V vektörleri V nin bir bazı ise : { P 0, P 1,..,P n } nokta (n+1)-lisine A afin uzayının bir afin çatısı denir. Λ xyz açısının ölçüsü

Transkript

1 DİFRANSİYL GOMTRİ Taım (Af Uzay): A Φ V de K csm üzerde br vektör uzayı olsu. Aşağıdak öermeler doğrulaya f:axav foksyou varsa A ya V le brleştrlmş af uzay der..,q,r A ç f(,q)+f(q,r)=f(,r). A ve V ç f(,q) = olacak bçmde br tek Q A vardır. Taım (Af çatı): Br V vektör uzayı le brleşe af uzaylarda br A olsu. 0,,.., A oktaları ç 0,0,...,0 V vektörler V br bazı se : { 0,,.., } okta (+)-lse A af uzayıı br af çatısı der. Taım 3 (Açı): x, y,z der. Taım 4 (Öklt metrğ): d : ç X (x,y)d(x,y)= xy Λ xyz açısıı ölçüsü IR cosθ = xy xy, yz yz fadesdek θ ya şeklde taımlaa d foksyoua de öklt metrğ der. Taım 5 (Öklt çatısı): de sıralı br { 0,,.., } okta (+)-lse IR de karşılık gele {0,0,...,0 } vektör -ls IR ç br ortoormal baz se { 0,,.., } ssteme br dk çatısı veya öklt çatısı der. Taım 6 (Stadart öklt çatısı): dek { 0,,.., } çatısıa stadart öklt çatı der. Taım 7 (Öklt uzay): Br reel af uzayı A ve A le brleşe vektör uzayıda V olsu. V de br ç çarpım şlem olarak :, : VXV IR öklt ç çarpımı taımlaırsa A da uzaklık ve (x,y) x,y = xy = açı gb metrk kavramlar taımlaablr. ğer bu şeklde br metrk taımlaırsa bu af uzaya öklt uzay der. Taım 8 (Homeomorfzm): X ve Y brer topolojk uzay olsular. Br f:xy foksyou ç : -) f sürekl -) f - mevcut 3-) f - sürekl se f foksyoua homeomorfzm der. Bu durumda X ve Y uzaylarıa homeomorf uzaylar der. Taım 9 (Haussdorf uzayı): X br topolojk uzay olsu. X ve Q gb farklı k oktası ç X de sıralı,q oktalarıı çe ala A p ve A Q açık alt cümleler A A = Φ olacak şeklde buluablrse X topolojk uzayıa haussdorf uzayı der. Taım 0 (Topolojk mafold): M topolojk br uzay olsu. M ç aşağıdak öermeler gerçekleyorsa M ye -boyutlu br topolojk mafold der.. M br haussdorf uzaydır.. M her br açık alt cümles veya açık br alt cümlese homeomorftur. 3. M sayılablr açık cümlelerle örtüleblr. Taım (Dferasyelleeblr foksyo): f : U IR foksyou ç k. ( x,...x )f (x)=(f (x...,x ) Mertebede kısm türevler var ve sürekl seler f foksyoua k. Mertebede k dferasyelleeblr br foksyo der. f C (U,IR) şeklde gösterlr. Taım (Dış çarpım): Λ :T(V)ΘT(V) * Λ V (f.g)fλg=a (fθg) şeklde taımlı Λ foksyoua dış çarpım ve f Λ g altere tesörüede f ve g dış çarpımı der Taım 3 (Vektörel çarpım): X : IR xir IR le taımlaa X ç şleme vektörel çarpım der. (,β)=xβ=ψ(λβ) Q Created wth rtdf. To remove ths le, buy a lcese at:

