DAĞILIMLARI. 1 / k eşit olasılıklı k adet farklı değer alabiliyor ise bu şans

Transkript

1 BÖLÜ 5: KSĠKLĠ ġas SĞĠġKĠ DAĞILILARI Bu ısımda, gç aşamda oaa çıa ço assal olaı modllmsid fadalı ola, sili dğişli aami olasılı dağılımlaıda bazılaı iclci. l alıaca dağılımla, bi hioi ölm süci il ilgili vasaımla ümsi alıda mamaisl olaa ld dilmiş oi dağılımladı. Bu oi dağılımla, blili aaml gö bi olasılı ül mass ailsii aımlaa ualla ümsi il ifad dilil. Bi şas dğişi v bi aam vilmiş olsu. f, is bi sili oi olasılı ül fosiouu aımlaa ual olsu. ğ bi l saı is, bu aam falı olasılı ül fosiolaıı; f,, f,, büü bi ümsii blil. Souç olaa, bu aami sili dağılım ailsii dğişi lmalaıı iç üm f, / aımlaabili. Bi şas dğişi içi sili olasılı ül fosiou ailsii aımlamaa ullaılabilc aam ili aşağıda lislmişi; Saım cou aamsi; bi şas didi blili bi çııı oaa çıış saısı. Oaı ooio aamsi; bi şas didi blili bi çııı oaa çıış saısıı olam dm saısıa göcli oaı. locaio aamsi: -si üzid, olasılı ül fosiouu ozisouu oiji gö göcli olaa blil. Ölç scal aamsi: şas dğişii ölçümldiği biimli dia alaa, fosiou gafiğii daalaa a da gişl olasılı ül fosiou aılımıı il. Biçim sha aamsi: bi olasılı ül fosiouu şlii öği simisi il. Oa a aamsi: bi assal süci zama, uza, hacim, üzid çıılaıı oluşum oğuluğuu blil öği vil bi zama ioduda bi olaı oaa çıış saısı. Aşağıdai ısımlada bazı özl sili şas dğişi modlli v özllili l alımışı. 5. KSĠKLĠ UĠFOR TKDÜZ DAĞILI Bi sili şas dğişi, h bii dğişi sili düz dağılıma sahii. / şi olasılılı ad falı dğ alabilio is bu şas Taım Üifom şas dğişi: oziif bi am saı olma üz olasılı dağılımı f ;,, d. d fosiou il blil bi şas dğişi, sili uifom şas dğişi olaa adladıılı. Tom: ğ bi sili uifom dağılıma sahi is, bl dği, vaası v mom ü fosiou aşağıdai şilil il aımlamışı: 4

2 , a. b. V c. Ġsa: İl olaa v olduğu haılaaa, ld dili. a. olduğuda, buluu. b. V 5. BROULLĠ DAĞILII Bz oşullada alaabili bi d, bi olaı gçlşi gçlşmmsi öüd icldiğid oaa ii aı ola il iclbilc bi d çıa v bu d ai ö uzaı c S A, A olacaı. Öği, bi üimi usulu v ususuz di blilmsi, iasaa çıa i bi malı bğili bğilmmsi gibi dl ii souçlu olaladı. Bi Boulli di, çıısı ii aı ola olaa aımlaabil bi assal ddi. Bi dmd ld dilc ii souç gllil v dğli il odlaı. dği di başaılı olmasıa, dği is di başaısızlığıa aşılı gli, A v olaa aımlaabili. v A c v bu olalaa ai olasılıla, Taım Boulli şas dğişi: Bi asgl dğişi içi alızca bibiid aı ii mümü duum vasa Boulli şas dğişi di. Boulli olasılı fosiou, f ;, olu. Tom: ğ şas dğişi bi boulli dağılımıa sahi is, bl dği, vaası v mom ü fosiou aşağıdai şilil il aımlamışı: 43

