Teorem 2. (Holmgren Teoremi) P(x, D) operatörü, katsayıları analitik olan bir diferensiyel operatör olsun. Ayrıca S yönlendirilebilir C 1 hiperyüzeyi

Transkript

1 Karaelas Fe ve Mü. Derg. 7():68-646, 07 Karaelas Fe ve Müedislik Dergisi Dergi web sayfası: ttp:fbd.beu.edu.tr Araştıra Makalesi Geliş tarii Received :.0.07 Kabul tarii Accepted : Değişke Katsayılı Ultraiperbolik Dekleler içi Bir Carlea Değerlediresi A Carlea Estiate for Ultrayperbolic Equatios wit Variable Coefficiets Fikret Gölgeleye *, Özle Kaytaz Bület Ecevit Üiversitesi, Fe-Edebiyat Fakültesi, Mateatik Bölüü, Zoguldak, Türkiye Öz Bu çalışada, ilk olarak kısi türevli dekleler içi Caucy probleii çözüüü varlığı ve tekliği ile ilgili literatürde evcut ola başlıca çalışalar ele alııştır. Daa sora değişke katsayılı ultraiperbolik dekleler içi bir Carlea değerlediresi elde ediliştir. Bu değerledireler, ultraiperbolik dekleler içi ters probleleri çözülerii tekliğii ve kararlılığıı araştırılasıda öeli bir araçtır. Aatar Kelieler: Carlea değerlediresi, Caucy problei, Ultraiperbolik dekle Abstract I tis study, we first review soe of te aor results i te literature o te existece ad uiqueess of te solutio of Caucy proble for partial differetial equatios. Next, we obtai a Carlea estiate for ultrayperbolic equatios wit variable coefficiets wic is a iportat tool to study te uiqueess ad stability i iverse probles for tese equatios. Keywords: Carlea estiate, Caucy proble, Ultrayperbolic equatio. Giriş Bilidiği üzere aalitik katsayılı kısi türevli diferesiyel dekle sisteleri içi Caucy probleii çözüüü varlığı ve tekliği, başlagıç verisii aalitik olası şartı altıda ilk olarak 84 yılıda Augusti Caucy ve daa geel olarak 875 yılıda Sopie Kowalevsky tarafıda ispatlaıştır. Teore. (Caucy-Kovalevsky Teorei) u, u,,u N bilieye foksiyolar ve t, x, x,,x bağısız değişkeler olak üzere aşağıdaki dekle sisteii göz öüe alalı: i t u k i u i Fi t, x, x,..., x, u, u,..., un,..., k0 k k = c,..., t x... x () k 0 k...k = k, k 0 <, (i, =,,...,N), k u k t i t= t0 *Sorulu yazarı e-posta adresi: f.golgeleye@beu.edu.tr Fikret Gölgeleye Özle Kaytaz () = { k i ( x, x,..., x),( k = 0,,,..., i- ). orcid.org orcid.org () Eğer tü Fi foksiyoları t, x ^ 0, x,..., x,..., {, k0, k,..., k,... () k oktasıı bir koşuluğuda aalitik ve tü { foksiyoları da ^x, x,..., x oktasıı bir koşuluğuda aalitik ise bu duruda ()-() Caucy problei ^t 0, x, x,..., x oktasıı bir koşuluğuda aalitik bir çözüe saiptir ve bu çözü aalitik foksiyolar sııfıda tektir, (Petrovskii 967). ()-() Caucy probleie örek olarak, verile başlagıç koşullarıda sosuz ooe bir zarı titreşiii belirleesi problei, yai u u u = () t x x dekleii ( 0) ( ) ut ^ 0, x, x = { ( x, x ), ut( t0, x, x) = { ( x, x) (4) koşullarıı sağlaya çözüüü bula problei verilebilir. Diğer tarafta Caucy-Kovalevsky teorei geel olarak ()- () foruda olaya sistelere uygulaaaz. Bu duru içi Kovalevsky tarafıda aşağıdaki örek veriliştir: u u t = (5) x dekleii

