BÖLÜM II 2. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ. 2.1 Giriş

Transkript

1 BÖLÜM II. FOURIER DÖNÜŞÜMÜ. Giriş Yr ürmizd gözl joizi olaylar zamaa yada uzalığa bağlı olara glişir. Gözl joizi olay zamaı bir osiyou is zama oramı im Domai uzuluğu bir osiyou is uzalı oramı Spac Domai sözousudur. Şay olay rasa bağlı olara gözlmiş yai rası bir osiyou is ras oramı Frqucy Domai da söz dilir. Hrhagi bir oramda ayddilmiş joizi siyaldi bilgilri amamıı bu oramda açı sçi görüp işlyip souçları dğrldirm olay haa olaalı olmayabilir. Bu gibi durumlarda vri gözldiği oramda başa bir orama aarılara iclip irdldi sora bir souca varılır. Grir is iici bir aarma il vrii gözldiği il orama gri döülbilir. Örği; zama oramıda ayddilmiş bir sismi siyal ras oramıa aarılara ismy bilşlri ayıladıa sora rar zama oramıa gri döülbilir. Fras oramıda yapıla bu ayılama işlmi zama oramıda yapılma issydi bir aım sorularla arşılaşılabiliirdi. Buu gibi hrhagi bir oramda gözlmiş bir siyali başa bir orama aarılmasıa döüşüm v aarma ilri d döüşüm yömlri dir. Fourir Laplac Hal Hilbr Z döüşümü gibi çşili döüşüm yömlri glişirilmişir. oram v döüşüm avramlarıı daha iyi alaşılması içi ras çözümlmsi yapa ışı prizmasıı gözd gçirilmsi daha yararlı olacaır Şil.. Byaz ışığı opi prizmaya vrildiği araa A arlı rasa ydi ayrı r şlidi bilşlrii ld dildiği araa da B diylim. rsi prizmaı B araıda bu ydi r vrilirs A araıda byaz ışı ld dilcğii biliyoruz. Burada gr A bölgsi grs B bölgsi ayı bilgiyi aımlamaa aca olaya baış açısı arlıdır.

2 Yuarıdai ör sadc byaz ışığı iclmsi aya haıda hiç bir bilgi vrmybilir. Bua arşılı prizmada gçirilip ayrışırılara arlı rasai bilşlri diğr bir dyişl sprumu ld dilirs bilşlrii dalga boyu vya rasları miarları v birbirlri oraları iclr byaz ışığı vr ayağı bilşimi ısısı v ou mydaa gir malzmi yapısı haıda ço ayrıılı bilgilr ld dilbilir. Buu gibi zama srilrii zama vya güç sprumlarıı iclmsi ou yapısı vya orijii haıda ömli bilgilr vrbilir. Diğr yollarla bu bilgilri sağlaması olaalı olmayabilir. Şil. Byaz ışığı opi sprumu Logarima işlmi aslıda bir döüşüm işlmid başa birşy dğildir. Örği çarpma işlmii yapma içi çarpalar öc Log oramı a döüşürülür. Hsaplamalar bu oramda yapılır Bilidiği gibi çarpma işlmi Log oramıda oplama işlmi döüşür. Daha sora rs döüşüm işlmi Ai Logarimi Oram il orijial orama döülür Şil.. Orjial Oram r- Oramı İmaj Oramı s- Oramı r'yi içr oram Uygu Döüşüm İşlmi Fosiyo Fs olur. r- Oramıda Problmi Çözümü Şil. Logarimi döüşüm aış şması rs Döüşüm İşlmi 8 s- Oramıda Çözüm

3 Örği; Log Döüşüm yömlri vri işlmciy büyü olaylılar sağlar. Döüşüm işlmid; vrii özllilri dğişirilmd zama oramıda ras oramıa vya uzalı oramıda dalga sayısı oramı gibi başa bir orama gçilmdir. Iyi bir döüşüm yömii gri döüşümü d olmalıdır Şil.3. Örği; zama oramıda ras oramıa gçilmiş is ras oramıda rar zama oramıa döülbilmlidir. X ORAMI Y ORAMI Şil.3 Iyi bir döüşüm yömi çi yölü olmalıdır... Sprum Kavramı Zama oramıda gözlmiş vrilri ras oramıa aarılması il ld dil vrilr sprum adı vrilir. Zama oramıdai rji vya gli gibi büyülülri ras oramıda ras vya dalga sayısı gibi paramrlr gör dğişimii blirm içi ullaılır. Mamai olara şlid gösril bir siyali sprumu Fω il vrilir. Buradai ω açısal rasır. Sprumu iad d Fω osiyou armaşı compl olup aşağıdai ii şild birisi il gösrilbilir Al Sadi 98 s. 7. Grçl v saal ısımları oplamı olara F ω a ω ib ω Grçl v saal ısımları çarpımı şlid i ω ω φ F ω F. Burada; [ ] / F ω a ω + b ω b ω φ ω + a ω olup F ω modülü gli a ± ±... φω argümaı is az sprumu olara adladırılır. 9

