ELASTİK YATAK ÜZERİNE YERLEŞTİRİLMİŞ EĞRİ MİKRO KİRİŞİN 2:1 İÇ REZONANSLARI

Transkript

1 XVIII. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 6 - Ağustos, Celal Bayar Üiversitesi, Maisa ELASTİK YATAK ÜZERİNE YERLEŞTİRİLMİŞ EĞRİ MİKRO KİRİŞİN : İÇ REZONANSLARI Gözde Sarı ve Mehet Pakdeirli Uygulaalı Mateatik ve Hesaplaa Merkezi, Celal Bayar Üiversitesi, 454, Muradiye, Maisa Makie Mühedisliği Bölüü, Celal Bayar Üiversitesi, 454, Muradiye, Maisa gozde.deger@cbu.edu.tr, pak@cbu.edu.tr ABSTRACT I this study, the dyaic behaviour of a slightly curved resoat icrobea havig oideal boudary coditios is ivestigated. The eds of the curved icrobea are o iovable siple supports ad the icrobea is restig o a o-liear elastic foudatio. The forced vibratio respose of curved icrobea due to the sall AC load is obtaied aalytically by eas of direct applicatio of the ethod of ultiple scales (a perturbatio ethod). Two-to-oe iteral resoaces betwee ay two odes of vibratio are studied. Aplitude ad phase odulatio equatios are obtaied. Steady state solutios ad stability are discussed, ad a bifurcatio aalysis of the aplitude ad phase odulatio equatios are preseted. The effects of the o ideal boudary coditios o the vibratios of the icrobea are exaied. ÖZET Bu çalışada, ideal olaya sıır şartlarıa sahip hafif eğrilikli rezoas ikro kirişi diaik davraışı araştırılıştır. Eğri ikro kirişi uçları basit basit esetleiştir ve kiriş olieer elastik yatak üzerie yerleştiriliştir. Küçük AC yüküde dolayı eğri ikro kirişi zorlaalı titreşi tepkisi çok ölçekli etodu (perturbasyo etodu) direk uygulaası ile aalitik olarak elde ediliştir. Titreşii iki odu arasıda : iç rezoasları çalışılıştır. Gelik ve faz dekleleri elde ediliştir. Düzgü reji çözüleri ve çözüleri kararlılığı tartışılış ve gelik-faz odülasyo deklelerii bifürkasyo aalizi suuluştur. İdeal olaya sıır şartlarıı sistei titreşiie etkileri araştırılıştır.. GİRİŞ Mikro elektro ekaik sisteler yakı zaada ortaya çıkış devri iteliğide bir tekolojidir. Bu ala özellikle ekaik ve elektrik-elektroik alaları gibi disipliler arası çalışaları ortaklığıı gerektirektedir. [,] Bu çalışada resoatör ikro sisteler üzeride durulacaktır. Resoatörleri uygulaa alalarıa kiyasal ve biyolojik içerik belirleek içi kullaıla kütle sesörleri, kuvvet ve ive sesörleri ve sıcaklık sesörleri 57