2 Gölgeleye, Kaytaz Değişke Katsayılı Ultraiperbolik Dekleler içi Bir Carlea Değerlediresi u^0, x = - x, x (6) başlagıç koşuluu sağlaya bir u(t,x) aalitik çözüü varsa bu çözüü oriii bir koşuluğuda ^! t! (7) ^ - x = 0 serisi ile tesil edilebilir olası gerekir. Acak bu seri t 0 içi er oktada ıraksaktır. 0. yüzyıla gelidiğide kısi diferesiyel dekleleri çözüüde kullaıla e teel yöte olarak kuvvet serilerie açılı yötei karşııza çıkaktadır. Buu edei er realistik çözüü başlagıç oktasııyüzeyii bir koşuluğuda yakısak bir kuvvet serisie açılabilir olası yai aalitik olası gerektiği düşücesiydi. Acak zaala bu bakış açısıı ateatiksel fiziği probleleri içi yetersiz kaldığı ve aalitik olaya çözüleri de araştırılası gerektiği görülüştür. Caucy-Kovalevsky teorei bir aalitik Caucy probleii birde fazla aalitik çözüü olaayacağıı gösterir, aalitik olaya diğer çözülerii varlığı akkıda bir bilgi verez. Bu duru ise lieer aalitik dekleler içi Holgre Teorei ile açıklığa kavuşturuluştur. So yıllarda ters probleler ve kotrol teorisi gibi uygulaalı alalardaki gelişeler bu kouda yei probleleri ortaya çıkasıa ede oluştur, (Gölgeleye 00, Yildiz vd. 00). Kısi diferesiyel dekleleri çözüü içi tek deva (uique cotiuatio) özelliği bularda biridir ve aşağıdaki şekilde taılaır: Taı. (Tek Deva Özelliği) P(x,D) bir kısi diferesiyel operatör ve S, Ω bölgeside yöledirilebilir bir iperyüzey olsu. Eğer er bir x 0 S oktasıı bir V(x 0 ) koşuluğu var öyle ki Ω bölgeside P(x, D)u = 0 ve S i pozitif tarafıda u 0 olduğuda V(x 0 ) koşuluğuu taaıda u 0 ise u geelleşiş foksiyou içi S boyuca P operatörüe göre tek deva özelliği sağlaır deir, (Gilbert vd. 000). Yukarıdaki taıda da görülebileceği gibi tek deva özelliği yerel bir özelliktir. Acak kopaktlık kriterii sağlaası duruuda geel souçlar elde edilebilir. 990 ları başlarıda bu alada iki klasik souç biliekteydi. Bularda biricisi iperyüzeyi geoetrisi açısıda daa optial görülebilecek acak aalitik katsayılara itiyaç duya Holgre Teorei, ikicisi ise sadece sürekli diferesiyelleebilir katsayılı diferesiyel operatörleri ele ala acak iperyüzeyi kuvvetli pseudo-koveks olasıı gerektire Hörader Teorei dir. Teore. (Holgre Teorei) P(x, D) operatörü, katsayıları aalitik ola bir diferesiyel operatör olsu. Ayrıca S yöledirilebilir C iperyüzeyi x 0 oktasıda karakteristik olası. Bu duruda er u D (Ω) içi S boyuca x 0 oktasıda P operatörüe göre tek deva özelliği sağlaır. Burada D (Ω) geelleşiş foksiyolar uzayıdır, (Gilbert vd. 000). Yukarıdaki teorede aalitik olası gerekeye keyfi Caucy verileri içi çözüü tekliği geelleşiş foksiyo uzaylarıda ispatlaış, diğer tarafta u çözüüü varlığı kabul ediliştir. Aalitik olaya diferesiyel dekleler içi Caucy probleii çözüüü tekliği ala araştırılası gereke bir koudur, (Courat ve Hilbert 96). -boyutlu eliptik dekleler içi teklik teorei, katsayıları aalitik olaası duruuda 99 yılıda Torste