ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FOTONİK KRİSTALLERİN ÖZELLİKLERİ VE BAZI PARAMETRELERİNİN HESAPLANMASI FİZİK ANABİLİM DALI ADANA, 009

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FOTONİK KRİSTALLERİN ÖZELLİKLERİ VE BAZI PARAMETRELERİNİN HESAPLANMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Bu tez.../.../... Taihinde Aşağıdai Jüi Üyelei Taafından Oybiliği/Oyçoluğu İle Kabul Edilmişti. İmza... İmza.... İmza.... Pof.D. Yüsel UFUKTEPE Yd.Doç.D. Fau KARADAĞ Yd.Doç.D. Zein ESMERLİİL DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu tez Enstitümüz Fizi Anabilim Dalında hazılanmıştı. Kod No Pof. D. Aziz ERTUNÇ Enstitü Müdüü İmza ve Mühü Bu Çalışma Ç.Ü Bilimsel Aaştıma Pojelei Biimi Taafından Destelenmişti. Poje No: FEF 008 YL Not: Bu tezde ullanılan özgün ve başa aynatan yapılan bildiişlein, çizelge, şeil ve fotoğaflaın ayna gösteilmeden ullanımı, 5846 sayılı Fii ve Sanat Eselei Kanunundai hüümlee tabidi. II

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ FOTONİK KRİSTALLERİN ÖZELLİKLERİ VE BAZI PARAMETRELERİNİN HESAPLANMASI ÇUKUROVA ÜNIVERSITESI FEN BILIMLERI ENSTITÜSÜ FIZIK ANABILIM DALI Danışman: Pof.D. Yüsel UFUKTEPE Yıl: 009, Sayfa: 96 Jüi: Pof.D.Yüsel UFUKTEPE : Yd.Doç.D. Fau KARADAĞ : Yd.Doç.D. Zein ESMERLİİL Bu çalışmada fotoni istallein özellilei, ullanım alanlaı, bi ve ii boyutlu fotoni istallein band yapısı, bunlaa ait ögü usulaı, dalga ılavuzlaı incelendi. Fotoni istallein, diğe istallede bulunan eletomanyeti band yapısına benze özellile taşıdığı gösteildi. Fotoni istalledei dieleti ve hava bandı, atom ve moleülledei valans ve iletenli bandlaına benzetilee iplein taşıdığı özellile açılandı. Fotoni istalle ve bunlaa ait ögü usulaının band yapısı MPB (MIT Photonic Bands) pogamı ullanılaa hesaplandı. aas ve ZnTe yapısı ve bazı paametelei incelendi. Anahta Kelimele: Dağıtanlı bağıntısı, Fotoni band, MPB III

4 ABSTRACT MSc / PhD THESIS PROPERTIES OF PHOTONIC CRYSTALS AND CALCULATION OF THEIR SOME PARAMETERS DEPARTMENT OF PHYSİCS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supeviso : Pof. D. Yüsel UFUKTEPE Yea: 009, Pages: 96 Juy: Pof.D. Yüsel UFUKTEPE : Ass.Pof. Fau KARADAĞ : Ass.Pof. Zein ESMERLİİL In this study, popeties of one and two dimensional photonic cystals band stuctue have been investigated. Belong to photonic cystals with lattice defects and waveguides have also been studied. It has been found that the photonic cystals show simila band popeties with the othe type of cystals band stuctue. Atomic and molecula valance and conduction bands, dielectic and ai band modes featues of photonic cystals ae explained. Photonic cystals and defects band stuctue wee calculated by using MPB (MIT Photonic Bands) pogam code. Band stuctue and some paametes of aas and ZnTe investigated. KeyWods: Dispesion Relation, Photonic Bands, MPB, IV

5 TEŞEKKÜR Yaptığı çalışmalala bilimle uğaşan heese öne olan, desteğini benden hiç esigemeyen danismanim Sayın Pof. D. Yüsel UFUKTEPE ye he şey için teşeü edeim. Yaptığım çalışmala sıasında bana deste olan Yd.Doç.D. Fau KARADAĞ ve dotoa öğencisi Ean TETİK e teşeü edeim. Ayıca benim he zaman yanımda olan, manevi desteğini hiç esigemeyen canımdan ço sevdiğim sevgili eşim İclal ERDİVEN e ve Annem Nazie ERDİVEN e teşeüleimi sunuyoum. V

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ...III ABSTRACT IV TEŞEKKÜR...V İÇİNDEKİLER...VI ÇİZELELER DİZİNİ.VIII ŞEKİLLERDİZİNİ.IX.İRİŞ....ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR MATERYAL VE METOD MPB (MIT Photonic Band) Band Hesaplama Pogamı.7 4.TEORİK ALTYAPI. 4.. Fotoni Kistalle Dieleti otamda eletomanyeti dalgala Hamoni iplein enel Özellilei Kip Simetilei Süeli Dönüşüm Simetisinde Kiple Kiplede İndis Kılavuzlaması (Index uiding) Kesili Dönüşüm Simetisinde Kiple Fotoni Kistallein Band Yapılaı Fotoni Kistalde Bloch Dalgasının Yayılma Hızı Eletomanyeti eneji,vayasyon ilesi Boyutlaına göe Fotoni istalle Bi boyutlu fotoni istalle Bi boyutlu fotoni istallede band aalığı Fotoni Band Aalılaında Kısa Süeli Kiple Esen Dışı Yayılma İi boyutlu fotoni istalle İi Boyutta Bloch Seviyesi Dieleti Çubulaın Kae Ögüsü Dieleti Plaa İçindei Deşilein Altıgen Ögüsü...5 VI

7 4.3. Nota ve Çizgi Ögü Kusuu BULULAR VE TARTIŞMA aas aas yapısının ae ögüsünün band yapısı Dieleti plaada deşilein altıgen ögüsü Notasal Ögü Kusuu Çizgisel Ögü Kusuu ZnTe SONUÇLAR VE ÖNERİLER 77 KAYNAKLAR...80 ÖZEÇMİŞ...87 EK A KUANTUM MEKANİĞİ İLE KARŞILAŞTIRMA...88 EK B DÜZLEM DALA YÖNTEMİ...9 EK C MPB PRORAMINDAN ÖRNEK...93 VII

8 ÇİZELELER DİZİNİ SAYFA Çizelge 5.. aas in özellilei...63 VIII

9 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şeil.. Dalgalaın dalga ılavuzu ve büülmede yayılması Şeil.. Fotoni istallein ullanım alanlaı..3 Şeil.3. Wigne-Seitz ilel hücesi...5 Şeil.4. Te boyutlu doğusal ögü ve buna ait billouin bölgesi...6 Şeil.5. Kistallein fotoni özellileini gösteen genel fotoni band yapısı 7 Şeil.6. Dalgaboyu band aalığı içinde olan dalgala...7 Şeil.7. Dalgaboyu band aalığı dışında olan dalgala...8 Şeil.8. İi boyutlu ae ögü ve buna ait billouin bölgesi...9 Şeil.9. İi boyutta gelen ve yansıyan dalgalaın giişimi..9 Şeil.0. İi boyutta altıgen ögü ve buna ait billouin bölgesi 0 Şeil.. Fotoni istalledei esili feans değelei..... Şeil 3.. MPB aış diyagamı...7 Şeil 3.. Özdeğedei yüzde hatanın iteasyon sayısına bağlı gafiği..9 Şeil 3.3. Etin dieleti tensö Şeil 3.4. Özdeğedei yüzde hatanın çözünülüğe bağlı gafiği.. Şeil 4.. Oyu içindei izin veilen iple..5 Şeil 4.. Sonsuz cam düzlemi...7 Şeil 4.3. Cam içindei hamoni ip feanslaının band yapısı...9 Şeil 4.4. Dalganın yansıma ve ıılma diyagamı.9 Şeil 4.5. Kesili yapıya sahip plaa...3 Şeil 4.6. Fotoni istallein,, 3 boyutlu duumlaı...36 Şeil 4.7. Bagg ızgaası...36 Şeil 4.8. Bi boyutlu fotoni istalde dağıtanlı bağıntısı ve dugun dalgala...39 Şeil 4.9. Bi boyutlu fotoni istalin band yapısı...40 Şeil 4.0. Bi boyutlu fotoni istalin omples band yapısı 4 Şeil 4.. Esen dışı yayılma..4 Şeil 4.. Bi boyutlu fotoni istalde esen içi ve esen dışı band yapısı...43 Şeil 4.3. TE ve TM utuplanması...44 Şeil 4.4. İi boyutlu fotoni istalde düzlem dalganın band yapısı ve sabit feanslı ontulaı 45 IX

10 Şeil 4.5. İi boyutlu fotoni istal biçimlei..45 Şeil 4.6. Dieleti sütunlaın ae ögüsü...46 Şeil 4.7. Dieleti çubulaın ae ögüsünün tes uzayı...47 Şeil 4.8. Dieleti çubulaın ae ögüsünün TM ve TE band yapısı.50 Şeil 4.9. Alan ögüleine ait iple...50 Şeil 4.0. Dieleti çubulaın ae ögüsüne ait s, π ve δ ögüsü.5 Şeil 4.. Dieleti plaadai deşilein altıgen ögüsünün TE ve TM band yapısı...5 Şeil 4.. Ögü usuu iplei...53 Şeil 4.3. Bi boyutlu fotoni istalin ögü usuunda yeelleşen ip.54 Şeil 4.4. Ögü usulaı ve yüzeyin ii boyutlu duumu..55 Şeil 4.5. Çubuğun yaıçapının azalmasından aynalanan ögü usuunun yeelleşen ipi..56 Şeil 4.6. Çubuğun yaıçapının atmasından aynalanan ögü usuunun yeelleşen ipi...57 Şeil 4.7. Çubuğun yaıçapındai değişime göe ögü usuu ipleinin band yapısı ve eleti alan dağılımı...58 Şeil 4.8. Doğusal ögü usuu..59 Şeil 4.9. Doğusal ögü usuunda yeelleşen ip...60 Şeil Dalga ılavuzundai iplein sınıflandıılması...6 Şeil 4.3. Dalga ılavuzundai temel ipin feansa bağlı değişimi..6 Şeil 5.. aas yapısı...6 Şeil 5.. aas dieleti çubulaının ae ögüsünün TM band yapısı...64 Şeil 5.3. Dieleti çubulaın ae ögüye ait il ii TM band yapısı ve bunlaa ait yeelleşmiş iple...65 Şeil 5.4. Dieleti çubulaın ae ögüye ait 4. ve 5. TM band yapısı ve bunlaa ait yeelleşmiş iplei..66 Şeil 5.5. Esen üzeindei yayılmada gup hızı...67 Şeil 5.6. Esen dışındai yayılmada gup hızı.67 Şeil 5.7. aas de deşilein altıgen ögüsünün TE band yapısı...68 Şeil 5.8. İl ii TE bandının yeelleşen iplei...69 X

11 Şeil 5.9. TE 5 ve 6 bandının yeelleşen iplei...70 Şeil 5.0. Deşilein altıgen ögüsünün TM band yapısı...70 Şeil 5.. Dieleti ögü usuunun ii boyutlu yapısı ve yeelleşen ip...7 Şeil 5.. Çizgisel ögü usuu ve yeelleşmiş iple...7 Şeil 5.3. Dalga ılavuzunda genliğin band numaasına aşılı gafiği..73 Şeil 5.4. Çizgi ögü usuunun TM band yapısı..73 Şeil 5.5 ZnTe ae ögüsünün TM band yapısı.75 Şeil 5.6. ZnTe nin ae ögüsünde iletimin feansa bağlı değişimi.75 Şeil 5.7. ZnTe ae ögüsünün TE band yapısı.76 XI

12 .İRİŞ. İRİŞ Fotoni, ışı ve madde aasındai etileşimi inceleyen bi bilim dalıdı. Işı ve madde aasındai etileşimin incelendiği mateyalleden biisi de fotoni istalledi. Fotoni istalle dieleti sabitinin peiyodi olaa değiştiği yapıladı. Düzenli değişen dieleti yapı, eletomanyeti dalgalaın belili yönlede ve belili feans aalığında ilelemesini engelle. Bu yüzden optisel yalıtan (optical insulato) olaa adlandıılabili. Peiyodi bi otamda eletomanyeti dalga yayılımı il defa 887 de Lod Rayleigh taafından çalışıldı (Rayleigh, 887). Yapılan çalışma, peiyodi olaa bileştiilmiş düzlemle ile bi istal minealinin özel yansıtıcı özellilei ile ilgilidi. Bunla bi boyutlu fotoni istallee benzemetedi. Lod Rayleigh bu mateyallein düzlemle boyunca ışığın yayılmasını yasalayan da bi band aalığına sahip olduğunu söyledi. Bu band aalığı ışığın gelme açısına bağlıdı. Doğadai yanadöne enlede, elebe anatlaında, abulu deniz hayvanında bu duum mevcuttu. Ço atlı filmle yoğun bi çalışma almasına ağmen, anca 00 yıl sona Yablonovitch ve John, 987 de ii ve üç boyutlada ço yönelimli fotoni band aalılaı ile ilgili mateyalle üettile (Yablonovitch ve a, 987). Bu mateyallee fotoni istal adını vedile. Işığın dalgaboyunun onda bii inceliğinde (30-50 nm) olan bu yapılada bulunan ögü usulaı ullanılaa, ışı ço üçü bi alana sııştıılabili ve ışı ışınlaı (fotonla) şeil. de göüldüğü gibi bi devenin hehangi bi notasına yönlendiilebili. ünümüzde tıanma seviyesine gelmiş silion temelli mioişlemcilein en büyü sounu, tansistole aasındai iletişim ağının yavaşlığıdı. Bu duumda bi bilginin eletoni bi devede bi uçtan başa bi uca ataılması ço uzun bi süe almatadı. Işı, bilginin taşınabilmesi baımından eletonlaa göe daha avantajlı özellilee sahipti. Dieleti bi mateyal içeisinde ışı, metal içeisinde eletonladan ço daha hızlı ileleyebili. Ayıca dieleti mateyallein band genişliği, metalleininden daha genişti. Işı paçacılaı (fotonla), eletonla gibi madde ile fazla etileşim içeisinde bulunmaz. Bu duum ise eneji ayıplaını azaltan bi fatö olu. Bu yüzden fotoni istallede, ögü

13 .İRİŞ usuu (defect) oluşumu ço önemlidi. Ögü usulaının en önemli özelliği, fotoni band aalığındai feanslada ılavuzlu ip oluştumasıdı. Kistal ögüsü içeisinde oluştuulan ögü usuu, ışığın gei yansımasını engellemete ve ışığın tutunmasını sağlamatadı. Ögü usulaı ii şeilde incelenebili: Nota usu ve çizgi usuu. Öneğin, boyutlu fotoni istalleinde sütunlaın haeet etmesi, boşlulaın dolduulması, sütunlaın ve boşlulaın büyülüğünün değişmesi ögü usuu oluştuu. Nota usuu, ışığı tuzalayan oyu gibi, çizgi usuu ise dalga ılavuzu gibi davanı. Fotoni band aalığı içeisindei dalga iplei dalga ılavuzu içeisinde sınılanı. Fotoni istal içeisinde oluştuulan büülme bunun anıtıdı. Bu büülme ço düşü eneji ayıplaıyla feans bileşenleinin yayılmasını sağla. Özellile 90 deeceli büülmelede bu duum daha iyi sağlanabilmetedi (Şeil.). Şeil.. Dalgalaın dalga ılavuzu ve büülmede yayılması (CST) Fotoni istallein pe ço ullanım alanı vadı. Laze tenolojisinde, fibe opti yapılada, yüse hızlı optisel bilgisayalada, mioçiplede, ışığı büebilen metamalzemelede, ışı yayan diyodlada, güneş pilleinde vb ullanılabili. Fotoni istallein ullanım alanlaı şeil. de özetlenmişti.

