Aerodinamik Akışların Modellenmesinde Döngülü Olan ve Olmayan 7 Yaklaşımın Uygulanması

Transkript

1 Aerodnamk Akışların Modellenmesnde Döngülü Olan ve Olmayan 7 Yaklaşımın Uygulanması Mehmet Önder Efe, Marco Debas, Peng Yan, Htay Özbay 4, Mohammad Sammy 5 Elektrk ve Elektronk Mühendslğ Bölümü TOBB Ekonom ve Teknoloj Ünverstes, Ankara onderefe@etu.edu.tr,5 Makna Mühendslğ Bölümü Oho State Ünverstes, Columbus, USA {debas.,sammy.}@osu.edu Seagate Teknoloj Merkez Bloomngton, USA yan.9@osu.edu 4 Elektrk ve Elektronk Mühendslğ Bölümü Blkent Ünverstes, Blkent, Ankara ozbay@ece.osu.edu Özetçe Kavte akışları, gaz davranışının son derece dnamk olması, Naver-Stokes denklem kümesnden gelen kuple olmuş değşkenler ve türbülans etksnden dolayı doğrusal olmayan br davranış sergler. Uzayda sürekllk se modelleme çalışmasında takp edlecek yöne etkyen öneml br husustur. Bu bldrde yerel gözlemlere dayalı modellern türetlmes tartışılmaktadır. Bu amaçla seçlen br model çn 7 farklı algortma le parametre araması yapılmış, özetle En Küçük Kareler (EKK), Rekürsf En Küçük Kareler (RKK), Düzenlenmş Kaczmarz algortması (DK), Stokastk Yaklaştırma algortması (SY), Eğm Düşümü (ED), Levenberg-Marquardt optmzasyon teknğ (LM) ve Kayma Kpl denetme dayalı uyarlama algortması (KK) ele alınmıştır. Sstem tanılayan bast br model elde edlmş ve modeln özellkler tartışılmıştır.. Grş Aerodnamk akışların modellenmesndek temel amaç gerbeslemel denetme zemn teşkl edecek br betmleycnn ortaya çıkarılmasıdır. []-[5] kaynakları, bu amaca ulaşmak çn çeştl yaklaşımların olduğunu, hang yaklaşımın hang durumda uygun olacağının çalışma koşullarına ve akış geometrsne bağlı olduğunu vurgular. Akış modellemede br yaklaşım akış fzğnden faydalanarak alt modellern gelştrlmesn önerr, []-[]. Transfer fonksyonu şeklnde düzenlenen bu altmodellern brleşm, bazı parametrelern nce ayarından sonra eldek akış sstemnn nümerk sonuçlarıyla eşleşeblmektedr, [4]. Bu yaklaşımın temel dezavantajı se sstemn grş değşkenlernn açık ve anlaşılır br şeklde tanımlanamamasıdır. Sıkça kullanılan br başka yaklaşım se Uyumlu Ortagonal Ayrışım (UOA) le sstemn baskın kplern elde etmek ve bu kpler dnamk denklemlerle fade edlen modellere dönüştürmektr, [5]-[6]. Bu yaklaşımdak güçlük se Naver-Stokes denklem kümesnden enstantanelern alınması dolayısıyla modeln enstantanelerdek blgye çok bağımlılık göstermesdr. Bu bldrde ele alınan sstem çn gelştrlen UOA tabanlı br modeln zamansal değşkenlernde gözlemlenen kaymalar bu savı doğrular ntelktedr, [7]. Akışların sebep olduğu kavte oslasyonlarının detaylı br ncelemes se [8] kaynağında bulunablr. Bu bldr modellemede zlenmes muhtemel üçüncü seçeneğn detaylarını sunmaktadır. Bu seçenek fzksel sstemn öneml blg taşıdığı düşünülen noktalarından yapılan yerel gözlemlere dayanır. Böyle br yaklaşım sstemn çevrel bleşenlernden kaynaklanan kesnszlklern de bertaraf edlmesn mümkün kılar. Dğer br deyşle, süzgeçlern, eyleyclern ve algılayıcıların detaylı modellernn gelştrlmes zorunluluğu ortadan kalkar, elde edlen model bu altsstemlern katkılarını nümerk verler yoluyla kapalı bçmde fade eder. Geçmşte bu konuda yazarların yaptığı çalışmalar Yapay Snr Ağlarına (YSA), [9], ve Bulanık Mantığa (BM) dayalı çıkarsama mekanzmalarının, [], akış modellemede oldukça y sonuçlar verdğn göstermştr. Bu bldrde önerlen model se YSA ve BM temell modellerden çok daha bast br yapıya sahptr. Bu bldr aşağıdak gb düzenlenmştr: İknc bölümde deneysel düzenek tanıtılmış, üçüncü bölümde deneysel ver- 78

