T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GRAF TEORİSİNİN BAZI MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI YÜKSEK LİSANS TEZİ

Transkript

1 .C. BALIKESİR ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ MAEMAİK ANABİLİM DALI GRAF EORİSİNİN BAZI MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI YÜKSEK LİSANS EZİ Mura Sabr SARAN Balıesr, Şuba 8

2 .C. BALIKESİR ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ MAEMAİK ANABİLİM DALI GRAF EORISİNİN BAZI MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI YÜKSEK LISANS EZI Mura Sabr SARAN ez Danışmanı: Doç.Dr.Ahme Snan ÇEVİK Sına arh: 3..8 Jür Üyeler: Prof.Dr. Ramazan YAMAN BAÜ Doç.Dr. Ahme Snan ÇEVİK Danışman BAÜ Yr.Doç.Dr. Neca ÖZDEMİR BAÜ Balıesr, Şuba8

3 ÖZE GRAF EORİSİNİN BAZI MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI Mura S. SARAN Balıesr Ünerses Fen Blmler Ensüsü Maema Anablm Dalı Yüse Lsans ez / ez anışmanı: Doç. Dr. Ahme Snan ÇEVİK Balıesr, 8 Graf eorsnn çıış e gelşmes alışılagelmş bçme olmamışır. eor, ensnen ço aha es br problemn çözümü olara oraya onmuşur. Graflar aha sonra eler mühenslğ, mya e eonom gb brbrnen bağımsız alanlara arşımıza çımışır. Bugün se graf eors, moern cebrn öneml ollarınan br olmuşur. Ele alığımız bu çalışma; graf aramını e emellern açılayara, eler mühenslğ e enüsr mühenslğ alanlarına ne gb aılara bulunuğunu ncelemeye yönelr. Bu araşırma gösermşr bu mühensl alanına lgl problemlere yalaşıma farlı yönemler e olmala brle, graf yalaşımı, bu problemlere ço aha ne br baış açısı oraya oymaaır. Çalışma ör bölümen oluşup, üç e örüncü bölümler ezn amacını gerçeleşrmeye yönelr. ANAHAR SÖZCÜKLER: Graf / Graf eors / Eler Dereler / Maemasel Moel / Eler Derelernn Analz / Ulaşırma Ağları

4 ABSRAC ENGINEERING APPLICAIONS of GRAPH HEORY Mura S. SARAN Balesr Unersy, Insue of Scence Deparmen of Mahemacs MSc. hess / Supersor: Asoc. Prof Dr. Ahme Snan ÇEVİK Balesr. urey, 8 Graph heory has ha an unusual orgn an eelopmen. heory has been shown up a soluon of a problem whch was se up before self. Laer, graphs appeare n unque areas such as elecrcal engneerng, chemsry an economcs. oay, graph heory becomes one of man branches of moern algebra. hs suy ams ha o explan basc conceps of graphs an hen o examne graph heory approaches n elecrcal engneerng an nusry engneerng areas. hs suy enoes ha alhough boh engneerng areas hae fferen approaches o relae problems, graf approaches of he same problem hae more effcen focus on problems. Our suy has four man chapers an secon, hr an fourh Chapers en o realze our ams. KEYWORDS: Graph / Graph heory / Elecrc Crcus / Mahemacal Moel / Analyss of Elecrc Crcus / ranspor Newors

5 İÇİNDEKİLER: Sayfa ÖZE, ANAHAR SÖZCÜKLER ABSRAC, KEYWORDS İÇİNDEKİLER SEMBOL LİSESİ ŞEKİL LİSESİ ÖNSÖZ. GİRİŞ. GRAFLAR 3.. Graf Ner? 3.. Grafların Sınıflanırılması 4.3. İlş e Derece 5.4. Al Graf 6.5. Aım Yol e Çerçee 7.6. Ağaç aramı 8.7. Ağaç ümleyen Krşler Kümes 9.8. Yönlenrlmş Graflar Dgraf.9. emel Çere, Kesleme e Düğüm Keslemes 3.. Kesleme Yönü e Çzgs 6 3. ELEKRİK DEVRELERİ e GRAF EORİSİ Grş Dere Elemanları e Maemasel Moel 3.3. Bazı Eler Dere Elemanlarının Maemasel Moeller Dereler eorsnn Asyomları Graf Marsler Dal Gerlmlernn Belrlenmes Krş Aımlarının Belrlenmes İŞ AĞ AKIŞ PROBLEMLERİ e GRAF EORİSİ Grş Ulaşırma Ağları SONUÇ e DEĞERLENDİRME 58 KAYNAKÇA 59

6 SEMBOL LİSESİ Smge Aı anımı/brm Brm Düğüm Dereces Başlangıç Dereces Fnal Dereces Eler Aım Şe Amper A Elersel Poansyel Vol V R Drenç Ohm Ω G İleenl Semens S p An Güç Wa W İspaların sonuna ullanılır.

7 ŞEKİL LİSESİ Şel Aı Sayfa Numarası Şel.. Beş üğüm e ye enaran oluşan graf 3 Şel.. Aynı Grafın Farlı Çzmler 4 Şel.3. İ Sonsuz Grafa A Brer Bölüm 5 Şel.4. İ Parçalı Graf 5 Şel.5. Graf e Al Graf 7 Şel.6. Aım, Yol e Çere 8 Şel.7. Seçlmş Br Ağaç e ümleyen Şel.8. Beş Düğüm e Douz Kenarlı Brleş Graf Şel.9. Graf, seçlmş ağaç, rşler ümes e emel çere yönler 3 Şel.. Brleş br graf e ona lşn br algraf 4 Şel.. Brleş br grafa esleme seçm 6 Şel 3.. Sez üğümlü br eler eres 9 Şel 3.a uçlunun uyarılması Şel 3.b Ampermere e olmerenn uçluya bağlanış şel Şel 3.c Ölçü alelernn bağlanış bçmn göseren uç graf Şel 3.3a Yarı leen youn sembolü 3 Şel 3.3b e c Maemasel Moeller 3 Şel 3.4a 5uçlu br ere elemanı 4 Şel 3.4b Ölçmeler Grafı 4 Şel 3.4c 5uçlu elemanın uçağaçlarınan br 4 Şel 3.5a uçlu lneer renç elemanı sembolü 6 Şel 3.5b uçlu lneer olmayan renç elemanı sembolü 6 Şel 3.5c uçlu renç elemanına lşn uçgraf 6 Şel 3.6a Doğru DC gerlm aynağı 7 Şel 3.6b Doğru DC aım aynağı 7 Şel 3.6c DC aynalara lşn uç graf 7 Şel 3.6 DC gerlm aynağının araersğ 7 Şel 3.e DC aım aynağının araersğ 7 Şel 3.a Gerlm aynağı sembolü 8 Şel 3.7b Aım aynağı sembolü 8 Şel 3.7c Kaynalara lşn uç graf 8 Şel 3.73 Örne ayna fonsyonları 8 Şel 3.8a 3uçlu e ölçme grafı 9 Şel 3.8b İ apılı e ölçmeler grafı 9 Şel 3.9. Br eler eres e uç grafı 3 Şel eoremnn spaı 3 Şel 3.. emel Çereler 3 Şel 3.. Çere e esleme yönler 35 Şel 4.. Ulaşırma Ağı 5 Şel eoremn İspaı 56

8 ÖNSÖZ Yıllar öncesne brmş olmam gereen bu çalışmaya eşmn, alemn, oslarımın e özellle anışmanım Doç. Dr. Ahme Snan ÇEVİK n yürelenrmeler le başlaım. Anca çalışmam sırasına, başlangıça ayıp olara görünen yıllara azanığım çeşl ecrübelern büyü br fayasını görüm. Bu ecrübeler azanmama ço büyü eme e sabırları olan, manen babam olara blğm, Yar. Doç. Dr. Cengz AYDEMİR buraa anmama büyü br efasızlı olur. Ama benzer br efasızlı, aları sayfalara sığmayaca, on ör yılır brle oluğum Balıesr Mesle Yüseoulu çalışanlarına eşeür ememer. Br eğmcmzn eğ Benm en büyü öğremenlerm öğrenclermr. sözünen yola çıara, bu ecrübelere esle olan öğrenclerm e segyle ucalama gereğn hsseyorum. Zaman zaman eyfl, zaman zaman sancılı geçen bu çalışma sırasına bana rehberl een Doç. Dr. Ahme Snan ÇEVİK e; çalışmaya benm aar sahp çıan, zorlanığım her anım e eoreme yarımıma oşan Yar. Doç. Dr. Fıra AEŞ e, mnnelerm belrmee ullanacağım elmeler bulmaa zorlanıyorum. Bu çalışmaya ben eş een bu nsanların, çalışmama azanığım blmsel eğerler br yana, bu saırlara le germeye çalışığım uyguları bana haırlamış olmaları a ayrı br mululuur. Balıesr, 8 Mura S. SARAN

