BÖLÜM 2 OLASILIK TEORİSİ

Transkript

1 BÖLÜM OLSILIK TEORİSİ İstatstksel araştırmaları temel koularıda br souu öede kes olarak blmeye bazı şasa bağlı olayları (deemeler) olası tüm mümkü souçlarıı hag sıklıkla ortaya çıktığıı belrleyeblmektr. Bu soru statstkte olasılık problem olarak adladırılır ve deemeler bezer koşullarda tekrarlaabldğ durumlarda çözüm bulmak mümküdür.. TEMEL KVRMLR İlk aşamada olasılık kousuu elemaları taımlaaaktır. Taım (Olasılık): Br olayı ortaya çıkma şasıı taımlaya, 0 le arasıda br sayıdır. Br foksyo kullaılarak, : 0, (.) belrler. Taım (Rassal deey): Souç gözleeye kadar çıktısı blmeye deeyler, rassal deeylerdr. Çözümü lk aşaması rassal deey tüm mümkü çıktılarıı belrlemesdr. Öreğ br paraı k kez atılması souuda üst yüze gele semboller tüm mümkü durumları br küme elemaları olarak; T, T, T, Y, Y, T, Y Y S e :, taımlaablr. Bu edele olasılık kousu küme teors br araç olarak kullamaktadır. Taım (Örek Uzayı): Br rassal deey tüm mümkü çıktılarıı kümes S, bu deey örek uzayı, evresel küme, olarak adladırılır. Örek uzayı çerdğ elema sayısı açısıda k sııfa ayrılır: a) Sayılablr (solu/sosuz) elemalı b) Sayılamaz (sosuz) elemalı Sayılablr ve sayılamaz elemalı örek uzayları arasıdak fark sadee ataaak olasılıkları belrlemes açısıda öemldr. İstatstğ temel ola fakat araştırmaıı geellkle göz ardı ettğ şey rassal deeydr. Bu br adet deey brçok defa tekrarlaır. Öreğ, br para k kez havaya atılsı. Bu ye deeyle lgl örek uzayı aşağıdak gbdr: Y, TY, T Y, Y, Y, T, T, Y, T T S, Daha geel br fadeyle, örek uzayları S ve S ola k deey göz öüe alıdığıda, bu k deey kombasyou ola br deey örek uzayı kümes, kartezye çarpım yötem kullaılarak, 5

2 S S S, e, e : e S e S buluur. Eğer S ve S sırasıyla r ve s adet elemaları var se, S S elema sayısı rs dr. z sayıda öreğe sahp br örek uzayı grafksel olarak dkdörtge bçml Kartezye koordat sstem ya da ağaç dyagramı le gösterleblr. Geellkle ağaç dyagramları, örek uzayı elemaları sıralı üçlü ya da daha yüksek boyutlu olduklarıda Kartezye koordat ssteme göre daha kolay zleeblr durumdadırlar. ara ve zar atışı deeyler örek uzayları, Şekl. de gösterldğ gb, k boyutlu koordat sstem le taımlaablr. Şekl. İlk bölümde verle bebek maması deey örek uzayı Şekl. de ağaç dyagramı le gösterlmştr. Şeklde de alaşılaağı gb, bu örek uzayıı üç boyutlu koordatlarla gösterm oldukça zor olaaktır. Kartezye çarpım le elde edle daha geel br örek uzayı aşağıdak örek le verlmştr. Öreğ, souçları (başarı) ve 0 (başarısızlık) ola br deey 5 kez tekrarladığı ve br olayıı deey souuda br başarı elde edlmes olduğu varsayılsı. O halde bu olay, 0,0,0,0,, 0,0,0,,0, 0,0,,0,0, 0,,0,0,0,,0,0,0,0 olup örek uzayı 0, 0, 0, 0, 0, 0, S kümesde elde edlr. Geel olarak br deey kez tekrarlaırsa, bua karşılık gele örek uzayı, S S S... S şekldedr. ğaç dyagramları le örek uzayıdak tüm mümkü elemalar orgaze br şeklde lstelemekte ve hçbr elema açıkta kalmamaktadır. Buraya kadar ola kısımda rassal br deey tüm mümkü souçlarıı göstere örek uzayı S taıtıldı. Bu aşamada sora yapılması gereke örek uzayıı elemalarıı kullaarak olay kavramıı taımlamasıdır. Taım (Bast olay): S örek uzayıı oluştura her br e elemaıa bast olay der. Taım (Bleşk olay): Br örek uzayıı herhag br alt kümes (S kedsde dahl) bleşk olay olarak adladırılır. 6

3 Şekl. Olasılık teors üzere taımlaa olaylar geel olarak ayrık olaylar ve eşalı (bleşk) olaylar olmak üzere k gruba ayrılırlar. Tümleye olaylar ayrık olayları özel br durumudur. Eşalı olaylar se ked çde bağımsız ve bağımlı olaylar olarak kye ayrılırlar. Taım (Eşalı olaylar): Herhag k olay ve B eğer Taım (yrık olaylar): İk olay ve B eğer B se eşalı olaylardır. B se ayrık olaylardır. Buu alamı: ve B olayları brlkte ortaya çıkamazlar. Eğer ortaya çıkarsa B olayıı dışlar ve tam ters de geçerldr. Örek uzayı S asıl yazılır ve gösterlrse gösterls, herhag br deey ç tüm elemaları (bast olayları) ayrık ve bütüleyedr (olletvely exhaustve). Bu ayı zamada örek uzayıı taımıdır. Taım (Bütüleye olaylar): Herhag k olay ve B eğer B S se bütüleye olaylardır. yı örek uzayıda taımlamış k ya da daha fazla olayı brleşm örek uzayıa eşt se, bu olaylar bütüleyedr. Örek uzayı S parçaya ayrılmasıyla oluşmuş adet olay ayrık ve bütüleye se bu yapıya örek uzayıı bölümlemes adı verlr. 7