4 . Fourir Döüşümü Fourir döüşümü; bir aım siüsoidal osiyoları oplamıda oluşuğu düşüül bir osiyouu bilşlri ayırıp hr bilşi gliğii buluması sasıa dayaır. Daha öc dğiildiği gibi Fourir döüşümü zama oramıda im domai ras oramıa rqucy domai gçişi sağlaya rsiir bir araçır. Şil. d byaz ışı yri sismi siyali oyara ara yri is oram dyimlri ullaılara döüşüm avramıa doğru bir gçiş sağlaabilir Şil.4. ZAMAN Şil.4 Fras aalizi yapa opi prizma; zama vya özl oramıdai byaz ışığı ras oramıda r sprumua döüşürür. Zama oramıdai bir olayı ras oramıdai gösrimi ou sprumu dir. Zama oramıdai bir dizi gli dğri il alaıla bilgii ras oramıdai gösrimi gli v az sprumu il olur. Glilri rası osiyou olara gösrilişi gli sprumu v yi az açılarıı rası osiyou olara gösrilişi is az sprumu dir. Glilri arlrii rası osiyou olara gösrilişi güç yoğuluğu sprumu dir v zama dizisii öz ilişi osiyouu Fourir döüşümü şdğrdir. Fourir döüşümü amamıyl doğrusal bir işlmdir. Yai oramlarda birid zama vya ras yapıla bir işlmi diğr oramda mulaa bir arşılığı vardır. Bilgii hr ii oramdai alaımları şi silidir. Aca bazı işlmlri grçlşirilmsi oramlarda domai birid diğri gör daha olay olabilir.

5 Ço giş bir uygulama alaıı oluşu v çşili oulardai bir ço problmi çözümüd ullaılmaa olması diyl Fourir döüşümü üzrid olduça ayrıılı biçimd durulacaır. Bu döüşüm gli v az dğrlri gibi ii ömli izisl büyülü oluşup armaşı bir sayı il iad dilir... Fourir Kuramı Frasız mamaiçisi Josph Fourir i 87 d oraya oyduğu v di adıyla bili Fourir uramıa gör bazı uşulları sağlaya hrhagi bir osiyou sosuz sayıda rigoomri osiyoları oplamı olara gösrilbilir Şil.5. Fourir uramı bazı uşullarda gçrlidir. Drichl uşulları olara bili bu ısılamalar aşağıda özlmişir Drichl osiyou pryodiir. Yai + olup buradai pryod v ± ±... dir. osiyou pryodi dğil aa sıırlı bir aralıa aımlamış is sosuz sayıdai siüsoidal dğişimlri oplamı blirl aralıa yi y yalaşmalıdır. Bu aralığı dışıda oplam i rarlarıı gösrcir. Şil.5 Hrhagi bir osiyo blirli şarlarda sosuz sayıda siüsoidi oplamı oplamı şlid gösrilbilir.

6 - osiyou sürli azıda blirli aralılarda sürli olmalı v sürsizlilri sayısı sıırlı olmalıdır. 3- osiyouu bir pryod içidi masimum v miimum sayısı solu olmalıdır. 4- osiyou bir pryod aralığıda solu yai / / d solu < igralii yaısamalıdır. Fourir srisi açılaca bir osiyouu bu şarları hpsii d sağlaması şar dğildir. Bu dl Fourir aalizi p ço osiyoa uygulaabilir. Zira uygulamada arşılaşıla osiyoları p çoğu yuarıdai uşullarda az birii sağlar... Fourir Srilri Fourir uramıa gör Drichl oşullarıı sağlaya bir osiyou aşağıdai gibi sosuz sayıda siüs v osiüs rimlrii oplamıda oluşa rigoomri bir sri il gösrilbilir. a + a cosω + a cos ω + a cos3ω +L L + b siω + b si ω + b3 si 3ω +L 3 a + a cosω + b siω. Bu sriy Fourir srisi dir. Burada idisi harmoi a a v b bu harmoilrai Fourir asayıları olup ω /Τ açısal rasır. Vril bir osiyouu Fourir srisi açılımıa harmoi aaliz dir. Yuarıda vril dlm. a + c cos + ω φ şlid d yazılabilir. Burada c harmoi osiyou dir. Burada harmoi gliği; a b c + cos ω φ + gl rimi osiyouu.ci

7 v φ az açısı a φ a b / olara iad dilir. Fourir asayılarıı bulma içi. dlmii hr ii araı sırası il cos ω v m si mω il çarpılıp siüs v osiüs osiyolarıı v / m si m si d cos m cos d m m cos si d Büü m v dğrlri içi orogoali dili özlliği göz öü alıara am bir pryod aralığıda igr dilirs aa v b a a b d cos ω d si ω d. Fourir asayıları buluur. Buradai m v amsayılardır. Görüldüğü gibi a / asayısı osiyouu arimi oralamasıdır. Pryodi bir osiyou Fourir srisi il gösrilmsi bu osiyou dğişi raslardai siüzoidlri oplamı olara gösrmir. ω ω rasıdai siüoidal bilş sriy açıla osiyou ici harmoiği dilir. Il harmoiği rası ω cps dvir/saiy vya Hz Hrz olup ml açısal ras dir. pryodu is osiyou pryodua şiir v ml pryod olara adladırılır. 3

8 Dlm. il vril Fourir srilri sosuz sayıda rim alıdığı zama yai bird sosuza adar dğrlr vrildiğid aca osiyou am olara gösrilbilir. Solu sayıda rim alıırsa bulua oplam i bir sürsizli civarıdai dğrlrid büyü dğrlr gösrir. Bu dğrlr gliği sürsizli uzalaşıça Kalama Gliği Fourir Srisii İl 3 rimii oplamı Fourir Srisii İl 9 rimii oplamı Şil.6 sr ağzı osiyouu Fourir srisi açılımıda solu sayıda rimi alıması GIBSS olayıı doğurur Al Sadi 98 azala salıımlar gösrir. rim sayısıı arırılması sürsizlii haaı büyülüğüü azalmaz aa i sürli ısımları içi daha iyi bir yalaşım sağlar. Bu şild haaları salıımlar gösrmsi gibss olayı dir Şil v Çi Fosiyoları Fourir Srilri Fourir srisi açılaca ola osiyouu çi yai - vya d. d olması halid böyl bir osiyou Fourir srisi; + a a cosω.3 olup büü dğrlri içi b dır. 4

