccal lattce vbatons obtaned n such a way s quantzed to obtan phonon Hamltonan and ths Hamltonan s dagonalzed n tems of pope untay tansfomatons. To obtan analytcal phonon fequences the esolvent fomalsm s used and all fequences ae nomalzed wth espect to Raman mode at 6 cm. The assocated electon-phonon nteactons ae nvestgated by the phonon modulaton of the hoppng nteacton, whee the same untay tansfomatons ae used n accodance wth the phonon pat. Fo all phonon modes, electon-phonon couplng stengths fo both ntaband- and nteband- scattengs fo all modes wthn neaest neghbo and adal bond bendng nteactons ae found excatly as such n tems of the q wave vectos and othe geometcal paametes. Fnally, the tght-bndng Hamltonan of the electonc pat, whch has been dagonalzed by a dffeent appoach, s ewtten n accodance wth the electon-phonon nteacton pat. June 9, 88 pages Key Wods: sngle-walled amcha nanotubes, sngle-walled zgzag nanotubes, electon-phonon nteacton

6 TEŞEKKÜR Çalışmalaım süesnce bana aaştıma olanağı sağlayan, blmsel katkı ve öneleyle he konuda ben yönlenden Sayın danışman hocam Pof. D. Bek Sıtkı Kandem e ve değel blmsel tecübeleyle çok büyük katkı ve destekte bulunan Sayın hocam Pof. D. Tacettn Altanhan a teşekkülem sunaım. He koşulda bana güvenen ve yüeklenden canım anneme, babama, Bsen Keskn ve Kevse Keskn e yanımda olduklaı çn teşekkü edem. Melek KESKİN Ankaa, Hazan 9

7 İÇİNDEKİLER ÖZET. ABSTRACT..... TEŞEKKÜR SİMGELER DİZİNİ v ŞEKİLLER DİZİNİ....x ÇİZELGELER DİZİNİ. x.giriş.. KURAMSAL TEMELLER 4. Tek Duvalı Kabon Nanotüplen Yapısı Tek duvalı kabon nanotüplen sınıflandıılması Kal vektö: C h Öteleme vektöü:t Smet vektöü: R Bm hüce ve Blloun bölges Tek Duvalı Kabon Nanotüplen Elektonk Yapısı Bölge katlanması yöntemyle ene dağınım bağıntılaının elde edlmes.... Zkzak ve koltuk nanotüplen ene dağınım bağıntılaı Duumlaın yoğunluğu ve ene aalığı Kabon Nanotüplen Fonon Kple.9.3. Fonon dağınım bağıntılaı çn dnamk mats Gafen çn fonon dağınım bağıntılaı Bölge katlama yöntemyle kabon nanotüple çn fonon dağınım bağıntılaı B kabon nanotüpün kuvvet sabt tensöü.9 3. MATERYAL Koltuk Nanotüple Koltuk nanotüplede ögü koodnatlaı Koltuk nanotüple çn ögü tteşmle Zkzak Nanotüple Zkzak nanotüplede ögü koodnatlaı...4 v

8 3.. Zkzak kabon nanotüple çn ögü tteşmle YÖNTEM Kütle Mekez Koodnatlaı Ögü Tteşmlenn Kuantumlanması Bnc Köşegenleştme İknc Köşegenleştme Resolvent Fomalzm Elekton-Fonon Etkleşmes Bnc yakın komşuluk etkleşmele Radyal bağ bükümü Elekton-fonon etkleşm Hamltonyennde fonon kısımlaının köşegenleştlmes Sıkı Bağ Hamltonyennn Köşegenleştlmes 6 5. SONUÇLAR...64 KAYNAKLAR...7 EKLER... 7 ÖZGEÇMİŞ...88 v

9 SİMGELER DİZİNİ KNT TDKNT C h a, a T R R A, ml R B, ml Kabon Nanotüp Tek Duvalı Kabon Nanotüp kal vektö altıgen ögünün bm vektöle öteleme vektöü smet vektöü Gafenn bm hücesndek A atomunun konum vektöü Gafenn bm hücesndek B atomunun konum vektöü Q β Gafenn bm hücesndek A atomunun ögü tteşmle A, Q β Gafenn bm hücesndek B atomunun ögü tteşmle B, V V V 3 en yakın komşulukla aası etkleşme potansyel knc yakın komşulukla aası etkleşme potansyel adyal bağ bükümü potansyel H lat klask ögü Hamltonyen Q β, q β kütle mekez ve bağıl koodnatla ( k) A etkleşme potansyelle mats elemanlaı aqβ ( aqβ ) fononla çn yok edc (yaatıcı) opeatöle H ph fonon Hamltonyen U, U kanonk dönüşümle ω% ( q ). Fonon dalı çn fonon dağınımı H % ph bnc köşegenleştmeden elde edlen fonon Hamltonyen ω () ( q), ω () ( q) H bnc köşegenleştmeden elde edlen fonon dağınım bağıntılaı knc köşegenleştmeden elde edlen fonon Hamltonyen v

10 ω% köşegen temlen knc köşegenleştmeden elde edlen fonon dağınım C, A B, bağıntılaı C B( A), + δ A ve B duumlaında elekton yaatma-yok etme opeatöle H bnc yakın komşuluk elekton-fonon etkleşme Hamltonyen I el ph I ( l) (, ) M q k bnc yakın komşuluk elekton-fonon etkleşme genlğ H adyal bağ bükümü etkleşme Hamltonyen BB el ph BB( l) (, ) M q k adyal bağ bükümü elekton-fonon etkleşme genlğ H toplam elekton-fonon etkleşme Hamltonyen tot el ph H toplam Hamltonyen v

11 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl. Çeştl boyutta kabon yapıla Şekl. Ak buhalaşma düzeneğ.. Şekl. KNT len sınıflandıılması 4 Şekl. C h = (4, ) çn yuvalanmamış petek ögü...5 Şekl -3 Uzay gubu smet şlem R ( ψ τ ) = 8 Şekl.4 Slndk yüzeyde smet opeatöü... Şekl.5 KNT ün bnc Blloun Bölges Şekl.6 KNT ün katlama koşulu Şekl.7 Metalk ve yaıletken kabon KNT le 4 Şekl.8 (a)koltuk ve (b) Zkzak KNT çn katlama yönle..5 Şekl.9 (a) (5,5) lk koltuk, (b) (9,)lık zkzak, (c) (,) lık zkzak KNT le çn ene dağınımlaı.7 Şekl. Ene aalığı..9 Şekl. A ve B atomlaının en yakın döt komşuluklaı 3 Şekl. A ve B atomlaı aasında kuvvet sabtle...4 Şekl.3 Döt atom çn bükülme haeket 5 Şekl.4 (a) Gafen çn fonon dağınımlaı (b) duumla yoğunluğu... 6 Şekl.5 Gafen tabakasından elde edlen KNT fonon kplene önek...9 Şekl.6 A ve komşu atomlaın ( B, B ve Şekl.7 (a) (,) nanotüp çn fonon dspesyonu B ) geometle.3 (b) fonon duumla yoğunluğu..3 Şekl.8 (,) luk nanotüpün Γ noktası cvaında fonon dağınımı..3 Şekl 3. Koltuk nanotüp kabon atomlaının ögü koodnatlaı..34 Şekl 3. Bnc yakın komşulukla aasındak açıla 35 Şekl 3.3 (,) luk koltuk nanotüp...35 Şekl 3.4 Zkzak nanotüp çn ögü koodnatlaı...4 Şekl 3.5 (,) lık zkzak kabon nanotüp.43 v

12 Şekl 5. α = çn bnc köşegenleştme (sol panel), knc köşegenleştme (sağ panel) sonuçlaı...65 Şekl5.(a) α =, ±,..., ± 5 çn fonon dağınımlaı (b) α = ± 6,..., ± 9, çn fonon dağınımlaı ve bunlaın aynı düzlemde fades.66 Şekl5.3 (,) zkzak KNT deα = çn fonon dağınım bağıntılaı.67 Şekl 5.4 (,) zkzak KNT de α =,,... çn fonon kple x

13 ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge. KNT len sınıflandıılması....7 Çzelge. Kuvvet sabt paemetele...6 x

14 . GİRİŞ Kabon, gezegendek yaşam çn temel element (pma matea) olaak kabul edl. Kabon mateyalle gaft, elmas (3-boyutlu), gafen (-boyutumsu), kabon fbele, kabon nanotüple (-boyutumsu) ve fulleenle (-boyutumsu) gb çeştl fomlada bulunula. Şekl. de bunlaa önekle velmşt. Yapısal fomlaının bu kada çeştl olmasının neden, kabon atomlaı obtlenn hbtleşmesnden ötüü bkaç çeşt değelk bandı oluştuablmesd (Sato et al. 998). B kabon nanotüp hbtleşmes yapa, üç elekton kabon atomunun σ obtlen ve b elekton se π - obtlen oluştuu. Elektonk yapı elde edlken π -elektonlaı göz önüne alını, bunun neden elmas dışındak kabon bazlı mateyallede π -elektonlaının değelk elektonlaı olması ve σ - bağlaının göel olaak zayıf olmasından kaynaklanı. sp Şekl. Çeştl boyutta kabon yapıla İlk olaak Ima 99 yılında ak-buhalaşma teknğyle fulleenle üzende çalışıken, yüksek çözünülüklü geçmel elekton mkoskobu le gafenn yuvalanaak tüp haln aldığı kabon nanotüplen valığını tesadüfen gözlemled (Ima 99). Şekl. de b fk vemes açısından ak-buhalaşma teknğ mekanzması şematk olaak göstelmşt. Buna göe anod ve katod k saf gaft çubuktan oluşu, aalaındak uzaklığın sabt tutulablmes çn anod ucu dışaıdan kontol edlebl olmalıdı.

15 Genelde V gelm ve esasen gaft çapına, elektodla aası uzaklığa ve gaz basıncına göe değşen ancak 5-A cvaında b akım uygulanı. Anod ak olayı geçekleşnceye kada katoda yaklaştıılı anodtan kopan paçacıkla katod üzende bk, katod su le soğutma düzeneğne sahpt. Buada düşük boyutta kabon bazlı mateyalle gözlen. Bu keşften ve bunu takp eden kabon nanotüp (KNT) sentezlenden (Ima et al. 993, Bethune et al. 993) sona bu mateyallen fzksel özellkle üzene deneysel ve teok çalışmala başlamıştı. Şekl. Ak buhalaşma düzeneğ Tek duvalı KNT le lk olaak 993 yılında elde edlmesnden sona 996 da Rce ünvestes aaştıma gubu C fıında kabonun laze buhalaştıılmasıyla tek duvalı KNT le daha etkn b bçmde elde etmey başamışladı. Bunun çn kobaltnkel katalzöü kullanılmış ve böylelkle nanotüplen kıvılaak uçlaının bleşmes engellenmşt. Bu yöntemle KNT len %7-8 oanla tek duvalı olaak elde edlmes sağlanmıştı. KNT le göüntülemeye yaayan taamalı elekton mkoskopu bunlaı kabon p yaygılaı gb göste. Geçmel elekton mkoskopu TDKNT len seçlebleceğ göüntüyü ve. KNT leden deve elde edlmes çn tüpün konumu ve yönelm atomk kuvvet mkoskopuyla değştlebl. Bu tezde kaltenn belledğ bçmde çeştlenen KNT leden tek duvalı koltuk ve zkzak KNT le üzende duulacaktı. B KNT kalte adı velen çembesel yöndek vektöle tanımlanı ve bu vektöün alacağı değelee göe metalk ya da yaı-letken özellk göste. Bunladan yaı letken olanlada bçok mko elektonk nano aygıt yapılablmekted, moleküle telle (Kong et al. ), dyodla (Collns et al. 997),

16 elektk alan etkl tansstöle (Bonad et al. ), tek elekton tansstöle (Postma et al. ), elektonk hafızala (Cu et al. ) ve nano cımbızla (Km et al. 999) bunlaa önek olaak velebl. Metalk özellkte KNT le -boyutlu (B) tanspot çn model oluştuu. Fononlaın dağınımlaı tanspot özellklende, Raman spektoskopsnde (Lazze et al. 6) ve elekton-fonon etkleşmesnden dolayı süpeletkenlkte (Tang et al. ) öneml ol oynala. Kuamsal temelle bölümünde KNT len geometk yapılaı ele alınıp sınıflandıılmalaı yapılmıştı ve bm hücey oluştuan vektöle tanımlanıp bm hücedek kabon sayısı hesaplanmıştı. Gafende elekton çn sıkı bağ hesabından yola çıkaak bölge katlama yöntemyle KNT le çn elektonk ene dağınımlaı velmşt. Buna benze olaak gafen tabakası üzende kuvvet sabt model kullanılaak ve bölge katlamasıyla KNT le çn fonon kplenn elde edlmes üzende duulmuştu ve bu modele getlmes geeken düzeltmele tatışılmıştı. Bu tezde zkzak KNT le çn kütle yay modelnden elde edlen ögü tteşmle bulunaak, bunla kuantze edlecek ve geekl köşegenleştmele yapılaak fonon Hamltonyen ve analtk fonon fekanslaı elde edlecekt. Fonon Hamltonyen hazılanıken bnc yakın komşuluk ve knc yakın komşuluk kabon etkleşmele potansyel ve adyal bağ bükümü potansyel dkkate alınacaktı. Fonon Hamltonyenne ek olaak elekton-fonon etkleşme Hamltonyen yazılacak ve fonon Hamltonyen çn yapılan köşegenleştmele etkleşme Hamltonyenne de uygulanacaktı. Uygulanan yöntem bölge katlama yöntemnden faklı olaak, tüp üzende b kabon atomunun koodnatlaı ve buna uygun komşu atomlaın koodnatlaını yazmaktan oluşu. 3