3 a. b. V c. Ġsa: a. buluu. b. V c. Tom: Boulli dağılışıı biiimli dağılım fosiou;, F ;,, Boulli dağılışıı biiimli dağılım fosiou alızca 3 dğ alı. 5.3 BĠO DAĞILII Biom dağılımı Boulli dlid oaa çıa. İadli ölm il bibiid bağımsız ad Boulli di ugulaaa, bi Boulli süci aımlası. ğ dl özdş is başaı olasılığı dd d dğişmz v souç olaa biom olasılı dağılımı oaa çıa. Taım Biom şas dğişi: Bibiid bağımsız ad Boulli dmsid başaılı olalaı olam saısı şas dğişi olsu. Bi dm içi başaılı olma olasılığı, başaısız olma olasılığı is aşağıdai oşullaı sağlaa biom şas dğişi di v şu özllili aşı: a. D ad özdş dmd oluşmaadı. Dm saısı sabi olmalı. b.h dm içi alız ii souç vadı. Başaı va buu ümli ola başaısızlı. c.başaı olasılığı dd d dğişmz. Başaısızlı olasılığı d.dml bibiid bağımsızdı. q di. bağımsız dmd başaı saısı,,,, dğlii alabili. Aşağıdai dizi l alısı:,,,,,,, Buada başaıı, başaısızlığı gösi. Çaım omid uaıdai dizii olasılığı, ai il ad dmi başaılı, gi ala dmi başaısız olması olasılığı il hsalaı. Dml bibiid bağımsız olduğuda, falı bi başaı v başaısızlı dizisii olasılığı da di. Bi gua, diğid im bulua lmaı falı 44

4 dizilişlii saısı di. Bi dfada sadc bi diziliş ld dilcğid bu olala aııla. Bu dl olama ualı dil şas dğişii olasılı fosiou; dmdi ad başaıı oaa çıma olasılığı Tom Biom Dağılımı: Bibiid bağımsız Boulli dmsi içi, h bi dmd başaı olasılığı, başaısızlı olasılığı ola biom asgl dğişi is, i olasılı fosiou; olu. f ;,,,, Ġsa: Bibiid bağımsız Boulli dmsi içi,,, z başama olasılılaıı olamı biom açılımıdai adışı iml aşılı gli, oziif amsaı olma üz, olduğuda a b a b a v b alıaa, olasılıla olamı; f ;, ld dil isa amamlaı. Biom olasılı fosiou içi, f ;, f ;, şiliği gçlidi. Adışı biom olasılılaıı hsalaması is, f ;, f ;,,,..., şiliğid ld dili. Tom: ğ bi biom dağılımıa sahi bi şas dğişi is, bl dği, vaası v mom ü fosiou aşağıdai şilil il aımlamışı: a. b. V c. Ġsa:a. Buada döüşümü il 45

5 Buada b. alımışı. Buada döüşümü il V c. Buada biom omi gö buluu. a v b alıaa Biom dağılımıda v dği bibii alaşıça simi aa, / is am simii. Biom dağılımıda olasılılaı ld dilmsid dği büüdüç hsalama zolulaı oaa çıa. Simi bi biom dağılımı dğii ço büü a da ço üçü olmadığı duumla içi omal dağılıma aısa. Asimi bi biom dağılımı dğii ço büü a da üçü olduğu duumla içi oisso dağılıma aısa. Biom dağılımıı oisso dağılımıa aısaması Kısım 5.7. d daha dalı olaa l alımışı. 5.4 GOTRĠK DAĞILI Biom olasılı dağılımıda olduğu gibi bi Boulli sücid üil assal dli çıısı il ilgililsi. Bu süç çıı aı ii olaı başaı v başaısızlı aımla v başaı olasılığı dd d dğişmz. Taım Gomi şas dğişi: Şas dğişi il başaı ld dilic ada gçlşiil d saısı olaa aımladığıda, şas dğişi gomi dağılıma sahii. İl başaıı ld dilmsi içi gli dmli saısı, gomi şas dğişidi. İl başaıı ld dilmsi içi g dmli saısı v il başaıda öci başaısızlılaı saısı olsu. Bu duum aşağıdai dizi il gösilbili. 46

