İletken cisimlerin şekillerinin belirlenmesi için analitik devama dayalı yeni bir yöntem

Transkript

1 itüdergisi/d ühedislik Cilt:9, Sayı, Şubat İletke cisileri şekillerii belirleesi içi aalitik devaa dayalı yei bir yöte ehet ÇAYÖREN *, İbrahi AKDUAN İTÜ Fe Bilileri Estitüsü, Elektroik ve Haberleşe ühedisliği Prograı, 4469, Ayazağa, İstabul Özet Bu çalışada yaıa erişileeye ükeel elektrik ilete cisileri şekillerii elektroagetik dalgalar kullaılarak uzakta belirleebilesi içi yei bir yöte geliştiriliştir. Ele alıa ters saçıla probleide yaıa erişileeye cisi elektroagetik dalgalarla aydılatılır ve cisi bu gele dalgalarla etkileşii soucu ortaya çıka saçıla dalga uzak ala bölgeside ölçülür. Çalışadaki esas aaç bu gürültülü ölçü bilgisii kullaarak cisi şeklii belirleesidir. Bu proble teorik açıda başta kararlı bir çözüü varlığıı ve tekliğii ögörüleeyeceği doğrusal olaya kötü kuruluş bir probledir. Bu çalışada suula yöte ele alıa problei kötü kuruluş ve doğrusal olaya kısılarıı ayrı ayrı ele alıdığı bir aalitik deva yöteidir. Öcelikli olarak uzak ala verisi cisi çevreleye iiu yarıçaplı bir daire üzeride taılaa bir tek-kata potasiyel yoğuluğu yardııyla ifade edilir. Ardıda elde edile itegral dekle kesiliş ayrık değer ayrıştıra yötei kullaılarak, regülerize ediliş bir biçide çözülüp, iiu daire üzerideki bilieye tek-kata potasiyel yoğuluğu belirleir. Bu potasiyel yoğuluğu yardııyla iiu dairede biraz daha geiş bir daire üzeride hesaplaa saçıla alaı Taylor serisi açılııyla, saçıla ala cisi yüzeyie kadar aalitik olarak deva ettirilir. Cisi üzeride topla elektrik alaı sıfıra gitesi biçiide taılaa sıır koşulu yardııyla, cisi şeklii belirleesi problei doğrusal olaya bir deklei köklerii buluasıa idirgeir. Bu polio biçiideki dekle Gauss-Newto algoritası kullaılarak yieleeli bir biçide çözülür. Sayısal souçlarla gösteriliştir ki yöte he koveks he de kokav tarafları ola yıldızbiçili yüzeyler içi başarılı souçlar verektedir. Aahtar Kelieler: Elektroagetik ters saçıla probleleri, şekil belirlee, aalitik deva yöteleri. * Yazışaları yapılacağı yazar: ehet ÇAYÖREN ehet@cayore.co; Tel: (56) Bu akale, birici yazar tarafıda İTÜ Fe Bilileri Estitüsü, Elektroik Haberleşe ühedisliği Prograı da taalaış ola "Novel aalytical cotiuatio based shape recostructio ethods for perfect electric coductig targets" adlı doktora tezide hazırlaıştır. akale eti.6.9 tarihide dergiye ulaşış, tarihide bası kararı alııştır. akale ile ilgili tartışalar.5. tarihie kadar dergiye göderilelidir.