17 . KURAMSAL TEMELLER. Tek Duvalı Kabon Nanotüplen Yapısı Tek duvalı kabon nanotüple (TDKNT) gafen tabakasının slnd bçmnde yuvalanmasıyla elde edl, böylelkle eksensel smets olan B lu yapı ve kalte adı velen spal bçm oluştuulu. Bu bölümde TDKNT n sınıflandıılması ve bunlaın bm hücelen tanımlayan kal vektö, öteleme vektöü, smet vektöü üzende duulacaktı... Tek duvalı kabon nanotüplen sınıflandıılması TDKNT.7.nm çaplı slnde yuvalanmış gafen tabakası olaak tanımlanmalaına ağmen genellkle nm den küçük çaplı olaak gözlenle. TDKNT n son k ucu hmal edldğnde slndn uzunluğunun çapına oanı çok büyük olduğundan (uzunluk/çap> 4 5 ) B lu yapıla olaak ele alınıla. TDKNT de lgnç ve esas olan petek ögü yapısındak altı elemanlı kabon halkasının nanotüp eksenne göe yönelmd. Şekl. de TDKNT üç öneğ velmşt. Bu önekleden altıgenlen yönelmlenn keyf olduğu ve KNT ün eğlğne büünmes dışında bçmlenn bozulmadığı göülmekted. Şekl. KNT len sınıflandıılması 4

18 Şekl. de sıasıyla koltuk, zkzak ve kal KNT lee önek velmşt. Üç KNT ün son kısımlaı fulleen yaı küelenden oluşu ve fulleen yaı küelenn he b slndn boyuyla mükemmel bçmde uyuşacak bçmde altı adet pentagon, uygun sayıda ve yede hekzagon çe. Bu fulleen yaı küelene başlık adı vel. Bu bölümde KNT eksen boyunca slndk yapı üzene odaklanılacaktı. En bast smet sınıflandıılması akal (symmophc) ve kal (non-symmophc) olaak yapılı. Akal KNT len ayna smetle kendlene özdeşt, koltuk ve zkzak KNT olmak üzee k çeşt vadı. Kal KNT le, spal smetye sahp olup ayna smetle onalleyle üstüste çakışmaz. Bunlaın kal KNT olaak smlendlmelenn neden kmya lteatüünde eksensel kal yapıda olmalaından kaynaklanı ve eksensel kalte genellkle optksel etknlkle lşklendl. Çap, kalte ve başlık yapılaının değşmes KNT len geometlenn çeştlenmesne neden olu... Kal vektö: C h Kal vektö, nanotüpün tüünü belle ve tüp eksenne dkt. Şekl. de TDKNT e uuu uuu yuvalanmamış petek ögü yapısı göülmekted. OB nanotüp eksennn yönünü ve OA nanotüpün üzene kıvılacağı ekvatoal yönü belle. O, A, B, B kstalogafk olaak uuu özdeşt ve gafen slnde yuvalandığında O le A ve B le B üstüste çakışı. OA uuu ve OB sıasıyla kal vektö ( C ) ve öteleme vektöü (T ) olaak tanımlanı. h Şekl. C h = (4, ) çn yuvalanmamış petek ögü 5

19 Kal vektö, Şekl. de göstelen a ve a altıgen ögünün bm vektöle cnsnden Ch = na + ma n, m, n, m tamsayı, m n (.) şeklnde yazılı. n = m duumunda koltuk KNT elde edl ve Ch = ( n, n) duumuna kaşılık gel. m = olduğunda C = ( n,) le velen zkzak KNT tanımlanı. Dğe h tüm ( n, m ) tp kal vektöe sahp olan KNT le kal KNT lele lşkld ve hekzagonal smetden ötüü < m < n koşulunu sağlala. Açıkça göülebl k b KNT ün çeves kal vektöün büyüklüğüyle vel ve L = C d. Bu duumda h KNT ün çapı d = L / π olacaktı, buada t L = Ch = ChCh = a n + m + nm (.) le vel. Denklem. de a =.4x 3 Α o olup, hekzagonun bm vektöünün büyüklüğüdü. İk kabon atomu aasındak mesafe se ac C =.4 Α o du. Kal açısı θ, hekzagon ögünün a ögü vektöü le C h kal vektöü aasındak açıdı ve hekzagonun smetsnden ötüü θ 3 o aasında değş. Kal vektö ve kal açıya göe KNT len sınıflandıılması Çzelge. de velmşt. Bu çzelgedek θ açısı se cosθ C. a n + m (.3) h = = Ch a n + m + nm le vel. 6

20 Çzelge. KNT len sınıflandıılması Çeşt θ C Kestn Şekl Smet h koltuk zkzak kal o 3 ( n, n) Dn C o ( n,) Dn C o o <θ < 3 ( m) Cd C N n, İksnn kaışımı d..3 Öteleme vektöü:t T öteleme vektöü nanotüp eksenne paalel ve yuvalanmamış petek ögüde C h kal vektöüne dkt. Şekl. de göüldüğü gb bu k vektöden meydana gelen uuu paalelkena B lu KNT çn bm hücey oluştuu. Şekl. de OB vektöü öteleme vektöüne kaşılık gel, a ve a baz vektöle cnsnden T = t a + t a t t t t (, ), ( ve tamsayı) (.4) şeklnden fade edl. Denklem.4 te t ve t tamsayılaının den faklı otak bölen olamaz (aalaında asaldı) çünkü T öteleme vektöü B lu gafenn lk ögü noktasına kaşılık gel. d R, ( m + n) ve ( n + m) n en büyük otak bölen olmak üzee, C h. T = dklk şatını kullandığımızda t ve t tamsayılaı aşağıdak gb vel: m n n m t = +, t = +. (.5) d dr R d, n ve m tamsayılaının en büyük otak bölen se, bu duumda d R d R d n m, 3 d 'nn b katı değlse = 3 d n m,3 d 'nn b katıse (.6) şeklnde bulunu. 7

21 Öteleme vektöünün büyüklüğü T = 3 L / dr kadadı. B lu KNT ün bm hüces, kal ve öteleme vektöleyle tanımlanan Şekl. dek OABB paalelkenaıdı. KNT bm hücesnn alanı C T ve b altıgenn alanı a a olmak üzee bm hücedek altıgenlen sayısı N aşağıdak gb bulunu: h ( n + m + nm) N = = = Ch T L a a dr a dr (.7) He altıgen k tane kabon atomu çeeceğnden KNT ün bm hücesnde N tane kabon atomu bulunu...4 Smet vektöü: R Kabon atomlaının konum vektöle KNT bm hüces çesnde =,,..., N olmak üzee, defa R vektöü le belleyeblz. R bm hüce dışına çıktığında peyodk sını koşullaı kullanılaak bm hüce çesne kaydıılı. Şekl.3 te gösteldğ gb R smet vektöünün C h ve T vektölene zdüşümlen fade etmek uygun olu. Şekl.3 Uzay gubu smet şlem R = ( ψ τ ) ψ nanotüp eksen etafında dönme açısını ( Nψ π ) doğultusunca ötelemey ( Nτ = M T ) cnsnden yazılabl. = ve τ nanotüp eksen tanımla. R vektöü altıgenn bm vektöle 8

22 R = p a + q a p, q, p ve q tamsayı (.8) p ve q tamsayılaının den faklı otak bölen yoktu ve = ken en küçük duum vektöü oluşacaktı. R çn, p ve q tamsayı değelenn seçm koşulu tq t p =, < mp nq N olu ve = N çn bm hüce en fazla N tane altıgen çedğnden < tq t p N koşuluna geçeld. Fzksel açıdan, R vektöü T yönünde τ ötemelenden ve KNT eksen çevesnde ψ açılı dönmeleden meydana gel. Şekl.3 te bu şlem, R ( ψ τ ) = le göstel ve kal KNT çn uzay gubu smet opeatöüdü. Smet vektöünün fzksel önem C h kal vektöü üzendek zdüşümü olan ψ açısını L / d t skalasında velmesd. R Smet vektöünün T öteleme vektöü üzendek zdüşümü τ ötelemesn ve ve bu KNT ün uzay gubunun smet opeatöüdü. Smet şlem ψ τ, (,) da bulunan atom üzene etk edeek, ( p, q) tamsayılaı le vaılan koodnatı belt, (,) = ( p, q) ψ τ. Eğe ψ τ KNT çn b smet şlem se o zaman 3 N ψ τ, ψ τ, K, ψ τ = E elemanlaıyla tanımlı C N abelyen gubunu ve. τ ötelemelenn ve ψ dönmelenn değele se τ ψ R C mp nq a a mp nq T h = = = L L N R T π d ( t q t p) 3a π π T L 3L L N R = = = (.9) şeklnde bulunu. 9

23 Şekl.4 Slndk yüzeyde smet opeatöü Şekl.4 te slndk yüzeye smet opeatöünün uygulanışı göstelmşt. N ψ τ = E uygulandığı çn, Şekl.3 te bulunan O ögü noktası le şekl.4 tek C ögü noktası özdeşt ve NR = Ch + MT olacaktı. Buada M tamsayısı, M mp nq olaak tanımlıdı ve O ögü noktasından NR kada uzaklaşıldığında uygulanılan T ötelemelenn sayısıdı...5 Bm hüce ve Blloun bölges Geçel uzayda b KNT çn bm hüce Şekl. de göstelen kal vektö C h ve öteleme vektöü T le üetlen kabon atomu olduğundan N çft π -bondng ve OA B B dötgenyle vel. Bm hücede bandlaı bulunu. Fonon dağınım bağıntısı se 6 N fonon dalı çe. N tane * π - ant-bondng elektonk ene R eel uzayda ögü vektöü ve K tes uzayda ögü vektöü olmak üzee, nanotüp eksen boyunca olan tes ögü vektöü K ve çembesel yöndek tes ögü vektöü K n fadele R. = πδ bağıntısından K K = t b + t b K = mb nb N N, (.)

24 şeklnde elde edl. Denklem. dak b ve b vektöle altıgen ögünün tes ögü vektöled. Şekl.5 te C h = (4, ) lük kal nanotüp çn tes ögü vektöle göstelmşt. Bnc Blloun bölges WW doğu paçasından oluşu. Şekl.5 KNT ün bnc Blloun Bölges NK ( t b + t ) = gafenn tes ögü vektöüdü ve NK kada fak eden k dalga b vektöü özdeşt. t ve µ ( =, K, N ) t nn bden başka otak bölen olmadığından ( N ) K µ vektölenden hçb gafenn tes ögü vektöü olamaz. Bu nedenle ( µ =, K, N ) N tane vektö, C h üzendek peyodk sını koşullaı le lşkl kuantze edlmş dalga vektölenden kaynaklanan N tane k vektöünden C = 4, çn k vektöle N = 8 paalel çzg otaya çıka. Şekl.5 te, h paçalaıyla göstelmşt. Paalel doğulaın hepsnn uzunluğu b boyutlu bnc tane Blloun bölgesnn uzunluğuna eştt ve bnc Blloun bölgesnn uzunluğu π T kadadı. k nın N keskl değe çn N adet B lu ene bandı oluşu. Sonsuz uzunlukta b KNT çn nanotüp boyunca T dek öteleme smetsnden ötüü K yönündek dalda vektöle süekld. Ancak numunenn sonlu b L t boyu olduğunda dalga vektöle aasındak aalık π / Lt olacaktı. Bu sonuç deneysel gözlemlele uygundu (Tans et al. 997).

25 . Tek Duvalı Kabon Nanotüplen Elektonk Yapısı Kabon atomunun π -elektonlaı çn sıkı-bağ hesabı le KNT len elektonk yapılaı elde edl. Elektonk yapılaından haeketle önceden metalk ya da yaı-letken olaak sınıflandıılan KNT len bu özellkle çaplaına ve kaltelene bağlı olaak değşmekted. B lu metal Peels kaasızlığı altında kaalıdı. Yaıletken nanotüp çn yasak ene aalığı KNT n çapıyla tes oantılı olaak değşmekted ve bu taamalı tünelleme mkoskopuyla yapılan deneylede gözlenmşt (Sato et al. 3)... Bölge katlanması yöntemyle ene dağınım bağıntılaının elde edlmes TDKNT çn elektonk yapı gafenden kolaylıkla elde edlebl. Gafenn bm hücesnde atomlaın bağ yönelmlendek faklılıktan kaynaklanan k tp kabon atomu bulunu ve bu kabon atomlaı sp hbtleşmes yapaak xy -düzlemnde σ bağlaını ve bunlaa dk z -yönünde π bağını oluştuula. Elmas dışında kabon mateyallede π elektonlaı valence elektonladı ve katı özellklen bu elektonla bellele. Sıkı bağ hesabı le, gaft ya da gaft le lşkl mateyalle çn elektonk ene elde edl. Gafende tanımlanan C h kal vektöü üzende çembesel yönde peyodk sını koşulu tanımlandığında, sonsuz uzunluktak nanotüp çn T öteleme vektöü yönünde bulunan dalga vektöü aynı kalıken C yönüyle lşkl dalga vektöü kuantze olu. Böylelkle h KNT çn ene dağınım bağıntılaı gafen çn elde edlen dağınım bağıntısının kestlenden oluşacaktı. Şekl.5 tek tes ögüde göüldüğü gb gafenn sıkı bağ yöntemyle elde edlen ene dağınım bağıntılaı ( g D) E k, WW den µ K ( µ =,, K, N ) e kada yuvalanı, dalga vektöle WW ve K e paalel E k elde olu. Böylelkle KNT çn N çft -boyutlu ene dağınım bağıntılaı µ edl.