14 .İRİŞ Kutuplayıcı üneş pillei Işı yayan diyod (LED) Filte Fotoni Kistalle Meta malzeme Fibe Dalga Kılavuzu Şeil.. Fotoni istallein ullanım alanlaı Bu çalışmada fotoni istallede eletomanyeti dalgala ile madde aasındai etileşim açılanmatı. Bunun için maosobi Maxwell denlemlei ile hamoni iple (öziple, Fouie iplei, nomal iple olaa da adlandıılı.) aasında ilişi uuldu. Bu etileşim bi ve ii boyutta incelenmişti. Bandlala ilgili teoi hesaplamala MPB bilgisaya pogamı ile destelenmişti. MPB pogamının çalışma pensibi Mateyal ve Metod bölümünde açılandı. Hamoni iplein genel özellilei, ip simetilei, vayasyon ilesi, bi ve ii boyutta fotoni istalle, ögü usulaı, dalga ılavuzlaı gibi temel avamla Teoi Altyapı bölümünde açılandı. Ayıntıla Bulgula ve Tatışma bölümünde veilmiş olmala bilite bu çalışmada aşağıdai onula aaştııldı. Fotoni istallein ullanım alanlaı içeisinde olan ii yaıileten malzeme incelendi. Biincisi, aas (alyum Asenid) di. aas in band yapısı ışı yayan diyod (LED) ve laze diyodu, VCSEL (vetical-cavity suface-emitting lase) ve güneş pillei için olduça uygundu. aas in etin ütlesi ço üçü olduğundan 3

15 .İRİŞ eleti alan etisi altında sebest eletonla ço yüse hızda taşınabili. aas in diğe bi özelliği alttaş (substate) olaa ullanılabilmesidi. Ögü içeisinde oluştuulaca dono ve aseptöle aas için olduça uygundu. Çünü, aas doğudan fotoni band aalığına sahipti. aas in band yapısı optisel nitelilei baımından ışıldama (photoluminescence) özellileine sahipti (Safa Kasap ve a, 006: Joannopoulos ve a, 007). aas in band yapısı, aas ile oluştuulan ögü usulaı ve dalga ılavuzu MPB pogamı ile hesaplandı. İncelenen iinci mateyal ZnTe (Çino Tellü) di. ZnTe ince filmlede olduça ullanışlıdı. Bunun dışında mavi ışı yayan diyodlada, laze diyodlaında, güneş pilleinde ullanılabili. ZnTe nin band yapısı MPB pogamı ullanılaa incelendi... Kistallein eletoni ve fotoni özellilei aasında aşılaştıma Fotoni istalle, ögü yapısı ve bant yapısını oluştuma baımından diğe istallele benze özellile taşı. Fotoni istalle, diğe tüm istallee benze şeilde ii ayı paçadan meydana gelmiş gibi düşünülebili: Ögü ve baz (basis). Tüm istallein yapısı bi ögü ile tanımlanabili. Ögü, uzayda dizilmiş notala ümesidi. Bunun ii boyuttai aşılığı ağ dı. Ögünün he düğüm notasında bulunan dieleti çubula gubuna baz deni. Bu bazın uzayda tealanmasıyla fotoni istal oluşu. Ögü + Baz = Fotoni Kistal Bi ögü a, a, a3 üç temel öteleme vetöüyle tanımlanı. Bu vetölee ilel öteleme vetölei deni. Kistalin yapıtaşı olan en üçü hüce, ilel öteleme vetöleiyle oluşu. Bu hüce ilel hüce olaa adlandıılı. İlel hüce minimum hacimli bölgedi. Bu hüceyi öteleme suetiyle istal tüm uzayı dolduu. İlel hüce seçimi için en uygun yol şeil.3 de göüldüğü gibi Wigne-Seitz hücesidi. 4

16 .İRİŞ Şeil.3. Wigne-Seitz ilel hücesi Fotoni istallede eletomanyeti dalga ile madde aasındai etileşim bi istalin tes ögüsünde anlaşılabili. Çünü, eletomanyeti dalgala istal içeisinde yansı ve yansıyan dalgala bi giişim deseni oluştuu. Bu giişim deseni istalin tes ögü vetölei üzeinde oluşu. Tes ögü vetöü istalin Fouie uzayındai ögüsüdü. Dalga vetölei daima Fouie uzayında çizili. Böylece Fouie uzayındai he notada dalganın özellilei tanımlanabili. Bu duum istalin peiyodiliğinin bi sonucudu. Bu peiyodiliğe bağlı olaa fotoni istalin band yapısı otaya çıa. Band yapısının oluştuulmasında Billouin bölgelei önemlidi. Çünü, fotoni istallede yansımalaı veen tüm dalga vetölei Billouin bölgesi içeisinde sınılandıılı. Bi Billouin bölgesi tes ögüde Wigne-Seitz ilel hücesi olaa tanımlanı. Bu hüce en üçü hacimli bölgedi. Bu yüzden bu bölge içeisinde en üçü özduum (giişim desenindei en üçü feanslı ip) elde edili. En üçü özduumun elde edildiği bu bölge biinci Billouin bölgesidi. Daha sonai özduum iinci Billouin bölgesinde olu. Bi hüceden diğe bi hüceye geçiş tes ögü vetölei yadımıyla sağlanı. Buna göe Buada ' = + aesi alınısa (.) ' yansıyan dalganın dalga vetöü, tes ögü vetöüdü. He ii taafın ' + = +. (.) ' olu. Dalganın esne saçıldığı düşünülüse = olu. Denlem (.), 5

17 .İRİŞ. = (.3) şelinde yazılı. Bu denleme göe dalga vetöü, ögü vetöü yi di olaa iiye bölen düzlemde bulunuyosa yansıma şatlaı sağlanmış olu. Masimum yansıma Billouin bölgesi enalaında olu. Bu notala için toplam gup hızı sıfı olu. Şeil.4 de te boyutta istal ögü ve tes ögüsü veilmetedi. Tes ögüde baz vetöü b olup boyu π π ya eşitti. Sınıla = ± dadı. Bu sınıla. a a Billouin bölgesini oluştuu. Bu sınılada dalga paetinin hızı sıfı olu. Bu duumda eletomanyeti dalga dieleti çubu üzeinde yoğunlaşı (bağ yapma duumu). Anca. Billouin bölgesinin sınılaı dieleti çubula üzeinden geçe. Sınılada dalga paetinin hızı sıfı olduğundan iinci Billouin bölgesinde dieleti çubula üzeinden bi düğüm çizgisi geçe (bağ yapmama duumu). Böylece, eletomanyeti dalgadai yoğunlaşma dieleti çubula aasındai hava bölgesinde olacatı. İl Billouin bölgesi en üçü deeceli ip olan te utuplu temel ipi, iinci Billouin bölgesi çift utuplu dipol ipini vei. Üçüncü Billouin bölgesinde döt utuplu (quadupole) ip vb a doğusal ögü =-π/a =-π/a =π/a =π/a tes ögü b. Billouin bölgesi. Billouin bölgesi Şeil.4. Te boyutlu doğusal ögü ve buna ait Billouin bölgesi Sonuç olaa tes ögü, istalin peiyodiliğinin bi sonucudu. Bu 6

18 .İRİŞ peiyodiliten yaalanaa Billouin bölgeleindei bandla ve bandlaa ait iple deecelendiili. Yapı peiyodi olduğundan indigenemez Billouin bölgesini aşan bandla il Billouin bölgesine atlanı. Bu duumda fotoni istallein diğe istallee benze özelli taşıdığı notaladan biisi olan band yapısı otaya çıa. Kistallein eletoni özellilei incelendiğinde eletonla valans ve iletenli bandında bulunu. Bu bandlada eletonlaa ait duum yoğunlulaı vadı. Valans bandı ve iletenli bandı aasında, eletonlaın bulunmalaının yasa olduğu (duum yoğunluğu sıfı) band aalığı vadı. Aynı şeilde şeil.5 de göüldüğü gibi fotoni istallede fotonla valans bandına benze dieleti band, iletenli bandına benze hava bandı içeisinde ye alı. Dieleti band ve hava bandı aasında fotonlaın bulunmalaının yasa olduğu bölgeye fotoni band aalığı deni. Te boyuttai peiyodi yapı boyunca eletomanyeti dalga, band aalığı aşağısındai feanslada dieleti band içeisinde olduğundan dieleti çubulaa bağlı olaa, band aalığı yuaısındai feanslada hava bandı içeisinde olduğundan dieleti çubulaa bağlı olmadan yayılabilmetedi. Anca fotoni band aalığı içeisindei feanslada eletomanyeti dalga fotoni istal içeisinde yayılamaz ve tamamen gei yansı. Şeil.5. Kistallein fotoni özellileini gösteen genel fotoni band yapısı 7

19 .İRİŞ elen dalga Aynı fazda yansıyan dalgala Toplam Dalga Şeil.6. Band aalığı içeisindei dalgaboylaında dalgala (Yablonovitch, 00) Şeil.6 da gösteildiği gibi band aalığı içindei dalgaboyundai dalgala yapının he bi tabaasında gei yansı. Yansıyan dalgala aynı fazdadı ve bibileini uvvetlendiile. Anca gelen dalgala ile yansıyan dalgala aasında zıt faz vadı. Bu yüzden yansıyan dalgala gelen dalgalaı sönümleyee malzeme boyunca ilelemeyen dugun dalgala oluşmasını sağla. Bu duum Billouin bölgesi π enalaı olan = ± aalığında oluşu. Şeil.7 de ise band aalığı içeisinde a olmayan (dieleti band ve hava bandı içeisindei) dalgaboylaında yansıyan dalgala zıt fazlıdı ve bibileini söndüüle. Bu yüzden yansıyan dalgala gelen dalga ile bileşemez. elen dalga bi mita sönümlenee mateyal boyunca yayılı. elen dalga Aynı Fazda Olmayan Yansıyan Dalgala Toplam Dalga Şeil.7. Band aalığı içeisinde olmayan dalgaboylaında dalgala (Yablonovitch, 00) 8

20 .İRİŞ Şeil.8 de ii boyutlu ae ögü veilmetedi. (a) da yapının geçe uzaydai a aalılı ae ögüsü veilmetedi. Ögü vetölei a ve a ile gösteilmetedi. (b) de ise π a aalılaıyla oluştuulmuş ae ögünün tes ögüsü veilmetedi. Tes ögünün esen vetölei b ve b ile gösteilmetedi. Notalı çizgile tes ögü vetöleine di açıotaydı. Bu çizgile en yaın tes ögü notalaıyla meez notasını (Γ notası) bileştimetedi. Bu çizgilele apatılmış bölge il Billouin bölgesini içemetedi. Taalı bölge ise en üçü hacimli indigenemez Billouin bölgesini vemetedi. M ve X notalaı ise Billouin bölgesinin enalaını göstemetedi. Bu enalada dalga paetinin hızı sıfıdı. y y a a b M a x Γ b X z a). eçe Ögü b). Tes Ögü Şeil.8. İi boyutlu ae ögü ve buna ait Billouin bölgesi (Shen, 006) 9

21 .İRİŞ λ Şeil.9. İi boyutta gelen ve yansıyan dalgalaın giişimi Şeil.9 da ii boyutta gelen ve yansıyan dalgalaın giişimi veilmetedi. Biinci Billouin bölgesinde temel ip, iinci Billouin bölgesinde çift utuplu ip, üçüncü Billouin bölgesinde döt utuplu ip oluşu. Şeil.0 da ii boyutlu altıgen ögü veilmetedi. (a) da geçe uzayda a aalılı altıgen ağ ögüsü veilmetedi. Bu vetöle a ve a ile gösteilmetedi. (b) de 4π aalılaıyla oluştuulmuş tes ögü gösteilmetedi. Notalı çizgile tes ögü 3a vetöleinin di açıotaylaıdı. Bu ögü vetölei meez notası (Γ) ile en yaın tes ögü notalaını bileştimetedi. Bu çizgilele apatılmış bölge il Billouin bölgesidi. Taalı bölge indigenemez Billouin bölgesidi. Simeti notalaı Γ, M ve X ile gösteildi. 0

22 .İRİŞ y y a b M a x X z Γ b 4π/ 3a a a). eçe Ögü b). Tes Ögü Şeil.0. İi boyutta altıgen ögü ve buna ait Billouin bölgesi (Shen, 006) Tes ögünün Billouin bölgeleindei iplei elde etme için özdeğe denlemleini tanımlama geei. Eletoni yapılada özdeğe denlemi Schödinge eşitliği ien, fotoni yapılada ise Maste eşitliğidi. Schödinge eşitliği h m + V ψ = Eψ (.4) Maste eşitliği w H = H (.5) ε c Özdeğe denlemlein çözümlei peiyodi yapılada Bloch teoemi ile yapılabili. Bloch teoemi, eletoni yapılada peiyodiliği V ( ) = V ( + R) potansiyeline göe, fotoni yapılada ise ε ( ) = ε ( + R) dieleti fonsiyonuna göe ayala ve özdeğe denlemleini çöze. (.4) ve (.5) özdeğeleini veen özfonsiyon denlemlei, hemityen çözümle vei. Yani, E eneji özfonsiyonlaı ve w açısal feans özfonsiyonlaı eel ve otogonaldi. Buada w açısal feansı w = c (.6) şelinde yazılı ve bu eşitli dağıtanlı bağıntısı olaa adlandıılı. Böylece fotoni istallein hangi feans aalığında eletomanyeti dalgayı geçiip geçimeyeceği

23 .İRİŞ belilenmiş olu. Buada dalga sayısı, c ışı hızıdı. Dalga sayısı π = ve ışı λ 0 hızı c = λ 0 υ dı. λ 0, boş uzaydai ışıma alanının dalga boyu, υ ise ışı feansıdı. Sonuç olaa fotoni istalle şeil. de göüldüğü gibi esili feans değeleine sahipti. w w 3 w w Şeil.. Fotoni istalledei esili feans değelei

