ÖZET Yüksek Lsans Tez KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜMLER Şeyda ERAZ Ankara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Fzk Anablm Dalı Danışman: Doç. Dr. Adnan TEĞMEN Bu te

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜMLER Şeyda ERAZ FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA 008 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lsans Tez KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜMLER Şeyda ERAZ Ankara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Fzk Anablm Dalı Danışman: Doç. Dr. Adnan TEĞMEN Bu tezde son yıllardak çalışmalarla tekrar lteratürde yoğun br araştırma alanı halne gelmş olan kuantum kanonk dönüşümler ele alınmıştır. Kanonk dönüşümler klask kökenl olduğundan öncelkle kanonk dönüşümlern genel yaısı klask olarak verlmş ve daha sonrasında kuantum mekanksel tanımı verlmştr. Bu tanıma aralel olarak kuantum kanonk dönüşümlerle neler yaılableceğ örneklenerek tamamlayıcı br örnek olarak Darboux dönüşümü (ntertwnng metodunun da aslında br kanonk dönüşüm olduğu gösterlmştr. Tezn çekrdeğn oluşturan arça se kanonk dönüşümlern tıkı br tamsayının asal çaranlarına ayrılması gb üç temel kanonk dönüşümün çarımı olarak ayrışablmesdr. Bu nokta da verlen örneklerde açıkça gösterlmştr. Metn çndek hesalamalarda faydalı olablecek ve okuyucuya zaman kazandırablecek br takım fadeler se tezn sonundak ek bölümlerde derlenmştr. Temmuz sayfa Anahtar Kelmeler: Kanonk dönüşüm sonsuz küçük kanonk dönüşüm üretc fonksyonlar

3 ABSTRACT Master Thess QUANTUM CANONICAL TRANSFORMATIONS Şeyda ERAZ Ankara Unversty Graduate School of Natural and Aled Scences Deartment of hyscs Suervsor: Doç. Dr. Adnan TEĞMEN In ths thess uantum canoncal transformaton that has become agan an actve research feld by recent works n the lterature s consdered. Snce the canoncal transformatons s orgnated from the classcal framework frst the general structure of canoncal transformatons s gven and then ts uantum canoncal defnton s gven. arallel to ths defnton besdes the exemlfcaton of what one can do wth the canoncal transformatons as a comlementary examle t s shown that Darboux transformatons s n fact a canoncal transformaton. The kernel of the thess s that canoncal transformatons can be decomosed nto some roduct of three fundamental canoncal transformatons ust as n the case an nteger can be decomosed nto ts rncal factors. Ths ont s also shown exlctly by examles. Euatons that may be usuful n the calculatons through the text and that may revent the reader from waste of tme are collected n the aendces at the end of the thess. July ages Key Words: Canoncal transformatonnfntesmal canoncal transformaton generatng functons

4 TEŞEKKÜR Çalışmalarıma yön veren araştırmalarımın her adımında blg öner ve yardımlarını esrgemeyen danışman hocam Doç. Dr. Adnan TEĞMEN (Ankara Ünverstes Fen Fakültes Fzk Bölümü Öğretm üyes e ve öğrenm hayatım boyunca hçbr desteğn benden esrgemeyen aleme sonsuz teşekkürlerm sunarım. Şeyda ERAZ Ankara Temmuz 008

5 İÇİNDEKİLER ÖZET. ABSTRACT. TEŞEKKÜR SEMGELER DİZİNİ...v. GİRİŞ. KLASİK MEKANİKTE KANONİK DÖNÜŞÜMLER..5. Kanonk Dönüşümlern Sınıflandırılması..6.. Bağımsız değşken olarak ve Q (Tİ Bağımsız değşken olarak ve (Tİ Bağımsız değşken olarak ve Q (Tİ Bağımsız değşken olarak ve (Tİ4 9. Sonsuz Küçük Kanonk Dönüşüm KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜMLER.4 3. Üç Temel Kanonk Dönüşüm Temel Klask Kanonk Dönüşümlern Kuantum Karşılıkları UYGULAMAR.. 4. Eylem-açı Dönüşümler. 4. Lneer otansyel-serbest arçacık Dönüşümü Lneer otansyel-serbest arçacık Dönüşümü (Kuantum Mekanksel Olarak Lneer Kanonk Dönüşümler Eylem-açı Dönüşümler(Kuantum Mekanksel İnceleme Darboux Dönüşümü (Intertwnng Metodu KLASİK VE KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI..9 KAYNAKLAR..3 EKLER...33 EK A. Oeratörlern özdeşlğ..34 EK B. Bazı temel oeratörlern cebrsel tersler.35 EK A. Kuantum kanonk dönüşüm örnekler..36 v

6 EK B. Sonsuz küçük kuantum kanonk dönüşüm örnekler..39 ÖZGEÇMİŞ...40 v

7 SİMGELER DİZİNİ H K F C momentum koordnatı konum koordnatı Hamlton fonksyonu Kamlton fonksyonu Klask kanonk dönüşümde doğurucu fonksyon Kuantum kanonk dönüşümde doğurucu fonksyon v