2 lern hang çalışma koşulları altında elde edldğ, dördüncü bölümde çalışılan arama yöntemler, beşnc bölümde modelleme yöntemlernn br karşılaştırması ve son kısımda se sonuçlar sunulmuştur. blg []-[] kaynaklarından da ednleblr.. Deney Düzeneğ Ele alınan konu, aktf (gerbeslemel) kontrol uygulayarak hava araçlarının yüzey sürtünmesn azaltmak ve böylelkle yakıt tüketmn azaltırken saldırganlığını ve manevra yeteneğn arttırmaktır. Bu sebeple düşünülen lk yapı dkdörtgensel br kavte (oyuk) üzernde önce ses altı akışlar çn model gelştrmek ve ardından kontrol sstem tasarlamak şeklndedr. Probleme deneysel br çözüm üreteblmek çn Şekl de gösterlen sstem üretlmş ve hun bçml br arabrm le stenen Mach sayısındak akış, hava pompasından test kısmına yönlendrleblmştr. Test kısmı, Şekl de yakından gösterlen dkdörtgensel br kavteden barettr. Gösterlen kavte, en =.7mm, boy = 5.8mm ve en/boy oranı olan br geometrye 4 sahptr. Kavte, lazer görüntüleme mkanına elverşl olarak üretlmş ve her k tarafından pencerel olarak mal edlmştr. Bu çalışmada ses altı akışlar ele alınmış, özellkle akışın tek kpl ve çok kpl rezonans arzettğ rejmler de kapsanmış ve gelştrlen model, türetmde yer almayan br ver kümes le doğrulanmıştır. Hava pompası çalıştırıldığında, akış yönündek basamak geçlr geçlmez akışta kararsız parçalanmalar (separasyon) başlar. Parçalanmış basınç dalgalarının br kısmı karşı duvara çarpıp ger döner ve kavte çersnde oldukça karmaşık ve türbülans çeren br akış alanının ortaya çıkmasına sebep olur. Bu karmaşık akış alanı stenmeyen basınç dalgaları çerr k bu dalgalar geometrk düzenszlğn sebep olduğu stenmeyen etklerdr. Bu dalgaların etksn bertaraf etmek maksadıyla parçalanmanın başladığı, akış yönündek köşeden kontrol akışı uygulamak suretyle toplam sonuca etk etmek bu gerbeslemel kontrol çn kurgulanan yöntemdr. Verlen şekllerde eyleyc ve eyleycnn ssteme etk ettğ kontrol grş basamağın köşe kısmında açıkça görülmektedr. Tüm sstemn genel görünüşü se Şekl de betmlenmştr. Hava pompası üzernden ssteme gren akışkan (hava), sstem ucu açık br akış yolu le terk etmektedr. Kontrol mühendslğ açısından bakıldığında, temel meselelerden brs sstemden ver okumaktır. Bu sebeple Şekl de gösterldğ gb kavte çersne Kulte dnamk basınç transdüserler yerleştrlmştr. Kontrol çevrmn kapatablmek çn yüksek hızlı br blgsayar, güç yükseltec, bant geçren fltreler ve DSP kartı çeren kontrol blgsayarı döngüsel br bçmde bağlanmışlardır. Deney düzeneğ Dell Precson Workstaton 65 model br kontrol blgsayarı üzernde dspace DSP kartı çalıştırmakta, 8 kanaldan eşzamanlı olarak 5kHz örnekleme frekansında ver okumaya olanak tanımaktadır. Kontrol snyal (eyleyc çıkışı) Selenyum DT sıkıştırma sürücüsünün ttanyum dyaframının hareket le elde edlmekte, eyleyc grşndek elektrksel snyal Crown D-5A güç yükseltec le kuvvetlendrlmektedr. Kullanılan eyleyc bell br frekans bandında çalışabldğ çn güç yükseltecnden önce br bant geçren br fltre kullanılmıştır. Fltre Hz-kHz bandındak snyaller seçmekte, bu bandın dışında kalan bleşenler se söndürmektedr. Gelştrlen deney düzeneğ le lgl detaylı Şekl : Akış denetm sstemnn genel görünüşü Şekl : Test kısmındak basınç algılayıcılarının yerleşm Burada ele alınan kavte akışının Mach sayısının.5-. ve.9-.5 olduğu aralıklarda tek kpl güçlü br rezonans,.