2 . Çayöre, İ. Akdua A ovel aalytical cotiuatio based shape recostructio ethod for perfect electric coductig targets Exteded abstract I this study, a ew ethod for shape recostructio of a perfect electric coductig target through the use of electroagetic waves is preseted. The ai i this iverse scatterig proble is to retrieve the shape of a ukow target reotely, provided that the scatterig wave which is the result of electroagetic iteractio betwee the target ad the icidet wave is kow i the far field regio. Theoretically the proble cosidered is a oliear illposed proble i which the existece ad the uiqueess of a stable solutio caot be aticipated iitially. The ethod preseted i this study ca be classified as a aalytical cotiuatio ethod i which the ill-posedess ad the oliearity of the uderlyig proble are hadled separately. The shape recostructio proble is studied i twodiesioal case. ore precisely, the iaccessible target which is located i a ifiite, lossless, oagetic ad hoogeeous space is assued to be ifiitely log ad uchagig at oe directio. The target is illuiated with a set of tie haroic plae waves of differet icidece agles at a fixed frequecy whose electric field is always parallel to the directio of the target. The scattered field which satisfies the Helholtz equatio together with appropriate boudary coditios is sapled o a full aperture i the far field regio. Sice ill-posed probles have a strog sesitivity to sall perturbatios o the iput data, the scattered field is corrupted sythetically i order to odel the ievitable easureet oise. The iitial step of the ethod is cocered with the recostructio of the scattered field i the viciity of the target fro the oisy far field patter. To this ai, the sigle layer potetial represetatio is exploited such that the far field patter is odeled as if it is geerated by a ukow sigle layer potetial desity o a circle which is assued to cover the iaccessible target with preferably iiu radius. The resultig Fredhol itegral equatio of first kid is severely ill-posed due to soothig properties of its kerel. Thus the sigular value decopositio is exploited to ivert the itegral equatio i a regularized aer to deterie the ukow sigle layer potetial desity. At this step, orozov s discrepacy priciple is utilized to select a proper regularizatio paraeter. Oce the potetial desity is recostructed, the scattered field ca be approxiated i the regio outside of the iiu circle. Later, to represet the scattered field iside the iiu circle, a Taylor series expasio of the recostructed scattered field is exploited. I particular, istead of the scattered field o the iiu circle, the field o a larger circle is expaded ito Taylor s series i the radial directio i order to avoid the sigularity of the fudaetal solutio of the Helholtz equatio. Thus the scattered field is aalytically cotiued to the boudary of the target. Together with the boudary coditio that the total field o the ukow target ust vaish, this series expasio eables to reduce the shape recostructio proble ito the solutio of a oliear equatio which cotais the surface cotour as ukow. The resultig oliear equatio is i a polyoial for which icludes the higher order derivatives of the recostructed field as costat. Whe ultiple illuiatios are eployed, sice each far field patter copletely characterizes the ukow shape, a differet solutio ca be recostructed for each illuiatio. However