ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BERNSTEIN POLİNOMLARI VE LİNEER POZİTİF FONKSİYONELLER. Gamze ANDAÇ

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BERNSTEIN POLİNOMLARI VE LİNEER POZİTİF FONKSİYONELLER Gmze ANDAÇ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2015 Her hkkı sklıdır

2 TEZ ONAYI Gmze ANDAÇ trf d hz rl " Berstei Poliomlr ve Lieer Pozitif Foksiyoeller " dl tez çl şms 02/10/2015 trihide ş¼g dki jüri trf d oy birli¼gi ile Akr Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Mtemtik Abilim Dl d YÜKSEK L ISANS TEZ I olrk kbul edilmiştir. D şm: Prof. Dr. Güle BAŞCANBAZ TUNCA Jüri Üyeleri: Bşk: Prof. Dr. Güle BAŞCANBAZ TUNCA Akr Üiversitesi, Mtemtik Abilim Dl Üye : Prof. Dr. Ftm YEŞ ILDAL TAŞDELEN Akr Üiversitesi, Mtemtik Abilim Dl Üye : Doç. Dr. H. Gül INCE ILARSLAN Gzi Üiversitesi, Mtemtik Abilim Dl Yukr dki soucu oylr m Prof. Dr. Ibrhim DEM IR Estitü Müdürü

3 ET IK Akr Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü tez yz m kurllr uygu olrk hz rld ¼g m bu tez içideki bütü bilgileri do¼gru ve tm oldu¼guu, bilgileri üretilmesi şms d bilimsel eti¼ge uygu dvrd ¼g m, yrrld ¼g m bütü kyklr t f yprk belirtti¼gimi bey ederim. 02/10/2015 Gmze ANDAÇ i

4 ÖZET Yüksek Liss Tezi BERNSTEIN POL INOMLARI VE L INEER POZ IT IF FONKS IYONELLER Gmze ANDAÇ Akr Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Mtemtik Abilim Dl D şm: Prof. Dr. Güle BAŞCANBAZ TUNCA [0; 1] rl ¼g d sürekli, reel de¼gerli bir f 2 C [0; 1] foksiyou içi B (f; x) = P k x k (1 x) k f k ; 2 N ifdesie -ici derecede Berstei poliomu deir. B (f; x); derecesi ol x i bir poliomudur ve Berstei trf d, Weierstrss yklş m teoremii bsit bir ispt vermek içi iş edilmiştir. Weierstrss yklş m teoremii e yp c isptlr, bz lieer pozitif opertör dizilerii kull r. (Bir V lieer foksiyo uzy üzeride t ml ol L lieer opertörü, her f 2 V; f 0 içi L(f) 0 koşuluu s¼gl yors pozitiftir deir). C [0; 1] üzerideki lieer pozitif opertörler s rl olmktd r. Herhgi bir lieer pozitif opertör, sbitlee bir okty göre bir lieer pozitif foksiyoel olrk dikkte l bilir. Tezde, bu uzyd t ml lieer pozitif foksiyoelleri bz özellikleri rşt r lm şt r. Bu do¼grultud, öce kouy hz rl k iteli¼gideki temel kvrmlr, teoremler verilerek, Berstei poliomlr Stieltjes itegrl formudki ifdesi elde edilmiştir. C [0; 1] üzerideki herhgi bir sürekli lieer foksiyoeli, g s rl sl ml bir foksiyo olmk üzere, (f) = R 1 0 f(x)dg(x) Riem-Stieltjes itegrli formud bir gösterime ship oldu¼guu ifde ede Riesz teoremii, Berstei poliomlr kullrk elde edile ispt verilmiştir (Ntso 1964). Ekim 2015, 63 syf Ahtr Kelimeler: Riem-Stieltjes itegrli, Riesz gösterim teoremi, lieer pozitif opertör, Berstei poliomlr. ii

5 ABSTRACT Mster Thesis BERNSTEIN POLYNOMIALS AND LINEAR POSITIVE FUNCTIONALS Gmze ANDAÇ Akr Uiversity Grdute School of Nturl d Applied Scieces Deprtmet of Mthemtics Supervisor: Prof. Dr. Güle BAŞCANBAZ TUNCA For cotiuous rel vlued fuctio f de ed o the closed itervl [0; 1] ; the expressio B (f; x) = P k x k (1 x) k f k ; 2 N is clled the Berstei polyomil of degree for the fuctio f. B (f; x) is polyomil i x of degree : The polyomils B (f; x) were itroduced by S. Berstei to give especilly simple proof of the pproximtio theorem of Weierstrss. The most costructive proof of Weierstrss pproximtio theorem uses some lier positive opertor sequece. (A lier opertor L de ed o lier spce of fuctios V, is clled positive, if L(f) 0; for ll f 2 V, f 0). Lier positive opertors o C [0; 1] is bouded. If y poit is kept xed the lier positive opertor my be cosidered s lier positive fuctiol. I this thesis, it is iteted to ivestigte the properties of lier positive fuctiols de ed o C [0; 1]. I this cotext, rst givig the bsic cocepts d theorems of the preprtory subject i the Stieltjes itegrl form of Berstei polyomil expressio will be obtied. The proof of the Riesz represettio theorem, which sttes tht y lier cotiuous fuctiol (f) de ed o the spce C [0; 1] hs the Riem- Stieltjes itegrl represttio (f) = R 1 0 f(x)dg(x); where g(x) is fuctio of bouded vritio, will be give by usig Berstei polyomils (Ntso 1964). October 2015, 63 pges Key Words: Riem-Stieltjes itegrl, the Riesz represettio theorem, lier positive opertor, Berstei polyomils. iii

6 TEŞEKKÜR Bu çl şmm her şms d bei bilgi, kir ve öerileriyle yöledirip egi görüşleriyle ufuk vere ve b her koud yrd mlr esirgemeyerek destek ol hocm, Sy Prof. Dr. Güle BAŞCANBAZ TUNCA y (Akr Üiversitesi Mtemtik Abilim Dl ), çl şmlr m süresice destek ve ly şlr içi bölümdeki rkdş ve hoclr m ve yr c ileme e içte syg ve teşekkürlerimi sur m. Bu tez çl şms "TEV-Yüksek Liss Burs Progrm " trf d desteklemiştir. TEV e e içte teşekkürlerimi sur m. Gmze ANDAÇ Akr, Ekim 2015 iv

7

8 S IMGELER D IZ IN I AC [; b] B [; b] BV [; b] C [; b] [; b] rl ¼g d t ml mutlk sürekli foksiyolr uzy [; b] rl ¼g d t ml s rl foksiyolr uzy [; b] rl ¼g d t ml s rl sl ml foksiyolr uzy [; b] rl ¼g d sürekli reel de¼gerli foksiyolr uzy C 1 ( 1; 1) rl ¼g d lim f(x) = lim x!1 şekildeki sürekli foksiyolr uzy x! 1 f(x) = 0 olck kfk BV kfk T V kfk 1 T V [; b] V [;b] [f] (x) BV [; b] uzy ormu T V [; b] uzy ormu B [; b] uzy ormu [; b] rl ¼g d t ml s rl sl ml foksiyolr yr ormlu uzy f foksiyouu [; b] rl ¼g dki toplm sl m Gmm foksiyou vi

9 1. G IR IŞ Bir V lieer foksiyo uzy üzeride t ml ol L lieer opertörü, her f 2 V; f 0 içi L(f) 0 koşuluu s¼gl yors pozitiftir deir. Herhgi bir lieer pozitif opertör, sbitlee bir okty göre bir lieer pozitif foksiyoel olrk dikkte l bilir. E öemli lieer pozitif yklş m opertörleri sürekli foksiyolr uzy d verilmektedir. Bu edele, bu uzy ve dul uzy lş lms ve özellikle lieer pozitif foksiyoelleri geel gösterimlerii bilimesi öemlidir. [0; 1] rl ¼g d sürekli, reel de¼gerli bir f foksiyou (f 2 C [0; 1]) içi (B f) (x) = P k x k (1 x) k f k ; 2 N ifdesie -ici Berstei poliomu deir. (B f)(x); derecesi ol x i bir poliomudur ve Berstei trf d, Weierstrss yklş m teoremii bsit bir ispt vermek içi iş edilmiştir. f 2 C [0; 1] ise f içi elde edile Berstei poliomlr dizisi [0; 1] üzeride f foksiyou düzgü yk skt r. Yi lim kb f fk!1 C[;b] = 0 gerçekleir. Bu tezde, [; b] rl ¼g d sürekli foksiyolr uzy dulii, [; b] rl ¼g d s rl sl ml foksiyolr uzy oldu¼guu göstere Riesz Gösterim Teoremi i Berstei poliomlr kull lrk elde edile ispt verilmiştir. Bu do¼grultud, kouy hz rl k iteli¼gideki temel kvrmlr, teoremler verilerek, Berstei poliomlr Stieltjes itegrl formudki ifdesi elde edilmiştir (Ntso 1964). Brdro, Butzer, Stes ve Viti i (Brdro vd. 2003) çl şms d, V [0;1] [f]; f foksiyouu [0; 1] rl ¼g dki toplm sl m göstermek üzere, [0; 1] üzeride s rl sl ml tüm foksiyolr kfk T V := V [0;1] [f] yr ormu ile dot l s f T V [0; 1] ile ve kfk T V := jf (0)j + V [0;1] [f] ormu ile dot l s f BV [0; 1] ile gösterilmiştir. 1

10 Berstei poliomlr Sl m Azltm Özelli¼gii s¼gld ¼g, yi; f 2 BV [0; 1] içi V [0;1] [B f] V [0;1] [f] ; 2 N eşitsizli¼gii gerçekledi¼gi, Loretz trf d gösterilmiştir (Loretz 1953). Ayr c (B f) dizisii [0; 1] rl ¼g d s rl sl ml ol bir f foksiyou sl m yr ormud yk sms içi gerek ve yeter koşulu f 2 AC [0; 1] olms gerekti¼gi Loretz trf d elde edilmiştir. Yi; olms d r. f 2 AC [0; 1], lim!1 V [0;1] [B f f] = 0 2

