İstatistikçiler Dergisi

Transkript

1 İstatstçler Dergs ( İstatstçler Dergs YOL AZA ORANLARININ BAYESCİ YALAŞIMLA ANALİZİ Uğur ARABEY Hacettepe Ünverstes Atüerya Bller Bölüü Beytepe, Anara, Türye Öer ESENSOY Hacettepe Ünverstes Atüerya Bller Bölüü Beytepe, Anara, Türye ÖZET Bu çalışanın aacı, lglenlen notalarda eydana gelen yol azaları oranlarının hesaplanası ve belrlenen oranlar göz önünde bulundurulara, Bayesc yalaşı le yüse rsl notaların belrlenesdr. Çalışada terl ve atlıterl dağılılar çn Bayesc analzler yapılış ve sonuçlar arşılaştırılara yorulara yer verlştr. Anahtar Sözcüler: Yol azaları, Bayesc Yalaşı, İterl, atlıterl ABSTRACT BAYESIAN ANALYSIS OF ROAD ACCIDENTS PROPORTIONS Abstract: In ths study we focused on deternaton of road accdent rates whch occurs n specfc locatons. Consderng these rates we tred to deterne the rsy locatons by usng Bayesan Approach. For Bnoal and Multnoal dstrbutons, Bayesan analyses are done. The results obtaned fro these analyses are copared and dscussed. eywords: Road Accdents, Bayesan Analyss, Bnoal, Multnoal. GİRİŞ Traf azaları oluşturduğu alyetler ve ağır sonuçlar baıından günüüzde ço önel br onu halne gelştr. Gelşete olan ülelerde bu onu, ısıtlı seraye ve aynalar göz önünde bulundurulduğunda daha da öne azanatadır. Yol güvenlğ araştıralarında önel br unsur, yüse rsl notaları belrlee çn analt araçların gelştrlesdr. Mal ısıtlar da göz önünde bulundurulara, güvenlğn arttırılası aacıyla ncelenece notaların saptanası gereldr. Bu notaların seçnde eono baıdan en uygunu, br önce yıl çersnde en yüse aza oranlarına sahp notaların seçlesdr. Anca herhang br nota çn aza ortalaası blnezen, te br aza gözlenn doğrudan ortalaanın tahnnde ullanılası duruunda, daha sonra gözleler gerçe ortalaadan düşü değerler göstere eğlnde olurlar. Aynı şelde gözlelenen aza sılığının aşırı yüse olduğu br notanın seçden sonra da aza sılığında düşüş eğl görülebletedr. Bu sorun lteratürde ortalaaya doğru gerlee (regresson to ean olara blnetedr. Bu sorun date alındığında, dret olara aza sılığı yüse notaların seçlesnn güvenlr br yalaşı oladığı söyleneblr. Bayes tenğ uygulanıren ncelee altında notalarla brlte, benzer notalar haında blgler de analze atıldığından, ortalaaya doğru gerlee (regresson to ean ets azalatadır[2]. Çalışanın nc bölüünde aza sılılarının terl ve atlıterl dağılılar varsayıı le ncelenes teor olara anlatılıştır. Üçüncü bölüde yaratılan br ver ües ullanılara paraetreler ve sonsal olasılılar hesaplanıştır. Dördüncü ve son bölüde se uygulaanın sonuçlarına göre yorulara yer verlştr.

