İNTEGRAL DENKLEM METODU (IEM) KULLANILARAK MMIC DEVRELERİN ANALİZİ

Transkript

1 T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNTEGRAL DENKLEM METODU (IEM) KULLANILARAK MMIC DEVRELERİN ANALİZİ Zülfü GENÇ Tez Yönetcs Yrd. Doç. Dr. Hasan Hüseyn BALIK DOKTORA TEZİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ELAZIĞ, 2006

2 T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNTEGRAL DENKLEM METODU (IEM) KULLANILARAK MMIC DEVRELERİN ANALİZİ Zülfü GENÇ Doktora Tez Elektrk-Elektronk Mühendslğ Anablm Dalı Bu tez, 11/08/2006 tarhnde aşağıda belrtlen jür tarafından oybrlğ /oyçokluğu le başarılı / başarısız olarak değerlendrlmştr. Danışman : Yrd. Doç. Dr. Hasan H. BALIK... Üye : Prof. Dr. Osman ÖZCAN... Üye : Yrd. Doç. Dr. Ceyhun KARPUZ... Üye : Yrd. Doç. Dr. Fkret ATA... Üye : Yrd. Doç. Dr. Esat GÜZEL... Bu tezn kabulü, Fen Blmler Ensttüsü Yönetm Kurulu nun.../.../... tarh ve... sayılı kararıyla onaylanmıştır.

3 TEŞEKKÜR Öncelkle eğtm ve öğretm hayatım boyunca bana madd ve manev desteklern hçbr zaman eksk etmeyen sevgl aleme sonsuz şükranlarımı sunuyorum. Bu tezn yürütülmesnde blmsel desteğn aldığım ve tezn danışmanlığını yürüten Sayın Yrd. Doç. Dr. Hasan Hüseyn Balık a teşekkür ederm. Yüksek lsans tez çalışmamı yürüten ve Nğde Ünverstes Elektrk-Elektronk Mühendslğ Bölümü Mkrodalga Araştırma Grubu Başkanı Sayın Prof. Dr. Adnan Görür e ve ekbne blmsel katkılarından dolayı teşekkür ederm. Tezn başlangıç sürecnde, Koç Ünverstes nde sağladığı mkânlarla k ay araştırma yapmamı sağlayan ve benmle engn blmsel deneymn paylaşan Sayın Prof. Dr. Mehmet İrşadu Aksun a teşekkür ederm. Kendsn 2000 yılında Boğazç Ünverstes Elektrk-Elektronk Mühendslğ Bölümü öğrencs ken tanıdığım sevgl arkadaşım Özsun Serkan Sönmez e tez sürecndek fkrlernden dolayı teşekkür ederm.

4 İÇİNDEKİLER TEŞEKKÜR İÇİNDEKİLER...I ŞEKİLLER LİSTESİ... III TABLOLAR LİSTESİ... V KISALTMALAR LİSTESİ...VI ÖZET...VII ABSTRACT... Error! Bookmark not defned. 1. GİRİŞ DÜZLEMSEL KATMANLI ORTAMDA GREEN FONKSİYONLARI Grş Frekans Tanımında Green Fonksyonları Yatay Elektrk Dpol (YED) Dkey Elektrk Dpol (DED) Frekans Tanımı Green Fonksyonların Tam Kümes Uzay Tanımında Kapalı Yapıdak Green Fonksyonları KARMA POTANSİYEL İNTEGRAL DENKLEMİ (MPIE) YAKLAŞIMI KULLANILARAK DÜZLEMSEL KATMANLI ORTAMDA ALAN ANALİZİ Grş Düzlemsel Katmanlı Geometrler çn MPIE Formülasyonu Matrs Grşlernn Elde Edlmes Matrs Grşlerndek İç Çarpım Termlernn Analtk Hesabı S-Parametrelernn Hesabı DÜZLEMSEL KATMANLI ORTAMDAKİ MİKRODALGA DEVRELERİN ELEKTROMANYETİK SİMÜLASYONU Grş Smülasyon Algortması Smülasyon Parametrelernn Grlmes I

5 4. 3. Alt Bölümlendrme Katman Blgler Devrenn Polgonlar Şeklnde Oluşturulması Port Blgler Smülasyon Programının Çalıştırılması Çıkış Parametrelernn Gösterm NÜMERİK ÖRNEKLER Grş Kare Halka Mkroşert Rezonatör Çft Mod Mkroşert Fltreler Dört Kutuplu Elptk Bant Geçren Fltre Altı Kutuplu Elptk Bant Geçren Fltre Proxmty Kuplajlı Mkroşert Yama (Patch) Anten SONUÇ VE GELECEKTE YAPILACAK ÇALIŞMALAR KAYNAKLAR II

6 ŞEKİLLER LİSTESİ Şekl 2.1 İçnde kaynak bulunan genel düzlemsel çok katmanlı geometr 7 Şekl 2.2 Sommerfeld ntegrasyon yolu (SIP) 16 Şekl 2.3 Sommerfeld ntegrasyon yolu ve k sevyel yaklaşım çn ntegrasyon yolu 17 Şekl 2.4 Sommerfeld ntegral yolu ve üç sevyel yaklaşım çn ntegral yolu 18 Şekl 2.5 Yatay ve elektrk dpol bulunan üç katmanlı geometr 19 A A A Şekl 2.6 Üç katmanlı geometr çn Gxx, G zx veg zz Green fonksyonlarının genlkler 20 Şekl 2.7 Üç katmanlı geometr çn q G x ve q Gz Green fonksyonlarının genlkler 20 Şekl 3.1 Katmanlı ortama yerleştrlmş genel 3-boyutlu mkroşert devre yapısı 22 Şekl 3.2 MPIE nn blok dagram şeklnde gösterm 24 Şekl 3.3 Geometrnn çatı tpnde temel fonksyonlar cnsnden bölünmes 25 Şekl 3.4.(a) x yönlü temel fonksyonun gösterm 26 Şekl 3.4.(b) y-yönlü temel fonksyonların gösterm 26 Şekl 3.4.(c) z-yönlü temel fonksyonların gösterm 26 Şekl 3.5 N portlu devre çn akım kaynağı model 36 Şekl 3.6 Genel k portlu devre 36 Şekl 3.7 Genel mkroşert yapısı 38 Şekl 3.8 MPIE-MoM yaklaşımı kullanılarak düzlemsel katmanlı ortamda alan analz 39 Şekl 4.1 Gelştrlen EMSOLVE programının bastleştrlmş akış şeması 42 Şekl 4.2 Devrenn düzenl br şeklde alt bölümlendrlmesnn gösterm 46 Şekl 4.3 Farklı Xmn, Ymn değerler çn alt bölümlendrme hücrelernn sembolk gösterm 48 Şekl 4.4 Alt bölümlendrme kontrolü akış şeması 49 Şekl 4.5 İk delektrk katmandan oluşan mkroşert devre örneğ ve devreye at katman blgler 50 Şekl 4.6.(a) Mkroşert devrenn polgonlara ayrılması 51 Şekl 4.6.(b) Brnc polgona at polgon blglernn gösterm 51 Şekl 4.6.(c) Brnc polgonun üç polgona bölünmes 51 Şekl 4.7 Örnek port kullanımı, 1 numaralı porta at 1.katmanda bulunan, 1 numaralı polgona 0 le gösterlen kenara temas eden, 0.0 referans noktasındak 1 genlkl fazı 0 olan portu fade etmektedr 52 Şekl 4.8 EMSOLVE programının ana penceres 53 III

7 Şekl 4.9 EMSOLVE programının menülernn açık gösterm 54 Şekl 4.10 Seçenekler penceres (Setup) 54 Şekl 4.11 Smülasyon süresnce ve smülasyon tamamlandığında kullanıcı mesaj ekranındak mesajlara lşkn örnekler 55 Şekl 4.12 Devre parametrelerne at seçm penceres 56 Şekl 4.13 S 11 ve S 12 parametrelernn db cnsnden büyüklük değşmn gösteren örnek çıktı 57 Şekl 5.1 Kare halka mkroşert rezonatör devresnn geometrs 59 Şekl 5.2 Farklı s değerler çn mkroşert rezonatörün S 11 parametresnn değşm 59 Şekl 5.3 Mkroşert kare halka rezonatörün S 11 ve S 12 parametrelernn genlklernn değşm 60 Şekl 5.4 Çft mod lneer faz fltre devresnn geometrs (h = 1.27, ε r = 10.2) 61 Şekl 5.5 Çft mod lneer faz fltre devresnn S 11 ve S 12 parametrelernn genlklernn değşm 62 Şekl 5.6 Çft mod elptk fltre devresnn geometrs 63 Şekl 5.7 Çft mod elptk fltre devresnn S 11 ve S 12 parametrelernn genlklernn değşm 64 Şekl 5.8 Dört kutuplu elptk fltre devresnn geometrs 65 Şekl 5.9 Dört kutuplu elptk fltre devresnn S 11 ve S 12 parametrelernn genlklernn değşm 66 Şekl 5.10 Altı kutuplu elptk fltre devresnn geometrs 67 Şekl 5.11 Altı kutuplu elptk fltre devresnn S 11 ve S 12 parametrelernn genlklernn değşm 68 Şekl 5.12 Proxmty-kuplajlı mkroşert yama anten devresnn geometrs 69 Şekl 5.13 Proxmty-kuplajlı mkroşert yama anten devresnn bleşk devre eşdeğer 70 Şekl 5.14 Farklı s değerler çn proxmty-kuplajlı mkroşert yama anten devresnn S 11 parametrelernn büyüklüğünün değşm 70 Şekl 5.15 Farklı s değerler çn proxmty-kuplajlı mkroşert yama anten devresnn S 11 parametrelernn fazının değşm 71 IV

