T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KUANTUM HALL OLAYI TABANLI ARAÇLARIN ÖZ-UYUMLU SİMÜLASYONU Teoman ÖZTÜRK DOKTORA TEZİ Fii Anabilim Dalı Hairan-01 KONYA Her Haı Salıdır

2

3 TEZ BİLDİRİMİ Bu tedei bütün bilgilerin eti davranış ve aademi urallar çerçevesinde elde edildiğini ve te aım urallarına ugun olara aırlanan bu çalışmada bana ait olmaan er türlü ifade ve bilginin anağına esisi atıf apıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I ereb declare tat all information in tis document as been obtained and presented in accordance wit academic rules and etical conduct. I also declare tat as required b tese rules and conduct I ave full cited and referenced all material and results tat are not original to tis wor. Tari: Teoman ÖZTÜRK

4 ÖZET DOKTORA TEZİ KUANTUM HALL OLAYI TABANLI ARAÇLARIN ÖZ-UYUMLU SİMÜLASYONU Teoman ÖZTÜRK Selçu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fii Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Ülfet ATAV Safa Jüri Prof. Dr. Ülfet ATAV Prof. Dr. Hüsein YÜKSEL Doç. Dr. Memet ŞAHİN Doç. Dr. Yusuf YAKAR Yrd. Doç. Dr. Berna GÜLVEREN Bu çalışmada arıileten elem araüelerde oluşturulan ii boutlu eletron gaı ullanılara üretilen baı Kuantum Hall olaı tabanlı araçların davranışı Tomas-Fermi alaşımı çerçevesinde öuumlu olara incelenmiştir. Hesaplamalarda sistemin eletrostati davranışını tanımlaan Poisson denlemi doğrudan saısal olara çöülmüştür. Poisson denleminin çöümü sonlu farlar öntemile apılmış eletron oğunluğu ve potansiel esaplamalarının ılandırılması için ardışı aşırı durulma ve multigrid öntemleri ullanılmıştır. Şiddetli magneti alan altında ii boutlu eletron gaında oluşan enar durumları ullanılara oluşturulabilen Kuantum Hall çubuğu Aaronov-Bom interferometresi ve Mac-Zender interferometresinin eletroni eşdeğerleri için eletron oğunluğu ve potansiel dağılımlarının ugulanan magneti alan ve apı gerilimi gibi çeşitli parametrelere bağlı davranışları arıntılı olara incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar literatürde bulunan sonuçlarla arşılaştırılmıştır ve sonuçların genel olara literatürdei denesel ve teori çalışmalarla uumlu olduğu görülmüştür. Öellile Aaronov-Bom interferometresinde Aaronov-Bom osilasonlarının gölemlendiği magneti alan aralığının ve interferometrenin çevrelediği alanın düşü apı gerilimleri için denesel çalışmalarda gölemlendiği gibi lineer olara arttığı faat daa üse gerilimlere doğru ilerlenmesi alinde esaplamalarımıda bu lineerliğin abolduğu gölemlenmiştir. Maalesef bu bölgede arşılaştırma apılaca denesel veri bulunamamıştır. Anatar Kelimeler: Aaronov-Bom interferometresi ii boutlu eletron gaı uantum Hall olaı Mac-Zender interferometresi Tomas-Fermi alaşımı. iv

5 ABSTRACT P.D THESIS SELF-CONSISTENT SIMULATIONS OF QUANTUM HALL EFFECT BASED DEVICES Teoman ÖZTÜRK THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF DOCTOR OF PHILOSOPHY IN PHYSICS Advisor: Prof. Dr. Ülfet ATAV Pages Jur Prof. Dr. Ülfet ATAV Prof. Dr. Hüsein YÜKSEL Assoc. Prof. Dr. Memet ŞAHİN Assoc. Prof. Dr. Yusuf YAKAR Asst. Prof. Dr. Berna GÜLVEREN In tis stud some Quantum Hall effect based devices realised using te two dimensional electron gas formed on te semiconductor junction interfaces were investigated b using Tomas-Fermi approimation in a self consistent manner. Poisson equation wic describes te electrostatics of te sstem was solved numericall using te finite difference metod and in order to speed up te calculations of electron densit and potential profiles succesive over relaiation and multigrid metod were emploed. Quantum Hall bar and electronic equivalents of Aaronov-Bom interferometer and Mac-Zender interferometer can be realied b using te edge states formed in a two dimensional electron gas under ig magnetic fields. We ave investigated in detail ow te electron distribution and potential profiles depend on various parameters suc as te applied magnetic field strengt and te gate potential in quantum in tese devices. Obtained results were compared wit tose found in te literature and it was observed tat te results in general agree ver well wit bot teoretical and eperimental ones found in te literature. Especiall te magnetic field range for te observation of Aaronov-Bom oscillations and te area enclosed b te interferometer were observed to increase linearl b te applied gate voltage in te low voltage region. Tis beaviour is consistent wit te eperimental results owever as te gate voltage is increased our calculations predict tat tis linear beaviour diappears. Unfortunatel we could not reac to an eperimental data in tis range to mae a comparison. Kewords: Aaronov-Bom interferometer Mac-Zender interferometer quantum Hall effect Tomas-Fermi approimation two dimensional electron gas. v

6 ÖNSÖZ Selçu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Dotora tei olara sunulan bu çalışmada düşü sıcalı ve üse maneti alan altındai uantum Hall olaı tabanlı araçlardai eletron oğunluğu ve potansiel teori olara incelenmiştir. İi boutlu eletron gaında gölenen Kuantum Hall olaında oluşan enar durumları eletron demetine ve ışığa benetilere baı interferometreler çalışılabilir. Bölece uantum meaniğinde ve optitei baı ilginç olaların uantum Hall olaı ardımıla inceleme fırsatı doğar. Bi de bu çalışmamıda bu interferometrelerin uantum Hall olaı altındai benerlerini teori olara inceledi. Bu çalışmanın son ıllarda büü bir ıla gelişen nano tenolojidei denesel çalışmalara ışı tutabileceği anaatindei. Sadece bu çalışma süresince değil anı amanda tüm aademi arierim bounca benden maddi ve manevi ardımlarını ve destelerini esirgememiş olan danışmanım saın Prof. Dr. Ülfet ATAV a sonsu teşeürlerimi sunarım. Kuantum Hall olaı üerine çalışma amacıla Prof. Dr. Hüsein YÜKSEL Prof. Dr. Ülfet ATAV Arş. Gör. Dr. Amet Emre KAVRUK Arş. Gör. Teoman ÖZTÜRK Arş. Gör. Alptein YILDIZ ve Abdulla ÖZTÜRK den oluşan bir grup oluşturulmuştur. Bu grupla bilgilerini ve tecrübelerini palaşan maddi ve manevi ardımlarını esirgemeen saın Prof. Dr. Hüsein YÜKSEL e şüranlarımı sunarım. Grubun diğer elemanlarından başta Arş. Gör. Dr. Amet Emre KAVRUK olma üere Arş. Gör. Alptein YILDIZ ve Abdulla ÖZTÜRK e de büü garetleri ve ardımları nedenile teşeürlerimi sunarım. Arıca bu onudai geçmiş deneimlerini bilerle palaşara bu çalışmaa başlamamıa vesile olan Doç. Dr. Tuğrul HAKİOĞLU Doç. Dr. Afif SIDDIKİ ve Prof. Dr. Rolf R. GERHARDTS a da teşeürlerimi sunarım Te çalışmam bounca bilerden ardımlarını esirgemeen saın Doç. Dr. Memet ŞAHİN e saın Yrd. Doç. Dr. Berna GÜLVEREN e ve tüm S. Ü. Fii Bölümü elemanlarına da teşeürü borç bilirim. Bu çalışmada S. Ü. Bilimsel Araştırma Projesi (BAP) Koordinatörlüğünce destelenen numaralı projeden alınan aılımlarla numaralı projeden alınan Sun Fire X00 maineler ullanılmıştır. Bu ardımlarından dolaı S.Ü. BAP Koordinatörlüğüne teşeür ederim. Son olara benden destelerini esirgemeen sevgili aileme de ço teşeür ederim. Teoman ÖZTÜRK KONYA-01 vi

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER... vii SİMGELER VE KISALTMALAR... i 1. GİRİŞ KLASİK HALL OLAYI Klasi Hall Olaının Açılanması Drude Modeli Maneti Alanda Hareet KUANTUM HALL OLAYI Serbest Eletron Modeli Enerji Bant Modeli İi Boutlu Eletron Gaı Landau Sevieleri Dolulu Çarpanı Gerçe Sistemlerde Tamsaı Kuantum Hall Olaı Kenar Durum Modeli KUANTUM HALL OLAYI TABANLI ARAÇLAR Kuantum Hall Çubuğu Aaronov-Bom İnterferometresi Mac-Zender İnterferometresi SİSTEMİN ELEKTROSTATİĞİ VE SAYISAL YÖNTEMLER Tomas-Fermi Yalaşımı Ardışı Aşırı Durulma Yöntemi Multigrid Yöntemi SONUÇLAR Kuantum Hall Çubuğu İçin Sonuçlar Kuantum Hall Çubuğunun davranışına farlı apı gerilimlerinin etisi Kuantum Hall Çubuğunun Farlı Maneti alan şiddetlerindei davranışı Kuantum Hall Çubuğunun Farlı donor oğunlularındai davranışı Aaronov-Bom İnterferometresi İçin Sonuçlar AB İnterferometresi İçin Kapı Gerilimi Taraması vii

8 6... AB İnterferometresi İçin Maneti Alan Taraması Sııştırılama Şeritlerin Çevrelediği Alan ve AB Osilasonları Mac-Zender İnterferometresi İçin Sonuçlar MZ İnterferometresi İçin Maneti Alan Taraması MZ İnterferometresi İçin Gerilim Taraması DEĞERLENDİRME VE ÖNERİLER KAYNAKLAR... 9 ÖZGEÇMİŞ viii

9 SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler I : j : B : p : Aım Aım oğunluğu Boltmann sabiti Çigisel momentum : Dalga vetörü : Dalga bou : Dalga fonsionu m : Deşiğin ütlesi : Dieletri sabiti : Dolulu Çarpanı i : Dolulu çarpanının tamsaı değeri n d : Donor oğunluğu : Durulma amanı D (E) : Durum oğunluğu E : n e : e : E : * m : F : F : : g Eletri alan Eletron oğunluğu Eletron üü Enerji ödeğeri Etin ütle Fermi enerjisi Fermi üresi arıçapı Grup ıı E H : Hall eletri alanı V H : Hall gerilimi H n : Hermite polinomu : İndirgenmiş Planc sabiti : Kimasal potansiel m : Eletron ütlesi : Maneti aı 0 : Maneti aı uantası B : Maneti alan l : Maneti uunlu n e : Ortalama eletron oğunluğu a : Örgü sabiti : Ödirenç : Öiletenli : Planc sabiti V : Potansiel * V : Poisson denleminin gerçe çöümü V : Poisson denleminde deneme çöümle gerçe çöüm arasındai far i

10 U : c : T : g : s G : N : o Potansiel enerji Silotron freansı Sıcalı Spin dejenereliği Ters örgü vetörü Toplam eletron saısı A : Vetör potansieli R K : von Kliting direnci q : Yü V g : Kapı gerilimi S m : Sııştırılama şeritlerin çevrelediği alan B : Maneti alana bağlı osilasonların periodunun büülüğü Kısaltmalar BEG: AAD: AB: CSG: KG: KKHO: KHO: MZ: MOYAET: MDE: SOR: TF: İi Boutlu Eletron Gaı Ardışı Aşırı Durulma Aaronov-Bom Clovsii-Slovsii-Glaman Kapı Gerilimi Kesirli Kuantum Hall Olaı Kuantum Hall Olaı Mac-Zender Metal Osit Yarıileten Alan Etili Transistör Moleüler Demet Epitasi Succesive Over Relaation Tomas-Fermi

11 1 1. GİRİŞ Hall Olaı; 1879 ılında bir üniversite öğrencisi olan E. H. Hall ın maneti alan içindei aım taşıan bir telde maneti alanın tele mi osa aıma mı etidiğini mera etmesile başlamıştır. Bir dene düeneği tasarlaara maneti alan içinde aım taşıan telde em aım önüne em de maneti alana di bir potansiel far oluştuğunu gölemiştir (Hall 1879). Bu potansielin ugulanan aıma oranı da Hall direnci vea enine direnç olara adlandırılır. Hall direnci normal sıcalılarda ugulanan maneti alanla doğru orantılı olara artar. Bu olaın Hall tarafından eşfedilmesinden alaşı bir asır sonra eterince düşü sıcalılarda bu direncin basamalı bir apıda olduğu gölemlenmiş ve 1980 ılında K. von Kliting enine dirençte gölenen bu platoların R H / i e şelinde uantumlu olduğunu göstermiştir (von Kliting ve ar. 1980). Burada Planc sabiti e eletronun üüdür ve i de dolulu çarpanının tamsaı değeridir. Buna göre / e değeri evrenseldir ve 1990 ılından beri direnç standardı olara ullanılmatadır. Kuantum Hall Olaı (KHO) olduça düşü sıcalılarda ve üse maneti alan altında Silisum atılı Metal Osit Yarıileten Alan Etili Transistör (Si-MOYAET) ün transport öellileri inceleniren eşfedilmiştir. Düşü sıcalı ve üse maneti alan altında Si-MOYAET apısının davranışının incelenmesi önünde il ölçümler Fowler ve ar. (1966) tarafından apılmıştır. Agıt üretimindei gelişmeler saesinde Si-MOYAET de ii boutlu eletron sistemleri elde edilebilmiş (Kawaji ve ar. 1975) ve bu tür apılarda Hall direnç platoları gölenmiştir (Englert ve von Kliting 1978). Anca Hall platolarını e temel değerine göre anali etme firi von Kliting den gelmiştir (von Kliting ve ar. 1980). Bu eşfile K. von Kliting 1985 Nobel fii ödülünü almıştır. KHO nın Si-MOYAET de eşfinden emen sonra bener ölçümler AlGaAs/GaAs eteroapıları için apılmıştır (Tsui ve Gossard 1981). Ço daa üse maneti alanlarda ve ço daa düşü sıcalılarda (Tsui ve ar. 198) apılan denelerde direnç platolarının dolulu çarpanının basit esirli değerlerinde de gölendiği eşfedilmiştir. Dolulu çarpanının esirli değerlerinde Hall platolarının oluşumunu içeren olaa Kesirli Kuantum Hall Olaı (KKHO) denmetedir. KKHO nın anlaşılması önünde il teori çalışmalar ise Lauglin (1983) tarafından apılmıştır. Bu

12 çalışmaları sonucunda H. L. Störmer D. C. Tsui ve R. B. Lauglin 1998 Nobel fii ödülünü aanmışlardır. Tamsaı KHO onusunda il aınlanan maalelerde platoların neden oluştuğu açılanamamıştır. İl dönemlerde platoların varlığının Landau sevielerinde oluşaca olan erelleşmiş ve genişlemiş durumlardan analanabileceği düşünülmüştür (Lauglin 1981). Anca sisteme dışarıdan ugulanan potansiel esaba atılmamış olduğu için bu teori de etersi almıştır. Bir dış potansiel gibi değerlendirilebilece olan enar etilerinin gö önüne alınmasıla eletronların apının enarı bounca oluşan ve tam dolu Landau sevieleri arasında alan dar anallar içinde areet ettiği düşünülmüştür (Halperin 198). Daa sonra eletronların perdeleme etisinin atılmasıla etin eletrisel apının sııştırılama ve sııştırılabilir şeritlerin ara araa sıralanmasıla oluştuğu firi Beenaer (1990) ve Cang (1990) tarafından ortaa atılmıştır anca sııştırılabilir ve sııştırılama şeritlerin bu nitel tanımlamasında şeritlerin onum ve genişlilerinin nasıl elde edilebileceği üerine nicel bir alaşım verilmemiştir. Sııştırılama ve sııştırılabilir şeritlerin genişliğinin esaplarında Clovsii ve ar. (199) geliştirdileri eletrostati modelde problemi analiti olara çöere sııştırılabilir ve sııştırılama şeritlerin genişliğini ve onumunu nicel olara elde etmişlerdir. Clovsii ve ar. (199) nın öncü çalışmalarının ardından Gerardts ve aradaşları (Lier ve Gerardts 1994; O ve Gerardts 1997) bu esapları ö uumlu olara Tomas-Fermi alaşımı ile birleştirmişlerdir. Daa sonrai ıllarda daa gerçeçi esaplamalarda Hartree alaşımı (Güven ve Gerardts 003; Siddii ve Gerardts 004) ve Yoğunlu fonsioneli teorisi (Inatsena ve Zoouleno 006; Inatsena ve Zoouleno 008 a ) ullanılara sııştırılabilir ve sııştırılama şeritler detalı bir şeilde incelenmiştir. Tüm bu çalışmalarda etin olara bir vea ii boutlu Poisson denleminin çöümü basitleştirilmiş geometrilerde analiti olara ifade edilebilen Green fonsionları ullanılara apılmıştır. Gerçe üç boutlu sistemlerde Green fonsionlarının elde edilmesi ve Poisson denleminin saısal çöümü için ullanımı prati olara neredese imânsıdır. Bu sebeple şimdie adar geliştirilen alaşımların gerçe üç boutlu sistemlerde ullanılması pe olası göümemetedir. Yuarıda basi geçen enar analı terimi il başlarda esasında aımın atığı er olara belirtilmiştir. İi boutlu eletron gaında (BEG) oluşan sııştırılama ve sııştırılabilir şeritlerden angisinin aımı taşıdığı devamlı bir tartışma onusu olmuştur. Uun bir süre sııştırılabilir şeritlerin aımı taşıdığı ve sııştırılama şeritlerin bir alıtan gibi davrandığı ve enar analı olara da sııştırılabilir şeritler abul