11 2. TEMEL KAVRAMLAR T m 2.1 (Lieer opertör) X ve Y iki lieer foksiyo uzy olmk üzere L : X! Y şeklideki L opertörü e¼ger, her f; g 2 X ve her ; skleri içi L(f + g) = L(f) + L(g) eşitli¼gii s¼gl yors L ye lieer opertör deir (Plte 2004). T m 2.2 (Lieer pozitif opertör) X bir lieer foksiyo uzy olmk üzere her f 2 X içi f 0 ike L(f) 0 oluyors L ye pozitif opertör deir. L y zmd lieerlik şrt d s¼gl yors L ye lieer pozitif opertör d verilir (Plte 2004). T m 2.3 (Normlu Uzy) X bir K cismi üzeride bir vektör uzy olsu. E¼ger bir kk : X! K x! kxk döüşümü 8 x; y 2 X ve 8 2 K içi (N1) kxk 0 (N2) kxk = 0 () x = 0 (N3) kxk = jj kxk (N4) kx + yk kxk + kyk özelliklerii s¼gl yors bu döüşüme X üzeride orm d verilir. (X; kk) ikilisie bir ormlu vektör uzy deir. (X; kk) ormlu uzy k sc X ile gösterilir (Kreyszig 1978). 3

12 T m 2.4 (Yr orm) Bir X vektör uzy üzeride (N 1); (N 3); (N 4) ksiyomlr gerçekleye bir p : X! R döüşümüe bir yr orm deir (Kreyszig 1978). T m 2.5 (Sürekli dul uzy) X ormlu bir uzy olsu. X üzerideki tüm s rl lieer foksiyoellerde oluş küme, jf(x)j kfk = sup x2x kxk x6=0 = sup jf(x)j x2x kx ile t ml orm ship ol, ormlu bir uzy oluşturur. Bu uzy X i dul uzy deir X 0 sembolü ile gösterilir (Kreyszig 1978). T m 2.6 (Berstei Poliomlr ) f : [0; 1]! R olsu. f foksiyouu ( 2 N) Berstei poliomu (B f) (x) = f k x k (1 x) k k ici olrk t ml r (Loretz 1953). Teorem 2.1 (Berstei Teoremi) f 2 C [0; 1] olsu. Bu durumd f içi elde edile Berstei poliomlr dizisi [0; 1] üzeride f foksiyou düzgü yk skt r. Yi olur (Loretz 1953). lim kb f fk!1 C[;b] = 0 Teorem 2.2 (Korovki Teoremi) fl g 1 =1, L : C [; b]! C [; b] şeklide lieer pozitif opertörleri bir dizisi olmk üzere, i = 0; 1; 2 içi lim (L t i )(x) = x i (2.1)!1 yk sms [; b] rl ¼g d düzgü olsu. Bu durumd her f 2 C [; b] içi lim (L f) (x) = f(x)!1 yk sms [; b] rl ¼g d düzgüdür (Plte 2004). Uyr 2.1 E; reel sy lr bir lt kümesi, m(e) de bu kümei Lebesgue ölçüsüü göstersi. Bu durumd, ş¼g dki özellikler s¼gl r. 4

13 1. Arl k boyu: Her I rl ¼g içi m(i) = l(i) (I s rl bir rl k ise rl ¼g boyu l(i) = b ; s rs z bir rl k ise l(i) = 1 şeklidedir.) 2. Mootoluk: E¼ger A B R ise 0 m(a) m(b) 1 3. Öteleme lt d de¼gişmezlik: R i her A lt kümesi ve her x 0 2 R okts içi A + x 0 := fx + x 0 : x 2 Ag ise m(a + x 0 ) = m(a) olur. 4. Sy lbilir toplm: E¼ger A ve B; R reel sy lr kümesii yr k lt kümeleri ise m(a [ B) = m(a) + m(b) şeklidedir. fa i g yr k kümeleri bir dizisi ise S m( 1 P A i ) = 1 m(a i ) olur (Folld 1999). i=1 i=1 T m 2.7 R reel sy lr kümesii her E lt kümesi içi ( X 1 m (E) := if l(i k ) : fi k g ç k rl klr bir dizisi ve E şeklide t ml d ş ölçüsüe Lebesgue d ş ölçüsü deir. Burd her E R içi 0 m (E) 1 oldu¼gu ç kt r (Folld 1999). ) 1[ I k T m 2.8 E bir okt kümesi ve M; hiçbir tek oktd oluşmy kpl rl klr bir ilesi olsu. Her x 2 E ve her " > 0 içi x 2 d; md < " olck şekilde bir d 2 M kpl rl ¼g vr ise, E kümesi M ilesi trf d Vitli lm d örtülür deir. Di¼ger bir ifdeyle E kümesii her okts M ilesie it key küçük kpl rl klrd içeriliyors E kümesi Vitli lm d M ilesi trf d örtülür deir (Ntso 1964). Aş¼g dki teorem foksiyolr teoriside pek çok uygulmy shiptir. Teorem 2.3 (Vitli Örtme Teoremi) E¼ger s rl bir E kümesi Vitli lm d kpl rl klr bir M ilesi trf d örtülüyors M ileside solu vey sy lbilir, kpl fd k g rl klr bir ilesi d k \ d i = 0 (k 6= i); s¼glck şekilde buluur (Ntso 1964). 5 m E P k d k = 0

14 T m 2.9 (Türevlemiş sy ) h 1 ; h 2 ; h 3 ; :::(h 6= 0) şeklideki s f r gide bir dizi olsu ve f(x 0 + h ) f(x 0 ) lim!1 h şrt s¼glyck şekilde (solu y d sosuz) sy s f foksiyouu x 0 okts dki türevlemiş sy s deir ve = Df(x 0 ) ile gösterilir (Ntso 1964). Teorem 2.4 (Ay rm Teoremi) F 1 ve F 2 iki yr k, kpl ve s rl kümeler olsu. O hlde = G 1 F 1 ; G 2 F 2 ; G 1 \ G 2 = 0 şrt s¼glyck şekilde G 1 ve G 2 ç k kümeleri bulubilir (Ntso 1964). Aş¼g dki mooto foksiyolrl ilgili temel kvrmlr Ntso u kitb d verilmiştir (Ntso 1964). 2.1 Mooto Foksiyolr T m 2.10 f foksiyou [; b] rl ¼g d t ml olsu. Bu rl kt ld ¼g m z x y şrt s¼gly her x; y elem içi f (x) f(y) ise f foksiyou rtd r deir. E¼ger her x < y içi f (x) < f(y) oluyors f foksiyou kesi rt, x < y içi f(x) f(y) oluyors f foksiyou zl, x < y içi f(x) > f(y) oluyors f foksiyou kesi zld r deir. T m rl ¼g tmm üzeride rt vey zl foksiyo mootodur deir. E¼ger f foksiyou zl ise f foksiyou rtd r. Bu bsit ç klm mooto foksiyolr içere pek çok problemde sdece rt foksiyolr düşüülmesii s¼glr. Mooto foksiyolr solu düşüülecektir. T m 2.11 f foksiyou [; b] rl ¼g d t ml rt bir foksiyo ve x 0 < b olsu. 6

15 Burd x 0 ; x 1 ; x 2 ; x 3 ; ::: oktlr oluşturdu¼gu herhgi bir dizi içi x 0 okts gide ve x 0 okts s¼g d kl x 1 ; x 2 ; x 3 ; ::: oktlr herhgi bir dizisi, yi x! x 0 ; x > x 0 içi limiti vrd r ve soludur. Bu limit lim f(x )!1 if ff(x)g (x 0 < x b) sy s d bşk bir şey de¼gildir. Doly s yl fx g dizisii seçimide b¼g ms zd r ve f(x 0 + 0) ile gösterilir. Bezer olrk f(x 0 0) ( < x 0 b) gösterimi de t mlbilir. Burd f(x 0 0) f(x 0 ) f(x 0 + 0) ( < x 0 < b) oldu¼guu görmek kolyd r ve f() f( + 0); f(b 0) f(b) gerçekleir. O hlde f foksiyouu x 0 okts d sürekli olms içi gerek ve yeter koşul f(x 0 0) = f(x 0 ) = f(x 0 + 0) olms d r. [x 0 = vey x 0 = b içi yl zc f(+0) vey f(b 0) tek tr limiti düşüülebilir.] f(x 0 ) f(x 0 0); f(x 0 + 0) f(x 0 ) sy lr x 0 okts d f foksiyouu s rs yl sol ve s¼g s çrms d r ve bu s çrmlr f(x 0 +0) f(x 0 0) şeklideki toplm f foksiyouu x 0 okts dki s çrms deir. [ ve b oktlr içi sdece tek tr s çrmlr düşüülebilir.] 7

16 Lemm 2.1 f foksiyou [; b] rl ¼g d t ml rt bir foksiyo olsu. x 1 ; x 2 ; :::; x oktlr (; b) rl ¼g d yer l key oktlr olmk üzere [f( + 0) f()] + [f(x k + 0) f(x k 0)] + [f(b) f(b 0)] f(b) f() gerçekleir. (2.2) Ispt. Kbul edelim ki = x 0 ; b = x +1 olmk üzere < x 1 < x 2 < ::: < x < b olsu ve y 0 ; y 1 ; :::; y oktlr x k < y k < x k+1 (k = 0; 1; :::; ) olck şekilde seçelim. Bu durumd f(x k + 0) f(x k 0) f(y k ) f(y k 1 ) (k = 1; 2; :::; ) f( + 0) f() f(y 0 ) f() f(b) f(b 0) f(b) f(y ) gerçekleir. Tüm bu eşitsizlikler toplrk (2.2) ifdesi elde edilir. Souç 2.1 [; b] rl ¼g d t ml rt bir f foksiyouu sdece solu sy d süreksizlik okts vrd r. Foksiyou bu oktlrdki s çrms, verile bir pozitif sy s d büyüktür. E¼ger x 1 ; :::; x oktlr [; b] rl ¼g dki sy s d büyük s çrm süreksizlik oktlr ise (2.2) eşitsizli¼gide f(b) f() gerçekleir ve doly s yl key büyük bir sy olmz. Teorem 2.5 [; b] rl ¼g d t ml rt bir f foksiyouu süreksizlik oktlr kümesi sy lbilir sy dd r. E¼ger x 1 ; x 2 ; x 3 ; ::: tüm iç süreksizlik oktlr ise [f( + 0) f()] + gerçekleir. 1X [f(x k + 0) f(x k 0)] + [f(b) f(b 0)] f(b) f() (2.3) 8

