Yrd. Doç. Dr. İhsan KARABULUT danışanlığında Fürüzan KÖKTÜRK tarafından hazırlanan Taraa İstatstler ve Bazı Uygulaaları adlı tez çalışası 6/06/007 tar

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TARAMA İSTATİSTİKLERİ VE BAZI UYGULAMALARI Fürüzan KÖKTÜRK İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 007 Her haı salıdır

2 Yrd. Doç. Dr. İhsan KARABULUT danışanlığında Fürüzan KÖKTÜRK tarafından hazırlanan Taraa İstatstler ve Bazı Uygulaaları adlı tez çalışası 6/06/007 tarhnde aşağıda jür tarafından oybrlğ le Anara Ünverstes Fen Bller Ensttüsü İstatst Anabl Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olara abul edlştr. Başan : Prof. Dr. Haza GAMGAM Gaz Ünverstes Fen Edebyat Faültes İstatst Bölüü Üye : Yrd. Doç. Dr. Hall AYDOĞDU Anara Ünverstes Fen Faültes İstatst Bölüü Üye : Yrd. Doç. Dr. İhsan KARABULUT Anara Ünverstes Fen Faültes İstatst Bölüü Yuarıda sonucu onayları. Prof. Dr. Ülü MEHMETOĞLU Ensttü Müdürü

3 ÖZET Yüse Lsans Tez TARAMA İSTATİSTİKLERİ VE BAZI UYGULAMALARI Fürüzan KÖKTÜRK Anara Ünverstes Fen Bller Ensttüsü İstatst Anabl Dalı Danışan: Yrd. Doç. Dr. İhsan KARABULUT Sıra statstler arasında ardışı farlardan hareetle tanılanan taraa statstler zaan ve onu boyutlarında rasgele oluşların üelenesnn analznde son yıllarda ullanılatadır. Kullanı alanları arasında endüstr tıp epdeyoloj byoloj ve özellle genet araştıralar adencl eteoroloj sayılablr. Bu çalışanın aacı taraa statstlernn tanıtıını yapa ve ullanılarına örneler verere htyaç duyablece araştıracılara br ayna sunatır sayfa Anahtar Keleler: Sıra statstler ardışı sıra statstler arasında farlar spacngs taraa statstler

4 ABSTRACT Master Thess SCAN STATISTICS AND SOME APPLICATIONS Fürüzan KÖKTÜRK Anara Unversty Graduate School of Natural and Appled Scences Departent of Statstcs Supervsor: Asst.Prof.Dr. İhsan KARABULUT Scan statstcs orgnated fro the dfferences of contgous order statstcs s used at te and space densons to analyze of the clusterng of rando occurences. It can be used n ndustry edcne epdeology bology especally genetc researches nng and eteorology. The a of ths study s to gve nforaton about scan statstcs and to present a source to researchers also by gvng soe exaples pages Key Words: Order statstcs spacngs scan statstcs

5 TEŞEKKÜR Tez çalışa sırasında blgs ve tecrübes le bana her onuda ve her zaan deste veren yardılarını esrgeeyen danışan hoca sayın Yrd. Doç. Dr. İhsan KARABULUT a teşeürü br borç blr. Ayrıca çalışaları esnasında anev destelern ve lglern esrgeeyen alee tü çalışa sırasında hep yanıda ve yardıcı olan ço sevgl aradaşlarıa teşeür eder. Fürüzan KÖKTÜRK Anara Hazran 007

6 İÇİNDEKİLER ÖZET..... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... SİMGELER DİZİNİ... v ÇİZELGE DİZİNİ... v. GİRİŞ.... ARDIŞIK SIRA İSTATİSTİKLERİ.... Sıra İstatstlernn Dağılıları.... Ardışı Sıra İstatstler Arasında Farların Spacngs Dağılıı Düzgün dağılı duruunda ardışı sıra statstler arasında farların dağılıı Üstel dağılı duruunda ardışı sıra statstler arasında farların dağılıı Ardışı sıra statstler arasında farların genelleştrlş dağılıı TARAMA İSTATİSTİKLERİ Zaan Boyutunda Olayların Geçşe Dönü Retrospectve Taranası Koşullu duru: Olayların düzgün dağılıı P; N w çn yalaşı sonuçlar Çeber üzernde taraa statstler Taraa statstlernn oentler Zaan Boyutunda Olayların Geleceğe Dönü Prospectve Taranası Olayların Posson dağılıı [0 T aralığında oşulsuz taraa statstğ P ; λt w/t çn yalaşı forüller Deneelern Br Dzsnde Başarı Sayılarının Taranası Olay sayılarının bno dağılıı: Kesl zaan oşulsuz duru İlerye dönü oşulsuz duru çn bast br odel: Bernoull sürec P ; N p olasılılarının hesaplanası... 6 v

7 3.3.4 Olay sayılarının bno dağılıı: Kesl zaan oşullu duru r harfl br dzde herhang br harfn ardışı en uzun terar sayısı Taraa statstlernn belenen değerler İ ve Daha Yüse Boyutlu Taraalar Koşullu duru Taraa penceresnn şelnn ets Koşulsuz duru DNA ve Proten Dzlernn Analznde Taraa İstatstlernn Kullanıı DNA ya da proten dzlernde örüntü üelernn taranası DNA dzlernde eşleştre TARTIŞMA VE SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

8 SİMGELER DİZİNİ λ X S w W W r+ P P DNA RNA HCMV A C G T PLP Labda. sıra statstğ Taraa statstğ Taraa statstğ r nc taraa statstğ Geçşe dönü taraa statstlerne lşn olasılı İlerye dönü taraa statstlerne lşn olasılı Benzer Eş Deosrbonüle ast Rbonüle ast İnsanda bulunan Stoegalovrüs Adenn Stozn Guann Tn Palndro örüntü v

9 ÇİZELGE DİZİNİ Çzelge 3. Hlesz br zarın 00 ez atılışına lşn en uzun ardışı tura sayısının olasılı dağılıı..3 v

10 . GİRİŞ Son zaanlarda statst uraında sıra statstlernn ço önel olduğu görülüştür. Ardışı sıra statstler ve bu sıra statstler arasında farların oluşturduğu aralıların spacngs dağılıı üzerne pe ço araştıra yapılış ve değş sonuçlar bulunuştur. Bu çalışalardan Venter 967 Seth 950 Leblen 95 ve Pye 965 nn çalışaları dat çec olanlarıdır. İnc bölüde sıra statstler ve ardışı sıra statstler arasında farlarla oluşan aralıların dağılıları düzgün üstel ve genelleştrlş ola üzere üç ısıda ncelenere rasgele örnelen alındığı yığının dağılıının düzgün ve üstel olaası durularında hesaplaada zorlular vurgulanıştır. Üçüncü bölüde ardışı sıra statstler le bağlantılı olara tanılanan taraa statstler zaan ve ean boyutlarında oluşların rasgelelğnn araştırılası ve bu rasgelelğn at olduğu yığının saptanası onularını ele alatadır. Örneğn belrl br zaan ve yerde br hastalığın yaygınlığının gerçeten düzgün br rasgele oluş u olduğu yosa belrl br rasgelel anununa ı uyduğu sorgulanablr. Ya da belrl br genn DNA yapısı çnde onuu br araştıraya onu olablr. Pe ço alanda ullanılaya başlanılan taraa statstlernn bunlar ve benzer türden araştıralarda başvurulablece br yönte olduğu düşünületedr. Bu bölü hazırlanıren ağırlılı olara Glaz et al. 00 ın çalışasından faydalanılış ve taraa statstlerne at olasılıların hesaplanasında zorlular ouyucuya gösterleye çalışılıştır.

11 . ARDIŞIK SIRA İSTATİSTİKLERİ. Sıra İstatstlernn Dağılıları X X K X n bağısız ve aynı dağılılı rasgele değşenler ve X rasgele değşenlernn sıra statstler = K n X X K X n olsun. Buna göre X rasgele örnelen. sıra statstğdr. X X K X n bağısız rasgele değşenler olasılı yoğunlu fonsyonu f x dağılı fonsyonu F x olan sürel br dağılıdan alınış olsun. X statstğnn olasılı yoğunlu fonsyonu f x ve dağılı fonsyonu F x olara gösterlsn. Buna göre. sıra statstğnn olasılı yoğunlu fonsyonu f n! x = n [ F x ] [ F x ] f x! n! < x < ve n tane sıra statstğnn orta olasılı yoğunlu fonsyonu f n n x Kxn = n! f x = K < x < x < K< xn < dır.

