BÖLÜM II 2. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ. 2.1 Giriş

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM II 2. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ. 2.1 Giriş"

Transkript

1 BÖLÜM II. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ. Giriş Yr ürmizd gözl joizi olaylar zamaa yada uzalığa bağlı olara glişir. Gözl joizi olay zamaı bir osiyou is zama oramı im Domai uzuluğu bir osiyou is uzalı oramı Spac Domai sözousudur. Şay olay rasa bağlı olara gözlmiş yai rası bir osiyou is ras oramı Frqucy Domai da söz dilir. Hrhagi bir oramda ayddilmiş joizi siyaldi bilgilri amamıı bu oramda açı sçi görüp işlyip souçları dğrldirm olay haa olaalı olmayabilir. Bu gibi durumlarda vri gözldiği oramda başa bir orama aarılara iclip irdldi sora bir souca varılır. Grir is iici bir aarma il vrii gözldiği il orama gri döülbilir. Örği; zama oramıda ayddilmiş bir sismi siyal ras oramıa aarılara ismy bilşlri ayıladıa sora rar zama oramıa gri döülbilir. Fras oramıda yapıla bu ayılama işlmi zama oramıda yapılma issydi bir aım sorularla arşılaşılabiliirdi. Buu gibi hrhagi bir oramda gözlmiş bir siyali başa bir orama aarılmasıa döüşüm v aarma ilri d döüşüm yömlri dir. Fourir Laplac Hal Hilbr Z döüşümü gibi çşili döüşüm yömlri glişirilmişir. oram v döüşüm avramlarıı daha iyi alaşılması içi ras çözümlmsi yapa ışı prizmasıı gözd gçirilmsi daha yararlı olacaır Şil.. Byaz ışığı opi prizmaya vrildiği araa A arlı rasa ydi ayrı r şlidi bilşlrii ld dildiği araa da B diylim. rsi prizmaı B araıda bu ydi r vrilirs A araıda byaz ışı ld dilcğii biliyoruz. Burada gr A bölgsi grs B bölgsi ayı bilgiyi aımlamaa aca olaya baış açısı arlıdır.

2 Yuarıdai ör sadc byaz ışığı iclmsi aya haıda hiç bir bilgi vrmybilir. Bua arşılı prizmada gçirilip ayrışırılara arlı rasai bilşlri diğr bir dyişl sprumu ld dilirs bilşlrii dalga boyu vya rasları miarları v birbirlri oraları iclr byaz ışığı vr ayağı bilşimi ısısı v ou mydaa gir malzmi yapısı haıda ço ayrıılı bilgilr ld dilbilir. Buu gibi zama srilrii zama vya güç sprumlarıı iclmsi ou yapısı vya orijii haıda ömli bilgilr vrbilir. Diğr yollarla bu bilgilri sağlaması olaalı olmayabilir. Şil. Byaz ışığı opi sprumu Logarima işlmi aslıda bir döüşüm işlmid başa birşy dğildir. Örği çarpma işlmii yapma içi çarpalar öc Log oramı a döüşürülür. Hsaplamalar bu oramda yapılır Bilidiği gibi çarpma işlmi Log oramıda oplama işlmi döüşür. Daha sora rs döüşüm işlmi Ai Logarimi Oram il orijial orama döülür Şil.. Orjial Oram r- Oramı İmaj Oramı s- Oramı r'yi içr oram Uygu Döüşüm İşlmi Fosiyo Fs olur. r- Oramıda Problmi Çözümü Şil. Logarimi döüşüm aış şması rs Döüşüm İşlmi 8 s- Oramıda Çözüm

3 Örği; Log Döüşüm yömlri vri işlmciy büyü olaylılar sağlar. Döüşüm işlmid; vrii özllilri dğişirilmd zama oramıda ras oramıa vya uzalı oramıda dalga sayısı oramı gibi başa bir orama gçilmdir. Iyi bir döüşüm yömii gri döüşümü d olmalıdır Şil.3. Örği; zama oramıda ras oramıa gçilmiş is ras oramıda rar zama oramıa döülbilmlidir. X ORAMI Y ORAMI Şil.3 Iyi bir döüşüm yömi çi yölü olmalıdır... Sprum Kavramı Zama oramıda gözlmiş vrilri ras oramıa aarılması il ld dil vrilr sprum adı vrilir. Zama oramıdai rji vya gli gibi büyülülri ras oramıda ras vya dalga sayısı gibi paramrlr gör dğişimii blirm içi ullaılır. Mamai olara şlid gösril bir siyali sprumu Fω il vrilir. Buradai ω açısal rasır. Sprumu iad d Fω osiyou armaşı compl olup aşağıdai ii şild birisi il gösrilbilir Al Sadi 98 s. 7. Grçl v saal ısımları oplamı olara F ω a ω ib ω Grçl v saal ısımları çarpımı şlid i ω ω φ F ω F. Burada; [ ] / F ω a ω + b ω b ω φ ω + a ω olup F ω modülü gli a ± ±... φω argümaı is az sprumu olara adladırılır. 9

4 . Fourir Döüşümü Fourir döüşümü; bir aım siüsoidal osiyoları oplamıda oluşuğu düşüül bir osiyouu bilşlri ayırıp hr bilşi gliğii buluması sasıa dayaır. Daha öc dğiildiği gibi Fourir döüşümü zama oramıda im domai ras oramıa rqucy domai gçişi sağlaya rsiir bir araçır. Şil. d byaz ışı yri sismi siyali oyara ara yri is oram dyimlri ullaılara döüşüm avramıa doğru bir gçiş sağlaabilir Şil.4. ZAMAN Şil.4 Fras aalizi yapa opi prizma; zama vya özl oramıdai byaz ışığı ras oramıda r sprumua döüşürür. Zama oramıdai bir olayı ras oramıdai gösrimi ou sprumu dir. Zama oramıdai bir dizi gli dğri il alaıla bilgii ras oramıdai gösrimi gli v az sprumu il olur. Glilri rası osiyou olara gösrilişi gli sprumu v yi az açılarıı rası osiyou olara gösrilişi is az sprumu dir. Glilri arlrii rası osiyou olara gösrilişi güç yoğuluğu sprumu dir v zama dizisii öz ilişi osiyouu Fourir döüşümü şdğrdir. Fourir döüşümü amamıyl doğrusal bir işlmdir. Yai oramlarda birid zama vya ras yapıla bir işlmi diğr oramda mulaa bir arşılığı vardır. Bilgii hr ii oramdai alaımları şi silidir. Aca bazı işlmlri grçlşirilmsi oramlarda domai birid diğri gör daha olay olabilir.

5 Ço giş bir uygulama alaıı oluşu v çşili oulardai bir ço problmi çözümüd ullaılmaa olması diyl Fourir döüşümü üzrid olduça ayrıılı biçimd durulacaır. Bu döüşüm gli v az dğrlri gibi ii ömli izisl büyülü oluşup armaşı bir sayı il iad dilir... Fourir Kuramı Frasız mamaiçisi Josph Fourir i 87 d oraya oyduğu v di adıyla bili Fourir uramıa gör bazı uşulları sağlaya hrhagi bir osiyou sosuz sayıda rigoomri osiyoları oplamı olara gösrilbilir Şil.5. Fourir uramı bazı uşullarda gçrlidir. Drichl uşulları olara bili bu ısılamalar aşağıda özlmişir Drichl osiyou pryodiir. Yai + olup buradai pryod v ± ±... dir. osiyou pryodi dğil aa sıırlı bir aralıa aımlamış is sosuz sayıdai siüsoidal dğişimlri oplamı blirl aralıa yi y yalaşmalıdır. Bu aralığı dışıda oplam i rarlarıı gösrcir. Şil.5 Hrhagi bir osiyo blirli şarlarda sosuz sayıda siüsoidi oplamı oplamı şlid gösrilbilir.

6 - osiyou sürli azıda blirli aralılarda sürli olmalı v sürsizlilri sayısı sıırlı olmalıdır. 3- osiyouu bir pryod içidi masimum v miimum sayısı solu olmalıdır. 4- osiyou bir pryod aralığıda solu yai / / d solu < igralii yaısamalıdır. Fourir srisi açılaca bir osiyouu bu şarları hpsii d sağlaması şar dğildir. Bu dl Fourir aalizi p ço osiyoa uygulaabilir. Zira uygulamada arşılaşıla osiyoları p çoğu yuarıdai uşullarda az birii sağlar... Fourir Srilri Fourir uramıa gör Drichl oşullarıı sağlaya bir osiyou aşağıdai gibi sosuz sayıda siüs v osiüs rimlrii oplamıda oluşa rigoomri bir sri il gösrilbilir. a + a cosω + a cos ω + a cos3ω +L L + b siω + b si ω + b3 si 3ω +L 3 a + a cosω + b siω. Bu sriy Fourir srisi dir. Burada idisi harmoi a a v b bu harmoilrai Fourir asayıları olup ω /Τ açısal rasır. Vril bir osiyouu Fourir srisi açılımıa harmoi aaliz dir. Yuarıda vril dlm. a + c cos + ω φ şlid d yazılabilir. Burada c harmoi osiyou dir. Burada harmoi gliği; a b c + cos ω φ + gl rimi osiyouu.ci

7 v φ az açısı a φ a b / olara iad dilir. Fourir asayılarıı bulma içi. dlmii hr ii araı sırası il cos ω v m si mω il çarpılıp siüs v osiüs osiyolarıı v / m si m si d cos m cos d m m cos si d Büü m v dğrlri içi orogoali dili özlliği göz öü alıara am bir pryod aralığıda igr dilirs aa v b a a b d cos ω d si ω d. Fourir asayıları buluur. Buradai m v amsayılardır. Görüldüğü gibi a / asayısı osiyouu arimi oralamasıdır. Pryodi bir osiyou Fourir srisi il gösrilmsi bu osiyou dğişi raslardai siüzoidlri oplamı olara gösrmir. ω ω rasıdai siüoidal bilş sriy açıla osiyou ici harmoiği dilir. Il harmoiği rası ω cps dvir/saiy vya Hz Hrz olup ml açısal ras dir. pryodu is osiyou pryodua şiir v ml pryod olara adladırılır. 3