17 Ispt. f foksiyouu tüm süreksizlik oktlr kümesii H ile, bu süreksizlik oktlr, s çrms 1 k d büyük ollr d H k ile gösterelim. Burd H = H 1 + H 2 + H 3 + ::: şeklidedir ve H kümesii sy lbilirli¼gi her bir H k kümesii solu olms gerçe¼gide elde edilir. (2.2) eşitsizli¼gide! 1 içi limit l rk (2.3) eşitsizli¼gi elde edilir. T m 2.12 f foksiyou [; b] rl ¼g d t ml rt bir foksiyo olsu. s() = 0; 1X s(x) = [f( + 0) f()] + [f(x k + 0) f(x k 0)] + x k <x + [f(x) f(x 0)] ( < x b) ile ifde edile s foksiyou f foksiyouu s çrm foksiyou deir. s foksiyouu rt oldu¼gu ç kt r. Teorem 2.6 Art bir foksiyo ve s çrm foksiyouu '(x) = f(x) s(x) frk d rt ve sürekli bir foksiyodur. Ispt. x < y b olsu. E¼ger (2.3) eşitsizli¼gi [; b] rl ¼g yerie [x; y] rl ¼g uygul rs s(y) s(x) f(y) f(x) (2.4) eşitsizli¼gi elde edilir. Burd d '(x) '(y) buluur, yi ' rt bir foksiyodur. Ayr c e¼ger (2.4) eşitsizli¼gide y, x okts yklş rs s(x + 0) s(x) f(x + 0) f(x) (2.5) elde edilir. 9

18 Di¼ger yd x < y içi f(x + 0) f(x) s(y) s(x) eşitsizli¼gi s foksiyouu t m d kolyl kl görülebilir. limit l rs f(x + 0) f(x) s(x + 0) s(x) Burd y! x içi elde edilir. Burd ve (2.5) eşitsizli¼gide f(x + 0) f(x) = s(x + 0) s(x) olc¼g ç kt r. Doly s yl '(x + 0) = '(x) olur. Bezer bir şekilde '(x 0) = '(x) oldu¼gu d gösterilebilir. O hlde burd ' foksiyouu sürekli bir foksiyo oldu¼gu soucu ç k yor. 10

19 3. SINIRLI SALINIMLI FONKS IYONLAR Bu bölümde mooto foksiyolrl yk d ilişkili, öemli bir foksiyo s f ol s rl sl ml foksiyolrl ilgili temel kvrmlr verilecektir (Ntso 1964). T m 3.1 f foksiyou [; b] üzeride t ml ve reel de¼gerli olsu. [; b] rl ¼g P : = x 0 < x 1 < ::: < x = b oktlr yrd m yl lt rl klr bölelim ve X 1 V := V (f; P ) = jf(x k+1 ) f(x k )j toplm oluşturl m. Burd tüm ols V toplmlr kümesii e küçük üst b_ s r [; b] üzeride f foksiyouu toplm sl m deir ve V [;b] [f] vey (f) ile gösterilir. Yi şeklidedir. E¼ger V [;b] [f] = sup V (f; P ) P V [;b] [f] < 1 ise f foksiyou [; b] üzeride s rl sl ml d r deir. Burdki P = fx 0 ; x 1 ; :::; x g oktlr kümesie [; b] rl ¼g bir prçlms deir. Teorem 3.1 sl ml d r. [; b] rl ¼g d t ml mooto bir foksiyo [; b] rl ¼g d s rl Ispt. Teoremi rt bir foksiyo içi isptlmk yeterlidir. E¼ger f foksiyou [; b] üzeride rt ise tüm f (x k+1 ) f (x k ) frk egtif olmyd r ve X 1 V = f(xk+1) f(x k) = f(b) f() şeklidedir. Bu d teoremi isptlr. S rl sl ml foksiyolr örek olrk Lipschitz koşuluu s¼gly foksiyolr verilebilir. 11

20 T m 3.2 f foksiyou [; b] üzeride t ml ve reel de¼gerli olsu. [; b] rl ¼g d herhgi iki x ve y okts içi jf(x) f(y)j K jx yj olck şekilde bir K sbiti vrs f foksiyou Lipschitz koşuluu s¼glr deir. E¼ger f foksiyouu [; b] rl ¼g her okts d f 0 türevi vr ve f 0 s rl ise ortlm de¼ger teoremide f(x) f(y) = f 0 (z)(x y) (x < z < y) olur ve f foksiyou Lipschitz koşuluu s¼glr. Bu durumd jf(x k+1 ) f(x k )j K(x k+1 x k ) olc¼g d V K(b ) gerçekleir ve f s rl sl ml bir foksiyo olur. Örek 3.1 Toplm sl m solu olmy sürekli bir foksiyo x cos f(x) = ; 0 < x 1 2x 0 ; x = 0 foksiyou örek verilebilir. E¼ger [0; 1] rl ¼g şeklideki bir prçlms l rs 0 < 1 2 < < ::: < 1 3 < 1 2 < 1 V = ::: + 1 olur. Bu gibi prçlmlr üzeride supremum geçilirse V [0;1] [f] = 1 elde edilir. Teorem 3.2 [; b] üzeride s rl sl ml her foksiyo [; b] üzeride s rl d r. 12

21 Ispt. [; b] rl ¼g P : < x < b prçlms içi V = V (f; P ) = jf(x) f()j + jf(b) f(x)j V [;b] [f] olc¼g d jf(x) f()j V V [;b] [f] yz lbilir. Böylece jf(x)j jf()j + V [;b] [f] buluur ve teorem gerçekleir. Teorem 3.3 sl ml d r. S rl sl ml iki foksiyou toplm, frk ve çrp m d s rl Ispt. f ve g foksiyolr [; b] üzeride t ml, s rl sl ml foksiyolr olsu ve toplmlr s ile gösterelim. O hlde js(x k+1 ) s(x k )j jf(x k+1 ) f(x k )j + jg(x k+1 ) g(x k )j yz lbilir ve burd d V [;b] [s] V [;b] [f] + V [;b] [g] olur. Böylece s; s rl sl ml foksiyodur. f g frk d s rl sl ml oldu¼gu bezer şekilde isptlbilir. Şimdi kbul edelim ki f ve g s rl sl ml foksiyolr ve p(x) = f(x)g(x) olsu. A = sup fjf(x)jg ; B = sup fjg(x)jg [; b] üzeride l supremumlr ise jp(x k+1 ) p(x k )j jf(x k+1 )g(x k+1 ) f(x k )g(x k+1 )j + jf(x k )g(x k+1 ) f(x k )g(x k )j B jf(x k+1 ) f(x k )j + A jg(x x+1 ) g(x k )j olur. 13

22 Burd V [;b] [p] BV [;b] [f] + AV [;b] [g] s¼gl r. Doly s yl p; [; b] rl ¼g d s rl sl ml d r. Burd ş¼g dki soucu ispts z verelim. Teorem 3.4 E¼ger f ve g s rl sl ml foksiyolr ve g(x) > 0 ise f g bölümü de s rl sl ml bir foksiyodur. Teorem 3.5 f; [; b] üzeride t ml ve reel de¼gerli bir foksiyo ve < c < b olsu. O hlde V [;b] [f] = V [;c] [f] + V [c;b] [f] (3.1) gerçekleir. Ispt. [; c] ve [c; b] rl klr her birii y 0 = < y 1 < ::: < y m = c; z 0 = c < z 1 < ::: < z = b oktlr yrd m yl lt rl klr bölelim ve V 1 = mx 1 X 1 f(yk+1) f(y k) ; V2 = f(zk+1) f(z k) toplmlr oluşturl m. fy k g ve fz k g oktlr tüm [; b] rl ¼g böler. E¼ger V; bu prçlmy krş l k gele V = V 1 + V 2 şeklide bir toplm ise olur ve V 1 + V 2 V [;b] [f] V [;c] [f] + V [c;b] [f] V [;b] [f] (3.2) gerçekleir. Şimdi [; b] rl ¼g x 0 = < x 1 < ::: < x = b yrd m yl t ml prçlms l rs, prçlm bir okts olrk c okts içerilmesi gerekti¼gie dikkt edilmelidir. 14

23 c = x m yz lrk V toplm, yukr dki prçlmy krş l k gelecek şekilde V = mx 1 jf(x k+1 ) f(x k )j + X 1 k=m jf(x k+1 ) f(x k )j formud yz lbilir. V 1 ve V 2, [; c] ve [c; b] rl klr krş l k gelecek şekildeki toplmlr olmk üzere V toplm dh k s olrk V = V 1 + V 2 yz lbilir. Souç olrk V V [;c] [f] + V [c;b] [f] (3.3) olur. (3.3) eşitsizli¼gi, prçlm bir okts c ol prçlmlr krş l k gelecek şekildeki V toplmlr içi iş edilmiştir. Bu prçlmlr yei oktlr ekledi¼gide V toplm zltmyc¼g içi tüm V toplmlr içi (3.3) eşitsizli¼gi gerçekleir. Burd V [;b] [f] V [;c] [f] + V [c;b] [f] (3.4) oldu¼gu ç kç görülür. O hlde (3.2) ve (3.4) eşitsizli¼gide (3.1) elde edilir. Souç 3.1 < c < b olsu. E¼ger f foksiyou [; b] rl ¼g d s rl sl ml ise [; c] ve [c; b] rl klr d d s rl sl ml d r ve krş t d do¼grudur. Souç 3.2 E¼ger [; b] rl ¼g tmm, f foksiyouu mooto oldu¼gu solu sy d lt prçlr bölüebiliyors f foksiyou [; b] rl ¼g d s rl sl ml d r. Teorem 3.6 [; b] üzeride t ml ve reel de¼gerli bir f foksiyouu s rl sl ml olms içi gerek ve yeter koşul f foksiyouu iki rt foksiyou frk şeklide yz lbilmesidir. Ispt. Teorem 3.1 ve Teorem 3.3 de yeter koşul s¼gl r. Gerek şrt isptlmk içi (x) = V [;x] [f] ( < x b) () = 0 foksiyouu ll m. 15