9 . GİRİŞ Graf eors 736 yılına Euler n Köngsberg Köprü problemn çözmes le oraya aılı. Sonra yüzyıl boyunca üzerne herhang br çalışma yapılmayan eor, 847 yılına G. R. Krchhoff un Ağaç eorsnn Eler Derelerne Uygulanması başlılı çalışması le yenen güneme gel. Bunan on yıl aar sonra A. Cayley C n H n+ Doymuş Hroarbon İzomerlernn Sınıflaması çalışması sırasına ağaç aramını eşfe. Krchhoff e Cayley le aynı zamanlara graf eors çn ayrı lomere aşı onu. Bu lomere aşlarınan brncs br hara üzerne, brbrlerne sınır omşusu olan ülelern farlı renlerle boyanara brbrlernen ayrılması çn ör rengn ullanımının yeerl oluğunu göseren Dör Ren Varsayımıır. Dör ren arsayımı l ez A. F. Möbus arafınan 84 yılına erğ br ers sırasına oraya aılmışır. Bu arsayım 879 yılına Cayley n Proceengs of he Royal Geographc Socey alı erge yapığı maale le ço blnen br problem urumuna gel. İnc lomere aşı se Sr W. R. Hamlon arafınan gelşrlen br bulmaca yarımıyla onu. Bu bulmaca, her öşesne ünyanın öneml şehrnn yerleşrlğ ahaan, üzgün br yüzlüen her br yüzü üzgün br beşgen olan öşel, her br öşee 3 ayrıın brleşğ çoyüzlü oluşmaayı. Buraa heef; yüzlünün enarları ullanılara her br şehren br efa geçme oşuluyla şehr çeren br am ur yapmaı. Bu emeleme önemn br yarım yüzyıllı uralama önem zle. Bu önem sonuna 939 yılına D.Könng ennen önce çalışmaları erleyere onu haına l abı yayınlaı. İzleyen 3 yıl boyunca eor e uygulama alanına onuyu çeren ço yoğun çalışmalar yapılı. Günümüze e halen yuarıa sözü

10 elen çözülmüş ya a çözülmemş problemlern faes e çözümü anlamına pe ço çalışma yapılmaaır. Son on yıllı peryoa se yne graf eor ullanılara, Krpograf, Blşm ağı ssemler e eleron, mean ssemler b. [6] [4] [5] [9] [] [8] onularına gerel çalışmalar yapılmış olup, halen eor maemasel aramlar özellle cebrsel onular üzerne, aı geçen uygulama alanlarına aapasyonlar yapılmaaır. [], []. Konu üzerne yapılan çalışmalar çeşl sürel yayınlara a yayınlanmaaır [8]. Bu ezn genel amacı, özellle cebrsel e uygulamalı maema alanlarına öneml br yer uan Graf eor aramının, saece maemae eğl, aynı zamana mühensl splnne e aılarının bulunuğunu e e mecu brço mühensl uygulamasının ya graf eoren başlaığı ya a eornn mühensl uygulamasına oğruan rehber oluğu gerçeğn urgulamaır. ez 4 bölümen oluşup, üç e örüncü bölümler ezn amacına yönelr.

11 . GRAFLAR.. Graf Ner? Br graf G V, E ümelernen oluşur. Buraa V {,,... } elemanlarına üğüm; { e, e,... } Br e enarı sırasız br çf ümesnn E ümesnn elemanlarına a enar aı erlr., j le belrlenr. Sözü elen e j üğümler enarının başlangıç e bş üğümlerr. Grafların en yaygın göserm, Şel. e göserlğ gb, üğümlern brer noa, enarların se en başlangıç e bş üğümler arasına oğru parçaları le göserlğ yagramlarır. Dyagramın ens graf olara alanırılır. e Br grafa, herhang br e enarı br, j üğüm çf le eşleşr. Başlangıç e bş üğümler aynı olan enar öngü olara alanırılır. Şel. e e 7 enarı br öngüür. Başlangıç e bş üğümü aynı olan bren fazla enar ar se bu enarlara paralel enr. Örneğn Şel. e e e e 3 anarları paralelr. Şel. Beş üğüm e ye enaran oluşan graf Döngü e paralel enar çermeyen graflar bas graf olara alanırılır. Bununla brle pe ço mühensl uygulamasına paralel enar e haa öngü gerelr. Bu yüzen paralel enar e öngü çeren graflara a genel graf aını ereceğz. 3

12 Br grafın geomer şel öneml eğlr. Graf çzmlerne öneml olan, enarlar le üğümler arasına lşr. Örneğn Şel.a e b e göserlen graflar, üğüm e enarlar arasına lşler neenyle aynıır. Şel. 3 Aynı grafın farlı çzmler.. Grafların Sınıflanırılması Graflar, sayılablrllerne göre sonlu e sonsuz olara smlenrlrler [5]. Düğüm ümes e enar ümes sonsuz brer üme olara alınığına sonsuz graf aı erlen yapılar ele elr. Şel.3 e sonsuz graflara br örne erlmşr. Sonlu üğüm e enar ümelerne sahp olan graflara sonlu graf enr. [3] e belrlğ gb, graflar yapılarına göre brleş e parçalı olma üzere ye ayrılırlar. Br grafın herhang br üğümünen ğer büün üğümlerne enarlar üzernen ulaşılablnyorsa bu grafa brleş graf aı erlr. Örneğn Şel. e Şel. e göserlen graflar brleş graflarır. 4

13 Şel. 4 İ sonsuz Grafa A Brer Bölüm Br grafın en az üğümü arasına yuarıa sözü elğ gb br enar yosa bu grafa parçalı graf enr. Şel.4 e göserlen graf parçalı grafa br örner. Şel. 5 İ Parçalı Graf.3. İlş e Derece Alınaca br üğümü bazı e j enarlarının herhang br üğümü se e e j lşlr enr. Örneğn Şel. e göserlen grafa e, e3e e 4 enarları üğümü le lşlr. Paralel olmayan enar ora br üğüm le lşlyse bu enarlara bş enar; benzer şele üğüm br enarın ora sonu se bu üğümlere e bş üğüm enr. Örneğn Şel. e e 6 e e 7 enarları le 3 e 4 üğümler bşr. 5

14 Br üğüme bağlı olan enarların sayısı öngü ez sayılma üzere o üğümün erecesn err e le göserlr. Örneğn Şel. e erlen grafa 3 3, 4 r. Bu grafın 5 üğümüne se br enar e br öngü bulunuğunan 5 3ür. öngüler erece olara abul eeceğmzen Br G grafının e enarı e,,..., n le göserlen n üğümü olsun. Her br enar, başlangıç e bş üğümler neenyle erecey emsl eeceğnen n å e. şelne göserlr. Şel. e erlen graf, 5 üğümen oluşmaaır. Bu uruma: olup, erlen graf 7 enaran oluşuğuna göre ele elen üğüm ereceler oplamı, enar sayısının aıır..4. Al Graf G br graf olsun. G nn al grafı le anlaılma senen bunu G al le göserelm, aslına; üğümler e enarları G e bulunan e enarları G e aynı üğüm çfler le lşl olan grafır. Örneğn Şel.5b e erlen graf, Şel.5a a göserlen grafın al grafıır. 6

15 Şel. 6 Graf e Al Graf Al graf, br grafın herhang br parçası şelne e üşünüleblr. Kümeler eorsne ullanılan al üme sembolü, al grafı göserme çn e ullanılablr e Gal Ì G en G al grafı G nn al grafıır şelne algılanması gerer. Al graf çn aşağıa erlen özelller geçerlr: a. Her graf ensnn al grafıır. b. G grafının herhang br üğümü e başına G nn al grafıır. c. G e e br enar en başlangıç e bş üğümler le brle G nn al grafıır..5. Aım, Yol e Çere Br üğüm le başlayıp herhang br üğüm le ben, üğümler arasına bağlanıları o üğümler le lşl enarların uruğu hareeler zncrne aım enr. Aım çersne br enar ez ullanılmazen, br üğüm bren fazla ullanılablr. Örneğn Şel.6 e alın çzg le göserlen a b e 3 4 br aımır. Aım aynı zamana enar zs ya a zncr olara a alanırılır. Br aımı oluşuran enar e üğümler ümes, açıır, erlen grafın br al grafıır. 7