8 . GİRİŞ Klask mekanğn güçlü araçlarından br olan kanonk dönüşümlern kuantum mekanğndek etks henüz tam olarak rdelenememştr. Drac ve Weyl tarafından vurgulandığı gb bütün ünter dönüşümler kanonk dönüşümler olduğundan kuantum kanonk dönüşümler en azından kaalı olarak hâlhazırda büyük ölçüde kullanılmaktadır. Kuantum mekanğnde lneer kanonk dönüşümlern uzun yıllardan ber çok y blnmesne ve konu le lgl ek çok çalışma yaılmasına karşın lneerolmayan kanonk dönüşümler üzerne olan lg nseten daha az olmuştur. Bunun en öneml neden yanlış br nanış olan kuantum kanonk dönüşümlern ünter olması zorunluluğudur. Blndğ üzere klask mekankte ( ( ( ( dönüşümü { } { } le osson arantezn koruyorsa dönüşüm kanonktr denr. (Bu tez boyunca hem klask hem de kuantum mekanksel ncelkler çn aynı gösterm kullanılacaktır. Oeratör olan ve olmayan ncelklern ayrımı metn çersnde açık br şeklde ortaya çıkacaktır. Ayrıca lanck sabt de brm olarak ele alınmıştır. Benzer şeklde Born Hesenberg ve Jordan kuantum mekanğndek kanonk dönüşümlern doğal br tanımını önermşlerdr: ( ( (. le verlen kuantum faz uzayı değşkenler üzerne yaılan dönüşüm [ ] [ ( ( ] (. le Drac(958 arantezn koruyorsa dönüşüme kanonktr denr. Böyle br dönüşüm doğurucu fonksyon denlen C( le aşağıdak şeklde üretleblr; CC ( CC ( (.3

9 Dkkat edlrse bu tanım tamamen cebrseldr ve ne Hlbert uzayına ne de herhang br ç çarıma gerek yoktur. Sonuç olarak kuantum kanonk dönüşümler ünter de olablr ünter-olmayan da olablr. Kuantum kanonk dönüşümlern ünter olmayableceğ Drac (958 ve Weyl (950 n yaklaşımlarının ötesnde olan br genellemedr. Kanonk dönüşümler başlıca üç amaca hzmet ederler: lk olarak sstemn herhang br arametreye bağlı değşmne karşı geleblrler k sstemn özdeş olduklarını göstermek çn kullanılablrler ve son olarak çözülmes oldukça güç olan br roblem çözmek çn kullanılablrler. Klask mekanksel olarak bu ayrışım çok net olmasa da kuantum mekanksel olarak oldukça belrgndr. Şöylek sstemlern arametrk değşm ünter dönüşümler le karakterze edlrken fzksel eşdeğerlkler metrğ koruyan farklı Hlbert uzayları arasındak zometrk dönüşümlere karşı gelr k bu dönüşüm ünter dönüşümlerden daha geneldr. U ünter dönüşümü çn geçerl olan U U bağıntısı zometrk dönüşümler çn geçerl değldr. roblem bastleştrme teknğ se ünterolmayan dönüşümler de çerecek şeklde en genel sınıfa karşı gelr. Böylece kuantum mekanksel kanonk dönüşümlern kullanım amaçları ünter olanlar olmayanlar ve her ksn de çerenler şeklnde üç ana sınıfa belrgn br şeklde ayrılmış olur. Mello and Moshnsky (995 (. le verlen kuantum kanonk dönüşümlern tanımları hakkında üç mesele ler sürmektedr. Brncs ( ve ( ncelkler sıralı olmalıdır yan böylece y-tanımlı olmalıdırlar. İknc olarak dönüşümler oeratörler tarafından gösterldğnde oeratörlern ters ve kesrl kuvvetler görüneblr dolayısıyla bunlar tanımlı olmalıdır. Üçüncüsü dönüşümler ünter olmayablr ve bu nokta C( verldğnde vurgulanmalıdır. Bu tez bahsedlen bu meselelere açıklık getrmektedr. Kuantum faz uzayı değşmel-olmayan U cebrnn kanonk elemanları olan çftlernden oluşur. ve nn muhtelf sıralı kombnasyonlarını çeren Hamlton fonksyonu gb ncelkler U nın elemanıdırlar. U nun her br elemanı br kanonk dönüşüm tanımlar dolayısıyla U kuantum kanonk gru le özdeşleştrleblr. U kanonk grubu kend üzernde tanımlanan eşlenk gönderm altında geçşme özellğ sağlayan br toolok dönüşüm grubu olarak kabul edlr. Bu kabul altında U nun

10 elemanları olarak -α gb fadeler (α keyf br karmaşık sayı y-tanımlıdırlar. Kanonk sıra-değşme bağıntıları U nun üzernde tanımlanmış olan bağıntılar olduğundan cebrdek her br fonksyon y-tanımlı br sıralamaya sahtr. Dolayısıyla kuantum faz uzayı herhang br ç çarım veya Hlbert uzayı yaısı belrtlmekszn tümüyle cebrsel olarak tanımlanablr. Kanonk dönüşümler se kanonk sıra-değşme bağıntılarının kuantum yaılarının korunması le oluşturulur fakat bu dönüşümler ne ünter ne de ünter-olmayan olmak zorunda değldr. ( faz uzayı değşkenler yne herhang br Hlbert uzayı yaısı belrtmekszn şekllenm uzayındak ψ( fonksyonlarına etk eden ( ( oeratörler le gösterlr. Ters ve kesrl kuvvetler se sözde-dferensyel oeratörlernnkne benzer br şeklde ele alınır. U nun elemanlarındak kaalı formdak sıralama bu elemanlara karşı gelen oeratörlern sıralamasını y-tanımlı yaar. Oeratörler Hlbert uzayının dışında tanımlandığından normalze olmayanları da çerecek şeklde Schrödnger denklemnn bütün çözümler üzernde br dönüşüm tanımlarlar. Kanonk dönüşümlere Hlbert uzayı çerçevesnden bakıldığında dönüşüm çekrdeğ Hlbert uzayında kalablr veya kuantum durumlarının normalzasyon sabtler dönüşüm sonunda değşeblr. Bu gb durumlarda dönüşüm ünter değldr fakat yne de Schrödnger denklemnn açık çözümlern bulmada kullanılablr. Klask olarak zor br roblem Hamlton fonksyonu kanonk dönüşümler aracılığı le hareket denklemler çözüleblecek başka br robleme dönüştürülerek çözüleblr. Aynı şlemlern kuantum mekanksel olarak yürütülmes tanımlanan kuantum kanonk dönüşümlern en öneml uygulamasıdır ve bundan sonrak hedefmz de bu doğrultuda olacaktır. Levyraz and Selgman (989 tarafından öne sürüldüğü gb genel br kuantum kanonk dönüşümün davranışları blnen bazı temel kanonk dönüşümlern çarımı şeklnde oluşturubleceğn göreceğz. Bu temel kanonk dönüşümler dferensyel denklem çözümünden aşna olduğumuz değşken değştrme bağımlı değşkenden bağımsız değşkenler çekme ve Fourer dönüşümüdür. Dferensyel denklem çözme 3