as the shape of the iaccessible target is idepedet fro the source cofiguratio, a global solutio which uses all the available data siultaeously is looked after. To this ai Gauss Newto algorith is exploited for the iterative solutio of the oliear equatios. I order to avoid possible istabilities that ay arise due to the uerical errors i the derivatives of the oliear equatios, a fiite diesio solutio i ters of a liear cobiatio of predeteried basis fuctios is sought. The preseted ethod is uerically validated through several siulatios ad it is observed that the ethod provides satisfactory recostructio for both covex ad cocave targets with star-like shapes. It is cocluded that the size of target should be coparable to the operatig wavelegth whe oly a sigle illuiatio is used. However this liitatio regardig to size of the obstacle ca be iproved with the usage of additioal illuiatios. Furtherore it is observed that the robustess agaist the oise o data icreases with the usage of ultiview data. Keywords: Electroagetic iverse scatterig probles, shape recostructio, aalytical cotiuatio ethods. 66

3 İletke cisileri şekillerii belirleesi içi aalitik devaa dayalı yei bir yöte Giriş Bu çalışada yaıa ulaşılaaya ükeel elektrik ilete cisilerii şekillerii elektroagetik dalgalar kullaılarak uzakta belirleesi içi yei bir yöte öeriliştir. Ele alıa kou ters saçıla teorisideki teel problelerde biridir ve teorik açıda doğrusal olaya, kötü kuruluş bir probledir. Bu edele başta kararlı bir çözüü varlığı ve tekliği ögörüleez. Şekil bula probleii çözüü içi öerile yöteler optiizasyo tabalı olalar ve öreklee tabalı olalar olarak sııfladırılabilirler. Optiizasyo teelli yötelerde erişileeye cisi üzerideki sıır koşuluu bilidiği varsayılır ve bu sıır koşulu yardııyla şekil bula problei bir optiizasyo problei olarak değerledirilir. Literatürde bu problei çözüü içi öerile ilk çalışalarda biri Ibriale ve ittra (97) tarafıda suuluştur. Optiizasyo tabalı diğer çalışalarda Roger (98) Newto- Katorovitch algoritası, Bojarski (98) ve Pierri ve diğerleri () fiziksel optik teorisi, Li ve diğerleri (996) eşdeğer kayak yötei, Qig ve diğerleri () ve Rekaos (8) etaheuristic optiizasyo tabalı yaklaşılar ve Kress () ise aalitik deva teelli bir yöte suuluştur. Öreklee tabalı yaklaşılarda cisi üzeride sıır koşuluu biliesi gerekez ve koua bağlı belli bir gösterge foksiyou değeri cisi aradığı bölgede örekleerek cisi şekli ortaya çıkarılaya çalışır. Bu türdeki yötelerde özellikle doğrusal öreklee yötei üzeride öeli çalışalar yapılıştır (Colto ve Kirsch, 996; Colto vd., 997). Diğer öreklee yöteleri arasıda faktorizasyo yötei ve tekil-kayak yöteleri sayılabilir (Kirsch, 4; Potthast, 6). Öreklee yötelerii üstülüğü teorik olarak sıır koşullarıda bağısız olalarıdır acak elde edile şekiller optiizasyo tabalı yötelerdeki kadar belirgi değildir ve çok daha fazla ölçü verisi gerektirektedir. Tü bu yöteler literatüre öeli katkılar sağlaıştır acak bu türdeki probleleri çözüleri ühedislikte bulacağı uygulaaları çeşitliliği edeiyle daha etki yötelere ihtiyaç duyulaktadır. Ters saçıla problei Kesiti Şekil de gösterilekte ola elektroagetik saçıla probleii ele alalı. Şekil. Problei geoetrisi Burada ükeel elektrik ilete D cisi, büye paraetreleri ( ε, µ, σ ) ile verile sosuz geiş hooje bir uzayda yer alakta olup, Ox eksei doğrultusuda sosuz uzu olduğu ve yie bu eksede herhagi bir değişi