24 .ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Fotoni istalle doğal olaa bulunmayan anca laboatua otamında elde edilebilen mateyalledi. Peiyodi yapılaı yaıiletenlele ıyaslandığında yasa band aalığı omples dağıtanlı bağıntısı ço değişi özellile segilemetedi. Ço üçü ışı ölçeğinde bile ışı aışını ontol edebilme özelliği sayesinde son yıllada bu alanda pe ço aaştıma yapılmatadı. İç yapısındai peiyodi aate nedeniyle mateyalde Bagg yansımalaı izlenebili. Eletomanyeti dalgalaın peiyodi yapıla içinde ilelemesi il ez 887 yılında Lod Rayleigh taafından gösteildi (Rayleigh, 887). Daha sona bu olay ve 3 boyutlu ince filmle için de belilendi. Fotoni istallein üetimi ve pe ço alandai uygulamasına olan ilgi he geçen gün atmaya devam etti. Soğuma ve yansıma atsayılaının hesabını içeen ço atmanlı filmin gelenesel özellilei 997 yılında Hecht ve Zajac taafından bulundu (Hecht, 997: Zajac, 997). Optisel aletlede ço atmanlı filmlein ullanımı 975 yılında Fowles taafından Faby-Peot filtelei içinde tasalandı (Fowles, 975). Ço atmanlı filmlein ço yönelimli yansımalaı 998 e ada başaılamadı. Fii, Winn ile 998 de geçeleşien, deneysel olaa Fin taafından 998 yılında bu duum sağlandı (Winn, 998: Fin, 998). Ayıntılı band yapısı ve özip hesaplamalaını Johnson ve Joannopoulos 00 de yaptı (Johnson, 00: Joannopoulos, 00). İi boyutlu band aalığı sistemlei için teoi ve deneysel çalışmala 99 de McCall,993 de Smith taafından geçeleştiildi (Mccall, 99: Smith, 993). Plihal ve Maadudin 99 de, Villeneuve ve Piche 99 de eletiği iletmeyen çubulaın ve damalaın sistemati çalışmasını yaptı (Plihal, 99: Maadudin, 99: Villeneuve, 99: Piche, 99). 994 de Winn, sütunlaın ae ve üçgen ögüleini içeen uygulamala geçeleştidi (Winn, 994). İi falı mateyalin aa yüzeyindei yüzeysel onumla 99 de Meade taafından apo edildi (Meade, 99). Eletiği iletmeyen sütunlaın ae ögüsünün deneysel çalışmalaı hacimsel onumla 99 de, yüzeysel onumla ise 993 de Robetson taafından bulundu (Robetson, 99: Robetson, 993). İi boyutlu fotoni istallede analiti çözüm TM (tansvese magnetic) utuplanması için Chen taafından il defa 98 de yapıldı (Chen, 98). 3

25 .ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR 4

26 3.MATERYAL VE METOD 3.MATERYAL VE METOD Bu çalışmada bazı mateyallein fotoni band yapılaı teoi olaa hesaplandı. Teoi hesaplamala MPB (MIT photonic bands) bilgisaya pogamı paeti ile destelendi (ab-initio.mit.edu). MPB pogamı ile feans bölgesinde mateyallein fotoni band yapılaı, dağıtanlı bağıntısı, ögü usulaı ile ilgili olan alan ögülei ve gup hızlaı hesaplandı. MPB pogamı fotan 77 dilinde yazılmış özel amaçlı bi pogamdı. MPB, fotoni bandlaı peiyodi dieleti yapı içindei Maxwell denlemleinin belli feans özduumlaını hesaplama için ullanılan bi bilgisaya pogamı paetidi. MPB band hesaplama pogamı içeisinde; Lapac, Blas, Fftw, uile, Hdf5, Libctl bilgisaya pogam paetlei çeşitli amaçla için geliştiilmişti. Bütün bu dosyala, scheme pogamlama dilinde yazılmış ve guile ile çevilmişti. LİBCTL (contol language libay), guile temelli ontol dosyalaı içeen bi pogamdı. Libctl de nesnele, nesnelein tiplei (ae, didötgen, silindi vs.) ve özellilei için fonsiyonla oluştuulu. Billouin bölgesinin öşeleinin tanımı libctl ile sağlanı. dalga vetöleini doğu bi şeilde eleyebilme için fonsiyonun öünü bulma, (Ridde s yöntemi, Newton yöntemi) bi boyutta minimumlaştıma ve masimumlaştıma, bi fonsiyonun tüevi, integali libctl de tanımlanmıştı. Aynı şeilde N N matisleinin tanımlanması, vetö uzunluğu, deviği, eşleniği, deteminantı, matisin tesi, bi esen etafında döndüülmesiyle oluşan otasyon matisinin tanımı libctl de ye alı. Ayıca omples değeli integalle, yüzey integallei libctl de ye alı. LAPACK (Linee cebi paeti) ; Fotan77 de yazılmış sayısal hesaplama yapabilen bi yazılım ütüphanesidi. ε ( ) dieleti fonsiyonunu, +, H() ve E () yi matis biçiminde yazaa deteminant yoluyla çözen bi paetti. Bu matisle A = H H ( ) ( ) ( ) x = H veya 3 E x = E E 3 ( ) ( ) ( ) 4

27 3.MATERYAL VE METOD B = ε ε ε ( ) ε ( ) ε( 3 ) ( ) ε ( ) ε ( 3 ) ( ) ε ( ) ε( ) şelinde yazılı. Temel çizgisel cebi alt pogamı olan BLAS (Temel linee cebi altpogamı) ise vetö ve matis çapımlaı gibi temel çizgisel uygulamalaı yapma için pogamlanmıştı ve Lapac gibi paetlei oluştuma için ullanılı. Ax = B ve Ax = λbx matis ve özvetöle aasındai işlemlei yapmada ullanılı. Buada x özvetö, A ve B, N N matisleidi. Fotoni istallede peiyodili dieleti fonsiyona göe ayalanı. Tes ögüde dieleti fonsiyon ise billouin bölgelei aasında Fouie seisi ile genişletili. Temel fii, esili Fouie seilei içindei Bloch fonsiyonu ile bilite dieleti sabitini genişletmeti. Buna göe dieleti fonsiyonunun tesi ε () =, ' ε şelinde yazılı ve ( ) i ( ) ( ' ). ' e (3.) H ve E () özfonsiyonlaı ile bilite Maste eşitliği içeisine eleni. Elde edilen eşitli matis biçiminde yazılaa LAPACK ile çözülü ve özfonsiyonlaın özdeğelei elde edilmiş olu. Özfonsiyonlaın çözümünden elde edilen özdeğele yansıyan ve iletilen dalgalaın sanal ve eel çözümleini vei. FFTW (Fast Fouie tansfom-hızlı Fouie dönüşümü), tes ögü uzayından geçe ögü uzayına geçme için ullanılı. Kısaca FFTW, zamana bağlı olan Maxwell eşitlilei ile çözülmüş H ( ) ipleini feans alanına geçiien ullanılan bi işlemdi. FFTW, bloch teoemi ile belilenmiş peiyodi yapı içindei titeşimlei alı, yansıyan ve ileleyen dalgalaa ait iplein peiyodi olanlaını belileyip hamoni bileşenleine ayıı. H ( ) ipleini te (TM enine manyeti) ve çift (TE enine eleti) iple olaa ayıı ve bu iplein sanal ve eel çözümleini belile. Denlem (4.6) dei gibi FFTW, özvetölei feans uzayından zaman uzayına, zaman uzayından feans uzayına dönüştüebili. 5

28 3.MATERYAL VE METOD H h ( f ) = h() t () t = H ( f ) H ( w) ve ( f ) + e e πift dt πift df H aasındai ilişi için w = πf olduğundan (3.) H h ( w) = h() t π () t = H ( ) e iwt dt w e iwt dw (3.3) şelindedi. Alanlaın nasıl göündüğünü veya dieleti fonsiyonunu ontol etme için HDF (hiyeaşi vei fomatı) dosya çıtısı geei. HDF sayesinde çözülen bandla belli bi hiyeaşiye göe sıalanı. HDF çıtı dosyalaı.h5 ile dosya isimleinin sonuna eleni. Biim hüce içindei dieleti fonsiyon epsilon.h5 dosyası içeisine yazılmatadı. h5 içeisine yazılan dieleti fonsiyon ve özvetöle h5utils içinde bulunan h5topng ile göüntüleni. MPB pogamının aış diyagamı Şeil 3. de veilmetedi. 6

29 3.MATERYAL VE METOD TERMİNAL UİLE LİBCTL ( foo.ctl ) HDF5 DATA ( epsilon.h5 ) us/ local /bin / MPB H5UTİLS ( h5topng ) ÖRNEK MPB DATA ÖRÜNTÜ FOO.OUT REP TE FREKANS DATA ORİİN RAFİK TM FREKANS DATA ORİİN RAFİK Şeil 3.. MPB aış diyagamı 3.. MPB Band Hesaplama Pogamı MPB pogam paeti, belli feans aalığında yayılan eletomanyeti dalgalala yapının özipleini hesapla. Bunun için MPB, ˆ w Θ H = H özdeğe c poblemini çöze. Buada H manyeti alan özvetöü (özduum), w feans, Θ ˆ w = Maxwell opeatöü, ε c ise özvetöün özdeğeidi. Θˆ opeatöü özvetöe uygulandığında eel çözümle vei. Bu yüzden Θˆ opeatöü hemityendi. Yapı peiyodi olduğunda Bloch teoemi ile özduumla H H x ( x i ). e yazılabili. Buada = şelinde H peiyodi bi fonsiyon bloch dalga vetöüdü. Buna göe he bi değeinde esili özduumlaı çözülmüş olu. H özduumlaı bibileine otogonaldi. Bilgisaya üzeinde özduumlaın hesaplanabilmesi için biaç temel 7

30 3.MATERYAL VE METOD (basis) ile manyeti alan genişletili. Bunun için Fouie temelinde düzlem dalgalaın toplamı olan dalga genlileidi ve i. x H = h e alanı peiyodi olaa genişletili. Buada h düzlem + ye diti. Özfonsiyonlaı bulma için temelde (basis) Θˆ nın elemanlaı hesaplanabili. Özvetöle ve özdeğelein hesaplanması için LAPACK ullanılı. Bunun dışında özvetölein bulunabilmesi için iteasyon yöntemlei de ullanılı. İteasyon özçözücülei bi vetö (fonsiyon) üzeinde Θˆ uygulandığında geelidi. Bu yöntemde bi özvetö için bi başlangıç tahmini ile geçe özdeğee hızlı bi şeilde yaınsama olu. Fouie temelinde ise bi fonsiyona Θˆ yı uygulama olaydı. Bu yönteme göe ile çapılan i ( + ) nin ε cul ü alını ve FFT uygulanı ve tea tes FFT alınaa Fouie temelinde özvetö bulunu. Özvetölein hesaplanmasından sona elde edilen değele aynı feansta ise özvetöle dejenee olan iplei, falı feansta ise otogonal iplei vei. İi boyutlu yapılada ise Maxwell özdeğe denlemi w ( + i ) ( + i) = ε c H yazıldı. Enine olma oşuluna göe ( + i ). H = 0 H dı. Buada, H özduumlaı Bloch seviyesine göe dı. Buada H özduumu H = exp i ( x wt ) H ye eşitti. İi boyutlu yapıda seçilen biim hüce içindei denlem ˆ w A H = H şelinde yazılabili. Aˆ = ( + i) ( + i), c ε pozitif yaı-tanımlı hemityen opeatöüdü. Maxwell özdeğeini çözme için bazla ullanılı. Sınılı bi yapıda özduumla H = H( x ) = h b ( x ) t N m= m m t açılımı şelinde tanımlanabili. Buada N, sebestli deecesi, ızgaa notalaının sayısı veya bazlaın sayısıdı ve sonsuza ada gide. h, h m bazlaın atsayılaının sütun vetöüdü. ˆ w A H = w H eşitliğine göe özduumla çözülü. Özvetöle ise Ah = Bh c eşitliğine göe çözülü. Buada A ve B, N N hemityen matisleidi ve B nin 8

31 3.MATERYAL VE METOD hesabı özdeğele için LAPACK iste. w Ah = Bh ı çözme için iteasyon c yöntemi geei: Steepest-descent, Conjugate gadient, Peconditioned steepest descent, Peconditioned conjugate gadient Buadai önemli nota en üçü özdeğei bulmatı. Bunun için en ullanışlı yöntem Rayleigh-quotient minimization dı. Bu yöntemde ullanılan ' h Ah w0 = min = f( h) eşitliğine göe en üçü özdeğe çözülü. Buada ' h Bh h hemityen adjoint (eşleni tanspoz) di. Daha sona f ( h) fonsiyonuna iteasyon yöntemi uygulanı. En uygun iteasyon yöntemi peconditioned conjugate gadient di. Steepest descent: ( h + α f ) yı α üzeinde tealayaa minimum yapma Conjugate gadient: ( h + αd ) yi minimum yapma d f + ( stuff ) aaştıma sonucunun (dis) eşleniği Peconditioned steepest descent: ( h + αd ) yi minimum yapma d = ( A ) f (Newton yöntemi) ' h = = öncei Peconditioned conjugate gadient:( h + αd ) yi minimum yapma ( A ) f ( stuff ) d = + [ ] Şeil 3.. Özdeğedei yüzde hatanın iteasyon sayısına bağlı gafiği (Johnson, 00) 9

32 3.MATERYAL VE METOD İi boyutlu yapıdai Maxwell özdeğeinde Fouie dönüşümü sağlandığında w Ah = Bh eşitliğinden Ah ın, ( + m ) dalga vetöü uzayında otasyonel c alını, FFT hesabının yapılmasıyla ~ ε ile çapılı, daha sona tes FFT yapılı ve daha sona tea otasyoneli alını. Böylece O(NlogN) içinde hesaplama yapılmış olu. A m = ( + ) IFFT ~ l l ε... FFT... ( + m ) (3.3) ~ ε, etin tes dieleti tensöüdü. B matisi de aynı şeilde çözülü. Etin Dieleti Tensö Â H, özdeğe poblemi çözülüen peiyodili dieleti fonsiyona göe ayalanmatadı. Anca, şeil 3.3 de göüldüğü gibi sınılada ii falı dieleti sabiti vadı. Özdeğe denlemlei çözülüen sınılada ii falı dieleti sabitini otalamasının alınması daha uygun olu. Yüzey nˆ nomaline göe gelen ışığın utuplanmasına bağlı olan etin otam teoisine göe ii falı yoldan otalama dieleti fonsiyonu alınabili. E// nˆ için ε nun tesi otalanıen, E nˆ için ε nun otalamasının tesi alını. Bunun sonucunda etin dieleti tensö otaya çıa. ~ ( P) + P ε = ε ε (3.4) Buada P izdüşüm opeatöüdü. Eleti alanın paalel bileşeni (dieleti çubulaa paalel) süeli ien, di bileşeni (dieleti çubulaı esen bileşen) süeli değildi. Anca D = E ε yedeğiştime alanı süelidi. Eleti alan çizgilei yüzeye paalel olduğunda zıt potansiyel esili bi şeilde azalıen yüse dieleti bölgesinde alan enejisi yoğunlaşamaz. Faat, eleti alan çizgilei dieleti sını yüzeyini estiğinde alan çizgileinin di bileşeni zıt potansiyelin esili bi şeilde atmasını sağla. Bu duum alan enejisinin yüse dieleti bölgesinde yoğunlaşmasını sağla. Band aalığı oluşumu bu şeilde sağlanmış olu. 0

33 3.MATERYAL VE METOD Şeil 3.3 de göüldüğü gibi biim peiyot başına pisel değelei (esolution) için ızgaalama yapıldığında bi hüce içeisinde ii falı dieleti sabit vadı. Özdeğe hesabında yapılması geeen aynı iteasyona aşılı gelen yüzde hatayı azaltmatı. Bunu yapabilme için etin dieleti tensö alma geei. Şeil 3.4 de bu duuma ait gafi veilmetedi. Otalama alındığında elde edilen yüzdeli hata daha az olmatadı. Şeil 3.3. Etin dieleti tensö Şeil 3.4. Özdeğedei yüzde hatanın çözünülüğe bağlı gafiği (Johnson, 00)