9 Şay sriy açılaca osiyo yai - - vya d is böyl bir osiyou Fourir srisi b si ω.4 olup büü dğrlri içi a v a dır. Çi osiyoları Fourir srisi açılımıda yalızca osiüslü rimlr olduğuda dlm.3 il vril açılıma osiüs srisi dilir. osiyoları açılımıda yalızca siüslü rimlr buluduğuda.4 açılımıa siüs srisi dilir..3 Fourir Srilrii Karmaşı compl Şli Fourir srilrid rigoomri osiyolar yri armaşı ompls iadlr ullaılara sri il ilgili hsaplar basilşirilbilir. Dlm. il vril srid rigoomri iadlr yri Eulr ormülü il vril cos ω iω + iω iω iω si ω i üsl arşılıları oulara. dlmi aşağıdai iω iω iω iω a + + a + b i şlid yazılabilir. Burada /i -i v i - / olduğu dia alıara yi bir düzlm il yuarıdai dlm a ib a ib a iω + iω şlid yazılır. Burada a içi c a ib 5

10 v içi c a + ib oulara iω iω c + [ c + c ] armaşı Fourir srisi ld dilir. So olara yuarıdai.6 dlmi aşağıdai şild iω c + c + yazılara armaşı Fourir srisi c iω.6 iω c.7 şlid ld dilir. Bu iad aşağıdai şild d yazılabilir bir ço yayıda bu iad ullaılır. c + c ω + φ cos.8 Burada c cosω+φ rimi osiyouu ici harmoiği c asayısıa harmoi gliği v φ açısıa is harmoiği az açısı dir. Ödv:.7 vya şdğri ola. bağıısıda.8 bağıısıa gçiş işlmii gösriiz. c il a v b asayıları arasıdai ilişi aşağıdai şild ld dilir..6 bağıılarıda > içi a ib c bu bağııda a v b dğrlrii oyarsa c cos d i cos [ isi ] d si d c d i.9 ilişisi ld dilir. Bzr şild c a + ib i d. 6

11 buluur. Hr iisii.9 v. birli ± ±... amsayı olma üzr i c d ormül il gösrbiliriz.. Uygulamada grç olaylar gözlip ölçülür. Bu baımda joizi vrilri işlip problmlri çözümüd ullaıla hsaplamalar grç büyülrl ilgili olduğuda armaşı olara bulua souçlar grç büyülülr çvrilmlidir. Eğr bir grçl osiyo is.6 dlmid c - asayısı c i armaşı şliği compl cojuga c * c - dir. Bu durumda.7 dlmi * c c c şlid yazılır. Burada iφ [ a b ] v c c iφ. c +.3 φ a b / a dir. Bu bağıılar dışıda büü dğrlri içi doğrudur c asayısıa harmoi gliği v φ açısıa is harmoi az açısı dildiği daha blirilmişi. Bu c Fourir asayılarıı açısal ras ω ya arşı grai çizimi osiyouu gli sprumu v ayı şild φ az açılarıı çizimi is az sprumuu adı vrlir. Bu sprumları grçl ral v saal imagir bilşlrl iadsi: a a c i * c + c i c + c R c * c c i c c I c.4 b i m olduğuda göz öü alıara.3 dlmid çıarılabilir. Burada R v I m oasyoları c i grçl v saal ısımlarıı blirmdir..4 Fourir Igrali v Fourir Döüşümü Buraya adar ola iclmlrd osiyou pryodi abul dildi. Oysa uygulamada arşılaşıla problmlrd çoğu z pryodi osiyo bulumaz. Bu ür olaylar bir z mydaa glir v bir daha rarlamaz. Pryodi olmaya bu ür osiyolar içi Fourir srisi ullaılmaz. Bu durumda icl boyudai vri sosuzda pryodimiş gibi düşüülr uygu bir açılım ld dilbilir. Bu ür problmlri çözümü yai pryodi olmaya osiyoları Fourir srilri il gösrilbilmsii Fourir igrali sağlar. 7

12 Hr solu -/ / aralığıda Dirichl oşullarıı sağlamaya v - + aralığıda yaısaya osiyouu armaşı compl Fourir srisii v yi iω c c / ω / olduğuu biliyoruz. ω.7 i d. So bağııda gçici olara dğiş döüşümü yapalım v c i dğrii il bağııdai yri /ω oyalım..5 / / iωo iω d v burada yri oyara / iωo iω d ω.6 / şlid yazalım. olur ml ras ω / sosuz üçü dğr alır. ω ω sürli bir dğiş döüşür. Yai birbirii izly ardışı ii ras arasıdai ar ω + ω + + ω ω + ω ω ço üçü olur. Bu durumda ω ω çarpımı sürli bir ω dğişi yalaşır..6 bağıısıda ω ω alıırsa i ω d i ω ω.7 olur. sosuz v ω dω ya giiği limi durumuda ω da ω ya gidr ω harmoi raslarıa gör hsaplaa c asayılarıı çizimi sürlili azaır v.7 bağıısıdai oplam igral döüşür: iω iω d dω.8 8

13 Bu bağııya pryodi olamaya osiyolar içi Fourir igrali dir. Içi igrald yri oyarsa iω d F ω.9 i ω ω F dω. olur. Bu so ii bağıı pryodi osiyolar içi olmaya zama v ras vya Fourir oramı aımlamalarıdır..9 bağıısı osiyouu Fourir döüşümü. bağıısı da Fω ı rs Fourir döüşümü dür. Fω v y Fourir çii dir..8 bağıısı il vril Fourir igralii gçici vrilri Fourir çii.9 v. igrallrii gçrli olması içi d sıırlı <. olmalıdır. Bu oşul yrli aca hr zama grli dğildir. Fourir igralii varlığı içi Dirichl oşullarıı bazılarıı sağlaması grir. Buu dışıda i sıırlı bir aralıa sürsizlilrii sıırlı olması gibi uygulamada arşılaşıla vrilr içi hr zama sağlaa oşul yrli olmaadır. Fω armaşı olduğuda F ω a ω ib ω F i ω φ ω yazılabilir. Burada Fω armaşı osiyou modülü iφω is argümaı dır. b ω saal F ω Φω a ω grçl Şil.7 Fourir sprumuu bilşlri F ω a ω b ω φω a b ω a ω..3 9