Carlea tarafıda ispatlaıştır. Bu çalışada, daa sora Carlea değerledireleri olarak adladırıla, bir ağırlık foksiyou (ϕ) ve büyük paraetre (s) içere ve er u! C 0 ^ içi sağlaa s s e u S C e Pu { { L^ L^ forudaki ödeğerledireler kullaılıştır. Burada C sabiti s de bağısız olup R açık bir küedir, (Keig 986). Carlea ı elde ettiği souçlar C. Müller (954) tarafıda R e geelleştiriliştir. Daa sora A. P. Caldero (958) ve L. Hörader (96) bu alada güüüzde birçok çalışaya teel teşkil ede öeli souçlar elde etişlerdir. Teore. (Hörader Teorei) P operatörü, katsayıları reel ve teel sebolü C uzayıda ola bir diferesiyel operatör olsu. Ayrıca S yöledirilebilir C iperyüzeyi x 0 oktasıda P ye göre kuvvetli pseudokoveks olsu. Bu duruda er u! H - ^ içi S boyuca x 0 oktasıda P ye göre tek deva özelliği sağlaır, (Gilbert vd. 000). Geleeksel olarak Carlea değerledireleri kötü kouluş probleleri çözülerii tekliğii ispatıda kullaılıştır. Bu problelere örek olarak; i. Diriclet ve Neua sıır koşulları sadece sıırı bir parçasıda verildiğide eliptik dekleler içi Caucy problei, ii. Diriclet ve Neua sıır koşulları ya sıırı bir parçasıda verilip başlagıç şartlarıı t = 0 da biliediği duruda parabolik ve iperbolik dekleler içi stadart olaya Caucy problei verilebilir. Karaelas Fe Mü. Derg., 07; 7():

3 Gölgeleye, Kaytaz Değişke Katsayılı Ultraiperbolik Dekleler içi Bir Carlea Değerlediresi 97 yılıa gelidiğide S. P. Sisatskii, bu fikri Hadaard alaıda kötü kouluş ola probleler içi şartlı Hölder kararlılığıı araştırılasıda kullaıştır. 98 yılıda A. L. Bukgei ve M. V. Klibaov, Carlea değerledirelerii kullaarak bazı katsayı ters probleleri içi geel teklik ve kararlılık teorelerii ispatlaışlardır. Bu çalışada öce katsayı ters probleleri içi sadece yerel teklik teoreleri biliekteydi. Daa sora ise bu yöte; Puel ve Yaaoto (996), Isakov ve Yaaoto (000), Iauvilov ve Yaaoto (00a, b), Bellassoued ve Yaaoto (006b), Klibaov ve Yaaoto (006) tarafıda iperbolik dekleler içi çeşitli ters probleleri çözülerii kararlılığıı araştırılasıda kullaılış ve öeli souçlar elde ediliştir. Kaı{- darov (987), Isakov (006), Baudoui vd. (007), Yua ve Yaaoto (007), Liu ve Triggiai (0) bu alada yapıla diğer öeli çalışalardır. Parabolik dekleler içi katsayı ters probleleri ile ilgili olarak Iauvilov ve Yaaoto (998), Yaaoto (009), Lü (0), Egger vd. (005), Bellassoued ve Yaaoto (006a), Beabdalla vd. (007), Isakov (006) öeli souçlar elde etişlerdir, (Klibaov 0).. Ultraiperbolik Deklelere Fiziksel Bir Bakış Bu çalışada özellikle fiziksel alaı (çok boyutlu zaa) edei ile güüüzde büyük ilgi göre ultraiperbolik dekleler ele alııştır. Çok boyutlu zaala ilgili fiziksel teoriler ve yorular birçok araştıracı tarafıda bu probleleri kararsız olduğu gerekçesiyle görezde geliiştir. Bu görüş daa sora ateatikçiler arasıda da yaygılaşış ve bu tür probleler ile ilgili çok fazla çalışa yapılaıştır. Zira, zaa boyutuu birde büyük olası başta