AKÜ FEBİD 11 (2011) (1 7) AKU J. Sci. 11 (2011) (1 7)

Transkript

1 Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilileri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Sciences AKÜ FEBİD (2) 3 ( 7) AKU J. Sci. (2) 3 ( 7) Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi Esin Kösal Baacan ve Cener Biçer Anara Üniversitesi Fen Faültesi İstatisti Bölüü Siste Belirlee ve Siülasyon Laoratuarı ANKARA e posta: eosal@science.anara.edu.tr ve cicer@science.anara.edu.tr Geliş Tarihi: 4 Ei 2; Kaul Tarihi: 25 Aralı 2 Anahtar elieler Artırılış duru Kalan Filtresi; İi Aşaalı Kalan Filtresi; Rasgele sapa Özet Kalan Filtresi yönteinde siste dinaiği paraetreleri ve istatistisel özellilerinin ta olara ilindiği varsayıı yapılır. Faat irço gerçe uygulaada siste odeli ilineyen rasgele veya sait sapalar içerir ve u nedenle Kalan Filtresinde ırasaalar eydana geleilir. Bu ilineyen sait veya rasgele sapaların odele dahil edilesi ile elde edilen Artırılış Duru Kalan Filtresi hesaplaa yüünün artası ve ortaya çıan irtaı sayısal prolelerden dolayı tercih edileetedir. Friedland (969) optiu tahin edicinin il olara sapanın sıfır olduğu duruda filtreyi işletip daha sonra sapa için elde edilen filtredei sonuca göre filtrede düzelte yapılara elde edileileceğini öneriştir. İi Aşaalı Kalan Filtresi olara adlandırılan u yönte uzun yıllardır araştıracıların ilgisini çeen ir onu oluş ve değişi içilerde İi Aşaalı Kalan Filtreleri öneriliştir. Bu çalışada duru uzay odelinde rastgele ir sapa olduğu duruda filtreyi her adıda uyarlayan yeni ir yalaşı olara Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi öneriliş ve yapılan ir siülasyon çalışası ile elde edilen sonuçlar Artırılış Duru ve İi Aşaalı Kalan Filtreleri ile elde edilen sonuçlarla arşılaştırılıştır. Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi ile elde edilen hata areler ortalaası Artırılış Duru ve İi Aşaalı Kalan Filtreleri ile elde edilen hata areler ortalaalarından daha düşü çııştır. Adaptive Two Stage Kalan Filter Key words Augented State Kalan Filter; Two Stage Kalan Filter; Rando Bias Astract In Kalan Filter ethod they assue that dynaics paraeters and statistical properties of the syste are eactly nown. But for any real applications syste odel has unnown rando or constant ias and ecause of that reason there can e divergences in Kalan Filter. Because of the coputational copleity of Augented State Kalan Filter which is otained after adding these unnown constant or rando iases into the odel and ecause of soe nuerical proles which appear Augented State Kalan Filter is not prefered. Friedland (969) proposed that optiu estiator can e otained y running the filter when ias is equal to firstly then correcting the filter according to the result which is otained for ias in the filter. The ethod called the Two Stage Kalan Filter has een a suject which has attracted attention of researchers for any years and Two Stage Kalan Filters have een proposed in different fors. In this study we propose a new Two Stage Adaptive Fading Kalan Filter which will adapt the filter at every step when there is a rando ias in state space odel and results that are otained y siulation study are discussed. Afyon Kocatepe Üniversitesi. Giriş Gelenesel Kalan Filtresi yönteinde siste dinaiğinin paraetrelerinin ve istatistisel özellilerin ta olara ilindiği varsayılır. Faat irço gerçe uygulaada siste odeli ilineyen rasgele veya sait sapalardan etilenir ve u nedenle Kalan Filtresinde ırasaalar eydana gelir. Bu ilineyen sait veya rasgele sapaların duru denleine elenesiyle Artırılış Duru Kalan Filtresi elde edilir. Faat hesaplaaların artası ve sayısal ir taı prolelerden dolayı Artırılış Duru Kalan Filtresi yerine sapa ve duru tahininin paralel ii algoritaya göre elde edildiği İi Aşaalı Kalan Filtresi olara ilinen yönte son zaanlarda daha ço tercih ediletedir. İi