4 Şekl.3 Taım (Örek uzayıı bölümlemes): Eğer,, olayları çfterl olarak ayrık se ve se,, olayları örek uzayıı br bölümlemes taımlar. S Herhag br kümes ç, S olduğuda herhag br olayı ç ve, S bölümlerdr. Bebek maması öreğde dükka sahb müşter marka değşm le lgledğ varsayılsı. Bu durumda aşağıdak olaylarla lgler: E = {Müşter marka değştrmez} a, a, a, b, b, b,,, E = {Müşter br kere marka değştrr} a, a, b a, a, a, b, b a,, b, a, a b, b, a b, b, b,,, a, a, b, b,, a,, b E 3 = {Müşter k kere marka değştrr} a, b, a a, b, a,, a a,, b b, a, b b, a, b,, a b,, b, a, b, a,, b, a, b, E E, E E ve E E olduğu ç E, E ve E 3 ayrık olaylardır. yrıa E E E S olduğu ç E, E ve E 3 bütüleyedr. Eğer k ya da daha fazla olay ayrık olaylar se, brlkte ortaya çıkamazlar. E fazla br taes ortaya çıkablr. Eğer k ya da daha fazla olay bütüleye se, e az br ortaya çıkar. Bu durumda br olaylar kümes ayrık ve bütüleye se, olaylarda br keslkle ortaya çıkar. Solu br örek uzayıda sayılamaz sosuz uzaya geçş yapıldığıda, sıfır olasılığıyla e fade edldğ tekrar yorumlaması gerekmektedr. 8

5 . OLSILIK TEORİSİNİN TEMELLERİ Br rassal deey çıktısı örek uzayıdak br elemadır. Rassal deey tekrarlı olarak uygulaması durumuda br çıktıı oluşum sıklığı örek uzayıdak elemaı (alt küme) olasılığı olarak düşüüleblr. Örek uzayıdak her br olayı ç, bu olayla sıfır le br arasıdak br sayıı eşleştrlmes amaçlaır. Sıfır le br arasıdak bu sayı olayıı olasılığı olarak adladırılır ve () le gösterlr. Bast alamda olasılık, br kümey ölçümlemek amaıyla bu kümeye ataa (ya da at ola) br sayıdır. Dğer br fadeyle olasılık kelme alamı olarak şası ölçümlemesdr. Br küme ya da br olayı büyüklüğüü ölçülmes ç bazı yötemler mevuttur. yı yötemler buları çersdek elemaları saymak ç kullaılablr m? slıda olasılık hesaplaırke yapılaak şlem budur. Fakat buu uygu olmadığı br takım durumlar mevuttur. Öreğ br küme ortaya çıkma htmal dğerde daha fazla olduğu fakat ks de elema sayılarıı eşt olduğu durumda e olur? yı olasılığa mı sahp olmalıdırlar? Öreğ, = {Feerbahçe kazaır}, B={Galatasaray kazaır} kümeler ele alısı. İk küme de brer elemaı vardır. Fakat şüphesz k bulara farklı olasılıklar verlmeldr. Buula brlkte, ayı ada çalışılaak küme sayısı brde fazla olableeğ ve her bre at olasılıkları belrlemes stedğ ç olasılık kümeler br foksyoudur. Olasılık belrl br foksyoa göre taımladığı ç lk olarak foksyo kavramı ele alımalıdır. Br foksyo, f(.), br oktalar kümesdek her br oktayı br dğer oktalar kümesdek br ve yalız br okta le lşkledre br kuraldır (kau, formül,vs). İlk küme taım kümes, k küme B se görütü kümesdr. Br foksyou geel gösterm f : B olup, olasılık kümeler br foksyou olduğuda, olasılık küme foksyou, : S (S) şeklde taımlaablr. Örek uzayıı tüm alt kümeler taımladığı kümeler ales F S, foksyouu taım kümes olarak kullaılablr. Bu aşamada, eğer S sayılamayaak kadar çok elema çeryorsa problem oluşablr. Ortaya çıka problem, S kümes sayılamayaak kadar çok alt küme çermes ve bu edele her br alt kümeye br olasılık atamasıda sıkıtı oluşmasıdır. Bu soruu asıl aşıldığı lerde açıklaaaktır. Buula brlkte, S solu elemaa sahp se her br alt kümese br olasılık atamasıda problem ortaya çıkmaz. Olasılığı e bast yapıdak taımıı vereblmek ç, lk aşamada örek uzayıı sayılablr olduğu varsayılaaktır. Taım (Klask olasılık): Eğer br rassal deey örek uzayı solu sayıda adet ayrık S e, e,, e ve eşt olablrlkl elemaa sahp se 9

6 e, ve (), örek uzayı üzerde taımlaa olayıdak bast olayları (e ) sayısı se olayıı gerçekleşme olasılığı (); (.) (.3a) olarak belrler. Elema sayısı ola br S örek uzayıı klask olasılık aksyomlarıı (eşt olasılıklı ayrık olaylar) sağladığı varsayılsı. Br olayıı olasılığıı belrlemek ç her br eşt olasılık le ortaya çıka ve brbrde ayrık ola mümkü durumları sayısıa ve özellğ taşıya elemaları sayısıa gereksm vardır. Bu sayıları elde edleblmes ç bazı kombasyo formüller kullaılması gerekldr. Br kümey ölçme daha karmaşık br yolu, br düzlem kümes alaıı ya da br sm ham ölçümlemesdr. Bu durum ç örek uzayı sayılamaz sosuzdur. Buula brlkte alt kümeler sadee alaı ölçümleeble alt kümeler olarak kısıtlaırsa ala foksyou br olasılık ölçümüdür. Böyle br problemde alt kümes alaıı, örek uzayıı alaıa S oraıı, (.3b) S br olasılık ölçümü olarak kullaılması çözüm olablr. S örek uzayıı alaı olaak şeklde brm alaa döüştürüldüğüde, kümes bu ölçektek oraı () yı vereektr. Cevaplaması gereke soru br alaı ölçümlemeyeeğ durumlar olablrm? sorusudur. Cevap keslkle evettr. Fakat bu aşamada matematksel çerğe sahp bu soru le lglelmeyeektr. Souç olarak eştlk.3b ı eştlk.3a ya dek olduğu görüleblr. Klask olasılığı yetersz kaldığı k temel durum: a) Olayları eşt olasılıkla oluşmadığı durumlar b) Örek uzayıı sosuz elemalı olduğu durumlar. Br örek uzayıdak elemaları eşt olablrlğe sahp olması bazı deal koşulları oluşmasıa bağlıdır. Şas oyularıı akse doğadak örek uzayıdak elemalar geellkle eşt olasılığa sahp değldr. İsaları ka grupları br örek olarak verleblr. Böyle br durumda br herhag br olayıı oluşum sıklığı asıl belrler? Cevap açıktır; aakütle üzerde bezer koşullarda deemeler yapılmalıdır. Taım (Görel frekas): Br rassal deey örek uzayı üzere taımlamış olay olsu. Deey bezer koşullarda N adet tekrarlası ve ortaya çıka olaylarıı sayısı olsu. olayıı görel frekası: f N le taımlamıştır. (.4) 30

