OLASILIK DAĞILIŞLARI

Transkript

1 6 OLASILIK DAĞILIŞLARI 6 Ksikli Olasılık Dağılışları 6 Ksikli Uıform Dağılışı 6 Broulli Dağılışı 63 Biom Dağılışı 64 Hyr-Gomtrik Olasılık Dağılışı ( İadsiz Örklm ) 65 Gomtrik Dağılış 66 Ngatif Biom (Pascal) Dağılımı 67 Poisso Dağılımı 6 Sürkli Olasılık Dağılışları 6 Sürkli Uıform(Tkdüz) Dağılış 6 Üslü( Üstl/Ngatif Üstl) Dağılış 63 Gamma v Erlag-k Dağılışı 64 Normal Dağılış 65Stadart Normal Dağılış

2 6 Ksikli Olasılık Dağılışları Bir şas dğişki blli bir taım aralığı içrisid ksikli dğrlr alıyorsa, ksikli şas dğişki adıı alır Bir şas dğişki içi dğişim aralığı v hagi oktalarda asıl yoğulaştığı kousu dağılış kavramıı vrir, hagi yoğulukla yrlştiği is olasılık il ifad dilir Eğr, dağılışı blirly olasılık foksiyou, ksikli bir şas dğişki içriyor v dğişim bua bağlı is, bu foksiyo ksikli dağılışlar arasıda yr alır Olasılık foksiyoları gl olarak il arasıda dğrlr alır da küçük v d büyük dğrlr içi olasılık foksiyou taımsızdır 6 Ksikli Tkdüz (Discrt Uiform) Dağılışı şas dğişki =,,3, taım aralığıda ksikli dğrlrii hr birii sabit olasılıkla alıyorsa ( tüm olasılıkları şit is ), bu durumda olasılık yoğuluğu tüm oktalarda ayı olacaktır Böyl bir şas dğişkii yoğuluk foksiyou f () /,, dd şklid ifad dilir Bu foksiyou şkli y bağımlı olarak aşağıdaki gibidir Bu foksiyo tamsayı dğişklr içi taımlıdır foksiyoudur f ( ) olduğu içi f () olasılık yoğuluk

3 3 Dağılışı bkl dğri, E( ) ( ) ( ) E( ) i i i i Dağılışı varyası, Var = E E = ( )( ) ( ) = 6 4 ( )( ) = Örk: Hrhagi bir zar atılışı(tüm yüzlr şit olasılıklıdır) / 6,,,6 f( ) dh 8 F()

4 4 E f f ( ) ( ) ( ) 6 Bkl dğr, E ( ) 3, 5 Varyas Var ( )( ) 7(5) 35 =9 Broulli V Biom Dağılışları Gl olarak ta bağımsız dmd, başarı sağlama olayı il ilgili dağılışlardır Şas dğişkii bu dağılışa uyum sağlayabilmsi içi aşağıdaki özlliklr sahi olması grkir i) Şas dğişki sadc ayrı özlliğ sahitir ( başarı v başarısızlık ) ii) Hr bir dmd başarı ( yada başarısızlık) olasılıkları daima sabittir ( : başarı olasılığı, q= başarısızlık olasılığı) iii) v q olasılıkları oulasyoa ait özlliklrdir yai aramtrdir iv) Hr bir dm diğrid bağımsız grçklşir ( birbirii gllmy olaylar) +q= olması di il q=- dir 6 Broulli Dağılışı Dm sayısı = içi özl olarak bu dmlr broulli dmlri dilmktdir Eğr = is Broulli Dağılışı söz kousudur başarı sayısıı göstrdiği gör; P(=)= v P(=)=q dur Bu durumda broulli yoğuluk foksiyou; f, f q, d d

5 5 ( i yoğuluk foksiyou y bağlı alamıda) Bu foksiyou şkli y bağımlı olarak aşağıdaki gibidir f() =/ is =q * * f() =6 q=4 6 * 4 * E( ) f ( ) q olduğu içi f() olasılık yoğuluk foksiyoudur q ( ) Bkl Dğr E f ( ) q Varyas E( Var ( ) E( ) ) ( ) f q ( ) q