2 U. arabey, Ö. Esensoy / İstatstçler Dergs ( METOT Bu bölüde aza sılılarının terl ve atlıterl dağılıa uyduğu düşünülere, Bayesc analzlern uygulanışı anlatılıştır. 2.. İterl Duru Bu duruda, br notada eydana gelen azaların belrl özellte oranları ncelenetedr. Belrl br peryot boyunca, br notasında eydana gelen topla n aza çersnden, belrl özellte x azayı apsayan gözlen, paraetrel br terl dağılıa sahp olduğu varsayılır ve x değşen çn olasılı fonsyonu: f n x x n x ( x n, = (, n > 0,0 (2. bçnde verlr. Benzer notalar arasında değşenlğ odellee çn, paraetresnn ve β paraetreler le beta dağılıına sahp olduğu abul edlr. Beta dağılıının olasılı yoğunlu fonsyonu: ( (, β g b (, =, 0 < < (2.2 B olara yazılır. Burada B (, = { Γ( Γ( } Γ( + Γ s ( s = e z dz 0, ve β paraetrel beta fonsyonu ve z se Gaa fonsyonudur. Eş.(2.2 de görülen, b alt nds, dağılıın gözlesel duruunu vurgulaa üzere önsel fadesn belrtetedr. Bayesc analzlerde beta dağılıının, terl dağılı çn eşlen önsel dağılı olara ullanıldığı blnetedr[]. Bu dağılıın brleş le x çn oşulsuz terl beta dağılıı, ve β paraetreler le h ( x n,, ( + x, β + n x B(, n B = x (2.3 bçnde verleblr. paraetresnn sonsal dağılıı çn, Eş.(2., Eş.(2.2 ve Eş.(2.3 ullanılara Bayes teore uygulanırsa, a ( n, x,, ( x n, gb (, h( x n,, f g = (2.4 eştlğ elde edlr. Eş.(2.4 te, gerel düzenleeler yapıldıtan sonra fonsyon β + n x paraetreler le aşağıda beta dağılıına dönüşür. + x ve g a ( + x, β + n x = B + x β + n x ( ( + x, β + n x (2.5

3 U. arabey, Ö. Esensoy / İstatstçler Dergs ( Burada a alt nds, dağılıın sonsal duruunu fade etetedr. Görgül Bayes yalaşıı adıda uygulanatadır. Önce paraetre tahn yöntelernden br yardııyla ve β hperparaetrelernn tahnler yapılır. Burada tahn yöntelernden en ço olablrl yönte ya da oentler yönte ullanılabletedr. Bulunan ˆ ve βˆ tahnler le nc adıda, Eş.(2.5 de verlen sonsal dağılı ullanılara tehlel notalar belrlenr[3] İterl Duruda Bayesc Analz Bayesc analz, en ço olablrl ya da oentler yönte yardııyla tahn edlen ˆ ve βˆ le hesaplanan paraetresnn sonsal dağılıı ullanılara uygulanatadır. Sonsal dağılı, paraetresnn, ( x,..., x n gözle değerler ve önsel blglern brleştrles sonrasında duruunu gösteretedr. notasında aza oranının Bayesc tahn edcs: + x Ea ( = + β + n (2.6 eştlğnde sonsal ortalaa le verlr. İncelenete olan notaların rsll derecelernn değerlendrlesnde ullana aacıyla, nota tahnler dışında ölçüler de hesaplanablr. Örneğn, önsel dağılıa lşn azaların ortanca oranlarını göstere üzere, bu ortanca oran: g b = (, d = 0.5 (2.7 ntegralnn çözüünden bulunur. Uygulaada, Eş.(2.7 de fonsyon ˆ ve βˆ hperparaetre değerleryle hesaplanatadır. Blnen değerler le, ncelenete olan notaların rsll derecelernn değerlendrlesnde ullanıla üzere br olasılı hesaplanabletedr. Bu olasılı Eş.(2.8 de verlştr. B = g ( + x, β + n x a (2.8 = = Pr ( > d Bu fade, aynı özelllere sahp notalar arasında, notasının noralden daha fazla rsl olası olasılığını gösteretedr. Burada noral rs dereces araştıracı tarafından belrlenen, notalara at aza olasılıları çn üst lt olara görületedr atlıterl Duru Üzernde çalışılan azalar çn ola üzere, + farlı özell (tür olduğu abul edletedr. x, notasında topla n aza çnden lglenlen ıncı tür özellğe sahp gözlelenş aza sayısı olara tanılanır. Burada x her br türde eydana gelen aza sayıları olara tanılanatadır. + ullanılasının neden, notasında blnen topla n azadan, + türün herhang br çn eydana gelen aza sayılarının dğer türde aza sayısı ullanılara çıarılableceğnn vurgulanasıdır. Genel br ural oluştura açısından x + son türde aza sayısını gösteretedr. Böylece x + = n = x şelnde fade edlebletedr.