7 Öreğ hlesz olduğu düşüüle br para atıldığıda üst yüze yazı gelmes olayı olarak taımlası. Değşk deeme sayılarıda gerçekleşe olayı sayıları ve görel frekasları: N=0 =4 f()=0.4 N=00 =47 f()=0.47 N=000 =488 f()=0.488 Şüphesz f() değer gerçekleştrle deey sayısı N le bağımlıdır ve küçük N değerler ç çok büyük dalgalamalara sahptr. Burada evaplaması gereke soru, N değer sosuza gttğde f() oralarıı dzs kararlı br değere yakısıyor mu? olaaktır. Böyle br soruya deeysel olarak asla evap verlemez. Çükü lmt doğası gereğ deeylere so verlemez. Böyle br lmt var olduğuu kabul etmek matematksel br yaklaşımdır: steldğ kadar küçük olable poztf br sayı olmak üzere, N koşuluu altıda, N () eştszlğ sağlaya br () sayısı buluablyorsa, lm () N N elde edle bu souç olayıı deeysel lmt frekasıdır ve () değer olayıı gerçekleşme olasılığıdır. Fakat () lmt değer hala gerçekleştrle deey dzs souçlarıa bağımlıdır. Deeyler ayı koşullarda geçekleştrlse dah br sorak deey dzs ayı souçları vereeğ garats yoktur. Bu frekaslar üzere oluşturula geçerl br teor, yukarıda taımlaa () değer tüm bezer deey dzler ç ayı olduğuu varsaymak zorudadır. Bu teorem le moder olasılığı temel ola aksyom olasılığıı ele almak da mümkü olmuştur. Taım (Olasılık küme foksyou): Rassal br deey örek uzayı S ve bu küme üzere taımlı çfterl ayrık, j,olaylar,, olsu. Eğer (.) foksyou; j (.5) ) 0 (.6) ) S (.7) 3) (.8) ( ) koşullarıı sağlıyor se (.) foksyou bu rassal deey çıktılarıı olasılık küme foksyou olarak adladırılır. S örek uzayıı her br alt kümes ç () sayısıa da olayıı olasılığı der. Yukarıdak taımda verle üç özellk olasılık aksyomları olarak ya da Kolmogorov aksyomları olarak blr. Olasılığı bu taımı matematksel br taım olup, hag özellklere sahp br foksyou olasılık küme foksyou olarak adladırılableeğ açıklamaktadır. 3

8 Olasılığı bu taımı, verle br olayı ç olasılık foksyouu (.) alaağı değer le lgl blg vermez. Olaylara at olasılık değerler elde edlmes ç rassal deey model taımlaması gerekldr. Bu kou örek uzayıı sosuz elemaa sahp olduğu bast br örek üzerde eleeektr. Öreğ, br paraı üst yüze tura gelee kadar atıldığı varsayılsı. Bua göre deey çıktısı, lk kez yazı gelee kadar yapıla atış sayısıdır. Örek uzayı tüm poztf doğal sayılardır: S,,3,... Bu deey ç olasılık küme foksyou edr? Bu para atışıı souuda üst yüze yazı gelmes olasılığıı p ve tura gelmes olasılığıı da p olduğu varsayılsı. Her br adet deeme ç () olasılığı belrlemeldr. lk atışta yazı geldğ göstermektedr. {} olayı Y T Y, T karşılık gelmektedr. Böylee, pp p olasılığı, örek uzayıdak (T,Y) çıktısıa Bezer br şeklde {} olayı Y, T Y, T uzayıdak T T,..., T, T, Y gelmektedr. Geel br fadeyle, p p,,,3,... olup elde edle bu fade S,,3,... ç br olasılık foksyou taımlar mı?, çıktısıa karşılık Öyle olması ç S olmalıdır. Fakat örek uzayı solu olmadığı ç hesaplaaağı açık değldr. ksyomlar kullaılarak S olasılığı hesaplaablr: S p p p p p p p p Elde edle p olur. Böylee olup, S p toplamı, br geometrk serdr. p olduğuda, p p p S p. p p asıl foksyou bu rassal deey ç br olasılık foksyou olarak taımlaır. ksyom taımı belrl br foksyouu asıl seçleeğ belrtmez. Herhag br örek uzayı ç pek çok farklı olasılık foksyou taımlaablr. Olasılık aksyomları kullaılarak, daha karmaşık olasılıkları hesaplamasıda kullaılableek ola, olasılık foksyouu pek çok özellğ taımlaablr. Teorem: Eğer (.) br olasılık foksyou ve kümes S dek herhag br alt küme se, 3

9 a. 0 b.. souçları geçerldr, bkz. Ek. Teorem: Eğer (.) br olasılık foksyou ve le B olayları S dek herhag k olay se, a. B (B) ( B) b. ( B) () (B) ( B). Eğer B se ( ) (B) d. - B B souçları geçerldr, bkz. Ek. Teorem : olsu. Bu durumda r, örek uzayı S de olayıı tümleye ve r de örek uzayı S de tümleye olur. Br olayıı tümleye tümleye ye olayıdır. Br olayı tümley tümleye, dğer olasılık hesaplamaları le bağlatılı olarak ortaya çıkablr. Örek: Br 5 destesde çekle br kartı kupa olmama ya da as olmama olasılığı edr? K olayı kupa ve olayı as olarak taımlaırsa araştırıla olasılık K r K r K = 5/5 K r dır. r De Morga r K şağıda belrtle her özellkler hem keskl hem de sürekl örek uzayıda taımlı olaylar (kümeler) ç geçerldr... Brleşm Olasılığı: ve B olayları S örek uzayıda taımlı k olay olsu. kousudur: ve B ayrık olaylardır, ve B ayrık olaylar değldr, Br durum ç B B olasılığı, B B İk durum ç se, B B brleşm olasılığı ç k durum söz (.9) 33