2 Taım 4 (ğr): I IR açık alt cümle olmak üzere dferasyelleeblr : I IR t(t)=( (t ),... (t)) foksyou verlmş olsu. (I, ) koordat komşuluğu le taımlaa (I) ya de br eğr der.t ye se eğrs parametres der. Taım 5 (İversyo): Br eğrs ve sabt br O oktası verlmş olsu. k bell br reel sayı olmak üzere ı br oktasıı O ya brleştre O vektörü üzerde br oktası ç : O.O' = k se oktasıa oktasıı O ya göre vers der. Taım 6 (edal eğrs): Br eğrs ve sabt br O oktası verlmş olsu. O oktasıda ı teğetlere le ayak oktalarıı geometrk yere eğrs O oktasıa göre pedal eğrs der. O oktasıa da ı pedal oktası der. Taım 7 (arametre değşm): de br M eğrs (I, ) ve (J,β ) gb k koordat komşuluğu verls. h= - oβ:ji dferasyelleeblr foksyoua M br parametre değşm der. Taım 8 (Hız vektörü): Br M eğrs (I, ) koordat komşuluğu le de verls. :I foksyouu öklt koordat foksyou (,,.., ) olmak üzere (t) M ve ' d d d (t) = (,,..., ) t dr. Burada ( (t), (t)) tajat vektörü olup dt dt dt ( (t), (t)) T ((t)) dr. Bu tajat vektörüe M eğrs t I parametre değere karşılık gele (t) oktasıda (I, ) koordat komşuluğua göre br hız vektörü der. Taım 9 (Br eğr tajat uzayı): :I br eğr olsu. Bu eğr (t) oktasıdak hız vektörler cümles bu eğr bu oktadak tajat uzayı olarak adladırılır. ((t)) şeklde gösterlr. Taım 0 (Skaler hız foksyou): Br M eğrs (I, ) koordat komşuluğu le verls. ' : I IR şeklde taımlı ' foksyoua M eğrs (I, ) koordat t ' (t)= '(t ) komşuluğua göre skaler hız foksyou der. Taım (Brm hızlı eğr): Br M eğrs (I, ) koordat komşuluğu le verls. s I ç : '(s) = se M eğrse (I, ) koordat komşuluğua göre brm hızlı eğr der. s ye eğr yay parametres der. Taım (Yay uzuluğu): M eğrs (I, ) koordat komşuluğu le verls. a,b M olmak üzere a da b ye M eğrs yay uzuluğu dye eğr (a) ve (b) oktaları arasıdak b uzuluğa karşılık gele '(t) dt reel sayısıa der. a Taım 3 (Reguler eğr): Her oktasıdak hız vektörü sıfırda farklı ola eğrye der. Taım 4 (Vektör alaı): :I M eğrs komşuluğu (I, ) olsu. Bu eğr hız vektörü '(t) olsu. d özdeşzde '(t) = t olsu. Π : TM (M) M, Πo'= IM : M M = dt '(t)π('(t))=(t)=m şeklde yazılableceğ açıktır. O halde, M üzerde br vektör alaıdır. Bu vektör alaıa M eğrs (I, ) koordat komşuluğua göre teğet vektör alaı der. Taım (5) (Serret-freet r-ayaklı alaı): M eğrs (I, ) koordat komşuluğu le () (r) verls. Bu durumda ψ = {,..., } sstem leer bağımsız ve ( k), k >r ç (k) S p {ψ} olmak üzere ψ sstemde elde edle {V, V,.., V r } ortoormal ssteme M eğrs serret-freet r-ayaklı alamı ve m M ç {V (m), V (m),.., V r (m)} ssteme se m M oktasıdak serret-freet r-ayaklısı der. Her br V r vektörüe serretfreet vektörü veya freet vektörü der. T Created wth rtdf. To remove ths le, buy a lcese at:

3 Taım 6 (Oskülatör hperdüzlem): M eğrs (s) oktasıdak freet r-ayaklısı {V (s), V (s),.., V r (s)} olsu bu durumda (s) seçlmş br okta olmak üzere S p {V (s), V (s),.., V r (s)} vektör uzayı le brleşe af uzayıa (s) oktasıda M eğrs p. Oskülatör hper düzlem der. Taım 7: =3 de {T(s),N(s),B(s)} sstem freet 3 ayaklısıdır. S p {T(s),N(s)} le brleşe (s) dek af alt uzayıa oskülatör düzlem der. S p {N(s),B(s)} vektör uzayı le brleşe (s) dek af alt uzayıa ormal düzlem der. S p {T(s),B(s)} le brleşe (s) dek af