4 U. arabey, Ö. Esensoy / İstatstçler Dergs ( Br nota çn farlı türde ortalaaların toplaı olacağından + = = şelnde yazılabletedr. Ver yarata sürecnde, x = ( x,..., x boyutlu br vetörün, ortalaa paraetre vetörü = (,...,, 0 < <, =,, ola üzere ve n, n > le atlıterl dağılıa uyduğu düşünüldüğünde olasılı fonsyonu aşağıda gb yazılır: f n! x, n >, = (2.9 + ( x, n = + x! = = 0 Notalar arası değşenlğn odellenes çn vetörü Drchlet dağılılı abul edletedr. Drchlet ve atlıterl dağılıları uygun br şelde brleştrlebldğnden, oranların dağılıı çn Drchlet dağılıı ullanılatadır. Ayrıca Drchlet dağılıının, atlıterl dağılı çn eşlen önsel dağılı olara ulanıldığı da blnetedr[]. boyutlu Drchlet olasılı fonsyonu, = (,..., +, > 0, =,..., + paraetre vetörü le aşağıda gb yazılır: g b + ( = I ( 0 < < ( = d = + Γ( + = ve ( = d = + (2.0 Burada = I ( < = < şelnde fade edlştr. Eş.(2.0 da, Γ ( 0 göster br gösterge fonsyon olara ullanılatadır. Bu gösterge parantez çnde oşul sağlandığında e, sağlanadığında 0 a eşt olatadır. Eş.(2.9 ve Eş.(2.0 denleler brleştrldğnde atlıterl-drchlet dağılıı elde edletedr[2]. Bu dağılı: h + n! Γ( ( = x, n = ( + x Γ( + Γ ( x! = = Γ { + x} = eştlğ le fade edlr. Görgül Bayes yalaşıı, Eş.(2. n asze edlesyle bulunaca olan ya at ˆ vetörünün elde edlesnde ullanılatadır. Bu paraetre tahn sürecnde oentler yönte ullanılabletedr. Paraetre tahnlernde en ço olablrl yönte de ullanılabletedr. Faat, olablrl fonsyonun araşı olasından dolayı hesaplaalar sayısal olara yapılatadır. Bu oşullar altında çn sonsal dağılı; Eş.(2.9, Eş.(2.0 ve Eş.(2. e Bayes teorenn uygulanası sonucu bulunur. Sonsal dağılı, Eş.(2.2 de düzenlenş olan Drchlet dağılıına eşt olatadır. g a ( + x, n = I ( + ( { + } ( + = x + Γ + x = Γ o, = + x > 0, =,..., +, n >, = ( atlıterl Duruda Bayesc Analz ıncı türde ve nc notada aza oranının görgül Bayes tahn: [ ] + x E (2.3 a = + = { + x }

