MONTE CARLO SMÜLASYONUNDA BETMSEL ÖRNEKLEME YAKLAIMI VE GDA BAKIRKÖY VEZNELERNE BR UYGULAMA ÇALIMASI

Transkript

1 MONTE CARLO SMÜLASYONUNDA BETMSEL ÖRNEKLEME YAKLAIMI VE GDA BAKIRKÖY VEZNELERNE BR UYGULAMA ÇALIMASI SErdal DNÇER (*) Habib KOÇAK (**) Özet: Monte Carlo uygulamaları sonucunda ortaya çıkan, düük deerdeki kesinlik tesadüfi davranıların tanımlanmasında kullanılan girdi örneklemlerin tesadüfi olarak oluturulmasından kaynaklanmaktadır Bu nedenle ortaya çıkan olumsuzlukları gidermeye yönelik olarak varyans azaltma tekniklerine bavurulmakta ancak bu da ilem yükünün artmasına neden olmaktadır Bu sorunu ortadan kaldırmak amacıyla basit tesadüfi örneklemeye karılık olarak betimsel örnekleme yönteminden yararlanılmakta ve bu yöntemle elde edilen sonuçların çok daha kesin deerlere sahip olduu görülmektedir Bu çalımada, betimsel örnekleme yönteminin basit tesadüfi örnekleme yöntemine göre Monte Carlo simülasyonunda çok daha uygun sonuçlara ulatıını göstermeye yönelik olarak gerçek bir duruma uygulamasına çalıılmı ve elde edilen sonuçların betimsel örnekleme lehine oldukça uygun sonuçları içerdii görülmütür Abstract: In any Monte Carlo application, sampled distributions are assumed to be known Using simple random sampling, sample histograms or, equivalently, sample moments will vary at random, thus producing an imprecise description of the known input distribution, and consequently increasing the variance of simulation estimates This problem can be avoided with descriptive sampling, here proposed as a more appropriate approach in Monte Carlo simulation than simple random sampling The basis of topic, examples of its use and emprical results are presented I Giri Bugüne kadar Monte Carlo simülasyonunda tesadüfi davranıların tanımlanmasında kullanılan girdi örneklemler tesadüfi olarak oluturulmaktaydı Basit tesadüfi örnekleme, simülasyonda standart örneklemeye dönütürülerek ileme tabii tutulmaktadır Bu durum yüksek deikenlik gösteren tahminlerin yanı sıra, bu yüksek deikenlik gösteren tahminlerden dolayı da geçerlilii oldukça tartımalı sonuçların meydana gelmesine neden olmaktadır Simülasyon tahminlerindeki bu düük deerdeki kesinlik Monte Carlo uygulamaları sonucunda ortaya çıkmakta ve bu da varyans azaltma tekniklerinin kullanılması zorunluluunu gündeme getirmektedir Varyans azaltma tekniklerine örnek olarak; antitetik varyans, tabakalı örnekleme, ortak tesadüfi (*) ÖrGörMarmara Üniversitesi BF Ekonometri Bölümü (**) ÖrGörMarmara Üniversitesi BF Ekonometri Bölümü

