ÇÖZÜM YÖNTEMLER. Erdem BAYAR. Anabilim Dal : Matematik. Tez Dan man : Doç. Dr. Ay egül DA CIO LU

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNVERSTES FEN BMLER ENSTTÜSÜ DEKEN KATSAYILI LNEER FARK DENKLEMLERN ÇÖZÜM YÖNTEMLER YÜKSEK LSANS TEZ Erde BAYAR Aabili Dal : Mateatik Progra : Uygulaal Mateatik Tez Daa : Doç. Dr. Ayegül DACIOLU Aralk i

2

3

4 ÖNSÖZ Bu çala, Paukkale Üiversitesi Mateatik Aabili Dal Öreti Üyesi Doç. Dr. Ayegül DACIOLU yöetiide yaplarak Paukkale Üiversitesi Fe Bilileri Estitüsü'e Paukkale Üiversitesi Bilisel Arara Projeleri Koordiasyo Birii (PAUBAP) desteiyle Yüksek Lisas Tezi olarak suulutur. Yüksek lisas tez kousuu baa tekli ede, çalalar boyuca karla zor durularda yardlar esirgeeye, katklaryla bei yöledire ve tezii büyük bir sabr ve titizlikle yöete saygdeer hoca Doç. Dr. Ayegül DACIOLU a teekkür eder ve sayglar suar. Aralk Erde BAYAR iv

5 NDEKLER ÖZET... viii SUMMARY... i.g.... TEMEL KAVRAMLAR...7. Ayrk Mateatik le lgili Baz Kavralar Baz Operatörler ve Özellikleri Fark Deklei ve Sladlas Fark Dekleii Çözüleri SABT KATSAYILI LNEER FARK DENKLEMLERN ANALK ÇÖZÜM YÖNTEMLER Hooje Dekleler çi Çözü Yöteleri Karakteristik dekle yardyla çözü E operatörü yardyla çözü Hooje Olaya Dekleler çi Özel Çözü Bula Belirsiz katsaylar yötei Ters operatörler yötei Paraetreleri deii etodu Ürete Foksiyo Yardyla Çözü Mertebe Düüre Metoduyla Çözü Laplace Döüüü le Çözü DEKEN KATSAYILI LNEER FARK DENKLEMLERN ANALK ÇÖZÜM YÖNTEMLER Birici Mertebede Dekleler çi Çözü Yöteleri Geel çözü bula Balagç deer probleii çözüü Baz oksiyoel ark dekleleri çözüü kici Mertebede Dekleler çi Çözü Yöteleri Birici ertebede türetilebile dekleler Mertebe düüre yötei Ta hale gelebile dekleler Hooje ks çözüleri arasda oksiyoel bat evcutsa Belirli itegraller yardyla çözü Balagç ve sr deer problelerii çözüü E Operatörü ile Çarpalara Ayrlabile Dekleler ve Operatörleri Yardyla Çözü Seriler Yardyla Çözü Ürete oksiyo yötei Faktöriyel serisi ile çözü Bir paraetreli arta veya azala kuvvet serilerie aç Z Döüüü Yardyla Çözü SONUÇ VE ÖNERLER... 3 KAYNAKLAR... 5 v

6 TABLO LSTES Tablo 3.: g() oksiyoua göre alacak deee çözüleri...3 Tablo 3.: Baz oksiyolar Laplace döüüleri...44 Tablo 3.3: Laplace döüüüü özellikleri...44 Tablo 4.: Baz oksiyolar Z döüüleri... vi

7 : Doal Saylar : Ta Saylar : Reel Saylar : leri Fark Operatörü : Geri Fark Operatörü E : Kaydra Operatörü : Merkezi Fark Operatörü L : Laplace Operatörü Z: Z döüü Operatörü : Gaa Foksiyou b a b a : : : Belirsiz Topla a dab ye topla sebolü a dab ye çarp sebolü SEMBOL LSTES vii

8 ÖZET DEKEN KATSAYILI LNEER FARK DENKLEMLERN ÇÖZÜM YÖNTEMLER Bu çalada deke katsay lieer ark deklelerii aalitik çözü yöteleri üzeride durulutur. Birici bölüde ark dekleleri üzerie güüüze kadar yapla araralarda ve kulla alalarda bahsedilitir. kici bölüde ark dekleleri içi teel kavralar verilip ark deklelerii çözüleri ve sladlas üzeride durulutur. Üçücü bölüde ise sabit katsay lieer ark deklelerii aalitik çözüleri verilitir. So olarak dördücü bölüde deke katsay lieer ark deklelerii aalitik çözü yöteleri verilitir. Aahtar Kelieler: Lieer Fark Deklei, Foksiyoel Fark Deklei, Fark Dekleleri çi Aalitik Çözü Yöteleri. viii

9 SUMMARY SOLUTION METHODS FOR LINEAR DIFFERENCE EQUATIONS WITH VARIABLE COEFFICIENTS I this study aalytical solutio ethods o liear dierece equatios with variable coeiciciets are ephasized. I the irst chapter, prior searchs o dierece equatios ad usage areas o dierece equatios are etioed. I the secod chapter, basic cosepts or dierece equatios are give, ad solutios ad classiicatios o dierece equatios are ephasized. I the third chapter, the aalytical solutios o liear dierece equatios with costat coeiciets are give. Fially, i the ourth sectio, the aalytical solutio ethods o liear dierece equatios with variable coeiciets are give. Key Words: Liear Dierece Equatios, Fuctioal Dierece Equatios, Aalytical Solutio Methods or Dierece Equatios. i

10 .G Fark dekleleri; ühedislik, kiya, izik, biyoloji ve ekooi gibi birçok bili alada kullalaktadr. Fark dekleleri teorisi, dierasiyel dekleleri teorisie çok büyük bezerlik gösterektedir. Fark deklelerii iceleesi, dierasiyel deklelere kyasla daha yei bir kavradr.. yy. da, geetik ve radyasyodaki kuatu gibi bilii çeitli dallardaki gelieler, tü doa olaylar, süreklilik iadeleri dda iadelere ihtiyaç duyulduuu gösteritir. Dierasiyel deklelerde karlala süreksizlik durular, ark dekleleri ile kaldlak isteektedir (Çatal, 4). Mateatiksel hesaplaalarda bize verile bir deerler küesii özyieleeli bir oksiyou deerii hesaplaaza olaak salaya dekleler vardr. Bu tarz dekleler ark dekleleri ya da reküras dekleleri olarak adladr. Bu dekleler he ateatikte he de ou istatistiksel uygulaalarda, bilgisayar, elektrik ve devre aalizi, diaik sisteler, ekooi, biyoloji gibi alalarda karza çkar. Ardk tekrar ilei bir öceki adda bulua deeri bir soraki adda kullalarak yei bir deer elde edilesidir. Fark dekleleride ise ardk tekrar leleri kullalarak isteile bir terii deeri buluabilir. Ayrca sadece kesikli (süreksiz) deerler küeside dee baz dekelere sahip probleler ardk tekrar ilelerii de yardyla ark deklelerii içere ateatik odellerle iade edilebilir. Örei ekooide böyle bir deke zaadr. Ekooistler bu kesikli zaa aralklar üzeride periyot aalizi dee ulusal gelir davra ve dier ekooik dekeleri iceler (Goldberg, 96). Ekooide yie örücek a odeli ve Sauelso u çoalta hzladra odellerii çözüüde ark dekleleri kullar (Ersel, 98). Sosyolojik araralarda bir ülkedeki sosyal deograiyi, sosyal bula hastalklar yaylas, söyletileri yaylas ve kauoyuda yaaa hzl deileri birici ertebede lieer olaya ark deklelerii çözüleri ile Bir ülkede bulua üusu yap, duruuu ve diaik özelliklerii iceleye bili dal.

11 buluur. Ayrca birici ertebede lieer ark deklelerii sosyolojik araralarda birçok odelleesi de evcuttur (Huckeldt, 98). Elektrikli otoobili odelleeside de ark dekleleri kullar. Buu içi içide aküülatör-iltre, tahrik otoru ve tat direci olak üzere oluturula otoobil siülasyo odelide her ksa iliki siste siülasyo progra elde edilesi içi ayr ayr ark dekleleri oluturulur. Bulua bu ark deklelerii uygu srayla yazlasyla siste siülasyo progra hiçbir üerik yöte kullalada doruda progralaabilir. Bu deklelerle gerçeklee progralarda herhagi bir kararlk soruu ile karlalaz. Ayrca dekleler ark dekleleri eklide düzelei olduuda herhagi bir kotrol algoritas altda sistei kararl da iceleek ükü olur. Bu progra ile bir elektrikli otoobili tasarda otor gücü seçii, seçile otorla çeitli yol ve yük koullarda elde edilebilecek hz ve ive proilleri belirleebilir. Ayrca çeitli kotrol algoritalar tat peroras üzerideki etkileri ve eerji tüketii gibi koular irdeleesi de üküdür (Kurtula ve di., 995). Fark deklelerii e basit iade edilesi M.Ö. yllarda görülektedir. Bu kavra ilk dea bir deklei köküü bula çalas olarak Babillerde görülütür (Kelly, 3). M.Ö. 6- yllar arasda Ariet, Öklid 3 ve Pisagor 4 u görekteyiz. M.S. -4 llarda Hero 5, Theo 6 ve Diophatus 7 ark dekleie katkda buluutur. 4- yllar arasda Avrupa da büyük baarlara iza atla olup bu döedeki baarlar çoulukla Ortadou da gelitir. Bu döede Hitli ateatikçi Brahagupta 8 ikici derecede bir deklei çözek içi kurallar gelitiri ve bu kurallarda ardk tekrar yöteii kullar. Bu döede ayrca Al-Karaji 9,Öer Hayya, Bhaskara ve Al-Saawal çalalar görüyoruz (Kuleovic ve di., ). Ariet (MÖ 87-MÖ ) Yua ateatikçi, izikçi, astroo, ilozo ve ühedis. 3 Öklid (MÖ 35-MÖ 65) skederiyeli ateatikçi. 4 Pisagor (MÖ 569-MÖ 475) yoyal ateatikçi ve ilozo. 5 Hero (-5) Yua ateatikçi ve ekaik uza. 6 Theo (7-35) Yua bilgi ve ateatikçi. 7 Diophatus (-84) Yua ateatikçi. 8 Brahagupta (598-67) Hitli ateatikçi ve astroo. 9 Ab Bakr ib Muhaad ib al Husay al-karaji (953-9) Persli ateatikçi ve ühedis. Gyaseddi Eb'ul Feth Öer bi brahi'el Hayya (48-) Persli ateatikçi, air, ilozo. II. Bhskara (4-85) Hitli ateatikçi. Ib Yahya al-maghribi Al-Saawal (3-8) Arap ateatikçi, astroo ve izikçi.

12 -6 yllar arasda ark dekleleri ve ardk tekrar batlara Fiboacci 3, Nasir Al-Tusi 4, Yag Hui 5, Al-Baa 6, Al-Farisi 7 ve Shih-Chieh 8 tarada öeli katklar yapl. Ayrca yda Fiboacci biyolojide ilk ateatiksel odelii (tava problei olarak bilie) oluturutur. Bu problede çitlikteki tavalar doduklar ilk iki ay yavru yapazlar. Üçücü ayda itibare her çit her ay bir çit yavru yapar. Bua göre bu çitlikte bir çit tavala balarsa kaç ay sora kaç çit tava elde edilecei sorusuu cevaba ulalak isteitir. Fiboacci bu çalasda F F F ark dekleii oluturutur (Elaydi, 5). Bu ark dekleii ise Alred Biet 9 tarada çözülü olup bua Biet orülü ad verilitir (Weisstei, 999). 6-7 yllarda Jacob, Moivre, Newto ve Pascal 3 ark deklei üzeride çalalar yapr. Bu kiiler arasda e öeli çalay ise Newto, güüüzde Newto etodu olarak bilie kök bula orülüü (üerik aalizde yer ala) eklideki ark dekleiyle iade etitir (Kuleovic ve di., ) yllar arasda Riccati 4, Cotes 5 ve Siso 6 görekteyiz. Bu döede Riccati aaliz ve özellikle dierasiyel dekleler üzeride çalr. Güüüzde de a b c d 3 Leoardo Pisao Fiboacci (7-5) talya ateatikçi. 4 Nasîrüddi Tûsî (-74) Farsl ateatikçi. 5 Yag Hui (38-98) Çili ateatikçi 6 Al-Marrakushi ib Al-Baa (56-3) Farsl ateatikçi. 7 Kaal al-di Abu l Hasa Muhaad Al-Farisi (6-3) Persli ateatikçi. 8 Chu Shih-Chieh (6-3) Çili ateatikçi. 9 Alred Biet (857-9) Frasz psikoloji uza. Jacob (Jacques) Beroulli (655-75) sviçreli ateatikçi. Abraha de Moivre ( ) Frasz ateatikçi. Sir Isaac Newto (643-77) giliz izikçi, ateatikçi, astroo, ilozo ve ilahiyatç. 3 Blaise Pascal (63-66) Frasz izikçi, ateatikçi, yazar ve ilozo. 4 Jacopo Fracesco Riccati ( ) talya ateatikçi. 5 Roger Cotes (68-76) giliz ateatikçi. 6 Robert Siso ( ) skoç ateatikçi. 3

13 eklide iade edile ark deklei ou ad ile özdeleerek Riccati ark deklei olarak alaktadr yllarda ise Euler 7, Joha Berouilli 8, Moge 9 ve Laplace 3 çalalar görekteyiz. 755 yda Euler Istitutioes calculi dieretialis adl yayda solu ark aalizi ile ilgili çalalara yer veri olup ilk dea ark operatörüü kullar yllar arasda bu kouda Babagge 3, Bessel 3, Farey 33, Gopertz 34, Gauss 35 ve Legedre 36 çalalar görüyoruz. Bu llardaki öeli bulularda biri ise 755 yda bulua ark sebolüü artk Babagge tarada, eklideki bir özel halii oluturulasr. Bu bat bir polio eklide yazlabile herhagi bir oksiyou üerik deerii hesaplaada kullalaktadr (Kuleovic ve di., ) yllarda popülasyo çalalar ile ilgili teel ateatiksel odel oluturulutur. Bu odel popülasyo büyüklüüü kediside öceki esli popülasyo büyüklüü ile orat olas ile ilgili olarak ortaya koulutur. Bu duru ateatiksel olarak p t rp t eklide iade edilir. Burada t ; periyod zaa, p t ; t zaadaki popülasyo büyüklüüü, pt ; bir soraki zaa diliideki popülasyo büyüklüüü ve r büyüe ora verir. Verhulst 37, 846 yda popülasyou büyüesii sadece popülasyo hacie ba olad, ay zaada bu haci popülasyouu üst liitide e kadar uzak olduuu da öeii vurgulad. Ayrca Verhulst öceki üus ve yei bir döe üus büyüklüüü orat yapak içi 7 Leohard Euler (77-783) sviçreli ateatikçi ve izikçi. 8 Joha III Berouilli (744-87) sviçreli ateatikçi. 9 Gaspard Moge (746-88) Frasz ateatikçi. 3 Pierre-Sio Laplace (749-87) Frasz ateatikçi ve astroo. 3 Charles Babbage (79-87) giliz ateatikçi, ilozo, ühedis. 3 Friedrich Wilhel Bessel ( ) Ala ateatikçi ve gökbilici. 33 Joh Farey (766-86) giliz jeolog, yazar ve ateatikçi. 34 Bejai Gopertz ( ) giliz ateatikçi ve aktüer. 35 Carl Friedrich Gauss ( ) Ala izikçi ve ateatikçi. 36 Adrie-Marie Legedre (75-833) Frasz ateatikçi. 37 Pierre Fraçois Verhulst (84-849) Belçikal ateatikçi. 4

