ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLERİ

Transkript

1 BÖLÜ 3 ŞANS DĞİŞKNLRİNİN BKLNN DĞR ONTLRİ atematsel belet avamı şas oyulaıda doğmuştu. yalı bçmyle, b oyucuu azaableceğ mta le azama olasılığıı çapımıdı. Sözgelm büyü ödülü 4800TL olduğu b çelşte blette be sahp ola b ş matematsel belets 4800*0.000 = 0,48 TL olu. 3. BKLNN DĞR ve ÖZLLİKLRİ Belee değe ya da matematsel belet avamı matematğ statst blme yaptığı b atı olaa düşüülebl. B şas değşe ya da bu şas değşe hehag b g() osyouu belee değe, değşe tüm değele üzede, olasılı osyou otalama değe bulumasıyla elde edl. Belee değe teo ya da deal değed. He hag b deemede şas değşe belee değe alması geçete beleemez. B şas değşe ç matematsel belet ya da belee değe () le göstel. Bu baış açısıyla süel b şas değşe belee değe asıl hesaplaması geetğ sousu ala gelebl. Öeğ, olasılı yoğulu osyou le taımlaa ve osyou [0,] aalığı dışıda 0 ola b şas değşe olsu. Buada,,,...,, değele ala esl b şas değşe Y olaa ele alıabl. şas değşe easlaıı date alaa olasılılaı, aalığıa ataya osyo, PY P olsu. Bu ade büyü değele ç csde yalaşı olaa, PY d şelde taımlaı. Ağılı meez youmua göe Y belee değe (Y), belee değe () e yaısamalıdı. Yuaıda eştl ullaılaa, PY Y elde edl. Bell tegal taımıda, büyü değele ç sağ taata ade ç yalaşı olaa, d

2 0 d soucu buluu. Taım (Belee değe): B şas değşe olasılı osyou () olsu. Şas değşe belee değe, esl ve süel şas değşele ç sıasıyla, ( ) ( ) ( ) ( ) d hehag tpte b şas değşe ç, ( ) eştlle le taımlaı. 0 Fd Fd 0 Bu eştl geçete şas değşe b ağılılı otalamasıdı. Buada ağılılaı olasılıla taımlamatadı. Dğe b ade le şas değşe taımladığı () yoğuluğuu ağılı meez esede değed. Belee değe taımlı olablmes ç toplam ya da tegal şlemle yaısa olması geeld. Ayıca () adese belee değe ya da otalaması de. (), le göstele osyou ağılı meezd: d d d B şas değşe belee değe, şas değşe olasılı osyoua ya da bml dağılım osyoua göe taımladığı ç şas değşe eeas alımada bu osyolaa göe elde edlebl. Yuaıda taım date alıdığıda solu b belee değee sahp he şas değşe ç, ( ) yazılabl. Dğe b ade le şas değşe belee değe aaütle otalamasıa eştt. Daha öce beltldğ üzee belee değe mevcut olmayabl. Sou, toplamlaı veya tegalle ıasa ya da belsz olması poblemd. B şas değşe belee değe, a) solu b eel sayı olabl, b) sosuz (tegal ya da toplam soucu ıasa se) olabl, c) va olmayabl (tegal ya da toplam soucu belsz se).

3 Süel değşelede belee değe va olmayalaa b öe Cauchy dağılışı göstee şas değşed. Cauchy dağılımıı olasılı yoğulu osyou,, ç olup, bu şas değşe ç,. d l belszlğ otaya çıtığı ç belee değe yotu. Belee değe sosuz olduğu duum ç veleblece öe de α = ola Paeto dağılımıdı. Süel şas değşe belee değe () te tegal ç taımlaa bu özellle esl şas değşe belee değe () te toplama şlem ç de geçeld. Belee değe şlem le temel özellle aşağıda teoem le velmşt. Teoem: şas değşe aaütle otalaması ve a le b sabt sayıla olma üzee:. a a. a a 3. Geelde ( ) 0 ç ( ) Özell () ve () b soucu olaa taımlaablece a b açılamıştı. İspat: İspat süel şas değşele ç velmşt.. a a d a d a. a a d a d a 3. Bz. Jese eştszlğ Teoem: ( a b) 0 a b İspat: a b) a b ( ( olduğua göe, 0 ( a b) a b a b ( 0 0 ) ) duumu se Kısım 3.4 de 3

4 Belee değe le lgl dğe özellle le ısımlada açılaacatı. Belee değe şas değşe aaütle otalamasıa eşt olduğuda souç olaa b ye ölçüsüdü. B soa ısımda şas değşele ç ullaılablece dğe ye ölçülede bazılaı taıtılacatı. 3. TL YR ÖLÇÜLRİ Şas değşe dağılımıı alı baış açılaı le taıma amacıyla alı ye ölçüle ullaılmatadı bu ye ölçülede bazılaı aşağıda taıtılmıştı. Taım (Katl): şas değşe ya da oa at dağılımı p-c atl p le göstel ve F( p )p oşuluu sağlaya e üçü şas değşe değed. ğe süel b şas değşe se p- c atl F( p )=p oşuluu sağlaya e üçü şas değşe değed. Taım (edya): şas değşe ya da oa at dağılımı 0.5-c atl 0.5 le ya da göstel ve medya olaa adladıılı. Geel olaa: P[] ya da P[] taımlaı. ğe süel b şas değşe se medya: d d. edya veya otaca, b eas dağılımıda easlaı eşt paçaya böle şas değşe değed. B şas değşe e ço astlaa değee mod de. B eas dağılımıda, özellle homoe olmaya dağılımlada bde azla mod değe buluabl. od değe olmaya dağılımla da vadı. Taım (od): şas değşee at olasılı osyouu 0 otasıda b masmum değe ( 0 ) va se 0 değe mod olaa adladıılı. ğe süel b şas değşe se: d d 0 0 B esl değşe modu, easlaı masmum olduğu değşe değed. () masmum yapa şas değşe değed. Yuaıda açılaa ye ölçüle alı değele alableceğ gb dağılım bçm özel b duumuu taımlaya smet dağılımlada he üç ye ölçüsü de ayı değee sahpt. Taım (Smet): Olasılı osyou () ç, 4