2 128 SErdal DNÇER, Habib KOÇAK sayılar ve yeni gelitirilen Latin hiper küp örneklemesi verilebilir Bu tür çalımalarda, varyans kontrolünden baka, çok daha kontrol edilebilir örneklem seçimine ihtiyaç duyulmaktadır Ancak Monte Carlo prensiplerini veya kavramsal yapısını kırmadan bunun gerçeklemesi oldukça zor bir ilemdir Ayrıca pek çok Monte Carlo uygulamasında kullanılan örneklemlerin bilinen bir daılıma uyduu da kabul edilmek zorundadır Uygulamalardan elde edilen sonuçlar kullanılan yöntemlerin hatalı olduunu göstermekte ve bir anakütle hakkında gereken bilgilerin elde edilmesinde derinlemesine bir tesadüfi örneklemeye ihtiyaç duyulduunu ortaya koymaktadır (James, 1985: 525) Bu çalımada, örneklemenin amacı Monte Carlo örneklemesi için çok daha iyi ve uygun olduu belirlenen betimsel örnekleme tekniinin üstünlüünü basit tesadüfi örnekleme teknii ile karılatırarak göstermektir Bu yeni yaklaımın ana farklılıı çalımalarda kullanılan örneklemin amaca yönelik olarak belirlenmesinde betimsel örneklemeden faydalanılmasıdır Betimsel örnekleme yönteminde örneklemin seçiminde sunulan daılım ile aratırmaya dahil edilen örneklemlere ait daılımın uygunluunun gerçekletirilmesi temel zorunluluk olup, aratırmaya dahil edilen örneklemlerin ise tesadüfilii söz konusudur Betimsel örnekleme uygulamada kolay bir yöntemdir lem sırasında herhangi bir düzeltme ve iyiletirmeye ihtiyaç duymaz Genel olarak çok daha iyi ve uygun tahminler üretmektedir Betimsel örneklemenin kullanımı için gerekli olan yalnızca balangıçta kullanılacak olan örnek büyüklüünün belirlenmesidir Betimsel örnekleme simülasyon uygulamalarına katkıda bulunmasına ramen daha etkili tahminlerin elde edilmesine de yardımcı olmaktadır Çalımanın temel noktasını bir Monte Carlo çalımasında örnek deikenlerin belirlenmesinde basit tesadüfi örneklemenin kullanılmasının art olmadıı görüünü göstermek oluturmaktadır Bu nokta açıkça ortaya konulduktan sonra simülasyon dahil olmak kaydıyla herhangi bir Monte Carlo uygulamasında bunu kanıtlamak mümkün olmaktadır (Saliby, 1989: 123) II Monte Carlo Simülasyonu Sistemin durumunu deitiren olayların gerçekleme zamanlarına ait deerlerinin bir olasılık daılımından faydalanılarak belirlenmesi Monte Carlo simülasyonu olarak adlandırılır (Taha, 1989: 694) Yöntem sistemin belli bir zaman aralıında yer alan belirli bir anın durumunu yansıttıı için bir statik simülasyon modelidir Bu metod olasılık teorisine balıdır Genel olarak, bir probleme uygulanması, problemin tesadüfi sayılar kullanılarak defalarca simüle edilip, hesap edilmek istenen parametrenin bu simülasyonların sonucuna bakılarak yaklaık olarak hesaplanması fikrine dayanır Gerçek bir durumun stokastik modelini oluturup, bu model üzerinden örnekleme deneyleri hazırlama teknii olarak da tanımlanabilir Bu tip simülasyonlar stokastik

3 ktisadi ve dari Bilimler Dergisi, Cilt: 19 Eylül 2005 Sayı: yapıda birbirleriyle ilikili çok sayıda deikene sahip sistem çıktılarının çalımasında kullanılmaktadır (Laufer, 1995:168) Bu konu hakkındaki ilk çalımalar 1873 yılında A Hall tarafından pi sayısı üzerinde balatılmı, daha sonra 1890 yıllarında WGosset tarafından gelitirilmeye çalıılmıtır 1899 yılında Rayleigh tarafından parabolik diferansiyel denklemlere ait tek boyutlu rastgele sayıların yaklaık deerlerini bulma çalıması gerçekletirilmitir 1931 de Kolmogorov belirli diferansiyel denklemlerin integral hesaplarında bir balantı kurmutur (Kalos ve Whitlock, 1986:45) Monte Carlo simülasyonu özellikle 1930 lardan sonra hızla gelimeye balamı matematiksel bir tekniktir Bu metot 1940 yılında nükleer silah gelitirilmesi projesinde çalıan JVon Neumann, Fermi ve Ulam adlı bilim adamlarınca gelitirilmitir Balangıç bir simülasyon problemi aaıdaki gibi sunulabilir; (a) Sistem davranıını tasvir eden bir model (b) ekil 1 de yer alan bu model kendisine dahil edilen tesadüfi girdi deikenlerini ( X A, X B,) tesadüfi çıktı deikenlere ( Z A, Z B,) dönütürmektedir Bu deikenlere cevap deikenleri adı verilmektedir (Law ve Kelton, 1991: 247) Girdi Deikenleri Cevap Deikenleri X A Z A X B Z B X C Z C ekil 1: Örnek Bir Simülasyon Modeli (c) Girdi deikenlerinin daılımının bilindii ancak cevap deikenlerinin daılımının ise bilinmedii varsayılmaktadır Buradaki amaç cevap deikenlerinin veya onlara ait parametrelerin daılımlarını incelemektir (d) Problem simüle edildiinde, girdi tesadüfi deikenleri örnekler aracılııyla deitirilirler (e) Simülasyon ilemi balatıldıında, her bir cevap deikeni için bir deikenler kümesi oluturularak hesaplamalar gerçekletirilir Burada dikkat