14 p rp k p K t t t lojistik ark dekleii öe sürütür (Kuleovic ve di., ). Artk 85 yllarda sora herhagi bir cal türüü gelecekteki duruuyla ilgili tahiler yaprke; bu türü öceki evcudu ve buu deiie ede ola beslee, üree, ölü gibi aktörler göz öüe aldda ark dekleleride yararlalaya balar yllarda Heie 38, Casorati 39 ve Riea 4 ark deklelerie katkda buluutur. Bu döede Casorati, dierasiyel deklelerle ark deklelerii öeli ortak özelliklere sahip olduuu arka varr. Ayrca Casorati, lieer ark dekleleri içi Casorati orülüü gelitiri ve. ertebede ark deklei, hooje ark deklei ve Casorati atrisi üzeride yapt çalalar ark dekleleri teoriside öeli yer tututur yllar arasda Herite 4, Christoel 4, Routh 43, Laguerre 44, Lucas 45, Gegebauer 46, Poicare 47, Markov 48, Chebychev 49 ve Peao 5 ark dekleie katkda buluutur (Kuleovic ve di., ) yllar arasda ardk dekleler baz ateatiksel ucizeler oluturaya balar. Bular düzle doldura erileri ya da raktallarla balar. Bu eriler hiçbir boluk brakada düzle doldura erilerdir. Buu gibi eriler ilk 89 yda Peao tarada keedildi. Fark deklelerii düzle doldura rileri ile kullaa dier ateatikçiler Hilbert 5 ve Va Koch 5 olutur. Düzle doldura erilerii ve raktallar birçok uygulaas vardr. Bularda biri de adi dierasiyel dekleleri yaklak çözüleri içi kapal ve açk yieleeli yöteler ailesii öeli bir türü ola Ruge-Kutta yöteleridir. Bu yöte 38 Heirich Eduard Heie (8-88) Ala ateatikçi. 39 Felice Casorati (835-89) talya ateatikçi. 4 George Friedrich Berhard Riea (86-866) Ala ateatikçi. 4 Charles Herite (8-9) Frasz ateatikçi. 4 Elwi Bruo Christoel (89-9) Ala ateatikçi ve izikçi. 43 Edward Joh Routh (83-97) giliz ateatikçi. 44 Edod Nicolas Laguerre ( ) Frasz ateatikçi. 45 Fraçois Édouard Aatole Lucas (84-89) Frasz ateatikçi. 46 Leopold Berhard Gegebauer (849-93) Avusturyal ateatikçi. 47 Jules Heri Poicaré (854-9) Frasz ateatikçi, teorik izikçi, ühedis ve ilozo. 48 Adreyevich Markov (856-9) Rus ateatikçi. 49 Pauty Lvovich Chebyshev (8-894) Rus ateatikçi. 5 Giuseppe Peao (858-93) talya ateatikçi. 5 David Hilbert (86-943) Ala ateatikçi. 5 Niels Fabia Va Koch (87-94) sveçli ateatikçi. 5

15 9'lü yllarda Ruge 53 ve Kutta 54 adl ateatikçiler tarada gelitirilitir. Böylece artk ark dekleleri kullalarak dierasiyel dekleleri üerik çözü yötelerie geçili oldu yllar arasda Julia 55 ve Fatou 56 tarada ark dekleleri ve ardk yöteleri kopleks oksiyolar üzeride bala ve bu iki ateatikçi teel yieleeli süreç üzeride çalalar yapr. Bu döede sora bilgisayar çalalar balaas ile birlikte bugükü raktal geoetrii teelii Madelbrot 57 atr (Kuleovic ve di., ). Bu zaaa kadar yapla araralardaki bilgiler 95 li yllarda soraki ateatikçileri lieer olaya sabit katsay ark dekleleri içi bir zei oluturutur. Bu çalalarda bazlar 995- yllar arasda Ladas tarada yaplr. Daha sora yllar arasda Aleh ve di. (999), Kosala ve di. (), DeVault ve di. (), Kuleoviç ve di. (), Aboutaleb ve di. (), Ya ve di. (-3), Al-Saris ve DeVault (3), El-Owaidy ve di. (3), Fa ve di. (4), El-Owaidy ve di. (4), He ve di. (4) ark dekleleri üzeride çalld görülektedir. 53 Carl David Tolé Ruge (856-97) Ala izikçi, ateatikçi. 54 Marti Wilhel Kutta ( ) Ala ateatikçi. 55 Gasto Maurice Julia ( ) Frasz ateatikçi. 56 Pierre Joseph Louis Fatou (878-99) Frasz ateatikçi. 57 Beoît B. Madelbrot (94-) Frasz Aerika ateatikçi. 6

16 . TEMEL KAVRAMLAR Bu bölüde ayrk ateatik, ark deklelerii çözüüde bize kolaylk salaya opeatörler ve özellikleri, ark deklelerii sladlas ve çözüleri üzeride durulutur.. Ayrk Mateatik le lgili Baz Kavralar Ayrk ateatik veya baze dier adyla kullala solu ateatik, ateatii ayrk yaplaryla ilgilee süreklilik içereye koular kapsaya ateatik dalr. Teziizde ayrk ateatik ile bilgiler Lakshikatha ve Trigiate () kayada yararlalarak suulutur. idi alal. Bu duruda ayrk oktalar küesii talayal. N,,,,, N küesi üzeride tal ve eklide gösterilebile oksiyolar baze de baze de de kabul edeceiz. Buula beraber N ile birebir tekabül ede baka ayrk oktalar küesi de ta küesi olarak alabilir. Biz bu teziizde D,,,,, D, h, h,, h,, h ayrk okta küeleri üzeride çalacaz. Burada dir. Bu küelerde oksiyou ilk deere ba gösterilek istediide D kullalabilir. D, h, küesii kullalas avataj h paraetresie de bak gösteresidir. Burada h paraetresie ad uzuluu deir. lerleye bölülerde geellikle h uzuluu olarak alr. h 7

17 . Baz Operatörler ve Özellikleri Bu bölüde ark deklelerii çözülerii bulazda bize yardc olacak operatörler ve özellikleri Goldberg (96), Levy ve Lessa (96), Kelly ve Peterso () ve Elaydi (5) kayaklar yardyla talar. Ta ( operatörü): reel ya da kopleks deerli bir oksiyo olak üzere, operatörü h eklide talar. Burada h herhagi bir sabit, ise basz bir dekedir. Özel olarak oksiyo aral da deir. D h, alrsa h h ya da h dir. Bu yüzde h a ayrk küe üzeride tal ise operatörü, olak üzere h ya da ksaca olarak da verilebilir. Yüksek ertebede ileri arklar her birii bir öcekie uygulaasyla elde edilir. burada operatörüü h h h ikici derecede ark operatörü olarak adladr. Bu ark ileleri deva edildiide geel olarak i. ark arka i. ark deir ve olarak gösterilir. Souç: bezer biçide oksiyouu. orülüyle buluur. derecede ark a b Teore ( operatörüü özellikleri): k kh k k i Bio aça. Dala özellii: g g g g 8

18 . Bir sabitle bir oksiyou çarp ark: a bir sabit olak üzere a 3 ki oksiyou çarp ark: a a a g g g g g h g 4. ki oksiyou bölüüü ark: g g g g g g h g g g g 5. r. ve s. derecede arklar çarp: r s r s r, s r s rs Teore: a sabit olak üzere baz teel oksiyolar h= içi. a a a. si asi a cos a 3. cos asi a si a 4. a log log olarak iade edilir. Ta (I operatörü): I eklide tal operatöre I biri operatörü deir. Ta ( E operatörü): E kaydra (ötelee) operatörü sürekli deke ve ayrk oktalar küesi üzeride srasyla, E h E eklide talar. kici ertebede E operatörü E E h h eklide buluur. Bu ilelere deva edildiide 9

19 , E h E deklei elde edilir. Burada olak üzere E. derecede E operatörüü talar. E operatörüü özellikleri: a sabit olak üzere. E g E Eg. E a ae 3. r s r s E E E 4. E olarak iade edilir. Teore ( ve E operatörleri arasdaki iliki): ve E operatörlerii talarda yararlaarak h E E E ve E arasdaki. derecede bir bat buluur. Bu ilede yararlaarak E I E k k k k. derecede ve E operatörleri arasdaki ilikiyi görü oluruz. Bezer ekilde E I olduu görülür. Burada yazlabilir. E I k k Ta ( operatörü): Geri ark operatörü, olarak talar. Ayrca eklide gösterilebilir. k, h E Ta ( operatörü): Merkezi ark operatörü, eklide talar. Ayrca h h,

20 eklide talaabilir. E E E E Ta ( operatörü): E kaydra operatörü ve olak üzere E olarak talar. Burada ikici derece operatörü E E eklide buluur. Ard arda operatörüü soucu olak üzere. derece operatörü olarak buluur. duruuda,, elde edilir. Ayrca bu iadelerde yararlaarak,, oksiyoua uygulaas eklide eitlikler elde edilebilir. Bu dekleler bize verile. ertebede deke katsay bir ark dekleii çözüüde kolaylk salayacaktr. operatörüü özellikleri: a bir sabit ve rsolak, üzere. a a. a a 3. a a r s rs s r 4... özellikleri evcuttur. Ta ( operatörü): ve E operatörü tada E itliide operatörü olarak talar.

21 operatörüü özellikleri: a bir sabit ve rs, olak üzere. a a. a a 3. r s r s özellikleri evcuttur. ile arasdaki batlar: r, solak, üzere.. 3. r s r s r ve s r r r s 4. r r r r ve r 5... batlar vardr. r operatörü: E operatörü tarada u egati kuvveti ola operatörü olarak talar. Daha sora. ta kullaarak E E E elde edilir. Bu so eitlikte alrsa isteile buluur. Bu eitlii geelleirse elde edilir. Ta (Faktöriyel poliou): ve h ad uzuluu olsu i r. aktöriyeli r h r h, r eklide verilir. Buda soraki çalalarda geelikle h alacaktr.

22 Faktöriyel poliouu özellikleri:.. r r r hhrh rh r Burada r r r r h;, dir r r r h r r r r r 5. r r r. r. 6. ve r içi r 7. r ve h içi eklidedir. r r! r! r! Ta (Gaa oksiyou): Gaa oksiyou ateatikte aktöriyel oksiyouu karak saylar ve ta say olaya reel saylar içi geelleesi ola bir oksiyodur. sigesiyle gösterilir. eklide talar. oksiyou özellikleri:.,., içi! içi t t e dt.3.5!!.3.5!! 7. j j 3

23 8. 9., si.. r r! li (Euler ta) e k k (Weierstrass ta). e li l - Ta ( operatörü): içi F olsu. Bu duruda içi F c eklide talaa operatörüe ters ark operatörü ve F oksiyoua da i ters ark deir; burada c bir keyi sabittir. Buula birlikte, ve ilikisi vardr. Yai içi operatörleri arasda I ike I olup c keyi sabittir. Uyar: operatörü c i eklide talaabilir. Bu yüzde i içi ters ark ay zaada bir belirli topla olarak da iade edilebilir ve operatörüü özellikleri: veya i eklide gösterilir. i. i i c. i c c i 3. g g g 4

24 a bg a b g c c c c c c! 6. idi sürekli dekei duruuu iceleyeli ve F (.) dekleii ele alal. Burada reel deerli bilie bir oksiyodur. Ay oktalar küeside talaa F oksiyou bilieye oksiyodur. F (.) dekleii özel çözüüü verir. Bu çözü eklidedir. Burada Ta (Belirsiz Topla): F C C, (.) i çözüü ola keyi biri periyodik oksiyodur. i belirsiz topla olarak iade edilir. Herhagi bir oksiyo içi belirsiz topla i ta küesideki tü ler içi olarak iade edilir. Fark deklelerii daha kolay çözek içi yardyla operatörü yazabiliriz. C Bu belirsiz topla dierasiyel hesaplaalardaki belirsiz itegralle ay rolü oyar: d d d. Belirsiz itegral tek deildir. Örei cos d si c olup burada c herhagi bir sabittir. Ay zaada belirsiz topla da tek deildir. Buu adaki örekte görebiliriz. Örek: 6 i belirsiz topla bulal olduuda, yazlabilir. Bu 6 5, 6 i belirsiz toplar. idi C, 6 i bezer ta küeside C olsu. Burada olak üzere bir oksiyo 5

25 olur. Bu yüzde 6 5 herhagi bir belirsiz topla ise 6 6 C C, 6 i belirsiz topla olur. Dahas eer olur C olas duruuyla bezer C ler içi 6 5 C Bezer yol izleirse 6 i bütü belirsiz toplalar, 6 i olur. 6 6 C 5 eklidedir. Burada C, C küesideki herhagi bir oksiyodur. olas artyla 6 i bezer ta Teore: er belirsiz topla F, i belirsiz topla ise bu duruda F C i tü eklidedir. Burada C, i ta küesidedir ve C dr. idi burada C e tür bir oksiyo olalr? Bu soruu cevab i ta küesie dayar. idi öcelikle tasaylar küesi üzeride bu duruu düüeli. Bu duruda,,3, içi olur. Bu yüzde C C C C sabit bir oksiyodur. Bu duruda kolayca 6 6 c 5 yazlabilir. Burada c herhagi bir sabittir. Dier yada reel saylar küeside tal olas duruuda dekle C C C olup tü reel deerleri içi C C olduu söyleebilir. Bu ise biri periyotlu periyodik oksiyo olduu alaa gelir. C i 6

26 Teore (Belirsiz topla özellikleri): a sabit olak üzere adaki iadeler evcuttur: g g.. a a g g Eg 3. E g g g. 4. Teore (Belirsiz topla baz oksiyolara uygulaas): C ve h içi adakiler geçerlidir. a. a C a a,. cos a si a C, a si a 3. si a cos a C, a si a 4. log log C, 5. a a C, a a a a 6. C a a 7. C.3 Fark Deklei ve Sladlas Bu bölüde Elaydi (5) kaya yardyla ark deklei ta ve ladlas üzeride durulutur. Ta (Fark deklei): sürekli bir deke olak üzere geel olarak ark deklei G,, h,..., h (.) olarak talaakla birlikte h içi 7