5 c c özellğe sahp ola dağılımla c otasıa ya da dğe b deyşle smett. c doğusua göe ğe b () dağılımı c otasıa göe smet ve aaütle otalaması solu se olmalıdı. 3.3 ARYANS c Şas değşe dağılımı le lgl öeml b ölçü gubu da yayılım ölçüled. Aşağıda bazı öeml yayılım ölçüle ısaca açılamıştı. Taım (ayas): b şas değşe ve se şas değşe vayası () le ya da le göstel. Kesl ve süel şas değşele ç sıasıyla, d ve hehag b şas değşe ç se, F F d şelde taımlaı. 0 ayası mevcut olablmes ç toplam ses ya da tegal yaısa olması geeld. B şas değşe belee değe de olduğu gb vayası da, şas değşe olasılı osyoua ya da bml dağılım osyoua göe taımladığı ç şas değşe eeas alımada bu osyolaa göe taımlaabl. Gözlee değele otalamaya göe uzalaşmaya meyll şas değşee göe değele otalama cvaıda ola b Y şas değşe vayas değele aşılaştııldığıda şas değşe vayası daha büyü değele aldığıda vayas b yayılım ölçüsüdü. ayası omülle celedğde egat olmaya değelee sahp b ölçüt olduğu göülebl. ayas şas değşe le ayı ölçü bme sahp değld. ayası bu eslğ gdee yayılım ölçüsüe se stadat sapma de. Taım (Stadat sapma): şas değşe stadat sapması le göstel ve le taımlaı. Pe ço uygulamada şas değşe le ayı ölçü bme sahp olduğu ç vayasa göe tech edl. ayasa at temel bazı özellle aşağıda velmşt. 5

6 Teoem: B sabt vayası sııdı. c 0 0 İspat: c c c. Teoem: B sabt le b şas değşe çapımıı vayası: c c İspat: c c c c c c. c0 se, b asal değşe değele sabt b sayıyla çapılması vayası da ayı sabt sayıı aesyle çapılması deme olduğuda, dağılım yayılığıda da oa uygu b değşmeyle aşılaşılı. Teoem: B sabt le b şas değşe toplamıı vayası: c İspat: c c c c c Teoem soucua göe; b assal değşe değelee sabt b sayıı elemes bütü değele sağa ya da sola aymasıa yol açtığıı ama ou dağılım yayılığıı hç etlemedğ göülmeted. ayas, şas değşe belee değe etaıda yoğulaşmasıı zayı b ölçütüdü. Buula blte smet dağılışla ç yetel b ölçüdü. ayas özellle asmet dağılışla ve yoğuluğu üçü b ısmıı otalamada olduça uza olduğu dağılımla ç yetesz b yayılım ölçüsüdü. B şas değşe vayasıı he zama vaolması geel değld. 3.4 ŞANS DĞİŞKNİNİN BİR FONKSİYONUN BKLNN DĞRİ Bazı duumlada doğuda şas değşe le değl ou b osyou y g şelde otaya çıa şas değşele le lglel. Bu geesm geellle aaştımalada şas değşee at ölçü bm değştlmes geel olduğuda otaya çıa. Öeğ ısı Celsus bmde ölçümledğde ve bu vele Fahehet e döüştüüldüğüde belee değe bu döüşümde asıl etle? Buada ye tamlaa şas değşe Fahehet ölçü bme sahpt ve Celsus le aalaıda, a ve b sabtle olma üzee, g ab vadı. Souç olaa, süel şas değşele ç, a b a b d lşs 6

7 a a b d b d elde edl. Beze b souç esl şas değşele ç de buluabl. Belee değe alma şlem doğusal b opeasyodu. Bu edele doğusal b osyouu belee değe sabtle ets date alıaa olayca buluabl. Taım: olasılı osyou () ola b şas değşe olsu. Şas değşe b osyouu g () belee değe esl ve süel şas değşele ç sıasıyla, taımlaı. g( ) g( ) ( ) g( ) g( ) ( ) d Teoem: b şas değşe, () de ou olasılı osyou c, c,c be sabt sayı se g () =,, osyolaıı sabtlele çapımlaıı toplamıı belee değe: c g ( ) c g ( ). İspat: c g ( ) c g ( ). ( ) = c g ) ( ) c g ( ) (. c g ( ) ( ) Teoem: b şas değşe, () de ou olasılı osyou olma üzee, eğe tüm değele ç g ( ) 0 se g ( ) 0. Teoem: b şas değşe, () de ou olasılı osyou olma üzee, eğe tüm değele ç g () g () se [g ()] [g ()]. Teoem: b şas değşe ve a, b se sabtle olsu. Belee değele mevcut g (), osyolaı ç eğe tüm değele ç a g( ) b se g b a ( ). 3.6 OLASILIK ÜZRİN ŞİTSİZLİKLR Belee değe avamı ullaılaa olasılıla üzee bazı eştszlle elde edlebl. Bu eştszlle e öemlle Chebyshev ve Jese eştszlle olaa bl. 7