6 6 63 Biom Dağılışı > dm söz kousu is yai bird fazla birbirid bağımsız Broulli dmlri tolamı biom dağılışı göstrir, başarı sayısı v sayısıı göstrdiğid glly olay vardır Biom dağılışıı yoğuluk foksiyou, başarısızlık sayısı kadar başarı v başarısızlık srisid birbirii,,,, f () q d d Biom dağılışıda is dağılış simtriktir E ( ) f ( ) q ( q) dir Dağılışı bkl dğri,,, 3, ta birbirid bağımsız dğişk olduğuda, E ( ) E( ) E( ) E( ) dir Hr biri broulli bkl dğri olduğu içi, dir dağılışı varyası Var( ) V ( ) V ( ) V( ) q q q q Biom olasılık dağılışı varsayımları: Biom dmlri yaılırk, iadli örklm sistmi gör dmlr tkrarlaır Sbbi is, başarı ya da başarısızlık olasılıkları hr dmd sabit kalmak zorudadır Yai dmlr biribirii gllmmlidir

7 7 Latic d bi:iki, om:trim klimlrid glmsi di il iki trimli alamıda kullaılır Biom dmlrid olayları iki mümkü soucu vardır Bular; başarı, başarısız, sağlam, bozuk vb şkliddir i) Biom dmlrid başarı olasılığı, başarısızlık olasılığı -=q dur v olaylar iki katgoriy ayrılır ii) Dmlr birbirid bağımsız mydaa glir yai, dmlri souçları birbirlrid tkilmz iii) Dmlr daima iadli örklm sistmi uygu şkild tkrarlaır Biom olasılığı blirli dm sayısı içrisid başarı yada başarısızlıkla souçlaa dm sayıları il ilgilir Biom olayıı olasılığı dir v dm kz tkrarladığı varsayımı altıda tam kz başarı mydaa glm olasılığı; m q =,,,, + q = d dolayı q = başarısızlık olasılığıdır Biom açılımı; i i i i q C q i =,,, q q q q o Çok sayıda biom dmlri yaıldığıda bkl frkaslar, q N il blirlir N: dm sayısı : hr dmdki madd sayısı

8 8 Örk: Bir mtal ara iki kz atılıyor v tuğra sayısı başarı olarak varsayılırsa; N q N Tuğra sayısı bkl frkas Olasılık,5,5, Bkl frkas olasılık - -,5 ı ı tuğra sayısı Örk: İki mtal ara 4 kz atılıyor v tuğra sayısı başarı olarak varsayılırsa; 4 4 N q Bkl frkas Olasılık Tuğra sayısı,5,5,5 4, bkl frkas olasılık - * -,5 - * * -,5 I I I tuğra sayısı

9 9 Örk: mtal ara 4 kz atılıyor Hr atılıştaki tuğra sayısı başarı varsayılırsa ( dm sayısı büyütüldü ) N q 4 Bkl frkaslar: Bkl torik frkas v olasılıkları Bkl frkas Olasılık Tuğra sayısı,, 45,44 3,7 4,5 5 5,46 6,5 7,7 8 45,44 9,, Tolam: 4, bkl frkas olasılık 3,3,, tugra s ayısı görüldüğü gibi dm sayısı arttıkça dağılış ormal yakılaşır

10 Örk: Bir çift zar 5 kz atılıyor v tam 3 kz 7 glm olasılığı dir? 7glmsi q = 5 dm sayısı = 3 başarı sayısı Dmlrd 3 başarıı mydaa gldiği yrlr( koumlar ) 5 5! 3 3!! farklı biçimd olur farklı biçim , Örk: Ürtimi yaıla bir maddi % u kusurlu olmaktadır Alıa 5 maddlik bir örkt; (= q=9 =5) a hiç kusurlu olmaması olasılığı (=) 5 5,,9, 5949 b 5 ii d kusurlu olması olasılığı (=5) ,,9, c az 3 üü kusurlu olması olasılığı ( 3) vya = , 3,9, 4,9, 5, 9 =,856 şklid ld dilir