alt uzaya rektafye düzlem der. Taım 8 (ğrlkler): M eğrs (I, ) koordat komşuluğu le verls. s I da (s) oktasıa karşılık gele freet r-ayaklısı {V (s), V (s),.., V r (s)} olsu. Bua göre : k : I IR şeklde taımlı k foksyoua M eğrs. ğrlk foksyou der. sk (s)= V' İ (S),Vİ+ (S) Brc eğrlğe eğrlk, kc eğrlğe burulma (torsyo) der. Taım 9 (ğrlk küres): M 3 eğrs le m M oktasıda sosuz yakı 4 oktası ortak ola küreye M m oktasıdak oskülatör küres yada eğrlk küres der. Taım 30 (ğlm çzgs): M eğrs (I, ) koordat komşuluğu le verls. s I yay parametres ç '(s) hız vektörü br u sbt vektörü le br sbt açı teşkl edyorsa : Ya ; '(s),u = cosφ = sbt φ Π se M eğrse br eğlm çzgs ve φ ye eğlm açısı ve Sp ye M eğlm çzgs eğlm ekse der. Taım 3 (Harmok eğrlk): M 3 eğrs (I, ) koordat komşuluğu le verls. s I ye karşılık gele (s) M oktasıda M. ve. eğrlkler sırası le k (s)ve k (s) se : H : I IR şeklde taımlı H foksyoua M (s) oktasıdak brc harmok K(S) SH(S)= K (S) eğrlğ der. Taım 3 (Bertrat çft): M,N eğrler sırası le (I, ) ve (I, β ) koordat komşulukları le verls. (s) M ve β(s) N oktalarıda M ve N {V (s), V (s),.., V r (s)}, {V* (s), V* (s),.., V* r (s)} freet r-ayaklıları verldğde s I ç {V (s),v* (s)} leer bağımlı se (M,N) eğr çfte bertrat eğr çft der. Taım 33 (Teğetler gösterges): 3 de br eğrs s I yay parametres le verls. eğrs brm teğet vektörü T olmak üzere Q =T alıdığıda oktası eğrs çzerke Q oktasıı brm küre yüzey üzerde çzdğ eğrye eğrs. küresel gösterges veya teğetler gösterges der. (T) le gösterlr. T =T olup T parametrese S T der se S T S olup ds T = T' ds le fade edlr. Taım 34 (Asl ormaller gösterges): 3 de eğrs brm asl ormal vektörü N olsu. eğrs çzlrke N vektörüü uç oktaları cümles brm küre yüzey üzerde meydaa getrdğ eğrye eğrs. küresel gösterges veya asl ormaller gösterges der. (N) le gösterlr. Taım 35 (Bormaller gösterges): 3 br eğr olsu. eğrs br oktasıdak ormal vektörü B ve R =B ve komşu k bormal vektör arasıdak açı Δθ olmak üzere oktası eğrs çzerke R oktasıı brm küre yüzey üzerde çzdğ eğrye eğrs 3. küresel gösterges yada bormaller gösterges der. Taım 36 (Darboux vektörü): br eğr olsu. ğr üzerdek oktası eğry çzerke T,N,B vektörler değşrler. Dolayısı le küresel göstergeler meydaa getrrler. ğr T,N,B üç ayaklısıı her s aıda br ekse etrafıda br a hels hareket yaptığı kabul edlr. Bu eksee eğr br s parametrese karşılık gele (s) oktasıdak darboux ekse der. Bu Created wth rtdf. To remove ths le, buy a lcese at: 3