edesellik olak üzere klasik fiziği bazı teel ilkelerii ilal etektedir, (Craig ve Weistei 009). Daa açık olarak, çok zaa boyutlu uzay-zaa sisteide kapalı zaasal eğrileri varlığı er zaa üküdür. Bu eğrileri varlığı bir gözlecii geçişe seyaat ederek yaşaış gelecekle uyuşayacak değişiklikler yapasıa ika taır, (Foster ve Müller 00). Diğer yada başta sici teorisi olak üzere oder teorik fizikte ortaya çıka gelişeler, ek boyutları gerekliliğii ortaya koyaktadır. Güüüzde Stepe Hawkig, Edward Witte ve Jua Maldacea gibi birçok öeli teorik fizikçi doğaı ateatiksel tasvirii ta olarak yapılabilesi içi sici teorisii ilk adı olarak görektedir. Buu edei, bu teorii kuatu ala teorisi ile geel görelilik teorisii tutarlı bir kobiasyoua olaak sağlaasıdır. Ultraiperbolik dekleler içi ters problelerle ilgili sıırlı sayıda çalışa yapılıştır. Bu alada yapıla başlıca çalışalarda ola Airov (00) ve Lavretiev vd. (986) tarafıda tek deva problei ele alıış ve kararlılık ispatlaıştır. Roaov (006), Gölgeleye ve Yaaoto (04), ultraiperbolik dekleler içi bazı ters probleleri çözülerii kararlılığıı farklı Carlea değerledireleri yardııyla araştırışlardır.. Değişke Katsayılı Ultraiperbolik Dekleler içi Carlea Değerledireleri Bu bölüde = " ^xy, : x! D R, y! G f R, bölgeside f(x,y)g(x,y) > 0 olak üzere i = Lu: = fxy ^, Tyu^xy, - gxy ^, Txu^xy, ai ^x, yu = b(,) x yuy a0( x, yuxy ) (,) = 0 ( 8) değişke katsayılı ultraiperbolik deklei içi bir Carlea değerlediresi elde ediliştir. Bu değerledire, ele alıa dekleler içi ters probleleri çözülerii tekliğii ve kararlılığıı araştırılasıda öeli bir araçtır. Ω bölgesii sıırıı = Cx, Cy, Cx = D G, Cy = D G şeklide göstereli. Ayrıca x D, y R 0 g 0!, b! (,) 0 ve }(,) xy = x-x0 -b y- y0 olak üzere {(,) xy = e c} (,) xy ağırlık foksiyouu taılayalı. Teore 4. Kabul edeli ki er p! R içi p $ dy( f ) dy} $ p- p $ dy( fg) $ p $ p ^dy} $ f - $ dx( fg), p $ dx( g ) $ p- p $ dx( fg) dy} $ p $ p ^ $ dx^g - dy} $ dy( fg), ve bir d 0 0 içi x-x0 - b y $ d 0,( x, y)! (0) şartları sağlası. Bu duruda er s > s 0 ve u! C 0 ^ içi s{ s{ ^s dyu s d xu sue C Lu e olacak şekilde C > 0 ve s 0 > 0 sabitleri vardır. xi (9) () İspat: İlk olarak, ağırlıklı L orlarıı kullaabilek içi yei bilieye z foksiyouu ve P s operatörüü Lu 0 : = fxy ^, Tyu^xy, -gxy ^, Txu(,) xy () olak üzere 640 Karaelas Fe Mü. Derg., 07; 7():68-646

4 Gölgeleye, Kaytaz Değişke Katsayılı Ultraiperbolik Dekleler içi Bir Carlea Değerlediresi s x, y zxy, = e { ^ ^ uxy ^,, () s Pz s ^xy, = e { L0u (4) şeklide taılayalı. ()-(4) bağıtılarıda Pz s = ftyz- gt xz s ^ f d y{ -g d z, (5) - Pz s =-s^fdy{ $ dyz-g $ dxz-s^fty{ - gt z olak üzere Pz s = Pz s Pz s yazılabilir. (5) ve (6) eşitlikleri kullaılarak I =-4s ftyz^ fdyz$ dy{ - gdxz$, I =-s ftyz^ fty{ - gt z, I = 4s gt xz^ fdy{ $ dyz-g $ dxz, I4 = s gt xz^ fty{ -gt z, (6) (7) I5 =-4s ^ f dy{ -g z^ fdy{ $ dyz-g $ dxz, I6 =-s ^ f dy{ -g ^ z olak üzere ^PzPz s, s L = I