27 G,,,..., (.3) eklide talar ve bua oksiyoel ark deklei deir. h ve olak üzere ayrk oktalar üzeride tal ark deklei ise F,,,..., (.4) olarak talar ve bu deklee skaler ark deklei de deir. Ta (ertebe): Bir ark dekleide bilieye oksiyou evcut e büyük ve e küçük argüetlerii arka o deklei ertebesi deir. Ta (lieer ark deklei): sürekli deke ve p ve içi i g reel deerli oksiyolar olak üzere ve p olasartyla p ( ) p p g (.5) ark dekleie. ertebede lieer ark deklei deir. Ayrca, ayrk oktalar küesi içi p, p, p,, p içi tal reel deerli oksiyolar, üzere, g, katsaylar ve küesi üzeride p olak p p p g (.6) biçiideki ark dekleie de. ertebede lieer ark deklei deir. (.5) ve (.6) dekleleride kayak oksiyou g ve g olas duruuda (.5) ve (.6) deklelerie. ertebede lieer hooje ark deklei, g ve g olas duruuda ise (.5) ve (.6) deklelerie. ertebede lieer hooje olaya ark deklei deir. p ve i p oksiyolar sabit oksiyolar olas halide (.5) ve (.6) i deklelerie. ertebede sabit katsay ark deklei, p ve i p oksiyolarda e az biri deke içere oksiyo olas duruuda ise (.5) ve (.6) deklelerie. ertebede deke katsay ark deklei deir. i 8

28 .4 Fark Dekleii Çözüleri Bu bölüde ark dekleii çözüü ve çözüleri hagi artlarda geçerli olaca Kelly ve Peterso (), Elaydi (5), Bereketolu ve Kutay (), Akyol () kayaklar yardyla verilitir. Herhagi bir küe üzeride tal ark dekleii yie bu küeler üzerideki bir özdelie idirgeye oksiyoua yai bu küeler üzerideki bir ark dekleii her oktada doru yapa oksiyolara bu ark dekleii çözüü deir. Ta (Geel ve Özel Çözü):. ertebede (.3) ve (.4) ark deklelerii rasyla,,,,,,,,, C C C c c c eklide tae C C C,,, biri periyodik oksiyo ve c, c,, c keyi sabit içere çözüüe geel çözü, geel çözüde elde edile çözülere ise özel çözü deir. Ta (Lieer bal ve baszlk):, r, oksiyolar içi tal olsular. Her içi c c c r r olacak biçide hepsi birde sr olaya c, c,, c r sabitleri var ise, bu duruda,, r cülesie, üzeride lieer balr deir. Bu eitlik içi sadece ve sadece c c c r duruuda salayorsa,,, r cülesie, üzeride lieer baszdr deir. Ta (Casorati 58 atrisi): üzere, Casorati atrisi 59,,, verile oksiyolar olak 58 Felice Casorati (835-89) talya ateatikçi 59 Dierasiyel dekleler içi kullala Wroskia atrisi içi kesikli deerler içere artyla ay levi görür. 9

29 W olarak talar. Bu atrisi deteriat w detw eklide talar ve bu deteriat Casoratya olarak adladr. Ay zaada w iadesi kolaylk salaas bakda w olarak da iade edilebilir. det Ay zaada ayrk oktalar küeside Casorati atrisi W eklide talar. Bu atrisi deteriat eklide iade edilir. w, det Teore: (.6) dekleii hooje ks çözüleri,, olsu. O zaa adaki iadeler dektir:.,,. Baz ler içi w dr. 3. Tü ler içi w dr. küesi ayrk deerler içi lieer baszdr., Ta (Teel Çözü Küesi):. ertebede ark dekleii hooje s lieer basz çözüüü küesie teel çözü küesi deir.

30 Lea (Abel 6 leas): s çözüleri ve,, oksiyolar (.6) dekleii hooje w olar Casoratya olsu. Bu duruda içi r. w p i w i Teore: (.6) dekleii hooje ks,, çözülerii bir teel çözü küesi oluturas içi gerek ve yeter koul herhagi bir saya kark w olasr. Teore: (.6). ertebede lieer ark dekleii hooje ks çözülerii herhagi bir lieer kobiasyou da bir çözüdür. Ta (Taalay çözü): (.6) dekleii teel çözü küesi,, olsu. O zaa (.6) dekleii hooje ks çözüü h i c i i deir. dir. Burada c i ler keyi sabitlerdir. Bu çözüe taalay çözü de Teore: (.5) sabit katsay. ertebede lieer hooje olaya ark dekleii geel çözüü; hooje ks geel çözüü ile hooje olaya deklei salaya bir özel çözüü toplada oluur. Yai s geel çözüü, eklide yazr. ö h hooje hooje olaya deklei özel çözüü olak üzere Ta (Balagç deer problei):. çözüüü bulak içi o çözüe iliki ya da i i h ö ertebede ark dekleii bir özel a, i (.7) i a, i (.8) i biçiide ilk tae ardk deeri belirtilesi gereklidir; burada ve 6 Niels Herik Abel (5 Austos 8-6 Nisa 89) Norveçli ateatikçi.

31 a a,,, a verilir.. reel sabitlerdir. (.7) ve (.8) koullara balagç koullar ad ertebede bir ark deklei ve (.7) ya da (.8) balagç koullarda eydaa gele problee balagç deer problei deir. Baz ark deklelerii birçok çözüü olasa rae bazlar hiçbir çözüü yoktur. Fark dekleleri sladrke her zaa e az bir çözü olabilecei ve hatta bazartlar altda yalz ve yalz tek çözü olduuu bulak öelidir. Bu souçlar iade ede teoreler varlk ve teklik teorei olarak biliir. Biz he sürekli dekeler he de ayrk oktalar küesi içi varlk ve teklik teorelerii ayr ayr iceleyeceiz. Teore (ayrk oktalar küesi içi varlk ve teklik): p, p, p,, p katsaylar ile g, olsu. Bu duruda içi tal reel deerli oksiyolar ve üzeride p p p p g (.6) a, a,, a (.7) balagç deer problei içi tal ola bir tek çözüüe sahiptir. spat: (.7) koullar yardyla (.6) da öce içi deeri, akabide, içi deeri ve bu ilee bezer ekilde deva edilerek,,, deerleri hesaplar. Burada (.6) ve (.7) probleii çözüü 3,,,,,,, eklide buluur. Böylece çözüü varl katla olur. Çözüü teklii içi de arkl bir k çözüü daha var olsu. Bu k çözüüü bezer ekilde (.6) ve (.7) yardyla hesaplad zaa her içi çözüüe özde olduu görülür. O halde çözü tektir. idi (.5) dekleide deklei her ya p oksiyoua bölüürse ( ) q q g (.9) elde edilir. Bu deklede q olduuu varsayal.

32 (.9) dekleide araa oksiyouu,,, oktalardaki deerleri buluduuda bu deklei çözüü, uzuluu sayda küçük olaya aralkta talaas gerekir. Bir say verildiii varsayal. O zaa, deir., balagç aral E ile göstereli. arala balagç aral Teore (sürekli dekeler küesi içi varlk ve teklik): Balag E aralda tala sürekli oksiyou balagç oksiyouu verildiii ve bu ( ) q q g (.) itliii salad varsayal. (.9) dekleideki q q q g oksiyolar,,, ve,x, X aralda sürekli oksiyolar olduklar varsayal. O zaa (.9) dekleii E balagç aralda oksiyou ile çaka,x aralda (.9) dekleii salaya sürekli çözüü vardr ve tektir. spat: (.9) dekleide ( ) q q g (.) dekleii buluruz. (.) dekleii aralda ele alrsak ( ) q q g (.) buluruz. (.) orülü (.9) dekleii, aralda sürekli ola çözüü belirler. Çözüü oktasda sürekli olas (.) artdadr. Burada kulladz yötele (.9) dekleii, k aralda sürekli çözüü buluduuu varsayal. O zaa k k aralda (.) eitliii sa yadaki iadede tü oksiyolar sürekli oksiyo olur. Bu yüzde k k aralda (.) dekleide (.9) dekleii k, k aralda sürekli çözüü buluur. Her bir aralkta (.) 3

33 deklei ile bulua ve balagç oksiyouyla çaka çözü tek olarak buluduuda bu yötele bulua çözü tek olur. Bu teorei ispatda kullala etoda adlar etodu da deir. Bu etodla verili balagç oksiyoa azara (.9) dekleii çözüü buluabilir. 4

34 3. SABT KATSAYILI LNEER FARK DENKLEMLERN ANALK ÇÖZÜM YÖNTEMLER Bu bölüde srasyla sürekli dekeler küesi ve ayrk oktalar küesi üzeride tal. p p g (3.) ( ) p p g (3.) ertebede sabit katsay lieer ark deklelerii çözüleri üzeride durulacaktr. Burada p ve p, p,, p ler reel sabitlerdir. 3. Hooje Dekleler çi Çözü Yöteleri Bu bölüde ( ) p p (3.3) p p (3.4). ertebe sabit katsay hooje ark dekleii çözü yöteleri Levy ve Lessa (96), Kelly ve Peterso () kayaklar yardyla verilecektir. idi (3.3) ve (3.4) deklelerii çözü yöteleride karza çktda bize kolaylk salaas içi birici ertebede sabit katsay hooje p (3.5) p (3.6) deklelerii ele alal. (3.5) dekleii çözek içi deklei her iki tara p ile böldüüüzde elde edilir ki bu deklei çözüü p p 5

35 olup burada pc p (3.7) C biri periyodik oksiyodur. Ayrk oktalar küeside tal (3.6) dekleii çözüü içi deklei her iki tara elde edilir ki bu deklei çözüü p p p ile böldüüüzde p olup burada c keyi sabittir. pc (3.8) 3.. Karakteristik dekle yardyla çözü (3.4) dekleii geel çözüü lieer basz tae çözüü buluasa idirgeebilir. Buu içi (3.4) dekleii çözü (3.4) ü saladda eklide bir çözüü ararsa bu p p (3.9) deklei buluur. Bu deklee karakteristik dekle ve ou köklerie de karakteristik kökler ad verilir. (3.4) dekleii çözüleri karakteristik köklere ba olarak hesapladklar içi adaki durular iceleesi yeterlidir. Duru : (3.9) karakteristik dekleii tae,,, kökü reel ve birbiride arkl ise, bu duruda,,, cülesi (3.4) dekleii bir teel çözü küesi olup (3.4) ü geel çözüü c i i i dir. Burada c, c,, c keyi sabitlerdir. Duru : (3.9) karakteristik dekleii,,, r kökleri reel ve sras ile,,, r katl olsular; burada operatörü ciside r i dir. Bu duruda (3.4) deklei E r r i E E E (3.) 6

36 i eklide yazlabilir. Herhagi bir i, r içi E dekleii teel i çözü küesi i,,, p i i i i r dir. Dolayyla (3.) u teel çözü küesi olup geel çözü olur. i r i i i i i i i i c c c c (3.) Duru 3: Modülü r ve aç ola her bir arkl eleik kopleks kök çiti içi çözü iki tae keyi sabit içere cr cos c c ler keyi sabitlerdir. Duru 4: (3.9) karakteristik dekleii bir i i dir. Burada c ve kopleks kökü p artyla p katl olsu. Bu duruda (3.4) ü p tae keyi sabit içere reel deerli basz çözüü p p p r ccos csi c3cos c4si c cos c si eklidedir. Örek: dekleii çözüüz. Deklei karakteristik deklei ya da düzeleirse olarak buluur. Bu deklei kökleri,, 3 3 olup bir tae arkl ve iki tae katl reel kökü buluaktadr. Bu duruda çözü c c c 3 3 olarak buluur. Burada c, c, c 3 ler keyi sabitlerdir. Örek: 4 dekleii çözüüz. Bu deklei karakteristik deklei, 4 olup karakteristik kökleri i i olarak buluur. O halde a, b olup burada r a b 7

37 orülüde r olarak buluur. Burada cos ar ve si br orülleride olur. Böylece çözü olur. c cos c si 3.. E operatörü yardyla çözü E operatörü yardyla deklei ( ) p p E pe p r E E r (3.) oruda yazlabilir. Burada r dir. Ayrca p olduu içi herbir karakteristik kök srda arkl olduua dikkat edeli. idi dekleii çözeli: ise E (3.3) eklide (3.5) bezeri birici ertebede dekle elde edilir ki bu deklei çözüü (3.7) eklide buluur. Yai C ike v,,,, olak üzere v dekleii salar. Yai; i i i i olur. iadesi (3.3) i i i i i E v E v E v i i v. i i E v E v Souç olarak katl bir deklei teel çözü küesi, katl kök olak üzere,,,, eklidedir. Teore: (3.) ark dekleii srasyla,,, r adet,,, r karakteristik kökü olduuu varsayal. Bu duruda (3.) ark deklei tae lieer basz,,,,, r,,,, çözüe sahiptir. r r 8

38 Örek: 38 8 dekleii,, artlarda çözüüz. Bu dekle E operatörü yardyla 3 E E E 8 8 oruda yazlabilir. Daha sora bulua bu dekle çarpalara ayrl biçide yazr: Burada E3 E. E ab E c 3 3 eklide iki ayr çözü elde edili olur ve bu iki çözüü topla ola ab3 c iadesi soruda verile deklei salar. Balagç artlarda yararlalarak çözüü elde edilir Örek: 7 dekleii çözeli. Bu dekle E operatörü yardyla E E 7 E E 5 oruda yazlabilir. Bu deklei çözüü ise olarak buluur. Burada C ve C D5 D biri periyotlu periyodik oksiyolardr. 3. Hooje Olaya Dekleler çi Özel Çözü Bula Buda öceki çalalarzda hooje ark deklelerii çözü yöteleri üzeride duruldu. Bu bölüde ise deklei hooje olaas gerektire kayak oksiyouu yapa göre dee yöteleri Levy ve Lessa (96), Spiegel (97) kayaklar yardyla verip ve deklei geel çözüleri aralacaktr. 9

39 idi bu duruu birici ertebe hooje olaya dekleler içi yai ( ) p g (3.4) p g (3.5) dekleleri içi çözüleri araral. (3.4) dekleii çözek içi her iki tara p ile bölüürse olup ark ve ters ark tada elde edilir. Burada g p p p g g p p C p p p (3.6) C biri periyodik oksiyodur. idi (3.5) dekleii ele alal bu deklei çözüü içi deklei her iki tara olup ark ve ters ark tada olup burada c keyi sabittir. g p p p p ile bölüürse g g i p pc i (3.7) p p i p idi g dekleii ele alal. Bu deklei çözüü cg ( ) eklideyse o zaa olup c G g eklideki dekleii çözüü ile verilir, burada Ayrk deke C keyi bir sabittir, bu duruda sürekli dekei içi ( ) () g() ( ) C G keyi biri periyodik oksiyodur. yerie sürekli basz deke duruu özel icelee gerektirir. Ayrk deke duruuda topla olarak kapal orda iade edilebilir ike bu yöte ayrk deke duruuda uygulaaaz. sadece tasay 3

