YANAL İZOTROPİK FİBER KOMPOZİT ÇUBUKLARDA BURULMA YÜKLEMELERİ İÇİN YENİ FORMDA KAYMA MODÜLÜ TANIMLAMALARI

Transkript

1 Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. J. Fac. Eng. Ach. Gai Univ. ilt 9 No - 4 Vol 9 No - 4 YANAL İZOTROPİK FİBER KOMPOZİT ÇUBUKLARDA BURULMA YÜKLEMELERİ İÇİN YENİ FORMDA KAYMA MODÜLÜ TANIMLAMALARI Egi GÜNAY ve Sedef KONAKLI * Maina Mühendisliği Bölümü Mühendisli Mimalı Faültesi Gai Ünivesitesi Maltepe 657 Anaa egunay@gai.edu.t * Seçma Eleti Eletoni Maina İnşaat Tuim İmalat San. Tic. Ltd. Şti Ostim Anaa ÖZET Bu çalışma il olaa homojen olmayan fibe ompoit malemele üeinde uygulanmata olan buulma yülemelei altındai çubulaa ait ayma modülü elastisite modellei ve modellein aalaındai falılılaın aaştıılmasını içemetedi. İinci olaa ayma modülü tanımlamasının yanal iotop malemele için yeni fomda oluştuulması ele alınmıştı. Liteatüde değişi esitlee sahip çubula için ısaca veilen ii boyutlu G x y ayma modülü fomülasyonlaı yeniden oluştuulmuştu. Yeni bi fom olaa yanal iotopiye sahip fibe ompoit malemele için onbi bağımsı elasti sabite sahip ayma modülünün en genel tanımlaması yapılmıştı. Tanımlamalaı yapılan bu yeni modelde ayma modülü denlemle sistemi fomunda oluştuulmuştu. Anahta Kelimele: Buulma yülemesi fibe ompoit yanal iotopi ayma modülü mio-meani. THE NEW FORMED SHEAR MODULUS FORMULATIONS FOR THE TRANSVERSELY ISOTROPI FIBER OMPOSITE BARS UNDER TORSION LOADING ABSTRAT This study fist includes the eseaches about the elasticity models fo nonhomogeneous fibe composites unde tosional loading and the diffeences between them. Secondly constitution of the new fomed shea modulus definition was held on fo the tansvesely isotopic mateials. In liteatue the given two dimensional G x y shea modulus bief fomulations about vaious coss sectional bas wee deived again. As a new model the most geneal definition which has eleven independent elastic constants fo the tansvesely isotopic fibe composite mateial was geneated. In this new fom in which the definitions wee given shea modulus was defined in the fom of the system of equations. Keywods: Tosional loading fibe composite tansvesely isotopic shea modulus mico-mechanics..giriş Kompoit malemelein genel tanımı üstün öellilee sahip bi maleme oluştuma için mao veya mio düeylede ii veya daha fala falı maleme öellileine sahip yapılaın bileştiilee yeni bi malemenin oluştuulması şelinde veilebili. Bu amaşı yapılada yeni elasti sabit değelei otaya çımatadı i günümüde bu değele eşdeğe maleme elasti sabit değelei cinsinden bulunaa ullanılmatadı. Bu çalışmada ayna taamalaı sıasında bulunan ayma modülü analiti modellei yeniden çıaımlaı yapılaa oluştuulmuştu. Aaştımala sonucunda çalışmalaı ii ana alt basamata toplamanın geeli olduğu otaya çımatadı. Buna göe il gubu ayma modülü tanımlamalaı ii boyutta G x y fonsiyonu fomunda tanımlanaa he çubu esiti üeinde hebi oodinat notasının falı bi ayma modülüne sahip eleman olduğu vasayımından yola çıılaa oluştuulan tanımlamala oluştumatadı Stoes Bili ve Yaaşı. İinci gubu