I I I4 I5 I ^ 6 elde edilir. Şidi, Gree forülü yardııyla, u! C 0 ^ olduğuu da göz öüde buludurarak I k, k =,...,6 terilerii değerledireli: I =-4s ftyz^ fdyz$ dy{ - gdxz$ =- 4s Tyzdyz$ dy{ f 4s Tyzfgdxz$ = 4s dyz$ dyz$ dy{ f -4s dyz$ fgdxz$ =-s dyz Ty{ f- s dyz dy{ $ dy ^ f k, = k = = k = = k, = 4s zykzy{ yy kf -4s zykgykfzx{ x s dyz T fg s dyz $ dx( fg) - 4s gfzykzx{ xy k 4s zyk( f ) ykzy{ y (8) 4 y y x x k = = - s z kf kgz {, I =-s ftyz^ fty{ - gt z = s dyz$ f^ z = s dyz$ fz s dyz$ dyz^ f s dyz$ dyf^ z =-s z Ty^ fty{ - gt f s dyz ^ f -s z dyf$ -s z Tyf^, (9) I = 4s gt xz^ fdy{ $ dyz-g $ dxz = 4s Txzgfdyz$ dy{ -4s Txzg dxz$ =-4s dxz$ dx^gfdyz$ dy{ -4s dxz$ dx^g dxz$ k = = k, = = k = k, = =- 4s zxkgxkfzy{ y s d xz Ty{ gf s dxz dy{ $ gf 4s zxkzx{ xxkg - 4s zxkgfxkzy{ x 4s zx ^g k x zx x k { -4s zxkzy{ yx kgf-s d xz T g = k = -s dxz $ d x( g ), (0) I4 = s gtxz^ z =-s dxz$ dx^gz^ fty{ - gt =-s dxz$ dxgz^ fty{ - gt -s dxz$ dxz^ g -s dxz$ dx^ zg = s z Txg^ s z dxg$ dx^ s z Tx^ g -s d xz g^, () Karaelas Fe Mü. Derg., 07; 7():

5 Gölgeleye, Kaytaz Değişke Katsayılı Ultraiperbolik Dekleler içi Bir Carlea Değerlediresi I5 =-4s ^ f dy{ - g z ^ fdy{ $ dyz- g $ dxz =-s ^ f z $ dy{ - gdx^ z $ ^ f dy{ - g =-s z ^ f dy{ -g f^ s z fdy{ $ f dy{ -g -s z $ dx^ f dy{ -g g -s z $ dxg^ f dy{ -g s z dy{ $ dyf^ f dy{ -g () buluur. So olarak I6 =-s ^ f dy{ - g ^ fty{ - gty{ z () olur. Yukarıda elde edile (8)-() eşitlikleri birleştirilerek ^PzPz s, s L = J J J J4 J5 J ^ 6 biçiide yazılabilir. Burada k, = J = 4s zykzy{ yy kf-8s zykzx{ xy kfg - 4s ^gykf fy gzz k yk x{ x k = = 4s zy ^ f k y zy y, k { k, = J = 4s zxkzy{ xx kg k, = - 4s ^gxkf gfx k zxkzy{ x k = = 4s zxk( g ) xkzx{ x, k, = J =-s z fty^ fty{ - gt -s z Tyf^, J4 = s z gtx^ s z Txg^, k = = =-s dyz ^dy{ $ f - $ d x ^fg s dxz ^dy{ $ fg- $ d x ^g, J5 =-s dyz ^dy{ $ f - $ d x ^fg s dxz ^dy{ $ fg- $ d x ^g, J6 = s z ^dyf$ -dxg$ dx^ s z ^ fdy{ $ f dy{ -g -g $ dx^ f dy{ -g s z ^dy{ $ dyf- $ dxg^ f dy{ - g şeklidedir. İkici olarak, { ağırlık foksiyouu aşağıda verile özelliklerii kullaarak J,...,J 6 ifadelerii değerledireli: { xx i i= c{ ^ c} x i, { xx i = c{} ^ xx i c} xi} x, = c{, T = c{ ^Tx} c d x}, Ty{ - T = c{ d c{ d. Burada { xiy = c {} xi} y, { yy i i= c{} ^ yy i c} yi} y, dy{ = c{ dy}, Ty{ = c{ ^Ty} c dy}, d = fty} - gtx}, d = f dy} -g olarak taılaıştır. O alde -4s c{} x( gf) ykzykzx J = 4s zykzy{ yy kf-8s zykzx{ xy kfg - 4s zy ^ k gykf fy g k zx{ x 4s zy ^ f k y zy y k { = 4s 4s k, = k = = k, = k, = k, = c{} c{} } f z z yy i k yk y z z f y yk yk y -8s c{ gf} yk} xzykzx k = = k = = k = = 4s c{ zy ^ f k y zy y k } (4) ve k = = 64 Karaelas Fe Mü. Derg., 07; 7():68-646