8 Dlm. il vril Fourir srilri sosuz sayıda rim alıdığı zama yai bird sosuza adar dğrlr vrildiğid aca osiyou am olara gösrilbilir. Solu sayıda rim alıırsa bulua oplam i bir sürsizli civarıdai dğrlrid büyü dğrlr gösrir. Bu dğrlr gliği sürsizli uzalaşıça Kalama Gliği Fourir Srisii İl 3 rimii oplamı Fourir Srisii İl 9 rimii oplamı Şil.6 sr ağzı osiyouu Fourir srisi açılımıda solu sayıda rimi alıması GIBSS olayıı doğurur Al Sadi 98 azala salıımlar gösrir. rim sayısıı arırılması sürsizlii haaı büyülüğüü azalmaz aa i sürli ısımları içi daha iyi bir yalaşım sağlar. Bu şild haaları salıımlar gösrmsi gibss olayı dir Şil v Çi Fosiyoları Fourir Srilri Fourir srisi açılaca ola osiyouu çi yai - vya d. d olması halid böyl bir osiyou Fourir srisi; + a a cosω.3 olup büü dğrlri içi b dır. 4

9 Şay sriy açılaca osiyo yai - - vya d is böyl bir osiyou Fourir srisi b si ω.4 olup büü dğrlri içi a v a dır. Çi osiyoları Fourir srisi açılımıda yalızca osiüslü rimlr olduğuda dlm.3 il vril açılıma osiüs srisi dilir. osiyoları açılımıda yalızca siüslü rimlr buluduğuda.4 açılımıa siüs srisi dilir..3 Fourir Srilrii Karmaşı compl Şli Fourir srilrid rigoomri osiyolar yri armaşı ompls iadlr ullaılara sri il ilgili hsaplar basilşirilbilir. Dlm. il vril srid rigoomri iadlr yri Eulr ormülü il vril cos ω iω + iω iω iω si ω i üsl arşılıları oulara. dlmi aşağıdai iω iω iω iω a + + a + b i şlid yazılabilir. Burada /i -i v i - / olduğu dia alıara yi bir düzlm il yuarıdai dlm a ib a ib a iω + iω şlid yazılır. Burada a içi c a ib 5

10 v içi c a + ib oulara iω iω c + [ c + c ] armaşı Fourir srisi ld dilir. So olara yuarıdai.6 dlmi aşağıdai şild iω c + c + yazılara armaşı Fourir srisi c iω.6 iω c.7 şlid ld dilir. Bu iad aşağıdai şild d yazılabilir bir ço yayıda bu iad ullaılır. c + c ω + φ cos.8 Burada c cosω+φ rimi osiyouu ici harmoiği c asayısıa harmoi gliği v φ açısıa is harmoiği az açısı dir. Ödv:.7 vya şdğri ola. bağıısıda.8 bağıısıa gçiş işlmii gösriiz. c il a v b asayıları arasıdai ilişi aşağıdai şild ld dilir..6 bağıılarıda > içi a ib c bu bağııda a v b dğrlrii oyarsa c cos d i cos [ isi ] d si d c d i.9 ilişisi ld dilir. Bzr şild c a + ib i d. 6

11 buluur. Hr iisii.9 v. birli ± ±... amsayı olma üzr i c d ormül il gösrbiliriz.. Uygulamada grç olaylar gözlip ölçülür. Bu baımda joizi vrilri işlip problmlri çözümüd ullaıla hsaplamalar grç büyülrl ilgili olduğuda armaşı olara bulua souçlar grç büyülülr çvrilmlidir. Eğr bir grçl osiyo is.6 dlmid c - asayısı c i armaşı şliği compl cojuga c * c - dir. Bu durumda.7 dlmi * c c c şlid yazılır. Burada iφ [ a b ] v c c iφ. c +.3 φ a b / a dir. Bu bağıılar dışıda büü dğrlri içi doğrudur c asayısıa harmoi gliği v φ açısıa is harmoi az açısı dildiği daha blirilmişi. Bu c Fourir asayılarıı açısal ras ω ya arşı grai çizimi osiyouu gli sprumu v ayı şild φ az açılarıı çizimi is az sprumuu adı vrlir. Bu sprumları grçl ral v saal imagir bilşlrl iadsi: a a c i * c + c i c + c R c * c c i c c I c.4 b i m olduğuda göz öü alıara.3 dlmid çıarılabilir. Burada R v I m oasyoları c i grçl v saal ısımlarıı blirmdir..4 Fourir Igrali v Fourir Döüşümü Buraya adar ola iclmlrd osiyou pryodi abul dildi. Oysa uygulamada arşılaşıla problmlrd çoğu z pryodi osiyo bulumaz. Bu ür olaylar bir z mydaa glir v bir daha rarlamaz. Pryodi olmaya bu ür osiyolar içi Fourir srisi ullaılmaz. Bu durumda icl boyudai vri sosuzda pryodimiş gibi düşüülr uygu bir açılım ld dilbilir. Bu ür problmlri çözümü yai pryodi olmaya osiyoları Fourir srilri il gösrilbilmsii Fourir igrali sağlar. 7

12 Hr solu -/ / aralığıda Dirichl oşullarıı sağlamaya v - + aralığıda yaısaya osiyouu armaşı compl Fourir srisii v yi iω c c / ω / olduğuu biliyoruz. ω.7 i d. So bağııda gçici olara dğiş döüşümü yapalım v c i dğrii il bağııdai yri /ω oyalım..5 / / iωo iω d v burada yri oyara / iωo iω d ω.6 / şlid yazalım. olur ml ras ω / sosuz üçü dğr alır. ω ω sürli bir dğiş döüşür. Yai birbirii izly ardışı ii ras arasıdai ar ω + ω + + ω ω + ω ω ço üçü olur. Bu durumda ω ω çarpımı sürli bir ω dğişi yalaşır..6 bağıısıda ω ω alıırsa i ω d i ω ω.7 olur. sosuz v ω dω ya giiği limi durumuda ω da ω ya gidr ω harmoi raslarıa gör hsaplaa c asayılarıı çizimi sürlili azaır v.7 bağıısıdai oplam igral döüşür: iω iω d dω.8 8

13 Bu bağııya pryodi olamaya osiyolar içi Fourir igrali dir. Içi igrald yri oyarsa iω d F ω.9 i ω ω F dω. olur. Bu so ii bağıı pryodi osiyolar içi olmaya zama v ras vya Fourir oramı aımlamalarıdır..9 bağıısı osiyouu Fourir döüşümü. bağıısı da Fω ı rs Fourir döüşümü dür. Fω v y Fourir çii dir..8 bağıısı il vril Fourir igralii gçici vrilri Fourir çii.9 v. igrallrii gçrli olması içi d sıırlı <. olmalıdır. Bu oşul yrli aca hr zama grli dğildir. Fourir igralii varlığı içi Dirichl oşullarıı bazılarıı sağlaması grir. Buu dışıda i sıırlı bir aralıa sürsizlilrii sıırlı olması gibi uygulamada arşılaşıla vrilr içi hr zama sağlaa oşul yrli olmaadır. Fω armaşı olduğuda F ω a ω ib ω F i ω φ ω yazılabilir. Burada Fω armaşı osiyou modülü iφω is argümaı dır. b ω saal F ω Φω a ω grçl Şil.7 Fourir sprumuu bilşlri F ω a ω b ω φω a b ω a ω..3 9

14 Fω ya i gli sprumu φω ya az sprumu dir. φω yri baz -φω ullaılır. Bua da az-gcim sprumu dir. Ömli aım v irdlmlr yapılır ullaıla ω açısal rası yri uygulamada rası ullaılır. Bu dl.9 v. bağıılarıda ω v dωd dğişimi yapılırsa i d F.4 i F d.5 biçimlri ld dilir. F armaşı olduğuda F a ib.6 iφ F.7 yazılabilir. a v b F i grçl v saal bilşlridir. i gli sprumu F a + b.8 v az sprumu b φ a a.9 bağııları il vrilir. Fourir döüşümüd dia dilmsi gr bir ou F i birimidir..4 bağıısıda görülcği gibi F i birimi vrisii birimi il i birimii çarpımıa şiir. Örği i VolV i is saiys olması durumuda F i birimi Vs olacaır. Eğr s yri /Hz yazılaca olursa F i birimi V/Hz olara vrilbilir. Bu birim ras başıa düş gli yoğuluğu olara biliir v özllil F gli yoğuluğu sprumu olara da adladırılır. F i azıı vr.9 bağıısıda φ birimsiz yai radya olmasıa arşı yuarıda açılaa F i biçimi çağrışım yapması içi φ az yoğuluğu sprumu olara da adladırılırmaadır.