2 E. Günay ve S. Konalı Yanal İotopi Fibe Kompoit Çubulada Buulma Yülemelei İçin Yeni Fomda Kayma... ise ototopi ve aniotopi fibe ompoit malemele için tanımlanan elastisite fomülasyonlaı oluştumatadı. Bu çalışmada günümüe ada bu onuda yapılan aaştımalada elde edilmiş ayma modülü denlemlei açılanmış ve yanal iotopi fibe ompoitle için en genel ayma modülünün yeni fomu bulunmaya çalışılmıştı. Yanal iotopi fibe ompoitlee en anlamlı öne günlü otamdan ogani yapıya sahip ağaç maleme veilebili. Aşağıdai bölümlede bu onu başlılaı ayıntılaıyla açılanmatadı.. HOMOJEN OLMAYAN İNE İDARLI PRİZMATİK ÇUBUKLARIN TASARIMINDA KULLANILAN KAYMA MODÜLÜ TANIMLAMALARI Bu bölümde buulma yülemesi altındai ince cidalı homojen olmayan pimati çubulaa ait ayma modülü fomülasyonlaı ye almatadı. Stoes çalışmasında ijit temoplasti yapıya sahip dış abulaı olan ompoit malemeden yapılmış buulma çubulaının fomülasyonunu meani tasaım amaçlı olaa eleti ablo dış yüey aplamalaı için elde etmişti. Stoes 4 maaleleinde homojen olmayan ve he oodinat notasında değişi ayma modülü değeine G x y sahip buulma poblemini ve eğilme çubulaı için de he oodinat notasında değişi Young modülü değeleine sahip E x y olan ompoit malemeden haılanmış iiş poblemi için genel denlemlei çıamıştı. Stoes un maalesinde ilgili fomülasyonla homojen olmayan malemelede elasti modül değeleinin notadan notaya değiştiği abul edilee ve esit alanlaının geometi değişimleine bağlı olaa otalama bi ayma modülünün fomüle edilmesiyle açılanmatadı. Biinci ve iinci gup çalışmaladan elde edilmiş olan genel denlemle ileide yapılaca yeni çalışmalaa taban yaatması amacıyla bi bütün halinde aşağıdai bölümlede ısaca öetlenmetedi. Pimati çubulaın buulması Stoes Timesheno ve Goodie 5 Oden ve Rippege 6 Ugual ve Fenste 7 aşağıdai eşitlilele veilmetedi. τ x y G x y -a x y x τ x y G x y -b y x y τ x x y G x y y -a x x y τ y x y G x y x -b x Buada τ x y ayma geilmesini G x y ayma modülünü x y çapılma waping fonsiyonunu ve ise sabit bi atsayı olaa buulma açısını tanımlamatadı. Didötgensel yanal esite sahip ince cidalı çubulaın otalama ayma modülüne ait ifade Stoes taafından aşağıdai gibi veilmetedi. G TR t / Gy t / y dy dy Gη dη G Buada η eğisel oodinat sistemini t et alınlığını tanımlamatadı. Daiesel esitli içi dolu ijit çubulaın otalama ayma modülü ifadesi ise Denlem 4 ile veilmetedi. T G T I P I P G R π d 4 T G d R d 4 G η η dη G Buada aşılılı olaa G T ayma modülünü I P atalet momentini R yaıçap değeini T to ve buulma açısını belitmetedi. Daiesel tüplein otalama ayma modülü ifadesi ise 5 denleminde göülmetedi. T G T G T π R t G η dη G 5 Buada G T efetif ayma modülü T to R yaıçap ve buulma açısı cinsinden ifade edilmişti. Değişi esit geometileine sahip ince cidalı tüplein buulma poblemine ait otalama ayma modülü G TW Denlem 6 ile veilmetedi. t s ds / t GTW Ga s G s η dη 6 ds / Gat t Buada. G a s t sabit alınlığa sahip ince cidalı daiesel esitli tüple için sabit ayma modülüdü. Şeil ile veilen eği Stoes taafından tanımlanmata olan G G s otalama ayma modülleine ait ifade oanlaının eğisel oodinatla üeinde haeet edeen göstediği davanışı açılamatadı. Gafi eğisel oodinat sisteminde oodinat esenleinin η ve ξ değelei aasında değiştiği diate alınaa adyal yönde tanımlanmata olan belili η a aşılı β G G s nın çiilmesiyle oluştuulmuştu. G hehangi bi adyal oodinattai ayma modülünü G s ise buulma çubuğunun yüeyinde eiştiğimi otalama ayma modülünü göstemetedi. İlgili denlemle EK-A da veilmetedi. Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. ilt 9 No 4