8 3.6. Chebyshev ştszlğ Chebyshev teoem bell b olasılı ç üst sııı bulumasıa ma ve. Bu sıılaı tam olasılı değelee eşt ya da yaı olması geel değld. Bu edele b olasılı değee yaısama ç geelde bu teoem ullaılmaz. Bu teoem aa ullaım alalaıda b Büyü Sayıla Kauudu. Teoem: Şas değşe olasılı osyou () ve egat olmaya b osyou g() olsu. ğe [g()] mevcut se he b pozt sabt ç; P g g İspat: Şas değşe ç A={:g()} olsu. Bu duumda, g g d g d g d A ştlğ sağıda he tegal de egat olmaya değelee sahp olduğuda, g g d A A c ğe A bu duumda g() olacağı ç g() yee yazılması eştszlğ sağ taaıı değe atımaz. g d Buada d A Pg A A g P g İspat tamamlaı. P olduğuda, Açılaa teoeem, Chebyshev eştszlğ olaa adladııla b eştszlğ geellemş şeld. B şas değşe olasılı dağılımıda bağımsız sadece belee değe ve vayas blgle ullaılaa şas değşe le lgl bazı olasılı eştszlle elde edlebleceğ, Rus matematçs Chebyshev taaıda spatlamıştı. Teoem: Şas değşe b olasılı dağılışıa ve solu vayasa sahp olduğu vasayılsı, (bu duumda mutlaa solu b aaütle otalaması vadı). Bu oşul altıda he 0 ç, a) aov eştszlğ, g P., 0 alıaa, b) aov eştszlğde özel duum olaa alıaa, 8

9 P ve c alıaa, P P ve souç olaa P c c. c c c c c buluu. Buada c değe bde büyü olaa alıı. Yuaıda vele teoeme göe le, assal değşe otalaması ve stadat sapması se, hehag b pozt c sabt ç otalamaı yaıda c stadat sapma aalığıda b değe alablme olasılığı e az c adadı. Öeğ, assal değşe otalamaı he yaıda, stadat sapma aalığıda b değe alma olasılığı e az -( )=34; 3 stadat sapma aalığıda b değe alma olasılığı -(3 )=89; 5 stadat Sapma aalığıda b değe alma olasılığı -(5 )=45 olu. lde edle souçla şas değşe stadat sapmasıı, değşe yayılımıı etleye öeml b atö olduğuu beltmeted. Chebyshev teoem vedğ olasılığı b alt sıı olduğu açıtı. Bell b assal değşe otalamaı yaıda c stadat sapma aalığıda b değe alma olasılığıı -(c ) de büyü olup olmadığıı blemez ama Chebyshev teoem bu olasılığı eslle -(c ) de 9

10 üçü olamayacağıı söyle. B assal değşe dağılımı blse aca o zama tam olasılı hesaplaabl Jese ştszlğ Şas değşe g() le taımlaa b osyouu geçe dağılışı hesaplamada g le g aasıda lş belleebl. g ab g g doğusal döüşümü de olduğu blmeted. Faat bu eştlğ başa g osyolaı ç ullama yaygı b yalıştı. Aslıda bu eştl doğusal olmaya g ç olduça ede otaya çıa. Öeğ, mo eleto paçala üete b maı gülü üetm hede 40 çp üetme olduğu aat adışı üç güde sıasıyla 40, 60 ve 80 çp üettğ vasayılsı. Bu üç güü otalama üetm 60 çpt ve hede değee ulaşılablmes ç bu otalamaı 4 atı üetm yapılması geemeted. B başa baış açısı da şudu: beltle 3 güde üetm mtaı sıasıyla 4040 = 6, 4060 = 4 ve 4080 = 3 at azla olmalıydı. Bu değele otalaması alıdığıda, at azla üetm yapılmalı. (Buada, geçeleştlmş üetm mtaıdı ve üç çıtı değe 6, 4 ve 3 ü eşt olasılıla alablmeted.) Yuaıda adele pozt değele ala b şas değşe le açılaısa 0 eştszlğ geçeld. Bu eştszl olmadıça he zama,, 0 aalığıda g aşağıda souçla tüm oves g osyolaı ç geçeld. duumuu göstemeted ve Taım (Jese ştszlğ): g oves b osyo ve b şas değşe olma üzee, g g. İ ez tüevleeble g osyou A ümesde, A 0, taımlı tüm le ç g 0 se zayı oves, 0 g se güçlü ovest., değele A ümesde ala b şas değşe ve g osyou da güçlü oves se güçlü eştszl g g geçeld. 0

11 Öeğ yuaıda şelde sadece a ve b değele ala b şas değşe ç bu souçla göstelmşt. şas değşe a ve b değele sıasıyla 34 ve 4 olasılıla almatadı. g osyouu oves olması dolayısıyla şelde ota b doğu le bleştleblmeted. Böylece a, ga da gb 3 4 b, ye b doğu çzlse,, g a b, ga gb a, ga b, gb g osyou gağde bu ota g g g olu , otasıı yuaısıda ye alı. Böylece Bast b öe de g d. Bu osyo oves olduğu ç [ g ç], 0 Bu eştszl 3.7 ONTLR eştszlğ doğu olduğuu aıtlamatadı., tüm le omet tem z blmde gelmeted. omet b () easıı (uvvet) bm uzalıta olduğu b ota üzede oluştuduğu etd. ometle, b şas değşe dağılışıı es şel belle. B dağılımı mometle şas değşe uvvetle belee değed. ometle geel olaa üç gupta cele.. Oe göe mometle. eez mometle 3. Hehag b a otasıa göe mometle Taım (Oe göe momet): assal değşe dolayıda -c momet, osyouu belee değed. le göstele, sıı otası