11 Örk: Mtal hilsiz bir ara kz fırlatılıyor a bir kz yazı glmsi olasılığı (= =q=/=5)! 9!,5,5 (5) (5)!9! 9! 9 b hiç yazı glmmsi olasılığı,5,5,5 c az kz yazı glmsi olasılığı =,5,5,5,5 9 (5) (5) (5) ( ) (5) 64Hyr-Gomtrik Olasılık Dağılışı( İadsiz Örklm ) hacimli bir oulasyoda r sayıda özl lma varsa v oulasyoda rasgl alımış s hacimli örk içid bulua özl lmaları d sayısıa hir gomtrik şas dğişki dir v aşağıdaki olasılık dağılışı il ifad dilir d r r d s d s d =,,,mi(s,r) f i Aslıda bu taım klasik olasılık taımı ola taımıa da uymaktadır f i d hir gomtrik şas dğişkii bkl dğri; d d d d d d E i = d dir i d i d

12 Hr bir çkilişt ayrı ayrı l alıırsa özl yada özl olmaya lma çıkması( d ) vya dır Hr bir dm içi durum ayıdır lma içid hr bir biryi çkilm şası / dir v hacimli oulasyoda r sayıda özl lma buluduğua gör hr çkilişt özl lma çıkma olasılığı; i r dir d Ed v s hacimli çkilişt is; r E d s dir Bu formül Biom bkl dğri ola E()= il bzrliği vardır Biomu varyası = q idi, bu bzrlikt d ld dilir r r s Acak burada dmlr yri koularak yaıldığı içi hir gomtrik şas dğişki s içi düzltm trimi kullaılarak d dğişkii varyası; s r r Var d s ld dilir Eğr s = is dmi yri koulu koulmada olması öm taşımaz v düzltm trimi şit çıkar Acak s içi düzltm katsayısı hr zama d küçüktür, ytr ki sağlası s = içi örk oulasyoa şit olacağıda d d=r dir v r sabit olduğu içi bir sabiti varyası dir Hir gomtrik dağılışı şas dğişkii varyası; s şartı V olur Ndi E d r r d s d d s s r

13 3 Var r r d s d r d d d r s s = E d E d d Ed Ed d Ed d Ed Ed s d s s = s s ld dilir Örk: 5 lik bir dstd yri koulmaksızı (iadsiz örklm) 5 kağıt çkiliyor Bu 5 kağıt içid az ta surat olma olasılığı dir? ( =5, r=, -r = 4, s=5, d, d> ) d d d d d d = d d d P( d ) P( d ) P( d ) P( d 5) K S %47 ld dilir = -,5=,473

14 4 Gomtrik V Ngatif Biom (Pascal) Dağılışları r ta başarı içi grkli dm sayısı il ilgili dağılışlardır Yai ici dmd r ici başarıyı sağlama il ilgilidir X şas dğişkii bu dağılışlara uyumuu sağlaabilmsi içi broulli v biom dağılış varsayımlarıı ay burada da sağlaması grklidir 65Gomtrik Dağılış r= başarı sayısı içi dağılışı özl hali gomtrik dağılıştır Başarı olasılığı i sabit olduğu bağımsız broulli dmlrii göz öü alıdığıda dmlr başarı ld dilicy kadar sürdürülcktir Gomtrik dağılışı olasılık yoğuluk foksiyou; y dm sayısı olmak üzr, y ici dmy kadar ici başarı ld tm olasılığıı oyf f (y,r)= y q y,,, dd Dağılışı Bkl Dğri y E( y) yf ( y) yq yq y y y = d y d q ( ) dq y dq q y y 3 q q q q q( q q ) E( y) q