15 grçl bir osiyo olduğuda F i grçl v saal bilşlri a v b sırasıyla osiüs v siüs döüşümlrid ld dilir. Ayrıca aa- yai a bir çi osiyo b -b- yai b bir osiyodur. Bular.4 bağıısıda i cos i si oulara gösrilbilir: olur. Yai F i d cos d i si d a ib.3 a cos d.3 b si d.3 dir. So ii bağııda yri - oulduğuda a cos d cos d a.33 b si d si d b.34 olur. aa- v b- -b olduğuda F a ib a + ib F.35 olur. Burada * simgsi armaşı şliği gösrm içi ullaılmışır..35 bağıısı bir grçl osiyou Fourir döüşümüü şli simri olduğuu gösrir. Buu rsi d doğrudur. Yai Fourir döüşümü şli simri gösr bir grçl osiyodur. Grçl osiyoları gli yoğuluğu sprumu F çi osiyo az yoğuluğu sprumu is osiyodur..7 bağıısıda F iφ F.36 F F iφ.37 olur. grçl osiyou içi F-F* olduğuda so ii bağııda F iφ F iφ.38 olur. Mod v az bilşlri şildiğid

16 olur. F φ F φ Fourir döüşümü il ld dil F i biçimi osiyouu osiyo vya çi osiyo olması durumua gör özl biçim alır. Hr osiyou biçimid çi v o osiyolarıı oplamı olara yazılabilir..39 dlmii Fourir döüşümü alıaca olursa F F + F F.4 biçimid çi v osiyoları Fourir döüşümlrii oplamı olara yazabiliriz. Burada F F i d.43 i d.44 dir..3 il vril Eulr şiliği ullaılara v -ip i y gör cos cos.45 si si.46 i i.47 biçimidi simri özllilri gözöü alıdığıda.43 v.44 dlmlri aşağıdai biçimd yazılabilir. F cos d.48 d F si.49 Fourir döüşümüü v çi osiyolara uyguladığıda oluşa bu dlmlr osiüs v siüs döüşümü olara biliirlr. Yuarıdai dlmlrd açıça görülmdir i F çi osiyo F osiyodur. Pryodi vrilr içi

17 gösril Parsval uramı Fourir dizilrid Fourir döüşümü gçr yapıldığı gibi ω a ω ω ω gçiş işlmlri yapıldığıda d F d.5 olur. Görüldüğü gibi pryodi olmaya vrii zama v ras oramıdai rjilri şiir. Vrii rjisi sıırlı büyülü olduğuda sosuz aralıai oralama rji vya güç ço üçü olur. Sosuz sayıda pryodi bilşlri hr birii aısı ço üçü olması grir. Çüü sosuz sayıda pryodi bilşd oluşa pryodi olmaya osiyou oplam rjisi sıırlıdır. F y osiyouu rji yoğuluğu sprumu dir. F i rji yoğuluğu olduğu Parsval şiliği ullaılara açılaabilir. grilim vrisi olsu. Bir dirci üiği rji V s dir v.5 bağıısıı sol araıda vrilmişir. Ayı bağııı sağ araıda ras y gör alıa igrali ayı birimi vrmsi içi F i birimii V s/hz V s olması grir. Yai F birim rasai rji yai rji yoğuluğudur. Grç yuarıda dğiildiği gibi bir rasai rji sıırdır. Bir ço vri grilim çvrilip algıladığıda F y rji yoğuluğu dilmsi alışılaglmiş bir adladırmadır. F birim rasai rji yoğuluğu yai güç olduğuda F y güç sprumu dm büü oramlarda ölçül vrilr içi gçrli bir adladırmadır. 3

18 ablo. Bazı osiyoları Fourir döüşümlri. Fosiyo Fourir döüşümü a Didörg / si ω / ω sýc / ω / b Fourir çiği si a a a si Π w a c Π cosw si w w / si w+ w / + w w w+ w w w si + si c w + w d Üçg osiyo si c w A > sg > i - < w Dira dla osiyou δ - δ d g δw h u < δ w - i w i cos w δ w+ w + δ w w j si w iδw+w - δw-w u cos w iw δ w+ w + δ w w w w l u si w i w δ w w δ + - w w w w m w u -a a iw a + w o Laplac Fosiyou -a a a + w p Gauss Fosiyou a a w / 4a 4

19 Şil.8 ablo. d vril osiyolar v Fourir döüşümlri 5

20 Şil.8 Dvamı ablo. d vril osiyolar v Fourir döüşümlri 6

21 7.5 Fourir Srisi Açılım Ör Problmlr Ör < < + < < il vril osiyouu Fourir srisi açıız. F / -/ - Çözüm Fosiyo osiyo olduğuda a a olacaır. d b ω si ω + + ω d d b si. si. ω + ω d d b si si ω ω + ω ω + b cos cos ω ω ω + ω ω b cos cos cos cos b ω cos cos [ ] b cos cos

22 b cos cos cos - cos b cos çi sayılar içi b cos 4 sayılar içi b olacaır. Bua gör souç; 4 si ω si ω + si 3ω + si 5ω Harmoi glilrii hsaplaması: c a + b a olduğu içi Bua gör: c 4 c c Harmoi azlarıı hsaplaması: b φ a a 5 c b olara hsaplaır. a olduğu içi a φ a φ3 a 3 φ5 a 5 b olacaır. φ olara hsaplaır.... Ör - aralığıda aımlamış ola pryodlu osiyouu Fourir srisi açıız. F - - Çözüm olduğu içi osiyou osiyodur. 8

23 Buradai örğimiz bu özlliğ sahip olduğuda dolayı osiyodur. Yai; osiyolarda a a olmaadır. -<< b si ω b si ω d d u d du si ω ω du cos ω u cos ω ω ω cos ω b cos ω + ω ω ω cos b d d cos ω + si ω ω ω b cos + si cos + si b cos cos + si + si b cos + cos + si + si b b b cos + cos b b cos. si 4 si si + si Ör 3 - aralığıda aımlamış pryodlu osiyouu üçg dalga Fourir srisi açıız. 9 F - -

24 Ör 4 - aralığıda aımlamış pryodlu aşağıdai osiyouu Fourir srisi açıız. < < < < ± Ör 5 - aralığıda aımlı pryodu ola - osiyouu Fourir srisi açıız. Ör 6 < < osiyouu Fourir srisi açıız. F A - Çözüm 6 Fosiyo olduğu içi a v a asayıları sıırdır. b / / si ω d A b si ω d dğiş döüşümü yapılara udv uv vdu u du d dv si ω v ω d cos ω ω cos ω ω cos ω d cos ω + si ω ω ω ω 3

25 si ω cos ω ω ω b A ω ω si cos si.cos ω b A si cos ω ω b A cos A b cos A gli dğri yri our is; b cos ld dilir. Bu durumda üm dğrlri içi Siüs srisi olduğuda b si ω si ω b olur. si ω si ω si 3ω si 4ω vril dğrlri içi ld dil gli v azlar osiyou harmoilrii vrir. Örği; N içi; si ω.ci harmoi N içi si ω.ci harmoi N3 içi si 3ω 3.ci harmoiir. 3 Harmoiği gli v azları a v b asayılarıda hsaplaır. 3

26 a b c + v φ az açısı a φ a b / Sıırıcı harmoi gliği a asayısıı mula dğridir Örği 3. Harmoiği gliği az açısı a c + φ 3 3 b3 3 a b 3 / a 3 Bu ör çözümd a olduğuda gli yalızca b asayısıı mula dğridir: az açısı olur. c φ 3 3 a a Ör 7 A < < osiyouu armaşı Fourir srisi açıız. F A - Çözüm 7 A A iω c iω iω d d u d du dv iω d v döüşümlri ullaılara iω iω 3 d

27 c c ω A A iω iω i ω iω iω i ω i [ ] No i cos isi am sayı c α / A iω içi A A A i i / i i / cos / + isi / i / i Bu durumda c A buluur. A i / i yazılabilir. Yai c A i / dir. A A c d d olara buluur. Fourir srisi is; iω c + c olduğua gör A A + A A / iω i + ω + i / olara ld dilir. Bu soucu Fourir döüşümüü rigoomri şli döüşürm isrs; c a c a ib c a + ib olduğua gör A c A a a A 33

28 c A i / a A A i ib / i i / olduğuda i / A i b / b A a [ a cos ω + b si ω ] + A + A si ω A A si ω A A si ω + si ω + si3ω Fourir Döüşümü Ör Çözümlri Ör A d / < < d / / < < d / v d/ < < / şlid aımlaa didörg pulsu Fourir sprumuu hsaplayıız. -/ -d/ F d/ / / / d / d / p iω A p iω d d A iω p iω d / d / A d d p iω p iω iω Eulr bağıılarıda i si α p iα p iα olduğuda A iω i si ω d A si ω ω d 34

29 d d buluur. Sağ araı ω / ω il çarparsa; d ωd d ωd si ω si ω A A ω ω d ωd ω d si ω Ad ωd ω olduğuda d d ω olur. Böylc d si Ad d Görüldüğü gibi grçl bir osiyodur v az sprumu sıırdır. Bu osiyo sic osiyou olara biliir. Ad d sic F zama osiyouu armaşı Fourir srisi açılımı; Ad d sic p iω olara yazılabilir. Ayrı ras sprumuu ld m içi d v y dğr vrm grir. Örği d/s /4s olsu. ω ω 8 / 4 d / / 4 5 Ad A 5 olara buluur. Ad d si d si A

30 so bağııda. dğrlr vrilr ω rasları içi gli sprumları hsaplaır. Sprum oramıdai örlm aralığı ω ω ω 8 dir. si m d olduğuda m yai m3.. dğrlri içi 55. Dğrlri 5 içi gli sprumu sıır olur. ablo.: Vril dğrlri içi gli dğrlri.7 - Gli Gli Şil.. Gli sprumu << içi çizilmişir..7 Fourir Döüşümüü Özllilri Bir ço uramsal v uygulamalı çalışmada Foruir döüşüm işlmlrid olaylı v çabulaşırma sağlaya özllilrid yararlaılır. Aşağıda buları birçoğu örlrl açılamışır..7. Doğrusallı v oplama Özlliği 36