12 Örneğn U rasgele değşenler brbrnden bağısız ve 0 aralığında düzgün dağılıdan alınış n çaplı br örnele çn U U K U n rasgele değşenler bunlara at sıra statstlern göstersn. Bu duruda U sıra statstlernn orta olasılı yoğunlu fonsyonu f K n n! u u K un = 0 0 u d. y u L u n dr. Genel olara en üçü ve en büyü sıra statstlernn olasılı yoğunlu fonsyonları sırası le n { F x } f f x = n x < x < ve n { F x } f x f x = n < x < n dr. Dağılı fonsyonları da sırası le { F x } n F x = < x < ve n { F x } n F x = < x < 3

13 olara bulunur Günay ve İnal Ardışı Sıra İstatstler Arasında Farların Spacngs Dağılıı Bu bölüde ısaca ardışı sıra statstler arasında farların dağılıı üzerne Pye 965 tarafından yapılan nceleeler üzernde duruluştur. Ardışı sıra statstler arasında farların oluşturduğu aralıların spacngs dağılıı düzgün üstel ve genelleştrlş ola üzere üç duruda ele alınacatır. Bu üç duruda n gözleden oluşan br örnele çn n + n veya n tane far oluşturulabletedr. Düzgün dağılılı rasgele değşenler sınırlı br reel sayı aralığında değer alan rasgele değşenlere; üstel dağılı aralığının br tarafı sınırlı dğer tarafı sınırsız br aralıta değer alan rasgele değşenlere örne oluşturur. Genelleştrlş duru se noral dağılıda olduğu gb değer aralığının her tarafı da sınırsız olan rasgele değşenlere lşn far statstlern onu alatadır. X X K X n brbrnden bağısız ve aynı dağılıa sahp rasgele değşenler olsun. Bu rasgele değşenlere at sıra statstler X < X < K < X n ola üzere X + X < + n br far -spacngs olara fade edlr Mller

14 .. Düzgün dağılı duruunda ardışı sıra statstler arasında farların dağılıı X X K X n bağısız ve 0 aralığında düzgün dağılıa sahp rasgele değşenler ola üzere X = X X K X rasgele vetörünün orta olasılı yoğunlu fonsyonu n f X x x K xn = 0 0 x d. y n çn dr. U = U U K U bunlara at sıra statstlern göstere üzere; orta olasılı n yoğunlu fonsyonu f U u u K u n n! = 0 0 u d. y. u K u n olur. U = 0 ve 0 U = n+ ola üzere ardışı sıra statstler le oluşturulan farlar D n+ olsun. D D + K + dr. Farlardan oluşan = U U + D n + = D= D D K D vetörünün orta olasılı yoğunlu fonsyonu n f D d d K d n n! d 0 ve d+ d + K+ d n+ = = 0 d. y olur. 5

15 Düzgün dağılılı yığından rasgele örnelele oluşturulan ardışı sıra statstler arasında farlar yer değştreblen exchangeable rasgele değşenlerdr. Dolayısıyla herhang br D aralığının olasılı yoğunlu fonsyonu D n olasılı yoğunlu fonsyonuna ve D D j çftnn orta olasılı yoğunlu fonsyonu da D j D nn orta olasılı yoğunlu fonsyonuna eşttr. Buna göre x y 0 ve x + y çn dağılı fonsyonları F x = F x = F x = x D D U n ve F D D j x y = P U = n = x x U U y u y n n u du 0 { x n + y n x y n } dr. Buradan D ve D D çn olasılı yoğunlu fonsyonları sırasıyla j f D x = n x n ve f n D D x y = n n x y j olara elde edlr. 6

16 U = u verldğnde U U n oşullu dağılıı [ u] 0 aralığında düzgün dağılıa sahp n tane rasgele değşenn oluşturduğu örneleden elde edlen ardışı sıra statstler arasında farlarla eydana gelen aralıların dağılıına eşttr... Üstel dağılı duruunda ardışı sıra statstler arasında farların dağılıı Far statstlernn en ullanışlı örneler üstel dağılı tarafından sağlanır. X = X X K X bağısız rasgele vetörünün olasılı yoğunlu fonsyonu λ > 0 n çn f x = λ exp λ x x> 0 olara verlsn. T = T T K T X X X n n K rasgele örnelenden elde edlen sıra statstlern göstersn ve T = D = T T ola üzere tanılanan D= D D K D 0 0 n vetörünün orta olasılı yoğunlu fonsyonu d > 0 n çn n f D n d K d = n! λ n = n = exp { λ d + K+ d } n n = n! λ exp λ n + d = n = λ n + exp { λ n + d} dr. Böylelle D K Dn bağısız ve paraetreler sırasıyla λ λ n K λ D n olan üstel dağılıa sahp rasgele değşenler olatadır. Bu rasgele değşenlere noralleştrlş aralılar denetedr. Burada önel nota üstel dağılı duruunda ardışı sıra statstler arasında farların brbrnden bağısız oluşudur Pye

17 8..3 Ardışı sıra statstler arasında farların genelleştrlş dağılıı n X X X X K = n tane bağısız ve aynı dağılıa sahp rasgele değşenden oluşan örnele ve n T T T T K = bunlara at sıra statstlernden oluşan vetör olsun. T vetörünün herhang br alt vetörü T T T T K = vetörünün orta olasılı yoğunlu fonsyonu n < < < K çn { } < < < = + = y d t t t t f t F t F n t t f j j j j j j T j j. 0! /! K K dr. Burada 0 + = =+ = + + n t t ve = t + f dr. Özel olara T vetörünün orta olasılı yoğunlu fonsyonu < < < = y d t t t t f t f t f n t t f n n n T. 0! K K K dr. n T T D = ve n D D D D K = ola üzere yuarıda lneer dönüşü > = = y d n d dx d d d x f n d d d f n n D. 0 0! 3 3 K K ya da. far statstğnn arjnal olasılı yoğunlu fonsyonu

18 9 { } { } dx y x f x f y x F x F n n dx y x x f y f n T T D!!! + + = + = olara elde edlr. D ve j D nn orta olasılı yoğunlu fonsyonu u v > 0 çn { } { } { } dydx v y f y f u x f x f j n v y F j u x F y F x F n v u f j n j u x D D j!!!! = + olatadır. Burada görülebleceğ gb ardışı sıra statstler arasında farların olasılı yoğunlu fonsyonlarını elde ete olay değldr. Bu aralılar üzernde yapılan çalışalarda sıra statstlernn özelllernden yararlanılır Pye 965. Ardışı sıra statstler arasında farların uygulaada ullanılarına lşn olara Venter 967 Seth 950 Leblen 95 ve Pye 965 nn çalışaları örne olara gösterleblr. Bundan sonra ele alınaca olan taraa statstler le ardışı sıra statstler brbrleryle bağlantılıdır.

19 3. TARAMA İSTATİSTİKLERİ Pe ço alanda araştıracılar olayların üelenesne öne verrler. Örneğn oleüler byologlar vrüslern çoğalasını sağlayan genlern saptanası çn DNA çnde palndro gruplarını ya da alte ontrol uzanları üret bandında bozuların gruplarını araştırırlar. Taraa statstler zaanın ve onuun eanın taranara tanılanan olay gruplarının araştırılası problelern onu alır. N tane nota 0 T gb br zaan aralığında düzgün dağılıa sahp olara onulansın. S w w uzunluğunda sabt br zaan aralığında gerçeleşen olayların asu sayısıdır ve bu rasgele değşene taraa statstğ scan statstcs adı verlr. Br dğer rasgele değşen W verlen sabt sayıda olay çeren en ısa zaan aralığıdır. W r+ en üçü r. sıralı aralı r-th order gap veya r. taraa statstğ r-scan statstcs olara adlandırılır. statstlernn dağılıları çn S w ve W P W > w = P S w < dır. S w ve W statstler le tanılanan olaylar arasında bu lg tane olay çeren en ısa aralı w uzunluğunda se veya daha fazla sayıda olay çeren w uzunluğunda br başa aralığın olaası bçnde de fade edleblr. Örneğn br şehrde yılları arasında 5 yıllı br dönede 9 adet belrl tp anser vaası tespt edlş ve verler ncelendğnde 4 Nsan 993 le 3 Nsan 994 tarhlern apsayan yıllı dönede 8 olayın gerçeleştğ gözlenş olsun. 0