11 şlem bu temel dönüşümler kullanılarak sstematk br hale getrlmştr. Aynı zamanda dferensyel denklem çözmede kullanılan alçaltıcı ve yükseltc oeratörler tanımlama süersmetr ntertwnng yöntem ve Le cebrsel metodu gb daha karmaşık teknkler de kanonk dönüşümler dâhlnde nceleneblr. Kuantum kanonk dönüşümler kuantum sstemlernn ntegre edleblrlğ çn de brleştrlmş br yaklaşım sağlar. Bu durumda genel çözümü sonlu sayıda temel kanonk dönüşümün uygulanması le oluşturulablen sstemler kuantum ntegre edleblr sstemler olarak tanımlanablr. Bu tezde zamandan bağımsız kanonk dönüşümler dkkate alınmıştır. 4

12 . KLASİK MEKANİKTE KANONİK DÖNÜŞÜMLER Br genelleştrlmş koordnat ve momentum takımından br başka genelleştrlmş koordnat ve momentum takımına geçmek faz uzayında br dönüşüme karşılık gelr. Faz uzayında yaılan dönüşümler genellkle Hamlton fonksyonunu ve sonuçta Hamlton denklemlernn şekln değştrr. Kanonk dönüşümler se Hamlton denklemlern şekl olarak değşmez bırakırlar. n-boyutlu faz uzayında Q ( K n K n Q ( ( K n K n ( (. le tanımlanan dönüşüm özdeş olarak ( df( d dq (. ( d d dq d (.3 ( { Q. } (osson arantez şartı (.4 (v { } (Lagrange arantez şartı (.5 Q şartlarından herhang brn sağlıyorsa (. dönüşümü kanonktr denr. (. denklemndek F ( fonksyonuna doğurucu fonksyon denr. (. denklemnden 5

13 F Q δ Q Q (.6 F 0 Q Q şeklnde faydalanırsak verlen br kanonk dönüşüm çn F ( doğurucu fonksyonunu bulableceğmz denklem takımına ulaşmış oluruz. Kononk br dönüşüm H ( Hamlton fonksyonunu K ( Kamlton fonksyonuna dönüştürür ve yukarıda belrtldğ gb K Q& K & Q denklemler le de Hamlton hareket denklemlern şekl değşmez bırakır.. Kanonk Dönüşümlern Sınıflandırılması Her ne kadar F ( fonksyonu ( bağımsız çft le tanımlanmış olsa da ( Q değşkenlernden bağımsız herhang br çft çn de tanımlanablr. Şmd sırası le olası bütün durumları nceleyelm... Bağımsız değşken olarak ve Q (Tİ Bu durumda doğurucu fonksyon [ ( Q ] f( Q yen değşkenler cnsnden F halne gelr. (. denklem df f f ( Q d + dq d dq Q (.7 6

14 şeklnde yazılır ve lgl katsayılar eştlenrse F F Q. tten olan dönüşüm denklemlern elde etmş oluruz burada f Q F ( tanımı kullanılmıştır. (.. Bağımsız değşken olarak ve (Tİ Bu kez doğurucu fonksyon [ ( ] f ( denklemn yen değşkenler cnsnden tekrar oluşturursak F bçmnde yazılablr. (. f f Q Q df ( d + d d ( d + d (.8 eştlğ elde edlr. Tekrar katsayıların eştlğ Q f f Q (.9 verr. cnsnden yazılamadığı çn f + Q ( F ( tanımı le (.9 denklem. T dönüşüm denklemlerne ( 7

15 8 F Q Q f F + + Q Q Q + + δ Q (.0 le dönüşür. Doğurucu fonksyon çn alternatf br tanım Q F F ( le verleblr...3 Bağımsız değşken olarak ve Q (Tİ 3 ( [ ] ( 3 Q f Q F alalım yan bağımsız değşkenler olarak ( Q koordnatlarını seçmş olalım ve benzer şeklde (. denklemndek her şey yen değşkenler cnsnden yazalım: dq dq Q d dq Q f d f Q df + + ( ( (. Katsayıların eştlğne bakarsak f 3 Q Q f 3 (. denklemn elde ederz. Bu durumda yen değşkenlern bağımsızlığından faydalanılırsa 3 ( 3 Q F f tanımı yaılablr ve bu tanımla

16 9 Q F 3 d d d d f F δ 3 3 (.3 3. T kanonk dönüşümler çn dönüşüm denklemler elde edlmş olur. Doğurucu fonksyon çn daha yalın olan tanım Q F F + ( ( 3 dr...4 Bağımsız değşken olarak ve (Tİ 4 Benzer şlemlerle ( [ ] ( 4 f F ve ( ( 4 4 d d d f d f df + + ( d Q d Q + (.4 olur. Katsayı eştlğ se Q f 4 (.5 Q f 4 verr. Bu fadeler çn değşkenlern bağımsızlığı kullanılırsa (.5 denklem