26 K π π Eµ ( k ) = E g D k + µ K, µ =,, K, N ve < k < (.) K T T KNT çn bu ene dağınım bağıntılaı, gafen kk / K + µ K noktalaından kesldğ süece gafenn ene dspesyonu yüzeynn kest le uyumludu. Şekl.6 KNT ün katlanma koşulu Kal KNT elde etmek çn Şekl.6 da göülen tes ögü üzende bulunan b YK uuu vektöü üzenden katlama yapılı ve katlama koşullaı aşağıda veldğ gb bulunu: n + m YK = K. (.) 3 Metalk KNT çn katlama K noktası üzenden olacağından koşul ( n m) da ( n m) / 3 + / 3 ün ya ün tamsayı olmasıdı ve yaıletken tüp çn se n m = 3q ± ( q tamsayı) koşulu sağlanmalıdı. 3

27 Şekl.7 Metalk ve yaıletken KNT le ( n, n ) koltuk KNT len heps metalkt, (,) n zkzak KNT le n sayısı 3 ün tam katı se metalkt, dğe duumlada yaıletkend. ( n, m ) kal KNT len metalk olma koşulu n m n tamsayı olmasını geekt. Şekl.7 de metalk tüple boş noktalala ve yaı-letken tüple dolu noktalala göstelmşt, KNT len yaklaşık olaak /3 ü yaıletken /3 ü metalkt... Zkzak ve koltuk nanotüplen ene dağınım bağıntılaı Sıkı bağ hesabı le gafen çn elektonk ene dağınım bağıntılaı aşağıdak gb bulunu (sato et al. 998): 3kxa k ya k ya Eg D kx, k y t 4cos cos 4cos = ± + +. (.3) Buada ( + ) şaet bondng π -ene bandını ve ( ) şaet antbondng * π -ene bandını fade ede. Gafen çn lgnç olan, bu dağınımın K smet noktalaında seye açıldığında lnee özellk göstemesd, bundan dolayı, bu smet noktalaında gafen çn Dac denklem kullanılı ve bu nedenle de bu noktala Dac noktalaı olaak adlandıılıla. Gafen özdeğe denklemnden KNT çn ene dağınım bağıntılaı elde 4

28 edleceğnden katlama yönünde (çembesel yön) k dalga vektöüne peyodk sını koşulu eklen. ( n, n ) tp koltuk KNT çn bu koşul kal vektöün büyüklüğünden elde edl ve daesel yöndek dalga vektöle olmak üzee peyodk sını koşulu k x, q n ( q =,, n) 3 k x, qa = π q, K şeklnde elde edl, bu koşul Denklem.3 te yene konulduğunda aşağıdak ene dağınım bağıntısını bulunu: a qπ ka ka Eq ( k ) = ± t ± 4cos cos + 4cos, ( π < ka < π ve q =, L, n) (.4) n k dalga vektöü K = b b yönünde B lu b vektödü ve q tamsayısı tüpün uu çeves doğultusunca alınan keskl değeled. K doğultusu koltuk ve zkzak KNT çn Şekl.8 de velmşt. Şekl.8 (a) Koltuk ve (b) Zkzak KNT le çn katlama yönle 5

29 ( n,) zkzak KNT çn yne k, y q çembesel yöndek dalga vektöü olmak üzee n k y, qa = π q, q =, K,n, peyodk sını koşulu gafenn ene dağınım bağıntısında kullanıldığında zkzak KNT çn aşağıdak ene dspesyon bağıntısı elde edl: z Eq k = ± t ± 4cos cos + 4cos, < ka < ve q =, L, n 3 ka qπ qπ π π n n 3 3 (.5) ( 5,5) koltuk KNT çn B lu dspesyon bağıntılaı ( k) E a q nın hesaplanmış sonuçlaı Şekl.9.a da velmşt, buada letm bandlaı çn altı tane dağınım bağıntısı ve valans bandlaı çn altı tane dağınım bağıntısı vadı. Şekl.9 da göülen dallada a le sınıflandıılanla deenee değld ve e le sınıflandıılanla çft kat deeneed. Bütün koltuk KNT le çn ene bandlaı sını bölgelende yan deecede deeneed. Bu değe E ( k, k ) ka = π de yüksek g D x y gafen dağınım bağıntısında, Denklem.3 te, yene konulduğunda n sayısından bağımsız olaak ( x q ) E k π a = ± t (.6) g D,, koşulu elde edl. Koltuk KNTle çn Şekl.9.a da valans ve letm bandlaı k = dan k = π a bölge sınıına olan mesafenn 3 ü olan b k noktasında çakışıla. Bu çakışma Fem enesnde meydana gel ve ± k değelende ene bantlaı smetkt. Band çakışmalaında letm ve valans bandlaı aasındak deeneasyon noktası nedenyle ( 5,5) koltuk KNT sonlu sıcaklıkta metalk letkenlk gösteecek olan band aalığı sıfı olan b yaıletken şeklnded; çünkü, letm bandındak taşıyıcılaı uyamak çn yalnızca sonsuz küçük uyaımlaa htyaç duyulu. 6

30 Genel olaak koltuk KNT çn n letm ve n değelk bandı vadı ve bu n bandlaın k tanes non-deenee ( n ) tanes çft katlı deeneed. Şekl.9.a dak u ve g sembolle smetk teslenme le lgl bu duumlaın çft ( g ) ve tek (u ) davanışını göste, ± şaetle Denklem.4 dek şaetlee kaşı gel ve tam sayıla (,,K) aynı smetye sahp ene bantlaını belt. Bütün ( n) n, koltuk KNT le Fem enesnde bandlaın çakıştığı k = ± π 3a da en yüksek valans ve en düşük letm bandlaı aasında b band deeneasyonuna sahpt. Bu yüzden, koltuk KNT le gafene benze şeklde metalk yapıda bulunula. Şekl.9 (a) (5,5) lk koltuk, (b) (9,)lık zkzak, (c) (,) lık zkzak KNT le çn ene dağınımlaı ( 9,) ve (,) zkzak KNT le ene dağınımlaı sıasıyla Şekl.9b ve Şekl.9c de göülmekted (Sato et al. 998). (,) ken, (,) zkzak KNT çn = 9 zkzak KNT çn k = da ene aalığı yok k da ene aalığı vadı. Özellkle, (,) zkzak KNT de tekl b duumla yoğunluğu veen E t = ± de b dağınımsız ene bandı göülmekted. 7

31 Dağınımsız ene bandlaı E ( a) = ± t oluşu. Genel b (,) π y veen Denklem.5 dek q n = de n zkzak KNT le çn n üçün katı se k = da ene aalığı sıfıdı ve metalktle, ancak n üçün katı değlse, k = da b ene aalığı oluşu ve yaıletken özellk göstele. Ayıca n çft olduğunda dağınımsız ene bandlaı bulunu ken n tek olduğunda bunla oluşmaz...3 Duumlaın yoğunluğu ve ene aalığı Metalk KNT le çn Fem düzey cvaında tüp eksen bm uzunluk başına duumla yoğunluğu çap ve kalteye bağlı değld ve aşağıdak gb b sabt le vel (Sato et al. 998): N E F 8 =. (.7) 3π a t Buada a, gafen tabakanın ögü sabt ve t, sıkı bağ hesabında en yakın kabon atomlaı aasındak üst üste bnme enesd. Yaıletken KNT len ene aalığı nanotüp çapı d t le tes oantılıdı (Sato et al. 998): E g t a C C =. (.8) d t Buada a en yakın kabon atomlaı aasındak uzaklıktı. Şekl. da t = 3, 3eV C C çn ene aalığı çzlmşt. Elde edlen sonuçla B lu nanotüp yapısını test etmek çn önemld ve kal açıdan bağımsız olaak sadece nanotüp çapıyla oantılı yaıletken nanotüple üzende ölçümlemelee olanak sağla. t =, 5eV değe kullanıldığında band aalığı, nanotüp çapı o d t 4A çn oda sıcaklığında temal enenn üzended (Mntme et al. 995). Duumlaın 8

32 yoğunluğunun taama tünelleme spektoskops STS yöntem le ölçülmes kabon nanotüplenn elektonk yapısını ncelemek çn etkl b aaç sağla. Bu ölçüm sonuçlaından nanotüplen üçte b oanında letken ve üçte k oanında yaıletken olduğu doğulanmıştı. Yaıletken nanotüple üzendek ölçümle, Şekl. da göüldüğü gb, band aalığının 994 ve Wldöe et al. 998). dt le oantılı olduğunu göstemşt (Olk, Heemans, Şekl. Ene aalığı.3 Kabon Nanotüplen Fonon Kple Fonon dağınım bağıntılaı b çok teknkle elde edlebl. Bunladan lk, B lu gafen tabakasınının fonon dağınım bağıntısından bölge katlama teknğ kullanılaak B lu KNT çn fonon kplenn bulunması yöntemd k buada gafenden nanotüpün elektonk enesn elde etmek çn yapılanlaa benze b yol zlen. Buada, öncelkle bu teknk üzende duulup ekskle üzende tatışılacaktı..3. Fonon dağınım bağıntılaı çn dnamk mats Fonon dağınım bağıntılaını kuvvet sabt model kullanılaak bulmak çn ç atomk kuvvetlen yay sabtleyle temsl edldğ yaklaşıklık kullanılı. Bu modelde kuvvet sabtle sayısı ne kada çok se deneysel sonuçlaa o ölçüde yaklaşılı. Bm hücedek 9

33 N atomdan nc atomun yedeğştmes u ( x, y, z ) denklem ( ), (,, ) = olaak alındığında haeket M u&& = K u u = K N (.9) olu, buada M,. atomun kütlesn ve ( ) K,. ve. atomla aasındak 3 3 kuvvet sabt tensöünü temsl ede. Denklem.9 un üzenden toplamı. gupla lşkl b kaç komşu mesafes üzenden alını. Gafen çn genelde 4. en yakın komşu etkleşmesne kada almak uygun olu (Jsh et al. 993). Peyodk b sstemde, nomal kp yedeğştmele u le elde etmek çn dalga sayısı k olan. atomun k yedeğştmesnn Foue dönüşümü yapılmalıdı: u u ( k R wt ) ( ) ( ) ( kr wt ) k = = N Ω N Ω k R e e u k u,, (.) Toplam, bnc Blloun bölgesnde dalga vektöle k üzenden alını ve R,. atomun konumunu göste. Bütün u len aynı ω özfekansa sahp olduğu düşünülüse, yan u& = ω u haeket denklemn sağlalasa, Denklem.9 k R k R K M ω e uk = K e uk (.) k k denklemne dönüşü. Bu denklemn he k taafı alındığında ve süekl k uzayında aşağıdak dklk koşulu kr e le çapılıp R üzenden toplam

34 ( k k ) R e = NΩδ k, k (.) R kullanıldığında. atomun haeket denklem. atomun yedeğştmesne bağlı olaak k. R K M ω k Ι uk K e uk =, ( =, K, N ) (.3) k şeklnde bulunu. Buada, Ι, 3 3 lük bm mats ve R = R R,. atomuna göe. atomun bağıl koodnatıdı. le. atomun tteşm bağlıdı. ( ) K kuvvet sabt tensöü nedenyle. atomun tteşm Denklem.9 da. atom bm hüce sınılaına yakın olduğunda. atom komşu bm hüce çesnde b ögü noktası olabl. Denklem.3 de bütün komşuluklaının lk olaak ele alınan (. atomun bulunduğu) bm hüceye kaydıılableceğ göülmekted. ve noktalaı bbne özdeş se R fakının ögü vektöü kada faklı R olduğunda, Denklem. dek ( ) u nn tanımınından, k ( u ) k = ( ) u k olduğunu açıkça göülü. Bu yüzden Denklem.3, sadece lk ele alınan bm hücedek ( ) u k yedeğştmele çe. duumlaı duumlaına özdeş olduğu ( ) K le velen katkıla, ( ) K ye e k R faz faktöüyle eklen. B k vektöü çn, üç sebestlk deeces ve bm hücedek N atom sayısından ötüü blnmeyen (,,, N ) t k k k k 3 N tane değşken u u u K u bulunu ve Denklem.3 de eşzamanlı denklemle elde edez. O zaman Denklem.3, 3 N 3N lük dnamk mats D ( k) tanımıyla fomal olaak D ( k ) u k = (.4) şeklnde yazılabl. ( k) D matsne ve aşka olmayan özvektölee ( özdeğelen elde etmek çn det D ( k) = denklemn çözülü. ( k) u ) at ω ( k) k D dnamk matsn

35 3 3 lük alt matslee bölmek uygundu, buada bunla D ( k), Denklem.3 den ( D ) ( k ) çn ( { D ) ( k) } le tanımlanı. ( ) ( ) k R ω δ (.5) D k = K M k Ι K e fades elde edl. Buada üzenden toplam ( ) K le. atomdan komşu bütün noktala çn alını ve den toplam. atoma özdeş noktala çn alını. İlk k tem yalnızca = olduğunda sıfıdan faklı değelee sahpt, bunla dnamk matsn köşegen bloğu üzendek temlenden oluşu. Son tem se yalnızca. atom K ( ) da. atomla çft oluştuduğunda otaya çıka ve dnamk matsn köşegen olmayan temlen çe. Peyodk sstemde dnamk mats elemanlaı, ( ) K kuvvet sabt tensöü le k R e faz fakı tensöünün çapımıyla vel. Bu duum mats elemanlaının faz fakı faktöü ve atomk mats elemanlaının çapımıyla veldğ elektonk yapı çn sıkı bağ hesaplaının duumuna benzed..3. Gafen çn fonon dağınım bağıntılaı Sonak bölümlede b-boyutlu nanotüpün fonon dağınım bağıntılaı gafenden bölge katlama yöntemyle elde edleceğnden buada gafen tabakası çn fonon dağınım bağıntılaını elde etmek uygun olacaktı. Gafenn bm hücesnde A ve B olaak smlendlen bağ yönelmle faklı k tp kabon atomu bulunu. Bu duumda Denklem.4 ün çözümü çn altı tane özvektöü olmalıdı ve Denklem.4 te 6 6 lık D dnamk mats söz konusudu. Gafenn dnamk D mats bm hücedek A ve B atomlaı çn3 3 lük AA AB D, D, BA D ve BB D cnsnden yazılı. u k