40 deerleri deil de her deer alabildiide biri iktarlar kadar arttldda topla üst liiti olarak her zaa i salaya topla sabit alt liiti yoktur. Böylece ( ) () gibi bir deklede çözüü hee duruua bezer ekilde ( )/ C olarak C biri periyodik olsa bile yazaayz. Buu sebebi G g eklide yazlaaasr. Acak ilk bakta iki duru çok bezer görülebilir. Bu duruda örei, izi verildii ölçüde öcede uygulaa ilei izleyebiliriz burada ( ) () k, i ta ks ve k ise k kesirli bölüüdür. Bu duruda k k k k k dekleleri elde edilir. Bu dekleler alt alta toplarsa elde edilir. k k kk k k k k k k k, k keyi bir oksiyou olduu zaa, ( ) ( ) / C k yazabiliriz. Burada Ck, k keyi bir oksiyoudur. Bu yüzde ( ) ( )/ C( ) keyi sabit yerie i biri periyodii olarak yazlabilir. Aslda, doal olarak bu örek sadece ( ) () P içi bulduuuz çözüü özel duruudur. Burada deklei çözüleri Beroulli oksiyolar 6 ciside iade edilir. P, i poliolar ise 6 r Br t B r ri r i ya da Br Br r i i eklide iade edilir. 3

41 Örek: e olduuda çözü dekleii çözeli. burada C() biri periyodiktir. e e e e B e e e C e e 3.. Belirsiz katsaylar yötei Belirsiz katsaylar etodu içi p p g (3.) ( ) oksiyoel dekleii ele alal. Bu ekildeki bir deklei özel çözüü dekledeki g() kayak oksiyou türüde bir deee oksiyou yardyla belirleir. Yai a ve herhagi bir sabit ve k olak üzere g() i, si a, cos a ve k oksiyolarda biri ya da bu oksiyolar lieer bir kobiasyou olduuda bu yöte kullar. Bu yötede aaç g() kayak oksiyoua göre deee oksiyouu seçektir. Seçile bu aday çözüler hooje kdaki lieer basz çözüler ile karlar. Bezerlik varsa bezerlik bozulaa kadar aday çözü ile çarpr. Böylece özel çözü ile hooje ks çözüleri lieer basz olur. Buu gibi baz basit g() oksiyolara kark kullalacak deee çözüleri a, b, ve A, A, A, ler sabit olak üzere Tablo 3. de verilitir. k k Tablo 3.. g() oksiyoua göre alacak deee çözüleri g ( ) oksiyou Deee çözüleri k A A A A k A k A A A A k si a ya da cos a A cosa A si a P, P k.derecede bir polio A A A k k si a ya da cos a A cos a A si a k 3

42 Örek: dekleii çözeli Deklei hooje ks karakteristik deklei 68 olarak buluur ve bu dekle iki tae arkl reel köke sahip iki sabit içerir o halde deklei hooje ks çözüü c c 4 h olarak buluur. Belirsiz katsaylar tablosuda bu deklei sada kala oksiyou A A A A ö eklide olaca görülür. Bu iadeyi çözü kabul ederek yukardaki deklede yerie yazal A 3A 8A 3A 4A A A elde edile bu deklei sa tara alp asl deklede kayak oksiyoa itleyeli. 3A 3A 8A 3A 4A A A itlii salaabilesi içi katsaylar eit olas gerekektedir. Yai 3A 3, 3A 8, 3A 4A A, A A, A 83 A elde edilir. Bu katsaylar yardyla ö özel çözü buluur. Bu duruda dekleiizi çözüü olarak buluur c c Ters operatörler yötei ( ) p p g (3.) dekleii E operatörü yardyla k E E E g k 33

43 eklide yazabiliriz. duruda dekleiiz eklie döüür. Burada i sol taradaki operatör iadesie LE diyeli. Bu g L E i yalz brakak içi her iki tara LE i ters operatörü olarak talaa LE ile çarpal ve L E eklide talayal. idi buluaca iceleyeli: g L E g ö g oksiyouu türüe göre çözüleri asl Duru. sabit olak üzere g biçiide ise olarak iade edilir. L E, L L Duru. sabit ve biçiide ise olur. h herhagi bir oksiyo olak üzere g h h h, LE L E L E Duru 3. P, q. derecede bir polio olak üzere g P biçiide ise A, A,, Aq sabitler olak üzere dir. Burada olduuda sr olur. P P A A Aq P L E L q q P terii ve bu teride soras Not: a sabit olak üzere yazp Duru uygulaabilir. g, si a ve cos a biçiide ise ia ia ia ia cosa e e, sia e e i P poliou q. derecede 34

44 Souç: P P P L E L E L q A Aq P L k Souç: L ise LEE FE ve F olsu. Bu duruda yazlabilir. k k L E F k! Örek: dekleii çözeli. Bu deklei E operatörü yardyla eklide yazabiliriz. Bu duruda E E E E4 E E4 E E ö deklei özel çözüüü bulu oluruz. Hooje ks çözüü içi deklei sol tara karakteristik kökleri 3i ve 3i olup r ve 3 olarak buluur ve hooje ks çözüü elde edilir. O halde geel çözü olarak buluur. Örek: h ccos csi c cos c si dekleii çözeli. Dekle E operatörü yardyla E 4 eklide yazlabilir. Deklei hooje ks çözüü C D h 35

45 dir. idi Ters operatörler yöteiyle özel çözüü bulal O halde geel çözü olarak buluur. Burada ö E 4 4E E C. D C ve D biri periyodik oksiyolardr Paraetreleri deii etodu Paraetreleri deii etodu (3.) dekleii çöze geel bir yötedir. Eer varsaydz (3.3) dekleii lieer basz çözüleri biliirse o halde bu etod (3.) dekleii terileri tae belirsiz topla ola tü çözülerii verir. Burada biz geel yötei tesilcisi olduuda içi hesaplaa yapacaz. (3.3) dekleide içi iki lieer basz çözüü u ve u olsu. Bu duruda içi çözü eklide olur. Burada a u a u a ve a tespit edilecek oksiyolardr. O zaa a u a u a u a u a u a u yazlabilir. Bu iadede üçücü ve dördücü teriler eleecek ekilde a leri seçeriz. Yai a ve 36

46 r. Bir soraki u a u a (3.8) a u a u a u a u a u a u olarak elde edilir. idi (3.3) dekleide içi bulua eitlikler yerie koulursa u pu pua u pu pu u a u a p p a elde edilir. u ve u (3.3) dekleii saladda ilk iki paratez içideki teri r olur. O halde olursa Özetle u a u a g (3.9) (3.) dekleii salar. a ve a (3.8) ve (3.9) deklelerii salarsa (3.) i, içi çözüü au au olur. Katsaylar atrisi W deteriat srda arkl olduuda bu lieer dekle sisteii tek çözüü vardr. idi. ertebede deklei çözüüü adaki teorele iade edeli. Teore: (3.3) dekleii lieer basz çözüleri O halde a a (3.) dekleii bir çözüüdür. a, a,, a ler W atris dekleii salar. Burada a a g i,,, olsu. 37

47 W dir. Bu sistede a, a,, a ler buluur ve daha sora bular sras ile ters ark alarak a, a,, a ler elde edilir. Örek: 7 6 dekleii paraetreleri deii etoduu kullaarak tü çözülerii bulal. Bu deklei hooje ks çözüleri u ve u 6 dir. Bu çözüler dekle (3.8) ve (3.9) de yerie yazrsa elde edilir. Burada bu siste çözülürse bular ters arklar alrsa srasyla a a 6 a a 6 a ve a a C C C, a D D D elde edilir. Böylece çözü eklide buluur. D a a6 C D CD6 FD

48 idi bu yötei ayrk oktalar küesi üzeride düüeli. Yötede ilk olarak. ertebede lieer sabit katsay hooje olaya dekleii ele alal. g L E (3.) LE (3.) deklei (3.) dekleii hooje ks olup geel çözüü cucu cu (3.) h eklidedir. Bu iadede c, c,, c keyi sabitlerii (3.) dekleii salaya ve i bir oksiyou ola K, K,, K ile yer detireli. O halde (3.) deklei KuKu Ku (3.3) h eklide olur. (3.3) deklei (3.) i çözüü olduuda buu yada tae ek art koulabilir. O zaa K, K,, K oksiyolar buluas içi tae art al oluruz. Ayrca tae alazdaki sebep ükü olduuca,, leri kolaylarak içidir. Takip edile bu yollarla uk u K u K u K u K u K uk uk uk uk uk uk g sistei elde edilir. Bu sistede Casorati deteriat yardyla K, K,, K ler daha sora ise K, K,, K ler buluup (3.) dekleide yerie yazr. Böylece çözü taala olur. Örek: çözeli. 5 6 dekleii paraetreleri deii etoduyla Bu deklei hooje ks çözüleri u ve u 3 olup çözüü c c 3 dir. idi varsayal ki K K 3 (3.4) 39

49 hooje ks çözüü olsu. idi K ve K oksiyolar bulal. Bu oksiyolar bulak içi iki koula ihtiyacz vardr. Buu içi K.3 K K K 3 (3.5) itliii elde edeli. Bu eitlikte K ve K içi so iki teri sra eit olalr. Yai olur. Bu duruda (3.5) iadeside elde edilir. (3.7) iadeside K K 3 (3.6) K.3 K (3.7) K K 4.3 K.3 K (3.8) elde edilir. Verile deklei E operatörü yardyla ya da E olduuda E 5E6 (3.9) 3 eklide yazabiliriz. (3.4), (3.7) de ve (3.8), (3.9) da yerie yazrsa K.3 K (3.3) elde edilir. Bu duruda (3.6) ve (3.3) dekleleride K ve K yi belirleelidir. Yai K 3 K K.3 K (3.3) elde edilir. (3.3) çözülürse buluur. Burada 3.3 K, K K olup ters operatörler yardyla 3, K 4

50 K E E E 3 olur. Böylece hesaba c keyi sabiti ekleirse elde edilir. Bezer ekilde 3 K c K c.3 itlii elde edilir. Bulua eitlikler (3.4) de yerie yazrsa olarak buluur. 3 5 c c3 3.3 Ürete Foksiyo Yardyla Çözü Bu bölüde Spiegel (97) kayada yararlaarak (3.) deklei ürete oksiyo yardyla çözülelecektir. (3.) dekleideki içi ürete oksiyo G olarak talar. Bu oksiyo yardyla sabit katsay ark dekleleri çözülebilir. Örek: 3, 3dekleii çözeli. idi bu deklei bütü terilerii ile çarpp, da a topla alrsa 3 elde edilir. Burada ler içi alt idisler düzeleirse 4

51 elde edilir. 3 G oksiyouu tada bu seri G G G 3 eklide yazr. Burada, 3 deerleri yerie yazrsa G elde edilir. Bulua seri eklide yazrsa G oksiyouu G G ürete oksiyou tada elde edilir. O halde çözüü elde edili olur. 3.4 Mertebe Düüre Metoduyla Çözü Bu bölüde,,, r ler sabit olak üzere E E E g r eklideki deklei Spiegel (97) kaya yardyla ertebe düüre etodu kullaarak çözülecektir. idi bu deklede döüüü yaprsa z E E r E z g olup bu birici ertebede ark dekleii çözüü (3.7) de elde edilir. z g g i c i i 4

52 Örek: 5 6 dekleii ertebe düüre etoduyla çözüüz. Bu dekle E E eklide yazlabilir. Burada döüüü yaprsa 3 elde edilir. Burada bu deklei çözüü E z 3 z c c c 3 3 E z E c c c E E 3 E c 3 c 3 4 c 3 eklide olup burada E c 3 elde edilir. Bu deklei çözüü ay yötele elde edilir. c c c c Laplace Döüüü le Çözü Ta:, t zaa dekeii tek deerli oksiyou ve s (reel veya kopleks) paraetre olsu. itegrali ile talar. t i Laplace döüüü st F s L t e t dt (3.3) idi L t Fs ve gt Gs L olarak talayal. a ve b sabit olak üzere Laplace döüüüü özellikleri Tablo 3. ile baz oksiyolar Laplace döüüleri Tablo 3.3 de verilitir. 43

53 Tablo 3.. Baz oksiyolar Laplace döüüleri =L Fs Fs L t t t, ( ) s at e sa a a sbt, t,,,, e s ae t s s si at a s a cos at s s a, t a H t a e s a, t a as Tablo 3.3. Laplace döüüüü özellikleri =L Fs Fs L t t a ( t) bg( t) af( s) bg( s) (Lieerlik) at e ( t) F( sa) (. ötelee) ( ta) H( ta) as e F( s), a (. ötelee) ( at) s F( ) a a (Skaler detire) t t F s ( ) (),,,3,... () () li t t ( ) t t evcutsa, t t Fs () ( u) du s s ( ) ( t),,,3,... s F( s) s () s ()... () F u du T st tt ( t), T e st t dt e t () tgt () ( ugt ) ( udu ) FsGs () ( ) 44

54 Örek: 3,, dekleii çözeli. Bu dekle,,,, t t artyla duruda dekle t t t eklide talas. Bu 3 halii alr. Bu deklei Laplace döüüü yardyla, artlar altda düüürsek L ve bezer ekilde st s t e t dt e d t elde edilir. O halde dekle s s s s s e e d e e d s s s s s L e t e e d e e d e s s s s e L t e e s s s e L t e e s s t e t L L ya da s s e s s e L t e 3e L t L t s s s s t s s s e e e L t L L s e s e s e s eklide olup dekeie geri döülürse olarak çözü buluur. er verile dekle hooje olaya dekle yai 3 3,, eklide olsayd bu duruda çözü olur. Sa tara Laplace döüüü t L 3 t L t L L s s e 3e 45

55 t L 3 s s e e s s s 3s s s s s e 3e s 3e e 3e s e e 3e t t L -L L 3 eklide hesaplar. Bu duruda geel çözü dekei içi eklide buluur. 3,,,, 46

56 4. DEKEN KATSAYILI LNEER FARK DENKLEMLER N ANALK ÇÖZÜM YÖNTEMLER idiye kadar sabit katsay lieer ark dekleleri üzeride duruldu. Bu bölüde ise sürekli deke olak üzere ( ) p p g (4.) oksiyoel ark dekleii ve ayrk uzaydaki p p g (4.) deke katsay lieer ark deklelerii çözüleri üzeride durulacaktr. 4. Birici Mertebede Dekleler çi Çözü Yöteleri Bu bölüde birici ertebede deke katsay lieer ark deklelerii geel çözüü, balagç deer probleii çözüü ve birici ertebede deke katsay baz özel ark dekleleri Levy ve Lessa (96), Kelly ve Peterso (), Bereketolu ve Kutay () kayaklar yardyla verilecektir. 4.. Geel çözü bula a) Ayrk küelerde çözü Birici ertebede deke katsay lieer ark dekleii ele alal. Burada p g (4.3) p ve g ler,, deerleri içi tal bilie oksiyolardr. Geel çözü bir keyi sabit içerektedir. idi özel olarak g duruuu ele alal. O halde yei dekleiiz p (4.4) eklide olacaktr. Bu deklede otasyouu birer düürerek p p p 47

57 elde edilir. O halde bu dekle sisteide ya da. p. p p. p p r r r (4.5) r p elde edilir. Burada i keyi sabit olarak düüürsek (4.4) dekleii çözüü c p olur. Burada c keyi sabittir. Bu çözü (4.3) birici ertebede deke katsay hooje ks geel çözüüdür. idi (4.3) hooje olaya dekleii ele alal ve bu deklede her iki tara pr ile böleli. O halde r elde edilir ve burada r p p g p r r r r r r r p g p r r r r c pr pr g pr r r r (4.6) elde edilir. (4.6) iadesi (4.3) birici ertebede deke katsay hooje olaya ark dekleii geel çözüüdür. b) Sürekli deke küeside çözü idi sürekli deke içi p g (4.7) dekleii ele alal. u v döüüü yapal. Burada edilesi gereke oksiyo ve olsu. Bu duruda (4.7) deklei v tespit u hooje ks srda arkl bir çözüü u v p u v g (4.8) 48