8 TABLOLAR LİSTESİ Tablo 3.1 Temel fonksyonların tanımı 27 Tablo 4.1 Örnek plan dosyası 44 Tablo 4.2 Plan dosyası parametrelern tanımı 45 V

9 KISALTMALAR LİSTESİ MMIC FDTD FEM IE EFIE MFIE MPIE MoM CAD GPOF YED DED : Monoltk (tek parça) Mkrodalga Entegre Devre : Zamanda Sonlu Farklar Yöntem : Sonlu Elemanlar Yöntem : İntegral Denklem : Elektrk Alan İntegral Denklem : Manyetk Alan İntegral Denklem : Karma Potansyel İntegral Denklem : Momentler Yöntem : Blgsayar Destekl Tasarım : Genelleştrlmş Kalem Fonksyon Yöntem : Yatay Elektrk Dpol : Dkey Elektrk Dpol VI

10 ÖZET Doktora Tez İNTEGRAL DENKLEM METODU (IEM) KULLANILARAK MMIC DEVRELERİN ANALİZİ Zülfü GENÇ Fırat Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Elektrk-Elektronk Mühendslğ Anablm Dalı 2006, Sayfa: 79 Bu çalışmada, düzlemsel katmanlı ortamdak mkrodalga devrelern karma potansyel ntegral denklem (MPIE) kullanılarak tam dalga analzn gerçekleştren ve nümerk açıdan verml br blgsayar destekl tasarım (CAD) yazılımı gelştrlmştr. Kullanılan nümerk teknk kapalı formdak vektörel ve skaler Green fonksyonları lşkldr ve karma potansyel ntegral denklemn çözmek çn uzay tanımı moment yöntem kullanılmıştır. Düzlemsel katmanlı ortamdak mkrodalga devrelernn analz, kapalı formdak uzay tanımı Green fonksyonların frekans tanımındak karşılıklarından Sommerfeld özdeşlğ kullanılarak elde edlmes le başlar. Katmanlı ortam çn yazılan MPIE ntegral denklemndek blnmeyen akım yoğunluğu blnmeyen katsayılı blnen temel fonksyonlar cnsnden açıldıktan sonra test şlem olarak adlandırılan sınır koşullarının ntegral duyarlılığında uygulanması le devam eder. Elde edlen lneer matrs denklem çözülerek akım yoğunluğunun blnmeyen katsayıları bulunur. Düzlemsel katmanlı ortamdak geometrye at devrenn letkenler üzerndek akım yoğunluğu bulunduktan sonra, devrenn grş empedansı, S-parametreler, ışıma desen gb elektrksel parametreler hesaplanmıştır. Bu çalışmada kullanılan analz yöntemne göre gelştrlen yazılımla, gerçekç mkrodalga devrelern analz yapılmış ve elde edlen sonuçlar bu alanda kullanılan tcar br yazılım paketnn sonuçları le karşılaştırılmıştır. Anahtar Kelmeler: Monoltk Mkrodalga Entegre Devreler (MMICs), Tam dalga analz, Düzlemsel katmanlı ortam, Green fonksyonları, Karma potansyel ntegral denklem (MPIE), Moment yöntem, Blgsayar destekl tasarım. VII

11 ABSTRACT PhD Thess ANALYSIS OF MMIC CIRCUITS BY USING INTEGRAL EQUATIN METHOD (IEM) Zülfü GENÇ Unversty of Frat Insttu of Appled Scences Man Devson of Electrcal-Electroncs Engneerng 2006, Page: 79 In ths study, numercaly effcent computer aded desgn (CAD) software package whch analyse planar layewrred mcrowave crcuts by usng mxed potantal ntegral equaton (MPIE). Numercal technque, whch has been employed, uses closed form vectorel and scaler Green Functon and to solce mxed potantal ntegral equaton, spetal method of moments s employed. Solton n ths developed method starts wth obtanng spetal form of Green functon from ts spectral counterpart by usng SommerFeld method. After that, unknown current dstrbuton on the metalsaton of the crcuts are expressed n terms of known bass functons wth unknown coeffcents. Then, wegthng functons whch are dentcal to current functons are used to fnd unknown coeefcents. Fnaly, crcuts characterstcs such as nput mpedance, S-parameters and radaton pattern can easly be found by usng these current coeffcents. These obtaned results has also been compared wth commertal analyss tools to shown the accuracy. Key Words : Monltc Mcrowave Integrated Crcut, MMIC, Full-wave Analyss, Planar Layerred Green Functon, Mxed Potantal Integral Equaton, Method of Moments, Computer Aded Desgn. VIII

12 1. GİRİŞ Günümüzün mkrodalga teknolojs olarak fade edebleceğmz monoltk mkrodalga entegre devreler kısa adı le MMIC ler, yüksek rezstvtel slkon ve GaAs veya slsyum dokst tabakalı düşük rezstvtel slkon gb yarıletken tabanların mkrodalga entegre devre (MIC)'lerde kullanılması le ortaya çıkmıştır. Devre tasarım kolaylığı, genş frekans band performansı, yüksek kaltede ucuz malyetler, küçük ve haff özelklernden dolayı 1990 lı yıllardan günümüze kadar haberleşme sstemler, radarlar, antenler başta olmak üzere çok genş br alanda terch edlr olmuşlardır. Son on yılda, katmanlı düzlemsel geometrlern mkroşert antenlerde ve MMIC uygulamalarında gttkçe artan kullanımı [1-6] sebebyle bu katmanlı geometrler genş br lg odağı olmuşlardır. Bu sebeple, katmanlı ortamdak mkroşert geometrler çn kesn ve hesap vermne sahp blgsayar destekl araçların gelştrlmes çn öneml çaba harcanmaktadır. Elektromanyetk modelleme çn sıklıkla kullanılan ve lg odağı olan temel yöntemler vardır. Bu yöntemler kullanılan yaklaşıma göre yarı-durgun (quas-statc) [7-9] ve tam dalga (full-wave) çözüm yöntemler olarak k ana grupta sınıflandırmak mümkündür. Yarı-durgun çözüm yöntemler daha düşük mkrodalga frekanslarda yaklaşık fakat nümerk açıdan oldukça verml çözümler sunar. Tam dalga analz yöntemler nümerk açıdan daha fazla blgsayar kaynağına gereksnm gösterdğnden pahalı fakat kesn sonuçlar sunar. Alan dağılımlarının tümüyle bulunduğu ya da yakınsadığı tam dalga çözümler düzlemsel mkrodalga yapılar her yönüyle ncelenecekse gerekldr. Bu düzeydek yöntemler gerektrdkler analz ve nümerk şlem mktarıyla brbrlernden ayrılırlar. Bu çalışmada br tam dalga analz yöntem seçldğ çn knc grupta yer alan ve oldukça popüler olan yöntemler hakkında blgler verlmştr. Tam dalga analz yöntemler dferansyel veya ntegral formundak denklemler cebrsel denklemlere dönüştürürler. Bu yüzden, bu teknklern vermllğ doğrusal br denklem kümes oluşturma vermllğne ve blnmeyen sayısına bağlıdır. Dferansyel denklem formülasyonu, Maxwell denklemler üzerne kurulur ve lglenlen geometr alt bölümlere ayrılarak (ızgaralama-grddng), bu alt bölümlere at blnmeyen elektrk ve manyetk alanların hesabı gerçekleştrlr. Dferansyel formdak denklemlern çözümünde genellkle Zamanda Sonlu Farklar Yöntem (FDTD) [10,11] veya Sonlu Elemanlar Yöntem (FEM) [12] oldukça yaygın olarak kullanılan yöntemler arasındadır. FDTD yöntem, uzay ve zaman tanımında Maxwell denklemlerndek kısm türev operatörlernn merkez farklara dayalı sonlu farklar karşılıkları le değştrlp sayısallaştırılması prensbne dayanır. Bu yöntemn en öneml avantajı devrenn frekans cevabının, zaman tanımında dar br Gaussan darbes kullanılarak band frekansı 1