16 Şel. 7 Aım, Yol e Çere Aımın başlangıç e bş üğümler uup üğümler olara alanırılır. Şel.6 a göserlen aıma e 4 üğümler uup üğümüür. Başlangıç e bş üğümler aynı olan aım apalı aım, başlangıç e bş üğümler farlı olan aım se açı aım olara anımlanır. Her üğümün br ez ullanılığı açı aım yol olara alanırılır. Örneğn Şel.6 a a e 3 4 br yol; anca a b e 3 4 br yol eğlr. Başa br fae le yol ensn esmez. Yol çne enarların sayısı le yol uzunluğu ele elr. Aım çersne öngü bulunablr anca yol çersne öngü bulunamaz. Br yolun başlangıç e bş üğümler aynı se bu yola apalı yol enr. Şel.6 a 5 h 6 f 3 5 yolu apalı yolur..6. Ağaç Karamı Kapalı yol çermeyen brleş grafa ağaç enr. Ağaç, apalı çere e öngü çermeğnen en bas graf olara anılablr [5]. Ağaca a enar elemanlarını al olara alanırırız [6]. 8

17 .6..eorem: Br yol arır.[5] G ağacının herhang üğümü arasına br e yalnız br İspa: Verlen arasına br yol arır. G ağacı brleş br graf oluğunan G nn her br üğüm çf G ağacının herhang a e b gb üğümü arasına farlı yol bulunsun. Bu yolun brleşm br apalı yol olacağınan olamaz. G br ağaç.6..eorem: n üğümen oluşan br ağacın n ane alı arır. [6] İspa: eoremn n, e 3 çn oğruluğu açıır. O hale, ümearım yönem le oğruluğunu anılama çn n üğümlü br ağaç göz önüne alalım. ümearım hpoezne bu ağacın n ane enarı arır. Br G grafı n üğümlü br ağaç se, bu ağaça ereces olan en az br üğüm arır. G en bu üğüm çıarılırsa gere alan G grafı brleş br grafır. G aslına n üğümlü br graf olup çere çermeğnen br ağaçır e n enarı oluğunan alı arır. G ağacının n.7. Ağaç ümleyen Krşler Kümes G brleş br graf e G e bu grafın br ağacı olsun. G ye lşn büün elemanlar G en alırılırsa, gere G al grafına G le gösereceğmz br al graf alacaır. G nn G çne ümleyen ağaç ümleyen enr. G nn enar elemanlarına a rş aı erlr. Şel.7 e brleş grafa seçlmş br ağaç alın çzglerle göserlmşr e bunun ümleyen olan rşler ümes nce çzglerle göserlmşr görülmeer. 9

18 Şel. 8 Seçlmş br ağaç e ümleyen Brleş br G grafına üğüm sayısı n, enar sayısı a n le göserlsn..6. eoreme göre al sayısı n olacağınan rş sayısı n n + olacaır. Örneğn Şel.7 e erlen grafa n 5, n 8 r. Bu neenle grafa seçlen ağacın al sayısı n 4; rş sayısı n n + 4 ür. grafına.6. eoremen yararlanılara şu sonucu çıarablrz: Brleş br G G ağacı le bş üğümler, j gereğnce rş le G çersne j G nn herhang br e rşn alalım. e nın başlangıç e olsun. Bu üğümler G nn e üğümler olup.6. eorem le j arasına br e yol bulunmaaır. Öe yanan, üğümler arasına nc br yol oluşuruğunan, {, } çereye sahpr. Bu çere e rşnn G ağacına aılması le oluşur. e G e grafı br.8. Yönlenrlmş Graflar Dgraf Düğümler ümes V {,, K }, enarlar ümes E { e, e, } K e, j sıralı üğümlernen oluşan grafa yönlanrlmş graf graf aı erlr. Yönlenrlmş graflar,, j sıralı üğümlern, lşl oluları enar üzerne br o şare le göseren yönlü oğru parçaları e noalaran oluşur. Dğer br eyşle, yönlenrlmş graflara üğümler noa, enarlar se üğümünen j üğümüne oğru yönlenrlmş oğru parçası le emsl elr.

19 Şel.8, gösermeer. beş üğüm e ouz enaran oluşan yönlenrlmş br graf Br grafın enarı, bağlanılı oluğu üğüm çf le yön açısınan a lşlr. Düğümler, enar yönü üğümen ışarı oğru se başlangıç üğümü, enar yönü üğüme oğru se fnal üğümü olara alanırılır. Örneğn Şel.8 e 4 üğümü e 7 enarının fnal, e6 enarının başlangıç üğümüür. Br öngünün başlangıç e fnal üğümler aynıır. Şel.8 e üğümü e 9 enarının hem başlangıç hem e fnal üğümüür. Şel. 9 Beş üğüm e ouz enarlı yönlenrlmş graf Br üğümünün, ışarı yönlü enarlarının sayısı başlangıç erecesn err + e le göserlr. Br üğümünün üğüme oğru yönlü enarlarının sayısı fnal erecesn err e le göserlr. Şel.8 e erlen grafın üğümlernn başlangıç e fnal ereceler

20 şelne erlr..8..eorem: Br grafın üğümlernn başlangıç erecelernn oplamı, fnal erecelernn oplamına eya enar sayısına eşr. [5] İspa: Br grafın enarları üzerne yön şareler alırılırsa graf, graf halne gelecer. Br grafa se üğüm erecelernn oplamı. gereğnce enar sayısının aına eşr. Br graf se; her br enarı çn br başlangıç br e fnal üğümü çerğnen, başlangıç üğüm erecelernn oplamı enar sayısına; olayısı le fnal ereceler oplamı a enar sayısına eşr. O hale, br graf üğümlernn başlangıç ereceler oplamı, üğüm ereceler oplamının yarısına, yan enar sayısına eşr. Aynı şele, graf üğümlernn fnal ereceler oplamı, üğüm ereceler oplamının yarısına yan enar sayısına eşr. Bu uruma üğüm sayısı sayısı n e olan br graf çn n enar n n + ne å å. eşlğ her zaman çn sağlanmaaır. Bu se spaı amamlamaaır. No: Dgrafların graflaran e farı enarlarının yönlenrlmş olmasıır. ezmzn onusu grafların özellle eler mühenslğ uygulamaları olacağınan e bu alana yönlenrlmş graflar ullanılacağınan bunan sonra aşamaa grafların graf olara anlaşılması geremeer.

21 .9. emel Çere, Kesleme e Düğüm Keslemes.9..anım: Kenar sayısı n, üğüm sayısı n olan brleş br grafa seçlmş br G ağacının anımlaığı n n + rşen her br, öe elemanları yalnız n G nn çne olma üzere br çere oluşurur. Böylece anımlanmış n + çereye emel Çereler Kümes aı erlr. Brleş br grafa, genel olara, bren ço ağaç seçlebleceğnen, ele eleblece emel çere ümelernn sayısı a seçlece ağaç sayısı aar olur [6]. Her emel çere br e rş arafınan oluşuruluğunan, böyle br çere çn anımlanaca çere yönü, genellle, bu çerey anımlayan rşn yönü olara seçlr. Örneğn Şel.9 a erlen grafan seçlen br ağaca lşn ör rşn her br br emel çere oluşurmaaır. Bu emel çereler ümes e ümee her br emel çerenn yönü, Şel.9 a erlmşr. Şel. Graf, seçlmş ağaç, rşler ümes e emel çere yönler 3

22 .9..anım: Brleş br G grafının aşağıa özelllere sahp olan br grafını göz önüne alalım: Bu uruma a GK al grafını oluşuran büün enarlar alırılığına, G grafı G a e grafa bölünür. ayrıca G a e GK al G grafınan G b le gösereceğmz al Gbnn her br brleşr. b GK nın hçbr al grafı a a özelller sağlamaz. G K ya G grafına lşn br esleme enr. Örne olara Şel.a a erlen G grafını alalım. Bu brleş grafan 4,5,6, e 3 le göserlen enarlar çıarılığına, gerye Şel.b e erlen G le gösereceğmz al graf alır. Bununla brle G { 4,5,6,,,3} a al grafı br esleme eğlr. Çünü G a nın G a {4,5,6,, } e G a {4,5,,,3} al grafları a.9.. anımına a oşulunu sağlar. Dğer arafan ne G ne e a Ga br esleme olamazlar, çünü her snn ora br al grafı olan G a {4,5,, } e.9.. anımının a oşulunu sağlar. İlae olara 3 a olayca görüleblr, G br eslemer. a 3 G aynı anımın b oşulunu a sağlamaaır. Bu neenle a 3 Şel. Brleş br graf e ona lşn br algraf 4