3 Yanal İotopi Fibe Kompoit Çubulada Buulma Yülemelei İçin Yeni Fomda Kayma... E. Günay ve S. Konalı G/Gs.E.E 8.E- 6.E- 4.E-.E-.E Biim oodinat eseni Şeil. Eğisel oodinal sisteminde η a aşılı β G Gs gafiği. BURULMA VE MATEMATİKSEL MODELLEMELER.. Genel Buulma Teoemlei Bu onuda yapılan il çalışmalada elde edilen denlemle buulma esnasında buulma yülemesi etisindei esitlein dülemsellileini ouyaa ijit dönme haeeti yaptığı biçimlei boulmasıın döndüğü abullei ile elde edilmişti. oulomb 8 taafından geliştiilen bu teoi daha sona Navie 9 taafından enine esit alan yüeylei daiesel olmayan pimati çubula üeinde uygulanmıştı. Yuaıdai belitilen ana abül altında çalışan Navie 9 veilen bi buulma momenti için çubulaın buulma açısının esitin ağılı meeine göe utupsal atalet momenti ile tes oantılı olduğu ve masimum ayma biim şeil değiştimesinin esit ağılı meeinden en ua notalaında otaya çıtığı gibi günümüde elde edilen fomülasyona tes sonuçlaa ulaşmıştı. Daha sona yapılan çalışmalala pimati çubulaın uçlaına uygulanan uvvet çiftleiyle buulma pobleminin doğu çöümü Saint- Venant 4 taafından veilmişti. Günümüde yapılan son çalışmalaa öne olaa Egüven in homojen olmayan aynı amanda yanal iotop olan daiesel esitli çubuğun buulma yülemesi altında ii boyutta modellemesi veilebili. Egüven çalışmasında yanal iotop fibe-ompoit malemeden yapılmış atı çubulada G ayma modülünü ve elasti sabitleinin bi fonsiyonu olaa G fomunda tanımlamatadı. Denge denlemi geilme fonsiyonu cinsinden iinci metebeden bi ısmi difeansiyel denlem fomunda oluştuulmuştu. Bu ifadeye geilme-biim yedeğiştime ifadeleinin içeinde ye alan biim ye değiştimelein geilme fonsiyonunun simeti bi fonsiyon olan cosh hipeboli fonsiyonu cinsinden ifadesinin tanımlanaa yeleştiilmesi ile ulaşılmıştı. Aşağıdai bölümde τ τ ayma geilmesine ait denlemle yanal iotop fibe ompoit atı silindii çubuğun buulma etisi altında ısaca açılanaa gösteilmişti. Egüven in çalışmasındai yöntem biim çalışmamıda üç boyutta en genel ifadelein tanımlanmasına taban teşil edee ullanılmıştı Konalı... Homojen Olmayan Yanal İotopiye Sahip Fibe Yapılı Silindii Kompoit Katı Çubuğun Buulma Yülemesi Altında İi Boyutta Analiti Modellemesi Esenel simetiye sahip buulma defomasyonu tanımlamalaı Egüven silindii oodinatlada α / α α µ / µ α ve µ µ µ paameti dönüşüm eşitlileinin ullanılması ile oodinatlaına bağlı olaa ifade edilmişti Konalı. Buada sabit bi sayıdı. Bu döşümlede göülmete olan µ ve µ cosh hipeboli fonsiyonun ve elasti sabitlein ifadeleini oluştuan denlemlein çapanla halindei sabit atsayılaıdı. İleide göüleceği gibi bu dönüşümle sayesinde denge denlemi simeti bi yapı aanaa iinci metebeden ısmi bi difeansiyel denlem fomuna gelmetedi ve buadan analiti olaa Bessel fonsiyonlaına bağlı olaa çöülebilmetedi. Fomülasyonda teğetsel yöndei sıfı olmayan te ye değiştime vetö bileşeni olan u u ve oodinatlaının bi fonsiyonudu. Kayma geilmesi-biim yedeğiştime ifadelei ve ayma modülü tanımlamalaıyla fonsiyonel fomda ifade edili. Böylece 7 ve 8 denlemleine ulaşılmatadı. ayma modülü oodinatlaına bağlı olan çubu yanal esiti üeinde notadan notaya bağlı bi fonsiyonun ifadesi şelindedi. Böylece bu tanımlama sayesinde mio düeyde maleme sabitleini açılama da mümün olabileceti. Ayıca aşağıda belitildiği üee diğe ii sabit olan ye bağlı bi fonsiyonudu. Bu aşamada bilinmiyenle µ µ ve geilme fonsiyonu in de diate alınmasıyla yedi olaa belilenebili. Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. ilt 9 No 4