20 0 OŞMNMHTAEEKAOŞMNMHTAEEKAOŞMNMHTAEEKAOŞMNMHTAEEKAOŞMNMHTAEEKA Yuarıda şelde Oca 99 le 3 Aralı 995 tarhler 0 br zaan aralığı olara gösterlş ve bu döne w = 0. uzunlulu br aralıla taranıştır. Burada N = 9 S 0. = 8 olatadır. Bu taraa aralığında gözlenen asu anser vaa sayısı 8 dr. 9 olayın gerçeleştğ 5 yıllı br dönede herhang br yıllı zaan aralığının 8 veya daha fazla olay çeres olağan ıdır düzgün dağılıa uygun udur? sorusu sorulablr. 9 olayın her br dğer olaylardan bağısız olara bu yıllı zaan aralığının çnde gözleneblrd. O halde 8 veya daha fazla olayın bu yıllı zaan aralığında gözlenes olasılığı N = 9 p= / 5 alınara bno olasılığı yardııyla hesaplanablr. Faat bu hesaplaa sorunun cevabı değldr. Araştıracılar belrtlen 4 Nsan 993 le 3 Nsan 994 tarhler le tanılanan özel br yılı değl herhang yıllı zaan aralığının bu adar olay çeresnn düzgün dağılıa uygunluğunu sorgulaatadırlar. Bu proble 5 yıllı döne ayrı yıllı zaan aralılarına bölünere ve herhang br yılda gözlenen asu olay sayısının dağılıı ullanılara da çözüleye çalışılablr. Ynede bu sorunun cevabı değldr. Çünü asu olay sayısının gözlendğ yıl ayrılış yılın arasında alış olara gözleneblr. Araştıracılar soruya tav yılı olara da sınır oyaışlardır. Br başa örne se şöyledr: Yolcu ve yü taşıyan br uça frasının 5 gün çersnde görülen 3. azadan sonra bütün uçuşları asıya alınıştır. Br aydan daha ısa br süre çersnde görülen bu 3 aza 5 yıllı döne çersnde belenen orandan neredeyse 7 at fazladır. Bu örnete w = 5 S 5 = 3 = 3 W 3 = 5 olatadır.

21 Br dğer örne olara br santrale daa çnde gelen araaların zaan çnde dağılıının düzgün olduğu varsayılsın. Her araanın da 0 sanye süre aldığı blndğnde santrale yönlenece 5 araanın en az 8 tanesnn aynı zaanda çevrles olasılığı nedr sorusuna cevap arandığı düşünülürse N = 5 ola üzere P S 8 olasılığına cevap arandığı anlaşılır Naus 965. / 6 Taraa statstler [0 T gb sürel br zaan aralığında tanılanıştır. Yne taraa statstler benzer olara T deneel br zncr üzernde de tanılanablr. Bunlar esl olaylardır. Bernoull deneelernn br zncrnde en uzun başarı terarının sayısı esl taraa statstlernn özel br duruudur. N denee çersnde herhang br ardışı deneede başarı sayılarının asuu esl taraa statstğ adını alır. S le gösterlr ve Kesl taraa statstlernn önel uygulaaları proten veya DNA dzlernn eşleşelernde ortaya çıar. Örneğn vrüs DNA ve onuçu DNA arasında sıra dışı büyü eşleşeler bazı puçlarını ve hastalıların seyrnn anlaşılasını sağlar. Taraa statstler ve daha yüse boyutlar çn de tanılanıştır. Pe ço alanda sıra dışı üelenelern belrlenes çn yada daha ço boyutlu taraalar yapılatadır. 3. Zaan Boyutunda Olayların Geçşe Dönü Retrospectve Taranası 3.. Koşullu duru: Olayların düzgün dağılıı Ortaya çıası ansız gb görünen olayların sezgsel olara sıra dışı abul edlp edleyeceğ ya da olayların bağısız ve zaan üzernde taaen rasgele olara dağılıp dağıladığı araştıracılar tarafından era onusudur. Taaen rasgele

22 oluşan gözle üelernde görel sılılar bu türden bazı soruların cevaplanası çn br araçtır. Burada belrl br rasgele odele göre üeleneler tanılayan statst üzernde durulatadır. Rasgele odel olayların oluş zaanlarının brbrlernden bağısız olara dağıldılarını ve zaanın herhang br aralığında gözlene olasılılarının eşt olduğunu varsayar. Brbrleryle lgl statst sabt br zaan aralığında olayların asu sayısı S w ve sabt br sayıda olay çeren en ısa zaan aralığıdır W. N tane notanın verles oşulu altında hesaplaa yapılası gerye dönü gözle sonuçlarıyla değerlendre yapılıp olasılı hesaplanası duruunda bu taraa şle gerye dönü taraa olara adlandırılır. Bu taraa şlene at olasılılar da geçşe dönü taraa olasılıları olatadır. Verlen N nota [0 zaan aralığında bağısız olara düzgün dağılıa uygun bçde onulanış olsun. S w [0 aralığının w uzunluğunda herhang br alt aralığında bulunan en fazla sayıda olay sayısını gösteren rasgele değşen olsun. W [0 aralığının sayıda olay çeren en üçü alt aralığının uzunluğunu tanılayan rasgele değşendr. W r+ nu r. nc sıralı aralı olara adlandırılır. P S = P W w olasılığı P ; N w le gösterlecetr w ve Q ; N w = P ; N w olatadır Glaz et al. 00. Bazı araştıralarda bu olasılı ta olara belrlene stenren dğerlernde yalaşı hesaplaalar yeterl olabletedr. 3.. P; N w çn yalaşı sonuçlar S w ve W rasgele değşenlerne at olasılı fonsyonlarının elde edles ve olasılıların hesabının doğrudan yapılası gözle sayısının artasıyla daha da zorlaşır. Bu nedenle S w rasgele değşennn olasılığına lşn yalaşılar gelştrlştr Naus Bu ayna bundan sonra ullanılarında GNW 00 şelnde gösterlecetr. 3

23 965 Leblen 95 Seth 950. Bazı durularda sonuçlar ta olara hesaplansa da hesaplaaların uzunluğu nedenyle yalaşı hesaplaalar önerlştr. Ta sonuçlar çn Huntngton and Naus 975 le Huffer and Ln 997 asptot dağılılar çnde Cresse 980 e başvurulablr. P ; N w olasılığını hesaplaa çn bno dağılıı ullanılara aşağıda bast yalaşı önerlştr: N N b ; N w = w w 3. G ; N w = b ; N w b N = Bu duruda P ; N w olasılığına önerlen yalaşı hesaplaalarda yalaşılığı göstere üzere P ; N w N + b ; N w N b ; N w + G = w N b ; N w + G b ; N w b + ; N w 3. dır. Bu yalaşı P ; N w < 0. çn olduça sabetl olup w 0. 5 ve > N değerler çn yalaşı değl ta sonuçlar veretedr. Örne: HIV vrüsü taşıyan dyalz hastalarının grubu Br dyalz ereznde yapılan araştırada Oca 988 den Aralı 993 e adar olan süre çersnde HIV vrüsü taşıyan hastaları çeren geçşe yönel br ncelee gerçeleştrlştr. Bu 7 aylı döne boyunca HIV vrüsü poztf olan 3 hastadan 8 4

24 tanesnn 99 nn son 6 ayında bu vrüse sahp olduğu tespt edlş ve bu çalışa çn taraa statstler ullanılıştır. Burada üe büyülüğü = 8 notaların topla sayısı N = 3 ve aralı uzunluğu w = 6 / 7= olara alındığında 3. forülü ullanılara olasılı > N / olduğundan ta olara P8; = olara bulunur. Söz onusu düzgün dağılı varsayıı altında gözleler ve testn sonucuna göre bu üelenenn sıra dışı olduğu söylenştr < Bulunan sıra dışı üe ve testn sonucu dyalz ereznde nceleenn dernleşesne ve şleler yapılıren hastaların bu ve benzer vrüs alaalarını sağlaaya yönel önlelern alınasına yardıcı oluştur GNW Çeber üzernde taraa statstler Gezegen yörüngelernn yaptıları eğlern açıları veya uş ya da böce sürülernn uçuşlarının yönler araştıracıları çeber üzernde taraa statstlernn tanılanasına yöneltştr. Aşağıda notasyonda ndslerde yer alan c rasgele değşenlern çeber üzernde tanılandığına şaret ete üzere ullanılıştır. Verlen N nota br çebern çevresnde bağısız ve rasgele olara dağılsın. c S w w uzunluğunda herhang br alt yay parçasında bulunan notaların asu sayısını W sayıda nota çeren en üçü alt yayın uzunluğunu göstersn. Buna göre olasılı c P S = P W w P ; N w w = c ve 5