4 ekse yö ve doğrultusuu vere vektör W olsu. W =k T+k B olup eğr (s) oktasıdak darboux vektörü adıı alır. Taım 36 (İvolüt-volüt): M,N k eğr olsu. Bular sırası le (I, ) ve (I, β ) koordat komşulukları le verls. (s) ve β (s) oktalarıda sırası le M ve N eğrler freet r- ayaklıları {V (s), V (s),.., V r (s)}, V* (s), V* (s),.., V* r (s)} olmak üzere V (s),v (s) = 0 se N eğrse M eğrs volütü, M yede N evolütü der. Taım 37 (Br mafold üzerde C k sııfıda eğr): M br dferasyelleeblr mafold ve : I M C k sııfıda br foksyo olsu. O zama (I) M alt cümlese {(I, )} atlası le verlmş C k sııfıda br eğr der. Taım 38 (Tajat uzayı): M br dferasyelleeblr mafold ve M oktasıdak tajat vektörler uzayı T M () olsu. T M () ye M oktasıdak tajat uzayı der. Taım 39 (Vektör alaı): M br dferasyelleeblr mafold olsu. M üzerde vektör alaı dye : : X : M T () şeklde taımlaa X foksyoua der. M üzerdek örte M M vektör alalarıı cümles χ(m) le gösterlr. Taım 40 (Dferasyel): M br dferasyelleeblr mafold ve M üzerdek reel değerl C sııfıda br foksyo f olsu. O zama f br oktasıdak dferasyel dye : x T M () ç : ( df )(x ) = x f = x [f ] şeklde taımlı df foksyoua der. Taım 4 (Foksyou dferasyel): M üzerde br koordat sstem {x,..,x } olsu. dx : T M X =dx (p)(x )=x [x ] () IR p p şeklde taımlaa foksyoa x foksyouu dferasyel der. Taım 4 (İtegral eğrs): de br hperyüzey M olsu. M üzerde br dferasyelleeblr vektör alaı X ve br eğrde olsu. ğer ı her br parametrk değer ç : (t) = x((t)) se eğrse X vektör alaıı M üzerde br tegral eğrs der. Taım 43 (Dffeomorfzm): U ve V k açık alt cümles olsu. Br ψ:uv foksyou ç aşağıdak öermeler doğru se ψ ye C k sııfıda br dffeomorfzm ve U ve V yede k. Derecede dffeomorfktrler der. k. ψ C (U,V). ψ - :VU mevcut ve ψ - C k (V,U) Taım 44 (Koordat komşuluğu-harta): M br -topolojk mafold U de açık br alt cümle olsu. Bu durumda U br ψ homeomorfzm le M br W açık alt cümlese eşleeblr. ψ : U W M olmak üzere (ψ,w) klse M de br koordat komşuluğu yada harta der. Taım 45 (Atlas): M br topolojk mafold olsu. M br açık örtüsüde {W } olsu. W açık cümleler dsler cümlesde A olsu. Bu durumda {W } örtüsü ç {W } A yazılır. de br ψ homeomorfzm altıda W ya homeomorf ola açık cümle U olsu. Böylece ortaya çıka ( ψ,w ), ψ : U W hartalarıı {( ψ,w )} koleksyoua br atlas der. Taım 46 (Dferasyelleeblr yapı): M br -topolojk mafold ve M br atlası da S olsu. S= {( ψ,w )} olsu. S atlası ç W le Wβ arakestler boşta farklı olmak üzere,β A ya karşılık Φβ ve Φβ foksyoları C k sııfıda dferasyelleeblr seler S de C k sııfıda dferasyelleeblr der. S atlası M üzerde C k sııfıda olduğu zama S ye M de C k sııfıda dferasyelleeblr yapı der. Created wth rtdf. To remove ths le, buy a lcese at: 4

5 Taım 47 (Mafold): M br -topolojk mafold olsu. M üzerde C k sııfıda br dferasyelleeblr yapı taımlaablrse M ye C k sııfıda dferasyelleeblr mafold yada kısaca mafold der. Taım 48 (Tajat vektörü): V vektör uzayı le brleşe br af uzay A olsu. A ve v V ç (,v) sıralı klse A af uzayıı oktasıdak br tajat vektörü der. Taım 49 (Doğal baz ala sstem): ç : = (,0,...,0), = (0,,...,0)..., = (0,0,..., ) tae vektör seçelm. Buları dek dağılımları le tae vektör alaı elde edlr. {,,..., } -lse dek doğal baz ala sstem