14 Fω ya i gli sprumu φω ya az sprumu dir. φω yri baz -φω ullaılır. Bua da az-gcim sprumu dir. Ömli aım v irdlmlr yapılır ullaıla ω açısal rası yri uygulamada rası ullaılır. Bu dl.9 v. bağıılarıda ω v dωd dğişimi yapılırsa i d F.4 i F d.5 biçimlri ld dilir. F armaşı olduğuda F a ib.6 iφ F.7 yazılabilir. a v b F i grçl v saal bilşlridir. i gli sprumu F a + b.8 v az sprumu b φ a a.9 bağııları il vrilir. Fourir döüşümüd dia dilmsi gr bir ou F i birimidir..4 bağıısıda görülcği gibi F i birimi vrisii birimi il i birimii çarpımıa şiir. Örği i VolV i is saiys olması durumuda F i birimi Vs olacaır. Eğr s yri /Hz yazılaca olursa F i birimi V/Hz olara vrilbilir. Bu birim ras başıa düş gli yoğuluğu olara biliir v özllil F gli yoğuluğu sprumu olara da adladırılır. F i azıı vr.9 bağıısıda φ birimsiz yai radya olmasıa arşı yuarıda açılaa F i biçimi çağrışım yapması içi φ az yoğuluğu sprumu olara da adladırılırmaadır.

15 grçl bir osiyo olduğuda F i grçl v saal bilşlri a v b sırasıyla osiüs v siüs döüşümlrid ld dilir. Ayrıca aa- yai a bir çi osiyo b -b- yai b bir osiyodur. Bular.4 bağıısıda i cos i si oulara gösrilbilir: olur. Yai F i d cos d i si d a ib.3 a cos d.3 b si d.3 dir. So ii bağııda yri - oulduğuda a cos d cos d a.33 b si d si d b.34 olur. aa- v b- -b olduğuda F a ib a + ib F.35 olur. Burada * simgsi armaşı şliği gösrm içi ullaılmışır..35 bağıısı bir grçl osiyou Fourir döüşümüü şli simri olduğuu gösrir. Buu rsi d doğrudur. Yai Fourir döüşümü şli simri gösr bir grçl osiyodur. Grçl osiyoları gli yoğuluğu sprumu F çi osiyo az yoğuluğu sprumu is osiyodur..7 bağıısıda F iφ F.36 F F iφ.37 olur. grçl osiyou içi F-F* olduğuda so ii bağııda F iφ F iφ.38 olur. Mod v az bilşlri şildiğid

16 olur. F φ F φ Fourir döüşümü il ld dil F i biçimi osiyouu osiyo vya çi osiyo olması durumua gör özl biçim alır. Hr osiyou biçimid çi v o osiyolarıı oplamı olara yazılabilir..39 dlmii Fourir döüşümü alıaca olursa F F + F F.4 biçimid çi v osiyoları Fourir döüşümlrii oplamı olara yazabiliriz. Burada F F i d.43 i d.44 dir..3 il vril Eulr şiliği ullaılara v -ip i y gör cos cos.45 si si.46 i i.47 biçimidi simri özllilri gözöü alıdığıda.43 v.44 dlmlri aşağıdai biçimd yazılabilir. F cos d.48 d F si.49 Fourir döüşümüü v çi osiyolara uyguladığıda oluşa bu dlmlr osiüs v siüs döüşümü olara biliirlr. Yuarıdai dlmlrd açıça görülmdir i F çi osiyo F osiyodur. Pryodi vrilr içi

17 gösril Parsval uramı Fourir dizilrid Fourir döüşümü gçr yapıldığı gibi ω a ω ω ω gçiş işlmlri yapıldığıda d F d.5 olur. Görüldüğü gibi pryodi olmaya vrii zama v ras oramıdai rjilri şiir. Vrii rjisi sıırlı büyülü olduğuda sosuz aralıai oralama rji vya güç ço üçü olur. Sosuz sayıda pryodi bilşlri hr birii aısı ço üçü olması grir. Çüü sosuz sayıda pryodi bilşd oluşa pryodi olmaya osiyou oplam rjisi sıırlıdır. F y osiyouu rji yoğuluğu sprumu dir. F i rji yoğuluğu olduğu Parsval şiliği ullaılara açılaabilir. grilim vrisi olsu. Bir dirci üiği rji V s dir v.5 bağıısıı sol araıda vrilmişir. Ayı bağııı sağ araıda ras y gör alıa igrali ayı birimi vrmsi içi F i birimii V s/hz V s olması grir. Yai F birim rasai rji yai rji yoğuluğudur. Grç yuarıda dğiildiği gibi bir rasai rji sıırdır. Bir ço vri grilim çvrilip algıladığıda F y rji yoğuluğu dilmsi alışılaglmiş bir adladırmadır. F birim rasai rji yoğuluğu yai güç olduğuda F y güç sprumu dm büü oramlarda ölçül vrilr içi gçrli bir adladırmadır. 3