5 U. arabey, Ö. Esensoy / İstatstçler Dergs ( eştlğ le yazılır. Önce bölüde tanılanan B olasılığının hesaplanables çn öncelle Drchlet dağılıına lşn br özellğn tanılanası gereetedr. Eğer = (,..., vetörü,,..., paraetreler le Drchlet dağılıına sahpse, ( L = (,...,, L< vetörü, = ( + L ( = + L,..., L, paraetreler le Drchlet dağılıına sahp olatadır. Yan br ez = L+ paraetrelern tüü tahn edldten sonra tü obnasyonları çn hesaplaalar ayrı ayrı yapılabletedr. Marnal dağılılar özellğ ullanılara, sadece br türde aza oranlarına lşn paraetreler bulunabletedr. Bölgelern rsll derecelernde ullanılata olan olasılılarının hesaplaalarında ortanca değerlernn bulunası gereetedr. Bu ortanca hesaplaaları: = (, g b d 0.5 (2.4 = ntegralnn çözüü le bulunur. Ortancaların bulunasında sonra B olasılığı: B B =... = = = Pr I ( o g ( + x, n ( >,..., > a d... d (2.5 eştlğ le hesaplanatadır. Bu olasılı, türde her br notanın benzer notalar arasında belrlenen noral aza oranlarından daha büyü br aza oranına sahp olası olasılığını veretedr[2]. 3. UYGULAMA Türye de yapılan araştıralar sonucu, çalışada ullanılablece gerçe br ver ües elde edleedğnden uygulaa çn verler yaratılıştır. Ver yarata sürecnde, Bolduc ın aalesnde ullanış olduğu gerçe ver üesnde değerler gözönünde bulundurulara, bölgelerde gerçeleşş en fazla ve en az aza sayıları apsaında, rasgele sayı ürete algortaları ullanılıştır. Ver üesnde değerler arşılaştırılablr özelllere sahp yollarda belrl notalarda eydana gelen aza sılıları olara tanılanıştır. Uygulaa haftanın belrl peryotlarında oluşan azalar üzernde odalanıştır. Brnc tür olara tanılanan verler hafta ç oluşan azalara at olup, nc tür olara tanılanan verler se hafta sonu oluşan azaları tesl etetedr. Ayrıca uygulaa sonuçlarının güvenlrlğ açısından, ncelenen notalar arası heteroenlğn oladığı ve azaların brbrlernden ta bağısız olara gerçeleştler varsayıı yapılıştır. 3.. İterl Dağılı Varsayıı Altında Bayesc Analz İl olara ver üesnn sadece hafta ç gerçeleşen aza sılılarını tesl eden brnc türü ullanılara terl yalaşı varsayıı altında Bayesc analz gerçeleştrlştr. İlglenlen notaların önsel ortalaası ve β paraetreler le beta dağılıına sahp olala brlte, x : bölgesnde hafta ç gerçeleşen aza sayısı, n : bölgesnde hafta boyunca gerçeleşen topla aza sayısı ola üzere, x aza sayılarının paraetres le terl dağılıa sahp olduğu abul edlştr.

6 U. arabey, Ö. Esensoy / İstatstçler Dergs ( İterl Dağılıda Moentler Yönte İle Paraetre Tahn ( ~ Beta, olduğu varsayıldığında, paraetres çn ortalaa ve varyans eştller aşağıda verlştr. β E ( = ve V ( = (3. + β ( + β + ( + 2 Bu eştller çözülere, ve β paraetrelernn, E ( ve ( V cnsnden esn değerler: E( ( E( ˆ = E( V (, (3.2 ( ( E( V ( ˆ E β = ( E( (3.3 eştller yardııyla bulunabletedr[6]. Örneleden elde edlen ( = E, V ( = 0, 0 değerler ve oentler yönte ullanılara yapılan tahnler sonucu hperparaetreler ˆ =0,879 ve ˆ β = 2, 944 olara bulunuştur. Uygun hperparaetrelern bulunasından sonra notalara at sonsal dağılılar dolayısı le sonsal olasılılar hesaplanabletedr. Sonsal dağılıın belrlenesnn ardından, hperparaetreler ullanılara, önsel dağılıa at ortanca değer hesaplanıştır. Hesaplanan ortanca değerler ullanılara, her br notada, hesaplanan ortanca değernden daha büyü br oranda aza olası olasılığı hesaplanış, bölgelern brbrlerne göre rsll dereceler belrlenştr. Hesaplanan değerler E de verlştr. E de tablo nceledğnde ve p=0,9 olasılığı notalar çn abul edleblr br üst lt olara düşünüldüğünde; 4, 7 ve 40 nuaralı notaların rsll derecelernn dğer notalara göre daha yüse olduğu görülüştür İterl Dağılıda En Ço Olablrl Yönte İle Paraetre Tahn İterl dağılı çn olablrl fonsyonunun beta dağılıı olduğu blnetedr. Bu duruda ve β paraetreler çn en ço olablrl denleler bulunara, bu denleler paraetresnn dağılıını belrlee çn ullanılalıdır. Logart olablrl fonsyonu: ( + x, β + n x B( n B l(, = ln (3.4 = x, eştlğ le verleblr[4]. Görüldüğü gb paraetreler çn apalı bçl br eştl bulunaaatadır. Maszasyon proble doğrusal olayan denleler yardııyla ve teratf yöntelerle çözülebletedr. Hperparaetre tahnler sonucu ˆ =, 987 ve ˆ β = 3, 259 olara bulunuştur. Sonsal hperparaetreler ullanılara, önsel dağılıına at ortanca değer hesaplanıştır. Hesaplanan ortanca değer ullanılara, her br notada, hesaplanan ortanca değernden daha büyü br oranda aza olası olasılığı hesaplanış ve bölgelern brbrlerne göre rsll dereceler belrlenştr. Hesaplanan değerler E de verlştr. E de tablo nceledğnde, p=0,9 olasılığı notalar çn abul edleblr br üst lt olara düşünüldüğünde; 4, 7 ve 40 nuaralı notaların rsll derecelernn dğer notalara göre daha yüse olduğu görülüştür.