der. Taım 50 (Yöe göre türev): f: IR dferasyelleeblr foksyo ve V T (p) olsu. Bu durumda V = Q olmak üzere : (f ) V = d dt {f( +t(q - ),.., +t(q - )} fadese f V yöüdek türev der. Taım 5 (Vektör alaı yöüde türev): x χ( ) ve f C(,IR) ç : ( x(f )) = x [f ] foksyoua f x yöüdek türev der. Taım 5 (Kovaryat türev): X,Y χ( ) vektör alaları verlmş olsu. olsu. x p =(x,x,..,x ) T (p) olur. ğer : y : IR koordat foksyoları C sııfıda se bu durumda y kovaryat türev D X Y=(x [y ],.,x [y ]) şeklde taımlaır ve D X Y şeklde gösterlr. Taım 53 (aralel vektör alaı-geodezk eğr): ğer br :I eğrs üzerde y br C vektör alaı olmak üzere D T Y=0 se y vektör alaıa eğrs üzerde paralel vektör alaı der. ğer D T T=0 se eğrse geodezk eğr der. Taım 54 (Le operatörü): V br K csm üzerde br vektör uzayı olmak üzere aşağıdak şartları sağlaya [,]:VXVV döüşümüe V üzerde br le operatörü der.. -leerdr. Alteredr. 3. x, y,z V ç : [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0 Taım 55 (Dual uzay): V IR üzerde taımlı br vektör uzayı se V*={f f:v IR } cümlese V dual uzayı der. Taım 56 (Kotajat uzay): T (p) cebrsel dual T* (p) le gösterlr ve bua oktasıdak kotajat uzayı der. Bu uzayı her elemaıa kotajat vektörü der. Taım 57 (-form): T* (p), oktasıdak kotajat uzayı olsu. W : T *() foksyou ç : Π : T * () cümles χ *( ) le gösterlr. ΠoW = I : özdeşzde leer ç olacak şeklde br foksyou mevcut se W ya de br -form der. de -formları Taım 58 (d operatörü veya dferasyel operatörü): x χ( ) d : C(,IR) χ *( ) fdf: χ ( )IR df Xdf ( x )=X[f ]= v dx = ç : df(x)=x[f] şeklde taımlı d foksyoua dferasyel operatörü der. öyle k Created wth rtdf. To remove ths le, buy a lcese at: 5

6 Taım 59 (Gradet foksyou): grad : C(,IR) χ( fgradf ) öyle k {x,x,..,x } de br koordat sstem olmak üzere f d gradf = = dx şeklde taımlı foksyoa de gradet foksyou der. le gösterlr. Taım 60 (Dverges foksyou): dv : χ( ) C(,IR) X = f Xdv(x) İ= olmak üzere : f dv(x) = dv(x) =, x şeklde taımlı dv foksyoua de dverges foksyou der. Taım 6 (Rotasyoel foksyo): M={,,3} olmak üzere M tek permütasyoları cümles T 3 olsu.o halde burada 3 3 rot : χ( ) χ( ) x = f xrot (x) = olmak üzere : fσ (3) fσ () rot(x) = ( - ) xσ xσ xσ şeklde taımlaa foksyoa de rotasyoel σ T 3 () foksyou der. Taım 6 (Döüşüm): (3) F: () m F()=(f (),...,f m () şeklde br foksyo verlmş olsu. Buradak f,f,., f m : IR reel değerl foksyolara f öklt koordat foksyoları der. F: m foksyou dferasyelleeblr se bua döüşüm der. Taım 63 (Regüler döüşüm): F: m döüşümüü oktasıdak (F * ) p türev döüşümü brebr se bu döüşüme regüler döüşüm der. Taım 64 (Jakobye matrs ve döüşüm): (F * ) p, F: m döüşümüü ç türev döüşümü olsu. Sırası le T (p) ve T (F(p)) uzaylarıda Φ = { p,..., p} ve ψ = { F(p),..., F(p) } stadart bazları ç (F * ) p karşılık geldğ matrs J(F,) le y y gösterlr. Bu matrse F oktasıdak jakobe