36 AA AB D D D = BA BB D D (.6) Şekl. A ve B atomlaının en yakın döt komşuluklaı Şekl. yadımıyla Denklem.6 dak alt matslen çekle bulunabl. Mekez atomu A tp kabon atomu olan (a) şekl çn B, B ve B 3 le ndslenen üç en yakın komşuluk vadı ve bu atomlala etkleşmey AB D alt mats çe. İç dolu kaele le göstelen altı tane knc yakın komşuluk atomlaı A tpnded ve etkleşm matsne AA D alt matsyle katkıda bulunula. Şeklde en yakın döt komşuluk velmşt ve A tp mekez atomu çn 3. ve 4. komşulukla B tpnded ve etkleşmden gelecek katkılaı AB D alt mats çesnded. Bu n. yakın komşuluğa kada genşletlebl ancak etkleşmden gelecek katkıla uzaktak komşuluklada oldukça küçülecekt. K kuvvet sabt tensöü Şekl. de velen kuvvet sabt paameteleyle fade edl. Buada, A atomunun en yakın komşuluğunda bulunan B atomu aasında adyal φ (bağ esnemes), düzlem dışı teğetsel yönde φ to (bağ bükülmes), düzlem ç teğetsel yönde φ t kuvvet sabt paametele velmşt. 3

37 Şekl. A ve B atomlaı aasında kuvvet sabtle A le B atomlaı aasındak kuvvet sabt tensöü K ( A B ) φ = φ φ t, t (.7) şeklnde yazılı. Buada, üst nds kaçıncı komşuluk olduğunu fade etmekted. Gafen düzlem çnde adyal yön σ bağlaına kaşılık gel ve k teğetsel yön adyal yöne dk olaak alını. Gafen, anzotopk b mateyal olduğundan düzlem-ç ( y ) ve düzlemdışı ( z ) teğetsel kple tanımlamak çn k paamete tanıtıız ve bunlaa kaşı gelen faz faktöü k e.. R, ( a 3,,) da bulunan B atomu çn exp( a 3) k x olu. Dğe k en yakın komşu atom B ve B 3 çn kuvvet sabt matsle, knc-ank tensöü ( A, B ) ( A, B ) m K Um K U m m =, =,3 (.8) çn kuallaa uygun olaak Denklem.7 dek matsn dönmesyle elde edl. Buada ünte mats U m, dönme matsyle tanımlanı ve B m atomunu B e götüen Şekl.. de z -eksen etafında b 4

38 cosθm snθm = snθ cosθ U m m m (.9) fomuna sahpt. ( a ( 3), a,) da bulunan B atomu çn kuvvet sabt mats bulunmak stense dönme açısı θ = 3 alınması geektğ Şekl. den göülü π U ve ünte dönüşümden sona kuvvet sabt mats K ( A B ) + t ( t ) ( φt φ ) φ φt φ 3φ 3 φ φ = φt, (.3) ve kaşı gelen faz faktöü exp( k a ( 3) k a ) le vel. x + y Şekl.3 Döt atom çn bükülme haeket Gafen çn fonon dspesyon bağıntılaı hesaplaında sadece en yakın komşulukta bulunan atomla aasındak etkleşmey almak deneysel sonuçlala uyuşma açısından yetel değld ve uzun-mesafe etkleşmleden, ( n =,,3,4K ) n. komşu atomdan gelen katkıla da dahl edlmeld. Döt atomun bükülme haeketn yan Şekl.3 de olduğu gb k ç atomun bağlaı etafında k dış atomun tteşm tanımlamak çn dödüncü en yakın komşu etkleşmelenden gelen katkıla geekld. Kuvvet sabtle 5

39 çn değele deneysel olaak bellendğ gb Blloun bölges üzende B lu fonon dspesyon bağıntılaının uygunlaşmasıyla elde edl (Jsh et al. 993). Çzelge. Kuvvet sabt paemetele Radyal φ = φ = φ 3 = φ =.9 φ φ φ φ t = t ( 3) t ( 4) t 4.5 = 3.3 = 5.5 =.9 Teğetsel φ φ φ φ to to = = to3 = ( 4) to = Yukaıda velen kuvvet sabt paametele kullanılaak gafen tabakası çn elde edlen fonon dağınımlaı Şekl.4.a da velmşt. Buna kaşı gelen duumla yoğunluğunun cm ve C atomu başına Şekl.4.b de göstelmşt. Şekl.4.a nın hesaplanmış fonon dspesyon eğle elekton ene kaybı spektoskops le elde edlen deneysel noktalaı le uyumludu. Bu yüzden dödüncü komşu etkleşmesn katılımı gafenn fonon dspesyon bağıntılaını elde etmek çn yeteld. Şekl.4 (a) Gafen çn fonon dağınımlaı (b) duumla yoğunluğu Şekl.4.a da Blloun bölgesnn Γ noktasından meydana gelen akustk kplee kaşı üç fonon dalı oluşu, bunla sıasıyla b düzlem-dışı kp, b düzlem-ç teğetsel kp ve düzlem-ç adyal kpd. Optk kplee kaşı gelen üç dal: b düzlem dışı ve k düzlem ç kpten oluşu. Dğe k düzlem-ç akustk dal akustk kplede nomalde göündüğü gb b lnee k bağlılığı göstemesne ağmen düzlem-dışı (enne) akustk dal 6

40 Γ noktası etafında b k ene dspesyon bağıntısı göste. Düzlem-dışı kp çn kuadatk değşm olmasının neden bu dal k-boyutlu fonon kpe uygundu ve çünkü gafen üç-kat dönme smetsne sahpt. Denklem.9 da gafen duumunda bütün U dönmelenn x, y düzlem çnde olduğu açıktı. Bu yüzden kuvvet sabt mats x, y bleşenlenn b lk ve z bleşen lk matslene ayıştıılabl. n. komşu atomla çn lk kuvvet sabt tensöü ( ) K koodnatlaa bağlı değld ve ( k) zz ω Denklem.5 le velen k e.. R dfeansyel faz faktöünün toplamından elde edlen k nın b çft fonksyonu olu. Eğe yalnızca üç en yakın komşu atomu düşünüsek dfeansyel faz faktölenn toplamı kxa k k xa ya = exp exp cos f k le vel(sato et al 3). Bu yüzden ene dspesyon bağıntısı Γ noktası etafında k nın b çft fonksyonu olaak elde edl. Optk düzlem-dışı enne dal aynı neden çn b k bağlılığı göste. Γ noktasında tteşmlen z -bleşen çn b faz hızı veya b gup hızı yoktu ve fonon duumla yoğunluğu k boyutlu b van-hove tekllğ olaak blnen b basamak fonksyonu göste..3.3 Bölge katlama yöntemyle kabon nanotüple çn fonon dağınım bağıntılaı Daha önce elektonk ene hesabında yapıldığı gb buada da gafenn katlanmasıyla KNT le çn fonon dspesyonlaı elde edlecekt. Gafen katlandığında K tes ögüsü boyunca bm hücede bulunan N kabon atomu bulunan KNT ün üç-boyutlu tteşmle çn 6N fonon dalı elde edl. Katlama yne K çembesel yön boyunca yapılacaktı ve kal vektöün peyodk sını koşullaına uygun olaak he keskl K çn fonon dalga vektöü faklı olacağından KNT ün fonon dağınım bağıntılaı kalteye ( n, m ) ve KNT ün çapına d t bağlı olacaktı. KNT çn fonon dağınım mµ bağıntılaının ω D gafenn fonon dağınım bağıntılaıyla lşks 7

41 m m K µ D ( k ) D k K, m,,6,,, N ve π k π ω = ω + µ = K µ = K < (.3) K T T şeklnded. Üst ndsle 6N fonon kpne şaet ede ve bölge katlamada. ve N. atomla üst üste çakıştığı çn µ tamsayısının değe N de keslecekt. T, daha önce bm hücede tanımlanan öteleme vektöünün büyüklüğüdü. Bölge katlama teknğ KNT ün hemen hemen tüm fonon kplene uygulanabl ancak özellkle düşük fekans bölgelende sadece bölge katlama yapmak dağınım bağıntılaını doğu olaak he zaman vemez. Bunun çn bazı ek fzksel kavamlaa htyaç vadı (Jsh, Venkataaman et al. 993). Şekl.5.a da gafenn düzlem-dışı teğet akustk kplenden sağda KNT üzende gösteldğ halde Γ noktasında sıfı ene katkısı vemez. k = da KNT ün bütün kabon atomlaı b düzlem-dışı adyal akustk tteşmde adyal olaak haeket ede, bu Şekl.5.a nın sağında göüleceğ gb sıfıdan faklı fekanslı b nefes alıp-veme kpne uygundu. Nefes alıp-veme kp, sadece düzlem-ç kuvvet sabtle φ ve ve Γ noktasında sonlu b fekans ve. * φ t le lşkl çembesel yöndek tteşmleden oluşu 3B lu olaak b kabon nanotüpün tteşmlen ele alındığında, genelde x, y ve z yönlende tteşm haeketlene uygun üç akustk kpn oluşması beklen, ancak nanotüp eksenne dk k yön gafenn hehang b fonon kpne kaşı gelmez. B gafen tabakada düzlem-ç ve düzlem-dışı kple bbnden ayılmıştı fakat Şekl.5.b nn sol kısmında göüldüğü gb gafen, b nanotüpe saılınca sağda gözüken nanotüpün akustk fomunda gaftten tüemş düzlem-ç ve düzlem-dışı kple bbyle bağlanı. 8

42 Şekl.5 Gafen tabakasından elde edlen KNT fonon kplene önek.3.4 B kabon nanotüpün kuvvet sabt tensöü Çzelge. de velen kuvvet sabt paametele kullanılaak N kabon atomu çn oluşacak 6N x 6N lk dnamk mats çözülmeld. (,, K N ) B, B = olaak tanımlanı ve hehang b ( veya ) N tane atomu A ve A atomunun konumu, p B p A üzene p kee Denklem.8 de tanımlanan R smet vektöünün uygulanmasıyla elde edl. p p R R (.3) A Ap ve B Bp ( p =,,..., N) 6N 6N lk dnamk mats A ve etkleşmlen çeen 3 3 lük ( A A ) D, ( A B ) D, ( B A ) D ve ( B B ) B atomlaından oluşablecek tüm çft A B D alt matslee bölündüğünde, bunla D, (, =, K, N ) olmak üzee ( ) 4N N = tane alt mats le lglenmek geek. Dödüncü yakın komşulukta bulunan ( A B p q ) ( p q ),( p q ),( p q ) A A B A B B ) çftnn tteşmle kuvvet sabt tensöü le lşkld: A p B q D mats çesnded ve (ya da A p B q K p q p ( q p+ ) K = U K U A B A B p. (.33) 9

43 ( q p ) nds negatf ya da sıfı se bunun yene ( N + q p + ) kullanılı, bütün kuvvet sabt tensölen A ya da B e bağlı sıfıdan faklı tensöden yukaıdak gb üetl. U ünte dönüşümü aşağıdak gb, nanotüp eksen z -eksennde alınmak üzee, z -eksen etafında ψ = π / N dönmelen fade etmek üzee aşağıdak gbd. ( p ) ψ ( p ) ψ cos sn ψ = sn cos ψ p U p p (.34) KNT ün eğlğnn katkısı, A B p K ya da ( B B p ) K kuvvet sabt tensöle düşünüldüğünde hesaba katılmış olu. Şekl.6 dak gb A atomu x -eksen üzende seçlmş olsun, bu duumda x -eksen etafında ( π ) θ A B K şu şeklde elde edl: (a) Denklem.8 dek tensö 6 açısıyla döndüülü (b) yen tensö z -eksen etafında ϕ açısıyla döndüülü (c) son olaak ψ açısıyla z eksen etafında döndüülü. Şekl.6.a da göülen θ, Denklem.3 de tanımlanmış kal açıdı, Şekl.6.b de ϕ açısı, z -eksen etafında A ve B aasındak açıdı ve Denklem.4 de ( p ) π N le tanımlanan ψ, z -eksen etafında A ve A p aasındak açıdı ve Şekl.6.c de göstelmşt. Şekl.6 A ve komşu atomlaın ( B, B ve B ) geometle 3

44 Bu yolla elde edlen kuvvet sabt tensöünün, R nn bleşen olmak üzee, z KNT eksen veya z -eksen boyunca exp k z le çapılmasıyla k vektöü çn dnamk mats elde edl. Fonon dağınım bağıntılaı da bu dnamk matsn çözülmesnden elde edl. Şekl.7.a da T tüp eksen boyunca bm vektöün büyüklüğünü olmak üzee (,) luk koltuk KNT çn fonon dağınımı velmşt. (,) KNT çn, KNT ün çepe başına N = 4 kabon atomu çn tteşm sebestlğ bulunu, fakat kp deeneelklenden dolayı yalnızca 66 faklı fonon dalı göülmekted. Bu 66 dalda kp deenee değl ken 54 kp çft kat deeneed. Faklı fonon dallaının sayısı bm hücede atomla çn nokta gup teosyle elde edlebl. Şekl.7 (a) (,) KNT çn fonon dağınımı (b) fonon duumla yoğunluğu Şekl.7.b de cm ve kabon atomu başına (,) nanotüp çn fonon duumlaın yoğunluğunu velmşt. (,) nanotüp çn fonon duumla yoğunluğu gafen çn olana yakındı, çünkü; penspte fonon dspesyon bağıntısı gafenn bölge katlaması le vel. (,) nanotüp ve gafen aasındak fak yoğunluğuyla lşkld. Gafende düzlem-dışı TA kpte ω = cm de fonon duum k bağlılığından dolayı, ω = da sonlu b duum yoğunluğu elde edl, bu band uçlaında k boyutlu van- Hove tekllğ olaak bln. Ancak (,) koltuk nanotüpün bütün akustk kple b 3