12 ( ) ( ) ( ) d ço ullaıla özel duum: 0 0 e d 0 e ' ( ) d olu. Bu da assal değşe belee değede başa b şey değld. Taım : adese dağılımıı aaütle otalaması ya da ısaca şas değşe otalaması de ve le göstel. Taım (eez momet): şas değşe le göstele, otalama dolayıda -c momet, osyouu belee değed, 0,,, ç [( ) ] ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( ) d Teoem: değe va ola he assal değşe ç 0 ve 0 eştlle dama geçeld. İspat: eez bc momet; [( )] 0 ( ) ( ) d ( ) d ( ) d Bu souç taımlayıcı statstte ble, atmet otalamada sapmalaı toplamıı sıı olmasıı teo spatıdı. B dağılımı tüm mometle le lgl blg bu dağılımı eşsz olaa belle. Otalama dolayıda c momet, b assal değşe dağılımıı yayılımıı b gösteges olduğuda statstte özel b öem taşı. eez c momet şas değşe vayasıdı. B dağılımı vayası, dağılımı otalama etaıda yoğuluğuu ölçümüü vedğ daha öce açılamıştı. Taım (Hehag B a Notasıa Göe ometle): şas değşe, b a otası etaıda -c momet, a osyouu belee değed.

13 Taım: ğe a a a a ' mevcut se ç Taımı b soucu olaa eğe Bu edele valığı ' mometle mevcuttu. mevcut se mevcuttu ve souçta va olduğuu belt. buluu. Teoem: eez c momet, ya vayas, dama hehag b a otasıa göe c deecede momette daha üçü veya oa eştt. Bua vayası mmum olma özellğ de: a ya da eşdeğe olaa ( a) ( ( )) a a a a ba a a İspat: a ştlğ sağıda c tem dama pozt olup aca ve aca a olduğuda sıı alabl. Teoem: ğe b şas değşe se; a a med eez ometle Oe Göe ometle Csde Hesabı: Hesaplama olaylığı açısıda meez mometle oe göe mometle csde buluabl. Oe göe mometlele meez mometle aasıda lş Bom teoem uulaaa buluabl. Bldğ gb bom açılımı; ( a b) 0 b a olup bu açılım otalamaya göe mometlede ullaıldığıda; souç olaa, ( ) 0 3

14 4 0 ' 0 Teoem: ğe alıısa ' İspat : ) ( ) ( ) ( ) ( = ' ) ( Oe Göe ometle eez ometle Csde Hesabı: Oe göe mometle de meez mometle csde hesaplaabl ve ) ( ) ( ' olaa buluu ometlee Dayaa Asmet ve Basılı Ölçüle B olasılı dağılımıı bçm le lgl e blgle üçücü ve dödücü meez mometle yadımı le elde edlebl. Bu e blgle geellle dağılımı çapılı ve basılığı olaa adladıılı. B eas dağılışıı otalama değee göe smetde ayılış deecese asmet ya da çapılı de. Asmet ölçüle ç belee temel özellle: a) Değşe ölçme bmde bağımsız olmalı b) Dağılım smet olduğuda sıı değe almalı şas değşe üçücü meez momet, 3 3 ullaılaa asmety ölçeblme ç ölçüsü Peaso taaıda te modlu dağılımla ç bulumuştu: Bu paamete değşe ölçü bmde bağımsızdı. Smet dağılışlada 0 ve asmet dağılışlada 0 eştszlğ dama sağlaı. paametes şaet eslğ gdeme ç Fshe taaıda stadatlaştıılmış üçücü momet ya da dğe adıyla çapılı atsayısı öelmşt:

15 paametes de değşe ölçü bmde bağımsızdı. Smet dağılışlada 0 olup, sağa çapı dağılışlada 0, sola çapı dağılışlada 0 eştszlle sağlaı. 3 0 olduğu halde smet olmaya dağılışlada mevcuttu. Buu ede aşıı büyülüte uç değele atmet otalamaya et edp, ou büyütüp, üçültmeled. değede oluşa bu değşme 3 e yasımatadı. B dağılışı moduu, ayı belee değe ve vayasa sahp b omal dağılımı modua göe daha aşağıda ya da daha yuaıda bulumasıa basılı aı de. Dağılışı tepe otası omal dağılımda daha yüsese sv, alçasa bası dağılımdı. Sv dağılımda belee değe etaıda yoğulaşma daha azladı. şas değşe dödücü meez momet: 4 4 ullaılaa basılığı ölçeblme ç ölçüsü Peaso taaıda te modlu dağılımla ç bulumuştu: 4 4 5

16 Bu paamete değşe ölçü bmde bağımsızdı. Nomal dağılışlada 3, omale göe bası dağılışlada 3, omale göe sv dağılışlada se 3 eştszlle sağlaı. Fshe basılı ölçüsü se 3 olup değşe ölçü bmde bağımsızdı. Nomal dağılışlada 0, omale göe bası dağılışlada 0, omale göe sv dağılışlada 0 eştszlle sağlaı. B ya da b aç tae momet dağılış haıda vedğ blg sıılıdı. Aşağıda şel l döt momet eşt ola dağılımı göstemeted. Buula blte mometle bütü b set,, dağılımı tam olaa belle. Şas değşe, stadat değşee döüştüülüse; Z 0 Z olduğu ç Z değşe meez mometle le oe göe mometle eştt. Bu özell ullaılaa Z değşe -c meez momet, değşe -c meez momet csde ade edlebl: ( z) ( Z ) [ ( ) ] µ ( ) µ ( ) [ ( )] Souç olaa, ( Z) ( z) elde edl. Göüldüğü gb b şas değşe stadatlaştıılması otalama ve vayası etlemete aat ( z) ( ) ( z) ( ) stadatlaştıılmış üçücü ve dödücü momet etlememeted. 6