4 E. Günay ve S. Konalı Yanal İotopi Fibe Kompoit Çubulada Buulma Yülemelei İçin Yeni Fomda Kayma... u u τ 7 u τ / 8 Yuaıda veilen 7 ve 8 denlemleinde τ τ aşılılı olaa adyal doğultudai yüey nomalinin tanımlandığı silindii yüeylee aşılı gelen biim alanla üeindei teğetsel ayma ve nomal vetöü esenine paalel olan daiesel esitli yanal yüey üeindei açısı yönündei ayma geilmeleidi. Silindii oodinatlada tanımlanan denge denleminde EK-A 7 ve 8 denlemlei yeleine yaılısa; τ τ τ 9 bulunu. ve ayma modülü tanımlamalaı ve denlemleinde cos h fonsiyon tanımlaması yadımıyla yapılmıştı Şeil. µ cosh µ cosh Çevimsel yönde tanımlanmata olan u u yine hipeboli cosh fonsiyonu sayesinde denlem dei gibi ifade edilmişti. u cosh Tanımlanan yedeğiştime fonsiyonu biim defomasyon tanımlamalaında ve onlada geilme ifadeleiyle bilite denlem 9 ile veilen denge deleminde yeleine onduğunda il olaa denge denlemi teğetsel yedeğişimlei u u cinsinden denlem de göüldüğü gibi oluştuulu ve daha sona da denlem dei u cosh ifadesinin u yedeğişimi alan ifadeleinde yeinde ullanılması ile 4 numaalı denlem fonsiyonu cinsinden elde edili. u u u u u tanh 4 Bu aşamada Denlem 4 geilme fonsiyonu için çöüldüğünde τ τ ayma geilme ifadelei elde edileceti. Hoo anununda seçilen ompoit malemeye ait elasti sabitle ve in ve notasal oodinatlaına bağımlı bi fonsiyon fomunda tanımlandığı diate alınaa ayma geilmesi dağılımlaının bu ifadellee bağımlı olaa otaya çıacağı açıça göülebili. τ τ ayma geilmesi dağılımlaı aşağıda açılanmata olan analiti yöntem sonucunda elde edilen son fomuyla 6 ve 7 numaalı denlemlede veilmetedi. fonsiyonu Denlem 5 ve 6 da veilmete olan Hanel dönüşümleinin uygulanması elde edilmişti. Geeli işlemle aşağıda ısaca açılanmatadı. m H m f t f t f t s H f t m 5 t t f Hυ s H J υ υ Hυ f Hυ f s : s s f d 6 Tes hanel dönüşümü ile Denlem 7 ullanılaa Denlem 8 elde edili. Hυ f H f s H f s : s s f υ Hυ υ s J υ s d 7 Aşağıda 8 numaalı denlemde göülmete olan integalin değei s paametelei cinsinden oluştuulu. Bu eşitliği gö önüne aldığımıda ve Denlem 4 içeisinde değişenine göe biinci deeceden hanel dönüşümü uygulandığı aman; Şeil. x in π aalığındai değelei için cos h x fonsiyonunun x f x gafiği 4 Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. ilt 9 No 4

5 Yanal İotopi Fibe Kompoit Çubulada Buulma Yülemelei İçin Yeni Fomda Kayma... E. Günay ve S. Konalı H H H tanımlaması ile H eşitliği bulunacatı. Bu değele Denlem 4 de yeine yaılaa Denlem 9 elde edilmişti. J H H υ H s s d s s 8 9 Yuaıdai denlemlede göülmete olan iinci deeceden ısmi tüevle ye göe alınmata olup Denlem 4 s ve ın da fonsiyonu onumundadı. Bu denlemin ölei m ve m ise; m α m α m α α s α s H olu. Buada çöüm α nın cinsinden aşağıdai fomda oluştumuştu. H α α e De s / s / H e D e Denlem e tes Hanel dönüşümü uygulandığı aman elde edeceğimi fonsiyon geilme fonsiyonu olacatı ve Denlem 4 de veilmetedi Konalı. s s De / / J s ds s e s cosh se 4 u J s ds 5 Denlemlede f s / H υ Henel dönüşümünü