25 Q ; N w = P ; N w c c dr. Aşağıda üçü olasılılar çn bast br yalaşı verlştr. b ; N w bno olasılığıdır ve 3. forülünde tanılanıştır. Bu yalaşıa göre P c ; N w b ; N w Nw / w w 3.3 dr GNW 00. Örne: Ergen ntharlarının evssel üelenes Br araştırada nthar sayılarında evssel değş ncelendğnde bu sayının bahar sonu yada yaz başında en yüse notasına çıtığı görülüş br dğer araştırada da en yüse nthar oranının Mart Nsan Mayıs ve Hazran aylarında olduğu saptanıştır. Ergen 5-9 yaş ntharlarının üün evssel üeler 978 ve 979 yılları date alınara ncelendğnde bu yıllı döne çersnde 3474 ergen ntharı gözlenştr. yılın her br gününde gözleler brleştrlp verler Ocatan 3 Aralığa adar geçen br yıllı zaan süresnde br çeber üzernde gözlenş verler olara ele alınış ve 9 günlü 3 ay br zaan taraa aralığı olara seçlştr. Yıl br çeber olara düşünüldüğünde taraa aralığının uzunluğu w = 9/365 = 0.49 olara dönüştürülere w uzunlulu aralılarda ntharların asu sayısı 966 olara bulunuştur. Bu aralılardan l Ocatan Nsana adar olan döne çeretedr. w = 0.49 = 966 ve N = 3474 değerler 3.3 yalaşıında yerne onulduğunda böyle br durula arşılaşa olasılığı 6

26 P c 966; / = olara bulunur. Bu olasılı anlalılı düzey le arşılaştırıldığında ergen ntharları üesnn statstsel olara önel olduğu söyleneblr Taraa statstlernn oentler Söz onusu taraa statstlernn belenen değerlern bula te başına araştıra onusu olableceğ gb taraa statstlernn dağılılarına asptot yalaşılar çn de gerel olablecetr. Taraa statstğ S w nn w ve N değerlerne bağlı olduğunu göstere üzere bu statst S w N le gösterlsn. S w N nn oentler çn bazı analt forüllern bulunduğu blnetedr. Forüllerde atsayılar bu hesaplaalar çn gelştrlen Neff and Naus 980 un atsayılar tablosundan alınıştır GNW < N < 000 arasında N değerler çn yalaşıda ullanılan uygun odel E S N = wn b N w + w 0.5 ve V S N = a N c N w w + w 0.5 dr. En üçü aralı uzunluğu W nın belenen değer ve varyansı N + / < N çn 7

27 W = N + b / N + E ve V W = N + N N b 4 N + N + b / N + N + dr. Burada b paraetreler N + ve 0.5 olan bno olasılığıdır. 3. Zaan Boyutunda Olayların Geleceğe Dönü Prospectve Taranası Önce eslerde belrl br zaan aralığında yapılan gözle sayısı ver olduğunda olasılı hesaplaalarının yapıldığı anlaşılataydı. Gelecete belrl br zaan aralığında taraa statstğ tanılaa duruunda alındığında bu aralıta yapılablece gözle sayısının da rasgele olacağı açıtır. Bu duru oşulsuz taraa statstler olara sınıflandırılatadır. 3.. Olayların Posson dağılıı Bu esde olayların oluş sayılarının Posson sürecne uyduğu taraa statstlernn dağılıı onu alınatadır. Burada ncelenen zaan aralığında olayların sayısına at rasgele değşen N her br br zaanda belenen değer λ olan Posson dağılılıdır. Araştıracıların taraa statstlern bu şelde ullanaları gelecete verler değerlendre ya da örneğn br telefon santraln uygun apastede tasarlaa aacıyla olatadır. 8

28 Posson sürec ean ya da zaan çersnde olayların oluş sayılarıyla le lglenen pe ço rasgele olgu çn odel olara ullanılıştır. Uygulaalarından bazıları telefon trafğ uyru odel problelern çeretedr. Örne: Karbononost Zehrlenes Br lde 8 yıllı br süre çersnde brbrlernden farlı zaan ve onularda gözlenen 9 arbon onost zehrlenes olayı rapor edlştr. Br hal sağlığı çalışanı bu adar zehrlenenn sıra dışı olduğunu düşündüğü üeleneye dat etş ve gelecete br 8 yıl çersnde 8 yada daha fazla olayı apsayan br yıllı dönen olasının ne adar üün olableceğn araştıra steştr. Bu duru 9 olayın olduğu oşul olara verldğ 8 yıllı döne çersnde herhang yıllı dönen 8 veya daha fazla sayıda olay çeres olasılığı gb düşünüleblr. Bu duruda yapılan çalışa N olay sayısının belrl olduğu oşullu duruu çeren geçşe dönü retrospectve çalışa olatadır. İnc duru se 8 yılı çeren dönede 9 olayın gözlenesn oşul olara alıp lerye dönü prospectve olası br çalışa gerçeleştrlesdr. Brnc duruda olasılı P le nc duruda olasılı se P le gösterlecetr. Bu örnete oşullu ve oşulsuz olasılı hesaplaaları netcesnde alınaca farlı ararlar pratte farlı uygulaalara yön vereblecetr. Koşullu duru çn olasılı P 8;9 / 8 = bulunuren oşulsuz duruda olasılı P 8;9 / 8 = olara hesaplanatadır. Anlalılı düzeyn 0.05 seçen araştıracılar P olasılığı le olayı sıra dışı olara nteleyece P olasılığına göre se olayı sıradan br olay olara nteleyecelerdr. Aşağıda [ 0 T zaan aralığında lerye dönü taraa statstlerne lşn olasılı hesaplaalarının yalaşı olara yapılasını sağlayan forüller sunulacatır. 9

29 3.. [0 T aralığında oşulsuz taraa statstğ Bazı uygulaalarda [0T zaan aralığı çersnde olayların topla sayısının sabt br N sayısı olara verldğ blndğ taraa statstlernn dağılıı yerne bu zaan aralığı çersnde olayların sayısının br rasgele değşen olduğu dağılılara htyaç duyulur. Posson sürec br zaan aralığı çersnde gözlenen olay sayısının rasgele olduğu olgular çn br odeldr. Bu süreçte λ paraetres herhang br br aralıta olayların belenen değern gösterr. Herhang br [t t+w] aralığında olayların sayısı Y t w Posson dağılılı olduğunda bu dağılıa at belenen değer λw olatadır. Bu duruda λw P Y w = = e λw /! = 0 K t dır. Bu duruda ayrı aralılarda olayların sayısına at rasgele değşenler de brbrlernden bağısız dağılılıdırlar. Posson sürec çeştl bçlerde araterze edlebletedr. Posson sürec çn notalar arasında varışlar arası zaanlara at rasgele değşenler brbrlernden bağısız ve üstel dağılılıdırlar. Zaan aralığında rasgele eydana gelen olaylar çn T w w uzunluğunda br aralıta en az olayı gözledğz zaana adar geçen belee süres rasgele değşenn göstersn. X + X w olduğunda en üçü değer çn T w = X + olatadır. S w W ve T taraa statstlernn dağılıları aşağıda gb brbrler le lgldrler: w P S = P W w = P T T w w 0