17 Taım (Şas Değşe Fosyou omet): g şas değşe b osyou se -c deecede momet, esl ve süel şas değşele ç sıasıyla, g g g g d eştllede elde edl. 3.8 ÇOK DĞİŞKNLİ DAĞILILAR İÇİN BKLNN DĞR Belee değe ve vayas avamlaı ço değşel duum ç de geelleebl. Öeğ b Z şas değşe ve gb şas değşe, z, ya da daha geel olaa,, solu sayıda şas değşele b osyou,,, olaa otaya çıabl. Bu gb duumlada geesm duyulablece bazı öeml teoemle aşağıda velmşt. Teoem: ve şas değşele,, bulaı ota olasılı osyolaı se ve belee değe:,, d d, Teoem: ve şas değşele, maal dağılımla le değe: d d.,, bulaı ota olasılı osyolaı se ve blyosa ve şas değşele belee d Teoem: ve şas değşele, İspat: d., bulaı ota olasılı osyolaı se: Sadece esl şas değşele ç geçeleştlecet. ve şas değşele aldılaı değele sıası le a,, ve b,, olsu, a a b a, b b a a, b b a, b 7

18 a a, b b a, b b a Yuaıda teoemde göüldüğü gb belee değe şlem doğusal b şlemd. Dğe b ade le şas değşele toplamlaıı belee değe, dama ayı ayı belee değele toplamıa eştt. Bu eştlğ geçel olablmes ç şas değşele bağımsız olması şat değld. Bu teoem daha geel yapısı aşağıda taımda velmşt. Taım (Belee değe doğusallı özellğ): le b sabtle olma üzee,,,, şas değşele ve c, c,, c c c c b c c c b eştlğ dama geçeld. Teoem: ve şas değşele, değşele he hag b değşele ç: Teoem: ve g, g,, g, g, d d. c,,,, bulaı ota olasılı osyolaı se şas g, osyouu belee değe esl ve süel şas,, şas değşele,,,, bulaı ota olasılı osyolaı, c, c sabtle olma üzee şas değşele he hag b g,,, osyouu belee değe esl ve süel şas değşele ç: c g,, eştlğ sağlaı., c g, 3.9 ÇOK DĞİŞKNLİ DAĞILILAR İÇİN KOŞULLU BKLNN DĞR ve ota olasılı osyolaı, ola şas değşe olsu. ğe tüm değele ç 0 se oşullu ota olasılı osyou taımlıdı. Bu oşul altıda tüm değele üzede şas değşe oşullu belee değe (oe göe bc momet) le göstel. 8

19 Teoem: şas değşe ve de vele değe ç şatlı olasılı osyou ve osyou vele değe ç şatlı olasılı osyou se ve şatlı belee değe esl ve süel şas değşele ç: d d ele değe yee oduğuda sabt b sayıdı, başa b deyşle şatlı belee değe değşe b osyoudu. Beze şelde de b osyoudu., bell b değe ç sabt, aat değşe değelee bağlı olaa değştğ ç b şas değşed. dağılımıı belee değe olup, egesyo osyou olaa da adladıılı. Teoem: Koşullu dağılımlaı belee değele belee değe ç, eğe ve mevcut se, şas değşe ç belee değe; eğe ve mevcut se, şas değşe ç belee değe;. İspat: d değe değşe b osyou olduğu beltld. Bu edele c belee değe şlem şas değşe üzede uygulaı. d, d d d d d Teoem: ve şas değşele ve de vele değe ç şatlı olasılı osyou ve g, şas değşe b osyou se vele değe ç g şatlı belee değe: g g 9

20 Teoem: g g g d., şas değşe b osyou olma üzee, g g İspat: g g d değe değşe b osyou olduğuda c belee değe şlem şas değşe üzede uygulaı. g g d g g g dd, dd Teoem: ve şas değşele ve g, şas değşe b osyou se solu olma üzee şas değşe tüm değele ç, taımlıdı. g g İspat: g g d elde edl. g Bu teoem özel b duumu le taımlaı. Dğe b deyşle, g g d g Buada b olasılı yoğulu osyou olduğu uutulmamalıdı. Teoem: ğe ve şas değşele stoast bağımsız se, dğe b deyşle, se, veya şatlı ve şatsız dağılımla aasıda a yosa: eştlle geçeld. d 0

21 3.0 İKİ ŞANS DĞİŞKNİ İÇİN ÇARPI ONTLRİ Bu ısımda şas değşe ota dağılımı date alıaa şas değşele çapım halde mometle elde edlecet. Taım (İ şas değşe oe göe çapım momet): ve şas değşele ota olasılı osyolaı göe çapım mometle edl:, s s, se o cvaıda -c ve s-c deecede oe, s le göstel ve Kesl ve süel şas değşele ç sıasıyla; s s, s, s s dd, s, s osyouu belee değe le elde eştlle le taımlaı. Çapım mometle maal (te değşel) mometlee döüşebl. Öeğ s alıaa ya da,0 taımlaabl. Özel b duum s se otaya çıa ve le göstel., Teoem: Z ve Z şas değşele ç, Z Z 0, Z Z oşullaı sağlaıyo (stadat değşele) se, a) Z Z ya da Z Z b) Z Z aca ve aca z z P se, Z Z aca ve aca z z eştszl ve eştlle sağlaı. P se, İspat: a şıı ç l olaa aşağıda eştszl ele alısı, Z Z Z Z Z Z Z 0 Z Z Z Z Z buluu. İc olaa, Z Z Z Z Z Z Z 0 Z Z Z alıaa le 0,

22 Z Z elde edl ve bu souç blte ullaılaa spat tamamlaı. Teoem b şıı ç se z z P alıdığıda, z z Z Z Z Z P alıdığıda, Z Z Z Z elde edlee spat tamamlaı. Yuaıda spat tes yöde de geçeleştlebl: l olaa Z Z alısı bu duumda, Z Z Z Z Z Z Z Z 0 Z Z Z Z Z Z elde edl. İ şas değşe aasıda vayası sıı olablmes ç Z Z dğe b deyşle P z z olmalıdı. Z Z ç se Z Z 0 duum ç souç olaa z z ğe Z Z se, Z alıaa,, Z P elde edlebl. yazılabl. Yuaıda P z z ve z z olma üzee, Z Z a ve Z Z a ya da Z Z Z Z a olduğu göülebl ve bu P ç elde edle souçla, a b sabt ç de geçeld. Öeğ Z Z a se, Z az Z Z a 0 buluabl. Bu duumda, a ya da eştlğ sağıda l tem sabt olduğuda,