4 130 SErdal DNÇER, Habib KOÇAK edilmesi gereken sonlu bir sistemin simüle edilmesi durumunda her bir denemenin her bir cevap deikeni için bir gözlem deerini oluturduu ve simülasyon tahmininin ise N cevap deikenleri kümesinden hesaplandııdır Bundan dolayı da simülasyon iletilmesi N deneme tarafından tanımlanmaktadır Dier simülasyon çalımalarından farkı her ilemin bir tahmin ve simülasyon denemesi olmasıdır Cevap parametrelerinin sabit olmasına ramen her bir simülasyon ilemi farklı bir tahminler kümesini oluturmaktadır Bu farklı tahminler kümesindenkaynaklanan ve minimize edilmesi gereken tahmin hatası Monte Carlo yönteminin kullanımında katlanılması zorunlu bir durumu oluturmaktadır (Kleijnen, 1974: 318) III Betimsel Örnekleme Çalımaya katılan bir cevap deikeni ve tesadüfi girdi deikeninin simülasyonu yönlendirdiini varsayacak olursak, simülasyonun çalımasını fonksiyon eklinde ifade edebiliriz Y = F (x, x,, x ), j =,,, L (1) j j Burada Y j, n j =,,, L, cevap deikeni daılımı ile ilikili olmak üzere Q j parametresi için tahmincidir ve F j, Y j, j =,,, L, tahmincisine uygun olarak ilikilendirilmi girdi deikeni, X i, ( i =,,,n) nin bir deterministik fonksiyonudur Girdi örneklem hacmi sonsuza yönlendiinde iki asimptotik özellik söz konusu olmaktadır Bunlar; Yansızlık ; E(Y ) Q, j =,,, L ve Uygunluk ; j j Var(Y j ), j =,,, L Bu çalımada N, sonlu bir sistem için tek bir çalımaya göre düzenlenmi denemeler sayısını, T, sonsuz bir sistem için çalıma uzunluunu ifade etmekte ve n ise her bir çalıma için girdi örneklem hacmini göstermektedir (Tocher, 1963: 256) (1) nolu denklemden, simülasyon tahminlerine ait deikenlerin yalnızca girdi örnek deikenliine balı olduunu görmekteyiz Her bir deneme için farklı bir girdi örnei çizmek mümkündür Bu da birbirinden farklı tahminler kümesini oluturmaktadır Beklendii üzere, cevap deikenleri ve girdi deikenleri arasında bir iliki söz konusudur Simülasyonun genel kabulüne balı olarak, her bir girdi örneklemi 2 genel özellik açısından incelenmektedir a Deerler kümesi; tüm örnek deerleri toplu halde göz önünde bulundurularak tanımlanır, fakat onların özel sıralanmaları göz önüne alınmaz