34 3.MATERYAL VE METOD

35 4.TEORİK ALTYAPI 4.. Fotoni Kistalle 4... Dieleti otamda eletomanyeti dalgala Eletomanyeti dalgalaın yayılmasının ontolü fotoni istallele sağlanabili. Eletomanyeti dalga ve madde aasındai etileşim (4.) dei Maxwell denlemleiyle açılanabilmetedi. Temel alanla, (, t) = µ 0 ( ) H(, t) B µ D (, t) = ε 0ε( ) E(, t) şelinde yazılısa Maxwell denlemlei. D(, t) = 0. B(, t) = 0 E(, t) = B(, t) (4.) t H(, t) = D(, t) t olu. Buada E : eleti alanı, H : manyeti alanı, D: eletisel yedeğiştime, B : manyeti indüsiyonu göstemetedi. A =. A ( ) ( ) A Maxwell denlemlei, (4.) vetö özdeşliği ile bileştiilise E = µ 0ε 0ε E t H = µ 0ε 0ε H t denlemlei elde edili. İinci deeceden difeansiyel denlemlein çözümlei E = E m H = H exp m exp [ i(. wt )] [ i(. wt )] olaa bulunu. Buada dalga sayısı, w açısal feanstı. (4.) (4.3) (4.4)

36 4.TEORİK ALTYAPI Falı dieleti sabitlei ile onum vetöünün fonsiyonuna bağlı olaa eletomanyeti dalganın yayılmasının ontolü sağlanabilmetedi. Dalga denlemlei bu duumda ε () ε w { E(, t) } = E(, t) c w { H(, t) } = H(, t) () c (4.5) şeline dönüşü. (4.5) denlemleine maste denlemlei deni Hamoni Kiplein enel Özellilei Maxwell denlemlei linee olduğundan manyeti ve eleti alan fonsiyonlaı zaman ve uzay bağımlılığına ayılabili. Bu duum hamoni iplede de vadı. Alan ögüsü üzeinde uygulanan Maxwell denlemlei, sinüzoidal (hamoni) olaa değişi. Zamana bağlı alan ögüsüne ait hamoni ipin omples üsteli H E (, t) = H( ) e iwt (, t) = E() e iwt (4.6) şelinde yazılabili. (4.5) dei Maxwell denlemlei ullanılısa i E( ) = H( ) wε 0ε ( ) i H( ) = E( ) wµ 0 (4.7) sonucu elde edili. Buada E ( ) ve ( ) H iplein özfonsiyonlaıdı. Bi fonsiyon üzeindei işlem sonucunda biaç sabit ile çapılmasıyla fonsiyonun endisi elde ediliyosa bu fonsiyon özfonsiyon (eigenfunction) veya özvetö (eigenvecto), çapanı özdeğe (eigenvalue) olaa adlandıılı. Özfonsiyonlaın yönü değişmeden sadece mitaı değişi. Bi özdeğe denlemi 3

37 4.TEORİK ALTYAPI ΘˆH ΘˆH () = H() () w c = ε () H () (4.8) şelinde yazılabili. Buada, Θˆ opeatöü linee ve difeansiyel opeatöüdü. Hamoni iplein uzaysal ögüleinin H ( ) özvetölei ve w c öz değelei bu iplein feanslaının aesiyle oantılıdı. Özfonsiyon üzeinde Θˆ opeatöü ullanıldığında H ( ) ve ( ) H aynı feanstai çözümle ise çözüm fonsiyonun endisi olu. Bu duumda ii ip dejenee (falı yönlede aynı feanstai iple için ullanılı) olu. Eğe, ii falı w ( ) ve w ( ) feanstai H ( ) ve ( ) H ii hamoni ipin feanslaı bibiinden falı ise bu ii ip bibiine otogonaldi. Kiplein otogonal ve dejeneeli duumunda otonomalli oşulu H i ( ) H j ( ) = δ i, j (4.9) şelinde yazılabili. (4.9) denlemine göe H ( ). H ( ) d = 0 ( ). H ( ) d 0 i j ise iple otogonal, Hi j ise iple dejeneedi. Falı feanstai otogonal iple falı sayıda düğüm çizgisine sahipti. Veilen yüse feanslı hamoni iple ise daha düşü feanstai iplee göe daha ço sayıda düğüme sahipti. Falı feanstai iple falı düğüm sayılaına sahip olduğuna göe dieleti bölgedei alan ögüleinin enejilei de falı olu. Dieleti bölgedei alan ögüleine ait iplein enejilei vayasyon ilesi ile belileni Kip Simetilei Dieleti bi yapı mutla simetiye sahipse simeti, sistemin eletomanyeti ipleini sınıflandıma için ullanılan uygun bi yol olu. Devisel (tanslational) simetisi (hem esili hem de süeli) fotoni istallein peiyodi dieletile olmasından dolayı önemlidi. 4

38 4.TEORİK ALTYAPI Şeil 4. de göüldüğü gibi ii boyutlu metali oyu içinde izin veilen iple bulunmatadı. Şeil eyfi olaa seçilmişti. Oyu önemli bi simetiye sahipti. Eğe, oyu meezi etafında tes çevilise, aynı oyu şeli elde edili. Kiple ii şeilde incelenmetedi: Çift ip ve te ip. Şeil 4.. Oyu içindei izin veilen iple (Joannopoulos, 995) Soldai oyuğu dolduan çift ipi H( ) H( ) ipi H( ) H( ) H ( ) H( ) = αh( ) =, Sağdai oyuğu dolduan te = vemetedi. Daha genel bi ifadeyle di. Buada α nedi? Eğe, sistem ii ez tes çevilise ojinal H ( ) fonsiyonuna dönülü. O zaman.h( ) = H( ) α den α, - veya olabili. Bu duumda α dejenee olmayan ipin te veya çift ip olup olmadığını göstei. Eğe, teslenme altında ip değişmiyosa H( ) H( ) değişiyosa H( ) H( ) = te ipi meydana geli. = çift ipi, ip Oyuğun meezi etafında teslenmesi sonucu hem onum hem de özvetölei üzeinde olan değişimle teslenme opeatölei ile açılanabili. I, 3 matise sahip tes vetölein bi opeatöü olsun. Ögü vetöü üzeinde bu opeatö ullanıldığında I a = a olu. Bi alan vetöünü tes çevime için ise Οˆ l opeatöü ullanılı. Οˆ, hem f vetöünü hem de onun bağımsız değişeni yi tes çevii: ( ) f ( I) l O ˆ f = I (4.0) l şelinde ifade edili. Teslenme opeatöü çift ip için ullanıldığında H sani vetö (pseudovecto), E ise vetödü. Yani, H pozitif işaete dönüşüyo ( IH = +H) ien E negatif işaete ( IE E) = dönüşmetedi. Bu duumda 5

39 4.TEORİK ALTYAPI ˆ H( ) = H( ) ve O E ( ) = E ( ) O + l ˆ olu. Çift ip l l yani çift ip H( ) = H( ) ve E( ) E( ) ipte H( ) = H( ) ve E( ) E( ) Οˆ teslenme altında değişmez, = ye sahip olu. Benze bi şeilde te = meydana geli. Yani E sani vetö, H vetödü. Bütün bu duumlaa bağlı olaa özvetö üzeine uygulanan Θˆ difeansiyel opeatöü ile Θ ˆ = Oˆ ˆ ˆ l ΘO l Οˆ l tes çevime opeatöü aasındai ilişi (4.) şelinde yazılabili. Teslenme simetisine sahip sistemin matematisel tanımı nedi? Teslenme simetisine sahip sistemde ullanılan opeatöle sıa değiştime özelliğine sahipti. Teslenme opeatöü Ô l ile linee difeansiyel opeatö Θˆ sıa değiştime O ˆ ˆ =, duumunda sistem değişmeden alıyosa simeti yapıda demeti. Yani, [, Θ] 0 O ˆ Θˆ Θˆ Oˆ = 0olu. H ( ) sisteminin ipi üzeinde omutato ile işlem yapılısa l l [ Oˆ l, Θˆ ] H = Oˆ l ( Θˆ H) Θˆ ( Oˆ lh) w Θ ˆ ( O ˆ H) = O ˆ ( Θ ˆ H) = ( O ˆ H) l l c l = 0 l (4.) elde edili. (4.) denlemi H ın w feanslı hamoni bi ip olduğunu anlatı. Oˆ l H, w feanslı bi ipti. Eğe hiç dejeneeli yosa (feanslaı falı) biim feans başına sadece bi ip olabili. Bu yüzden H ve olu: O H = αh l Oˆ l H atan bi fatöle falı ˆ olu.α nın özdeğelei ve - olabili. Böylece ( ) sınıflandıılabili. Özvetöle, çift ( H +H) veya te ( H H) H özvetölei, Οˆ l teslenme simetisi opeatöü altında çözülü. Sistemin teslenmesi sonucu özvetölede ve buna bağlı olaa ipledei olaca değişimle ii şeilde inceleni: Süeli dönüşüm simetisi ve esili dönüşüm simetisi Süeli Dönüşüm Simetisinde Kiple Bi sistem, dönüşümsel simetiyle d yedeğiştimesi boyunca değişmeyebili. Buna göe he bi d için, bi T d süeli dönüşüm opeatöü tanımlanabili. Bu 6

40 4.TEORİK ALTYAPI opeatö dieleti fonsiyonuna uygulandığında süeliliten dolayı aynı dieleti sabiti elde edili. ε ( ) ε( d ) = ε ( ) T d =, veya [, Θ] = 0 iplei, T d altında nasıl davandılaına göe sınıflandıılabili. T ˆ olu. Bu duumda Θˆ nın Süeli dönüşüm simetisine sahip homojen sistem süeli dönüşüm simetisiyle z yönü içinde T nin tümü için değişmezdi. ( iz) d d exp ipin z yönü içindei dönüşüm opeatöünün özfonsiyonudu. exp ( id ) ise özdeğei olu. ˆT iz i ( z d ) e = e = ( e id ) e iz (4.3) dzˆ Aynı tanımlamalaa benze bi şeilde, iplein süeliliği H i. ( ) H e = (4.4) 0 şelinde yazılabili. H 0, sabit bi vetödü. Çünü H 0 ın yönü içinde utuplanan, düzlem dalgaladı. (4.4) eşitliğine göe enine duum için. H = 0 0 olmalıdı. (4.5) Maste eşitliğine (4.4) denlemi uygulandığında, özdeğele w c = ε c w = dağıtanlı bağıntısı elde edili. Böylece dalga vetöüyle düzlem ε dalgala sınıflandıılı. dalga vetöü süeli dönüşüm işlemi ile ipin nasıl bi değişime uğadığını beliti. Süeli dönüşüm simetisine ait başa bi basit sistem, Şeil 4. de göüldüğü gibi sonsuz bi cam düzlemidi. Bu duumda, z yönünde dieleti fonsiyonu değişmetedi. Kiple, süeliliği gösteen düzlem dalga vetölei göe sınıflandıılı. ve = xˆ + yˆ e x y Şeil 4.. Sonsuz cam düzlemi (Joannopoulos, 995) 7

41 4.TEORİK ALTYAPI Kiplei daha iyi tanımlayabilme için H ( ) e i.ρ h( z) = (4.5) eşitliği ullanılı. z yönünde peiyodi olaa değişen dieleti otamda iplein özfonsiyonlaı da peiyodi olaa değişi. Buada i.ρ e süeli otamdai (xy düzlemi) iplein özdeğei ρ, xy düzlemindei vetöü, h ( z) peiyodi olaa değişen otamdai özfonsiyonu göstemetedi. (4.5) eşitliğine göe xy düzleminde manyeti alan genliği sabit, anca z yönünde değişmetedi. Bu duumda nın değeleiyle iple sınıflandıılı. nın veilen değei için sıasıyla atan feansa göe, iple sıaya dizili. Atan feans çizgisi içeisinde ipin yeini n simgele. n band sayısı olaa adlandıılı. Eğe spetum esili dönüşüm simetisine sahipse n için tamsayıla ullanılı. n değei büyüdüçe ipin feansı da büyü. Eğe cam düzlemi için ip feansına aşı dalga vetöü çizilise feans içeisinde falı çizgilee ait falı bandla otaya çıa. Bu band yapısı, band diyagamı veya dağıtanlı bağıntısı olaa adlandıılı. Şeil 4.3 de bu band diyagamı veilmetedi. Bu band diyagamına göe n band sayısı te değelee sahip ise ip te feanslı ( w, 3w,5w... ), yani manyeti alan sani vetö eleti alan ise vetö olu. Anca n çift değele aldığında ip çift feanslı ( w,4w,6w...), yani eleti alanı sani vetö manyeti alan ise vetö olu. Te iple, TM (tansvese magnetic) bandını, çift iple ise TE (tansvese electic) bandını oluştumatadı. He ii duumda da bandla esilidi ve cam düzleminde bulunmatadı. Hava otamında bulunan iple cam düzleminden bağımsız bi şeilde haeet ettiğinden süeli band yapısına sahipti. Süeli ve esili band yapılaı ışı çizgisiyle bibiinden ayılı. Şeil 4.3 de a alınlılı cam düzlemi için hamoni ip feanslaı veilmetedi. Mavi çizgile cam içinde yeelleşen te ve çift iplei göstemetedi. Taalı bölge, cam ve etafında uzanan süeli duumlaı vemetedi. Kımızı çizgi w = c ışı çizgisidi. Çift feanslı iple te feanslı ipleden daha yüse feans düzeyine sahipti. 8

42 4.TEORİK ALTYAPI.5 süeli duumla Feans wa/πc 0.5 n=5 n=3 n= dalga vetöü a/π Şeil 4.3. Cam içindei hamoni ip feanslaının band yapısı (Meade, 995) Kiplede İndis Kılavuzlaması (Index uiding) Şeil 4.4 de veildiği gibi ışı ışınlaı cam içeisinde aayüzeye çaptığında ışığın bi ısmı tam yansımaya uğa, bi ısmı ise ıılaa geçe. E düzleme paalel e(x) ve o(x) θ E düzleme di θ // e(x) ε ε e(x) ve o(x) Şeil 4.4. Dalganın yansıma ve ıılma diyagamı İi dieleti aasındai düz bi aa yüzeyde ışı, θ gelme açısıyla, snell yasasına göe ıılmaya uğa. Sayfa düzlemine di olaa titeşen eleti alan bileşenine sahip olan ışı dalgalaı ε < ε oşuluna göe tam yansımaya uğa. 9

43 4.TEORİK ALTYAPI Eleti alanı di olaa titeşen ışı dalgası e ( x), eleti alanı paalel olaa titeşen ışı dalgası ise o ( x) olaa gösteilmişti. e ( x) ve ( x) o sıasıyla olağanüstü dalgala (extaodinay waves) ve sıadan dalgala (odinay waves) anlamına gelmetedi. Snell yasası n = θ (4.6) sin θ n sin şelinde yazılı. Kııcılı indisi n i ile gösteili ve n = ε µ (4.7) i i i şelinde ifade edili. µ = di. θ i, ışınlaın aayüzeyin nomaliyle yaptığı açıdı. Eğe, sin n θ ise sin θ olu i, bunun hiçbi geçel çözüm yotu. Bu, ışığın n tam yansımaya uğaması demeti. Snell yasasında ii ounum vadı: w açısal feansının ounması dalga ve vetöünün // bileşeninin ounması. //, aayüzeye paaleldi. ve nw = di. c // =.sin θ a alınlılı bi camın // dalga vetöüne aşı veilen w feanslı eletomanyeti iplein band yapısı şeil 4.3 de veilmetedi. dalga vetöü yönünde ileleyen dalganın ve // olma üzee ii bileşeni vadı: diey geçel dalga vetöü için w = c = c + // ile düzlem dalgalaın üst üste gelme duumu vadı. Bu duuma göe şeil.3 ve şeil.4 de açılandığı gibi düzlem dalgalaın üst üste gelmesi sonucu ya dugun dalgala ya da ileleyen dalgala oluşu. Anca veilen // değei için, c // den daha büyü he olası feansla iple olacatı. Böylece spetum onumlaı, w = c // ışı çizgisi yuaısındai bütün feansla için süeli olu. w c //, ışı onisi olaa adlandıılı. Işı onisindei iple snell yasasının çözümleidi (sını açısından üçü). Işı onisi süeli otam ile süeli olmayan otamı bibiinden ayıı. Bu duumda ışı onisine göe cam düzlem, ışı onisi aşağısında uzanan yeni eletomanyeti çözümle üetmetedi. ε cam içinde daha büyü ise iple daha düşü feanslı olu. Bu yeni çözümle cam 30