31 v y i Fourir döüşümü X v Y olsu. +y i Fourir döüşümü X+Y dir; Kısaca; i i i + y d d + y d.5 + y X + Y.5 yazılabilir. işari soludai v sağıdai osiyou bir Fourir çii oluşurduğuu simglr. Doğrusallı özlliği iid azla osiyo içi d gçrlidir. Bu özlli Fourir döüşümüü doğrusal düzlr uygulaabilcğii gösrir. Grç y v varsa oplaa diğr düz osiyolarıı dilri birr doğrusal olmaya düz osiyoları da olabilirlr..7. Baışımlılı Özlliği X.53 olsu X.54 dir. rs Fourir döüşümü bağıısıda yri - oulduğuda i X d olur. v dğişlri aralarıda dğişirildiğid.55 i X d.56 ld dilir yai.54 doğrulaır. Baışımlılı özlliği birço uramsal çalışmalarda işlmlri olaylaşırır..7.3 Zama Kayması Özlliği i yi adar aydırmala ld dil - ı Fourir döüşümü X olur: i - X.57 s - alıara.57 özlliği doğrulaabilir: 37

32 A R I - /8 A R A I R - A - /4 R A I -A - / R I -A Şil.9 Zama ayması özlliği. i i s+ d s i i ds i s s ds X.58 Şil.9 d osiüs osiyou aydırılara Fourir döüşümüü zama ayması özlliği irdlmişir. Baışımlı v grç bir osiyo ola cos i Fourir döüşümü grç bir osiyodur. Kaymayla baışımlılı aybolduğuda Fourir döüşümü aybolduğuda Fourir döüşümü grçl v saal bilşlr içrir. Kayma gliği ilmz sadc az dğişir. Kosiüs osiyou içi aymadai Fourir döüşümü i X cos i si X olduğuda gli i X + si X X.59 X cos.6 38

33 olur. Faz açısı φarca-b/a aymaya bağlı olara dğişir..57 bağıısıda vril ayma özlliği gör hr rasai bilş di rasıyla oraılı az gcimsi uğrar büyüy rasla az açısıda büyür..7.4 Fras Kayması Özlliği X ras sid sabii adar aydırıldığıda ld dil X- ı rs Fourir döüşümü i olur: i X Bu özlli rs Fourir döüşümü bağıısıda s - alıara doğrulaabilir. i d X s i s+ ds X.6.6 i i i s X s ds X grçl olduğuda X- ı rs Fourir döüşümü cos olur. Yai ras oramıda cos il çarpmaya dir. Bua modülasyo dir..7.5 Zama Ölçlmsi Özlliği i Fourir döüşümü X olsu. sıırda arlı grç bir sabi olması oşuluyla i Fourir döüşümü / X/ olur: X.63 Bu özlli s alıara doğrulaabilir: i is s / ds d s X döüşüm çiid alımışır. Çüü < alıdığıda / işar dğişirir. Şil. da daha öc şil.9 da Fourir döüşümü vril didörg dalga içi zama örlmsi özlliği gösrilmişir. Didörg osiyo zama oramıda gişldiç ras oramıda daralmaadır. Buu rsid doğrudur. Fras v zama oramıdai

34 rji şi olduğuda darala ras osiyouu sıır rası yörsid gliği büyümdir..7.6 Fras Ölçlmsi Özlliği X i rs Fourir döüşümü olsu. ı grç bir sabi olması oşuluyla X i rs Fourir döüşümü / / dır. X.65 rs Fourir döüşümü bağıısıda s alıara bu özlli doğrulaabilir: i i s / ds X d X s.66 Zama ölçlmsi bzr biçimd ras oramı daralılması zama oramı gişlmsi gişlmsi d zama oramı daralmasıa yol açar. Şil. d yi didörg dalga biçimi ullaılara bu özlli açılamışır. Fras v zama oramları rjilrii şiliğii sağlaması içi ras ölçlmsi büyüyüc zama oramı osiyou didörg dalga gliği büyümdir. 4

35 Şil. Zama ölçlmsi özlliği ör..7.7 Fourir Çiii Ora Bağıı Özlliği Sayısal Fourir döüşümü hsaplamalarıı hızladırmada yararlaıla bir özlli Fourir döüşümü v rs Fourir döüşümüü ayı bağıı ullaılara hsaplaabilmsidir. Gösrilbiliri * i * X d.67 dir. Burada * armaşı şliği simglmdir. -i çirdği Fourir döüşümüd olduğu gibi grli armaşı şl çvirmlri yapılara v X ayı bilgisayar programıyla hsaplaabilir. 4

36 Şil. Fras ölçlmsi özlliği ör..7.8 Zama v Fourir ürvlri Özllilri rs Fourir döüşüm bağıısıı ii yaıı ici ürvlri alıırsa d i X.68 d olur. Burada i ürvlrii var olduğu varsayılmışır. Fourir döüşüm bağıısıı ii yaıı ici ürvlrid d X i.69 Fourir çii ld dilir. i ürvii alıması il oluşa siyali sprumu X sprumuu y oraılı çoğala bir dğrl çarpılmasıa şdğrdir. 4

37 .7.9 Zama v Fras İgrallri Özlliği Yuarıdai ürv özlliğid harl i igrali ola siyali Fourir döüşümü aşağıdai şild buluur: d i X.7 Bzr şild X sprumuu ras oramıda igrali il ld dil sprumu rs Fourir döüşümü il arasıdai ilişi aşağıdai gibidir: i X d.7 Görüldüğü gibi i igrali alıması il oluşa siyali sprumu X sprumu / y oraılı bir dğiş il çarpılmasıa şdğrdir..7. Eşli Özlliği a-ib armaşı osiyouu şliği *a+ib i Fourir döüşümü X * - dir: olur. * * X.7 i a ib d i a ib d i a + ib.73 X.74 X *.7. Evrişim Kovolüsyo Özlliği d.75 Gr uramsal ürmlrd v grs gözlmsl vrilri aaliz v işlmsid yararlaıla ço ömli bir olaa vrişim uramıdır. Bu urama gör zama vya ras oramıdai vrişim ras vya zama oramıda çarpım yapara grçlşirilbilir. * h X.H.76. h X* H.77 * vrişimi ovolüsyo simglr. Yuarıdai Fourir çiii doğrulama içi 43

38 y * h τ h τ dτ.78 vrişim işlmii hr ii araıı Fourir döüşümü alısı: y i i d τ h τ dτ d.79 y y alıara v sağ araa igrali sırası dğişirilr Y i τ h τ d dτ ld dilir. s -τ alıdığıda ayraçları içi h s i s+ τ iτ is iτ ds h s ds H olur. Bu souç.8 bağıısıa oulduğuda.8.8 iτ H τ dτ H X Y ld dilir. Bua zama vrişim uramı dir. Bu özlli izly biçimd özlbilir:.8 * h y.83 X H Y Fourir çii ras vrişim özlliğidir v yuarıda vril zama vrişim uramıa bzr biçimd vya.76 çiii baışımlılı bağıısı.56 ya oyara doğrulaabilir. Sismi uygulamalarda olduğu gibi uzu v ço sayıda vrii bilgisayarlarda işlmsid vrişim uramıda yararlaara işlmlr ömli ölçüd hızladırılır. Daha sora dğiilc hızlı Fourir döüşümü yömiyl Fourir döüşümü işlmi çabulaşırıldığıda öc vri v uygulaaca işlci Fourir döüşümlri alıara çarpılır. Daha sora bu çarpımı rs Fourir döüşümü alıara çıış vrisi ld dilir..7. İlişi Korlasyo Özlliği Uygulamada ömli bir Fourir çiid ilişi osiyou v ou Fourir döüşümüdür. v h osiyolarıı ilişisi c h τ h + τ d.85 bağıısıyla vrilir. Buu hr ii araıı Fourir döüşümü c i i τ τ dτ h + τ d h dτ.86 alııp v sağ araai igrallri sırası dğişirilirs 44

39 c i h h + τ τ dτ d olur. s +τ alıırsa ayraçları içi h s i s i is i ds h s ds H olur. Bu souç.87 bağıısıa oulduğuda i ch H d h cos d + i si d H R + i.9 olur. i Fourir döüşümü i d cosd - i - - sid R - iτ olduğuda.9 v.9 bağıılarıda olur. Kısaca * c h H X.9 c h τ c.93 h yazılır. Bu souca çapraz-ilişi özlliği dir. Bu souç ilişiy gir iici osiyou Fourir döüşümüü şliğii alıması dışıda vrişim özlliğii ayısıdır. Evrişim işlmii ilişi işlmid arıı osiyolarda birii alaması olduğu aımsaırsa bu bzrli olayca alaşılır. Yuarıda bir çi osiyo olduğuda X grçl olacağıda XX * olur. Bu durumda vrişim v ilişi işlmlri yuarıda dğiil özllilrd şdğr olur. Eğr h yai hr ii osiyo özdş is.85 bağıısı özilişi bağıısıa döüşür..93 ilişi özlliğid c * τ X X X c.94 olur. Bua özilişi özlliği dir. İi vrii çapraz ilişisii vya bir vrii özilişisii hsaplamasıda vrişim özlliğid olduğu gibi hızlı Fourir döüşümüd yaralaılara v ilişi uramı ullaılara işlmlr hızladırılabilir. Diğr ömli bir 45

40 ullaım gçici vrilri güç v çapraz güç yoğuluğu sprumlarıı hsaplamasıdır. Gçici vrilri güç yoğuluğu sprumları vrilri Fourir döüşümü ullaılara gösrilbilir..7.3 Çi osiyolar Ev Fucios Eğr - is i Fourir döüşümü balışımlı simri v grçldir: R cos d.95 Yi.4 bağıısıda yararlaara i F d cos d i si cos d R d.96 olur. Saal rim sıırdır çüü igrali içi bir osiyodur. cos bir çi osiyo cos bir çi osiyo olduğuda cos cos[ ] v F F -; yai Fourir döüşümü d bir çi osiyodur. Bu özlliği rsi d doğrudur. Yai Grç v çi osiyou rs Fourir dömüşümü d bir çi osiyodur. Ayrı osiyolar içi çi osiyo özlliği; - is: N R cos N...N osiyolar Odd Fucios Eğr o - o - is o i Fourir döüşümü d rs baışımlı v saal bir osiyodur. Bu.4 bağıısıda yararlaılara aılaabilir. o o d F cos d i si d o o 46