5 ktisadi ve dari Bilimler Dergisi, Cilt: 19 Eylül 2005 Sayı: b Bu deerler özel sıralamalarda meydana gelirler Her iki özellikte iki temel olasılık kavramıyla yakından ilikilidir Bunlar, deerler kümesinin daılımı ile göreceli sıklık daılımının uygunluk göstermesi ile sıralamanın tesadüfi olmayan bir iliki göstermesidir Basit tesadüfi örneklemenin kullanılması durumunda küme elemanlarının ve sıralamanın her ikisinin de deimesine izin verilmektedir Bu nedenle her iki özellik simülasyon tahminlerindeki deiimin kaynaı olarak kabul edilmektedir (Saliby,1990: 319) A Tahminlerin Deikenlii Basit tesadüfi örneklemenin kullanılması durumunda simülasyon tahminlerindeki deikenlik aaıda yer alan ana hatlarla ortaya konulabilir 1 Küme deikenlii tahminlerin varyansları üzerinde önemli ve özelletirilmi bir etkiye sahip olan girdi örneklemi ile ilikilidir Küme deikenliinin varyansın tahminine göreceli etkisi %50 veya daha fazladır Küme deikenliinin göreceli etkisinin bir dier önemli sonucu çalıma uzunluunun göz ardı edilmesidir Çalıma uzunluunun artmasıyla girdi örnekleminin tanımlanan daılımı daha kapalı hale gelmekte, ancak küme deikenliinin göreceli etkisi ise aynı kalmaktadır 2 Dorusal bir regresyon modeli uygun teorik deerler ile girdi örnek momentleri arasındaki sapmalardaki veri etkisini ortaya koymaktadır Dorusal regresyon modeli matematiksel olarak kontrol deiimi yöntemiyle aynıdır Dorusal regresyon modeli yardımıyla açıklanan deikenlik R deeriyle ifade edilmektedir R katsayısı set etkisinin tahmin edilmesine olanak salamaktadır 3 Küme etkisi pek çok simülasyon probleminde ortak özellik olarak karımıza çıkmaktadır Bunun en bariz örnei M/M/1 (Poisson gelili/ Poisson ayrılılı/ Tek kanallı) kuyruk simülasyonu olarak gösterilebilir Küme etkisi dorusal regresyon modeli yardımıyla açıklanabilmesine ramen birbirini takip eden özellikleri tahmine yönelik olarak gelitirilmi genel bir model mevcut deildir (Saliby, 1989:135) Basit tesadüfi örnekleme yönteminin kullanılması çeitli simülasyon çalımaları arasında farklılıın olumasına neden olmaktadır Tesadüfi seçim, tahmin deerlerinin varyansını arttırmakta ve veri etkisine neden olmaktadır Monte Carlo simülasyonunda basit tesadüfi örneklemenin kullanılması kavramsal yapının taklit edilmesi durumunun ortaya çıkmasına sebep olmakta ve bundan dolayı da tesadüfi davranıların tanımlanması zorunluluunu ortaya çıkarmaktadır Bu durumda herhangi bir örneklem bu durumu taklit etmek zorundadır (Stuart, 1976:165) Tesadüfi bir davranıı tanımlayabilmenin iki temel olasılık kavramıyla ilikisi vardır Bunlar; (a) Sıklık

6 132 SErdal DNÇER, Habib KOÇAK (b) Tesadüfilie sahip olma Betimsel örnekleme Monte Carlo örneklemesinde küme deikenliini ortadan kaldırmaya veya en aza indirgemeye yöneliktir Yöntem girdi deikenlerinin ve onların tesadüfi yerlemelerinin belirleyici bir seçiminin yapılmasına dayanmaktadır Sembolik olarak; Betimsel örnekleme=deterministik veri Tesadüfi seri Basit tesadüfi Örnekleme= Tesadüfi veri Tesadüfi seri ifade edilebilir (Saliby, 1990:1133) B Betimsel Örneklemenin Uygulanması Basit tesadüfi örneklemenin zorluuna karın, betimsel örneklemenin kullanımı ve programlaması son derece kolaydır Bundan daha da önemlisi, herhangi bir özel programlamaya ihtiyaç duymaksızın tamamen hızlı bir ekilde kullanılabilmektedir Genel olarak betimsel örnekleme iki ana adımdan meydana gelmektedir Bunlar, betimsel deikenlerin ve bu deikenlerin tesadüfi yerleim setlerinin oluturulmasıdır (Saliby, 1990: 319) C Deikenler Kümesinin Oluturulması Betimsel örnekleme sürecinde, deikenler kümesi daha sonra kullanılmak üzere düzenlenir Tek bir deiiklik yardımıyla terse dönütürme ileminin genel algoritması kullanılarak betimsel örnekleme deerleri üretilir Bunun için gerekli formülasyon aaıda yer almaktadır (Saliby, 1989: 120) Tablo 1: Negatif Bir Exponansial Daılım çin Deerler Setinin Tanımlanması 1 Xd = F [(i 0,5)/ n], i =,,, n i i ( i, ) / n i Xd = ln[1 (i 0,5)/ n] 1 0,05 0, ,15 0, ,25 0, ,35 0, ,45 0, ,55 0, ,65 1, ,75 1, ,85 1, ,95 2,996 Toplam 0,50 0,9