gösterediği varsayılaktadır. Cisi sıırı ola D üzeride alıa herhagi bir x oktası paraetrik olarak ( f ( φ), φ), φ [, π) biçiide tek değerli bir f ( φ ) foksiyouyla gösterilebiliyor olsu. D cisi sabit bir frekasta farklı geliş açılarıa sahip ve elektrik ala vektörü daia Ox doğrultusuda ola düzlesel elektroagetik dalgalarla aydılatılsı. Zaaa bağılılığı e ω kabul edilesi duruuda, i t θ geliş acısıyla ilişkili elektrik ala vektörü i i (,, u( ρ, φ) ) E = () biçiide olacaktır ve gele dalga i u ( ρφ, ) e ρ φ θ ik cos( ) = () olarak verilir. Burada ortaı dalga sayısı k = ω ε µ + iωσµ biçiide verile ifadei kareköküdür. Ox eksei doğrultusuda herha- 67

4 . Çayöre, İ. Akdua gi bir değişi olaası edeiyle topla ve saçıla elektrik ala vektörlerii yalızca x doğrultusuda bileşeleri olacağıda ele alıaa vektörel proble skaler durua idirgeiştir. u( x ) topla elektrik alaı gösterek üzere, s saçıla ala u ( x ) aşağıdaki fark biçiide taılaır s i u ( x) = u ( x) u ( x ) () Saçıla ala Helholtz dekleii u x + x = (4) s s ( ) k u( ) ve cisi yüzeyi üzeride aşağıda verile sıır koşuluyla s i u ( x) + u ( x) = x D (5) birlikte Soelfeld radyasyo koşuluu s u s li r iku =, r = x (6) r r sağlar. Öte yada saçıla ala tü doğrultularda aşağıda verile asiptotik ifadeye sahiptir ik x s e x li u ( ) ( ˆ), ˆ x = u x + O x=. (7) x x x x Buradau ( ˆ x) saçıla alaı uzak alaı olarak adladırılır. Tü bu açıklaalar göz öüe alıdığıda, ele alıa ters saçıla problei u i biliesi duruuda D i buluası olarak taılaır. Saçıla alaı özel bir gösterii Öerile yötei ilk aşaasıda aaç cisi etrafıdaki bölgede saçıla alaı belirleesidir. Bu aaçla cisi içeriside kaldığı varsayıla ve tercihe iiu yarıçaplı ρ = α dairesii göz öüe alalı. ρ > α bölgeside ciside saçıla ala aşağıda verildiği gibi ( ρ + α ραcos( φ τ) ) π () τ τ (8) s iα u(,) ρ φ = H k Ψ()d 4 iiu daire üzeride taılaış bilieye bir Ψ tek-kata potasiyel yoğuluğuyla ifade edilebilir (Colto ve Kress, 998). Burada H () birici türde Hakel foksiyouu gösterektedir. Ele alıa ters saçıla probleide saçıla alaı uzak ala bölgesideki asiptotik ifadesi bilidiğide Hakel foksiyouu asiptotik ifadesi de kullaılarak (8) eşitliği aşağıdaki gibi kısa biçide ifade edilebilir (Abraowitz ve Stegu, 964; Colto ve Kress, 998). SΨ = (9) u Burada S operatörüü açık hali iπ /4 π e ik cos( φ τ) ( SΨ )( φ) = e Ψ( ) d 8π k τα τ () biçiide taılıdır. Eşitlik () da verile birici türdeki Fredhol itegral deklei doğrusal kopakt operatörü edeiyle kötü kuruluştur. Bu edele Eşitlik (9) da verile operatör deklei çözüüde regülarizasyo kullaılası gerekektedir ve yalızca araıla tekkata potasiyel yoğuluğu Ψ yaklaşık olarak belirleebilir. Eşitlik (9) u çözüü içi kullaılabilecek yötelerde bir taesi ayrık değer ayrıştıra yöteidir. Doğrusal kopakt S operatörü içi ayrık değer ayrıştıra etodu { σ, ϕ, v } üçlüsüyle aşağıdaki gibi r r r SΨ = σr Ψ, ϕr vr () r= taılaır. Burada, uygu uzaydaki iç çarpıı gösterektedir. Eşitlik () i öeli bir soucu bilieye Ψ foksiyouu aşağıdaki verildiği gibi Ψ = u, vr ϕr () σ r= r buluabilesidir. Eşitlik (9) da verile operatör dekleii çekirdeğii özelliği olarak tekil değerler çok hızlı bir biçide sıfıra gidecektir. 68