13 üzernden elde edleblmesdr. FEM yöntem, sınır değer problemlernn yaklaşık çözümler çn kullanılan dğer genel yöntemlerden brdr. Analz yapılacak geometr üçgen veya dkdörtgen bçmde alt elemanlara bölünür ve blnmeyen fonksyon bast ara değerleme fonksyonları cnsnden fade edlr [12]. Bu yöntemn br sonrak adımı, Raylegh-Rtz şlem uygulanarak cebrsel denklemlern elde edlmesdr. Her k yöntem de sonlu düzlemlere htyaç duyar. Bu nedenle antenler gb ışıma yapan açık geometrler veya sonsuz düzlemlerdek geometrlern analznde çn her k yöntemn vermllğ kullanılan blgsayar kaynakları le sınırlıdır. Günümüzde yaygın olarak kullanılan br başka tam dalga analz İntegral Denklem Yöntemdr. İntegral denklem (IE) formülasyonu, letken yüzeyndek blnmeyen akım dağılımı çözmek çn lgl maxwell denklemlernn ntegral formda yazılması üzerne kurulur. Özellkle düzlemsel geometrler çn ntegral denklem formülasyonu nümerk vermllk açısından dferansyel denklem formülasyonuna göre daha avantajlıdır. Bunun sebeb ntegral denklem formülasyonu br yüzey problemnn çözümünde kullanılırken, dferansyel denklem formülasyonu br hacm problemnn çözümünde kullanılır [13]. İntegral denklem formülasyonları, elektrk alan ntegral denklem (EFIE), manyetk alan ntegral denklem (MFIE) ve karma potansyel ntegral denklem (MPIE) olmak üzere üç tptr. Bu ntegral denklemler, ya frekans tanımında (spectral doman) ya da uzay tanımında (space doman) formüle edlrler. Her k durumda da kullanılan ntegral denklemlern çözümünde, moment yöntemnn (MoM) kullanılması oldukça terch edlmektedr. Moment yöntem açık alan problemlernn, özellkle de düzlemsel katmanlı geometrlern çözümünde öneml br rol oynamaktadır ve ntegral denklem matrs formuna dönüştürmektedr. Bahsedlen üç ntegral denklemnn moment yöntem le çözümü çn lgl Green fonksyonlarının hesabı gerekmektedr. Elektromanyetk problemlern çözümünde öneml rol oynayan Green fonksyonu, devre ve sstem problemlerndek darbe cevabının eşdeğerdr [13]. Hem uzay hem de frekans tanımındak Green fonksyonları, elektromanyetk problemler çn ntegral denklemler oluşturmada öneml rol oynarlar. Özellkle çok katmanlı düzlemsel geometrler çn, delektrk sabtler, katman kalınlıkları, katman sayısı gb katman blglern katmanların ara yüzlerndek sınır koşullarını sağlayarak brleştrp problemn boyutunu ndrrler. Bu nedenle, bu tarz geometrler ncelemekte kullanılan yöntemn verml olması çn Green fonksyonlarının verml br şeklde hesaplanması çok önemldr [14,15]. Bu çalışmada, önce frekans tanımındak Green fonksyonlarının türetlmes sunulacak, daha sonra uzay tanımındak karşılıkları kapalı yapıda elde edlecektr. Bu çalışmada ntegral denklem yöntemnn detaylı ncelenmes yapılacak, mkrodalga ve mlmetrk dalga entegre devrelerde yaygın br şeklde kullanılan düzlemsel katmanlı 2

14 ortamdak geometrlern analz çn nümerk açıdan verml ve doğru matematksel araçlar sunulacaktır. Matematksel açıdan bakıldığında burada sunulan yöntem, temel blnmeyenn letkenlerdek yüzey elektrk akımı olduğu ntegral denklemler üzerne kurulmuştur. Bu çalışmadak yöntemn ayırıcı özellğ, ntegral denklemn oluşturulması ve çözümünde mümkün olduğu kadar vektörel ve skaler potansyeller cnsnden gerçel uzay tanımının kullanılmasıdır. Dğer br fadeyle seçlen ntegral denklem formülasyonu karma potansyel ntegral denklem (MPIE) dr. EFIE, MFIE ve MPIE ntegral formülasyonları brbrleryle karşılaştırıldığında EFIE ve MFIE sırasıyla elektrk ve manyetk Green fonksyonlarını kullanırken, MPIE skaler ve vektörel potansyel Green fonksyonlarını kullanmaktadır [14, 16]. Elektrk ve manyetk alan Green fonksyonları, skaler ve vektörel potansyel Green fonksyonlara göre daha fazla tekllklere sahp olduklarından [14], MPIE formülasyonu kullanılarak katmanlı ortamdak geometrlern moment yöntem le çözümü daha elverşl br yaklaşımdır [1, 2, 5]. Bu sebeple, MPIE formülasyonu terch edlmş ve çözüm çn moment yöntem kullanılmıştır. Katmanlı ortamdak düzlemsel mkrodalga devrelernn moment yöntem kullanılarak gerçek uzayda analz, Green fonksyonları le lşkl karma potansyel ntegral denklemnn (MPIE) yazılması le başlar. Gerçek uzaydak Green fonksyonları çok salınımlı yavaş yakınsayan Sommerfeld ntegral alınarak hesaplanmaktadır [17, 18]. Kapalı formdak Green fonksyonlarının türetlmes, şlemsel yoğunluğu çok olan bu ntegraln hesaplanması gerekllğn ortadan kaldırmıştır. Moment yöntem MPIE formülasyonu yazıldıktan sonra, letkenler üzerndek blnmeyen akım dağılımı blnen temel fonksyonlar ve blnmeyen genlkler cnsnden açılır. Sonra ağırlık veya test fonksyonları kullanılarak ntegral duyarlılığında sınır şartlarının uygulanması le devam eder. Temel ve test fonksyonlarının seçm moment yöntemnn vermllğ çn son derece önemldr ve bu çalışmada çatı (rooftop) fonksyonu terch edlmştr. Bu şlemlerden sonra ntegral denklem matrs denklemne dönüştürülmüş olur. Matrs denklemnn grşler oluşturulduktan sonra, moment yöntem bu matrs grşlernn hesabı ve matrs denklemnn çözümü le son bulur. Yukarıda bahsedlen yöntemler ve dğer elektromanyetk çözüm yöntemler güçlü ve verml blgsayar destekl br yazılım (CAD) paket olarak gelştrlerek elektromanyetk problemlern smülasyonu çn kullanılmaktadır. Bu yazılım paketler, özellkle üretm önces MMIC devrelern doğru br şeklde tasarlanması ve malattan sonra devrelerde değşklk yapılamayacağından tcar br öneme sahptr. Bu nedenle mkrodalga devre tasarlayan kşnn elnn altında doğru sonuçlar veren br CAD paketnn olması şarttır. Pyasada elektromanyetk problemlern analznde ve mkrodalga devrelernn tasarımında kullanılan tcar paket programların bazıları şunlardır: HP-Momentum, em Sonnet, Ensemble, MAGMAS. Bu çalışmada karışık potansyel ntegral denklem ve moment yöntemne dayalı br smülasyon 3

15 programı gerçekleştrlmş ve elde edlen sonuçlar SONNET paket programından elde edlen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Bu tezn lerleyen bölümlernn yapısı şu şekldedr: Bölüm 2 de, karma potansyel ntegral denklemnde kullanılacak, düzlemsel katmanlı ortamdak Green fonksyonlarının frekans ve gerçek uzaydak karşılıklarının türetlmes ayrıntılı olarak ele alınacaktır. Bölüm 3 de karma potansyel ntegral denklem ve moment yöntem kullanılarak katmanlı ortamdak düzlemsel mkrodalga devrelernn alan analz verldkten sonra, moment yöntem matrs grşlernn elde edlmes ve bu grşlern analtk olarak hesabı çözüm yöntemnn vermllğ açısından rdelenecektr. Bölüm 3 te ayrıca saçılma parametrelernn analz hakkında blgler verldkten sonra Bölüm 4 de Bölüm 3 de detayları verlen analz çn gerçekleştrlen yazılımın algortması anlatılacaktır. Bölüm 5 de, elde edlen yazılım, anlatılan formülasyonu doğrulamak çn gerçekç mkrodalga devrelerne uygulandığı örnekler sunulacak ve tcar br yazılım le sonuçlar kıyaslanacaktır. Son bölümde sonuçlar ve gelecekte yapılacak çalışmalar hakkında blgler verlecektr. 4