7 U. arabey, Ö. Esensoy / İstatstçler Dergs ( atlıterl Dağılı Varsayıı Altında Bayesc Analz Bu bölüde he hafta ç hede hafta sonu oluşan azalar analze atılara değşenl br atlıterl dağılı varsayıı altında Bayesc analz yapılıştır. Örnele verlerzn atlıterl olası duruunda, eşlen önsel dağılılar teorsnden yola çıılara önsel dağılı Drchlet dağılıı olara belrlenştr. Önsel dağılıın Drchlet dağılıı olduğu br Bayesc yalaşıda sonsal dağılı farlı paraetreler le yne br Drchlet dağılıına sahp olatadır. Uygulaa vers göz önünde bulundurulursa, lglenlen notalarda hafta boyunca eydana gelen azalar farlı gruba ayrılıştır. Brnc tür, hafta ç oluşan azaları, nc tür se hafta sonu gerçeleşen azaları gösteretedr. x : notasında ıncı tür grupta gerçeleşen aza sayısı, n : notasında hafta boyunca gerçeleşen topla aza sayısı ola üzere, x = ( x, x2 boyutlu vetörün, = (, 2 ortalaa vetörü le atlıterl dağılıa sahp olduğu abul edletedr. notası çn önsel dağılı = (, 2 paraetreler le Drchlet dağılıına sahpen, sonsal dağılı = + x, + x paraetreler le Drchlet dağılıına sahp olatadır. ( atlıterl Dağılıda Moentler Yönte İle Paraetre Tahn = (, 2 sürel br rasgele vetör ola üzere ve rasgele vetörü, = (, 2 paraetreler le boyutlu br Drchlet dağılıına sahp ola üzere, vetörü çn brnc ve nc oentler: E[ ] = ve [ 2 ] [ ] ( + E = E (3.5 + = = eştller le verlr. Örnele ortalaalarını ve varyanslarını ullanara, eştller brlte çözülendğnde, hperparaetre tahnler, ˆ =, 2064 ve ˆ2 = 3, 0328 olara bulunuştur. Hesaplanan değerler E 2 de verlştr. E 2 de tabloda, p=0.9 olasılığı notalar çn abul edleblr br üst lt olara düşünüldüğünde, hafta ç oluşan azalar baıından 4, 7 ve 40 nuaralı notaların dğer notalara göre daha rsl olduğu, hafta sonu oluşan azalar baıından se 0, 6, 8, 25, 32, 38 ve 39 nuaralı notaların dğer notalara göre daha rsl olduğu görülüştür atlıterl Dağılıda En Ço Olablrl Yönte İle Paraetre Tahn atlıterl odel çn olablrl fonsyonunun Drchlet dağılıı olduğu blnetedr. Bu duruda ve β paraetreler çn en ço olablrl denleler bulunalı ve bu denleler paraetresnn dağılıını belrlee ç ullanılalıdır. Gözlelenş br atlıterl ver ües üzernden, Drchlet dağılıı paraetreler, logart olablrl fonsyonunun asze edlesyle bulunabletedr. Bu fonsyon,