24 Teorem 3.5 de rt bir foksiyodur. Ayr c (x) = (x) f(x) (3.5) foksiyou oluşturulurs di¼ger rt foksiyou elde edilmiş olur. Gerçekte, e¼ger x < y b ise Teorem 3.5 de (y) = (y) f(y) = (x) + V [x;y] [f] f(y) olur. Doly s yl (y) (x) = V [x;y] [f] [f(y) f(x)] : gerçekleir. Ay zmd toplm sl m t m d f(y) f(x) V [x;y] [f] oldu¼gu ç kç görülür. Burd (y) (x) 0 olur. O hlde rt bir foksiyodur. f foksiyouu f(x) = (x) (x) şeklideki isteile gösterimi (3.5) eşitli¼gide elde edilir. Souç 3.3 E¼ger f foksiyou [; b] rl ¼g d s rl sl ml ise [; b] rl ¼g heme heme her okts d f 0 türevi vrd r ve soludur. Ayr c f 0 ; [; b] rl ¼g d itegrlleebilir foksiyodur. Souç 3.4 S rl sl ml bir foksiyou süreksizlik oktlr kümesi sy lbilir sy dd r. Her x 0 süreksizlik okts d f(x 0 + 0) = lim f(x) x!x + 0 f(x 0 0) = lim x!x 0 f(x) limitleri vrd r. 16

25 Şimdi de s rl sl ml bir foksiyou, bir s çrm ve bir sürekli foksiyou toplm olrk yz lms problemii ele ll m. ve foksiyolr d e z d birii süreksizlik oktlr oluşturdu¼gu x 1 ; x 2 ; x 3 ; ::: ( < x < b) (3.6) şeklideki dizi ve ş¼g dki s çrm foksiyolr ll m. s (x) = [( + 0) ()] + X [(x k + 0) (x k 0)] +[(x) (x 0)] x k <x ( < x b) s (x) = [( + 0) ()] + X [(x k + 0) (x k 0)] + [(x) (x 0)] ; x k <x yr c s () = s () = 0 olsu. (E¼ger bir x k okts ve foksiyolr d birii bir süreklilik okts ise olr krş l k gele s çrmlr d s f r olur. Ayr c foksiyouu bir süreksizlik okts foksiyouu bir süreklilik okts olmyc¼g gösterilebilir, fkt bu pek öemli de¼gildir.) s(x) = s (x) s (x) olsu. s foksiyou ş¼g dki gibi yz lbilir: s(x) = [f( + 0) f()] + X [f(x k + 0) f(x k 0)] + [f(x) f(x 0)]; x k <x ( < x < b) s() = 0: s foksiyouu s rl sl ml bir foksiyo oldu¼gu ç kt r. Bu foksiyo, f foksiyouu s çrm foksiyoudur. (3.6) diziside f foksiyouu sürekli oldu¼gu oktlr ç kr l rs s foksiyouu de¼gişmeyece¼gi, t md şikrd r. (3.6) dizisideki x k oktlr f foksiyouu tüm süreksizlik oktlr olrk kbul edilebilir. Bir rt foksiyo ile ou s çrm foksiyou rs dki frk ile oluşturul foksiyo rt ve sürekli oldu¼gud (x) s (x); (x) s (x) foksiyolr sürekli ve rt olur. 17

26 Burd '(x) = f(x) s(x) frk sürekli s rl sl ml bir foksiyodur. Teorem 3.7 S rl sl ml her foksiyo, kedisii s çrm foksiyou ve sürekli, s rl sl ml bir foksiyou toplm olrk yz lbilir. 3.1 Sürekli S rl Sl ml Foksiyolr Teorem 3.8 f foksiyou [; b] rl ¼g d t ml s rl sl ml olsu. E¼ger f foksiyou x 0 okts d sürekli ise (x) = V [;x] [f] foksiyou d x 0 okts d süreklidir (Ntso 1964). Ispt. x 0 < b oldu¼guu kbul edelim. Öce, foksiyouu x 0 okts d s¼gd sürekli oldu¼guu gösterelim. " > 0 key bir sy olsu. [x 0 ; b] rl ¼g x 0 < x 1 < ::: < x = b oktlr yrd m yl lt rl klr bölelim. Böylece X 1 V = jf(x k+1 ) f(x k )j > V [x0 ;b] [f] " (3.7) olur. Yei oktlr ekledi¼gide V toplm sdece rt olc¼g d jf(x 1 ) f(x 0 )j < " oldu¼gu kbul edilebilir. (3.7) ifdeside X 1 X 1 V [x0 ;b] [f] < " + jf(x k+1 ) f(x k )j < 2" + jf(x k+1 ) gerçekleir. Doly s yl V [x0 ;x 1 ] [f] < 2" f(x k )j 2" + V [x1 ;b] [f] olur ve souç olrk yz l r. (x 1 ) (x 0 ) < 2" 18

27 Burd d (x 0 + 0) (x 0 ) < 2" gerçekleir. " key oldu¼gu içi (x 0 + 0) = (x 0 ) olur. Bezer şekilde (x 0 0) = (x 0 ) oldu¼gu d kolyl kl gösterilebilir. Yi foksiyou x 0 > ise x 0 okts d sold sürekli olur. Souç 3.5 Sürekli s rl sl ml bir foksiyo iki sürekli rt foksiyou frk olrk yz lbilir. Gerçekte, e¼ger f foksiyou [; b] rl ¼g d t ml sürekli s rl sl ml ise rt prçlr (x) = V [;x] [f] ve (x) = (x) f(x) ikisi de süreklidir (Ntso 1964). 3.2 S rl Sl ml Foksiyolr Uzy [; b] rl ¼g d s rl sl ml foksiyolr uzy BV [; b] ile ve s rl foksiyolr uzy d B [; b] ile gösterelim. Bu k s md, foksiyolr l ş lm ş toplm ve skler ile çrpm işlemlerie göre BV [; b] uzy bir lieer uzy ve üzeride t ml orm göre bir Bch uzy oldu¼gu gösterilecektir (Nir 2013). f 2 BV [; b] içi ş¼g dki özellikler ç kt r: f 2 BV [; b] () V [;b] [f] < 1: f 2 BV [; b] içi V [;b] [f] = 0 () f sbit bir foksiyodur. Teorem 3.9 E¼ger f; g 2 BV [; b] ve 2 R ise f + g; f 2 BV [; b] olur. Burd d V [;b] [f + g] V [;b] [f] + V [;b] [g] ; V [;b] [f] = jj V [;b] [f] gerçekleir. 19

28 Ispt. f; g 2 BV [; b] ve 2 R olsu. [; b] rl ¼g her P prçlms içi V (f + g; P ) V (f; P ) + V (g; P ) V (f) + V (g); V (f; P ) = jj V (f; P ) gerçekleir. Tüm bu prçlmlr üzeride supremum l rs V [;b] [f + g] V [;b] [f] + V [;b] [g] ; V [;b] [f] = jj V [;b] [f] olur. Doly s yl f + g; f 2 BV [; b] olur. Teorem 3.2 de [; b] üzeride supremum geçilirse ş¼g dki souç elde edilir. Souç 3.6 Her f 2 BV [; b] içi sup jf(x)j jf()j + V [;b] [f] xb olur. Özellikle BV [; b] B [; b] kpsms vrd r ve her f 2 BV [; b] içi gerçekleir. kfk 1 jf()j + V [;b] [f] Teorem 3.10 BV [; b] uzy lieer bir uzyd r ve kfk BV := jf()j + V [;b] [f] ifdesi BV [; b] uzy d bir orm t mlr ve BV [; b] uzy kfk BV ormu göre bir Bch uzy d r. Ispt. Ht rlc¼g gibi f 2 BV [; b] içi V [;b] [f] = 0 () f sbit bir foksiyodur. Doly s yl kfk BV = 0 () f = 0 olur. Souç 3.6 ve Teorem 3.9 d; BV [; b] uzy bir lieer uzy oldu¼gu ve kk BV i BV [; b] üzeride bir orm oldu¼gu elde edilir. Geriye, BV [; b] uzy tm oldu¼guu göstermek kl r. 20

29 Buu içi, kk BV ormu göre bir (f ) Cuchy dizisi ll m. Burd 8 " > 0 içi bir N 2 N sy s, 8 m; N içi jf () f m ()j + V [;b] [f f m ] < " (3.8) s¼glck şekilde vrd r. Doly s yl, Souç 3.6 d (f ); BV [; b] uzy d bir Cuchy dizisidir. BV [; b] ; kk 1 ormu göre Bch uzy oldu¼gu içi! 1 ike kf fk 1! 0 olck şekilde f 2 B [; b] vrd r. Özellikle,! 1 ike f! f oktsld r. Burd, [; b] rl ¼g her P prçlms ve jf () f()j + V (f f; P ) = lim m!1 fjf () f m ()jg + V (f f m ; P ) yz lbilir. Doly s yl (3.8) ifdeside 8 m; N içi jf () f()j + V (f f; P ) " s¼gl r ve bu ifde [; b] rl ¼g tüm prçlms içi gerçekledi¼gide f f 2 BV [; b] olur ve özellikle, f = f (f f) 2 BV [; b] ve 8 N içi kf fk BV = jf () f()j + V [;b] [f f] " gerçekleir. O hlde, (f ) Cuchy dizisi, kk BV ormu göre f 2 BV [; b] foksiyou yk sr. Uyr 3.1 [; b] rl ¼g d s rl sl ml foksiyolr kfk T V := V [;b] [f] yr ormu ile dot l s f T V [; b] ile gösterilecektir. 3.3 Riem-Stieltjes Itegrli Bu k s md, Riem itegrlii öemli bir geellemesi ol Riem-Stieltjes itegrli ele l ckt r (Ntso 1964). T m 3.3 f ve g foksiyolr [; b] rl ¼g d t ml olsulr. [; b] rl ¼g P : = x 0 < x 1 < ::: < x = b oktlr yrd m yl lt rl klr bölelim. 21