-.8 olduğu aralıkta se çok kpl rezonans arzettğ [] kaynağında gözlemlenmş, ve aynı kaynak sentetk jet tpnde eyleyc kullanarak snüzodal snyallerle uyarılan akış alanının uyartı snyalnn frekansından daha çok etklendğn, genlğn se görece daha az etkye sahp olup sadece yüksek Mach sayılarında etkn olduğunu göstermştr. Br sonrak bölümde, bu özellklere sahp deney düzeneğnden hang koşullar altında verlern toplandığı anlatılacaktır.. Deneysel Verlern Toplanması Şekl den de görülebleceğ üzere, akış alanından Sayısal Snyal İşleme üntes le eşzamanlı bçmde ver okunablmektedr. Basınç algılayıcıları öyle yerleştrlmştr k modellemede öneml blg çereblecek noktalar seçlmş ve bu noktalar numaralandırılmıştır. Buna göre S algılayıcısı Volt olarak kontrol blgsayarında üretlen eyleyc snyal değern, 79

3 S algılayıcısı u(t) le gösterlen ve eyleyc çıkışının hemen öncesnde oluşan basınç snyaln, S algılayıcısı v(t) le gösterlen, eyleyc çıkışının hemen sonrasındak basınç snyaln, S 4 algılayıcısı kavte test kısmı öncesndek basınç dalgalanmalarını, S 5 algılayıcısı w(t) le gösterlen ve akıntıya karşı duvar köşesnde oluşan basınç dalgalanmalarını, S 6 algılayıcısı se d(t) le gösterlen ve Kavte test kısmı tabanı merkeznde ölçülen basınç dalgalanmalarını okur. Bu çalışmada kullanılmamasına rağmen S 7 se zemn akışı hakkında blg almak maksadıyla yerleştrlmştr. Bu tanımlara göre ver toplama maksadıyla yapılan lk deney grubunda sstem rastgele üretlmş gürültü snyalyle uyarılmış, snyal genlğnn tepe değer eyleycy doyuma götürmeyecek şeklde seçlmştr. Buna ek olarak uyarma snyal sentetk eyleycnn çalışma koşulları çersnde kalablmek çn Hz-kHz aralığını kapsayacak şeklde bant geçren tpnde önsüzme şlemne tab tutulmuş ve Mach sayısı (M) olarak.5,.8,.,. ve.5 rejmlernde ver toplanmıştır. Deney grubunun knc kısmında se aynı Mach sayılarında açık çevrmde snüzodal uyartılara karşı sstem cevapları kaydedlmştr. Buna göre.5 Volt etkn değerne 5 Hz frekansına sahp br snüzodal snyal ve 4.6 Volt etkn değerne 9 Hz frekansına sahp br başka snüzodal snyal, bahs geçen her Mach sayısı çn ssteme uyartı olarak uygulanmış ve ver toplama şlem gerçekleştrlmştr. Bu genlk ve frekans değerler se sstem üzernde yapılan çalışmalar sonucunda belrlenmştr. Yukarıda anlatılan şeklde oluşturulan br eğtm verler kümes açıktır k sstemn değşk koşullar altında nasıl davrandığına dar öneml blgler çerr. Deneysel verler, seçlen tüm çalışma koşulları çn f s = 5 khz örnekleme frekansında (veya T s = /f s = µs örnekleme peryoduyla) toplanmış ve khz üzerndek blg süzülerek bastırılmıştır. Bunun sebeb se ele alınan sstemn khz değer üzernde öneml blgler çermemesdr. Mach sayısının.5, uyartı snyalnn etkn değernn.5v ve uyartı frekansının se 5 Hz olduğu durum blnçl olarak modelleme aşamasında kullanılmamış, bu ver grubu her br algortma le elde edlen modeln başarımının kıyaslanması maksadıyla deney grubu vers olarak kullanılmıştır. Br sonrak bölümde, en y ˆθ değern elde etmek amacıyla bazı yöntemler tanıtılacak ve verlern ve ver şleme yordamlarının ayrık zamanda olması dolayısıyla d(t) ve y(t) değşkenlernn yerne t = kt s olacak şeklde sırasıyla d k ve y k fadeler kullanılacaktır. 