16 2. DÜZLEMSEL KATMANLI ORTAMDA GREEN FONKSİYONLARI Grş Elektromanyetk problemlern çözümünde son derece öneml rol oynayan Green fonksyonu, devre ve sstem problemlerndek darbe cevabının eşdeğerdr [13]. Hem uzay hem de frekans tanımındak Green fonksyonları, elektromanyetk problemler çn ntegral denklemler oluşturmada öneml rol oynarlar. Özellkle çok katmanlı düzlemsel geometrler çn, delektrk sabtler, katman kalınlıkları, katman sayısı gb katman blglern katmanların ara yüzlerndek sınır koşullarını sağlayarak brleştrp problemn boyutunu 3B tan 2.5B a ndrrler. Bu nedenle, bu tarz geometrler ncelemekte kullanılan yöntemn verml olması çn Green fonksyonlarının verml br şeklde hesaplanması çok önemldr. Bu bölümde, önce frekans tanımındak Green fonksyonlarının türetlmes sunulacak, daha sonra uzay tanımındak karşılıkları kapalı yapıda elde edlecektr. Çok katmanlı düzlemsel ortamlardak mkrodalga baskılı devrelern moment yöntem kullanılarak gerçek uzayda analznn yapılablmes çn uzay tanımındak Green fonksyonlarına htyaç vardır. Düzlemsel katmanlı br ortam çn, uzay tanımındak Green fonksyonları, kapalı yapıda frekans tanımındak Green fonksyonlarından Hankel dönüşümü yardımıyla bulunurlar [18,19]. Sommerfeld ntegral olarak da blnen bu dönüşüm, sonsuz br tanım üzernde salınan ve hesaplanması çok zor olan br ntegral term çerr ve bu da uzay tanımındak moment yöntem formülasyonunun belrgn br dezavantajıdır [20]. Yakın zamanda, uzay tanımındak Green fonksyonlarının hesaplanmasındak güçlüğün, frekans tanımındak Green fonksyonlarına Sommerfeld özdeşlğ yardımıyla Hankel dönüşümler analtk olarak hesaplanablen karmaşık üsteller cnsnden yaklaşıklanarak aşılableceğ gösterlmştr [21]. Böylece, vektörel ve skaler potansyaller çn uzay tanımındak Green fonksyonları, karmaşık görüntülern sonlu toplamları olan ve kapalı yapılar denlen şekle sokulablr. Bu yaklaşımın en öneml adımı, Prony teknkler [22] veya fonksyon çzmne (pencl of functons) dayalı teknklerle gerçekleştrleblen üstel yaklaşıklamadır [23, 24]. Kapalı yapıdak Green fonksyonlarının lk türetm [21], Prony yöntemn kullanıyordu ve orjnal Prony yöntemnn yeterszlğ sebebyle kalın ve tek katmanlı yapılarla sınırlıydı. Bu problem, en küçük kareler Prony yöntemnn kullanılmasıyla [25] gderlmş ve daha sonra, Prony yöntemlerne göre gürültü duyarlılığı daha az ve daha sağlam olan genelleştrlmş fonksyon çzmnn (GPOF) kullanılmasıyla yaklaşım daha da yleştrlmştr [18]. Bu yaklaşım kullanılarak genel, çok katmanlı, düzlemsel ortam çersnde bulunan dkey ve yatay 5

17 elektrk ve manyetk dpol kaynakları çn geçerl olan uzay tanımındak Green fonksyonlarının tam kümes elde edlmştr [18]. Kapalı yapıdak bu Green fonksyonları, karışık potansyel ntegral denklem (MPIE) kullanılarak moment yöntemyle genel üç boyutlu br geometrnn çözümü çn kullanılablr. Prony yöntemlernn ve GPOF yöntemnn, yaklaşıklanacak fonksyonun yaklaşıklama bölgesnde eş aralıklı (unform) örneklenmesn gerektrmes sebebyle bu yaklaşım algortması halen hesaplamada güçlükler çıkarmaktadır. Bu durum, Green fonksyonlarının genelnde olduğu gb yerel salınımlı ve hızlı değşen fonksyonlar çn çok sayıda örnek alınmasını gerektrr ve algortmanın çok fazla hesaplama gerektrmesne ve sağlam olmamasına sebep olur. Yakın zamanda, bu problem ortadan kaldırmak çn, parçalı eş aralıklı (pecewse unform) örnekleme gerektren k-sevyel br yaklaşım öne sürülmüş, çok daha verml ve sağlam olduğu gösterlmştr [9]. Bu sayede, düzlemsel çok katmanlı geometrler çn geçerl olan MPIE nn çözümünde uzay tanımında kapalı yapıdak Green fonksyonları verml br şeklde kullanılablr Frekans Tanımında Green Fonksyonları Şekl 2.1 de gösterldğ gb, düzlemsel katmanlı br ortama yerleştrlmş genel br kaynak düşünelm. Düzlemsel katmanlı ortamın herhang br katmanında bulunan br yatay elektrk dpol (YED), yatay manyetk dpol (YMD), dkey elektrk dpol (DED) ve yatay manyetk dpol (DMD) çn vektörel ve skaler potansyellernn kapalı yapıdak Green fonksyonları, [18] referansı le verlen çalışmada elde edlmştr. Tüm katmanların yatay düzlemde sonsuza uzandıkları,. katmanın kalınlık ve delektrk geçrgenlğnn sırasıyla d ve ε r olduğu varsayılmaktadır. Koordnat merkez kaynak katmanı olarak seçlmş ve formülasyon çn e jwt zaman bağımlılığı kullanılmıştır. Düzlemsel katmanlı br ortamda, yapının elektrksel özellkler sadece z-yönünde değşmektedr. Bu nedenle, vektörel dalga denklemler tam yapılarıyla çözülmeldr. Aslında, kaynağın olmadığı durumda vektörel dalga denklemlern brebrnden ayrışmış olan TE ve TM dalgalarını gösteren k skaler denkleme ndrgemek mümkündür [19]. MPIE formülasyonunda, hem vektörel hem de skaler potansyellern Green fonksyonları kullanılır. Yatay br dpol çn, sınır koşullarını sağlamak amacıyla vektörel potansyeln k bleşennn gerekl olduğu blnmektedr [9, 26]. Geleneksel olarak, dpolle aynı yöndek bleşene ek olarak z-yönlü bleşen seçlr. Bu durumda bulunacak Green fonksyonunun aşağıdak yapıdadır: 6

18 YED:Yatay Elektrk Dpol DED:Dkey Elektrk Dpol YMD:Yatay Manyetk Dpol DMD:Dkey Manyetk Dpol katman - (+m)... z z = z m h katman - (+1) katman - () katman - (-1)... katman - (-m) kaynak x (YED, DED, YMD, DMD) z = d z = h z = d 1 z z h h = m h x Şekl 2.1 İçnde kaynak bulunan genel düzlemsel çok katmanlı geometr. G = ( xx ˆˆ + yy ˆˆ) G + zxg ˆˆ + zyg ˆˆ + zzg ˆˆ (2.1) A xx zx zy zz Zaman harmonkl br Hertz dpolüyle lşkl noktasal yükten kaynaklanan skaler potansyel, vektörel potansyelden jw 1. G 2 A = Gq (2.2) k jw (2.2) yardımıyla türetleblr [26]. Fakat katmanlı br ortamda skaler potansyel, manyetk vektörel potansyeln seçlen yapısına bağlıdır ve tek değldr. Yan, ortam katmanlı olunca dkey br dpolle lşkl skaler potansyel yatay br dpolün skaler potansyelnden farklıdır. Bu nedenle, (2.1) le verlen vektörel Green fonksyonunun geleneksel yapısı G A kullanıldığında, stenen koşulları sağlayan tek br skaler potansyel G q, genel olarak bulunmaz. 7

19 Frekans tanımındak Green fonksyonlarını bulmak çn, homojen ortamda bulunan α- brm vektör yönündek Hertz dpolünün ( J = I o lδ (r) ˆ α ) alan bleşenler yazılmalıdır. jkr e E() r = jwμ I +. ˆ αil 2 (2.3) k 4π r jkr jkr e H () r = ˆ α Il (2.4) 4π r kx jky jk z x y z e j e = dkxdky r 2π (2.5) k z Buradan dpolün TM ve TE alan bleşenlern rahatlıkla türetleblr. Dpol katmanlı br ortamda olduğu çn, (2.3) ve (2.4) dek küresel dalga davranışı değştrlmeldr. Bu şlem, küresel dalga termlernn düzlem dalgaları cnsnden (2.5) le verlen Weyl özdeşlğn kullanılarak açılmasıyla gerçekleştrlr. Burada, k 2 x + k 2 y + k 2 z = k 2 0 dr. Daha sonra, katmanlı ortamın düzlemsel sınırlarında gerçekleşen yansımalar, alan fadelernde rahatlıkla hesaba katılablr. Ortam xy-düzlemnde değşmsz olduğu çn faz eşleme koşulu (phase matchng condton) k x ve k y nn tüm katmanlarda aynı olmasını gerektrr. Frekans tanımındak Green fonksyonların türetlmes şlemne lk önce kaynak katmanından başlanır. Kaynak bölgesndek alanların z-bağımlılığı, doğrudan term le z = -h ve z = d h dak sınırlardan yansımalar sebebyle yukarıya ve aşağıya gden dalgaların toplamı olarak yazılır. Yukarıya ve aşağıya gden dalgaların katsayıları, uygun sınır koşullarını kullanarak genelleştrlmş yansıma katsayıları cnsnden bulunur [18]. Daha sonra, dğer herhang br katmandak alan kaynak katmanının alan fadesnden türetlr. 8