23 .9.3.eorem: Br üğüm noası le lşl olan enarların oluşuruğu üme br eslemer. [6] İspa: Brleş br G grafını ele alalım. Bu grafın herhang br üğümü le lşl olan enarları grafan alırığımız zaman oraya çıan G grafı parçalı br grafır. Bu enarlaran herhang br e enarını G grafına yerleşrğmz zaman oraya çıaca yen graf brleşr. Dolayısı le br üğümün üm enarları.9.. anımına her oşulu a sağlaığınan br eslemer eorem gereğnce oluşuracağımız üm eslemelere üğüm eslemes aını ereceğz..9.4.eorem: G, brleş br G grafınan seçlmş ağaç olsun. Kesleme ümesnn elemanları, ğerler rşleren seçlme üzere, br e alının bulunuğu br esleme arır. G ağacının İspa: G grafınan herhang br göseren K { } G ağacı seçelm. Grafın büün rşlern,, K, n rşler ümesnn büün elemanlarını grafan alırığımıza ah graf brleşr. Gere alan G K ümes se ağacını oluşuran D { },, K, n allar ümesne eşr. K ümesne herhang br elemanının aılığı üme G grafınan alırılırsa gere alan graf parçalı olur. Bu se.9. anımının a şarını sağlar. K È { } ümesnn, ğer elemanları rşler ümesnen olma üzere, b şarını sağlayacağı açıır. alını çeren br al ümesnn.9.. anımının Yuarıa erlen.9.4. eorem gereğnce ele eeceğmz eslemelern her brne al eslemes aını ereceğz. 5

24 .. Kesleme Yönü e Çzgs Dal eslemes yolu le ele elen esleme br esleme çzgs le göserlr. Ele elen eslemenn yönü se esleme çersne bulunan alın yönüür. Örne olara Şel. e erlen brleş grafını seçlmş br G ağacı le brle ele alalım. Ağacın 6 numaralı alının anımlaığı eslemey belrme üzere 5 e 3 üğümlern sırası le A e B şelne şareleyelm. Bu uruma üğümünü A, e 4 üğümlern e B harf le şareleme gereecer. Şelen e gözlemlenebleceğ gb,, 5, 6, 7 e 8 numaralı enarların uç üğümler farlı şarelenmş olacağınan bu elemanlar 6 numaralı alın anımlaığı eslemey oluşururlar. Bu eslemey graf üzerne, eslemee elemanları esece br çzg le göserme mümünür. Böyle br çzg, Şel. e br çember parçası le göserlmşr. Kesleme çzgs aı erlen e grafı parçaya bölen bu çzg apaılırsa, grafın çne bulunuğu üzlem e parçaya ayırır. Bu bölgeleren brne brleş grafın A le şarelenmş büün üğümler, ğerne se B le şarelenmş büün üğümler arır. Keslemeye lşn büün elemanların başlangıç e fnal üğümler farlı bölgelere bulunmaaır. Şel. Brleş br grafa esleme seçm 6

25 Keslemey anımlayan 6 numaralı alın yönü bu bölgelern brnen ğerne olan geçş göserr. Bu geçş, esleme çzgsn esen e esleme yön çzgs aı erlen üçü br ola a göserlmşr.... anım: Kenar sayısı n e, üğüm sayısı n olan brleş br grafan seçlen ağacının allarınan her br le.9.4.eorem gereğnce ele elece n eslemeen oluşan ümeye emel eslemeler ümes aı erlr. Brleş br grafa, genel olara, bren ço sayıa ağaç seçlebleceğnen, ele elece emel esleme ümelernn sayısı a ağaç sayısı le lşl olacaır. 7

26 3. ELEKRİK DEVRELERİ e GRAF EORİSİ Bu bölüme erlece bazı blgler sanar olup, [6], [], []gb aynalaran bulunablr. 3.. Grş Bu bölüm çne görüleceğ üzere ereler eors emel asyoma ayanmaaır [6],[]. Bu asyomlar yarımı le erenn ölçüleblen büyülülerne ulaşılablmes çn, erenn elemanlarına e bu elemanların bağlanı bçmne göre, lneer eya lneer olmayan enlem aımları ele elmes gerer. Bu asyom yarımı le ereleren enlem ele emee br zorlu yaşanmamaaır. Sorun ele elen enlem aımlarının çözümlernn arlığı e elğ üzerner. Yönlenrlmş grafları bunan sonra graf olara anılacaır ullanan aşağıa örneler le açılayacağımız ssema, ele elen enlem aımlarının çözümlernn arlığı e elğ üzerne arışma göürmeyece sonuçlara ulaşılmasına yarımcı olacaır. Fzsel ssem enlnce, belrl br göre gerçeleşrme üzere brbrne bağlanmış fzsel eleman ya a üzenlern oluşuruğu üme anlaşılmaaır. Eler eres e br fzsel ssemr e gören eler aımı, gerlm, aı b. fzsel büyülüler le sağlar. Eler erelern oluşuran üzenlere ere elemanları aı erlr. Dere, senen fonsyonunu, çerğ elemanlar üzerne aımgerlm geçşler le sağlaığınan ere elemanları arasına bağlanı aı erlen br lş urulmalıır. Dere elemanları brbrlerne sahp oluları uçlar yarımı le bağlanmaaır. Dere elemanlarının brbrne bağlanmaları rasgele olmayıp, bağlanı bçm, 8

27 erenn ensnen senen aranışı gerçeleşrece nele olmalıır. En bas ere elemanının ucu arır. Dere elemanları, şleler fonsyonların sürellğne e ayrılığına; enerj erp almalarına; enerj epolayıp epolayamama gb özelllerne göre sınıflanırılablmele brle, ezmzn amaçlarınan br, erelern graflarla olan lşsn nceleme oluğunan, uçlara göre sınıflanırmaır. Bu onu le lgl aşağıa anım erleblr. 3...anım: Dere elemanları uç sayılarına göre sınıflanırılığına, en bas ere elemanına uçlu enr. Genellerse; n> olma üzere n ae uca sahp ere elemanına nuçlu aı erlr. O hale, ere elemanlarının brbrler le olan bağlanısı uçları le gerçeleşr. 3...anım: Dere elemanlarının bağlanı noalarına üğüm aı erlr. Şel 3. 4 Sez üğümlü br eler eres e grafı 9

28 3.. Dere Elemanları e Maemasel Moel Blnen büün mühensl ssemlernn analz eleblmes çn, ssem oluşuran en üçü brmen ssemn büününe aar ssem parçaları e bu parçalar arasına lşnn maema l le fae elmes gerelr. Bu şlem mühensl blmne maemasel moel ya a ısaca moelleme olara alanırılır. ezmzn bunan sonra aşamalarına maemasel moelen asımız, lglenğmz mühensl al alına lşn moel olacaır. Dere analz enlnce, erlmş br eree blnmeyen büün elersel büyülülernn bulunması şlem anlaşılmalıır. Buraa zleyeceğmz meo le, analz elece eree elemanların büün özelller e ere çne brbrler le olan bağlanı bçm maema lne çerlece, aha sonra a blnen maema yönemler yarımı le senlen sonuca ulaşılmaya çalışılacaır. 3...anım: Elemanların özelllernn e bağlanı bçmlernn maema lne önüşürülmes şlemne maemasel moel aı erlr. Dolayısıyla erenn yapı aşları olan ere elemanlarının özelllernn maemasel moel yarımı le belrleneblmes çn, erlen eree öncelle ere elemanlarının ayır eleblmes geremeer. Bu şlem bas br gözlem yolu le yapma her zaman mümün olmayablr. Örneğn bazı urumlara br ere elemanın br başa ere elemanına olan uzalığı ah, söz gelm eler alan ya a magne alan yolu le, br e unsuru olablr. Bu gb urumlara bu eleman opluluğunu brle br çouçlu ere elemanı olara ele alma gerelr. Deree elemanlar ayır elen sonra, bunların her br uçlarınan çözülere, özelller ncelenme üzere ereen çıarılablr. Bu özelllern o elemanın uçlarına yapılaca ölçmeler le oraya onulableceğ arsayılacaır. Bu şleme ölçülen büyülüler aımlar e gerlmler r.