matrs ve bu matrse karşılık gele döüşüme se F jakobe döüşümü der. Taım 65 (Br eğr resm): (I) eğrs : I döüşümü yardımı le verls. f: m br döüşüm se β = fo : I eğrye (I) ı m dek resm der. Taım 66 (Türev döüşümü): m bleşke foksyouda m de br eğr taımlar. Bu m F: br döüşüm olsu. ğer F()=(f (),...,f () V T () se (F* ) (V ) T m (F()) olmak üzere m tf(+ tv) eğrs t=0 oktasıdak hız vektörü olsu. F* () : T () T () foksyoua F oktasıdak türev döüşümü der. Taım 67: k eğrlğ eğrmz So oktasıda br doğruda e kadar ayrıldığıı gösterr. Ayrıca k 0 yaklaşırsa eğr doğruya yaklaşır. K (0)=0 se eğr oskülatör düzlemde yatar aks halde bu düzlemde uzaklaşır. O halde k burulması eğr br düzlemde e kadar saptığıı gösterr. Taım 68 (ol oktası ve pol eğrs): X =AX döüşümüdek A matrs t zama parametres A(t+ Π )=A(t) şeklde br peryodk foksyou se S* /S harekete br parametrel kapalı küresel hareket der. S* /S hareket her t aıda S* de sbt br * ve S de de sbt oktası vardır. Öyle k bu oktalara sırası le hareketl ve sbt pol oktası der. m Created wth rtdf. To remove ths le, buy a lcese at: 6

7 eğrs çzleblmes ç gerekl ola S* /S hareket boyuca * ve oktalarıı at oldukları küreler üzerdek geometrk yerlere sırası le hareketl ve sbt pol eğrs der. * ve eğrler her t aıda brbrlere teğettr. * ve eğrler yay uzulukları eşttr. Taım 69 (İculso-dahl etme): -boyutlu br mafolduu br alt mafoldu M olsu. boym=k, k m olmak üzere M dek br koordat sstem M dek br koordat sstemde elde edleblr. Şöyle k M M de koordat sstem : {x,x, x k,x k+..,x } se M dek koordat sstem {x,x, x k,x k+ =0..,x =0} olarak alıablr. şeklde taımlaa ye dahl etme döüşümü der. Taım 70 (İmmersyo-daldırma): M ve C foksyo olsu. ğer f f * jakobe matrs br daldırma der. : =(,..., )(p)=(,.., k M M K,0..0)= M brer C mafold olsu. ve f:m M br M ç regüler se f ye M de M ye Taım 7 (Alt mafold): M ve M brer mafold ve M M olsu. O halde f(m)= M olacak şeklde br mmersyo mevcut se M e M daldırılmış alt mafoldu der. Taım 7 (Tesör): V XV X.XV r IR bütü r-leer foksyoları cümles : L(V,V,..,V r ;IR) le gösterelm. Bu cümle IR üzerde br vektör uzayıdır. Bu vektör uzayıa dual vektör uzaylarıı çarpımı der. L(V,V,..,V r ;IR)= V* XV* X.XV* r tesör uzayıı her br elemaıa r. Derecede tesör der. ğer V =V =.=V r se V* XV* X.XV* r uzayıa kovaryat tesör uzayı bu uzayı her elemaıa da kovaryat tesör der. Bu uzayı kısaca T r (V) yada r (V) le gösterlr. Taım 73 (Kotravaryat tesör): Kovaryat tesör taımıda V yere V dual ola V* alıırsa (V*)* uzayı V ye zomorf olduğuda V* üzerde s-leer foksyolar elde ederz. Bu uzaya kotravaryat tesör uzayı adı verlr. Taım 74 (Karışık tesör) Reel sayılar csm üzerde taımlı br vektör uzayı V ve buu (r+s)leer dual de V* olsu. L(V r,(v*) s ;IR)={f f:v r x(v*) s IR} uzayıa r. Derecede kovaryat, s. Derecede kotravaryat tesör uzayı der. Bu uzayı elemalarıa