6 ,,,, O hald ad başaısızlığı, başaıı ai iği dizii olasılığı Tom:, bi dmd başaısızlı olasılığı v başaı olasılığı ola gomi asgl dğiş is, şas dğişii olasılı fosiou:, f,,3, Ġsa: Gomi dağılımı bi olasılı ül fosiou olduğuu isaı gç gomi sii özllili daamaadı. Hhagi bi a içi, a olduğuda, a,,3, dmd il başaıı ld dilmsi olasılılaı aşağıdai sosuz sidi adışı iml aşılı gli. f a içi isa amamlaı. Tom: ğ bi gomi dağılıma sahi is, bl dği, vaası v mom ü fosiou aşağıdai şilil il aımlamışı: a. b. V c. Ġsa: a. Gomi dağılımı bl dği, di. d d d d d... d... 47

7 48 Buada... şiliği ullaılaa, d d b. Gomi dağılımı vaası,... d d d d d d Buada vaas, V buluu. c. Gomi dağılımı mom ü fosiou, ] [

8 buluu.... Tom: Gomi dağılımı ümülaif dağılım fosiou: F Ġsa: F buluu.... Gomi dağılım il biom dağılımı aasıdai ilişi, f, f ; ; olaa aımlaı. Tom Hafızasızlı özlliği: Gomi dağılım hafızasızlı özlliği sahii. s ola amsaıla içi, s s Ġsa: Hhagi amsaısı içi, Bu duumda, s dmd başaı olmama olasılığı s v s s s 49

9 Hafızasızlı özlliği; ad gözlmiş başaısızlığa olasılığıı, sii başlagıcıda s ad daha başaısızlığı lmsii s ad başaısızlı oluşma olasılığı il aı olduğuu blii. Diğ bi dişl, başaısızlığa ai bi dizii oaa çıma olasılığı dizii başladığı d dğil d saısıa bağımlıdı. Gomi dağılım daima sağa çaı bi dağılımdı. 5.5 GATĠF BĠO ASCAL DAĞILII Gomi dağılımı ad başaı içi gllmiş şlidi. Bi d bibiid bağımsız Boulli dmlid oluşmaadı. D ad başaı ld dilic ada dvam dilis başaıı ld dilmsi içi gli dmli saısı gaif biom şas dğişidi. gaif biom dağılımıda, dmli saısı bi asgl dğişdi v başaılaı saısı sabii; biom dağılımda başaıı saısı asgl dğişdi v dmli saısı sabii. Taım gaif biom şas dğişi: Bağımsız Boulli dmlid h bi dmd başaı olasılığı olma üz başaıı ld dilmsi içi g dmli saısı asgl dğişi olsu. Bu oşul alıda gaif biom şas dğişi di. Tom: Bi dmdi başaısızlı olasılığı biom şas dğişii olasılı fosiou aşağıdadı: f ;,,, v başaı olasılığı olma üz, gaif Ġsa: başaıı gçlşmsi içi g dmli saısı olsu. şas dğişi,, dğlii alabili. So dm -ici dm -ıcı başaıı vm zouda olduğuda, ad başaı v dmli saısıı olacaı. dmdi başaıı olasılığı v -ici dmd başaı ld m olasılığı aşağıdai gibi buluu. Aşağıdai A v B olalaı l alısı: A il -dm -başaşaiçi B -icidm başaşaiçi Dml bibiid bağımsız abul dildiğid A v B olalaı da bibiid bağımsızdı. B di. O hald, A B f ;, A B azılı. Göüldüğü gibi a da şdğ olaa içi A dı. is biom dağılımdai alaşım ullaılaa, A buluu. Souç olaa olasılı fosiou f ;, 5