29 Şel 3. 5 a uçlunun uyarılması b Ampermere e olmerenn uçluya bağlanış şel c Ölçü alelernn bağlanış bçmn göseren uç graf Şel 3. e erlen uçlu br ere elemanını ele alalım. Bu elemanın A e A uçlarına yapılablece elersel ölçmeler bu elemanın ucu arasına gerlm le bu elemanın üzernen aan aımın ölçülmesnen oluşablr. Bu ölçümlern yapılablmes çn elemanın uyarılması gerelr. 3...anım : Br eler ere elemanının üzernen aım geçrlmes şlemne elemanın uyarılması enr. Fzsel büyülüler saler yön çermeyen büyülüler e eörel yönlü büyülüler olara ye ayrılır. Eler ssemlernn emel büyülüler olan aım e gerlm yönlü büyülülerr. Örneğn br oğru aım ampermeres sab br aım eğer ölçeren uçları eğşrlrse göserges ers yöne sapacaır. Bu neenle ölçü aygılarının uçlarınan br bz + şaren ullanacağız şarelenere bu aygıları ullanan heresn büün ölçmeler br e bçme yapmaları sağlanmalıır. Şel 3. y göz önüne alalım: Şel 3.a a erlen ölçmeler yaparen gere ampermere gerese olmere ereye bçme bağlanablr. Bu uruma aım e gerlmen oluşan ör farlı ölçüm çf ele eme mümünür. Bu büyülülern an eğerler aım e gerlmn zamana bağlı fonsyonları e fonsyonları le göserlrse ölçülece eğerleren br, bçmne

30 yazılırsa ğer ölçmeler;,,,,, şelne olur. Bu ölçme çflernn yalnız brnn seçleblmes çn Şel 3.c e erlen a üğümünen a üğümüne yönlenrlmş grafı ullanacağız. Graf yönü eğşrlrse Şel 3.b e göserlen ölçü alelernn her snn e yönünün eğşeceğ anlaşılmalıır. Dere elemanının ölçmelern anımlama çn ullanığımız grafa uçgraf aı erlr. Şel 3.c e erlen uç grafın yanına yazılı e fonsyonları uçlunun uçlarına hang büyülülern an eğernn ölçülüğüne şare eer anım: Br eler ere elemanının herhang ucunan ölçülen e büyülülerne elemanın o uç çfne a uçeğşenler aı erlr. Yuarıa erlen 3..3.anımına göre, özel urum olara, uçlu çn bulunaca olan e fonsyonları br cebrsel ya a feransyel enlem bçmner. Dolayısıyla ele elen bu enleme uçlunun uç enlem aı erlmeer. Bu uruma uçluya a uç enlem: n n æ ö f, ç,,,, L,, 3. n n è ø formuna, uç eğşennn enler le bunların üreler arasına ar olan e ayrıca zaman eğşenne e bağlı olablen br bağını bçmr. Yuarıa açılanan blgler, aşağıa erlen anımı eseler anım: uçlu ere elemanı çn seçlen br uçgraf e buna lşn uçenlem o elemanın özelllern belrleğnen, uçlu eleman çn belrlenece uçgraf, uçenlem lsne o uçlu ere elemanının maemasel moel enr.

31 Şel 3. 6 a Yarı leen youn sembolü b e c Maemasel moeller Örneğn, Şel 3.3a a uçlu yarıleen yo elemanına lşn maemasel moel erlmşr. Uç graf farlı ölçme moel le alınableceğnen, her urum çn e maemasel moel Şel 3.3b e Şel 3.3c e erlmşr. Anca buraa uçenlem f, şelne br bağını le erleceğ yere graf olara erlmşr. Bu moel youn sa araersğ olup pe ço uygulama çn ullanışlıır. Bununla brle, uç eğşenlernn hızlı eğşğ urumlar halne bu maemasel moeln aha armaşı br bçme, br fae olara göz önüne alınması gerer. uçlu br ere elemanı çn erlen maemasel moel aramı ço uçlu elemanlara uygulanma senrse, ço uçlu elemanın uçlarına yapılablece büün aım e gerlm ölçmelernen söz eme gereecer. Ço uçlu elemanın uç sayısı n se, elemanın uçları şer şer göz önüne alınara bu uç çfler arasına ænö ç èø n n aım ölçmes e br o aar a gerlm ölçmes yapılablr. Özel olara n 5 alınırsa, Şel 3.4a a göserlen 5uçlu ere elemanının uçları arasına yapılablece ölçmelern sayısı ur. 3

32 Şel 3. 7 a 5uçlu br ere elemanı b Ölçmeler Grafı c 5uçlu elemanın uçağaçlarınan br 5uçlunun herhang ucu arasına yapılan ölçmeler, uçlu br elemana oluğu gb yönlenrlmş br enar le göserlrse, Şel 3.4b e göserlen yönlenrlmş enaran oluşan e ölçmeler grafı aı erlen graf ele elr. Bununla brle ezmzn lerleyen bölümlerne asyom olara ereceğmz Krchhoff un Gerlmler Yasası nı ullanara, yuarıa paragrafa belrlen, ölçülen bu gerlmn brbrnen bağımsız olmaığı göserleblr. Daha açıçası, ölçmeler grafına apalı yol üzerne apalı yol oluşuran enarlaran herhang brne a ölçme, bu apalı yolun ğer enarları cnsnen fae eleblr. İlere görüleceğ gb ölçmeler grafı çersnen seçleblece herhang br ağaç çn yapılaca ölçümler, ço uçlunun uçları arasına brbrnen bağımsız olara yapılablece br grup ölçme, ço uçlunun maemasel moel çn yeerl olacaır. Aşağıa anım graf bağlanısı açısınan ço şmze yarayacaır: 3..5.anım: Ço uçlu ere elemanının ölçmeler grafı üzernen seçlen ağaca, ço uçlunun uç ağacı aı erlr. Yuarıa erlen 3..5 anımı le belrğmz uç ağacına, ço uçlunun uç grafı aını ereceğz. Bununla brle, ço uçlunun uç grafına her hang br enarın başlangıç e fnal üğümlerne apı aı ereceğz. 4

33 3.3. Bazı Eler Dere Elemanlarının Maemase Moeller Bu bölüme, maema moelleme aramını örneleme üzere, bazı eler ere elemanlarının maemasel moel erlecer. Anca bu moeller oluşurma ssemağ, ezmzn ana frn çermeğnen, ele alınmayaca saece sonuç le lglenlecer. Bu ssema bu bölümün sonuna erlen eler erelernn çözümü aşamasının anlaşılması açısınan önemlr. Uçlu Drenç Elemanları Maemasel moel en bas olan uçlu renç elemanının uç enlemler: G, RÎ R olma üzere; R 3. ya a G 3.3 şelne fae elr [6], [], [] anım: 3. e 3.3 le erlen uç enlemlerne R e G /R reel asayılarına sırası le elemanın renç eğer, ya a ısaca renc, e leenl eğer, ya a ısaca leenlğ, aı erlr. Yuarıa erlen 3. e 3.3 faeler 87 yılına George Smon Ohm arafınan erlmşr e fze Ohm Yasası olara blnmeer. Ohm Yasasına uyan uçlu renç elemanlarına Lneer Drenç aı erlmeer. Bununla brle, f e g reel fonsyonlar olma üzere, uç enlem ya a f 3.4 g 3.5 5

34 bçmne fae eleblen e Ohm yasasını sağlamayan uçlu rençlere Lneer Olmayan renç aı erlr. Şel 3. 8 a uçlu lneer renç elemanı sembolü b uçlu lneer olmayan renç elemanı sembolü c uçlu renç elemanına lşn uçgraf Uçlu Bağımsız Kayna Elemanları Daha önce erlen 3... anımına a belrğmz üzere, eler ere elemanlarının şlelern gerçeleşreblmes çn uyarılması gerelr. Bu uyarma şlemn yapan elemanlar ayna olara blnr e bze çeşl aım e gerlm fonsyonlarını sağlar. Bu bölüme örne bazı aynaları anımlayacağız anım: Uç gerlm, uç aımınan bağımsız olara, ama erlen br zaman fonsyonunu üreen uçlu ere elemanına bağımsız gerlm aynağı ya a ısaca gerlm aynağı aı erlr anımına erlen üre aynalar, eler erelerne gerel olan gerlm fonsyonlarını sağlar. Dğer arafan aım fonsyonu üreen aynalara a hyaç uyulur anım: Uç aımı, uç gerlmnen bağımsız olara, ama erlen br zaman fonsyonunu üreen uçlu ere elemanına bağımsız aım aynağı ya a ısaca aım aynağı aı erlr. 6

35 Yuarıa erlen bağımsız aynalara lae olara aşağıa anımlar erleblr: anım: Br gerlm aynağının uç gerlm ya a aım aynağının uç aımı zamanla eğşmeyp sab alıyorsa bu aynalara sırasıyla oğru DC gerlm aynağı e oğru DC aım aynağı enr Örne: Şel 3.6 le anımına belrlen DC aynalara lşn ere semboller e erlmşr. Şel 3.9 a Doğru DC gerlm aynağı b Doğru DC aım aynağı c DC aynalara lşn uç graf DC gerlm aynağının araersğ e DC aım aynağının araersğ DC aynaların ersne alernaf aynalar aşağıa bçme anımlanablr: anım: Br gerlm aynağının uç gerlm ya a br aım aynağının uç aımı, zamanla eğşen fonsyonlar sağlıyorsa bu aynalara sırasıyla alenaf AC gerlm aynağı e alernaf AC aım aynağı aı erlr Örne: Şel 3.7 e AC aynalara lşn semboller, uç graf e bazı örne aım gerlm fonsyonları erlmşr. 7