18 ablo. Bazı osiyoları Fourir döüşümlri. Fosiyo Fourir döüşümü a Didörg / si ω / ω sýc / ω / b Fourir çiği si a a a si Π w a c Π cosw si w w / si w+ w / + w w w+ w w w si + si c w + w d Üçg osiyo si c w A > sg > i - < w Dira dla osiyou δ - δ d g δw h u < δ w - i w i cos w δ w+ w + δ w w j si w iδw+w - δw-w u cos w iw δ w+ w + δ w w w w l u si w i w δ w w δ + - w w w w m w u -a a iw a + w o Laplac Fosiyou -a a a + w p Gauss Fosiyou a a w / 4a 4

19 Şil.8 ablo. d vril osiyolar v Fourir döüşümlri 5

20 Şil.8 Dvamı ablo. d vril osiyolar v Fourir döüşümlri 6

21 7.5 Fourir Srisi Açılım Ör Problmlr Ör < < + < < il vril osiyouu Fourir srisi açıız. F / -/ - Çözüm Fosiyo osiyo olduğuda a a olacaır. d b ω si ω + + ω d d b si. si. ω + ω d d b si si ω ω + ω ω + b cos cos ω ω ω + ω ω b cos cos cos cos b ω cos cos [ ] b cos cos

22 b cos cos cos - cos b cos çi sayılar içi b cos 4 sayılar içi b olacaır. Bua gör souç; 4 si ω si ω + si 3ω + si 5ω Harmoi glilrii hsaplaması: c a + b a olduğu içi Bua gör: c 4 c c Harmoi azlarıı hsaplaması: b φ a a 5 c b olara hsaplaır. a olduğu içi a φ a φ3 a 3 φ5 a 5 b olacaır. φ olara hsaplaır.... Ör - aralığıda aımlamış ola pryodlu osiyouu Fourir srisi açıız. F - - Çözüm olduğu içi osiyou osiyodur. 8

23 Buradai örğimiz bu özlliğ sahip olduğuda dolayı osiyodur. Yai; osiyolarda a a olmaadır. -<< b si ω b si ω d d u d du si ω ω du cos ω u cos ω ω ω cos ω b cos ω + ω ω ω cos b d d cos ω + si ω ω ω b cos + si cos + si b cos cos + si + si b cos + cos + si + si b b b cos + cos b b cos. si 4 si si + si Ör 3 - aralığıda aımlamış pryodlu osiyouu üçg dalga Fourir srisi açıız. 9 F - -

24 Ör 4 - aralığıda aımlamış pryodlu aşağıdai osiyouu Fourir srisi açıız. < < < < ± Ör 5 - aralığıda aımlı pryodu ola - osiyouu Fourir srisi açıız. Ör 6 < < osiyouu Fourir srisi açıız. F A - Çözüm 6 Fosiyo olduğu içi a v a asayıları sıırdır. b / / si ω d A b si ω d dğiş döüşümü yapılara udv uv vdu u du d dv si ω v ω d cos ω ω cos ω ω cos ω d cos ω + si ω ω ω ω 3

25 si ω cos ω ω ω b A ω ω si cos si.cos ω b A si cos ω ω b A cos A b cos A gli dğri yri our is; b cos ld dilir. Bu durumda üm dğrlri içi Siüs srisi olduğuda b si ω si ω b olur. si ω si ω si 3ω si 4ω vril dğrlri içi ld dil gli v azlar osiyou harmoilrii vrir. Örği; N içi; si ω.ci harmoi N içi si ω.ci harmoi N3 içi si 3ω 3.ci harmoiir. 3 Harmoiği gli v azları a v b asayılarıda hsaplaır. 3

26 a b c + v φ az açısı a φ a b / Sıırıcı harmoi gliği a asayısıı mula dğridir Örği 3. Harmoiği gliği az açısı a c + φ 3 3 b3 3 a b 3 / a 3 Bu ör çözümd a olduğuda gli yalızca b asayısıı mula dğridir: az açısı olur. c φ 3 3 a a Ör 7 A < < osiyouu armaşı Fourir srisi açıız. F A - Çözüm 7 A A iω c iω iω d d u d du dv iω d v döüşümlri ullaılara iω iω 3 d

27 c c ω A A iω iω i ω iω iω i ω i [ ] No i cos isi am sayı c α / A iω içi A A A i i / i i / cos / + isi / i / i Bu durumda c A buluur. A i / i yazılabilir. Yai c A i / dir. A A c d d olara buluur. Fourir srisi is; iω c + c olduğua gör A A + A A / iω i + ω + i / olara ld dilir. Bu soucu Fourir döüşümüü rigoomri şli döüşürm isrs; c a c a ib c a + ib olduğua gör A c A a a A 33

28 c A i / a A A i ib / i i / olduğuda i / A i b / b A a [ a cos ω + b si ω ] + A + A si ω A A si ω A A si ω + si ω + si3ω Fourir Döüşümü Ör Çözümlri Ör A d / < < d / / < < d / v d/ < < / şlid aımlaa didörg pulsu Fourir sprumuu hsaplayıız. -/ -d/ F d/ / / / d / d / p iω A p iω d d A iω p iω d / d / A d d p iω p iω iω Eulr bağıılarıda i si α p iα p iα olduğuda A iω i si ω d A si ω ω d 34

29 d d buluur. Sağ araı ω / ω il çarparsa; d ωd d ωd si ω si ω A A ω ω d ωd ω d si ω Ad ωd ω olduğuda d d ω olur. Böylc d si Ad d Görüldüğü gibi grçl bir osiyodur v az sprumu sıırdır. Bu osiyo sic osiyou olara biliir. Ad d sic F zama osiyouu armaşı Fourir srisi açılımı; Ad d sic p iω olara yazılabilir. Ayrı ras sprumuu ld m içi d v y dğr vrm grir. Örği d/s /4s olsu. ω ω 8 / 4 d / / 4 5 Ad A 5 olara buluur. Ad d si d si A