2 Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi Baacan ve Biçer aşaalı Kalan Filtresini sait sapa içeren duru uzay odelleri için il ez Friedland (969) öneriştir. Daha sonra araştıracılar tarafından ilineyen sait sapalı duru uzay odelleri için Friedland ın odeline alternatif olara İi Aşaalı Kalan Filtreleri öneriliştir. Son zaanlarda İi Aşaalı Kalan Filtresi sadece sait sapa duruunda değil rasgele sapa olası duruunda da çeşitli araştıracılar tarafından öneriliştir. Faat yapılan u türetilerde rasgele sapanın istatistisel özellilerinin ilindiği varsayıı vardır i gerçete u ilgiler ya ısen evcuttur ya da hiç yotur. Bu çalışada u prolee çözü önereile aacı ile ir Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi öneriliş ve siülasyon çalışası ile elde edilen sonuçlar arşılaştırılıştır. Çalışanın iinci ölüünde rasgele sapa içeren lineer duru uzay odeli tanıtılış ve Artırılış Duru Kalan Filtresi ile İi Aşaalı Kalan Filtresi veriliştir. Üçüncü ölüde Uyarlı Kalan Filtresinin türetii anlatılış ve süreç gürültüsünün ölçelendirilesi ile Kalan Filtresinin elde edilişi veriliştir. Bu ölüün iinci ısında ahsedilen u yönte İi Aşaalı Kalan Filtresinin uyarlanasında ullanılara yeni ir Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi öneriliştir. Dördüncü ölüde önerilen Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi ile Artırılış Duru Kalan Filtresi ve İi Aşaalı Kalan Filtresinin perforanslarını arşılaştıra aacı ile ir siülasyon çalışası yapılıştır. Son ölüde de çalışayla ilgili ir taı sonuçlara yer veriliştir. 2. Prole Forülüzasyonu Lineer stoasti duru uzay odeli A Bu + F+w (a) + w () y C + G+v (c) içiinde verilsin (Keller and Darouach 997). Burada vetörü u n duru vetörü r y gözle ilinen ontrol girdisi ilineyen rasgele sapa vetörüdür. A BFCG oyutları uygun şeilde veriliş atrislerdir. w w ve v iririnden ağısız sıfır ortalaalı ilişisiz rasgele gürültü vetörleri ve w W E w w w v W δj (2) v V W > W > V > δj ve Kronecer delta fonsiyonudur. Başlangıç duruları ve için E( ) E( ) E( )( ) P > E ( )( ) P > E( )( ) P ile noral dağılıa sahip rasgele vetörler olduğu varsayıı yapılsın. 2.. Artırılış duru alan filtresi Yuarıda verilen oşullar altında; rasgele sapanın duru vetörüne elenesi için duru uzay odelinde yer alan atrisler A F B A δ j I B p (3a) C [ C G] içiinde tanılanır ve u duruda duru uzay odeli X AX + Bu + + w (3) y CX + v (3c) olara elde edilir. X w w w T W W E wwj j W δ ola üzere Artırılış Duru Kalan Filtresi aşağıdai şeilde verilir (Keller and Darouach 997). X X + K y CX ve (4a) X AX + Bu + (4) P AP A + W (4c) + AKÜ FEBİD (2) 3 2