36 8 Şel 3. a Gerlm aynağı sembolü b Aım aynağı sembolü c Kaynalara lşn uç graf Örne ayna fonsyonları No: Eler e eleron erelerne en yaygın ullanılan AC aynalar snüzoal gerlm ya a aım üreen aynalar olmala brle lneer e lneer olmayan çeşl peryo şareler üreen aynalar a ullanılmaaır No: uçlu elemanlara lşn grafın, ere elemanının ucunu brleşrece bçme yönlenrlmş br oğru parçası olacağı açıır. 3Uçlu e İ Kapılı Dere Elemanları 3uçlu e apılı ere elemanlarının uç enlemler, seçlmş br uç grafa lşn olara,,,,,,,, h h f f g g 3.6

37 bağınılarınan br le erlr. Şel 3. a 3uçlu e ölçme grafı b İ apılı e ölçmeler grafı No: Şel 3.8 e göserlen apılı ere elemanı, aslına 3... anımı gereğ, br 4uçlu olmasına rağmen apılı olara fae elmş, ayrıca ölçme grafı a parçalı grafan oluşurulmuşur. Bu elemanın apılı olara fae elmesnn neen, elemanın her ne aar ör ucu olsa a bunlaran belrl ucu, söz gelm B e D, brbrne enr. Bu neenle apılının ölçme grafı br 3uçlunun ölçme grafı le e fae eleblr Dereler eorsnn Asyomları Bu bölümün grş ısmına ereler eorsnn asyoma ayanığına şare emş. Bu aşamaa bu asyomları fae ep, bazı aynalara üçüncü br asyom olara fae elen, n uçlu ere elemanının am olara anımlanablmes çn üzerne yapılması gereen ölçme sayısına ulaşmaya çalışacağız[6] Asyom Krchhoff Gerlmler Yasası: Br eler eresnn herhang br apalı çermne gerlm üşüşlernn e arışlarının cebrsel oplamı sıfırır. Bu asyomu Şel 3.9 a erlen ere üzerne göserlen çere üzerne uygularsa: 9

38 V + V + V 3 V 4 enlemlerne ulaşırız. Aynı enlem aımına erenn graf moelnen e ulaşılablr. Gerlm faelernn önüne yer alan şare, ere grafına graf yönler le lşlr. Örneğn. enlem, ere grafına av cv 3 a apalı yolu ullanılara oluşurulmuşur. Bu yolun ers çerlmes le e aynı enleme ulaşılacağı açıır. Şel 3. Br eler eres e uç grafı 3.4..Asyom3. Krchhoff Aımlar Yasası: Br üğüm noasına gren e o üğüm noasınan çıan aımların cebrsel oplamı sıfırır eorem: Br esleme ümes elemanları üzerne bulunan aımların esleme yönü le aynı olanlar le esleme yönüne zı olanların cebrsel oplamı sıfırır. İspa: Brnc bölüme,.9.. anıma a göserlğ gb, esleme ümesn oluşuran elemanlar grafan alırılığına graf, G A e G B le göserleblece al grafa ayrılır e her al graf a brleşr. Kesleme ümes elemanlarınan saece rşler alırığımızı, eslemey anımlayan alın se grafa alığını, bu alın e bu alın ermnal üğümler ışına alan üm graf elemanlarının e üğümlern Şel 3.a a göserlğ gb br brleşrme şlemne ab uuluğunu üşünelm. Her al grafa brleş oluğunan sonuça, A e B üğümler G A e G B al grafının eslemey anımlayan alın ermnal üğümü 3

39 ışına alan üğümlernn n ller n Î Z olma üzere, her brleş grafan ele elece şlem Şel 3. b e göserlğ gb olacaır. Şel Graf Marsler Bu bölüme brleş br grafa seçlen herhang br ağaç yarımı le anımlanan emel çerelern e emel eslemelern marsler ullanılara göserlmes heeflenmşr. Buraa amaç, ere eors asyomlarının marsler yarımı le üm ereye uygulanmasını sağlamaır anım emel Çereler Mars: Düğüm sayısı n, enar sayısı n olan brleş br graf çne herhang br emel çereler ümesne lşn olara alınan e. saır j. süun elemanları b j, eğer j. eleman. emel çere çne bulunmuyorsa, b j, eğer j. eleman. emel çere çne bulunuyor e j. elemanın yönü bu çerenn yönü le aynı se, b j, eğer j. eleman. emel çere çne bulunuyor e j. elemanın yönü bu çerenn yönüne ers se. özelllerne sahp olan n n + saır e n e süunlu B [b j ] marsne emel çereler mars aı erlr 3

40 Örne olara Şel 3. e brleş grafı ele alalım. Bu grafa üğüm sayısı 8, enar sayısı se ur. Graf üzerne alın çzgler le göserlen elemanlar grafın ağacını oluşurmaaır. Şel 3. 4 emel Çereler Bu brleş graf e grafan seçlen ağaç çn emel çereler mars: B 8 9 Dallar Krşler bçmne yazılablr. B marsnn bazı özelller, bu yazılış bçmnen e olayca görüleblr. Eğer B mars yazılıren önce allara sonra a rşlere lşn süunlar yerleşrlr; rşler e en aralarına emel çerelern ele alınış sırasına göre oluşurulursa B mars: B B U 37 formuna olacaır. Buraa, B mars saırları rşler süunları se allaran oluşan n n + saır, n süunan oluşan mars; U se n ereceen brm marsr. 3

41 3.5..anım emel Keslemeler Mars: Düğüm sayısı n, enar sayısı n olan brleş br graf çne seçlmş br emel eslemeler ümes ele alalım. Bu emel eslemelere lşn. saır e j. süun elemanları q j, eğer j. eleman. emel esleme çersne bulunmuyor se, q j, eğer j. eleman. emel esleme çersne bulunuyor e j. elemanın yönü bu eslemenn yönü le aynı se, q j, eğer j. eleman. emel esleme çersne bulunuyor e j. elemanın yönü bu eslemenn yönüne ers se. özelllerne sahp olan n saır e n süunlu [q j ] marsne emel eslemeler mars aı erlr. Örne olara yne Şel 3. e brleş graf ele alınırsa bu brleş grafan ele elece emel eslemeler mars: Dallar Krşler şelne olacaır. Ele elen mars oluşuruluren, emel çereler marsne oluğu gb, allar e rşler aynı şlemle marse yerleşrlmşr. Bu uruma emel eslemeler mars e: 33

42 U 3.8 formuna yazılablr eorem: emel esleme marsnen ele elen B [B U] e [U ] marsler arasına; B ; B 3.9 eşller arır. [6] İspa: B e marslernn elemanları {,,} ümesnn elemanlarınan oluşmaaır. B marsnn saırları rşleren süunları allaran oluşuren marsnn saırları allaran süunları rşleren oluşmaaır. Bu saır e süunlar aynı şele numaralanırılmışlarır. B marsnn herhang br saırlarına sıfıran farlı olan elemanların şare o emel çerey arf een rş arafınan belrlenren marsnn herhang br saırına bulunan sıfıran farlı elemanların yönünü se o saırı oluşuran eslemey arf een al belrler. Br emel çerey oluşuran elemanlar ümes br e yalnız br rş le sonlu sayıa alan oluşmaa, br emel eslemey oluşuran elemanların ümes br e yalnız br al le sonlu sayıa rşen oluşmaaır. Şm B e marslernn elemanlarının mula ~ eğerlernen oluşan B [ ] e [ ] marslernn brleşrlmş mars b j ~ q j U B marsn anımlayalım. Bu marsn aşağıa forma olacağı açıır. U B ~ B U U ~ Bu uruma U B [u j ] marsnn saır e elemanları şu anlamı aşıyacaır: u j, eğer j. eleman. emel esleme eya emel çerenn elemanı eğl se; u j, eğer j. eleman. emel esleme eya emel çerenn elemanı se. 34