20 Yatay Elektrk Dpol (YED) Br YED çn frekans tanımındak Green fonksyonlarının türetm, kaynak katmanındak alanların E z (TM z ) ve H z (TE z ) bleşenlernn yazılmasıyla başlar. E z ve H z, lk olarak homojen br ortam çn şu şeklde yazılırlar: E z jil e = ( ) 4πwε z x r H z 2 jkr jkr Il e = ( ) 4π y r (2.6) (2.7) Daha sonra, küresel dalga termler her yönde yayılan düzlem dalgalarının br ntegral toplamı şeklnde aşağıda verlen Weyl özdeşlğ kullanılarak yazılır. Il jkxx jkyy jkz z z = 2 x x y 8π wε E k e dk dk (2.8) jkxx jkyy jkz z Il e H k dk dk = z 2 y x y 8π k z (2.9) Bu fadeler homojen br ortamda geçerl olduğundan katmanlı br ortamdak alanlar, sınırlardan yansıyan dalgaları hesaba katarak şu şeklde bulunurlar: Il jkxx jkyy z 2 x y x TM 8π wε E = dk dk k e F (2.10) jkxx jkyy Il e H = dk dk k F (2.11) z 2 x y y TE 8π kz Burada, 9

21 F jkz ( z z ) ( ) ( ) e jkz z z e jkz z z h h TM = { jkz ( z z) jkz ( z z ) jkz ( z z ) e e h h F e + B e + D e : z > z e + B e + D e : z< z jkz ( z z ) ( ) ( ) e jkz z z e jkz z z h h TE = { jkz ( z z) jkz ( z z ) jkz ( z z ) e e h h e + A e + C e : z > z e + A e + C e : z< z (2.12) (3.13) Kaynak katmanında aşağıya gden dalga, z=d -h da yukarıya gden dalganın yansımasının sonucudur; benzer şeklde, yukarıya gden dalga da z=-h da aşağıya gden dalganın yansımasının sonucudur. (2.12) dek e ve h kısaltmaları sırasıyla kaynağın tpn elektrk (e) ve yönünün yatay (h) olduğunu fade etmektedr. ( ) Be = R% e + De z> 0 (2.14) e jkz ( d h), 1 jkz ( d h) jkz ( d h) + e h TM h e e D = R% e + B e z< 0 (2.15), jkz h jk z h 1( ) h TM h Blnmeyen elde edleblr. B ve D katsayıları (2.14) ve (2.15) denklemlernn çözülmes le aşağıdak gb e h e h B D % % %, + 1 j2 kz ( d h), 1, 1 z 2 + jk d e RTM e RTM RTM e h =, + 1, 1 jkz 2d 1 R% TM R% TM e % % %, 1 j2kz h, 1, 1 2 z ( ) + j k d h e RTM e + RTM RTM e h =, + 1, 1 jkz 2d 1 R% TM R% TM e (2.16) (2.17) Dğer katsayılar e A h ve e C h çn aynı yaklaşım kullanılarak aşağıdak gb türetlr. B D % % %, + 1 j2 kz ( d h), 1, 1 z 2 + jk d e RTE e RTE RTE e h =, + 1, 1 jkz 2d 1 R% TE R% TE e % % %, 1 j2kz h, 1, 1 2 z ( ) + j k d h e RTE e + RTE RTE e h =, + 1, 1 jkz 2d 1 R% TE R% TE e (2.18) (2.19) Burada R % TM ve TE R % ara yüzeylerdek genelleştrlmş yansıma katsayılarını, TE ve TM ndsler polarzasyonu göstermektedr [19]. Vektörel Green fonksyonlarını türetmek çn şu şeklde devam edleblr: 10

22 A = μ x z = Il j8π H dy 2 jkxx jkyy dk dk e F x y TE kz jkz ( z z ) jkz ( z z ) jkz ( z z ) { } μ (2.20) A e e G% xx = e + Ah e + Che (2.21) 2 jk z 2 1 Az = μ Hxdy = μ H 2 z + jwε Ez dy kρ z x y Il jkxx jkyy kx jkx dk 2 xdkye F 2 TE F 2 TM kz k z k ρ ρ μ = + 8π { jk z ( ) z ( ) z z jk z z } (2.22) A μ kx e e e e G% zx = ( A ) ( ) 2 h + Bh e + Dh Ch e (2.23) 2 jk ρ Skaler Green fonksyonu se aşağıdak fade le verlmştr.. A 1 Ax Az φd = = + jwμε jwμε x z φd = φq x (2.24) (2.25) 2 2 e 2 e 2 e 2 e q j kρ jkz z z k Ah + kz B h jkz ( z z ) k Ch kz D h jkz ( z z ) G% x = e e e (2.26) 2ε kρ kz k z k z Burada φ d, φ q sırasıyla dpol ve noktasal yükün skaler potansyellern göstermektedr. Yukarıda A verlen fadelerde; G % j, j-yönlü brm elektrk akım elemanından dolayı oluşan -yönlü vektörel potansyeln frekans tanımındak Green fonksyonunu, G % q se -yönlü brm elektrk akım elamanından dolayı oluşan skaler potansyeln frekans tanımındak Green fonksyonunu göstermektedr. 11

23 Dkey Elektrk Dpol (DED) Br DED çn frekans tanımındak Green fonksyonlarının türetm YED çn kullanılan yaklaşıma benzer br şeklde elde edlr. İlk olarak, DED e bağlı olan alanların E z ve H z bleşenler yazılır: E z ji lw = + 4π k z 2 μ 2 k 2 2 e r jkr (2.27) H = 0 (2.28) z Sonra, Weyl özdeşlğ kullanılarak küresel dalga termler her yönde yayılan düzlem dalgalarının br ntegral toplamı şeklnde açılır. 2 Ilwμ k jkxx jkyy jkz z z = 2 2 z x y 8π k k z E k e dk dk (2.29) Yukarıda verlen (2.29) fades homojen br ortamda geçerl olduğundan katmanlı br ortamdak alanlar, sınırlardan yansıyan dalgaları hesaba katarak şu şeklde yenden yazılır: Il jkxx jkyy z 2 x TM x y 8π wε E = ke F dkdk (2.30) Burada, jkz z e jkz z jk e z z TM v v F =± e + A e + B e (2.31) Katmanların ara yüzündek sınır koşulları kullanılarak blnmeyen e Av ve e B v katsayıları daha önce bulunduğu gb bulunur. Vektörel Green fonksyonunu bulmak çn şlemlere devam edlrse; 12

24 1 Az = μ Hz dy = μ jwε E 2 z dy k ρ y 2 μil jkxx jkyy k k z z = x y 8π kz k k ρ ρ A j e dk dk jkz z z jkz ( z z ) jkz ( z z ) { } μ (2.32) A e e G% zz = e + Av e + Bv e (2.33) 2 jk z DED çn skaler Green fonksyonu se;. A 1 Az φd = = jwμε jwμε z (2.34) φd = φq (2.35) z { jkz z z ( ) z ( ) z jk z z jk z z } q 1 e e G% z = e + Cve + Dve (2.36) 2 jε k z fades le verlr Frekans Tanımı Green Fonksyonların Tam Kümes ve bölümlernde YED ve DED çn frekans tanımındak Green fonksyonlarının türetlmes verlmşt. Aşağıda farklı kaynak ve yönelmler çn kaynak katmanında frekans tanımındak Green fonksyonlarının tam kümes verlmştr [18]. A μ jkz z z jkz ( z z ) jkz ( z z ) e e xx = + h + h 2 jk z G% e A e C e (2.37) A μ kk x z e e jkz ( z z ) kk x z jkz ( z z ) e e G% zx = ( A ) ( ) 2 h + Bh e + D 2 h Ch e 2 jkz k k ρ ρ (2.38) 2 e 2 e 2 e 2 e 1 q jkz z z kz B h + k Ah jkz ( z z ) k Ch kz D h jkz ( z z ) e G% x = e + e + e jεkz k k ρ ρ (2.39) F ε jkz z z jkz ( z z ) jkz ( z z ) m m xx = + h + h 2 jk z G% e A e C e (2.40) 13