45 k bağlılığına sahp olduğundan, Şekl.7.b de göündüğü gb ω = da fonon duum yoğunluğu sıfıdı. Şekl.8 de göülen kabon atomunun akustk kple ncelendğnde endüşük kple enne akustk kpled bunla çft-kat deeneed ve x - ve y -eksenlende tteşmlee sahptle. En yüksek ene kp nanotüp eksen yönünde boyuna akustk (LA) kpd. Gafende düzlem-dışı enne akustk(ta) kpn dağılımının k bağımlılığından dolayı fonon duumlaının yoğunluğu sabt ken, buna kaşı gelen nanotüpledek fonon duumlaının yoğunluğu eneyle oantılıdı çünkü buada k bağımlılığı gözlen. B (,) koltuk kabon nanotüp çn TA fonon çn 9.43km s ve LA fonon çn.35km s ses hızlaı vadı. Kabon nanotüp çn b dödüncü akustk kp bulunu ve bu kp k = da nanotüp eksen etafında dönmeyle lşkld. Sonsuz b boyutlu mateyal olaak b tek kabon nanotüp düşündüğümüzde nanotüp eksen etafında dönme mümkündü (Rao et al. 997 ve Chale 994). Nanotüpün bükülmesyle meydana geldğnden bu kp bükülme kp(tw) olaak adlandıılı. TW kpnn ses hızı 5. km s d, bu gafen çn düzlemde TA kpnn hesaplanmış hızıyla aynıdı. Şekl.8 (,) luk KNT ün Γ noktası cvaında fonon dağınımı 3

46 3. MATERYAL Bu bölümde tek duvalı koltuk ve zkzak KNT le çn ögü tteşmle Hamltonyen bulunacaktı (Mahan 3, Jeon et al. 5). Blnen bölge katlama metodlaından faklı olaak slndk tüp üzende atomlaın koodnatlaı kullanılaak hesaplamala yapılacaktı çünkü bölge katlama yöntem elekton çn uygun olduğu halde fononla çn uygun değld. Bölge katlama teknğ le bçok çalışma yapılmıştı (Jsh et al. 993, Desselhaus et al., Woods et al. ) ancak bu çalışmalada fononla çn gup teonn öngödüğü fonon kplenn b kısmı elde edlememşt (Mahan, Suzuua et al. ) ve yukaıda anlatıldığı gb b çok düzeltme geektmekted. Bölge katlama yöntem elektonla çn tam olaak çalışıken fonon duumlaı çn geçel olmamasının neden, elekton duumlaı skale dalga denklemnn çözümü ken fonon duumlaı vektöel dalga denklemnn çözümü olmasıdı. 3. Koltuk Nanotüple 3.. Koltuk nanotüplede ögü koodnatlaı KNT üzendek b kabon atomunun en yakın komşuluklaının sayısı üçtü ve bağ yönelmle faklı olduğundan mekez kabon atomu A tpnde se en yakın koşu atomla B tp kabon atomlaı olaak adlandıılı. En yakın komşuluk aası uzaklık a o ( a = a =.4 A ) ve tüpün yaıçapı R olaak tanımlanı. Şekl 3. de atomlaın C C yelenn daha y belleneblmes çn gafen üzende ndslemenn nasıl yapıldığı a = 3a 3 /,/ ve göstelmşt. B lu gafen üzende ögü koodnatlaı, a = 3a 3 /, / petek ögünün baz vektöle olmak üzee R = a + a şeklnde vel. Buada, tamsayıladı. Bu düzlem, b ( n, n ) tpnde koltuk KNT e yuvalandığında se ögü koodnatlaı Rlm = la + m( a + a) olacaktı. l tamsayısı, z - eksen yan KNT eksen boyunca değele alı ve atomk tabakalaın sayısı kadadı, l =,,..., N. KNT çeves boyunca kabon atomlaının yele m tamsayısı le 33

47 göstel ve m =,,..., n değelen alı. B ( n, n ) koltuk KNT ün çeves boyunca n tane A ve n tane B atomu vadı. Şekl 3. Koltuk KNT kabon atomlaının ögü koodnatlaı Şekl 3. de mekez atom A olmak üzee en yakın üç komşuluk ( Bp, p =,, 3) ve knc yakın altı komşuluk ( Aq, q =,..., 6) göstelmşt. θ açısı, bnc yakın komşuluktak A ve B atomlaı aasında nanotüp çeves boyunca oluşan yaydı. a a cos( θ) = θ (3.) R R İknc fade büyük çaplı tüple çn geçeld. Dğe b θ açısı, z -eksennde yeleşmş bnc yakın komşu B atomlaıyla A atomu aasındak yayın nanotüp çevesne zdüşümüdü, Şekl 3. de bu k açı göstelmşt. He k açı yetence küçük se θ / θ olaak alınabl ve aalaındak geometk lşk 34

48 a a θ θ cos( θ ) =, = 4sn = sn 8R R (3.) le vel. Şekl 3. Bnc yakın komşulukla aasındak açıla Şekl 3. dek gafen tabakası z -eksen etafında b slnde yuvalandığında Şekl 3.3 de göülen ( n, n ) lk komşulukla le θ ve θ açılaı da göstelmşt. koltuk nanotüp elde edl. Buada bnc ve knc yakın Şekl 3.3 (,) luk koltuk KNT 35

49 Tüp üzende b A tp kabon atomunu mekez atom alaak θml = ( m + l)( θ + θ) ve c = 3 a / olmak üzee, mekezde bulunan atomun ( x, y, z ) koodnatı RA, ml = R cos ( θml ), Rsn ( θml ), cl (3.3) le vel (Mahan 3). Bnc yakın komşuluktak üç B tp kabon atomunun koodnatlaı se benze şeklde, RB, ml = R cos ( θml + θ), Rsn ( θml + θ ), cl R = B, m, l+ R cos ( θ ml θ ), R sn ( θ ml θ ), c ( l + ) R = B, m, l R cos ( θ ml θ ), R sn ( θ ml θ ), c( l ) (3.4) olaak yazılabl. θ% = θ + θ olaak tanımlandığında knc yakın komşuluktak altı adet A tp kabon atomu çn koodnatla da RA, m, l = R cos ( θml θ ), Rsn ( θml θ ), c ( l ) m m % m % m RA, m±, lm = R cos ( θml ), Rsn ( θml ), c( l m ) (3.5) RA, m±, l = R cos ( θml ± θ% ), Rsn ( θml ± θ% ), c( l ) m m olaak yazılabl. Kabon-kabon aası bağladak bm vektöle de bulmak uygun olu. A atomu le bnc yakın komşuluktak B atomlaı aasındak bm vektöle ˆ δ / = RB, ml R A, ml a tanımı le θ θ δ θ θ ˆ sn,cos, = ml + ml + θ θ δ θ θ 4 4 ˆ = sn ml, cos ml, 3 (3.6) 36

50 θ θ δ θ θ 4 4 ˆ 3 = sn ml, cos ml, 3 şeklnde elde edl. İknc yakın komşulukta bulunan altı adet A atomu le mekezdek A atomu aasındak bm vektöle benze şeklde ˆ δ / 3 = RA, ml R A, ml a le bulunu. 3a knc yakın komşuluk uzaklığıdı ve bu bm vektöle de Ek de velmşt. 3.. Koltuk nanotüple çn ögü tteşmle Ögü tteşmle Hamltonyen, lk tem ögü tteşmlenn knetk enes, V bnc yakın komşuluktak kabon atomlaıyla etkleşme potansyel, V knc yakın komşuluktak kabon atomlaıyle etkleşme potansyel ve V 3 adyal bağ bükümü kuvvetnden kaynaklanan potansyel olmak üzee aşağıdak gb yazılı. P H = + V ( Q, Q ) + V ( Q, Q ) + V ( Q, Q, Q ) lat M k 3 k (3.7) Ögü tteşmlen elde etmek çn öncelkle KNT üzende kabon atomlaının adyal, açısal ve z - yönünde yedeğştmele bulunmalıdı. Bunla A tp kabon atomu çn ( QA, QA, QAz ) ρ θ le göstel. ml konum ndslenn kısaltmasını göstemek üzee, mekezdek A tp kabon atomu çn ögü tteşm Q Q q qcl Aβ, = Aβ + αθ nn q exp (3.8) le vel, buada β ( ρ, θ, z) q ( q, α ) slndk koodnatlada üç bleşen göste ken le tanımlanı. q dalga vektöü KNT eksen doğultusuncadı ve sonlu KNT çn kuaz süekld ve α kuantum sayısı KNT çeves boyunca 37

51 ( n ) α =, ±, ±,..., ±, n değelen alı. En yakın üç komşuluk çn ögü tteşmlenn yedeğştmele b faz çapanı kada fak edecekt. Bnc yakın komşuluk yedeğştmele Q Q ( q) exp + ( qcl ) ( ) Bβ, δ = Bβ + αθ + φ nn q (3.9) şeklnde yazılabl. =,,3 olmak üzee φ bnc yakın komşuluk çn, A ve en yakın komşuluktak B atomlaı aasındak faz fakıdı ve knc yakın komşuluk çn ögü tteşmle QA β, + δ ögü tteşmle bulunuken kullanılması geeken faz faklaı φ, altı taned ve Ek de velmşt. φ + αθ = = αθ + qc = αθ qc = 3 (3.) Ögü tteşmle Hamltonyen Denklem 3.4 te, V le fade edlen bnc yakın komşuluk etkleşme potansyel K V ˆ. Q Q = δ B, +δ A,, (3.) le vel. K, en yakın komşuluklada bulunan kabon atomlaı aasındak mekezcl kuvvet kaakteze eden yay sabtd. V potansyel hesaplanıken koodnatlaa z -eksen etafında saat yönünün tesne θ açısı kada dönmey sağlayacak b dönüşüm mats uygulandığında katezyen koodnatladan slndk koodnatlaa geçlmş olu: ( qcl + α θml ) QA, ml = e { QAρ cos ml,sn ml, ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) Q [ ] } + QA θ sn ml,cos ml, + Az,, (3.) 38

52 Atık ögü tteşmlenn bleşenle eˆ ( ˆ, ˆ, ˆ ρ θ z) = bm vektöünün bleşenle yönünded. Bnc yakın komşuluktak B atomlaının ögü tteşmle de aynı yolla elde edl: { qcl Q, = e Q cos +,sn +, ( + α θml ) ρ ( θ θκ ) ( θ θ ) κ + Q Bθ sn ( θml + θκ ),cos( θml + θκ ), + QB z [,,] } B ml B ml ml (3.3) En yakın komşuluk çn θ κ açılaı, θκ = θ ve θ = θ = θ değelen alı. Dönme κ κ3 opeatöü knc yakın komşuluktak ögü tteşmlene etk edese slndk koodnatlada ögü tteşmlenn { qcl QA, ml = e QA cos ml +,sn ml +, ( + α θml ) ρ ( θ θε ) ( θ θ ) ε + Q Aθ sn ( θml + θε ),cos( θml + θε ), + QAz [,,] } (3.4) şeklnde olacağı açıktı. =,..., 6 çn sıasıyla θ ε açılaının alacağı değele; θ %,, θ %, θ %,, θ % dı. Bu ye değştmele ve bm vektöle kullanılaak χ δˆ χ% (3.5) ( qcl + αθ ) q, = QB QA = e ncelğn tanımlamak uygun olu. Böylelkle mekezdek A tp kabon atomunun bnc yakın komşuluklaıyla etkleşmes (, ) V K Q Q 3 χq, A B ( ml ) = = (3.6) le fade edl. İknc yakın komşulukla çn de benze şeklde etkleşme potansyel ( A ) V K Q 3 χq, ( ml ) = = (3.7) 39

53 olaak yazılabl, knc yakın komşuluk etkleşmelende aynı tp k kabon atomu etkleşmesnden söz edldğ çn altı tane A tp kabon atomumun mekez atomuna göe bağıl ögü tteşmnn aadak bm vektö üzene zdüşümü χ ı oluştuu. q, χ δˆ χ% (3.8) ( qcl + αθ ) q, = QA QA = e şeklnde oluşu. Bnc ve knc yakın komşulukla çn χ% le Ek de velmşt. =,, A, B = ve β ( ρ, θ, z) = olmak üzee * V Q, β fades kullanılaak V potansyel 6 6 lık mats şeklnde yazılabl. 6 V = K Q A Q (3.9), = () Q, (6 ) vel. x lk sütun matsd ve hemtk eşlenğ = ( Q * * * * * * Aρ QA θ QAz QBρ QB θ QBz ) Q le () A sıfıdan faklı mats elemanlaı Ek3 te velmşt. İknc yakın komşuluk etkleşm potansyel benze bçmde V 6 = K Q A Q (3.), = () şeklnde yazılı ve () A mats elemanlaı Ek3 te velmşt. Kabon atomlaı aasındak bağla kabon nanotüpte b eğlk oluştuu bu yüzden ögü tteşmlene bağ bükümü potansyel eklenmeld. ˆn nomal vektöü, en yakın komşuluktak A ve B atomlaı aasındak bm vektö ˆ δ ya ve z -eksenne dkt, nˆ = δˆ zˆ le bulunu ve bu k atom aasındak bağın ota noktasında adyal doğultudadı. Radyal bağ bükülmesnden oluşan potansyel ene V 3 = K3 k (3.) k 4

54 şeklnde yazılı. k =, sıasıyla A ve B y göstemek üzee B( A) en yakın komşu atomlaın ögü tteşmle aasındak fakın nomal vektöe zdüşümü olaak 3 () = nˆ. Q Q (3.) B( A) A( B) B( A) = şeklnde tanımlanı. Nomal vektöle hesaplanı ve daha önce velmş olan ögü tteşmle vektöle yene konulusa aşağıdak fadele = e D Q D Q D Q αθ * * A Bρ Bθ 3 Aρ = D Q + D Q e D Q (3.3) αθ B Aρ Aθ 3 Bρ kolayca bulunu. =,,3 olmak üzee D katsayılaı Ek4 te velmşt. Bnc ve knc yakın komşuluk etkleşmelende yapıldığı gb adyal bağ bükümü potansyel enes mats fomu V K 6 3 ( 3) 3 = Q A Q (3.4), = olaak yazılabl. Sıfıdan faklı ( 3) A mats elemanlaı da Ek4 te velmşt. Elde edlen üç potansyel ene fonksyonu yay sabtlenn K yayına Kk = k K şeklnde bağlanmasıyla 3 ( 3) ( k) V = KQ A Q + KQ A Q + K3Q A Q = K k, Q A Q (3.5), k = olaak yazılabl. Sonuç olaak ögü tteşm klask Hamltonyenn H M Q Q K Q A Q (3.6) 6 3 ( k ) lat = + k q ( q, ) = α = q= ( q, α ), k = 4