30 so bağııda. dğrlr vrilr ω rasları içi gli sprumları hsaplaır. Sprum oramıdai örlm aralığı ω ω ω 8 dir. si m d olduğuda m yai m3.. dğrlri içi 55. Dğrlri 5 içi gli sprumu sıır olur. ablo.: Vril dğrlri içi gli dğrlri.7 - Gli Gli Şil.. Gli sprumu << içi çizilmişir..7 Fourir Döüşümüü Özllilri Bir ço uramsal v uygulamalı çalışmada Foruir döüşüm işlmlrid olaylı v çabulaşırma sağlaya özllilrid yararlaılır. Aşağıda buları birçoğu örlrl açılamışır..7. Doğrusallı v oplama Özlliği 36

31 v y i Fourir döüşümü X v Y olsu. +y i Fourir döüşümü X+Y dir; Kısaca; i i i + y d d + y d.5 + y X + Y.5 yazılabilir. işari soludai v sağıdai osiyou bir Fourir çii oluşurduğuu simglr. Doğrusallı özlliği iid azla osiyo içi d gçrlidir. Bu özlli Fourir döüşümüü doğrusal düzlr uygulaabilcğii gösrir. Grç y v varsa oplaa diğr düz osiyolarıı dilri birr doğrusal olmaya düz osiyoları da olabilirlr..7. Baışımlılı Özlliği X.53 olsu X.54 dir. rs Fourir döüşümü bağıısıda yri - oulduğuda i X d olur. v dğişlri aralarıda dğişirildiğid.55 i X d.56 ld dilir yai.54 doğrulaır. Baışımlılı özlliği birço uramsal çalışmalarda işlmlri olaylaşırır..7.3 Zama Kayması Özlliği i yi adar aydırmala ld dil - ı Fourir döüşümü X olur: i - X.57 s - alıara.57 özlliği doğrulaabilir: 37

32 A R I - /8 A R A I R - A - /4 R A I -A - / R I -A Şil.9 Zama ayması özlliği. i i s+ d s i i ds i s s ds X.58 Şil.9 d osiüs osiyou aydırılara Fourir döüşümüü zama ayması özlliği irdlmişir. Baışımlı v grç bir osiyo ola cos i Fourir döüşümü grç bir osiyodur. Kaymayla baışımlılı aybolduğuda Fourir döüşümü aybolduğuda Fourir döüşümü grçl v saal bilşlr içrir. Kayma gliği ilmz sadc az dğişir. Kosiüs osiyou içi aymadai Fourir döüşümü i X cos i si X olduğuda gli i X + si X X.59 X cos.6 38

33 olur. Faz açısı φarca-b/a aymaya bağlı olara dğişir..57 bağıısıda vril ayma özlliği gör hr rasai bilş di rasıyla oraılı az gcimsi uğrar büyüy rasla az açısıda büyür..7.4 Fras Kayması Özlliği X ras sid sabii adar aydırıldığıda ld dil X- ı rs Fourir döüşümü i olur: i X Bu özlli rs Fourir döüşümü bağıısıda s - alıara doğrulaabilir. i d X s i s+ ds X.6.6 i i i s X s ds X grçl olduğuda X- ı rs Fourir döüşümü cos olur. Yai ras oramıda cos il çarpmaya dir. Bua modülasyo dir..7.5 Zama Ölçlmsi Özlliği i Fourir döüşümü X olsu. sıırda arlı grç bir sabi olması oşuluyla i Fourir döüşümü / X/ olur: X.63 Bu özlli s alıara doğrulaabilir: i is s / ds d s X döüşüm çiid alımışır. Çüü < alıdığıda / işar dğişirir. Şil. da daha öc şil.9 da Fourir döüşümü vril didörg dalga içi zama örlmsi özlliği gösrilmişir. Didörg osiyo zama oramıda gişldiç ras oramıda daralmaadır. Buu rsid doğrudur. Fras v zama oramıdai

34 rji şi olduğuda darala ras osiyouu sıır rası yörsid gliği büyümdir..7.6 Fras Ölçlmsi Özlliği X i rs Fourir döüşümü olsu. ı grç bir sabi olması oşuluyla X i rs Fourir döüşümü / / dır. X.65 rs Fourir döüşümü bağıısıda s alıara bu özlli doğrulaabilir: i i s / ds X d X s.66 Zama ölçlmsi bzr biçimd ras oramı daralılması zama oramı gişlmsi gişlmsi d zama oramı daralmasıa yol açar. Şil. d yi didörg dalga biçimi ullaılara bu özlli açılamışır. Fras v zama oramları rjilrii şiliğii sağlaması içi ras ölçlmsi büyüyüc zama oramı osiyou didörg dalga gliği büyümdir. 4

35 Şil. Zama ölçlmsi özlliği ör..7.7 Fourir Çiii Ora Bağıı Özlliği Sayısal Fourir döüşümü hsaplamalarıı hızladırmada yararlaıla bir özlli Fourir döüşümü v rs Fourir döüşümüü ayı bağıı ullaılara hsaplaabilmsidir. Gösrilbiliri * i * X d.67 dir. Burada * armaşı şliği simglmdir. -i çirdği Fourir döüşümüd olduğu gibi grli armaşı şl çvirmlri yapılara v X ayı bilgisayar programıyla hsaplaabilir. 4

36 Şil. Fras ölçlmsi özlliği ör..7.8 Zama v Fourir ürvlri Özllilri rs Fourir döüşüm bağıısıı ii yaıı ici ürvlri alıırsa d i X.68 d olur. Burada i ürvlrii var olduğu varsayılmışır. Fourir döüşüm bağıısıı ii yaıı ici ürvlrid d X i.69 Fourir çii ld dilir. i ürvii alıması il oluşa siyali sprumu X sprumuu y oraılı çoğala bir dğrl çarpılmasıa şdğrdir. 4