13 3 edilmiştir. 000 li ılların başında apılan bir seri dene sonucunda (Alswede ve ar. 001; Alswede ve ar. 00; Weit ve ar. 000 a ; Weit ve ar. 000 b ) aımın sııştırılama şeritler bounca taşındığı ortaa onulmuştur. Bu sonuçlar teori olara Gerardts ve aradaşları tarafından doğrulanmıştır (Güven ve Gerardts 003; Siddii ve Gerardts 004; Siddii ve Gerardts 004; Gerardts 008 ). KHO il olara uantum Hall çubuğu adı verilen uantum telinde oluşan BEG üerinde gölenmiştir. BEG ii farlı arıileten arasındai araüede şeillenir. Böle bir apı genelde Moleüler Demet Epitasi öntemile büütülmetedir. Arıca sistemi sınırlama için imasal esme (etcing) vea gerilimle beslenmiş apı ullanılır. Bu sınırlandırmalarla farlı şeil ve geometrilerde oluşturulan enar anallarının eletron vea ışı demeti erine ullanılmasıla uantum meaniğinde ve optite arşılaşılan baı olaların uantum Hall olaına daanan benerlerini denesel olara göleme olasıdır. Bu tür düenelere uantum Hall olaı tabanlı araçlar adı verilir. Bunların en ço ilgi çeenleri Aaronov-Bom (AB) interferometresi ve Mac-Zender (MZ) interferometresidir. AB interferometresindei eletron demeti ve MZ interferometresindei ışı demeti erine uantum Hall rejimindei sııştırılama şeritler ullanılara bu interferometrelerin benerleri tasarlanabilir. MZ interferometresinin eletroni olara gölenmesi (Ji ve ar. 003) uantum Hall olaı tabanlı araçlara olan ilgii artırmıştır. Bu olaı taiben uantum Hall olaı tabanlı bir AB interferometresinde AB osilasonları denesel olara gölenmiştir (Camino ve ar. 005). Arıca literatürde uantum Hall rejiminde bu etii içeren teori çalışmalar da mevcuttur (Jain 1988; Büttier 1988). Yuarıda basedilen uantum Hall olaı tabanlı araçlarda sııştırılabilir ve sııştırılama şeritlerin uasal dağılımını belirleme için Poisson denlemini üç boutlu çöme gereir. Green fonsionları öntemile Poisson denleminin çöümü bir vea ii boutta öel sınır oşulları altında son derece basit geometriler için elde edilebilir. Daa armaşı geometriler içeren ugulamalarda Green fonsionlarının ullanımı imânsılaşır. Böle durumlarda Poisson denleminin doğrudan saısal çöümünün apılması daa ugulanabilir bir alaşım olacatır. Bu amaçla tüm sistem eterince arıntılı bir örgü (mes) ile temsil edilir ve Poisson denlemi bu örgü üerinde ugun bir saısal öntem ullanılara çöülebilir (Kavru 010). Anca böle bir alaşımla sistemin üç boutta bir örgüe bölünmesi sonucunda tüm esaplamaların ço büü saıda nota üerinde apılması gereir ve buna bağlı olara esaplama süresi ço büümetedir. Bu sebeple esaplama süresini aaltaca öntemlerin

14 4 ullanımı son derece önemlidir. Bu çalışmada Poisson denleminin saısal çöümünü ılandırma için ardışı durulma ve multigrid öntemleri ullanılmıştır. Çalışmamıda KHO nı ve bu olaa daanan araçların teori incelemesini apmaa ve bunların geometri eşdeğerlerinin ö-uumlu simülasonlarını elde etmee çalıştı. Bu dotora teinin II. bölümünde lasi Hall olaının ne olduğu ve angi temellere daandığı teori olara anlatılmıştır. III. bölümde Kuantum Hall olaının gölenebilmesi için gereli olan BEG ve Landau sevielerine değinilmiş ve olaı açılaabilece olan modeller anlatılmıştır. IV. bölümde teimiin adını oluşturan uantum Hall olaı tabanlı araçlar anlatılmıştır. V. bölümde bu tede ullanılmış olan saısal öntemlerden basedilmiş VI. bölümde ise uantum Hall olaı tabanlı araçlarda apılan esaplamalar ve sonuçlar ısmı verilmiştir. Son olara VII. bölümde ise değerlendirme ve öneriler verilmiştir

15 5. KLASİK HALL OLAYI.1. Klasi Hall Olaının Açılanması 1879 ılında E.H. Hall ın maneti alan içindei aım taşıan bir tel için maneti alanın tele mi osa aıma mı etidiğini göleebilme amacıla tasarladığı denede; bir maneti alan içine erleştirilen ileten bir telin er ii enarına galvanometrenin probları bağlanmıştır. Bölelile maneti alan aıma etirse bu aımı telin bir tarafına doğru sürüleece ve bölece tel üerinde enlemesine ölçülece gerilimde bir artışa sebep olacatır. Bu da telin enarlarına bağlanmış olan galvanometrede görülece bir sapmaa sebep olacatır. Hall başlangıçta denei gümüş bir tel ile aparen başarısı oldu bu nedenle ocası olan H. Rowland ileten tel erine ince altın apratan oluşan bir şeritle denei terarlamasını önerdi. Dene altın şerit ile terarlanınca maneti alanın etisi sonucunda galvanometrede alıcı bir sapma göledi. Bölece enarlar arasındai enine potansiel far bundan böle Hall gerilimi olara adlandırıldı ılında eletron avramı enü oen apılan bu açılama olduça iidir (Hall 1879). Hall olaı günümüdei teoriler çerçevesinde şöle ifade edilir: İçinden i aımı geçen ileten bir şerit ileten dülemine di önünde bir maneti alan içine erleştirildiğinde aım ve maneti alanın er iisine de di doğrultuda enine bir gerilim gölenir. Bu olaa Hall olaı oluşan V H gerilimine Hall gerilimi ve bu durumda enine oluşaca eletri alanına da E Hall eletri alanı denir. H B E H J E Şeil.1. Bir maneti alan altında içinden aım geçen ileten bir şerit

16 6 Şeil.1 de Hall olaı basit olara gösterilmiştir. Burada oluşan Hall alanı J B önündedir. Şeilde aım önünde aaren eletronlar önünde v ıı ile sürülenirler. Maneti alandai ülü parçacılara etien maneti uvvet q v B şelindedir. Buna göre bu ileten içindei q e ülü eletronlara etien uvvet q v B F B e vj ˆ Bˆ evbiˆ (.1) d B E H _ J Şeil.. Klasi Hall olaında iletenin an enarları arasında eletri alan oluşması olur. Bu uvvetin etisile eletronlar iletenin önünde saptırılırlar. Bu sapma sonucunda önünde negatif bir ülenme oluren önünde de eletron esiliğinden dolaı poitif bir ülenme oluşur. Bu ülenme sonucunda ararlı duruma geçildiğinde iletenin içinde önünde E H eletri alanı oluşur ve bu alan maneti alanın oluşturduğu uvveti dengeleece büülüte olur. Böle bir durum Şeil. de gösterilmiştir. Bu eletrisel uvvet F qe ee iˆ H H H şelindedir. Bunu büülü olara maneti uvvete eşitlerse (.) E H Bv (.3) şelinde V H olur. E H eletri alanı elde edilir ve neticesinde d genişlili iletende E d Bvd (.4) H

17 7 Yüleri -e olan parçacıların v ortalama ıı aım oğunluğuna J nev (.5) denlemile bağlıdır. Burada n birim acimdei ülü parçacı saısını vermetedir. Bu durumda Hall alanı E H 1 Bv JB ne olacatır. Buradai 1/ ne atsaısına Hall atsaısı denir. (.6).. Drude Modeli Diğer atılarda bulunmaan eletriği ve ısıı iletme genleşme şeil verilebilme ve parla üee saip olma gibi pe ço çarpıcı öellilerile metaller atılar dünasında olduça öel bir onuma saiptirler. Genelde arşılaşılan atıların çoğunluğu metal olmamasına rağmen atıal fiiğinin anlaşılmasında metaller önemli bir rol onamışlardır ılında J. J. Tomson un eletronu eşfi bilim dünasında ço büü bir eti aptı (Tomson 1897). Bu eşiften 3 ıl sonra 1900 ılında Paul Drude gaların ineti teorisini eletronları ullanara metallerdei iletim meanimasına uarladı (Drude 1900). Gaların ineti teorisinde ga moleülleri ödeş atı üreler olara abul edilir ve bunlar birbirilerile çarpışana adar ollarında dü ilerlerler. Te bir çarpışmada arcanan amanın imal edildiği varsaılır ve er çarpışma esnasında medana gelen uvvetler ariç içbir uvvetin parçacılar arasında rol onamadığı varsaılır. Drude modeline göre metali bir elementtei atomlar bir metal oluşturma için bir araa getirildiğinde atomlardai valans eletronları diğer atomların potansielleri nedenile opmuş ale gelir. Bu valans eletronları metal bounca serbestçe areet edebilirler. Bu opmuş serbest eletronların saısı adar poitif ülü ion oluşur. Bu modelde poitif ülü ionların areetsi olduğu düşünülür. Te bir atomun çeirdeği ez 0 üüne saip ise çeirdeğin çevresindei Z 0 tane eletronun üü ez 0 dır. Çeirdeğin bira ilerisinde de aıf bağlı valans eletronları Z tane olsun. Aradai Z 0 Z farına arşılı gelen eletronlar çeirdeğe nispeten daa güçlü bağlıdır ve or eletronları olara bilinirler. Atomlar metal oluşturma için bir araa geldilerinde or eletronları çeirdeğe bağlı alara metali ion şeli

18 8 oluştururlar. Anca aıf bağlı valans eletronları ait olduları atomdan ço uata geinirler. Metali apıda bunlar iletim eletronları olara adlandırılırlar. Bölece Drude gaların ineti teorisini iletim eletronları gaına ugulamıştır. Drude modelindei temel varsaımlar şunlardır: 1. Eletronların birbirlerile ve ionlarla etileşmesi imal edilir. Bölece dışarıdan ugulanan alanların varlığında er eletronun areeti Newton un areet anunları ile belirlenir anca diğer eletronlar ve ionlar tarafından üretilen ilave armaşı alanlar imal edilir.. Kineti teoridei gibi Drude modelindei çarpışmalar bir eletronun ıını sert bir şeilde değiştiren ani olalardır. Drude bu çarpışmaları eletronların içine girileme ion orlarından sıçraması olara düşünmüştür. 3. Verilen bir anda rasgele seçilen bir eletron bir çarpışmadan diğerine adar süresince areet edecetir. amanı durulma (relaation) amanı olara tanımlanır. Drude modelinin en basit ugulamalarında amanı bir eletronun ıından ve onumundan bağımsı alınır. Çoğu ugulama için bu olduça ii bir alaşımdır. 4. Eletronların çevrelerile termal dengee sadece çarpışmalar olula ulaştığı varsaılır. Her çarpışmadan sonra eletronun saip olacağı ı çarpışmadan öncei ııla ilişili değildir. Anca rasgele doğrultu ve ıa saip çarpışmalar çarpışmanın olduğu erde etili olan sıcalı ile orantılıdır (Ascroft ve Mermin 1976). Om asasına göre bir telde aan I aımı tel bounca ölçülen V potansieli ile orantılıdır. Burada telin direnci olan R telin boutlarına bağlı ien potansiel far ve aımdan bağımsıdır. Drude modeli bu davranışı esaba atar ve telin apıldığı metalin arateristi bir öelliği olan ve nicel olara ifade edilebilen ödirenç ullanılara direncin numune şeline olan bağımlılığı elimine edilir. Bu durumda ödirenci metalin içindei bir notadai eletri alan ve j aım oğunluğu arasındai orantı sabitidir ani E j (.7) şelindedir. j aım oğunluğunun büülüğü j vetörüne di birim alandan birim amanda geçen ü mitarıdır. Bölece eğer tedüe bir I aımı L uunlulu ve enine esit alanı A olan bir tel bounca aarsa aım oğunluğu

19 9 I j (.8) A olacatır. Tel bounca potansiel far V=EL olduğundan V EL jl IL / A (.9) elde edilir ve bölece Om anunundan V L R (.10) I A olur. Eğer birim acim başına n tane eletronun epsi v ııla areet ederse aım oğunluğu ile ı paralel olacatır. Daası bir dt amanında eletronlar v ııla bir vdt mesafesi adar ilerler ve bir A alanını geçen eletron saısı nvdta olacatır. Her eletron bir e üü taşıdığından dt amanında A ı geçen ü durumda aım oğunluğu I 1 dq 1 nevdta j nev A A dt A dt olur. nevadt olacatır. Bu (.11) Eletri alanın oluğunda eletronlar erangi bir önde areet edebilirler bölece iç eletrisel aım oğunluğu otur. Anca bir E eletri alanın varlığında alana ıt önde bir ı olacatır. Bir eletronun aptığı son çarpışmadan bu ana geçen süre t olsun. Eletronun çarpışmadan emen sonrai ıı v 0 a çarpışmadan sonrai t süresi içinde aanılan eet / m ıı elenir. Eletronun çarpışmadan sonrai ı dağılımının iotropi olduğunu varsaarsa v 0 ın ortalama ıa atısı olmaacatır. Ortalama ı bölece ee / m olur. burada ardışı çarpışmalar arasında geçen sürenin ortalaması olan durulma amanıdır. Bölece aım oğunluğu ne j E m (.1) olur. Ödirencin tersi iletenli olduğundan ( 1/ ) Bu denlem j E (.13) olur ve iletenli ne (.14) m olur.

20 Herangi bir t amanındai ortalama ı 10 p ( t) / m dir. Burada p eletron başına toplam momentumdur. Bölece aım oğunluğu p ( t) j nev ne (.15) m olur. t anında eletron başına momentumun p (t) ile verilditen sonra bir dt aman sonrai eletron başına momentumu p( t dt) ile esaplaalım. Rasgele alınan bir eletronun t anı ile t dt anı arasında çarpışmaa uğrama olasılığı dt / ien çarpışmaa uğramama olasılığı 1 dt / dur. Eletron çarpışmaa uğramasa da bir f (t) uvvetinin etisi altında f ( t) dt momentumu aanır. Bölece eletron başına ortalama momentum p ( t) f ( t) dt olur. t dt içindei çarpışmaa uğramaan eletronlardan gelece atı dt dt f ( t) p( t dt) 1 p( t) f ( t) dt p( t) f ( t) dt p( t) ( dt) (.16) olur p (t) sola alınıp er ii taraf dt ile bölünere ( dt ) 0 limitinde ortalama momentumun amanla değişimi için dp( t) p( t) f ( t) dt denlemine ulaşırı. (.17).3. Maneti Alanda Hareet Bir dış E eletri alanında ve önündei B maneti alanında e ülü eletrona etien Lorent uvveti F e E v B (.18) şelindedir. Drude e göre çarpışmalar oen eletronların davranışını tanımlaan (.17) denleminden dp( t) p( t) f ( t) (.19) dt olacatır. Bu uvveti Lorent uvvetine eşitlerse ve p mv aarsa dmv 1 mv ee ev B (.0) dt

21 11 olur. Kararlı durumda aım amandan bağımsı olur ve amana bağlı türevler sıfır olur. Burada maneti alanın eseni doğrultusunda olduğu gö önünde bulundurulursa ararlı durum için v ıının bileşenleri v v v e E m e E m e E m olur. Burada alnı bıraılırsa v v v e v B m e v B m (.1) eb / m parametresi c silotron freansı olara tanımlanıp E li terimler e c v E (.) m e c v E (.3) m e (.4) m E ifadeleri elde edilir. (.) denlemini c ile çarpıp (.) ve (.3) denlemlerini toplaalım. v c v ec E m Buradan v çeilere e E m ne ile çarpılırsa (.5) nev 1 ne c ne E E 1 m m c (.6) elde edilir. Bu ifadenin sol tarafı aım oğunluğu j nin bileşenidir ve burada ne 0 olara tanımlandığında m j nev 0 c E E 1 c elde edilir. Bener şeilde (.3) denlemini toplarsa j nin bileşenini elde ederi. j nev c 0 E c E 1 Tensör olara aım oğunluğu (.7) c ile çarpıp (.) ve (.3) ü (.8)

22 1 j j 1 c E 0 1 c c 1 E şelinde aılabilir. j E olduğundan buradai ifadesi (.9) 1 0 c 1 c c 1 (.30) şelinde iletenli tensörü olara adlandırılır. İletenliği tensör bileşenleri cinsinden (.31) şelinde aabiliri. (.30) ve (.31) denlemlerinin arşılaştırılmasıla 1 0 c elde edilir. Burada (.3) 0 c 1 c bouna iletenli Hall iletenliği olara adlandırılır. Bunların ardımıla ödirençler de bulunabilir. Ödirenç tensörünü bileşenleri cinsinden (.33) şelinde aabiliri. bileşenlerini 1 1 olduğundan (.33) matrisinin tersini alıp ödirenç şelinde bulabiliri. Bu ifadeden öiletenli ve ödirenç bileşenleri arasında ve bağıntıları elde edilebilir. (.34) (.35) 1 Bener şeilde ödirenç şelinde öiletenliğin tersi olduğundan 1 ifadesi bulunabilir. Buradan da ödirenç bileşenleri öiletenliler cinsinden ve şelinde elde edilir. (.36) (.37)

23 13 Şimdi varsaalım i bir I aımı didörtgen bir numune bounca asın. Böle bir apıda aım oğunluları denlem (.7) ve denlem (.8) dei gibidir. Gerçe bir numunede aım önünde çubutan çıamaacağı için j 0 alınır. Bölece denlem (.7) 0 c E E 1 0 (.38) olur. Buradan da E c c E (.39) olur. Bölece önündei aım oğunluğu j E E ce E c 1 c c 1 c c (.40) c şelinde elde edilir. (.40) denleminde c eb / m ve ne 0 / m ifadeleri erine oulursa j ne (.41) B E olur. Anı ifade E E için düenlenirse c E (.4) j E ( E ) 1 E 0 c c 0 0 c c c 1 1 ifadesi bulunur. j E şelinde aılabiliorsa E j şelinde aılabilir. Tensörlü olara bu ifade E E şelinde aılır. E j j (.43) j j (.44) E j j (.45) ifadelerinde j 0 ı oarsa E E j (.46) j (.47) bulunur Den.(.46) da Den.(.4) ullanılırsa

24 14 E E 1 m (.48) j E ne 0 0 olur. Diğer taraftan Den.(.47) de Den.(.41) ullanılırsa E E B (.49) j ne ne E B bulunur. Burada m ne (.50) bouna ödirenç görüldüğü gibi bir sabit ien B (.51) ne Hall ödirencidir. Bu ifadelerin maneti alanla değişimi Şe.. de gösterilmiştir. Buna göre Hall ödirenci olan B maneti alanı ile doğru orantılıdır. Denesel olara üse maneti alan altında ve düşü sıcalılarda bu ödirençlerin maneti alanla değişimi Şeil..b de gösterilmiştir (Jecelmann ve Jeanneret 001). Denlem.57 ve.58 in öngördüğünden farlı olara Hall direncinde basamalı bir apı göleniren bouna direnç basamalara arşılı gelen bölgelerde sıfırlanıp basama geçişlerinde masimumlar sergilemetedir. Böle farlı bir sonucun elde edilmesinin uantum meanisel olara açılanması bir sonrai bölümde ele alınacatır. a ) b) B Şeil.. a) Klasi Hall olaında bouna ( ) ve enine ödirençlerin ( ) maneti alanla değişimi. b) Bu ödirençlerin üse maneti alan altında ve düşü sıcalılardai değişimi (Şeil Jecelmann ve Jeanneret (001) den alıntılanmıştır.)