30 k = 0; 1; :::; 1 içi [x k ; x k+1 ] rl ¼g d bir k okts seçelim ve toplm oluşturl m. E¼ger X 1 =: (f; P; k ) = f( k )[g(x k+1 ) g(x k )] = mx(x k+1 x k )! 0 ike toplm, prçlm ve k oktlr seçimide b¼g ms z olrk solu bir I limitie giderse bu limite f foksiyouu g foksiyou göre Riem-Stieltjes itegrli deir ve ile gösterilir. f(x)dg(x) vey (S) f(x)dg(x) Bu t m, ş¼g dki lmdd r: E¼ger, her " > 0 sy s krş l k bir > 0 sy s ; key bir prçlm içi < ike j Ij < " eşitsizli¼gi, k oktlr her seçimi içi s¼glck şekilde vrs, I sy s f foksiyouu g foksiyou göre Stiletjes itegrli deir. g(x) = x içi Stieltjes itegrlii özel bir hli ol Riem itegrli elde edilir. Stieltjes itegrlii ş¼g d verile özellikleri ç kt r R b R b R b R b [f 1 (x) + f 2 (x)] dg(x) = f 1 (x)dg(x)+ f 2 (x)dg(x); R b R b f(x)d [g 1 (x) + g 2 (x)] = f(x)dg 1 (x)+ f(x)dg 2 (x); 3. E¼ger k ve l sbitler ise 4. E¼ger < c < b ve R b R b kf(x)dlg(x) = kl f(x)dg(x); f(x)dg(x) = Z c f(x)dg(x) + f(x)dg(x) (3.9) c eşitli¼gideki itegrller vrs (3.9) eşitli¼gi gerçekleir. Bu so özelli¼gi isptlmk içi, R b f dg itegrli içi toplm oluştururke sdece c okts prçlm oktlr içide oldu¼guu görmek gereklidir. 22

31 R b R c R b f dg itegrlii vrl ¼g fdg ve f dg itegrllerii her ikisii de vrl ¼g gerektirdi¼gii isptlmk zor de¼gildir fkt buu üzeride durulmyckt r. Krş t c durumu geçerli olmyc¼g göstermek dh ilgiçtir. Örek 3.2 f ve g foksiyolr [ 1; 1] rl ¼g d t ml 0; 1 x 0 0; 1 x < 0 f(x) = 1; 0 < x 1 ; g(x) = 1; 0 x 1 şeklideki foksiyolr olsulr. Z 0 1 f(x)dg(x); Z 1 0 f(x)dg(x) itegrllerii mevcut oldu¼gu kolyl kl görülebilir (Çükü tüm toplmlr s f r eşittir). Fkt y zmd Z 1 itegrli mevcut de¼gildir. Özel olrk [ 1 f(x)dg(x) okts olmyck şekilde lt rl klr bölelim ve 1; 1] rl ¼g, 0 okts prçlm bir X 1 = f( k ) [g(x k+1 ) g(x k )] toplm oluşturl m. E¼ger x i < 0 < x i+1 ise yl z i: terim toplm d kl r, çükü e¼ger x k ve x k+1 oktlr 0 okts y trf d yer l rs g(x k ) = g(x k+1 ) olur. Bu, = f( i ) [g(x i+1 ) g(x i )] = f( i ) olms gerektirir. i 0 vey i > 0 olms b¼gl olrk = 0 vey = 1 olur ve böylece toplm limite ship de¼gildir. Souç 3.7 R b f(x)dg(x) ve g(x)df(x) itegrllerii birii vrl ¼g di¼gerii vrl ¼g gerektirir. Bu durumd R b f(x)dg(x) + g(x)df(x) = [f(x)g(x)] b (3.10) gerçekleir. 23

32 Burd [f(x)g(x)] b = f(b)g(b) f()g() (3.11) (3.10) ifdesi k smi itegrsyo formülüdür. Ispt. bölelim ve Kbul edelim ki R b g(x)df(x) mevcut olsu. X 1 = f( k ) [g(x k+1 ) g(x k )] toplm oluşturl m. toplm y zmd X 1 = f( k )g(x k+1 ) şeklide yz lbilir ve bu ifde = X 1 f( k )g(x k ) [; b] rl ¼g lt rl klr X 1 g(x k ) f( k ) f( k 1 ) + f( 1 )g(x ) f( 0 )g(x 0 ) olur. (3.11) ifdeside ekleme ve ç krmlrl so eşitli¼gi s¼g trf X 1 = [f(x)g(x)] b fg() [f( 0 ) f()]+ g(x k ) f( k ) f( k 1 ) +g(b) f(b) f( 1 ) g buluur. Küme prtezleri içideki ifde, [; b] rl ¼g prçlm oktlr, ::: 1 b ol ve ; x 1 ; x 2 ; :::; x 1 ; b oktlr, [; 0 ] ; 0; 1 ; :::; 1 ; b kpl rl klr oktlr olmk üzere, şey de¼gildir. mx(x k+1 R b x k )! 0 ike gdf itegrli içi oluşturul toplmd bşk bir mx( k+1 k )! 0 olur. Böylece küme prtezii içideki toplm ispt tmmlr. R b gdf itegrlie gider. Bu d Stieltjes itegrlii hgi koşullr lt d vr oldu¼guu düşümek do¼gld r. Bu do¼grultud, sdece ş¼g dki teorem verilecektir. Teorem 3.11 E¼ger f foksiyou [; b] rl ¼g d sürekli ve g foksiyou d bu rl kt s rl sl ml ise f(x)dg(x) itegrli vrd r. 24

33 Ispt. g foksiyou rt kbul edilebilir, çükü s rl sl ml her foksiyo iki rt foksiyou frk şeklide yz lbilir. [; b] rl ¼g x 0 = < x 1 < ::: < x = b oktlr yrd m yl lt rl klr bölelim ve f foksiyouu [x k ; x k+1 ] rl ¼g d e küçük ve e büyük de¼gerlerii s rs yl m k ve M k ile gösterelim. X 1 X 1 s = m k [g(x k+1 ) g(x k )] ; S = M k [g(x k+1 ) g(x k )] olsu. [x k ; x k+1 ] rl ¼g d tüm k oktlr seçimi içi s S (3.12) olc¼g ç kt r. Ay zmd, lt rl klr yei oktlr ekledi¼gide s toplm zlmz, S toplm rtmz. Burd s toplmlr hiçbiri herhgi bir S toplm geçemez. Gerçekte [; b] rl ¼g I ve II prçlmlr ve bulr krş l k gele s 1 ; S 1 ve s 2 ; S 2 toplmlr l rs, bu durumd I ve II prçlmlr dki oktlr birleşimi ile oluş III prçlms oluşturulbilir. Bu prçlmy krş l k gele s 3 ve S 3 toplmlr içi s 1 s 3 S 3 S 2 olur, böylece s 1 S 2 buluur. Buu kl m zd tutrk, tüm lt toplmlr fsg kümesii e küçük üst s r I sembolü ile gösterelim: I = sup fsg : Her prçlm içi s I S olur ve souç olrk (3.12) ifdeside j Ij < S s gerçekleir. Key bir " > 0 krş l k bir > 0 sy s ; jx 00 x 0 j < ike jf(x 00 ) f(x 0 )j < " olck şekilde bulubilirse, bu durumd < içi M k m k < " (k = 0; 1; :::; 1) olur. 25

34 Bu göre S s < " [g(b) g()] yz lbilir. Burd < içi gerçekleir. Di¼ger bir ifdeyle olur. Böylece I, R b f(x)dg(x) itegrlidir. j Ij < " [g(b) g()] lim = I!0 Bu teoremde, s rl sl ml her foksiyou sürekli her foksiyo göre itegrlleebilir oldu¼gu elde edilir. Teorem 3.12 E¼ger f foksiyou [; b] rl ¼g d sürekli ve g foksiyou [; b] rl ¼g her okts d bir Riem itegrlleebilir g 0 türevie shipse (S) f(x)dg(x) = (R) f(x)g 0 (x)dx (3.13) gerçekleir. Ispt. Teoremi koşullr d g; Lipschitz koşuluu s¼glr doly s yl s rl sl ml d r. Böylece (3.13) ifdesii sol trf dki itegrl vrd r. Di¼ger yd, g 0 foksiyou ve fg 0 çrp m heme heme her yerde süreklidir böylece (3.13) ifdesii s¼g trf d vrd r. Burd geriye (3.13) ifdesii iki trf birbirie eşit oldu¼guu göstermek kl r. Buu içi [; b] rl ¼g = x 0 < x 1 < ::: < x = b oktlr yrd m yl lt rl klr bölelim. Her g(x k+1 ) g(x k ) frk ortlm de¼ger teoremi uygul rs g(x k+1 ) g(x k ) = g 0 (x k )(x k+1 x k ) (x k < x k < x k+1 ) olur. R b fdg itegrli içi toplm oluşturulurke k okts içi ortlm de¼ger teoremide orty ç k x k okts l bilir. Burd toplm X 1 = f(x k )g 0 (x k )(x k+1 x k ) olur. 26

35 Bu toplm fg 0 foksiyou içi bir Riem toplm d r. Prçlm iceltilerek ve limit l rk (3.13) ifdesi elde edilir. Teorem 3.13 f foksiyou [; b] rl ¼g d sürekli ve g foksiyou d < c 1 < c 2 < ::: < c m < b olmk üzere (; c 1 ); (c 1 ; c 2 ); ::: ; (c m ; b) rl klr her biride sbit olsu. O hlde f(x)dg(x) = f()[g( + 0) g()] + (3.14) olur. mx + f(c k ) [g(c k + 0) g(c k 0)] + f(b) [g(b) g(b 0)] Ispt. P V [;b] [g] = jg( + 0) g()j + m fjg(c k ) g(c k 0)j + + jg(c k + 0) g(c k )jg + jg(b) g(b 0)j oldu¼gu kolyl kl görülebilir. Doly s yl g foksiyou [; b] rl ¼g d s rl sl m shiptir. Böylece g foksiyou [; b] rl ¼g tüm lt rl klr d s rl sl ml d r. O hlde c 0 = ; c m+1 = b yz l rs olur. Geriye, R c k+1 c k f(x)dg(x) = mx cz k+1 c k f(x)dg(x) (3.15) f(x)dg(x) itegrlii hesplmk kl r. [c k ; c k+1 ] lt rl ¼g ve bu rl k içi oluşturul toplm di¼ger terimler s f r gitti¼gi içi olur. Böylece cz k+1 = f( 0 ) [g(c k + 0) g(c k )] + f( 1 ) [g(c k+1 ) g(c k+1 0)] c k f(x)dg(x) = f(c k ) [g(c k + 0) g(c k )] + f(c k+1 ) [g(c k+1 ) g(c k+1 0)] gerçekleir. Burd ve (3.15) eşitli¼gide (3.14) elde edilir. 27