7 ktisadi ve dari Bilimler Dergisi, Cilt: 19 Eylül 2005 Sayı: Tablo 1 de ortalama E(x) = 1 ve n =10 durumu için terse çevirme ilemi X = ln( R) durumuyla ifade edilmitir Simülasyon için n = 10 gibi küçük bir örneklem olmasına ramen bu örneklem daılımında oldukça baarılı bir sonuca ulaılmıtır Daılım fonksiyonunun tersinin eldesi analitik olarak mümkün deildir Bu nedenle yaklaık bir durum tercih edilir Burada dikkat edilmesi gereken bir dier durumda tesadüfi örneklemenin oluturulmasında da aynı mantıın geçerli olduudur Ters dönüümün söz konusu olması durumunda betimsel deikenlerin oluturulmasında da aynı adımlar geçerlidir Bir simülasyon çalımasında tüm iletimler için set deerleri yalnızca bir defa kullanılabilir Uygulamada, yer deitirme olmaksızın ilem zinciri daha önce tanımlanmı deikenler kümesinin önsel tanımlanmasıyla oluturulan örneklem ile oluturulur Burada veri yapısı algoritma ile tanımlanır Veri yapısına yönelik olarak, her bir tesadüfi girdi deikeni için aaıda yer alan kapsam dahilinde bir kayıt oluturulur (Saliby, 1990:1133) n = Örnek hacmi Xd = Küme deerlerinden oluan gerçek sıralama [,,, n] P= En küçük Xd elemanına karılık gelen indeks deeri ayet P=1 ise herhangi bir grafiksel gösterim söz konusu deildir ayet P=n+1 ise tüm deerler kümesi grafiksel gösterime hazırdır Algoritma iki aamadan meydana gelir; 1 Balangıç aaması: Simülasyona balamadan önce n tanımlanır Küme deerleri (Xd) oluturulur ve P=1 olarak kabul edilir 2 Örneklem çalımaya dahil edilmeden bir betimsel örnek deeri talep edilir a P > n ise P = olarak kabul edilir b Tesadüfi olarak bir tamsayı belirlenir c Xd[P] ile Xd[Tesadüfi tamsayı] yer deitirilir d P=P+1 olarak kabul edilir P, Xd vektörünü iki kısma ayırmaktadır lk parça P-1, bu parça grafiksel olarak ifade edilmi olan küme deerlerinden olumaktadır Dier parça ise geri kalan ifade edilmemi küme deerlerinden olumaktadır = döngüsü çizilmek suretiyle tamamlanır Bundan sonra tesadüfi yer deitirme ilemi balatılır Bu sırada herhangi bir anda veri karıtırma ilemine balanabilir Benzer bir yaklaımla aynı veri yapısı ve oluturulan küme deerleri örneklemin oluturulmasında kullanılır IV Uygulama Monte Carlo uygulamaları sonucunda ortaya çıkan ve varyans azaltma tekniklerinin kullanılmasını zorunlu hale getiren tesadüfi örneklemeye karın, bu sorunları ortadan kaldırmada daha baarılı bir yöntem olan betimsel

8 134 SErdal DNÇER, Habib KOÇAK örneklemenin uygulanabilirliliinin gösterilmesine yönelik olarak gerçek bir problem üzerinde uygulama çalıması yapılmıtır Bu uygulamaya konu olan çalıma GDA a ait Bakırköy hizmet veznelerini kapsamakta olup klasik M/M/S sabit servis sisteminden hareketle gerçekletirilmitir Simülasyon ilemi için 30 çalıma günü ve günlük 480 dakikalık çalıma zamanı baz alınmı olup, uygulamaya konu olan servis oranı (µ t ) üssel daılıma, varıların oranı (λ t ) ise poisson daılımına uygunluk göstermektedir Ortalama geli oranı 3 müteri/dk ve ortalama servis oranı 05 müteri/dk olarak hesaplanmıtır Uygulamadan elde edilen sonuçların geçerliliinin test edilmesine yönelik olarak her iki örnekleme yöntemini de kapsayacak ekilde hizmet gielerinin sayılarına yönelik alternatif senaryolar üretilmi ve çözümler bu alternatif senaryolara göre gerçekletirilmitir M/M/S kuyruk sisteminin betimsel örnekleme yöntemiyle çözüme ulatırılmasında servis zamanı için aaıda yer alan set deerleri oluturulmutur (Saliby, 1990:1135) TS i = - MS ln [(i-05)/n], i=1,2,,n Burada MS ortalama servis zamanını ifade etmektedir Varı süresi için ise; TA i = - MA ln [(i-05)/n], i=1,2,,n Burada yer alan MA ortalama varı süresini ifade etmektedir Betimsel örneklemenin basit tesadüfi örneklemeye nazaran daha uygun sonuç verdiini vurgulamaya yönelik olarak 4 farklı servis kanalı senaryosu sonuçları Tablo 1 de yer almaktadır Elde edilen sonuçların tümü göz önüne alındıında betimsel örnekleme yardımıyla gerçekletirilen kuyruk simülasyonu çalımasından elde edilen sonuçların varyansları basit tesadüfi örnekleme yönteminin kullanılmasıyla elde edilen sonuçlara nazaran oldukça düük deerlerde olduu görülmektedir Dört farklı senaryonun oluturularak çözülmesi ve her birinde de aynı sonucun elde edilmesi betimsel örneklemenin Monte Carlo çalımalarında basit tesadüfi örneklemeye nazaran çok daha uygun sonuç verdiini göstermektedir