55 şeklnde yazmak mümkündü (Kandem and Altanhan 8) 3. Zkzak Nanotüple 3.. Zkzak nanotüplede ögü koodnatlaı Zkzak ve koltuk KNT le, gafen tabakası katlanıken oluşan kal açısının meydana getdğ geometk yapıladan ötüü bbnden faklıdıla. Buada zkzak KNT ün geometk yapısı ncelenecekt. Şekl 3.4 Zkzak KNT çn ögü koodnatlaı Şekl 3.4 te zkzak KNT çn ögü koodnatlaı göülmekted. İndsleme daha önce koltuk KNT lede olduğu gb şu şeklde yapılı; l =,,..., N z-eksen boyunca konumlaı göste, buada N tamsayısı z-eksen boyunca atomk tabakalaın sayısıdı ve m, KNT çeves boyunca kabon atomlaını ndsle, m =,,..., n değelen alı (Mahan 3, Whte et al. 993, Whte et al. 998) ve KNT çevesnce n tane kabon atomu bulunu. Şekl 3.4 te göülen gafen tabakası z -eksen etafında katlandığında 4

56 aşağıda göülen tek duvalı zkzak KNT elde edl. ( n,) lık zkzak KNT üzenden koodnatlaı beltmek çn R = la + m( a + a ) lm vektöü kullanılı. Buada a, a vektöle altıgen ögünün baz vektöle olduğu çn koltuk nanotüpte velen le aynı a = 3a, 3 / ve a = 3a (, ) d. olacaktı, Şekl 3.5 (,) lık zkzak KNT En yakın ve aynı tp k kabon atomu aasındak açı θ z açısıyla vel ve bu açının θ 3 sn z = ar, θz a 3 / R (3.7) olduğu kolaylıkla göülebl, Denklem 3.7 dek knc denklem büyük çapa sahp zkzak KNT çn geçeld. Mekezde bulunan A tp kabon atomu çn ögü koodnatlaı 43

57 RA, ml = R cos( ml ), Rsn( ml ), cl [ θ θ ] (3.8) le tanımlanı. Mekezdek atomun en yakın üç komşuluğu B tp kabon atomudu ve koodnatlaı se benze şeklde θz θz a RB, ml = R cos θml +, R sn θml +, cl + θz θz a RB, m, l = R cos θml, Rsn θml, cl + R = B, m, l R cos ( θml ), Rsn ( θml ), cl a (3.9) le vel. İknc en yakın komşulukla se altı taned ve A tp kabon atomlaından oluşula, koodnatla çn θz θz RA, m, lm = R cos θml m, Rsn θml m, c( l m ) θz θz RA, m±, lm = R cos θml ±, Rsn θml ±, c( l m ) (3.3) RA, m±, l = R cos ( θml ± θz ), R sn ( θml ± θz ), cl fadele geçeld. KNT çevesnce n tane aynı tp kabon atomu olduğundan θ z = π / n olacaktı. Buada θml = θz ( m + l / ) ve c = 3 a / olduğu Şekl 3.4 ten de göülebl. A atomunun en yakın üç komşuluğu olan B atomlaı aasındak bm vektöle ˆ δ / = RB, ml R A, ml a fades kullanılaak bulunu ve A atomu le altı tane knc yakın komşulukta bulunan A atomlaı aasındak bm vektöle se ˆ δ / 3 = RA, ml R A, ml a le elde edl. Bnc yakın komşulukta bulunan B tp kabon atomlaı le mekezdek A tp kabon atomlaı aasındak bm vektöle se ˆ 3 θz θz δ = sn θml,cos θml,

58 ˆ 3 θz θz δ = sn θml, cos θml, [ ] δ ˆ =,, (3.3) olaak yazılablle. İknc yakın komşulukladak A tp kabon atomlaıyla mekez kabon atomu aasındak bm vektöle se Ek5 te velmşt. 3.. Zkzak kabon nanotüple çn ögü tteşmle Ögü tteşm Hamltonyen Denklem 3.7 de veldğ gb bnc ve knc yakın komşuluk kabon atomlaıyla etkleşme potansyeln ve adyal bağ bükümü potansyeln çe. Hamltonyen fomal olaak Denklem 3.7 le aynıdı. Mekezdek A tp kabon atomu ve en yakın ( B tp) ve knc yakın komşuluk ( A tp) atomlaın ögü tteşmle çn koodnatlaın tanımı Denklem 3.8 ve Denklem 3.9 da koltuk KNT çn velen le aynı olacaktı. Tek faklılık faz çapanlaından kaynaklanı, bnc yakın komşuluk çn geçel faz faktöle buada + qα / + αθz /, = φ = + qα / αθz /, = qa, = 3 (3.3) le vel. Buada q dalga vektöü KNT eksen doğultusuncadı ve sonlu KNT çn kuaz süekld, n sayısının çft değele çn α =, ±, ±,..., n / olu, tek değele çn son tem ( n ) / olacaktı ve α KNT çeves boyunca n tane keskl değe alan kuantum sayısıdı. Benze şeklde knc yakın komşuluktak tteşmlenn ye değştmele A tp kabon atomlaı çn ögü Q Q ( q) exp + ( qcl ) Aβ, δ = Aβ + αθ + φ nn q (3.33) 45

59 şeklnde yazılabl. φ knc yakın komşuluktak atomlala faz çapanlaını fade ede ve Şekl 3. den yaalanılaak bunla, φ = φ4 = αθz, φ = φ5 = 3 qa / + αθz /, φ3 = φ6 = 3 qa / αθz / bçmnde elde edl. Ögü koodnatlaını slndk koodnatlada fade etmek çn z -eksen etafında saat yönünün tes yönde θ açısı kada b dönme etks yapacak ünte mats dönüşümü uygulanı. Bu duumda mekez atom çn ögü tteşm Denklem 3. de veldğ gb olu. En yakın komşuluk çn ögü tteşmle Denklem 3.3 tek gbd fakat açılaı koltuk KNT ten faklı olaak =,,3 çn sıasıyla θ /, / ve z θ z θ κ değelen alacaktı. İknc yakın komşuluk ögü tteşmle θ = θ = θ, ε ε4 z θ = θ = θ = θ = θ / olmak üzee Denklem 3.4 ü sağla. ε ε6 ε3 ε5 z Zkzak KNT le çn de potansyelle, koltuk KNT dek tanımlandığı gb kugulanı. Koltuk KNT leden faklı olaak bnc ve knc komşuluk çn ˆ ( qcl + αθ ) χ q, = δ QB QA = e χ% le elde edlen χ% temle Ek5 te velmşt. Bnc yakın komşuluk ve knc yakın komşuluk etkleşme potansyelle ve adyal bağ bükümü potansyel mats fomlaa dönüştüüldüklende Denklem 3.5 elde edl. Kolayca göüleceğ gb buada tek fak ( k) A matslended. Bnc ve knc yakın komşuluk etkleşmele ve adyal bağ bükümü çn bu matsle Ek6 da velmşt. 46

60 4.YÖNTEM Son zamanlaa kada yapılmış çalışmalada klask Hamltonyenden ögü tteşmle elde edlmşt ancak kuantzasyonlaı yapılıp fonon kple elde edlmemşt. Buada lk olaak koltuk KNT le çn gelştlmş (B. S. Kandem and T. Altanhan 8) kuantzasyon yöntem kullanılaak zkzak KNT çn geçel ögü tteşmlen çeen Denlem 3.6 Hamltonyen kütle mekez koodnatlaında yazılacak ve elde edlen Hamltonyende knc kuantumlama yapılaak fononla çn Hamltonyen elde edlecekt. Hamltonyen çn geekl köşegenleştmeleden sona fonon fekanslaı bulunacaktı. Elekton-fonon etkleşme Hamltonyen elekton ve fonon temlen çeen Hamltonyene eklenp bunun çn de geekl köşegenleştmele yapılacaktı. Bu çalışma lk olaak koltuk KNT le çn (B. S. Kandem and T. Altanhan 8) ve zkzak KNT le çn (B. S. Kandem and M. Keskn 8) yapılmıştı. Buada he k tp KNT blkte ele alınacak ve faklılıkla beltlecekt. 4. Kütle Mekez Koodnatlaı Denklem(3.6) le velen ögü tteşmle Hamltonyenn kütle mekez koodnatlaında yazmak çn QAβ = Qβ + qβ, QBβ = Qβ qβ (4.) dönüşümle uygulanı. Buada, Q β kütle mekez koodnatlaı ve q β bağıl koodnatladı. β alt nds,,3 β = çn sıasıyla koodnatlaın ( ρ, θ, z) bleşenlen ve. Bu dönüşüm yapıldıktan sona Hamltonyen Hlat = M Q C CQ + K Q DQ (4.) q q q q (, α ) (, α ) 47

61 mats fomuna ulaşı. C mats, yen tanımlanmış b matst ve bağıl dönüşümleden T sona elde edlecek olan = ( Qρ Qθ Qz qρ qθ qz ) Q satı matsnn hemtsel eşlenğd, I I C = I - I olmak üzee aalaında Q = CQ bağıntısı geçeld. C, I le tanımlanan (3 3) lük bm matsleden meydana gelen (6 6) lık b matst. 3 k D = C AC = k = kc A C bçmnded ve 3 k = k = k A A toplamı le elde edl. D mats; ( ) =,,3(,,3) çn D = A %, ( ) =,,3(4,5, 6) ve ( ) = 4,5,6(,,3) çn D = A % /, ( ) = 4,5,6(4,5,6) çn D = A % / 4 değelen alı. Toplam kütle M = M ve ndgenmş kütle µ = M / olmak üzee, kanonk T momentumu = ( Pρ Pθ Pz pρ pθ pz ) Hamltonyen P kullanaak ögü tteşmle çn toplam klask ( ρ θ ) ( ρ θ ) H P P P p p p K T lat = + + z z + q ( q, α ) M µ q ( q, α ) Q DQ (4.3) şeklnde yazmak mümkündü. 4. Ögü Tteşmlenn Kuantumlanması Yukaıda elde edlen klask ögü tteşmle Hamltonyende konum ve momentum fadele yaatıcı ve yok edc opeatöle cnsnden aşağıdak dönüşümle kullanılaak / k h Q ( q) = a + a M kω β ( q) ( q q ) β β β 48

62 / k M kωβ q h P ( q) = a a ( q q ) β β β (4.4) şeklnde yazılı. Buada, β, k = çn β = (,,3) ve k = çn β = (4,5, 6) değelen sıasıyla kütle mekez ve bağıl koodnatlaı temsl edecek bçmde alı. aqβ ( aqβ ) fonon yok edc(yaatıcı) opeatöled. Bunla kullanılaak knc kuantumlamada Hamltonyen H q a a a a q a a ( α ) hω 6 + ph = [ hω q q + q q + q + q q q, = + hω + + ( q)( aqaq aqaq h. c)] (4.5) bçmnde elde edl. Buada tanımlanan fekansla ω m K A% ( q) = mω ( q) + 4 M ω ( q) * K A% + A% ω ( q) = 8 M ω ( q) ω ( q) / (4.6) şeklnded. %A mats elemanlaı koltuk ve zkzak KNT le çn Ek7 de velmşt. Hamltonyenn bnc tem dagonal olduğu halde knc ve üçüncü temle blnee opeatöle ve kuadatk opeatöle çemekted, son tem kütle mekez ve bağıl kplen kaışımını çemekted. Köşegenleştme yapılaak çzgsel olmayan temlen katkısı hesaplanmalıdı. 4.3 Bnc Köşegenleştme Denklem 4.5 te velen Hamltonyenn knc temn köşegenleştmek çn ( S ) / q = λk aqk aqk k (4.7) 49

63 olmak üzee U = exp[ S( q)] ünte dönüşümü kullanılı (Wagne 986), bu dönüşüm altında yok edc opeatöle a% = a cosh λ a snh λ (4.8) q q q şeklnde dönüşüle. Ünte dönüşümden sona Hamltonyen H 6 % = ( H % + H % ) ph q = şekln alı ve toplamdak temle H% h q h q a a a a = [ ω cosh λ ω snh λ]( q q + q q) + [ hω ( q)cosh λ hω ( q)snh λ ]( aq aq ) (4.9) H% h q a a a a h c (4.) = ω exp[ ( λ + λ )]( q q + q q +..) ( ) + le vel. tanh λ = ω / ω alındığında Denklem 4.9 un knc tem sıfı olacaktı ve böylelkle bu Hamltonyen köşegenleştlmş olacaktı. Bu aslında, lk Hamltonyen fonon vakum duumu altında hesaplanıp otaya çıkan ene H % λ şeklnde / + mnumum yapılısa, aynıyla tanh λ = ω / ω koşuluna kaşı gel. Böylece snh λ = ω / ω + ( q) ω ( q) / k Hamltonyende de yene konulusa, cosh λ = ω + / ω + ( q) ω ( q) / çözümle h K = ω + q q + q q = q q + q q ω H% h q q a a a a a a a a (4.) M H% + ω ( q) ω ( q + ) ω ( q) ω ( q) hω q * h K A% + A% = ( a..) / qaq + aqaq + h c ( ) 4 M ω ( q) ω ( q) a a a a h c (4.) = (..) q q + q q ( ) ω q ω q ω q ω q 5