58 eklide iade edilir. u hooje ks çözüü olduuda u pu yazlabilir. Bulua bu eitlik (4.8) de yerie yazrsa u v g g veu u v u v g elde edilir. Tekrar uv yazr. Burada çözülerii tesil eder. Gaa oksiyou yardyla C döüüüde yararlalarak g (4.9) Eu u C C biri periyodik bir oksiyo olup (4.8) dekleii tü p, p verile poliolar olak üzere p p eklideki birici ertebe deke katsay dekleler daha kolay bir ekilde çözülebilir. Biz idi bu deklede gaa oksiyouu daha ksa bir yötele alatabilek içi p, p seçeli. Bu deklei çözüü keyi sabitleri yerii tuta bir biri periyodik ve bir oksiyou ile birlikte eklidedir. Burada C, i C (4.) i balagçta tek bir biri aralda belirtile bir yolla belirleir. Ayrk küeler üzeride bu duruu düüülürse ark dekleii çözüü! özellii yardyla c keyi sabit olak üzere dir. c! 49

59 Örek: a sabit olak üzere çözeli. Bu deklei basitletirek içi a a dekleii olak üzere alal. Bu duruda yei dekleiiz y olur. Bu deklei her iki tara y a y a ile böldüüüzde r a r a elde edilir ki bu deklei çözüü y a y a a y a a y a a c' a a c eklide olup c ve c ' keyi sabitlerdir. O halde tekrar elde edilir. Örek: a a a c y deii yapldda birici ertebede ark dekleii çözeli. Deklei operatörü yardyla sol tara ta ark eklide yazlabilesi duruuda bu deklei çözüüde belirsiz topla tada yararlaarak elde edilir. O halde bu deklei çözüü olur. Burada C C C C biri periyodik bir oksiyodur. 5

60 4.. Balagç deer probleii çözüü Bu kda birici ertebede lieer hooje olaya ark deklei ve p g, (4.) (4.) balagç kouluda eydaa gele balagç deer problei üzeride durulacaktr; burada p katsay ve oksiyolar olup her içi p dr. g, üzeride tal reel deerli Teore: (4.) dekleii hooje ks ve (4.) balagç kouluda olua problei tek çözüü, pi (4.3) i olup (4.)-(4.) balagç deer probleii tek çözüü dir. pi p igr i r ir (4.4) Örek:!3, probleii çözüü, (4.5) de dir. r i i r!3!!3 i rir r r 3! 3! r r 4..3 Baz oksiyoel ark dekleleri çözüü Deklei bilie katsay oksiyou. derecede bir polio eklide ise lieer ark dekleleri oksiyou yardyla çözülebilir. Bu kouda poliolar durulara göre çözüler verilecektir. idi ark dekleii ele alal. p 5

61 Duru : sabit olak üzere yaprsa dekle z u z p biçiide ise z döüüü olur. Bu duruda ark deklei zu z u z olur. Bu deklei çözüüü (4.) da u z C z z yazabiliriz. O halde halii alr. z döüüüe tekrar döülürse dekle z C z z olup burada C C keyi biri periyodik oksiyodur. Duru : p eklide olur. Duru 3: biçiide ise çözü C p,. derecede herhagi bir oksiyo yai p. eklide ise dekleii çözüü eklidedir. Duru 4: C p p eklide p ve p eklide olsu. Bu duruda r, p a p b r i p poliolar bölüü eklide r. ve s. derecede poliolar eklide yazlabilirler. O halde birici ertebede rasyoel katsay hooje ark dekleii çözüü olarak buluur. Örek: Dekle düzeleirse r s a C r b r s dekleii çözeli. s s s i 5

62 elde edilir. Burada birici ertebe ark dekleii çözüüde oksiyouu ta kullalarak çözüü elde edilir. C C Örek: dekleii çözeli. p, p olup Bir öceki souca göre olarak buluur. 4. kici Mertebede Dekleler çi Çözü Yöteleri p, q ve r katsay hooje olaya dekle i oksiyolar olak üzere ikici ertebede deke p q r (4.5) eklidedir. Eer (4.5) de r ise o zaa p q (4.6) (4.6) deklei (4.5) dekleii ikici ertebede deke katsay hooje dekle olarak isiledirilir. (4.5) i çözüü; oksiyolar; oksiyolar; üzere eklidedir. u ve C ve D biri periyodik v hooje ks lieer basz çözü s ikici yal eitlii çözüüü yai özel çözüü gösterek Cu Dv s (4.7) kici ertebede bir ark dekleii çözüüü geel iadesii (4.7) eklide olduu biliektedir. Acak ikici ertebede ark dekleii bizi bu tarz bir çözüe götürecek bir geel çözü etodu buluaaktadr. Biz bu bölüde ikici ertebe dekleler içi hooje ks tek çözüüü biliesi veya iki çözü 53

63 arasdaki oksiyoel bat biliesi gibi artla göz öüe alarak çözülere ulaaya çalacaz. 4.. Birici ertebede türetilebile dekleler Birici ertebe ark deklei srl teri içerir. Bu yüzde bu bölüde ikici ertebe bir ark dekleii çözüü bir döüüle Levy ve Lessa (96) kaya yardyla birici ertebede türetilerek buluacaktr. idi eklide a,, A z B C z a z (4.8) sabit olak üzere A, B ve C arasda A, B a, C a a (4.9) bir bat olak artyla ikici ertebede bir ark dekleii çözüüü bulal. Buu içi a birici ertebede ark dekleii ele alal. Bu deklei çözüüü Duru 3 de olduuu biliyoruz. idi a a dekleii her iki taraa operatörüü uygulayal. Bu duruda a elde edilir. Bu dekle Leibiz teorei 6 yardyla çözülebilir. Yai a elde edilir. idi bu deklede z ve düzeleirse alr; z z a z z 6 y y y y y k k k k k k k k k k 54

64 z z z a z a z az elde edilerek burada z a a a z a z (4.) elde edilir. Burada (4.8) dekleii çözüü olarak buluur. z a (4.) Souç: (4.8) eklide ikici ertebede bir dekle verildiide (4.9) yardyla iade (4.) ye döütürülelidir. Bu yötei salaabilesi içi dekeie baklaks z, z ve z terilerii birbirie ba lieer katsaylar topla a ile bölüüü poziti tasay olas gerekli ve yeterli kouldur. Örek: z z z 3 5 dekleii çözeli. Bu dekle (4.8) eklide olduuda bu duruda a, olarak buluur. Daha sora (4.) eitlikleri kullarsa A, B 3, C aa 5 z katsayda itlikleride yararlarsa, olarak buluur. Bu deerler (4.) de yerie yazrsa çözüüüz olarak buluur. 3 z 4.. Mertebe düüre yötei Bu bölüde ikici ertebede deke katsay ark dekleii Levy ve Lessa (96), Bereketolu ve Kutay () yardyla ayrk oktalar ve sürekli dekeler küeside ertebe düüre etoduuu kullaarak çözeceiz. a) Ayrk oktalarda ertebe düüre yötei a, a, a katsaylar içi tal reel deerli oksiyolar ve üzeride a, a olak üzere ikici ertebede deke katsay lieer hooje, 55

65 a a a (4.) ark dekleii ele alal. Bu deklei aikâr olaya bir çözüü bilidiide buula lieer basz olacak ikici bir çözü buluabilir. Buu içi Abel leas içi tekrar iade edeli: Lea: çözüü ve dir. Burada olup ve (4.) hooje ark dekleii üzeride tal iki w olar Casoratya olsu. Bu duruda içi w; w a (4.3) w a w, üzeride (4.) i aikâr olaya bir çözüü ve de ay, deklei dier bir çözüü olsu. Açk olarak yazlabilir ve her iki taraa w uygularsa i i i olur. Böylece adaki teore elde edilir: Teore:, wi (4.4), (4.) dekleii her içi srda arkl bir çözüü olsu. a ve a katsaylar, üzeride srda arkl ise, o zaa (4.4) iadesi (4.) dekleii ikici basz çözüüdür; burada ikâr olaya çözüüdür. Örek: dekleii içi çözeli. Bu deklei bir çözüü olsu. Abel leasda w w yazlabilir. Bu deklei çözüü oksiyou yardyla w, (4.3) ü 56

66 eklidedir. (4.4) de w! i i i i i i i i!! elde edilir. Böylece verile deklei geel çözüü olup c ve c keyi sabitlerdir. c c i i i! b) Sürekli dekeler küeside ertebe düüre yötei er (4.6) dekleii bir u çözüü biliiyorsa bu duruda içide iki keyi oksiyo buludura (4.5) i geel çözüü birici ertebe deklee idirgeerek buluabilir. u, elde edilir. Daha sora döüüü ile (4.5) deklei dekle (4.6) y saladda u p u q u (4.5) F yei bir deke olarak kabul edilirse u F (4.6) u F p u F q u F r (4.7) halii alr. (4.5) deklei F ile çarpp (4.7) de çkarrsa buluur. Bu çözülerek u F q u F r (4.8) F bilieyeli birici ertebede ark dekleidir. Bu dekle F ve ardda tersi alarak F buluur. Böylece u F çözüü de buluu olur. Ayrca (4.8) de F u yazlarak u qu r u u u u 57

67 burada q uru u u q u elde edilir ve E operatörü yardyla Eq u u u r (4.9) yazlabilir. Böylece taalay deklei u özel çözüü verildiide, (4.5) dekleii (4.9) orudaki gibi sol ks çarpalara ayrlasa olaak salar. u ( ) ark koruduuda çarpalara ayra oksiyou olarak da adladr. (4.9) içideki katsaylar i oksiyolar olduuda (4.9) u sol taradaki çarpalar yer detireeyecei uutulaalr. Örek: verile bir çözüü 3 dekleii içi u ise deklei geel çözüüü buluuz.. Yol: Bu deklei (4.8) eklie çevirebilek içi u duruda ile çarpal. Bu 3 elde edilir. Bu deklei ortadaki terii ayrr ve dekle düzeleirse; eklide çarpalara elde edilir. Burada geçici olarak döüüü yaprsa bu duruda dekle z z z olur ki bu deklei çözüü Duru 4 de elde edilir. Burada bölüürse ve C C z C C periyodik bir oksiyodur. Her iki tara özellii kullarsa ile 58

68 C C elde edilir. Bu duruda çözü olarak buluur. Burada C C C C ve C D. Yol: Örei daha ksa çözek içi verile dekle halie getirilip q D keyi biri periyodik oksiyolardr. 3 olduuu görüp (4.9) dekleide yerie yazrsa yie ay çözüe kolaylkla gidilebilir Ta hale gelebile dekleler Bu bölüde Levy ve Lessa (96) kaya yardyla (4.6) dekleii bir u çözüü bilieesi duruuda bir topla çarpa (suatig actor) elde edip (4.5) dekleii bu topla çarpa ile çarplas soucuda ta hale getirileceiz. Eer (4.5) dekleii b Eq b r b (4.3) eklide yazabileceiiz baz b oksiyolar biliiyorsa dekle içi bir topla çarpa (suati or itegratig actor) olur. Bir öceki bölüde biliyoruz ki eer hooje ks bir b orjial u çözüüü biliyorsak u F döüüü ile ikici ertebe bir dekle (4.9) oruda F i birici ertebe bir dekleie idirgeir. Bu duru u i biliedii durularda bize (4.6) dekleii çözüüe doru bir yol gösterir. idi b ve c heüz i talaa oksiyolar olak üzere F b c b E c (4.3) olsu. Burada içi F b c 59

69 elde edilir. idi bqc Qc F Q F b dekleii olutural. Burada (4.3) Q de i talaa oksiyoudur. idi (4.5) i sol tara (4.3) i sa taraa orat yazaya çalrsak bu duruda elde edilir. Burada p q b Q c Q c b b Q c b p (4.33) cqb q (4.34) itlikleri elde edilir. (4.3) ve (4.5) dekleleride yazr veya (4.3) deki EQ F r b (4.35) F iadesi yardyla EQ b Ec r b dekleii elde ederiz. Bu dekle aslda (4.34) ve (4.35) eitlikleri yard ile de görülecei üzere (4.5) orjial dekleii her iki tara b ile çarpl halidir. dikkat eteliyiz. b i belirlerke (4.33) ve (4.34) eitliklerii birlikte kullaacaza (4.34) dekleide c çekilip yazrsa c türetilip (4.33) dekleide yerie q b p Q b Q Q b (4.36) eklide dekle elde edilir. Burada p ve q i verile oksiyolarr ve b ve Q heüz talaar. Böylece eer Q keyi seçilirse bulak içi ikici ertebede bir dekle çözeiz gerekir. Dier yada, keyi seçersek b i b i Q e göre dekle ilk bakta birici ertebede görüür. Dolayyla aslda ta çözü bir keyi sabit içerelidir, aa kolayca görülecei 6

70 üzere bu çözüe ulaak içi tekrar ikici ertebe lieer dekle çözek gerekir Çükü (4.36) dekleide yazrsa Q R R b q R b p R b R elde edilir. Bu deklee hagi tarata bakarsak bakal ikici ertebe lieer dekle çözekte kurtulaayz. Ay zaada, çözüleri birbirie bal ve birii çözüü dierii çarpalara ayra oksiyou ola lieer dekle küelerii varl göstererek çözü ihtialii geilettik. idiye kadar b ve çeitli seçeeklerii tartal. Daha sora deklei soucuu da deklei elde edilir. Q oksiyolar keyiydi. idi Q oksiyouu b e götüre deklei araral. Bu i orjial deklei (4.5) ile çarpal. Böylece (4.35) Duru : Q q özel seçii ile (4.34) eitliide b c edilir. Bu eitlikler (4.33) de yerie yazrsa elde b p b q b deklei buluur. Bu dekle (4.6) taalay dekleidir. Yai b i hooje ks çözüü olduu görülür. Duru : Eer (4.5) dekleii sol ks ta ark yapa bir çarpa bulak istersek yai E çarpa görüesii istersek o zaa Q alalz. Bu duruda (4.34) de olup bu eitlik (4.33) de yerie koulursa elde edilir. Bu b q c q b pb b (4.37) b içi ikici ertebe bir dekledir. (4.37) ye (4.5) i adjoit deklei deir. (4.37) deklei arkl bir ekilde p b b b q q 6

71 yazlabilir. Yie bu adjoit deklei B gibi topla çarpa vardr ve buradaki B ; B B p q q B q (4.38) dekleii salar (4.38) dekleideki vardr. Burada C C p q B i C gibi topla çarpa C C q q q 3 deklei salar ve böyle deva eder. (4.39) Küei bir öceki içi topla çarpa sua her bir deklei çözüü küeyi salar. Eer bu deklelerde herhagi birisi kapal bir ekilde çözülebilirse bu duruda küei her elea çözülebilir. B q () dekleii salada dikkat edeli. Bu iadeyi (4.38) de yazarak iadesii (4.38) q p q q elde ederiz. Elbette ki bu (4.5) dekleidir. Ay argüa ile alrsak ve yie soraki aaada C b q ( ) ( ) ( ) D q B q q yazlabilir. Bu ekilde topla çarpa bulup adjoit deklee ulaabilek içi topla çarpalar elde edili olur. Souç: p q r dekleii ta olas içi gerek ve yeter koul p ( ) q ( ) olasr. Bu öerei bir soucu olarak, eer bir dekle ta ise (4.37) dekleii bir çözüüü b olas gerektii söyleebilir. Yai bu koul dayatld zaa deklei yeterli olduu doruda görülebilir. deklede yerie koulursa elde edilir. Yai, p p r q geel 6