10 B B B (.0) İk durum ç taımlaa formül ayı zamada br durum ç de kullaılablr: B 0 Üç ya da daha fazla olay ç, öreğ, B ve C olayları ç B C B C eştlğ geçerldr... Kesşm Olasılığı: B C B C B C B ç kolay br formül yoktur. İstatstksel bağımsızlığı kullaılablyor olması gerekr. Eğer ve B statstksel olarak bağımsız değllerse, geellkle koşullu olasılık kullaılır..3 ORTK MRJİNL ve KOŞULLU OLSILIK Şartlı olasılık düşües bzler hem statstksel bağımlılık ve bağımsızlık arasıdak ayrım hem de ortak ve marjal olaylar ç olasılık kurallarıı türetmeye öülük etmektedr. ve B ayı örek uzayıda taımlı k olay olsu. Geellkle ve B arasıda br bağımlılık olur. Buu alamı şudur: eğer B gerçekleştğ blyorsa, ı gerçekleşme şası hakkıdak blgler değştrr. Koşul, olasılıkta kullaıla temel araçlarda brsdr. Özellkle bölümleme teors ç krtk ola B kesşm olasılığıı hesaplamasıda şe yarar. yrıa tüm stokastk süreçler alaı koşullu olasılığa dayamaktadır. Br sorak süreçte e olaağı, öesde e olduğua ya koşula bağlıdır. Geellkle br olayı olasılığı değerledrldğde, deeyde elde edle bazı blglere zate sahp olumaktadır. Bu tür br blg mevut olması, örek uzayıı keds br alt kümese drgemektedr. Bu blg le örek uzayıı tamamı yere br parçası le lglelmektedr. Br olaya at olasılık, br takım blglere sahp oluduğuda farklıdır. Öreğ, skambl destesde çekle br kartı as olma olasılığı, bu kartı e yüksek beş kartta br olduğu bldğde daha fazladır. Tüm düya üzerde seçle br hae yıllık gelr 5.000$ ı üzerde olması olasılığı, Türkye de seçle br hae yıllık gelr 5.000$ ı üzerde olması olasılığıda farklıdır. 34

11 Bu öreklerde alaşılaağı gb örek uzayıı br alt kümesde yer ala br olayı olasılığı, orjal örek uzayıdak br olayı olasılığıa eşt, küçük ya da büyük olablr. Her br alt küme daraltılmış örek uzayı dır ve orjal örek uzayıı altıda ye koşullarla (blglerle) belrlemştr. lt kümelerde taımlamış olaylarla lgl olasılıklara koşullu olasılık der. Br S örek uzayı üzere taımlaa ve B olayları ç, B olayıı oluşması durumuda olayıı ortaya çıkma olasılığı şartlı olasılıktır ve / B le gösterlr. Taım (Şartlı olasılık): Verle olasılık uzayıda k olay ve B olsu. Verle B olayı ç olayıı şartlı olasılığı B 0 ç, ( B) ( / B) (.) (B) olup B 0 ç taımsızdır. Bezer şeklde verle olayı ç B olayıı şartlı olasılığı 0 ç, elde edlr. ( B) (B/ ) (.) () Taım (Ortak olasılık): Örek uzayıda taımlı ve B olaylarıı kesşm olasılığıı belrte B fades, ve B olaylarıı ortak olasılığı olarak da adladırılır. Taım (Marjal olasılık): Örek uzayıda taımlı ve B olaylarıı olasılığıı belrte B fadeler, ve B olaylarıı marjal olasılıkları olarak da adladırılır. Taım (Bağımlık): Örek uzayıda taımlı ve B olayları ç eğer, / B (.3) se bağımlı olaylardır. Örek: Br zar havaya atılıyor. 6,,4,6 B olsu. B olayıı gerçekleştğ blyorsa, olayıı gerçekleşme olasılığıı ve olayı geçekleştğde B olayıı gerçekleşme olasılığıı buluuz. Eğer zar hlesz se marjal olasılıklar ve ortak olasılık, 6, B 3 6, B 6 olup koşullu olasılıklar, elde edlr. 6 6 ( / B), ( B/ ) Örek uzayıı S kümesde B alt kümese çekmek ç sembolü yere./ B kullaılmalıdır../ B sembolü de ayı sembolü gb ele alımalıdır. Öreğ, C D B C B D B C D B ve sembolü 35

12 olur../ B br olasılık foksyou mudur? Olasılık foksyou olablmes ç üç aksyomu sağlaması gerekldr, spat ç bkz Ek.3. Eştlk (.) ve (.) kullaılarak elde edle B / B (B) (B / ) () fades olasılığı çarpım kuralı olarak adladırılır. Üç olay olması durumuda bulmak ç çarpım kuralı dkkatle uygulamalıdır: Elde edle souu olasılık ağaı le gösterm ü 3 Örek: İçersde w adet beyaz ve r adet kırmızı top bulua br kutuda adesz olarak 3 top çeklyor. Bua göre sırasıyla beyaz-kırmızı-beyaz top çeklme olasılığı edr? W R W W R W W R W 3 3 w r w w r w r w r Örek: İçersde 4 adet beyaz ve adet kırmızı top bulua br kutuda k top adesz olarak rastgele seçlyor. Bua göre: a) İks de beyaz olması b) İk topu kırmızı olması olasılıklarıı buluuz. W = - topu beyaz olması ve R = - topu kırmızı olması olsu. a) W W W W W W W 4 W 6, W W 5 Böylee (her ks de beyaz olması), W W 5 3 b) ( k topu kırmızı olması) olasılığı araştırılmaktadır. Bu olasılık lk çeklşte hag topu geldğ koşulua dayadırılmada buluamaz. 36