44 4.TEORİK ALTYAPI etafında yeelleşmetedi. Bunun nedeni c w = ( = ) ε µ µ fomülüne göe dieleti sabitindei atış ııcılı indisinin atmasını sağlayacağından camdan hava otamına gelen ışınlaın gei yansımasıdı. Bu, camdan hava otamına geçen alanlaın = ±i l deni. w c ile üstel olaa azalmasına neden olu. Buna indis ılavuzlu iple Kesili Dönüşüm Simetisinde Kiple Atomlaın ve moleüllein gelenesel istallei gibi fotoni istalle süeli dönüşüm simetisine sahip değildi. Fotoni istalle esili dönüşüm simetisine sahipti. Şeil 4.5 de, x yönü içinde süeli dönüşüm simetisi vaen; y yönünde esili dönüşüm simetisi vadı. Ögü sabiti a, ilel ögü vetöü a = aŷ, esili simetiden dolayı ε ( ) = ε ( ± a) olu. Dönüşüm tealanısa, ( ) = ε ( + R) R = la ( l bi tamsayı) dı. ε olu. Şeil 4.5 de gösteilen utu biim hüce olaa bilini. Biim hüce y yönünde a genişliğindei dieleti mateyalin xz plaasıdı. Dönüşüm simetisinden dolayı Θˆ, x yönündei dönüşüm opeatöleinin hepsini ve y yönündei ögü vetölei R = layˆ için esili dönüşüm opeatöleini sıa değiştimelidi. Buna göe düzlem dalgalaın özfonsiyonlaı süeli ve esili dönüşüm simetisine bağlı olaa ii şeilde yazılı. ˆ i. x dxˆ e T Tˆ R e i y y = e = e ix i y ( x d ) i xd = ( e ) i x x ( y la) i la i y ( ) = e y e e şelinde yazılı. Tˆ d süeli, Tˆ R esili dönüşüm simetisi opeatöüdü. y (4.8) Kiple, x ve y dalga vetöleiyle sınıflandıılı. x dalga vetöü süeli y dalga vetöü esilidi. y dalga vetöüyle, y π + dalga vetöüne sahip a 3

45 4.TEORİK ALTYAPI iplei ele alalım. Dejenee duum vasa, iplein tamamı y π + m a şelinde yazılabili. Çünü hepsi, exp i( la) ile Şeil 4.5. Kesili yapıya sahip plaa (Meade, 995) y nın aynı Tˆ R özdeğeine sahipti. y yi büyütme duumu değiştimez. Buada x ve y dalga vetöü yönündei iplein doğusal bileşimi H π b = nın bi tam atı a b = byˆ ilel tes ögü vetöüdü. i i ( ) ( ) ( + mb = ) y i x i y imby i x i y x x y x y x y e c z e = e e. c ( z). e e. e. ( y, z). = y, m y, m x, u y y m m şelinde yazılabili. c,, genişleme atsayısıdı. ( y z) y m (4.9) u,, y yönündei peiyodi bi fonsiyondu. (4.9) denlemi incelendiğinde, u ( y la, z) = u( y, z) + nin doğuluğu anıtlanı. Kesili peiyodili, y yönü içinde H için y bağımlılığına öncülü ede. Basitçe y peiyodi fonsiyonuyla bi düzlem dalga üetilebili. Buadan; i y y (..., y,... ) e. u ( y,... ) H α (4.0) y olu. Bu Bloch teoemi olaa bilini. (4.0) denlemine göe y dalga vetölü Bloch seviyesi ile içinde w( ) w( mb) y y + y + mb dalga vetölü Bloch seviyesi aynıdı. Kip feanslaı y = eşitliğine göe peiyoditi. Aslında y, π ile a aalığında bulunu. Bu bölge billouin bölgesi olaa adlandıılı. Dieleti üç boyutlada peiyoditi. Bu duumda dieleti üç boyutlulada R ögü vetöleinin π a 3

46 4.TEORİK ALTYAPI sılığı boyunca dönüşümle altında değişmez. Hehangi bi ögü vetöleinden bii, (, a a ) a üç ilel ögü vetöleinin özel bi bileşimi olaa yazılabili. Bu, 3 duumda, ögü vetölei uzayına yayılma olu. He R = l a + ma + na3 olu. a, a vetölei üç ilel ögü vetöüdü ve ögü vetölei uzayının iişi olaa a, 3 tanımlanı. Üç ilel tes ögü vetöü (, b b ) i j ij b olaa veildiğinde,, a b = πδ (4.) duumu sağlanmış olu. 3 boyutlu peiyodi sistemin iplei Bloch seviyeleine göe, Bloch dalga vetöü =. b +. b + 3. b 3 ile sınıflandıılı. billouin bölgesi içeisinde uzanı. Billouin bölgesi içeisinde dalga vetöünün he bi değei w ( ) feansıyla Θˆ nın bi özduumunu eşitle. Bi ( ) H i ( ). e u ( ) 3 H özvetöü = (4.) biçiminde yazılı. u ( ), ögünün peiyodi bi fonsiyonudu. u ( ) u ( R) bütün R ögü vetölei için yazılabili. =, Fotoni Kistallein Band Yapılaı Üç boyutta esili peiyodiliğe sahip bi fotoni istalin eletomanyeti iplei Bloch seviyelei cinsinden yazılabili. Kip haındai bütün bilgi dalga vetöü ve u ( ) peiyodi fonsiyonu ile veili. Bloch seviyesi (4.0) maste eşitliğine elendiğinde ΘˆH () ( i + ) Θˆ ε u = () = ( ) w c e ε i. H u () ( ) () ( ) () w( ) i+ u = c ( ) w c u = () w c olu. Θˆ hemityen opeatöüdü ve e i. u () u () (4.3) 33

47 4.TEORİK ALTYAPI Θ = ( + ) () ( + ˆ i i ) (4.4) ε i. u = olmalıdı. Peiyodili + şelinde yazılı. Enine olma duumuna göe ( ) 0 oşuluna göe u ( ) u ( R) = (4.5) + olu. Billouin bölgesi sınılaında ileleyen bi dalga değil dugun bi dalgadı. Dalga ne sağa ne de sola ilele. Bu, bagg şatıdı Fotoni Kistalde Bloch Dalgasının Yayılma Hızı Bloch seviyesi H = H ( ). exp( iwt ), u ( ) çoğaltılmış i(. wt ) peiyodi zaf fonsiyonu ile exp düzlem dalgasıdı. Düzlem dalga, istal boyunca saçılmadan yayılabilmetedi. Çünü ounu. Homojen izotopi bi otamda, dalganın yayılma yönüdü. Eletomanyeti eneji, istalden gup hızıyla geçe. up hızı, bi dalga paetinin iletim hızıdı ve hem dalga vetöünün hem de n band indisinin bi fonsiyonudu. v n Buada n n n ( ) w = xˆ + yˆ + zˆ olu. Buadan = n w x w y w z (4.6), ya bağlı gadyentti. Otam ayıpsız ise gup hızı eneji taşınım hızı Θˆ u w = c u (4.7) eşitliği elde edili. v = w için çözüm yapıldığında elde edilen, eneji aışının eneji yoğunluğuna oanı olan v hızıdı. 3 Re d E H 3 d S w = ν = = (4.8) 3 ( H E ) U E + U d + H µ 0 ε 0ε 4 (4.8) denlemi, eneji yayılma hızını vei. eçel bi ve geçel bi dieleti fonsiyonu, ε için feanstan bağımsızdı. Bu duuma göe v hızı, he zaman ışı hızından üçütü. 34

48 4.TEORİK ALTYAPI Eletomanyeti Eneji ve Vayasyon İlesi Dieleti bölgedei eletomanyeti eneji vayasyon ilesi ile belileni. En düşü feanslı ip, eletomanyeti enejisi en üçü olan alan ögüsüne ve en w0 üçü c f öz değeine sahipti. ( ) ( H,Θˆ H) H = U (4.9) ( H, H) U f, Rayleigh quotient (Rayleigh bölümü) olaa adlandıılı. Hemityen opeatöüdü ve eletomanyeti eneji fonsiyonu olaa da adlandıılı. E( ) () E() 3 ( ) ( E, E) d U f H = = (4.30) ( E, ε() E) 3 d ε Denlem (4.30) da göüldüğü gibi eletomanyeti eneji fonsiyonu dieleti sabitiyle tes oantılıdı. Uygun vayasyon ilesinde en düşü feanslı ip. ε E = 0 a bağlı olaa E eleti alanını minumum yapa. Eneji fonsiyonu eletomanyeti dalga içindei eleti ve manyeti alanı bileşeni U U E H ε 0 = 4 µ 0 = 4 3 d ε d 3 () E() () H (4.3) şelinde yazılabili. Eneji, alan büyülüğünün (genli) aesiyle oantılıdı. Hamoni ip içinde eneji, eleti ve manyeti alanla aasında değiş touş edilebili. Çünü eletomanyeti dalga içindei eleti ve manyeti alan eneji fonsiyonlaı aynı enejide titeşi, bii diğeinden bağımsız olamaz. Yani, olu. Eneji taşıma oanı, S Poynting vetöü ile belileni. [ E H] S = Re U = U E H (4.3) Re, eel ısmı vei. Bu, zamana bağlı hamoni ip için biim alan ve biim zaman başına S nin yönündei otalama eletomanyeti eneji aışı ien aynı zamanda S nin yönündei ışı yoğunluğudu. Eneji aışının eneji yoğunluğuna oanı eneji taşıma hızını vemetedi. Eneji hızı, dalga paetinin hızı olan gup hızına eşitti. 35

49 4.TEORİK ALTYAPI 4.. Boyutlaına öe Fotoni Kistalle Fotoni istalle, şeil 4.6 da göüldüğü gibi bi, ii ve üç boyutlu olma üzee üçe ayılı. Şeil 4.6. Fotoni istallein,, 3 boyutlu duumlaı (Johnson, 003) 4... Bi Boyutlu Fotoni Kistalle Bi boyutlu fotoni istal, Bagg aynası olaa adlandıılı. Düzlem dalga he aa yüzeyde yansımaya ve ıılmaya uğa. Bunun sonucunda ii boyutta eletomanyeti iplei tanımlayabilme için yine simetile ullanılı. Şeil 4.7. Bagg ızgaası (Winn, 995) değişmezdi. Şeil 4.7, bi boyutlu fotoni istale aitti. x ve y yönünde he tabaa z yönünde ise esili peiyodili söz onusudu. Kiplei sınıflandıma için düzlem içindei ( xy ) dalga vetöü Ι, z yönündei dalga 36

50 4.TEORİK ALTYAPI vetöü z ve n band sayısı ullanılı. Band sayısı feansla ata. Kiple, Bloch biçiminde yazılısa H iι. ρ iz z ( ) e e n, z, Ι n, = z, u Ι (4.33) elde edili. Kistal xy yönünde süeli dönüşüm simetisine sahipti, anca z yönünde esili dönüşüm simetisine sahipti. Bu yapıda gözlenen band aalığı, ya tes ögünün billouin bölgesi enalaında ya da bu bölgenin meezindedi π a z π. Band aalığı büyülüğü, feans aalığının feans aalığı içindei a minimum ve masimum değeleinin otalamasına oanı ile bulunu. Band diyagamlaı, feans ve dalga vetöüne göe çizili. Bu feans ve dalga vetöü boyutsuz biimlee wa πc ve Feans aalığının otalama değei w m a a ye eşitti. Boyutsuz feans π λ ve πc λ = di. w n + n πc = (4.34) n n a 4 şelinde yazılı. Dalgaboyu ise λ λ n λ n m m m πc = w m = 4d = 4d (4.35) olu. He tabaa çeye dalga boyu alınlığındadı. Bu yüzden, bi boyutlu fotoni istalle çeye-dalga yığını olaa tanımlanı. Bu duumda, feans aalığındai he tabaadan yansıyan dalgala aynı fazda olu. Çeye dalga yığınının il ii bandı aasındai aalı için feans aalığının, feans aalığının otalamasına oanı; w 4 = sin w π m n n n + n (4.36) şelinde olu. 37

51 4.TEORİK ALTYAPI 4... Bi Boyutlu Fotoni Kistallede Band Aalığı Eletonlaa ve fotonlala ilgili band yapılaındai çözümle hemityen özpoblemine aitti. Bu çözümle otogonaldi ve vayasyon ilesine uya. Eletonlaa ait band yapılaında değişim teoemi ineti ve potansiyel eneji toplamlaını minimum yapa (bonding duumu). Yüse feanslı bandla düşü feanslı bandlaa otogonaldi ve yüse feanslı iple daha yüse ineti enejiyle veya daha düşü dieleti sabitinde yüse potansiyel enejide titeşi (antibonding duumu). Fotonlaa ait band yapısı hesaplamalaında da aynı duum sözonusudu. Band aalığının oluşumunda ii genel hemityen özdeğe poblemi inceleni. Biincisi öz fonsiyonla otogonal olmalı, yani biim hüce üzeinden alınan integal sıfı olmalıdı. ( ) m ( n ) H. H = 0 (4.37) (4.37) eşitliği veilen bi notasında ii özduum m n için geçeli bi çözümdü. İinci oşul en düşü bandın vayasyon ilesine uyumlu olmasıdı. Minimum seviye, alan titeşimleinin yüse dieleti içindei alana oanı ile sağlanı. Manyeti alan ve eleti alan özvetöleine ait minimum seviye ( ) / ( ) + i H ε w = min c H H E w min c E ε E ( ) = (4.38) şelinde tanımlanı. (4.38) denlemindei pay, özopeatöün belenen değeidi. Paydai manyeti alanın otasyoneli eleti alan ile oantılıdı. En düşü feanslı band için otasyonel ço büyü olmamalı, yani değişim yavaş olmalı, hehangi bi hızlı titeşim içememelidi. Kuantum meaniğinde bu, düşü ineti enejiye aşılı geli. Eleti alan yüse dieleti sabite sahip bölgelede yoğunlaşısa bu duum geçeleşi. Band aalığını göme için integali sıfı yapan iinci band daha düşü dieletiğe sahip bölgede eleti alanın yoğunlaşmasıyla oluştuulu. İinci 38