8 U. arabey, Ö. Esensoy / İstatstçler Dergs ( F ( = log p( = log p( p = log = N log ( p log (3.6 ( + ( log pˆ olara yazılablr[5]. Bu eştlte log pˆ = log p olara ullanılıştır. Görüldüğü gb N paraetreler çn apalı br bç oladığından dolayı, sayısal olara çözüleeye yardıcı brço aszasyon yönte ullanılabletedr. Bu duruda en ço olablrl yönte ullanılara yapılan tahnler sonucu hperparaetreler ˆ =, 99 ve ˆ 2 = 3, 26 olara bulunuştur. Hesaplanan değerler E 2 de verlştr. E 2 de tabloda p=0.9 olasılığı notalar çn abul edleblr br üst lt olara düşünüldüğünde, hafta ç oluşan azalar baıından 4, 7 ve 40 nuaralı notaların dğer notalara göre daha rsl olduğu, hafta sonu oluşan azalar baıından se 0, 6, 8, 25, 32, 38 ve 39 nuaralı notaların dğer notalara göre daha rsl olduğu görülüştür. 4. SONUÇ Bu çalışada l olara, hafta ç günlerde eydana gelen traf azalarının, terl dağılıa sahp olduğu varsayılara Bayesc analzler uygulanıştır. Paraetreler ayrı yöntele tahn edlş ve terl yalaşıla yapılan çözüleeler sonucu paraetreler brbrlerne yaın değerler alıştır. İnc olara, lglenlen notalarda tü hafta boyunca gerçeleşen azalar, hafta ç ve hafta sonu ola üzere farlı gruba ayrılıştır. Bu duruda aza sayılarının atlıterl dağıldığı varsayıı altında Bayesc analzler uygulanıştır. atlıterl yalaşıla yapılan çözüleeler sonucunda da, farlı paraetre tahn yönteler sonucu hesaplanan paraetreler brbrlerne yaın değerler alışlardır. Çalışada terl ve atlıterl durular ayrı ayrı ncelenere, etler gözlelenştr. İterl ve atlıterl duruların her snde de, notalara at sonsal olasılılar brbrlerne yaın değerler alıştır. Her yöntede de aynı notalar, örnelede dğer notalara göre daha rsl notalar olara ortaya çııştır. Bu duru gözönünde bulundurulduğunda terl yalaşıın, atlıterl yalaşıa göre daha bast ve prat olduğu söyleneblr. Türye de güncel ve güvenlr br traf vertabanı oluşası halnde gerçe verler ullanılara yapılaca bu tür çalışalar, arar verclere yol gösterc olaca, can ve al ayıpları önel ölçüde azaltılablecetr. AYNALAR [] Bernardo, J. M., Sth, A. F. M. (994, Bayesan Theory, John Wley and sons, [2] Bolduc, D., Bonn, S. (998, Bayesan Analyss of Road Accdents: A general fraewor for the ultnoal case, Econpapers, [3] Donne, G. (999, Autooble Insurance: Road Safety, New Drvers, Rss, Insurance Fraud and Regulaton, luwer Acadec, Boston, [4] Dolgu, A., Pashevch, M. (2005, Extended Beta-Bnoal Model For Deand Forecastng of Multple Slow- Movng Ites Wth Low Consupton and Short Requests Hstory, Centre for Industral Engneerng and Coputer Scences, France, 6-9. [5] Huang, J. (2005, Maxu Lelhood Estaton of Drchlet Dstrbuton Paraeters, [6] Wllas, M.T. (998, Beta Bnoal dstrbuton for Proportonal Confdence Intervals,

9 U. arabey, Ö. Esensoy / İstatstçler Dergs ( E. İterl Duru çn Ver ües, Örnele Oranları ve Sonsal Oranlar Verler ullanılan Yönte MLE MM aza Sayıları Örnele Sonsal Sonsal Olasılılar Oranları Oranlar Oranlar Olasılılar Nota( Topla(n Hafta ç(=, p p B p B MLE: En Ço Olablrl Yönte MM: Moentler Yönte

10 U. arabey, Ö. Esensoy / İstatstçler Dergs ( E 2. atlıterl Duru çn Örnele Oranları ve Sonsal Oranlar Verler Örnele Oranları ullanılan Yönte Nota( P(H.İç P2(H.Sonu P P2 B B2 P P2 B B MLE: En Ço Olablrl Yönte MM: Moentler Yönte MM MLE Sonsal Oranlar Olasılılar Sonsal Oranlar Olasılılar