17 Q ( ( Q Q halne getrleblr. Bu kez F 4 ( f 4 ( Q + Q tanımı le F F 4 4 Q dönüşüm denklemler elde edlr. Dönüşümün doğurucu fonksyonu çn dğer tanım se F F ( 4 4 Q + Q formundadır.. Sonsuz Küçük Kanonk Dönüşümler Klask mekankte br kanonk dönüşüm altında dönüşümden öncek koordnatlarla dönüşümden sonrak kanonk koordnatlar arasındak fark sonsuz küçük kalıyorsa dönüşüme sonsuz küçük kanonk dönüşüm denr. Matematksel olarak fade edersek sonsuz küçük kanonk dönşümler Q δ + + δ... n (.6 le verleblr. Sonsuz küçük kanonk br dönüşüm Q le verlen özdeşlk dönüşümünden sonsuz küçük kadar fark edeceğnden dönüşümün doğurucu fonksyonu doğal olarak ε sonsuz küçük br arametre ve G keyf br fonksyon olmak üzere +ε G ( (. F 0

18 le verlecektr burada özdeşlk dönüşümünün doğurucu fonksyonudur.. T dönüşüm denklemlernn uygulanması le G F + ε G + ε δ G + ε (.7 G G G Q F ε ε δ ε elde edlr. Bunun sonucunda se faz uzayı koordnatlarının sonsuz küçük kanonk dönüşümler altındak değşm mktarları G ε δ G Q ε δ (.8 le verlr burada son eştlkte 0 ( d δ olduğundan d d olması gerektğ gerçeğn kullandık. Dğer taraftan sonsuz küçük kanonk br dönüşüm altında br ( u fonksyonundak değşm (. ( u Q u du ( ( u u + + δ δ ( ( u u u u L δ δ

19 u u δ + δ G u G u ε ε G u G u ε { ug} ε (.9 hesalaması dkkate alındığında rahatlıkla görüleblr. (Bu hesalamada knc ve daha yüksek mertebeden katkılar doğal olarak hmal edlmştr. (.9 denklem α arametrel eğr üzerndek u ( α gb br fonksyonun sonsuz küçük değşmne du dα { u G} bağıntısı le karşı gelr. Bu fade temel alındığında dğer bütün türev dereceler rahatlıkla hesalanablr örneğn knc dereceden türev osson arantezler cnsnden d u dα d du du ( G dα dα dα { u G} G} bçmndedr. Bu durumda u( α fonksyonunun α 0 cvarındak kuvvet açılımı

20 u ( α u u( α 0 + α( α α u + (! α 0 0 +L osson arantezler cnsnden; α u ( α u0 + α{ u G} 0 + { u G} G} + L (.0! haln alır. (.0 bağıntısı herhang br faz uzayı fonksyonunun (buna faz uzayı koordnatları da dahldr sonsuz küçük br kanonk dönüşüm altında nasıl değştğn belrlemek çn oldukça kullanışlıdır. Dahası G G Vˆ (. tanımı altında (.0 bağıntısı doğrudan daha bast olan αvˆ ( e U 0 U α (. oeratör formuna ndrgenr burada Vˆ oeratörünün sonsuz küçük kanonk dönüşümün üretcs olduğu açıktır. 3

21 3. KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜMLER (Bu noktadan tbaren aks belrtlmedkçe sadece tek boyutlu kanonk dönüşümler dkkate alınacaktır. Grş bölümünde de belrtldğ gb kuantum faz uzayı değşkenler arasındak ( ( ( ( Gönderm; [ ] [ ( ( ] (3. le Drac arantezn değşmez bırakıyor se bu gönderme kanonk br dönüşümdür denr. Bu dönüşümler CC ( CC ( (3. olmak üzere keyf br komleks C ( fonksyonu tarafından üretlrler. Verlen br ( çftn üreten C ( fonksyonunun tek olduğunu göstermek çn aynı dönüşümü sağlayan k tane C ve C doğurucu fonksyonunun varlığını kabul edelm: C C C C C C C C. (3.3 (3.3 denklemler soldan C C ve sağdan C le çarılırsa C nn aynı anda hem hem de le sıra değştrdğ görülür ve dolayısıyla brm oertörün br sabt çaranı olmalıdır. Bu durumda C ve C brbrlernn sabt katıdırlar. Bu test se ddanın satını btrmektedr. 4

22 C kanonk dönüşümü br sstemn Hamlton fonksyonunu doğaldır k H ( CH ( C H ( CC CC (3.4 fades le dönüştürür. Dğer taraftan H ' nün özfonksyonunun ψ ' olduğunu kabul edelm: H ' ψ ' Eψ ' (3.5 (3.5 Schrödnger denklemn yazarken kanonk dönüşümlern özdeğerler değştrmedğ gerçeğn kullandığımızı belrtmekte fayda görüyoruz. (3.5 denklemnde (3.4 eştlğn kullanırsak ve denklem soldan C le çararsak H ( C ψ ' E( C ψ ' (3.6 eştlğ bze ψ ( C ψ ' (3.7 olduğunu ve dolayısıyla kanonk dönüşümler altında özfonksyonların ψ ' ( C ψ (3.8 şeklnde dönüşmes gerektğn söyler. Bu aşamada öneml br noktayı belrtmekte fayda vardır: Her ne kadar verlen br C kanonk dönüşümü çn (3.8 le elde edlen ψ ' özfonksyonları her zaman H ' nün özfonksyonları olsa da bunu ters her zaman doğru değldr. Yan C aracılığı le (3.7 den elde edlen ψ fonksyonları her zaman H nn özfonksyonları olmayablr. Bu sorunu daha bast br yoldan göstermek çn H 3 H 3 düşünelm. H ve H ' 5