25 15 3. KUANTUM HALL OLAYI 3.1. Serbest Eletron Modeli. Bölümde ele alınan Drude modeli atıların eletrisel davranışlarını açılamata birço açıdan etersi almıştır. Bu etersililerin giderilmesi için Drude modelinin uantum fiiğile birleştirilmesile serbest eletron modeli geliştirilmiştir. Serbest eletron modelinde eletronlar sonlu derinlitei bir are potansiel içinde bağımsı olara areet eden parçacılar olara düşünülür. Bu modelde ileten içindei eletronlar serbest parçacıların oluşturduğu bir ga gibi davranır. Arıca eletronlar arası etileşmeler imal edilir. Eletronların içinde bulunduğu uuu oordinat sisteminde bulunan L enarlı ve V acimli bir üp olara düşünelim. Üç boutta serbest parçacılar için Scrödinger denlemi m r r (3.1) olur. Her bir enarı L olan bir üp içindei eletronların dalga fonsionu için periodi sınır oşulları L L L olur. Bu oşullar altında Scrödinger denleminin çöümü (3.) 1 ir ( r) e (3.3) N ifadesi şelinde ilerleen dülem dalga apısında olurlar. Burada N normaliason atsaısıdır ve bu dalga fonsionları (3.) denlemindei periodili oşulunu sağlamalıdır. için: ( L ) e i ( L ) ( ) e i L e i ( ) e i L ( ) (3.4) i Burada periodili şartının sağlanabilmesi için L e 1olmalıdır. n bir tamsaı i n olma üere e 1 olduğuna göre L n olacağı olaca görülür. Diğer bileşenler içinde bener sonuçlar elde edilir ve n n n tamsaılar olma üere dalga vetörünün bileşenleri

26 16 n n n (3.5) L L L şelinde verilir. uaındai dalga vetörleri / L ile ölçelidir. İi boutlu durum Şeil 3.1 de gösterilmiştir. Burada birim nota başına acim ( L 3 / ) ile verilir. L Şeil 3.1. İi boutlu uaındai notalar. Burada birim nota başına alan ( / L) dir. Den.(3.3) ile verilen dalga fonsionu (3.6) m m enerjisine ve p (3.7) momentumuna arşılı gelir. Dalga vetörünün büülüğü ile dalga bou arasında / ilişisi vardır. Kuantum meaniğinde p çigisel momentumu i Denlem (3.3) tei dalga fonsionu p operatörü için operatörüle ifade edilir. p ( r) ( r) ( r) (3.8) i ifadesi aıldığında ödeğerine arşılı gelen öfonsion olur. Buradan da durumundai parçacığın ıı p v (3.9) m m olur. Bu sistemde eletronların etileşmediğini varsadığımıdan N tane eletronu en düşü enerji seviesinden itibaren uarıa doğru doldururu. Bu sevielerin enerjileri

27 17 dalga vetörünün aresile doğru orantılı olduğundan N tane serbest eletronun taban durumu bir ürele ifade edilebilir. Kürenin üeindei en üst dolu olan sevienin enerjisi Fermi enerjisi olara adlandırılır ve F F (3.10) m ile gösterilir. Buradai ürenin arıçapı er ( L F ve acmi 3 / ) acim elemanı içinde bir dalga vetörü er alır. toplam durum saısı F /3 L 3 ( / L) 3 3 F N 4 3 F olara aılır. uaında F acmi içindei 3 (3.11) olup burada çarpanı er durumuna spin dejenerasonu sebebile ii eletron erleşebilmesinden analanır. Burada denleminden F 3 N V 1/ 3 bulunur. F ardımıla Fermi enerjisi 3 L V acim olara tanımlanırsa (3.11) (3.1) 3 F m F m V N / 3 (3.13) şelinde aılabilir (Ascroft ve Mermin 1976; Kittel 1996; Hoo ve Hall 006). 3.. Enerji Bant Modeli Serbest eletron modelinde eletronların alabileceği enerji değerleri Den.(3.6) ile gösterilmete olup serbest eletronların dalga fonsionları ilerleen dalga apısındadır. Eletronların enerjilerinin uaındai grafiği Şeil 3..a dai gibidir. Bu alaşımda eletronların maleme içinde tamamen serbest olduğu abul edilir. Gerçete eletronlar sınırlı maleme içinde tam anlamıla serbest değildir ve bu model metaller arıiletenler ve alıtanlar arasındai farı açılaamamatadır. Bunların arasındai farı açılaabilme için serbest eletron modelini ristallerdei periodi örgü apısını esaba ataca şeilde genişletme gereir.

28 18 a) b) Yasa bant a a Şeil 3.. a) Serbest eletron modelinde enerjinin dalga vetörüle değişimi. b) Örgü sabiti a olan doğrusal bir örgüde enerjinin dalga vetörüle değişimi. Şeilde gösterilen enerji aralığı / a dai Bragg ansımasıla ilişilidir. Atomlar ve moleüller maddei oluştururen öellile ristallerde belirli bir periodi düene göre erleşirler. Bu periodi düene örgü denir. Şimdi örgü sabiti a olan doğrusal bir ristali ele alalım. Bu apıda dalga vetörlü bir dalga ( G ) Bragg oşuluna göre ırılacatır ve te boutta 1 G n / a (3.14) aline gelir. Burada il enerji aralığı G n / a ters örgü vetörü ve n bir tamsaıdır. İl ırılma ve / a da oluşur. uaında / a ve / a arasındai bölgee bu örgünün birinci Brillouin bölgesi denir. Yarı serbest eletron modelinde eletronlar arası etileşimler tamamen imal edilir. Bu alaşım bie periodi bir örgüdei eletronların bir örgü ötelemesi altında değişmeen i r ( r) u ( r) e (3.15) şelinde dalga fonsionlarına saip olduğunu söleen Bloc teoremini ullanmamıa müsaade eder (Bloc 198). Burada fonsiondur. u ristal örgünün perioduna saip bir Şimdi te boutlu örgü sabiti a olan bir örgüde potansieli U () ile gösterelim. Bu potansielin U( ) U( a) örgü öteleme işlemi altında değişme olduğunu bilioru. Kristal örgü ötelemesi altında bir fonsion G ters örgü vetörleri cinsinden Fourier serisine

29 19 U ( ) G U e i (3.16) G G şelinde açılabilir. Bu ifadei dalga denleminde erine oarsa p p G U( ) ( ) U e i G ( ) ( ) m m (3.17) G ifadesi elde edilir. () dalga fonsionu sınır oşullarını sağlaan tüm dalga saıları üerinden bir Fourier serisi olara aılabilir: ( ) C( ) e i (3.18) Burada C() bir atsaıdır. Bu denlemi Den.(3.17) de erine oarsa m i ig i C( ) e U Ge C( ) e G C( ) e i (3.19) ifadesine ulaşırı. Her Fourier bileşeninin atsaısı denlemin er ii tarafında da anı olmalıdır. Burada / m derse denlem ( ) C( ) U C( G) 0 (3.0) G aline gelir. Burada G G G şelinde periodiliği sağladığı düşünülmüştür. Öncelile Den. (3.0) i birinci Brillouin bölgesinin sınırında ani 1 G de çöelim. 1 1 G ve G / m için ( 1 ) C( 1 G) U C( G) 0 (3.1) ve 1 G için ( 1 1 ) C( G) U C( G) 0 (3.) olurlar. Bu ii denlemin çöümünün olması için atsaılar determinantı sıfır olmalıdır: U 0 (3.3) U buradan da (3.4) m 1 U ve U G U bulunur. Enerji ii öe saiptir bunlardan birisi serbest eletron enerjisinden U adar a diğeri de U adar faladır. Denlem (3.1) den vea (3.) den C atsaıları oranı bulunabilir: C C 1 1 G G 1 U (3.5)

30 0 O alde () in bölge sınırında Fourier açılımının ii çöümü vardır: ig / ig / ( ) e e (3.6) Çöümlerden biri enerji aralığının altındai dalga fonsionu diğeri ise aralığın üstündei dalga fonsionudur. Şimdi dalga vetörünün bulalım. Bu durumda dalga fonsionu 1 G bölge sınırı civarında olduğu durum için çöümü i i( G) ( ) C( ) e C( G) e (3.7) alınır ve temel denlem (3.1) den ii denlem elde edilir. ( ) C( ) U C( G) 0 (3.8) ( ) C( G) U C( ) 0 (3.9) G Bu denlemlerin çöümünün olması için atsaılar determinantı U U G 0 şelinde sıfır olmalıdır. Buradan da U 0 Enerji denlemini ii öü 1/ 1 1 G 4 G U olur. G G (3.30) (3.31) olup er bir ö arı bir enerji bandını oluşturur. Örgü sabiti a olan ve çift N saıda ilel ücreden oluşan doğrusal bir örgü ele alalım. Birinci Brillouin bölgesinde dalga vetörünün alabileceği değerler 4 N 0 ; ; ; ; (3.3) L L L şelindedir. Her ilel ücre er enerji bandına bağımsı te bir değeri ile atıda bulunur. Eletron spininin ii bağımsı önde olabileceği de esaba atılırsa er enerji bandında N tane bağımsı örünge bulunur. Eğer er ilel ücrede bir valans eletronu varsa bandın arısı eletronlarla dolu olur. Her atom banda ii valans eletronu veriorsa bant tamamen dolu olur vea er ilel ücrede te valanslı ii atom bulunuorsa bant ine tamamen doludur. Eletronlarla tamamen dolu olan en düşü enerji bandına valans bandı denir. Eletron baımından boş olan en üst enerji bandına ise iletenli bandı denir. Kristal içinde valans bandıla iletenli bandı arasındai enerji bölgesinde eletronların erleşebileceği durumlar bulunmadığından buraa asa enerji bandı denir.

31 1 Valans eletronları bir vea daa ço bandı tamamen dolduruor ve diğerlerini boş bıraıorsa ve dolu bant ile boş bant arasında eterince geniş bir asa enerji bölgesi varsa ristal alıtan olur. Dolu bir bant bir sonrai boş banttan eterli bir enerji aralığı ile arılmışsa dışarıdan bir eletri alan ugulandığında eletronların geçebileceği boş enerji durumları olmadığından apıda bir değişili olma. Şeil 3.3.a da gösterildiği gibi alıtan bir ristalin geniş bir asa enerji aralığı vardır. Yalıtanlarda valans bandı eletronlarla tamamen dolu iletenli bandı ise boştur. İletenli bandında taşııcılığı üstlenece içbir eletron olmadığından üst bant eletroni iletenliği oluşturama. Valans bandını tamamen dolduran eletronlar da eletriği ileteme çünü bir eletri alan altında eletronun alacağı enerji iletenli bandına geçmesine etme. Arıca er omşu sevie dolu olduğundan valans bandındai bir eletronun eletri alanla ılandırılması mümün değildir. Bundan dolaı ristal alıtandır. Bir ristalde ilel ücre başına ii valans eletronu olduğu durumda bantların birbirini örtüp örtmediğine bama gereir. Bant enerjileri birbirini örtüorsa tamamen dolu bir bant ve dolaısıla alıtan oluşumu erine ısmen dolu ii bant ve dolaısıla metal apı elde edilir. Metallerin atomi ve ristal apıları valans ve iletenli bandı üst üste gelece biçimdedir. Bu durum Şeil 3.3.b de gösterilmiştir. Bir metal ristalinde asa enerji bandı olmadığından pe ço bağ eletronundan erangi biri atı içinde serbestçe geebilir ve bir eletri alan etisinde areet edebilir. Bundan dolaı metaller müemmel iletenlerdir. Şeil 3.3. a) Yalıtan için b) Metal için c) Yarıileten için enerji bant modelleri Bir arıiletenin enerji bant modeli alıtanlarınine bener (Şeil 3..c) anca alıtanlara göre daa dar bir asa enerji aralığına saiptirler. Sıcalı artışıla eletronlar valans bandından iletenli bandına ısısal uarma olula çıabilirler. Hem iletenli bandına çıan eletronlar em de valans bandında oluşan eletron boşluları eletri iletenliğine atılırlar. Valans bandındai bu boş sevielere deşi (ole) adı verilir. Bu boşlular iletenli bandındai negatif ülü eletronlara benetilere

32 poitif ülü taşııcılar olara düşünülebilir. Metallerden daa a saıda taşııcısı olduğundan arıiletenler metallerden daa aıf faat alıtanlardan daa ii iletendirler. Yarıiletenler arasında daa geniş asa enerji aralığına saip olanlar daa ço terci edilir. Çünü bunlarda üse sıcalıta iletenli bandına çıan eletronların saısı üçü ve asa enerji aralığı geniş olduğundan sıcalıla agıt belirtgenlerindei değişim daa a şiddettedir. Bu nedenle KHO nı içeren son amanlardai çalışmalarda asa enerji aralığı 1. 1 ev olan silisum (Si) erine ev lu asa enerji aralığına saip galum arsenit (GaAs) daa ço ullanılır. Bir arıiletenin eletrisel öellileri abancı a da safsılı (impurit) atomlarının ristal içine erleştirilmesile belirgin bir biçimde değişir. Bu safsılı atomlarının bağ eletronlarının ristali oluşturan atomların saip olduğu bağ eletronlardan fala olduğunu düşünelim. Safsılı atomunun fala eletronu ısı enerjisi ile olaca arılır ve iletenli bandında serbestçe areet eder. Bu tür safsılılara verici (donor) denir. Kristal içinde er bir verici atom için iletenli bandında bir eletron bulunur ama valans bandında eşit saıda deşi bulunma. Kristal iletenli bandındai eletronlar aracılığıla eletri aımını iletir ve böle bir ristale negatif ülerin aım taşııcısı olması nedenile n-tipi arıileten denir. Bener şeilde safsılı atomlarının bağ eletronlarının ristali oluşturan atomların saip olduğu bağ eletronlardan a olduğunu düşünelim. Bu durumda ristali oluşturan atomların bağ eletronları safsılı atomuna geçer ani abancı atom bağ eletronunu alır bu tür safsılılara da alıcı (acceptor) adı verilir. Kristalin içindei alıcılar valans bandında deşi aratırlar ve er deşi üerinde poitif ü etin olduğundan bir p-tipi arıileten oluştururlar. Yasa enerji aralığından atlaara uarılmış duruma geçen baı eletronlar olduğundan bir n-tipi ristalin dolu şeridinde biraç deşi bulunur. Bağıl oğunluları nedenile bu boşlulara aınlı taşııcıları ve eletronlara da çoğunlu taşııcıları denir. Bunun asine bir p-tipi arıiletende iletenli bandındai eletronlar aınlı taşııcıları olduğundan eletron boşluları çoğunlu taşııcılarıdır. Çoğunlu taşııcılarının istenen oğunluğunu oluşturma için arıiletenler içine ontrollü olara safsılı atomlarının atılmasına atılama (doping) denir. Enerji bandındai eletronların areet denlemlerini elde etme için bir dış uvvete maru alan bir dalga paetinin areetini ele alalım. Serbest eletron

33 3 modelinde eletroni dalga fonsionu i r e şelindedir. Bu dalga paetinin grup ıı d / d olur. Enerjisi olan bir dalganın freansı / olduğundan g d g d d d 1 d d olur. Dalga momentumu ise dp dt (3.33) p olacatır. Şimdi p nin amana göre türevi alınırsa d F (3.34) dt şelinde uvvete eşit olacatır. Denlem (3.33) dei grup ıı ifadesinin amana göre türevi alınırsa d g dt 1 d 1 d d ddt d dt ifadesi elde edilir. Denlem (3.34) den d g 1 d F d vea dt d aılır. Buradai / d / d d / dt F / olduğu alınırsa (3.35) d g F (3.36) / d dt terimi bir ütle olara alındığında bu ifade Newton un iinci asasına bener. O alde bu ifadei etin ütle olara 1 m * * m şelinde 1 d (3.37) d tanımlaabiliri. Etin ütle uantum meanisel sonuçları lasi areet denlemlerine bağlaan bir parametredir. Poitif etin ütleli durumlar bandın dip tarafında olurlar çünü burada band uarı önde eğime saiptir. Yani d / d poitif olur negatif etin ütleli durumlar da bandın üst tarafında bulunur eğim negatiftir ( d / d 0 ). Denlem (3.4) dei sonucu poitif bir U için öetlerse iinci bandın ( c ) alt ıısına aın bir eletronun enerjisi c / (3.38) olup m e m e eletronun iinci band ıısı aınındai etin ütlesini gösterir. Birinci bandın ( v ) üst tarafına aın bir eletronun enerjisi ise v / (3.39) olup m m deşiğin ütlesini gösterir ve değeri esidir.

34 4 Kısaca öetleme gereirse bir ristaldei enerji bant apısı eletronlar ile periodi örgü potansielinin etileşmesinden analanır. Böle bir etileşme Hamiltoniende e bir pertürbason terimi olara göüür. Hatta ristalin içinde bulunan safsılılarda bu etileşmee atılır. Böle bir Hamiltonien için Scrödinger denleminin çöümündei enerji ödeğerinde er alan ütle de etin ütle olara alınabilir. Gerçeçi apılarda bu tür e atılar sadece örgü potansielinden vea safsılıtan değil anı amanda malemenin üstündei apı potansielinden enar etilerinden ve eletronların birbirilerile etileşmelerinden analanır. O alde bu alaşıma etin Hamiltonien alaşımı da denebilir (Davies 1997; Kittel 005; Brop 000; Seeger 004) İi Boutlu Eletron Gaı Şeil 3.4. AlGaAs/GaAs eteroapısının üç boutlu görünüşü İi Boutlu Eletron Gaı bir eteroelemde asa band aralığı farlı malemeler arasındai araüede şeillenir. Si-MOYAET lerde BEG Si/SiO araüeinde şeillenir diğer taraftan günümüdei eteroapılarda BEG oluşturma için daa ço AlGaAs/GaAs elemi ullanılmatadır. Kuantum Hall Olaı il olara daa önce de basettiğimi gibi bir Si-MOYAET de bulunan BEG üerinde gölenmiştir (von Kliting ve ar. 1980). Anca günümüde asa enerji aralığı daa büü olan AlGaAs/GaAs eteroapıları ullanılmatadır. Bölelile usurlardan

35 5 dolaı oluşabilece saçılmalar en aa indirilmee çalışılır. Bi de burada bu apıı ele alacağı. Şeil 3.4 de gösterilen AlGaAs/GaAs eteroapısında AlGaAs malemesi n atılıdır ve eletronlar iletenli bandında toplanırlar. n atılı AlGaAs ile GaAs bir elem oluşturma için bir araa getirildilerinde n atılı AlGaAs in iletenli bandındai eletronlar daa düşü band enerjisine saip olan GaAs dai iletenli bandına geçerler. Bu esnada n atılı AlGaAs da poitif bir verici ü tabaası oluşur. Bu da bir eletri alana sebep olup eletronları araüe doğru iter ve Poisson denlemine göre iinci türevi poitif ani uarı doğru eğilen bir bant apısı oluşturur. GaAs de ise eletron falalığı nedenile negatif ü oluşur ve bu bant aşağı doğru eğilir. Eletronların transferi er ii ısımdai Fermi enerjileri eşitlenincee adar devam eder. Bölece eletronlar uua bener araüee sıışırlar ve eletronların areeti ii bouta sınırlanır. Buradai sınırlanmış eletronlara İi Boutlu Eletron Gaı denir. Bu şeillenim Şeil 3.5 de gösterilmiştir. Şeil 3.4 de n atılı AlGaAs ve GaAs tabaaları arasında bir ara tabaa olara atılanmamış AlGaAs erleştirilmiştir. Bu safsılı atomlarının neden olacağı saçılmaların önüne geçer (Davies 1997; Kittel 1996; Jecelman ve Jeanneret 001). BEG Şeil 3.5. AlGaAs ve GaAs arasındai araü civarında şeillenen BEG