5 İletke cisileri şekillerii belirleesi içi aalitik devaa dayalı yei bir yöte Souç olarak u veriside belirsizlikler olası duruuda yüksek dereceli tekil değerler tüüyle gürültü tarafıda bozulacağıda tekil değerleri bu davraışı kararsız çözülere ede olacaktır. Bu soruu üsteside gelek aacıyla kullaılabilecek bir yöte aşağıda taıladığı gibi yüksek dereceli tekil değerleri atılasıdır. Ψ = u, vr ϕr () σ ( R) r σr σ r Burada R sayısı regülarizasyo paraetresi olarak adladırılır. Regülarizasyo paraetresii seçii elde edilecek souçlar üzeride çok etkilidir çükü yapıla yaklaşıklığı hassasiyeti R sayısıı olabildiğice büyük olasıı diğer tarafta gürültüü etkilerii azaltılarak çözüü kararlığıı sağlaası alaıdaysa R sayısıı olabildiğice küçük seçilesi gereklidir. Eğer uzak ala verisideki gürültü gücüe ilişki bir tahi evcutsa orozov u tutarsızlık presibi R paraetresii seçii içi elverişli bir kriter sağlar (orozov, 984). ( R) S u δ, Ψ (4) Burada δ beklee gürültü gücüdür. Souç olarak (9) eşitliği kesiliş ayrık değer ayrıştıra yötei uygulaarak çözülebilir acak her duruda çözüle Ψ (9) eşitliğii çekirdeğii ( R) yuuşata özelliği edeiyle gerçek Ψ i alçak geçire filtreleiş hali olacaktır (Çayöre vd., 7). Yötei ikici aşaasıda ρ < α bölgeside saçıla alaı ifade etek içi saçıla alaı Taylor serisi açılıı kullaılacaktır. Bu aaçla ρ = β > α yarıçaplı ikici bir daire seçilir. Bu duruda topla alaı ifadesi aşağıdaki şekilde verilir. u( ρφ, ) = ikρcos( φ θ) = e + ( ) c ρ β + R ( ρ, φ), ρ ( f( φ), β] Burada katsayılar (5) c s u ( β, φ) =! ρ ve kala teri R ρ + s u ( ρ, φ) +! ρ ' β (6) ( ρ, φ) = ( ρ ρ ) d ρ. (7) biçiide taılıdır. c katsayılarıı sağ tarafıdaki türevler (8) aracılığıyla aşağıdaki gibi hesaplaır s u ( βφ, ) = ρ iα 4 π r () H r k ρ ρβ = ( ρ + α ραcos( φ τ) Ψ( τ)dτ. (8) Topla ala u(,) ρ φ ρ u regüler bir foksiyou olasıa karşı kala teri R i her duruda sıfıra gideceği söyleeez. Dolayısıyla buradaki Taylor serisii açılııı her zaa yüzeye yakısaası bekleeektedir acak R terii ihal edilerek (5) teki gösterili ters problei çözüüde bir yaklaşıklık olarak kullaılacaktır. Üzeride durulası gereke bir diğer kou c katsayılarıdaki türevleri ρ = α üzeride de alıabilesidir acak böylesi bir duruda Hakel foksiyouu tekilliği edeiyle özellikle üst ertebede türevleri alıasıda büyük zorluklarla karşılaşılacaktır, bu aaçla türevler ρ = β > α üzeride alıarak türevleri hesabı kolaylaştırılıştır. Şekil bula algoritası Yukarıda verile (9) - (8) ifadeleri kullaılarak gürültülü uzak ala verisi u cisi sıırıa kadar deva ettirek üküdür. Eşitlik (5) de verile sıır koşulu uyarıca, cisi yüzeyide topla alaı sıfıra gitesi gerektiğide, topla alaı Eşitlik (5) teki gösteriide kala terii R ihal edilerek aşağıda verile doğrusal olaya dekle elde edilir: ikf cos( φ θ ) ( ) ( ) = ( β ) =. = F f e + c f (9) 69

6 . Çayöre, İ. Akdua Bu serii yakısaa hızı f β / λ ı küçük olasıyla ilişkili olacaktır, dolayısıyla bu koşulu sağlaası varsayııda serii derecesi küçük seçilebilir. Eldeki topla N tae farklı geliş açısıyla ilişkili olarak aşağıdaki verile F ( f ) = () F ( f ) = N doğrusal olaya dekle sistei elde edilir. Cisi şekli kayak yapıladırılasıda bağısız olduğuda yukarıda verile topla N adet dekleide ayı soucu veresi gerekektedir. Bu edele dekleleri ayrı ayrı çözülesi yerie, dekleleri birlikte e küçük kareler alaıda çözülesi yolua gidiliştir (Çayöre, 8). Bu aaçla Eşitlik () de verile doğrusal olaya dekleler Gauss Newto algoritasıyla yieleeli olarak çözülür (Zak, ). İlk aşaada () deki dekleler Newto yötei alaıda aşağıdaki gibi doğrusallaştırılırlar. F ( f ) F( f ) () i i fi+ = FN( fi) FN( fi) Burada F ' F operatörüü f e göre