36 3.4 Riem- Stieltjes Itegrli Alt d Limite Geçme Teorem 3.14 f foksiyou [; b] rl ¼g d sürekli ve g foksiyou d [; b] - rl ¼g d s rl sl ml ise M(f) := mx jf(x)j olmk üzere f(x)dg(x) M(f)V [;b] [g] (3.16) gerçekleir. Ispt. [; b] rl ¼g bir prçlms ve k oktlr key seçimi içi X 1 1 jj = f( k ) [g(x k+1 ) g(x k )] M(f) X jg(x k+1 ) g(x k )j M(f)V [;b] [g] oldu¼gud (3.16) elde edilir. Teorem 3.15 g; [; b] rl ¼g d t ml s rl sl ml bir foksiyo ve f (x) de [; b] rl ¼g d f foksiyou düzgü yk sy sürekli foksiyolr bir dizisi ise gerçekleir. Ispt. lim!1 f (x)dg(x) = f(x)dg(x) M(f f) = mx jf (x) f(x)j olsu. (3.16) eşitsizli¼gide f (x)dg(x) gerçekleir ve hipotezde oldu¼gud ispt tmml r. f(x)dg(x) M(f M(f f)! 0 f)v [;b] [g] 28

37 Teorem 3.16 (Helly i Ilk Teoremi) [; b] rl ¼g d t ml foksiyolr sosuz bir ilesi F = ff(x)g olsu. Ailedeki her foksiyo ve her foksiyou toplm sl m tek bir sy ile s rl yi jf(x)j K; V [;b] [f] K ise her f 2 F ileside, [; b] rl ¼g her okts d s rl sl ml bir ' foksiyou yk sy ff (x)g dizisi bulubilir. Teorem 3.17 (Helly i Ikici Teoremi) f foksiyou [; b] rl ¼g d sürekli ve fg (x)g ; [; b] rl ¼g her bir okts d, bir g s rl foksiyou yk sy bir dizi olsu. E¼ger her içi V [;b] [g ] < K ise bu durumd gerçekleir. lim!1 f(x)dg (x) = f(x)dg(x) (3.17) 3.5 Lieer Foksiyoeller T m 3.4 g; [; b] rl ¼g d t ml s rl sl ml bir foksiyo olsu. foksiyo yrd m yl [; b] rl ¼g d t ml sürekli her f foksiyou içi Bu (f) = f(x)dg(x) (3.18) eşitli¼gi oluşturulbilir. Bu foksiyouu ş¼g dki özellikleri ç kt r. (1) (f 1 + f 2 ) = (f 1 ) + (f 2 ) (2) j(f)j KM(f); (M(f) = mx jf(x)j ve K = V [;b] [g]) (f); [; b] rl ¼g d t ml sürekli her f foksiyou içi (1) ve (2) özelliklerii s¼glyck şekilde bir foksiyo ise bu (f) foksiyou, [; b] rl ¼g d t ml sürekli foksiyolr uzy d s rl lieer foksiyoel deir. 29

38 (3.18) ifdeside oluşturul Riem-Stieltjes itegrli C [; b] uzy d s rl lieer foksiyoeldir. Buul ilgili ülü bir teorem ilk def F. Riesz trf d C [; b] uzy d yl zc s rl lieer foksiyoeller içi isptlm şt r. Teoremi isptlmd öce e¼ger (f); C [; b] uzy d sürekli lieer foksiyoel ise her k skleri ve f 2 C [; b] içi (kf) = k(f) oldu¼guu belirtelim. Teorem 3.18 (Riesz Gösterim Teoremi). (f); [; b] rl ¼g d t ml sürekli foksiyolr C [; b] uzy üzeride s rl lieer bir foksiyoel olsu. Bu durumd her f 2 C [; b] içi (f) = f(x)dg(x) (3.19) olck şekilde [; b] rl ¼g d s rl sl ml bir g foksiyou vrd r. Ispt. = 0; b = 1 oldu¼gu durumu düşümek yeterlidir. Çükü geel durum, x de¼gişkeii bir lieer döüşümüü kull m ile bu idirgeebilir. Biom ç l m d = x; b = 1 l rs x k (1 x) k = 1 k olur. x 2 [0; 1] içi bu toplm her terimi egtif olmyd r. Burd, e¼ger x " k = 1 (k = 0; 1; :::; ) ise olur. " k x k (1 x) k 1 (3.20) k Şimdi C [0; 1] uzy tüm f foksiyolr içi t ml lieer (f) foksiyoelii düşüelim. 30

39 Lieer foksiyoel t m d, j(f)j KM(f) olck şekilde bir K sy s vrd r. Burd ve (3.20) eşitsizli¼gide " k x k (1 x) k K k gerçekleir. " k sy lr seçimide doly so toplm tüm terimleri egtif olmyd r. O hlde burd d x k (1 k x) k K (3.21) gerçekleir. Şimdi de g (0) = 0 g (x) = 0 x 0 (1 x) 0 0 < x < 1 g (x) = 0 x 0 (1 x) 0 + x 1 (1 x) 1 1 x < 2 ::: X 1 g (x) = k x k (1 x) k 1 x < 1 g (1) = k x k (1 x) k 1 şeklide bir g (x) merdive foksiyou t mlyl m. (3.21) ifdeside g (x) foksiyolr ve toplm sl mlr bir tek sy ile s rl olurlr. Böylece Helly i ilk teoremide [0; 1] rl ¼g her okts d bir g s rl sl ml foksiyou yk sy fg (x)g dizisii bir g j (x) herhgi bir sürekli foksiyo ise Teorem 3.13 de olur ve burd Z 1 0 f(x)dg (x) = B (f; x) = lt dizisi vrd r. E¼ger f; [0; 1] rl ¼g d t ml f k k f k x k (1 x) k k x k (1 x) k f foksiyouu : derecede Berstei poliomu olmk üzere Z 1 f(x)dg (x) = [B (f; x)] gerçekleir. 0 31

40 Berstei Teoremide! 1 ike M(B f f)! 0 gerçekleir, yr c s rl lieer foksiyoel t m d j(b f) (f)j = j(b f f)j KM j(b f f)j olur. Bu göre,! 1 içi olup Helly i ikici teoremide (B f)! (f) Z 1 Z 1 lim f(x)dg (x) = f(x)dg(x)!1 0 0 gerçekleir. Böylece olur. Bu d teoremi isptlr. Z 1 (f) = f(x)dg(x) S rs z Arl kt S rl Sl ml Foksiyolr Pek çok uygulmd özellikle ols l k teoriside ( 1; 1) s rs z rl ¼g d s rl sl ml foksiyolr çok kull şl d r (Ntso 1964). T m 3.5 f foksiyou 1 < x < 1 rl ¼g dki tüm x oktlr içi t ml olsu. E¼ger her < b içi V [;b] [f] < 1 ve sup V [;b] [f] solu ise f foksiyou <b ( 1; 1) rl ¼g d s rl sl ml d r deir ve f foksiyouu toplm sl m sup V [;b] [f] = V [ <b 1;1] [f] ile gösterilir. Teorem 3.19 V [ 1;1] [f] = lim!1 V [ ;] [f] Ispt. Teoremi ispt t md ç kt r. 32

41 T m 3.6 V [ 1;] [f] ve V [;1] [f] V [ 1;] [f] = lim b! 1 V [b;] [f] ; V [;1] [f] = lim b!1 V [;b] [f] olrk t ml r. Bu durumd ş¼g dki teorem ispts z olrk verilebilir. Teorem 3.20 < b içi (1) V [ 1;b] [f] = V [ 1;] [f] + V [;b] [f] (2) V [ 1;1] [f] = V [ 1;] [f] + V [;1] [f] (3) V [;1] [f] = V [;b] [f] + V [b;1] [f] şeklidedir. Teorem 3.21 f foksiyou ( 1; 1) rl ¼g d s rl sl ml foksiyo ise gerçekleir. lim V [ 1;x] [f] = 0 (3.22) x! 1 lim V [x;1] [f] = 0 (3.23) x! 1 Ispt. (3.23) eşitli¼gi içi ispt ypl m. V [ 1;1] [f] = sup V [ her " > 0 sy s içi 1;] [f] oldu¼gud olck şekilde bir sy s vrd r. Ayr c V [ 1;1] [f] " < V [ 1;] [f] V [ 1;1] [f] = V [ 1;] [f] + V [;1] [f] olur. Burd d V [;1] [f] < " yz lbilir. Bu d (3.23) eşitli¼gii isptlr. Bezer şekilde (3.22) eşitli¼gi de gösterilebilir. Teorem 3.22 E¼ger V [ 1;1] [f] < 1 ise f foksiyou s rl d r. 33

42 Ispt. herhgi bir sy olmk üzere, her x > içi jf(x) f()j V [;x] [f] V [ 1;1] [f] olur. Bezer olrk, e¼ger x < ise jf() f(x)j V [ 1;1] [f] gerçekleir. Doly s yl tüm x 6= içi jf(x)j jf()j + V [ 1;1] [f] olur. Teorem 3.3 ve Teorem 3.4 ü, ( içi geçerli oldu¼gu kolyl kl görülebilir. 1; 1) rl ¼g dki s rl sl ml foksiyolr Teorem 3.23 f foksiyou ( 1; 1) rl ¼g d t ml s rl sl ml bir foksiyo ise lim (x) = 0 olmk üzere f foksiyou x! 1 f(x) = (x) (x) şeklideki iki s rl mooto rt foksiyou frk olrk yz lbilir. Ispt. (x) = V [ 1;x] [f] ve (x) = (x) f(x) olsu. foksiyouu rt oldu¼gu ç kt r ve Teorem 3.21 de lim (x) = 0 olur. foksiyouu mooto x! 1 oldu¼guu göstermek içi Teorem 3.6 dki yötem kull lbilir. Uyr 3.2 Teorem 3.23 ü krş t Teorem 3.3 ü ç k bir soucudur. Souç 3.8 f foksiyou ( ise lim f(x) ve lim f(x) mevcuttur. x!1 x! 1 Teorem 3.6 dki Souç 3.3 ve Souç 3.4 ( foksiyolr içi geçerlidir. Teorem 3.7 de ( 1; 1) rl ¼g d t ml s rl sl ml bir foksiyo 1; 1) rl ¼g d t ml s rl sl ml 1; 1) rl ¼g d t ml s rl sl ml foksiyolr içi de geçerlidir. Buu işs sl d birz dh bsittir. 34