15 5 Dağılışı Varyası q q Var( y) q q ( q) q q q q q Örk : Bir futbolcuu attığı altıyı gol çvirm olasılığı,8 is çalışma sırasıda ilk golü atıcaya kadar altı atışlarıa dvam dilck (=8 q=) a) Bu futbolcuu y=3 ücü atışta ilk altıyı gol çvirm olasılığı y P(3 Atışta gol) = q 8() b)ilk golü atışta sora glm olasılığı ()(8) () (8) c)bu futbolcuu ilk gölü atıcaya kadar atacağı şut sayısıı bkl dğri E() = / = /,8 = 5 olur,5 şutta bir golü gülük hayatta alamlı hal gtirmk içi 5 şutta 4 gol gibi düşüülbilir Örk : Bir işacıı hr atışta hdfi vurma olasılığı sabit v =/3 olduğu biliiyor Arka arkaya yaıla atışlar soucuda hdfi ilk kz vurması içi grk atış sayısı y olduğua gör a) y i olasılık foksiyouu yazıız Py ( ) 33 y, y=,, b) ilk kz ikici atışta vurma olasılığıı buluuz P( Y ) P() c) ilk kz çok bşici atışta vurma olasılığıı hsalayıız P( Y 5) P() P() P(5)

16 6 d) İlk vuruşu ld dicy kadar ortalama kaç atış grktiğii v varyasıı hsalayıız E( y) 5 /3 q /3 V( y) 75 4/9 66 Ngatif Biom (Pascal) Dağılımı r başarı söz kousu is gatif biom (ascal) dağılışı söz kousudur Birbirid bağımsız Broulli dmlri tolamıda r başarı ld dilicy kadar y dmlr dvam dilmsi halid bu dağılış söz kousudur r, başarı sayısı v y-r başarısızlık sayısıı göstrirs, bu srid y r kadar birbirii glly olay vardır Burada y: dm sayısı (şas dğişki) v r: başarı sayısıı göstrmktdir r ici başarıı y ici dmd ld dilm olasılıı vr bu dağılışı olasılık yoğuluk foksiyou; y r r yr q biom y r q f y r yr r=,,3, y=r,r+,r+, (y>=r) y r yr E y y f y q r y r yr y q r dmd y- başarı (biom)

17 7 Dağılışı Bkl Dğri y, y,, y birbirid bağımsız başarıyı göstrdiği gör, gatif biomdaki başarı sayısı r y y dir i O hald E y E y E y E y i r r r E yi r bu dğr, başarı olasılığı ola bir dmd r ici başarı ld dilicy kadar grkli dm sayısıı (y) bkl dğrii göstrir Dağılışı Varyası Var y r Var y i Cov y, y dır bağımsızlıkta dolayı i j Var y r q r q dir i Bu dağılış dm sayısıı başta blirlmdiği durumlarda uygulaır Trs örklm: (ivrs samlig) Örk : Doğa bir çocuğu kız v rkk olmaları olasılıkları şit varsayılarak a Bir aili 5 çocuğuu ilk rkk olması b Bir aili 6 çocuğuu kız olması c Bir aili 5 çocuğuu 3 vya 4 rkk olması olasılıkları dir?

18 8 5 q 5 a) y 5 r P( r ) (5) (5) 6 6 b) y 6 r P( r ) (5) (5) 5 5 c) y 5 r 3,4 P( r 3) P( r 4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) Poisso Dağılımı Poisso dağılışı hm sürkli hm d ksikli dağılışlarla ilgilidir Bir bakıma biom limitidir, diğr bir bakımda üslü( otial ) dağılışa tml oluşturur Bu dağılışta sürkli v ksikli dğrlr alabilir Biom limiti olarak yaklaşım yaılacak olursa biomda; v f is v b, q taımı yaılırsa is aşağıdaki gçişi yamak uygudur!!! q ( )( )( )( )!!( )! v q olur q ( )( )( )! ( )( )( )! yada! ( ) ( )! ik ik