2 Sarı ve Pakdeirli örek olarak verilebilir. Resoatörleri doğal frekasları ekseel şekil değiştireye çok duyarlıdır. Basıç, sıcaklık, kuvvet, ive gibi dış yükler ikro kirişi ekseel şekil değişiie ede olur ve bu değişi teel frekası kayasıa ede olur. Bu frekas kayaları dijital siyale döüştürülerek okuur. Bu siyaller fiziksel büyüklükleri tesil eder. Bu yüzde resoatör uygulaalarıda, kirişi lieer olaya rezoas frekasıı kesi olarak belirleesi öelidir. Elektriksel kuvvet ile tahrik edile akro kiriş odeli literatürde pek çok çalışada uygulaış ve aalitik etotlarla çözülüştür. Makro odel ikro sisteler içi etki ve doğru bir dizaya ika sağlaaktadır. Geliştirile odel, literatürü deey ve solu elealar yöteii souçları ile kıyaslaıştır. Baskı rezoas, alt ve üst haroik rezoas duruları iceleiştir. [-] Eğri ikro kirişler so yıllarda yapıla çalışalarda iceleiştir. [,] Eğri ikro kirişler başlagıçta eğri olarak üretilebilirler, üreti kayaklı iç gerilelerde dolayı eğri olabilirler yada ekseel baskı kuvveti ile burkularak da eğri yapılabilirler. Eğri ikro kirişi diaik davraışıı ifade etek içi doğal frekasıı, zorlaa geliğii ve o-lieerlik etkilerii belirleek gerekir. Mikro kirişii elastik yatak ile elektrotu üzerie yerleştirilesi literatürde iceleiştir. Burkula kirişi etrafıdaki titreşi odları ve kritik burkula yükleri belirleiştir. [,4] Literatürde akro eğri kiriş odeli detaylı olarak iceleiştir. Baskı rezoas ve ikicil rezoaslar içi frekas-tepki grafikleri suuluştur. [5,6] İdeal olaya sıır şartları altıda ikro ve akro kiriş içi çalışalar yapılıştır. İdeal olaya sıır şartlarıı frekas-tepki grafiklerie etkileri grafiklerle gösteriliştir.[7,8] Bu çalışada ikro kiriş odelide kirişi başlagıçta hafif eğriliği olacaktır ve elastik yatak üzerie yerleştirilecektir. Eğri ikro kirişi sıır şartları içi ideal olaya sıır şartı kabulü yapılacaktır. Modelde kuadratik olieerite olduğu içi : iç rezoas duruua bakılacaktır. Ayrıca sistei kararlık aalizi de yapılacaktır.. MATEMATİKSEL MODEL Bu bölüde elektriksel kuvvet ile zorlaa eğri ikro kirişi diaik davraışıı tesil ede dekle forüle ediliştir. Şekil. de ideal olaya sıır şartlarıda çalışa eğri ikro kirişi şeatik resi görülektedir. Eğri kiriş elektroda lieer olaya elastik yatak ile sabitleiştir. w(x,t) ekaa ve zaaa bağlı deplasa, x eka koordiatı, E elastisite odülü, I kesit ala atalet oeti, ρ alzee yoğuluğu, A kesit alaı, L kiriş uzuluğu, k elastik yatağı lieer yay katsayısıdır. Şekil.. Elastik yatak üzerie sabitleiş eğri ikro kirişi şeatik çizii Eğri ikro kirişi eie titreşileride hareket dekleii çıkarak içi Hailto presibi kullaılıştır. Hailto presibi aşağıdaki eşitliği gerektirir, XVIII. Ulusal Mekaik Kogresi 58