64 elde edl. Bnc köşegenleştmeden sona toplam fonon Hamltonyen 6 () () H% ph = hω ( q) ( aqaq + aqaq ) + h ω ( q)( aqaq + aqaq + h. c) (4.3) q ( q, α ) = ( ) bçmn alı. Buada, ω ( q ) = ( K / M ) ( A % + A % ) /[4( A % A % ) ] ve () / * / 4 ω ( q ) = ( K A % / M ) olaak elde edl. Denklem 4.3 Hamltonyenn boyutsuz () / hale getmek çn ω 6cm = Raman fekansı olmak üzee kullanılı. Yen Hamltonyen ve fekansla H = H % / h ω, ω ( q) = ω ( q) / ω () () bağıntılaından bulunu ve boyutsuz fekansla () () K / M = ω / 3 ω ( q) = ω ( q) / ω ve A% () ω ( q) = 6 /, () ω ( q) = 6 ReA% ( A% A% ) / 4 (4.4) olmak üzee boyutsuz Hamltonyenn nc bleşen çn H q a a a a q a a a a () () = [ ω ( q q + q q ) + ω ( q q + q q )] q ( q, α ) ( ) () () [ ω ( q)( aqaq aqaq h. c) ω k ( q)( aqaqk aqaqk h. c)] q ( q, α ) k (4.5) fadesn Denklem 4.3 ten yazmak mümkündü. 4.4 İknc Köşegenleştme Bnc köşegenleştme sonuçlaında ω () ( q) fekansının α = çn Blloun bölgesnn Γ noktası cvaında klask Hamltonyenden elde edlen sonuçla (Mahan 3) le uyumlu olduğunu ancak Γ noktasından uzaklaşıldığında q çn fonon dağınımlaının klask sonuçla le çalışmadığı göülmüştü ve bu duumda, 5

65 Denklem4.5 le velen fonon Hamltonyenne çzgsel olmayan kısımlaın katkısı eklenmeld. Bunun çn S q a a a a ( ) = λ q q q q olmak üzee U = exp[ S( q)] ünte dönüşümü kullanılı. Dönüşüm altında yaatıcı ve yok edc opeatöle a% = a cos Λ λ (sn Λ) a q q q a% = a λ sn Λ + a [ δ ( cos Λ) λ λ ] (4.6) q q qk k k k şeklnde dönüşüle. Λ = ya da λ = dönüşüm paametele se λ nomalzasyon koşuludu. Son olaak, U ünte dönüşümü le teka köşegenleştlen Hamltonyen H = % a a + a a + % a + a + % a a + a a + [ ω ( q q q q ) ω ( q q ) ω ( q q q q ) q ( q, α ) + ω% a a + a a + ω% a a + a a + ( q q q q ) ( q q q q ) ( ) + ω% a a + a a + ω% a a + a a + k ( q qk q qk ) k ( q qk q qk )] ( ) k ( ) k (4.7) şeklnde yazılı. Hamltonyenn köşegen kısmı çn geçel ω% fekanslaı ω % = ω cos Λ + [ ω λ sn Λ + ω λ sn Λ cos Λ + ω λ λ sn Λ] (4.8) () () () () k k k şeklnde elde edl ve dğe katsayıla Ek8 de velmşt. Denklem 4.7 de ω% katsayılaını sıfı alısak 5

66 tan Λ = Γ () ω Π L λ = ω () + () [ ω (cot Λ) / ] ( Π + L) [ Γ(cot Λ) / ] (4.9) elde edez. Buada Γ = = ω () ( q) λ / Λ k k k k (4.8) de yene koyduğumuzda yen fekans ω () ( q) λ / Λ, k k Π = k ω ( q) λ / Λ, () k k ve L = λ / Λ olaak tanımlanmıştı. Bunlaı denklem ω% = ( ω + Π + L ) + ( ω Π L ) + Γ () () (4.) olaak bulunu. 4.5 Resolvent Fomalzm Denklem(3.3) le velen Hamltonyenn blnee kısmında yaatıcı-yokedc opeatöle yene duum vektöle kullanıldığında Schödnge denklem H ω% ( q) ϕ = V ϕ (4.) olu ve buada H ve V H = ω% q Λ + + % q Λ + q ( ) ω ( ) V = ω% ( q)( Λ + Λ ) + ω% k ( q)( Λ k + Λk ) (4.) q ( ) k şeklnde elde edl. ϕ ϕ bağıntısını sağlayan Λ = poeksyon opeatöüdü. H ω ( q) / ϕ = % / ϕ le fonon duumlaıdı. Denklem(4.) H ω% ( q) esolvent ya da Geen fonksyonlaıyla çapasak (Wagne 986), 53

67 ( ) ( ) ( Λ ) ( ) ( ) + + Λ + H ω% q / ω ω% q ω ω% q (4.3) özdeşlğ kullanılaak fonon duumlaı % % ϕ = Λ ϕ Λ ϕ ( ) ω ( q) ( ) ω% k ( q) / ( ) Λ k ω ( q) ω% ( q) ( ω ) ( q) / ω q ω% q ω q ω% q k ϕ (4.4) şeklnde bulunu. Denklem 4.4, ϕ ve ϕ le çapıldığında cos Λ = ω ( ) ( q) ω% ( q) Γ sn Λ (4.5) ( ) λ sn Λ = ω ( q) cos Λ + sn Λ ω % ( ) ( q) ω% ( q) bağıntılaı elde edl. Γ, Λ ve fadele Denklem 4. çn daha önce tanımlanmıştı. Bastlk çn. bleşenn köşegenleştlmesnden gelecek temle başat ve kalan dğe köşegen dışı temle sıfı alını ve bu Fano poblem olaak bln (Fano 96, Fano et al. 968). Buada. bleşenn sadece l = kpleyle etkleştğ ve l nn dğe kplele etkleşmedğ duum ele alını.. bleşen le lglenp = alındığında ω% ( ) fekansının hesaplanacağı q 6 () () ω% q ω% ( q) ω% ( q) = () ω% ( q) ω% ( q) (4.6) 54

68 denklem elde edl. Koltuk KNT çn ω, ω3, ω4, ω5, ω6, ω35, ω36, ω45, ω 46 fekanslaı sıfıdı ve zkzak KNT le çn de aynı duum söz konusudu. 4.6 Elekton-Fonon Etkleşmes Elekton-fonon etkleşmes kabon atomlaı aasında hoplama etkleşmesyle bulunu. δ Q komşu kabon atomlaın göel ye değştmele olmak üzee J ( δ Q) = J δˆ δ Q + J şeklnded. Buada, bnc yakın komşuluk ve adyal bağ bükümü etkleşmele dkkate alınacaktı Bnc yakın komşuluk etkleşmele duumunda A tp kabon atomu le en yakın komşuluğundak üç B tp kabon atomu aasındak etkleşme aşağıdak Hamltonyen le fade edl. H = J ˆ δ Q Q C C + C C δ ( δ δ ) I el ph B, + A, A, B, + B, + A, δ (4.7) C ( C ), elekton yaatıcı(yok edc) opeatöled, C C A B, B( A), δ tem B ( A ) + duumundak b elektonun yok edlp A( B ) duumunda oluşmasına kaşılık gel. Duum temslnden dalga vektöü sstemne geçmek çn ( kcl+ γ θ ) β ( k, γ ) CB, + δ = e C B, k e nn k ( k, γ ) (4.8) dönüşümü kullanılı. N bm hücedek altıgen ögülen sayısıdı ve koltuk ve zkzak KNT le çn β k, γ faz faktöle Ek9 da velmşt. k nanotüp eksen boyunca elekton çn dalga vektöüdü ve γ, nanotüp çeves boyunca elekton çn kuantum sayısı olup fonon çn tanımlana α kuantum sayısının değelen alı. Daha önce 55

69 tanımlanan ögü tteşmle ve elekton yaatıcı-yok edc opeatöle Denklem 4.7 de yene konulusa Hamltonyen J H C C e C C e (, ) ( +, + ) % I β k γ β k q γ α el ph = A, k+ q, γ + α B, kγ + B, k+ q, γ + α A, kγ χq Nn q ( q, α ) k ( k, γ ) (4.9) şekln alı. Buada da, ˆ χ% q = δ QB ( q) QA( q) tanımlıdı. Faz faklaı β ( k + q, γ + α ) = β ( k, γ ) + φ ( q, α ) özellğn sağlala, bu Denklem 4.9 da kullanılısa etkleşme Hamltonyen J H = χ [ C C (cosζ + sn ζ ) I el ph q A, k+ q, γ + α B, kγ Nn q ( q, α ) k ( k, γ ) + C C (cosζ sn ζ )] B, k+ q, γ + α A, kγ (4.3) olaak elde edl. Buada, ζ β ( k γ ) φ ( k γ ) =, +, / şeklnde tanımlıdı. Ögü tteşmle kütle mekez ve bağıl koodnatla kullanılaak yazıldığında Hamltonyen J H C C C C 6 I el ph = [( A, k+ q, γ + α B, kγ + B, k+ q, γ + α A, kγ ) χq cosζ Nn q ( q, α ) k ( k, γ ) = 6 A, k+ q, γ + α B, kγ B, k+ q, γ + α A, kγ χq ζ = + ( C C C C ) sn ] (4.3) bçmn alı. χ = exp[ φ ( q, α )] χ% fomunda olup, q q χ% bleşenle, =,,3 çn ( ) q Qρ, Qθ, Qz ve = 4,5, 6 çn qρ, qθ, qz olu. Q koodnatlaı daha önce Denklem(4.4) te veldğ gb kuantze edlse Denklem 4.3 H q k C C C C a a (, ),,, l γ α γ,, γ α, γ 6 I I ( l) el ph = M A k+ q + B k + B k+ q + A k q + q q ( q, α ) k ( k, γ ) = l= (4.3) 56

70 I ( l) bçmn alı. (, ) M q k, elekton-fonon etkleşme şddet olup, l = çn üst nds +, l = çn üst nds olu ve aşağıdak gb tanımlıdı, velmşt. ± A katsayılaı se Ek9 da h = J ± I ± A M ( q, k ) nnm (4.33) ω ( q) 4.6. Radyal bağ bükümü Bnc yakın komşuluk çn yazıldığı gb hoplama etkleşmesyle Hamltonyen yazılı, fonon kplende olduğu gb mekezdek A tp kabon atomu ve en yakın komşuluktak üç B tp kabon atomu etkleşmes ve mekezdek B tp kabon atomu ve en yakın komşuluktak üç A tp kabon atomu etkleşmes göz önüne alını. Bağ bükümü çn elekton-fonon etkleşme Hamltonyen H = J [ nˆ Q Q C C + C C ( δ )( δ δ ) BB I el ph B+ A A, B, + B, + A, δ II + nˆ Q Q C C + C C ] ( A+ δ B )( B, A, + δ A, + δ B, ) (4.34) şeklnde yazılı. Bağıl ögü tteşmlenn nomal vektöle üzene z düşümlen ˆ I II φ ( q, α ) ( ) ˆ B A + δ A B ( B( A) + δ A( B) ) I ( II ) ( qcl+ αθ ) n Q Q = n Q e Q e nn q ( q, α ) = χ% I ( II ) exp qcl + nn q ( q, α ) ( αθ ) (4.35) şeklnde yazmak mümkündü. Denklem 4.34 Hamltonyenn BB Hel ph = Η A + Η B şeklnde k temden oluşacak bçmde yazılabl, bunun çn yen ε, ε, ε ve χ% le I ( II ) tanımlanı. Böylelkle, BB Hel ph 57

71 J Η = χ% [ C C e + C C e ] ε ( k, γ ) ε ( k + q, γ + α ) A I Ak + q, γ + α Bkγ Bk+ q, γ + α Akγ Nn q ( q, α ) k ( k, γ ) (4.36) J Η = χ% [ C C e e + C C e e ] ε (, ) (, ) (, ) (, ), k + q γ + α ε k γ ε, k γ ε k + q γ + α B II Bk+ q γ + α Akγ Ak+ q γ + α Bkγ Nn q ( q, α ) k ( k, γ ) bçmn alı. ε (, γ ), mekezdek A tp kabon atom le en yakın komşuluktak B k tp kabon atomlaı aasındak faz çapanıdı. ε (, γ ) faz çapanı mekezdek A atomu le bnc yakın komşuluktak B kabon atomu aasındadı. ε ( k, γ ), mekezdek A tp atom le B tp kabon atomunun bnc yakın komşuluklaı aasındak faz faklaıdı. k ε k + q, γ + α = ε k, γ + φ ( q, α ) bağıntısı geçeld. Denklem(4.36) k Hamltonyenn χ% ve ( ) I χ% kısımlaı üzende şlem yapılısa ( ) II J Η = + 6 A Ak + q, γ + α Bkγ Bk+ q, γ + α Akγ I Nn q ( q, α ) k ( k, γ ) = ' { [ C C C C ] χ cos( ζ ) 6 ' Ak+ q, γ + α Bkγ Bk+ q, γ + α Akγ χi = + [ C C C C ] sn J Η = + ( ζ ) } 6 B Ak + q, γ + α Bkγ Bk + q, γ + α Akγ II Nn q ( q, α ) k ( k, γ ) = ' { [ C C C C ] χ cos( ξ ) 6 ' Ak+ q, γ + α Bkγ Bk+ q, γ + α Akγ χii = + [ C C C C ] sn ( ξ ) } (4.37) Hamltonyenle elde edl. Koltuk KNT çn ξ = γθ + ( αθ / ) ε ( k, γ ) ε ( q, α ) / ξ = k + q / ( a / ) + γ + α / ( θz / ) ε ( k, γ ) ε ( q, α ) / ve zkzak KNT çn fadele geçeld. =, çn Qρ, Q, = 4,5 çn q, q θ ρ θ ve = 3,6 çn Q, q bleşenlenden bahsedl. Toplam bağ bükümü çn elekton-fonon etkleşme Hamltonyen z z 58