37 .7.9 Zama v Fras İgrallri Özlliği Yuarıdai ürv özlliğid harl i igrali ola siyali Fourir döüşümü aşağıdai şild buluur: d i X.7 Bzr şild X sprumuu ras oramıda igrali il ld dil sprumu rs Fourir döüşümü il arasıdai ilişi aşağıdai gibidir: i X d.7 Görüldüğü gibi i igrali alıması il oluşa siyali sprumu X sprumu / y oraılı bir dğiş il çarpılmasıa şdğrdir..7. Eşli Özlliği a-ib armaşı osiyouu şliği *a+ib i Fourir döüşümü X * - dir: olur. * * X.7 i a ib d i a ib d i a + ib.73 X.74 X *.7. Evrişim Kovolüsyo Özlliği d.75 Gr uramsal ürmlrd v grs gözlmsl vrilri aaliz v işlmsid yararlaıla ço ömli bir olaa vrişim uramıdır. Bu urama gör zama vya ras oramıdai vrişim ras vya zama oramıda çarpım yapara grçlşirilbilir. * h X.H.76. h X* H.77 * vrişimi ovolüsyo simglr. Yuarıdai Fourir çiii doğrulama içi 43

38 y * h τ h τ dτ.78 vrişim işlmii hr ii araıı Fourir döüşümü alısı: y i i d τ h τ dτ d.79 y y alıara v sağ araa igrali sırası dğişirilr Y i τ h τ d dτ ld dilir. s -τ alıdığıda ayraçları içi h s i s+ τ iτ is iτ ds h s ds H olur. Bu souç.8 bağıısıa oulduğuda.8.8 iτ H τ dτ H X Y ld dilir. Bua zama vrişim uramı dir. Bu özlli izly biçimd özlbilir:.8 * h y.83 X H Y Fourir çii ras vrişim özlliğidir v yuarıda vril zama vrişim uramıa bzr biçimd vya.76 çiii baışımlılı bağıısı.56 ya oyara doğrulaabilir. Sismi uygulamalarda olduğu gibi uzu v ço sayıda vrii bilgisayarlarda işlmsid vrişim uramıda yararlaara işlmlr ömli ölçüd hızladırılır. Daha sora dğiilc hızlı Fourir döüşümü yömiyl Fourir döüşümü işlmi çabulaşırıldığıda öc vri v uygulaaca işlci Fourir döüşümlri alıara çarpılır. Daha sora bu çarpımı rs Fourir döüşümü alıara çıış vrisi ld dilir..7. İlişi Korlasyo Özlliği Uygulamada ömli bir Fourir çiid ilişi osiyou v ou Fourir döüşümüdür. v h osiyolarıı ilişisi c h τ h + τ d.85 bağıısıyla vrilir. Buu hr ii araıı Fourir döüşümü c i i τ τ dτ h + τ d h dτ.86 alııp v sağ araai igrallri sırası dğişirilirs 44

39 c i h h + τ τ dτ d olur. s +τ alıırsa ayraçları içi h s i s i is i ds h s ds H olur. Bu souç.87 bağıısıa oulduğuda i ch H d h cos d + i si d H R + i.9 olur. i Fourir döüşümü i d cosd - i - - sid R - iτ olduğuda.9 v.9 bağıılarıda olur. Kısaca * c h H X.9 c h τ c.93 h yazılır. Bu souca çapraz-ilişi özlliği dir. Bu souç ilişiy gir iici osiyou Fourir döüşümüü şliğii alıması dışıda vrişim özlliğii ayısıdır. Evrişim işlmii ilişi işlmid arıı osiyolarda birii alaması olduğu aımsaırsa bu bzrli olayca alaşılır. Yuarıda bir çi osiyo olduğuda X grçl olacağıda XX * olur. Bu durumda vrişim v ilişi işlmlri yuarıda dğiil özllilrd şdğr olur. Eğr h yai hr ii osiyo özdş is.85 bağıısı özilişi bağıısıa döüşür..93 ilişi özlliğid c * τ X X X c.94 olur. Bua özilişi özlliği dir. İi vrii çapraz ilişisii vya bir vrii özilişisii hsaplamasıda vrişim özlliğid olduğu gibi hızlı Fourir döüşümüd yaralaılara v ilişi uramı ullaılara işlmlr hızladırılabilir. Diğr ömli bir 45

40 ullaım gçici vrilri güç v çapraz güç yoğuluğu sprumlarıı hsaplamasıdır. Gçici vrilri güç yoğuluğu sprumları vrilri Fourir döüşümü ullaılara gösrilbilir..7.3 Çi osiyolar Ev Fucios Eğr - is i Fourir döüşümü balışımlı simri v grçldir: R cos d.95 Yi.4 bağıısıda yararlaara i F d cos d i si cos d R d.96 olur. Saal rim sıırdır çüü igrali içi bir osiyodur. cos bir çi osiyo cos bir çi osiyo olduğuda cos cos[ ] v F F -; yai Fourir döüşümü d bir çi osiyodur. Bu özlliği rsi d doğrudur. Yai Grç v çi osiyou rs Fourir dömüşümü d bir çi osiyodur. Ayrı osiyolar içi çi osiyo özlliği; - is: N R cos N...N osiyolar Odd Fucios Eğr o - o - is o i Fourir döüşümü d rs baışımlı v saal bir osiyodur. Bu.4 bağıısıda yararlaılara aılaabilir. o o d F cos d i si d o o 46