3 Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi Baacan ve Biçer + ( + ) (4d) + + K P C CP C V ( + ) P I K C P (4e) {[ ][ ]... } P P P E X X X X y y y P P ve aşlangıç değerleri X dir. P P P P P 2.2. İi aşaalı alan filtresi (4f) Burada Keller ve Darouach tarafından verilen İi Aşaalı Kalan Filtresi ele alınacatır. Düzenleniş yansız duru tahini (n oyutlu filtre); X X + K % γ (5a) P P CV C (5) % % + A + Bu + r β (5c) + % % P+ AP A + W + rp r β P β (5d) (5e) K P CV % γ y C% + (5f) + + Optial Yan Tahini (p oyutlu filtre); + (6a) P P + W + (6) + K % H (6c) + ( γ + ) P P + H V H (6d) K P H V (6e) eşli eden denleler r Aβ + F (7a) β rp P (7) + + H G+ Cβ (7c) + + K H β β + (7d) H G+ Cβ (7e) ola üzere optial İi Aşaalı Kalan tahini X X + B (8a) β β P P + P (8) içiinde elde edilir. 3. Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi 3. Uyarlı alan filtresi Filtrelee prolei forüle ediliren siste gürültü süreçlerinin ovaryans atrislerinin ve odelde yer alan atrislerin ta olara ilindiği varsayıı yapılır. Bu atrisler ta olara ilindiğinde Kalan Filtresi optial sonucu verir (Öze 998). Anca irço uygulaada u atrisler ta olara ilinez ya da yanlış ilinir. Bu filtrenin perforansını olusuz yönde etileyeilir ve filtre tahinlerinde ırasaa eydana geleilir (Ki vd. 27). Bu prolein üstesinden geleile için araştıracılar tarafından ço sayıda çalışa yapılış ve çeşitli uyarlı filtreler öneriliştir. Anca her duruu göz önüne alan ve filtre tahinlerindei ırasaa proleini ortadan aldıran ir yönte halen evcut değildir. Kalan Filtresi tahinlerinde eydana geleilece ırasaa proleini il olara ele alan ve unun öneini elirten araştıracılar Fagin (964) ve Fitzgerald (97) dır. Mehra (972) odelde yer alan ovaryans atrislerinin ilineesi duruunu inceleiş ve u ovaryans atrislerinin tahin edilesiyle uyarlanan ir Kalan Filtresi öneriştir. Mohaed ve Schwarz (999) Mehra (972) nin önerdiği yöntee enzer ir içide gözlelerin paraetrelere göre oşullu dağılıını ullanara gürültü süreçlerinin ovaryans atrislerinin filtre içerisinde tahin edilesine dayalı ir Uyarlı Kalan Filtresi önerişlerdir. Gustafsson (992) filtre gürültü ovaryanslarının yanlış olası duruunda filtrenin AKÜ FEBİD (2) 3 3

4 Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi Baacan ve Biçer davranışını inceleiş ve gürültü ovaryanslarının aynı atsayı ile ağırlılandırıldığında Kalan Filtresinde eydana gelen te değişiliğin hata ovaryans atrisinde olduğunu gösteriştir. Saa (999) istatistisel odellee hatası olduğunda esili zaan Kalan Filtresinin hataya olan duyarlılığını yaptığı çalışa ile ortaya oyuştur. Kalan Filtresinde tahinler geçiş verilere dayanara yapıldığından; eğer geçiş veriler hatalı odel ullanıından dolayı anlaını yitirişlerse u verilerin güncel duru tahinine olan etilerini azalta gereir. Fagin (964) u aaçla yeni gözlelerin esi gözlelere göre daha ço ilgi içereileceğini göz önünde ulundurara gözlelerin üstel olara ağırlılandırılaileceğini öneriştir. Xia vd. (994) u etodu duru uzay odeline uyarlayara odelin hatalı oluşturulası duruunda filtreleede azı güçlendirelerin yapılasını sağlayaca unuta fatörünün hesaplanası için çeşitli algoritalar öneriştir. Öze ve Aliev (998) yaptıları çalışada Xia ve diğerleri (994) tarafından önerilen unuta fatörünün odelde nasıl yer alası geretiğini gösterişlerdir. Ki vd. (26) sistee ilineyen rasgele ir girdinin olduğu duruu inceleişler ve Kalan Filtresinin u durua uyu sağlayaca içide saler ir unuta fatörü ile uyarlanasını elde etişlerdir. Jwo ve Weng (28) Kalan Filtresi tahinlerinde güçlendire yapa için hata ovaryans atrisinin ve gözle gürültü sürecinin ovaryans atrisinin gelen veri ile uyu içerisinde olaca içide