30 Her br br zaanda ortalaası λ olan Posson sürec çn olasılı yan P S olasılığı w P ; λt w / T = Q ; λt w / T olara gösterlr GNW P ; λt w/t çn yalaşı forüller Olasılığın hesaplanası çn elde edlen asptot forül: { λ w T /! } P ; λ T w / T exp 3.4 dır. Bu yalaşı P yeternce üçü olduğunda ullanışlı olan abaca br yalaşı verr faat asptot yaınsaası ço yavaştır. Olduça doğru sonuçlar veren br başa yalaşı L = T / w ve Ψ =λ w ola üzere P ; ΨL / L Q 3.5 L Q3 / Q forülüdür Naus 98. Burada Q = P ; / ve Q = P ; 3 / 3 Ψ Q ; Ψ / = F p ; Ψ 3 Ψ Ψ p ; Ψ F p ; Ψ p ; Ψ p 3; Ψ

31 ve Q p 3 ; 3Ψ / 3 = F ; Ψ A + A + A3 A4 olup A = p ; Ψ F A A A 3 4 = 0.5 p ; Ψ = = r= r= p r; Ψ F p p r; Ψ p r; Ψ ; Ψ { Fp ; Ψ ΨFp} { F 3; Ψ ΨF 4; Ψ +Ψ F 5; Ψ } p p r ; Ψ { r F r ; Ψ ΨF r 3; Ψ } p p p p dır. Yalaşı Al 983 tarafından daha da gelştrldğnde { [ wλ / ] λ T w p ; } P ; λt w/ T Fp ; λw exp λw olatadır GNW 00. Yuarıda forül λ T büyü e olara w / T üçü olduğunda daha basttr. Örne: Br Sağlı Mereznde Vaaların Küelenes Epdeyolojstler ve hal sağlığı çalışanları sılıla anser olaylarının ntharların azaların ya da dğer hastalıların veya ölülern br zaan aralığında üelenesnn nedenlerne açılı getreye çalışırlar. Bu araştıracılar olaylara neden olablece orta fatörler araştırırlar. Öyle br fatör bulaadılarında se olayları tarayara seçtler üelenş vaaları nceleyp sonuç çıaraya çalışırlar. Yan sıra dışı

32 üeleneler rasgele oluşan üelerden ayırt edleye çalışılır. Böyle üeler seçeren önsezler ullana onu uzanları çn ble yanıltıcı olablr. Br gazetede engell olan breylern bulunduğu 400 yatalı br sağlı uruunda 0 aylı br zaan çersnde şnn öldüğü yazılıştır. Ölenlern sayısı yalaşı olara belenen oranın atı olduğundan bu ölü oranı açılaa çn yetller hareete geçrecetr. K tanılar çeştl nedenlern varlığından söz etetedrler. 3-5 yıllı döne yenden ncelendğnde 0 aylı br dönede gözlenen ölüün taaen rasgele olara gerçeleştğ söyleneblecetr. Kuruda ortalaa br 0 aylı döne çersnde 5.5 ölüün olduğu blnren taaen şans eser olara br 5 yıllı dönen %38 nde yada daha fazla ölüün olduğu 0 aylı dönelern olası beleneblr. Burada = Ψ = 5. 5 w / T = 0 / 60= / L değerler 3.5 forülünde yerne onara olasılı P ; 33; / olara bulunuştur. Bu yüse sayılablece olasılı se söz onusu gözlen sıra dışı oladığına dar uvvetl br anıt olara değerlendrleblecetr. 3.3 Deneelern Br Dzsnde Başarı Sayılarının Taranası 3.3. Olay sayılarının bno dağılıı: Kesl zaan oşulsuz duru Br ço araştırada her br olası sonuca sahp rasgele deneelern dzler le lglenlr. Bu olası sonuç başarı ve başarısızlı olara adlandırılablr. Br alte ontrol şlende ardışı gözlelern ontrol sınırları çne ya da dışına düşes veya br spor taıının br sezon çersnde azanası ya da aybetes gb olaylar bu durua örne olara verleblr. K zaan araştıracılar gözle yapılan böyle br süreçte değşl olup oladığını belrleeye çalışırlar. Süreçte br değşl oladığı blndğnde böyle br süreç çn ullanılan bast odelde rasgele deneylern brbrlernden bağısız ve her br 3

33 deneede başarı olasılığının sabt olduğu varsayılır. Varsayılan br süreçte değşllern özel tplern test ete çn bazı statstsel ölçütler ve leler gelştrlştr. Süreçte değşl tplernden br sürecn bazı notalarında başarı olasılılarının artış olasıdır. N = L denee verldğnde L br tasayı ola üzere; N deneey her brnde ardışı deneenn olduğu L ayrı üeye böle ve her br üede başarı sayılarını gözleyere değşlğ belrlee bunlardan brdr. Küelern herhang brnde başarı sayısı ço büyüse bu varsayılan süreçte br değşlğe şaret edeblr. Bast odel varsayıı altında her deneede başarı sayısı br bno rasgele değşendr. Burada L tane brbrnden bağısız ve aynı dağılılı bno rasgele değşennn en büyüğünün dağılıı le lglenlr. Başarı sayısında br değşlğn anlalılığını değerlendre çn bütün deney date alaca br anlalılı düzeyne htyaç duyulacatır. Kullanılan br dğer le se yapılan şlen N denee çersnde ardışı deneenn ayrı yada brbrnn çne geçş bütün üelernde başarı sayılarını gözleyere süreçte değşenlğn anlalı olup oladığının test edlesdr. Bu aaçla uzunlulu aralılarda bulunan deneelerde başarı sayısı sayılır. Herhang br aralıta bu sayı yeternce büyüse anlalıysa bu varsayılan süreçte br değşlğe şaret eder. N denee çersnde bulunan herhang br ardışı deneede asu başarı sayısı br rasgele değşendr ve taraa statstğ adını alıp S le gösterlr. daha önceden sürel zaan aralığının taraa uzunluğu w şlevndedr. S = olduğu duru özel duru olup N deneede brbrne oşu ya da br dğernn çne elelenş ulanış bütün ayrı yada ayrı olayan uzunlulu ardışı denee üelernde asu başarı sayısının olasıdır. S = olası se ardışı deneede en az başarılı ota quota olara fade edlr. Bazı uygulaalarda verlen N sayıda deneede topla başarı sayısı br sabt olara date alınıren bazı uygulaalarda se N denee çnde başarı sayısı br rasgele değşen olup br dağılıa sahp olduğu varsayılır. N deneede topla başarı sayısının blnen br sabt olası duruu oşullu veya geçşe dönü retrospectve 4

34 duru N denee çersnde topla başarı sayısının br rasgele değşen olara ele alındığı duru se oşulsuz veya lerye dönü prospectve duru olara adlandırılır İlerye dönü oşulsuz duru çn bast br odel: Bernoull sürec X X K X N X = = p= P X = 0 P ola üzere bağısız ve aynı dağılılı esl rasgele değşenler olsun. İlgl sürece de Bernoull sürec denlsn. br tasayı ve = K N + ola üzere Y rasgele değşen Y + = X j j= olara tanılansın. Burada Y X j rasgele değşenlernn hareetl br toplaıdır. Taraa statstğ S se bu hareetl toplaların asuudur. Herhang br ardışı deneede asu başarı sayısı N + { } S = ax Y olara fade edlr. Taraa statstğ le lşl br statst olan denee sayısı olup W se başarı çeren ardışı en üçü W = { : S } n = N dr. 5

35 Verlen br Bernoull sürecnde T uzunluğunda br aralıta en az tane başarının l ez gözlelendğ zaana adar geçen süreye lşn rasgele değşendr. Üç statst S W ve T brbrler le lşldr. P S = P W = P T N Bernoull sürec çn genel olasılı P ; N p olara gösterlr. Bu süreç çn tanılanan dördüncü br statst V r se ardışı olara en fazla r başarısızlığın gözlelendğ denee sayısı rasgele değşendr. Özel olara r = 0 olduğunda V r ardışı en uzun başarı sayısı olur. N denee çeren br dz çn statstğ S le aşağıda gb lgldr. Bu lg V r P V + r = P S = P ; r N p r + r + olara fade edlr. Söz onusu Bernoull sürecne lşn yalaşılar verldten sonra bazı uygulaalara örneler verlecetr P ; N p olasılılarının hesaplanası Huntngton and Naus 975 aşağıda olasılıları yalaşıa gere duyulasızın ta olara hesaplayabletedrler. Hesaplaaların uzunluğu yalaşı hesaplaaları gerel ılıştır. Koşulsuz olan bu olasılılar çn başarı sayısının dağılıı durua göre posson veya bno olabletedr. Sunulan yalaşı Naus 98 tarafından Teore olara verlştr. 6