43 Bu uruma U B U B oluğu açıça görülür. Dolayısıyla ~ ~ B ele elr. emel çereler mars B le emel eslemeler mars oluşuruluren marslern sıfıran farlı olan elemanları B mars çn her br emel çerey anımlayan rşn yönüne; mars çn se her br emel eslemey anımlayan alın yönüne göre belrlenmşr. Bu uruma şele e göserlğ gb her bj, q j ¹ çn bj qj olacağınan B ; B oluğu görülere spa amamlanır. Şel3. 5 Çere e esleme yönler eorem: Brleş br grafın aynı br ağacına arşılı ele elen emel eslemeler mars le emel çereler mars B arasına ya a B 3. B eşller geçerlr. [6] İspa: emel eslemeler mars e emel çereler marsnn genel formunan haree eere: B [ U ][ B U] [ U ] B U B + B + B Benzer şele haree eere B oluğu a göserlere spa amamlanır. 35

44 anım Düğümler Mars: Düğüm sayısı n, enar sayısı n olan brleş br grafa a üğümlere lşn esleme elemanlarının oluşuruğu [ ] a j A marsne üğümler mars aı erlr. Düğüm eslemes,.9.3.eoremnen e blnğ gb, parçaların brne e br üğüm bulunan özel br esleme oluğunan A mars 3.5. anımına gb oluşurulur. Anca bu esleme ürüne esleme yönü çne e br üğüm bulunan parçaan ğerne oğru olaca bçme seçlecer. Şel 3. e erlen brleş grafan ele elece olan üğümler mars: h g f e c b a A şelne yazılablr. emel üğümler marsnn süunları ncelenğne açıça görüleblr marsn her br süununa br ğer olan sıfıran farlı eleman arır. Br enar üğüm le anımlanığınan e eleman yönü br üğüm çn üğüm eslemes yönüne ğer se üğüm eslemes yönüne ers olacağınan bu özell her brleş grafan ele elece üğüm mars çn geçerl olacaır. emel üğümler marsnn süunlarına lşn yuarıa sözü elen özellğn sonucu olara n üğümlü brleş br grafan ele elece üğümler marsnn

45 37 ranı n en büyü olamaz. Düğümler marsnn saırları oplanara elemanları sıfır olan yen br saır ele elr bu, A nn n saırının aralarına lneer bağımlı olularını göserr. Bu neenle A marsnn herhang br saırını slme mümünür. A marsnen herhang br saırın slnmes le ele elen A marsne nrgenmş üğümler mars aı erlr. Yuarıa önee ele elen üğümler marsnen ele eleblece nrgenmş üğümler marsnn br,söz gelm, h saırının slnmes le; g f e c b a A ele elr. A ya a A marsnn ranı n oluğunan, bu mars çersnen süunları bu grafın ağacı olara seçlece her al mars sngüler eğlr. Örneğn Şel 3. e erlen grafın ağacını oluşuran alların bulunuğu g f e c b a

46 al mars sngüler eğlr. Bunun gb Şel 3. en seçlece her br ağacın allarının bulunuğu A marsnen ele elece her al mars sngüler olmayacaır. Bu uruma nrgenmş üğümler mars A aşağıa gb bölmelenrse, A allar rşler A A A mars sngüler olmayan br al mars oluğunan eşlğn her yanı solan A le çarpılablr. Bu uruma: A allar rşler A U A A ele elr. emel çere e emel eslemeler marslernn ele elmesnen sonra B e G grafına seçlen br ağaca lşn emel çereler e emel eslemeler mars; e süunları B e ye uyumlu olara üzenlenmş olan gerlm e aım eörler olma üzere Krchhoff asyomları yarımı le B eşller yazılır. 38

47 39 Yuarıa erlen brnc bağınıya emel Çereler Denlemler nc bağınıya emel Keslemeler Denlemler aı erlr eorem: Herhang br eree an güç: å º n e p olaca bçme özeş olara sıfıra eşr. Başa br eyşle eree ürelen enerj le üelen enerj anlı olara eşr. [] İspa: Herhang br D eres e bu erenn grafınan seçlmş br G ağacına lşn emel çereler e emel eslemeler marsler aşağıa gb yazılablr: [ ] [ ] U U B Bu faeler;, B bçmne yazılablrler. Buraan a; [ ] +

48 [ ] + [ B ] + B olup, eorem gereğnce, B ; B oluğunan son eşl sıfıra özeş olacaır. Bu se spaı amamlar eorem: Grafları aynı olan D e D erelerne çapraz an güçlern oplamı özeş olara sıfıra eşr. Yan p, p olma üzere p p ır. [] º İspa: Brleş br D eresne lşn ere grafı G e bu grafan seçlen ağaç a G olsun. Bu uruma bu ereye lşn emel çere e emel esleme marslernn yuarıa şel le: B e bçmne yazılılarını arsayalım. Bu enlemlere erlen e eörler ere elemanlarının uç enlemler neen le brbrler le bağımlıır. Anca bu bağımlılı yuarıa erlen enlemlere yansımamışır. Şm, D eresne e çouçlu elemanların, özelller bunlarınnen ço farlı olan yen e çouçlu elemanlar le eğşrlğn üşünelm. Bu eğşrme sonucuna ele elen erey D le göserelm öyle D e erelernn e ora yanı bu ereleren çzlen graflar olsun. D D en ele elen aım e gerlm eörler sırası le e le göserlrse ereen ele elece emel çere e emel esleme marsler: 4

49 4 B e bçmne olacaır. D eresnn e aynı G ağacı ullanılara ele elen emel çere e emel esleme marsler bölmeler halne yazılırsa: [ ] [ ] [ ] [ ],, U U U B U B bu faeler:,, B B bçmne yazılablr bu aşamaan sonra eoremne aımlar le bu özeşlğn ar oluğu görülür No: İfae elen bu son eorem ellegen eorem olara blnmeer. Bu eorem le aynı opolojye ere harası anlamına sahp ereler arasına br lş urulablmeer. Bu lşnn urulmasına Krchhoff asyomları een olsa a ere grafınan seçlen ağaçlaran ele elen enlem aımlarının, ere elemanlarının maemasel moeln çermeğnn e br anıı olara üşünüleblr. Açıır D e D erelernn şleler brbrlernen farlıır. Bu noaan sonra, elmze faeler D e D ereler arasına farlılıları a çerece şele genşlememz açınılmazır. Şm aşağıa soruyu göz önüne alalım:

50 Dereler oluşuran elemanların araerslernn ele bulunan enlem ssemlerne yansıılması, elemanları belrl oşullara brbr le lşlenrlmş her ere çn geçerl olablr m? Böyle br sorunun ceabı çn, ere elemanlarının ere opolojsne bazı ısılamalar gerp germeğn nceleme geremeer. Krchhoff asyomları le aynalar br araa üşünülüğüne aynaların ere çersne yer alması le lgl olara bazı ısılamalar arşımıza çımaaır. Bu ısılamaları oraya oyalım: İçersne aım e gerlm aynaları bulunan brleş br D eresn ele alığımıza, Deree gerlm aynaların bazılarının br Ç çeres oluşuruğunu üşünelm. Bu aynalar en üzerlerne aanan gerlm fonsyonlarını gerçeleşrecelernen, bu çere çn yazılaca olan emel çere enlem genellle sağlanmaz. Deree aım aynalarının bazılarının br K eslemes oluşuruğunu üşünelm. Bu aynalar, gerlm aynalarına oluğu gb, en üzerlerne aanan fonsyonları gerçeleşreceğnen bu esleme çn yazılaca olan emel esleme enlem e genellle sağlanmayacaır. Yuarıa erlen e ısılamaları neen le aşağıa anımın yapılması geremeer, anım: Gerlm aynalarının çere, aım aynalarının esleme oluşurmaığı erelere uygun ereler aı erlr eorem: Uygun e brleş br D eresnn grafı G se, G çne öyle br ağaç seçleblr, bu ağaç D e gerlm aynalarına lşn G nn büün elemanlarını al olara çne alır. Ayrıca D e aım aynalarına lşn G nn büün elemanları a bu ağacın ışına alır. 4

51 İspa: Yuarıa erlen anımı gereğnce gerlm aynaları çere oluşurmaılarına göre herhang br D eresnn grafı G se bu erenn üm gerlm aynalarına lşn enarlar ağaç çersne alınablr. Aynı anım gereğnce aım aynaları a esleme oluşurmayacağınan.9.4. eorem gereğnce D eresnn üm aım aynalarına lşn G grafının enarları rşler ümes çersne alablr. Herhang br D eresnn G grafınan eoremne erlen özelllere göre seçlece ağaca enlem urma ağacı aı erlr eorem: Br eree üm enarların gerlmlern al gerlmler, büün aımlarını a rş aımları cnsnen fae eme, erenn büün aım e gerlmlern fae eme çn yeerlr. [6] İspa: Br ere grafınan seçlen herhang br ağaç çn ere aım e gerlmlernn aşağıa eşller sağlaığı blnmeer. [ B U ] [ U ] Buraa e sırası le allara e rşlere lşn gerlm fonsyonları, e allara e rşlere lşn aım fonsyonlarıır eorem gereğnce üm gerlm aynaları allara e üm aım aynaları a rşlere bulunmaaır. Gerlm aynaları e e, aım aynaları a j j bçmne bell fonsyonlar ürelernen gerlm aynalarının gerlm fonsyonları, aım aynalarının a aım fonsyonu blnen fonsyonlarır. Bu uruma emel çere e emel esleme enlemler: 43