3 Sarı ve Pakdeirli t ( T V ) dt t (.) Burada T kietik eerjiyi, V ise potasiyel eerjiyi tesil eder. Bu ifadeleri oluşturak istediğiiz eğri ikro kiriş odeli içi yazalı, T Aw dx (.) * * L L L * * * * * * * * * ( ) V EA u Z w w dx E I w dx k w dx (.) Dekle (.) de kietik ve potasiyel eerji ifadelerii yerie koyarak Hailto presibi ile hareket deklei, t L L * * * * * * * ( Aw dx E A ( u Z w w ) dx t L L * * * * * EI w dx k w dx ) dt (.4) şeklide elde edilir. Dekle (.4) ü sıfıra eşit olabilesi içi tek ve çift katlı itegraller ayrı ayrı sıfıra eşitleir ve souç olarak ikro kirişi eie titreşilerii ifade ede hareket deklei, Aw ( Z w ) ( w Z w ) dx E Iw kw L * EA * * * * * * * IV * ve sıır şartları, w w L t t w w *,t *, *, t *, * (, * ) ( * ), * L, t * (.5) (.6) elde edilir. Elde ettiğiiz lieer olaya diferasiyel deklee söü ve zorlaa etkileri de dahil edelirse b( V cos t ) Aw E Iw w kw Z w w Z w dx (.7) L * * * ıv * * * EA * * * * * * AC ( ) ( ) * * ( d Z w ) deklei elde edilir. Kiriş elektriksel kuvvet ile tahrik edilektedir. Kiriş, d kadar uzağıa yerleştirile paralel-plak elektrotlar sayeside AC haroik yükü ile uyarılaktadır. Haroik yükü geliği VAC ile gösterilirke frekası 'dır. Sıır şartlarıda sağ uçta çok küçük deplasa eydaa geldiği varsayılıştır. Bu yüzde sağ uçtaki sıır şartı ideal değildir. Hareket dekleleri ve sıır şartları aşağıdaki şekilde boyutsuzlaştırılabilir, * * * * w x t Z w, x, t, Z, Ω=Ω * T (.8) d L T d Boyutsuz hareket deklei ve sıır şartları şöyledir, 4 w w w d Z w w dz w ( VAC cos( t)) 4 w ( ) dx x t t dx x x dx x ( Z w) (.9) XVIII. Ulusal Mekaik Kogresi 59

4 Sarı ve Pakdeirli w(, t) w(, t) w(,t)=,, w(,t)= α(t), x x Boyutsuz paraetreler ve fiziksel olarak alaları Tablo. de yazılıştır. (.) Tablo.. Boyutsuz paraetreler Paraetre Fiziksel taıları 4 kl EI 4 bl d EI d h * L AEI Z eğrilik foksiyoudur ve Z 4x x Lieer elastik yatak yay katsayısı Elektriksel kuvvet paraetresi Orta düzle gerile paraetresi Söü paraetresi şeklide alııştır.. PERTURBASYON ANALİZİ Mateatik odeli yaklaşık çözüüü hesaplaak içi perturbasyo etotlarıda çok zaa ölçekli etot deklee direk olarak uygulaacaktır. [9] Sistei eie titreşi hareketi aşağıdaki gibi öeriliştir, w(x,t; )= w(x,t,t)+ w(x,t,t) (.) Baskı rezoas duruu içi aşağıdaki gibi ertebe düzeleesi yapalı, Z~O(), ~, ~ ~ Dekle (.) boyutsuz hareket dekleide yerleştirilirse ve ertebelerie ayrıştırılırsa, Mertebesi : ıv w D w w Z '' Z ' w ' dx (.) w(,t,t)=, Mertebesi: w (,T,T)=, w (,T,T ), w (,T,T)= ıv w D w w Z Z w dx D D w D w Z w dx w V cos ( t) AC Z w ( Z ) w(,t,t)=, w (,T,T)=, w (,T,T ), w (,T,T)= elde edilir. ertebei çözüü parabolik eğrilik foksiyou içi aşağıdaki gibidir, (.) XVIII. Ulusal Mekaik Kogresi 54