19 9 : Olasılık hsalaması ist birim zama sayısı : Birim zamada ortalama mydaa gl oisso olay sayısı : olay sayısı f!,,, d d çok küçük olduğuda oisso dağılımı, bioma yakı souçlar vrir Bu dağılışı şkli ya bağlıdır f() f() =5 = Bu dağılımda büyüdükç, dağılım mod a sahitir v aralıklar gişlr, simtrik hal döüşür Dağılışı bkl dğri E () v varyası Var () dır Poisso dağılımıa uyum göstr olaylara örk olarak aşağıdakilr vrilbilir: ) Blli bir sür içid ölüml souçlaa kaza sayısı ) Bir tlfo satralid blli bir zama aralığıda oluşa tlfo hatası sayısı 3) Bir madd tarafıda birim zamada yayıla radyoaktif arçaları sayısı 4) Gökyüzüd uyduya çara gök cismi sayısı 5) Bir sıvıı birim hacmi düş orgaizma sayısı 6) Birim arçada hata sayısı 7) Kita sayfasıdaki baskı hata sayısı 8) Bir bölgd birim zamada grçklş drm sayısı 9) Blli bir sür içid( yıl ) düyada çıka har sayısı ) Uzayda blli bir bölgdki yıldız sayısı gibi saymaya dayalı yrlrd uyguluk göstrir Bu dağılıştaki mydaa gl olay sayıları vya olaylar bir kuyruğa bztilbilirs oisso dağılımıa uyar Bu dağılışı ömli özlliklrid biri Var E dir

20 Poisso sürci varsayımları: ı t ı t t ) t gibi çok küçük bir zama( ala,birim ) aralığıda tam bir olay mydaa glmsi olasılığı t t = ) t aralığıda ya da daha fazla olay olması olasılığı ihmal dilbilir düzyddir t = 3) Ayrık t bağımsızdır zama aralıkları olayları grçklşmsi açısıda birbirid Örk: Bir tlfo satralid saat - arasıda ortalama 3 tlfo glmktdir a d soraki 3dk içid hiç tlfo glmmsi olasılığı dir? b 3 tlfo glmsi olasılığı dir? 3 a) t dk, 5 =3, 5 6 ( )!,3,5,5 6 b) 3,3, 5 3 Örk :Bir işltmi bir cis malda blli bir zama aralığıda satış miktarı oisso dağılımı göstrmktdir t zamaı boyuca tallri az %95 ii karşılaabilmsi içi kaç birim stok buludurulmalıdır s: stok miktarı r: birim zamada ortalama satış : satış miktarı s, 95 = rt

21 s s r t r t! 3 6!,95,95 r = is t = 3 is s =? tk dm yaarak ( itrasyo il ) s 73 buluur Biom dağılışıa Poisso dağılış yaklaşımı Bir işltmd ortala %35 hatalı ürtim il çalışılmaktadır Bu işltmd alıa rastgl örk içid a) Bkl fir miktarı dir? Biom E()= = (),35 = 3,5 Vya λ=35 ortalamalı Poisso dağılışı P() = -35 (35) /! X=,,, b) Rassal sçil ürü içrisid az 3 adt hatalı ürü buluma olasılığı dir? P(>=3) = [ P(=) + P(=) + P(=) ] = 35 [(35) /! + (35) /! + (35) /! ] = = 679

22 6Sürkli Olasılık Dağılışlar Bir şas dğişki blli bir taım aralığıda sürkli dğrlr alıyorsa, sürkli şas dğişki adıı alır v böyl bir dğişki içr dağılışa da sürkli dağılış dir 6 Sürkli Uıform(Tkdüz) Dağılış şas dğişki a b taım aralığı içrisidki dğrlri tümüü alabiliyor v yoğuluk foksiyou sabits, i dağılışı uiformdur Dağılışı yoğuluk foksiyou; f() ı a b f b a ab d d Dağılım (kümülatif-yoğuluk) foksiyo is; F a b a dir F f a a d b a F() - ı ı a b b b b b a E f d d d b a b a b a a a a a b a (drcd momt) dolayısı il olasılık foksiyoudur b

23 3 b E f d d b a b a b b b a a a b a ( b a)( b a) a b b a b a b E f d d b a b a 3 3 b a a b a b ( )( ) a a b a b a a b b a a b 3 3 b a a a b b b a b a Var E E a b 3 Bu dağılış içi i c il d arasılda buluma olasılığı, P(c < < d) = (d c) / (b a) şklid hsalaabilir b a = Bu dağılış simülasyouu tmlii oluşturur Noaramtrik tstlrd H hiotzi gllikl tkdüz dağılımı göstrir Baysçi torid d kullaılmaya başlamıştır Bu dağılışta taım aralığı içidki hr okta şit olasılığa sahitir Örk: f b a a= b =b P( a b) f ( ) d a f() ½ - ı ı