4. Modelleme Stratejler Bu çalışmada ele alınan stemn doğrusal olmadığı blnen br gerçektr. Sstemden elde edlen gözlemlere göre br adım ler tahmn yürütecek br modeln oluşturulablmes çn deneysel verler üreten sstemn doğrusal br sstem olduğu varsayımı altında, bu model çn tahmn edc sstem () denklemnde verlen yapıya sahp olacaktır. ŷ k+ = R T k ˆθ k () burada ˆθ k = (a b b c c f f g) T (a) R k = (u k y k y k v k v k w k w k M) T. (b) Yukarıdak modelde ˆθ k en y değer aranan parametre vektörünü, R k ayrık k anındak regresörü ve M se Mach sayısını gösterr. Modelleme çalışmasının amacı, br malyet fonksyonunu enküçükleyen ya da br başarım fonksyonunu enbüyükleyen ˆθ değern bulmaktır. Bu arama esnasında d(t) ve y(t) le gösterlen ve sırasıyla kavte zemnnde okunan basınç değer ve bu değere karşı düşen model cevabı kullanılacak, yöntemler ayrık zamanda ele alınacaktır. Yan br adım ler tahmn çn d k = y k+ kabul edlecek ve d k ŷ k+ le verlen hata ölçütünn en küçük değer aranacaktır. Burada ŷ k+ değşken, d k çn modeln üreteceğ cevap olacaktır. 4.. En Küçük Kareler Yöntem (EKK) d k le gösterlen zemn basıncı ölçümlernn N ardışık değern () le gösterlen br model le eşleştrmek maksadıyla d k = y k+ eştlğn kullanarak modeln ŷ k+ le gösterlen br sonrak ayrık andak cevabının, ölçülen basınç değer (d k ) olmasını styoruz. Buna göre, N ardışık gözlem matrs halnde aşağıdak gb yazılablr; J = P N k= y y. y N+ enküçükleyen ˆθ değer C A R T R T.. R T N Y = Φˆθ C A ˆθ = ŷ ŷ. ŷ N+ C A (a) (b) d k R T k ˆθ le verlen malyet fonksyonunu ˆθ = `Φ T Φ Φ T Y = P N Φ T Y. (4) fades le hesaplanablr. EKK yöntem verlen br ver kümesnn tamamı üzernde çalışmakta ve döngüsel br şleme grmekszn tek adımda ˆθ değern vermektedr, bu sebepten dolayı yöntem teratf değldr ve k nds kullanmaya gerek kalmamıştır. 4.. Rekürsf En Küçük Kareler Yöntem (RKK) Gerçek zamanda verler kesntsz bçmde okunduğu çn tüm verlern EKK yöntemndek gb braraya getrlmes her zaman sağlıklı sonuçlar veremez. Bunun yerne, şlem zamanından ve modellenmeye çalışılan süreçte meydana gelmes muhtemel değşklkler de hesaba katablmek maksadıyla EKK yöntem rekürsf (döngüsel) hale getrlmş, en y parametre değerler zamanla gelşm gösteren büyüklüklere (ˆθ k ) dönüştürülmüştür. RKK yöntemnn şleyşn betmleyen denklem kümes aşağıda verlmştr. 8

4 ˆθ k = ˆθ k + K k d k R T k ˆθ k K k = P k R k `I + R T k P k R k (5a) (5b) P k = `I K k R T k Pk (5c) Burada P t = `Φ T Φ değer başlangıçta toplanmış br ver kümes çn br defaya mahsus hesaplanır ve parametre güncelleme döngüsü rekürsf olarak (döngülü) her k anında parametre vektörünü günceller, bu şlem esnasında K t le gösterlen br ağırlık parametres üretlr ve d k Rk T ˆθ k le gösterlen br düzeltme term hesaplanır, []. 