6 Gölgeleye, Kaytaz Değişke Katsayılı Ultraiperbolik Dekleler içi Bir Carlea Değerlediresi k, = J = 4s zxkzx{ xx kg 4s zxk( g ) xkzx{ x k, = - 4s ^gxkf gf k = = k z z { = 4s c{ zxkzx} xx kg k, = 4s c{ zxkzx} x} xkg k, = 4s c{ } x( g ) xkzxkzx k, = x xk y y -4s c{ ( gf) xkzxkzy} y (5) k = = olarak esaplaır. Diğer yada Ty^{ d = c{ Ty} d c{ dy} d c{ dy} $ d { Ty ^d bağıtısı yardııyla J =-s z fty^ fty{ - gt -s z Tyf^ - s z Ty^c{ ^ fty} fc dy} -gt x} -gc dy} - s z Tyf^c{ ^ fty} fc dy} -gt x} -gc dy} =- s z c{ ^d Ty} Ty^d - s z c{ ^d dy} Ty} d dy} $ d 4 -s z c{ dy} d - s z Tyf^c{ d c { d (6) elde edilir. J 4 terii içi Tx^{ d = c{ Tx} d c{ d x} d c{ dy} $ dx^d { T x ^d eşitliği kullaılarak J4 = s z gtx^ s z Txg^ = s z gtx^c{ ^ fty} fc d x} -gt x} -gc d x} s z Txg^c{ ^ fty} fc d x} -gt x} -gc d x} = s z c{ ^d Tx} Tx^d s z c{ ^d d x} T x} d $ dx^d 4 s z c{ d x} d s z T xg^c{ d c { d (7) buluur. Ayrıca J5 =-s dyz ^dy{ $ dy ^f - $ d s d xz =-s c{ dyz ^dy} $ dy ^f - $ d ^fg ^dy{ $ fg- $ dx^g ^fg s c{ dxz ^dy} $ dy ^fg- $ dx^g (8) biçiide yazılabilir. So olarak, J 6 terii içi dy{ $ f dy{ - g = dy{ $ c{ d 4 = c{ d dy} $ dy} c { dy} $ d, 4 $ dx^ f dy{ - g = c { d $ c{ $ dx^d eşitlikleri yardııyla J6 =-s z ^dyf$ fty{ - gt -dxg$ dx^ s z ^ fdy{ $ f dy{ -g -g $ dx^ f dy{ -g s z ^dy{ $ dyf- $ dxg^ f dy{ - g =-s z 6c ^dyf$ dy} d - c { ^dyf$ dy} d -c{{ ^ dyf$ s z 6c ^dxg$ d -c { ^dxg$ d -c{{ ^ dxg$ 4 4s z c{ ^d s z c{ ^dy} $ dyf- $ dxgd s z c{ ^ fdy} $ d -g $ dx^d (9) x x Karaelas Fe Mü. Derg., 07; 7():

7 Gölgeleye, Kaytaz Değişke Katsayılı Ultraiperbolik Dekleler içi Bir Carlea Değerlediresi buluur. Ayrıca (4)-(9) eşitlikleride ^ k, = ^PzPz s, s L = 4s c{} yy kf zykzy 4s c{ c } yzyf k, = k = = -8s c{ gf} yk} xzykzx -4s c{} x ^gf y zy zx k k k = = 4s c{ zy ^ f k y zy y k } k = = 4s c{ zxkzx} xx kg k, = k, = k, = xk xk y y k = = 4s c{ c } xkzxkg 4s c{} x ^ g x zx zx k k -4s c{ ^gf z z } -s z c { d5 4 -s z c{ d7 -s z c { ^d -s z ^c{ ^Tyf- Txgd c { ^Tyf-Txgd -s dyz c{ ^dy} $ f - $ d x ^fg s dxz c{ ^dy} $ fg- $ d x ^g 4 4s z c{ ^d s z c { d d s z c{ d6 (0) elde edilir. Burada d: = d = dy} $ dyf- $ dxg, d4: = d4 = dyf$ d - dxg$ dx^d, d5: = d5 = ^d d4 Ty^d - Tx^d, d6: = d6 = fdy} $ d - g $ dx^d, d7: = d7 = d d d d dy} $ d - $ dx^d olarak taılaıştır. Bua ek olarak (0) eşitliğii sağ tarafıdaki ikici, üçücü ve yedici teriler içi = k = 4sc{ c } yzyf- } xkzxk g $ 0 eşitsizliği ve (9) kabulü dikkate alıdığıda ^PzPz, $ - 8bc{ s d z f ^ s s L y 4 8s xz g 4s d c{ d c{ z 4 os ^ c{ z elde edilir. (0) kabulü dikkate alıarak d = 6^ x-x0 -b y-y0 $ 6d 0 yazılabilir. O alde so eşitsizlikte ^PzPz s, s L $ - 8bc{ s yz f d ^ 8sc{ d xz g 4 64s c{d 0 z os ^ c 4 { z () buluur. () eşitsizliğii sağ tarafıdaki birici ve ikici terileri işaretleri farklı olduğuda ikici bir değerledireye itiyaç duyulur: s ^ f dy{ - g d { z ^Pz s { z = ftyz{ z - gtxz{ z - s^ fdy{ $ dyz-g $ dxz{ z - s^ { z = K K K K4 K5. Burada sırasıyla; K = ftzz{ z =- dyz$ dy ^ f{ z = c{ z Ty} f c { fz dy} - { f dyz { z Tyf c{ z dy} $ dyf, K =- gtxz{ z = dxz$ dx ^g{ z =- c{ z Tx} g - c { gz d x} { g d xz - { z T xg - c{ z $ dxg, K = s ^ f dy{ -g { z = s c{ ^ f dy} -g z = s c{ d z, K4 =- s^ fdy{ $ dyz- g $ dxz{ z =- s{ f z $ dy{ - sdy{ $ dy{ fz sdyf$ dy{{ z sdx^{ gz $ - s $ g z - sdxg$ dy{{ z = sc{ d z sc { d z sc{ ^dyf$ dy} -dxg$ z, K5 =- s^ fty{ - gt { z = sc{ d z - sc { d z şeklide esaplaır. Bu duruda 644 Karaelas Fe Mü. Derg., 07; 7():68-646