Frechet türevii tesil etekte olup (9) ifadesi polio biçiide olduğuda sırada türeve idirgeir. Eşitlik () deki f i + ifadesi fi+ = fi + fi+ uyarıca i. adıda kestirile şekli e kadar gücelleeceğii ölçüsüdür. Bu aşaada F ' türevii sıfıra yaklaşası duruuda ortaya çıkabilecek kararsızlıkları ortada kaldırak aacıyla f i solu boyutlu bir yaklaşıklığı araaktadır. Özel halde f öcede belirleiş baz foksiyoları ϑp ( φ ) leri bir doğrusal bir birleşii olarak aşağıdaki gibi P f( φ) = c ϑ ( φ). () p= p p araacaktır. Souç olarak Eşitlik (), Eşitlik () () ( Q) () de yerie koulup φ, φ,..., φ oktalarıda ayrıklaştırıldığıda aşağıda verile doğrusal dekle sistei elde edilir: J F( f ) C = V i i+ ( fi) () Bu doğrusal dekle sistei aşağıda verildiği biçiiyle yieleeli olarak çözülür. * * i F fi F f + i F fi fi C = J ( ) J ( ) J ( ) V ( ). (4) Burada sütu vektörü C i+ Eşitlik () de taılı P adet bilieye c p katsayılarıı içerir. ( N Q) Pboyutlu J F atrisi F ' i baz foksiyoları üzerie izdüşüleride ve ( N Q) boyutlu sütu vektörü V, F i ayrıklaştıra oktalarıdaki değerleride oluşakta ve J * F ve J F i adjoitii gösterektedir. Öcede belirleiş bir eşik değeri ε içi yielee işlei C i+ Ci < ε sağlaaa kadar deva ettirilerek cp katsayıları ve dolayısıyla da f ( φ ) yüzeyi buluur. Sayısal souçlar Bu bölüde he taıtıla yötei sayısal doğrulaası gerçekleştirek he de yötei çalışa sıırları belirleek aacıyla çeşitli örekler suulacaktır. Ele alıa tü öreklerde cisi boş uzayda olduğu varsayılış ve saçıla ala verisi ilgili düz saçıla probleii tekve çift-kata potasiyellerii kara bir gösterii aracılığıyla çözüüde elde ediliştir (Colto ve Kress, 99). Saçıla ala verisi uzak ala bölgeside eşit aralıklı topla T = 6 oktada örekleiştir. Yötei kararlılığıı sıaak aacıyla tü öreklerde uzak ala verisie aşağıdaki biçiiyle rasgele gürültü ekleiştir. i r u ( xˆ) = u ( xˆ) + ξ u ( xˆ) e π u, (5) Burada ξ > gürültü oraı olup, u r ise [,) aralığıda düzgü dağılılı bir rasgele değiş- 7

7 İletke cisileri şekillerii belirleesi içi aalitik devaa dayalı yei bir yöte kedir ve işaret gürültü oraı SNR = log( ξ ) biçiidedir. İlk örek olarak yüzeyi aşağıdaki verile paraetrik değişie sahip ola x / λ =.(cosφ+. cos φ) x / λ =.(siφ+. cos φ) (6) bir cisi göz öüü alııştır. Bu cisi θ = geliş açısıa sahip bir düzle dalgayla f = Hz de aydılatılıp saçıla alaa ξ =. ( SNR = 4 db) oraıyla rasgele gürültü ekleiştir. Bu örekte cisi çevreleye iiu dairei ta olarak α =.5λ bilidiği varsayılaktadır. İlk aşaada gürültülü uzak ala veriside α =.5λ yarıçaplı iiu daire üzeride bir tek-kata potasiyeli buluuştur. Bu aşaada tersi alıa (9) operatör deklei kötü kuruluş olduğuda regülarizasyo paraetresi orozov u tutarsızlık presibi uyarıca R = 9 olarak seçiliştir. Daha sora bulua bu tek-kata potasiyeli aracılığıyla Eşitlik (8) kullaılarak β =.λ yarıçaplı daire üzerideki saçıla ala hesaplaıştır. Elde edilecek çözüü doğruluğuu hesaplaa saçıla alaı doğruluyla ilişkili olduğu kesidir, bu edele β =.λ dairesi üzeride hesaplaa saçıla alala, gerçek saçıla alaı karşılaştırılıştır. Şekil de gerçek saçıla alala çözüle saçıla alaı gelik ve fazlarıı karşılaştırılası gözükektedir. Görüldüğü gibi elde edile saçıla ala geliğide bir iktar bozula olasıa karşı gerçek saçıla alaa oldukça yakıdır. Daha sora (5) eşitliği = de kesilip, Eşitlik () de P = 9 seçilerek, f = α ilk değeri içi şekil bula yötei uygulaıştır. Elde edile souç Şekil te gözükektedir. Şekilde de görüldüğü gibi bulua şekil cisi gerçek şeklie oldukça yakıdır. Öte yada çözüle şekli aydılatıla kısıı aydılatılaya tarafa göre çok daha doğru biçide buluduğu da gözleleektedir. He yötei daha karaşık bir şekil içi davraışıı he de Şekil. Çözüle saçıla alala gerçek saçıla alaı ρ =.