4.. Düzenlenmş Kaczmarz Algortması (DK) Normalleştrlmş zdüşüm algortması olarak da blnen DK algortması, y br ˆθ k vektörü elde etmek çn döngüsel olarak da gerçekleneblr. Güncelleme kuralı aşağıda verlmştr. ˆθ k+ = ˆθ γr k k + d α + Rk T R k R T ˆθ k k k burada α ve < γ < koşulları sağlanmalıdır, []. Bu çalışmada se, α = ve γ =.5 değerler seçlmştr. Bu bölümün sonunda, algortmanın nasıl uygulandığını temsl olarak gösteren br sahte kod da verlmştr Stokastk Yaklaştırma Algortması (SY) Stokastk Yaklaştırma algortması, verlern () le verlen br modelden üretldğ durumlarda başarılı sonuçlar üretmes le blnr. Bu yöntemde parametre güncelleme kuralı aşağıda verlmştr. ˆθ k+ = ˆθ k + P k d k R T k ˆθ k Pk dr. Burada P k = = RT R Açıkça görülmektedr k k arttıkça P k azalır ve öğrenme adım büyüklüğü küçülür. Bu se büyük k değerler çn yapılan gözlemlern ˆθ k vektörü üzerndek etksn (değştreblme gücünü) azaltır. Bu olumsuzluğu bertaraf etmek çn parametre güncelleme algortması bu çalışmada br döngü çersne alınmış ve önceden belrlenmş br sayıda olmak üzere tüm örnekler üzernden gerçekleşen br ler sürüm ve güncelleme kuralı ardışık olarak P tekrarlanmıştır. Böylelkle J = N N k= d k Rk T ˆθ k le verlen br hata ölçütü arttıkça azaltılablmş ve büyük k değerlerndek örnekler br döngü çersnde çok defa şlenmek suretyle toplamsal etkler arttırılmıştır Eğm Düşümü Algortması (ED) Hata gerye yayma olarak da blnen ED algortması YSA alanında oldukça yaygın kullanılan br güncelleme kuralıdır. ED algortması aşağıdak gb br malyet fonksyonunun her br örnek üzernden enküçüklenmes maksadıyla (8) denklemnde verldğ üzere gradyanın ters yönünde adım atılması gerektğn söyler; (6) (7) J k = e k = (d k y k+ ) = d k R T k ˆθ k ˆθ k+ = ˆθ k η J k ˆθ k = ˆθ k + ηe k R k, (8) burada < η < olmalıdır. Yakınsamayı hızlandırmak çn güncelleme kuralı aşağıdak gb değştrleblr ˆθ k+ = ˆθ k + η e k R k + µ ˆθk ˆθ k (9a) j η + E < E η + = (9b) η ζ E > E Yukarıda (a) le yapılan parametre güncelleme şlem k =,,..., N çn tamamlanıp her br örnekte karşılaşılan karesel hataların toplam değer hesaplanır ve. ler sürüm çn E = P N k= J k şeklnde tanımlanır. Adım büyüklüğünün güncellenmes se bu büyüklüğün artması ya da azalmasını dkkate alarak (b) denklemndek gb yapılır. Bu çalışmada = ve ζ =.99 değerler seçlmştr. ED algortmasının temel dejavantajı yakınsamanın çok yavaş gerçekleşmesdr, [4] Levenberg-Marquardt Algortması (LM) Levenberg-Marquardt teknğ, ED yöntemyle Newton yöntem arasında br denge algortmasıdır. LM parametre güncelleme kuralı () denklemnde verlmştr. ˆθ k+ = ˆθ k + `µ I + R k Rk T Rk e k (a) j µ E < E µ + = (b) µ ζ E > E Br öncek altbölümde anlatılan şeklde hesaplanan E değerne göre µ değer güncellenr. Eğer µ büyükse algortma ED yöntemne, küçük se Newton yöntemne benzeyen adımlar atar. ED algortmasına kıyasla LM algortması çok daha etkn güncelleme adımları belrler ancak bunun getrdğ külfet her adımda matrs ters hesaplamak şeklndedr. Bu çalışmada =.5, ζ =.9 ve µ = değerler seçlmştr Kayma Kpl Denetme Dayalı Uyarlama Algortması (KK) Bu çalışmada ele alınan son yöntem se Sra-Ramrez tarafından önerlen br yaklaşımdır ve hata değernn şaretn kullanır, [5]. Güncelleme kuralının orjnal hal () denklemnde verlmştr. ˆθ k+ = ˆθ k + η R k Rk T R sgn d k R T ˆθ k k k () 8