72 J H = C C + C C + 6 {[ ',, ] γ α γ γ α γ χ cos ζ χ cos( ξ ) BB el ph Ak+ q + Bk Bk+ q + Ak I II Nn q ( q, α ) k ( k, γ ) = 6 ' Ak+ q, γ + α Bkγ Bk+ q, γ + α Akγ χi ζ χii ξ = } + [ C C C C ] sn + sn şeklnde yazılı. Buada, χ = χ exp[ φ (, α ) / ], () () II I q χ = χ ve () (3) II I χ = χ (3) () II I bağıntılaı geçeld. Ögü tteşmle Fonon yaatıcı-yok edc opeatöle cnsnden fade edldğnde Hamltonyen H q k C C (, ) BB ' BB( l) el ph = M A, k+ q, α + γ B, kγ q ( q, α ) k ( k, γ ) l= o l CB, k q, C + α + γ A, kγ ( aq aq ) + + (4.38) fomuna dönüşecekt. Koltuk ve zkzak KNT le çn BB( l) M q, k etkleşme genlğ tanımlanmak üzee ± D elemanlaı Ek9 da h = J ± BB( l) D M ( q, k ) nnm (4.39) ω ( q) olaak bulunu Elekton-fonon etkleşm Hamltonyennde fonon kısımlaının köşegenleştlmes Toplam Hamltonyen le uyumlu olması çn daha önce fonon Hamltonyenn köşegenleştmek çn kullanılan ünte dönüşümle, elekton-fonon etkleşmesndek fonon yaatıcı-yokedc opeatölene de uygulanmalıdı. İlk ünte dönüşüm U uygulandıktan sona etkleşmn fonon kısımlaı 59

73 / ( cosh λ snh λ ) a + a a% + a% = a + a (4.4) q q q q q q şeklnde dönüşü. Buada / () / cosh λ snh λ = [ ω ( q) / ω ( q)] BB( l) etkleşmde yene konduğunda (, ) değen alı ve bu M q k ın çedğ ω ( q ) fekansı otadan kalkmış olu. Raman fekansı h ω le Hamltonyen boyutsuz hale getldğnde etkleşme Hamltonyenn. bleşen çn H q k C C C C a a tot T ( l ) l el ph, = M (, ) A, k + q, γ + α B, kγ + ( ) B, k + q, γ + α A, kγ q + q q ( q, α ) k ( k, γ ) l= + M + + ( ) q ( q, α ) k ( k, γ ) l= T ( l) l ( q, k ) CA, k q, CB, k CB, k q, C + γ + α γ + γ + α A, kγ aq aq (4.4) fades bulunu. Bu duumda etkleşme genlğ T ( l) J h n ( q, k ) = n + n ± ± M ( A D ) (4.4) hω nnm ω ( q) n bçmn alı. Etkleşm Hamltonyennn knc temnde sadece 3,6 temnden sıfıdan faklı temle elde edl. İknc ünte dönüşüm bu Hamltonyenn fonon yaatıcı-yokedc paçalaına uygulanısa λ sn a + a a% + a% = cos Λ a + a Λ a + a (4.43) q q q q q q q q a + a a% + a% = a + a + λ sn Λ a + a λ cos Λ λ ( a + a ) q q q q q q q q k qk qk k ( ) bulunu. Etkleşmn. kp çn etkleşme genlkle Τ( l ) M ( q, k ) = cos Λ M q, k + λ sn ΛM T ( l) T ( l) ( ) 6

74 M M M M (4.44) λ λ λ Τ( l ) T ( l) T ( l) T ( l) ( q, k ) = q, k sn Λ q, k k cos Λ k k (, ) şeklnden. F, 6 () ω% ( q) F = () ω % q ω q (4.45) olmak üzee sn Λ = ± F /( + F) ve cos Λ = ± / + F bçmnded. Etkleşme genlklende geçen λ sn Λ fades se () ω ( q) λ sn Λ = cos sn () Λ + Λ ω% ( q) ω ( q) (4.46) bağıntısından bulunu. Sonuç olaak bnc yakın komşuluk, knc yakın komşuluk ve adyal bağ bükümü etkleşmelen çeen fonon Hamltonyen ve bnc yakın komşuluk ve adyal bağ bükümü etkleşmelen çeen elekton-fonon etkleşme Hamltonyen le oluşan Föhlch tp Hamltonyen (4.47) H = J C C + C C + H B, + δ A, A, B, + δ ( ml ) δ şeklnde elde edlmş olu. Etkleşme Hamltonyennn. bleşen olan H, H = hω% ( q) aqaq + q ( q, α ) + M ( q, k ) C C + C C a + a q ( q, α ) k ( k, γ ) l= q ( q, α ) k ( k, γ ) l= l T ( l) A, k+ q, α + γ B, kγ B, k+ q, α + γ A, kγ q q + M ( q, k ) C C + C C a + a l T ( l) A, k+ q, α + γ B, kγ B, k + q, α + γ A, kγ q q (4.48) 6

75 bçmne sahpt ve son satıı köşegen tem değld. 4.7 Sıkı Bağ Hamltonyennn Köşegenleştlmes Elektonk kısmın Hamltonyen sıkı bağ hesabı le H = J C C Θ ( k ) + Θ ( k ) C C el A, k, γ B, k, γ B, k, γ A, k, γ k ( k, γ ) (4.49) şeklnde yazılı. (Kandem and Altanhan 8). Buada Θ( k ) en yakın komşuluktak üç atomun faz faklaı toplamı olup Θ ( k ) = e = Θ( k ) e 3 β ( k ) ξ =, Θ = + + ( k ) 4cos ( kc) 4cos( kc)cos( γθ ) % (4.5) le vel. Denklem 4.38 dek Hamltonyende femyon opeatöle çeen temle köşegenleştmek çn U3 = exp[ S3( k )] ve S3 ( k ) = λca, kcb, k λ CB, kca, k olmak üzee üçüncü b ünte dönüşüm yapılı. Femyon opeatöle dönüşüm altında λ = λ exp( ζ ) olmak üzee C% λ A, k = CA, k cos λλ + CB, k sn λλ = CA, k cos λ + CB, k exp( + ζ ) sn λ λλ C% λ B, k = CB, k cos λλ CA, k sn λλ = CB, k cos λ CA, k exp( ζ ) sn λ (4.5) λλ şeklnde dönüşüle. Elektonk kısımda bunla yene koyulusa { el = A, k, γ B, k, γ exp( + ) Θγ exp( )cos Θ γ exp( + )sn k ( k, γ ) H% J C C ζ k ζ λ k ζ λ + CB, k, γca, k, γ exp( ζ ) γ ( k)exp( ζ )cos λ γ ( k)exp( ζ )sn λ Θ + Θ (4.5) sn exp exp λ γ k ζ γ k ζ + Θ +Θ + CA, k, γca, k, γ + CB, k, γc B, k, γ 6

76 elde edl. λ = π / 4 veζ = ξ alınısa H % el dak lk k tem sıfı olu ve Hamltonyen E J k ± = ± Θ( ) enesne sahp olaak köşegenleşmş olu. Kullanılan paametele Bogolubov dönüşümleyle lşkld ve elektonk kısmın taban duumu λ ve ζ paametelene göe mnmum yapılısa köşegenleştme çn aynı koşul elde edl. Bu duumda Denklem(4.5) dek Hamltonyen H = E C C + E C C ( ) ( + ) el A, k, γ A, k, γ B, k, γ B, k, γ k ( k, γ ) (4.53) şekln alı. Aynı ünte dönüşüm elekton-fonon etkleşme Hamltonyenne uygulandığında l toplamı otadan kalka ve etkleşme Hamltonyen tot Hel ph = D ( k, q) ( aq + aq ) + D ( k, q) ( aq + aq ) (4.54) q k ( ) bçmn alı. Buada, D l ( k, q) opeatöü D ( k, q) = [ L C C L C C ] ( ) ( + ) l l B, k+ q B, k l A, k + q A, k ( ξ ) + exp + [ L C C + exp( ξ ) L C C ] ( + ) ( ) l A, k + q B, k l B, k+ q A, k (4.55) olaak tanımlanmıştı. Buada, ( ± ) L ve ± Ψ se, L = M Ψ ± M Ψ ve ( ± ) T ( + ) T ( ) + Ψ ± = { exp ξ ( k ) ± exp + ξ ( k + q) } / şeklnde tanımlıdı. Elekton duumlaında γ = alınısa exp ξ ( k ) = ve Ψ =, Ψ + = olu k, son olaak bu duum çn toplam Hamltonyen H = E C C + E C C k ( + ) ( ) A, k A, k B, k B, k q k ( ) hω% ( q) aqaq D ( k, q) ( aq aq ) D ( k, q) ( aq aq ) şeklnde yazmak mümkündü. (4.56) 63

77 5. SONUÇLAR Öncelkle, bu tezde zkzak KNT le çn bnc yakın komşuluk etkleşme potansyel, knc yakın komşuluk etkleşme potansyel ve adyal bağ bükümü potansyeln çeen klask ögü tteşmle Hamltonyen elde edlmş ve bu ögü tteşmle Hamltonyen kuantumlanaak fonon Hamltonyen elde edlmşt. Hamltonyen 6 H = ω% ( q) a a + a a olacak geekl köşegenleştmele yapılaak ph q ( q, α ) = ( ) şeklde yazılmıştı ve ω% fekanslaı analtk olaak hesaplanmıştı. B KNT ün bm hücesnde N = n kabon atomu bulunu ve fonon dallaının sayısı 6N olmalıdı. Fonon kplenn belleneblmes çn KNT len smetlenn blnmes geek ( (Damnanov c et al 98, Damnanov c et al 999, Mlosevc et al 997). B KNT G [ n] çzg gubuna (çubuk gubu) att ve bunun D nh guba zomof G [ n] nokta gubu vadı. Γ noktasındak ndgenemez temslle se Γ 6N = Γα Γ υ n n Γ = A A B B + E E α g g u u g u =,4,6 =,3,5 Γ = A E υ u u le vel (Alon ). 6N fonon kp dönüşümle bu D nh gubun ndgenemez temsllene uyala ve bu kpleden 8 Raman-aktf kp Γ R = A g E g 4E g ve 3 nfaed-aktf kp Γ IR = 3E u le temsl edl (Rao et al 997). (,) luk koltuk tp KNT ün fonon spektumunda 66 keskl dal göülü, bunladan kp non-deenee ve 54 kp çft katlı deenee olmak üzee fonon dalı mevcuttu (Kandem and Altanhan 8). Şekl5. de (,) luk KNT çn α = duumunda fonon dağınımlaı velmşt. Buada k akustk ve 4 optk dal olmak üzee toplam 6 tane deenee olmayan fonon kp göülmekted. Şekln sol panelnde bnc köşegenleştmeden elde edlen dağınımla velmşt, buada fonon dallaındak kesşmele yüzünden, Landau kesşmeme lkesne göe knc b köşegenleştmeye 64

78 htyaç olduğu göülmekted. İknc köşegenleştme yapıldıktan sona sağ paneldek Fano poblemne uyan sonuçla elde edlmşt, buada hala lnee olmayan temle vadı ve bkaç fonon dalı hala kesşmekted, bunun çn de ek b dönüşüm yapılabl. Sol paneldek sonuçla klask sonuçlala (Mahan ) uyumludu. Şekl 5. α = çn bnc köşegenleştme (sol panel), knc köşegenleştme (sağ panel) sonuçlaı Şekl 5. de (,) luk KNT de tüp çeves boyunca α =, ±,..., ± değele çn fonon dağınımlaı çzlmşt. 65

79 Şekl5.(a) α =, ±,..., ± 5 çn fonon dağınımlaı (b) α = ± 6,..., ± 9, çn fonon dağınımlaı ve bunlaın aynı düzlemde fades 66

80 (,) luk KNT çn α = duumunda Q z kuantzasyonundan kaynaklı boyuna akustk ω% 3 ve Q θ kuantzasyonundan oluşan ω% buulma kp enne akustkt, bunla q = da v3 =.3 km / s ve v =.6 km / s hızlaa sahptle. Kalan döt optk kpten k tanes Raman aktf kpt, q θ ve q z bağıl koodnatlaından meydana gelle ve Γ noktasında ω% 5 = 6cm, ω% 6 = 593cm fekanslaa sahptle. ω% ve ω% 4 optk kple sıasıyla Q ρ ve q ρ koodnatlaına sahpt ve q = cvaında ω% = 9cm ve % = değelende olula. ω 4 865cm Şekl5.3 (,) zkzak KNT deα = çn fonon dağınım bağıntılaı Şekl 5.3 te zkzak (, ) lık KNT de α = çn fonon dağınımlaı velmşt.(,) zkzak KNT çn, Şekl 5.3 ün sol panel bnc köşegenleştme sonuçlaından elde 67

81 edlmşt ve klask Hamltonyenden (Mahan ) elde edlen sonuçlala tutalıdı. Ancak dağınımlaa bakıldığında yne fonon dallaının kesştğ göülmekted. Landau kesşmeme teoemne göe bunlaın olmaması geek ve bu nedenle knc b kanonk dönüşüme htyaç duyulu. İknc dönüşümden elde edlen sonuçla sağ panelde velmşt ve fonon dallaının bbnden ayıldığı göülü. Şekl 5.4 de (, ) KNT de α =,,... çn fonon kple velmşt. α tüp çevesnce keskl değele alı, α = ve α = deenee değl ken α =,,...,9 çft katlı deeneed ve buadan da toplam fonon dalı olduğu göülü. Lteatüde fonnon dağınım bağıntılaı, bütün dağınımlaın α = a zdüşümle olaak çzl. İlk tabaka bunu fade etmekted. Şekl 5.4 (,) zkzak KNT de α =,,... çn fonon kple α = çn altı tane deenee olmayan kp vadı ve bunlaın ks akustk dğe döt tanes optk kpt. Akustk kpleden b ω% 3 tü ve Q z bleşennn kuantzasyonundan 68