5 Sarı ve Pakdeirli (cos ) (cosh ) Y ( x) c ( cos x si x cosh x sih x) (.4) 5 si sih ertebeside : iç rezoas duruu iceleecektir. Bu yüzde zorlaa frekası sistei tabi frekaslarıda birie yakı alıacaktır. Zorlaa frekası ci tabii frekasa yakı olacak şekilde alııştır. (.5) Burada ayar paraetresi olup zorlaa frekasıı doğal frekaslara yakılığıı gösterek içi kullaılıştır. Bu açılıda bu ertebedeki çözüleri elde etek içi zorlaa ifadeside yerie yazılacaktır. Herhagi bir ici od ile ici od arasıda iç rezoası varlığı araştırılacaktır. : iç rezoas şartı içi frekası biri yaklaşık olarak diğerii iki katı olası gerekektedir. (.6) ertebeside yerie yazılır ve gerekli ara işleler yapılır ise düzgü reji davraışıda gelikler aşağıdaki gibi hesaplaabilir. a 'i basit çözüü içi, ertebe çözüü a = ve a V AC ( M ) ( ) elde edilir. a 'i basit olaya çözüü içi a ( M ( )) ( ) (.8) f 4M ( ) 8 ( ( )) 8 M 4M M a ( ( VAC f 6M 4 (.7) / / ( ) M ( ) M ( ) M ( M w M )) ) 6 6 (.9) elde edilir. Burada M ve M ideal olaya sıır şartları ile ilgili terilerdir ve frekas-gelik eğrilerie etkileri araştırılaktadır. 4. KARARLILIK ANALİZİ Bu bölüde düzgü reji deklelerii kararlılığıa bakılacaktır. Sistei kararlılığı hakkıda bilgi faz odülasyo dekleleride elde edile Jakobiye atriste elde edilecektir. Düzgü reji gelik faz odülasyo dekleleri, a a aasi G( a, a,, ) 4 a a a si VAC f si G( a, a,, ) 4 M a cos VAC f cos G ( a, a,, ) 4 a a M M a VAC f cos a cos cos G4 ( a, a,, ) 4 a a (4.) XVIII. Ulusal Mekaik Kogresi 54

6 Sarı ve Pakdeirli olarak yazılır. Bu dekleler Jakobiye atriste yerie yerleştirilirse, G G G G a a G G G G a a G G G G a a G G G G a a aa aa (4.) elde edilir. Jakobiye atrisi öz değerlerii, kararlılığı sağlaabilesi içi, pozitif reel kısa sahip olaası gerekir. Bu yaklaşı basit olaya çözü içi geçerlidir. Fakat basit çözü içi uygu değildir. Basit çözüü kararlılığıı belirleek içi kopleks gelik dekleleri içi alteratif bir for kullaılacaktır. ( ) ( ) iv T A T p iq e ve iv T A ( T ) ( p iq ) e (4.) Çözülebilirlik şartı dekleleride geliği (4.) ifadeside belirtildiği gibi yei forları yerleştirilip dekleler reel ve saal kısılara ayrılıp düzeleirse, q M p pv q ( p p qq) H( q, p, q, p) 4 p M a qv p ( pq q p) H( q, p, q, p) 4 VAC f q M p pv q ( p q ) H( q, p, q, p) 4 p M a q v p elde edilir. Burada p q H ( q, p, q, p ) 4 v ve v 'dır. Deklei sabit oktaları hesaplaırsa, VAC f ( M ) VAC f p p, q q 4 ( M ) 4 ( M ) elde edilir. Bu sabit oktalarda Jakobiye atrisi oluşturalı, (4.4) (4.5) XVIII. Ulusal Mekaik Kogresi 54

7 Sarı ve Pakdeirli H H H H p p q q H H H H p p q q H H H H p p q q H H H H p p q q p q p p qq (4.6) Bu atrisi özdeğerlerii, kararlılığı sağlaabilesi içi pozitif reel kısılara sahip olaası gerekir. Özdeğerler aalitik olarak hesaplaabilektedir. Eğer (4.7) ifadesideki şartlar sağlaırsa çözü kararlı, sağlaaazsa çözü kararsızdır. VAC ( M ) 4 ( M ( )) 4 (4.7) f Zorlaa geliğii az olduğu bölgede, alçak odu çözüü basittir. Zorlaa geliği arttırıldıkça alçak od basit olaya çözü verir ve yüksek od ile etkileşir. Siste he alçak od he de yüksek odda titreşir. Eerji trasferii olduğu bu okta süper kritik çatal bifürkasyo oktasıdır. Bifürkasyo oktasıı vere geel dekle, VAC ( M ( )) ( M ) f 4 4 (4.8) şeklide ifade edilir. Siste paraetrelerii bazı özel değerleri içi, zorlaa-gelik grafikleride eğer-düğü bifürkasyo oktaları görülektedir. Eğer-düğü bifürkasyo oktaları Dekle (4.9)'da aalitik olarak hesaplaır. V AC 4( M M ) f 5. SAYISAL SONUÇLAR (4.9) Bu bölüde sayısal aaliz souçları verilecektir. Parabolik eğrilik duruu içi : iç rezoas duruu içi çözüler bir öceki bölüde elde edilişti. Farklı elastik yatak katsayısı içi ilk beş tabi frekas Tablo 5.'de yazılıştır. : rezoasları elde etek içi elastik yatak değerleri dekle 5. de elde edilecektir (5.) Tablo 5.. Elastik katsayı değerie göre ilk beş tabi frekas XVIII. Ulusal Mekaik Kogresi 54