36 Landau Sevieleri Bir eletromaneti alan içerisinde areet eden uvvet için Newton un areet asası denlemi e ülü bir eletrona etien mv momentumu cinsinden aılırsa Lorent d F ( mv) ee v B dt (3.40) olur. Burada B maneti alanını B 0 Mawell denlemine göre B A (3.41) şelinde bir A vetör potansielinin rotasoneli şelinde aabiliri. II. Mawell denlemi olan Farada asası ise B E t şelindedir. (3.41) ifadesini Denlem (3.4) de erine aarsa A E A E 0 t t (3.4) (3.43) elde edilir. Rotasoneli sıfır olan bir büülü saler bir potansielin gradenti olara aılabilir: A E V t Buradan da eletri alan A E V t (3.44) (3.45) olacatır. Bunu uarıdai Lorent denleminde erine aarsa d A F ( mv) e V v A dt (3.46) t olur. Burada v ve A gibi ii vetörün saler çarpımının gradentini v A v A v (3.47) A şelinde aabiliri. Burada eşitliğin sağındai il terimi çeip Den. (3.46) da erine oarsa d A ( mv ) e V v A v A dt (3.48) t

37 7 elde edilir. Burada parante içindei birinci ve üçüncü terimleri birlite aıp düenlerse d A ( mv ) e v A V v A dt (3.49) t denlemine ulaşırı. A( r t) vetör potansielinin tam diferansielini aarsa A A A A da( t) d d d dt (3.50) t ifadesindei üçü değişimleri d d d d dt d dt d dt şelinde aalım. dt dt dt Bölece A d A d A d A da( t) dt dt dt dt (3.51) dt dt dt t d olur. Burada v d v d v olacağından denlem (3.51) dt dt dt A A A A da vdt v dt vdt dt t aline gelir. Her ii taraf dt ile bölünüp gereli düenlemeler apılırsa da A v A dt t (3.5) (3.53) ifadesine ulaşırı. Bu tam türevin tanımıdır. Burada eşitliğin sağındai iinci terimi çeip Den. (3.46) dai Lorent uvvetinde erine oarsa d da ( mv ) e v A v A V v A dt (3.54) dt ifadesini ve buradan da d da ( mv ) e V v A dt (3.55) dt ifadesine ulaşırı. Eşitliğin sağındai il terimi sola atıp düenlerse d dt mv ea ev v A (3.56) ifadesine ulaşırı. Bir parçacığın U potansiel enerjisi ile momentumu arasındai ilişi dp U şelinde olduğundan (3.56) denlemindei toplam (anoni) momentum dt

38 p mv ea (3.57) olur. U potansieli ise U e V v A (3.58) olacatır (Griffits 1996). (3.57) denleminde eşitliğin sağındai il terim ineti momentum mv olup diğeri de ea potansiel momentumu vea alan p in p alan momentumudur. (3.57) denleminde ineti momentumu alnı bıraırsa mv p ea (3.59) olur. Bir eletromaneti alan ile etileşen ineti ve potansiel enerjilerinin toplamıdır: H E in E pot 1 mv e 8 e ülü bir eletron için Hamiltonien (3.60) Burada iinci terim eletri alandan analanır eletri alan sıfır ise iinci terimi almaa gere otur. Bölelile eletri alan sıfır ien i Hamiltonien Den. (3.59) un ullanılmasıla H 1 1 m 1 m p ea mv ( mv) (3.61) şelinde aılır. Scrödinger denleminin H r t i r t (3.6) t iet / şelinde olduğu atırlanara sonra ödeğer denlemi p ea r E r 1 m olur. Burada momentum operatörü e m mi r t ( r) e aıp gereli işlemler apıldıtan p ifadesini ullanıp parantei açarsa i e e A A A E mi m A A A olduğundan ifadesine ulaşırı burada e e e A A A E m mi mi m denlemini elde ederi. Bu denlemin çöümü A (3.63) (3.64) (3.65) vetör potansielinin seçimine bağlıdır. Vetör potansieli için sınırsı saıda farlı seçim apılabilir. Bunların er

39 9 birine aar (gauge) denir. j B A ˆ vea i B A ˆ seçilirse bu durum Landau aarı olara adlandırılır. Bi burada j B A ˆ seçelim. Bu durumda düleminde BEG için 0 ˆ ˆ ˆ j B j i A (3.66) olur ve Den.(3.65) E j B m e j B mi e m ˆ ˆ (3.67) aline dönüşür. Laplasen (3.68) ve nabla operatörü j i ˆ ˆ (3.69) olduğundan Den.(3.67) E m B e B mi e m m (3.70) şelinde aılabilir. Şimdi burada çöüm dalga fonsionunu ) ( e i olara alalım. Bunu bu şeilde amamıın sebebi Hamiltonienin ile omüte etmesidir. Bu ifadei denlemde erine oup gereli düenlemeleri aptıtan sonra E m B e B m e m d d m (3.71) denlemine ulaşırı. Burada eşitliğin solundai iinci terimi sağ tarafa atıp m E m B e B m e d d m (3.7) E m E ve c m eb / ısaltmalarıla E m m d d m c c 1 (3.73) denlemini elde ederi. Burada c c c c c c m m m m m m (3.74)

40 30 ifadesini ve m c 0 değerini ullanırsa Den.(3.73) E d 1 m c 0 0 m d aline dönüşür. 1 m c 0 terimini sağa atıp (3.75) (3.76) 1 E m c E 0 (3.77) derse d m d 1 m c E 0 (3.78) denlemine ulaşırı. Bu denlem aslında 0 mereli bir armoni osilatör denlemidir. Her ii tarafı / ile çarparsa ve E / c n derse c d mc m d c ifadesine ulaşırı. Burada düenlerse 0 n m c 0 u (3.79) deip ısmi türevleri buna göre d du t 0 n (3.80) olacatır. Eğer H( u) e u / derse d H dh 1H 0 n (3.81) du du olur. Burada 1 n gibi bir tamsaıa eşitse (3.81) denlemi Hermite diferansiel n denlemidir ve H Hermite polinomudur. Buradai n den başlaara diğer enerji 1 ifadelerini bulalım. n n 1 ise E c n olacatır. Buradan da 1 1 E c n mc 0 olacatır ve 1 1 E c n m c 0 (3.8) m

41 31 elde edilir. Burada / m ifadesi erine onursa 0 c 1 E c n (3.83) elde edilir. Burada n saılarına arşılı gelen enerji sevielerine Landau sevieleri denir. Dalga fonsionu ise mc i i m ( 0 ) c e ( ) e H n 0 e (3.84) olacatır. Burada eb m ifadesi erine aılırsa eb l c / (3.85) şelinde bir büülü tanımları. Bu maneti uunlu olara adlandırılır ve buna göre dalga fonsionunu 0 i 0 l e H n e (3.86) şelinde eniden aabiliri. l Landau sevieleri ile armoni osilatörün enerji sevieleri birbirine olduça benerdir. Aradai en önemli far B=0 için Landau sevielerinin sonsu mertebeden dejenere olması ani sonsu saıda farlı uantum saısına arşılı gelen enerji ödeğerlerinin B=0 için anı olması ve şiddetine bağlı olmasıdır. c silotron freansının B maneti alan 3.5. Dolulu Çarpanı Eğer eletronlar düleminde sonlu boutlu bir L L didörtgenine sınırlanırsa Landau sevielerinin dejenereliği de sonlu olacatır. Denlem (3.75) de bulduğumu armoni osilatörün merei olan 0 ifadesini silotron freansı eb m cinsinden aarsa c / 0 (3.87) m c eb olur. İi armoni osilatör arası mesafe 0 (3.88) eb

42 3 olacatır. Dalga vetörünün önündei bileşeni daa önce bulduğumu gibi n (3.89) L şelinde uantumludur. Ardışı ii dalga arası mesafee derse (3.90) L olur. Bu durumda denlem (3.88) 0 eb eb L ebl (3.91) olacatır. Şimdi L in 0 saısını denlem (3.91) i de ullanara L N 0 L ebl L aralılı N tane adımdan oluştuğunu düşünelim. Bu durumda N L e B (3.9) ifadesine ulaşırı. L L A olduğundan bu alandan geçen maneti aı BA olur. Arıca 0 olaca şeilde maneti aı uantası olara tanımlanırsa Den. (3.9) e N (3.93) 0 olur. Bu saı numunedei maneti aı uantalarının saısına eşittir. Şimdi birim alan başına düşen maneti aı uantası saısına n derse N eb n (3.94) L L olur. Toplam eletron saısını N el ile tanımlarsa birim alan başına düşen eletron saısı ani eletron oğunluğu da n e olsun: N el ne (3.95) LL Buradan n e nin n e oranı dolulu çarpanı olara adlandırılır ve ne ne ne 0 ne (3.96) n eb B B e

43 33 şelinde gösterilir. Burada dolulu çarpanı / eb l şelinde maneti uunlu olara tanımlanırsa l n e (3.97) olur. (3.96) denlemi i (integer) gibi bir tamsaıa eşit ien bir Landau seviesi tam doludur ve birim alan başına düşen eletron saısı n e in olur. Bölece Hall ödirenci B B (3.98) n e Bei e ie e aline gelir. Bu ola il defa 1980 ılında Grenoble üse maneti alan laboratuarında Alman fiiçi Klaus von Kliting tarafından gölenmiştir (von Kliting ve ar. 1980). Bu buluş nedenile von Kliting 1985 Nobel fii ödülünü almıştır. Den. (3.98) dei R K (3.99) e ifadesi evrensel bir sabittir ve 1990 ılından beri bir direnç standartı von Kliting direnci ( R ) olara adlandırılmatadır. Bu ölçümler bir Si-MOYAET de bulunan K BEG üerinde gölenmiştir. Ölçümler düşü sıcalılarda (T=1-4 K) ve üse maneti alanlarda (B=3-15 T) apılmıştır (von Kliting ve ar. 1980). 198 ılında ço daa üse maneti alanlarda ve daa düşü sıcalılarda apılan deneler Den.(3.96) dai dolulu çarpanının p/ q (q bir tamsaı ien p ve q göreli asal) şelinde basit esirli değerler için de geçerli olduğu gölenmiştir (Tsui ve ar. 198). Bölelile uantum Hall olaı tamsaı ien Tamsaı Kuantum Hall olaı basit bir esir ien Kesirli Kuantum Hall olaı olara adlandırılır. e von Kliting in maalesinde (1980) Hall ödirencinde i tamsaı değerleri için değerlerinin atlarında platolar gölenir. Anı amanda bu bölgelerde bouna direnç sıfır olmatadır. Anca von Kliting in bu çalışmasında platoların neden oluştuğu ve genişliği açılanmamıştır. Platoların varlığını açılama için önerilen gerçe sistemlerdei düensilileri içeren bir model bir sonrai alt başlıta incelenecetir.

44 Durum oğunluğu Durum oğunluğu Gerçe Sistemlerde Tamsaı Kuantum Hall Olaı Gerçe Hall numunelerinde eletronlar ristal bir örgüde areet ederler. Tenolojide ulaşılan son tenilere rağmen usursu bir örgü elde etme imânsıdır. Kristaldei er usur vea safsılı Landau sevielerinin erelleşmiş ve genişlemiş sevieler die iie arılmasına neden olacatır. Burada erelleşmiş durumlar enerji bounca aılıren genişlemiş durumlar Landau sevieleri etrafında toplanırlar. Böle bir durum Şeil 3.6 da gösterilmiştir (Lauglin 1980). a) 1 c 3 c 5 c 7 c Genişlemiş durumlar Fermi Seviesi b) 1 c 3 c 5 c 7 c Yerelleşmiş Durumlar Şeil 3.6. a) Maneti alan altındai ideal bir BEG için durum oğunluğu. b) Gerçeçi bir BEG içerisinde Landau sevieleri safsılı ve usurlar nedenile erelleşmiş ve genişlemiş durumlara arılır. Eletron oğunluğu artaren Fermi enerjisi de uarı doğru aacatır. Fermi enerjisi erelleşmenin olduğu bölgede areet ettiği sürece Hall platoları arası bir geçiş gölenir. Bu geçiş oluren bouna dirençte ani bir pi gölenir. Fermi enerjisi genişlemiş duruma ulaştığı anda bouna direnç abolur. Bölelile Hall platoları

45 35 gölenir. Çünü Landau sevieleri tamsaı ien değeri sabit almata ve ie bouna direnç sıfıra gitmetedir (Şeil 3.7). Bölece uantum Hall olaı Fermi enerjisinin durum oğunluğu bounca areet ederen erelleşmiş ve erelleşmemiş geçişlerin bir sırası olara düşünülebilir. Anca bu teori de etersi almıştır çünü sisteme dışarıdan ugulanan potansiel esaba atılmamıştır. Şeil 3.7. Hall ödirenci ve bouna ödirenç maneti alan B nin bir fonsionu olara gösterilmiştir. B 3.7. Kenar Durum Modeli Şimdie adar olan modellerde ideal sistemler düşünülmüştür. Gerçeçi numunelerin enarlarında sınırlaıcı bir potansiel vardır. Bu sınırlaıcı potansiel a apı potansieli a da imasal esme (etcing) potansielidir. Böle bir durumda Hamiltonien 1 H p ea V ( ) m (3.100) olacatır. Burada V ( ) gibi bir sınırlaıcı potansielin varlığında Landau enerji sevieleri numunenin enarlarına doğru eğrilir.

46 36 a) B E b) E F c c / c n n L c) n L Şeil 3.8. Eletronlar arası etileşmelerin gö önüne alınmadığı durumda a) Kenar anallarının üstten görünüşü. b) Sınırlaıcı potansiel Landau sevielerini büer ve Fermi seviesinin üstündei sevieler dolma. Buradai alalar : Dolu : Boş ve : Yarı dolu Landau sevielerini temsil eder. c) Böle sevieler için oluşaca oğunlu (Clovsii ve ar. 199) Fermi enerjisile esişen er Landau seviesi için bir enar analı şeillenir (Halperin 198). Klasi olara bu maneti alandai numunenin enarı bounca areet eden bir eletronun ilediği ola arşılı gelir. Buradai Landau sevieleri Fermi enerjisine adar dolacatır. Buna göre eletron oğunluğu çiilirse Şeil 3.8 dei gibi er analda sabit bir oğunlu olacatır. Şeil 3.8c. dei gibi bir oğunlu gerçeçi değildir. Arıca bu model eletronların birbirilerile etileşmesini de esaba atmamıştır. Eletronların birbirilerile etileşmesinden bir perdeleme (screening) potansieli oluşur. Bu potansielin ullanımıla apıda sııştırılama ve sııştırılabilir şeritlerin bir

47 37 diiliminin bulunduğu firi ortaa atılmıştır (Beenaer 1990; Cang 1990). Clovsii Slovsii ve Glaman (CSG) sııştırılabilir ve sııştırılama şeritlerin genişliği ve onumu için geliştirdileri eletrostati modelde problemi analiti olara çöere eni bir model önermişlerdir (Clovsii ve ar. 199). Bu modelde Landau sevielerinin doluluğu için apılan ö uumlu esaplamalarda Landau sevielerinin ısmi ve tam dolu olduğu şeritler vardır. Böle bir modeli anlatan şema Şeil (3.9) da çiilmiştir. Şeil 3.9. CSG modeline göre a) Kenar anallarının üstten görünüşü. b) Perdelemenin esaba atılmasıla oluşan basamalı apı buradai alalar : Dolu : Boş ve : Yarı dolu Landau sevielerini temsil eder. c) Böle bir apıda oluşaca eletron dağılımı. Burada l eletron dağılımının başladığı nota 1 ve sııştırılama şeritlerin onumlarını a 1 ve a sııştırılama şeritlerin alınlılarını ve en son olara b 1 ve b de sııştırama şeritler arası ualığı göstermetedir. (Clovsii ve ar. 199)

48 38 Kenar durum modelindei gibi Landau sevieleri ugulanan gerilim nedenile büülürler. Eletronlar Landau sevielerini doldururen Fermi enerjisile esişirler. Bu esişme bölgesinde baı bölgelerin tam dolması gereiren baı bölgelerin ısmen dolması gereecetir. Şimdi eletronların 1. Landau seviesini doldurması durumunu düşünelim. Kenardan içerie doğru gideren Landau seviesi Fermi enerjisile esişincee adar bu ısma eletron erleşeme. Fermi enerjisi Landau seviesi ile esiştiten sonra eletronlar Landau seviesine arşılı gelen durumları doldurmaa başlar. Kısmen dolmaa başlaan 1. Landau seviesinde eletronların raat areet etmelerine olana sağlaan boş erler olduğu için bu bölge tıpı bir metal gibi davranacatır. Bu esnada areetli eletronlar birbirilerile etileşere bir perdeleme potansieli oluştururlar. Bu ısmen dolması gereen erler doldutan sonra eletronlar tam dolması gereen erleri doldururlar. Tam dolu ısımdai eletronlar areet edemeler ve perdeleme potansieli oluşma. 1. Landau seviesinde eletronların dolma işlemi tamamlandıtan sonra diğer Landau sevieleri bener şeilde doldurulmaa başlanır. Bu durumda apı tam ve ısmen dolu sevielerin bir sırasına saiptir. Tam dolu Landau sevielerine saip bölgelere eni bir eletron eleneme. Bu nedenle bu bölgeler sııştırılama şerit olara adlandırılır ve alıtan gibi davranır. Yarı dolu Landau sevielerine saip bölgeler ise sııştırılabilir şerit olara adlandırılır ve bu ısımlara eletron elenebilir. Bu nedenle sııştırılabilir şeritler perdeleme açısından bir metal gibi davranıren sııştırılama şeritler bir alıtan gibi davranır. Bunun sonucunda il dönemlerde sadece sııştırılabilir şeritlerin aım iletimine atıda bulunduğu düşünülmüştür anca daa sonra öellile bouna direncin sıfıra düştüğü plato bölgelerinde aım iletiminin öncelile sııştırılama şeritler üerinden olduğu anlaşılmıştır. Sııştırılabilir bölgelerde potansiel tam olara perdelenir ve bu sırada bir Landau seviesi Fermi enerjisine sabitlenir. Bölece perdeleme için gereen adar eletron bu Landau seviesine erleşir. Böle bir Landau seviesi tam dolu ale gelditen sonra perdeleme için eterli eletron saısı o bölgee erleştirileme ve potansiel terar düşmee başlar. Bu düşüş bir sonrai Landau seviesi Fermi enerjisine ulaşana adar devam eder. CSG modeline göre perdelenmiş potansielin de Landau enerji sevielerinin de platolardan oluştuğu görülür (Şeil 3.9). CSG modelinde eletron gaının sııştırılabilir şeritler içinde dış potansieli müemmel bir şeilde perdelediği varsaılmıştır. Anca bu tam olara doğru değildir bu notada eletronların sistem içerisindei davranışlarını belirleen Scrödinger

49 39 denlemi ile sistemdei eletrostati potansieli belirleen Poisson denlemi birlite ele alınmalı ve er ii denlem öuumlu bir şeilde çöülmelidir. Anca bu şeilde tam bir çöümün elde edilmesi olduça ordur. Bu nedenle olalı sağlaması için Scrödinger denlemi erine Tomas-Fermi alaşımı ullanılabilir. Böle bir sistem için Tomas-Fermi alaşımı daa sonrai bölümlerde ele alınacatır.