23 C doğurucu fonksyonu aracılığı le CHC H ' şartını yerne getrrler. Dğer tarftan ψ fonksyonu ' H nün sıfır özdeğerl br özfonksyonudur: H ' ψ 0. C 3. d olduğundan (3.7 le ψ ye çok rahat ulaşablrz: ψ ψ / 3 fakat H ψ olduğundan ψ H nn br özfonksyonu değldr. Bu sorunun kaynağı tümüyle cebrseldr ve bu tezn kasamı dışındadır. 3. Üç Temel Kanonk Dönüşüm Kuantum kanonk dönüşümlern genel özellklern nceledkten sonra şmd de onların klask kanonk dönüşümlerle olan lşks üzernde durmak styoruz. Öncelkle CC CC eştlklern kullanırsak dönüşüm bağıntılarında [ C] C ve [ C] C ' ( C C ' + ( C C (3.9 bağıntılarını elde ederz k bunlar bze her kuantum kanonk dönüşümün br sonsuz küçük kanonk dönüşüm formunda yazılableceğn söyler. Aslında kuantum mekanğnn yaısı hatırlandığında bu sonuç hç de şaşırtıcı değldr. Bu sonuca aralel olarak br (sonsuz küçük kuantum dönüşüm klask mekanktek gb üstel formdak br doğurucu fonksyon aracılığı le ( α ex( α F ex( αf + α! [ F ] + [ F [ F ] + L ' (3.0 ( α ex( α F ex( αf + α! [ F ] + [ F [ F ] + L ' şeklnde tanımlıdır. Dğer taraftan lgnç olarak klask mekankte bütün kanonk dönüşümlern k temel kanonk dönüşüm le elde edlebleceğ dda edlmştr. Bunlar lneer ve nokta (ont 6

24 kanonk dönüşümlerdr. Daha sonraları bu temel kanonk dönüşüm sayısı üçe genşletlerek aynı dda kuantum mekanğ çn de öne sürülmüştür. Bunlar ayar (gauge nokta ve son olarak konum ve momentumların değş-tokuş kanonk dönüşümlerdr. Bu üçlü klask kanonk dönüşümler çn de kullanılablmektedr. Dolayısıyla bu dönüşüm kümes tüm kanonk dönüşümler üreten temel malzemeler olarak kabul edleblr. Bu ddanın br sonucu olarak herhang br kanonk dönüşüm tıkı br tamsayının asal çaranlarına ayrılması gb bu üç temel dönüşümün sonlu veya sonsuz sayıdak çarımları olarak ayrıştırılablr. Gösterleceğ üzere bu kuantum mekanğnde roblem çözmek çn kullanılacak çok güçlü br araçtır. İdda edlenn şu olmadığını vurgulamak önemldr; br klask kanonk dönüşüm asal dönüşümlerne ayrıştırılı daha sonra her br kuantum karşılıkları le değtrlrse dönüşümüm kuantum karşılığını bulmuş oluruz. Bu doğru değldr. Yan bu şlem kanonk dönüşümlern kuantumlanması anlamına gelmemektedr. Açık olarak bu farklılık kuantum değşkenlernn sıra değşmemesnden kaynaklanmaktadır ya da daha teknk br fadeyle; bu br oeratör sıralama roblemdr. Bast br örnek le bu noktaya açıklık getreblrz. (3. gönderm hem klask hem de kuantum mekanksel olarak kanonktr. Eğer bu gönderm fonksyonuna uygulanırsa fonksyon klask olarak + 4 (3. şeklnde dönüşürken kuantum mekanksel olarak (3.3 şeklnde dönüşür. Şühesz bunlar aynı değldrler. Şmd temel olarak kabul edlen klask kanonk dönüşümlere ger dönelm. Yukarıdak ddada bahsedlen temel ayar dönüşümü 7

25 G : f ( α (3.4 le verlen sonsuz küçük br dönüşümdür ve F G f ( keyf doğurucu fonksyonu tarafından α + α! { f ( } + { f ( } f ( } + L (3.5 α + α! { f ( } + { f ( } f ( } + L denklemleryle üretlrler. Nokta dönüşümler se; F f ( doğurucu fonksyonu tarafından yne (3.5 denklemyle A : A( ( (3.6 le tanımlanırlar burada 3 α f α f A( ex( α f + αf + f + f ( f +L (3.7! 3! şeklnde f ( le belrlenen br fonksyondur. Değş-tokuş dönüşümü se; I : (3.8 le verlen lneer kanonk dönüşümlern özel br hal olan sonlu br dönüşümdür ve F I doğurucu fonksyonu tarafından üretlrler. Doğurucu fonksyon ve tler. Bölüm de verlen bağıntılarla rahatlıkla türetleblr. Burada dkkat edlmes gereken br nokta şudur. Değş- tokuş dönüşümü: 8

26 I : f ( f ( (3.9 özellğne sah olduğundan değş-tokuş dönüşümünü kullanarak ayar ne nokta dönüşüm tanımlarını değşken yerne değşken üzerne yükleyeblrz. Bu durumda ayar ve nokta dönüşüm üretcler sırası le F G f ( ve F f ( olur. Fakat bu üretc fonksyonlar I aracılığı le elde edldğnden bağımsız dönüşümler olarak kabul edlemezler. Bu br terch meseles olu bzm terchmz değşken olacaktır. 3. Temel Klask Dönüşümlern Kuantum Karşılıkları Bu kesmde daha önce klask olarak tanımlanan üç temel kanonk dönüşümün kuantum karşılıkları verlecektr. 3.. kesmnde verlen açılım yardımıyla F G f ( ve F f ( doğurucu fonksyonları sırası le klask mekanktek aynı ayar ve nokta dönüşümlern verrler: G : f ( α (3.0 A : A( ( (3. (3. le verlen nokta dönüşümde doğurucu fonksyonda yaılacak olan sıra değşm momentum dönüşümünde de br sıra değşmne neden olur. Ayar dönüşümlernn özfonksyonlara olan etks se daha önce verlen bağıntı le ψ ( αf ( (0 ( e ψ ( (3. olarak verlr. Nokta dönüşümler çn özfonksyonların değşm ψ ( [ A( ] αf ( (0 (0 ( e ψ ( ψ (3.3 9