8 Sarı ve Pakdeirli Elastik yatak katsayısı 8 değerie eşit olduğuda, birici ve dördücü odlar arasıda iç rezoas eydaa gelektedir. Şekil 5. de birici ve dördücü odlar arasıda iç rezoaslar iceleiştir. Dış zorlaa frekası dördücü od frekasıa yakı alııştır. Dördücü od frekası ise birici od frekasıı yaklaşık olarak iki katı alııştır. Şekillerdeki sürekli çizgiler kararlı çözüü, kesikli çizgiler ise kararsız çözüü ifade etektedir. Sistei paraetre değerleri değiştirilerek kuvvet-tepki ve frekas tepki grafikleri elde ediliştir. İdeal olaya sıır şartıı kuvvet-tepki ve frekas-tepki grafiklerie etkileri gösteriliştir. Şekil 5. de ideal ve ideal olaya sıır şartı durularıı kıyaslaak içi iki grafik çizdiriliştir. Şekil 5. (a) da ideal sıır şartı duruu, (b) de ise ideal olaya sıır şartı paraetresii farklı değeri içi kuvvet tepki eğrileri görülektedir. Sıır şartı paraetresi hariç diğer paraetreler her iki grafikte de sabit alııştır. Şekil 5. (a) grafiğide ideal sıır şartı duruu içi birici od ve dördücü od tepkileri oklar ile açıklaıştır. Grafiklerde elektriksel kuvvet geliği kadeeli olarak arttırılıştır. VAC değeri 5.48 değerie ulaşıcaya kadar birici odu gelik değeri sıfırdır. Dördücü odu geliği ise bu kritik değere kadar lieer olarak artaktadır. VAC değeri 5.48 kritik değerie ulaşıca dördücü od birici odu uyarır. Bu kritik okta süper kritik çatal bifürkasyo oktasıdır. Bu kritik kuvvet değeride sora ilk od basit olaya çözü verektedir ve gelik artaktadır. Dördücü odu geliği ise sabit kalaktadır. Zorlaa kuvvetii geliği kadeeli olarak arttırıldığıda ve azaltıldığıda birici od ve dördücü od ayı gelik değerlerii verektedir. Birici od ve dördücü od içi ideal olaya sıır şartı paraetreleri sırası ile B ve B dir. Bu paraetrelere sıfırda farklı değerler verildiğide siste ideal olaya sıır şartıa sahip olaktadır. Şekil 5. (b) grafiğide kuvvet tepki grafiği B=B=. alıarak çizdiriliştir. Bu duruda bifürkasyo oktası.5 dir. İdeal sıır şartı durudaki grafik ile kıyasladığıda bifürkasyo oktasıı sola doğru kaydığı ve odlar arasıdaki eerji trasferii azaldığı görülektedir. Şekil 5., ideal ve ideal olaya sıır şartı durularıı frekas tepki grafiklerie etkilerii belirleek içi çizdiriliştir. Şekil 5. (a) da ideal sıır şartı duruu, (b) de ise ideal olaya sıır şartı içi frekas tepki eğrileri görülektedir. Sıır şartı paraetresi hariç diğer paraetreler iki grafikte de sabit alııştır. Şekil 5. (a) grafiğide ideal sıır şartı duruu içi birici od ve dördücü od tepkileri oklar ile açıklaıştır. Grafiklerde frekas kadeeli olarak arttırılıştır. Frekas değeri -.9 değerie ulaşıcaya kadar birici odu gelik değeri sıfırdır. Bu kritik okta süper kritik çatal bifürkasyo oktasıdır. Dördücü odu geliği ise bu kritik değere kadar artaktadır. Frekas ayar paraetresi değeri -.9 kritik değerie ulaşıca dördücü od birici odu uyarır. Bu kritik frekas değeride sora ilk od basit olaya çözü verir. Birici odu geliği artarke dördücü odu geliği azalaktadır. XVIII. Ulusal Mekaik Kogresi 544