5 yukarıda η değer güncelleme kuralının tasarımcıya bağlı parametresn teşkl eder. Kayma kpl denetmclerde görülen ve d k Rk T ˆθ k ken ortaya çıkan çatırdama olayı ˆθk vektörüne gereksz ölçüde büyük değşmler vereblr ve bu stenmeyen br durumdur. Bunu bertaraf edeblmek çn δ > olmak kaydıyla sgn(x) x düzenlemes yapılır. x +δ Bu çalışmada δ = e ve η = e 4 değerler kullanılmıştır. % Uygulanan algortmalar çn br sahte kod Döngü =,..., E Döngü k =,..., N e k = d k R T k ˆθ k Koş DK çn (6) Koş SY çn (7) Koş ED çn (9a) Koş LM çn (a) Koş KK çn () E E + e k Son Koş ED çn (9b), LM çn (b) Son 5. Arama Stratejlernn Karşılaştırılması Tartışılan yöntemlern başarılarını karşılaştırmak çn tanımlayacağımız lk büyüklük görel hata değerdr ve aşağıdak fade le verlr e rel := P Nf N f k= d k ŷ k+ N f P Nf k= d k %, () Tablo : Karşılaştırma Ölçütler ve Sayısal Değerler e rel % p D(z) nn kökler KTH e+ EKK ± j.64 n/a RKK ± j.68 n/a DK ± j.7 n/a SY ± j.4 8. ED ± j LM ± j KK ± j olurdu. EKK algortmasının döngüsel olmaması dolayısıyla bu karşılaştırmaya katılmayacağı da gözönüne alınırsa RKK ve LM algortmaları bu bldrde dkkate alınan yöntemler arasında karmaşıklığı dğerlerne nazaran yüksek deneblecek algortmalar olurdu. Yakınsaklık açısından bakılırsa, SY, ED, LM ve KK algortmaları hemen hemen aynı KTH düzeyne erşmekte, en küçük değer se LM algortması üretmektedr. Bu sonuçlara göre, karşı düşen p ve e rel değerlernn küçüklüğü ve bastlğ gözönüne alınırsa KK algortması dğerler arasında en y yöntem olarak kabul edleblr. Aynı ölçütlere göre RKK se knc sırada yer alacaktır. Şekl de KK algortması kullanılarak elde edlen bazı sonuçlar gösterlmektedr. Sol sütündak altgrafklerde frekans domenndek sonuçlar gösterlmş, özellkle baskın tepe cvarında eşleşmenn çok y olduğu görülmüş, farkın Hızlı Fourer Dönüşümü (HFD) genlğne bakıldığında faz uyumunun da kabul edleblr ölçüde y olduğu sonucuna varılmıştır. Aynı şekln sağ altgrafklernde se bu sonuçları veren zaman domen snyaller çzdrlmş ve burada da eşleşmenn tatmn edc ntelkte y olduğu gözlemlenmştr. burada d k = y k+ ve ŷ k+ sırasıyla kavte zemn basıncının ölçülen ve model tarafından tahmn edlen değerlerdr. N f se deneyn sonlandırıldığı ayrık zaman değerdr. Dkkat edlmeldr k P Nf N f d k ŷ k+ fades ortalama karesel hataya denk düşer. Dğer br ölçüt se p le göstereceğmz ve Ölçülen ve Üretlen Snyallern HFD Genlg 5 Keskl (Krmz): Ölçülen Snyal Sürekl (Syah): Üretlen Snyal 4.5 Genlk.5 Ölçülen ve Üretlen Snyaller Keskl (Krmz): Ölçülen Snyal Sürekl (Syah): Üretlen Snyal p := F{d} F{y} le tanımlanan hata snyalnn Fourer dönüşümü grafğndek tepe değerdr. Burada F sembolü, Fourer dönüşümünü smgeler. Dğer ölçütler se Karesel Toplam Hata (KTH) ve D(z) = b z b z polnomumun köklernn değerdr. Dkkat edlmeldr k kusursuz br modeln elde edldğ durumda, yan ŷ k+ = d k = y k+ olduğu durumda () denklemnn z-dönüşümünde otoregresf kısma denk düşen polnom D(z) olacaktır. Buna göre, deney grubu verler le elde edlen sonuçlar Tablo de özetlenmştr. Tablo de görünen değerlere bakılırsa D(z) polnomunun köklernn tüm algortmalar çn.8 ± j. cvarında değerlere yakınsaması yaklaşımların ürettğ sonuçların tutarlılığı üzernde güçlü br kanıt teşkl eder. e rel le gösterlen görel hata değerlernn hemen hemen tüm yöntemlerde küçük değerler arzetmesne rağmen p değerlernde değşke oldukça yüksektr. Buna göre en kötü p sonucu ED algortması le, en y sonuç se KK algortması le elde edlmştr. Bu yöntemlere şlemsel karmaşıklık açısından bakılsa d dkkate alınması gereken lk parametre matrs ters hesabının