25 F ε kk x z m m jkz ( z z ) kk x z jkz ( z z ) m m G% zx = ( A ) ( ) 2 h + Bh e + D 2 h Ch e 2 jkz k k ρ ρ (2.41) 2 m 2 m 2 m 2 m 1 q jkz z z kz B h + k Ah jkz ( z z ) k Ch kz D h jkz ( z z ) m G% x = e + e + e jμkz k k ρ ρ (2.42) A μ jkz z z jkz ( z z ) jkz ( z z ) e e zz = + v + v 2 jk z G% e A e B e (2.43) 1 G% e C e D e (2.44) q jkz z z jkz ( z z ) jkz ( z z ) e e e z = + v + v 2 jε k z F ε jkz z z jkz ( z z ) jkz ( z z ) m m zz = + v + v 2 jk z G% e A e B e (2.45) 1 G% e C e D e (2.46) q jkz z z jkz ( z z ) jkz ( z z ) m m m z = + v + v 2 jμk z Yukarıda, A ve F üstsmgeler sırasıyla elektrk ve manyetk vektörel potansyeller; q e ve q m se elektrk ve manyetk skaler potansyeller göstermektedr. A,,, e m h v B,,, e m h v C,, ve e m h v e m D, h, v katsayıları genelleştrlmş yansıma katsayılarının fonksyonlarıdır ve aşağıdak şeklde verlrler [18, 19] e, m, + 1 TE, TM 2 jkz ( ), 1 2 h jkz A d h = R% TE, TM M e + R% TE, TM e (2.47) em,, + 1 TMTE, 2 jkz ( ), 1 2 h jkz B d h = R% TM, TEM e R% TM, TEe (2.48) e, m, 1 TE, TM 2jk z h, 1 2jk + z d C h = R% TE, TM M e + R% TE, TM e (2.49) em,, 1 TMTE, 2jk z h, 1 2jk + z d D h = R% TM, TEM e + R% TM, TEe (2.50) em,, 1 TMTE, 2jk z h, 1 2jk + z d A v = R% TM, TEM e + R% TM, TEe (2.51) em,, + 1 TMTE, 2 jkz ( ), 1 2 h jkz B d v = R% TM, TEM e + R% TM, TEe (2.52) em,, 1 TMTE, 2jk z h, 1 2jk + z d C h = R% TE, TMM e + R% TM, TEe (2.53) e, m, + 1 TM, TE 2 jkz ( ), 1 2 h jkz D d v = R% TM, TEM e + R% TM, TEe (2.54) 14

26 2 1,, 1, 1 jkz d TE TM + = 1 % % TETM, TETM, (2.55) M R R e R% j+ 1, j TE, TM j+ 1, j j, j 1 RTE, TM + R% TE, TMe = 1 R R% e j, j 1 j, j+ 1 TE, TM jkz 2d j j jkzj 2dj (2.56) (2.47)-(2.56) denklemlernde, R ve R %, TE ve TM altsmgelernn dalganın polarzasyonunu gösterdğ Fresnel ve genelleştrlmş yansıma katsayılarıdır; üstsmgeler se katman numaralarını göstermektedr. h ve v altsmgeler, kaynağın yönelmn sırasıyla yatay ve dkey olarak gösterrken e ve m üstsmgeler kaynağın cnsn elektrk veya manyetk olarak belrtmektedr. y yönelml dpoller çn Green fonksyonlarının G % %, A, F A, F yy = Gxx G% k G% k ve AF, AF, zy / y = zx / x G % % eştlemeleryle kolayca bulunablr. Gözlem katmanı qe, m qe, m y = Gx kaynak katmanından farklı olduğunda, Green fonksyonları uygun sınır koşullar ve aşağıdak ynelemel fadeler kullanılarak değştrlr [18]: A A jk ( z k )( 1 z h+ z 1) j+ j j+ Tj 1, je + j = Aj+ 1 jkz 2d j j 1 Rj, j 1 R% j, j+ 1e j( kz k )( 1 z z 1 ) j j j + d h Tj 1, je + j = Aj 1 jkz 2d j j 1 Rj, j 1 R% j, j+ 1e (2.57) (2.58) Burada, Aj and + A j, sırasıyla aşağı ve yukarı gden dalgaların genlklerdr ve T se letm katsayısıdır. Böylece, herhang br katmandak alan fadeler, kaynak katmanından başlayarak ynelemel olarak bulunablr. 15

27 2. 2. Uzay Tanımında Kapalı Yapıdak Green Fonksyonları Uzay tanımındak Green fonksyonları, frekans tanımındak karşılıklarından Hankel dönüşümü veya elektromanyetkte Sommerfeld ntegral [28] olarak adlandırılan br ntegral dönüşümü kullanılarak elde edlr. Bu dönüşüm; AFq,,, 1 e qm (2) AFq,, e, qm G = dkρkρh0 ( kρρ) G% ( kρ) 4π (3.59) SIP şeklndedr. Burada k ρ = kx + ky, G ve G%, sırasıyla uzay ve frekans tanımındak Green fonksyonları, (2) H 0 knc tp Hankel fonksyonu ve Şekl 2.2 de gösterlen SIP se Sommerfeld ntegrasyon yoludur. Tam analtk ntegral alma mümkün olmadığı zaman Sommerfeld ntegraln hesaplamanın temelde k yolu vardır. Brncs, durağan faz yöntem ve en hızlı nş (steepest descent) yöntem gb asmtotk yöntemler [19] ve kncs, nümerk ntegral alma yöntemler [29] dr. Asmtotk yöntemler, ntegraln fzksel anlamını daha y yansıtsa da farklı geometrk yapılar çn yenden formüle edlmes gerekr ve bu nedenle CAD yazılımlarında kullanılmaya uygun değllerdr. Öte yandan, Sommerfeld ntegralnn nümerk ntegralnn hesabı zaman alıcıdır, çünkü ntegral term tekllklere sahp salınan karmaşık br fonksyondur ve ntegral sınırları sonsuza uzanmaktadır. Sonuç olarak, Sommerfeld ntegralnn bu yöntemlerle hesaplanması da br CAD algortması çn uygun değldr [17, 20]. Im[ k ρ ] SIP Re[ k ρ ] k 0 Şekl 2.2 Sommerfeld ntegrasyon yolu (SIP) 16

28 Sommerfeld ntegralnn nümerk ntegrasyonundan kurtulmak çn, frekans tanımındak Green fonksyonlarına Hankel dönüşümler analtk olarak hesaplanablen karmaşık üsteller cnsnden yaklaşıklanır ve böylece uzay tanımındak Green fonksyonları kapalı yapıda yazılablr [17, 21]. Bu yöntem lk olarak Chow [21] tarafından kalın br taban üzerndek br YED çn öne sürülmüş ve Aksun ve Mttra [25] tarafından rasgele kalınlıklı taban ve tavan malzemel geometrler çn genşletlmştr. Uzay tanımında kapalı yapıdak Green fonksyonlarını hesaplamanın lk yolu, üstellern ve örnekleme noktalarının sayıları le maksmum yaklaşıklama alanı gb yaklaşıklama parametrelernn seçmnde deneme yanılma yapılmasını gerektryordu. Ayrıca, algortmadak güçlükler ortadan kaldırmak çn yarı dnamk görüntülerle yüzey dalgası kutuplarının bulunup yaklaşıklamadan önce Green fonksyonundan çıkarılmaları gerekr. Fakat, daha sağlam ve çok verml olan k aşamalı yaklaşımla brlkte bu güçlükler ortadan kalkmış ve bu yöntem CAD çalışmaları çn çok uygun br hale gelmştr [17]. [17, 21] referansları le verlen çalışmalarda frekans tanımındak Green fonksyonlarının Şekl 2.2 le gösterlen SIP veya Şekl 2.3 le gösterlen SIP nn uygun br şeklde değştrlmesnden elde edlen br yol boyunca örneklenmştr. Im[ k ρ ] C ap1 SIP Re[ k ρ ] C ap2 k 0 km k ρ max 2 k ρ max1 Şekl 2. 3 Sommerfeld ntegrasyon yolu ve k sevyel yaklaşım çn ntegrasyon yolu Bu tezde, Şekl 2. 4 de gösterlen, SIP nn değştrlmesyle elde edlmş ve üç sevyel yaklaşım olarak adlandırılan yol kullanılmıştır [30]. Bu yaklaşım k sevyel yaklaşımın genşletlmş haldr. C ap1, C ap2 ve C ap3 şeklnde gösterlen üç bağlantılı parçadan oluşan bu yolun parametrk denklem şu şekldedr. 17