50 40 4. KUANTUM HALL OLAYI TABANLI ARAÇLAR 4.1. Kuantum Hall Çubuğu 1960 lı ıllarda Si-MOYAET apılarda BEG elde edilebilmetedi. Fowler ve ar. (1966) Si-MOYAET apıda oluşturulan bir BEG ullanara düşü sıcalı ve üse maneti alan altında transport öellilerini inceleren platolar gölemlemiştir. Kawaji ve ar. (1978) ölçümleri geliştirere devam ettirdi. Bu platoların / e temel değerine göre açılanabileceği ise von Kliting den geldi (1980). Bener sonuçlar AlGaAs/GaAs eteroapısında ise Tsui ve Gossard (1981) tarafından elde edilmiştir. Şeil 4.1. Kimasal esme (etcing) ullanılara elde edilmiş uantum Hall çubuğu Bu ölçümler uantum Hall çubuğu olara adlandırılan uantum telinde apılmıştır. Günümüde Si-MOYAET apı erine daa dügün sonuçlar elde edilebilen AlGaAs/GaAs eteroapıları ullanılmatadır. Bu uantum telini oluşturabilme için tabaalı bir apı AlGaAs/GaAs eteroeleminde BEG oluşturaca şeilde erleştirilir. Arıca sistemi bir çubu şelinde sınırlama için imasal esme (etcing) vea ters beslemeli apılar ullanılır (Davies 1997). Bu apıların şemati gösterimi Şeil 4.1 ve Şeil 4. de gösterilmiştir. Burada ullanılan tabaalar uarıdan aşağıa şöledir: En üstte apa (cap) olara ullanılan bir GaAs tabaası vardır. Onun altında silisum atılı bir AlGaAs tabaası vardır ve bu tabaada verici tabaası oluşur. Bu tabaanın altında ara leva (spacer) olara adlandırılan atılanmamış AlGaAs tabaası vardır. Bu

51 41 ara tabaa donorlarla eletronlar arasında uasal boşlu oluşturur ve eletronların donorlardan saçılmasını önlerler. Ara levanın altında eletronların toplandığı GaAs tabaası vardır ve BEG ara leva ile GaAs arasında oluşur. Bu arıileten ristallerin büütülmesinde çoğunlula Moleüler Demet Epitasi (MDE) (Molecular Beam Epita (MBE)) ullanılır (Co ve Artur 1975). Epita Latince bir söcü olup üerinde oluşturma gibi bir anlama saiptir. MDE de ana maleme bir parçacı demeti oluşturma için ısıla buarlaştırılır. Bu parçacı demeti ço üse vaum altında bu demetin oğunlaşacağı malemenin üerine gönderilir. Bölelile nispeten dügün ve temi eteroelemler elde edilir. Şeil 4.. Kapı ullanımı ile elde edilmiş uantum Hall çubuğu 4.. Aaronov-Bom İnterferometresi Aaronov-Bom olaı alanların sıfır olduğu bölgede potansiellerin uantum meanisel etiler oluşturması olaıdır (Aaronov ve Bom 1959). Şimdi Şeil 4.3 de şemati olara gösterilen çift arılı düeneği ele alalım. Burada eletron anağından çıan eletron demeti arılardan geçece şeilde gönderilsin. İi arı arasındai engelin arasına da sonsu uunlulu ço üçü bir solenoid safa dülemine di olara erleştirilsin. Buradai düene solenoidin içinde B Bˆ şelinde bir maneti alan varen solenoidin dışında eletronların areet ettiği bölgede maneti alan sıfır olaca şeilde tasarlanmıştır.

52 4 Perde Kana Solenoid 1 Şeil 4.3. Aaronov-Bom dene düeneği şeması Solenoidin içinde B Bˆ şelinde bir maneti alan varen eletronların areet ettiği bölgedei m ütleli ve e ülü bir eletronun Hamiltonieni H 1 i ea e (4.1) m Şelindedir. Burada p i alınmıştır. Bu Hamiltoniene göre Scrödinger denlemi H E (4.) şelindedir ve denlemin çöümü dir. Burada E enerji operatörüdür. Burada eletronların areet ettiği bölgede maneti alan B 0 sıfır olduğundan B A 0 oşulula A vetör potansieli A f (4.3) şelinde saler bir fonsionun gradenti olara aılabilir. ve H 0 Solenoidden aım geçmioren ani er erde maneti alan sıfıren m ütleli e ülü bir eletronun Hamiltonieni 1 i e (4.4) m şelindedir. Bu Hamiltoniene göre Scrödinger denlemi H (4.5) 0 0 E 0 olmalıdır. Çünü aar dönüşümleri altında Scrödinger denlemi uantum meaniğinde değişme alır. Denlem (4.5) in çöümü ( ) olsun. Burada (4.1) dei Hamiltonienin çöümü olan (r) ile ( ) arasında 0 0 r ep( i ) (4.6) 0 r

53 43 şelinde bir fa çarpanı ilişisi vardır. Scrödinger denleminin değişme alması için Den. (4.6) dai ifadele (4.1) dei Hamiltonienin ödeğer denlemini 1 i ea ep( i) 0 e ep( i) 0 E (4.7) m şelinde aabiliri. Burada eşitliğin sol tarafındai il ısmı düenlerse i ea ep( i) i ea i ea ep( i) (4.8) 0 0 olur. Buradan da i ea ep( i) ep( i) ea ep( i i (4.9) 0 0 ) 0 ifadesi elde edilir. Burada e f (4.10) seçerse ve A f ifadesini erine aarsa ea ef ef 0 (4.11) olacatır. Bölece (4.9) denlemi i ea ep( i) ep( i i (4.1) 0 ) 0 olur. Bunu (4.8) denleminde erine oarsa i ea ep( i) 0 i eaep( i) i 0 ep( i) ea iep( i) i 0 0 (4.13) olur. Burada (4.11) ifadesini ullanırsa i ea ep( i) ep( i) i (4.14) 0 0 olur. Hamiltonien için bölece H 1 ep( i) i 0 e ep( i) 0 m ep( i) H ep( i) E E (4.15) ifadesini elde ederi. Bölelile aar dönüşümünde uantum meaniği asalarının değişme aldığı görülür. Denlem (4.11) de ea 0 olduğundan e Adr (4.16) olur. Buna göre (4.6) denlemi ie ep Adr 0 (4.17)

54 44 şelinde aılabilir. Şeil 4.4 de gösterildiği gibi buradai çigi integralini bir p notasından bir r notasına adar solenoidi saran apalı bir ilme üerinden alalım. Şeilde görülen ii ol bounca alınan çigi integralleri anı değildir. Çigi integralleri arasındai far apalı ilme ile çevrelenmiş maneti aısına eşittir. 1.ol p r.ol Şeil ve olu bounca çigi integralleri anı değildir. 1 Adr Adr Adr (4.18) Stoes teoremine göre bir vetörün çigi integrali o vetörün rotasonelinin üe integraline eşit olup vetör potansielinin rotasoneli maneti alanı verir. Adr AdS BdS (4.19) Şimdi terar düeneğe dönerse sadece 1. arı açıen dalga fonsionu olsun. Solenoidin varlığında 1 B ep Adr 10 1 ie (4.0) 1 B aılır. Burada 1 0 alan oen i dalga fonsionudur. Buradai integral 1 olu bounca anatan perdee adardır. Bener şeilde sadece. arı açı ien dalga fonsionu B ep Adr 0 ie (4.1) şelindedir. Buradai integral de olu bounca anatan perdee adardır. Perdede ii eletron demetinin üst üste geldiği durumu düşünelim. Denlem (4.0) ve 4.1 i toplarsa ie ep Adr 1 10 ie ep Adr 0 (4.)

55 45 elde ederi. Denlem (4.18) i burada ullanırsa ie ie ep Adr 10 ep Adr 1 1 ie ie ep Adr 10 ep 0 1 ifadesi elde edilir. Burada fa farı olan ie ie i i e 0 0 ie maneti aı uantası 0 (4.3) e e (4.4) şelinde bağlıdır. Bölelile fa farı çevrelenmiş aıa bağlı olan bir sabitle değişecetir. Bu ola aslında çevrelenmiş aıa bağlı bir büülü ile girişim şelinin piini öncei mereden adırma etisidir. Y. Aaronov ve D. Bom (1959) tarafından ortaa atılan bu teori olduça büü bir tartışma aratmıştır. Olaın denesel doğrulaması R. G. Cambers (1960) ile Tonomura ve ar.( ) apılmıştır. tarafından Kuantum Hall olaı tabanlı bir AB interferometresinde enar analları eletron demetleri gibi düşünülere ala beneri bir apıda bu analların birbirilerile girişim aptığı düşünülebilir (Jain 1988; Büttier 1988). Kuantum Hall rejiminde AB olaı üerine pe ço teori ve denesel çalışma mevcuttur (Dai ve Jellal 00; Inatsena ve Zoouleno 008 b ; Camino ve ar. 005; Çiçe ve ar. 010). Bu çalışmalardan en ço diat çeenlerden Camino ve ar. (005) nın aptığı çalışma olup üü şeilli bir apıda direnç osilasonlarını AB olaına benetere orumlamışlardır Mac-Zender İnterferometresi Mac-Zender (MZ) interferometresi Şeil 4.5 te de görüldüğü gibi ii adet arı-geçirgen demet arıcıdan ve ii adet tam ansıtıcı anadan ibarettir (Zender 1891; Mac 189). Kanatan gelen ışı demeti arı-geçirgen demet arıcı tarafından ii ola arılır. Daa sonra er ii demet analardan ansıara arı-geçirgen diğer demet arıcıda birleşirler ve girişim aparlar. Sonra bu ii demet detetörlere gelir. Detetörlerde gölenece olan saça desenini değiştirebilme için opti ollar arasında bir far oluşturma gereir. Bunun için demet arıcılardan birine afif bir eğim verilebilir a da demetlerden birisinin önüne fa adırıcı bir obje elenebilir.

56 46 Kana Demet Yarıcı Ana Demet Yarıcı Ana Dedetör-1 Dedetör- Şeil 4.5. Mac-Zender İnterferometresi MZ interferometresinin eletroni beneri Ji ve ar. (003) tarafından BEG ullanılara apılmıştır. Bu çalışmada gerçe optisel MZ interferometresinde ullanılan ışı demeti erine uantum Hall rejiminde BEG içerisinde oluşaca olan enar analları ullanılmış ve eletronların girişimi gölenmiştir. Kenar anallarının dolaısıla sııştırılama şeritlerin ö-uumlu esaplamaları Tomas-Fermi alaşımı altında apılara (Siddii ve Marquart 007; Kavru 010; Siddii ve ar. 008) olaın uantum Hall rejimindei resmi arıntılı bir şeilde incelenmiştir.

57 47 5. SİSTEMİN ELEKTROSTATİĞİ VE SAYISAL YÖNTEMLER Kuantum Hall olaıla başlaan denesel çalışmalar sonrasında daa önce değindiğimi gibi ola sııştırılabilir ve sııştırılama şeritlerin fiiğine ulaşmıştır. Clovsii ve ar.(199) nın önerdiği gibi bu şeritlerin genişliği ve onumu dolulu çarpanına başa bir deişle ü oğunluğuna bağlıdır. Bu durumda Poisson denleminin çöümü olduça önemli ale gelir. Poisson denleminin çöümü için apılan il teori çalışmalarda problemi daa basit ve anlaşılır ılma için tüm ülerin ve apıların anı dülem içinde bulunduğu alaşımı ullanılmıştır (Glaman ve Larin 1991; Clovsii ve ar. 199; Clovsii ve ar. 1993). Bu alaşımda Şe.5.1 de görüldüğü gibi uantum Hall çubuğundai BEG apılar ve donorların anı dülemde olduğu varsaılmıştır. Arıca bu alaşımda aım önünde ü dağılımının ötelenmesi değişme seçilmiş bölelile problem etin olara bir boutlu eletrostati probleme indirgenmiştir. Şeil 5.1. Verici atomlar apılar ve BEG dülem alaşımında epsi anı dülemdedir. Sarı çigi BEG + işaretleri verici atomları ve sia ısımlar uantum Hall çubuğunun üerinde bulunan sol ve apıları temsil etmetedir. V L ve V R sırasıla sol ve sağ apılara ugulanan gerilimlerdir. Poisson denleminin çöümünde sınır oşulları olduça önemlidir. Saısal esaplamalarda sınır oşulunu periodi olara alma işlemleri olalaştırır. Anca periodi bir apıda çöümü apılaca sistemin de simetri olması gereir. Periodi sınır oşullarının ullanımıla dülem alaşımının ö-uumlu genelleştirilmeleri Gerardts ve aradaşları tarafından Tomas-Fermi ve Hartree alaşımlarıla apılmıştır (Lier ve Gerardts 1994; O ve Gerardts 1997; Güven ve Gerardts 003; Siddii ve Gerardts 003; Siddii ve Gerardts 004). Dülem üler alaşımı er ne adar maul sonuçlar verse de problemin daa gerçeçi bir analii için apının üç boutlu olduğunun gö önünde bulundurulması gereir. Öellile bu çalışmada ele alınan AB ve MZ interferometreleri gibi agıtlar için problemin üç boutlu olara ele alınması açınılmadır. Davies ve ar. ( )

58 48 tarafından apının üst üeinde sınır oşulu olara apıların bulunduğu bölgelerde gerilim apı gerilimine eşit diğer er erde sıfır alınara belirli bir derinlitei potansiel analiti bir biçimde ifade edilmiştir. Yarıileten agıtlarda apının üç boutlu olduğunun gö önünde bulundurulduğu bu çalışmada Davies ve aradaşları üedei apılar nedenile BEG üerinde oluşan potansielin BEG içerisindei eletroni dağılımdan bağımsı olduğunu varsamıştır. Davies ve ar. ( ) tarafından verilen apıların BEG üerinde oluşturacağı potansielin analiti ifadesinin ullanıldığı birço teori çalışma literatürde mevcuttur (Inatsena ve Zoouleno 006; Inatsena ve Zoouleno 007 b ; Siddii ve Marquart 007; Siddii ve ar. 008). Anca bu potansiel ifadesi sistemdei üler (ani donorlar ve BEG) arasındai etileşmeleri ve bu ülerin apılar üerindei etisini içerme. Baı çalışmalarda apı içindei ü dağılımındai değişmeler nedenile apılarda oluşaca eti tamamen imal edilmiştir (Siddii ve Marquart 007; Siddii ve ar. 008). Diğer taraftan eğer apılar sadece üee erleştirilir ve apının tüm üei iliştirilmiş üe alaşımındai gibi apılarla aplandığı varsaılırsa baı aarların aptığı gibi (Inatsena ve Zoouleno 006; Inatsena ve Zoouleno 007 b ) bu etileri düşünme için ana ü teniği ullanılabilir. Şimdie adar apılan teori çalışmalarda Poisson denlemini çöme için ağırlılı olara Green fonsionları ullanılmıştır. Bir vea ii boutlu Poisson denleminin çöümü basit geometriler için Green fonsionları ullanılara elde edilebilir. Anca gerçe üç boutlu sistemlerde ve daa armaşı geometrilerde Green fonsionlarının elde edilmesi ve Poisson denleminin saısal çöümü için ullanımı prati olara neredese imânsıdır. Böle durumlarda Poisson denleminin doğrudan saısal çöümünün apılması daa ugulanabilir bir alaşım olacatır. Bu amaçla tüm sistem eterince arıntılı bir örgü (mes) ile temsil edilebilir ve Poisson denlemi bu örgü üerinde ugun bir saısal öntem ullanılara çöülebilir. Sonlu farlar alaşımı ullanıldığında Poisson denlemi bir matris denlemine dönüşür. Böle bir matris denleminin çöümü için literatürde oğun olara ullanılan saısal öntemlerden birisi de ii bilinen Ardışı Aşırı Durulma (AAD) (Successive Over Relaation (SOR)) öntemidir. Bu alaşımla Poisson denleminin çöümünde sınır oşullarının ugun bir şeilde verilmesi gereir. Gö önüne alınan apının üelerindei potansielin bilinmesi alinde sınır oşulları üedei gerilimlerle belirlenir. Anca birço gerçe apıda üelerdei potansiel bilinmemete serbest bir şeilde sistemin eletrostatiği

59 49 tarafından belirlenmetedir. Literatürdei çalışmalardan Weicselbaum ve Ulloa (003) nın aptığı belirli bir üten potansiele AAD öntemile ulaşara aptığı çöüm diat çeicidir. Bölelile enarları açı bir sistemde dai potansiel elde edilebilir. Weicselbaum ve Ulloa (003) nın alaşımıla bir Kuantum Hall çubuğunda Poisson denleminin çöümü Arslan ve ar. (008) tarafından ullanılmıştır. Anca bu çalışmada Poisson denlemini sadece B=0 durumu için çömüşler ve anı sınırlaıcı potansieli sonlu B durumu içinde ullanmışlardır. Bu durumda alaşımları tam olara ö uumlu olmamatadır. Davies in analiti ifadelerini vea Green fonsionlarını ullanmadan Poisson denlemi için doğrudan saısal bir çöüm Kavru (010) tarafından AAD öntemi ullanılara apılmıştır. Bu çalışmada üç boutta ö-uumlu bir çöüm elde etme için sistem bir örgü ile temsil edilir ve er bir iterason adımında bu ö-uumlu esap terarlanara çöüm adım adım elde edilir. Anca böle bir alaşımla sistemin üç boutta bir örgüe bölünmesi sonucunda esaplamaların ço büü saıda nota üerinde apılması gereir ve bunun sonucunda esaplama süresi ço büümetedir. AB interferometresi gibi apıların farlı oşullar altındai davranışının incelenebilmesi için bu denlemlerin ülerce farlı parametre seti için çöülmesi gereebilir. Bu sebeple esaplama süresini aaltaca öntemlerin ullanımı son derece önemlidir. Bu te çalışması ile Poisson denleminin saısal çöümünü ılandırma üere multigrid öntemi ullanılmıştır. Multigrid öntemi temel olara abadan incee doğru farlı inceliğe saip örgülerin inelemeli olara esaba atılması şelinde öetlenebilir. Bölece AB interferometresi ve beneri apılarda birço farlı parametre için esaplama apılması ve sonuçların literatürdei denesel çalışmalarla arşılaştırılması olanağı elde edilmiştir. Hesaplamaların bir diğer aağı olan eletron oğunluğu ise Tomas-Fermi öntemile elde edilir. Bu öntem olduça ii bilinen bir öntemdir. Tomas-Fermi öntemi ço eletronlu sistemlerde eletron oğunluğunu bulma için ullanılır ve KHO nı içeren esaplamalarda çoça ullanılan bir öntemdir (Lier ve Gerardts 1994; O ve Gerardts 1997; Güven ve Gerardts 003; Siddii ve Gerardts 003). Bu bölümde önce Tomas-Fermi alaşımı ardından çiftlenmiş Tomas-Fermi ve Poisson denlemlerinin çöümü için ullanılaca olan algoritma sunulacatır. Daa sonra bu denlemlerin saısal çöümünde ullanılan AAD ve multigrid öntemleri arıntılı olara incelenecetir.