J v s J s v inci ve biinci metebeden Bessel fonsiyonlaı Ganino ve Theesa Hildeband Spiegel 4 olup ve D ise dönüşümle sıasında otaya çıan ii sabitti. Denlem 5 den yaalanılaa aşağıdai 6- denlemlei yadımıyla geilme dağılımlaına ulaşılmış olacatı. µ u τ µ cosh α 6 α µ u τ µ cosh 7 τ sinh cosh µ cosh cosh s s s e / e s / s / J s ds J s ds 8 τ µ cosh cosh s e / s J s ds / s J s s e ds cosh 9 τ s J s µ cosh s e J s ds J s sj s J s Geilme dağılımlaı τ ve τ Denlemle ve ile sinh ve cosh cinsinden tanımlanmış olacatı. τ µ s sinh s e s / J s ds / cosh / s τ µ cosh s s e J s ds 4. EN GENEL FORMDA HOMOJEN OLMAYAN YANAL İZOTROPİK FİBER-KOMPOZİT ÇUBUĞUN BURULMA YÜKLEMESİ ALTINDA KAYMA MODÜLÜ MODELLEMESİ Yanal-iotopi fibe ompoitle bibileinden bağımsı beş elasti sabit ile tanımlanmatadıla Gibson 5. Bunun yeine bu çalışmamıda en genel duumda içeilen onbi elasti sabit ile başlıyaa yanal iotopi ompoit yapı tanımlanmaya çalışılmıştı. Yedeğişimi fonsiyonlaı bibileine di ii esen boyunca u v cosh ifadesi ile ifade edilmişti Ugual 7. Katı silindii çubuğun he esiti üeinde oluşmata olan geilme-biim uama denlemlei en genel halde Denlem 4 ve Denlem 5 de göüldüğü gibi tanımlanmıştı. τ c4 ε c4 ε c4 ε 4 c c c τ c6 ε c6 ε c6 ε 5 c c c Buada onbi bibileinden bağımsı elasti sabit ijl veya ML indes notasyonunda göülmetedi. Bu ifadelei biim şeil değiştime - yedeğiştime tanımlamalaını da ullanaa EK-A denge denlemleinde yeine oyduğumuda aşağıdai Denlem 6 elde edili. Daha önce buulma Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. ilt 9 No 4 5

6 E. Günay ve S. Konalı Yanal İotopi Fibe Kompoit Çubulada Buulma Yülemelei İçin Yeni Fomda Kayma... 6 Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. ilt 9 No 4 yülemelei onusunda yapılan çalışmalada ε ε biim şeil değiştime ifadelei denlemlee iotopi yapının öelliği ve yüeylein buulma yülemesinden sona yine dülemsel alacağı abulü ile çapılmanın olmaması nedeniyle dahil edilmemişti. cosh tanh cosh cosh tanh cosh tanh tanh cosh cosh tanh tanh cosh cosh tanh cosh cosh cosh tanh cosh Buada sıasıyla geilme ve buulma fonsiyonlaıdı EK-A Denlem A4-A6. Denlem 6 nın aşağıdai fomda yeniden yaılması ile genel bi ifade haline getiilmişti Konalı. X IX VIII VII VI V IV III II I 7 Denlem 7 içeinde göülmete olan I II III IV V VI ve VII VIII IX X paantelei içeisindei ifadelein açı yaılışlaı E-A ısmında Denlemle A9-A8 ile ete veilmetedi. Uygun bi geilme fonsiyonu seçebilme için abulle yapılmıştı Denlem 8. Öneğin silindiin ota meeinden geçen ve -esenine paalel esit alındığı aman oluşacağını belediğimi didötgen alanlaın bu esen etafında o 6 döndüülmesi ile oluşaca silindilein yanal iotop yapıyı oluştuan silindii fibe ve matis atlı yapıyı oluştuduğu düşünülmüştü. Buna uygun olaa seçilen geilme fonsiyonu aşağıdai gibi olup Şeil ileide açılanmata olan sını şatlaını en uygun şeilde sağlamatadı. Şeil de paaboli fonsiyonun gafiği öne olaa ve aalılaında alınaa gösteilmişti. L K R K 8 Buada K K sabit çapanla R iç ve dış yaıçap oodinatlaı L ise çubuğun toplam uunluğudu. Bu poblemde uygulanmata olan ompoit maleme yanal iotopi maleme olup 8 denlemi ile tanımlanaa ifadenin bütün yanal esitlede geçeli olduğu abul edilmetedi. Veya diğe bi deyişle he esitinde silindii çubuğun daiesel esitli yanal yüeyleindei paameteleine bağlı olan maleme sabitleinin hep aynı alması beleneceti. Bu malemeye öne olaa yüey fibe eğilei yaş eğilei hep aynı alan ağaç numunelei gösteilebili. Buulma pobleminde seçilen geilme fonsiyonu Denlem 9 ve Denlem 4 ile veilen sını şatlaını sağlamalıdı. Bunladan ili dış yüey üeinde R fonsiyonunun sıfı veya sabit bi