10 dı. Bu olasılı fosioua sahi dağılıma ascal dağılımı da di. is gaif biom dağılımı gomi dağılıma idigi. Tom: ğ bi gaif biom dağılımıa sahi is, bl dği, vaası v mom ü fosiou aşağıdai şilil il aımlamışı: a. b. V c. [ [ ]] Ġsa. a gaif biom dağılımıı bl dği; Buada öşli aaz içidi ifad, şii: buada, f f f f f ld dili. Souç olaa, buluu f fosiouu aclau açılımıa f ' 3 f... b. gaif Biom Dağılımıı Vaası f 5

11 f f içi izl ol ullaılaa, olaa buluu. ld dili. V c. gaif biom dağılımıı mom ü fosiou, [ ] buada öşli aazi içi [ [ ]] fosiouu aclau açılımı olduğuda, olaa buluu. [ [ ]] Bazı duumlada gaif biom dağılımı, -ıcı başaıda öc oaa çıa başaısızlı saısıa gö d aımlaabili. ğ şas dğişi -ıcı başaıda öc oaa çıa başaısızlı saısı is, f ;,,,... 5

12 53 olasılı ül fosiou, daha öc vil v şas dğişii -ıcı başaı ld dilic ada gçlşiil d saısıı aımladığı olasılı ül fosioua di. Buada olaa aımlaabili. gaif biom dağılımı adıı ilişisid almaadı. Olasılı ül fosiou, f, ; olaa aımlaabili. Dağılışı bl dğ v vaası, Buada z döüşümü aılaa: z z z z z z z z buluu. Dağılımı vaası is, V olaa aımlamışı. gaif biom dağılımıı vaası oalamasıı asl bi fosioudu, uaıda ld dil ullaılaa, V buluu.

13 gaif biom dağılımı limi duumuda oisso dağılımıa aısa. ğ v is olduğuda, V souçlaı ld dili i bula oisso dağılımıı oalaması v vaasıdı. Biom dağılımı v gaif biom dağılımı aasıdai fa aşağıda açılamışı: şas dğişi, v aamli il biom dağılımıa sahi olsu. ai, ad Boulli dmsidi başaı saısıdı. şas dğişi is, v aamli gaif biom dağılımıa sahi olsu. Diğ bi dişl, ad başaı ld m içi g Boulli dmlii saısıdı. a. İl dmd a da daha ço başaı vasa, il başaıı ld m içi a da daha az dm gi. b. İl dmd da az başaı vasa, başaıı ld m içi d ço dm gi. 5.6 HĠRGOTRĠK DAĞILI İçid ii çşi s bulua solu saıda öğd oluşa bi aaül l alısı. Ta i omasızı, adışı olaa sabi büülü bi ölm sçilsi. Ölmdi ii çşi öğd hhagi biii saısıı is şas dğişii aımlası. Higomi dağılım, solu lmalı aaül il ilgilildiğid olduça ugu bi modldi. Aaüldi lma saısıı olduğu v alıa ö hacmii olduğu vasaılsı. Aaüld ilgilil özlliğ sahi lma saısı is olsu. Alıa hacimli ö ad başaıı oaa çıma olasılığı, higomi dağılım gösi Taım Higomi şas dğişi: Solu saıda öğd oluşa bi aaül içid blli bi A iidi öğli saısı olsu. Ta i omasızı asgl çil v biimd oluşa bi ölmdi A iidi öğli saısı şas dğişi olsu. higomi şas dğişidi v higomi olasılı ül fosiou; f ;,,,,..., Tom: ğ şas dğişi higomi dağılıma sahi is, a. 54

14 55 b. V c. ou. Ġsa: Higomi dağılımı bl dğ v vaası dai dğ sıfıdı Bu ifadi dğldim içi aşağıdai şilil ullaılı., Bu duumda buluu. şiliği sağıdai ifad aamli, v ola bi başa higomi dağılımı olasılılaıı olamıdı. Buu göbilm içi aımlaı v f bi olasılı fosiou olduğuda, şiliği gçlidi v,, ; f Souç olaa,