41 i o si d i Im.98 Grçl ısmı igrali sıırdır. Çüü bir çi osiyo il osiyou çarpımı yi bir osiyodur. si bir osiyo olduğuda si si ; Fourir döüşümü osiyodur. [ ] o o Ayrı osiyolar içi osiyo özlliği; o - o - is: N o i i Im o si N...N -.99 Şil.: Fourir döüşümü il Fourir dizisi arasıdai ilişiy şmai bir ör..7.5 Dalga Şli Ayırımı Wavorm Dcomposiio Hrhagibir osiyo v çi osiyoları oplamı olara ayırılabilir;

42 . + o Çüü büyü parazlri içi çi v osiyo aımıı doğrular..96 v.98 bağıılarıda. bağıısıı Fourir döüşümü F R + i Im F F. + o Burada F R v FoiIm dir. Fourir döüşümüü bu özlliği ayrı Fourir döüşümü hsaplamalarıı hızladırmada ullaıla özllilrd biridir. Ayrı osiyolar içi dalga biçimi ayırım özlliği: o v F R + i Im F + Fo burada F R v F i Im o ablo.3 :Fourir döüşümüü bazı özllilri X y Y + y X + Y X i Doğrusallı Baışımlılı Zama Kayması Fras Kayması i X Zama Ölçlmsi X Fras Ölçlmsi X Ora Bağıı * * X Zama Igrali Fras Igrali d i X &&& i X d Zama ürvi d / d i X Fras ürvi i d X / d Eşl * * X Evrişim * y X. Y. y X * Y 48

43 * Ilişi τ * y X. Y c y.8 Fourir Sprumu Buraya adar ola iclmlrd ras oramıa gçr vrilri priyodi vya gçici olduğu varsayılara Fouri dizilri vya Fouri döüşümü ullaıldı. Ayrıca yi buraya adar ola iclmlrd vrilri sürli olduğu v sürli vrilrl işlm yapabilcğimiz varsayıldı. Aca uygulamada arşılaşıla durum yuarıdai varsayımları grçlmz. Hrşyd öc ldi vri sıırlı bir gözlmi soucudur. Ayrıca vri ya ayrı olara gözlmiş vya bilgisayarda işlm soma içi sürli vri örlm aralığı il ayrı şl döüşürülmüşür. Hr ii dl vrii ras oramıa gçirilmsid sorularla arşılaşılmaadır. Bu soruları iclmsid öc sıırlı v ayrı vrilri ras oramıa gçirilmsid ullaıla hsaplamayı yid aımlama grmdir. Eğr limizdi sıırlı uzuluğudai vriyi il gösrc olursa bu vriy dğişirilmiş bir Fourir döüşümü uygulaara ras oramıda ϖ yı ld driz: vya ϖ il iϖ ω d. i d.3 Bu dlml aımlaa y uygulamada Fourir Sprumu adı vrilir. Görüldüğü gibi bu dlm Fourir döüşümüd Dlm.9 arlıdır. Igral sıırları doğal olara solu uzulua vri içi - v yri -/ v / olmuş v daha ömlisi igral öü / çarpaı lmişir. Bu dl d hsapladığıda birim vri gli birimi il şi olup Fourir döüşümüdi gibi gli yoğuluğu dğildir. Aslıda Fourir sprumu dlmidi Fourir dizisi il ld dil spruma bzmdir yalız gözlm uzuluğu i aa pryod a ya şi olması v sürli raslar yri özl raslar / a ullaılması durumuda Fourir dizilri il ld dil çizgi sprumua şi olacaır. Yuarıdai dlrl Fourir sprumu aımı gçrli bir aımdır v.96 dlmi gr çizgi sprumu grs Fourir döüşümü içi ullaılabilir. Ayrıca blirm griri öci bölümd ou 49

44 dil üm Fourir döüşümü özllilri Fourir sprumu içi gçrlidir. Bu Fourir döüşümü içi üm dlmlrd X yri X ullaılara aılaabilir. Fourir sprumu ayrıca aımlamaı v Fourir dizisi v döüşümü il bağıı iclmi yararı uygulamadai adladırma arışılığıı gidrm içidir. Grçd Fourir çizgi sprumu X yi vr Fourir döüşümü il bulua v X yi vr.9 dlmi v sorada Fourir sprumu olara adladırıla X yi vr.96 dlmi arlıdır. Bu dlmlrl vril ras oramı gösrimlr içrdilri varsayımlar v üsli izisl birimlr açısıda da arlıdırlar v uygulamada ullaıla dlm il ilgili avramlara v adladırmaya öz gösrilmlidir..8. Ayrı Vrilr Solu uzulua vrisi içi örlm aralığı ullaılara..n- il zamalarıda örlmiş vri ld dilir. Vri boyu olduğua gör / N oplam vri sayısıı vrcir. Örlmiş vri il Fourir sprumu X N N i.4 şlii alır. Bu yazılım doğruda programlama içi ullaılabilir v hrhagi bir ras içi gçrlidir. Aca hsaplamada sürli ras ullaılamıyacağıa gör sürli rasıda örlmsi grmdir. Eğr ras örlmsi sçilr olursa raslarıda X vya ısalılmış olara hsaplaabilir X N N i Ε so hsaplaaca ras Nyquis rası N.5 olduğua gör...k içi hsaplaa sprumda N K dolayısıyla K olacaır. Eğr ras örlm aralığı N sçilc olursa K N olaca yai vri sayısıı yarısı sayıda rasda sprum ld dilcir. sçimii Fourir sprumuu doğruda Fourir çizgi sprumua şi ıldığıa yai gözlm uzuluğu N içidi gözlmi pryodi bir vrii aa pryodua şi olduğu varsayılmış olacağıa öcd dğiilmişi. Eğr vri aslıda sosuz is v N sadc gözlm uzuluğua şis doğal ras sçilbilirliği / olacaır. Bu dl birbirlri uzalığı / ola 5

Hafta 8: Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü

Hafta 8: Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü Hafta 8: Ayrı-zama ourir Döüşümü El Alıaca Aa Koular Ayrı-zama ourir döüşümü Ayrı-zama priyodi işartlr içi ourir döüşümü Ayrı-zama ourir döüşümüü özllilri Doğrusal, sabit atsayılı far dlmlriyl taımlaa

Detaylı

Tanım : Bir rassal deney yapıldığında bir deneyin sonucu sadece iki sonuç içeriyorsa bu deneye Bernoulli deneyi denir.

Tanım : Bir rassal deney yapıldığında bir deneyin sonucu sadece iki sonuç içeriyorsa bu deneye Bernoulli deneyi denir. BRNOULLİ DAĞILIMI Broulli dağılımı bir rassal dy yaıldığıda yalızca iyi öü olumlu-olumsuz başarılı-başarısız gibi sadc ii souç ld dildiğid ullaılır. Taım : Bir rassal dy yaıldığıda bir dyi soucu sadc ii

Detaylı

MENKUL KIYMET DEĞERLEMESİ

MENKUL KIYMET DEĞERLEMESİ MENKUL KIYMET EĞERLEMESİ.. Hiss Sdii Tk ömlik Gtirisii Hsaplaması Bir mkul kıymti gtirisi, bkl akit akımlarıı, şimdiki piyasa fiyatıa şitly iskoto oraıdır. Mkul kıymti özlliği gör bu akit akımları faiz

Detaylı

ÜSTEL DAĞILIM. üstel dağılımın parametresidir. Birikimli üstel dağılım fonksiyonu da, olarak bulunur. olduğu açık olarak görülmektedir.

ÜSTEL DAĞILIM. üstel dağılımın parametresidir. Birikimli üstel dağılım fonksiyonu da, olarak bulunur. olduğu açık olarak görülmektedir. ÜSTL DAĞILIM Tanım : X > olma üzr sürli bir rasgl dğişn olsun. ğr a > için X rassal dğişni aşağıdai gibi bir dağılıma sahip olursa X rasgl dğişnin üsl dağılmış rassal dğişn v onsiyonuna da üsl dağılım

Detaylı

Bir Kompleks Sayının n inci Kökü.

Bir Kompleks Sayının n inci Kökü. Prof.Dr.Hüsy ÇAKALLI Br Komplks Sayıı c Kökü. hrhag br sab doğal sayı olmak ür, br komplks sayıı c kökü, c kuvv bu sayıya ş ola komplks sayıdır. ( r(cos s olsu v (cos s dylm. Bu akdrd ( [ (cos s] dr v

Detaylı

Sönümlü Serbest Titreşim

Sönümlü Serbest Titreşim .5.. Söülü Srbs Tirşi Sosza kadar dva d sabi glikli irşilrl grçk hayaa karşılaşılaakadır. Bilidiği gibi, sis irşi harki başladıka bir sür sora hark yavaş yavaş zayıflar. olayısıyla hark dklii aşağıdaki

Detaylı

ELM207 Analog Elektronik

ELM207 Analog Elektronik ELM7 Alog Elkroik Giriş Bir Fourir srisi priyodik bir ) oksiyouu, kosiüs v siüslri sosuz oplmı biçimid bir çılımdır. ) cos b si ) Bşk dyişl, hrhgi bir priyodik oksiyo sbi bir dğr, kosiüs v siüs oksiyolrıı

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 10: Sistem Cevabı

İşaret ve Sistemler. Ders 10: Sistem Cevabı İşar v Sismlr Drs 0: Sism Cvabı Sismi İmpuls Cvabı Lir, zamala dğişmy bir sism v işarii uyguladığıı düşülim v işari lir, zamala dğişmy bir sism uyguladığıda çıkış işari bilimiyrsa, sismi lirlik özlliğii

Detaylı

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi

5. Ders. Dağılımlardan Rasgele Sayı Üretilmesi Ters Dönüşüm Yöntemi 5. Drs Dağılımlarda Rasgl Sayı Ürtilmsi Trs Döüşüm Yötmi sürkli bir rasgl dğişk v bu rasgl dğişki dağılım foksiyou olsu. Dağılımı dstk kümsi üzrid dağılım foksiyou arta v bir-bir bir foksiyo olmaktadır.