7 Yanal İotopi Fibe Kompoit Çubulada Buulma Yülemelei İçin Yeni Fomda Kayma... E. Günay ve S. Konalı Şeil. Geilme fonsiyonunun yüeysel gafiği değee eşit olması şelinde aşağıdai gibi veilee açılanabili. ± R ; 9 ± L ; 4 Ayıca bunlaa e olaa bihamoni denlemin silindii oodinatladai aşağıdai ifadesinin sağlanması ana şatladan biidi. 4 4 Bunlala beabe yuaıda ve fonsiyonlaının cinsinden göülmete olan 7 numaalı denlem paçalanaa üç geometi paamete cinsinden üç tane bağımsı uncoupled difeansiyel denlemle gubu fomunda oluştuulmuştu. Öneğin; F F F F fomundai bu fonsiyona bene bi ifade guplandıılaa göülmüş olacatı. Böylece bu çalışmada üç ayı fonsiyon bibileinden linee bağımsı olaa çöülebili hale getiilmişti. Şeil den de göüldüğü gibi fonsiyonu iinci deece paaboli bi yüey oluştumatadı. Bu eği yüey çubuğun eseni boyunca dan esit alınmasıyla elde edilen yüey olup 6 açı aalığında silindi ana eseni etafında çevilmesiyle atı silindi çubuğun maleme dağılımına ait geometi şelini ifade etmetedi. yüeyinin en baştan daiesel esit olaa alındığı belitilmişti. Elipti esitli çubulaın geilme fonsiyonu Denlem 4 gibi olacatı Ugual 7. Elipti ve daiesel esitin buulma poblemindei faı daiesel esitli çubulada çapılma fonsiyonunun doğudan sıfıa eşit olması ile açılanabili. x x c a b 4 G 4 Çünü daiesel esitli çubula esenel simetiye sahiptile ve buulma sonucunda çapılmala Ugual 7. Denlem 4 yi 4 denleminde yeinde uygulayaa; a b c G c G a b a b c sabiti çöülü. Daie esitli çubulada ab olduğu için Denlem aşağıdai gibi olacatı. 4 a a c G G a Bu denlemi utupsal oodinatlada yaabilme için aşağıdai işlemle geçeleştiilmişti. a a; c G Denlem ve x cos y sin eşitlilei Denlem 4 de yeine yaılaca olusa geilme fonsiyonu; Ga cos sin a 47 G a fomunda göüleceti. Buulma pobleminde 4 eşitliğinin G sağlanması geetiğinden yuaıda açılanan ifadelein ullanılması ile K G olması geetiği göülü. Denlem 7 nin yuaıdada açılandığı üee bibiinden bağımsı üç denlem gubuna ayılması geetiği düşünülee ve fonsiyonlaı paametelei cinsleinden ayı ayı guplandıılaa ayılmıştı. K ; K ; K ; K ; I II III IV V VI Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. ilt 9 No 4 7

8 E. Günay ve S. Konalı Yanal İotopi Fibe Kompoit Çubulada Buulma Yülemelei İçin Yeni Fomda Kayma... I II III 5 IV V VI 5 Böylece 8 ve 48 denlemlei 5 ve 5 numaalı denlemin içeisinde uygulanaa aşağıda veilen ii ana gup denlem yeni K K K veya sabitlei cinsinden aşağıdai gibi elde edilmişti. R III I II K / K 5 L III IV V K / K 5 Bu denlemlein elde edilmesiyle yüey fonsiyonlaına ait gafile çiilee ayma modülünün maleme sabitleinin he notadai belili yönlü doğultulaında tanımlaması sağlanmıştı. Öne olaa çiilen Şeil 5 ve Şeil 6 dai ii gafiğin bileştiilmesiyle üç boyutlu göüntüsü olan Şeil olaylıla oluştuulabili. Üç boyutlu uygulamaya diğe bi öne 8 aalığında çiilen geilme fonsiyonunun olaa seçilmesi ile Şeil 4 ile veilmetedi. Guplanan denlemleden çapılma fonsiyonuna ait olan difeansiyel denlem Denlem 54 de göüldüğü gibi tanımlıdı Şeil 4. K R K L geilme fonsiyonunun 8 aalığında üç boyutlu dağılım gafiği f Şeil 5. f fonsiyonunun ompoit maleme değişiminin -adyal yönde gafisel tanımlaması f Şeil 6. f 7 fonsiyonunun ompoit malemenin değişimi anlamında eseni boyunca gafisel tanımlaması 8 Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. ilt 9 No 4