43 Her x içi s (x) = X x k <x [(x k + 0) (x k 0)] + [(x) (x 0)] ve s (x) = X x k <x [(x k + 0) (x k 0)] + [(x) (x 0)] olsu. x 1 ; x 2 ; x 3 ; :::; oktlr vey foksiyolr d e z birii süreksizlik oktlr ise, s(x) = s (x) s (x) ve '(x) = f(x) s(x) lrk '; ( 1; 1) rl ¼g d t ml sürekli s rl sl ml bir foksiyo oldu¼gud f(x) = '(x) + s(x) olur. Ayr c, ve foksiyolr olmk üzere ll m. Bu durumd 1 = 1 d limiti 0 ol mooto rt foksiyolr lim (x) ve (x) = (x) x! 1 f(x) = (x) (x) olur. ( 1; 1) rl ¼g d t ml s rl sl ml g ve s rl sürekli f foksiyolr 1R içi f(x)dg(x) Stieltjes itegrlide bhsedilebilir ve Z 1 1 f(x)dg(x) = lim f(x)dg(x)! 1 b!1 olrk t mlbilir. K smi itegrsyo hriç, K s m (3.3) ü teoremleri bu itegrl içi bezerdir ve! Helly i ikici teoremi ( Öre¼gi ve g (x) = (x 1; b! 1 giderke limitler l rk yp lml d r. 1; 1) rl ¼g dki foksiyolr içi geçerli de¼gildir. 8 0; x 0 >< (x) = x; 0 x 1 >: 1; x > 1 ) ( = 1; 2; 3; :::) ise her x içi g(x) = lim!1 g (x) = 0 ve Z 1 lim 1dg (x) = 1 6= 0 =!1 1 Z 1 1 1dg(x) olur. Helly i ikici teoremii bezerii elde etmek içi yei bir foksiyo s f üretilmelidir. 35

44 Burd 1 < x < 1 rl ¼g d t ml, sürekli ve lim f(x) = lim f(x) = 0 x!1 x! 1 özelli¼gii s¼gly f foksiyolr s f C 1 ile gösterelim. Teorem 3.24 fg (x)g ; 1 < x < 1 rl ¼g d t ml olck şekilde bir foksiyo dizisi olsu. Her içi V [ 1;1] [g ] < K ve her x; 1 < x < 1 içi lim g (x)!1 vrd r. Her f 2 C 1 içi gerçekleir. Z 1 lim f(x)dg (x) =!1 1 Z 1 1 f(x)dg(x) Ispt. Bu, Helly i ikici teoremii bsit bir soucudur. Öcelikle V [ 1;1] [g] K ç kt r. " key bir pozitif sy olmk üzere bir A sy s jxj A içi jf(x)j < " 8K olck şekilde bulubilir. Burd d e¼ger '; sl m K d küçük ol herhgi bir foksiyo ise K = " 8 olmk üzere Z A 1 Z 1 A f(x)d'(x) < " 8K f(x)d'(x) < " 8 olur. Burd Z 1 Z 1 f(x)dg (x) f(x)dg(x) 1 1 Z A Z A f(x)dg (x) f(x)dg(x) + A A Z A Z f(x)dg (x) + A f(x)dg(x) Z A Z A < f(x)dg (x) f(x)dg(x) + " 2 A A Z 1 A f(x)dg (x) + Şimdi, sdece Helly i ikici teoremii uygulms kl r. Souç olrk, ( Z 1 A f(x)dg(x) 1; 1) rl ¼g d t ml s rl sl ml foksiyolr içi Riesz gösterim teoremii bezeride bhsedilmelidir. 36

45 Teorem 3.25, C 1 uzy d t ml s rl lieer bir foksiyoel olsu. Yi, her f 2 C 1 içi t ml bir (f) foksiyou (f 1 + f 2 ) = (f 1 ) + (f 2 ) ve j(f)j A mx jf(x)j x olck şekilde t ml d r. Bu durumd her f 2 C 1 içi (f) = Z 1 f(x)dg(x) 1 olur. 37

46 4. MUTLAK SÜREKL I FONKS IYONLAR Bu bölümde, s rl sl ml foksiyolr özel bir s f ol mutlk sürekli foksiyolr s f l ckt r. Bu foksiyolr, bir dizi uygulmlr içi öemlidir (Ntso 1964). T m 4.1 f; [; b] rl ¼g d t ml, s rl bir foksiyo olsu. E¼ger her " > 0 içi bir > 0 sy s ; 1 < b 1 2 < b 2 ::: < b ve (b k k ) < (4.1) şrt s¼gly tüm 1 ; b 1 ; :::; ; b sy lr içi ff(b k ) f( k )g < " (4.2) olck şekilde bulubiliyors f foksiyou [; b] üzeride mutlk süreklidir deir. Mutlk sürekli her foksiyo süreklidir, burd = 1 durumu, süreklilik t m verir. Ayr c sürekli foksiyolr mutlk sürekli olmd ¼g gösterilebilir. T m lm de¼giştirilmede (4.1) koşulu jf(b k ) f( k )j < " (4.3) şeklideki dh güçlü (4.3) koşulu ile de¼giştirilebilir. Gerçekte, > 0 sy s ff(b k ) f( k )g < " 2 eşitsizli¼gi, (4.1) de elde edilecek şekildeki bir sy olsu. Burd (4.1) eşitsizli¼gi gerçekleecek şekilde ikişerli yr k ç k f( k ; b k )g (k = 1; 2; :::; ) rl klr key bir sistemi l rk bu sistem A ve B prçlr yr lbilir. f(b k ) f( k ) 0 olck şekildeki ( k ; b k ) rl klr A prçs, geriye kl tüm rl klr d B prçs koyulurs elde edilir. X jf(b k ) f( k )j = A X jf(b k ) f( k )j = B X ff(b k ) f( k )g < " 2 A X ff(b k ) f( k )g < " 2 38 B

47 O hlde (4.3) ifdesi s¼gl r. (4.3) toplm tüm terimleri egtif olmy ve key sy d oldu¼gud, her " > 0 sy s krş l k bir > 0 sy s f( k ; b k )g ikişerli yr k ç k rl klr key bir solu vey sy lbilir sistemi içi X (b k k ) < k ike gerçekleecek şekilde vrd r. X jf(b k ) f( k )j < " k [ k ; b k ] rl klr d f foksiyouu sl mlr ile mutlk süreklili¼gi t m dki jf(b k ) f( k )j rt şlr de¼giştirmek mümküdür. Bu iddiy isptlyl m. m k ve M k s rs yl f foksiyouu [ k ; b k ] rl ¼g d e küçük ve e büyük de¼gerleri olsu. Bu durumd, [ k ; b k ] rl ¼g d f( k ) = m k ; f( k ) = M k olck şekilde k ve k oktlr vrd r. ( k ; k ) rl klr boylr toplm ( k ; b k ) rl klr boylr toplm d küçük y d eşit oldu¼gu içi X [f( k ) f( k )] < " k gerçekleir. Doly s yl e¼ger f mutlk sürekli bir foksiyo ise her " > 0 sy s krş l k bir > 0 vrd r öyle ki, ikişerli yr k ç k f( k ; b k )g rl klr key bir solu vey sy lbilir sistemi içi X (b k k ) < ike X! k < " k k gerçekleir. (! k ; f foksiyouu [ k ; b k ] rl ¼g dki sl m göstermektedir.) Lipschitz koşuluu s¼gly bir f foksiyou jf(x 00 ) f(x 0 )j K jx 00 x 0 j mutlk sürekli foksiyo bsit bir örektir. 39

48 Teorem 4.1 f ve g mutlk sürekli foksiyolr ise toplmlr, frklr ve çrp mlr d mutlk süreklidir. E¼ger g hiçbir yerde s f r de¼gilse f bölümü de mutlk g süreklidir. Ispt. Toplm ve frk mutlk süreklili¼gi jff(b k ) g(b k )g ff( k ) g( k )gj jf(b k ) f( k )j + jg(b k ) g( k )j ifdeside elde edilir. Ayr c e¼ger A ve B; jf(x)j ve jg(x)j içi üst s rlr ise jf(b k )g(b k ) f( k )g( k )j jg(b k )j jf(b k ) f( k )j + + jf( k )j jg(b k ) g( k )j B jf(b k ) f( k )j + A jg(b k ) g( k )j eşitsizli¼gide f g çrp m mutlk süreklili¼gi elde edilir. Souç olrk e¼ger g hiçbir yerde s f r de¼gil ve jg(x)j > 0 ise burd 1 1 g(b k ) g( k ) jg(b k) g( k )j 2 1 elde edilir. foksiyou mutlk sürekli ve iki mutlk sürekli foksiyou çrp m g mutlk sürekli oldu¼gud f(x) g(x) = f(x) 1 mutlk sürekli olur. g(x) E¼ger f foksiyou [; b] rl ¼g d mutlk sürekli ve F de [mi f; mx f] rl ¼g d mutlk sürekli ise F f bileşke foksiyou mutlk sürekli olbilir vey olmybilir. Burd şimdilik, F f foksiyouu mutlk sürekli oldu¼gu iki bsit koşul ile ilgileilecektir. Teorem 4.2 f foksiyou [; b] rl ¼g d t ml, mutlk sürekli bir foksiyo ve f foksiyouu tüm de¼gerleri [A; B] rl ¼g d olsu. E¼ger F; [A; B] rl ¼g d t ml, Lipschitz koşuluu s¼gly bir foksiyo ise F f bileşke foksiyou [A; B] rl ¼g d mutlk süreklidir. Ispt. E¼ger jf (y 00 ) F (y 0 )j K jy 00 y 0 j ise ( k ; b k ) ikişerli yr k ç k rl klr key bir sistemi içi jf [f(b k )] F [f( k )]j K jf(b k ) f( k )j P gerçekleir. Bu eşitsizli¼gi s¼g trf (b k k ) ile birlikte, isteildi¼gi kdr küçük yp lbilir. 40