Detaylı

2013 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK

2013 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK 03 BİRİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI MATEMATİK A SORU : lim x 8x 9 (x 3) x ifadsii dğri aşağıdaki sçklrd hagisid vrilmiştir? 0 5 7 SORU : cosax x f x foksiyouu x=0 oktasıda sürkli olması içi f(0) ı dğri

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com Tiri ml rklrii rlıklı vr yömi gör izly bir işlmd döm s iibriyl sk rklrii drm şğıdki gibidir DB Ml Mvd 2 000 Döm içi Ml Alışı 50 000 Alış İd 3 000 Tiri Ml Hs Al Tp 5 000 Tiri Ml Hs Brç Klı 52 000 Yriçi

Detaylı

DERS 11. Belirsiz İntegral

DERS 11. Belirsiz İntegral DERS Blirsiz İnral.. Blirsiz İnral. B rs ürvi bilinn bir onksiyonn ynin inşasını l alacağız. Türvi bilinn bir onksiyonn ynin inşası işlmin rs ürv işlmi aniirniaion nir. v F onksiyonlar, F is, F y nin rs

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

DESTEK DOKÜMANI. Mali tablo tanımları menüsüne Muhasebe/Mali tablo tanımları altından ulaşılmaktadır.

DESTEK DOKÜMANI. Mali tablo tanımları menüsüne Muhasebe/Mali tablo tanımları altından ulaşılmaktadır. Mali Tablolar Mali tablo tanımları mnüsün Muhasb/Mali tablo tanımları altından ulaşılmatadır. Mali tablolarla ilgili yapılabilc işlmlr ii gruba ayrılır. Mali Tablo Tanımları Bu bölümd firmanın ullanacağı

Detaylı

ASANSÖRLERDE ACĐL KURTARMA SĐSTEMLERĐ ve GÜÇ KAYNAKLARININ BELĐRLENMESĐ

ASANSÖRLERDE ACĐL KURTARMA SĐSTEMLERĐ ve GÜÇ KAYNAKLARININ BELĐRLENMESĐ maal ASANSÖRLERDE ACĐL KURTARA SĐSTELERĐ v GÜÇ KAYNAKLARININ BELĐRLENESĐ C. Erdm ĐRAK *.Cüyt FETVACI ** * Doç.Dr., ĐTÜ. aia Faültsi, ** Araş.Gör.Dr., ĐTÜ. aia Faültsi Eltri silmsi gibi blmy durumlar arşısıda

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

ENDÜKSİYON OCAK ELEKTRONİK KONTROL SİSTEM TASARIMI. YÜKSEK LİSANS TEZİ Elektrik Müh. Burçak AYTEKİN. Anabilim Dalı : ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ

ENDÜKSİYON OCAK ELEKTRONİK KONTROL SİSTEM TASARIMI. YÜKSEK LİSANS TEZİ Elektrik Müh. Burçak AYTEKİN. Anabilim Dalı : ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ENDÜKSİYON OCAK ELEKTRONİK KONTROL SİSTEM TASARIMI YÜKSEK LİSANS TEZİ Eltri Müh. Burça AYTEKİN Aabilim Dalı : ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ Programı : KONTROL

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

TLE 35128R Serisi CATV Hat Tekrarlayıcılar

TLE 35128R Serisi CATV Hat Tekrarlayıcılar TLE 35128R Srisi CATV Hat Tkrarlayıcılar Modl Frkas Badı 5-30 / 47-870 MHz 5-42 / 54-870 MHz 5-65 / 85-870 MHz srisi CATV Hat Tkrarlayıcılar, koaksiyl şbk üzrid bslbilm (30-90VAC) özlliği sahip olarak,

Detaylı

SMMM STAJ BAŞLATMA FİNANSAL MUHASEBE/TİCARİ ALACAKLAR. f u a t h o c a. n e t. DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

SMMM STAJ BAŞLATMA FİNANSAL MUHASEBE/TİCARİ ALACAKLAR. f u a t h o c a. n e t. DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 sjbslmsivi@gmilm DEĞİŞİME AÇIK OLUN 2 sjbslmsivi@gmilm DEĞİŞİME AÇIK OLUN 3 sjbslmsivi@gmilm 1 Bir işlmi bzı bilgilri şğıdki gibidir: (Bi TL) Öki Döm Cri Döm Alıılr 940 610 Alk Slri

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

TLE 35128R Serisi CATV Hat Tekrarlayıcılar

TLE 35128R Serisi CATV Hat Tekrarlayıcılar TLE 35128R Srisi CATV Hat Tkrarlayıcılar Modl Frkas Badı 5-30 / 47-870 MHz 5-42 / 54-870 MHz 5-65 / 85-870 MHz srisi CATV Hat Tkrarlayıcılar, koaksiyl şbk üzrid bslbilm (30-90VAC) özlliği sahip olarak,

Detaylı

IŞIĞIN KIRILMASI BÖLÜM 27

IŞIĞIN KIRILMASI BÖLÜM 27 ŞĞ RAS BÖÜ 7 ODE SORU DE SORUAR ÇÖZÜER 4 9 = = & = 9 5 = = & = 5 = = = 9 5 3 5 olur,, ortamlarıı kırılma idisleri arasıda > > ilişkisi vardır 5 V ESE YAYAR V V,, ortamlarıı kırılma idisleri arasıda > >

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

UFUK ÖZERMAN- 2012-2013 Page 1

UFUK ÖZERMAN- 2012-2013 Page 1 - GÜZ P,Q,R fokiolrı poliom olmk üzr d d P Q R d d v P d d Q d P d R P p q dklmi içi P şrıı ğl = okı di ok dir, çözümlri di okıı civrıd şklid rrız. =+-+- +... = = okı; p=q/ P, q= R/ P fokiolrı okıd liik

Detaylı

MODEL SORU - 1 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ

MODEL SORU - 1 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ BÖÜ ŞĞ RAS DE SRU - DEİ SRUAR ÇÖZÜERİ Sell bağıtısıda, si si olur i i sıvısı 0 0 sıvısıı ışığı kırma idisi, h si h si si si0 yasıya ıflı k r la ıflı c si ic h si ih c si 0 si c olur c 0 r cam olur δ açısı,

Detaylı

GABOR TABANLI AYRIK EVRİMSEL DÖNÜŞÜM KULLANILARAK GÖRÜNTÜ DAMGALAMA

GABOR TABANLI AYRIK EVRİMSEL DÖNÜŞÜM KULLANILARAK GÖRÜNTÜ DAMGALAMA GABOR TABANL AYRK EVRİSEL DÖNÜŞÜ KULLANLARAK GÖRÜNTÜ DAGALAA ahmu ÖZTÜRK (), Aydın AKAN (),, Yalçın ÇEKİÇ () Elri-Elroni ühndisliği Bölümü () İsanbul Ünivrsisi, Avılar, 343, İsanbul mahmuoz@isanbul.du.r,

Detaylı

D( 4 6 % ) "5 2 ( 0* % 09 ) "5 2

D( 4 6 % ) 5 2 ( 0* % 09 ) 5 2 3 BÖLÜM KAALI SİSEMLEDE EMODİNAMİĞİN I KANUNU I Yasaya giriş Birii bölümde eerjii edilide var veya yo edilemeyeeği vurgulamış, sadee biçim değiştirebileeği belirtilmişti Bu ile deeysel souçlara dayaır

Detaylı

DENEY 5 İkinci Dereceden Sistem

DENEY 5 İkinci Dereceden Sistem DENEY 5 İkici Drcd Sitm DENEYİN AMACI. İkici drcd itmi karaktritiklrii alamak.. Söüm oraı ζ i, ikici drcd itm üzridki tkiii gözlmlmk. 3. Doğal frka i, ikici drcd itm üzridki tkiii gözlmlmk. GENEL BİLGİLER

Detaylı

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları İspalarıyla Türev Ala Kuralları Muarre Şai dy f( ) f() y f() y f () li d 0. f() a (a R) ise f ()? f( ) f() a a f () li li 0 0 f () 0 5. f() ise f ()? f () li 0 ( ) ( ) f () li 0 ( ) f () li li 0 ( ) 0.

Detaylı

Deney 2: Fark Denklemleri ve Sayısal Süzgeçlerin Geçici Davranışları Ve DZD Sistemlerin Frekans Yanıtının Frekans Bölgesinde Gösterilimi

Deney 2: Fark Denklemleri ve Sayısal Süzgeçlerin Geçici Davranışları Ve DZD Sistemlerin Frekans Yanıtının Frekans Bölgesinde Gösterilimi TEL - D : Fark Dklmlri v Saısal Süzgçlri Gçici Davraışları V DZD Sistmlri Frkas Yaıtıı Frkas Bölgsid Göstrilimi Amaç Bu di amacı, doğrusal, zamala dğişm (DZD) arık zamalı sistmlri fark dklmi göstrimii

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 2007 SORULARI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 2007 SORULARI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 007 SORULARI Doğuş Ünivrsitsi Matmatik Kulübü tarafından düznlnn matmatik olimpiyatları, fn lislri takım yarışması sorularından bazıları

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS MTEMTĐK ĐM YILLR 00 003 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - HREKET PROLEMLERĐ Hız msaa verildiğinden süre de saa olmalıdır lınan yol : x Hız: Zaman : ir araç x yolunu hızıyla sürede alır Yol Hız

Detaylı

VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON

VİNÇTE ÇELİK KONSTRÜKSİYON 0 Haziran www.guvn-kua.h VİNÇTE ÇEİ ONSTRÜSİON ÖZET _09 M. Güvn UT Smbollr v anaklar için "_00_ClikonsruksionaGiris.do" a bakınız. oordina ksnlri "GENE GİRİŞ" d blirildiği gibi DIN 8800 T gör alınmışır.