ölçelendirilesi geretiğini elirtişlerdir ve ölçe fatörlerinin seçii için ir yönte verişlerdir. Ding vd. (27) gürültü ovaryans atrisinin ir ölçe paraetresi ullanılara filtre içerisinde ölçelendirilesiyle ir uyarlı filtre önerişlerdir. Ayrıca Ding vd. (27) yaptıları çalışada ölçe paraetresinin filtre eşitlilerinde nasıl yer alası geretiğini elirtiş ve ölçe paraetresinin seçii için ir yönte önerişlerdir Süreç gürültüsünün ölçelendirilesi ile alan filtresinin uyarlanası Duru uzay odeli A + + Bu + w (9a) y H + v (9) q şelinde olsun. siste duru vetörü p y u siste gözle vetörü siste ontrol vetörü ola üzere odel varsayıları E( ) Ew ( ) Ev ( ) Cov( ) E[( )( ) ] P Eww j ( j ) Q j j Cov( v v ) j Ewv E( w ) E( v ) içiindedir. Buna göre Kalan Filtresi $ A$ + Bu $ $ $ + K [ y H ] K P H ( H P H + R ) P AP A + Q P I KH P R j j () eşitlileri ile verilir (Chui and Chen 99). İnnovasyon serisi d y H$ () ile tanılana üzere filtre optial ise ortalaalı eyaz gürültü vetörü olur ve d sıfır E dd HP H+ R (2) dir. İnnovasyon ovaryansı eliizde olduğunda R gözle hatası ovaryansı u forülden tahin edileilir. İnnovasyon ovaryansı innovasyon gözlelerinden; i i i E d d d d (3) ifadesi ile hesaplanır (Ding vd. 27). Optial filtre duruunda öngörülen innovasyon ovaryansı ile innovasyon gözlelerinden hesaplanan ovaryansın aynı olası gereir. Yani AKÜ FEBİD (2) 3 4

5 Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi Baacan ve Biçer didi HPH + R i (4) P olalıdır. Bu iisi arasındai far ve/ veya nın yanlış tanılanasından aynalanailir. P süreç gürültü öngörüsünün tahini ola üzere P i u eşitliten çöze prati değildir. Bunu asitleştire için ir ölçelendire fatörü aşağıda tanılanıştır (Ding vd. 27). trace H P α trace H P { H} { H} trace didi R i trace H P { H} ( ) + ( ) + { } { } trace H AP A Q H trace H AP A Q H R (5) Bu fatör hesaplanan innovasyon ovaryansı ile öngörülen ovaryansın oranıdır i una göre sezgisel adaptasyon uralı innovasyon serisi; % γ % γ H ola üzere % % E( γ γ ) CP C + GP G + R Cβ E β C olara elde edilir (9) Optial filtre için hesaplanan innovasyon ovaryansları ile tahin edilen innovasyon ovaryanslarının eşit olası gereğinden he duru he de sapa tahinleri için gereli eşitliler yazılırsa i i % % γ γ CP C + GE( ) G + R + + i + i + + % γ % γ + i CP C + GP G + R + i + + Cβ E β C olup he duru he de sapalar için ölçelendire paraetresinin hesaplanası gereir. Buna göre Q Q α (6) içiinde tanılanır. İfadede yer alan areölü ifade düzgünleştire etisi olara denlee ilave ediliştir (Ding ve diğerleri 27). 3.2 Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi İi Aşaalı Kalaan Filtresinde he duru he de sapa tahinleri ulunduğundan urada ii tane innovasyon serisi vardır. (5a) (7e) eşitlileri ile verilen İi Aşaalı Kalan Filtresinde innovasyon serisi; % y C% (7) γ ola üzere % ( γ % γ % ) + ( ) E CP C GE G R (8) olara elde edilir. Benzer içide sapa için % % trace γ+ iγ GE ( ) i G R i α trace CP C α 2 { + } (2) { } % γ % γ % + β β + i + i i trace{ GP G } + trace C P C R C E C (2) olara elde edilir ve İi Aşaalı Kalan Filtresinde (5d) eşitliği yerine % % P+ AP A + α W β P β rp r eşitliği ve (6) eşitliği yerine (22) P P + α 2W (23) + eşitlilerinin alınası ile Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi elde ediliş olur. AKÜ FEBİD (2) 3 5