49 Teorem 4.3 f; [; b] rl ¼g d mutlk sürekli ve kesi rt bir foksiyo olsu. E¼ger F; [f(); f(b)] rl ¼g d mutlk sürekli ise F f bileşke foksiyou d [; b] rl ¼g d mutlk süreklidir. Ispt. " > 0 key bir sy ve > 0; (A k ; B k ) ikişerli yr k ç k rl klr (B k A k ) < koşuluu s¼gly key bir sistemi ike jf (B k ) F (A k )j < " gerçekleecek şekildeki " sy s b¼gl ol sy olsu. Burd, bu içi bir > 0 sy s ; ( k ; b k ) rl klr ikişerli yr k olm şrt ile mx (b k k ) < ike [f(b k ) f( k )] < olck şekilde vrd r. Şimdi, boylr toplm d küçük ol ve ikişerli yr k, key ( k ; b k ) rl klr bir sistemi iceleecektir. (f( k ); f(b k )) rl klr d i- kişerli yr k olup, bulr uzuluklr toplm d küçüktür. Böylece mx jf [f(b k )] F [f( k )]j < " olur. Bu d ispt tmmlr. 4.1 Mutlk Sürekli Foksiyolri Diferesiyel Özellikleri Teorem 4.4 Mutlk sürekli her foksiyo s rl sl ml d r. Ispt. f; [; b] rl ¼g d t ml mutlk sürekli bir foksiyo olsu. Bir > 0 sy s ; ikişerli yr k f( k ; b k )g ç k rl klr her sistemi içi (b k k ) < ike 41

50 jf(b k ) f( k )j < 1 olck şekilde seçelim. [; b] rl ¼g c 0 = < c 1 < c 2 ::: < c N = b oktlr yrd m yl c k+1 c k < (k = 0; 1; :::; N 1) olck şekilde prçlr bölelim. Bu durumd, [c k ; c k+1 ] rl ¼g her prçlms içi f foksiyouu bu prçlmlrdki mutlk rt şlr toplm 1 de küçüktür. O hlde V [ck ;c k+1 ] [f] 1 ve böylece V [;b] [f] N olur. Souç 4.1 f; [; b] rl ¼g d mutlk sürekli bir foksiyo ise f 0 türevi vrd r ve [; b] rl ¼g heme heme her okts d s rl d r. Ayr c f 0 türevi [; b] rl ¼g d itegrlleebilirdir. Teorem 4.5 Mutlk sürekli bir f foksiyouu f 0 türevi heme heme her yerde s f r ise f foksiyou sbittir. Ispt. E; (; b) rl ¼g d f 0 (x) = 0 şrt s¼gly x oktlr oluşturdu¼gu küme olsu. " > 0 ll m. E¼ger x 2 E ise yeterice küçük her h > 0 içi f(x + h) h f(x) < " (4.4) olur. Burd, h > 0 ve (4.4) koşulu s¼glck şekildeki [x; x + h] kpl rl klr E kümesii Vitli lm d örter. 42

51 Doly s yl, bulrd, (; b) rl ¼g d bulu solu sy d ikişerli yr k d 1 = [x 1 ; x 1 + h 1 ] ; d 2 = [x 2 ; x 2 + h 2 ] ; :::; d = [x ; x + h ] kpl rl klr, E i bu rl klr trf d kpsmy k sm d ş ölçüsü, key bir > 0 sy s d küçük olck şekilde seçilebilir. Bu yoll elde edile rl klr geelli¼gi bozmyck şekilde x k < x k+1 şeklide s rlybiliriz. E¼ger [; x 1 ) ; (x 1 + h 1 ; x 2 ) ; :::; (x 1 + h 1 ; x ) ; (x + h ; b] (4.5) rl klr [; b] rl ¼g d tüm d k (k = 1; 2; :::; ) rl klr ç kr ld kt sor kl rl klr ise bu rl klr boylr toplm sy s d dh küçük klckt r. Burd # b = me md k + m "E d k < md k + olur. Bu d md k > b olms gerektirir. Şimdi f foksiyouu mutlk sürekli oldu¼guu ht rlyl m. Doly s yl sy s ; (4.5) deki rl klr üzeride f foksiyouu rt şlr toplm " sy s d küçük klck şekilde seçilebilir. O hlde ff(x X 1 1) f()g + ff(x k+1 ) f(x k + h k )g + ff(b) f(x + h )g < " (4.6) yz lbilir. Di¼ger trft, d k rl klr t m d jf(x k + h k ) f(x k )j < "h k ike buluur, burd d ff(x k + h k ) f(x k )g < "(b ) (4.7) soucu ulş l r ( P h k = P md k b ): Burd (4.6) ve (4.7) eşitsizlikleri birleştirilirse, " key oldu¼gu içi jf(b) f()j < "(1 + b ) olur. 43

52 Doly s yl f(b) = f() elde edilir. Bu durum < x b olck şekilde her [; x] rl ¼g içi uygulbilirdir. Böylece key x [; b] içi f(x) = f() olur. O hlde f sbittir. Souç 4.2 Iki mutlk sürekli f ve g foksiyolr f 0 ve g 0 türevleri birbirie dek ise bu foksiyolr frklr sbittir. Gerçekte, e¼ger [; b] rl ¼g d f vey g foksiyolr d e z birii s rl türeve ship olmd ¼g vey türevlerii eşit olmd ¼g oktlr kümesi (s f r ölçülüleri) ç kr l rs her kl okt içi [f(x) g(x)] 0 = 0 olur. 4.2 Belirsiz Lebesgue Itegrli T m 4.2 f(t); [; b] rl ¼g d itegrlleebilir bir foksiyo olsu. C sbitii her seçimi içi (x) = C + Z x f(t)dt foksiyou f foksiyouu belirsiz Lebesgue itegrli deir. Burdki belirsiz kvrm itegrli de¼gişke üst s r ifde eder. Teorem 4.6 (x) belirsiz itegrli mutlk sürekli bir foksiyodur. Ispt. Her " > 0 içi bir > 0 sy s ; me < olck şekilde her e ölçülebilir kümesi içi Z e f(t)dt < " gerçekleecek şekilde bulubilir (Ntso 1964). Burdki m; Lebesgue ölçüsüü göstermektedir. Özellikle, e¼ger ( k ; b k ) ikişerli yr k ç k rl klr solu bir sistemii boylr toplm sy s d küçük ise, bu durumd k f(t)dt < " olur. k 44

53 oldu¼gu içi k k f(t)dt = (b k ) ( k ) f(b k ) ( k )g < " gerçekleir. Yi (x) mutlk süreklidir. Teorem 4.4 ü soucud (x) foksiyou heme heme her yerde s rl türeve ship ve bu türev, x de¼gişkeii itegrlleebilir foksiyoudur. Aş¼g dki teoremi gösterdi¼gi gibi, bu türev tm olrk ifde edilebilir. Teorem 4.7 f, [; b] rl ¼g d itegrlleebilir bir foksiyo olsu. Z x (x) = f(t)dt belirsiz itegrlii 0 (x) türevi [; b] rl ¼g d heme heme her yerde f foksiyou eşittir. Teorem 4.8 Mutlk sürekli her foksiyo kedi türevii belirsiz itegrlidir. Ispt. F (x) mutlk sürekli bir foksiyo olsu. Bu foksiyou heme heme her yerde F 0 (x) türevi vrd r ve itegrlleebilirdir. O hlde Z x (x) = F () + F 0 (t)dt yz lbilir. (x) mutlk sürekli olup, bir öceki teoremde heme heme her yerde 0 (x) = F 0 (x) olur. Teorem 4.5 ü soucud F (x) (x) frk sbittir. x = içi bu frk 0 oldu¼gud F (x) ve (x) foksiyolr özdeş olmk zorudd r. Teorem 4.7 öemli ölçüde kesileştirebilir. Ilk olrk bir t m verelim. 45

54 T m 4.3 E¼ger bir x okts d 1 lim h!0 h Z x+h x jf(t) f(x)j dt = 0 ise x okts f(t) foksiyouu bir Lebesgue okts deir. Teorem 4.9 x; f(t) foksiyouu bir Lebesgue okts olsu. (x) = belirsiz itegrli x okts d diferesiyelleebilirdir ve 0 (x) = f(x) olur. xr f(t)dt Ispt. (x + h) (x) f(x) = 1 Z h h x oldu¼gu kolyl kl görülebilir. Böylece x+h (x + h) (x) f(x) h 1 Z h x olur. Bu d teoremi s¼glr. Teoremi krş t geelde do¼gru de¼gildir. x+h ff(t) jf(t) f(x)g dt f(x)j dt Teorem 4.10 f foksiyou [; b] rl ¼g d itegrlleebilir ise [; b] rl ¼g heme heme her okts f foksiyouu bir Lebesgue okts d r. Ispt. r bir rsyoel sy olsu. jf(t) rj foksiyou [; b] rl ¼g d itegrlleebilirdir ve böylece heme heme her x 2 [; b] içi 1 lim h!0 h Z x+h x jf(t) rj dt = jf(x) rj (4.8) olur. E(r); (4.8) eşitli¼gii gerçeklemedi¼gi [; b] rl ¼g dki oktlr oluşturdu¼gu küme olsu. Burd me(r) = 0 oldu¼gu ç kt r. Şimdi bütü rsyoel sy lr bir dizi şeklide r 1 ; r 2 ; r 3 ; ::: diye umrld rl m ve E = 1X E(r ) + E(jfj = 1) =1 ll m. Burdki jf j foksiyou ölçülebilirdir. Yi E ; < 0 E(jfj > ) = E(f > ) + E(f < ) ; 0 şeklidedir. 46