41 i o si d i Im.98 Grçl ısmı igrali sıırdır. Çüü bir çi osiyo il osiyou çarpımı yi bir osiyodur. si bir osiyo olduğuda si si ; Fourir döüşümü osiyodur. [ ] o o Ayrı osiyolar içi osiyo özlliği; o - o - is: N o i i Im o si N...N -.99 Şil.: Fourir döüşümü il Fourir dizisi arasıdai ilişiy şmai bir ör..7.5 Dalga Şli Ayırımı Wavorm Dcomposiio Hrhagibir osiyo v çi osiyoları oplamı olara ayırılabilir;

42 . + o Çüü büyü parazlri içi çi v osiyo aımıı doğrular..96 v.98 bağıılarıda. bağıısıı Fourir döüşümü F R + i Im F F. + o Burada F R v FoiIm dir. Fourir döüşümüü bu özlliği ayrı Fourir döüşümü hsaplamalarıı hızladırmada ullaıla özllilrd biridir. Ayrı osiyolar içi dalga biçimi ayırım özlliği: o v F R + i Im F + Fo burada F R v F i Im o ablo.3 :Fourir döüşümüü bazı özllilri X y Y + y X + Y X i Doğrusallı Baışımlılı Zama Kayması Fras Kayması i X Zama Ölçlmsi X Fras Ölçlmsi X Ora Bağıı * * X Zama Igrali Fras Igrali d i X &&& i X d Zama ürvi d / d i X Fras ürvi i d X / d Eşl * * X Evrişim * y X. Y. y X * Y 48

43 * Ilişi τ * y X. Y c y.8 Fourir Sprumu Buraya adar ola iclmlrd ras oramıa gçr vrilri priyodi vya gçici olduğu varsayılara Fouri dizilri vya Fouri döüşümü ullaıldı. Ayrıca yi buraya adar ola iclmlrd vrilri sürli olduğu v sürli vrilrl işlm yapabilcğimiz varsayıldı. Aca uygulamada arşılaşıla durum yuarıdai varsayımları grçlmz. Hrşyd öc ldi vri sıırlı bir gözlmi soucudur. Ayrıca vri ya ayrı olara gözlmiş vya bilgisayarda işlm soma içi sürli vri örlm aralığı il ayrı şl döüşürülmüşür. Hr ii dl vrii ras oramıa gçirilmsid sorularla arşılaşılmaadır. Bu soruları iclmsid öc sıırlı v ayrı vrilri ras oramıa gçirilmsid ullaıla hsaplamayı yid aımlama grmdir. Eğr limizdi sıırlı uzuluğudai vriyi il gösrc olursa bu vriy dğişirilmiş bir Fourir döüşümü uygulaara ras oramıda ϖ yı ld driz: vya ϖ il iϖ ω d. i d.3 Bu dlml aımlaa y uygulamada Fourir Sprumu adı vrilir. Görüldüğü gibi bu dlm Fourir döüşümüd Dlm.9 arlıdır. Igral sıırları doğal olara solu uzulua vri içi - v yri -/ v / olmuş v daha ömlisi igral öü / çarpaı lmişir. Bu dl d hsapladığıda birim vri gli birimi il şi olup Fourir döüşümüdi gibi gli yoğuluğu dğildir. Aslıda Fourir sprumu dlmidi Fourir dizisi il ld dil spruma bzmdir yalız gözlm uzuluğu i aa pryod a ya şi olması v sürli raslar yri özl raslar / a ullaılması durumuda Fourir dizilri il ld dil çizgi sprumua şi olacaır. Yuarıdai dlrl Fourir sprumu aımı gçrli bir aımdır v.96 dlmi gr çizgi sprumu grs Fourir döüşümü içi ullaılabilir. Ayrıca blirm griri öci bölümd ou 49

44 dil üm Fourir döüşümü özllilri Fourir sprumu içi gçrlidir. Bu Fourir döüşümü içi üm dlmlrd X yri X ullaılara aılaabilir. Fourir sprumu ayrıca aımlamaı v Fourir dizisi v döüşümü il bağıı iclmi yararı uygulamadai adladırma arışılığıı gidrm içidir. Grçd Fourir çizgi sprumu X yi vr Fourir döüşümü il bulua v X yi vr.9 dlmi v sorada Fourir sprumu olara adladırıla X yi vr.96 dlmi arlıdır. Bu dlmlrl vril ras oramı gösrimlr içrdilri varsayımlar v üsli izisl birimlr açısıda da arlıdırlar v uygulamada ullaıla dlm il ilgili avramlara v adladırmaya öz gösrilmlidir..8. Ayrı Vrilr Solu uzulua vrisi içi örlm aralığı ullaılara..n- il zamalarıda örlmiş vri ld dilir. Vri boyu olduğua gör / N oplam vri sayısıı vrcir. Örlmiş vri il Fourir sprumu X N N i.4 şlii alır. Bu yazılım doğruda programlama içi ullaılabilir v hrhagi bir ras içi gçrlidir. Aca hsaplamada sürli ras ullaılamıyacağıa gör sürli rasıda örlmsi grmdir. Eğr ras örlmsi sçilr olursa raslarıda X vya ısalılmış olara hsaplaabilir X N N i Ε so hsaplaaca ras Nyquis rası N.5 olduğua gör...k içi hsaplaa sprumda N K dolayısıyla K olacaır. Eğr ras örlm aralığı N sçilc olursa K N olaca yai vri sayısıı yarısı sayıda rasda sprum ld dilcir. sçimii Fourir sprumuu doğruda Fourir çizgi sprumua şi ıldığıa yai gözlm uzuluğu N içidi gözlmi pryodi bir vrii aa pryodua şi olduğu varsayılmış olacağıa öcd dğiilmişi. Eğr vri aslıda sosuz is v N sadc gözlm uzuluğua şis doğal ras sçilbilirliği / olacaır. Bu dl birbirlri uzalığı / ola 5