gerekllğ Genlk Frekans (Hz) Farkn HFD Genlk Resm Frekans (Hz) 4 5 Zaman (ms) Hata Snyal Zaman (ms) Şekl : KKD yöntemyle elde edlen sonuçlara göre 5ms lk br zaman dlmnde ve spektrumun baskın tepey de kapsayan sınırlı br kısmında gelştrlen modeln başarımı. Yukarıda ele alınan büyüklüklern yanısıra ˆθ T ˆθ değernn zamanla nasıl değştğn zlemek de her br algortmanın yakınsaklık özellklern ortaya koyacaktır. Şekl 4 te bu değer her br yöntem çn çzdrlmştr. RKK ve DK algortmaları küme hatası yerne örnek hatası üzernden çalışmaları dolayısıyla bu yöntemlerde yatay eksen zaman le, SY, ED, 8

6 LM ve KK yöntemlernde se yatay eksen ayrık değer le smlendrlmş ve değer den e kadar sayarak br döngü oluşturulmuştur. Döngü son değer, seçm tamamıyle tasarımcıya kalmış br parametredr, bu çalışmada sayısı değerlern yakınsaklık özellklern göreblmek maksadıyla uygun bulunmuştur RKK DK 6 4 RKK... Zaman (sn) SY 5 5 LM DK... Zaman (sn) ED KK SY LM ED KK Şekl 5: Kompleks düzlemde H (z) le gösterlen transfer fonksyonlarının kutuplarının hareket. Şekl 4: Ayrık zaman anlarında ˆθ T ˆθ değernn gelşm. Şekl 4 te gösterlen sonuçlara göre ˆθ T ˆθ değer SY, ED, LM ve KK algortmaları çn an değşmler çermeyen br gelşm gösterr. Bu yaklaşımlar çersnde se LM algortması en hızlı yakınsamakta ve en düşük KTH değer vermektedr. Yne de p değerne göre en y sonucu KK algtmasının ürettğ gözden kaçırılmamalıdır. KK algortması çn parametrelern son değerler Tablo de verlmştr. Şekl 5 te, D(z) polnomunun köklernn zamana göre gelşm EKK dışındak her algortma çn gösterlmştr. İlk bakışta DK algortması le yapılan parametre güncelleme esnasında polnom köklernn sıkça sıçradığı ve lgl altgrafkten son değern seçleblr olmadığı görülmektedr. Polnom köklernde nspeten daha küçük salınımlar gösteren dğer algortma se RKK dr. Kalan dört algortmaya bakıldığında se en büyük lk adımı atan algortmanın ED olduğu ancak bu algortma le yakınsamanın çok uzun sürdüğü ve baskın tepenn y yakalanamadığı gözlemlenmştr. LM se dğer algortmalara nazaran daha hızlı yakınsamaktadır. SY ve KK yaklaşımları se karakterstk br özellk göstermemekle brlkte tutarlı br paramere gelşm seglemektedrler. Mach sayısının dnamk modele br grd şeklnde katılması se bu çalışmanın öneml katkılarından brdr. Açıktır k böyle br model, türetmnde zlenen yöntemden dolayı, M=.5 le M=.5 aralığındak Mach sayılarında geçerllğn koruyacaktır. Bu kısımda sorulması gereken son soru se η, µ, γ ve α gb tasarımcının seçmne kalmış parametrelern değerlernde değşklklere gderek kötü sonuç vermş br yöntemn başarımı arttırılablr m? sorusudur. Brçok deneme sonucunda bu paramerelern en y sonucu veren değerler seçlmş ve bu bldrde bu değerler sunulmuştur, bu nedenle sorunun cevabı, yapılan deneylern tutarlılığı oranında olumsuz olacaktır. 6. Sonuçlar Bu çalışmada aerodnamk akışların modellenmesnde 7 farklı arama algortması üzernde durulmuştur. Akışın karakterstk özellkler arzettğ noktalardan basınç okumaları yapılmış, ve mümkün olduğunca zengn çerkl uyartı snyaller le ver toplama şlem yapılmıştır. Görel hata ve tepe farkı Tablo : KK Yöntem çn Değşkenlern Yakınsadığı Değerler Parameter Value a.45 b.78 b c -.4 c.84e- f 4.868e- f -8.58e- g e- 8