60 Tomas-Fermi Yalaşımı Tomas-Fermi (TF) alaşımı ço saıda eletrona saip omples atomların (vea ionların) taban durumu için Tomas ve Fermi tarafından arı arı geliştirilen istatistisel ve arı lasi incelemeleri içeren bir uramdır. Sistemin N tane eletronu bir V (r) potansieli tarafından uaın bir bölgesine apsedilmiş taban durumundai bir Fermi eletron gaı gibi ele alınır. TF alaşımının amacı V (r) potansielini ve n el (r) eletron oğunluğunu esaplaan bir öntem elde etmetir. TF alaşımında eletron oğunluğu ani eletronların dağılımı n ( r) de D( E) f E V ( r) el / denlemi ile verilir. Burada D (E) durum oğunluğu V (r ) f E V( r) / T Fermi fonsionudur. Bu fonsion B E V ( r) / BT EV ( r) T B T (5.1) eletrostati potansiel ve 1 (5.) B 1 e f / ile ifade edilir. Burada imasal potansiel B Boltmann sabiti ve T de sıcalıtır. TF alaşımındai en önemli parametrelerden birisi de D (E) durum oğunluğudur. BEG ile ilgilendiğimiden ii boutlu durum oğunluğunu çıartalım. Böle bir apıda eletronların eteroapıdai araüde ve enarları L olan önünde de d alınlığı bulunan bir potansiel uusuna apsolduğunu düşünelim. Böle bir apı Şeil 5. de gösterilmiştir. L d L Şeil 5.. BEG için düşünülmüş olan potansiel uusu

61 51 Böle bir geometri için sınır oşulları 0 d V ( ) (5.3) 0 0 d şelindedir. Bu durumda etileşmeen eletronlar için Scrödinger denleminin çöümü ve önlerinde ilerleen dalga formunda ien önünde duran dalga olacatır. Böle bir çöüm. bölümde verilmiş olup ve önleri için dalga saıları n n (5.4) L L şelindedir. Buradai n ve n tamsaılardır. Kenarı L olan uu içindei enerji düeleri arası ualıların ço üçü olması nedenile enerji düelerinin sürelimiş gibi gö önüne alınması ii bir alaşımdır. Bu durumda birim enerji aralığı başına eletronların uantum durumlarının saısı D (E) durum oğunluğu olur. D (E) i bulma için uaını düşünelim. boutlu uaında iinli değerleri çielim (Şeil 5.3). Burada durumlar enarı / L olan basit üresel örgüe erleşmiştir. Şeil 5.3. İi boutlu uaında arıçapları ve d olan daireler Her durumu başına düşen uaı alanı 1/ / L dir. vetörünün büülüğü şelindedir. Yarıçapları ve d olan daireler arasında uaında d lı bir alandai girilebilir durumların saısı

62 5 d L d L d D ) ( (5.5) şelindedir. Birim alanda ( 1 L ) birim enerji bölgesi ) (E D içindei durumların oğunluğunu elde etme için d D de E D ) ( ) ( alalım buradai çarpanı spinden analanmatadır. Buna göre de d D E D ) ( ) ( (5.6) aılabilir. Enerji ödeğeri m E olduğundan me ve buradan da 1/ 1 E m de d (5.7) aılır. Bu durumda 1/ 1/ 1/ ) ( m E m E m E m E D (5.8) olur. Bu ifade enerjiden bağımsı bir sabittir ve 0 D olara adlandırılabilir. Şimdi TF alaşımındai eletron dağılımının sıcalı ve maneti alanla nasıl değiştiğine baalım. Fermi fonsionu T r V E B B e T r V E f / ) ( 1 1 / ) ( şelinde idi. Burada T=0 ve B=0 için ) ( 0 ) ( ) / ) ( ( r V E r V E e T r V E B (5.9) olur. Bu durumda Fermi dağılım fonsionu ) ( ) ( 1 ) ( 0 / ) ( r V E r V E r V E T r V E f B (5.10) şelinde bir basama fonsionu olur. Bu ifadei ve durum oğunluğunu (5.1) denlemindei eletron dağılımında erine oarsa ) ( / ) ( ) ( ) ( r V E m de T r V E f E de D r n B el (5.11) olur. Bir basama fonsionunun integrali 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ise f d f d (5.1) şelindedir. Bölelile (5.11) denlemi

63 53 n el V ( r) m m de V ( r) olacatır. 0 (5.13) T 0 ve B 0 için TF alaşımına göre eletron dağılımının nasıl olacağına baalım. (5.) denlemindei Fermi fonsionunda pa ve padaı çarpalım. Bölece EV ( r) / e ( r) / BT EV ( r) T f B E V / T e EV ( r) / BT B (5.14) 1 e ifadesi elde edilir. Bölece (5.1) denlemi e 1 e EV ( r) / T n B el D0 de EV ( r) / T aline dönüşür. Bu integralin sonucu da n el olur. D 0 BT ln 1 e ( V ( r) )/ BT B (5.15) (5.16) Son olara T 0 ve B 0 için TF alaşımına göre eletron dağılımının nasıl olacağına baalım. Eğer maneti alan varsa durum oğunluğu değişecetir. Enerji sevieleri süreli olmatan çııp Landau sevieleri olara bilinen esili enerji sevieleri alini alır. Denlem (3.97) ile tanımladığımı l nel dolulu çarpanı Landau sevielerinin doluluğunu gösterir. Buradan eletron oğunluğu n el (5.17) l olacatır. Dolulu çarpanı bir tamsaıa eşitse Landau seviesi tam doludur. Burada şimdili 1 alıp eletronların spin dejenereliği de esaba atılırsa n el 1 g s (5.18) l l şelinde olur. Burada g alınmış olup spin dejenereliğini göstermetedir. Bu durumda durum oğunluğu g D( E) s l n0 E E şelinde olur. Bölece eletron dağılımı n s (5.19) ile n el ( r) g E E f E V ( r) s de / n l n0 B T (5.0) şeline dönüşür. Dirac delta fonsionunun integral öelliğinden eletron oğunluğu

64 54 n el ( r) g s f E ( ) / n V r l n0 B T (5.1) olur. Eletron oğunluğunun (5.13) (5.16) vea (5.1) denlemlerindei gibi V (r ) potansieli cinsinden ifadesi Poisson denleminde erine aılırsa q V nel ( V ( r)) (5.) şelinde bir denlem elde edilir. Bu denlemin toplam eletron saısının orunumu şartı olan 3 N d r n ( r) o el (5.3) şartı ile birlite çöülmesi sonucunda aranan imasal potansiel V (r ) potansieli ve eletron oğunluğu elde edilebilir. Anca (5.13) (5.16) vea (5.1) denlemleri V (r ) potansieline nonlineer olara bağlı olduğundan (5.) denlemi de nonlineer bir diferansiel denlem olur ve bu denlemin saısal çöümü olduça ordur. Bu notada saısal problemde arşılaşılan ararsılı ve ırasama problemlerini aşma için daa önce Gerardts ve aradaşları (Lier ve Gerardts 1994; O ve Gerardts 1997; Güven ve Gerardts 003; Siddii ve Gerardts 003) tarafından ullanılan alaşıma bener bir alaşım ullanılmıştır. Bu alaşımla ilgili temel algoritma aşağıda sunulmuştur. Tomas-Fermi-Poisson denlemlerinin çöümü için ullanılan algoritma Yuarıda tanımlanan TF alaşımı çerçevesinde (5.) ve (5.3) denlemleri ile birlite (5.13) (5.16) vea (5.1) denlemlerinden biri ullanıldığında sistemin eletrostatiğini tanımlaan apalı bir denlemler taımı elde edilir. Bu denlem taımının öellile sonlu sıcalı ve sonlu maneti alan durumundai çöümünü elde etme için şu ol taip edilir. İl önce sıfır sıcalı ve sıfır maneti alana arşılı gelen (5.13) denlemi (5.) ve (5.3) denlemlerile birlite öuumlu olara çöülere maneti alanın oluğunda ve sıfır sıcalıtai eletron dağılımı elde edilir. Bundan sonra eterince üse bir T sıcalığında maneti alan oen sistemin eletrostatiğini tanımlaan (5.16) (5.) ve (5.3) denlemleri ine öuumlu olara çöülere imasal potansiel V (r ) potansieli ve eletron oğunluğu elde edilir. Bu aşamada çöümü elde etme için normal fonsionların ölerini bulmata ullanılan Newton-Rapson

65 55 algoritmasının fonsioneller için ugun şeilde genelleştirilmiş bir formu ullanılır. Bu genelleştirilmiş Newton-Rapson algoritması temel olara şu şeilde çalışmatadır: (5.16) (5.) ve (5.3) denlemlerinin gerçe çöümüne arşılı gelen imasal potansiel * ve eletrisel potansiel * ( r ) adımdan elde ettiğimi potansiel fonsionunun V (r ) V olsun. Öte andan bir öncei olduğunu ve bir il tamin olara ullandığımıı varsaalım. Gerçe potansielle bu il tamin arasındai farı V (r) ile gösterirse * V ( r) V( r) V ( r) (5.4) şelinde aabiliri. Denlem (5.4) dei eletron oğunluğu denlemile verilir. Bu durumda Poisson denlemi n el bu durumda (5.16) * q V V V nel ( V V ) (5.5) şelinde aılabilir. n el i V civarında Talor serisine n el nel ( V V ) nel ( V ) V (5.6) V şelinde açabiliri. Bölece (5.5) denleminde sadece birinci mertebe terimler tutulursa q q nel V V nel ( V ) V V denlemi elde edilir. Denlem (5.16) ve (5.1) e göre eletron oğunluğu potansiele ve imasal potansiele göre türevleri arasındai ilişii n el V nel şelinde aabiliri. Bölece (5.7) denlemi q q nel V V nel ( V ) V a da (5.7) (5.8) (5.9) q nel q V V V nel ( V ) (5.30) n el in şelinde aılabilir. Burada eşitliğin sol tarafındai iinci terimin atsaısını p ile eşitliğin sağ tarafını ise f ile gösterirse V pv f (5.31)

66 56 potansiel fonsionundai ata V için poisson denlemine bener lineer bir terim içeren bir denlem elde edilir. Burada Denlem (5.31) q n el q p f V nel ( V ) dir. V için Poisson denlemi formunda bir denlemdir. Bu denlemin saısal çöümü ile ilgili arıntılı bilgi daa sonra verilecetir. Bu denlemin çöümünden elde edilen V bir öncei adımdan elde edilen potansiele elenere eni potansiel fonsionu elde edilmiş olur. Ardışı ii adımda elde edilen potansiel fonsionlarını V n1 V n V n1 n V ve V ile gösterirse Newton-Rapson algoritmasının bir adımı (5.3) şelinde ifade edilir. Daa sonra bu eni potansiele arşılı gelen imasal potansiel ve eletron oğunluğu (5.16) ve (5.3) denlemleri ullanılara elde edilir. Ardışı ii adım arasında potansielde medana gelen değişim eterince üçü olana adar bu işleme devam edilir. Maneti alanın oluğunda üse sıcalıta çöüm elde edilditen sonra anı sıcalı için maneti alan varen çöüm elde edilir. Bunun için uarıda verilen Newton-Rapson algoritmasında başlangıç değeri olara maneti alan oen elde edilen sonuçlar ullanılır. Daa sonra sıcalı ademeli olara edeflenen sıcalığa adar düşürülür. Bu aşamada er bir sıcalı adımında Newton-Rapson algoritması terarlanır. Her sıcalı adımında başlangıç değeri için bir öncei sıcalı adımında elde edilen sonuç ullanılır. Yuarıda verilen Newton-Rapson alaşımına daalı algoritmanın ugulanması sırasında er iterason adımında Den. (5.31) ile verilen Poisson denlemine bener denlemin çöülmesi gereir. Bu denlemin birço defa çöülmesi geretiğinden bu denlemin çöümünde ullanılan alaşımlar burada ele alınan KHO tabanlı araçların incelenmesi açısından son derece önemlidir. Bu denlemin çöümünde mümün olduğunca ılı alaşımlar ullanılması fadalı olacatır. Bu açıdan bir sonrai bölümde bu çalışmada Poisson denleminin çöümü için ullanılan öntemler anlatılacatır.

67 Ardışı Aşırı Durulma Yöntemi Denlem (5.31) ile verilen Poisson denlemi beneri ifadenin saısal çöümü için il aşamada incelenece apıı temsil eden ugun bir mes oluşturulur. Daa sonra (5.31) denlemi bu mes üerinde ugun bir far alaşımı ullanara düenlenir. Bu durumda (5.31) denlemi bir matris denlemi formuna dönüşür. Şimdi bir ) ( fonsionu için oluşturulan mes için eseni doğrultusunda adım aralığının olduğunu varsaarsa sonlu farlar alaşımı çerçevesinde ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( O d d (5.33) olur. Burada mertebesinde olan ata terimini imal ederse ve bener şeildei açılımları ve doğrultuları için aarsa ) ( ) ( ) ( ) ( d d (5.34) ) ( ) ( ) ( ) ( d d (5.35) ifadeleri elde edilir ve sırasıla ve önlerindei mes aralılarıdır. Şimdi (5.31) denlemini fonsionu için aarsa f p (5.36) olur ve bu denlemin arteen oordinatlarda açı ali f p (5.37) şelindedir. Buradai ısmi türevler için (5.33) (534) ve (5.35) denlemlerini ullanıp ) ( i çeerse ve elde ettiğimi sonucu ~ ile gösterirse

68 58 ) ( ) ( )] ( ) ( [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( )] ( ) ( [ ) ( ) ( ~ f p p p p (5.38) ifadesini elde ederi. Bu denlemden de görüldüğü gibi uadai bir notada fonsionunu belirleebilme için omşu 6 notada fonsionunun değerini bilme gereir. Eğer başlangıçta fonsionunun er notadai değerini alaşı olara bildiğimii varsaarsa o aman belirli bir nota etrafındai altı notada fonsionunun esi değerlerini ullanara bu notadai fonsionu için eni bir ~ değeri esaplaabiliri. Bu işlemi örgü üerindei er nota için terar edere ilerlediğimide eğer bir öncei adımda bulduğumu değerlerle bir sonrai adımda bulduğumu değerler arasındai far sıfırsa (vea eterince üçüse) bu durumda aradığımı çöümü elde etmiş oluru. Bu alaşıma ardışı durulma alaşımı denir. Ardışı durulma alaşımında er bir adımı n üst indisi ile gösterirse bu alaşım semboli olara ~ n1 vea ) ~ ( 1 n n n şelinde ifade edilebilir. Burada ) ~ ( n farı n inci adımda fonsiona getirilen düeltmedir. Ardışı durulma iterasonlarını ılandırma için bu düeltme terimi belirli bir oranda artırılara orijinal fonsiona elenebilir. Yani ~ ) (1 ~ 1 w w w n n n n (5.39) şelinde aılabilir. w burada bir ağırlı atsaısıdır. Bu durumda w değeri 1 ile arasında seçilirse bu önteme Ardışı Aşırı Durulma (AAD) (Successive Over Relaation (SOR)) öntemi adı verilir. AAD önteminin ıını artırma için ugun bir w değeri seçme gerelidir. Anca en ugun w değeri ullanılsa bile buradai problemde (5.31) denleminin birço defa çöülmesi geretiğinden bu çöümün ço ılı bir şeilde apılması olduça önemlidir.

69 59 AAD önteminin daa da ılandırılması için birço farlı alaşım geliştirilmiştir. Bunların arasında multigrid öntemi olduça etin bir öntem olara arşımıa çımatadır Multigrid Yöntemi AAD öntemi ullanılıren arşılaşılan atanın Fourier analii incelendiğinde ısa dalga bolu ataların ıla aalmasına arşın uun dalga bolu ataların daa avaş aaldığı görülmüştür. Bu gerçeten ola çıılara aınsama sürecini ılandırma için multigrid öntemi geliştirilmiştir (Briggs ve ar. 000). Multigrid önteminde mes aralığı üçü olan bir örgüde bir mitar AAD iterasonu apıldıtan sonra alan ata esaplanır. Bu ata daa geniş mes aralılarına saip daa aba bir örgüe taşınır ve aba örgüde terar bir mitar AAD iterasonu apılır. Bu sefer bu aba örgüde alan ata daa da aba bir örgüe taşınır ve anı süreç terar edilir. Bu şeilde istenilen saıda farlı örgü ullanılabilir. En aba örgüe ulaşıldığında elde edilen far denleminin tam çöümüne ulaşana adar AAD iterasonlarına devam edilir. Anca bu aşamada örgüdei nota saısı ço a olduğu için bu işlem olduça ısa aman alır. Daa sonra aba örgüde elde edilen ata ince örgüe genişletilere çöüm fonsionuna elenir. Hatanın aba örgüe taşınması restriction ve bulunan çöümün ince örgüe taşınması süreci prolongation olara adlandırılır. Şimdi AAD iterasonları sonucunda (5.36) denlemi için ince örgüde elde edilen alaşı çöümü * ile gösterelim. Bu fonsiona arşılı gelen (5.36) denleminin sağ tarafındai ü terimi ise * f olsun ani * * * p f (5.40) şelinde aılsın. Şimdi (5.36) denlemini bu denlemden taraf tarafa çıarırsa * * * ( ) p( ) f f (5.41) * * elde edilir. Bu ifadede ( ) ata terimi ve f f artı ü terimi (residual) olara adlandırılırsa ata ile artı ü için p (5.4) denlemi elde edilir ve bu denlem başlangıçtai (5.36) denlemi ile anıdır. Bu şeilde esaplanan artı ü daa aba örgüe taşınır ve ata terimi için çöüm aba örgüde apılır. Elde edilen ata terimi öncei fonsiona elenere

70 60 * (5.43) eni çöüm elde edilir. Bu işlemler terarlanara ilerlendiğinde ardışı olara elde edilen sonuçlar gerçe çöüme AAD öntemine göre daa ılı aınsar. Artı ü teriminin aba örgüe taşınması Şeil 5.4. Multigrid önteminde ullanılan ince orta ve aba örgülerin boutlu durum için gösterimi Ugulamada olalı olması açısından genellile aba örgüdei örgü aralıları ince örgüdeinin tam ii atı olara seçilir. Böle bir durum ii bout için Şeil 5.4 de gösterilmiştir. Burada alt tabaada gösterilen aba gride ait örgü notaları ince örgüdei notalarla çaışır. Üstte gösterilen örgü ise ince örgüdür Şimdi er bir ince örgü notasındai artı ü terimini ile ve er bir aba notadai artı ü terimini ince i j gösterelim. aba i j Bu durumda aba örgüde sadece ince örgüdei çift indislere arşılı gelen notalar er alacatır ve aba örgüde er alan bir nota etrafında bulunan ve aba örgüde bulunmaan notalardan gelen artı ü bilgilerini de taşımalıdır. Bu amaçla değişi stratejiler ullanılabilir. Eğer basit ağırlılı ortalamaları ullanaca olursa ii bout için aba örgüdei artı üler aba i j 1 ince 1 ince i j ( i1 j ince ( i1 j 1 16 ince i1 j 1 ince i1 j ince i j1 ince i1 j 1 ince i j 1 ince i1 j 1 ) ) (5.44)

71 61 ifadesinden esaplanabilir. Anı ifade üç bout için aıldığında aba örgüde er alan bir nota etrafında bulunan ince örgüe ait 6 notadan atı gelir. Bu durumda aba örgüde er alan bir notadai artı ü aba 1 i j ince i j ince i1 j ince i1 j1 ince i1 j 1 ince i j1 1 ince i1 j1 1 ince i1 j1 1 ince i1 j ince i1 j1 ince i1 j 1 ince i j1 1 ifadesinden esaplanır. ince i1 j1 1 ince i1 j1 1 ince i j1 ince i j1 1 ince i1 j1 ince i1 j 1 ince i j1 ince i1 j1 1 ince i1 j11 1 ince i j1 1 ince i1 j1 ince i1 j 1 ince i j 1 ince i1 j1 1 ince i1 j1 1 ince i j 1 (5.45) Hata teriminin ince örgüe aılması Yuarıda anlatılan şeilde artı ü terimi aba örgüe taşınıp aba örgüde ata terimi elde edilditen sonra bu ata teriminin ince örgüe aılması için bir starateji ullanılması gereir. Bu anlamda en basit strateji ince örgüdei notalarda ata teriminin bulunması için basit interpolason ullanmatır. Böle bir durumda ince örgüdei bir nota dört farlı onumda bulunabilir. i) İnce örgüdei nota aba örgü ile çaışır. Bu durumda ince örgüdei notanın bütün indisleri çifttir ve bu notadai ata terimi (5.46) ince aba i j i j ile verilir. ii) İnce örgüdei nota aba örgüdei ii nota arasındadır. Bu durumda ince örgüdei notanın bütün indislerinden birisi tetir. Te olan indisin doğrultusuna arşılı geldiğini varsaalım. Bu notadai ata terimi ince 1 aba aba i1 j ( i j i 1 j ) (5.47) ile verilir. Diğer doğrultulara arşılı gelen indislerden birirnin te olması alinde de bener ifadeler ullanılır.