24 4 3/ 5 a) 3/ d 4 3/ b) d c) d d) d ba ) E( ) ( ba) ( ) f ) V ( ) / 3 Tk düz dağılımda okta olasılığı sıfırdır Çükü oktaı alaı yoktur v sürkli dağılımlarda olasılık ala il göstrilir Üslü (Eotial) v Erlag-k, Gamma Dağılışları r ta olayı grçklşmsi kadar gç zamaı olasılığı il ilgili dağılışlardır Dağılışı dğişki zamadır yai sürkli bir dğişkdir, olaylar arasıda gç zamaı dağılışı iclmktdir Uygulama alaları; düstrid bozuk ürtiml karşılaşma v stok sürcid bklm zamaı, vsdir 6 Üslü( Üstl/Ngatif Üstl) Dağılış Bu dağılışları özl bir hali ola( r = ) bir(ilk) olayı mydaa glmsi kadar gç zamaı olasılığı il ilgili dağılış üslü dağılıştır Bu dağılışa tml tşkil d oisso olasılık foksiyoudur Eğr olaylar oisso olasılık dağılımıa uygu bir şkild mydaa gliyorsa v oisso

25 5 varsayımlarıı sağlıyorsa ilk olayı(oisso olayıı) grçklşmsi kadar gç sür (zama) is, (burada aramtrsi ola oisso sürci l alııyor) ı ı sıfır olay (hrhagi bir olay yok) Hiç olay mydaa glmmsi olasılığı(k : olay sayısı, : birim zamada mydaa gl oissio olay sayısı, : oisso olayı mydaa glicy kadar gç birim zama); k k k! olur (k=) yri alımaktadır İlk olayı() blli bir sürsid sora(büyük) mydaa glm olasılığı; X olarak ld dilir X: ilk olayı göstrsi O hald, ilk olayı grçklşmsii (zama) da küçük v şit olma olasılığı is P( X ) Burada ld dil foksiyo gatif üstl dağılışı kümülatif yoğuluk foksiyoudur, yai, dağılım foksiyoudur F d d Burada dağılışı olasılık yoğuluk foksiyoua gçmk içi; df f taımıda yararlaılarak d Birici olayı grçklşmsi kadar gç süri dağılışı ld dilir f : aramtr f() df d d d oissodaki =

26 6 F() aramtrsi büyüdükç ilk olay daha çabuk grçklşcktir v bkl dğr d küçülcktir Dağılışı bkl dğri E( ) f ( ) d d d Dağılışı varyası E( ) f ( ) d d d Var ( ) Örk: Bir fabrikada blli bir dl mydaa gl arızaları sayısı(saatt) arıza mydaa gl oisso dağılışı göstrmktdir Bua gör sabah 8 d itibar ilk arızaya kadar gçck zamaı dağılışı bulumak istirs; f dir v bkl dğri is E dir( arızaya kadar gç zamaı bkl dğri) / Saatt / arıza olursa, hata iki saatt bir olur a) E az saat arızasız çalışması olasılığı; f() =/ 3 4

27 7 d u d du / / / u du u u / du d du d /,5 =,6 dır vya daha kısa bir şkild hsalamak istirs; t = f d (çükü itgral işlmi soucuda f Saatt t t olmaktadır olay (birim zamadaki olay sayısı) = NOT: Bu foksiyoda v ayı birim il taımlı olmaktadır( = saat / bir saattki olay sayısı) () F, 6 Bu tür olasılıkları çözümü içi gllirs, işlm doğruda aşağıdaki gibi hsalaabilir a a f ( ) d P( a) b) E fazla 4 saat arızasız çalışması olasılığı is(yai ilk arızayı 4 saatt öc yama olasılığı); f() =/ 4