13 k topu kırmızı gelmes olayı aslıda W R R R W R R, R dr. yrık olaylar olduğuda, W R R R W R R Bu durumu adet, R 3 R W W R R R,..., olayı ç geelleştrlmş hal aşağıdak teorem le taımlamıştır. Teorem (Çarpım Kuralı): Taımlaa br olasılık uzayı ç, eğer,,, olayları... ] 0 koşuluu sağlaya S üzerde taımlamış olaylar se [ eştlğ sağlaır.... ] [ ]. [ / ]. [ / ]... [ /... ] (.4) [ 3 Çarpım kuralı aşamalı deeyler ç oldukça faydalıdır. Deey aşamalı olduğu ve olayıı deey - aşamasıa göre taımlaa br olay olduğu varsayılsı. Bu durumda [ /... ], deey lk - aşamasıda oluşa durumlara göre - aşamada e olableeğ taımlaya br olayı şartlı olasılığıdır. Marjal olasılıklar üzere daha geel br yaklaşım, elema sayısı ola ve k yölü bölümlemş S örek uzayı üzerde verleblr. Örek uzayı üzerde, r adet ayrık olayı ve adet ayrık B j olayı taımlamış olsu. S örek uzayıdak her elemaı eşt olasılığa sahp olduğu (klask olasılık) varsayımı le ve B olayları ç aşağıdak k yölü tablo oluşturulablr. İlk satır ve lk sütu harç tablodak hürelere at geel toplam, r j j olup bu hüreler her br B ortak olayıa karşılık gelr. Olaylar eşt olasılıklı olduğuda j ortak olasılıklar, j B j (.5) eştlğde elde edlr. B B B r r r r Herhag br olayıı marjal olasılığı, 37

14 j j (.6) ya da herhag br B j olayıı marjal olasılığı, r j j rj B j j le elde edleblr. Teorem (Olasılıklar toplamı teorem): Taımlaa br olasılık uzayı ç, eğer B,B,,B olayları S B j j B 0 ve j, j=,, ç, koşullarıı sağlaya S üzerde taımlamış ayrık olaylar se, her S ç, B j / B j B j (.7) j j eştlğ geçerldr, bkz. Ek.5. Bu teorem değlse, / BB. / B B. ç de geçerldr. Yukarıda taımlı B olayları ayrık (.8) Olasılıklar toplamı teorem özellkle aşamalı olarak uygulaa deeylerde faydalıdır. Öreğ her br çde toplar bulua torbalarda br top çeklmek stedğ durum ele alıdığıda lk öe topu çekleeğ torba seçlr daha sora seçle torbada br top çeklr. Bu tür deeyler ç B j lk aşamadak olayı ve da k aşamadak olayı taımlar se, B j ve / B j olasılıklarıı bulmak oldukça kolaydır. şamalar halde uygulaa deeylerde br adımda soua göre koşul taımlamak oldukça uygudur../ B foksyouu özellkler aşağıdak teoremler le taımlamıştır. Teorem: / B 0 Teorem: B se / B B / 0 Teorem: Eğer ve B, S de taımlı br olaylar se Teorem: Eğer Teorem: Eğer Teorem: Eğer Teorem: Eğer / B / B, S se / B / B / B, S se, [ / B] [ / B] [ / B] [,B S ve B B B /,B S ve se B B se B B / B] 38

15 Teorem: Eğer B B / B, S ve / B / B Şartlı olasılığı kullaıldığı öeml durumlarda br aşağıdak teorem le açıklamıştır. Teorem (Bayes teorem): Taımlaa br olasılık uzayı ç, eğer B,,B olayları B 0 j 0, ç buluur. Bu teorem B j j S ve, j=,, ç, koşullarıı sağlaya S üzerde taımlamış ayrık olaylar se her S, j / B. B k k B k / (.9) / B. B j j ç de geçerldr. Souu bldğ durumda sebeb hag olasılıkla hag olayda meydaa geldğ le lgler. Olasılıklar toplamı teoremde olduğu gb Bayes formülü de aşamalı olarak uygulaa deeyler ç oldukça faydalıdır. radak fark koşul olarak k aşamaı kullaılmasıdır. Dğer br fade le olayı gerçekleşmştr ve sebep ola B k olayı ç olasılık araştırılmaktadır. Bayes teorm le koşullu olasılıklar terse çevrleblr. Ya, B fades B fade edleblr. Bu çok kullaışlı br özellktr. Öreğ, (sorak olay öek olay) sde verls. Sorak olayı gözlemlep öek olayı olasılığı hakkıda çıkarsama yapılmak stes. Bu durumda kullaılmalıdır. (öek olay sorak olay).4 BĞIMSIZ OLYLR Ele alıa olaylarda br gözlep gözlememes olasılığı dğer br olayı ortaya çıkıp çıkmama olasılığıı etklemyorsa bu olaylara bağımsız olaylar der. Eğer / B değlse, dğer br deyşle / B se olayı B olayıda bağımsızdır. olasılığı B olayıa bağımlı Taım (Bağımsız olaylar): Verle br S olasılık uzayı ç, ve B olayları aak ve aak, a. / B (), B 0 b. B / (B), 0 koşulları sağlaıyor se bağımsız olaylardır. İkde fazla,..., olayları sadee... se (.0a) se (.0b)... (.) 39