52 4.TEORİK ALTYAPI bantta otasyonel daha büyütü ve daha hızlı titeşimle içei. Bu duum, daha yüse ineti enejiye aşılı geli. -boyutlu fotoni istalleinde fotoni band aalığı te boyutta oluşu. Şeil 4.8 de gösteildiği gibi, te boyutta yüse ve düşü ııcılı indisine sahip dieleti otamla peiyodi olaa ayalanmıştı. Dalgalaın ileleme yönü dieleti otamlaın peiyodi olaa değiştiği yöndedi. Fotoni band aalığı da bu yönde oluşacatı. Çünü, ışı falı bi otama geçtiğinde ii falı utuplanmaya ayılı. Işığın eleti alan bileşeni, ( ) e πx a E x ± iπx = exp linee bileşimlei olan a πx a ( x) = cos olağanüstü dalgala (extaodinay waves) ve o( x) = sin sıadan dalgala (odinay waves) şelinde yazılabili. İi dalganın utuplanması bibiine otogonaldi. Bu duumda falı titeşim potansiyeli oluşu. e ( x) alanı yüse dieleti bölgesinde yoğunlaşıen, düşü feans bandı oluştumata; o ( x) alanı düşü dieletiğe sahip bölgede yoğunlaşıen, yüse feans bandı oluştumatadı. Feans wa/πc n dei dugun dalga Band aalığı n dei dugun dalga n n n n n sin(πx/a) cos(πx/a) π/a dalga vetöü Şeil 4.8. Bi boyutta dağıtanlı bağıntısı ve dugun dalgala 39

53 4.TEORİK ALTYAPI Şeil 4.9 da bi boyutlu fotoni istale ait band yapısı veilmetedi. Yüse dieleti sabiti, düşü dieleti sabiti olaa alınmıştı. Band diyagamı = 0 ve π a = ( = ) aalığındadı. Daha yüse dalga vetöleine ait bandla esili dönüşüm simetisine bağlı olaa = 0 ve π = aalığına atlanmıştı. a Şeil 4.9. Bi boyutlu fotoni istalin band yapısı Fotoni Band Aalığı İçindei Kısa Süeli Kiple Fotoni band aalığı içeisinde hiçbi eletomanyeti ip gözlenmez. Çünü fotoni band aalığı içeisindei feanslada hehangi bi ip için geçel bi dalga vetöü mevcut değildi. Yani, dalga vetöü omplesti. Denlem (4.33) denlemine göe hiçbi genişleme olmayacağından dalganın genliği exp ( αz) ile istal içeisinde üstel olaa azalı. Kiple, bu azalma nedeniyle ısa süeli olu. Bi düzlem dalganın zayıflaması dalga sayısının geçel ve sanal ısımlaı cinsinden ifade edili. Çünü dalga vetöü amaldı. Bu duumda (4.33) denlemindei Bloch iplei, + iκ omples dalga vetöü ile oluştuulu. Kiple fotoni band 40

54 4.TEORİK ALTYAPI aalığı içindei feanslada ileleyemediğinden (4.33) denlemine çapanı eleme geei. H iz κz ( ) e u( z) e e κz zayıflama = (4.39) Dalga vetöünün sanal bileşeni, /κ nın azalmasına neden olu. Çünü dalga vetöünün sanal bileşeni dalganın tam yansımaya uğadığını, yani dalganın ileleyemediğini göstei. İleleyemeyen bi dalgada κ zayıflama sabiti ata. Bu duumda iple fotoni band aalığı içeisinde olduğundan genişleme olmaz. Bu yüzden en düşü deeceli ip w= w eşitliği ile ölçülü. π π ( ) w α = α( ) a a (4.40) w eçel Sanal Şeil 4.0. Bi boyutlu fotoni istalin omples band yapısı (Joannopoulos, 995) Buada, α band eğisine bağlı bi atsayıdı. Şeil 4.0 da bi boyutlu fotoni istalin omples band yapısı veildi. Üst ve alt çizgile sıasıyla bandının altına ve bandının üstüne benzemetedi. Kısa süeli seviyele daie içinde meydana gelmetedi. Çünü dieleti banttan hava bandına geçiş sözonusu değildi. Maximum azalma, aalığın meezinde meydana gelmetedi. w > 0 (aalığın üstündei daha yüse feansla) ise feansla) ise sanaldı. Bu duumda seviyele geçeldi. w < 0 (aalığın içeisindei = iκ ile üstel olaa azalı. 4

55 4.TEORİK ALTYAPI Zayıflama sabiti κ büyüdüçe feans aalığın meezine ulaşı ve sona daha düşü bi band enaında ısa süeli duum olu. Bu davanış Şeil 4.0 da yansıtılmatadı Esen Dışı Yayılma Fotoni istallede ışığın ontolü bütün yönlede sağlanmayabili. Bu yön esen dışı yayılma yönüdü ( = 0, 0, 0 ). Esen dışı yayılmada dalga x y eleti alandai utuplanmaya bağlı olaa falı davanışla göstei. Şeil 4. de göüldüğü gibi x ve y yönünde (esen dışı yayılma) dieleti çubulaa paalel olan eleti alanı süelidi. Bu süeliliten dolayı eletomanyeti eneji yüse dieleti sabitli değişmez otamda yoğunlaşı. Bu yönde dalgala sadece ıılaa geçeceğinden bu yöndei iple için fotoni band aalığı yotu. Faat z yönünde eleti alanı esilidi. Bu yönde eleti alanı dieleti çubulaa di olduğundan dalgalaın bi ısmı tam yansıma yapa, bi ısmı ıılaa geçe. Fotoni band aalığı bu esen üzeinde oluşu. z y x E E E z Şeil 4.. Esen dışı yayılma Şeil 4., bi boyutlu fotoni istalleinde = y iplei için band yapısını göstemetedi. Esen üzeindei yayılma z yönünde yani esili dönüşüme sahip peiyodi bölge içinde, esen dışı yayılma ise y yönünde yani süeli dönüşüm 4

56 4.TEORİK ALTYAPI simetisine sahip bölgede olmatadı. Şelin sol taafı esen üzeindei ( 0,0, z ) bandlaı ve sağ taafı esen dışı (,,0) 0 y band yapısını vemetedi. Esen üzeindei ve dışındai yayılma için en önemli fa, esen dışı yayılmada hiçbi band aalığı olmamasıdı. Başa önemli bi fa, dejenee bandlada gözlenmetedi. x ve y yönlei gibi ii temel utuplanma ele alındığında, bu ii ip dönel simeti (otational symmety) ile falılaşıla. Bu yüzden ii ip dejeneedi. Dejenee iple aynı eneji düzeyine sahipti. Dalga vetöü nın eyfi bi yönelimiyle bi ip yayılımı için bu simeti ıılı. Dejeneeli (TM ve TE bandlaının çaıştığı duum) otadan ala. Bu duumda başa simetile otaya çıa. Mümün olan utuplanmala olan x utuplu TM, yz utuplu TE ipi meydana geli. Bu, fotoni band aalığının oluşum nedenleinden biidi. y boyunca bandla ii falı utuplanmaya ayılı. (Mavi) TM utuplu iplei, eleti alanı x yönü içindedi ve (ımızı) yz düzlemindei TE utuplu iplei göstemetedi.. Şeil 4.. Bi boyutlu fotoni istalde esen içi ve esen dışı band yapısı (Meade, 995) Şeil 4. de göüldüğü gibi x yönü içinde ( bandı) utuplanan iple, yz düzlemindei utuplanan ipleden ( bandı) daha düşü bi feansa sahipti. Daha düşü feanslı iplein eleti enejilei yüse dieleti bölge içinde yoğunlaşmatadı. 43

57 4.TEORİK ALTYAPI Şeil 4.3 de enine eleti alan iplei (TE) ve enine manyeti alan iplei veilmetedi. TE ipleinde H düzlemin nomalidi ve H = H( ρ )zˆ ve E düzlem E ρ ˆ =. Enine manyeti alan iplei (TM), E E( ρ )z. ˆ içindedi, ( ) z 0 ˆ = = ve H( ρ ) z 0 olu. TE utuplanmasında eleti alanı esen üzeinde ye aldığından esilidi, anca manyeti alan esen dışında olduğundan süelidi. TM utuplanmasında ise eleti alanı esen dışında, manyeti alan esen üzeindedi. Şeil 4.3. TE ve TM utuplanması İi Boyutlu Fotoni Kistalle Fotoni band aalılaı peiyodi düzlem içinde göünü. Bu düzlem içinde ışığın yayılması için hamoni iple ii bağımsız utuplanmaya ayılı ve hamoni iplein he biisinin endine özgü band yapısı vadı. Işı ipleini yeelleştime için ögü usulaı üetilebili, anca bu duumda ip ii boyutta yeelleşebili. boyutlu fotoni istallede bi ışı çizgisi düşünülüen, boyutlu fotoni istallede ışı onisi düşünülü. Veilen w feansı için bu oni çembe olu. Bu ışı onisi hacimsel bi temelde mümün bütün feanslaının süeli bölgesini göstei. İi boyutlu bi sistemde açısal feans w = c x + y (4.4) şelinde ifade edili. (4.4) denlemi şeil 4.4 de veildiği gibi bi oniyi yansıtmatadı. 44

58 4.TEORİK ALTYAPI Şeil 4.4. İi boyutlu fotoni istalde düzlem dalganın band yapısı ve ontula (Huang, 003) İi duumda -boyutlu fotoni istali oluştuma mümündü. Biincisi, hava içindei dieleti çubulaın ae ögüsü, iincisi dieleti plaa içindei hava boşlulaının altıgen ögüsü ile bu yapıla oluştuulabili. Şeil 4.5 de -boyutlu fotoni istal yapı önelei gösteildi. Şeil 4.5 (a) da etafı havayla çevili dieleti çubula. Şeil 4.5 (b) de etafı dieleti ile çevili deşile. Şeil 4.5. İi boyutlu fotoni istal biçimlei (Johnson, 00) 45

59 4.TEORİK ALTYAPI İi Boyutta Bloch Seviyesi İ İi boyutlu fotoni istallee öne olaa şeil 4.6 da gösteilen yapı veilebili. Şeil 4.6. Dieleti sütunlaın ae ögüsü (Sououlis, 996) Şeil 4.6 da yaıçapı ve dieleti sabiti ε olan dieleti sütunlaın ae ögüsü veilmetedi. Bu mateyal z yönü boyunca süeli dönüşüm simetisine sahipti. a ögü sabitiyle x ve y boyunca peiyoditi. Sol taafta ae ögünün üstten göünümü ile ae içindei biim hüce veilmetedi. Fotoni band aalığı xy düzlemi içindedi. Eletomanyeti iplei tanımlayabilme için istalin simetisi ullanılı. z yönü içinde sistem süeli dönüşüm simetisine sahip olduğundan iple bu yönde ii falı utuplanmaya ayılacatı. Anca sistem xy düzleminde esili dönüşüm simetisine sahipti. ( ) = ε( + R) ε ve R, aˆ x ve aˆ y ilel ögü vetöleinin hehangi bi doğusal bileşimidi. Billouin bölgesi içinde olan ı nın değelei üzeinde Bloch teoemi uygulanabilmetedi. Atan feansla sıasına göe iplei sınıflandıma için n band sayısı ullanılı. Bloch seviyelei, ( n, )( ) exp( i ρ ).exp( i z). u ( ) ( ρ) H z ı ı z n, z, ı, = (4.4) Bu denlemdei ρ, xy düzlemindei nin iz düşümüdü. u ( ρ ) peiyodi bi fonsiyon, u ( ρ ) = u( ρ + R), R bütün ögü vetölei için yazılabili. Kesili 46

60 4.TEORİK ALTYAPI dönüşüm simetisindei dalga vetöü süeli dönüşüm simetisi içindei z ı billouin bölgesi içinde sınılandıılıen sınılandıılamaz. ( ρ) u düzlem içinde esili peiyodiliğe sahip ien z yönü içinde süeliliğe sahipti. Kiplei sınıflandıma için ayna simetisi iplei ii falı utuplanmaya ayıı Dieleti Çubulaın Kae Ögüsü Dalga vetöü en yaın omşu biim hücele aasındai faz faını tanımla. X 0.5 π,0 : x yönü boyunca en yaın omşu biim hüce aasında 80 a deeceli faz faı vadı. π π M 0.5,0.5 : öşegen yönü boyunca en yaın biim hüce aasında 80 a a deeceli faz faı vadı. y M (3) M () M () M (3) X (4) Г (3) X () Г () X () Г (3) X (4) M () M () M () M () X (3) Г () Г () Г () X () X () X (3) M () M () M () M () x X (4) Г (3) Г () Г (3) X () X () X (4) M (3) M () M () M (3) Şeil 4.7. Dieleti çubulaın ae ögüsünün tes uzayı (Saoda, 005) Şeil 4.7 de dieleti çubulaın ae ögüsünün tes ögü uzayında genişleyen bölgele veilmetedi. Simeti notalaı Γ, X, M ile gösteildi. Paantez içindei sayıla, boş uzaydai düzlem dalgalaın yüselen açısal feans deecesini vemetedi. ( ), Γ Γ ( ) ve ( 3) Γ notalaında düzlem dalganın açısal feanslaı 0, 47

61 4.TEORİK ALTYAPI πc, a πc a dı. Özdeş notala bibileine tes ögü vetöleiyle bağlıdı ve aynı özfeansa sahipti. Anca bibileinin eşlenileidi. Öneğin, göe x ayna simetisine ( ) X notalaı bibileinin eşlenileidi. O zaman bu notaladai iplee ait özfonsiyonlaın Θˆ difeansiyel opeatöü ile bu opeatölein çapımı omüte edilme duumunda aynı özip elde edili. billouin bölgesi olan 0 ile π aalığı olan iinci, a ( ) Γ, π aalığını, a ( ) X ve ( ) Γ, ( ) Γ ve ( ) X ve ( ) M il indigenemez ( ) M aasındai bölgele ( ) M aasındai bölgele ise π ile a π ile a aalığı olan üçüncü billouin bölgesini göstemetedi. Kesili dönüşüm simetisi ve ( ) u( R) u = + peiyodili oşuluna göe iinci ve üçüncü billouin bölgelei, il billouin bölgesine atlanmatadı. Billouin bölgelei neden bu ada önemlidi? Çünü hangi sistem olusa olsun alan ögüleini belileyen band aalılaı billouin bölgesi ile sınılandıılı. Yatay esen, dieleti band ile hava bandı aasındai ışı çizgisini oluştuan // dalga vetöü değeini göstemetedi. Bu duumda X ve M, billouin bölgesinin enalaı olduğundan bu notala fotoni band aalığı içeisine gie. Bu notalada gözlenen alan ögülei, yayılan dalgalaın ön dalgalaı gibi olmasına ağmen aslında yayılmamata, onla sıfı gup hızına sahip dugun dalgala olmatadı. Bu duumun oluşması peiyodi olaa ayalanmış dieleti sabitlei falı olan dieleti çubula ullanma geei. Dieleti sabiti, otamın ııcılı indisine bağlıdı. Kııcılı indisi ile dieleti sabiti doğu oantılı, dieleti sabiti ile açısal feans tes oantılıdı. Dieleti çubula falı dieleti sabitleine sahip olduğundan açısal feanslaındai değişime göe otamlada yoğunlaşan eletomanyeti enejile de falı olu. Işı enejisi yüse dieleti bölgesinde yoğunlaşısa düşü feans bandında ye alı. Bu band dieleti band olaa adlandıılı. Eneji, düşü dieleti sabitli bölgelede yoğunlaşmış ise bu da yüse feans bandı demeti, buna hava bandı deni. Fotoni band aalığı dieleti band ile hava bandı aasında ye alı. Bi bandın daha düşü feanslı seviyesi ile daha üst bandlaı bibiine otogonaldi. Bu duum ii band aasındai ayılığı açıla. İl band dieleti bölgelede enejisinin çoğuna ve daha düşü feansa sahip ien 3 π a 48