23 yazılabl. lde edle souçlaı şas değşele ovayas ve oelasyou le lşs Kısım 3. de velmşt. Teoem: ve bağımsız şas değşele, se:. İspat: Sadece esl şas değşele ç velecet:, ğe şas değşele bağımsız se ve üzee ota olasılı osyou;,, bulaı ota olasılı osyolaı maal olasılı osyolaı olma ve Teoem:,,, solu sayıda bağımsız şas değşele,,,, ota olasılı osyolaı se çapımlaıı belee değe şelde elde edl. bulaı Taım (İ şas değşe meez çapım momet): ve şas değşele olasılı osyolaı mometle elde edl:, s, se o cvaıda -c ve s-c deecede meez çapım le göstel ve, s s Kesl ve süel şas değşele ç sıasıyla; osyouu belee değe le s s s, s, s s dd, s, Çapım mometle maal (te değşel) mometlee döüşebl. Öeğ s 0 ç,0 ya da 0 ç le taımlaabl. 0, 3

24 Teoem (Cauchy-Schwaz eştszlğ): Otalamalaı ve ve şas değşele ç, a) eştszlle geçeld. ya da eşdeğe olaa, se b) aca ve aca P, ve aca ve aca P eştlle geçeld. İspat: a şıı ç, b öce teoemde, Z Z ya da Z Z, vayaslaı ve eştszlle spatlamıştı bu eştszllede stadat değşele yee oaa, spat tamamlaı. b şıı ç de beze yalaşım ullaılı. Cauchy-Schwaz eştszlğ daha azla ble yapısı se, şelded. 3. KOARYANS ve KORLASYON ola İstatstte özel öeme sahp b meez çapım momet, d ve ovayas olaa adladıılı. Kovayas şas değşe aasıda doğusal lş b ölçümüü ve. Aalaıda ovayas sıı ola şas değşelee doğusal lşsz adı vel. Stoast bağımsızlı doğusal lşszlğ de otomat olaa sağla. Faat doğusal lşszlğ mutlaa stoast bağımsızlı alamıa geleceğ söyleemez. Te stsa omal dağılmış şas değşeled. Nomal dağılmış değşe doğusal lşsz se ayı zamada stoast bağımsızdı. 4

25 Taım (Kovayas): ve şas değşe ve olaı otalamalaı sıası le ve se, ve şas değşele aasıda ovayas, ve: Cov eştlğde elde edl., Cov le ya da le göstel Teoem: İ şas değşe ve aasıda ovayas oe göe çapım mometle csde de ade edlebl:,,0 0,., İspat: Belee değele lgl teoemle ullaılaa,, Teoem: İ şas değşe ve bağımsız se ovayaslaı sııa eştt, 0. İspat: Bağımsız şas değşele ç; olduğu ç, 0 Teoem: ğe ve şas değşele ve a le b sabtle se: a, b abcov Cov Cov Cov, a, b Cov, a b a,. İ değşe aasıda ovayas, değşele ölçülmesde ullaıla bmlee bağlıdı. İlş ölçü bmlede aıtılmış ades, ota aaütle oelasyo atsayısıdı. Taım (Koelasyo): Otalamalaı ve değşele taımladığı stadat, Z, Z, vayaslaı ve değşele aasıda ovayas Cov Z,Z, le sembolze edl, ola ve şas 5

26 ve oelasyo atsayısı olaa adladıılı. Yuaıda eştl date alıdığıda oelesyo atsayısıı oal ve şas değşele ç, Cov, şelde taımlaableceğ de göülebl. Koelasyo atsayısıı temel özellle:. Koelasyo atsayısı u şaet Cov, şaete göe değş.. 0 Cov se 0 olu., 3. Koelasyo atsayısı u alableceğ masmum ve mmum değele: 4. olması ve aasıda tam doğusal lş buluduğuu belt. duumuda a b doğusuu gağ ve tüm olasılı dağılımıı çe. Tüm, lle bu doğuu üzeded. Bu estem duum ç a b P olu. stem duum hacde, ve tüm olasılı dağılımı a b doğusuu çevesde b bat çded. 3. ÇOK DĞİŞKNLİ DAĞILILAR İÇİN ARYANS Belee değede doğusallı ualıı ase geellle değee eşt değld. bellemes ç vayas taımıda haeetle, ve eştlğ sağıda tem düzeleee aes alıdığıda, şelde lde edl ve he taaı da belee değe alıdığıda olu. Cov, Teoem: ve şas değşele, a ve b sabtle olma üzee: a b a b abcov, 6

27 7 Şas değşele doğusal lşsz se 0, Cov. Bu teoem daha geel yapısı aşağıda taımda velmşt. Taım (ayas-ovayas mats):,,, solu sayıda şas değşele taımladığı boyutlu b şas vetöü T,, ç vayas ovayas mats Σ olsu. He b şas değşe vayası, ve he hag şas değşe ovayası, Cov, olsu. Souç olaa boyutlu b şas vetöüü vayas-ovayas mats boyutlu, T Σ Cov Cov Cov Cov Cov Cov,,,,,, smet b matst. Şas değşele toplamlaıı vayası se boyutlu b saled, T Cov Cov,,. Teoem:,,, sıılı sayıda bağımsız şas değşele se,. Bu ouda daha detaylı blg Kısım 3.3 de velmşt. Teoem: ve şas değşele ve şatlı dağılışlaıı vayası: a. b. eştllede ya da daha açı olaa esl ve süel şas değşele ç sıasıyla:, d, d İspat: Sadece (a) şııa at süel değşele ç velmşt.