36 Q ; N p = P ; N p ve Q ; L p fadesnn ısaltası Q L olsun. Q L çn hayl doğru sonuçlar veren br yalaşı N / { Q Q } Q Q 3.6 L 3 / dr. b p p p ; = ve F r ; s b p r = = 0 = 0 b ; s p r = 0 K s r < 0. ola üzere < < N ve 0 < p < çn Q = F p ; p b ; p F ; + pb ; p F 3; p b b p ve Q 3 = p 3 F ; p A + A + A3 A4 olatadır. Burada 7

37 A = b ; p F p F 3 ; p A = 0.5 b ; p p F b b { b } { ; p F F b 3; p 4; p + p F b b ; p 5; p } = r= A3 b r ; p Fb r ; p A 4 = r= b r ; p b r ; p F r 3; p b } { p r F b r ; p dır. r = 0 çn V 0 rasgele değşen sıfır başarısızlığın gerçeleştğ ardışı en uzun denee sayısı rasgele değşendr ve P V 0 = P ; N p dr. Bu olasılığın hesaplanasına lşn ardışı hesaplaa bağıntısı P V ; N + = P V ; N + p p P{ V ; N } olup burada [ N / ] { p+ N j+ q / j } N j j+ j j P V0 ; N = p q 3.8 j= le ta hesaplaa yapılablr. 3.8 eştlğnde q p = ve [ ] y ta değer gösteretedr. 3.7 ve 3.8 forüller hlesz br paranın 00 ez atılası sonucunda ardışı olara en az tane tura elde edles olasılığını hesaplaa çn ullanılablr. Pratte pe ço duru çn N sayısı ço büyü sayısı ço üçü olatadır. Örne olara hlesz br paranın

38 ez atılışında en az 5 turanın ardı ardına geles olasılığı buluna stendğnde 3.8 N / = tern toplaını çerr. Büyü N değerler çn çeştl forülü [ ] 8000 yalaşı hesaplaa forüller gelştrlştr. Buna göre yuarıda Bernoull deneyler çn P ; N p exp { Nqp } yalaşıı ullanılablr ve önce verlen yalaşı da 0 ; ; 3 / N / { Q Q } P V N = Q N p Q 3.9 olara ullanılablr. Burada Q Q 3 = P ; p = p = P ; 3 p = p + q + q +.5 p q+ q olatadır. Örne: Ardışı en uzun başarı sayısının dağılıı Maden para le yapılan br sınıf deneynde öğrenclern br ısı parayı 00 ez atış ve sonuçları aydetşlerdr. Dğer ısı se para atayıp br sülasyon yaparcasına br dz oluşturuşlardır. Bu dznn l 50 ter aşağıda gösterlştr. İl dz hlesz paranın atılışından elde edlen dz nc dz se dğer yolla elde edlş olan dzdr. 9

39 Dz : YTYTTYYYTTYTYTTTTTTTTYYYTTYYTYYYTYY YTYYTTYTTYTYTY Dz : TTYTYYYTYYYYTTYTYYYTYYTTTTTYYTYTYTYY YYTTYYTTYYTTTY Brnc dzde dat çeen 8 turadan oluşan en uzun ardışı başarının varlığıdır. Yan l dzde tura ya da yazıdan oluşan en uzun ardışı başarı 8 tura çeretedr. İnc dzde en uzun ardışı başarı se 5 turadan oluşatadır. İl dzde ardışı en uzun başarı sayısının 8 olası sıra dışı olara uzun udur ya da nc dzde ardışı en uzun başarı sayısının 5 olası sıra dışı olara ısa ıdır sorularını rdeleyel: Yuarıda 3.9 forülü uygulanara turaların en uzun ardışı başarı sayısına lşn olasılı sorularına yalaşı cevap bulunablr. En uzun ardışı tura ya da yazı gözlene sayısının dağılıını yalaşı olara bulable çn T ve Y harflernden oluşuş br dzde eğer harf br önce le aynı se A farlı se F harflern yazara A ve F harflernden oluşan yen br dz yaratılablr. Böyle br urgu le N deneeden oluşan orjnal dzde tane ardışı başarı sayısı N deneeden oluşan yen dzde ardışı başarı sayısı olur. Böylece 00 deneeden oluşan orjnal br dzde uzunlulu herhang br ardışı başarı sayısının elde edles olasılığı 99 deneeden oluşan yen dzde uzunluğuna sahp ardışı tura sayısının elde edles olasılığına eşt olatadır. 30

40 Çzelge 3. Hlesz br zarın 00 ez atılışına lşn en uzun ardışı tura sayısının olasılı dağılıı Pen uzun ardışı gözlenen tura sayısı forülü ullanılara hesaplanış çzelge 3. de ardışı olara gözlenen en uzun başarı sayısının beşten az olası olasılığının sadece 0.03 olasılığa sahp olduğunu göreblrz. Ardışı en uzun tura sayısının 8 den üçü olası olasılığı se 0.68 dr. Böylece dz de bulunan ardışı en uzun tura gözlene sayısı sıra dışı ısalıtadır denleblr. Dz de ardışı en uzun tura sayısının 8 olası se sıra dışı değldr. Üç veya daha fazla sonuçlu olaylarda olasılıların hesaplanasına örne olara ano astlern yü probleler verleblr. Ano astlern br zncr olara tanılanablece proten dzler üzernde çalışan bl adaları belrl yü dzlşler le protenlern yapısal özelller ve fonsyonlarının ortalığı arasında bağlantıyı araştıra onusu alatadırlar. Ano astlern bazıları poztf yüe sahpen bazıları da negatf yülü bazıları da yüsüzdür. Bu açıdan baıldığında proten ano astlern yülernn dzlşne göre - + ve 0 ların br dzs olara düşünüleblr. X X K X N bağısız ve aynı dağılılı esl rasgele değşenlern br dzs olsun. P X = = p P X = 0 = p0 P X = = p br tasayı ve t = K N + ola üzere Y t rasgele değşen X j rasgele değşenlernn hareetl br toplaı 3

41 Y t+ t = X j = t olara tanılansın. Taraa statstğ S de bu hareetl toplaların asuu S = S N = ax t N + { Y } t olacatır. G N olasılığı G N = P S N < olara tanılandığında bu olasılığı yalaşı olara veren forül 3.5 de le aynıdır. G N / { G 3 / G } T G dr. Konuyla lgl br proble Karwe and Naus 997 da yer alatadır GNW Olay sayılarının bno dağılıı: Kesl zaan oşullu duru Bölüün l ısında N deneenn brbrnden bağısız ve N deneede topla başarı sayısının br rasgele değşen olara ele alındığı odel üzernde duruluştu. Bu duru oşulsuz yada lerye dönü duru olara adlandırılıştı. 3

42 Bazı uygulaalarda topla başarı sayısı blnen br değer olara arşııza çıar. Bu duru se oşullu veya geçşe dönü duru olara adlandırılır. N deneede a başarı olduğu blndğnde herhang br ardışı deneede gözlenen başarıların asu sayısına taraa statstğ adı verlr ve S le gösterlr. S olduğu genel duru ardışı denee çersnde en az başarının gerçeleştğ durudur. Bu bölüde N denee çersnde ta olara a başarının olduğu verldğnde taraa statstğnn dağılıına at olasılıların hesaplanası ve uygulaalarına yer verlecetr. S taraa statstğ a başarının ve N a başarısızlığın bütün dzlernn eşt olasılığa sahp olduğu bast olasılı odel çn hesaplanır. Bu duru çn P S olasılığı P ; N a le gösterletedr. S N a > a / ve N / = L L br tasayı olduğunda bu olasılı ta olara a P ; N a = H s a N + L a H a N 3.0 s= forülü le hesaplanabletedr. Burada N H s a N = s a s N a olup hpergeoetr olasılı fonsyonudur. 33