16 eştlğ sağlaıyor se bağımsızdır. Bu taımlaa olaylar çersde seçle alt olaylar ç de geçerldr. Teorem: Eğer ve B olayları verle br S olasılık uzayıda taımlı brbrde bağımsız olaylar seler, ve B ve B ve B olayları da brbrde bağımsızdır, bkz Ek.4. ve B olaylarıı bağımsızlık özellğ le ve B olaylarıı ayrık olaylar olma özellğ temelde lşkl olmakla brlkte farklı özellklerdr. Öreğ k ayrık olay aak ve aak B (). (B) 0 se bağımsızdırlar. Bu durum sadee ya da B olaylarıı olasılıklarıı sıfır olması durumuda gerçekleşr. Eğer 0 ve B 0 se ve B olaylarıı bağımsız olmaları oları ayrık olaylar olmadıklarıı belrtr. Buu ters de söyleeblr ve B ayrık olaylar se bağımsız olaylar değldrler. Kesşm olasılığıı hesaplaması: Öek bölümlerde olduğu belrtlmşt. Bu durumda k seçeek mevuttur: Eğer ve B bağımsız se B B B doğruda hesaplamasıı zor Eğer ve B bağımsız olup olmadıkları blmyorsa, koşullu olasılık ve çarpım kuralı kullaılır. B BB Bu yapıı kullaılablmes ç B hesaplaablyor olması gerekr. Eğer olaylar fzksel olarak bağımsız seler statstksel olarak da bağımsızdırlar. Öeml br olasılık uzayı model tekrarlı bağımsız deemelerdr. Bu model br zar atışı, para atışı yada destede kart çekme gb olaylarda kullaılmaktadır. şağıdak örek bu kou le lgldr. Örek: İlk olarak br zar daha sora br para atılmakta ve so olarak da destede br kart çeklmektedr. Her br deeme aşağıda verle = araı tura gelmes B = Zarı 5 yada 6 gelmes C= Çekle kartı sek gelmes olayları oluşturmaktadır. Gerçekleştrle her üç deeme brbrde bağımsız olduğu varsayılsı. Dğer br deyşle uygulaa br deey souu br dğer deey souuu etklememektedr. Bu durumda tüm mümkü durumları eşt olablrlğe sahp olduğu kabul edleblr. Her br deeme ç mümkü durumları sayısı sırası le, 6 ve 5 dr. Tüm deemeler kümes ç mümkü durumları sayısı bu sayıları çarpılması le buluablr. Bu souç lerk kısımda açıklaaak ola saymaı temel kuralı le elde edlmştr. yı kural, B, C, B, C, BC, BC olaylarıa at durumları sayısıı elde etmek ç de kullaılablr: 40

17 6 5, B 5, C 6 3, B 5, C 6 3 B C 3, B C 3 elde edle sayıları S 6 5 le bölümes le, ()=/, (B)=/3, (C)=/4 (B)=/6, (C)=/8, (BC)=/ (BC)=/4 souçları buluur. Souçlar eledğde aşağıdak eştlkler geçerl olduğu kolaya doğrulaablr: (B)=()(B) (C)=()(C) (BC)=(B)(C) (BC)=()(B)(C) Burada dkkat edlmes gereke durum olaylar olduğu kadar deeyler de bağımsız olduğudur. Eğer (B)=()(B) özellğ sağlaıyor se ve B olayları brbrde bağımsızdır. Souç olarak bağımsızlık fades görel olarak verle olasılık ölçümüe bağlı olduğu görüleblr. Çfterl olarak bağımsızlık, ortak bağımsızlık alamıa gelmemektedr. Öreğ: br kavaozda br adet kırmızı, br adet beyaz, br adet mav ve br adet de kırmızı-beyaz-mav olmak üzere 4 adet top bulumaktadır. olayı = topu üzerde kırmızı olması B olayı = topu üzerde beyaz olması C olayı = topu üzerde mav olması İk top, B ve C olaylarıı sağlamaktadır. Böylee ve B C Çftlerl bağımsızlık: B 4 ele alısı. B 4 tür. Dolayısıyla B B C C ve B C BC B C 4 ele alısı. BC 4 B C kşerl olarak bağımsız olmalarıa karşı ortak olarak bağımsız değllerdr..5 SEÇİMLİK KONULR dr. dr. yı şeklde dr. Böylee, B ve C kşerl olarak bağımsızdır. dr. Dolayısıyla, B ve C Olasılık uzayı, gerçek hayatta rastgele meydaa gele süreçler (ya da deeyler) modelleye matematksel yapıdır. Br olasılık uzayı, belrl br durum ya da deey dkkate alıarak oluşturulur. Br olasılık uzayı üç parçada oluşur:. Örek uzayı S, tüm mümkü çıktıları kümes. Olaylar kümes F, sıfır ya da daha fazla çıktıya sahp ola her br olay br kümedr. 3. Olaylara olasılıkları ataması, olaylarda olasılıklara br foksyo. 4

18 Br çıktı, model tek br defa uygulamasıyla elde edle souçtur. Çıktıları tek tek değerledrlmes pratk olmadığı durumlarda, daha karmaşık yapıdak olaylar çıktı gruplarıı karakterze etmek ç kullaılır. Bu türdek olaylara σ-ebr der. Bua ek olarak, her br olayı olablrlğ belrlemes gerekr. Buu ç de olasılık ölçümü foksyou kullaılır. Taım (Olasılık Uzayı): Br olasılık uzayı üç elemalıdır, [S,, (.)]. Burada S örek uzayı, sgma ebr dğer br deyşle br olaylar koleksyou ve (.) se taım kümes ola br olasılık foksyoudur. Olaylar ales: Olaylar, örek uzayıı brer alt kümelerdr. Fakat örek uzayı S hag alt kümeler olay olarak taımladığıa asıl karar verlr? Herhag br çıktı ola E S olsu. Bu durumda sadee ve sadee s E s S gözlemş ve se E gerçeklemştr der. Olaylar ales, gözlemleeblr alt kümeler toplamıda oluşmaktadır. ratkte gözlemleeblrlk meseles geellkle göz ardı edlr. Öreğ, S solu br küme olduğuda, S tüm alt kümeler olaylar olarak taımlaır. Olaylar ales şu özellkler sağlamalıdır:.örek uzayı br olaydır..eğer E br olaysa, E de br olaydır. 3.Herhag br sayılablr olaylar ales brleşm de br olaydır. İlk k özellk brlkte eledğde, hem S hem de ve brer olay olmak zorudadırlar. Eğer sadee S olay seler, üçüü özellk geçerldr ve bu edele S, toplamı br sgma-ebrdr. Taım (Sgma ebr): S örek uzayıı alt kümeler oluşturduğu br koleksyo eğer aşağıdak üç özellğ sağlıyorsa sgma ebr olarak adladırılır ve le gösterlr. a) (boş küme ı elemaıdır) b) Eğer se (tümleye şleme göre kapalılık) ) Eğer,,... se olur (sayılablr sayıda brleşm şleme göre kapalılık). Boş küme, herhag br küme alt kümesdr. Bu edele dama sgma ebre dahl olduğuu belrtr. S. Özellk (a) bu alt küme S olduğuda özellk (a) ve (b) S kümes de dama ya dahl olduğuu belrtr. yrıa De Morga kauları kullaılarak ı sayılablr kesşmler altıda kapalı olduğu görüleblr. Eğer,,... se bu durumda,,... dr, (özellk b le) ve olur. Buula brlkte De Morga kauu kullaılarak, buluur ve özellk (b) le buluur. 4