8 Gölgeleye, Kaytaz Değişke Katsayılı Ultraiperbolik Dekleler içi Bir Carlea Değerlediresi ^Pz s { z = c{ z Ty} f c{ fz dy} - { f dyz { z Tyf c{ z dy} $ dyf - c{ z T x} g - c{ gz { g dxz - { z T xg - c{ z $ dxg s c{ d z - sc{ d z sc{ d z sc{ ^dyf$ dy} -dxg$ z () olarak elde edilir. () deklei - sc^8b f ile çarpılırsa, 0 olak üzere - ^8b sc{ f^pz s z = ^8b sc{ f dyz 4 os ^ c{ z - ^8b sc{ fg d xz buluur. () ve () bağıtıları dikkate alıarak ^PzPz s, s - ^8b sc{ f^pz s z $ c{ s dyz f ^8g -8bf- gf dxz L^ 4 64s c{d0 z os ^ c{ z 4 () elde edilir. So olarak 0 b ve yeterice küçük 0 içi 8g -8bf- gf 0 olur. Böylece Teore 4 ü ispatı taalaır. 4. Kayaklar Airov, AK. 00. Itegral Geoetry ad Iverse Probles for Kietic Equatios, VSP, Utrect Te Neterlads, 0 pp. Baudoui, L., Mercado, A., Osses, A A global Carlea estiate i a trasissio wave equatio ad applicatio to a oe-easureet iverse proble. Iverse Probl., : -. Bellassoued, M., Yaaoto, M. 006a. Iverse source proble for a trasissio proble for a parabolic equatio. J. Iverse Ill-Pose. P., 4: Bellassoued, M., Yaaoto, M. 006b. Logaritic stability i deteriatio of a coefficiet i a acoustic equatio by arbitrary boudary observatio. J. Mat. Pures Appl., 85: 9-4. Beabdalla, A., Dereia, Y., Le Rousseau, J Carlea estiates for te oe-diesioal eat equatio wit a discotious coefficiet ad applicatios to cotrollability ad a iverse proble. J. Mat. Aal. Appl., 6: Bukgei, AL., Klibaov, MV. 98. Global uiqueess of a class of iverse probles. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 60(): Calderó, A. P Uiqueess i te Caucy proble for partial differetial equatios. A. J. Mat., 80(): 6-6. Carlea, T. 99. Sur u problee, d'uicité pour les systees d'équatios aux derivées partiellesa deux variables idepedetes. Ark. Mat. Astr. Fys., : -9. Caucy, A. L. 84. Méoire sur l'eploi du calcul des liites das l'itégratio des équatios aux dérivées partielles. C. R. Acad. Sci., V: Courat, R., Hilbert, D. 96. Metods of Mateatical Pysics, Volue II Partial Differetial Equatios New York, 80 pp. Craig, W., Weistei, S O deteriis ad wellposedess i ultiple tie diesios. P. Roy. Soc. Lod. A Mat., 465: Egger, H., Egl, HW., Klibaov, MV Global uiqueess ad Hölder stability for recoverig a oliear source ter i a parabolic equatio. Iverse Probl., : Foster, J., Müller, B. 00. Pysics wit two tie diesios. ariv preprit ariv: Gilbert, RP., Kaiwara, J., u, YS Direct ad iverse probles of ateatical pysics, Spriger Sciece & Busiess Media, 45 pp. Gölgeleye, F., Yaaoto, M. 04. Stability of iverse probles for ultrayperbolic equatios. Ciese A. Mat. B., 5(4): Gölgeleye, I. 00. O te Solutio of a Iverse Proble for a Itegro-differetial Trasport Equatio. CMES-Cop. Model. Eg. Sci., 64(): Holgre, E. 90. Über Systee vo lieare partielle Differetialgleicuge. Öfvers. Kogl. Vetesk.