72 6 iii) İnce örgüdei nota aba örgüdei notalara göre öşegen doğrultuda dört notanın ortasında er alır. Bu durumda ince örgüdei notanın indislerinden iisi tetir. Bu notadai ata terimi ince 1 aba aba aba aba i1 j1 ( i j i 1 j i j1 i 1 j1 ) (5.48) 4 ile verilir. Te olan indislerin olası diğer ombinasonları için de bener ifadeler ullanılır. iv) İnce örgüdei nota aba örgüdei notalara göre cisim öşegeni doğrultusunda er alır. Bu durumda etrafında aba örgüe ait en aın sei nota vardır ve ince örgüdei notanın indislerinin epsi tetir. Bu notadai ata terimi ince i1 j1 1 ile verilir. 1 ( i 8 aba j aba i1 j1 aba i1 j aba i1 j 1 aba i j1 aba i j 1 aba i j1 1 aba i1 j1 1 ) (5.49)

73 63 6. SONUÇLAR Hesaplamalarda çiftlenmiş Tomas-Fermi-Poisson denlemlerinin çöümü 5. bölümde verilen genelleştirilmiş Newton-Rapson algoritması aracılığıla elde edilmiştir. Bu amaçla Newton-Rapson algoritmasının er adımında Poisson denlemi AAD ve multigrid öntemleri ullanılara çöülmüştür. Bölece daa önce 4. Bölümde tartışılan KHO tabanlı araçlar için eletron dağılımları ve eletrostati potansiel elde edilmiştir Kuantum Hall Çubuğu İçin Sonuçlar Hesaplamalarımıda il olara ele aldığımı apı Şe de görülen uantum Hall çubuğudur. Hesaplamalarımıda bu çubuğun boutlarını önünde 600 nm önünde 000 nm ve önünde de 1000 nm aldı. İi düğüm notası arası mesafe 10 nm olara alınmıştır. Çubuğun er ii anında sınır oşulları için 150 nm li ii apı erleştirilmiştir. BEG üeden 90 nm donor tabaası ise 50 nm derindedir. Hesaplamalar üç boutlu Poisson denlemi ve TF denleminin ö-uumlu olara çöülmesile elde edilmiştir. Kuantum Hall çubuğu için esaplamalar apı geriliminin değişimi ugulanan maneti alanın değişimi ve farlı donor oğunluları için apılmıştır. Şeil 6.1. Kuantum Hall Çubuğunun şemati gösterimi. Yapının boutları önünde 600 nm önünde 000 nm ve önünde de 1000 nm dir.

74 Kuantum Hall Çubuğunun davranışına farlı apı gerilimlerinin etisi Şeil 6.1 dei apıda 1.4 K sıcalıta ve 7.4 T maneti alan altında apı gerilimlerini -1.0 V -1.5 V ve -.0 V değerleri için Şeil 6. de görülen onuma bağlı eletron dağılımı grafiği ile Şeil 6.3 de görülen onuma bağlı potansiel grafileri elde edilmiştir. Ortalama eletron oğunluğu n n e ve donor oğunluğu n d çubu bounca 11 e nd cm olaca şeilde eşit alınmıştır. Yani nötralli sağlanmıştır. Şeil 6.. Şeil 6.1 de görülen apıda 1.4 K sıcalıta ve 7.4 T maneti alan altında apı gerilimlerinin V V ve -.0 V değerleri için elde edilen onuma bağlı eletron dağılımının dolulu çarpanı cinsinden gösterimi Şeil 6. de -1.0 V ırmıı ren -1.5 V eşil ren ve -.0 V mavi ren ile belirtilmiştir. Şeil 6. de apılara ugulanan tüm gerilimlerde eletron oğunluğu civarında platolu bir apı göstermetedir. Kenardan içerie doğru gideren eletronlar 1. Landau seviesine arşılı gelen durumları doldurmaa başlar. Kısmen dolmaa başlaan 1. Landau seviesinde eletronların raat areet etmelerine olana sağlaan boş erler olduğu için bu bölge tıpı bir metal gibi davranacatır ve sııştırılabilir şerit olara adlandırılır. Bu esnada areetli eletronlar birbirilerile etileşere bir perdeleme potansieli oluştururlar. Eletronlar daa sonra Landau

75 65 seviesini tam olara doldurmaa başlarlar. Tam dolu ısma eni bir eletron eleneme ve perdeleme potansieli oluşma. Bu nedenle bu bölgeler sııştırılama şerit olara adlandırılır ve alıtan gibi davranır. Şeil 6. de civarında gölenen platolar sııştırılama şeritlere arşılı gelmetedir. Bu sonuç Clovsii ve ar.(199) geliştirdiği modelle uum göstermetedir. Şeil 6.3. Şeil 6.1 de görülen apıda 1.4 K sıcalıta ve 7.4 T maneti alan altında apı gerilimlerini V V ve -.0 V olara değiştirilmesi sonucu elde edilen onuma bağlı potansielinin gösterimi Şeil 6.3 Poisson denleminin çöümünden elde edilen potansielleri göstermetedir. Potansiellerde gölenen platolar sııştırılabilir şeritlere den gelen potansiellerdir. Kapı geriliminin artması eletronların meree doğru toplanmasına sebep olmata ve enarlardai eletronların bulunmadığı bölgede perdeleme olmadığından potansiel ço ılı düşmetedir. Eletronların bulunmadığı bölgenin genişlemesi potansielin daa derinleşmesine sebep olmatadır. Anı eti Şeil 6. de görüldüğü gibi apı gerilimlerinin artması sııştırılama şeritlerin genişliğinin aalmasına neden olmatadır.

76 Kuantum Hall Çubuğunun Farlı Maneti alan şiddetlerindei davranışı oğunluğunu Şeil 6.1 dei apıda sıcalığı 1.4 K de apı gerilimini -1.5 V da ve donor n 11 e nd cm değerlerinde sabit tutup maneti alanı 3 T dan 8 T a adar değiştirirse Şeil 6.4 de görülen onuma bağlı eletron dağılımı grafiği ile Şeil 6.5 de görülen onuma bağlı potansiel grafilerini elde ederi. Şeil 6.4. Şeil 6.1. de görülen apıda maneti alanın 3 T dan 8 T a adar değiştirilmesile elde edilen onuma bağlı eletron dağılımının dolulu çarpanı cinsinden gösterimi Şeil 6.4 de dolulu çarpanının tam saı olduğu erlerde ani ve 4 de sııştırılama şeritler gölenmetedir. Denlem (3.97) e göre dolulu çarpanının değerinin maneti alanla ters orantılı olması Şeil 6.4 de açıça görülür. Sııştırılama şeritler önce apının orta bölgelerinde ortaa çııp maneti alan şiddetinin aalışıla birlite enarlara doğru ilerler bu sırada genişlileri de daralır. B=4 T civarında e arşılı gelen sııştırılama şerit emen emen abolur. Maneti alan şiddeti daa da düşürüldüğünde 4 dei sııştırılama şerit ortaa çıar. B=3 T da bu sııştırılama şerit olduça belirgindir. Buna arşın B=7 T dai sonuçta dei sııştırılama şeridin alınlığı olduça geniştir ve 4 dei

77 67 sııştırılama şerit gölenme. Çünü maneti alan arttıça Landau sevielerinin dejenereliği ani bir Landau seviesinin alabileceği eletron saısı artar. Bu durumda üse maneti alanda mevcut eletron saısı il Landau seviesini doldurur ve bir sonraine gere alma. Bu durumda B= 8 T da bir plato gölenmemesi normaldir. Şeil 6.5. Şeil 6.1 de görülen apıda maneti alanın 3 T dan 8 T a adar değiştirilmesile elde edilen onuma bağlı potansielin gösterimi Şeil 6.5 dei potansiel grafiğinde potansielde değişimin gölendiği üçü bölge içerdei üçü arıntılı grafi ile gösterilmiştir. Bu arıntılı grafite potansielin sabit gibi davrandığı plato bölgeleri sııştırılabilir şeritlere arşılı gelen bölgelerdir. Potansielin ılı değiştiği bölgeler ise sııştırılama şeritlere a da eletron bulunmaan bölgelere arşılı gelir. B=8 T da maneti alanlar ço büü olduğundan sııştırılama şeritler gölenme ve potansielde ortada geniş bir plato oluşur. 3 T dan 7 T a adar sııştırılabilir şeritleri temsil eden platoların genişliği bari artmatadır. Sııştırılama şeritlerin dışında alan bölgedei ısımlar sııştırılabilir bölgeleri temsil eder.

78 Kuantum Hall Çubuğunun Farlı donor oğunlularındai davranışı Şeil 6.1 dei apıda sıcalığı 1.4 K de apı gerilimini -1.5 V da ve maneti alanı 7.4 T da sabit tutup ortalama eletron ve donor oğunluları n 11 e nd cm n 11 e nd cm n 11 e nd cm ve n 11 e nd cm olaca şeilde değiştirilere Şeil 6.6 da görülen onuma bağlı eletron dağılımı grafiği ile Şeil 6.7 de görülen onuma bağlı potansiel grafileri elde edilmiştir. Şeil 6.6. Şeil 6.1 de görülen apıda ortalama eletron ve donor oğunluğunun farlı değerleri için elde edilen onuma bağlı eletron dağılımının dolulu çarpanı cinsinden gösterimi Sistem de toplam ü nötralitesi sağlandığı için donor oğunluğunun artmasıla eletron oğunluğunun artması normaldir Şeil 6.6 da bu durum açıça gölenmetedir. de gölenen sııştırılama şeritler donor oğunluğunun artmasıla enara doğru amata ve incelmetedir. Genel olara donor oğunluğunun ve dolaısıla eletron oğunluğunun artışı maneti alanın aalışı ile bener eti göstermetedir. Maneti alanın aalması bir Landau seviesinde birim alana erleşebilece eletron saısının aalmasına dolaısıla da net olara bir eletron falalığına sebep olur.

79 69 Şeil 6.7. Şeil 6.1 de görülen apıda ortalama eletron ve donor oğunluğunun farlı değerleri için elde edilen potansielinin gösterimi Şeil 6.7 de donor oğunluğu ve buna arşılı da eletron oğunluğu arttıça BEG sisteminin perdeleme apasitesi artmatadır. Bölece perdelenmiş potansielin derinliği de donor saısındai artışla birlite aalmatadır. Şeil 6.7 dei potansiel grafiğinde potansielin sabit gibi davrandığı plato bölgeleri sııştırılabilir şeritlere arşılı gelen bölgelerdir. Potansielin ılı değiştiği bölgeler ise sııştırılama şeritlere arşılı gelir. n e n d cm oğunlu değerinde perdelenmiş potansiel en derinde olup bunun nedeni a eletron saısı nedenile oluşaca perdelemenin potansieli pe etilememesidir. Buna arşın n 11 e nd cm oğunlu değerinde ço saıda eletronun oluşturacağı perdeleme potansieli daa fala etileecetir.

80 Aaronov-Bom İnterferometresi İçin Sonuçlar AB etisile ilişili düşü boutlu deneler er erde tedüe maneti alan ullanımı nedenile bu etii tam olara göstermeler (Datta 1995). Orijinal AB etisile benerliler sadece geometride ve bir maneti alanın varlığındai bir fa olaındadır. Bu denesel çalışmalardan birisi de Camino ve ar. (005) tarafından çalışılan uantum Hall rejimindei bir uantum eletron interferometresidir. Bu araştırmacılar dirençtei osilasonları denesel olara göleebilme için üse mobiliteli bir AlGaAs/GaAs eteroelem malemede imasal ama ile tanımladıları ala etrafında uantum Hall rejimi altında BEG içerisinde şeillenen sııştırılama şeritleri orijinal AB etisindei eletron demetlerinin erine ullanmışlardır. Bölelile bu etii anlama için sııştırılama şeritlerin dağılımı aında bir bilgie saip olma olduça önemlidir AB İnterferometresi İçin Kapı Gerilimi Taraması Kuantum Hall olaı tabanlı araçlar üerine teori ve denesel çalışmalar son ıllarda artmatadır. MZ interferometresi gibi eletroni girişim agıtlarının üretimine (Ji ve ar. 003) ol açan nanotenolojide önemli ilerlemeler vardır. MZ interferometresinin başarılı olara anlaşılması bener Hall olaı tabanlı araçlara olan ilgii uarmıştır. Bu uantum agıtlarından biri de AB interferometresidir. AB interferometresi alanlar sıfır olsa bile potansieller ullanara uantum meanisel etilerin gölenmesinden ibaret olan AB etisidir (Aaronov ve Bom 1959). AB osilasonlarını göleme için interferometreler üse mobiliteli bir BEG üerinde litografi öntemlerle oluşturulabilir. Anca AB osilasonlarını göleme için apının boutu ço üse mobiliteli numunelerde 100 nm civarında olan fa uunuluğu ile arşılaştırılabilir. Günümüde imasal ama öntemlerindei gelişmeler üçü uasi-balisti numunelere ve AB osilasonlarının farlı durumlarının üretimine müsaade eder. Bu önde son ii denesel çalışma rapor edilmiştir. (Olsanets ve ar. 005; Nomoonov ve Bov 005). KHO AB osilasonlarını gölemede bir agıt oluşturma için bir alternatif sağlar. KHO oşulları altında sııştırılabilir ve sııştırılama şeritler BEG enarı bounca şeillenirler ve enar durumları olara adlandırılırlar. Baı son denesel ve teori çalışmalar göstermiştir i aım genellile KHO oşulları altında sııştırılama

81 71 şeritler bounca aar (Alswede ve ar. 001; Güven ve Gerardts 003). Bölece bu sııştırılama şeritler eletron demetleri erine ullanılabilir. Fa uunluğu sııştırılama şeritte daa uundur. Çünü sııştırılama bir şeritte eletronlar olletif bir şeilde areet ederler. Daa büü boutlara saip bu apılar bir AB interferometresini oluşturma için KHO rejiminde ullanılabilir. Son amanlarda Camino ve ar.(005) Olsanets ve ar.(005) nın aptığından alaşı olara 10 at büü bir uantum Hall olaı tabanlı AB interferometresi apmışlardır ve uantum Hall rejimi altında AB osilasonlarını gölemişlerdir. AB interferometresini anlama için bu araştırmacılar üse mobiliteli bir AlGaAs/GaAs eteroelem maleme ullanmışlardır. Yüü şeilli bir apı tanımlama erine imasal ama ile dis şeilli bir apı tanımlamışlardır ve AB alası bu dis etrafında şeillenen sııştırılama şeritlerle tanımlanır. Yapıı tanımlaan oular sistemi sınırlama için ullanılır ve agıtın ön üündei apıların metali atıla doldurulmasıla elde edilir. Bu ısımda teori olara Camino ve ar. (005) nın AB interferometre agıtındai sııştırılama şeritlerin apı gerilimine ve apı şeline olan bağımlılığı incelenmiştir. Arıca apı gerilimi üerine AB osilasonlarının bağımlılığını ve apı gerilimi varasonunun olası etisini tartıştı. Burada ullanılan alaşım orijinal olara Gerardts ve ar.(güven ve Gerardts 003; Lier ve Gerardts 1994; O ve Gerardts 1997; Siddii ve Gerardts 003; Siddii ve Gerardts 004) tarafından geliştirilmiştir ve bunu modifie edere efi geomerilere ugulabilir ale getirilmiş ve sistem üerinden tüm ü nötralitesi orunmuştur. Şeil 6.8. a) 3 boutlu bir AB interferometresinin bir çiimi b) önü bounca görülen AB interferometresinin şemati bir gösterimi

82 7 Camino ve ar.(005) nın AB interferometresi epitasiel olara büütülmüş bir eteroapının AlGaAs/GaAs araüünde bulunan BEG ullanılara oluşturulmuştur. Onların AB interferometresini modelleme için bu çalışmada ullanılan apı Şeil 6.8 de çiilmiştir. Yüedei oular metali apılarla doldurulmuştur. Bu geometri için ne Davies in analiti ifadeleri ne de ana ü teniği ullanılabilir. Bölece apıların 3 boutlu omples geometrisi sistemin eletrostatiğinin tam bir tanımı için ugun sınır oşullarıla Poisson denlemini nümeri olara çömee orlar. Daa önce apılan bir çalışmada (Cice ve ar. 010) AB interferometresindei sııştırılama şeritlerin uasal dağılımı sadece te bir apı potansieli için elde edilmiştir ve AB osilasonlarının gölenebilirliği ve sııştırılama şeritlerin uasal dağılımları arasındai ilişi tartışılmıştır. Anca Poisson denlemini sadece B=0 durumu için çömüşler ve anı sınırlaıcı potansieli sonlu B durumu içinde ullanmışlardır. Bölece alaşımları biim burada tanımladığımı gibi tam olara ö uumlu değildir. Hesaplamalarımıda AB interferometresindei sııştırılama şeritlerin uasal dağılımının ugulanan apı gerilimlerine bağımlılığını inceledi. Bunu apma için Şeil 6.8 de gösterilen apıı gö önüne aldı. Yapının boutları ve önlerinde sırasıla 600 nm 000 nm ve 1000 nm alınmıştır. önündei sınırlamaı sağlama için önünde apının enarlarına ii an apı erleştirdi. Bu enar apılarının genişliği 50 nm alınmıştır ve bu apılara ugulanan gerilim -0.7 V alınmıştır. Camino ve ar.(005) nın denesel düeneğindei gibi ou erler üeden 80 nm aşağıa adar doldurulmuştur ve bu oular metali apılar olara düşünülmüştür. BEG üeden 10 nm aşağıdadır. Sabit bir maneti alan şiddeti B=3 Tesla düşündü ve sıcalı T=1.4 K dir. nd ionie donor oğunluğu 11 n d cm olara alınmıştır ve uarıda değinildiği gibi tüm üler üerinden nötralite orunmuştur. Kapılar arasındai mesafenin etisini belirleme için esaplamaları üç farlı apı mesafesi için aptı (Bu mesafe Şeil 6.8 de d olara belirtilmiştir). 430 nm li bir apı mesafesi için sonuçlar Şeil 6.9 da gösterilmiştir. Burada dou tane panel vardır ve bu panellere den gelen apı potansiel değerleri panelin üstünde belirtilmiştir. Her panel BEG eletron oğunluğunun bir ontur çiimini gösterir bir Landau seviesinin tam dolu olduğu sııştırılama şeritler sarı rente gösterilmiştir. Şeil 6.9 dan da görüldüğü gibi boğalardai (apılar arasındai

83 73 boşlular) sııştırılama şeritler -0.5 V a adar apı gerilimleri için üst üste binme. Eğer apı gerilimi artırılırsa sııştırılama şeritler üst üste binmee başlar. Sııştırılama şeritler üst üste bindiğinde boğa bir eletron demet arıcı gibi davranır ve AB osilasonları gölenebilir. Anca -0.7 V civarında sııştırılama şeritler eniden arılır bölelile AB osilasonları daa fala göleneme. Kapı voltajındai daa ileri bir artış -1.4 V civarında sııştırılama şeritler iinci bir üst üste binmesine ol açar bölece eniden AB osilasonları gölenebilir ale gelir. Kapı geriliminin daa fala artışı -1.8 V civarında sııştırılama şeritleri aırır ve AB osilasonları abolur. Şeil 6.9. Farlı apı gerilimleri için eletron dağılımlarının ontur grafileri. Kapılar arası d mesafesi 430 nm dir. Ren salası grafilerin altında verilmiştir. Sııştırılama şeritler sarı olara gösterilmiştir.