9 Sarı ve Pakdeirli a 4, V AC (a) İdeal sıır şartı.45, V AC (b) İdeal olaya sıır şartı Şekil 5.. Kuvvet tepki grafiği ( =., = 8, =.5, μ=., =5, f=.77, ω =9.8969, ω 4 =8.7958, ρ=.5695, λ =96., λ =48.5, σ=.557 (a)b =, B =, (b) B =., B =.) Şekilde görüldüğü gibi birici od geliği aksiu geliğe ulaştıkta sora azalaktadır ve bu oktada sora dördücü od geliği ise artaya başlaaktadır. Frekas ayar paraetresi değeri.89 olduğuda birici od gelik değeri sıfıra ulaşakta ve dördücü od geliği de bu oktada sora azalaya başlaaktadır. Şekil 5. (b) grafiğide frekas tepki grafiği B=B=. alıarak çizdiriliştir. Bu duruda bifürkasyo oktaları -.59 ve.9 dur. İdeal sıır şartı durudaki grafik ile kıyasladığıda bifürkasyo oktalarıı sağa doğru ötelediğii ve odları gelik değerleride öeli farklılıklar olduğu görülektedir. XVIII. Ulusal Mekaik Kogresi 545

10 Sarı ve Pakdeirli..5, (a) İdeal Şart..5,..5 Şekil 5.. Frekas tepki grafiği ( =., (b) İdeal olaya şart = 8, =., μ=., =5, f=.77, ω =9.8969, ω 4 =8.7958, ρ=.5695, λ =96., λ =48.5, V AC=5, (a) B =, B =, (b) B =., B =.) 6. SONUÇLAR VE TARTIŞMA Bu çalışada ideal olaya sıır şartlarıı eğri ikro kirişi ikicil rezoaslarıa etkileri araştırılıştır. İdeal olaya sıır şartları perturbasyo teorisi ile odelleiştir. Dekle çözüleri çok ölçekli etot ile elde ediliştir. Souç olarak ideal olaya sıır şartlarıı eğri ikro kirişi kuvvet tepki ve frekas tepki eğrileride öeli değişiklikler eydaa getirdiği buluuştur. Bifürkasyo oktalarıda öeli kayalar eydaa geliştir. Bu bilgiler literatüre öeli katkıda buluaktadır. Çükü gerçekte sıır şartlarıı ideal olabilesi eredeyse ikasızdır. İdeal olaya sıır şartı kabulü sistei odelii daha gerçeğe uygu hale getirektedir. Mikro aletleri çok hassas çalıştığı ve olieerlik etkilerii bu aletler içi çok öeli olduğu bilidiğide yapıla olieer aaliz öe taşıaktadır. XVIII. Ulusal Mekaik Kogresi 546