28 8 d d d d. Koşullu belee değe vayasıı elde edlmes le lgl öeml b teoem de aşağıda velmşt. Teoem: ve şas değşele, se solu olsu. mevcut se,. So eştlte, şas değşe vayası alı vayası toplamı olduğu göülmeted. İl şas değşe değşe değele ç şatlı vayaslaıı belee değe. İcs se şas değşe değşe değele ç şatlı dağılımlaıa at otalamalaıı vayasıdı. İspat: olaa taımlası. Bu eştlte so bleşe, olup buada, alıaa, 0 elde edl. Bu duumda,

29 ( ) Buada ve olduğu hatılaaa, elde edlee spat tamamlaı. Bu teoem öeml b soucu olaa, 0 eştszlğ yazılabl. eştszlğ dama sağlaacağı ç, 3.3 ŞANS DĞİŞKNLRİNİN DOĞRUSALKOBİNASYONLARININ ONTLRİ Bazı duumlada adet şas değşe,,, doğusal ombasyouda otaya çıa b Y şas değşe belee değe ve vayası le ya da adet şas değşe taımladığı doğusal ombasyoda elde edle şas değşe Y ve Y aasıda ovayas le lglelebl. Bu ou özellle statstsel youmlama da öemld. Teoem: ğe,,, şas değşele ve üzee bu şas değşele doğusal osyou olaa; c, y y d taımlaa şas değşe Y,Y olsu. a) Y c b) Y c cc Cov, c) Cov Y, Y cd cd Cov,. İspat: a şıı ç belee değe doğusallı özellğ ullaılaa, Y c c, c,, c le d, d,, d sabtle olma 9

30 30 a. Teoem b şıı ç, c c Y Y Y c Köşel paatez ç açılması çoteml b ade açılımıdı. Öeğ yz z y z y z y gb: c c c Y c c c ayas ve ovayası taımı ullaılaa, Cov c c c Y, ve Cov Cov,, olduğuda, Cov c c c Y, Teoem c şıı ç,, Y Y Y Y Y Y Cov d d c c d d c c d c d c

31 c d Buada, Cov c d Cov,, olduğuda, Y, Y cd cd Cov Cov,. Teoem: ğe,,, şas değşele bbde bağımsız ve c, c,, c sabtle se; Y c le taımlaa şas değşe vayası; Teoem: ğe d, Y c.,,,, d, d sabtle se; c, c,, c le şas değşele bbde bağımsız ve c ve Y Y d şelde taımlaa şas değşe aasıda ovayas, Cov,. Y Y c d 3.4 FAKTÖRİYL ONTLR Özellle esl şas değşele mometle bulumasıda aydalı ola b yalaşım dağılımı atöyel mometled. İl olaa şas değşe aes ele alısı; bu ade belee değe alıaa, Souç olaa; buluu. Bu yalaşım daha büyü mometle ç de geçeld. Öeğ şas değşe üçücü atöyel momet olup, üçücü atöyel momet ullaılaa, 3

32 3 3 buluabl. Geel olaa -c atöyel momet olaa taımlaı. 3.5 ONT TÜRTN FONKSİYONLAR Belee değe taımı ullaılaa mometle elde edlebl. Bu yalaşımı hesaplamalaıda zolu olması duumuda dağılımı mometle, b osyo yadımı le hesaplaabl. omet tüete osyola süel veya esl b şas değşe dağılımı mometle hesaplamasıa yaaya b osyodu. şas değşe momet tüete osyou (t) le göstel. B şas değşe oe göe veya meez momet tüete osyou buluabl. Şas değşe ç momet tüete osyo şas değşee at () olasılı osyouu Laplace döüşümü olaa da adladıılı. Taım (omet tüete osyo): Olasılı osyou () ola b şas değşe olsu. ğe h t h aalığıda t he b değe ç şas değşe belee değe mevcut se, t e osyouu belee değe şas değşe momet tüete osyou olaa adladıılı. Kesl ve süel şas değşele ç momet tüete osyo: t e t t e () e t ( ) d ğe b momet tüete osyo mevcut se, o cvaıda süel olaa tüevleebl. Çüü h t h aalığı 0 t değe çe. omet tüete osyo t paametes osyoudu. Bu paamete geçe b alamı yotu, sadece mometle bellemese yadımcı ola matematsel b aaçtı. Kula değşed. omet tüete osyo; a) tüm t ç, b) sadece t A, A ç, c) sadece t 0 ç, elde edlebl. So duumu sağlaya dağılımla ç momet tüete osyo mevcut değld. Buu ede t 0 ç (0) osyou dama taımlı olup değee eştt. Teoem: ğe şas değşe momet tüete osyou (t) se ve 3

33 0 d dt olaa taımlamış se olu. 0 t t0 İspat: İtegal şaet altıda tüev alıableceğ vasayımı altıda, momet tüete osyou t ye göe tüev, süel şas değşele ç, d dt t ve t 0 alıısa; d dt d dt t e e d dt e t e t t d d d t 0 t e t 0 t 0 Bu yalaşım -c tüev ç geelledğde, d t t e 0. dt t 0 t 0 Souç olaa; b dağılımı mometle, momet tüete osyou yapay değşe t ye göe tüev alıaa elde edlebl. Fosyoa ede momet tüete osyo dedğ açılayablme amacı le ( e t ) yee bu osyou aclau se açılımı oulu. aclau ses, matematte osyolaı se açılımlaıı elde etme amacıyla ullaıla Taylo yalaşımıı, ( a) ( ) ( a) ( a)( a) ( a)! özel olaa a 0 alıaa oluştuulmuş sesd.... ( a) ( a)!... 0 ( a) ( a)! ( ) (0) (0) (0)...! (0)!... 0 (0)! Buada maclau sese e osyou uygulamasıı ede değee yaısamasıdı. ometle şöyle buluabl; ( ) e osyou maclau sesyle açılısa, 33