52 44 j U U e U U B B B B e j şelne yazılablr. Buraa; e :Gerlm aynalarının gerlmlerne lşn eör, : Kaynalar ışına alan allara lşn gerlmler eörü, : Kaynalar ışına alan rşlere lşn gerlmler eörü, j : Aım aynalarının gerlmlerne lşn eör, e : Gerlm aynalarının aımlarına lşn eör, : Kaynalar ışına alan allara lşn aımlar eörü, : Kaynalar ışına alan rşlere lşn aımlar eörü, j : Aım aynalarının aımlarına lşn eörür. Bu faeler: j e B B B B e j bçmne yazılablr. Bu uruma üm erenn gerlmler:

53 45 e B B B B U U e j eorem gereğnce B B ; oluğunan U e U U e j oluğu görülür. Bu se erenn üm gerlmlernn al gerlmler cnszen fae elebleceğn göserr. Benzer şlemler aım enlemler çn e yapılırsa: B sonucuna ulaşılır bu a erenn üm aımlarının rş aımları le fae elebleceğn göserr. Bu eoremn sonucuna ere çözümlernn blnmeyen al gerlmlernn ya a blnmeyen rş aımlarına yönel olmasının, ere büününün anlaşılması çn yeerl olacağını göserr.

54 Dal Gerlmlernn Belrlenmes Derey oluşuran, aynalar ışına alan elemanların uç enlemlernn G,, n şelne üzenlenğn arsayalım. Buraa G, reel br sab, br operaör ya a nn lneer ya a lneer olmayan br fonsyonu olablr. Bz bu çalışmaa G nın reel br sab olacağını arsayacağız bu a br renç elemanının maemasel moelr. Derelere ullanılan aynalar se zamanın sab, üsel ya a peryo olara eğşen sürel fonsyonları ya a parçalı sürel fonsyonları olablr. Dere grafı oluşurulara ere çersnen enlem urma ağacı seçlğne ere aım e gerlmler; e j j e şelne üzenleneblr. Buraa e e e eörler gerlm aynalarına; j e j eörler aım aynalarına; e eörler blnmeyen al aım e gerlmlerne; e eörler se blnmeyen rş aım e gerlmlerne lşn büyülüler gösermeer. Gerlm aynalarına lşn e e aım aynalarına lşn j ayna fonsyonları olup bu büyülüler blnmeer. Derenn grafı yarımıyla belrlenen emel çereler enlemler le emel eslemeler enlemler: } } al aımları rş aımları } } al aımları rş aımları al gerlmler rş gerlmler

55 47, j U U e U U B B B B e j Buraan rş gerlmler e al aımlarına lşn: B e B 3.3 j 3.4 enlemler yazılablr. Derenn ayna ışına alan elemanlarının uç enlemler al aımlarına lşn aım enlemne yerne yazılığına: j G G 3.5 ele elr. Ele elen 3.3 enlem 3.5 eşlğne yerne onuğuna: [ ] j e B G B G G j B e B G G Dal Gerlmler Denlemler ele elr. Buraa, e B marsler sngüler olmayan are marslerr. Fzsel olara şle gören br erenn e G e G marsler sngüler olamaz. Bu uruma B G G marsnn ers bulunablr. Dal gerlmlerne ulaşılığınan 3.5..eorem gereğnce erenn büün gerlmlerne ulaşılablr.

56 3.7. Krş Aımlarının Belrlenmes Derey oluşuran, aynalar ışına alan elemanların uç enlemlernn R,, n şelne üzenlenğn arsayalım. Buraa R, reel br sab, br operaör ya a nn lneer ya a lneer olmayan br fonsyonu olablr. Drenç elemanları çn R reel br sabr. Derenn elemanlarına a uç enlemler 3.3 enlemne yerne onursa: R Be B R 3.4 enlem bu enleme yerne onursa: R B e B R [ j ] R B R B e + B R j Krş Aımları Denlemler ele elr. R B R marsnn ers yarımıyla erenn blnmeyen rş aımlarına ulaşılır eorem gereğnce erenn üm aımları bellr. 48

57 4. İŞ AĞ AKIŞ PROBLEMLERİ e GRAF EORİSİ 4.. Grş Çalışmamızın nc bölümüne grafların özelllern erere, graf üzerne emel bazı anım e eoremler ele alı. Bu anım e eoremlern eler erelernn asyomları, moeller e ere fonsyonlarının çersne aılmasıyla eler erelernn analz çn oluça ullanışlı br analz yönem oluşurulacağını görü. Esas olara graf spln mühensl ssemlernn pe çoğunun analzne ullanılablece br yapıya sahpr. Bu bölüme br başa mühensl alanını problemnn çözümünün graf yalaşımına göz aacağız. Graf eors, ombnasyonel şlem olara fae eleblece ş ağ aış problemler çn oluça ullanışlıır. Br şlemenn seyaha een saış elemanlarının seyaha uzunluğunu mnmze eme, uygun ş e şç opmzasyonu bu p problemlere örne olara erleblr. Bu üren problemler üzerne örne br çalışma [3] e görüleblr. 4.. Ulaşırma Ağları Graf elemanlarının mal e hzmelern br noaan başa br noaya aşınması çn planlanan ağlara ulaşırma ağı aı erlr. Bu al bölüme graf elemanlarının, genel anlama, ulaşırma ağlarına nasıl br rol alığını nceleyeceğz. Ulaşırma ağlarına emel problem; ağ aışını masmze eme ya a aış sırasına oluşan herhang br fonsyonu malye s. mnmze emer. Bu problemler lneer programlama le çözüleblr. Anca graf eors yalaşımı, br baış açısına göre, probleme aha en br yalaşımır. 4...anım : Brleş br G yönlenrlmş grafı aslına br ulaşırma ağını emsl eer. Ele alınan bu G grafının enarları pozf sayılar le 49

58 numaralanırılır e bu sayılar. Düğümen, apasesn emsl eer. Buraa apase c j le göserlr. j. üğüme gen yolun Şel 4. 3 Ulaşırma Ağı Yuarıa a söz elğ gb ulaşırma ağı problemlernen br anes e ağ aışını masmze emer. Böyle br probleme yalaşma çn öncelle aşağıa anımı yapma gerelr. 4...anım: Br ulaşırma ağını emsl een br G grafının, br enar le lşlenrlmş herhang br. üğümü le j. üğümüne oğru haree een mal e hzme marına, o enar üzernen aış enr e f j le göserlr. 4.. anımına erlen f j negaf olmayan br sayıır. Yne aynı anıma bağlı olara, yönlenrlmş graflar e aış çn aşağıa anım e oşullar geçerlr.. G grafının yönlenrlmş her,j enarı çn r. f j c j 4.. G grafına ayna olara alanırılaca özel br s üğümü çn å f s å fs w 4. şelne anımlanan w eğer aış eğer olara alanırılır. 3. G grafına ağıım noası olara alanırılaca özel br üğümü çn å f å f w 4.3 şelne br far eğer benzer olara anımlanablr. 5

59 4. G grafının ayna e üem noası ışına alan üm üğümler ara üğüm olara alanırılır e her br ara üğüm çn å eşlğ arır. j å f j f 4.4 Yuarıa erlen 4. eşlğ herhang üğüm arasına aışın, apaseen aha fazla olamayacağını göserr. 4., 4.3 e 4.4 eşllernn anlamı se, ayna üğümünen çıan w mara mal ya a hzmen ara üğümler üzernen ağıım noasına ulaşığını göserr. Özel olara 4.4 eşlğ 3. Bölüme asyom olara erlen Krchhoff Kanunlarına a benzeleblr. Örne olara Şel 4. e erlen ulaşırma ağını ele alalım: Bu ağ çersne eğşenler enar üzernen aacaları açıır. Bu ağ çersne w f + f sb s f cs olara fae eleblr. Anca bz w aış eğern, başa br eğşen olara ele alacağız. Verlen bu ağ üzerne büün aış fonsyonları aşağıa gb br süun eörü le anımlanablr. f f f f f f f f f f f sb s cs bc b cb c c 5