72 veya p p r elde edilir. Bu düüce. ertebede p r ( ) p p g geel lieer ark dekleie uzatlabilir. Burada. ertebede deke katsay lieer ark deklei. ertebede baka bir adjoit deklei çözüüde elde edile bir oksiyo ile çarplarak. ertebe iadei ta ark olarak yazlabilir. Geel duruda da, ikici ertebede deklelerde olduu gibi adjoit dekleler küesi evcuttur. Eer bu deklelerde herhagi birii çözüü kapal orda elde edilebilirse o zaa ayrca bu küei her bir elaa içi bu ekilde bir çözü yazlabilir. Örek: dekleii çözeli. Bu deklede i yalz kalas içi dekle eklide dekle elde edilir. Burada p, q dir. (4.37) deklei yardyla bu deklei adjoit deklei b b b elde edilir. Burada b a u alrsa ( B elde edilir. Burada a alrsa a ) a u a u u 4u u u ile çarprsa olur. u bir çözüdür. Burada adjoit deklei çözüü b ve orijial deklei topla çarpa ise (4.3) da b olarak buluur. Burada 63

73 elde edilir. Bu deklei çözüü eklidedir. Burada tara C ile çarprsa elde edilir. Burada olup C ve C biri periyodik oksiyodur. Bu so deklede her iki C k C k. D, k D keyi biri periyotlu oksiyolardr Hooje ks çözüleri arasda oksiyoel bat evcutsa Bu bölüde p q (4.5) ikici ertebe lieer ark dekleii çözüleri arasda oksiyoel bat olas duruuda çözüü asl buluaca Levy ve Lessa (96) kaya baz alarak verilecektir. idi u çözü olsu. Yai bilieye çözü ve v, e ve u e ba olarak bilie dier Burada yazrsa elde edilir. v g, u, u,, u.,,,, v g u u u (4.4) u ve v verile deklei çözüleri olduklarda u p u q u (4.4) v p v q v (4.4) yazlabilir. (4.4) dekleide alrsa 64

74 v p v q v elde edilir. Bu deklei ise (4.4) yardyla,,,, g u u p g u,, u q g, u,, u (4.43) eklide yazlabilir. (4.4) deklei u ( ) i u ve u ciside iade edilebilesii salar. Burada yazr ve ile u iadeleri de u ve (4.43) dekleii iadesi olur. Böylece içi ardk yerie koya u ciside iade edilebilir. Bua göre G, u, u u i belirleecei birici ertebede bir ark deklei elde edilir. er bu edele srl teriler çözülebiliyorsa bu yüzde de orijial dekle (4.6) ve böylece teorik olarak p q r (4.44) tipide dekle çözülecekti. Buu dört özel duruda iceleyeli: Duru : bilie bir oksiyo olak üzere çözülerde biri dierii kat olsu. Bu duruda çözüler u ve u olur. O halde u p u q u (4.45) u p u q u (4.46) elde edilir. (4.46) da u terii yok edilerek yai (4.45) deklei çarpp (4.46) da çkarldda ile p u q u (4.47) eklide birici ertebede dekle elde ederiz ve burada 3 Örek: u i bulabiliriz. 3 dekleii çözüleride biri dierii! katr. Bu deklei çözeli. Verile bu dekle (4.47) eklide yazrsa 65

75 3 3!! u!! u elde edilir. Bu dekle düzeleirse ve sadeletirilirse 3 3 u 3 u u u elde edilir. Bu birici ertebede deklei çözüü u! olarak buluur. O halde deklei çözüü olup c ve d keyi sabitlerdir. c! d! Duru : Çözülerde biri dierii karesi olsu. Bu duruda çözüler u olur. O halde u pu q u elde edilir. Burada veya açk olarak u p u q u u özel çözüdür. Böylece p u q u p u q u u ve p p u p q u u q q u elde edilir. Bu u u içi çözülebile cebirsel bir dekledir ve çözüü u p q p q p q u p p olur. Yai bu dekle (4.48) u içi çözülebile birici ertebe bir deklee idirgei olur. Bu dekle çözülerek lieer basz çözüler buluu olur. 3 Örek: 3 dekleii çözüleride biri dierii karesidir. idi bu deklei çözeli. 66

76 Bu deklede 3 p 3 q olarak belirleir. Bulua bu eitlikler (4.48) de yerie yazrsa u u 4 u ve u dekleleri elde edilir. Bu iadelerde ikicisi deklei salaaz. O halde ilk deklei çözüü ve dier çözü u olur. O halde geel çözü u olarak buluur. Burada C D C ve D biri periyodik oksiyolardr. Duru 3: Çözülerde biri dierii tersi olsu. Bu duruda çözüler u olur. O halde p q u u u u p u q u dekleleri elde edilir. Bu iki deklede buluur ve düzeleirse p q puqu u u u u u p q pq u dekleie ular. Burada u u ark dekleii salar. u ve (4.49) i iki deeride sadece biri orijial 67

77 Örek: dekleii çözüleri arasda deklei çözeli. Bu deklede u ve u olduu biliektedir. O halde bu p q olup bu eitlikler (4.49) da yerie yazrsa u u u u elde edilir. Burada u u diyeli. Bu duruda olup bu deklei çözüüde elde edilir. O halde olup bu deklede, u u u u uc u C elde edilir. Çözüler arasdaki iliki bilidiide dolay çözü olarak elde edilir. Burada C D C ve D keyi biri periyodik oksiyolardr. Duru 4: Çözülerde biri u ve dieri u olsu. O halde elde edilir. kici deklede u p u q u u p u q u u p u q u yazlabilir ve ilk deklele birletirilirse 68

78 u u q (4.5) p elde edilir. (4.5) de u i yai deklei geel çözüüü elde ederiz. Örek: arasda dekleii çözüleri u ve bu deklei çözeli. Bu deklede u gibi bir oksiyoel bat olduu biliektedir. O halde, p q olup bu eitlikler (4.5) de yerie yazrsa u u elde edilir. Bu deklei bir çözüü dir. Dolayyla geel çözü olarak elde edilir. Burada u u u C C D C ve D keyi biri periyodik oksiyolardr Belirli itegraller yardyla çözü Bu bölüde ikici ertebe deke katsay ark dekleii t z z t g t dt t döüüü ile çözüü Levy ve Lessa (96) kaya teel alarak iceleecektir. Öce bu yötei özel bir duru ile göstereli. Aacz z azb z czd z (4.5) dekleii özel çözüüü elde etektir. Bu duruda özel çözüü içeriside basz dekei içere belirli itegral olacaktr. idi dekleii dikkate alal ve z z z z z (4.5) 69

79 t z z t g t dt döüüüü yapal. Bu döüüde t ve t belirleesi gereke sabit, belirleecek oksiyodur. Bu döüü (4.5) dekleide yerie koulursa ve burada t t t t z z z t g t dt z t g t dt z t g t dt t t t t z z t t t g t dt z t t g t dt t t elde edilir. kici itegrali ksi itegralii alal t t z z z t d zt t g t dt t g t t t t g t dt. dt t t t Bu dekle düzeleirse elde edilir. t t d dt t z z t t t t g t t. t g t dt t g t t t gt yi belirleek içi bu deklede gt ise d ttg t t tg t dt (4.53) t z t g t t t olacak ekilde t ve t i seçeriz. Bu duruda (4.54) t gt e t t ya da gt e t (4.53) dekleii salar ve böylece (4.54) deklei t t z e t olur. t ve t ise z poziti yar düzlede herhagi bir yerde olabilir. Böylece (4.5) dekleii bir çözüü t olur. z t (4.55) z t e t dt 7

80 Dorulaa: (4.55) deklei (4.5) de yerie yazrsa, z t z t z t t e z t e zt e z z t dt t t zt t e dt t t elde edilir. Souç: (4.5) deklei t z z e t zt dt z z z z z z z gibi yazlabilir. Böylece bu deklei çözüü z z C z z olur. Daha geel ekilde (4.5) ark dekleii çözüüü bulak içi t z z t g t dt (4.56) t döüüü (4.5) ark dekleide yerie yazrsa elde ederiz. idi t z z z z z t bt dt g t dt z at ct g t dt (4.57) t t t t z z z z at ct g t dt z t at c g t dt t t t t z t z d t at cg t t t at c g t dt dt t (4.58) si itegrali alp (4.58) deklei (4.57) i ikici terii yerie yazrsa t t d z t dt t z t t bt d g t t at c g t dt t at c g t elde edilir. idi oluturak içi d dt (4.59) t bt d g t t at cg t t t z t at c g t (4.6) gt, t ve t yi seçeriz. Bu duruda dekle (4.59) deklei d dt at cg t at cg t t bt d t at c 7

81 halii alr. Bu dekle birici ertebede dierasiyel dekle olup at c g t e t bt d at ct dt dekleide ile kolayl içi itegral içideki iadeyi t bt d at ct A B t C at c eklide basit kesirlere ayrabiliriz. Burada olur. Böylece ve (4.54) de A a B d c C abc c a d ac,, ta dc atcg t e. t t c a c da abc a c c da abc a c ta dc e t t ca t t buluur. t ve t bu koulu salayacak ekilde seçilirse o zaa t z dc ta t bca d a c z t e at c dt iadesi (4.5) dekleii salar. O halde bu dekle (4.5) dekleii çözüüdür. Örek: z z z z z dekleii çözeli. Burada a, b, c, d dir. Böylece t z e t t t.. olas gerekir. Böylece z düzlei z i sa tarada kaldda t ve t seçebiliriz ve çözü olarak buluur. t z t z t e t dt 4..6 Balagç ve sr deer problelerii çözüü Bu bölüde Bereketolu ve Kutay () kaya yardyla ikici ertebede lieer sel-adjoit ark dekleleri kapsaya sr deer probleleri ele alacak ve çözüleri bulak içi Gree oksiyou ia edilecektir. 7

82 Ta (Sel-adjoit):kici ertebede lieer sel-adjoit ark deklei olarak talar; burada ve poziti deerli Bu dekle açk olarak p q (4.6) p oksiyou a, b a, a,, b q oksiyou a, b üzeride talr.,, aralda p c p a b (4.6) biçiidedir; burada c q p p (4.63) dir. Tersie olarak, deklei p oksiyou ab, üzeride poziti olduu sürece (4.6) qc pp (4.64) olak üzere (4.6) oruda yazlabilir. Geel olarak, (4.65) deklei, ab, içi ve a, b içi olak üzere (4.6) sel-adjoit oruda gösterilebilir. (4.65) dekleii iki ya poziti bir oksiyou ile çarprsa, buluur. Bu deklei (4.6) sel-adjoit oruda olas içi p ve p salaalr. Burada birici ertebede, ab, ark deklei ortaya çkar. Buu çözüüü ise Bölü 4.. de ia i i elde ederiz. Burada herhagi bir poziti sabit olup sadelik içi alrsa 73

83 ve (4.64) de p ia i i q p p olduuda (4.65) deklei (4.6) dekleie edeerdir. Örek: olak üzere ark dekleii sel-adjoit orda yazak içi i! oksiyou hesaplar. Bua göre yei deklei katsaylar i p, q dir. Böylece verile deklei sel-adjoit oru olarak buluur. Öte yada (4.6) deklei ve e göre tek olarak çözülebildiide, bu deklei A, B balagç koullar salaya bir tek çözüü vardr ve bu çözü a, b a, a,, b üzeride talr; burada ab, olup A ve B sabitlerdir. Bezer iddia (4.65) deklei yerie kark gele hooje olaya dekle içi de dorudur. Buula birlikte,, A, B r deer problei AB içi sosuz sayda çözüe sahip ike A ve B halide hiçbir çözüe sahip deildir. idi S ab, üzeride tal reeldeerli oksiyolar 74

84 küesi üzeride tal ola,, L p q a b (4.66) operatörüü göz öüe alal. Bua göre (4.6) deklei L eklide olur. idi hooje olaya balagç deer problelerii çözerke kullaacaz Cauchy oksiyouda söz edeli. Ta (Cauchy oksiyou):,, a b, a sb oksiyou her bir sabit s a, b içi s L,, s, s, s s, s p s balagç deer probleii sayorsa, o zaa s, oksiyoua (4.6) dekleii Cauchy oksiyou deir. Örek: p ark dekleii Cauchy oksiyouu bulal. Cauchy oksiyouu tada yazr. Burada a, b eklide s p, s, a, b içi p s, s sabiti var deektir. Bu sabit s yerie alrsa, s, p içi s buluur. ki tara, s olak üzere, s de e kadar toplarsa, s, ss, is pi kar. ss, olduuda Cauchy oksiyou s içi dir. idi s, is p i biçiide elde edilir. Özel olarak, ark deklei içi Cauchy oksiyou s, s dir. 75

85 Teore: Lieer basz çözüleri u ve oksiyou u ola (4.6) dekleii Cauchy dir. u u u u p s a b, a sb s s s s s, u u us us Örek: p dekleii çözüleri olduua göre Cauchy oksiyou u, u ia pi s s iap i iap i ps p i p i s, s ia ia is p i dir. Teore (Sabitleri deii orülü): L g,,, a, b a a balagç deer probleii çözüü g, ab,, s s sa dir. Burada s,, L içi Cauchy oksiyoudur. Örek:, balagç deer probleii çözeli. Sabitleri deii orülü ve özel olarak ark deklei içi Cauchy oksiyou s, s olduuda çözü; olarak buluur. s s 6 3 s Souç: L g, A, B, a, b çözüü balagç deer probleii a a u g, s s sa 76

86 dir. Burada u oksiyou Lu, ua A, ua B balagç deer probleii çözüü olup s, ise L deklei içi Cauchy oksiyoudur. Ta (diskojuge): a, b üzeride olak üzere deklei verilsi. a, b olacak ekilde bir diskojugedir deir. içi r r (4.67) r say varsa, o zaa (4.67) deklei, ab üzeride Örek: 4 deklei, üzeride diskojugedir. Gerçekte 4 olup h r r r, boyuca h dr. Ta (Lieer Sr-Deer Problei): a b olak üzere, a, b üzeride tal bir oksiyo, A ve B reel sabitler olak üzere L g, A, B a, b ile tal problee r deer problei deir. Lieer hooje sr deer problelerii aikâr olaya çözülere sahip olup olaas duruu ateatiksel izii e öde gele bir arara kousudur. Bu da ise bir hooje problei aikâr olaya çözülere sahip olabildiii lieer sr-deer probleide göstereceiz. Teore: L deklei, ab üzeride diskojuge ise o zaa L g, A, B, a, b r-deer problei bir tek çözüe sahiptir. Souç: L deklei, ab üzeride diskojuge ise o zaa hooje L, a, b r deer probleii tek çözüü dr. Souç: L deklei, ab üzeride diskojuge ise o zaa 77