27 Şekldek bast br formla verleblr. Kuantum doğurucu fonksyonların tanımındak asıl farklılık değş-tokuş dönüşümünde ortaya çıkmaktadır: II II (3.4 le verlen koordnat ve momentumun değşm I (π. d' e ı I. d' e (π ı (3.5 Fourer dönüşüm oeratorler le gerçekleştrlr ve bu oeratörler I' I I' I (3.6 eştlklern sağlarlar. Değş-tokuş dönüşümler lneer dönüşümlern özel br hal olarak da aşağıdak gb ayar dönüşümlernn çarımı olarak da yazılablrler; F I ex ex ex (3.7 fakat ortanca term değş-tokuş oeratörü Iu( I u( (3.8 özellğ taşıdığından dğer termlerden türetleblr bu nedenle (3.7 fades bağımsız br tanım olarak kullanılamaz. Özfonksyonlar se aşkâr olarak: 0

28 ψ ( şeklnde dönüşür. ı (0 (0 ( Iψ ( d' e ψ ( ' / (π (3.9

29 4. UYGULAMALAR Bu bölümde şu ana kadar söylenenlern y br uygulaması olarak br takım örnekler vereceğz. İlk k örneğmz bütünlüğü koruması açısından klask mekankten olacaktır. 4. Eylem-açı Dönüşümü Klask mekankte çok y blnen eylem-açı değşkenlerne karşı gelen kanonk koordnat dönüşümü ( + tan ( / (4. gönderm le verlr. Blndğ gb böyle br dönüşüm H + harmonk salınıcı Hamlton fonksyonunu H bast formuna ndrger. Tüm dönüşümü aşağıdak gb dört adıma ayrıştırablrz:. değş-tokuş:. nokta: tan (+ 3. değş-tokuş: 4. nokta: / / burada. adım ard arda üç değş-doğuş şlemnn uygulanmasına karşı gelr ve tek başına değş-tokuş oeratörünün alternatf br tanımı olarak kabul edleblr. 4. Lneer otansyel Serbest arçacık Dönüşümü H + lneer otansyell sstem H serbest arçacık bast formuna ndrgeyen dönüşüm

30 4 (4. gönderm le verlr. Bu kez tolam dönüşümü beş adımda gerçekleştreblrz:. değş-tokuş:. ayar: 3. değş-tokuş: 4. nokta: / 5. değş-tokuş:. 4.3 Lneer otansyel Serbest arçacık Dönüşümü (Kuantum Mekanksel İnceleme Serbest arçacık ve momentum oeratörü ortak özfonksyona sah olduklarından H Hamlton fonksyonu le H özdeştrler. Bu durumda + değşmne neden olan (4.3 kanonk dönüşümün k adımlı ayrışımı. değş-tokuş:. ayar: dönüşümlern çerr ve tolam doğurucu fonksyon 3

31 F ex 3 3 I (4.4 şeklndedr. 4.4 Lneer Kanonk Dönüşümler Lteratürde lneer kanonk dönüşümler genellkle ' a+ b ' c+ d ( ad bc (4.5 formunda verlrler ve y huylu olmalarından dolayı büyük lgye sahtrler. İddamız şudur k beş adımdan oluşan F L [ ( ln ] ex( β I ex( α ex λ I (4.6 ayrışımı ' F F L L ' F F (4.7 L L le (4.5 dönüşümünü verr. (4.6 ayrışımı ayar nokta ve değş-tokuş oeratörlernn çarımı olarak şu şeklde gösterleblr: F L GIGI (4.8 burada doğal olarak dönüşümlern uygulanma sırası sağdan sola doğrudur. İlk üç dönüşüm G ayar dönüşü üzerne br değş-tokuş oerasyonu olduğundan (4.6 ayrışımı daha kısa olarak şu şeklde yazılablr: F L [ ( lnλ ] ex( β ex( α ex (4.9 4

32 Artık fade k ayar ve br nokta dönüşümünü çermektedr. İlk oerasyon + α (4.0 dönüşümünü verr. İknc oerasyon + α + α ( α α (4. ve son olarak üçüncü oerasyon br skala düzeltmes oerasyonudur ve + α( α λ+ α αλ α αλ (4. λ λ dönüşümüne neden olur. Üç adım sonunda tolam dönüşüm se α ( λ α λ + a+ b 4 ( αλ + c+ d λ (4.3 λ stenen lneer dönüşümü verr. Dğer taraftan lgl özfonksyonların değşm se şudur: ψ ( (0 [ ( lnλ ] ex( β ex( α ψ ex (4.4 Değş-tokuş oeratörler lneer dönüşümlern özel br hal olmasına rağmen değş-tokuş oeratörünün daha önce F I ex ex ex le verlen doğurucu fonksyonunu neden F L nn özel br halne karşı gelmemektedr. Bunun F L dek ayrışımın tek olmamasıdır yan ekâlâ sonuçta aynı dönüşümü veren ek çok değşk ayrışım yaılablr. Dğer taraftan bu gerçek bütün kanonk dönüşümlern temel dönüşümlere ayrıştırılableceğ ddasının satını güçleştrmektedr. 5