9 Yanal İotopi Fibe Kompoit Çubulada Buulma Yülemelei İçin Yeni Fomda Kayma... E. Günay ve S. Konalı VII VIII IX 54 X K τ c4 cosh K R K L c4 cosh c K tanh K R cosh K L o 55 c K tanh K R cosh K L o K K R K L c cosh cosh K K R K L τ c6 c6 cosh cosh c K tanh K R cosh K L o c K tanh K R cosh K L o K K R K L c cosh cosh Geilme-biim defomasyon ifadelei Denlemle 55 ve ile cosh ve tanh cinsinden tanımlanmıştı. 5. SONUÇLAR Homojen olmayan malemelein üeinde uygulanmata olan standat ayma ve buulma testlei yalnıca otalama ve yalaşı E G elasti sabit değelei vemetedi ve bu nedenle de otalama bi ayma modülü değei olduğu abul edilmetedi. Çünü bu onuda yapılmata olan testlede otalama ayma modülünün test numunesinin geometisine ve testin çeşidine çeme/buulma/ ayma bağlı olduğu bilinmetedi. Dünyada yapılan bu onudai analiti çalışmalada ince cidalı tüplein değişi geometilei için denlemle otalama değelei veece şeilde çıaılmıştı Stoes 4. Ayıca bu çalışmalada elde edilen fomülasyonlaı da guplama geemetedi. Öneğin i oodinat bağımlı notasal değelee göe değişili gösteen otalama ayma modülü fomülasyonlaı G x y ii fibe yapılı yanal iotop yapıya sahip ompoitle için tanımlamala Egüven iii fibe ompoit poblem tanımlamalaına bağlı çöümlemele Johnson 6 Ting 7 Matynovich 8 Kadomateas 9 Zidi Senitsii Reissne hui ve Smith olaa guplandıılaa öetlenebili. Bu çalışmada elastisite matisinde ve buulma yülemesini tanımlamata olan elasti sabitlein içeisinde bulunduğu geilme-biim şeil değiştime ve denge denlemleinde sıasıyla uygulanmasıyla genel ayma modülü fomülasyonlaı çıaılmıştı. Böylece yanal iotopi yapıdai elyaf taviyeli ompoit malemeden yapılmış ijit silindii buulma çubu esitleinde oluşmata olan geilme dağılımlaına daha doğu bi yalaşımla ulaşılabilili sağlanmış olmatadı. İleide yapılaca e sayısal ve deneysel çalışmalala yeniden oluştuulmuş olan τ τ denlemlei çubu esitleinde oodinat tanımlı olaa veebileceti. KAYNAKLAR. Stoes V.K. Design with Nonhomogeneous Mateials-Pat II: Tosion of Thin-Walled Pismatic Bas ASME Jounal of Vibation Acoustics Stess and Reliability in DesignVol Bili G. Solid Mechanics ouses I-II Undegaduate Lectue Notes Eng. Sci. Dept. METU Anaa Yaaşı.A. Tosional Elasticity Fomulations fo Defomation of Nonhomogeneous Bas and Liteatue Suvey on omposite Type Beams and Plates Gaduation Poject G.U. Mech. Eng. Dept. Anaa. 4. StoesV.K. Design with Nonhomogeneous Mateials-Pat I: Pue Bending of Pismatic Bas ASME Jounal of Vibation Acoustics Stess and Reliability in Design Vol Timesheno S.P. Goodie J.N. Theoy of Elasticity d. Ed. McGaw-Hill New Yo Oden J.T. and Rippege E.A. Mechanics of Elastic Stuctues nd ed. McGaw-Hill New Yo Ugual A.. Fenste S.K. Advanced Stength and Applied Elasticity d.ed. Pentice Hall. PTR New Jesey oulomb Histoie de l Academie Pais 787. Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. ilt 9 No 4 9