19 Örek uzayı S ye at brçok farklı sgma ebr taımlaablr. Öreğ {Ø, S} şekldek k adet küme koleksyou br sgma ebrdr ve trval sgma ebr olarak adladırılır. Eğer S solu ya da sayılablr se bu örek uzayı üzerde br sgma ebr oldukça kolay br şeklde taımlaır: =S tüm alt kümeler, S keds Eğer S kümes adet elemaa sahp se dak küme sayısı adettr. Öreğ eğer S={,,3} se, 3 =8 küme koleksyouda, ={}, {}, {3}, {,}, {,3}, {,3},{,,3}, Ø=F S oluşur. Eğer S kümes elemaları sayılamıyor se bu durumda yı taımlamak zor olablr. Buula brlkte, lglele herhag br kümey çereek şeklde seçleblr. Öreğ, S gerçel sayılar kümes olarak taımlamış se ebr, [a,b], (a,b], [a,b), (a,b) şekldek tüm kümeler çereek şeklde seçleblr. Burada a ve b tüm gerçel sayıları taımlar. Bu durumda, yukarıda taımlaa kümeler, mümkü sayılablr sosuz, brleşm ve kesşm şlemler le elde edlebleek tüm kümeler çerr. Olasılık teorsde öeml eştszlklerde br Boole eştszlğdr ve adıı George Boole da almıştır. Boole eştszlğ solu ya da sayılablr olaylar kümes brleşm olasılığıı ayrı ayrı breysel olasılıkları toplamıda daha büyük olamayaağıı söylemektedr. Teorem (Boole eştszlğ): Herhag k ve B olayı ç B B, B S olmak üzere B ç, olarak taımlaır. Daha geel olarak, eğer (.) br olasılık foksyou se, herhag,, kümeler ç, ( ), eştszlğ geçerldr, bkz E.6. Boole eştszlğ olayları solu kesşm olasılığı üzerde br alt ve üst sıır bulmak ç geelleştrleblr. Bu sıırlar Boferro eştszlkler olarak blr. Teorem (Boferro Eştszlğ): Teorem (b) formülüde ( B) olduğuda, ( ) ( B) ( B) ve ( B) ( ) ( B) elde edle souç Boferro eştszlğ özel haldr, bkz E.7. Boferro eştszlğ özellkle, kesşm olasılığıı belrlemek stedğ fakat hesaplamasıı zor ya da mkasız olduğu durumlarda oldukça faydalıdır. Öreğ her br 0.95 olasılığa sahp ve B olayları ç her ks de brlkte oluşma olasılığıı sıırı, 43

20 (B)=()+(B)-=0.90 olarak buluablr. Breysel olayları olasılıkları yetere büyük olmadıkça Boferro sıırı egatf değer verdğ ç (fakat hala doğrudur) kullaışsızdır..5. Örek Uzayları Bu bölüm boyua rassal br deey sadee solu çıktılara sahp olduğuu varsayılaaktır. Buula brlkte lglele rassal deey sosuz elemaa sahp br örek uzayı üreteblr. yrıa sosuz elemaa sahp örek uzayıı elemaları, sayılablr veya sayılamaz olablr..5.. Sayılablr Sosuz Örek Uzayları Br örek uzayı, poztf tamsayılar kümes elemaları le bre-br olarak eşleeblyorsa veya umaraladırılablyorsa sayılablrdr. (bkz grş ot) eğer örek uzayı sayılablr se aşağıdak gb gösterlr. S e e, e., 3 Burada bulua e çıktıları göstermektedr. yrıa, E e tamsayıları br alt kümesdr. E kümes olasılığı; ( E) ( ) I E dr., S sosuz olduğu ç buradak e I E : olsu. Burada I E I E poztf ds kümes de sosuzdur, fakat ( e ) e fazla olduğu ç (E) soludur. Örek olarak hlesz br para ç lk yazı geleye kadar yazı-tura deemeler düşüülürse, örek uzayı açıkça 0,,,3, tamsayılarıı çerr ve çıktıları dzs aşağıdak gbdr; T, T,,T,H S 0 () / (/) (/) 3 yrıa; 3 olduğu görüleblr. Sayılablr durum, tam olarak solu durum gbdr. Souç olarak, solu durumda öe elde edle tüm taımlar ve souçlar sayılablr durum üzere taşıablr. Buda dolayı baze solu ve sayılablr durumlar berabere ayrık örek uzaylar adı altıda fade edlrler..5.. Sayılamaz Sosuz Örek Uzaylar Sayılamaya örek uzaya, sayılamaya sosuz veya sürekl örek uzayı adı verlr. Breysel bast çıktılı olasılıklar, ayrık durumlar sürekl örek uzayı durumuda şe yaramazlar. Çoğulukla sayılamaz sosuz durumda her br çıktıı breysel olasılığı sıfır olmalıdır. Bu zorlukta kurtulmaı yolu breysel çıktılarda zyade bleşk olayları olasılıklarıı belrlemektr. 44