15 56 buluu. b. Dağılımı vaası buluu v V ld dili. Bu şilili, / v / olduğuda; V şlid d ifad m mümüdü. Higomi dağılımı mom ü fosiou ou. Alaif olaa, iadsiz adışı ölm aılabili. i-ici dmdi başaı saısı i olsu. H bi çiliş oaa çıabilc souç başaı i a da başaısızlı i olacağıda, i l bia iili dğl alı. i l bağımsız olmadılaı içi dml Boulli dmsi dğildi. Açıça göülmdi i dği, aaüldi başaı oaıdı. Şimdi l alısı. Bu duumda, olu. Tolam olasılı ualıa gö c c B B A B B A A di. Bölc

16 .. buluu. Tümvaım olu il üm i dmli içi olduğu gösilbili. Başaı olasılığı oşulsuz üm dml içi Boulli dmlid olduğu gibi aıdı. Dml bağımlı oldulaı içi bu dml Boulli dmsi dğildi. Uuulmamalıdı i ölm iadli olaa aılısa dml Boulli dmsi olu v şas dğişi d başaı olasılığı ola dmli Biom dağılımı olu. Ölm is bi gubu oluca assal olaa sçilmsi is iadsiz olaa aılıo olsa da i dağılımı aıdı. T aıla sçimd i oalama v vaasıı hsalama daha oladı. Doğuda Higomi dağılımı olasılı fosiouda ld dil momli hsalamalaı aşılaşıılsı. Öclil üm dml içi i olduğuda biom dağılımıda olduğu gibi di. Bu üzd ld dili. Buula bili l bağımsız olmadılaı içi Va i bulma is zodu. Va i Va i Cov i j Va, i i i j l bia oldulaı v aı başaı olasılığı sahi oldulaıda, üm i-l içi Va i di. Gl olaa, i j Cov i, j i i j j i j i j i ld dbilm içi, li bia oldulaı bilidiği gö i j i a da olacağı uuulmamalıdı. Bu dl, v i j ij i, j. j i i 57

17 58, Cov j i gaif ovaas v dolaısıla olaso, bi dmd ld dil başaıı diğ bi dmi başaısıı olabililiğii azalma ğilimiddi. Souç olaa, Va i ld dilbilmsi içi ad ş vaas v ad ş ovaası olaması gmdi. Bölc, Va İlgili Higomi dağılımı sada samasıı ld dbilm içi Biom dağılımıı sada samasıla çaım halid ola faöü solu aaül düzlm faöü di. Uuulmamalıdı i gld ö hacmi oülaso hacmid olduça üçüü. Bu dl solu oülaso düzlm faöü aıdı v Biom dağılımıda ld dil sada sama Higomi dağılımı gç sada samasıa mümml bi aısama sağla. Aslıda Biom dağılımı Higomi dağılıma ço ii bi aısama sağla. Higomi dağılımı biom dağılımıa alaşımı aşağıda açılamışı. Aaüldi lma saısı ço büü is v il sabi aldıça higomi dağılım biom dağılımıa alaşı.,, ; f Buada, içi,...

18 alaşımlaı ullaılaa, f ;,, Buada v alıaa f ;, soucua ulaşılı. Bu da biom dağılışıı olasılı ül fosioudu. ğ ö hacmi büü faa hala v vaası is i dağılımı zi Limi Tomi il oalaması ola omal dağılıma aısa. Bua bz olaa ö oaı ˆ i dağılımı oalaması v vaası 5.7 OĠSSO DAĞILII V SÜRCĠ ola omal dağılıma aısa. Blili süli bi ölç asgl olaa oaa çıa ola saısı il ilgililio olsu. Bu i şas dğişli oisso dağılımıa sahii. Bu şas dğişlii ü süç is oisso sücidi oisso Sücii Vasaımlaı oisso dağılımı, oisso osula adı vil ml vasaımla sid l dilbili. Bu vasaımla icl süci fizisl özllili il ilgilidi v aşağıdai om il özlmişi. Tom: H bi dği içi, aşağıdai özllil sahi am saı dğli bi şas dğişi olsu; Buada, il aalığıda oaa çıa asgl ola saısı olaa düşüülbili. a. Başlagıç sıııdai ola saısı sıfıdı b. s olma üz bağımsızdı c. s v bağlıdı s v bağımsızdı. Aı ioladai ola saılaı s s özdş dağılmışı. Oaa çıa ola saısı sadc io uzuluğua d. lim Oaa çıış olasılığı ğ io üçü is io uzuluğu il doğu oaılıdı. lim Olala şalı olaa oluşmazla. ğ a- vasaımlaı sağlaıo is hhagi bi amsaısı içi, f 59