43 Örne: Genelleştrlş br doğu günü proble Klas doğu günü proble şu soruya yanıt arar: 3 şden oluşan br grup çersnde aynı doğu gününe sahp en az şnn bulunası olasılığı nedr? Çoğu nsan bunun pe üün olaayacağını düşünür. Faat gerçete bu olasılı %50 den daha fazladır. Yılın N = 365 gününde doğuun eşt olasılığa sahp olduğu varsayıldığında verlen a nsan çn eşleşe olaa olasılığı a N!/ N a! / N dır. = 3 N = 365 a değerler çn en az br eşleşenn var olası olasılığı yalaşı 0.5 dr. Proble ve çözü çn Mosteller 987 e baılablr. Doğu günü problelernn br dğer çözüü se herhang ardışı gün çnde doğu gününün olaası olasılığını bulatır. Bu duruda N günlü dönen doğru yada çeber üzernde onulandığı düşünüleblr. Aşağıda forüllerde çebersel N günlü döne çnr doğru üzernde onulanış günler çn ardışı doğu günlernn çaışaası olasılılarını veretedr. Buna göre R c R c = N a+ a!/ N a! N a N a 3. ve a R= N a!/ N a a! N N a dr. Aşağıda örne GNW 00 den alınıştır. 34

44 Örne: Anne baba ve çocutan oluşan br ale verlsn. Bu alede breylere at dört doğu günü ve br de anne ve babanın evlene tarhlernn brbrlernden bağısız olduları varsayıldığında beş tarhten snn ardışı yed günlü döne çersne düşes olasılığı nedr sorusuna cevap aranablr. Yuarıda 3. forülüne göre N = 365 a= 5 = 7 olara alındığında olasılı 0.3 olara bulunur. Buradan beş tarhten snn yed günlü br döne çersne düşesnn sıra dışı oladığı sonucuna varılablr. Örne: Satrançta galbyetlern ües Br satranç ustası yıl çnde 0 turnuvada oynaış ve douz tanesn azanıştır. Kazanılan turnuvalardan yed tanes 0 ardışı turnuvada gerçeleşştr. Douz galbyetn brbrnden bağısız ve 0 turnuva çersnde taaen rasgele dağıldığı varsayıldığında 0 ardışı turnuvada en az yed galbyetn gerçeleşes olasılığı nedr sorusuna yanıt aranablr. Burada a = 9 N = 0 = 7 ve = 0 değerler alındığında forül 3.0 a göre olasılı P7 ;0 0 9 = H s 9 s= H = 0.0 olara hesaplanır. 0 turnuva çnde douz galbyet olduğu blndğnde 0 ardışı turnuvada yed galbyetn gerçeleşes sıra dışı değldr sonucuna ulaşılır r harfl br dzde herhang br harfn ardışı en uzun terar sayısı N bağısız deneeden oluşan br dzde her br eşt olasılığa sahp r harften herhang brnn en uzun terar sayısının dağılıı buluna steneblr. Suan 994 tarafından da çalışılış olan bu proble N Bernoull deneesnde en uzun başarı 35

45 sayısı le lşlendrleblr GNW 00. r harften oluşan br alfabenn dzsnde her br harfn ullanılası olasılığının p = / r olduğu varsayılsın ζ r ; N bağısız deneeden oluşan br dzde her br eşt olasılığa sahp r harfl br alfabeden herhang br harfn ardışı en uzun terar sayısı ola üzere belenen değer ve varyans { N r / r } / log r E ζ log + γ 3. r e e ve V ζ r { π / log r } + / e dr. Burada γ = 0.577K dr Euler sabt. N Bernoull deneesnde en uzun başarı terarının belenen sayısı her br harfn ullanılası olasılığı p = / r ola üzere { N r / r } + γ / log E V log r e e ve V V V ζ olatadır. 0 r Taraa statstlernn belenen değerler Taraa statstlernn çeştl derecelerden belenen değerlern ble bu statstlere at olasılılara üst sınırlar oluştura veya bu olasılılara yalaşıda buluna baıından öneldr. GNW 00 de taraa statstlernn dağılıına noral 36

46 dağılı yalaşıı olara E S ve V S nn ullanıı örne verlştr. Huffer and w w Ln 997 değş dereceden belenen değerler ullanara he Marov zncrler he de posson yalaşıları elde etşlerdr. Eğer dağılı var ve yalaşı olara hesaplaalar yapılablyorsa belenen değerlere de yalaşılarda bulunulablr. Masu sayıda başarı çeren üede denee sayısının S belenen değer ve varyansı 0 aralığında düzgün dağılı varsayıı altında aşağıda gb hesaplanablr GNW 00: E S = = P S K K görel olara dar br aralı ola üzere; P S fades < K çn bre > K çn sıfıra yaın olur. Bu aralı p den olduça büyü değerler denenere bulunablr. Örne olara N = p= 0. ve = 59 çn 3.6 forülü P S çn aşağıda değerler verr: P S ullanılara E = K = 7. 7 olara bulunur. S P S = = P S P S + eştlğ ullanılara E S hesaplandıtan sonra { S } { E S } V S = E 37

47 olara hesaplanablr. Varyans hesaplaasına bast br yalaşı olara aşağıda forül de ullanılablr: V S = P S E S + E S = Yne 0 aralığında düzgün dağılı varsayıı altında başarı çeren en dar aralığın W belenen değer ve varyansı = E W = P W 3.3 V W = P W E W + E W = 3.4 olatadır. Örne olara; p = 0.3 = 5 N = 00 alındığında olasılılar aşağıda gb hesaplanıştır: P W P W Buradan 3.3 ve 3.4 forüller ullanılara belenen değer ve varyans E W = L

48 V W = L olara bulunur GNW 00. Benzer olara uzunlulu aralılarda tane başarı gözlee çn gerel belee zaanı denee sayısı T nn belenen değer de hesaplanablr. Bunun çn P S olasılığının N üzernden sonsuz toplaını alınır ve 3.6 da yer alan forül ullanılır. Buna göre belee zaanının belenen değern veren geoetr topla: = N= 0 E T P S < + Q Q / Q 3 / olur. 3.4 İ ve Daha Yüse Boyutlu Taraalar Daha önce bölülerde olayların zaan çnde üeleneler ya da deneelern br dzs üzernde te boyutlu taraa statstlernn ullanıı ele alınıştı. Burada se ya da daha yüse boyutta taraa statstler ve uygulaaları ele alınacatır. Bu alanda l çalışalar Mac 948 tarafından yapılıştır. Pe ço alanda araştıracılar sıra dışı üeleneler çn ya da daha ço boyutlu taraalar yapatadırlar. Örneğn br epdeyolojst anser vaalarının coğraf onuda üelenelern belrleeye çalışablr. Br jeolog belrl türden aden aynalarının üelendğ yerler bula çn belrlenen bölgey br astrofzç se gaa ışını yayan patlaaların yoğun olduğu aynaları belrlee çn göyüzünü tarayablr. İ boyutlu taraalar; tıbb görüntülee aden araa ve sste güvenlrlğ gb onularda sıça ullanılatadır. 39

49 Taraa statstlernn genş br çoğunluğu yada daha yüse boyut çn gelştrlştr. Br boyutlu taraalarda esl denee dzlernde ya da sürel br zaan aralığının taranası çn taraa penceres olara br aralı ullanılır. İ boyutlu taraalarda se taraa penceres olara are ddörtgen dare üçgen ve dğer şeller ullanılabletedr. Taranan boyutlu bölgeler ddörtgensel bölgeler br üre yüzeyn ya da daha genel olara bell br şel olayan coğraf alanları çerr. Bu tür taraa statstlernn dağılıları taranan bölgelern yapısına göre elde edlştr. Sürel yapıya sahp taraa bölgeler çn düzgün posson v.s. dağılıları; afes yapıda lattce olanlar çn bno hpergeoetr v.s. dağılıları ullanılır. İ ya da daha yüse boyutlu taraa problelernde problee tür yalaşıda bulunulablr. İl br boyutlu taraa statstlernn yada daha yüse boyutlu durua uyarlanasıdır. Dğer de doğrudan boyutlu yapı orunara boyutlu taraa statstlernn ullanılası duruudur. İ boyutlu taraa statstlernde N nota şel verlen boyutlu bölgede rasgele olara onulanır. Br boyutlu taraa statstlernde br aralığın boyutlu taraa statstlernde genelleşş hal br are veya üre yüzeydr. Taraa statstğ S w şel verlen w çaplı boyutlarında herhang br pencerede bulunan notaların asu sayısı olur. penceresnn çapıdır. W se nota çeren boyutlu en üçü taraa S w le W statstlernn dağılıları brbrleryle lntldr. İ boyutlu br bölge taranıren şel verlen taraa penceresnde en büyü üelene araştırılır. Bu duruda proble enarları arenn enarlarına paralel olan v yüselğnde ve u genşlğnde br alt ddörtgenle br arenn taranası şelnde düşünülür. Koşullu duruda br are üzerne dağılış sabt N sayıda nota evcuttur. Koşulsuz duruda se br are üzerne dağılış notaların sayısı Posson rasgele değşen olara düşünülür. Br arenn taranası ddörtgensel br bölgenn S T boyutunda a b boyutunda br taraa penceres le taranası deetr. Burada x esen üzernde S = ve y esen üzernde T = br olara alınara u = a / S ve v = b / T dönüşüler yapılır. 40