da (r,s) tpde karışık tesör der. Taım 75 (Tesörel çarpım): f (V*), g m (V*) olmak üzere f le g tesörel çarpımı f g le gösterlr. Taım 76 (Altereleye operatör): :Θ V* Θ V * şeklde taımlı A foksyoua f A (f )= S(σ)σf A σ S br altereye operatör der. Taım 77 (Smetrk ola tesör): ğer burada f T (V) ve σ S ç σf (u,u ) = f (u σ(),u σ() ) (u,u ) V XV olmak üzere σf = f özellğ sağlaya f T (V) kovaryat tesörüe smetrk tesör der. Taım 78 (Smetrleye operatör): V* Θ f S (f )= σf şeklde taımlaa S S σ S foksyoua (V*) üzerde br smetrleye operatör der. Taım 78 (Rema koeksyo): M br yarı-rema mafold ve D M üzerde br af koeksyo olsu eğer :. D, C sııfıdadır.. M br A bölgesde C ola X,Y, Z χ(m ) ç D X Y - X =[X,Y] dr. D Y Created wth rtdf. To remove ths le, buy a lcese at: 7

8 3. M br A bölgesde C ola X,Y, Z χ(m ) ve A ç : X [ Y,Z] = DXY, Z + Y,DXZ dr. Özellkler sağlaıyorsa D koeksyoua M üzerde Rema koeksyo D X e de X e göre rema alamıda kovaryat türev der. Taım 79 (Hperyüzey): de -boyutlu öklt uzayıda (-)-boyutlu br yüzey dye de boş olmaya br M cümlese der. Bu M cümles : M = {X U Taım 80 (Çember): çemberdr. Taım 8 (arabol) df.blr f : U IR, U br açık alt cümle} şekldedr. >3 se M hperyüzeydr. xf (x)=c : : I t(t)=(r cos t,r s t,0) 3 I t(t)=(t,t,0) 3 ={ t I} cümles 3 de r yarıçaplı O merkezl br paraboldür. Burada I=IR dr. x x Taım 8 (lps): + = : I a b t(t)=(a cos t,bs t ) şeklde fade edlr. Taım aralığı se : I={t 0 t Π } dr. Taım 83 (Hperbol): x x - =, : I a b t(t)=(asec t,b ta t) şeklde fade edlr. Hperbolü taım aralığı I={t 0 t Π Π 3Π 3Π veya t veya t Π } dr. Taım 84 (Doğru): : IR şeklde parametrk fadeye sahptr. t(t)=(+tv) Taım 85 (Yarı-rema mafold): M br C mafold ve χ(m) vektör alalarıı uzayı olsu. Reel değerl C foksyoları halkası C (M,IR) olmak üzere:, : χ(m)xχ(m) C (M,IR) foksyou :. -leer. Smetrk 3. X χ(m ) ç X,Y = 0 Y = 0 χ(m ) özellkler sağlıyorsa M ye yarı rema mafold der. Taım 86 (Af koeksyo): M br C mafold ve χ(m) vektör alalarıı uzayı olsu. O halde : D : χ(m)xχ(m) χ(m) foksyou ç : ( X,Y)D(X,Y)=DXY fx +gy x y X,Y, Z χ(m ). D z = fd + gd ç ve f,g C (M,IR) ç. Dx (fy) = fd x y + (xf ) y X,Y, Z χ(m ) ç ve f,g C (M,IR) ç Özellkler sağlaıyorsa D ye M üzerde br af koeksyo der. Taım 87 (Brm ormal vektör alaı): br hperyüzey M olsu. χ(m) br ortoormal bazı {N} se N ye brm ormal vektör alaı der. Taım 88 (Yöledrme): de br M hperyüzey üzerde dferasyelleeblr br brm ormal vektör alaıa M üzerde yöledrme der. Taım 89 (Şekl operatörü): br hperyüzey M ve M brm ormal vektör alaı N olsu. de rema koeksyo D olmak üzere X,Y, Z χ(m ) ç S(X)=D X N şeklde taımlı S döüşümüe M üzerde şekl operatörü der. Taım 90 (Gauss döüşümü): de yöledrlmş br hperyüzey M olsu.m dferasyelleeblr brm vektör alaı N olsu. η: M S döüşümüe der. η()=n()= a x Created wth rtdf. To remove ths le, buy a lcese at: 8