87 L g, a, b r deer problei bir tek çözüe sahiptir. Ta (Gree oksiyou): daki koullar salaya Gs, oksiyoua L, a, b hooje sr deer problei içi Gree oksiyou deir: G, s, ab, asb üzeride talr. i. LG, s, ab, asb dir; burada s Kroecker ii. deltasr. iii. s G a, s G b, s, asb. Teore: L deklei, ab üzeride diskojuge ise o zaa L, a, b hooje sr deer problei içi i-iii koullar salaya bir tek Gs, Gree oksiyou vardr. Teore: L deklei, ab üzeride diskojuge ise, o zaa L, a, b eklide hooje sr deer probleii tek Gree oksiyou eklidedir. Burada G s,, b, s, s b, s b, s b s, L dekleii bir çözüüdür. (4.68) Örek: p,, dekleii Cauchy ve Gree oksiyolar bulal. s a b p, s p, s s eklide bir sabiti vardr. Bu sabit s alrsa toplarsa s, içi s dir. idi p buluur. ki tara s olak üzere s de e kadar pi s, ss, is 78

88 kar. ss, olduuda Cauchy oksiyou s içi s, is pi elde edilir. Dolayyla bu çözü a, a balagç koullar salar. Bu duruda çözüü eklidedir. (4.68) de s içi ve s içi G, s G s, ia pi b, b s isp i iap i b b p i b b b b, s s, b isp i iap i iap i isp i iap i ia p i p i p i p i p i p i b b p i p i b b is ia i ia i is ia p i p i s b ia i b iap i elde edilir. Souç olarak Gree oksiyou ia G s, p i iap i b pi b is ia s b ia p i ip i b pi ia,, s s eklidedir. Teore: L deklei, ab üzeride diskojuge ise, o zaa L g, a, b 79

89 hooje olaya sr deer probleii tek çözüü b sa G, s g s dir. Burada, ; G s L, a, b hooje balagç deer probleii Gree oksiyou olup (4.68) ile bellidir. Örek: Gree oksiyou yardyla 6,, 8 sr deer probleii çözeli. Öceside özel olarak hooje a b r deer probleii Gree oksiyou olduuu belirteli. idi hooje a, b8 alrsa G s,,, abs ba ba sab,, s s, 8 içi Gree oksiyou özel olarak G s, 8s 8 s8 8 olur. Soruu çözüü bir öceki teorede olarak buluur. Souç: hooje olaya,, s s 7 7 Gs, 6 6 Gs, Gs, s s s L deklei, r deer probleii tek çözüü ab üzeride diskojuge olsu. Bu duruda L g, A, B a b b u G, sg s sa 8

90 dir. Burada Gs, (4.68) deki gibi olup u oksiyou r deer probleii bir çözüüdür. Örek: Lu, u A, u B a b 6, 8 sr deer probleii çözüü dir ve burada u u 8 64 u, u, u 8 probleii çözüü olup u eklide hesaplar. O halde çözü olarak buluur Ta (öz deer ve öz oksiyo): Baze ark deklelerideki ve/veya sr koullardaki katsaylar bir paraetre kapsar ve böyle bir duruda aikâr olaya çözüler paraetrei sadece baz deerleri içi ortaya çkabilir. te paraetrei bu özel deerlerie öz deer ve kark gele aikâr olaya çözülere de öz oksiyo deir. Ta (Stur-Liouville problei 63 ) kici ertebede lieer sel-adjoit p q r, a, b (4.69) ark dekleii ve, (4.7) a a b b r koullar göz öüe alal; burada bir paraetre, a, b a, a,, b üzeride tal ve poziti deerli,,,,, içi tal ve a b a a b p katsay q katsay r arlk oksiyou a, b üzeride tal ve poziti deerlidir. Ayrca ve verili reel sabitlerdir. (4.69)-(4.7) sr deer probleie bir Stur-Liouville problei deir. 63 Bu proble isii Frasz ateatikçiler Jacques Charles Fraçois Stur (83 855) ve Joseph Liouville (89 88) tarada alr. 8

91 Örek: dekleii 8, artlar altda çözeli. idi Stur-Liouville probleii öz deer ve öz oksiyolar bulal. Bu dekle açk olarak eklidedir. Bua iliki karakteristik deklei ve karakteristik kökleri, 4 dir. Burada, 4,, 4 ve 4 durular ortaya çkar. lk iki durua göre ve kökleri reel ve arkl olacada deklei geel çözüü c c dir. Sr koullar uygularsa c c ve dolayyla aikâr çözüü buluur. O halde ve 4 gibi saylar öz deer olaaz. Burada ve 4 öz deer olaaz. Geriye duruu kalr. Bua göre cos seçilebilir ve dolayyla karakteristik kökler eklii alr. Burada geel çözü r. Sr koullar uygularsa ve dolayyla i, cosisi e c cos c si c, c si8 k c ve, k,,,7 8 alabilir. O halde verile problei öz deerleri ve öz oksiyolar k k cos, k,,,7 8 k k si, k,,, 7,,,, 8 8 8

92 dir. Bu örekte, öz deerleri basit olduklar ve ayrca öz deerleri say ile,7,,,7 küesideki elea say ay olduu vurgulaabilir. idi, bu özellikleri ve daha azlas geel (4.69)-(4.7) Stur-Liouville problei içi salad göstereli. Teore: (4.69)-(4.7) Stur-Liouville probleii öz deerleri basittir. Yai say (4.69)-(4.7) probleii bir öz deeri ve ile oksiyolar ise, o zaa balr. ve Ta (ortogoallik): Her biri a oksiyolar küesi oluyorsa, a Burada b ia, b üzeride oa kark gele öz oksiyolar ab, üzeride lieer, b üzeride tal ola,, r i, i i r arlk oksiyoua göre ortogoaldir deir. r, a, b üzeride tal ve poziti deerli bir oksiyodur. Teore:,,, içi, (4.69)-(4.7) Stur-Liouville probleii öz deerleri ve öz deerlere kark gele öz oksiyolar olsu. Bu duruda,,,, cülesi a, b ortogoaldir. üzeride r arlk oksiyoua göre Teore: ve, (4.69)-(4.7) Stur-Liouville probleii öz deerleri ve ile bu iki öz deerler kark gele öz oksiyolar olsu. Bu duruda ab, üzeride acak ve acak olas halide lieer balr. ve Teore: (4.69)-(4.7) Stur-Liouville probleiii bütü öz deerleri reeldir. Teore: (4.69), a, b Stur-Liouville problei k eklide k ba tae öz deere sahiptir., Örek:,, b dekleii artlar altda b çözeli. 83

93 idi Stur-Liouville probleii öz deer ve öz oksiyolar bulal. Bu dekle açk olarak eklidedir. Bua iliki karakteristik dekle ve karakteristik kökler, 4 8 dir. Burada,,, ve durular ortaya çkar. lk iki durua göre ve kökleri reel ve arkl olacada deklei geel çözüü c c dir. Sr koullar uygularsa c c ve dolayyla aikâr çözüü buluur. O halde ve gibi saylar öz deer olaaz. Burada ve öz deer olaaz. Geriye duruu kalr. Bua göre cos seçilebilir ve dolayyla karakteristik kökler eklii alr. Burada geel çözü r. Sr koullar uygularsa ve dolayyla i, cosisi e c cos c si c, c cos b c si b k c ve, k,,, b b alabilir. O halde verile problei öz deerleri ve öz oksiyolar dir. k k k b b cos si, k,,, b k k si, k,,, 7,,,, b b 84

94 4.3 E Operatörü ile Çarpalara Ayrlabile Dekleler Bu bölüde Kelly ve Peterso () kayada yararlalarak. ertebe ark deklei E operatörü yardyla çarpalara ayrlas üzeride durulacaktr. idi ( ) p ( ) p g ( ) (4.) dekleii ele alal. Eer bu dekle E operatörü yardyla aeba Eb a Eb g eklide çarpalara ayrlabilirse geel çözü her bir bal deke içi lieer ark deklei çözülerek buluabilir. Burada a i ve oksiyolar olabilir. Buu içi a Eb a Eb z b i ler sabit ya da i alr ve daha sora a Eb z g elde edilir. Bu birici ertebe dekle çözülerek olak üzere a Eb a Eb w 3 3 a Eb w z z buluur. Bu ekilde birici ertebe dekle çözülür. Bu ile sisteatik olarak izleirse souda çözüüe ulal olur. E E Örek: dekleii çözeli. Bu dekle çarpalara ayrrsa elde edilir. döüüü yaprsa E E E v v E olup, bu deklei çözüü v C olur. O halde dekle 85

95 E C halii alr. Bu deklei hooje ks çözüü (4.) da D olup birici ertebede deke katsay hooje olaya ark dekleii aalitik çözüü (4.9) da elde edilir. Burada D C C ve küesi üzeride olsayd elde edilirdi ve burada c Örek: D periyodik oksiyolardr. Eer ayrk oktalar d.! c.! k ve d keyi sabitlerdir. k k! dekleii çözeli. Verile deklei E operatörü yardyla E E eklide yazlabildiide dolay operatör yardyla çarpalara ayp çözülebilir. Bu so deklede a ve b leri bulak içi verile deklei Ea Eb eklie çevireli. Bu deklei sol tara açarsak Ea b b a b a b ab elde edilir. Bu so bulduuuz dekle soruda verile deklei çarpalara ayrl halie eitleirse ab, ab itlikleri elde edilir. Burada dekleiiz E E eklide isteile ora geli olur. Bu deklede alrsa E z 86

96 E z z z c c elde edilir. O halde z yerie yazrsa dekle olarak buluur. Burada çözü (4.6) da elde edilir. rr E c r r c c!! r r!! c! c! r r! rr! 4.4 ve Operatörleri Yardyla Çözü ve operatörlerii ta ve arasdaki batlar ikici bölüde veriliti.. ertebe ark dekleii hooje ks operatörü ile çözebileiz içi 3, 3, operatörü tadaki batlara ihtiyaç vardr. Ayrca özel çözü elde etek içi g oksiyouu da a i ler sabit olak üzere operatörü ciside g a aa a a a a a yazlarak çözüe gidilir. Bu poliou katsaylar daha açk iade edilebilir. Yai olduuda a g, olduuda a olduuda a,! olur. Bu ekilde deva edilerek kayak oksiyo halide yazl olur. idi. ertebe g g g ( ) p ( ) p g ( ) (4.)! 87

97 ark dekleii Levy ve Lessa (96) kaya yardyla ve operatörü özellikleride yararlaarak dört arkl duruda iceleyeli. Duru :. ertebe deke katsay (4.) ark deklei,,, sabit olak üzere (4.7) polio oruda yazlabilesi duruuda geel çözü buluabilir. Eer (4.7) dekleii hooje ks a, a,, a ler sabit olak üzere a a a (4.7) eklide çarpalara ayrlabiliyorsa bu duruda (4.7) dekleii çözüü dir. Burada C Ca biri periyotlu periyodik bir oksiyodur. er (4.7) dekleii hooje ks a (4.73) eklide katl çarpalara ayrl halde yazlabiliyorsa bu duruda (4.7) dekleii çözüü dir. Burada C a C ler periyodik oksiyolardr. Örek: 5 6 dekleii çözeli. operatörüü özellikleride yararlalarak bu dekle 5 6 ya da 3 eklide yazlabilir ve bu deklei çözüü olarak buluur. Burada C3 C C ve C biri periyotlu periyodik oksiyolardr. Örek: a sabit olak üzere a a çözeli. dekleii 88

98 operatörüü özellikleride yararlalarak bu dekle a a a eklide yazlabilir ve bu deklei çözüü olarak buluur. Burada Örek: a C C C ve C biri periyotlu periyodik oksiyolardr. 3 dekleii çözeli. Bu deklei sa tara 3 a a a a 3 eklide yazp e,,, 3 deerleri verildiide a, a, a, a3 olarak buluur. O halde yazlabilir. Bu duruda deklei 3 3 olarak operatörü yardyla yazl olur. Bu deklei srasyla hooje s çözüü ve özel çözüü h ö C. olur. O halde verile deklei çözüü olarak buluur. Burada C C biri periyodik oksiyodur. Duru :. ertebede (4.) dekleii hooje ks a a a eklide düzeleebilirse çözüde elee yöteie gidilerek ilk öce çözülerek ileler deva ettirilir. Yai olup bu so deklei çözüü a a a a C a 89

99 olup geelleirse çözü olur. Burada Cr Duru 3:. r Cr a ler biri periyodik oksiyolardr. ertebede (4.) dekleii hooje ks eklide yazlabilirse bu duruda olak üzere dekle a aa a a a a a a a 3 3 yazlabilir. Dolayyla ve u katsaylar eitleirse elde edilir. Eer bu eitliklerde r a a 3 a özellii yardyla da dekle düzeleir a, o a a, a a, a a, i herhagi bir deeri srda arkl ise bu duruda a aa olur ve bu duruda u kuvvet serisii çözüü olaz. Eer,,,3,, srsa bu duruda serisi r teriiyle balar. Bu duruda çözüe ulalacaktr. Acak bu seer yaksaa problei ortaya kacaktr. Örei içi dekleii çözüü 3 4 a a olur. Bu paratezi iç ks bir geoetrik seri olup bu serii geel terii a 3 9

100 eklidedir. Yaksaklk içi ora testi N içi a li a olas gerektirir. Bu ora ise e göre i derecesie bar. Açkça, er i derecesi birde büyükse yaksak çözü kolayca elde edilir. Örek: dekleii çözeli. Öcelikle bu deklei her iki tara ile çarpp daha sora ve operatörlerii özellikleride yararlalarak dekle eklide buluur. Bulua so eitlikte s r r r s yazlabilir. Bu duruda dekleiiz halii alr. idi geçici olarak özellii kullarsa alp deklede yerie yazrsa 3 3 a aa a a a a a 3 elde edilir. Burada 3 a a a a3 a özellii yardyla 9

101 a elde edilir. Bu eitlikler deklede yerie yazr ve u katsaylar eitleirse a a a 3 3 a a a a a elde edilir. Bu eitliklerde a keyi seçilesi duruuda elde edilir. O halde çözü dir. a a a a a a a a a a 3 Örek: 3 dekleii çözeli. Bu deklei her iki tara ile çarpp daha sora deklei her bir terii özellikleri yardyla düzeleirse dekle 3 3 eklide olur. Bulua eitlii sol ve sa ks s r r r s yardyla özellii 9

102 elde edilir. Bulua bu souçlar deklede yerie yazrsa elde edilir. idi geçici olarak 3 alp deklede yerie yazrsa 3 a aa a 3 3 a a a a a a a elde edilir. Burada özellii yardyla sol k a a a a 4 a a 7 a a a a 4a a 7a a eklide elde edilir. Bu deklede her iki tara bezer terilerii katsaylar itleirse,,3, a ler a a ba olarak a a, a 4a 4, a 4a 8, a 4a elde edilir. Burada a tal deildir. Bu eitliklerde a 3 seçilirse a 3 de sora gelecek bütü teriler sr olur. O halde a 4 seçeli bu duruda a ve a elde edilir. O halde geel çözü dür. 4 4 Duru 4: (4.) dekleii a eklide yazlabildiii varsayal. Ayrca sa tara bir operatör oksiyou tarada e uyguladda i bir oksiyou olarak kabul edilebilir. Sebolik olarak yazla a. özel çözüü, kal bir ekilde yorulaabiliyorsa ilei çözüü üküdür. idi a, u arta ya da azala kuvvetlerie göre geiletilebilir. 93