28 d F,865,35 4 Bu tür işlmlri gllrsk, doğruda aşağıdaki şkild hsalaabilir, 4 ( ) ( ) b b b P b f d c) ilk arızaı 4 Saat il 5 Saat arasıda grçklşm olasılı ) ( d F F, ,5 5 4 Bu tür işlmlri gllyck olursak aşağıdaki gibi doğruda çözüm ld dilbilir a b b a b F a F ) ( 63 Erlag-k v Gamma Dağılışı ( r ) Bu olasılık dağılımıı tml sürci oisso dağılımıdır ( r ) ta olayı mydaa glmsi kadar gç zamaı olasılığı, ğr olaylar oisso olayları is, r Olay mydaa glicy kadar gç zamaı olasılığı gamma dağılışıa uyar Mtorolojik vrilrd yağış miktarıı dağılışı gibi koularda gamma dağılışı kullaılır Erlag dağılışı olasılık yoğuluk foksiyou;

29 9 ) ( r r f d d Burada gama foksiyou ) (r taımı şöyl açıklamaktadır; ) ( d r r! ) ( r r r özl bir durumdur Erlag dağılışı aramtrlri r v dir r: olay sayıları : oisso dağılımıdaki birim zama aramtrsi : zama( dğişkdir ) kr oisso olasılığı olarak da taımlaabilir Gamma dağılışı, r i ozitif tamsayıları içi gçrlidir Özl bir durum ola r =/ v =/ is ki-kar (chi-squar) dağılımı söz kousudur olur Gamma dağılışıı özl bir halidir, bu dağılış karsl ifadlrl ilgilidir, gammaya azara ömli özlliği v amacı aramtr sayısıı bir idirgmiş olmasıdır v i olasılık yoğuluk foksiyou; f şkliddir

30 3 Diğr bir yaklaşımla, bkl dğr, olaya kadar gç zama d sora olaya kadar gç zama bağımsız gatif üslü r- d sora r olaya kadar gç zama r Buları tolamı ola; r i i E r r ld dilir Bzr şkild varyas; Var r r Örk: Bir mağazada güü blli saatlri dakikada ortalama 4 müştri glmktdir müştri glicy kadar gç zamaı dağılışı dir? = 4 f () 4 r =, ! E 4 Örk: Gamma ( 5, r 6) ) ( ) ( ) (5 ) ( ) a P f d d F (6) (5) i i! i i! 5 i 5 i !! 5! 5 i b) P( ) f ( ) d F( ) 933 i! i

31 3 64 Normal Dağılış X şas dğişkii yoğuluk foksiyou, f Dağılışı bkl dğri(ortalaması) Dağılışı varyası E Var E 3459 v =788 sabitlrdir Not: X şas dğişki, ortalamalı v f() ~ N (, ) şklid kısa göstrimi kullaılır varyaslı ormal dağılıma uyum sağlıyorsa Normal dağılım olasılık yoğuluk foksiyou f()

32 3 f() Normal dağılımda v tkilri Normal dağılış dağılım foksiyou F d P F f d Pa b F b F a F() f() f() F() F(b) F(a) a b a b

33 33 65 Stadart Normal Dağılış (=, =) z Z ~ N(,) P a b F b F a f z z f() - a b -z z z z P a b a b P P( a) P( z z ) a b P z b a F F F( z ) F( z )

34 34 f() a f() Örk: P z 5? z z f() z Örk: P z 83 5 P z

35 z Örk: P z 64 Pz P z z P z P z P z Örk: - z

36 36 Örk: z z z 9 P is z =? z z 45 P z =645 z P(z) ,9 -z z z Örk: X ~ N(=5, =6) is P 8? µ= z P 8 5 P P z 5 P z

37 37 Örk: X ~ N(3,4) is P 4 6? z P 4 6 P3 6 P P z P z P z 5 P z Örk: Bir işltm ömrü ormal dağılıma uya = saat ortalamalı, =3 stadart samalı amullr ürtilmktdir Ürtimd sçil bir amülü ömrüü 9-3 saat arasıda olması olasılığı dir? P 9 3? /3 z

38 38 9 P 3 P z P z P z Örk: Blli bir drst sıava gir öğrcilri ot ortalamaları 6, stadart samaları 5 dir a) 85 il 95 arasıda ot ala öğrcilri oraıı buluuz P P 5 5 P 67 z 33 P z 33 P z b) Hagi otu üstüdki öğrcilr üst % grubua girr? z P b, 6 b 8 z

39 39 P 6 b b 6 P b 6 P z 4 5 b 6 8 b 6 8(5) b=79 5