34 e!...!... buada da, e t t t!... t!... elde edl ve (t) se açılımı () Bu duum t ( e t ) t t! mometlee göe buluabl.... t! t... () t( ) (! t )... (! t t ' t t!! 0!, (t) dea tüev alııp daha soa t 0 oulaa elde edlebleceğ b dğe aıtıdı. Öeğ bc momet bulma ç t d ( t) ( ) ( ) t0 dt (t) t ye göe bc tüev alıı; )... buada t=0 olduğuda t 3t t 3...! 3!! olaa buluu. İc momet steyo se t0 d d ( t) ( ) ( t) t0! = dt dt 6t ( ) t !! (t) Buada söylemes geee b şas değşe mometle belleme ç b momet tüete osyou aclau ses ullamata asıl güçlü momet tüete osyouu bulma değl bua aclau ses uygulamatı. Bazı dağılımlada (t), t bütü değele ç hesaplaabl; bazı dağılımlada se (t), t sadece bell b t0 aalıta değele ç buluabl. Öeğ üstel dağılım. ğe (t) mevcut se, dağılımı eşsz ve tam olaa belle. ğe şas değşe ayı momet tüete osyoa sahp se, bu şas değşele ayı olasılı dağılımıa 34

35 sahpt. Bazı duumlada e t t ( ) d tegal ve e () toplamı mevcut değld. Böyle duumlada momet tüete osyo buluamaz. Dğe b deyşle he dağılımı momet tüete osyou yotu. Bu tp dağılımlada momet bulma ç aatest osyo ullaılı omet Tüete Fosyolala İlgl Teoemle Teoem: c b sabt sayı olma üzee c ( t) ( ct) d. y c momet tüete osyou; ct ct ( ct ) İspat: c t e e d e ( ) d ct d. Teoem: B şas değşe momet tüete osyou (t) olsu, c sabt b sayı olma üzee y c momet tüete osyou; ct c ( t) e ( t) d. ( c) t ct t ct t ct İspat: c t) ( t) e e e ( ) d e e t d e t Teoem: ( d. y a b şelde taımlaa y şas değşe momet tüete osyou; bt t e at y d. yt abt at bt bt at İspat: t e e e e e e ate bt y d. Teoem: B şas değşe momet tüete osyou (t) olsu, üzee; y Bu teoemde yt a bt t e e ( t b) d. a ve b olaa alıı se t t e t a y olma b olacatı. Bu osyo stadat omal değşe momet tüete osyou olaa da bl. Teoem: ğe şas değşe ayı momet tüete osyoa sahpse bu şas değşe ayı dağılıma sahpt. şas değşe momet tüete osyou (t) ve Y şas değşe momet tüete osyou y (t) olsu, eğe h t h aalığıda tüm t değele ç ( t) y ( t) se ve Y şas değşele ayı olasılı dağılımıa sahpt. 35

36 Öeğ şas değşe dağılımı ; bt yt e at olsu. t y bt at a t e e Bu se otalaması osyoudu. N olsu y a b şelde ve omal dağılımlı t t e olduğua göe; t ba t a t e e a b ve vayası d. a ola omal b dağılımı momet tüete omet tüete osyou ullaılableceğ oulada b de bağımsız şas değşele toplamıı dağılışıı bellemesd. Teoem: ve Y bağımsız ve ayı dağılıma sahp tesadü değşe ve bulaı momet tüete osyolaı sıasıyla (t) ve y (t) olsu z y şelde taımlaa b Z tesadü değşe momet tüete osyou; z ( t) ( t) y ( t) d. zt yt t yt İspat: ( t) e e e e z ve Y bağımsız oldulaıda; olu. z z ( t) e ( t) t yt e ( t) y ( t) ğe bu teoem tae tesadü değşe ç geşletl se; z t) ( t) ( t)... ( ). ( t Taım (B şas değşe osyouu momet tüete osyou): şas değşe hehag b osyou g () se g ( t g ) g t) gt e t d g ( e olu eez omet Tüete Fosyo t g ( t) e d. B şas değşe ed aaütle otalamasıa göe de momet tüete osyou buluabl. Bu da geellle (t) le ade edl. t t ( t) e e e ( t) d. 36

37 Bua göe esl veya süel b şas değşe oe göe momet tüete osyou blyosa bu osyo e t momet tüete osyo olayca buluabl Fatöyel omet Tüete Fosyo şas değşe atöyel momet tüete osyou eğe değe mevcutsa t ( t ) G le taımlaı. Bu osyo da adladıılı ve d dt ( t ) [ ( )...( )] t le çapılaa aaütle otalaması etaıda t osyouu belee olasılı osyouu ell-steltes döüşümü olaa eştlğ sağla. ştlğ sağ taaı -c deecede atöyel momett. ğe esl b şas değşe se, ( t ) t ( ) yazılabl. Bu adede uvvet ses atsayılaı olasılıla olduğu ç atöyel momet tüete osyo, olasılı tüete osyo olaa adladıılı. Buada etme ç d! dt ( t ) t0. olasılığıı elde Bu osyou çeştl deecelede tüevle alııp, t yee oduğuda şas değşee lş atöyel mometle buluu. Bc tüev; G d dt dt dt t t t G t buluu. İc tüev; G buluu. -c tüev;... t G Fatöyel momet özellle esl değşelede öemld. 37