6 Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi Baacan ve Biçer 4. Siülasyon Çalışası Modeliiz w w w (24) w +.3 y + v 3 +. olsun. Burada he 2 3 duru değişenleri y he de y2 gözle değişenleri gii ir sapadan etilenetedir. Siülasyon çalışasında aaç sapadan etilenen duru değişenlerinin ve sapanın tahinidir. Aynı aşlangıç değerleri verilere aşlatılan filtrelere göre elde edilen hata areler ortalaası sonuçları aşağıdai gii elde ediliştir. Artırılış Duru Kalan Filtresi Hata Kareler Ortalaası İi Aşaalı Kalan Filtresi Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi Sonuç Bu çalışada rasgele sapa içeren duru uzay odellerinde önsel ilgilerin az olasından aynalanan ırasaayı gidereile için İi Aşaalı Kalan Filtresinde duru ve sapa gürültü ovaryans atrislerinin ölçelendirilesi ile elde edilen ir Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi öneriliştir. Filtrenin perforansını göre aacıyla ir siülasyon çalışası yapılış ve hata areler ortalaası anlaında Artırılış Duru Kalan Filtresi İi Aşaalı Kalan Filtresi ve önerilen Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi tahin sonuçları arşılaştırılıştır. Siülasyon sonuçlarına göre önerilen filtrenin hata areler ortalaası diğer ahsedilen filtrelere göre daha düşü çııştır. Buna göre önerilen Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresinin ullanılası ile gerçe değerlere daha yaın tahinler elde edileilir. Kaynalar Chui C.K. ve Chen G. 99. Kalan Filtering with Real tie Applications Springer Verlag. Ding W. Wang J. Rizos C. ve Kinlyside D. 27. Iproving Adaptive Kalan Estiation in GPS/INS Integration. The Journal of Navigation Fagin S.L Recursive Linear Regression Theory Optial Filter Theory and Error Analysis Optial Syste. IEEE Int. Conv. Rec Friedland B Treatent of ias in recursive filtering. IEEE Trans. Autoat. Control Fitzgerald R.J. 97. Divergence Of The Kalan Filter. IEEE Trans. Auto. Control Gustafsson F Estiation of Discrete Paraeters in Linear Systes. Phd. Thesis. Departent of Electrical Engineering. Linoping University Sweden. Jwo D. J. ve Weng T. P. 28. An Adaptive Sensor Fusion Method with Applications in Integrated Navigation. The Journal of Navigation Keller J.Y. ve Darouach M Optial twostage Kalan filter in the presence of rando ias. Autoatica Ki K.H. Lee J.G. ve Par C.G. 26. Adaptive Two Stage Kalan Filter in the Presence of Unnown Rando Bias. Int. J. Adapt. Control Signal Process Ki K.H. Lee J.G. Par C.G. ve Jee G.I. 27. The Staility Analysis of the Adaptive Fading Etended Kalan Filter 6th IEEE International Conference on Control 3 Octoer 27 Singapore. Mehra R.K Approachs to Adaptive Filtering. IEEE Trans. Auto. Control Mohaed A.H. ve Schwarz K.P Adaptive Kalan Filtering for INS/GPS. Journal of AKÜ FEBİD (2) 3 6

7 Uyarlı İi Aşaalı Kalan Filtresi Baacan ve Biçer Geodesy Öze L Kesili Zaan Duru Uzay Modelleri ve İndirgeeli Tahin ve Yaınsaa Proleleri A.Ü. Fen Bilileri Enstitüsü İstatisti Anaili Dalı Yayılanaış Dotora Tezi. Öze L. ve Aliev F Coents on Adaptive Fading Kalan Filter with an Application. Autoatica Saa S.S. ve Nasr G.E Sensitivity of Discrete Tie Kalan Filter to Statistical Modeling Errors. Optiu Control Application Methods Xia Q. Rao M. Ying Y. Shen S.X. ve Sun Y A new state estiation Algorith Adaptive Fading Kalan Filter Proceedings of the 3st Conference on Decision and Control Tucson Arizona. Xia Q. Rao M. Ying Y. ve Shen X Adaptive Fading Kalan Filter with an Applications. Autoatica AKÜ FEBİD (2) 3 7