10 E. Günay ve S. Konalı Yanal İotopi Fibe Kompoit Çubulada Buulma Yülemelei İçin Yeni Fomda Kayma Navie Ressume des Leçons su I Application de la Mécanique d.ed. Pais Edited by Saint- Venant Egüven M.E. Tosion of a Nonhomogeneous tansvesely isotopic half-space Lett. App. Engng. Sci Konalı S. Buulma Yülemesi Altındai Yanal-İotop Malemeden Yapılmış Daiesel Kesitli Çubulada Kayma Modülünün Matematisel Modellemesi Gai Üniv. Fen Bilimlei Enstitüsü Yüse Lisans Tei Anaa Temmu.. Ganino A.K. Theesa M.K. Mathematical Handboo fo Scientists and Enginees nd Ed. Mc-Gaw Hill New Yo Hildeband F.B. Advanced alculus fo Applications nd Ed Pentice-Hall New Jesey Spiegel M.R. Matemati Fomüllei Tablolaı El Kitabı Bilim Teni Yayınevi Esişehi Gibson R.F. Pinciples of omposite Mateial Mechanics McGaw-Hill Inc. Singapoe Johnson A.F. Bending and Tosion of Anisotopic Beams Int.J.Solids Stuctues Vol Ting T..T. Pessuing Sheaing Tosion and Extension of a icula Tube o Ba of ylindically Anisotopic Mateial Poc. R. Soc. Lond. A Vol Matynovich B.T. Matynovich T.L. Use of Integal Equations in the Solution of Poblems of Tosion of Rectilinea-Anisotopic Rods Iv. AN SSSR. Mehania Tvedogo Tela Vol.9 No. -8 Alleton Pess Kadomateas G.A. Theoy of Elasticity of Filament Wound Anisotopic Ellipsoids with Specialiation to Tosion of Othotopic Bas Jounal of Applied Mechanics Vol Zidi M. Finite Tosion and Sheaing of a ompessible and Anisotopic Tube Intenational Jounal of Non-Linea Mechanics Vol Senitsii Y.E. Dynamic Tosion of a Finite Anisotopic ylindical Laye Kuibyshev ivil Engineein Institute Piladnay Mehania Vol. No Reissne E. On a One-Dimensional Theoy of Finite Tosion and Flexue of Anisotopic Elastic Plates Jounal of Applied Mechanics Vol Li D.B. hui Y.H. Smith I. A Vibation- Based Method fo Detemining St.Venant Tosional and Waping Stiffnesses of Membes with Open oss-sections Ameican Society fo Testing and Mateials EK-A Üç paamete için abu-mee sin-coe modelde ince cidalı şaftın buulma yülemesi altındai analiinde G ayma modülünün et alınlığıyla oantılı olaa ve çevimsel yönde değiştiği abul edilmetedi. Silindii abulu yapının yaıçap oodinatına bağlı otalama ayma modülü fomüllei aşağıdailedi; β m m G G s η η... A m GG c için η -η ve GG s için -η η G G β β / A s η... Gc G s Silindii oodinatlada denge denlemlei; σ τ τ σ σ τ τ σ τ τ σ τ τ A Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. ilt 9 No 4

11 Yanal İotopi Fibe Kompoit Çubulada Buulma Yülemelei İçin Yeni Fomda Kayma... E. Günay ve S. Konalı Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. ilt 9 No 4 Buulmada ye değiştime alan tanımlamalaı; sec cosh h u A4 sec cosh h v A5 w A6 Genel biim şeil değiştime-yedeğiştime ifadelei; u ε w ε u v ε v u v w v w u A7 Yanal-ototopi fibe-ompoit bünye denlemi; / ε ε ε τ τ τ σ σ σ A8 Denlem A8 ile veilen ifade ε σ Hoo anununu ifade etmetedi. I : cosh tanh cosh tanh cosh tanh cosh cosh tanh cosh A9 II : cosh tanh cosh tanh cosh cosh A III : cosh tanh cosh tanh cosh cosh 4 A

12 E. Günay ve S. Konalı Yanal İotopi Fibe Kompoit Çubulada Buulma Yülemelei İçin Yeni Fomda Kayma... Gai Üniv. Müh. Mim. Fa. De. ilt 9 No 4 IV : cosh cosh 4 A V : cosh cosh 6 A VI : cosh cosh A4 VII : A5 VIII : A6 IX : A7 X : A8