33 4.5 Eylem-açı Dönüşümü (Kuantum Mekanksel İnceleme Harmonk salınıcı kuantum mekanğnde model br roblemdr ve herhang br hesalama teknğnn ya da yaklaşımın test edlmesnde br nev deneme sahası olarak kullanılır. Aşağıdak e + e e + e (4.5 dönüşümü H + Hamlton fonksyonunu + H eylem-açı formuna dönüştürür. Dönüşümün ayrıştırılmış bçm üç adım çerr:. ayar: +. ayar: + / 3. nokta: e e. Tolam bleşke doğurucu fonksyon se F ( / ex( / 4 ( ex (4.6 L F A formundadır burada F A( A ( e nokta dönüşümüne karşı gelen doğurucu fonksyonun sembolk göstermdr. 4.6 Darboux Dönüşümü (Intertwnng Metodu Bu metod otensyel formundak H 0 + V0 ve H + V gb k Hamltonyen arasındak lşky LH 0 HL (4.7 6

34 bağıntısı le sağlayan br L ( oeratörünün varlığını gerektrr. Başlangıç sstem H ψ E Schrödnger denklemn sağlarken dönüşmüş sstem aynı özdeğerl 0 0 ψ 0 ψ Eψ H denklemn sağlar. (4.7 denklem sağdan ψ 0 le çarılırsa ψ Lψ 0 olduğu rahatlıkla görüleblr. Dolayısıyla ntertwnng metodu ψ çözümlern ψ 0 cnsnden elde etme olanağı sağladığından kuantum mekanğnde kullanılan oldukça etkl br metoddur. Buradak asıl mesele L oeratörünün belrleneblmesdr. Bu metodu uygularken ( V 0 ψ 0 çftnden arzu edlen herhang br ( V ψ çftne ulaşılamayacağını bu keyfyetn (4.7 denklem tarafından sınırlandırıldığını hatırlatmakta fayda görüyoruz. Bu alt kesmde ntertwnng metodunun da aslında br kanonk dönüşüm olduğunu ve dolayısıla da ayrıştırılableceğn göstereceğz. Daha önce bu metodu kısaca özetlemekte fayda vardır. (4.7 denklemnde ntertwnng oeratörü çn L( g( (4.8 önersn ortaya atalım. Bu öner le (4.7 denklemn keyf br ϕ ( fonksyonuna uygulayı açalım. ϕ ( ve ϕ( nun katsayıları c + V g V 0 + V g V0 (4.9 şartlarına neden olur. (4.9 dek denklemler taraf tarafa çıkarırsak lneer olmayan g V0 + c g + (4.0 7

35 φ / Rccat denklemn elde ederz. Bu denklem g φ lneer hale getrleblr ve sonuç φ y çözüm kabul eden Darboux dönüşümü le c özdeğerl Schrödnger denklemdr. Bu denklem se doğrudan H 0 ın ener özdeğer denklemne özdeştr. Böylece H 0 ın özfonksyonları cnsnden hem L oeratörü hem V otansyel hem de ψ belrlenmş olur. Temel amacımıza dönelm (4.7 denklemn yenden yazalım: LH 0L H (4. şühesz bu br kanonk dönüşüm denklemdr ve L doğurucu fonksyonunu bulmak çn (4.8 denklemne ger dönelm. Bu açıkça ye uygulanmış br ayar dönüşümüdür: ( g( d ex( g( g L ( ex d (4. (4. dak y tekrar kanonk br dönüşüm olarak yazarsak L oeratörünü temel kanonk dönüşümler cnsnden tümüyle ayrıştırmış oluruz: ( g( d I ex( ln I ex( g( g L ( ex d (4.3 8

36 5. KLASİK VE KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜMLERİNİN KIYASLANMASI Daha önce 3. kesmnde klask ve kuantum kanonk dönüşümler arasındak farklılığı vurgulamış ve kuantum kanonk dönüşümlern klask olanların kuantumlanmış haller olmadığını vurgulamıştık. Bu bölümde bu konuyu braz daha genş olarak nceleyeceğz. Farklı br bakış açısı olarak her brnn klask ve kuantum karşılıkları özdeş olan H 0 ve H gb k Hamlton fonksyonu arasındak kanonk dönüşümler ve ayrışımlarını kıyaslayacağız. Bu nceleme sonucunda kanonk dönüşümler oluşturan temel dönüşümlern klask ve kuantum durumları çn farklı sıralamalara sah olduğunu göreceğz. Dahası tolam dönüşümler dkkate alındığında klask dönüşüme karşı gelen kuantum tolam dönüşümünün oldukça karmaşık br oeratör sıralamasına sah olableceğn de göreceğz. Bu k sonuç bze kuantum mekanksel kanonk br dönüşümü klask olanı kuantumlayarak oluşturmanın boşuna br uğraş olduğunu söyler. Ancak bast olnomları çeren dönüşümler gb çok özel durumlarda bu yöntem deneneblr. Dolayısıyla kuantum br dönüşümü klask karşılığını göz önüne almaksızın doğrudan kurmaya çalışmak daha etkl br yol olacaktır. Örneğmz H 0 + e H (5. dönüşümü olacaktır. Bu Hamltonyenler klask ve kuantum mekanksel olarak özdeştrler. roblem önce klask olarak nceleyelm:. nokta: ln H 0 + e +. değş-tokuş: + + 9

37 3. nokta: snh cosh + H Böylece dönüşüm tamamlanmış olur. Tolam dönüşüm ln cosh snh (5. cosh göndermler le verlrse bu gönderm snh ' ln ' ' (5.3 cosh ' cosh ' anlamına gelr. Bu durumda koordnatların tolam dönüşmüş formları daha alışkın olduğumuz hal le yazılablr: ' snh ( e ' ( + e / (5.4 Şmd de roblem kuantum mekanksel olarak nceleyelm. İlk k dönüşüm önceklerle aynı olacaktır.. nokta: ln H 0 + e +. değş-tokuş: + (+ + 30