Detaylı

Elektrik Akımı. Elektrik Akımı, devam. Akım ve sürüklenme hızı. Akım ve sürüklenme hızı, devam. son. Bölüm 27 Akım ve Direnç

Elektrik Akımı. Elektrik Akımı, devam. Akım ve sürüklenme hızı. Akım ve sürüklenme hızı, devam. son. Bölüm 27 Akım ve Direnç Böü 7 Akı v Dirç Ektrik akıı Dirç v oh yasası Ektrik itkik içi bir od Dirç v sıakık Ektrik rjisi v güç Probr Ektrik Akıı Hr zaa bzr işarti ktrik yük harkti varsa, ktrik akıı var dir. Akı, bu yüzyd gç yükri

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

kirişli döşeme Dört tarafından kirişlere oturan döşemeler Kenarlarının bazıları boşta olan döşemeler Boşluklu döşemeler Düzensiz geometrili döşemeler

kirişli döşeme Dört tarafından kirişlere oturan döşemeler Kenarlarının bazıları boşta olan döşemeler Boşluklu döşemeler Düzensiz geometrili döşemeler Kirişli döşmlr Dört tarafından irişlr oturan döşmlr Knarlarının bazıları boşta olan döşmlr Boşlulu döşmlr Düznsiz gomtrili döşmlr bir tarafı irişli üç tarafı boşta döşm (Konsol döşm) Đi tarafı irişli ii

Detaylı

= + ise bu durumda sinüzoidal frekansı. genlikli ve. biçimindeki bir taşıyıcı sinyalin fazının modüle edildiği düşünülsün.

= + ise bu durumda sinüzoidal frekansı. genlikli ve. biçimindeki bir taşıyıcı sinyalin fazının modüle edildiği düşünülsün. 4.2. çı Modülasyonu Yüse reanslı bir işaret ile bilgi taşıa, işaretin genliğinin, reansının veya azının bir esaj işareti ile odüle edilesi ile gerçeleştirilebilir. Bu üç arlı odülasyon yöntei sırasıyla,

Detaylı

Bölüm V Darbe Kod Modülasyonu

Bölüm V Darbe Kod Modülasyonu - Güz Bölüm V Dare Kod Modülasyonu emel Bilgiler Bi nerjisi Gürülü Gücü İlinisel lıcı Uygun Süzgeçli lıcı Bi Haa Olasılığı Semoller rası Girişim DKM ve Ha Kodlama DC veya Bilgisayardan sayısal daa k Semol

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com 1 v 2 SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ 20082006 riid ypıl ks syımıd ksd 585 ABD Dlrı ($) ldğ blirlmişir Ayı ri iibriyl Dlr Kssı l sbıı brç plmı 26845 $, lk plmı 26320 $ lrk izlmkdir B rkı

Detaylı

Makine Öğrenmesi 4. hafta

Makine Öğrenmesi 4. hafta ain Öğrnmsi 4. hafta Olasılı v Koşullu Olasılı ays Tormi Naïv ays Sınıflayıcı Olasılı Olasılı ifadsinin birço ullanım şli vardır. Rasgl bir A olayının hrhangi bir olaydan bağımsız olara grçlşm ihtimalini

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

GELİR TABLOSU NET SATIŞLAR BRÜT SATIŞ KARI/ZARARI ESAS FAALİYET KARI/ZARARI. fuathoca.net 1

GELİR TABLOSU NET SATIŞLAR BRÜT SATIŞ KARI/ZARARI ESAS FAALİYET KARI/ZARARI. fuathoca.net 1 İlk Mdd Mlzm DB Dirk İlk Mdd Mlzm Sğ Döm içi Dirk İlk Mdd Mlzm lımı (+) Kllılbilir Dirk ilk Mdd Mlzm DS Dirk İlk Mdd Mlzm Sğ(-) Kllıl Dirk İlk Mdd Mlzm Kllıl Dirk İşçilik Gidri Kllıl Gl Ürim Gidri Tplm

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Sisteme gire aışaı eerjisi; ieti, potasiyel, aış eerjileri ile i eerjii toplamıda oluşmata olup, Q m& g m& Z g Z z0 ref. E g E + E p + u+ E A + gz +u+

Sisteme gire aışaı eerjisi; ieti, potasiyel, aış eerjileri ile i eerjii toplamıda oluşmata olup, Q m& g m& Z g Z z0 ref. E g E + E p + u+ E A + gz +u+ 4. BÖLÜM AÇIK SİSEMLERDE ERMODİNAMİĞİN I. KANUNU Aı aışlı sistemleri sııfladırılması Aı Sistem Aışlı Kararlı aışlı Kararsız aışlı dm dm 0 m& g m& 0 m& g m& dt dt Not: Aı sistemlerde eerji depolaması sözousu

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Akustik Eko Yok Etme Uygulamasında Uyarlamalı Hammerstein Filtre Yakla

Akustik Eko Yok Etme Uygulamasında Uyarlamalı Hammerstein Filtre Yakla Asti Eo Yo Etm Uyglamasıda Uyarlamalı Hammrsti Filtr Yalaşımları Hammrsti Filtr Approahs i th Appliatio of Aosti Eho Callatio ğba Özg ÖZDİÇ, Rıfat HACIOĞ U Eltri v Eltroi ühdisliği Bölümü Zoglda Karalmas

Detaylı

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problemleri

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problemleri DERS 9 Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problmlri Bundan öncki drst bir fonksiyonun grafiğini çizmk için izlnbilck yol v yapılabilck işlmlr l alındı. Bu drst, grafik çizim stratjisini yani grafik çizimind

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri Lisans Yrlşirm Sınavı (Lys ) 8 Haziran Mamaik Soruları v Çözümlri. (,5) işlminin sonucu kaçır?, A) 5 B) C) 5 D) E) Çözüm (,5), 5 ( ) ( ) 5 ( ) ( ).( ) 5 ( ) 5 5 6 . < < olduğuna gör, aşağıdakilrdn hangisi

Detaylı

DERS 7. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar II

DERS 7. Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar II DERS 7 Türv Hsabı v Bazı Uygulamalar II Bu rst bilşk fonksiyonlarının türvi il ilgili zincir kuralını, üstl v logaritmik fonksiyonların türvlrini, ortalama v marjinal ortalama ğrlri; rsin sonuna oğru,

Detaylı

C L A S S N O T E S. Sinyaller & Sistemler - Sinyaller VEKTÖRLER

C L A S S N O T E S. Sinyaller & Sistemler - Sinyaller VEKTÖRLER Syaller & Ssemler - Syaller VEKTÖRLER Veörler belrl yö, doğrl e büyülüe zl doğr parçalarıdır. Yöledrlmş doğr parçaları yalış değl, aca es br aımlamadır. Doğrl e yö aramlarıda dolayı eörler belrl oordalara

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 İiylılık : Olsı Gidrlr içi iiylı dvrılıp krşılık yrılır Olsı glirlr içi krşılık yrılmz 120 ALICILAR HS 128 HS 121 ALACAK SNT HS 129 ALACAK KARŞ HS (-) Alğı şüpli drm glmsi 128 ŞÜP TİC HS XXX 120 ALICILAR

Detaylı

6 (saatte 6 müşteri aramaktadır), servis hızı ise. 0.6e

6 (saatte 6 müşteri aramaktadır), servis hızı ise. 0.6e İST KUYRUK TEORİSİ ARASIAV SORULARI ( MAYIS ). Bir baaı müşteri hizmetleride te işi hizmet vermetedir. Müşteriler ortalama daiada bir arama yapmatadır bua arşı ortalama servis süresi ise daia sürmetedir.

Detaylı

Kurumsal Kaynak Planlaması ile Üretim Sistemi Arasındaki Bilgi Alışverişi

Kurumsal Kaynak Planlaması ile Üretim Sistemi Arasındaki Bilgi Alışverişi . Kurumsal Kayak Plalaması il Ürtim Sistmi Arasıdaki Bilgi Alışvrişi Doç. Dr. Aysi Yltki & Birca Şş EST Erji Sistm Tkolojilri Saayi,İç v Dış Ticart Ltd. Şti.,İstabul ÖZET Çağımızda, ürtim şirktlrii global

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir?