29 Cap3 çn k = jk [ T + T + t] 0 t T z o1 o2 o3 Cap2 çn k = jk [ T + t] 0 t T z o1 o2 Cap1 çn k = k [ jt+ (1 t/ T )] 0 t T z o1 o1 (2.60) (2.61) (2.62) Im[k ρ ] C ap1 k ρ -plane k 0 k m C ap2 C ap3 Re[k ρ ] k ρmax1 k ρmax2 k ρmax3 Şekl 2. 4 Sommerfeld ntegral yolu ve üç sevyel yaklaşım çn ntegral yolu Burada t, karşılık gelen T 01, T 02, T 03 bölgelernde eşt aralıklarla örneklenen değşkendr. Üstel yaklaşıklama şlem, yaklaşıklanacak fonksyonun örneklenmesyle başlar, daha sonra üstel yaklaşıklama algortması örneklenmş değerlere uygulanır [30]. Başka br deyşle, fonksyonun örnekleme noktalarındak değerlernn blnmes gerekr, k bu da (2.37)-(2.46) da verlen z ve z gb parametrelern sabtlenmesn gerektrr [30]. Frekans tanımındak Green fonksyonunu 1/j2k z term dışında örnekledkten sonra, fonksyonun üstel yaklaşığını bulmak çn genelleştrlmş fonksyon kalem (GPOF) yöntem kullanılır ve; N1 N2 N3 1 b1nkz b2nkz b3nkz G% a1 ne a2ne a3ne j2k + + (2.63) z n= 1 n= 1 n= 1 sonucu bulunur [30]. Burada, a 1n, a 2n, a 3n ve b 1n, b 2n, b 3n sırasıyla üç sevyel yaklaşımın brnc, knc ve üçüncü parçalarına GPOF yöntemnn uygulanması le elde edlen katsayılar ve üsteller fade etmektedr. Bu çalışmada, frekans tanımındak Green fonksyonları, yukarıdak gb genelleştrlmş fonksyon kalem (GPOF) yöntem [23] kullanılarak ve Hankel dönüşümler analtk olarak hesaplanablen karmaşık üstellern toplamı cnsnden fade edldkten sonra, her br üstel Sommerfeld özdeşlğ kullanılarak uzay tanımına dönüştürülmüştür. 18

30 jkr jkz z (2) ρ 0 ( ρρ) ρ kz SIP e j e = k H k dk r 2 (2.64) Böylelkle, uzay tanımındak Green fonksyonları kapalı yapıda aşağıdak gb elde edlr: N1 jkr N 1n 2 jkr 2n N 3 jkr 3n (2.65) e e e G a + a + a 1n 2n 3n r 1 1n r 1 2n r n= n= n= 1 3n Burada, 2 2 ρ = x + y olmak üzere 2 2 1n ρ b1 n r =, 2 2 2n ρ b2n r = ve 2 2 3n ρ b3n r = olarak fade edlr ve k se,. katmanın dalga numarasıdır. Kapalı yapıdak bu Green fonksyonlarının nasıl davrandıkları hakkında br fkr vermes amacıyla Şekl 2. 5 dek üç katmanlı ortam çn br örnek verlmştr. Brnc katman mükemmel letken, üçüncü katman serbest uzaydır. Şekl 2. 5 den görüldüğü gb, knc katmanda (brnc katman le knc katmanın ara yüzey) yatay ve dkey elektrk dpol bulunmaktadır ve gözlem noktası bu katmandadır. Dğer elektrksel parametreler, ε r1 = 2, ε r2 = 1, d = 0.5cm ve çalışma frekansı 1 GHz dr. Green fonksyonlarının çzmler Şekl 2. 6 ve Şekl 2. 7 de verlmştr. Şekl 2. 5 Yatay ve elektrk dpol bulunan üç katmanlı geometr. 19

31 Genlk log 10 ( G xx A ) log 10 ( G zx A ) log 10 ( G zz A ) log 10 (k 0 ρ) A A Şekl 2. 6 Üç katmanlı geometr çn G, G veg Green fonksyonlarının genlkler. xx zx A zz log10( G x q log10( G z q 12 Genlk Şekl 2. 7 Üç katmanlı geometr çn log 10 (k o ρ) q q G x ve Gz Green fonksyonlarının genlkler. 20

32 3.KARMA POTANSİYEL İNTEGRAL DENKLEMİ (MPIE) YAKLAŞIMI KULLANILARAK DÜZLEMSEL KATMANLI ORTAMDA ALAN ANALİZİ 3.1. Grş Yüksek frekanslı devrelern analzn gerçekleştrmek çn elektrk ve manyetk alanların veya letken üzernde ndüklenen akım yoğunluğunun blnmes gerekr. Devrenn akım yoğunluğu blnyorsa, devrenn grş empedansı, S-parametreler, ışıma desen gb elektrksel parametreler rahatlıkla bulunablr. Bu çalışmada, düzlemsel katmanlı ortamdak mkrodalga devrelernn analzn gerçekleştrmek çn elektrk alanın karma potansyel ntegral denklem (MPIE) cnsnden yazılıp, devreye sınır koşullarının uygulanması le akım yoğunluğunun bulunduğu ve moment yöntemne dayalı br çözüm yönetm kullanılmıştır. Monoltk Mkrodalga Entegre Devreler de kullanılan düzlemsel katmanlı geometrlern sayısal modellenmesnde moment yöntem yaygın br şeklde kullanılmaktadır. Moment yöntem formülasyonu frekans veya uzay tanımında elektrk alan çn yazılan ntegral denklem matrs formuna dönüştürerek blgsayarda nümerk olarak çözümüne mkan tanır. Matrs denklemnn grşler, uygun temel ve test fonksyonları kullanılarak ya uzay tanımında ya da frekans tanımında Green fonksyonları çeren ntegrallern hesabını çerr. Bölüm 2 de frekans tanımındak Green fonksyonları ve bunların uzay tanımındak kapalı form karşılıkları ayrıntıları le verlmştr. Uzay tanımı moment yöntem formülasyonu elektrk alanın Green fonksyonları le lşkl vektörel ve skaler potansyel cnsnden MPIE nn yazılması le başlar. İntegral denklem, blnmeyen akım yoğunlukları ve blnen temel fonksyonlar cnsnden açılır. Daha sonra test şlem olarak blnen sınır koşullarının ntegral duyarlılığında uygulanması le devam eder. Böylelkle elde edlen lneer matrs denklem çözülerek akım yoğunluğu elde edlr. Bu bölümde düzlemsel katmanlı geometrlern analz çn kullanılacak formülasyon açık br şeklde sunulmuş ardından kullanılacak temel ve test fonksyonları hakkında blgler verlmş sonra, matrs denklemn grşlernn elde edlmes, bu grşlere at ç çarpımların analtk hesabı çn gerekl matematksel araçlar gösterlmştr. Ayrıca, elde edlen akım yoğunluğu fades kullanılarak devrenn grş empedansı, saçılma parametreler gb elektrksel parametrelern elde edlmes anlatılmıştır. 21

33 3.2. Düzlemsel Katmanlı Geometrler çn MPIE Formülasyonu Şekl 3. 1 de genel 3-boyutlu mkroşert devre yapısı gösterlmektedr. Burada, tüm katmanlar xy düzlemnde düzgün br şeklde sonsuza uzandıkları, letkenlern kayıpsız ve sonsuz ncelkte olduğu kabul edlmektedr. Katmaların kalınlıkları h ve katmanların delektrk geçrgenlkler se ε r le gösterlmektedr. z y x port metal port h 2 r2 port h 1 r1 toprak düzlem Şekl 3. 1 Katmanlı ortama yerleştrlmş genel 3-boyutlu mkroşert devre yapısı le; MPIE formülasyonu elektrk alanın vektörel ve skaler potansyeller cnsnden yazılması E= jwa φ (3.1) gb elde edlr. Vektörel ve skaler potansyeller yüzey akım yoğunluğu J, yük yoğunluğu ρ ve Green fonksyonları cnsnden; A A= G J (3.2) q φ = G * ρ (3.3) 22

34 şeklnde verlen konvolüsyon ntegraller le fade edlr. (3.2) ve (3.3) denklemlernde, A G q vektörel potansyeln dyadk Green fonksyonunu, G skaler potansyeln Green fonksyonunu göstermektedr ve Bölüm 2 de bu fonksyonların kapalı formlarının elde edlmes genş br şeklde verlmşt. Skaler potansyel fadesndek yük yoğunluğu. J + jwρ = 0 (3.4) sürekllk denklem kullanılarak (3.3) le verlen fade yenden düzenlenrse, q 1 φ = G *(. J ) (3.5) jw elde edlr. MPIE, yukarıda verlen (3. 2), (3. 3) ve (3. 5) eştlkler kullanılarak yalnızca elektrk akım yoğunluğu J ye bağlı olarak yenden düzenlenrse, elektrk alanın xy düzlemndek teğetsel bleşenler A 1 q Ex = jwgxx* Jx + ( G *. J ) jw x (3.6) A 1 q Ey = jwgyy* Jy + ( G *. J ) jw y (3.7) A A A 1 q Ez = jwgzx* J x jwgzy* J y jwgzz* J z + ( G *. J ) jw z (3.8) şeklnde elde edlr. (3.6)-(3.8) denklemlernde, * şaret konvolusyonu göstermekte ve G A xx = G dr. Ayrıca A yy A G j (,j = x,y,z) fades, r noktasında bulunan brm uzunluktak j yönlü elektrk dpolden dolayı r noktasında oluşan yönlü vektör potansyel fade etmektedr. MPIE formülasyonunun blok dagram şeklde gösterm Şekl 3.2 le verlmştr. 23