38 3. ayar: + ( + + (+ 4. nokta: snh cosh ( + H Görüldüğü gb kuantum mekanksel olarak fazladan br dönüşüme (ayar daha htyaç duyulmuştur. Tolam dönüşüm se ' snh ( e e ' e + ( e / + ( e [ ] [ ] / (5.5 le verlr fakat bunların (5.4 deklemlernn kuantumlanmış hal olduklarını görmek çok zordur. Dolayısıyla klask ve kuantum kanonk dönüşümler arasında bast br lşk yoktur ve her brn kend formalzm çnde ncelemek daha sağlıklı br yoldur. 3

39 KAYNAKLAR Anderson A.994 Ann. hys (rernt: he-th/ Deenen J.99 J. hys. A Drac. A. M.958 The rncles of Quantum Mechancs 4th ed. (Oxford Unversty ress Oxford Jose J.V. and Saletan E.J.00 Classcal Dynamcs: A contemorary aroach (Cambrdge Unversty ress Leyvraz F. and Selgman T. H.989 J. Math. hys Mello.A. and Moshnsky M.975 J. Math. hys Weyl H.950 The Theory of Grous and Quantum Mechancs nd ed. (Dover ublshng New York 3

40 EKLER EK A: OERATÖRLERİN ÖZDEŞLİĞİ EK B: BAZI TEMEL OERATÖRLERİN CEBİRSEL TERSLERİ EK A: KUANTUM KANONIK DÖNÜŞÜM ÖRNEKLERİ EK B: SONSUZ KÜŞÜK KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜM ÖRNEKLERİ 33

41 EK A: OERATÖRLERİN ÖZDEŞLİĞİ Bu ek kesmde kuantum kanonk dönüşümlerde veya daha genel olarak kuantum mekanğnde sıkça karşılaşılan olnom formundak bazı bast oeratörlere eşdeğer bağıntılar verlecektr. Dkkat edlrse oeratörlern eşdeğer fadelerndek momentum oeratörler her br termde en sağ tarafta bulunmaktadır. Bu se hesalamalarda büyük kolaylık sağlar.. ψ ψ ( ψ + ψ + ψ (. ( + / ( ψ ψ + + ψ ψ + ψ ( / ψ 3. ψ ψ ( ψ ( ψ + ψ ( ψ + ψ ( + ψ ( ψ 4. ψ ( ψ ( ψ ( ψ + ψ ( ψ 34

42 EK B: BAZI TEMEL OERATÖRLERİN CEBİRSEL TERSLERİ... d 3. (. d 4. (. d. d 5. ( / /. d 7. ( / + / / /. d 35

43 EK A: KUANTUM KANONIK DÖNÜŞÜM ÖRNEKLERİ Bu ek kısımda metn çnde kuantum kanonk dönüşümler tanımlayan CC ' Q CC ' denklemlernn kullanılmasını göstermek amacı le değşk C doğurucu fonksyonları çn kanonk dönüşümler üreteceğz. Bu şlemler yaarken oeratörlern cebrsel terslernn nasıl şleme konulduğunu göstermek de amaçlanmaktadır.. C olduğundan doğurucu fonksyonun açık fades C şeklndedr. C nn tersn kurablmek çn nn cebrsel tersne htyacımız vardır. nn cebrsel ters EK B. maddede. d le verlr. Aşağıdak k satır gerçekten böyle olduğunu doğrular. ψ ( ψ ψd ( ψd ψ d ψ d ( ( ψ ψ ψ d ψ d Bu durumda artık C y C (. d olarak elde ederz. Gerçekten ψ ψ CC ψ ( d ψ 36

44 C dψ Cψ C( ψ ( d ψ. d Artık dönüşümün üretmne geçersek CC CC Q( ( Daha açık olmak gerekrse ψ ψ CC ψ ( d ˆ( ( d ( ψ CC ψ ψ ψ ( ψ + ( + ψ Bu dönüşümün [ Q ] görüleblr. fadesn doğruladığı braz uzunca ama bast br hesalamayla. C Bu örnekte bu kez klask mekank le farklılığı vurgulamak çn br öncek örnektek sıralama ters çevrlmştr. Doğurucu fonksyonun açık hal C. ken cebrsel ters C. d le verlr. Gerçekten CC ψ C( ψ d ( ψ d ψ d ψ 37

45 C ψ ( ψ C C [ ] [ ( ψ ] d Dönüşümler se aşağıdak hesalamalar sonucu verlmektedr: d d ( ψ d ( ψ ψ CC ψ ψ ( ψd ( ψd ψ d + ψ d (. d+ ψ ( ψ. CC ψ ψ ( [ ψ ψ d + ψ d d ] ( ( ψ ψ d+ ( ψ d +ψ ( ψ d +ψ ( ψ d ψ d+ ψ ψ d+ ψ ψ (. d+ ψ ( + ψ Dönüşümün yne kanonk olduğu rahatlıkla görüleblr. 3. C ( + Klask olarak fadesnn kuantumlanmış hal olan bu örneğ vermek lgnç olablr. EK B nn 7. maddesnn kullanılmasıyla rahatlıkla Q + + ( + ( + olduğu görüleblr. 38

46 EK B: SONSUZ KÜŞÜK KUANTUM KANONİK DÖNÜŞÜM ÖRNEKLERİ Bu kesmde yne metn çnde verlen ' Q ex( εg ex( εg ' ex( εg ex( εg bağıntısını esas alarak değşk özetleyeceğz. G fonksyonları çn üretlen dönüşümler. G f ( Q ε f. G ( Q + ε g 3. G f ( ( f u( Q exε ( U 4. G g( ( g w( Q ex ε ( w 39

47 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı Doğum Yer : Şeyda ERAZ : Altındağ Doğum Tarh : Meden Hal Yabancı Dl : Bekâr : İnglzce Eğtm Durumu: Lse : Yıldırım Beyazıt Süer Lses ( Lsans : Ankara Ünverstes Fen Fakültes Fzk Bölümü ( Yüksek Lsans : Ankara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Fzk Anablm Dalı Eylül 005- Temmuz