21 Sürekllk olduğuda örek uzayı reel sayıları br aralığı öreğ (0,) veya reel ekse tümü ya da br düzlem çdek oktaları kümes olablr. Olaylar her br durum ç açıkça taımladığıda, olay olasılıkları belrleeblmekte ve keskl durumlar ç kullaıla kurallar aak o zama uygulaablmektedr. Dkkatmz aralıklar üzerdek olaylara ve olasılıklara verelm. Örek uzayı olarak (0,) aralığıdak reel sayıları kümes olarak alıır se ( S) olduğu açıkça görüleblmektedr. Bu örek uzayıda sezgsel olarak olasılık değer 0.5 ola 0.5 de küçük sayıları örek uzayı üretlr. Bezer şeklde 0.75 le 0.85 arasıdak rassal seçlmş sayıları olasılığı se 0.0 dur. Bu örek uzayı üzerde üç tae aralık olayı aşağıdak gb taımlası; x :0.6 x 0.9, B x : x 0.7 C x : x 0.5., Her br olaya at olasılık değer o olayı taımlı olduğu aralığı boyua eşttr. Bu durumda olasılıklar ( ) 0.3, ( B) 0.3, ( C) 0.5. şeklde ataablr. Bu olayları taımlarıda küme şlemler araılığıyla bezer örek uzayları olayı ç, türetleblr. Öreğ; B x : 0.6 x.0 ( B) 0.4 B x : 0.7 x 0.9 olayı ç ( B) 0. olur. Böylee, ( B) ( ) ( B) ( B) elde edleblr. yrıa sezgsel olarak aşağıdak souçlar görülmektedr. C B C 0.5 C x : x 0.5 B C B C B C, B C 0 BC x : x 0.5 ( C) 0.5; ; veya x 0.7 So k souç B ve C karşılıklı olarak ayrık olduğuu ve bağımsız olmadıklarıı belrtmektedr. 45

22 Rassal br sayı seçm öreğmz k öeml özellğ vardır. Brs hesaplaablr br olasılığa sahp küme br aralıktır. ralık üzerde taımlaa k olay ve B olsu. Bu durumda, B, B, ve B olayları da brer aralıktır. İks olasılık toplaablrdr. Ya ve B herhag k aralık ve ayrık seler B boyu ve B boylarıı toplamı olarak buluur. Sayılamaya sosuz örek uzayları üzerdek aralık olayları ve olasılıkları ç br başka öreğe bakalım. Elmzde 0 da 0 a kadar umaraladırılmış yelkovalı br kroometre (süreölçer ) olsu. Eğer gözümüz bağlı ke br emrle kroometrey başlatıp durdursak yelkovaı tam olarak 4 umarada durma şası edr. Tam olarak alamıda kasıt, sıfırları sosuza kadar gtmesdr.çıkça böyle br şas yoktur. Saat br yerde durmalı ve durduğuda se olasılık dr. Eğer rastgele l br zamada saat dursa, yelkovaı le 4 sayıları arasıda durmasıı olasılığı edr? bçmde sorulursa çoğu kş olasılığı 0. olduğuu söyleyeektr. Çükü le 4 arsıdak uzay çevre 0 s kadardır. Yukarıdak olasılığı br bölge olarak açıklamak ç olasılık eğrs olarak smledrle br bölge şa edleblr. Eğr altıda kala toplam ala, sürekl örek uzaylarıı toplam olasılığıdır ve her zama e eşt olmalıdır. Verle örekte 0 da 0 kadar zama ekse göstermekte ve saat 0 le 0 arsıdak herhag br değer almaktadır. yrıa her aralık eşt olasılıkla ölçülmektedr. Toplam ala olduğu ç bu olasılığa karşı gele değer 0 dur. Şekl 4.4 bze lgl durumu olasılık eğrs göstermektedr. Şekldek taralı bölge yelkovaı le 4 arasıda durma olasılığıı vermektedr. Bu bölge br dktörtge olup alaı dr. 46

23 EK Ek. İspat: a) S=SØ ve S le Ø ayrık, SØ= Ø, olduğuda (S)=(SØ)=(S)+(Ø) =+ (Ø). b) S= ve le ayrık, = Ø, olduğuda (S)=( )=()+( ) = ()+( ). Ek. İspat: a. Herhag k ve B olayı ç, B=(B)( B) ve olasılık fades olarak, (B)=(B)( B) ve eştlğ sağıdak k olay ayrık olduğuda, (B)=(B)+( B) b. Herhag k ve B olayı ç ve B olayları brbrde ayrık olduğuda, B=( B) özdeşlğ kullaılarak, (B)=()+( B) yrıa B= ( B) ve eştlğ sağıdak k olay ayrık olduğuda, (B)=()+ ( B) Elde edle souçlar yere koarak spat tamamlaır. (B)=()+(B)-(B). B=( B) ve eştlğ sağıdak k olay ayrık olduğuda ksyom 3 kullaılarak (B)=()+( B) ksyom kullaılarak ( B)0 ve souç olarak (B) () buluur. d. =(-B)(B) olup eştlğ sağıdak kümeler ayrık olduğu ç ()=(-B)+(B) spat tamamlaır. Teorem (b) formülü br kesşm olasılığı ç kullaılableek faydalı br eştszlğ (Boferro eştszlğ) taımlar. Ek.3 İspat: a. [/ B] ( B) (B) 0 her S ç b. [S/ B] (S B) (B) (B)/ (B). Eğer,,... S dek çfterl ayrık olayları dzs se ( ) B B / B [B] [B] 47

24 (B) B [ / B ] Souç olarak verle br B, (B)>0, olayı ç [./B] br olasılık foksyoudur. Ek.4 İspat: olayı ayrık B j olaylarıı her br le ola kesşmler brleşm j B j olarak taımlaablr çükü B j ler de ayrıktır. Bu durumda [ ] j B j [ / ]. [ j B j B j j ] [ B ] j buluur. Ek.5 İspat: Sadee a şıkkıı spatı yapılaaktır. Bu amaçla B (). (B ) gösterlmeldr. [ B ] ( ) ( B) ( ) ( ). ( B) ( ).( ( B)) ( ). ( B ) olduğu buluur. Ek.6 İspat: Boole eştszlğ, solu olaylar ales ç tümevarım yötemyle kaıtlaaaktır. ç eştszlk sağlaır.. durum ç eştszlk aşağıda verlmştr. B B B ve brleşm operatörü brleşmel olduğuda,. Böylee 0. Olur ve olasılığı lk aksyomu edeyle, 48

25 49 Elde edlr. Bu yüzde, buluur. Ek.7 İspat: Boole u eştszlğ le Boferro eştszlğ arasıda br bezerlk vardır. Temelde ayıdırlar. Eğer Boole u eştszlğde kullaılsaydı, burada ve ) ( ) ( eştlkler kullaılarak ) ( elde edlr k bu souu Boferro eştszlğ geel fadesdr.