7 büyüklükler tanımlanmış, bu değerlere göre KK algortması umut verc bulunmuştur. Dkkate alınan tüm yaklaşımlarda D(z) polnomunun kökler brm çember çersnde kalmış ve bu da çalışılan modelleme algortmalarının ve elmzdek mümerk verlern tutarlılığı olarak değerlendrlmştr. Algortmalar çersnde döngülü olanların yakınsama özellkler ˆθ T ˆθ büyüklüğünün değşmne göre değerlendrlmş, bu anlamda LM ve SM algortmalarının başarımları tatmnkar bulunmuştur. Özetle, p ve e rel değerler ana, dğer ölçütler se tal seçm ölçütlerdr ve buna göre en y sonuçları veren yöntemler sırasıyla KK ve RKK olmuştur. 7. Teşekkür Bu çalışma kısmen TOBB Ekonom ve Tekonoj Ünverstes Blmsel Araştırma Projeler Fonu tarafından (Kontrat No ETÜ-BAP-6/4), kısmen AFRL/VA ve AFOSR (Kontrat No F ) tarafından ve kısmen Avrupa Komsyonu (Kontrat No MIRG-CT ) tarafından desteklenmştr. 8. Kaynakça [] D.R. Wllams, C.W. Rowley, T. Colonus, R.M. Murray, D.G. MacMartn, D. Fabrs, J. Albertson, Model Based Control of Cavty Oscllatons Part I: Experments, 4th Aerospace Scences Meetng (AIAA -97), Reno, NV,. [] C.W. Rowley, D.R. Wllams, T. Colonus, R.M. Murray, D.G. MacMartn, D. Fabrs, Model Based Control of Cavty Oscllatons Part II: System Identfcaton and Analyss, 4th Aerospace Scences Meetng (AIAA -97), Reno, NV,. [] C.W. Rowley, T. Colonus, R.M. Murray, Dynamcal Models for Control of Cavty Oscllatons, 7th AIAA/CEAS Aeroacoustcs Conf. (AIAA -6), May 8-, Maastrcht, The Netherlands,. [4] X. Yuan, M.Ö. Efe, H. Özbay, On Delay-Based Lnear Models and Robust Control of Cavty Flows, n Advances n Tme Delay Systems, LNCSE Vol. 8, pp.87-98, Sprnger- Verlag. [5] C.W. Rowley, T. Colonus, R.M. Murray, Model Reducton for Compressble Flows, Usng POD and Galerkn Projecton Physca D, v.89, pp.5-9, 4. [6] X. Yuan, E. Caraballo, P. Yan, H. Özbay, A. Serran, J. DeBons, J.H. Myatt, M. Sammy, Reduced Order Model Based Feedback Controller Desgn for subsonc Cavty Flows, AIAA Aerospace Scence Meetng, Jan. -, Reno, NV, 5. [7] E. Caraballo, J. Malone, M. Sammy, J. DeBons, A Study of Subsonc Cavty Flows: Low Dmensonal Modelng, AIAA Paper 4-4, June 4. [8] L. Cattafesta, D. Wllams, C.W. Rowley, F. Alv, Revew of Actve Control of Flow-Induced Cavty Resonance, rd AIAA Flud Dynamcs Conference, June -6, Orlando, FL, AIAA-567,. [9] M.Ö. Efe, M. Debas, P. Yan, H. Özbay, M. Sammy, Control of Subsonc Cavty Flows by Neural Networks - Analytcal Models and Expermental Valdaton, 4rd AIAA Aerospace Scences Meetng and Exhbt, January -, 5, Reno, NV, AIAA5-94, 5. [] M.Ö. Efe, M. Debas, P. Yan, H. Özbay, M. Sammy, A Generalzng Fuzzy Model for Shallow Cavty Flows Under Dfferent Mach Regmes, 5 IEEE Conf. on Control Applcatons (CCA 5), August 8-, Toronto, Canada, pp.67-7, 5. [] M. Debas, M. Sammy, An Expermental Study of the Cavty Flow for Closed-Loop Flow Control, AIAA Paper No: -4, June. [] M. Debas, M. Sammy, Logc-Based Actve Control of Subsonc Cavty Flow Resonance, AIAA Journal, Vol. 4, No. 9, pp. 9-99, September 4. [] K.J. Åström, B. Wttenmark, Adaptve Control, Addson Wesley, 995. [4] S. Haykn, Neural Networks, Macmllan College Prntng Company, New Jersey, 994. [5] H. Sra-Ramrez, E. Colna-Morles, A Sldng Mode Strategy for Adaptve Learnng n Adalnes, IEEE Trans. on Crcuts and Systems - I: Fundamental Theory and Applcatons, v.4, no., pp.-,