11 Sarı ve Pakdeirli 6. REFERANSLAR [] R.M. Li, W.J. Wag, "Structural dyaics of Microsystes-curret state of research ad future directios" Mechaical Systes ad Sigal Processig 5-4, 6. [] J.F. Rhoads, S.W. Shaw, L. K. Turer, "Noliear Dyaics ad Its Applicatios i Micro- ad Naoresoators" Joural of Dyaic Systes, Measureet ad Cotrol, Vol. / 4-,. [] M.I. Youis, "Ivestigatio of the Mechaical Behaviour of Microbea-based Mes devices" Thesis,. [4] M.I. Youis, E. M. Abdel-Raha, A. H. Nayfeh, "Static ad dyaic behaviour of a electrically excited resoat icrobea i Proceedigs of the AIAA 4rd Structures" Structural Dyaics ad Materials Coferece, Dever, CO, AIAA Paper No. -5,. [5] E.M. Abdel-Raha, M.I. Youis ad A.H. Nayfeh, "Characterizatio of the echaical behaviour of a electrically actuated icrobea" Joural of Microechaics ad Microegieerig ,. [6] M.I. Youis, A. Nayfeh, "A Reduced-Order Model for Electrically Actuated Microbea- Based MEMS" Joural of Micro electro echaical Systes 67-68,. [7] E.M. Abdel-Raha, A.H. Nayfeh, "Super haroic resoace of a electrically actuated resoat icro sesor" Naotech 44-4,. [8] M.I. Youis ad A.H. Nayfeh, "A study of the o liear respose of a resoat icrobea to electric actuatio" Noliear Dyaics 9-7,. [9] A.H. Nayfeh, M.I. Youis, "Dyaics of MEMS resoators uder superharoic ad subharoic excitatios" Joural of Microechaics ad Microegieerig , 5. [] F. Najar, A.H. Nayfeh, E.M. Abdel-Raha, S. Choura, S. El-Borgi, "Noliear Aalysis of MEMS Electrostatic Microactuators: Priary ad Secodary resoaces of the first ode" Joural of vibratio ad cotrol, 6(9):-49,. [] H.M. Ouakad, M.I. Youis, "The dyaic behaviour of MEMS arch resoators actuated electrically" Iteratioal Joural of No-Liear Mechaics ,. [] M.I. Youis, H.M. Ouakad, F.M. Alsalee, R. Miles, W. Cui, "Noliear Dyaics of Mes Arches Uder Haroic Electrostatic Actuatio" Joural of Micro electro echaical Systes, Vol. 9, No., Jue. [] S. Abu-Salih ad D. Elata, "Electroechaical bucklig of a pre-stressed layer boded to a elastic foudatio" NSTI-Naotech -6, 4. [4] A. Delavaz, S.N. Mahoodi, N. Jalili ad H. Zohoor, "Liear ad oliear vibratio ad frequecy respose aalyses of icro-catilevers subjected to tip-saple iteractio" Iteratioal Joural of No-Liear Mechaics ,. [5] H.R. Öz, M. Pakdeirli, E. Özkaya, M. Yılaz, "No liear vibratios of a slightly curved bea restig o a oliear elastic foudatio", Joural of Soud ad Vibratio Volue, Issue, 95-9, 998. [6] H.R. Öz, "Two-to-oe iteral resoaces i a shallow curved bea restig o a elastic foudatio" Acta Mechaic85, 45 6, 6. XVIII. Ulusal Mekaik Kogresi 547

12 Sarı ve Pakdeirli [7] H.O. Ekici ad H. Boyacı, "Effects of No-ideal Boudary Coditios o Vibratios of Microbeas" Joural of Vibratio ad Cotrol 69-78, 7. [8] M. Pakdeirli, H. Boyaci, "Effect of o-ideal boudary coditios o the vibratios of cotiuous systes" Joural of Soud ad Vibratio, Vol. 49, o. 4, pp. 85-8,. [9] A.H. Nayfeh, "Itroductio to Perturbatio Techiques". New York, Wiley, 98. XVIII. Ulusal Mekaik Kogresi 548