λ da karşılaştırılası Şekil. Cisi gerçek şekli ve bulua şeklii karşılaştırılası çoklu aydılata duruudaki başarııı ortaya çıkarak aacıyla ikici olarak aşağıdaki paraetrik deklele verile x / λ =.48cosφ+. cos φ. x / λ =.48siφ (7) ve belirgi koveks ve kokav tarafları ola cisi ele alalı. Bu cisi θ = ve θ = π geliş 7

8 açıları içi f = 6Hz de aydılatıla olup, çözüle uzak ala verisie ξ =. ( SNR = 4 db) oraıyla gürültü ekleiştir. Bu örekte yie cisi çevreleye iiu dairei α =.64λ olarak bilidiği varsayılış ve diğer siülasyo paraetreleri R = 9, β =.8 λ, f = α, = 4 ve P = 9 seçiliştir. Şekil 4 ve Şekil 5 te sırasıyla geliş açısı θ = ve θ = π ike buluuş şekilleri cisi gerçek şekliyle karşılaştırılaları gösterilektedir.. Çayöre, İ. Akdua Şekil 5. θ = π geliş açısı içi bulua şekli gerçek şekille karşılaştırılası Şekil 4. θ = geliş açısı içi bulua şekli gerçek şekille karşılaştırılası Bu şekillerde de gözüktüğü gibi öerile yöte aydılatıla tarafta oldukça başarılı souçlar sağlaaktayke elde edile şekli doğruluğu aydılatılaış tarafta bozulaktadır. Bu gözlede yola çıkarak θ = ve θ = π aydılataları içi elde edile gürültülü saçıla ala verilerii birlikte kullaıldığı üçücü bir siülasyo gerçekleştiriliştir ve souç Şekil 6 da gösterilektedir. Görüldüğü gibi bulua şekil oldukça başarılıdır. İlk iki örekte cisi çevreleye iiu daireye ilişki doğru tahileriizi olduğu kabul edilişti, acak iiu dairei hatalı seçilesi duruuda yötei davraışıı ortaya çıkarak aacıyla aşağıdaki paraetrik deklele taılaış cisi göz öüe alalı. x x Şekil 6. θ = ve θ = π geliş açıları içi çözüle şekli gerçek şekille karşılaştırılası λ φ φ / =.4(cos + cos ) / λ =.4(si φ+ si φ) (8) Cisi f = Hz de eşit aralıklı π π θ =, θ =, θ = π ve θ 4 = geliş açıları içi aydılatılıştır. Gürültü oraı ξ =.6 ( SNR = db) dır. Bu örekte i- 7

9 İletke cisileri şekillerii belirleesi içi aalitik devaa dayalı yei bir yöte iu dairei hatalı bicide %4 daha geiş seçildiği ve α =.67λ olduğu varsayılıştır. Diğer siülasyo paraetreleri R =, β =.84 λ, f = α = 5 ve P = 5 olarak seçiliştir ve elde edile souç Şekil 7 de gösterilektedir. ele alııştır. Cisi f = 8 Hz de θ = π /, =,,...,5 ile aydılatılıştır. Bu örekte çok daha yüksek bir gürültü oraı ξ =.6 ( SNR = db) kullaılıştır. Diğer siülasyo paraetreleri α =. λ, R = 9, β =. λ, f =.74 λ, = 5 ve P = seçiliştir. Elde edile souç Şekil 8 de gösterilektedir. Souç olarak çoklu aydılata kullaılarak yötei he gürültüye ola duyarlılığı azaltılış he de yötei rezoas bölgesii dışıda da çalışası sağlaabiliştir. Şekil 7. Cisi çevreleye iiu dairei hatalı seçilesi duruuda bulua şekille gerçek şekli karşılaştırılası Souçta da alaşıldığı gibi yöte iiu dairei yeterice hassas kestirileediği durularda da çalışaktadır acak hatalı souçlarda kaçıak aacıyla farklı birkaç iiu daire seçii içi çözüü tekrarlaası uygu olacaktır. Bu oktada belirtilesi gereke bir diğer kouysa bu çalışa da gösterile tü örekleri çözüleri ortalaa bir bilgisayar yapıladırasıda 5s i altıda süresidir, bu edele siülasyo paraetrelerii belirli aralıklarda taraası ciddi bir zaa kaybı yarataaktadır. Buda öceki öreklerde cisi