50 3.4. Koşullu duru Verlen N notanın br are üzernde rasgele dağıldığı blndğnde S u v ; enarları br arenn enarlarına paralel v yüselğnde ve u genşlğnde herhang br alt ddörtgende bulunan notaların asu sayısını gösterr. P ; N u v bçnde gösterlen P S olasılığı enarları arenn enarlarına paralel en az nota çeren u v a b boyutlu en az br taraa alt ddörtgennn olasılığını fade etetedr. Bu olasılı Naus 965 tarafından P ; N u v N uv şelnde fade edlştr. = N olduğu duruda olasılığın alt sınırı üst sınırına eşttr. Bu duruda forül P N ; N u v = P N ; N u P N ; N v olur. u 0.5 ve v 0. 5 olara verldğnde = N çn br boyutlu taraa statstğnn olasılığı yardıı le hesaplanan forül P N ; N u v = P N ; N u P N ; N v + + { P N ; N u B} { B P N ; N u }{ N v N N + v N P N ; N v P N ; N v P N ; N v / N N } 3.5 olara yazılır. 4

51 Burada u 0. 5 ve v 0. 5 ola üzere B = N u P N ; N u = N u P N ; N u = u N N P N ; N v = N v N u N u N N v + N N u N N N u dır. Kuyru olasılılarına lşn br teor ullanılara üçü olasılılı olduğu düşünülen olayların olasılığını hesaplaa çn verlen br dğer yalaşı se 3 3 { N w u v E / w E } C b ; N w P ; N u v şelndedr. Burada N b ; N w = w w= uv w E = / Nw C = N { Nv u E / w } + { Nu v E /+ E w } + { + E w / E} olatadır. Örne: Kanser olaylarının ües Br bölgede anser olaylarının rasgele olan dağılıının düzgün dağılıa uyadığı bunun yerne he rasgelelğn he de düzenl olayan yerleş nedenyle üeleneler oluşturduğu anlaşılatadır. 4

52 Böyle br araştırada br grup bl adaı 993 yılının sonuna adar olan 0 yıllı br döne çersnde İsveç te tanı onuluş 5 yaşın altında aut löse hastası çocuların üesn araştırıştır. Verlen döne çersnde tü İsveç te çocu arasından 543 aut löse hastası tespt edlş bunların 33 tanesnn İsveç n güneybatısında bulunan Ooe de olduğu gözlenştr. Bölgede oranın İsveç çn ortalaa oranın yalaşı 5 atı olduğu blnetedr. Bu üelenenn sıra dışı olup oladığı araştıra apsaındadır. Bölgede populasyon düzgün dağıladığından br tür yalaşıla hartaya düzgün dağılıı verece şelde dönüştüre şleler yapılıştır. İl olara İsveç hartası her br arede br ş olduğu varsayılara areye bölünür. Kolaylı olası açısından harta boyutunda n areöü br are şelnde düşünülüş olup Ooe nn populasyonu se abaca.5. 5 boyutunda.5 33 ün areöü br alt arenn çne düşetedr. Bütün are çersnde 534 löse hastası çocu göz önüne alındığında enarları u = v=.5 / 305 olan br alt are çersnde üç vaanın görüles olasılığı nedr sorusu araştırılır. Yan stenen olasılı P 3; olasılığıdır. 3.6 yalaşıı ullanılara hesaplanan olasılı değer olara bulunur ve 33 aut löse hastası çocutan oluşan br populasyon çersnde gözlenen üç aut löse hastası çocuğun oluşturduğu üenn sıra dışı oladığı sonucuna varılır Taraa penceresnn şelnn ets Vaaların ncelenes çn br bölge taranıren taraa penceresnn şelnn üelene olasılığı üzernde br far yaratıp yaratadığı araştırıla steneblr. Örne olara; P N; N u v olasılığının ta hesaplaa olasılığı göz önüne alınara aynı alana sahp br are dğer ddörtgen taraa penceres ullanıldığında = N = 5 u = 0. ve v = 0. 9 değerler çn olasılı P 5; = bulunuren u = v= 0. 3 değerler çn P 5; = olara bulunur. P N ; N u v olasılığı u= v olduğunda asu sonuca ulaşır. Ta forül 3.5 ullanıldığında; P 4; = P 4; = ve P 4; = olara bulunur. Buna göre are taraa 43

53 penceres ddörtgen taraa penceresne göre üelene olasılığını braz daha yüseltetedr. Hatta aynı şellern farlı yönlendrleleryle yapılan taraalarda da farlı sonuçlar elde edlebleceğ gözlelenştr. Taraa statstler üzernde çalışanlar ayrıca taraa penceres hang şelden olursa olsun boyutlu taraanın sülasyonunu hesaplaada etl br algortanın olası geretğn faretşlerdr. Bunun üzerne boyutlu taraalarda taraa olasılığına yalaşıda buluna aaçlı br tür sülasyon algortası gelştrlştr Koşulsuz duru Br are çersnde notaların sayısı λ ortalaalı br Posson rasgele değşen ve br are u v boyutunda enarları br arenn enarlarına paralel br alt ddörtgen le taranıyor olsun. P * ; λ u v alt ddörtgenlerden en az brnn en az gözle bulundurası olasılığını göstersn. Buna göre bu olasılı { λ u v p ; λ } P * ; λ u v exp uv şelnde verletedr. Burada p ; λ uv = exp { λ uv} λ uv /! dr. Verlen dğer br yalaşı se; 44

54 P * ; λ u v exp { λ u v p ; λ uv / } olup Al 999 tarafından verlen daha y br yalaşı { ζ λ uv / λ v u p ; } P * ; λ u v Fp ; λ uvexp λ uv şelndedr GNW 00. Burada F ; λ uv p = = 0 p ; λ uv ve { P * ; λ v u P * ; λ v } ζ = λ uv / λ u v u 3.7 olatadır. P * ; λ v u br boyutlu taraa statstğdr. Bu onuda verlen br başa yalaşıda { P * ; λ v u } exp P * ; λ u v ζ 3.8 dr. Yuarıda forülde ζ 3.7 forülünde tanılandığı gbdr. Örne: u = v= / 30 λ uv= 5 = 9 λ = 4500 olsun. P *9; 4500 / 30 / 30 olasılığı buluna steneblr. P * 8; 50 / 30 = ve 45

55 P *9;50/ 30 = olasılıları 3.5 forülüne göre hesaplandığında forül 3.7 ve 3.8 e göre { P * 8; λ v u P * 9; λ v } ζ = 5/9509 / 30 u = ve { P * 8;50 / 30 } exp ζ 0. P *9; 4500 / 30 / 30 = olara bulunur. Yuarıda yalaşılar ddörtgensel br bölgenn yne ddörtgen br taraa penceres le taranası durularında ullanılır. S T ddörtgensel bölgenn r yarıçaplı çeber şelnde br taraa penceres le taranası duruunda r π / S = u rπ / T = v olara alınır ve X le Y esenler üzernde yne S = ve T = alınara şle yapılır. P c * ; λ u v ; λ uv r yarıçaplı br çeberde notaların belenen sayısını göstere üzere taraa penceresnde notaların asu sayısının en az olası olasılığıdır. Buna göre bu olasılı P c { λ u v p ; λ } * ; λ u v exp uv dr. 3.5 DNA ve Proten Dzlernn Analznde Taraa İstatstlernn Kullanıı Pe ço alanda çalışan bl adaları brço byoloj aynatan DNA ya da proten dzlern arşılaştıratadır. Byoloj sürecn ontrol edldğ genet odları çeren DNA deosrbonüle ast uzun br oleüldür. DNA oleül odel saral şelde ıvrılış erdvene benzer br yapıdadır. Bu çft polnüleotd zncr brbrne 46