62 4.TEORİK ALTYAPI iincisi biincisine otogonal olma için bi düğüm düzlemine sahip olu. Yüse dieleti bölgesinde eleti alanlaın yoğunlaşma deecesi yoğunlaşma fatöünü tanımla. Buna göe yoğunlaşma fatöü: f ( ) E( ) () E() 3 d ε = 3 d ε (4.43) şelinde yazılı. Yüse dieleti bölgesinden daha düşü bi dieletiğe aşı haeet edildiğinde eneji yoğunluğunu ifade edenε E, E alanı aayüzeye paalel ise ε ε di ise ile esili şeilde azalacatı ( E// süeli), anca Eleti alanı aayüzeye ε ε ile esili bi şeilde atacatı ( ε süeli). TM ipleinde eleti alanı aayüzeylee paalel olduğundan büyü bi yoğunlaşma fatöü mümündü. TE ipleinde ise eleti alan çizgilei sınıda yüzeyi ese. Bu yüzden çubula dışında eletomanyeti enejiyi zolayaa büyü bi yoğunlaşma fatöünü E engelle. Bu yüzden TE ipleinde band aalığı göünmez. Şeil 4.8 de hava içindei dieleti çubulaın ae ögüsünün TM ( e ( x) dalgası) ve TE ( o ( x) dalgası) band yapısı veilmetedi. TM te feanslı iplei, TE ise çift feanslı iplee ait bandladı. TM ışığında eleti alan çizgilei çubulaa (odlaa) paalel ien, TE ışığında diti. öüldüğü gibi, dieleti çubulada TM ışığı için mutla fotoni band aalığı oluşuen, TE ışığı için ısmi band aalığı oluşmatadı. Bu duumda çubula için en uygun olanı TM ışığıdı. Çünü TM ışığı sisteme göndeildiğinde ışığın bi ısmı bazı feanslada (fotoni band aalığı içindei feansla) tam yansımaya uğa, bi ısmı ise bazı feanslada (fotoni band aalığı dışındai feansla) ıılaa geçe. Fotoni band aalığı içeisindei feanslada gelen dalgala ile aynı fazda bibiini uvvetlendiee yansıyan dalgala bibiini sönümle. Bu dalgala esen üzeinde yayıldığından peiyodi yapı içeisinde ileleyemez. Kıılaa geçen dalgalada ise yansıyan dalgala zıt fazlı olduğundan bibiini sönümle ve gelen dalgayla bileşemezle. Dieleti bandında M enaında oluşan TM ipi ile hava bandında X enaında oluşan TM ipi fotoni band aalığını belilemetedi. 49

63 4.TEORİK ALTYAPI Şeil 4.8. Dieleti çubulaın ae ögüsünün TM ve TE band yapısı TM ışığı dieleti çubulaının ae ögüsüne göndeildiğinde gözlenen alan ögülei şeil 4.9 da veilmetedi. Alan ögülei, uantum meaniğinde gözlenen alan ögüleine benzemetedi. düğümsüz s ögüsü düğüm düğüm çizgisi π ögüsü düğüm düğüm çizgisi δ ögüsü Şeil 4.9. Alan ögüleine ait iple Şeil 4.0 de hava içindei dieleti sütunlaın ae dizilişinin TM iplei veilmetedi. TM bandı, temel ipe aitti ve hiçbi düğüm çizgisi içemez. TM 50

64 4.TEORİK ALTYAPI bandı bi düğüm çizgisi içeen π ögüsünü, TM bandı 5 ise ii düğüm çizgisi olan δ ögüsünü vemetedi. Şeil 4.0. Dieleti çubulaın ae ögüsüne ait s, π ve δ ögüsü Dieleti Plaa İçindei Deşilein (Hole) Altıgen Ögüsü Fotoni band aalığı bu tü yapılada TE için mutla ien TM için ısmidi. Bu ögünün band yapısı şeil 4. de veilmetedi. TE ışığı için H manyeti alanı çubulaa paalel ien eleti alan çizgilei çubulaa diti. Buada gözlenen duum dieleti çubulada oluşan duumla testi. TE ışığı sisteme göndeildiğinde ışığın bi ısmı tam yansımaya uğa, bi ısmı ise ıılaa geçe. TM ışığı ise sadece ıılaa geçe. Diğe bi taaftan manyeti alan vetöü deşi ile dieleti aasındai aayüzeye paalel olduğundan süeliliğe sahipti. Bu yüzden deşi ve dieleti üzeinde falı yoğunlaşma fatölei oluşu. Anca TM ipinde manyeti alan aayüzeye di olduğundan yoğunlaşma fatöünü engelleni. Bu yüzden deşilein altıgen ögüsünde TM ipi için bi mutla fotoni band aalığı gözlenmez. TE ipleinde manyeti alan enejisinin yoğunlaşması he bi band için falı olu. Bu manyeti alan özfonsiyonlaının oluştuduğu alan ögülei bandlaa göe te utuplu, çift utuplu ve döt utuplu olu. 5

65 4.TEORİK ALTYAPI Şeil 4.. Dieleti plaadai deşilein altıgen ögüsünün TE ve TM band yapısı 4.3. Nota ve Çizgi Ögü Kusuu Ögü usulaının en önemli özelliği, fotoni band aalığındai feanslada ılavuzlu ip oluştumasıdı. Kistal ögüsü içeisinde oluştuulan ögü usuu, ışığın gei yansımasını engellemete ve ışığın tutunmasını sağlamatadı. Ögü usulaı ii şeilde incelenebili: Nota usu ve çizgi usuu. Öneğin d fotoni istalleinde sütunlaın haeet etmesi, boşlulaın dolduulması, sütunlaın ve boşlulaın büyülüğünün değişmesi ögü usuu oluştuu. Nota usuu, ışığı tuzalayan oyu gibi, çizgi usuu ise dalga ılavuzu gibi davanı. Fotoni band aalığı içeisindei dalga iplei dalga ılavuzu içeisinde sınılanı. Şeil 4. de göüldüğü gibi, fotoni band aalığı dieleti band ile hava bandı aasında ye alı. Fotoni band aalığında hiçbi yeelleşmiş ip yotu. Anca, ögü usulaı fotoni band aalılaındai feanslada yeelleşmiş iplee izin vemetedi. 5

66 4.TEORİK ALTYAPI Hava bandı Feans c/a Ögü usuu iplei Dieleti band dalga vetöü Şeil 4.. Ögü usuu iplei Band aalığı içeisindei çözümle omples dalga vetöüne sahipti. Ögü usuu oluştuulduğunda bu omples bölümlede üstel değişim olu. Aalı üstündei ip aalı içeisine çeildiğinde bu üstel değişimden dolayı yeni bi omples çözüm geei. Çünü feans ayması meydana geli. Feans ayması dieleti sabitindei değişimle oluştuulabili. Dieleti sabitindei değişme ε nin negatif değei için demeti. ε attıça onum, aalığın içeisine itili. w feans ayması pozitifti. Bu, dieleti band ε nin pozitif değei için feans ayması negatifti. Bu, hava bandı demeti. Bu ısım da aalı içeisine düşe. Feans ayması w w0 a eşitti ve ( ) w = w + α (4.44) 0 0 şelinde yazılı. Minimum (aalı üstündei il yayılan minimum) onum (,w 0 0 ),α pozitif sayı ve w 0 aşağısındai feans için aalı içeisinde üçü için omples dalga vetöü w = 0 ± i (4.45) α şelinde yazılı. Bu, üstel zayıflama oanını veen sanal bölümdei (fotoni band aalığı içindei bölüm) omples dalga vetöüdü. Daha geniş bi band aalığı için w w 53

67 4.TEORİK ALTYAPI w geniş olu ve böylece daha uvvetli bi yeelleşme (daha hızlı alan zayıflaması) meydana geli Bi boyutta ögü usuunda yeelleşen iple Bi boyutlu fotoni istalin te bi tabaasının genişliği ve ııcılı indisinin falı olması esili dönüşüm simetisinin ıdığından ögü usuu oluşu. Ögü usuunun he ii yanındai ço tabaalı filmle özel feans aynası gibi davanı. Bu, ışığın sınılı bi bölgede yeelleşmesi demeti. Şeil 4.3. Bi boyutlu fotoni istalin ögü usuunda yeelleşen ip (Joannopoulos, 995) Şeil 4.3 de göüldüğü gibi ögü usuunun alınlığı attıça feans azalı. Çünü ip titeşme için daha ço uzaya sahip olacatı. Kalınlıtai atış hava bandından aalı içeisine adışı esili iplei çee ve böylece iple tuzalanı. Ögü usuunun he ii taafı yansıtıcı duvalaa sahip olduğundan ışıma ipleinin sızması engelleni ve eleti alan büyülüğü ögü usuu dışında zamanla azalı. Diğe bi taaftan alınlı sabit alma şatıyla te bi tabaanın dieleti sabitindei atma veya azalma feanstai atma veya azalmayı oluştuu. Bu duumda hava bandından aalı içeisine ya da dieleti banttan aalı içeisine iple çeili. Ögü usuunun yeelleşme deecesi feans, aalığın meezine yaın olduğunda en büyü olacatı. 54

68 4.TEORİK ALTYAPI İi boyutta ögü usuunda yeelleşen iple Şeil 4.4 de göüldüğü gibi ii boyutlu fotoni istalin te bi sütunu çıaıldığında veya ye değiştiildiğinde, boyutu, şeli, dieleti sabiti değiştiğinde ögü usuu oluştuulabili. Fotoni istal band aalığındai mutla feanslada ışı yansı. Eğe ögüden bi çubu çıaılısa yansıtıcı duvalala çevili bi oyu oluştuulu. Eğe oyu boyutu ipi desteleyece büyülüte ise ışı açamaz. Şeil 4.4. Ögü usulaı ve yüzeyin ii boyutlu duumu (Sououlis, 996) Oyu yansıtıcı duvalaa sahip değilse ip feansı, band aalığında tuzağa düşüülemez; iple, hava bandı seviyeleinin süeli dizisine sıza. Ögü usuu atı yeelleşmiş ip yaatamaz. Bu duumda ip, ögü usuu yaınındai alan enejisiyle yoğunlaşı. Eğe ılavuzlu band, ışı onisi enaına ulaşısa ezonans seviyesi duumu hacimsel temelden (bacgound) uzata sonsuza ada üçü genlite genişleme) olu. Bu duumun olması için ögü usuu ışıma ipinin sızmasını engelleyen yansıtıcı duvalala çevili değildi. Bu duumdai sızan ipe sızdıılan ip (leay mode) veya ezonans ipi deni. 55

69 4.TEORİK ALTYAPI Notasal Ögü Kusuunun Çubu Yaıçapına öe Değişimi Notasal ögü usuunun yaıçapındai değişim, dieleti ya da hava bandındai iplein fotoni band aalığına açmasını sağla. Şeil 4.5. Çubu yaıçapının azalmasıyla oluşan ögü usuunun yeelleşen ipi (Johnson, 003) Şeil 4.5 de gösteildiği gibi notasal ögü usuunda dieleti çubuğun yaıçapı daha üçü olduğunda esili değeiyle dieleti bandındai ip yuaı çeili. Bu duuma alıcı (accepto) deni. Dieleti çubuğun yaıçapı azaldığında feans ayması yüzünden dieleti çubulaın titeşim feansı ata. Bu, dışaıdan maddeye eneji ataılmasına benze. TM bandındai minimum (düğüm çizgisiz) ip band aalığı içeisinde genişleyee daha yüse feanslı ip seviyesine geli. Bu duum, atomlaın uyaılmasıyla eletonlaın daha üst yöüngeye geçee atomlaın yüse eneji seviyesine geçmesine benze. w w0 Alandai azalma = (4.46) egili 56

70 4.TEORİK ALTYAPI şelinde ifade edili. Diğe bi taaftan dieleti çubuğun yaıçapı daha büyü olduğunda ip hava bandından fotoni band aalığına aşağıya çeili. Bu duuma veici (dono) deni. Anca, buada aynı w de çift dejeneeli otaya çıa. Şeil 4.6. Çubu yaıçapının atmasıyla oluşan ögü usuunun yeelleşen ipi (Johnson, 003) Şeil 4.6 da gösteildiği gibi dieleti çubuğun yaıçapı attığında feans ayması yüzünden Dieleti çubulaın titeşim feansı azalı. Bu, dışaıya maddeden eneji ataılmasına benze. TM bandındai yüse feanslı (düğüm çizgisiz) ip band aalığı içeisinde genişleyee daha düşü feanslı ip seviyesine geli. Bu duum, atomlaın uyaılmasıyla eletonlaın daha düşü yöüngeye geçee düşü enejili seviyesine geçmesine benze. Şeil 4.7 de hava ögü usuu ve dieleti ögü usuuna ait band yapısı ve he ii duum için eleti alanın ışıma iplei veilmetedi. Hava ögü usuu te utuplu, dieleti ögü usuu ise çift utuplu ipti. Soldai, te bi çubuğun dieleti sabitinin üçültülmesiyle oluştuulan bi ögü usuudu. Bu ip, dönel simeti ve ögü usuu içinde te bi yuvala ısımla te utba sahipti. (Dieleti sabitindei üçülme dieleti sabitlei aasındai faı azaltacağından yansımayı 57

71 4.TEORİK ALTYAPI azaltı. Bu, ötüşen ip sayısını azaltı, yani daha düşü sıalı ip elde edili). Sağdai, te bi çubuğun dieleti sabitinin atmasıyla oluştuulan bi ögü usuudu. Bu ip, ögü usuu içindei ii düğüm çizgisiyle döt utuplu ögüye sahipti. (Dieleti sabitindei atış, daha ço yansıma oluştuacağından daha ço ipin üst üste gelmesi ve daha üst sıalı ipin oluşması demeti). Şeil 4.7. Çubu yaıçapı değişimine göe ögü usuu ipinin eleti alan dağılımı(johnson, 003) Fotoni band aalığı içeisinde ılavuzlanmış iple sadece nota ögü usuu ile değil aynı zamanda doğusal dalga ılavuzu gibi davanan çizgi ögü usulaı ile oluştuulabili. Nota ögü usuu ile doğusal ögü usuu aasındai temel fa, nota usuu için fotoni band aalığı içeisindei bi ip feansında yeelleşme olmasıdı. Doğusal bi ögü usuu için ipin davanışı sadece feansın fonsiyonu olaa değil, aynı zamanda dalga vetöünün bi fonsiyonu cinsinden yazılabilmesidi. 58

72 4.TEORİK ALTYAPI Çizgisel (Doğusal) Ögü Kusuu Aa aaya onulmuş ii tane cisim düşünüldüğünde aadai cismin göülmesi mümün değildi. Aadai cismin göünebilmesi için ışığın cisim üzeine göndeildiğinde yansımaması, yani ışığın tamamen iletilmesi geei. Bu duum sağlandığında öndei cismi salayıp aadai cismin göünmesi mümün olacatı. Işığın iletilmesi için en uygun yöntem doğusal ögü usulaı oluştumatı. Doğusal ögü usulaı bi yeel notadan başa bi yee ışığı ılavuzla. Işı fotoni band aalığı içeisindei feansla dalga ılavuzu içinde yayılı ve ögü usuu boyunca yönlendiilmiş olu. Şeil 4.8 de bu duum gösteilmetedi. Şeil 4.8. Doğusal dalga ılavuzu Doğusal bi ögü usuu ounan esili dönüşüm simetisinin olduğu düzlemde bi yönelime sahipti. Bu yön y yönüdü. y dalga vetöü ounan bi niceliti. z yönü içinde süeli dönüşüm simetisi vadı. z ounan bi niceliti. Sadece TM utuplanması göz önünde tutulduğunda şeil 4.9 da y ye aşı w band diyagamı veilmetedi. Kistal içeisinde uzanan iple süeli bölgede (mavi bölge) bulunmatadı. Saı bölge band aalığını, ımızı çizgi ise ögü usuu bandını vemetedi. Dalga ılavuzlaı ışıma ayıplaını engelleyen ezonans oyulaı ve büülmelele sıfıa yaın yansıma ve ayıp ile fotoni band aalığında ılavuzlanmış 59