boyutları çalışıla dalgaboyu ertebesidedir. Yötei daha geiş cisiler duruudaki başarııı iceleek aacıyla so örekte çapı yaklaşık 4λ ola ve aşağıdaki paraetrik deklele verile bir cisi x / λ = (.74 +.cos φ) cosφ x / λ = (.74 +.si 6 φ)siφ (9) Şekil 8. Çözüle şekille cisi gerçek şeklii karşılaştırılası Souçlar Bu çalışada yaıa erişileeye ükeel elektrik iletke cisileri şekillerii belirleesi içi yei bir yöte suuluştur. Yötei uygulaabilirliği çeşitli sayısal souçlar aracılığıyla sıaış ve yötei yıldız biçili he koveks he de kokav şekiller içi başarılı souçlar verdiği gözleleiştir. Yie sayısal souçlarda tek bir aydılataı kullaılası duruuda cisi boyutlarıı çalışıla dalgaboyu ertebeside olası gerektiği acak bu sıırlaaı birde çok aydılata kullaılarak iyileştirilebileceği gözleleiştir. Dahası geliş açılarıı çeşitliliğii artıraı yötei gürültüye ola duyarlılığıı azalttığı belir- 7

10 . Çayöre, İ. Akdua leiştir. Buula birlikte yötei ihtiyaç duyduğu uzak ala verisi iktarı öreklee teelli yaklaşılara göre oldukça azdır. Kayaklar Abraowitz,., ve Stegu, I., (964). Hadbook of atheatical fuctios with forulas, graphs, ad atheatical tables, Dover. Bojarski, N., (98). A survey of the physical optics iverse scatterig idetity, IEEE Trasactios o Ateas ad Propagatio. Çayöre,., Akdua, I., Yapar, A. ve Crocco, L., (7). A ew algorith for the shape recostructio of perfectly coductig objects, Iverse Probles, 87-. Çayöre,., Akdua, I., Yapar, A. ve Crocco, L. (8). Shape recostructio of perfectly coductig targets fro sigle-frequecy ultiview data, IEEE Geosciece ad Reote Sesig Letter. Chog, E. ve Zak, S., (). A itroductio to optiizatio, Joh Wiley ve Sos. Colto, D. ve Kirsch, A., (996). A siple ethod for solvig iverse scatterig probles i the resoace regio, Iverse Probles, 8-9. Colto, D. ve Kress, R., (99). Itegral equatio ethods i Scatterig Theory, alabar Florida: Krieger Publicatios. Colto, D. ve Kress, R., (998). Iverse Acoustic ad Electroagetic Scatterig Theory, Spriger-Verlag. Colto, D., Piaa,. ve Potthast, R., (997). A siple ethod usig orozov's discrepacy priciple for solvig iverse scatterig probles, Iverse Probles, Ibriale, W. ve ittra, R., (97). The twodiesioal iverse scatterig proble, IEEE Trasactios o Ateas ad Propagatio, Kirsch, A., (4). The factorizatio ethod for axwell's equatios, Iverse Probles. Kress, R., (). Newto's ethod for iverse obstacle scatterig eets the ethod of least squares, Iverse Probles, 9-4. Li, C. ve Kiag, Y., (996). Iverse scatterig for coductors by the equivalet source ethod, IEEE Trasactios o Ateas ad Propagatio, -6. orozov, V., (984). ethods for solvig ıcorrectly posed probles, Spriger-Verlag. Pierri, R., Liseo, A. ve Soldovieri, F., (). Shape recostructio fro PO ultifrequecy scattered fields via the sigular value decopositio approach, IEEE Trasactios o Ateas ad Propagatio. Potthast, R., (6). A survey o saplig ad probe ethods for iverse probles, Iverse Probles. Qig, A., Lee, C. ve Je, L., (). Electroagetic iverse scatterig of two-diesioal perfectly coductig objects by real-coded geetic algorith, IEEE Trasactios Geosciece ad Reote Sesig, Rekaos, I., (8). Shape recostructio of a perfectly coductig scatterer usig differetial evolutio ad particle swar optiizatio, IEEE Trasactios Geosciece ad Reote Sesig, Roger, A., (98). Newto-Katorovitch algorith applied to a electroagetic iverse proble, IEEE Trasactios o Ateas ad Propagatio. 74