19 olu ~ oisso di. Taım oisso şas dğişi: Süli bi ölç asgl olaa oaa çıa ola saısı olsu. ğ şas dğişi uaıda vil omi özllilii sağlıo is oisso şas dğişi di v olasılı fosiou, f ;,,, Şlid aımlaı. Tom: f ; bi olasılı fosioudu. Ġsa: Bu fosiou olasılı fosiou olduğu ullaılaa, fosiouu Talo sisi açılımı olduğuda, i i f i ; isa amamlaı. Tom: ğ bi oisso dağılımıa sahi is, a. b. V c. Ġsa: a. f. Buada döüşümü il dlmi sağ aıdai olam ld dili. b. f Bu dlmd özdşliğii ullaaa, a şi olu. 6

20 Buada döüşümü il dlmi sağ aıdai olam v souç olaa, V ld dili. c. oisso Dağılımıı om Çıaa Fosiou, olu. a şi olu. Tom: Bi oisso λ şas dğişii ümülaif dağılım fosiou, F i, i i şlid ld dili. Buada. ifadsi gidid üçü ola büü am saı dğii ifad mdi. oisso dağılmış bi sadüfi dğişl ilgili olasılılaı hsalama içi vilc λ dğli aşılı gl v saısal dğli ihiaç vadı. İşlmli olalaşıma içi vil h λ v dğli gö oisso dağılımlaıa aşı gl olasılılaı v ablola hazılamışı. oisso dağılımı gçlşm olasılığı ço üçü ola olalaı alı dmli içi ugu bi dağılımdı. Diğ aafa oisso dağılımı. ii bi alaşımdı Biom Dağılımıı oisso Dağılımıa alaģımı v olduğuda biom dağılımı içi Simi bi biom dağılımı, ö çaı büüdüç omal bi dağılıma aısamaadı. Aca bil olsa, ğ a da q da bii sıfıa, diği alaşısa, asimi ço şiddlcğid omal dağılımda aalaılamaz. Bu duumda biom dağılımı bi oisso dağılımıa alaşı. 6

21 6 Biom dağılımıı aamsi sosuza v aamsi sıfıa alaşıo is sabi alıo is biom dağılımı oisso dağılımıa alaşı. Bu duumda olduğu abul dili. f, ; f... lim, ; lim Buada... lim } { lim lim oldulaıda,, ; lim f buluu. 5.8 ÇOK TRĠLĠ ULTĠOĠAL DAĞILI Bi dd,,, il gösil aı olala aımlamış olsu. Dml z aladığıda h bi i olaıı ld diliş saısıı i oa dağılımı ço imli dağılımdı. Öği bi za z aılsı zaı üs üzü gl li saısı, li saısı, 6 lai saısı 6 il aımlaı. H bi i olaıı ld dilm olasılığı is i il aımlaı v üm dl içi sabi olduğu vasaılı. Bu dağılım biom dağılımıı gllşiilmiş halidi. Tom: Sabi ad dmd h bi i, i,,,, olaıı oaa çıış saısıı oa olasılı dağılımı i i v i i oşullaı alıda,