35 metal Katmanlı ortam z temel fonksyonlar ε + 1 ε kaynak J. 1 jω A G q G A ϕ jω E Şekl 3. 2 MPIE nn blok dagram şeklnde gösterm Yatay ve dkey elektrk dpoller çn skaler potansyeller brbrne eşt olmadığı çn, (3.6)-(3.8) denklemler le verlen teğetsel elektrk alan fadelerndek skaler potansyel Green fonksyonu olan term, q q J J x q y q J z G *. J = Gx * + Gy * + Gz * (3.9) x y z gb yazılır. Burada, q G (=x,y,z) yönlü skaler potansyel Green fonksyonlarını göstermektedr. Elektrk alan fadelerndek blnmeyen yüzey akım yoğunluğunu bulmak çn moment yöntem (MoM) kullanılmıştır. Moment yöntemnn lk adımı metal letkenler üzerndek yüzey akım yoğunluğu J, blnmeyen katsayılı blnen temel fonksyon cnsnden, J x y z I B x y z = (3.10) ( mn, ) ( mn, ) x(,, ) x x (,, ) m n J x y z I B x y z = (3.11) ( mn, ) ( mn, ) y(,, ) y y (,, ) m n J( xyz,, ) = I B ( xyz,, ) + I B ( xyz,, ) x( mn, ) x( mn, ) y( mn, ) y( mn, ) z z() l z() l z( k) z( k) m l n k () l () l + Iz Bz ( x, y, z) l (3.12) 24

36 şeklnde açılır. Bu fadelerde B, B ve ( mn, ) ( mn, ) x y B blnen temel fonksyonlar () l z I, I ve ( mn, ) ( mn, ) x y () l I z ler akım yoğunluğunun blnmeyen genlklerdr. (m,n) ve (l,k) sırasıyla Şekl 3. 3 de gösterldğ gb düşey letkenlern ve dkey letkenlern temel fonksyonlara bölündükten sonrak pozsyonlarını göstermektedr. Hücre metal kısmın en küçük brmdr ve br temel fonksyon k hücrey çne alır. Devrede kullanılacak kaynaklar yarım temel fonksyon le fade edlmekte ve geometrnn letkenler üzernde ndüklenen akım yoğunluğunu yaklaşıklamak çn çatı tpnde fonksyonlar kullanılmaktadır. Şekl 3. 3 Geometrnn çatı tpnde temel fonksyonlar cnsnden bölünmes Şekl 3. 4 x, y ve z yönlü temel fonksyonlar gösterlmştr. Şekl 3. 4 de h x, h y ve h z parametreler temel fonksyonların yarı açıklıklarını göstermektedr. Temel fonksyonların tam kümes Tablo 3. 1 de verldğ gbdr. 25

37 y 1 y 2 y O h x h x h y O x x 1 x 2 (a) y 2 h y y 1 h y h x x 1 x O x 2 y O (b) h x xmn (, ) Bzl () ( y, z) x=x m y( m, n) Bz( k) ( x, z) ( mn, ) Bzl () ( z) h y h y y n y=y n h x x m h x x=x m y=y n h z h z h z z l z l z l h z h z h z θ (c) Şekl 3. 4 (a) x yönlü temel fonksyonun gösterm, (b) y-yönlü temel fonksyonların gösterm, (c) z- yönlü temel fonksyonların gösterm 26

38 Temel fonksyon Tanımı (, B mn) ( xy, ) (m,n) nc x yönlü temel fonksyon x (, B mn) ( xy, ) (m,n) nc y yönlü temel fonksyon y x( m, n) Bzl () ( yz, ) (l) nc z yönlü x=x m dek temel fonksyon y( m, n) Bz( k) ( xz, ) (k) nc z yönlü y=y n dek temel fonksyon ( mn, ) Bzl () ( z ) (l) nc x= x m ve y= y n noktasındak z yönlü temel fonksyon (, B mn) ( xy, ) (m,n) nc x yönlü kaynak çn temel fonksyon (yarım çatı) xs (, B mn) ( xy, ) (m,n) nc y yönlü kaynak çn temel fonksyon (yarım çatı) ys Tablo 3. 1 Temel fonksyonların tanımı Moment yöntemnn knc adımı (3.10), (3.11) ve (3.12) le verlen akım yoğunluğu fadelernn (3.6), (3.7) ve (3.8) le verlen alan fadelernde yerne yazılarak sınır şartlarının uygulanmasıdır. Bu adım, test şlem olarak da fade edlr ve alan fadelernn ( m, n ), ( m, n T T ) x y ve T z le gösterlen blnen test fonksyonları le çarpılarak letken yüzeyndek elektrk alanın sıfıra eştlenmesnden oluşur. T T T ( m, n ) x ( m, n ) y () l z, E = 0 x, E = 0 y, E = 0 z (3.13) Bu adımlardan sonra; Z xx Zxy Zxz Ix Vx Z yx Zyy Z yz I y V = y Z zx Zzy Z zz I z V z { { [ Z ] [ I] [ V] (3.14) şeklnde temel fonksyonların blnmeyen genlkler çn br matrs denklem elde edlr. Bu göstermde Z empedans matrs ve matrsn her br elemanı temel ve test fonksyonları 27

39 arasındak karşılıklı empedansları göstermektedr. V uyartım matrsn, I se akım genlk matrsn fade etmektedr. Empedans matrs grşler, ( mn, ) ( m, n ) A ( m, n) 1 ( m, n ) q B x Zxx = Tx, Gxx * Bx + T, * 2 x Gx w x x ( mn, ) 1 ( m, n ) B q y xy =, * 2 x y Z T G w x y ( mn, ) 1 ( m, n ) q B z Zxz = T, * 2 x Gz w x z ( mn, ) 1 ( m, n ) q B x Zyx = T, * 2 y Gx w x x ( mn, ) ( m, n ) A ( m, n) 1 ( m, n ) B q y yy = y, yy * y +, * 2 y y Z T G B T G w y y 1 ( m, n ) q Bz yz =, * 2 y z Z T G w z z ( mn, ) A ( m, n) 1 q B x Zzx = Tz, Gzx * Bx + T, * 2 z Gx w z x ( mn, ) A ( m, n) 1 B q y Zzy = Tz, Gzy * By + T, * 2 z Gx w z y x A 1 q B z Zzz = Tz, Gzz * Bz + T, * 2 z Gz w z z (3.15) (3.16) (3.17) (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) (3.22) (3.23) formundadır. Bu fadelerde kullanılan <,> ve * operatörler sırasıyla ç çarpım ve konvolusyonu göstermektedr ve bu matematksel şlemlern tanımı, f ( xy, ), gxy (, ) = dxdyf( xy, ). gxy (, ) (3.24) f ( xy, )* gxy (, ) = dxdyf ( x x, y y ). gx (, y ) (3.25) gbdr. 28

40 Moment yöntemnn bu k adımından sonra temel fonksyonların blnmeyen katsayılarını bulmak çn matrs grşlernn hesabı ve (3.13) le verlen matrs denklemnn çözümü olmak üzere k öneml adım daha vardır. Matrs grşler dört katlı karmaşık ve salınımlı yapıda ntegraller çermektedr. Matrs grşlernn ç çarpımlarının hesabı yapıldıktan sonra matrs denklem çözülerek letkenler üzerndek akım dağılımları bulunur. Daha sonra akım dağılımından devrenn saçılma parametrelernn elde edlmesne geçlr Matrs Grşlernn Elde Edlmes Düzlemsel katmanlı ortamdak geometrlern yazılan MPIE denklem ve bu ntegral denklemn uzay tanımının moment yöntem le çözümünde, letkenler üzerndek blnmeyen akım yoğunluğunu bulmak çn, bu akım yoğunluğunu blnmeyen katsayılı blnen temel fonksyonların cebrsel toplamı cnsnden yazılması gerekr. Ardından test şlemnn uygulanması le elde edlen matrs denklemndek grşlern oluşturulması alan fadelernn yazımı le başlar. (3.6)-(3.8) denklemler le daha önce verlen alan fadelerndek akım yoğunlukları yerne (3.10)-(3.12) denklemler le verlen fadeler yazarak başlayalım. A 1 q J J x q y q J z Ex = jwgxx* Jx + ( Gx * + Gy * + Gz * ) jw x x y z A 1 q J J x q y q J z Ey = jwgyy* Jy + ( Gx * + Gy * + Gz * ) jw y x y z A A A E = jwg * J jwg * J jwg * J z zx x zy y zz z 1 J J y ( q x J * q * q z + Gx + Gy + Gz * ) jw z x y z (3.26) (3.27) (3.28) E x fades çn akım yoğunluklarının temel fonksyonlar cnsnden yazılıp yenden düzenlenrse, 29