84 74 40 nm li bir apı aralığı için sonuçlar Şeil 6.10 da gösterilmiştir. Şelin düenlenimi Şeil 6.9 a benemetedir. Sııştırılama şeritlerin genel davranışı 430 nm li apı aralığı için olan duruma benemetedir. Bu sefer durumların üst üste binmesi -0.6 V da başlar -0.8V da arılır -1.V da eniden üst üste binerler ve sııştırılama şeritler sonunda -1.7V da arılır. Daa dar bir apı aralığına saip olma daa üçü bir aralığa neden olur bu aralı AB osilasonlarının gölenemediği potansiel aralığıdır. Anca toplam potansiel aralığının genişliği fala değişme. Şeil Farlı apı gerilimleri için eletron dağılımlarının ontur grafileri. Kapılar arası d mesafesi 40 nm dir. Ren salası grafilerin altında verilmiştir. Sııştırılama şeritler sarı olara gösterilmiştir.

85 75 Şeil nm li bir apı aralığı için çeşitli apı gerilimlerindei sııştırılama şeritlerin uasal dağılımını gösterir. Bu durumda sııştırılama şeritlerin üst üste binmesi eniden -0.6 V da başlar anca bu sefer apı gerilimini artırma -1.5 V a adar AB osilasonlarının bir esişimine ol açma. AB osilasonları tüm aralıta gölenebilir olmasına rağmen osilasonların genliği apı gerilimi ile değişir. Bu genli değişimi sııştırılama şeritlerin üst üste binmesine göre açılanabilir. Boğalar arasındai sııştırılama şeritlerin girişim bölgesinin ortalama arıçapı büü olduğunda girişimin güçlü olduğu düşünülebilir ve üst üste binme üçü olduğunda girişim de aıf ale gelecetir. Şeil Farlı apı gerilimleri için eletron dağılımlarının ontur grafileri. Kapılar arası d mesafesi 410 nm dir. Ren salası grafilerin altında verilmiştir. Sııştırılama şeritler sarı olara gösterilmiştir.

86 76 Camino ve ar.(005) orijinal denesel çalışmalarında apı potansiellerini sabit tutup maneti alan şiddeti üerinden bir tarama apmışlardır. Burada bi gösterdi i maneti alanı sabit tutma ve apı potansiellerinin bir taramasını apma AB osilasonlarınındai bener bir gölenime neden olacatır. AB interferometresinde gölenen osilasonların saısı eletron demetleri ile çevrelenmiş maneti aı uantası saısındai değişime eşit olacatır. Kapı potansielini değiştirdiğimide sadece sııştırılama şeritler ile çevrelenmiş alanı değiştiriri bu üden maneti aı uantasındai değişim maneti alanın değişimile arşılaştırıldığında olduça üçü alacatır. Bölelile apı potansieli taramasıla gölenebilece sadece biraç osilason belenir. Bu ısımdai esaplamalar ardışı durulma öntemile apılmıştır ve sonuçlar Superlattices and Microstructures dergisine sunulmuş olup abul edilmiştir (Ötür ve ar. 01) AB İnterferometresi İçin Maneti Alan Taraması Maneti alanın etisini göleebilme için Şeil 6.8 de çiilmiş apıa farlı maneti alan şiddetleri ugulanara sııştırılama şeritlerin birbirile teması gölenmee çalışılmıştır. Şeil6.8 dei apılar oulara doldurulmuştur. Denesel çalışmala benerli için Şeil6.8 dei oulu apıı düşündü. Kapılar bu ouların üeden 80 nm aşağıa doğru doldurulmasıla elde edilir. Tüm apılara ugulanan potansiel -0.7 V değerindedir. önünde apının enarına doğru ii apı erleştirdi. Bu apıların genişliği 50 nm dir apının önündei uunluğu 000 nm dir. BEG üeden 10 nm aşağıdadır. Ortalama eletron oğunluğu oğunluğu n d n d n e cm n e ve ionie donor şelinde eşit alınmıştır bölelile tüm üler üerinden nötralite sağlanmıştır. ve önlerinde apının boutları sırasıla 600 nm 000 nm ve 1000 nm alınmıştır. Tamamıla dolu Landau sevielerile şeillenen sııştırılama şeritler dolulu çarpanı n el / eb nin çift bir tamsaıa eşit olduğu erde bulunurlar. AB beneri bir apıda bunu elde etme için sııştırılama şeritler bir maneti aı ile çevrelenmiş dairesel bir ol oluşturmalıdırlar. Sonuçlar Şeil 6.1 de gösterilmiştir burada dolulu çarpanları farlı maneti alan değerleri için uasal oordinatların bir fonsionu olara gösterilir. Şeil 6.1 de gösterildiği gibi maneti alanın farlı değerleri için

87 77 sııştırılama şeritler eletron dağılımında olaca görülebilir sııştırılama şeritler dolulu çarpanı iie den gelmetedir ve sarı renle belirtilmiştir. Şeil 6.1a da maneti alan.8 T dedir sııştırılama şeritler gölenir anca birbirile temas etme. Maneti alanın bu değerinde bir girişim örneği gölemei belemei. Şeil 6.1b de maneti alan şiddeti.9 T dır burada sııştırılama şeritler birbirine alaşır anca ala üst üste binme otur ve ine bir girişim belenme. Şeil 6.1c ve 6.1d sırasıla 3.0 T ve 3.1 T a arşılı gelir maneti alanın bu değerlerinde sııştırılama şeritler birbirine dounur ve bir girişim deseninin gölenmesini beleri. Eğer maneti alanı daa fala artırırsa sııştırılama şeritler terar arılacatır ( bu sefer die önde) ve eniden bir girişim gölenmeecetir. Burada elde edilen sııştırılama şeritlerin genel davranışı Camino ve ar. (005) nın denesel sonuçlarıla uumludur. Buradai esaplamalar multgrid öntemile apılmış olup sonuçlar HMF-19(Te 19t International Conference on te Application of Hig Magnetic Fields in Semiconductor Psics and Nanotecnolog) da tam metinli poster olara sunulmuştur (Otur ve ar. 011).

88 78 Şeil 6.1. Farlı maneti alan değerleri için dolulu çarpanlarının ontur grafileri. Sarı ren dolulu çarpanı ii için sııştırılama şeritleri belirtir Sııştırılama Şeritlerin Çevrelediği Alan ve AB Osilasonları AB interferometresi denelerinde apınının bouna direnci maneti alanın değişimile birlite salınımlar apar. Eletron demetleri arasında alan bölgenin çevrelediği magneti aının bir magneti aı uantası adar artması dirençtei bir tam osilasona arşılı gelir. Sııştırılama şeritler apalı bir alan oluşturaca şeilde birbirleri ile temas etmelerse AB osilasonları da gölenme. Maneti alana bağlı olara medana gelen osilasonların periodunun büülüğü ( B ) eğer ugulanan maneti alanın şiddetinden ço üçüse bu periot sııştırılama şeritlerin oluşturduğu apalı alanın büülüğüle ters orantılıdır:

89 79 0 S m (6.1) B Burada 0 magneti aı uantası ve S m çevrelenen alandır. Denesel e olara osilason periodu belirlenere buradan apalı alanın büülüğü elde edilebilir. Yuarıda basedilen denesel düeneği ullanara Camino ve ar.(005) bu alanın ugulanan apı gerilimi ile değişimini incelemişler ve Şeil 6.13 de verilen sonuçları elde etmişlerdir. (a) (b) Şeil a) Ortalama maneti alanın ugulanan apı gerilimine göre grafiği b) Osilason esnasında esaplanan alanın ugulanan apı gerilimine göre grafiği (Şeil Camino ve ar.(005) dan alıntılanmıştır). Bu çalışmada oluşan bu apalı alanın ugulanan apı gerilimi ve maneti alanla değişimini teori olara inceleme için Şeil 6.8 dei geometrie bener bir geometri alınmış anca apıların derinde değilde sadece üede olduğu varsaılmıştır. Kapılar arası mesafe olara tanımlanan d 160 nm alınmıştır. Kullanılan apı geometrisi Şeil 6.14 de arıntılı olara gösterilmiştir. Bu apılara ugulanan belirli gerilimlerde AB osilasonlarının gölenmesi belenen sııştırılama şeritlerin birleşere apalı bir alan oluşturacağı maneti alan değerlerini belirleme için maneti alan taraması apılmıştır. Taramaa apı gerilimi V g =-50 mv dan başlanmış ve -400 mv a adar -5 mvlu aralılarla gidilmiştir. Daa sonra daa üse apı gerilimlerindei etii göeleebilme için -100 mv lu aralılarla mv a adar er bir apı geriliminde maneti alan taraması apılmıştır. Burada ine daa önce aptığımı gibi önünde apının enarına doğru genişliği 50 nm olan ii apı erleştirilmiş ve bunlara ugulanan gerilimler -0.7 V alınmıştır. Ortalama eletron oğunluğu ve ionie donor oğunluğu cm olara eşit alınara tüm üler üerinden nötralite sağlanmıştır. ve

90 80 önlerinde apının boutları sırasıla 600 nm 000 nm ve 1000 nm alınmıştır. BEG üeden 130 nm aşağıda olup donorlar 60 nm derinlitedir. d Şeil Kapılar arası mesafenin d=160 nm alındığı farlı bir AB interferometresi şeli Şeil AB interferometresinde sııştırılama şeritlerin apalı bir alan oluşturduğu ani osilasonların gölemlenmesi belenen en düşü maneti alan (B il ) ve en üse maneti alan (B son ) ve bunların ortalama değerlerinin (B ort ) ugulanan apı gerilimine arşı grafileri.

91 81 Sııştırılama şeritlerin birleşere çevrelediği apalı alanlar belirli maneti alan değerleri arasında gölenmiş olup şeritlerin il olara birleştiği ve eniden arıldığı alanlar ve ortalama değerleri Şeil 6.15 de çiilmiştir. Şeil 6.15 dei sia çigi apalı alanın oluştuğu il maneti alan değerleridir ( B il ). Bu değerde sııştırılama şeritler birbirine temas etmee başlar ve farlı sııştırılama şeritler bounca ilerleen eletronların girişimi sonucunda osilasonlar gölemlenmee başlar. Kırmıı çigi ise temasın esildiği andai maneti alan değerlerine arşılı gelen ani osilasonun bittiği andai maneti alan değerleridir ( B son). Yeşil çigi ise il maneti alan ve son maneti alan değerlerinin ortalamasıdır ( B ort ). Hesaplamalarımı sonucunda apı geriliminin neredese 375 mv a adar olan değerleri için bu en düşü ve en üse maneti alan değerleri ugulanan apı gerilimi ile emen emen lineer bir artış göstermetedir. Camino ve ar.(005) da denesel çalışmalarında bu apı gerilimi bölgesinde bener sonuçlar elde etmişlerdir (Şeil 6.13b). Şeil 6.15 te bu notadan sonra maneti alan değerlerinin önce bir masimuma ulaşıp daa sonra da düşüşe başladığı görülmetedir. Yalaşı olara lineer davranışın sona erdiği apı geriliminin 375 mv değeri için sııştırılama şeritlerin maneti alanla değişimi Şeil 6.16 da gösterilmiştir. Şeil 6.16 da B=.57 T da sııştırılama şeritler birbirile temas etmemetedirler. Maneti alan B=.58 T a çıartıldığında sııştırılama şeritler birbirilerile temas edere apalı alanı oluşturmaa başlarlar. Kapalı alan oluşumu maneti alan B=.78 T da son e gölenir B=.79 T da sııştırılama şeritler birbirinden arılır ve temas esilir.

92 8 Şeil6.16. V g = V için farlı maneti alan değerlerinde sııştırılama şeritlerin apalı alan oluşturması. Ren salası grafilerin altında verilmiştir. Sııştırılama şeritler sarı olara gösterilmiştir.

93 83 Şeil 6.17 de sııştırılama şeritlerin oluşturduğu apalı alanlar esaplanmış olup apı gerilimine arşı grafileri çiilmiştir. Burada sia notalar osilasonun başladığı il andai apalı alanlara ( S il ) arşılı gelmetedir. Kırmıı notalar ise osilasonun sona erdiği andai son apalı alanlara ( S son ) arşılı gelmetedir. Yeşil ters üçgenler ise bu alanların ortalama değerlerine ( S ort ) arşılı gelmetedir. 375 mv a adar il apalı alanların neredese sabit aldığı son ve ortalama apalı alanların neredese lineer bir şeilde arttığı gölenmetedir. 375 mv dan sonra apalı alan büülüleri beraber dügün bir şeilde aalmaa başlamıştır. Grafiten de görüldüğü gibi denesel ölçümler esnasında ullanılan 0 S m ifadesinin türetilmesi apalı B alanın büülüğünün magneti alanla birlite değişmediği varsaımına daalıdır. Anca Şeil 6.17 de de görüldüğü gibi apalı alanın büülüğü öellile düşü apı gerilimlerinde magneti alanla önemli ölçüde (%10-%0) değişir. Dolaısıla denesel olara verilen alan büülüleri ortalama bir B periodu ullanılara elde edildiğinden denesel değerlerin magneti alan penceresinin orta notasına arşılı geldiği abul edilebilir. Bu değerleri gösteren Şeil 6.17 dei ters üçgen formundai veriler apı geriliminin alaşı 350mV değerine adar denesel verilerde olduğu gibi lineer bir artış göstermetedir. Anca bu notadan sonra apalı alanın büülüğü önce bir masimuma ulaşmata ondan sonra terar aalara sabit bir değere aınsamatadır. Bu üse apı gerilimleri bölgesinde denesel veriler olmadığı için arşılaştırma apılamamıştır. Anca bu davranış belentilerimie ugundur. Şöle i apı geriliminin düşü değerlerinde potansiel daa umuşa bir değişim gösterdiği için sııştırılama bantlar olduça geniştir. Gerilimin artmasıla birlite bantların daralması çevrelenen alanın artmasına ol açar. Öte andan gerilimin artışı bantları içeri doğru ötelediği için alanda bir aalmaa sebep olur. Birbirine ters önde gelişen bu ii etiden birincisi düşü gerilimlerde basındır ve apı geriliminin artışıla bantlar önce ıla daralır daa sonra bant genişlileri alaşı anı alır. Dolaısıla üse apı gerilimlerinde iinci eti daa basın ale gelir ve apalı alan aalmaa başlar. Kapı gerilimi ço arttığında apalı alan artı apıların fiisel geometrisi ile belirlenen sabit bir değere aınsar. Zaten ço üse apı gerilimlerine doğru ilerlendiğinde AB osilasonlarının belirli bir esilim değerinden sonra tamamen abolması belenir.

94 Şeil Sııştırılama şeritlerin oluşturduğu apalı alanın ugulanan apı gerilimlerine arşı grafiği. 84

95 Mac-Zender İnterferometresi İçin Sonuçlar MZ interferometresi için apılan çalışmalarımıda Siddii ve ar.(008) ve Kavru (010) un çalışmalarındai geometrinin bir benerini ullandı. Bu geometri Şeil 6.18 de gösterilmiştir. Burada apılar eteroapının üerine erleştirilmiştir. Sağ ve sol taraftai uun didörtgen apılar eletronları o bölgee apsetmemii sağlar. Yaptığımı esaplamalarda bu didörtgen apılara ugulanan gerilim -1.5 V alınmıştır. Ortadai büü are apıa ugulanan gerilim -1.5 V diğer dörtgen apılar -1.0 V alınmıştır. Üçgen şeilli apılar uantum nota onta olara adlandırılır. MZ interferometresi için esaplamalar apıa ugulanan maneti alanın değişimi ve uantum nota ontalara ugulanan gerilimin değişimi için apılmıştır. Yapının boutları daa önce uantum Hall çubuğula anı olup önünde 600 nm önünde 000 nm ve önünde 1000 nm dir ve BEG üeden 90 nm donor tabaası da 50 nm aşağıdadır. Burada ortalama eletron oğunluğu n e ve donor oğunluğu n 11 e nd cm olaca şeilde eşit alınmıştır. n d Şeil Bir Mac-Zender interferometresinin şemati görünümü MZ İnterferometresi İçin Maneti Alan Taraması Şeil 6.18'dei apıda uantum nota ontalar -0.7 V da tutulup 1.4 K sıcalıta apıa ugulanan maneti alan 6.5 T' dan 9 T' e adar değiştirilirse

96 86 Şeil 6.19 elde edilir. Şeil 6.19a'da ugulanan maneti alan 6.5 T olup sııştırılama şeritlerde erangi bir temas görülmemetedir. Şeil 6.19b ve 6.19c'de maneti alan 7 T ve 7.5 T olup sııştırılama şeritler birbirlerine alaşmaa başlar. Şeil 6.19d ve 6.19e'de maneti alanlar sırasıla 8 T ve 8.5 T olup sııştırılama şeritlerin birbirine temas ettiği görülmetedir ve bu değerlerde sııştırılama şeritlerin bir girişim olaı oluşturduğu sölenebilir. Şeil 6.19f'de ise maneti alan 9 T şeritlerin birbirinden arılması net bir şeilde görülmetedir. Bölelile apıa ugulanan maneti alandai bir tarama ile sııştırılama şeritlerin birbirile teması sağlanıp MZ interferometresindei girişim olaı gölenebilir.

97 Şeil Bir MZ interferometresinde sııştırılama şeritlerin farlı maneti alanlardai davranışı. Ren salası grafilerin altında verilmiştir. Sarı ren dolulu çarpanı için sııştırılama şeritleri belirtir. 87