103 a a a a. r r r a r a r a r böyle bir seri yaksaayabilir çükü bu seri i belli bir deeride büyük tü deerleri içi a r a ora testii gerektirir. Buula birlikte eer egati tasay olas kouluyla rl bir dizi olacaktir.. a a a burada bir polioudur. Terileri a a. a a ile verile seriler i egati say olaasartyla yaksaktr. 4.5 Seriler Yardyla Çözü solu dereceli u Bu bölüde. ertebe ark dekleii Levy ve Lessa (96) Spiegel (97), Kelly ve Peterso ( kayaklarda yararlaarak ürete oksiyo, aktöriyel serisi ve bir paraetreli arta ya da azala kuvvet serileri yardyla çözeceiz Ürete oksiyo yötei er p p g (4.). ertebe ark dekleii p, p,, p katsaylar polio ise (4.) dekleii çözüü içi bir ürete oksiyo G (4.74) eklide talar. Bu oksiyo verile deklede yerie yazlarak çözüe gidilir. 3 dekleii ürete oksiyo etoduyla Örek: çözeli. Bu deklei (4.74) ürete oksiyoua bezetek içi ile çarpp da a topla alrsa 94

104 3 elde edilir. Bu so bulua eitlikte idis srlar dekledeki oksiyolar idisi olacak ekilde ayarlarsa elde edilir. Ayrca (4.75) G oksiyouu birici türevi aldda G elde edilir. idi (4.75) dekleii ilk terii olup (4.75) dekleii ikici terii G G G eklide yazlabilir. Bulua bu dekleleri (4.75) dekleide yerie yazrsa G G G G ya da GG eklide birici ertebede dierasiyel dekle elde edilir. Bulua bu so deklede özel olarak alp dekle çözülürse Ge! elde edilir. Sol tara kuvvet serisi açp ay kuvvetteki terileri katsaylar itleirse olarak buluur.,,,,! 4.5. Faktöriyel serisi ile çözü Bu kda (4.) orudaki ark deklelerii r c (4.76) r r 95

105 aktöriyel serisi eklideki çözüü aralacaktr. Burada c r katsaylar bilieyedir. 3 dekleii çözeli. Örek: Bu dekle eklide yazlabilir. Bu deklei (4.76) aktöriyel seri çözüüü olduuu düüeli. Burada r,, 3, içi c dr. Faktöriyel oksiyou özelikleride biz bu eitlii r rc r ve r r r r c r eklide yazabiliriz. Bu eitler deklede yerie yazlarak r r r r r r c r r r c r rc r c r r r r r r r elde edilir. Burada topla srlar ihal edilip aktöriyel oksiyouu özellii yardyla elde edilir. Bu sra ile r r r. r. r r r r r cr r r r cr r r r rc r r c r r i katsaylar toplarsa r r r r c r c elde edilir. Bu bir özdelik olduu içi her katsay sr olalr. Bu deklei r,, 3, içi c kullalarak ve r,,,3, içi r olas artyla r ile bölerek elde edilir. Bu deklede r,,,3, r r r c c r srasyla verilirse r elde edilir. Burada c c c3c c c 3 4 c c

106 c c c c c3 c c, c 3, c 4, c 5, katsaylar elde edilir. Bu katsaylar seride yerie yazrsa c c çözüü elde edilir Bir paraetreli arta veya azala kuvvet serilerie aç Belirli koullar altda p, q, oruda ikici ertebede lieer ark dekleii salaya veya eklide çözüler bulak üküdür. Burada deklede görüle bir paraetredir. idi birkaç örekle bu etodu alatal. Örek: a yazrsa dekleii ele alal. Bu deklede a a elde edilir. Bu deklede katsaylar eitleirse a a a a a a a a olur. Buradaki ikici eitlii alalabilir olas içi topla sebolü yardyla 3 97

107 a a a a C C C a a a a C yazr. Bezer ekilde dier dekleler de buluup seride yerie yazrsa r r a a a r a a a a a a elde edilir. Bu seri a olasartyla tü ve içi yaksaktr. Eer a ise a olacak biçide i öyle deerleri içi bu seri yaksar. Örek: a a ya da a a 3 deklelerii dikkate alal. Burada a tasayr. yazrsa burada olup a elde edilir. Deva edilirse a a deklei içi a olup bu seri serisie yai J elde edilir. Bu ilelere deva edilirse r r a a a r r r.4 olasartyla tü ve içi yaksaktr. Bu seri Ja a a a 4! a a a.4. aa4 serisie bezer olduu hee görülür. 98

108 4.6 Z Döüüü Yardyla Çözü Z döüüü lieer ark deklelerii çözek içi alterati etod salaya ürete oksiyoa bezer bir yötedir. Bu kou hakkda daha detayl bilgi alak isteirse Kelly ve Peterso () kayada yard alabilir. Ta ( Z Döüüü): Bir serisii Z döüüü Z (4.77) z F z kopleks dekeli F z oksiyou tarada talar. z yaksak olacak ekilde R say varsa Z döüüü vardr deir. R içi z Ta (üstel srlaa): er içi M ve c olacak ekilde öyle Mc varsa dizisie üstel srladl deir. Teore: er serisi üste srladl ise serisii Z döüüü vardr. Teore: Eer g serisi üstel srladlsa. ertebede sabit katsay p p p g ark dekleii her bir çözüü üstel srlr ve bu deklei Z döüüü vardr. Teore (lieerlik): a ve b sabit olak üzere z, bölge içide dir. Burada Teore: er z dir. U z ve V z Uz ve au bv a u b v Z Z Z rasyla u ve v i Z döüüleridir. r içi Fz Z ise o halde z r içi d F z z Vz i allageli Z (4.78) dz içi Z zfz elde edilir. 99

109 Teore: poziti tasay içi dir ve olak üzere dir. Z z Z z u i i i,, u z Z Z Teore (Balagç deer ve so deer teorei): a. er z r içi F z varsa bu duruda z lif z vardr. b. er z içi z F z varsa ve z F z li li z F z dir. Ta (Kovolüsyo): kovolüsyo çarp eklidedir. k u ve * k, z de aalitikse bu duruda v iki dizi olak üzere bu iki dizii k u v u v Teore (Kovolüsyo teorei): Eer z k k k burada z aa,b içi u v U z. V z a içi U z ve z Z dir. b içi V z varsa

110 Tablo 4. Baz oksiyolar Z döüüleri Z Fz zz a z z a z z z z z! z z si cos sih cosh u i a i a a a,, z, z, z z z a z zcos a z z a z z a z zcosha z z a zf z 3 zsia cos cos zsih a cosh cosh z F z z a z F a a a z z a z a z z a a z

111 5 dekleii çözeli. Örek: Bu deklei her iki tara Z döüüüü alal. Burada zz 5F z zf z elde edilir. Düzeleirse (4.78) deklei yardyla elde edilir. Burada 5 z z F z zf z F z F F z z z z z l F z 5 l z 5l z l c F z olur. Balagç koullar uygularsa z z 5 5. c z li Fzli c z z z elde edilir. Daha sora ters döüü alrsa elde edilir. 5 Örek:.3, dekleii çözeli. (4.78) yardyla bu deklei Z trasoru z z Z z zz z 3 olup dekle düzeleirse ve basit kesirlere ayrrsa Z z A BzC z3 z z z3 z z3 z z 3z z z z 3 3 z z zcos zsi 3 z z z z3 z zcos z zcos elde edilir. Burada ters döüü ile deklei çözüü elde edilir. 3 cos 3si

112 5. SONUÇ VE ÖNERLER Bu çalada yüksek ertebede sabit ve özellikle deke katsay lieer ark dekleleri üzeride durulu olup bu dekleleri çözüleri sürekli deke ve ayrk oktalar küesi olak üzere iki ayr küe üzeride verileye çallr. Foksiyoel ark dekleleri ile ark deklelerii çözü yollar arkl olduu gözlei olup verile deklei türüe, ertebesie, çözüleri biliip bilieesie, hooje ks çarpalara ayrp ayrlaas vb. durulara özgü yöteler verilitir. Sabit katsay lieer ark dekleleri kousuda geel ve özel çözüü vere yöteler verilitir. Bizi geel çözüe götüre yöteler arasda kayak oksiyou deee oksiyou eklide yazlabiliyorsa belirsiz katsaylar yötei, kayak oksiyo ters operatörler yöteide verile durulara uygu ise ters operatörler yötei, kayak oksiyouu ters döüüü alabilirse ertebe düüre yötei tercihleri yaplabilir. Sabit katsay lieer ark deklelerii hooje ks çözüü bilidikte sora özel çözüe bizi e kolay götürecek ola etod paraetreleri deii etodudur. Deke katsay lieer ark dekleleri kousuda ise daha çok deklei yapa göre özel çözü yöteleri, ertebesie göre ise geel çözü yöteleri verilitir. Birici ertebede ark dekleleride geel çözü içi deklei sol tara ta ark eklide yazp daha sora ters ark alarak çözüe gidilir. kici ertede deklelerde ise bizi geel çözüe direkt götürecek bir yöte yoktur acak topla çarpa buluas duruuda ta hale getire yötei kullalabililir.. ertebede deke katsay ark dekleleride ise E operatörü yardyla, deklei her iki tara ve i oksiyolareklide yazlabiliyorsa ve operatörü yardyla ve so olarak deklei her iki ks Z döüüü alabiliyorsa Z döüüü yardyla çözüe gidilir. Fark dekleleri ile dierasiyel dekleler arasda bezerlik olduua teziizi giri ksda deiiliti. Fark dekleleri kullalarak dierasiyel 3

113 deklelerdeki süreksizlik oktalar kaldlabilektedir. leriki çalalarda çeitli alalarda ortaya çka probleleri odelleerek lieer ark deklelerie asl uyarlad ve de bular çözü yöteleri üzeride durulabilir. Buula birlikte sosyal bililer, davra bilileri veya iktisat alada oluturula probleleri birçou lieer olaya ark dekleleriyle çözülebildiide lieer olaya ark dekleleri üzeride durulabilir. Her e kadar bu tip probleler daha karak çözüleri gerektirseler de bu çala deva iteliide böyle probleler de ele alabilir. 4

114 KAYNAKLAR Abu-Saris R. M., DeVault R., 3. Global stability o y A y yk, Applied Matheatics Letters, 6(): Aboutaleb M. T., El-Sayed M. A., Haza A. E.,. Stability o the recursive, Joural o Matheatical Aalysis ad sequece Applicatios, 6: Agarwal Ravi P., Wog Patricia J.Y., 997. Advaced Topics i Dierece Equatios, Kluwer Acadeic Publichers, Netherlads. Akyol S.,. Lieer ark dekleleri ve olar çözü etodlar üzerie, Yozgat, Yüksek Lisas Tezi, Bozok Üiversitesi. Aleh A. M., Grove E. A., Ladas, G., 999. O the Recursive Sequece, Joural o Matheatical Aalysis ad Applicatios, 33: Bereketolu H., Kutay V.,. Fark Dekleleri, Gazi Kitabevi, Akara. Çatal, S., 4. Cebirsel Katsay Hooje Dierasiyel Dekleleri Fark Dekleleri ile Çözüü, Dokuz Eylül Üiversitesi Fe ve Mühedislik Dergisi, 6(): DeVault R., Kosala R., Ladas G., Schultz S. W.,. Global Behavior o y p yk qy yk, Noliear Aalysis: Theory, Methods & Applicatios, 47: El-Owaidy H. M., Ahed A. M., Mousa M. S., 3. O the recursive sequeces, Applied Matheatics ad Coputatios, 45: El-Owaidy H. M., Ahed A. M., Mousa M., S., 4. O asiptotic behavior o the dierece equatio k, Applied Matheatics ad Coputatio, 47: Elaydi S., 5. A Itroductio to Dierece Equatios third editio, Spriger New York USA. Ersel H., 98. ktisatçlar içi Mateatik, Akara Üiversitesi Basevi, Akara; Fa Y., Wag L., Li W., 4. Global behavior o a higher order oliear dierece equatio, Joural o Matheatical Aalysis ad Applicatios, 99: 3-6. Goldberg S., 96. Itroductio to dierece equatios, Joh Wiley&Sos, New York. 5

115 He W. S., Li W. T., 4. Attractivity I A Noliear Delay Dierece Equatio, Appl. Math. E-Notes, 4: Huckeldt R. R., Koheld C. W., Likes T. W., 98. Dyaic odelig: a itroductio, Sage Publicatios Ic., 7,-44., Calioria. Jagera L. D.,. Dierece Equatios with applicatios to queues, Marcel Dekker Ic., NewYork. Kelly W., 3. Theory o dierece equatios uerical ethods ad applicatios, d ed., by V. Lakshikatha ad Doato Trigiate,Marcel Dekker, Ic., New York,, Bulleti (New Series) o the aerica atheatical society, 4(): Kelly G. W., Peterso, C. A.,. Dierece Equatios: A Itroductio with Applicatios, Acadeic Press, Sa Diego. Kosala W. A., Kuleovic M. R. S., Ladas G., Teieria C. T.,. O the Recursive Sequece y py qy y, Joural o Matheatical Aalysis ad Applicatios, 5: Kuleovic, M. R. S., Kalabusic, S.,. Projects For The History o Dierece Equatios ad Recursive Relatios, Uiversity o Rhode Islad, Kuleovic M. R. S., Ladas G., Prokup N. R.,. A Ratioal Dierece Equatio, Coputers ad Matheatics with Applicatios, 4: Kurtula S., Bir A., Kayral M., Ulara Kogresi: Elektrikli bir otoobili odelleesi ve bilgisayarda siülasyo TMMOB aat Mühedisleri Odas, Maya Bas stabul; Lakshikatha V., Trigiate D.,. Theory o Dierece Equatios: Nuerical Methods ad Applicatios secod editio, Marcel Dekker, New York. Levy H., Lessa F., 96. Fiite Dierece Equatios, The Macilla Copay, New York. Spiegel R. Murray., 97. Calculus o Fiite Diereces ad Dierece Equatios Schau s Outlie Series, McGraw-Hill, New York. Ya X. X., Li W. T., 3. Global attractivity i a ratioal recursive sequece, Applied Matheatics ad coputatios, 45: -. Ya X. X., Li W. T., Su H. R.,. Global attractivity i a higher order oliear dierece equatio, Applied Matheatics E-otes, : Weisstei E., 999. MathWorld, A Wolra Web Resource, CRC Pres LLC, 6

116 ÖZGEÇM Ad Soyad : Erde BAYAR Dou Yeri ve Tarihi : KARIYAKA 987 Adres : Srakaplar Mah. 5 Sk. N: D: Merkez/DENZL Lisas Üiversite :Paukkale Üiversitesi Yay Listesi: - 7