22 f,,,.... i,,,,... fosiou il blili v bu dağılıma ço imli dağılım adı vili. İsa: ad bağımsız dmd blli bi sıada olaıı z, olaıı z,., olaıı z ld dilmsi olasılığı,... şiliğid ld dili. Olalaı hhagi bi sıada ld dilmsi il ilgilildiğid, diğ bi dişl sıalama ömsiz olduğuda, buadai şalı olalaı falı dizilişlii saısı;... olacaı. Bu dl i i v olasılı fosiou ld dil ii soucu çaılması il aımlaı. i i olma üz,,, şas dğişlii oa 5.9 ÇOK DĞĠġKLĠ HĠRGOTRĠK DAĞILI ğ higomi dağılımda aa üldi biiml ii dğil d a guba aılıo is gllşiilmiş higomi dağılıma gçili. H bi i olaıı ld dilm olasılığı is i dd d dğişio is d z aladığıda, z, z,, z souçlaıı oa oluşma olasılılaı gllşiilmiş ço dğişli higomi dağılım il buluu. Ço dğişli higomi dağılımı olasılı fosiou, f,,, olu buada, v şilili il aımlamışı. 63

23 BÖLÜ 5 KLR 5. oisso Olasılı Fosiouu ld dilmsi Olalaı h uzuluğudai bi ioa alaşı olaa homoj bi şild oaa çıığı vasaılsı. Blil io içi aşağıdai duumlala aşılaşılabili: Sadc bi ola oaa çıa, Hiç ola oluşmaabili, Bid fazla ola oaa çıabili. h iodudai olasılıla, h il bliilsi, o h fosiou: h o lim h h h oh o h oh oh özllilii sağlaa bi fosio olsu. Vasaım d içi; w h ola üçü bi aalı içi bi olaı oaa çıma olasılığı, h, aalığı uzuluğu il h şlid doğu oaılıdı. Buada sabi oziif oasal bi çaımı ifad d. Başa bi ifad il Vasaım içi;, h h oh w h ola üçü bi aalı içi ii va daha fazla olaı oaa çıma olasılığı,, h oh Vasaım b içi; Ksişm aalıladai ola saısı bibiid bağımsızdı. Vasaım d v d az bi olaı h aalığıda oluşmasıı olasılığı,, h h oh oh h oh buu soucu olaa, h aalığıda hiç ola oluşmamasıı olasılığı,, h h oh olu, Vasaım b il, iodu h w ola bi aalıa hiç ola oluşmamasıı olasılığı, h w, w aalığıda hiç ola olmama olasılığı, w il h aalığıda hiç ola olmama olasılığı, h ı çaımıa şii:, h w, w h oh, w h, w h h içi limi alıaa, d, w, w dw o h, w, w h 64

24 difasil dlmi ld dili. Bu difasil dlmi çözümü aşağıda vilmişi: d, w, w dw d, w, w l dw, w w c w, w c buluu. ğ w is vasaım a il,, olu. Bu oşul alıda c ld dili. Souç olaa: w, w. iodu w h ola bi aalıa ad ola olmasıı olasılığı,, w h : w aalığıda ola olmasıı olasılığı, w il h aalığıda hiç ola olmamasıı olasılığı [ h o h] çaımı aı, w aalığıda ola olmasıı olasılığı, w il h aalığıda bi ola olmasıı olasılığı h h o çaımı aı, w aalığıda ola olmasıı olasılığı, w il h aalığıda ii ola olmasıı olasılığı o h çaımıda oluşu;, w h, w h oh, w h oh woh,, w h, w v h içi limi alıaa, d, w dw h, w, w, w, w h o h, w üv şiliği buluu. Bu difasil dlmii çözümü aşağıda vilmişi: içi; dw d, w d, w dw,, w w, w w Bu ifad biici mbd doğusal bi difasil dlmdi. Bu difasil dlmi igal çaaı, T w dw w w w w, w dw w, w w c 65

25 w w, w c buluu. w içi, olduğuda, c buluu. Souç olaa: w, w w ld dili. Tüv şiliğid i oaa, w v sıasıla diğ iml buluu v w w, w,,..., oisso olasılı fosiou ld dili. oisso süci il ilişili dağılımla gama, üsl v bazı süli dağılışla v olasılı oğulu fosiolaıı ld dilişli ilgili dağılışlaı l alıdığı ısımlada açılamışı. 66