ÇÖZÜM.1. S.1. Uyarılmış bir hidrojen atomunda Balmer serisinin H β çizgisi gözlenmiştir. Buna göre,bunun dışında hangi serilerin çizgileri gözlenir? KONU:ATOM FİĞİ ebuyukfizikci@otmail.com HAIRLAYAN ve SORU ÇÖÜMLERİ:Amet Selami AKSU Fizik Öğretmei www.fizikvefe.com S.1. Uyarılmış bir idroje atomuda Balmer serisii H β çizgisi gözlemiştir. Bua göre,buu

Detaylı

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Seyit Ahmet AKDAĞ, Öder GÜLER İstabul Tei Üiversitesi, Eerji

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

İŞLEM KURALLARI BİLDİRİM FORMU

İŞLEM KURALLARI BİLDİRİM FORMU İŞLEM KURALLARI BİLDİRİM FORMU SERMAYE PİYASASI KURULU'NUN YAPTIĞI DEĞERLENDİRME SONUCUNDA, BORSA İSTANBUL A.Ş. DE İŞLEM GÖREN PAYLAR A, B, C v D GRUBU OLMAK ÜZERE DÖRT GRUBA AYRILMIŞ OLUP, GRUPLAR İLE

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2 Ayrı Sistemler Eletri&Eletroi Mü. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deey 2 Prof. Dr. Aydı Aa Dr. Erol Öe Baatti Karaaya Koray Sistemleri Özellileri 1. Doğrusallı Liearity: y a ay Ölçeleme scalig, a armaşı

Detaylı

DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 10. BÖLÜM WDM YAPILARI VE ELEMANLARI

DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 10. BÖLÜM WDM YAPILARI VE ELEMANLARI DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 10. BÖLÜM WDM YAPILARI VE ELEMANLARI Tek bir fiber üzeride veri taşıma kapasitesii çok büyük ölçüde artmasıı sağlamıştır. Buula birlikte,

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum-Minimum Problemleri. 9.1. Grafik çiziminde izlenecek adımlar. y = f(x) in grafiğini çizmek için

DERS 9. Grafik Çizimi, Maksimum-Minimum Problemleri. 9.1. Grafik çiziminde izlenecek adımlar. y = f(x) in grafiğini çizmek için DERS 9 Grafik Çizimi, Maksimum-Minimum Problmlri 9.. Grafik çizimind izlnck adımlar. y f() in grafiğini çizmk için Adım. f() i analiz diniz. (f nin tanım kümsi, f() in tanımlı olduğu tüm rl sayıların oluşturduğu

Detaylı

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 5

FIRAT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EMÜ-419 OTOMATİK KONTROL LABORATUARI DENEY 5 FIRT ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FKÜLTESİ ELEKTRİKELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ EMÜ419 OTOMTİK KONTROL LORTURI DENEY 5 PID KONTROLÖR KRKTERİSTİKLERİNİN İNELENMESİ VE NLOG OLRK POZİSYON KONTROL SİSTEMLERİNDE

Detaylı

Hava Kirliliği Yönetimi ve Modelleme Çalışmalarında Karışım Yüksekliği. Parametresinin Önemi ve Hesaplanması

Hava Kirliliği Yönetimi ve Modelleme Çalışmalarında Karışım Yüksekliği. Parametresinin Önemi ve Hesaplanması Haa Kirliliği Yötimi Modllm Çalışmalarıda Karışım Yükskliği Özt Paramtrsii Ömi Hsaplaması Frhat Karaca, İsmail Aıl Fatih Üirsitsi, Çr Mühdisliği Bölümü, 34500, Büyükçkmc, İstabul (fkaraca@fatih.du.tr,

Detaylı

Calculation of Spontaneous Emission Decay Rates of an Electron Moving in a Uniform Magnetic Field

Calculation of Spontaneous Emission Decay Rates of an Electron Moving in a Uniform Magnetic Field D.Ü.Ziya Gökalp Eğitim Fakülti Drgii 9, 1-17 (007) DÜZGÜN ANYETİK ALANDA HAREKET EDEN GÖRELİ ELEKTRON İÇİN KENDİLİĞİNDEN YAYA YARI ÖÜRLERİNİN HESAPLANASI Calculatio of Spotaou Emiio Dcay Rat of a Elctro

Detaylı

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 7. Seviye Düzlemi

İ.T.Ü. Makina Fakültesi Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 7. Seviye Düzlemi İTÜ Makina Fakültsi Ağırlığın Potansiyl Enrjisi W=, δh kadar yukarıya doğru yr dğiştirsin, Virtül iş, δu = Wδh= δh NOT: Eğr cisi aşağıya doğru δh yr dğişii yapıyorsa v +h aşağıya doğru is δu = Wδh= δh

Detaylı

Bölüm I Sinyaller ve Sistemler

Bölüm I Sinyaller ve Sistemler - Güz Haberleşme Sisemleride emel Bilgiler Güz - uay ERŞ. Haa Bölüm I Siyaller ve Sisemler emel Bilgiler Siyaller ve Sııladırılması Güç ve Eerji Furier Serileri Furier rasrmu ve Özellikleri Dira Dela Fksiyu

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI FREKANS CEVABI YÖNEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI G(s (r(t ı Laplace döüşümü; A(s B(s A(s (s p (s p L(s p C(s G(sR(s R(s R s A(s B(s R(s A(s R a C(s L B(s s s j s j s p a b b s

Detaylı

İNTEGRAL KONU ANLATIMI ÖRNEKLER

İNTEGRAL KONU ANLATIMI ÖRNEKLER İNTEGRL KONU NLTIMI ÖRNEKLER Ġtgrl lmk, türi ril ir oksio lmk tır d,, d oksio olrk rildiğii =F i istdiğii rslım d içi i cid idsi: d = + dir, hrhgi ir sit df d koģl sğl = F oksio i gör itgrli dir d F içimid

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

İlk Tanımlar. Dışmerkezlik ve Konikler. Tanım-1. Tanım-2. Tanım-3. e koniğin dışmerkezliği; - MF p koniğin parametresi;

İlk Tanımlar. Dışmerkezlik ve Konikler. Tanım-1. Tanım-2. Tanım-3. e koniğin dışmerkezliği; - MF p koniğin parametresi; Konilr ışmrzli v aramtr uharrm Şahin İl anımlar anım- Bir oğru v bunun ışınai bir notanın blirttiği üzlm, notaya uzalılarının oğruya uzalılarına oranı sabit olan notaların gomtri yrin oni nir. abit olara

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 5: Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi. LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 5: Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi. LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı ..5 El Alınc An Konulr LI sismlrin rmşı üsl işrlr ynıı Sürli-zmn priyodi işrlrin Fourir srisi gösrilimi Hf 5: Priyodi İşrlrin Fourir Srisi Gösrilimi Fourir srisinin yınslığı Sürli-zmn Fourir srisinin özllilri

Detaylı

Bilgi Tabanı (Uzman) Karar Verme Kontrol Kural Tabanı. Bulanık. veya. Süreç. Şekil 1 Bulanık Denetleyici Blok Şeması

Bilgi Tabanı (Uzman) Karar Verme Kontrol Kural Tabanı. Bulanık. veya. Süreç. Şekil 1 Bulanık Denetleyici Blok Şeması Bulanık Dntlyicilr Bilgi Tabanı (Uzman) Anlık (Kskin) Girişlr Bulandırma Birimi Bulanık µ( ) Karar Vrm Kontrol Kural Tabanı Bulanık µ( u ) Durulama Birimi Anlık(Kskin) Çıkış Ölçklm (Normali zasyon) Sistm

Detaylı

Eğitim-Öğretim Güz Yarıyılı Diferansiyel Denklemler Dersi Çalışma Soruları

Eğitim-Öğretim Güz Yarıyılı Diferansiyel Denklemler Dersi Çalışma Soruları - Eğiim-Öğrim Güz rıılı Difril Dklmlr Dri Çlışm Sorlrı 6 // Aşğıd vril kvv rilrii kıklık rıçplrıı lirliiz. = = di ok civrıd kvv rii rdımıl vril difril dklmlri çözüüz. - -= - + -= - + += dklmii kil oklrıı

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

ISI GERİ KAZANIMI (Çapraz Akış) DENEY FÖYÜ

ISI GERİ KAZANIMI (Çapraz Akış) DENEY FÖYÜ ISI GERİ KAZANIMI (Çapraz Akış) DENEY FÖYÜ (Dny Yürüücüsü: Arş. Gör. Doğan ERDEMİR) Dnyin Amacı v Dny Hakkında Gnl Bilgilr Dnyin amacı sı gri kazanımı (çapraz akış) sismlrind;. Sıcaklık dğişimlrinin ölçümü

Detaylı

Hafta 7: Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü

Hafta 7: Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü Hf 7: Sürli-zmn ourir Dönüşümü El Alınc An Konulr Sürli-zmn ourir dönüşümü Sürli-zmn priyodi işrlr için ourir dönüşümü Sürli-zmn ourir dönüşümünün özllilri Doğrusl, sbi syılı difrnsiyl dnlmlrl nımlnn sismlr

Detaylı

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır.

RASGELE SÜREÇLER. Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır. RASGELE SÜREÇLER Eğer bir büyülüğün her t anında alacağı değeri te bir şeilde belirleyen matematisel bir ifade verilebilirse bu büyülüğün deterministi bir büyülü olduğu söylenebilir. Haberleşmeden habere

Detaylı

Değişkenlik (Yayılım) Ölçüleri

Değişkenlik (Yayılım) Ölçüleri Değşel (Yayılım) Ölçüler İ arlı aaütley brbrde ayırma ç her zama yalızca yer ölçüler yeterl olmayablr. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla ve geellle artmet ortalama etraıda değşm date alara heaplaa

Detaylı

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C BLS Öcei erste; DN izilerie,,g, bazlarıı izilişi, RN izilerie,,g,u bazlarıı izilişi ve protei izilerie amio asitleri izilişi baımıa, orta bir alfabe ile yazılmış izileri hizalaması üzerie urulu. Hizalamış

Detaylı

MERAKLISINA MATEMATİK

MERAKLISINA MATEMATİK TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz

Detaylı

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet Hiperboli Küresel Uzaylarda Bir Simetri Dörtyüzlüü Hacmi Üzerie Bai KARLIĞA arliaga@gazi.edu.tr Gazi Üirsitesi Fe Edebiyat Faültesi atemati Bölümü 06500 Aara T.oullar/Aara urat SAVAŞ msavas@gazi.edu.tr

Detaylı

BÖLÜM 4 LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ

BÖLÜM 4 LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ BÖLÜM LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ GİRİŞ Dnklm sismlrin linr cbir drsindn şin olmlısınız Anck bu ür dnklmlrd hrhngi bir difrnsiyl büyüklük vy ürv bulunmz Bşk bir dyişl cbirsl dnklm sismi, y (

Detaylı