9 ktisadi ve dari Bilimler Dergisi, Cilt: 19 Eylül 2005 Sayı: Basit Tesadüfi Örnekleme Bekleme Zamanı (dk) S=3 Ortalama Varyans S=4 Ortalama Varyans S=5 Ortalama Varyans S=6 Ortalama Varyans Betimsel örnekleme Bekleme Zamanı (dk) S=3 Ortalama Varyans S=4 Ortalama Varyans S=5 Ortalama Varyans S=6 Ortalama Varyans Tablo 2: X Dakikadan Daha Fazla Bekleme Olasılıkları V Sonuç Bu çalımada, Monte Carlo uygulamaları sonucunda ortaya çıkan ve basit tesadüfi örneklemeden kaynaklanan tahminlerdeki düük deerdeki kesinliin yol açtıı bir takım güçlükleri ve düzeltme tekniklerinin kullanılma zorunluluunu ortadan kaldırmaya yönelik olarak gelitirilen betimsel örneklemenin uygulanabilirliliinin ve genel ileyi adımlarının incelenmesine çalıılmıtır Bu amaç dorultusunda yapılan çalıma sonucunda Monte Carlo uygulamalarında kullanılan basit tesadüfi örneklemeye nazaran betimsel örnekleme yönteminin kullanılmasıyla elde edilen sonuçların çok daha düük

10 136 SErdal DNÇER, Habib KOÇAK varyans deerlerine sahip olduu ve bu nedenle de varyans indirgeme tekniklerinin kullanılmasına ihtiyaç duyulmadıı görülmütür Bu elde edilen sonuçlar ve literatürlerde bu konuya yönelik olarak yer alan dier çalımalardan da hareketle Monte Carlo çalımalarına yeni bir bakı açısı gelitirilebilecei ve bunun da yapılacak çalımaların daha etkin ve geçerli sonuçlara sahip olması açısından yardımcı olacaı görülmektedir Kaynaklar Stuart A (1976), Basic Ideas of Scientific Sampling, 2nd Ed Griffin, London James BAP (1985), Variance Reduction Technigues Journal of Operations Research Society, Vol:36, ss Saliby E (1989), Rethinking Simulation: Descriptive Sampling Atlas, EDUFRJ, Sao Paula Saliby E (1990), Understanding the Variability of Simulation Results; an Emprical Study, Journal of Operations Research Society, Vol: 41, ss Saliby E (1990), Descriptive Sampling: A better Approach to Monte Carlo Simulation, Journal of Operations Research Society, Vol:12, ss Kleijnen JPC (1974), Statistical Technigues in Simulation,Part1 Marcel Dekker, New York Kalos, MH, Whitlock, PA, (1986), Monte Carlo Methods Volume:1 Basics, John Wiley&Sons Laufer, A, (1995), Operations Management, Ohio:South-Western Publishing Co, Ohio, USA Law, A, Kelton W, (1991), Simulation Modelling & Analysis, 2th Ed, Mc Graw Hill, New York Taha AH, (1989), Operations Research An Introduction, 4th Ed, Mac Millan Publishing Company, New York Simandl M, Soukup T,(2002) Simulation Monte Carlo Methods in Extended Stochastic Volatility Models, International Journal of Intelligent Systems in Accounting Finance and Management, Apr/Jun, ss Gagne R, OuelletteP (1998), On The Choice of Functional Forms: Summary of a Monte Carlo Experiment, Journal of Business and Economic Statistics, ss