73 4.TEORİK ALTYAPI iple oluştuma mümündü. Anca, dalga ılavuzlaının bazı önemli özellilee sahip olması geei. Bunladan biincisi, ışığın veimli bi şeilde maximum iletiminin sağlanabilmesi için dalga vetöünün yayılma yönü boyunca peiyodi bi şeilde ayalanmış olması geei. İincisi feans aalığında seçilen ipin te ip (TM) olması geei. Çünü maximum ileleme bu şeilde sağlanabili. Işıma ayıplaını engelleme için ılavuzlanmış ipin fotoni band aalığında olması geei. Bu iletimin hem atması hem de yansımanın azalması demeti. Bu duumda dalga ılavuzundan ışığın açması engelleni. Şeil 4.9. Doğusal ögü usuunda yeelleşen ip (Sououlis, 996) Doğusal dalga ılavuzlaı ısa dalga boyunda tam yansıma yöntemi ile çalışı. Şeil 4.30 da veildiği gibi dalga ılavuzu genişliği dalgaboyunun yaısı olması geei. Böylece temel ip olan m = 0 ipini yeelleştime mümün olu. Işığın dalgaboyundai azalma duumlaına göe dalga ılavuzunda iple m ile sınıflandıılı. 60

74 4.TEORİK ALTYAPI λ/ m=0 m= m= m=3 Şeil Dalga ılavuzundai iplein sınıflandıılması (Huang, 003) Şeil 4.3 de gösteildiği gibi üçü feanslada ılavuzlanmış iple için yayılma eğisi cladding (çeide etafındai falı ııcılı indisli bölge) bölgesine aymatadı. Büyü feansla için ise çeide (coe) çizgisine yalaşmatadı. Dalga ılavuzu içeisinde ışı ne ada ço yansısa o ada ço ip oluşu. m =0 ipi için ışı dalga ılavuzundan bi ez tam yansımaya uğamalıdı. m = ipi için ii defa, m =3 ipi için 3 defa. Küçü feanslada dalga boyu büyü olduğundan ışığın enejisi de daha az olu. Bu, eğiyi düşü indise sahip cladding çizgisine yalaştıacatı. Anca büyü feansla, ışığın dalga boyunu azaltacağından eğiyi çeide çizgisine yalaştıı. w Cladding indisi 0 3 Çeide indisi Cladding Çeide (coe) Cladding w üçü λ büyü Şeil 4.3. Dalga ılavuzundai temel ipin feansa bağlı değişimi w büyü λ üçü 6

75 5.BULULAR VE TARTIŞMA 5. BULULAR VE TARTIŞMA 5.. aas aas, galyum ve aseniğin bileşiminden elde edilen önemli bi yaıiletendi. Miodalga feansındai tümleşi develede, ızılötesi ışı yayan diyotlada, laze diyotlaında ve güneş pilleinde ullanılı. aas, zinc blende istal yapısına sahipti. İi iç içe geçmiş fcc übi ögüden oluşu. Atomlaın ayalanması elmas übi yapıdai gibidi. Moleüle şeli doğusaldı. aas in dieleti sabiti 0 μm de 0.7 den μm de.3 e değişmetedi. Şeil 5.. aas yapısı aas, valans bandı üzeindei iletenli bandı minimum deme olan doğudan band aalığına sahipti. Valans bandı ve iletenli bandı aasındai geçişle 6

76 5.BULULAR VE TARTIŞMA enejidei değişime bağlıdı, momentumunda değişime gee yotu. aas in bu niteliği ço önemlidi. Işı yayan diyotla ve yaıileten lazeleinde olduça ullanışlıdı. aas in bazı özellilei çizelge 5. de veilmetedi. Çizelge 5.. aas in özellilei Özellile Paametele Kistal yapısı Zinc blende ( Çino sülfü ) Ögü sabiti 5.65 A 0 Yoğunlu 5.3 g/cm 3 Atomi yoğunlu 4.5 x 0 atom/cm 3 Moleüle ağılı Hacim modülü 7.55 x 0 dyn/cm enleşme atsayısı 5.8 x 0-6 K - Özısısı Ögü temal iletenliği 0.37 J/g-K 0.55 W/cm- 0 C Dieleti sabiti.85 Band aalığı Eşi alanı Eleton haeetliliği Boşlu haeetliliği Eime notası.4 ev 3.3 V/cm 8500 cm /V-s 400 cm /V-s 38 0 C Sudai çözünülü Kaynama notası - < 0. g/00 ml(0 C) 5... aas Yapısının Kae Ögüsünün Band Yapısı Işığın vaumdai dalga boyu λ =.5 μm olaa seçilmişti. afiğe göe il ve iinci TM bandlaı aasındai aalı wa = 0.8 den πc wa = 0.49 a πc 63

77 5.BULULAR VE TARTIŞMA adadı. Feans bandı aalığının otalama değei wa = ve band aalığı πc genişliği % 38.9 du. Bu band aalığı indigenemez billouin bölgesinin M notası (0.5, 0.5, 0) ile X notası (0.5, 0, 0) aasında oluşu. wa = πc a = a /.5 μm λ =0.350 a = 0.55 μm olu. Yaıçap ise = 0. a olduğundan = 0.05 μm bulunu. Şeil 5.. aas dieleti çubulaının ae ögüsünün TM band yapısı Şeil 5. de göüldüğü gibi =,billouin bölgesinin M notasına aşılı geli. Bu notadai TM bandı temel ipti ve hiçbi düğüm içemez. Fotoni band aalığının oluşması için TM bandı ye ait iple otoganalli oşuluna göe bi düğüm çizgisi içei. TM bandı, TM bandı 3 ile M notasında bileşmesi sonucu bi düğüm çizgisine sahip çift utuplu ip oluşu. Bu düğüm çizgisi dieleti çubu üzeinden geçe. Buna göe TM ve 3 bandı M notasında aynı feansa sahip oldulaından dejeneedi. TM 3 ve 4 bandı Γ notasında dejeneedi. TM bandı 4 ve TM bandı 5 aasında fotoni band aalığı oluşu. TM bandı 4 bi düğüm çizgisi içeien otogonalli oşuluna göe TM bandı 5 bandında Dieleti çubu üzeinden ii düğüm çizgisi geçe ve döt utuplu ip oluşu. TM bandı 6 ve 7, M 64

78 5.BULULAR VE TARTIŞMA notasında dejeneedi. Γ ve M notasındai iple döt ayna düzlemi simetisine, X notasındai iple ii ayna düzlemi simetisine uymatadı. Şeil 5.3. Dieleti çubulaın ae ögüye ait il ii TM band yapısı ve yeelleşmiş iple Şeil 5.3 de dieleti çubulaın ae ögüsünden elde edilen TM bandı ve TM bandı nin gafilei, eleti alan enejisi yoğunlulaı ve bunlaa ait iplein yeelleşmelei veilmetedi. TM bandı ve TM bandı aasında fotoni band aalığı vadı. Çünü ışı falı bi otama geçtiğinde eleti alan bileşeni olan E ± iπx nπx nπx exp nin linee bileşimlaı olan sin ve cos falı a a a ( x) = otamlada yoğunlaşı. M notası eletomanyeti enejinin dieleti çubulada yoğunlaştığı ye oluen, X notası eletomanyeti enejinin hava otamında yoğunlaştığı ye olu. Eleti alan çizgilei titeşien endi etaflaında manyeti alan çizgilei oluştuu. Pozitif yönde titeşen eleti alan çizgisinin oluştuduğu manyeti alan çizgisi ile negatif yönde titeşen eleti alan çizgisinin oluştuduğu manyeti alan çizgisi tes yönlü olu. Bu yüzden oluşan bu manyeti alan çizgilei bibiinin genliğini sıfılayacağından aaya bi düğüm çizgisi gie. Oluşan manyeti alan çizgilei düzleme paalel olu. TM band yapısına göe, eleti alan çizgilei 65

79 5.BULULAR VE TARTIŞMA düzleme di olaa titeşien, manyeti alan çizgilei düzleme paalel olaa titeşi. İinci fotoni band aalığı TM bandı 4 ve TM bandı 5 aasında olu. Fotoni band aalığının feans aalığı dü. Feans aalığı otalaması ise 0.79 du. Band aalığının genişliği ise % 3.89 du. Oluşan iple, daha yüse feanslı daha yüse deeceli ipledi ve döt utupludu. Oluşan bu fotoni band aalığı aynı X notasındadı. Bu duum, Şeil 5.4 de veilmetedi. Şeil 5.4. Dieleti çubulaın ae ögüye ait 4. ve 5. TM band yapısı ve yeelleşmiş iple up hızı ile ilgili yapılan hesaplamada ise dalga vetöünün x ve y bileşenleine göe yani esen üzeindei ve esen dışındai yayılmala için ii falı gafi otaya çıa. Şeil 5.5 de göüldüğü gibi = 6 ve = notalaı aasında fotoni band aalığı vadı. Fotoni band aalığı içeisinde dalga ileleyemediğinden gup hızı sıfıdı. Fotoni band aalığı masimum ve bandı aasında oluşmatadı. bandında fotoni band aalığına yalaştıça gup hızı azalmatadı. bandında gup hızı negatifti. Bu duum esen üzeindei yayılma için geçelidi. 66

80 5.BULULAR VE TARTIŞMA Şeil 5.5. Esen üzeindei yayılmada gup hızı Şeil 5.6 da esen dışındai yayılmada ve 4, ve 3, 5 ve 8 bandlaında gup hızlaı simetiti. Esen üzeindei yayılmada gup hızı olduğunda esen dışındai yayılmada gup hızı sıfı ien, esen dışındai yayılmada gup hızı olduğunda esen üzeinde gup hızı sıfı olmatadı. Fotoni band aalığı esen üzeinde oluştuğundan dalga bu aalıta ileleyememete esen dışında ileleyebilmetedi. Şeil 5.6. Esen dışındai yayılmada gup hızı 67

81 5.BULULAR VE TARTIŞMA 5... aas dieleti plaadai deşilein altıgen ögüsü Şeil 5.7 de göüldüğü gibi bu ögüle TE bandlaı için mutla fotoni band aalığı oluştumatadı. İl ii TE bandı aasındai fotoni band aalığı ( ) % 48.5 li band aalığı yüzdesine aşılı gelmetedi. Bu band yapısında eleti alan çizgilei düzleme paalel ien, manyeti alan vetöü düzleme diti. TE bandı ve TE bandı aasındai % 48.5 li fotoni band aalığı = dei il band ile =6 dai.band aasında olmatadı. M notasındai il TE bandında manyeti alan deşile içeisinde yoğunlaşmatadı. X notasındai iinci bandın M notasındai il banda otogonal olması için deşile üzeinden bi düğüm çizgisi geçe. İinci fotoni band aalığı TE bandı 5 in X notası ile TE bandı 6 nın Г notası aasında olmata ve %.6 lı fotoni band aalığı yüzdesine sahipti. TE bandı 5 de dieleti çubula üzeinden bi düğüm çizgisi geçeen, TE bandı 6 nın diğeine otogonal olması için dieleti çubula üzeinden ii düğüm çizgisi geçe. Şeil 5.7. aas de deşilein altıgen ögüsünün TE band yapısı Şeil 5.8 de ise bu bandlaa ait manyeti alan özfonsiyonlaı ile tanımlanmış olan alan ögüleinin TE iplei veilmetedi. Bu bandlaa ait olan iple bibiine 68

82 5.BULULAR VE TARTIŞMA otogonaldi. Г notasındai iple altı ayna düzlemi simetisine, X notasındai iple 3 ayna düzlemi simetisine, M notasındai iple ii ayna düzlemi simetisine sahipti. Bu yapıda 60 deeceli dönmelede yapı değişmez. Buna göe düşey esen ayna simetisi olaa ele alındığında elde edilen alan ögülei bibileinin eşlenilei olula. Yatay esen ayna simetisi olduğunda yine aynı şeilde bibileinin eşlenilei olan alan ögülei elde edili. Öneğin düzlem dalga x yönünde ileliyosa manyeti alanın z bileşeni olan = H exp[ i( x wt )] H z 0 yatay ayna simetisi altında simeti olu. Anca eleti alanın z bileşeni yapıyı uyaamaz. Bu duumda bu iple yapı içeisinde bileşemez. Şeil 5.8 de TE bandı ve bandına ait yeelleşen iple veilmetedi. İl TE bandında eleti alan enejisi deşile üzeinde yoğunlaşmatadı. Bu temel ipe sahip düğümsüz s ögüsüne benzemetedi. TE bandı, TE bandı e otogonal olma için deşile üzeinden bi düğüm çizgisi geçe ve çift utuplu ip özelliği göstei. Bu ögü, bi düğüm çizgisi içeen π ögüsüne benze. Şeil 5.8. İl ii TE bandının yeelleşen iplei İinci fotoni band aalığının oluştuğu TE bandı 5 ve 6 nın yeelleşen iplei ise şeil 5.9 da veilmetedi. TE bandı 5 bi düğüm çizgisi içeien TE bandı 6 69

83 5.BULULAR VE TARTIŞMA otogonal olma için deşile üzeinden ii düğüm çizgisi geçe. Bu ögü döt utuplu ii düğüm çizgisi içeenδ ögüsüne benzemetedi. Şeil 5.9. TE 5 ve 6 bandının yeelleşen iplei Şeil 5.0 da göüldüğü gibi deşile TM band yapısına uygun değildi. Sadece belli feans aalılaında ısmi fotoni band aalığına sahipti. Şeil 5.0. Deşilein altıgen ögüsünün TM band yapısı 70

84 5.BULULAR VE TARTIŞMA Notasal ögü usuu: Ögü usulaı ışığı tuzalama için oluştuulu. Bu tuzalamanın yapılabilmesi için oyu uzunluğunun dalga boyunun yaısı olması geei. Ögü usulaı feans ayması meydana getiee aalı içeisinde ılavuzlu iplein oluşmasını sağla. Feans ayması dalga vetöünde bi değişim oluştuu. Bu değişim = π den bulunu. Şeil 5. de göüldüğü gibi bi dieleti çubuğun L otadan aldıılmasıyla oluştuulan oyu hava ögü usuu oluştuu. Bu duumda dieleti banttai temel ip aalı içeisine çeili. Dieleti çubulaın yaıçapı 0. ien, dieleti ögü usuu bi çubuğun aldıılmasıyla oluştuulmuştu. Kip feansı 0.34 dü. Bu feansa aşılı gelen etin dieleti sabiti yalaşı olaa 5.4 di. Bu değe ö bulma algoitması Ridde s yöntemi ile bulundu. Bu yöntem ile elde edilen ışıma ipi te utuplu ipti. Şeil 5.. Dieleti ögü usuunun ii boyutlu yapısı ve yeelleşen ip Çizgisel ögü usuu: Çizgisel ögü usuu hesaplamasında, y yönünde alınlığı olan diğe yönlede sonsuza genişleyen dieleti sabiti olan bi blo malzeme ullanıldı. 7