-Akad. För., 58: Hörader, L. 96. Liear partial differetial operators, Spriger Verlag, Berli, 85 pp. Iauvilov, OY., Yaaoto, M Lipscitz stability i iverse parabolic probles by te Carlea estiate. Iverse Probl., 4: Iauvilov, OY., Yaaoto, M. 00a. Global Lipscitz stability i a iverse yperbolic proble by iterior observatios. Iverse Probl., 7: Karaelas Fe Mü. Derg., 07; 7():

9 Gölgeleye, Kaytaz Değişke Katsayılı Ultraiperbolik Dekleler içi Bir Carlea Değerlediresi Iauvilov, OY., Yaaoto, M. 00b. Global uiqueess ad stability i deteriig coefficiets of wave equatios. Cou. Part. Diff. Eq., 6: Isakov, V., Yaaoto, M Carlea estiate wit te Neua boudary coditio ad its applicatios to te observability iequality ad iverse yperbolic probles. Cotep. Mat., 68: 9-5. Isakov, V Iverse probles for partial differetial equatios, Spriger Sciece & Busiess Media, 44 pp. Keig, CE Carlea estiates, uifor Sobolev iequalities for secod-order differetial operators, ad uique cotiuatio teores. Proceedigs of te Iteratioal Cogress of Mateaticias, Berkeley, Calif., : Kaı{darov, A O stability estiates ad iverse probles for secod order yperbolic equatios. Mat. USSR Sb., 58: Klibaov, MV., Yaaoto, M Lipscitz stability for a iverse proble for a acoustic equatio. Appl. Aal., 85: Klibaov, MV. 0. Carlea estiates for global uiqueess, stability ad uerical etods for coefficiet iverse probles. J. Iverse Ill-Pose. P., (4): Kowalevsky, S "Zur Teorie der partielle Differetialgleicug". J. Reie Agew. Mat., 80: -. Lavret ev, MM., Roaov, VG., Sisatskii, SP Ill- Posed Probles of Mateatical Pysics ad Aalysis. Aerica Mateatical Society, Providece, RI, 90 pp. Liu, S., Triggiai, R. 0. Global uiqueess ad stability i deteriig te dapig coefficiet of a iverse yperbolic proble wit o-oogeeous Diriclet BC troug a additioal localized Neua boudary coditio. Appl. Aal., 9: Lü, Q. 0. Carlea estiate for stocastic parabolic equatios ad iverse stocastic parabolic probles. Iverse Probl., 8(4): Müller, C O te beavior of te solutios of te differetial equatio ΔU= F (x, U) i te eigborood of a poit. Cou. Pure Appl. Mat., 7(): Petrovskii, I Partial Diffetial Equatios, Nauka, Moscow, 40 pp. Puel, JP., Yaaoto, M O a global estiate i a liear iverse yperbolic proble. Iverse Probl., : Roaov, VG., 006. Estiate for te solutio to te Caucy proble for a ultrayperbolic iequality, Dokl. Mat., 74: Yaaoto, M Carlea estiates for parabolic equatios ad applicatios. Iverse Probl., 5: 0. Yildiz, M., Heydarov, B., Gölgeleye, I. 00. Approxiate Solutio of a Iverse Proble for a No-Statioary Geeral Kietic Equatio. CMES-Cop. Model. Eg. Sci., 6(): Yua, G., Yaaoto, M Lipsitz stability i iverse probles for a Kircoff plate equatio. Asyptotic Aal., 5: Karaelas Fe Mü. Derg., 07; 7():68-646